new formulation of the green element method to maintain its second-order accuracy in 2d/3d

9
New formulation of the Green element method to maintain its second- order accuracy in 2D/3D R. Pecher a, * , S.D. Harris a , R.J. Knipe a , L. Elliott b , D.B. Ingham b a Rock Deformation Research, School of Earth Sciences, University of Leeds, Leeds LS2 9JT, UK b Department of Applied Mathematics, University of Leeds, UK Received 23 May 2000; revised 11 November 2000; accepted 5 December 2000 Abstract The Green element method GEM) is a powerful technique for solving nonlinear boundary value problems. Derived from the boundary element method BEM), over the meshes of the ®nite element method FEM), the GEM combines the second-order accuracy of the BEM with the ef®ciency and versatility of the FEM. The high accuracy of the GEM, resulting from the direct representation of normal ¯uxes as unknowns, comes at the price of very large matrices for problems in 2D and 3D domains. The reason for this is a larger number of inter-element boundaries connected to each internal node, yielding the same number of the normal ¯uxes to be determined. The currently available technique to avoid this problem approximates the normal ¯uxes by differentiating the potential estimates within each element. Although this approach produces much smaller matrices, the overall accuracy of the GEM is sacri®ced. The ®rst of the two techniques proposed in this work rede®nes the present approach of approximating ¯uxes by considering more elements sharing each internal node. Numerical tests on the potential ®eld expx 1 y) show an increase in accuracy by two orders of magnitude. The second approach is a reformulation of the standard GEM in terms of the ¯ux vector, replacing its normal component. The original accuracy of the GEM is preserved while the number of unknowns is reduced as many as ten-times in the case of a mesh consisting of tetrahedrons. The additional bene®t of this novel technique is the fact that the entire ¯ux ®eld is a mere by-product of the basic procedure for determining the unspeci®ed boundary values. q 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Green element method; Increased accuracy; Flux-vector based GEM 1. Introduction The Green element method GEM) is a very promising new technique for solving partial differential equations PDE's) by the boundary integral approach. The method was ®rst formulated ten years ago Taigbenu [1]), and various applications have followed since then: Taigbenu [2], Taigbenu and Onyejekwe [3,4], Archer et al. [5]. Many practical examples of engineering problems solved by using the GEM are summarised in the recently published monograph by Taigbenu [6]. The problems addressed therein include non-homogeneous and nonlinear models of both steady-state and transient transport processes in one- and two-dimensional domains. The theoretical basis of the GEM is identical to that of the boundary element method BEM). In fact, the GEM may be viewed simply as the `BEM whose concept of zones is taken to the extreme'. The concept of zones in boundary element techniques was introduced in order to handle sectionally heterogeneous material properties Liggett and Liu [7], pp. 50±62, Banerjee [8], pp. 66±68). Within each zone, the properties were assumed constant, thus yielding a set of homogenous differential equations coupled at the zone boundaries. Nowadays, the need for strictly homogeneous PDE's is somewhat relaxed due to the existence of various advanced BE-techniques for dealing with the appropriate domain integral see, e.g. Partridge et al. [9], Nowak and Neves [10]). Nevertheless, even these techniques exhibit certain drawbacks, mainly their low ef®ciency in solving highly nonlinear problems. The idea that makes the GEM a unique technique, depart- ing from the conventional BEM, is to de®ne as many zones throughout the problem domain that the number of nodes surrounding each zone becomes small. In a two-dimensional domain, for example, these `mini-zones' take up the shapes of triangles or quadrilaterals, possibly with curvilinear boundaries. As a result, the domain is discretised into a ®nite number of elements Ð the Green elements. Note: although the Green elements look similar to the ®nite elements of the Engineering Analysis with Boundary Elements 25 2001) 211±219 0955-7997/01/$ - see front matter q 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S0955-799701)00008-X www.elsevier.com/locate/enganabound * Corresponding author. E-mail address: [email protected] R. Pecher).

Upload: r-pecher

Post on 05-Jul-2016

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: New formulation of the Green element method to maintain its second-order accuracy in 2D/3D

��� �������� �� ��� ���� ���� � ������ �� �� �� ��� ���� ������� ������ � �����

�� ��������� ���� ������ �� � ! �"�� #� $����%� ��&� ' (��%

���� �������� �������� ������ �� ���� ���� ���� � �������� �� ������ ����� ��� ���� ��%������ � �� ������� �������� � �������� �� ������ ��

�����)�� �� *� �+++, ��)���� -- ��)��%�� �+++, ���"��� . �����%�� �+++

��������

/�� ���� ���� � ������ 0�$*1 �� "������ ���� �2�� ��� ��)� ( � � �� %�� ��� )�� "��%���� ����)�� ���� ��� %�� ���

���� � ������ 0&$*1� �)�� ��� ������ �� ��� 3 ��� ���� � ������ 04$*1� ��� �$* ���%� �� ��� ���� ������� ������ �� ��� &$*

���� ��� ��3��� �� � )�������� �� ��� 4$*�

/�� ��(� ������ �� ��� �$*� ������ ( ���� ��� ������ ��"���� ���� �� ��� 5�6�� � � 7 �� �� ����� � ��� "���� �� )��� �(�

������� ��� "��%��� � �� � �� ���� �� /�� ���� ��� ���� �� �(�� ��%�� �� � �������� � %�� ����� �� ����� �� ��� � ���

���� ����� ( ��� ��� ��%�� �� ��� ��� 5�6�� �� %� ������� ��� /�� ����� �� )�%� ���� �2�� �� )��� ���� "��%�� ""��6�����

��� ��� 5�6�� %� ������� ���� ( ��� "��� �� �������� ����� ��� ���� �� 8����(� ���� ""���� "������� ���� ���� �������� ���

�)�� ������ �� ��� �$* �� ����3����

/�� 3��� �� ��� ��� ���� �2��� "��"���� � ���� ���7 ����3 �� ��� "���� � ""���� �� ""��6���� ( 5�6�� %� �� ������ ( ���� ���� ��

���� ( ��� � ��� ���� ������� ����� � ��� "��� �� 3�� �6"0!� �1 ���� � ����� � ������ %� ��� ������ �� �( ������

/�� ���� � ""���� �� ���������� �� ��� �� ��� �$* � ����� �� ��� 5�6 )������ ��"�� ( ��� ��� ���"� � �� /�� ���(�

������ �� ��� �$* �� "�����)�� ���� ��� ��%�� �� � 7 �� � �� ������� � � � � �� ������ � ��� ��� �� ���� �� ����� ( ��

��������� �� /�� ������ %� �3� �� ���� �)� ���� �2�� �� ��� ��� ��� ��� � ���� 5�6 3�� �� ���� %��"������ �� ��� %��� "�������� ���

������� � ( ��� � �"���3�� %�� ��� )���� � �++- $��)��� ���� �� #��� 8 ��(��� �����)���

