new Υυσική Γ’ Λυκείου Κύματα ΤΜΒΟΛΗ...

Υυσική Γ’ Λυκείου -Κύματα

Νίκος Κυριαζόπουλος - Υυσικός 1

ΤΜΒΟΛΗ ΚΤΜΑΣΩΝ

2. 1 ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΣΗ ΤΜΒΟΛΗ – ΑΡΦΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ

Ορισμός

Ένα από τα πιο σημαντικά κυματικά φαινόμενα είναι αυτό της συμβολής. Με τον όρο

συμβολή στην φυσική εννοούμε τη ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσότερων κυμάτων στην ίδια

περιοχή ενός ελαστικού μέσου ή ακόμη και του κενού ( βλ. ηλεκτρομαγνητικά κύματα).

Η μελέτη της συμβολής δύο κυμάτων βασίζεται στην αρχή της επαλληλίας σύμφωνα με την οποία:

«Όηαν ζε ένα μέζο διαδίδονηαι δύο ή περιζζόηερα κύμαηα η απομάκρσνζη ενός ζημείοσ ηοσ ελαζηικού μέζοσ

είναι ίζη με ηη ζσνιζηαμένη ηων απομακρύνζεων ποσ οθείλονηαι ζηα επί μέροσς κύμαηα».

Φρήσιμες πληροφορίες

Σα κύματα που διαδίδονται στο ίδιο μέσο, δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Κάθε κύμα

διαδίδεται σαν να μην υπήρχε το άλλο.

Η συνεισφορά κάθε κύματος στην απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου είναι ανεξάρτητη

από την ύπαρξη του άλλου κύματος.

Η αρχή της επαλληλίας παραβιάζεται μόνο όταν τα κύματα είναι τόσο ισχυρά ώστε να

μεταβάλλουν τις ιδιότητες του μέσου στο οποίο διαδίδονται (όταν οι δυνάμεις που ασκούνται στα

σωματίδια του μέσου δεν είναι ανάλογες της απομάκρυνσης).

Σέτοιες περιπτώσεις όπου δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας,

έχουμε στα κύματα που δημιουργούνται από μια έκρηξη.

Σα κυματικά φαινόμενα που απαντούν στη φύση είναι

συνήθως αρκετά σύνθετα. Ένα σύνθετο κύμα μπορούμε να

το θεωρήσουμε ως αποτέλεσμα της επαλληλίας ενός αριθμού

αρμονικών κυμάτων, με επιλεγμένα πλάτη και μήκη κύματος.

2. 2 ΤΜΒΟΛΗ ΔΤΟ ΚΤΜΑΣΩΝ ΣΗΝ ΕΠΙΥΑΝΕΙΑ ΤΓΡΟΤ

Η ςυμβολή είναι ένα ςημαντικό

κυματικό φαινόμενο ςτο οποίο

η αρχή τησ επαλληλίασ παίζει

καθοριςτικό ρόλο.



Η μελέτη του φαινομένου της συμβολής, γίνεται στη περίπτωση αυτή με τη βοήθεια

όμοιων αρμονικών κυμάτων (που κατά προσέγγιση θεωρούνται εγκάρσια και τα μόρια του νερού

ταλαντώνονται στη ίδια κατακόρυφη διεύθυνση ) στην επιφάνεια νερού.

Σα κύματα προκαλούνται στην επιφάνεια νερού

από δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 . Tα κύματα

αυτά διαδίδονται προς κάθε κατεύθυνση της

επιφάνειας του υγρού με την ίδια ταχύτητα u.

Θεωρούμε ακόμη, οι πηγές ταλαντώνονται χωρίς

αρχική φάση 0 & y2 = 0 και υ2 > 0 και το ότι έχουν το

ίδιο πλάτος ταλάντωσης.

Έστω ότι ένα τυχαίο σημείο Μ του μέσου στο

οποίο διαδίδονται ταυτόχρονα τα κύματα που

προέρχονται από τις πηγές Π1 και Π2 , απέχει από

αυτές αποστάσεις r1 και r2 με r1 > r2 .

Πρώτα θα φτάσει στο σημείο Μ το κύμα από τη

πηγή Π2 σε χρόνο t2 = r2/u ενώ στη συνέχεια από την πηγή Π1

σε χρόνο t1= r1/u.

‘Ετσι για κάποιες χρονικές στιγμές t με t < t2 το

σημείο Μ θα είναι ακίνητο αφού κανένα κύμα δεν θα έχει

φθάσει ακόμη στο σημείο .

Μια τυχαία χρονική στιγμή t με t2 ≤ t< t1 θα έχει φτάσει το κύμα μόνο από την πηγή

2 στο σημείο Μ και η απομάκρυνση του σημείου αυτού από τη θέση ισορροπίας του θα είναι :

)r

T

t(2y 2

2

εξαιτίας του δεύτερου κύματος

τη συνέχεια για τις χρονικές στιγμές t με t > t1 > t2 θα έχουν φτάσει και τα δύο

κύματα στο σημείο Μ και η απομάκρυνση του σημείου αυτού από τη θέση ισορροπίας του θα

είναι :

)r

T

t(2y 2

2

εξαιτίας του δεύτερου κύματος &

)r

T

t(2y 1

1

εξαιτίας του πρώτου κύματος

ύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η απομάκρυνση του σημείου αυτού από τη θέση

ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t θα είναι :

y = y1+y2

Δύο πηγέσ λέγονται σύγχρονες

όταν δημιουργούν ταυτόχρονα

μέγιςτα και ελάχιςτα, έχουν την ίδια

ςυχνότητα και ςυνεπώσ ςυνεχώσ την

ίδια φάςη

Δύο πηγέσ κυμάτων ονομάζονται

σύμφωνες , αν έχουν ςταθερή

διαφορά φάςησ.



Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι αποτέλεσμα της συμβολής των δύο αυτών κυμάτων

στο σημείο Μ είναι ταλάντωση ίδιας συχνότητας με αυτής των αρχικών και με πλάτος Α΄

που δεν είναι ίδιο για όλα τα σημεία .

