nestacionarni tok tekoČine v cevi z · turbulentni tok, cfd računalniška dinamika tekočin,...

delo

NESTACIONARNI TOK TEKOČINE V CEVI Z

LOPUTO

maj, 2012 Avtor: Aleš WEISS

Mentor: Prof.dr. Leopold Škerget

Somentor: Doc.dr. Jure Ravnik

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorju prof.dr. Leopold Škergetu in

somentorju doc. dr. Jure Ravniku za pomoč in vodenje

pri opravljanju podiplomskega dela.

I

KAZALO

1 UVOD ....................................................................................................... - 1 -

1.1 STRUKTURA SPECIALISTIČNE NALOGE ....................................................................... - 1 -

1.2 OPIS IN CILJI NALOGE ................................................................................................ - 1 -

2 RAČUNALNIŠKA DINAMIKA TEKOČIN ........................................ - 2 -

2.1 VODILNI ENAČBI ........................................................................................................ - 3 -

2.1.1 Zakon o ohranitvi mase oz. kontinuitetna enačba: .................................................. - 3 -

2.1.2 Zakon o ohranitvi gibalne količine .......................................................................... - 5 -

2.2 ZAKON TEČENJA - KONSTITUITIVNI MODELI .............................................................. - 6 -

2.3 NAVIER – STOKESOVE (NS) DIFERENCIALNE ENAČBE ............................................... - 7 -

2.4 TURBULENTNI TOK .................................................................................................... - 8 -

2.5 REYNOLDSOVE ENAČBE (RANS) .............................................................................. - 9 -

2.6 TURBULENTNI MODELI ............................................................................................ - 10 -

2.6.1 Modeli na osnovi turbulentne viskoznosti............................................................. - 10 -

2.6.2 Dvoenačbni modeli................................................................................................ - 11 -

3 PROSTORSKA NUMERIČNA DISKRETIZACIJA OZ. MREŢENJE

MODELA ...................................................................................................... - 12 -

3.1 SPLOŠNO ................................................................................................................. - 12 -

3.1.1 Vrste elementov mreže .......................................................................................... - 13 -

3.1.2 Določitev optimalne gostote mreženja .................................................................. - 15 -

3.1.3 Tehnike mreženja .................................................................................................. - 20 -

3.2 DOLOČITEV ROBNIH POGOJEV (BOUNDARY CONDITIONS) ....................................... - 24 -

4 PREGLED KARAKTERISTIK SIMULIRANIH S STACIONARNIM

TOKOM ........................................................................................................ - 27 -

5 NESTACIONARNI TOK ..................................................................... - 30 -

5.1 OPIS KARAKTERISTIK IN FUNKCIJ PROGRAMA .......................................................... - 30 -

5.1.1 Določitev potrebnih časovnih korakov analize ..................................................... - 30 -

5.1.2 Prenosna shema (Advection Scheme): .................................................................. - 31 -

II

5.1.3 Časovno odvisen izračun (Transient Scheme): .................................................... - 31 -

5.1.4 Kontrola konvergentnosti (Convergence criteria) : .............................................. - 31 -

6 REZULTATI TURBULETNEGA MODELA .................................... - 32 -

6.1 HITROSTNE RAZMERE .............................................................................................. - 32 -

6.2 DISKUSIJA REZULTATOV .......................................................................................... - 39 -

7 SKLEP .................................................................................................... - 40 -

8 SEZNAM UPORABLJNEIH VIROV ................................................. - 41 -

III

KAZALO SLIK

Slika 1 - Model razcepne cevi ............................................................................................................ - 2 -

Slika 2 – Prikaz elementa računske mreže ....................................................................................... - 13 -

Slika 3 – Tetrahedralni element ......................................................................................................... - 14 -

Slika 4 – Piramidalni element ............................................................................................................ - 14 -

Slika 5 – Prizmatični element ............................................................................................................ - 14 -

Slika 6 – Mrežni elementi ob stenah cevi s funkcijo »Inflate« ........................................................... - 15 -

Slika 7 – položaj odčitavanje profila hitrosti in primer diagrama dobljenega s točkami iz linije ........ - 16 -

Slika 8 – Diagram hitrosti za primer H4 ............................................................................................. - 16 -

Slika 9 – Diagram hitrosti za primer H6 ............................................................................................. - 17 -

Slika 10 – Diagram hitrosti za primer H10 ........................................................................................ - 17 -

Slika 11 – Prikaz odvisnosti poteka spremembe hitrosti od števila elementov v modelu ................ - 19 -

Slika 12 – Detajl mreženja vtočnega dela in razcepnega kosa (Merilo 1,0 m) ................................ - 21 -

Slika 13 – Detajl mreženja desne cevi z loputo (Merilo 2,0 m) ......................................................... - 22 -

Slika 14 – Detajl mreženja desne cevi z loputo (Merilo 1,0 m) ......................................................... - 22 -

Slika 15 – Detajl mreženja področja za loputo (Merilo 0,2 m) ........................................................... - 23 -

Slika 16 – Detajl mreženja področja za loputo (Merilo 0,04m) .......................................................... - 23 -

Slika 17 – logaritmičen profil hitrosti .................................................................................................. - 25 -

Slika 18 – prikaz tokovnic hitrosti ...................................................................................................... - 28 -

Slika 19 – prikaz porazdelitve hitrosti (hitrostni profil) v ravnini ........................................................ - 28 -

Slika 20 – skupne tlačne izgube ........................................................................................................ - 29 -

Slika 21 – tlačni profil v ravnini .......................................................................................................... - 29 -

Slika 22 – konvergenca ..................................................................................................................... - 32 -

Slika 23 – čas 0,5 sek ....................................................................................................................... - 33 -

Slika 24 – čas 1,0 sek ....................................................................................................................... - 34 -

Slika 25 – čas 1,5 sek ....................................................................................................................... - 35 -

Slika 26 – čas 2,0 sek ....................................................................................................................... - 36 -

Slika 27 – čas 3,0 sek ....................................................................................................................... - 37 -

Slika 28 – čas 4,0 sek ....................................................................................................................... - 38 -

Slika 29 – levo stacionarni izračun, desno nestacionarni izračun ..................................................... - 39 -

IV

NESTACIONARNI TOK TEKOČINE V CEVI Z LOPUTO

Ključne besede:

turbulentni tok, CFD Računalniška dinamika tekočin, numerično modeliranje toka tekočin

UDK klasifikacija: UDK

POVZETEK

V pričujoči specialistični nalogi smo s pomočjo računalniškega programa na osnovi

računalniške dinamike tekočin izvedli stacionarno in nestacionarno analizo tokovnih razmer

geometrijskega modela razcepne cevi z loputo. Za geometrijski model je izdelana ustrezna

mreža (diskretizacija modela) ter definirani so robni pogoji v zaključku naloge pa je podana

ocena rezultatov ter vpliv turbulentnega toka v cevi za loputo. Računalniška simulacija je

izvedena s programskim orodjem ANSYS CFD.