���"����9 ���� ���� � ������, ' ������ ������, 4�6�)����� %��� �$*

� ���� ������

/�� ���� ���� � ������ 0�$*1 �� )��� "������ (

�� ���� �2�� ��� ��)� ( "��� ������� �� �2���� �

0��$:�1 %� ��� %�� ��� � ��(� ""����� /�� ������

�� 3��� �������� �� ���� (� 0/�(%� � ;-<1� �

)����� ""����� � �)� ������ �� �� ��� 9 /�(%� �

;�<� /�(%� � � = ��>�7�� ;��?<� 8����� �� � ;.<�

* � "����� �6�"�� �� � (� ���� ( "��%��� ��)��

%� ��� ( ��� �$* �� ��������� � ��� ���� �� "�%�����

�� �(�"� %� /�(%� � ;@<� /�� "��%��� ��������

������ � ���� � �����(� ���� � � � �� ����� ��

%��� ���������� � �� ��� � �� �"��� "�������� � � ��

� �������� ��� ���� ��

/�� ��������� %��� �� ��� �$* �� ��� ��� �� ��� �� ���

%�� ��� ���� � ������ 0&$*1� ' ���� ��� �$* �� %�

)����� ���"� � ��� A&$* ����� �� ��"� �� B� �� �� �7�

�� ��� �6�����:� /�� �� ��"� �� B� �� � %�� ��� ���� �

���� �2��� �� � �������� � ����� �� � �� ������ �

������(� ���� ����� "��"������ 0#�((��� � #�� ;C<� ""�

.+D@�� & ��>�� ;E<� ""� @@D@E1� F���� ��� B� �� ���

"��"������ ���� ������ �� �� �� ���� ����� ( ��� ��

����(� ��� ������� �� �2���� � ���"�� � ��� B� �

%�� ������ ������� ��� ��� ��� ������� ����(� ����

��$:� �� ������� ��6�� ��� �� ��� �6���� �� �� )�����

�) ��� &$����� �2��� ��� ��� ( ���� ��� ""��"����

���� � ��(� 0���� ��(� ������(� �� � ;G<� ���7 �

��)�� ;-+<1� ��)��������� �)� ����� ���� �2��� �6��%��

����� ���%�7�� �� � ����� �� ��3��� �� � ��)� (

��(�� � � �� "��%����

/�� ��� ��� �7�� ��� �$* � �2�� ���� �2��� ��"���

� ( ���� ��� �� )� ��� &$*� �� �� ��3 � � � � B� ��

�����(���� ��� "��%�� ���� ��� ��� ��%�� �� ����

������ �� ( ��� B� � %������ ��� ' �������� ���

���� � ��� �6�"�� ����� A�� ��B� ��: �7� �" ��� ��"��

�� ��� (�� �� 2��������� "����%� ���� ���)�� ��

%�� ������ 8� ������ ��� ���� �� ����������� � �� 3 ���

��%�� �� ���� �� H ��� ���� ���� ��� ����9 ����(�

��� ���� ���� �� ��7 ����� �� ��� 3 ��� ���� �� �� ���

$ (� ���� ( 8 ���� ���� &�� ��� $��� �� �. 0�++-1 �--D�-G

+G..�CGGC�+-�I � ��� ��� � ����� � �++- $��)��� ���� �� #��� 8 ��(��� �����)���

�''9 �+G..�CGGC0+-1++++E�J

�������)�������������� ( %�� �

� K�����"� �� ( ������

�#�� ������$ ��"�����L������������7 0�� ������1�

Page 2: New formulation of the Green element method to maintain its second-order accuracy in 2D/3D