Από τη διερεύνηση της σχέσης

2

22 21' rrAA

προκύπτει ότι η τιμή του πλάτους

εξαρτάται από την διάφορα |r1-r2| των αποστάσεων ή των

διαφορετικών δρόμων που ακολουθούν τα κύματα από τις

δύο πηγές για να φτάσουν στο σημείο συμβολής.

Η τιμή του πλάτους κυμαίνεται από μηδέν έως 2A (0≤

‘Α ≤ 2Α) ανάλογα με τη θέση του σημείου . Έτσι σε άλλα

σημεία ενισχύεται η μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση

ισορροπία και γίνεται μέγιστη 2Α (ονομάζουμε το

φαινόμενο ενίσχυση) , σε άλλα σημεία η απομάκρυνση

εξασθενεί το πλάτος γίνεται μηδεν (ονομάζουμε το φαινόμενο απόσβεση ) ενώ τέλος, σε αλλά

σημεία η απομάκρυνση παίρνει ενδιάμεσες τιμές.

Το αποτέλεςμα τησ ςυμβολήσ

κυμάτων από δύο ςύγχρονεσ

πηγέσ εξαρτάται από τη διαφορά

των αποςτάςεων |r1-r2| ενόσ

ςημείου του μέςου διάδοςησ από

τισ πηγέσ.



Αποδεικνύεται ότι τα σημεία των οποίων η διαφορά των αποστάσεων τους από τις πηγές είναι

ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος, ταλαντεύονται με μέγιστο πλάτος 2Α

(ενίσχυση).

𝑟1−𝑟2 = 𝛮𝜆 , 𝛮 = 0,1,2,… ή r1-r2 =Νλ με Ν=0,±1,±2,…

’ αυτή τη περίπτωση σ’ ένα σημείο του μέσου ένα θετικό μέγιστο «όρος» από το ένα κύμα θα

συναντά ένα άλλο θετικό μέγιστο «όρος» από το άλλο κύμα και θα δημιουργείται ένα «όρος» με

διπλάσιο πλάτος .

Ενώ τα σημεία των οποίων η διαφορά των αποστάσεων τους από τις πηγές είναι περιττό

πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος, ταλαντεύονται με μηδενικό πλάτος . Είναι

διαρκώς ακίνητα (απόσβεση).

𝑟1−𝑟2 = 2𝛮+1 𝜆

2 , 𝛮 = 0,1,2, … ή r1-r2 = (2Ν+1)λ/2 με Ν=0,±1,±2,…

Σότε σ’ ένα τέτοιο σημείο ένα θετικό μέγιστο «όρος» από το ένα κύμα θα συναντά ένα αρνητικό

μέγιστο «κοιλάδα» από το άλλο κύμα και το σημείο του υλικού μέσου θα είναι διαρκώς ακίνητο

(βλ. σχήμα).

Αν |r1-r2|= Ν∙λ έχουμε ενίςχυςη

Αν|r1-r2|= (2Ν+1)λ/2 έχουμε απόςβεςη



Είδος συμβολής σε σημείο του μέσου διάδοσης

Για να εξετάσουμε το είδος της συμβολής σε ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου όπου

συμβάλλουν δύο σύμφωνα κύματα , δηλαδή για καταλήξουμε αν έχουμε ενίσχυση ή απόσβεση,

μπορούμε να ακολουθήσουμε τις παρακάτω μεθόδους:

Α΄ τρόπος

Από τη σχέση του πλάτος

2

22 21' rrAA

και με αντικατάσταση των δεδομένων μας στις

αποστάσεις r1 και r2 και του μήκους κύματος λ υπολογίζουμε το πλάτος και το είδος της

συμβολής έχουμε στο σημείο αυτό.

Β΄ τρόπος

Διαιρούμε τη διαφορά των αποστάσεων |r1-r2| του σημείου Μ από τις δύο πηγές των κυμάτων με

το κοινό τους μήκος κύματος λ , οπότε:

i. Αν το πηλίκο λ

r-r 21 είναι ένας ακέραιος αριθμός, τότε στο σημείο Μ έχουμε

ταλάντωση με μέγιστο πλάτος Α΄ = 2Α (ενίσχυση).

ii. Αν το πηλίκο λ

r-r 21 είναι το μισό ενός ακέραιου περιττού αριθμού, τότε στο

σημείο Μ δεν έχουμε ταλάντωση (απόσβεση).

iii. Αν το πηλίκο λ

r-r 21 δεν είναι ούτε ακέραιος αριθμός ούτε το μισό ενός ακέραιου

περιττού αριθμού, τότε στο σημείο Μ δεν έχουμε ούτε ενίσχυση ούτε απόσβεση. την περίπτωση αυτή το πλάτος της ταλάντωσης υπολογίζεται με αντικατάσταση στη σχέση:

|)2λ

r-r(22|Α' 21

Παραδείγματα

1. Αν ένα σημείο απέχει απόσταση r1 = 4m από τη μια πηγή και απόσταση r2 =6m από την

δεύτερη πηγή και το μ.κ. των δύο κυμάτων είναι λ = 1m. Ακολουθώντας τα παραπάνω θα

έχουμε λ

r-r 21= Z

2

1

64

Άρα στο σημείο αυτό έχουμε ενίσχυση.

2. Αν ένα σημείο απέχει απόσταση r1 = 4m από τη μια πηγή και απόσταση r2 =7m από την

δεύτερη πηγή και το μήκος κύματος των δύο κυμάτων είναι λ = 2m. Ακολουθώντας τα

παραπάνω θα έχουμε λ

r-r 21=

2

3

2

74

Άρα στο σημείο αυτό έχουμε ενίσχυση.

Φρήσιμες πληροφορίες



Από τα μαθηματικά γνωρίζουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία ισχύει |r1-

r2| = σταθερό ,είναι υπερβολή. Επομένως τα σημεία στα οποία έχουμε ενισχυτική συμβολή και

τα σημεία στα οποία έχουμε απόσβεση, βρίσκονται πάνω σε υπερβολές που τις ονομάζουμε και

κροσσούς συμβολής με εστίες τις πηγές.

