Network model

2

프로젝트 관리

프로젝트

특정한 성과를 얻기 위해 수행하는 사업으로서 ,

일련의 세부활동으로 구성된다 .

프로젝트 관리

하나의 프로젝트를 체계적으로 계획 , 조직 ,

통제하는 것

3

프로젝트 네트워크 CPM(Critical path Method) 프로젝트내 활동들의 소요시간이 확정적인 경우 사용

PERT(Project Evaluation and Review Technique) 활동들의 소요시간에 대한 추정이 불확실한 경우에 사용

기법 적용 순서 1. 프로젝트 수행에 필요한 세부활동들을 정의 2. 활동들간의 순서를 파악하며 , 활동들을 수행하는데 소요되는 시간을 추정 3. 이를 바탕으로 프로젝트 네트워크를 작성

4

사무실 개설 프로젝트 (예제 )

5

사무실 개설 프로젝트 네트워크• 노드 (node) : 개별활동을 표시

완료노드가 여러 개인 경우 가상 완료노드를 도입

• 아크 (arc) : 활동들간의 선후관계를 표시 , 선행활동이 완료된

후에 다음 활동이 수행될 수 있음 .

6

프로젝트 네트워크 구성방법

• 프로젝트를 구성하고 있는 모든 활동들을 규명하고 정의한다 .

• 정의된 활동들간 선후관계를 파악한다 .

• 프로젝트 네트워크를 구성한다 .

- 각 활동들을 노드에 대응시킨다 .

- 각 활동들간 선후관계는 아크에 의해 표시한다 .

- 프로젝트 네트워크를 구성하는데 있어서 , 시작노드와

완료노드는 오직 하나씩만 존재하도록 한다 .

7

CPM 에 의한 프로젝트 관리 ( 예제 )

8

기지국 설치 프로젝트에 대한프로젝트 네트워크

9

주경로 (critical path)

• 주경로 : 전체 프로젝트가 완료되는 가장 빠른 시간

가장 긴 경로의 소요시간

• 주공정활동 : 주경로상의 활동들

10

전진방향 분석(forward pass analysis)

관련용어ESi : 활동 i 의 가장 빠른 시작시간 (Earlist Start)EFi : 활동 i 의 가장 빠른 완료시간 (Earlist Finish)ti : 활동 i 의 소요시간

EFi 와 ESi 의 관계 : EFi = ESi + ti

ESF = max{EFB, EFD} = max(15,24)=24

선행활동이 2 이상인 경우 ( 활동 F 의 경우 ), 모든 선행활동이 완료된 후 ,

활동이 시작되므로 가장 빠른 완료시간 중 큰 값이 선택된다 .

EFF = ESF+tF = 24+7 = 31

11

전진방향 분석

• 최초 활동들의 가장 빠른 시작시간은 0으로 설정한다 .

• 최초 활동을 제외한 나머지 각 활동의 가장 빠른 시작시간은

선행활동들의 가장 빠른 완료시간 중 가장 큰 값으로 설정한다 .

• 각 활동들의 가장 빠른 완료시간은 그 활동의 가장 빠른

시작시간에 활동 소요시간을 더해서 구한다 .

12

전진방향 분석

13

후진방향 분석(backward pass analsys)

관련용어LSi : 활동 i 의 가장 늦은 시작시간 (Latest Start)LFi : 활동 i 의 가장 늦은 완료시간 (Latest Finish) ( 각각 프로젝트의 전체 일정을 지연시키지 않으면서 )

• LSi 와 LFi 의 관계 : LSi = LFi – ti• 어떤 활동의 가장 늦은 완료 시간은 후속활동의 가장 늦은

시작시간이다 .

• LFD = min(LSE, LSF, LSG) = min(24, 28, 25)=24

후속활동이 여러 개인 경우 ( 활동 D 의 경우 ), 모든 후속활동들의 가장 늦은 시작시간들 중 가장 빠른 시간 안에 활동이 완료되어야 한다 .

14

후진방향 분석• 프로젝트의 마지막 활동에 대한 가장 늦은 완료시간은 전진방향

분석을 통해 얻은 마지막 활동의 가장 빠른 완료시간으로 설정한다 .