UNSTEADY FLOW OF FLUID IN THE PIPE WITH THE BUTTERFLY

VALVE

Key words:

turbulent flow, CFD Computational fluid dynamic, numerical modeling of fluid flow

ABSTRACT

With the help of numerical methods based on the computational fluid dynamic we try in the

presented postgraduate work to calculate steady and unsteady flow analysis of bifurcation

pipe with the valve. For the geometrical model an appropriate model discretization was

performed and boundary conditions were defined. At the end of the work we evaluate the

results and asses the influence of turbulent flow after the valve. Calculation was performed

with the ANSYS CFD soft ware.

V

UPORABLJENI SIMBOLI

A - površina

Ak - kontrolna površina

Cμ - konstanta modela

cp - specifična izobarna toplota

D/Dt - Stokestov snovski odvod

F - Sila

G - Gibalna količina

k - kinetična energija turbulence

L - dolžinski interval turbulence

m - masa

p - tlak

ř - vektor lege

t - čas

v - hitrost

V - volumen

Vk - kontrolni volumen

Vm - volumen masnega sistema

ε - disipacija vrtinčne turbulence

μt - turbulentna viskoznost

ρ - gostota

η - dinamična viskoznost

λ - toplotna prevodnost

λT - turbulentna toplotna prevodnost

VI

UPORABLJENE KRATICE

MKV - Metoda Končnih Volumnov

CFD - Computational Fluid Dynamics (računalniška dinamika tekočin)

DNS - Direktna Numerična Simulacija

NS - Navier - Stokes

RANS - Reynolds Averaged Navier- Stokes equitations ali statistično povprečni

turbulentni modeli

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO

I Z J A V A

Podpisani Ales WEISS vpisna številka 95035564 izjavljam, da je predloženo specialistično

delo z naslovom NESTACIONARNI TOK TEKOČINE V CEVI Z LOPUTO:

rezultat lastnega raziskovalnega dela

da so rezultati korektno navedeni,

da nisem kršil avtorskih pravic in intelektualne lastnine drugih,

da predloženo delo v celoti ali v delih ni bilo predloženo za pridobitev kakršnekoli

izobrazbe po študijskem programu druge fakultete ali univerze;

Maribor,22.05.2012 Podpis: ___________________________

- 1 -

1 UVOD

1.1 Struktura specialistične naloge

V nalogi je v prvem delu predstavljen predmet obravnavanja ter osnove računalniške

dinamike tekočin. Predstavljeni sta vodilni enačbi, ki smo jih reševali s pomočjo

računalniškega orodja in s katerimi smo podali robne pogoje za postavitev numeričnega

modela. V nadaljevanju je predstavljen način tvorjenja računske mreže, načine določanja

potrebnega števila elementov mreže, postavitev robnih pogojev ter opis karakteristik izračuna

stacionarnega in nestacionarnega toka.

V drugem delu so prikazani rezultati izračuna stacionarnega in nestacionarnega toka v

obravnavanem območju ter zaključek s cilj in napotki za nadaljnje delo.

1.2 Opis in cilji naloge

V hidroenergetskih objektih oz. hidroelektrarnah se pogosto za dovod vode do turbine

uporabljajo cevovodi različnih premerov in dolžin, v katere se kot varnostni element

vgrajujejo različni tipi zapornih elementov npr. ventili, zasuni ali lopute. Ti elementi v toku

vode povzročajo motnje toka, ki so lahko različnih velikosti in jakosti.

Objekt preučevanja v pričujoči nalogi je razcepna cev (hlače) realnih dimenzij, z delno

poenostavljeno geometrijo in z vgrajenim zapornim elementom – loputo. Razcepni kos služi

kot dovodna cev hidravlični turbini.

Cilj naloge je s pomočjo računalniške simulacije preveriti in prikazati dinamične tokovne

razmere v celotnem razcepnem kosu posebej pa področje v delu cevi za loputo ter tokovne

razmere v delu cevi pred vtokom v turbino z namenom eventualne optimizacije geometrije

razcepnega kosa.

Geometrijski numerični model prikazan na Sliki 1 je izdelan z grafičnim programom ANSYS.

Model predstavlja cev dolžine cca. 17 m in premera 1,8 na vtočnem delu ter 1,7 m na delu za

razcepom. V sredini desne cevi (gledano v smeri toka vode) za razdelilnim delom je vgrajena

loputa postavljena pod kotom 5º na horizontalno os, ki se nadaljuje s konusnim delom ter

iztočno cevjo premera 1,0 m, ki predstavlja vtočni del na turbino. Geometrijski model je z

namenom zmanjšanja števila elementov ter zaradi simetričnosti leve in desne polovice cevi

prikazan brez levega dela iztočne cevi.

Masni tok oz. pretok v cevi je 5 m3/s kar predstavlja dejanski pretok na eno turbino. Celoten

volumen modela znaša cca. 80m3.

- 2 -

Slika 1 - Model razcepne cevi

2 RAČUNALNIŠKA DINAMIKA TEKOČIN

Dinamične tokovne razmere v obravnavanem modelu cevi z loputo lahko opišemo z

osnovnima zakonoma t.j. zakonom o ohranitvi mase in zakonom o ohranitvi gibalne količine

(zakon o ohranitvi energije v danem primeru ni obravnavan). Iz zakona o ohranitvi gibalne

količine, ob upoštevanju reoloških zakonitosti tekočine oz. zakona tečenja, izpeljemo Navier

– Stokesove enačbe, ki skupaj z zakonom o ohranitvi mase povezujejo snovske lastnosti

tekočine z veličinami stanja ter tako sestavljajo zaprt sistem nelinearnih enačb obravnavanega

fizikalnega problema.