Στο παραπάνω ςχήμα ζχουν ςχεδιαςθεί επιφανειακά κφματα δφο πηγών που ςυμβάλλουν .Τα ςημεία τα

οποία ταλαντώνονται με μζγιςτο πλάτοσ 2Α βρίςκονται πάνω ςτισ ςυνεχόμενεσ υπερβολζσ. Τα ςημεία που

είναι ςυνεχώσ ακίνητα βρίςκονται πάνω ςτισ διακεκομμζνεσ υπερβολζσ.

‘Όλα τα σημεία που η διαφορά των αποστάσεων τους 21 r-r είναι ίση με μηδέν

(Ν=0 )βρίσκονται πάνω στη μεσοκάθετο του τμήματος Π1Π2 που ενώνει τις δύο πηγές.

Ενώ όλα τα σημεία που η διαφορά των αποστάσεων τους 21 r-r είναι ίση με λ/2 (Ν=0)

βρίσκονται στην 1η υπερβολή απόσβεσης δεξιά ή αριστερά της μεσοκαθέτου.

Σο σημείο Μ βρίσκεται στην 3η υπερβολή ενίσχυσης δεξιά της μεσοκάθετου

ΜΠ1-ΜΠ2=3λ

Σο σημείο Ν βρίσκεται στην 3η υπερβολή ενίσχυσης αριστερά της μεσοκαθέτου

ΝΠ1-ΝΠ2=-3λ

Σο σημείο Δ βρίσκεται στην 1η υπερβολή απόσβεσης αριστερά της μεσοκαθέτου

ΔΠ1-ΔΠ2=-1 𝜆

2



Αν με κάποιο τρόπο μεταβάλουμε τη διαφορά r1 – r2, των αποστάσεων από τις πηγές ενός

σημείου του μέσου στο οποίο συμβαίνει ενίσχυση κατά λ/2, στο σημείο θα έχουμε τώρα

απόσβεση αντί ενίσχυση (ή αντίστροφα από απόσβεση σε ενίσχυση).

Αν με κάποιο τρόπο μεταβάλουμε την διαφορά r1 – r2, των αποστάσεων από

τις πηγές ενός σημείου του μέσου στο οποίο συμβαίνει ενίσχυση κατά λ , στο σημείο θα

παραμείνει η ενίσχυση (ή αντίστροφα από απόσβεση σε απόσβεση).

Πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2 που ενώνει

τις δύο πηγές η απόσταση μεταξύ ενός σημείου

στο οποίο έχουμε ενίσχυση από ένα άλλο

διαδοχικό σημείο στο οποίο έχουμε απόσβεση

είναι λ/4. Ενώ η απόσταση μεταξύ ενός σημείου

στο οποίο έχουμε ενίσχυση( ή απόσβεση) από ένα

άλλο διαδοχικό σημείο στο οποίο έχουμε πάλι

ενίσχυση (ή απόσβεση ) είναι λ/2.

υμβολή, γενικότερα έχουμε κάθε φορά που δύο κύματα διαδίδονται στο ίδιο μέσο

ανεξάρτητα από το ποιες πηγές προέρχονται.

Όταν δύο «όροι- κορυφές» από τις δύο πηγές συναντιόνται σ’ ένα σημείο της επιφανείας του

νερού , τότε σχηματίζεται ένα διπλάσιου ύψους «όρος» . Έχουμε δηλαδή ενισχυτική συμβολή

.τη οθόνη του δοχείου κυματισμών (παρακάτω σχήμα) οι περιοχές αυτές αντιστοιχούν στις

φωτεινές περιοχές. Όταν ένα «όρος» συναντά μια κοιλάδα από άλλη πηγή, το νερό μένει

αδιατάρακτο, δηλαδή έχομε καταστροφική συμβολή και αυτές οι περιοχές φαίνονται λιγότερο

φωτεινές στην οθόνη του διπλανού σχήματος. Σέλος, όταν συναντιούνται δυο κοιλάδες στην

οθόνη θα σχηματισθεί μια πολύ σκοτεινή εικόνα.

Σο αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων στην επιφάνεια του νερού



Εξίσωση συμβολής

Αν σε μια άσκηση μας ζητείται η εξίσωση για την περίπτωση της συμβολής δύο αρμονικών

κυμάτων που προέρχονται από δύο σύγχρονες πηγές , σύμφωνα με τη γενική μορφή της εξίσωσης

2

r

T

t2

2

r22 2121 rr

Ay , θα πρέπει να μας είναι γνωστά ή να υπολογίσουμε από τα

δεδομένα της άσκησης τα παρακάτω στοιχεία:

το πλάτος Α των κυμάτων ,

τη περίοδο Σ ή τη συχνότητα f των κυμάτων και

το μήκος κύματος λ , τα οποία θα τα αντικαταστήσουμε στην παραπάνω εξίσωση .

Αν όμως μας είναι γνωστή η εξίσωση της συμβολής για ένα σημείο του ελαστικού μέσου στο

οποίο συμβάλλουν κύματα που προέρχονται από δύο σύγχρονες πηγές, μπορούμε εύκολα να

προσδιορίσουμε τα παρακάτω στοιχεία των αρχικών κυμάτων :

Σο πλάτος Α, την περίοδος T, τη συχνότητα f, το μήκος κύματος λ και την ταχύτητα

των κυμάτων u

και υπό προϋποθέσεις και τις αποστάσεις r1 & r2 τυχαίου σημείου από τις 2 πηγές

Για να προσδιορίσουμε τα στοιχεία αυτά εργαζόμαστε ως εξής :

Υέρνουμε τη δοθείσα εξίσωση του κύματος στην μορφή

2

r

T

t2

2

r22 2121 rr

Ay

υγκρίνουμε τα στοιχεία της διαμορφωμένης εξίσωση με αυτά στην γενική μορφή και εξισώνουμε

τους συντελεστές των ομοίων όρων για τους οποίους έχουμε γνωστά στοιχεία.