• 마지막 활동을 제외한 나머지 각 활동의 가장 늦은 완료시간은

그 활동의 후속활동들의 가장 늦은 시작시간들 중 제일 작은 값으로

설정한다 .

• 각 활동들의 가장 늦은 시작시간은 그 활동의 가장 늦은 완료시간에서

활동 소요시간을 빼서 구한다 .

15

후진방향 분석

16

프로젝트 네트워크 상에서의전진 및 후진방향 분석

17

주경로 (critical path) 분석

주경로가장 빠른 시작시간과 가장 늦은 시작시간이 동일한 (또는 가장 빠른 완료시간과 가장 늦은 시작시간이 동일한 ) 활동주경로상의 활동에 지체가 발생하면 프로젝트 전체 일정의 지체를 가져온다 .

( O→A→D→E→I : 각각의 활동은 주공정활동 )

• ESi=LSi( 또는 EFi=LFi) 이면 , 활동 i 는 주공정활동이다.

• 프로젝트 네트워크의 시작노드에서 완료노드까지

주공정활동으로만 이루어진 경로를 주경로라 한다 .

18

여유시간 (slack time)

• 활동 i 의 여유시간 STi 는 가장 늦은 시작시간에서

가장 빠른 시작시간을 뺀 값 또는 가장 늦은 완료시간에서

가장 빠른 완료시간을 뺀 값이다 .

• STi=LSi-ESi 또는 STi=LFi-EFi

• 여유시간만큼 늦게 시작해도 프로젝트 전체 완료일정에

지장을 주지 않는다 .

19

여유시간 (slack time)

• 모든 주공정활동의 여유시간은 0 이다 .

• 예를 들어 활동 C 의 여유시간 STc = 5 이므로

활동 C 의 활동개시를 가장 빠른 시작시간 (0) 보다 5 일을

늦추어서 시작해도 , 프로젝트 전체 완료일정 (48 일 ) 에

지장이 없다 .

20

선형계획법 (LP) 에 의한 CPM 분석가장 빠른 시작 시간 (ES) 을 구하는 LP 모형

• 관련식 : EFi = ESi+ti, LFi = LSi+ti

• 결정변수 xi : 활동 i 의 시작시간

Min z = xA+xB+…+xI

s.t. xD≥xA+6 xE≥xD+18

xF≥xB+15 xF≥xD+18

xG≥xC+20 xG≥xD+18

xH≥xF+7 xH≥xG+10

xI≥xE+19 xI≥xH+8

xi≥0 모든 i

21

선형계획법 (LP) 에 의한 CPM 분석

• 프로젝트 네트워크의 아크들의 수 만큼 제약조건식이

생성된다 .

• 가상 완료노드와 연결된 아크들도 제약조건식을

구성하는데 포함된다 .

참고 ) 그림 8-5

22

가장 빠른 시작시간을 구하기 위한 엑셀입력모형

셀 G6 : VLOOKUP(F6,$A$6:$C$14,3)-VLOOKUP(E6,$A$6:$C$14,3)

셀 H6 : VLOOKUP(E6,$A$6:$B$14,2)

값을 바꿀 셀 : C6:C14 목표셀 : C15

23

해찾기 모델설정

24

최 적 해

25

가장 늦은 시작시간을 구하는 LP 모형

Max z=xA+xB+…+xI

s.t. xD≥xA+6 xE≥xD+18

xF≥xB+15 xF≥xD+18

xG≥xC+20 xG≥xD+18

xH≥xF+7 xH≥xG+10

xI≥xE+19 xI≥xH+8

xI=43

xi≥0 모든 i

• 차이점

- 목적함수식을 최대화

- 최종활동의 가장 늦은 시작시간은 앞서 구한 해당

활동의 가장 빠른 시작시간과 동일하다는 제약 추가

26

가장 늦은 시작시간을 구하기 위한 엑셀입력모형

셀 G6 : VLOOKUP(F6,$A$6:$C$14,3)-VLOOKUP(E6,$A$6:$C$14,3)

셀 H6 : VLOOKUP(E6,$A$6:$B$14,2)

값을 바꿀 셀 : C6:C14 목표셀 : C15

27

해찾기 모델설정

28

최 적 해

29

CPM 의 시간 / 비용 분석

대개의 프로젝트는 각 활동에 비용을 더 투입하여 인력과 장비를 보강함으로써 활동 소요시간을 줄일 수 있다 . 그리고 비용추가에 따라 각 활동들의 소요시간을 단축하게 되면 , 전체 프로젝트를 원하는 기간 내에 완료할 수 있다 .