Numerično modeliranje in simulacija nestacionarnega toka v cevi je opravljeno z

računalniškim programom ANSYS Workbench 2.0 Framework verzija 12.0.1, ki je zasnovan

na metodi končnih volumnov (MKV). MKV je aproksimativna metoda, ki jo uporablja

programski paket za pretvorbo zakonov ohranitve, zapisanih v diferencialni obliki v

algebrajske enačbe, ki jih je moč rešiti na nivoju diskretnih točk oz. elementov, ki opisujejo

območje reševanja. MKV za izhodišče uporablja integralsko zapisane zakone ohranitve,

integracija vodilnih enačb pa poteka na nivoju majhnih kontrolnih volumnov, ki jih

Smer toka

Loputa

- 3 -

definiramo v okolici vsake vozliščne točke. Rezultat je približek vrednosti spremenljivk (npr.

hitrosti, tlak,…) v celotnem področju.

V tej nalogi so matematične osnove zasnovane na splošno poznanih Navier-Stokes enačbah

ohranitvi gibalne količine in zakona o ohranitvi mase. Navier –Stokesove enačbe opisujejo

tako laminarni kot turbulentni tok newtonske viskozne stisljive tekočine, vendar so kot takšne

nepraktične za direktno numerično analizo (DNS) in preučevanje turbulentnega toka pri

realnih Reynoldsovih številih.

Za praktično numerično reševanje turbulentnih tokov je zato razvito več modelov, ki v Navier

–Stokesove enačbe vnašajo povprečne vrednosti sprememb in upoštevajo vpliv turbulence

brez, da bi bilo potrebno uporabljati izjemno majhno mrežo kontrolnih volumnov in direktno

numerično simulacijo (DNS). Takšni modeli se imenujejo »statistično povprečni turbulentni

modeli« ali RANS enačbe (Reynolds Averaged Navier- Stokes equitations).

Parcialno diferencialne enačbe so integrirane preko celotnega področja kontrolnih volumnov.

Integralne enačbe so pretvorjene v sistem algebrajskih enačb, ki se iterativno rešujejo.

Iterativne rešitve, ki so nujne zaradi nelinearnosti enačb, konvergirajo do rešitve z določeno

napako (ostankom). Natančnost rešitve je tako odvisna od velikosti in oblike kontrolnih

volumnov in od velikosti napake.

2.1 Vodilni enačbi

2.1.1 Zakon o ohranitvi mase oz. kontinuitetna enačba:

Zakon o ohranitvi mase v integralski obliki izpeljemo na podlagi ugotovitve, da je masa

masnega sistema konstantna veličina:

., konstdVtrtmVm

; 0

VmVk

dVDt

D

Dt

Dm

( 1.1)

z upoštevanjem Reynoldsovega prenosnega teorema posplošenega mirujočega kontrolnega

volumna:

AdvfdVftDt

DF

AkVkVm

(1. 2)

ter enakosti F = m in f = 1 izpeljemo integralsko obliko zakona o ohranitvi mase:

0AdvdVt

AkVk

( 1.3)

- 4 -

Diskretizirano obliko zgornje integralske enačbe (1.3) za en element kontrolnega volumna

(stranico) prikazano na sliki 2., lahko zapišemo:

00

ip

ipiiAv

tV

( 1.4)

Diferencialno obliko zakona o ohranitvi mase oz. kontinuitetno enačbo lahko izpeljemo iz

integralske oblike enačbe zakona o ohranitvi mase za mirujoč kontrolni volumen:

0AdvdVt

AkVk

(1.5)

kjer zadnji člen enačbe t.j. površinski integral prevedemo z Gausovim stavkom v

volumenskega ter dobimo:

dVvt

AdvdVt VkAkVk

(1.6)

Ker je kontrolni volumen poljuben volumen, mora biti integrand enačbe (1.6) enak nič, tako

dobimo zakon o ohranitvi mase oz. kontinuiteto enačbo v diferencialni obliki:

0vt

(1.7)

oz. v kartezijevem koordinatnem sistemu:

0z

v

y

v

x

v

t

zyx

(1.8)

Za nestisljive tekočine velja, da je ρ = ρ0 = konst., se enačba (1.7) poenostavi in kot takšna

velja tako za stacionarne kot tudi za nestacionarne tokove:

0v

(1.9)

- 5 -

2.1.2 Zakon o ohranitvi gibalne količine

Osnova za izpeljavo zakona o ohranitvi gibalne količine je II. Newtonov zakon gibanja

masnega sistema:

td

vdmGF

ali FdVv

Dt

D

Dt

GD

VmVm

(1.10)

Za izpeljavo zakona o ohranitvi gibalne količine uporabimo Reynoldsov prenosni teorem za

mirujoč kontrolni volumen z upoštevanjem vf

AkVkAdvvdV

t

vF

(1.11)

Površinski integral z Gausovim stavkom pretvorimo v volumenski integral:

VkdVvv

t

v0)(

)(

(1.12)

Diferencialno obliko zakona ohranitve izpeljemo iz (1.12) kjer mora biti integral po

poljubnem konstantnem kontrolnem volumnu enak nič, kar je lahko res samo, če je tudi

integrand enak nič:

0)()(

vvt

v

(1.13)

Enačbo parcialno odvajamo in izpeljemo:

0)()( vvt

vv

tv

(1.14)

Prvi člen enačbe predstavlja kontinuitetno enačbo in je enak nič v primeru, da ni izvorov ali

ponorov. Enačba (1.14) se lahko preoblikuje kot:

vvt

v )( oziroma vv

t

v

Dt

vD

)( (1.15)

- 6 -

kjer prvi člen t

v predstavlja volumenske sile gfm

drugi člen vv

pa predstavlja površinske sile, ki so podane z napetostnim tenzorjem

»σ«:

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

in enačbo (1.15) lahko zapišemo v vektorski obliki kot:

mfvvt

v

Dt

vD)( (1.16)

Napetostni tenzor »σ« je v splošnem vsota statičnega tlaka p in viskoznih napetosti τ, tako da

velja zapis zakona o ohranitvi gibalne količine v diferencialni obliki:

mfpDt

vD

(1.17)

(vztrajnostne sile) = (tlačne sile) + (viskozne sile) + (težnostne sile)

Dt

Dv sprememba inercije oz. pospeškov ali vztrajnostnih sil

p

= gradient tlaka oz. tlačne sile

= gradient viskoznih sil = v2

mf = ostale sile (gravitacija ali centrifugalne sile)

2.2 Zakon tečenja - Konstituitivni modeli

Funkcijsko povezavo med napetostnim tenzorjem »σij« oz. viskoznim napetostim tenzorjem

»τij« ter hitrostnim deformacijskim tenzorjem »εij« podajajo zakoni tečenja ali izbran

konstituitivni model. Izbran konstituitivni model stisljive newtonske tekočine, podaja linearno

odvisnost med napetostjo in hitrostnim poljem:

ijkkijijijijij pp 3

22 (1.18)

oz. v komponenti obliki normalnih napetosti:

- 7 -

vz

vpp

vy

vpp

vx

vpp

zzzzz

y

yyyy

xxxxx

3

22

3

22

3

22

(1.19)

kjer je ij

Kroneckerjeva delta funkcija in vdivkk

in dinamična viskoznost.