Κάνουμε χρήση των δεδομένων της άσκησης και από τις εξισώσεις που έχουν προκύψει

υπολογίζουμε τα άγνωστα μεγέθη.

Προσοχή ο σταθερός παράγοντας μπροστά από το συνημίτονο είναι ίσος με το διπλάσιο του

πλάτους των αρχικών κυμάτων.

Τπολογισμός απομάκρυνσης από θέση ισορροπίας σε σημείο στο οποίο

έχουμε συμβολή

Αν σε μια άσκηση ζητείται η απομάκρυνση ενός σωματιδίου του υλικού μέσου από τη θέση

ισορροπίας του που βρίσκεται σ’ ένα σημείο Μ και απέχει αποστάσεις r1 και r2 αντίστοιχα, από τις

πηγές Π1 και Π2 των δύο κυμάτων , θα πρέπει να κάνουμε την παρακάτω χρονική διερεύνηση.



Αρχικά υπολογίζουμε τους χρόνους t1 και t2 που χρειάζονται τα δύο κύματα για να διατρέξουν τις

αποστάσεις r1 και r2 .

Έστω ότι t2 < t1 δηλαδή πιο γρήγορα φτάνει το κύμα από τη δεύτερη πηγή. Σότε :

1. τις χρονικές στιγμές για τις οποίες ισχύει t < t2 < t1, τότε το σωματίδιο Μ έχει

απομάκρυνση y = Ο, αφού τα δύο κύματα δεν έχουν φθάσει ακόμη σ' αυτό.

2. τις χρονικές στιγμές για τις οποίες ισχύει t2 < t < t1, τότε το σωματίδιο Μ

εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μόνο με την επίδραση του κύματος που προέρχεται από την

πηγή Π2 αφού το κύμα από την πηγή Π1 δεν έχει φθάσει ακόμη σ' αυτό.

Η απομάκρυνση υπολογίζεται από τη σχέση )T

t(2 2

rAy

3. τις χρονικές στιγμές για τις οποίες ισχύει t > t1 >t2, το σωματίδιο Μ εκτελεί

απλή αρμονική ταλάντωση με την επίδραση και των δύο κυμάτων (συμβολή). Η απομάκρυνση

υπολογίζεται από τη σχέση :

2

r

T

t2

2

r22 2121 rr

Ay

Στο παραπάνω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράςταςη τησ απομάκρυνςησ από τη θέςη ιςορροπίασ του

για ένα τυχαίο ςημείο τησ επιφάνειασ του μέςου διάδοςησ τισ διάφορεσ χρονικέσ ςτιγμέσ ςχήμα



Τπολογισμός αριθμού σημείων ενισχυτικής ή αποσβεστικής συμβολής

και της ελάχιστης συχνότητας της συμβολής

Όταν ζητάμε να βρούμε τον αριθμό των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2 που ενώνει

τις δύο πηγές των κυμάτων που συμβάλλουν , στα οποία έχουμε ενισχυτική ή αποσβεστική

συμβολή , ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία.

Έστω ένα τυχαίο σημείο Γ του τμήματος και r1 και r2 αντίστοιχα οι αποστάσεις του από τις δύο

πηγές και έστω d=(Π1Π2) η απόσταση μεταξύ των δύο πηγών.

Είναι γνωστό από τη γεωμετρία ότι θα ισχύει 𝑟1−𝑟2 ≤ 𝑑 (1).

Ανάλογα αν στο σημείο συμβαίνει ενίσχυση είτε απόσβεση αντίστοιχα θα ισχύουν οι παρακάτω

σχέσεις :

Ενίσχυση Απόσβεση

𝑟1−𝑟2 = 𝛮 𝜆 𝑟1−𝑟2 = 2𝛮 + 1 𝜆/2

Ανάλογα με την περίπτωση που θέλουμε να εξετάσουμε από τη σχέση (1) προκύπτει μια διπλή

ανίσωση από την οποία υπολογίζουμε το πλήθος των τιμών που μπορεί να πάρει η ακέραια

μεταβλητή Ν ,που αντιστοιχεί στο αριθμό των σημείων που αναζητούμε.

𝛮 𝜆 ≤ 𝑑 ⟺ 𝛮 ≤𝑑

𝜆 ⟺ −𝑑/𝜆 ≤ 𝛮 ≤ 𝑑/𝜆 ⟺ με 𝛮 ∈ ℤ για την ενίσχυση

𝛮 𝜆 ≤ 2𝑑 ⟺ 𝛮 ≤2𝑑

𝜆 ⟺ −2𝑑/𝜆 ≤ 𝛮 ≤ 2𝑑/𝜆 με 𝛮 ∈ ℤ αλλά μόνο τις περιττές τιμές για την

απόσβεση.

Σο πλήθος των σημείων αυτών είναι περιττός αριθμός για τα σημεία στα οποία

έχουμε ενίσχυση (περιλαμβάνεται και το μέσο Μ στο οποίο r1 = r2 ).

Σο πλήθος των σημείων αυτών είναι άρτιος αριθμός για τα σημεία στα οποία έχουμε

απόσβεση .



Ελαχίστη συχνότητα

Ο υπολογισμός της ελαχίστης συχνότητας fmin για την οποία σε ένα σημείο στο οποίο

συμβάλλουν 2 κύματα από δύο σύγχρονες πηγές μπορούμε να έχουμε ενίσχυση ή απόσβεση

μπορεί να γίνει από τις σχέσεις :

𝑟1−𝑟2 = 𝛮𝜆

𝑟1−𝑟2 =𝛮𝑢

𝑓

𝑓 =𝑁𝑢

𝑟1−𝑟2

𝑓𝑚𝑖𝑛 =𝑢

𝑟1−𝑟2 𝑁 = 1

Αντίστοιχα εργαζόμαστε και για την περίπτωση της απόσβεσης

Παράδειγμα

Σηελ επηθάλεηα ελόο πγξνύ ππάξρνπλ δύν πεγέο Π1 θαη Π2 πνπ ηαιαληώλνληαη ζύκθωλα κε ηελ

εμίζωζε y=0,2εκ4πt (S.I.) . Aλ ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ηωλ θπκάηωλ πνπ παξάγνληαη από ηηο δύν πεγέο

είλαη u=2m/s ,λα βξεζνύλ :

A) Η ρξνληθή ζηηγκή πνπ αξρίδεη ε ζπκβνιή ζε έλα ζεκείν Μ ηνπ πγξνύ πνπ απέρεη

απνζηάζεηο r1 =1m θαη r2 =0,75 m αληίζηνηρα από ηηο δύν πεγέο.