3 ��� ���� � ������ 04$*1� ���� ��" �� ��"��� �

�� ��"��� ������� � ������ "���������

��)�� ��"��� � %� �3�� �� ����)�� %� ����3 � (

��� ��(�� &$* � ��� �$*��� �� 0��� �� ���� ;@<�

""� ?DE19

0�1 ��� ���� � ��(� �� � ��� ������ ���� ���� ���

(�)�� � ( ��$ � %� �)���� ���� ���� 0 � �)�

����� ��� ���"� ������ �� ���� �1 �� �� ��� ������

� �� ��� �� ��� "�� �� ��� ���� � %�� ( � ��(����

�)��, ��� ����� �� ( ��� ��� ���� ��� 0A�"��� �����:1

�� �� ���� % ���,

0��1 ����� "��"������� � ��� ������� � �����

�� ���� �� �� )�� ���� %��� ��� � ��"� �� � �

��"� �� � )��%�� ���� ���� � �� ���� � � �)�

����� ��� ���� �,

0���1 ��� (�% ����3��� � ����6 �� % ��� � ����

����%� ��� ��� �"������� ������)� ( ����� �� 0��(�

��� �� >�(�� (���� � �������1,

0�)1 ���"��� ��� �(�� ��%�� �� ����� ��� ��� ��%��

�� �"����� � ��2����� ��� �� ������� ( ��� ����3��� �

����6 �� ��� 0��� ���� ��"� �� �� �� ���� ���� (

��� �"�� � ��(���� � �� ������ ����� ��� ���� �1,

0)1 � �� ��� �� )��� �� "��� �� �� ���"���� %�

��)� ( ��� ��� �� � ��(� �2���� �� ��� � � �� )���

� %� ���"� �%�� �� %� � ���"��� ( %����� ���

���� 0&$* ��2����� �)���� �� ��� � ��(� �2���� �

��� �)��� ������ "�� � � ��� "��%�� ���� 1�

/�� �� ���%�7 �� ��� �$* �� ��� ��� ��� ��� ����

������������ � ����)��� ��� )�%� ����� ( ������

����� ���� ��)��"�� �� ��""��� ��� 4$* ������ ��(��

%� ������� ��"��� ��� ��� �$* "��"�����

&���5� ���������9 ��� �$* ""��� �� ���%� � ���

��(� ������ �� ��� %�� ��� � ��(� ���� �2��� ����

��� ���� ""��%���� � ��3��� �� �� ��� A���� ���� ��

2���:� ���� � ��� 4$* �� ��� 3 ��� ������� �� ������

04�*1� ��� �� ��� � ����� ( �� (�� � ��(� ������� ���

�$*� � �7� ��� ���� �������� ����� � �������%����

� ��� ������ 0"�� � �������� ����1 � ����(��������

� "������ � ��� /�� ��� ������ � ���� ��� ���

��"��� ���� �� ���� ���"� %�� ��� �� ����� � �

��� �$*� 8� ��(��� ��� "��"(��� �� 5�6�� %�����

��� ���� ���� ��� ����(�� ��� "���� � �������� �� ���

�$* �)�� ��� �� � �� ���� � ��� �� ���)�� ���

���� ������� ������ � %��� �� � ������ ��3��� ���

/�� ����)��� %��� � ���� ���7 �� �� ������ ����

��% ���

� ������� �����������

�%&% ���'��� ������'�� �� �� ��� (�

M�� ( ��� ����� � �� �� 3��� "���� � ��� �� ��� �

������ �� ��� ������ "�������� %��� � ��� ���� �

)����� �� ��� �$*� /�� ���������� ������%���� �� ���

"��� �� �0�1 �)�� ��� ���� � 0�1 �� �� �����)���

�0���1� � �� ��� ( ��� K����� ������ ���� � %�

������%�� %� ��� "��� ������� �� �2����

������ � �� � �� �-������ �0�1 �� ��� ������%���� �� � ��� ������ ���� (����

$2� 0-1 �� ����)�� %� ���%� � ( ��� �� �� ���� �2���� �

����� ���� ���� ��� "�� ��� ��(�� �

� � ����� ���

�% )����� �� �% * � +� ���� + � ����� "��� ,�' ��� ���� �� �- .�//&0 �&&1�&��-�

������������

2 �� ��� 0�� ��� ��1 ����3��� �

� 0�"��1 ���� ��� ���

3 5�6 7�� �

( ���� :� �� ���� , "��� �� 7�� �

� ����� � ��6

4 � ��(�

� �� �����)���

������ ��� �� %�� ���

5 ��� ��%��

� "��� ��

6 5�6

� (� �� � ��� ������

� ����

!���7 (�% K����� ������ ��

(�����

� �� �6���� ����3��� �

� %�� ��� )��%�

� %�� ���

� ���� ��� 0�� ��"��� �� ���� 1

�������� ������"� ����3��� �

�������� ������"� 7�� �

� � �� ������� �� �"�����

� �� 0�� � ��� ���1 ������ ��

� ��������� � �������� ������"�

%��� 0�� ���1 �� ����

� � ��� ������ ���� (�� ������%����

� ���� )��%�

� ����

�'8�������� �'���������� � ��� ��

� ���� �

� (� �� ���"� � �

��� ���"� � �

!���7 !�� ��� 7����"� � �

'� ''� ''' ���� � '� ''� '''

� "������%�� )�� �� �� ����

� %��� � �������� ������"�

N � �� )������ �� (�� 0�� ������1 "�� �

Page 3: New formulation of the Green element method to maintain its second-order accuracy in 2D/3D

� ����� �0�1 �� ��� 5�6 )������ ���� ��� � � ��"�� ��

�� �"��� "�������� � %� ��������� ������ �

����� �� $2� 0-1� ��� �6�"� ����:� � �� 5��� 5��

�����(� "����� �����

/�� �"���3�� �� ����� � � ( ��� ���� %�� ���

���� � �� �� %� � ���%� ��� �� ��� ����� ( �����

��"��9

��� �������� �� ����� � � � ����� � �-� ���

���� ���� �� ����� � 6 � �6 ��� � ��� �?�

����� ��%� �� ����� � �� ����6 � ���� � ���

�.�/�� 2� ���� 6 0�1 � ��� %�)� �6"������ � �� �� ��� ���

5�6 � ��� �������� �� ��� � �� ������ )����� ����� ���

�� ��� %�� ���� /�� %�� ��� �� ����� � �� "��"���

"���� ��� �- � �� � �� � ��/�� �%>����)� �� ��� ������ "�������� %� ��� ( ���

�$* �� �� 3 � ��� "��� �� �� ����� ����3�� ������

����� ��� (�)�� � ( ������� �� $2� 0-1 � ��� ��������

�� ����� � 0�1D0.1� 8������ ( �� /�(%� � ;@< 0""� �.-D

�C-1� $2� 0-1 �� 3��� �������� �

� �� � ��

�� � ���� �@�

/�� �>�� � �2���� � %��� � ��� ���� ��� �� ����

���� � ��� ��3 �� ��� ������"�� ���� :� �� ���� (��� � �� �� �( � �� � ������� �C���� � � � �� ��� ��� �� (�� �� ������ "�� � � �� ���� (

�� ��� �� (�� �� ��� � ������ �� $2� 0@1�

8""����� �� ��� ���� :� ���� � ��� ���� "��)����

� ��(� �2���� ��� ����� � ���� $2� 0@1 � ( ���� $2�

0C19

2��� �� ���� �-��3 � 6 (� ���

����� �-

� � ����( ��� �E������ 2�� �� � �+� -� �� ��� �� ��� 0�� ��� ��1 ����3��� �

��5���� ( ��� ���� �� �� ���� � ��� �� (�� "�� �� $2�

0E1 "���� �� ��� ������ �0� �1 �� ��� %�� ��� )��

"��%�� 0-1� 0�1D0.1 � � "�� � � � ���� ��� ���� ������

��� � ����� �� ��� 7 �� )��� � � 6 � � � !�� �

3 ��� � �� �� ����)�� ���� ��� 7�� � (��� � �� � ����� ��

���� $2� 0�19

3 � ���( ��� �G� � ��� ������ ��� ( � 3 � %� ��� � � � &$*

��6�%��7� /�� ��(���� � ���� �� $2� 0E1 �� ����� �� %�� ��

�� � ���� � ��(�� ����� �� �� ��� %� 4� � 4� �

���"����)���

/� 3 � ��� 5�6 3�� ��� � � �� ������"� �� ( �� ���

������ �0� �1� $2� 0E1 �� %� ������� ����� ������ ( ��

$2� 0�1 %�� ���� ���"��� �� ��� �� (�� "�� �9

��� �� � ��� ��4� � 4��� �-+�/�� ���� � ( ���"� �� ��� �$*�%��� ������ "��������

�� "���� ��� )��� %���5�� � ������� ����� � %� ��� � �

���� ;@<�

' ����� �� �)��� ��� � ��(�� 4� � 4� � $2�� 0E1 �

0-+1 �)�� ����� ���"����)� � ��(���� � ���)� � � � � ���

� ���� "��%�� ���� �� ����������� � �� � ���� ���� ���

��� �� ����� ( �� 5� ����� /�� ������ 2� ������ � � 6 �� ""��6����� �)�� ��� ���� � %� �� � �� �����

�������� �� )��� � ����%� %��� �� ���� �� 0�1�%��� � ��� �� ������ ��� � 9

� ��5�

��-

���� �--�

6 ��5�

��-

�6 ��� �-��

/�� )����� �� $2�� 0E1 � 0-+1 �� �� ������ �� ���

(�% ���� � � � � � ���� �� ��� ��� �)��� ��

���� � � � � � �� ���� � �� /�� ������"� �� (

� ��(��� 4�� � 4��

� �� �)���� ������ ������ ��

"����%�� �� ������� %� ""�� ( ��� ����� 2����

���� ������� /�� ������ ( ��� �� (�%��� �2���� ��

����� �� %� � �� �� � � ��� �� ��)�� ��� ��� � 7 ��

)������ �� "��� �� � ��� 5�6 � ��� ����� &��� �

����� 7 �� )���� ��� ��2������ ������ 3��� ��

���"���� %� � ���"��� ( ��� "��� �� )������ � ��� ���

�� �� ���� %� �)��� ( ��� ���� ������ $2� 0-+1� � ���

��� �� ��

�%�% ��9��� �� � �� � :� ��� �

F� ����� ��� ��� ��� � ��� ��"���� ���� �� 5�6��

��� �� ��� %�� ���9 6 � ' "������� �� �� � ��������

� ��� ������ �� ������� � ���� � ��� ��� ���� ( ����

����� ��� �� ���� ���� �� ����� ' � ������ ���

���� � ��� ��� A�""�����: ��� 5�6�� ������ � � � ���

��( � � ��������� �� (� "������ �� ���3��� � ��� ��"���

�� �� ( %��� 2� �������

������� � ������� � ����� � ���� �� ���������� ���

���� �����)�� ��� %�� ��� � ��� ����� ��� ��

����� �� ���� 0���� ����� (�1� 4�(� - "���� �� ���

���� �� ���� ����� ��� ���� ������� � ��%�� ��

>�� �� ���� ��� ' ��� 0�1� ����� �� ����� ����� �� 6 :�

����� ���� ""�� � ��� A����������� �����: �� $2�� 0E1

� 0-+1� ������ ( � ���� �(�� ����3��� � ����6�

/�� ��6 ���� �� � 4�(� - 0��1� �� �� ������ ( ���

���������� �� ��� "������ ��� ���� � ���� (� ���

� ��2���� ��6 ������� � � 7 �� � � ��� (�% ������ ��

�2���� �O

8��� �� ��� ������ ���"����� ��� ��

� )�)��� /�(%� � 0;@<� ""� �.CD�.G1 "��"����

��� ��)� ""���� %��� � ��� ""��6����� �� ���

�% )����� �� �% * � +� ���� + � ����� "��� ,�' ��� ���� �� �- .�//&0 �&&1�&� �-�

Page 4: New formulation of the Green element method to maintain its second-order accuracy in 2D/3D