2.3 Navier – Stokesove (NS) diferencialne enačbe

Osnovni zakon fizike je zakon o ohranitvi. NS diferencialne enačbe opisujejo principe

ohranitve veličine in vsak posamezen člen v enačbi predstavlja enega od osnovnih fizikalnih

mehanizmov skozi katerega se neka veličina ohranja.

NS enačba vključuje naslednje člene:

izvordifuzijakonvekcijaaakumulacij

Sfvft

ff)(

(1.20)

Akumulacija - prehodni pojav, člen ki opisuje časovno spremembo veličine »f«

neskončno majhnega volumna

Konvektivni člen - opisuje prenos veličine »f« zaradi hitrostnega polja na makro nivoju.

Povečini predstavlja ta člen prvi odvod pomnožen s hitrostjo.

Konvekcija je tudi izvor nelinearnosti NS enačb.

Difuzija - proces, ki opisuje prenos veličine »f« zaradi lastnih gradientov te

veličine na mikro nivoju (Γ – difuzijski koeficient)

Izvori - vsi ostali pojavi kot so gravitacija, tlačni gradienti, itd.

Navier – Stokesove (NS) enačbe nestacionarnega gibanja newtonske viskozne in stisljive

tekočine izpeljemo iz splošne gibalne enačbe (1.17) ob upoštevanju zakona tečenja (1.19), ki

skupaj s kontinuiteto enačbo (1.7) in energijsko enačbo ter enačbami stanja sestavljajo

sklenjen sistem enačb z neznankami ( ).,,,,,,,, pzyx cTpvvv

- 8 -

NS enačba gibalne količine v komponenti obliki z upoštevanjem konstitutivnega modela

tečenja:

y

v

z

v

yz

v

x

v

xv

z

v

z

p

z

pf

Dt

Dv

x

v

y

v

xy

v

z

v

zv

y

v

y

p

y

pf

Dt

Dv

z

v

x

v

zx

v

y

v

yv

x

v

x

p

x

pf

Dt

Dv

zyxzzmz

z

yxzyy

my

y

xzyxxmx

x

3

22

3

22

3

22

(1.21)

Kontinuitetna enačba:

0vt

oz. 0v

(1.22)

Energijska enačba:

ITDt

DTcp

(1.23)

Enačbe stanja:

Tp, Tpcc pp, Tp, Tp, (1.24)

Enačbe se v določenih primerih (npr. konstantna viskoznost ali ob predpostavki, da je

tekočina nestisljiva) lahko tudi pomembno poenostavijo.

2.4 Turbulentni tok

Turbulentni tok ali turbulenca je vrsta toka, ki je vedno zelo nepravilen oz. za katerega je

značilno prostorsko in časovno odvisno neurejeno in naključno spreminjanje lastnosti in

veličin, kot sta na primer tlak in hitrost. V turbulentnem toku se razvijajo vrtinci različnih

velikosti, ki zaradi vzajemnega delovanja povzročajo difuzivne in konvektivne procese.

Ne glede na nepravilno obnašanje turbulentnega toka pa je določene veličine (tlak, hitrost,

temperaturo) mogoče opisati s časovno povprečnimi vrednostmi. Odstopanja od časovno

povprečnih vrednosti so odvisna od stopnje turbulence toke tekočine, lahko pa jih opišemo z

matematično statističnim opisom. Poljubno makroskopsko veličino toka v neki točki

- 9 -

tokovnega polja lahko opišemo z njeno časovno povprečno vrednostjo in z odmikom oz.

oscilacijo od te vrednosti, kot na primer za tlak in hitrost:

ppp ~ vvv ~ (1.25)

kjer časovno povprečno vrednost na primer definiramo z integralom:

dtpt

ptt

t

0

0

1~ dtv

tv

tt

t

0

0

1~

(1.26)

Časovno povprečne vrednost oscilirajočih komponent ne obstajajo:

0~~~

iii Tpv (1.27)

2.5 Reynoldsove enačbe (RANS)

Delitev trenutnih vrednosti poljubnih veličin toka na časovno povprečno vrednost ter

turbulentno oscilirajoč del je v osnovi predlagal Osborn Reynolds leta 1895, kar se šteje tudi

za začetek sistematične matematične analize turbulentnega toka kot dela dinamike tekočin.

Medtem, ko lahko časovno povprečno vrednost neke veličine predvidimo oz. določimo s

pomočjo zakonov dinamike tekočin je turbulenten oscilirajoči del razumljen kot stohastična

spremenljivka. Na podlagi te zamisli, lahko sistem parcialno diferencialnih enačb zapišemo v

novi obliki, imenovani skrajšano tudi RANS oz. Reynolds Averaged Navier- Stokes

equitations ali statistično povprečni turbulentni modeli.

Zakon o ohranitvi mase:

0~

i

ii

x

vv (1.28)

časovno povprečje kontinuitetne enačbe z upoštevanjem (1.26):

0~1 0

0

tt

tii

i

dtvvtx

(1.29)

ter z upoštevanjem (1.26) in (1.27) izhaja iz stavka (1.29):

- 10 -

0~~~

z

v

y

v

x

v zyx (1.30)

0z

v

y

v

x

v zyx (1.31)

Zakon o ohranitvi gibalne količine:

ji

ii

i

mi

j

iijj

i

ii

i

ii

xx

vvv

x

ppf

x

vvvv

t

vv

Dt

vvD ~~1~~

~~ 2

0

0

(1.32)