B) H εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο ηνπ ζεκείνπ Μ από ηε ζηηγκή πνπ ζπκβάιινπλ ζ΄ απηό ηα

δύν θύκαηα.

Γ) Πνηα ε απνκάθξπλζεο από ηε Θ.Ι. θαη πνηα ε επηηάρπλζε ηνπ ζεκείνπ Μ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=1s

Δ) Αλ ε απόζηαζε αλάκεζα ζηηο πεγέο είλαη 2 m λα βξεζνύλ ν αξηζκόο θαη ε ζέζε ηωλ ζεκείωλ πάλω

ζηελ επζεία πνπ ελώλεη ηηο δύν πεγέο, ηα νπνία είλαη ζπλερώο αθίλεηα

Λύζε

Α) Σο κύμα από τη πρώτη πηγή φθάνει στο σημείο τη στιγμή 𝑡1 =𝑟1

𝑢=

1

2= 0,5 𝑠𝑒𝑐 , ενώ από τη

δεύτερη πηγή τη στιγμή 𝑡2 =𝑟2

𝑢=

0,75

2= 0.37 𝑠𝑒𝑐. υνεπώς η συμβολή θα ξεκινά τη στιγμή που

και τα δύο κύματα θα έχουν φθάσει στο σημείο δηλαδή τη χρονική στιγμή t=0,5 sec.

Β ) Από την εξίσωση των πηγών έχουμε ότι A=0,2 m , f=2Hz και από τη σχέση u=λf προκύπτει

λ=1m.

H εξίσωση της απομάκρυνσης από τη στιγμή που συμβάλλουν τα δύο κύματα θα είναι :

Με αντικατάσταση στην παραπάνω σχέση έχουμε :



𝑦 = 2 ∙ 0,2𝜎𝜐𝜈2𝜋1−0,75

2𝜂𝜇2𝜋(2𝑡 −

1,75

2) (S.I.)

𝑦 = 0,4𝜎𝜐𝜈𝜋

4𝜂𝜇2𝜋(2𝑡 −

1,75

2) (S.I.)

𝑦 = 0,2 2𝜂𝜇2𝜋(2𝑡 −8,5

2) (S.I.) για t ≥ 0,5 sec

Γ) την παραπάνω σχέση για t=1 sec θα έχω :

𝑦 = 0,2 2𝜂𝜇2𝜋(2 ∙ 1 −1,75

2) , 𝑦 = 0,2 2𝜂𝜇2𝜋(

9

8), 𝑦 = 0,2 2𝜂𝜇(𝜋/4) ,

𝑦 = 0,2 m.

Tην επιτάχυνση μπορώ να την υπολογίσω από τη σχέση α=-ω2y

Με αντικατάσταση έχω α=-(4π)2(0,2) m/s2

Δ) Για τα σημεία τα οποία είναι ακίνητα ισχύει : 𝑟1−𝑟2 = 2𝛮 + 1 𝜆/2 = 𝛮 𝜆/2 όπου Ν ακέραιος

περιττός.

Από τη γεωμετρία έχω r1−r2 ≤ d = 2 όπου d=2m η απόσταση μεταξύ των δύο πηγών.

‘Έτσι :

𝛮 𝜆 ≤ 2𝑑 ⟺ 𝛮 ≤2∙2

1 ⟺ −4 ≤ 𝛮 ≤ 4 . Οι περιττοί ακέραιοι που είναι μεταξύ του -4 και 4 είναι ,

Ν = -3,-1,1,3.

Άρα το πλήθος των σημείων που βρίσκονται πάνω στο τμήμα Π1Π2 και είναι συνεχώς ακίνητα

είναι 4.

Για τα σημεία αυτά έχουμε

𝑟1−𝑟2 = 𝛮𝜆/2

𝑟1 + 𝑟2 = 𝑑 𝑟1−𝑟2 = 𝛮/2𝑟1 + 𝑟2 = 2

+ 2𝑟1 =𝑁

2 + 2 ⟺ 𝑟1 =

𝑁

4+ 1 1

τη σχέση (1) για Ν= -3 έχουμε 𝑟1 =−3

4+ 1 = 0,25 𝑚 δεμηά ηεο Π1

Για Ν= -1 έχουμε 𝑟1 =−1

4+ 1 = 0,75 𝑚 δεμηά ηεο Π1

Για Ν= 1 έχουμε 𝑟1 =1

4+ 1 = 1,25 𝑚 δεμηά ηεο Π1

Για Ν= 3 έχουμε 𝑟1 =3

4+ 1 = 1,25 𝑚 δεμηά ηεο Π1



Ε Ρ ΩΣ Η Ε Ι Σ Η Τ ΜΒΟ Λ Η Κ Τ Μ Α Σ Ω Ν

1. Η αρχή της επαλληλίας των κυμάτων: α. παραβιάζεται μόνον όταν τα κύματα είναι τόσο ισχυρά, ώστε οι δυνάμεις που ασκούνται στα σωματίδια του μέσου, δεν είναι ανάλογες των απομακρύνσεων. β. δεν παραβιάζεται ποτέ. γ. ισχύει μόνον όταν τα κύματα που συμβάλλουν, προέρχονται από πηγές που βρίσκονται σε φάση. δ. δεν ισχύει, όταν συμβάλλουν περισσότερα από δύο κύματα

2. Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψεις δίπλα σε κάθε τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για τη λανθασμένη.