5�6�� � � ��� ���� %� ������� ���� ( ��� ���������

���� $2� 0--19

6 � ���� �� � ���5�

��-

� �� � ��� �-��

'� ����� %� ���� ��� �� "����� 5�6��� ����� ""��%�� ��

��� "������� (���� �� ���� %� /�(%� ��

/�� ��"���� � �� $2� 0-�1 %� $2� 0-�1 �� ��� ��( �3�

� � ��"����� �9

0�1 ��������9 � 7 �� 6 :� � ��� � ��� ���� 0����

�6���� ( ���� � �1 �� ���"���� ����)�� ���� ���

3 ��� �� � 7 �� �� �7� ( ��� ����3��� � ����6

�� �����%� ����,

0��1 �+����9 ��� �)�� ���� ������� ������ �� ���

�$*� ����%��%� �� ��� ��� �� ���� :� �� ���� � �

���� 5�6�� � ��� %�� ��� � ��(� �2���� � �� ��� �

(���� "������ �� 3��������� �������

/�� ����� ( ������ "���� �� ��� ���� �2��� ��)��"�� �

����� �� �� �� %����� % �� %����� ��� ������ �

��� ��3��� ���

� �������� ���������

:%&% '���#���� � ;'! ����!����

/�� 3��� ���� �2�� �� �)������ ��� "��%�� ������%�� �

������ ��� �6�� �� ��� ""���� �� $2� 0-�1 %� � )�)� (

���� ���� ���� �� � � ���� �� #�� �� �� ����� ���

������� � 4�(� -0�1 ����� ����� ���� �� ���� � ��� -�

8������ ( �� $2� 0-�1� 5�6 6 '�'' �� ""��6����� %�

����� ( ��� �� ���%���� � ���� ��� ����� ���� 0���� -� �

� �1 �� �� ���� � '� ����)��� ��� - ��� � ��� ��� ��

�� �� � � %�� ����� ���� �� ����� � �� ���%��� �� ���

""��6����� � ��� K���� ��� ���� � )�)��� � ��

��� ? � ��� ������� �� 5�6 6'�'' ��� � � ��(��� �� �����

��� �� ��� ������ '� ��� %��� �� ���� � �� �7� �� %� ���

#(� (� � ���"���� "�� ����� ��� "�� ���

��(��� ��� � ��� ������� ����� ;��� $2� 0-�1< �� ����)����

%� �� ������ ( ��� ������ ���� =%)������ ��� �)��

������ �� �� �"(���� %�7 %� � � �� ������ �� �� ���

5�6 ������� 0-�1 ���� � ����� ����� �� ��� "��� ��

������� 0--1� /��������� �� �� ��� "�����%� �� � )�)� �

��� ""��6����� � � � ���� ��� � ��� A�� ��: ���

� "����%�� ' ��� ��� �� ��� ��6 ���� �� � 4�(� -0��1�

���� 0���� -DC1 ����� %� � ������ ���� ��� � � ����

�� ����� �)� ���� �� �� ������ �� ��� �� �� ���

%�� ��� ���� )���� � � �� ��� %� �3�� �� ��� �$*

�)�� ��� &$*9 ��� ������� �� ���� � 5�� ��� � ����

���� ���

/�� �� ������ � � ��� ��)�� ��� �� ��������� (

�� ��� ""���� "��"���� %�)� ���"��� �� ��� "�%�����

%� /�(%� � ;@<� ��� ��� ��� "���� ��� � ����� ( ���

������ %� �� ������ ( ���� ���� �� ��(��� �(��

% ������ �� ��� (�% ����3��� � ����6� 8 ����� ����

%�7 ��(�� %� ��� ��� ��� ��� �6�� �"����� � � ���

� ���"���� ������

#�� �� �� �6�� � ��� ���� ������ �� %�� (� ���

/�� �6�"� ����� �� ������ ��� ��� ����� ( "��"���� ��

��3 �� � ������ #�� ��� "��� �� 3�� � � �6"�!� ��%� ��� �6�� ������ �� ��� ������� �� �2���� � ���

%�� ��� �� ����� � � ������� � '� ����� %� ����

��� ����� ��� �� ��6� �� ���� �6�"� ��� ����� �� ���

(�)�� � ( �2���� � ��� �������� �� ���� �� ��

� ��( �3� �� � ��� ���� ��� �� �)� �� �������

�6"� � �� 3�� �� �� ����� ��� �6���� ����� �� ���

""��6���� ( "�� ���� /�� �%>����)� �� ���� ������

���� �� �� ���"��� ��� ������"� �� ( ��� 5�6 6 ������

� ( �� $2� 0-�1� ���� � � -� ���� )��� ( ��� ��%�� ��

��(�%���� ( ���� �� � )�)�� � ��� � ���"���� � /��

�� (������� ������"� �� �� 4�(� -� ����� ���

���� �� �� �� ������� �� %� � �� � ��� (��� �

��� ��� )����� �� ���� ��� � ( ��� !�6�� � ��� �(��)�

�������� � �� �� ��� 2� ������ �� %� ���"���� �� �

�����9 �6'''�' � ��� ��� 0�1� � �6'''�'P �� �6P'�' � ��� ��� 0��1�

�% )����� �� �% * � +� ���� + � ����� "��� ,�' ��� ���� �� �- .�//&0 �&&1�&��-?