še v tenzorski obliki:

j

ji

jj

i

i

mi

j

ijii

x

vv

xx

vv

x

pf

x

vv

t

v

Dt

vD~~~~1

~~~~ 22

0

0

(1.33)

Enačbe (1.28) in (1.33) so Reynoldsove enačbe turbulentnega toka newtonske nestisljive

tekočine za časovno povprečne vrednosti veličin toka. Zadnji člen v (1.33) predstavlja

turbulentne napetosti ijT~ .

j

ji

ijTijTx

vv ~~~

2~2

(1.34)

Reynoldsove enačbe turbulentnega toka tekočine vsebujejo poleg časovno povprečnih veličin

tokovnega polja Tpvvv zyx

~,~,~,~,~ še devet novih neznank turbulentnih napetosti in vektorja

gostote turbulentnega toplotnega toka. Takšen sistem enačb je torej odprt zato je za reševanje

sistema RANS enačb potrebno vpeljati nove turbulentne modele, ki vsebujejo empirične

konstante in funkcije, ki so odvisne od konkretnega tokovnega problema.

2.6 Turbulentni modeli

2.6.1 Modeli na osnovi turbulentne viskoznosti

Turbulentne napetosti izrazimo ::

0~~

ji vv z Boussinesquovim približkom, podobno kot v

(1.18):

kx

v

x

vvv ij

i

j

j

iTji

3

2~~

~~0 (1.35)

- 11 -

kjer je »k« povprečna turbulentna kinetična energija turbulentnih fluktuacij (nihanj)

iivvk ~~

2

1 (1.36)

in »T

« je turbulentna ali tudi vrtinčna viskoznost. Člen kij32 je razširitev osnovne

Boussinesqueove hipoteze brez katerega bi bila vsota normalnih napetosti enaka nič zaradi

kontinuitetne enačbe. Člen se obnaša kot tlak, zato ga lahko dodamo statičnemu tlaku.

2.6.2 Dvoenačbni modeli

Turbulentni model je sistem diferencialnih enačb, ki opisuje zveze med oscilirajočimi

veličinami tokovnega polja in vpliv turbulence na časovno povprečne vrednosti toka.

V tej nalogi je upoštevan dvoenačbeni k–ε turbulentni RANS model, ki za karakteristično

hitrost v

(t.j. prenos kinetične energije - difuzija) in dolžinski interval L (t.j. disipacija

kinetične energije) uporablja dve dodatni diferencialni enačbi in je zadovoljiv kompromis

med zahtevami po računalniških zmogljivostih in izračunano natančnostjo.

k–ε turbulentni model je zasnovan na hipotezi gradienta difuzije, ki povezuje Reynoldsove

napetosti s srednjimi hitrostmi in turbulentno viskoznostjo. Turbulentna viskoznost je

modelirana kot produkt hitrosti turbulence in dolžinskega intervala turbulence. Interval

hitrosti turbulence je izračunan iz kinetične energije turbulence, ki izhaja iz rešitev dodatne

diferencialne enačbe.

Karakteristična hitrost je:

kv

(1.37)

Karakterističen dolžinski interval turbulence L je predpostavljen na osnovi lastnosti

turbulentnega polja, običajno kinetične energije turbulence in disipacijske hitrosti, ki tudi

izhaja iz rešitev prenosne enačbe. Za karakterističen dolžinski interval velja enačba:

3

2

kCL (1.38)

kjer je k - kinetična energija turbulence definirana kot naključna sprememba gibanja hitrosti z

dimenzijo m2/s

2 in ε - disipacija hitrost vrtinčne turbulence (stopnja spremembe turbulentne

energije v toplotno) z dimenzijo m2/s

3.

V k–ε turbulentnem modelu je predpostavljeno, da je turbulentna viskoznost povezana s

kinetično energije in disipacijo kot:

- 12 -

2kCT (1.39)

kjer je Cμ konstanta modela.

Disipacija hitrosti turbulentne kinetične energije » ε « je:

jj

ii

xx

vv ~~

0 (1.40)

Dodatni parcialni diferencialni enačbi, ki vsebujeta nove empirične konstante in funkcije so za

k:

Px

kvv

xx

kv

t

k

ik

To

ii

i~

(1.41)

ter za ε:

kCP

kC

x

vv

xxv

t i

To

ii

i

2

21~

(1.42)

Medtem, ko so konstante modela:

;92,144,1;3,1;0,1;09,0 21 inCCC k

3 PROSTORSKA NUMERIČNA DISKRETIZACIJA OZ.

MREŢENJE MODELA

3.1 Splošno

Diskretizacija modela je del postopka s katerim določeno območje opišemo z mrežnimi

elementi in točkami. Takšna zbirka vseh mrežnih točk in elementov, ki opisujejo določeno

računsko območje se imenuje računska mreža. Točke elementov oz. vozlišča računske mreže

- 13 -

v katerih računamo izbrane funkcije (npr. tlak, hitrost) so tako opisane z njihovimi mrežnimi

in geometrijskimi lastnostmi (Slika 2).

Slika 2 – Prikaz elementa računske mreže

V osnovi ločimo tri vrste računskih mrež:

a.) Strukturirane

b.) Nestrukturirane

c.) Blokovne mreže

Z uporabljenim programskim paketom ANSYS CFD je na modelu cevi uporabljena

nestrukturirana mreža. Osnovna značilnost takšne mreže je, da je ni mogoče opisati s

splošnim algoritmom, temveč je potrebno tvoriti podatkovno bazo (položaj in številčenje

geometrijskih točk in vozlišč) za vsak element posebej. S tem je omogočena veliko večja

prilagodljivost računske mreže dejanski geometriji modela, vendar zahteva veliko večjo

kapaciteto računalniškega spomina.

3.1.1 Vrste elementov mreže

V splošno uporabljenih Eulerjevih formulacijah za reševanje Navier – Stokesovih enačb se

okvir računanja premika z delci, kar narekuje uporabo mreže po celotni domeni. Mreženje

modela je izvršeno s funkcijo programa ANSYS kot avtomatsko volumensko mreženje s

tetrahedralnimi elementi, ki vključujejo tudi prizmatične in piramidne elemente. Oblike

uporabljenih elementov so prikazane na Slikah 3 do 5.

- 14 -

Slika 3 – Tetrahedralni element

Slika 4 – Piramidalni element

Prizmatic oz. Hexahedral Element

Slika 5 – Prizmatični element

- 15 -

Slika 6 – Mrežni elementi ob stenah cevi s funkcijo »Inflate«

3.1.2 Določitev optimalne gostote mreženja

V nalogi je primerjanih nekaj modelov razcepne cevi, ki so mreženi z različnim številom

elementov. Določitev ustreznega števila elementov mreže je izvedena z analizo vpliva števila