α. Όταν δύο κύματα διαδίδονται στο ίδιο μέσο αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η συνεισφορά του κάθε κύματος στην απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου από τη θέση ισορροπίας του εξαρτάται από την ύπαρξη του άλλου κύματος. β. Σο αποτέλεσμα της συμβολής δύο όμοιων κυμάτων στην επιφάνεια υγρού είναι ότι όλα τα σημεία της επιφάνειας είτε παραμένουν διαρκώς ακίνητα είτε ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. γ. Δυο πηγές εκπέμπουν κύματα με το ίδιο μήκος κύματος. Για να παρατηρηθεί το φαινόμενο συμβολής των κυμάτων αυτών σε τυχαίο σημείο, θα πρέπει οι πηγές να είναι οπωσδήποτε σύγχρονες. δ. ε ένα σημείο έχουμε ενισχυτική συμβολή . Όταν στο σημείο φτάνει ΄΄κοιλάδα΄΄ που προέρχεται από την πηγή Β, ταυτόχρονα φτάνει ΄΄κοιλάδα΄΄ που προέρχεται από την πηγή Α και δημιουργήθηκε μια περίοδο νωρίτερα. ε. ’ ένα σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος που ενώνει δύο σύγχρονες πηγές τα κύματα των οποίων συμβάλλουν σε ένα ελαστικό μέσο έχουμε πάντα απόσβεση.

3. Δυο σύγχρονες πηγές κυμάτων Ο1, Ο2 δημιουργούν εγκάρσια κύματα πλάτους Α και μήκους κύματος λ που διαδίδονται στην ελεύθερη επιφάνεια ενός υγρού. Σα κύματα ξεκινούν ταυτόχρονα από τις πηγές. α. Όλα τα σημεία της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος. β. Η ταχύτητα διάδοσης κάθε κύματος είναι διαφορετική. γ. Σο σημείο που βρίσκεται στο μέσο της απόστασης Ο1Ο2 ταλαντώνεται με το μέγιστο πλάτος 2Α. δ. Ένα σημείο του οποίου η διαφορά δρόμου από τις πηγές είναι ίση με 6λ, παραμένει διαρκώς ακίνητο.

4. Δύο σύμφωνες πηγές εκπέμπουν αρμονικά κύματα ίδιας συχνότητας και μήκους κύματος προς όλες τις κατευθύνσεις. Ενίσχυση λόγω συμβολής σ' ένα σημείο του μέσου παρατηρούμε μόνο όταν: α. η απόσταση μεταξύ των πηγών είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος. β. η διαφορά των αποστάσεων του σημείου από τις πηγές είναι άρτιο πολλαπλάσιο μισού μήκους κύματος. γ. η διαφορά των αποστάσεων του σημείου από τις πηγές είναι περιττό πολλαπλάσιο μισού μήκους κύματος. δ. μόνο όταν οι πηγές εκπέμπουν εγκάρσια κύματα.

5. Δύο όμοιες πηγές κυμάτων Α και Β στην επιφάνεια μιας ήρεμης λίμνης βρίσκονται σε φάση και παράγουν υδάτινα αρμονικά κύματα. Η καθεμιά παράγει κύμα (πρακτικά) αμείωτου πλάτους 10cm και μήκους κύματος 2m. Ένα σημείο Γ στην επιφάνεια της λίμνης απέχει από την πηγή Α απόσταση 6m και από την πηγή Β απόσταση 2m. Σο πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Γ είναι : α. 0 cm. β. 10 cm. γ. 20 cm. δ. 40 cm.



6. Δυο σύγχρονες πηγές δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα πλάτους Α και μήκους κύματος λ. Ένα σημείο βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού σε αποστάσεις r1 και r2 από τις πηγές αντίστοιχα. Αν ξέρουμε ότι ισχύει |r1 – r2| = 11λ, τότε το ταλαντώνεται με πλάτος

α. Α. β. Α 2 . γ. 0. δ. 2Α.

7. Δυο σύγχρονες σημειακές πηγές Π1 και Π2 δημιουργούν εγκάρσια αρμονικά κύματα πλάτους Α και συχνότητας 4 Hz, τα οποία διαδίδονται στην επιφάνεια ενός υγρού με ταχύτητα 20 cm/s. Ένα σημείο που απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις r1 = 17 cm και r2 = 12 cm αντίστοιχα α. ταλαντώνεται με πλάτος Α. β. ταλαντώνεται με πλάτος 2Α. γ. παραμένει ακίνητο. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

8. Κατά μήκος ευθείας x΄x βρίσκονται στις θέσεις K και Λ δύο σημειακές πηγές Π1 και Π2 παραγωγής μηχανικών αρμονικών κυμάτων. Η εξίσωση που περιγράφει τις απομακρύνσεις τους από τη θέση ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο είναι y = Aημωt. Η απόσταση (ΚΛ) είναι 6 cm. Σο μήκος κύματος των παραγόμενων κυμάτων είναι 4 cm. ε σημείο της ευθείας x΄x, το οποίο δεν ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και δεν βρίσκεται κοντά στις πηγές, το πλάτος ταλάντωσής του Α΄ θα είναι α. A΄= 2Α. β. Α΄= 0. γ. 0 < Α΄ < 2Α. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

9. ε μια εικόνα συμβολής στην επιφάνεια νερού που δημιουργείται από αρμονικά κύματα προερχόμενα από δύο σύγχρονες σημειακές πηγές ίδιας περιόδου και ίδιου πλάτους , εάν η συχνότητα των πηγών διπλασιαστεί , τότε ο αριθμός των γραμμών ενισχυτικής συμβολής που σχηματίζονται : α. διπλασιάζεται β. υποδιπλασίαζεται γ. οκταπλασιάζεται δ. δεν μεταβάλλεται

10. Δύο όμοιες πηγές κυμάτων Α και Β στην επιφάνεια μιας ήρεμης λίμνης βρίσκονται σε φάση και παράγουν υδάτινα αρμονικά κύματα. Η καθεμιά παράγει κύμα (πρακτικά) αμείωτου

πλάτους 10 cm , συχνότητας 3 Hz , που διαδίδεται με ταχύτητα 6 m/s . Ένα σημείο Γ στην

επιφάνεια της λίμνης, απέχει από την πηγή Α απόσταση 2 m και από την πηγή Β απόσταση

5 m . Σο πλάτος ταλάντωσης του σημείου Γ θα είναι

α. 0 . β. 10 cm . γ. 20 cm .

