GRUPURI-DEFINITII SI PROPRIETATInmatematic, ungrupeste o structuralgebricce const dintr-omulimepe care este definit olege de compoziie intern(operaie) care combin dou elemente ale mulimii pentru a forma un al treilea element al aceleiai mulimi. Pentru a fi un grup, mulimea i operaia trebuie s satisfac o serie de condiii, denumite axiomele grupurilor, i anumeasociativitatea, existenaelementului neutrui aelementului simetric. Dei acestea sunt proprieti cunoscute ale multor structuri matematice, cum ar fi mulimile de numerede exemplu, mulimea numerelor ntregi mpreun cu operaia de adunare formeaz un grup formularea axiomelor este detaat de natura concret a grupului i de operaia respectiv. Aceasta permite manevrarea unor entiti de origini matematice diferite ntr-o manier flexibil, pstrnd n acelai timp aspecte structurale eseniale comune ale multor tipuri de obiecte. Omniprezena grupurilor n numeroase domeniiatt matematice ct i din afara matematiciiface din ele un principiu central de organizare n matematica contemporan. Grupurile au proprietatea fundamental de apropiere de noiunea desimetrie.

Proprietati ale legilor de compozitieAsociativitateaLegea de compozitie * se numeste asociativa pe multimea M daca:

ComutativitateaLegea de compozitie * se numeste comutativa pe multimea M daca:

Element neutruLegea de compozitie * admite element neutru pe multimea M daca existaastfel incat:

Elemente simetrizabileUn elementse numeste simetrizabil in raport cu legea de compozitie * daca exista x' in M astfel incat:

GrupuriDefinitie:Fie G o multime nevida pe care s-a dat o lege de compozitie *.Spunem ca perecheaformeaza o structura algebrica de grup daca sunt indeplinite conditiile:G1)Legea * este asociativa;G2)Legea * are element neutru;G3)Orice element din G este simetrizabil in raport cu legea *;

Conditiile G1,G2,G3 se numesc axiomele grupului.In plus daca este indeplinita si axioma G4 se spune ca grupuleste comutativ sau abelian. G4)Legea * este comutativa.