4�(� -� ���� ����� %� 0�1 ����� � 0��1 ��6 ��� (�� ���� ���

Page 5: New formulation of the Green element method to maintain its second-order accuracy in 2D/3D

���� - �� ����� � ;��-<� ��� � � ;���< � ��� ���� � (

���� �� ������%���� ����������� /�� ����� ( ����

������� �� ��3 ��9

0�1 ������ �����9 6 � � � �6"�!� ���0��1 :# ��� �����9 4�(� -0�1� $2�� 0--1 � 0-�1� ��� �)��

���� -���� 0���� � '1 �� -���? 0���� � ''1 �� -�?��

0���� � '''1,

0���1 <# ��� �����9 4�(� -0�1� $2�� 0--1 � 0-�1� ��� �)��

���� -D?,

0�)1 =# ��� �����9 4�(� -0��1� $2�� 0--1 � 0-�1� ���

�)�� ���� -DC�

4�(� � �������� ��� ������"� �� ( "��� �� 3���� �

/%� - "���� �� ��� ���"���� )��� �� 6 � ����� ����)�

��)���� � ���� ��� ���� )���

/�� "��"��� �� 4�(� � �� �� )���� ���"�� ��� �����

��� �6"� � �� "��� �� 3�� �� ��"���� ��� � ��� ����

������� ��3 �� %�)�� /�� ���� ��� �)�� ����� ��� "��� �

�� � �� ���"����� �� ���� �� � ��� %��������� �� ���

"�� � ���� ������"� � �� ��� ���� �� � 4�(� -� K�� 0��1

� 4�(� � ���� ������ ��� ���(� ""���� ;@<� � ���

���"���� ��"��3� �� )��� ����� �� ���� ��� ����

� �� ���� � ��� 0�1� = ��� ����� � �� ��� ��������� �

5�6 ""��6����� �� ���� 0���1 � 0�)1� ""�� ���� �����

�� ��� 0�1� ���� ��� �� (�� � ���� ( �� ��� A5����: �

��� ?� ��� ��� � ���"��� �� ��� C� ��� ����

/%� - (�)�� �� 3��� � ��(�� � �� ��� ����� ���"

%����� ��� ��%�� �� � ���"���� ���� � ��� �������

/�� �� ��� ������� ����� ��"���� �� ��� ""���� "��"����

� ;@<� ����� ����� ������� � )��� �� 6 ��� ��� �����

���� �� '� '' � '''� ' ��� ����3��� � ����6� ����� �����

)��� ���� %� ���%� �� � ���� )��(� )�� ���� �� +�

'� �� ��������� ��� �� ����� ��� ��� ����)� ����� �� ���

�% )����� �� �% * � +� ���� + � ����� "��� ,�' ��� ���� �� �- .�//&0 �&&1�&� �-.

4�(� �� /���� ( "��� �� 3�� ��"���� ��� %� )����� �������9 0�1 ����� 0��1 �� ���� 0���1 ?� ���� � 0�)1 C� ����

/%� -

K��"���� ��� 5�6�� � ����� ����)� ������ ��� )����� �������

������ 6 $���� 0Q1

8 ���� �+�+G D

�� ���� ' ��-�.� �.C

�� ���� '' + -++

�� ���� ''' �-�.� .@�G

?� ��� -��C@ �-�.

C� ��� -G�?? ���

Page 6: New formulation of the Green element method to maintain its second-order accuracy in 2D/3D

�� ��� ������ � ��� ��� �� ����� � �"���3�� �� ���� ��

-++Q� 8 �� ���"���� ���� ��� ����� ��� ������� %���

� $2�� 0--1 � 0-�1 � %� ��� (� ������ � �����9 ���

?� ��� ������ � ��� C� ��� ������ �� %� � � � ���

������ �� �( ������ ���"����)��� ���� ������ �� ���

�� ��� ������

:%�% 3�'!#������ 8��� (�

F��� ��� ""���� ��((����� � ��� "��)���� ������

����"�� �� ��"��)� ��� ""��6����� �� �� �� �

$2� 0-�1� ��� ��������(� �� %� ������%�� %��� ��"��

�� �� ��� ������ 6 ��������� $2� 0-�1� � ���� ��3��� �

� ��� /�� �� ��"� �� %��� � ��� ��� ��� ��� �6����

��%�� �� � ��� � ��"� �� � )������ ������ ��� ��%��

�� ���� ��� � �� ����� )����� �"��� �"���3��� � 4�(� - �

��� -� ��� ��� 5�6 � %� �6"������ � � �� ���%��

��� �� ��� ����� ����� �� ��� 5�6��� 8� ������ � � 6 � ��� 0�1 � ���� 6 :� � ��� 0��1 ��� �� %� � ��� �

� ��"� �� � � 7 �� �� ������ ( � �� �����%� ������

��� �� ��� ����3��� � ����6 ��B� 0���� ��� �(� ��%�� ��

����1� ' ���������� ��� �"��� ��� �)� (� �� �)�

���� "����� �� =��(� �� ��� ������ ��� %� E ��6���

��� � ��2����� -� � 7 �� �� � ��� ������ ��� %� �+

��������� � 0����� ( ��������� 1 ��2����� �+

� 7 �� � 0 �� ��� �� ( ��� �6�� � 7 �� "��� �� �

%���1� /���� ��%��� �� ������� �� � � 7 �� � ���

��� � �� ��"� �� �� �� ����)��O

' ���� �� ��� ( ��� (� ��� � ������(� ��� ��

��� )������ � ��� )����� %���� ���� ����� �� ��

�� �� ����� ��� K����� ������ ��� ��� �� ��2�� �� �

��� � 7 �� �� ��� 5�6 )����� � � �6!� 6�� 67�� �� �� ����

""���� ��2����� ���������� �� ��%�� �� �$*

������� �� � �� ��������� ��� ���(� %�� ���

)�� "��%�� � ���� (� �� �����

#�� ��� �� �����)��� � %� ��������� ���� ��� 7

�� ���� ��>0�������1� � � ��� ���� )��%�� /�� 5�6�

�0���1� �� ��� ����� �� ��� "��� �� �0���1 )� ��� �

� � ����� �-?� � ��� ������%���� �� "��� �� � ��� ���� � 0�1 ��

(�)�� �� %� �2����

������ � �� � �� � � +� �-.������ �0�������1 �� ��� � ��� ������� ' ���� �� � +�� ���"��� �� 3�� �� ��� ��

� � ����� +� � �� �-@� � � ���%� ��� �� ��� ����� ( ����� ��"�� ��

�� ���� �� �� � �2��� "������%�� � ( ��� %�� ��� � 0�19

� � ����� �� � �-� � � +� �-C�

6 � �6 ��� �� � ��� � � +� �-E�

�� ���� ��6 � ���� �� � ��� � � +� �-G�$2�� 0-.1D0-G1 ��3 � (� �� � ��� %�� ��� )��

"��%�� 0'&P�1 � ������"�� ������� /�� � �)���

���� �� ��� (�)�� � ( ������� �� �2���� ��)��� "�����

�� �� ��� ����� �� ����"��� �� 5��� ' �����

�� 3 � ��� ������"� �� ( ���� :� �� ���� � $2� 0-.1 ���� %�

���� (�� � ��� ������ ���"� 0 ��� ��� � ����

���"�3���� � �� � )�)��19

0�1 ��� ������ ��� � �� ������ �� ���� ��� ���� ����

�� ��� "�� ��" 6�� �� ��� �� �����)��� �� ���� 0;C<� ""�

.DC1, ��� ��� ��� ���%� � �� ��%��2�� �� ���� ��

�� ��� ��� ������ ������ �� ������,

0��1 ��� � �B��� ���%���� ��0�� �� �� �1� �� ��� ��(�

�� ��� ����6 � �� ����" ��� %� �6���� ���

��� � ���� �� ����� � � �� ���� � � -�?� �� ��+�

0�� ���� ��� ���1� � ��� ������"� �� ( #"�� ��

���� �� %��� ����� �� $2� 0-.1� ���� ��� ���(� #"�

�� �� ��%������ ���� ����, �� �� � ��� ����������

�� ��� �� �����)��� �� ��� A ������"� �������� :�

F������ � ��� � (� ������ $2� 0-.1 �� �� )����� � ��

���� ����%� ����9

���� � �� � �� � � +� ��-������ ��� � �� ������� �� �"����� � �� ��3 �� �

� � ����� �����-

���

�!��� ����

0 ���9 � �� �� �� � ��(� �� ���1� /�� ���� �0�������1 � $2� 0�-1 �� %� ��� ��� +� ��� � ��� � ��'����

� �-

��� ��� �

-

��� ����

� ����� � 0�������1 �� ��� ��������� � ��������� ���#

�����9

� � ����� ������ �����-

�!���� � �� ���!�

� �� ��?�

/�� 5�6 �� � $2� 0��1 �� � %��� � ��� �� �����)�������� �� ���� ��� � � ���� � ��

��

�!�� � � -�?� �� ��.�

����� �� $2� 0C1� ��� �>�� � �2���� �� $2� 0�-1 ��

��(� � �� � ������� ��@� � ��� ����� ( ������"�� ���� :� �� ���� �� (0��� �1� ����� � �� ���� � � %� ��� � � � ��(� ������ ;--<�

""� �?D�+� ���� ��� $2� 0�@1 � ��� ������"� �� (

���� :� �� ���� � �� � ��"� �� � �� ���� 0���� ��� ��� ��

����� ��� ��� ���������� "��%��1� �7� ( ��� �� ��� 2����

����� ����� ( ��������(� ;@<�

�� �� ��� �� ��� � �� ���������� ��� ������� �� �"�����

� ��3 �� � $2� 0��1 �� �����>�� �� 8� ������ ��� ���� :�

�% )����� �� �% * � +� ���� + � ����� "��� ,�' ��� ���� �� �- .�//&0 �&&1�&��-@

Page 7: New formulation of the Green element method to maintain its second-order accuracy in 2D/3D

���� � ��� ���� � %� �6"������ � ���� (� �� ����������(�� (����� �� �

�������(� (���� �� ��� ��C�

F��� ��� 7�� � �3 ��� � �� ����)�� � ����� �� ����� �� �����

�3 � �� ���(� �� � �����-

� � ���

�!�� ��E�

$2�� 0�-1� 0�@1 � 0�C1 ���%� � ��(����� �� ���� ���

� ��(� �2����

2��� �� ���

-

�� �3 � �� ��(� ���

���( ��� ��G�

����� �� ��� �� ��� � ����� �� ��� 5�6�)����� %���

�$*�

$2� 0�G1 � %� ��)�� %� ��� ( ��� ��� "�������� �

������%�� � ��� � � �� ������ ��-� ���� ��� �6��"��� ��

$2� 0-�1� &� ��"��� ( ��� �6" ���

�� �� �����-

�6� � � ��6! � ! � �6� � � � ��

�6! � ! � �6� � � � �67 � 7 � ��

�� ��+�

��� ��� ���"� � � 6 �� ��"��� %� ��� ���"� � ��

�6!� �6� 0 � �67 � ��1� ����� �� ��� � ��)���� ""��6��

���� �

�6! ��5�

��-

� �6!��� �6� ��5�

��-

� �6���� �67 ��5�

��-

� �67���

��-�K�� ���� %� �7� ��� ����� (����� ( %����� �����

2� ������ � ��� ���� 5�6 ���"� � ��, ����� ����� ���" ��9

6���

� �6��

� � � -�?� �� ����

' ������ �� ��� �� (�� � ��� ������ )��%��� ����� ��

����� "�� ��" ������� �� %����� ��� ��� ������ "�����

������ ��� ��� $2� 0-+1 �� � � (�� ��2�����O

/�� ��"��� ���� �� $2� 0�G1 �� ��������� � ���

����� ( ������ � � ( ���� ��� �) �(�� � ���%�7�

�� ��� 5�6�)����� %��� �������� �� ��� �$*�

� ������������� �� �����������

/�� ����� �� ���� ������ �� � ��� 5�6�)����� %���

�������� �� ��� �$*� ��"���� ��� %� ��� � ��(�

$2� 0�G1� /�� ��� %��� � ���� �������� �� �� ������ ���

���� � �� � ��� ��"���� ���� �� 5�6�� � � ��� ����

���� �� �� � ( ��� ���� ������� �������

' �������� ��� ���� � ��� �6�"�� � � ��� 5�6

���"� � �� �� � ��"� �� � � ��� � ��� ���� ������ (

� ����� ������ 2� ������� ��� �� 6! � 6�� /��� ��

��2����� ��� �)�� ���� ���� �� ���� � ��� ��� ���

� ��� %�� ��� %������ ����� �� ����� 4�(� -0�1 ����

����� ���� ������� ���� ��� �� ���� ��%�� ��

�� ����� ���� ��� $)� � ���� ���"� ���� � � ������

)��%� �� ���� A�"���:� 8""�� ��� ��� "��"�� ��%��

�� �2���� �� ���� ������ �� (� ����� %� � ��(��� ( � ���

�)�� ��� ���� � ���� ��� �� (�� "�� � �� "������ �� �

��� �� �� ���� 8����(� ���� �2���� � ���� %�

"������� � ��� 0��1� ����� ��%�� ���� %� ������ ��

������ /�� ������ �� ��� ���� �� �� �%����� %�� ���

��(��������� � �� ����� ��� %� "��������� '� �� �6��

� � ��� ����� �6������ ���� � � ��� ���� �� >�� �� �

� ��� ���� �� ����( ��� ��� ���� ��� � �� "��)���

��� ����� ������� �2���� � � ��� ��� ��� 5�6 ����

%� "�������� ���� � �� �� ���� ��� ������ � � � ( ���

���� � ��(�� ��� ��(��������� ���� ��� ��� %�� ���

��� � ��� ��� �� ������ � ��� ��� 6 :� �� ��� ����

��)��������� ��� �6" ��� ������%�� � $2� 0�+1 �� ��

����%� ��� ���� ��(� ���� ���� � ��� ��� 5�6

���� %� ���� � �����

' ��� ��� �� ����� �>�� � ���� ��� ��� 4�(� -0�1� �� ��

����� ��� � � �� ���� �� �6����� ���� ��� ���� � 0����

��� �� ���� ����� "�� �� � 1� K���� ��� ��%�� �� �2��

��� � ��� ��� ��� - �� (� ���3��� � �� ��""��� ����� � ���

"� �� � � 7 �� �� 8����(� � � ��� �2���� � ����

���� $2� 0�G1 ��� ��� ��� ���� ��� ��� ����� �2���� ��

��� �"���3�� %�� ��� �� ����� � ��� � � ��

$2�� 0-C1D0-G1� ����)��� ��� ���� ��� 5�6 � $2�� 0-E1

� 0-G1 � �� %� ������� �� )����� �� ��� ���������

������"� %��� 5�6 � $2� 0�G1 ������ ( �� $2� 0��1�

%����� ��� 6 ��������� �� �� "��)����� /�� �6� "�(�"�

�6"� � ��� �� ����)� ��� �� )����� �

4���� �� 9 ��� �� ��� ��( �3� �� �� ��� ��������

������"�R �� ���� � � � ����� ��� ��� "�� ��"