Β. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

11. την επιφάνεια ενός υγρού βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2 , οι οποίες ταλαντώνονται κατακόρυφα, χωρίς αρχική φάση και απέχουν μεταξύ τους απόσταση L. Σο σημείο Ν του ευθυγράμμου τμήματος Π1Π2 που παραμένει διαρκώς ακίνητο και είναι το πλησιέστερο προς το µέσο Μ αυτού του ευθυγράμμου τµήματος, απέχει από το Μ απόσταση d = L/10 . Σο πλήθος των σηµείων του Π1 Π2 που εκτελούν ταλάντωση µε µέγιστο πλάτος , είναι: α. 3 β. 4 γ. 5 Η απάντηση να αιτιολογηθεί



ΑΚΗΕΙ ΣΗ ΤΜΒΟΛΗ ΚΤΜΑΣΩΝ

1. Δύο σύγχρονες πηγές δημιουργούν στο ίδιο μέσο αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους, συχνότητας f= 300 Hz και ταχύτητας υ =1500 m/s. Ποιο είναι το αποτέλεσμα της συμβολής των δύο κυμάτων σ' ένα υλικό σημείο του μέσου που απέχει d1= 20 m από τη μια πηγή και d2 = 37,5 m από την άλλη;

2. Δύο σύχρονες πηγές κυμάτων O1 και O2 δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα πλάτους 2mm τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα 10 cm/s. H συχνότητα των δύο κυμάτων είναι 5Hz . Ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού απέχει 30cm από την πηγή Ο1 και 40cm από την πηγή Ο2 α) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων. β) Να βρεθεί η απομάκρυνση του σημείου Μ από τη θέση ισορροπίας του τις χρονικές στιγμές t1=2s, t2 = 3,5s & t3 = 4,55s γ) Ποια χρονική στιγμή μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων το σημείο Μ διέρχεται για πρώτη φορά από τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης του ;

3. την επιφάνεια ενός υγρού που ηρεμεί δημιουργούνται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα 6,4 m/s. Σα κύματα δημιουργούνται από δύο σύγχρονες πηγές Ο1,Ο2. Οι πηγές, οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t=0 αρμονικά και χωρίς αρχική φάση, απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=44 cm, ταλαντώνονται με πλάτος 2 cm και έχουν συχνότητα 40 Hz. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται στο μέσον Μ της απόστασης Ο1Ο2. Να υπολογίσετε: α. το πλάτος ταλάντωσης του φελλού και τη μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά ο φελλός κατά την ταλάντωση του. β. πόσο απέχει από το Μ το πλησιέστερο σημείο που βρίσκεται πάνω στην Ο1Ο2 και παραμένει διαρκώς ακίνητο, γ. τις θέσεις των σημείων που βρίσκονται πάνω στην Ο1Ο2, είναι μεταξύ των Ο1Ο2 και παραμένουν ακίνητα.

4. Δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 που απέχουν 2m ταλαντώνονται με εξίσωση y=0,2ημ(10πt) (S.I.) και δημιουργούν δύο επιφανειακά κύματα διαδίδονται με ταχύτητα u=1 m/s και φθάνουν σε ένα σημείο Μ με διαφορά φάσης Δφ=5π (φ2>φ1).

Α. Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Μ Β. Ποια είναι η διαφορά των αποστάσεων του σημείου Μ από τις πηγές ; Γ. Η υπερβολή που διέρχεται από το σημείο Μ τέμνει την Π1Π2 στο Ν. Πόσο απέχει το σημείο Ν από τις πηγές Π1 και Π2;

5. Δύο συγχρονες πηγές Π1 και Π2 που βρίσκονται στην επιφάνεια ενός υγρού , ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια με εξίσωση ταλαντωσης y = 0,2ημ4πt (S.I.) η καθεμια. Σα κύματα που δημιουργούνται με ταχύτητα μέτρου u = 6m/s . Ένα σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού απέχει από τις πηγές Π1 και Π2 αποστάσεις χ2 = 4m και χ2 = 6m αντίστοιχα. α. Να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν την ταλάντωση του σημείου Μ , των κυμάτων που προέρχονται από κάθε πηγή και συμβάλλουν στο Μ β. Να βρείτε τη διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων που εκτελεί το σημείο Μ μετά την άφιξη και του δεύτερου κύματος γ. Να γραψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ για t ≥ 0 δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης του Μ από τη στιγμή που συμβάλλουν και τα δύο κύματα σ’αυτό



6. Δυο πηγές κυμάτων Π1 και Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού κύματα του ίδιου πλάτους A = 0,5 cm, περιόδου T = 0,2 s και ίδιας φάσης. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε ένα σημείο που απέχει από τις δυο πηγές x1 = 28 cm και x2 = 44 cm αντίστοιχα. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ = 0,4 m/s. α. Ποια είναι η διαφορά φάσης των δυο κυμάτων στο σημείο την ίδια χρονική στιγμή; β. Ποια είναι η εξίσωση ταλάντωσης του φελλού από τη στιγμή που φτάνουν σε αυτόν και τα δυο κύματα; γ. Ποια είναι η απομάκρυνση του φελλού τη χρονική στιγμή t1 = 0,75 s και τη χρονική στιγμή t2 = 2,25 s; δ. Κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2 βρίσκεται ένα δεύτερο κομμάτι φελλού. Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση του φελλού από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2, ώστε να παραμένει διαρκώς ακίνητο;

7. Δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2, που βρίσκονται στα σημεία Α και Β της επιφάνειας ενός υγρού, απέχουν μεταξύ τους ΑΒ=12cm και ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια με εξίσωση ταλάντωσης y = 0,05ημ4πt (S.I.) η καθεμιά. Σα κύματα που δημιουργούνται διαδίδονται με ταχύτητα μέτρου u=6m/s. Τλικό σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού βρίσκεται στην κάθετη ευθεία που περνάει από το Α (σχήμα). Η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων που εκτελεί το Μ εξαιτίας των κυμάτων των δύο πηγών είναι Δφ=16π/3 rad. α. Να βρείτε τις αποστάσεις χ1 και χ2 του Μ από τις δύο πηγές Π1 και Π2 αντίστοιχα, β. Να γράψετε τις επιμέρους εξισώσεις απομάκρυνσης του Μ από τη θέση ισορροπίας του εξαιτίας των κυμάτων που φτάνουν σ’ αυτό από τις δύο πηγές. γ. Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του Μ μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων σ' αυτό δ. Πόση πρέπει να είναι η ελάχιστη αύξηση στη συχνότητα ταλάντωσης των δύο πηγών, ώστε να έχουμε απόσβεση στο σημείο Μ;

8. τα σημεία Α και Β της επιφάνειας υγρού που ηρεμεί δημιουργούνται από δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 εγκάρσια επιφανειακά κύματα. Η εξίσωση ταλάντωσης της κάθε πηγής είναι y=2ημ5πt (y σε mm , t σε sec). Eνα πολύ μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε σημείο της επιφάνειας του υγρού, σε αποστάσεις r1=4m και r2 αντίστοιχα, από τις πηγές Α και Β. Σο κύμα από την πηγή Π1 φτάνει στο σημείο τη χρονική στιγμή t1=0,4 sec και από την πηγή Π2 με καθυστέρηση Δt=0,4 sec. α. Να βρεθούν η ταχύτητα διάδοσης και το μήκος κύματος των κυμάτων. β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του φελλού από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο, έως τη χρονική στιγμή t2=0,8 sec γ. Να βρεθεί η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του φελλού , από τη στιγμή που αρχίζει η συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο και μετά. δ. Να βρεθεί η ταχύτητα του φελλού τη χρονική στιγμή t3= 1,2s Δ. Να βρεθεί η ελάχιστη συχνότητα που πρέπει να έχουν οι δύο πηγές ,ώστε στο σημείο να επιτυγχάνεται συμβολή με απόσβεση.

9. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1Π2 απέχουν μεταξύ τους απόσταση d και δημιουργούν κύματα πλάτους Α=0,08m και μήκους κύματος λ=0,3m. ημείο Δ στο οποίο συμβάλλουν τα δυο κύματα εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση y=0,08ημ2π(4t-7/6) (S.I). To Δ απέχει x1 απ’ την πηγή Π1 30cm και απ’την Π2 x2>x1 και σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο Π1ΔΠ2. Α) Να βρεθεί η ταχύτητα των κυμάτων και να εξετασθεί αν στο Δ έχουμε ενίσχυση Β) Να βρεθεί η απόσταση x2 Γ) Να υπολογιστεί η ελάχιστη συχνότητα ταλάντωσης των δύο πηγών ώστε το ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2 να δημιουργούνται εννέα σημεία ενισχυτικής συμβολής



10. Δύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στο ίδιο ελαστικό μέσο και εκπεμπούν αρμονικά κύματα ίδιους πλάτους Α. τα σημεία Μ και Ν του μέσου που βρίσκονται πάνω στο τμήμα (Π1Π2) με (ΜΝ)=15cm, περνούν η 3η και η 5η υπερβολή ενισχυτικής συμβολής αντίστοιχα. α. Ποιο είναι το μήκος κύματος λ των κυμάτων; β. Ποιος είναι ο αριθμός των υπερβολών απόσβεσης που περνούν ανάμεσα στα Μ και Ν γ. Αν η 2η υπερβολή ενισχυτικής συμβολής τέμνει το τμήμα (Π1Π2) στο Ρ1 ,ενώ η πιο κοντινή της υπερβολή απόσβεσης τέμνει το (Π1Π2) στο Ρ2, ποιο είναι το πλάτος ταλάντωσης του μέσου Ρ1Ρ2;

11. την επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο πηγές αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2 , που πραγματοποιούν ταλαντώσεις με εξισώσεις y1=0,01ημ(2πt) και y2=0,01ημ(2πt+π) (S.I). Αν η

ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι u=2 m/s , να βρεθούν : α. το πλάτος της ταλάντωσης των σημείων της μεσοκαθέτου του Π1Π2 β. το πλάτος της ταλάντωσης ενός υλικού σημείου Μ της επιφάνειας του υγρού που βρίσκεται σε αποστάσεις r1=14m και r2=13m από τις πηγές Π1 και Π2 αντίστοιχα. γ. Για ποιες τιμές της διαφοράς r1-r2 τα διάφορα σημεία της επιφάνειας του υγρού i. ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος ii. παραμένουν συνεχώς ακίνητα

12. Δύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στα σηµεία Α και Β αντίστοιχα της ελεύθερης επιφάνειας νερού και προκαλούν όµοια εγκάρσια κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα u = 0,5 m/s. Ένα σηµείο Κ της επιφάνειας του νερού βρίσκεται πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και απέχει από τα Α και Β αποστάσεις (ΑΚ ) = r1 και (ΒΚ ) = r2 µε r1 > r2. Tο σηµείο Κ είναι το πλησιέστερο προς το µέσο Μ του ΑΒ που ταλαντώνεται µε µέγιστο πλάτος . Η αποµάκρυνση του σηµείου Κ από τη θέση ισορροπίας λόγω της συµβολής των κυµάτων

περιγράφεται σε συνάρτηση µε το χρόνο t από την εξίσωση yK = 0,2ηµ3

5(t – 2) (σε µονάδες S.I.).

Να υπολογίσετε : α .την περίοδο , το µήκος κύµατος και το πλάτος των κυµάτων που συµβάλλουν . β .την απόσταση ΑΒ των δύο πηγών . γ .τις αποστάσεις r1 και r2 του σηµείου Κ από τα σηµεία Α και Β .

new Υυσική Γ’ Λυκείου Κύματα ΤΜΒΟΛΗ...

Documents