Netradicní dukaz Eulerovy vetyo mnohostenech

Antonín SlavíkKatedra didaktiky matematiky MFF UK

50. výrocí KDM MFF UK30. zárí 2015

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Eulerova veta o mnohostenech

Pro každý konvexní mnohosten platí:

pocet vrcholu + pocet sten = pocet hran + 2

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Príklady

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Strucná historie Eulerovy vety

kolem 1630: Descartesova veta o souctu hranovýchúhlu v mnohostenu1750: Euler v dopise Goldbachovi zminuje vzorecH + S = A + 2, neumí jej dokázat1751: Euleruv kombinatorický induktivní dukaz(odrezávání ctyrstenu) – nekorektní1794: Legendre publikuje první správný dukaz1813: Cauchy dokazuje Eulerovu vetu pro rovinné grafy,veta o mnohostenech je jednoduchým dusledkem

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Hlavní kružnice a sférické mnohoúhelníky

Hlavní kružnice na sfére = kružnice, kteráje prunikem sféry s rovinou procházejícístredem sféry

Sférický mnohoúhelník = útvar na sféreohranicený oblouky hlavních kružnic

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Obsah sférického dvojúhelníku

Sférický dvojúhelník = cást sféry ohranicená dvema hlavnímipolokružnicemi

obsah sférického dvojúhelníkuobsah sféry

=a

2π

Na jednotkové sfére:

obsah sférického dvojúhelníku = 2a

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Obsah sférického trojúhelníku na jednotkové sfére

S(ADE) + S(AGH) = 2aS(BFG) + S(BDI) = 2bS(CHI) + S(CEF ) = 2c

S(ADE)+S(AGH)+S(BFG)+S(BDI)+S(CHI)+S(CEF ) = 2(a+b+c)

obsah hemisféry + 2S(ABC) = 2(a + b + c)

S(ABC) = a + b + c − π

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Obsah sférického n-úhelníku (1)

Obsah sférického n-úhelníku na jednotkové sfére, jehož vnitrníúhly mají velikosti a1, . . . ,an, je a1 + · · ·+ an − (n − 2)π.

Dukaz rozdelením n-úhelníku na n − 2 trojúhelníku:

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Obsah sférického n-úhelníku (2)

S = a1 + · · ·+ an − (n − 2)π= a1 + · · ·+ an − nπ + 2π

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Dukaz Eulerovy vety (1)

Dán konvexní mnohosten; predpokládejme, že jej lzeumístit do jednotkové sféry tak, aby stred sféry ležel uvnitrmnohostenu.Stredové promítání ze stredu sféry: hrany precházejív oblouky hlavních kružnic, sféra rozdelena na sférickémnohoúhelníky.

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Dukaz Eulerovy vety (2)

obsah jednotkové sféry = soucet obsahu sférických mnohoúhelníku

4π = 2π · pocet sten− π · 2 · pocet hran + 2π · pocet vrcholu

2 = pocet sten− pocet hran + pocet vrcholu

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Hvezdicove konvexní mnohosteny

Pozorování (Louis Poinsot, 1809):Konvexita není nezbytná, Legendreuv dukaz funguje i prohvezdicove konvexní mnohosteny.

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Golf, chemie a fotbal

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Petiúhelníku je vždy dvanáct

Steny mnohostenu jsou pouze petiúhelníkové nebošestiúhelníkové.Každá hrana je spolecná pro dve steny.V každém vrcholu se stýkají tri steny.

P = pocet petiúhelníku, H = pocet šestiúhelníku

pocet sten = P + H,

pocet hran =5P + 6H

2,

pocet vrcholu =5P + 6H

3Eulerova veta:

P + H +5P + 6H

3=

5P + 6H2

+ 2 ⇒ P = 12

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech

Literatura

David S. Richeson, Euler’s gem. The polyhedron formulaand the birth of topology, Princeton University Press, 2008.Jirí Matoušek, Jaroslav Nešetril, Kapitoly z diskrétnímatematiky, Karolinum, Praha, 2002.Stanislav Horák, Mnohosteny, Škola mladýchmatematiku 27, Mladá fronta, Praha, 1970.http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/403721

David Eppstein, Twenty Proofs of Euler’s Formula:V − E + F = 2.http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/

Antonín Slavík Netradicní dukaz Eulerovy vety o mnohostenech