CPM 의 시간 / 비용 분석최소의 비용 추가로 원하는 기한 내에 전체 프로젝트를 완료하기 위해 각 활동 소요시간을 얼마만큼 단축해야 하는가를 결정

30

CPM 의 시간 / 비용 분석

• 정상점 : 활동이 추가비용 없이 정상적으로 수행되었을 때

소요되는 시간과 비용

• 속성점 : 비용을 추가로 들여 활동에 소요되는 시간을

최대한 줄였을 때의 시간과 비용

31

CPM 의 시간 / 비용 분석 ( 예제 )

32

수학적 모형 결정변수 xi = 활동 i 의 시작 시간 (i = A,…, I) yi = 활동 i 의 단축 시간 (i = A,…, I)

목적함수 Min z = 200yA+100yB +80yC +150yD +200yE +150yF

+100yG + 100yH + 150yI

33

수학적 모형 제약조건식 xD≥xA+(6- yA) xE≥xD+(18- yD) (1) 선행활동 완료후 활동 시작

xF≥xB+(15- yB) xF≥xD+(18- yD)

xG≥xC+(20- yc) xG≥xD+(18- yD)

xH≥xF+(7- yF) xH≥xG+(10- yG)

xI≥xE+(19- yE) xI≥xH+(8- yH)

yA ≤ 1, yB ≤ 2, yC ≤ 5, yD ≤ 3, yE ≤ 3, yF≤ 2, yG ≤ 2, yH ≤ 3, yI ≤ 2 (2) 최대 단축가능 시간

xi +(5-yI ) ≤40 (3) 마지막 활동 I 의 완료시간은 40 일 이하

xi ≥ 0, yi ≥ 0, i=A, B, …, I

34

엑셀 입력 모형

35

해 찾기 모델 설정

36

최 적 해

37

PERT 에 의한 프로젝트 관리

• 프로젝트를 구성하는 세부활동들의 소요시간이 확정적으로 알려져

있지 않는 경우 적용 ( 신규 프로젝트 )

• 각 활동들의 소요시간이 베타분포 (ß distribution) 를 따르는 것으로

가정하여 분석

• 활동 i 의 소요시간이 ti 인 경우 , 베타분포에서는 3 가지 시간추정치를

사용하여 소요시간 ti 에 대한 기대값과 분산을 구한다 .

ai : 활동 i 의 가장 낙관적인 소요시간

mi : 활동 i 의 최빈 소요시간

bi : 활동 i 의 가장 비관적인 소요시간

• 활동 i 의 소요시간 ti 의 기대값과 분산

38

PERT 예제 ( 예제 )

프로젝트가 21 주이내에 완료될 확률 구하기

39

엑셀을 통한 휴대폰 개발 / 사업성 분석 프로젝트

계산된 활동별 소요시간을 이용하여 CPM 과 동일한 방법으로 주경로 및 주공정활동 조사

주경로 : A → C → D → G → J

40

전체프로젝트의 기대값과 분산

전체 프로젝트를 완료하는데 소요되는 시간을 T 라고 하면 T 의 기대값 E(T) 는 주경로상의 주공정활동들의 기대 소요시간의 합이다.

활동들의 소요시간이 서로 독립적이라는 가정하에 T 의 분산은 주경로상의 주공정활동 시간들의 분산의 합과 같다 .

41

경로별 소요시간 기대값 및 분산

분산이 클수록 활동들의 소요시간에 대한 추정의 불확실성이 크다 .

42

프로젝트가 특정기간안에 완료될 확률값

• 프로젝트의 전체 소요시간 T 는 정규분포 (Normal Distribution) 를

따른다 .

• 전체 프로젝트가 21 주 안에 완료될 확률 (P491 참고 )

43

프로젝트 소요시간의 확률분포