elementov na spremembo hitrostnega profila v točno določenem prerezu vtočne cevi v turbino

prikazanem na Sliki 7 na prikazani premici. Za določitev hitrostnega profila je uporabljena

funkcija programa »linija« na kateri so odčitane hitrosti v 100 točkah. Tokovne razmere v

preučevanem področju je so izvedene z uporabo izračuna s stacionarnim tokom, ki je bistveno

hitrejši kot simulacija z nestacionarnim tokom, daje pa še dovolj zadovoljive rezultate za ta

namen, čeprav stacionarnega toka v cevi ni.

Iz odčitanih točk hitrosti je izdelan diagram poteka hitrosti oziroma hitrostni profil v danih

točkah na premici od ene do druge strani cevi, kot so prikazani na slikah 8, 9 in 10 za primere

mreženja H4, H6 in H10.

Minimalna hitrost je na steni cevi enaka nič vendar je kot referenčna vrednost za primerjavo

spremembe minimalne hitrosti privzeta minimalna hitrost v sredini cevi.

Mreženje z avtomatsko

funkcijo »Inflate«.

- 16 -

Slika 7 – položaj odčitavanje profila hitrosti in primer diagrama dobljenega s točkami iz linije

Slika 8 – Diagram hitrosti za primer H4

Linija odčitavanja profila hitrosti

Minimalna hitrost

5,35m/s Stena cevi

Maksimalna hitrost

5,85m/s

Profil hitrosti

- 17 -



Minimalna hitrost

6,2 m/s

Maksimalna hitrost

6,6 m/s

Stena cevi Profil hitrosti Minimalna hitrost

5,2 m/s

Maksimalna hitrost

6,3 m/s

- 18 -

Od modela H8 dalje je zaradi porasta števila elementov, levi del cevi zaradi simetričnosti

odstranjen. Tako se je absolutno število elementov sicer zmanjšalo, čeprav so v preostanku

cevi bili ostali elementi višje natančnosti, kar je delno razvidno tudi iz Tabele 1.

Kot je razvidno iz posameznih diagramov hitrosti, se hitrostni profil oz. hitrost toka spreminja

v odvisnosti od uporabljenega števila elementov. V diagramu (Slika 11) je tako prikazan,

procent spremembe najvišje in najnižje vrednosti hitrosti toka glede na izhodiščni model H4 v

odvisnosti od faktorja spremembe povečanja števila elementov glede na izhodiščni model.

Iz diagrama na Sliki 11 je razvidno, da se pri določenem povečanju števila elementov mreže

(to je od modela H8 dalje) hitrostni profil ne spreminja več bistveno oz. postane približno

konstanten. Na osnovi tega lahko zaključimo, da je nadaljnje povečevanje števila elementov

nepotrebno saj se tokovne razmere več bistveno ne spreminjajo ter, da je za nadaljnje analize

ustrezen model razcepnega kosa z oznako »hlace10b«, ki ima naslednje število elementov:

Skupno število elementov mreže je: 6.541.509 od tega je

Tetrahedralnih: 5.745.993

Prizmatičnih: 793.149

Piramidalnih: 2.367

Število vozlišč: 1.421.664

Število površin: 164.956

- 19 -

Slika 11 – Prikaz odvisnosti poteka spremembe hitrosti od števila elementov v modelu

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

14,00%

16,00%

18,00%

20,00%

4 5 6 7 8 9 10

Pro

cen

t sp

rem

em

be

po

veča

nja

hit

rost

i (%

)

Oznaka profila H4 - H5 - H6 - H7 - H8 - H10

% povečanja min. hitr.

% povečanja max. hitr.

Faktor povečanja števila elementov

H4 - 761.926 elemenotv

H5 - 1.020.275 elementov























Fa

kto

r p

ove

ča

nja

šte

vil

a e

lem

en

tov

- 20 -

3.1.3 Tehnike mreženja

Število elementov oz. gostoto mreženja se lahko uravnava s spreminjanjem določenih

parametrov mreže, ki jih omogoča programski paket.

Tako je mreženje sloja tik ob steni cevi izvedeno z uporabo funkcije »Inflate«, s katero program

avtomatsko še dodatno zgosti mreženje mejnih plasti ter tako omogoči podrobneje opisati mejno

plast kot prikazano je na Sliki 6.

Za spreminjaje oz. optimizacijo gostote mreže po posameznih področjih cevi je uporabljena

funkcija »Spacing«, ki določa razmerje dolžin stranic mreže (roba ali področja):

Tabela 1. – primer maksimalnih in minimalnih razmerij dolžin stranic na posameznih področjih

modela ter za različne modele

V mrežo v delu področja okrog lopute je v primeru H10 dodana še funkcija »Point spacing«, ki

omogoča lokalno zgoščevanje mreže potrebno zaradi podrobnejšega pregleda turbulentnega

dogajanja v področju takoj za loputo. Lokalna zgostitev mreže je posebej vidna na Sliki 15 .

Primer mreženja posameznih področij modela H10, ki je uporabljen v nadaljnjih analiza, je

prikazan na naslednjih Slikah 12 do 16.

Vtok H4 H5 H6 H7 H8 H10

min. 30 20 40 20 20 20

max. 150 100 120 60 60 60

Cev D

min. 30 20 25 10 10 10

max. 150 100 80 40 30 30

Loputa

min. 20 20 10 8 10 10

max. 20 20 10 8 10 10

Spacing

- 21 -

Slika 12 – Detajl mreženja vtočnega dela in razcepnega kosa (Merilo 1,0 m)

- 22 -

Slika 13 – Detajl mreženja desne cevi z loputo (Merilo 2,0 m)

Slika 14 – Detajl mreženja desne cevi z loputo (Merilo 1,0 m)

- 23 -

Slika 15 – Detajl mreženja področja za loputo (Merilo 0,2 m)

Slika 16 – Detajl mreženja področja za loputo (Merilo 0,04m)

3.2 Določitev robnih pogojev (Boundary conditions)

Robni pogoji so skupek lastnosti posamezne domene potrebnih za opis simulacije toka.

Dobro zastavljen model mora imeti primerno postavljena področja in robne pogoje.

Program ANSYS CFX – Pre uporablja koncept domen (mejnih površin oz. področij) s katerimi

se določijo lastnosti posameznih domen ali področij modela. Domene so področja v prostoru, v

katerih program rešuje prej navedene enačbe o ohranitvi.

Model razcepne cevi je razdeljen v naslednje glavne domene (področja):

