METODE KONANIH ELENMENATA I KONANIH RAZLIKANeven Ukrainczyknukrainc@fkit.hr

Zagreb, travanj 2003. Kolegij: Matematike metode u kemijskom inenjerstvu Sveuilite u ZagrebuFakultet kemijskog inenjerstva i tehnologije

u(x) = a + b x + c x2+ d x3+..., Distribucija temperature u(x) po duljini ipke. Polinomska funkcijska veza naena metodom najmanjih kvadrata neprihvatljive oscilacije izmeu toaka.I BAZNE FUNKCIJE KONANIH ELEMENATA

a) Izmjerena temperatura u u ovisnosti o duljini luka s.b) Podjela domene na tri elementa u kojima linearni polinomi opisuju ovisnost.

Linearne bazne funkcije

-zamjena parametara s vrijednostima funkcije u na granicama elemenata: gdje je (0 1) normalizirana mjera udaljenosti na krivulji.

Linearne bazne funkcije

Odnos globalnih i lokalnih vorova.

Izmjereno temperaturno polje opisano vornim parametrima i linearnim baznim funkcijama, koje je sad neprekinuto na spojitima elemenata.

Bazne funkcije teinske funkcije Bazne funkcije se mogu smatrati kao teinske funkcije vornog parametra:

(a)...(b) Teinske funkcije n pridodijeljene globalnim vorovima n = 1...4.

Veza u i x preko normalizirane kordinate elementa .

Kvadratna bazna funkcija

za kvadratnu ovisnost u na elementu su potrebna tri vorna parametra u1, u2 i u3 :

Jednodimenzionalne kvadratne bazne funkcije

Dvodimenzionalna bilinearna bazna funkcija (linearna na 1 i 2 koordinati) je konstruirana od produkta prije navedenih jednodimenzionalnih linearnih funkcija:gdje je

Dvodimenzionalne bilinearne bazne funkcije.

II STACIONARNO VOENJE TOPLINE Jednodimenzionalno stacionarno voenje topline Iz jednostavne bilance topline infinitezimalnog dijela materijala dobivamo:Promjena toplinskog fluksa = generacija topline

gdje je u temperatura, x duljina tapa, gubitak topline i k toplinska vodljivost (W/(moC)).

Razmotrimo sluaj q = u s graninim uvjetima: u(0) = 0 i u(1) = 1. Ova jednadba (uz k = 1) ima egzaktno rjeenje

Da bi rijeili jednadbu metodom konanih elemenata potrebni su ovi koraci:Pisanje jednadbe u integralnom obliku.Parcijalna integracija (1D) ili koritenje Greenovog teorema (2D i 3D) za sniavanje reda derivacije.Aproksimacija temperaturnog polja konanim elementima.Integracije na elementima za izraunavanje elementna matrice toplinske vodljivosti i vektora toplinskog toka.Slaganje globalne jednadbe.Primjena graninih uvjeta.Rjeenje globalne jednadbe.8. Izraunavanje toplinskih tokova.

1. Integralna jednadba gdje je R ostatak

2. Parcijalna intergracija Supstitucijom u= i u formulu za parcijalnu integraciju:

3. Aproksimacija konanim elementima Podjelimo domenu 0 < x < 1 na tri jednaka elementa i zamjenimo kontinuiranu veliinu u(x) na svakom pojedinom elementu parametarski zadanom aproksimacijom konanih elemenata: gdje su

Za test funkciju biramo = m (Galjerkinova pretpostavka) To prisiljava da ostatak R bude okomit na bazne funkcije gdje je Jacobijeva determinanta za transformaciju iz x-koordinata u -koordinate.

4. Integracije na elementima gdje je Iz odnosa, x: = 1:3, Jacobian je

Da izraunamo Emn, uvrstimo bazne funkcije:

5. Slaganje globalne jednadbe Redovi globalne matrice su formirani od globalnih teinih funkcija

Slaganjem dobivamo (k = 1): = Vektor toplinskog toka

Slino, za vor 2 i 3:

Sastavljanjem tih globalnih jednadbi dobiva se ili

6. Granini uvjeti Granini uvjeti su primijenjeni direktno na prvi i zadnji vor

7. Rjeenje Rjeenje sustava jednadbi je: U2 = 0.2885 U2 egz= 0.2882

U3 = 0.6098U2 egz = (0.6102)

8. Toplinski tokovi Toplinski tokovi za vor 1 i 4 su izraunati uvrtenjem vornih rjeenja U1 = 0, U2 = 0.2885, U3 = 0.6098 i U4 = 1Rjeenje 1D voenja topline metodom konanih elemenata.

III NEUSTALJENO VOENJE TOPLINE Metoda konanih razlika Eksplicitni oblik Neustaljeno jednodimenzionalno voenje topline: gdje je k toplinska vodljivost, a u = u(x,t) temperatura, uz granine uvjete U(0,t) = u0 i u(L,t) = u1 i poetne uvjete u(x,0) = 0

Mrea konanih razlika za rjeavanje nestacionarnog 1D voenja topline. Jednadba je centrirana na vor mree (i,n) oznaen kruiem. Podruje ve poznatog rjeenja do n-tog koraka je lagano osjenano.

gdje predstavlja sve ostale izraze u Taylorovom redu.

Stabilnost rjeenja

Analitika i numerika rjeenja nestacionarnog 1D voenja topline prikazuju efekt veliine x i t.

gdje je u temperatura (ili koncentracija), advektivni transport (u sluaju konvekcijskog prijenosa topline) sa poljem brzina v, k je koeficijent toplinske vodljivosti (ili koeficijent difuzije) a f je izraz za izvor (generaciju). Nestacionarna advekcijsko-difuzijska jednadba prijenosa:

Advekcio-difuzijski odziv na jedinini impuls. x = 0.1, t = 0.001 s za 0