���"� � �� �� ��� �� �����)��� �� ���� ��� �� %� �

���"���� � ����� 0"�����)�1 �� ���� �� 8����(� �� ��

��� �� ��(� � ��� � ����� ����� �6��%�� ���� %���

)����� ��� (� �� ���� � ����� ���� "����%����� /�� ����

���"� �������� �� ��"���� ���� �� ��� �� �����)���

�� ��� � �� �� � ����"�� �� � � �� ���� ����� ��

���"� � ��� ��� $2� 0�+1� /�� �� ���� �� %� �������

��� ���� ��� �������� ������� �� �"������ � ��� ������

�"� �� ( ���� :� �� ���� ��� �� /��� �"����� ���� %�

������ ��� ��� ��� � �� � ��� �� � �� ���� &��

� � ��� � � �� ���� ��� ������� ��� %����� ��� 2� �

������ ���� � ������� ��� ���� %� ����( ����� ���� ���

��������� ���� �� ��3 �� %� $2� 0�?1� %������ � �B����

'� �� ���� �7�� ��� � � %� �6"������ � ��� �� �� ��

$2� 0�+1� ��� ���� �� %� ���""�� ��� 2� ������� � ��� ��

B���� � ��� �� )����� 0��1 �� �� %� ����� � �

��)��������� �� �� ����� ��� ���� ���"����� ��� �

��)� � � )����(�� ��� ��� ���� ��� 5�6 � %�� ���

�� ����� � 0-E1 � 0-G1 � %� �� )����� �� ��� ��������

5�6 ���"� � �� ������� ��� 7 ����(� �� ��� 5�6 ��������

0(� ��� ������� � ���� ��� ��� �������� 1� K���9 ��

� ��� %�� ��� ����� ( �2���� � %� (� ����� ��� ���

�� ����� 0-E1 � ����9

6 �����-

� ����

�6�� ����

�% )����� �� �% * � +� ���� + � ����� "��� ,�' ��� ���� �� �- .�//&0 �&&1�&� �-C

Page 8: New formulation of the Green element method to maintain its second-order accuracy in 2D/3D

� ����� �2���� � � )�)� ( ��� ������ "��� ���

��� ��� �� ����� 0-G1� *����)��� ���� ���� "��(���� (

������� ����� ����� � �� %� ����� � "�� �� $2� 0�G1 ����

���� �� ( � � �� ��� � 7 �� 5�6 ���"� � �� �������

0���� ������� ��� ��� ��� ��� �6"���� �2���� � �� ��"� 0��1

� ��� ����3��� � ����61�

8""�� ��� �� � � � ��� ���� 0���� ���� � 1� �6��"�

��� ��(� ���� ��� �� ��� %����� ��� ���� ��� %��

�� %�� ��� ���� 0���� ���� � 1 � ��� ��""��� ���

� 7 �� 5�6 ���"� � �� ""��� ( � $2� 0�G1� /��� ���

�� ��)�� %� �3�� ��"����� �� ����� �� ����� � ���

����� ( ������ �� ��� �>�� �) �(�� �� ��� 5�6�

)����� %��� �$*9

0�1 ��� �)�� ���� ������� ������ �� ��� ������ �� ���

���%�����,

0��1 ���"��� �� ��� ���(� �$*� ��� ��%��� �$*

��2����� ����� � 7 �� �,

0���1 ��� 5�6 )����� �� ������� �� � ��� ���� � ( ����

��� "��� ��� � �� �� %� ��)� ( ��� ������ �� � ��(�

$2� 0�G1, ��� �� �� ��2�� ��� ��9

01 ����� �� � ��� ��� $2� 0-+1 �� ��� 7�� �� �����

�� %��� � ��� (���� �� �� ��� 7�� �� ( � 3 ,

0%1 � �7� ��� ��"���� ��� �� ��� � ��(� $2� 0-+1 ���

�)��� ������ "�� �� ��� ���"���� 5�6 )������ ��

���"� � ���"���� ������ ( �� $2� 0�-1,

0�1 ��� ��� ��"����� (�� � ��(�� ���� �� ��� B� �

%�� ����� �� � � (�� � ��� ������ ������ ( �

��(��� ������ ������

/�� ���� ���� %� )����� � ��(�� ���%�7� �� ��� ��%��� �$* �������� 9

0�1 ���� � 7 �� � �� � )�)�� ���"��� �� ���

""���� ������%�� � ������ ��- 0��� ��������� �

5�6 ""��6����� 1,

0��1 ���� ������ ��� %� 5 �>�� � ���� ��� ���� 5 ��� ��""��� ������� ��� 6 �%��� ������ %�� �� ��� ��

��%��� ������ � ����� ����� �

4�� 0�1 �� ��� �%)���� "���� ��� ��� ���� ���� ������� ����

��� �� ��� 5�6�)����� %��� �������� �

4�� 0��1 %������ ���%�7 � � ��� ���� �� ��

����� ��(��� �� � �� �� �� �������� ��(� 2������

����� ������ ���� ""�� � ��� �� ���� �� �����

��(��� 8����(� � �� ���� �� �� ������� ��� ���

����� ���"����� 0��� ( �� ���� �6"������ � ��� ���

� ��(�� 4� � 4�1� 2������ ���� �� (� ��� ����� �

��(��� ������� = � �� �� )��� ��� A"��%�����

����: �� � ��� ��� ����� 7��" ��� ���� � ����� ��(�

���� %� �� ������ ��� %��� �� ���� � �� ��(� %� �� ������

� ( ��� ������� � ���"���� "�� ����� /���� ��

����� "����%������ ��� ��� �� 7��" ��� 6 �%��� ����

� ��""� ������ � ������� ��� ��� �� 5�6�)������

��(� � ����� �� 6 0��� � (� �� ���"� � �1 ""��6�����

������ ( �� $2� 0-�1� /�� ����������� �� ��� (�%

5�6�3�� ������ ��� �� ����� ��� ""��6����� � ��

�6"����� �� %� �� �����

/�� �� ����� �� %� �������� � ��� �� ����� ���� ���

��%��� �$* �� ��� � �� �2�� ��� �� 5�6�� � ����

����� ��� �� �����)��� �6��%��� ����� �� ����� /��� "��%��

������ "������ � �)��� ���� �2�� ��� ��)� ( ��$:�� �

�� �� 7 �� � ��� A� ���B� �� (�����: � ��� &$* 0;C<�

""� .�D.E1� M �7� ��� B� �� �� ��� �� )� ��� &$*� ���

���� ���� �� �� )��%� �� �����)���� �� �� ���

�� �� ���� �� � ����� ���� � %� � ����� �)� %�

�� � �� � �� ���� ��� ���� ��2������ � ����� %�

��� ��"����� '�� ��� ���� ���� � ��� �� �����)���

���� )�� ���� ���� � �� ���� � � ����� ����� ����

��� ������ ( 5�6 �� %� ���� )��(� �� ����� �� 5�6���

� ����������

/�� �$* ���%� �� ��� ���� ������� ������ �� ���

%�� ��� ���� � ���� �2��� ���� ��� )�������� �� ���

3 ��� ���� � ���� �2����

/�� �� ��� 0A6 �%���:1 �������� �� ��� �$* �����

�� %� ��3��� � � �� � �� ���� � ����� � � ������� �

��� 5�6�� ���� %� ��3 �� ��� �� (� � ��� ���

����� %� ���� ���� ��� /�� )�%� ��� ��)� ��

�������� ��� ""��6����� ��� ��� 5�6�� %� �������

� ���� ( ��� "��� �� ������� 0A���%���:1� 8����(� )���

��3��� �� ���� ���� �2�� ���� "������ � � ����� �� ���

� ��� ��� �������

/�� ������� � ""������ �� �� ����� ��� �������

��3��� �� "��%�� �� "��"���� � ���� ���7� /��� ���

���� ��������� � 5�6 ""��6����� ����"�� ��

��"��)� ��� ������ �� ��� ���%��� �������� %�

�� ������ ( ���� �� � � ���� � ���� ��� ������ ��

���� �� �� ����� �� ��� ���� /�� ������ �� ��� �6����

� ( ���� �2�� �� ������� �%���)�� �� � ����� %� � �

� ��� ������ �� �( ����� %� �� ������ (� ���"����)���

���� � ��)� ���� � ���� �� ������ /�� A��������� �

���%���: �������� � ������ ��� ��(� ��3��� �� ���� ���

"�����������

/�� ���� � ""���� 0A��%���:1 ����3 �� ��� 6 �%���

�������� � ����� �� ��� 5�6 )����� � ��� ���� 8�

������ � � ��� � ����� � 7 �� 5�6 ���"� � �� ��

��2����� ��� ��� � ��� �� � �� ���� � ���"����)���

8� ��� ��� ����� ��� ������ �� ��� ������ ���� �

� �� (�� 0���� �� ���� � �����1� /��� �������� �� ����

��3��� � �� ��� 6 �%��� �������� � %�� ��� ��3��� �

�� ��� ��������� � ���%��� ���� �2��� '� ����� %�

���� ��� ����(� ��� ��3��� �� �� ��� 5�6�)����� %���

""���� �� ��� � ���� %�� ������ � "������� ��� �)� (�

� ��� K�M ���� �� %���)�� �� ����� ������"� � �� ���

�)� (� � ��� ��%�� �� � 7 �� �� � �� ��� �� � ���

� ��������� �� ������ ���� 4������ ���7 � ���� "�� � ��

� ��� � )����(��� � /�� �� ��� � ������ �� ��� 5�6�

)����� %��� �$* �� ��)��"�� ��� (� �� ������� ��

�2���� �� "��� �� 5�� ��� �� %� � � ��� ������"���

�% )����� �� �% * � +� ���� + � ����� "��� ,�' ��� ���� �� �- .�//&0 �&&1�&��-E

Page 9: New formulation of the Green element method to maintain its second-order accuracy in 2D/3D

����� �� �� ��� �� � ����" ��� %� � � ���

�������� /�� �� ��"� �� ������ A�������� ������"�:

�� � �������� � ����� �� � �� )��%� ��������

�� �����)����

8 � �2�� ������ �� ��� ��%��� �$* �� ��� ��� 5�6

)����� � ��� ��� �� �%�� �� ��������� %� ����)� (

��� (�% ��� �� (�%��� �2���� �� /�� 5�6 � � ����

��� "�� � �� ��� ������� �� ���"� %� � ���"��� ( ���

�� )���� /�� ��� ��� ��� � ��(� �2���� � ����)��

%� ������� ���� ( ��� %��� � ��(� �2���� � �� �� ��2�����

� �� �� ��( �3� � ���"����� �)� (�� � ��

� � ����� � ������ ���� �� ��� %�� ����� 0 � ���

��"����� (�� � ��(��1�

/�� ������� ��� ������ ( ����� ������ ""���� ��

""� ��� (�)� "��%�� �� ����(��������� /� ����

)��� ��(� ������ ��3��� ��� ��� 5�6�)����� %��� ������

��� ����� %� "��������� '�� � ��� ����� � �� ��� �� ��

��� K�M ���� �� "�������� ��� ��������� � 5�6

""��6����� �� ��� ���� ����%� ""����� /�� ����

��� �� ( ����� � ����� �� ��� K�M ����� �� � � ��

"��%��� ��� �� ��� ������)� ���� �� ����� ������ � /��

������� ��� ������ ��� ��)� ( ���� "��%��� �� �� ����

��� ��� � ��� ������� � %� ��� ( ��� ��������� � ���%������� �2��� � ��� ������ �� ��� ��%��� ���� �2�� %�����

�� )��(� �� �� �������

��!��"�� �������

/��� ���7 �� %�� �� ��� %� ��� ���� $ )��� �� �

������� K�� �� � "�� �� ��� *��������*��� �������

"��(�����

#���������

;-< /�(%� � 8$� 8 ���� ��3��� � ��"��� ���� �� ��� %�� ���

���� � ������� �������� (� �� 4���� ' ��� ��� K� ���� �� �

&�� ��� $��� � /��� ��(� 0&$/$K� G+1� ����7� ������

-GG+� "� �..D@@�

;�< /�(%� � 8$� /�� ���� ���� � ������� ' � ����� *��� $ ( (

-GG.,�E9��?-D@��

;�< /�(%� � 8$� = ��>�7�� ==� ���� ���� � ������� � �� ���

�� ��� � � � �� � ������� 5�� �2���� � 8"" *�� *���� (

-GG.,[email protected]?�

;?< /�(%� � 8$� = ��>�7�� ==� 8 ��6�� ���� ���� � ��������

��� ��� �� ��� � &��(��� �2���� � ' � ��� *��� 4���� -GGC,

�?9.@�DCE�

;.< 8����� �� ��� � ��� = ��>�7�� ==� �������� �����)��� � (� ����

� ( ""����� � �� ��� �� ����"������ %�� ��� ���� � ������

� ��� ���� ���� � ������� ' 9 &��%%� K8� ����� �� ��������

�������� (� �� /�� �� 4���� ' ��� ��� K� ���� �� � &�� ���

$��� � *����� 0&$* �-1� F'/ �����9 ������"�� � -GGG� "� .�.D

�@�

;@< /�(%� � 8$� /�� ���� ���� � ������� ��������� � #� �� 9

!���� 8������ ��%������� -GGG�

;C< #�((��� 8� #�� �#�4� /�� %�� ��� � ��(� �2���� ������ ���

"����� ���� 5��� #� �� � &���� 9 ����(� 8� � M �� �

-GE��

;E< & ��>�� �!� /�� %�� ��� ���� � ������� � � (� ���� (� � � ���

#� �� � ��� S��79 *�������� -GG?�

;G< ������(� �F� &��%%� K8� F��%� #K� /�� �� ����"������ %�� ��

�� ���� � ������� ������"�� 9 K*�� -GG-�

;-+< ���7 8 � ��)�� 8K� �������� /�� ����"� ����"������ %�� ���

���� � ������� ������"�� 9 K*�� -GG?�

;--< ������ �� &�� ��� $��� � ������� �� �������� �����)����

���� �������� 4������� F��� ��� ���������� � M �)������ ��

K(��� -GGG�

�% )����� �� �% * � +� ���� + � ����� "��� ,�' ��� ���� �� �- .�//&0 �&&1�&� �-G