- Domena tekočina (celoten model)

- Vtok

- Iztok

- Cev

- Loputa

Vtok / iztok:

V predstavljenem primeru je uporabljena najrobustnejša shema, ki upošteva masni pretok na

vtoku ter statični tlak na iztoku. Vtok je področje vstopa tekočine. Hitrost na vtoku je 0 m/s kar

sicer ni res, zato pa je vstopna cev podaljšana, da se lahko razvije ustrezen tokovni profil v

celoti.

Na vtoku je predpostavljena tudi srednja intenziteta turbulence (Medium intensity = 5%) kar

predstavlja 5% intenzitete pri vrednosti k (kinetična energija turbulence – glej poglavje 2.1.7)

Tabela 2. – opis lastnosti domene tekočina za model hlace10b

Domena – Tekočina

Vrsta Tekočina

Položaj B66

Materiali

Voda

Podatki o tekočini Knjižnica materialov

Morfologija Konstantna tekočina

Nastavitve

Model plovnosti Ni plovno

Pomik tekočine Stacionarna

Referenčni tlak 1,0000e+00 [atm]

- 25 -

Model prenosa toplote Izotermičen

Temperatura tekočine 1,0000e+01 [C]

Turbulentni model k - epsilon

Funkcija turbulence na steni »prilagodljiva«

Iz tabele 2 je razvidno, da je uporabljen turbulentni model k – ε z dodatno funkcijo turbulence

na steni cevi imenovano »Scalable«, ki omogoča sistematično prilagoditev mreže pri uporabi

standardne funkcije. Standardna funkcija turbulence na steni je zasnovna na predpostavki, da se

prvo vozlišče mreže izven stene (prva integracijska točka) nahaja v logaritmičnem delu profila

hitrosti – Slika 17.

Slika 17 – logaritmičen profil hitrosti

Logaritmičen profil hitrosti zadovoljivo opisuje razporeditev hitrosti blizu stene, s čemer je

omogočen numeričen izračun strižnih napetosti v tekočini v funkciji hitrosti na določeni

oddaljenosti od stene.

- 26 -

Table 3. opis lastnosti domene Vtok, Iztok, Cev in Loputa

Domena Področja - Meje

Meja - Vtok

Vrsta VTOK

Položaj F68.66

Nastavitve

Smer toka Pravokotno na mejo vtoka

Vrsta toka Podzvočni

Masa in gibalna količina

Masni pretok

Masni pretok 5,0000e+03 [kg s^-1] (5 m3/s)

Turbulenca Srednje intenzitete in Eddy Viscosity razmerje

Meja - Iztok

Vrsta IZTOK

Položaj F62.66

Nastavitve

Vrsta toka Podzvočni


Statični tlak

Relativni tlak 0,0000e+00 [Pa]

Meja - Cev

Vrsta CEV

Položaj F67.66, F65.66, F64.66, F63.66,

Nastavitve


Stena brez zdrsa

Hrapavost stene Gladka stena

Meja - Loputa

Vrsta STENA

Področje

F61.66, F60.66, F59.66, F58.66, F56.66, F57.66, F55.66, F54.66, F53.66, F52.66, F51.66, F50.66, F49.66, F48.66, F47.66

Nastavitve


Stena brez zdrsa

Hrapavost stene Hrapava stena

Hrapavost 400 [mikronov]

- 27 -

Povzetek lastnosti in robnih pogojev:

Kot je razvidno iz tabele 3, so posamezne glavne karakteristike domen sledeče:

Vtok: določen je masni pretok 5000 kg/s (5m3/s) s smerjo toka pravokotno na mejo

vtoka

Iztok: tlak okolice na iztoku 0 (Pa)

Cev: gladka stena cevi, hitrost na steni cevi Ustena = 0

Loputa: stena lopute hrapavosti 400 (μm)

Pri obeh domenah Cev in Loputa je uporabljena funkcija »No slip wall« oz. stena brez zdrsa, ki

pomeni, da ima tekočina takoj ob steni enako hitrost kot stena sama, za katero je prevzeta

vrednost nič.

4 PREGLED KARAKTERISTIK SIMULIRANIH S

STACIONARNIM TOKOM

Glede na obliko modela ter tokovne razmere v cevi je zagotovo, da stacionarni tok v

obravnavanem modelu ne obstaja.

Izračun s stacionarnim tokom je narejen izključno z namenom preveritve hitrostnega profila in

tlačnih izgub, zato ker je izračun sam hitrejši in zahteva manj računalniških kapacitet.

Karakteristike toka pri simulaciji tokovnih razmer s stacionarnim tokom so prikazane na slikah

18. do 21.

Na sliki 19. je v področju za loputo razločno vidno tudi področje stacionarnega turbulentnega

toka.

Na sliki 20. so odčitane tudi skupne tlačne izgube, ki znašajo na prikazanem odseku cevi 2,3 x

104 Pa oz. cca. 0,2m.

- 28 -

Slika 18 – prikaz tokovnic hitrosti

Slika 19 – prikaz porazdelitve hitrosti (hitrostni profil) v ravnini

- 29 -

Slika 20 – skupne tlačne izgube

Slika 21 – tlačni profil v ravnini

- 30 -

5 NESTACIONARNI TOK

5.1 opis karakteristik in funkcij programa

V nadaljevanju so opisane posamezne funkcije in privzete nastavitve v programu ANSYS CFX-

Pre, uporabljene v izračunu turbulentnega modela, katerih rezultati so prikazani v zaključku.

5.1.1 Določitev potrebnih časovnih korakov analize

Izbran časovni korak računalniške analize mora biti dovolj majhen, da omogoča še zadovoljiv

opis sprememb v toku.

Skupen čas analize:

je določen glede na trajanje posameznih časovnih korakov analize in skupne kapacitete

računalniških zmogljivosti, ter je privzet na cca. 5 sekund.

Posamezen časovni korak :

Posamezen časovni korak je določen glede na hitrost vode L (delca vode) v desni cevi v

področju lopute, kjer pričakujem največji vpliv turbulence in dolžine posameznega delca

kontrolnega volumna. V področju lopute na izstopnem delu je mreža zgoščena na dolžino

povprečno 10mm. Povprečna hitrost delca vode v tem področju je cca. 2,0 m/s, izmerjena s

stacionarnim modelom:

sekundemm

mm

V

Lt 005,0

2000

10

Posamezen časovni korak ∆t je tako zaradi omejitev z računalniškim prostorom določen na 0,005

sekunde.

Skupni čas simulacije turbulentnega toka je določen na osnovi razpoložljive spominske

kapacitete računalnika za posamezen časovni korak. Preskus je pokazal, da je za eno datoteko

posameznega časovnega koraka ∆t=0,005 sek potrebno cca. 650Mb spominske kapacitete. Iz

tega podatka ter omejitev skupne kapacitete računalniškega spomina v velikosti 1 Tb sledi, da je

mogoče izvesti:

- 31 -

omaksimas

korakovčasovnihccaMb

Mb

ln69,7005,01538

1538.650

1000000

Skupni čas simulacije je tako privzet na 5 sekund.

5.1.2 Prenosna shema (Advection Scheme):

Uporabljena je shema »Visoke ločljivosti« (High Reslution), ki omogoča različne vrednosti

faktorjev po prostoru (domeni). Na območjih z nizkimi vzponi sprememb bo mešanica faktorjev

blizu 1,0 , v območjih nenadnimi sprememb pa bo mešanica faktorjev bliže 0,0.

5.1.3 Časovno odvisen izračun (Transient Scheme):

V tej shemi je mogoče določiti vrsto algoritma za diskretizacijo prehodnega člena (transient

term). Obstajata dve vrsti algoritma in sicer Eulerjeva povratna shema prvega reda, ki je

uporabljena v izračunu turbulentnega modela ter Eulerjeva povratna shema drugega reda.

Eulerjeva povratna shema prvega reda je implicitna koračna shema prvega reda natančnosti.

5.1.4 Kontrola konvergentnosti (Convergence criteria) :

Ostanek oz. velikost napake je mera lokalnega neravnotežja enačbe vsakega posameznega

kontrolnega volumna. Je najpomembnejša mera za oceno konvergence in je pokazatelj ali so bile

enačbe uspešno rešene. V uporabljenem programu so lahko ostanki prikazani kot maksimalne

vrednosti ali kot RMS normalizirane vrednosti. Program priporoča ciljne vrednosti ostanka,

glede na zahtevnost naloge.

V pričujoči nalogi je za cilj velikosti ostanka postavljena vrednost: RMS = 10-5

.

- 32 -

Slika 22 – konvergenca

6 REZULTATI TURBULETNEGA MODELA

6.1 Hitrostne razmere

Prikaz razvoja turbulentnih območij v cevi je prikazan na slikah 23 do 28 v nadaljevanju ter na

filmu v prilogi naloge. Slike prikazujejo razvoj turbulentnega območja za loputo v prečni smeri

ter vzdolžni smeri v časovnih korakih po 0,5 sekunde.

- 33 -

Slika 23 – čas 0,5 sek

- 34 -


- 35 -


- 36 -


- 37 -


- 38 -


- 39 -

6.2 Diskusija rezultatov

Iz prikazanih rezultatov analize nestacionarnega toka je zelo dobro vidno področje razvoja

turbulentnega toka za loputo oz. nestacionarnost, ki opiše odtrganje mejne plasti in ki se

nadaljuje kot Von Karmanova vrtinčna sled (slike 23 do 28).

Rezultati analize nestacionarnega toka v primerjavi z rezultati pridobljenimi s stacionarnim

izračunom so tudi primerljivi glede obsega turbulentnega področja oz. dolžine in širine

vrtinčnega območja (Slika 29.)

Slika 29 – levo stacionarni izračun, desno nestacionarni izračun

Iz navedenega lahko sklepamo, da bi bilo za doseganje cilja te naloge, to je »s pomočjo

računalniške simulacije preveriti in prikazati dinamične tokovne razmere v celotnem razcepnem

kosu posebej pa področje v delu cevi za loputo ter tokovne razmere v delu cevi pred vtokom v

turbino z namenom eventualne optimizacije geometrije razcepnega kosa«

kot navedeno v točki 1.2, dovolj če bi uporabili dovolj natančno analizo stacionarnega toka.

Takšna analiza bi bila nedvomno bistveno hitrejša in tako tudi cenejša.

Iz opravljene analize z nestacionarnim tokom pa so opazne tudi določene pomanjkljivosti

modela. Kot je razvidno na slikah 26 do 28, konec področja turbulentnega toka sovpada

približno z mestom, kjer se nahaja tudi lokalna zgostitev mreže prikazana na slikah 14 in 15 za

loputo. Iz tega lahko sklepamo, da tako ni vidno celotno vplivno območje turbulence za loputo

ter, da bi bilo potrebno povečati področje lokalne zgostitve mreže.

- 40 -

7 SKLEP

V pričujoči nalogi smo z računalniško simulacijo toka tekočine v cevi realnih dimenzij prikazali

dinamične tokovne razmere v celotnem razcepnem kosu posebej pa področje v delu cevi za

loputo ter razmere v delu cevi pred vtokom v turbino.

Iz rezultatov analize nestacionarnih tokovih razmer je razvidno, da področje razvoja

turbulentnega toka za loputo oz. nestacionarnost, ki opiše odtrganje mejne plasti in ki se

nadaljuje kot Von Karmanova vrtinčna sled ne sega do dela cevi pred vtokom v turbino ter, da je

geometrijska razcepnega dela cevovoda ustrezna.

Iz primerjave rezultatov analize stacionarnega toka in rezultatov analize nestacionarnega toka

smo lahko zaključili, da se rezultati bistveno ne razlikujejo. Področje vpliva turbulentnega toka

je vidno v obeh analizah in je po velikosti primerljivo, kar nakazuje, da bi bilo za kasnejše

ponovne ali dodatne analize dovolj tudi, če bi uporabili samo analizo stacionarnega toka, ki je

bistveno hitrejša istočasno pa bi lahko povečali tudi število elementov v delu za loputo ter tako

odpravili opažene pomanjkljivosti modela.

- 41 -

8 SEZNAM UPORABLJNEIH VIROV

[1] Leopold Škerget; Mehanika tekočin , 1994

[2] Leopold Škerget; Computational Fluid Dynamic – the boundary element method , 2008

[3] Bruce R.Munson, Donald F.Young, Theodore H.Okiishi; Fundametals of Fluid

Mechanics, 1990

[4] Navodila za uporabo računalniškega programa: ANSYS Workbench 2.0 Framework

verzija 12.0.1

[5] Derivation of Continuity Equitation and The Reynolds Transport Theorem (svetovni

splet). Dostopno na WWW: http://pleasemakeanote.blogspot.com/2008/09/derivation-of-

navier-stokes-equations.html (20.11.2011)

http://pleasemakeanote.blogspot.com/2008/09/derivation-of-navier-stokes-equations.html

http://pleasemakeanote.blogspot.com/2008/09/derivation-of-navier-stokes-equations.html

nestacionarni tok tekoČine v cevi z · turbulentni tok, cfd računalniška dinamika tekočin,...

Documents