newton, leibniz e o cálculo - apresentação
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
1/48
Alunos:
NEWTON, LEIBINIZ E O CÁLC
CMCC
Centro de Matemática, Computação e Cogniçã
Evolução dos Conceitos Matemáticos
Kayo Douglas da Silva
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Matrícula 11 94512
Luciano Henriq
Bacharelado em
Matríc
Santo André – SP
3º. Quadrimestre de 2015 P
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
2/48
Surgimento do Cálculo
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
3/48
Surgimento do Cálculo
• O surgimento do cálculo gerou associações que hoje parecem
época não era trivial concluir acerca da natureza das funções, centre reta tangente e taxa de variação, ou conectar taxas de abaixo de curvas.
• Dois matemáticos são dados como os “pais” do cálculo: SirGottfried Leibiniz.
Isaac NewtonInglês (1642-1727)
Cientista, físico, matemático, astrônomo,
alquimista, filósofo natural e teólogo.
Gottfried Leibniz
Alemão (1646-1716)Filósofo, cientista, matemático,
diplomata e bibliotecário
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
4/48
Surgimento do Cálculo
• Apesar da imensa contribuição de muit
anteriormente, na mesma época e posteriormNewton, eles foram os primeiros a reunir divefazerem um desenvolvimento em alto nívelapesar de terem feito trabalhos independentdividem a autoria de uma das ferramentas maihumanidade.
•
A obra tida como referência para este surgimenem 1687 por Newton (tendo volume 2 e 3 publ1726, respectivamente). Enquanto Newtonaplicações na física, Leibniz desenvolvia notaçõhoje.
Princípios Matemáticos
da Filosofia Natural
Notação de Leibniz:Notação de Lagrange:
′()Nota
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
5/48
A Natureza das Funções
• Análise de funções e problemas do cálcu Funções contínuas
Funções diferenciáveis
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
6/48
Composição de Funções
• É importante aprender a tratar de funções papossa observar e identificar a composição destas Alguns exemplos serão mostrados para que entender o conceito de composição.
• Serão propostos alguns problemas de ancomposição de funções.
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
7/48
Composição de FunçõesExemplo 1:
•
= • = cos()
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
8/48
Composição de Funções
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
=
b =
c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
9/48
Composição de Funções
=
b = c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
10/48
Composição de Funções
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
=
b =
c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
11/48
Composição de Funções
=
b = c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
12/48
Composição de Funções
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
=
b =
c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
13/48
Composição de Funções
=
b = c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
14/48
Composição de FunçõesExemplo 2:
•
= 2
• = ln()
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
15/48
Composição de Funções
= b = c =
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
16/48
Composição de Funções
= b = c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
17/48
Composição de Funções
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
= b = c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
18/48
Composição de Funções
= b = c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
19/48
Composição de Funções
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
= b = c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
20/48
Composição de Funções
= b = c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
21/48
Composição de Funções
• = • = cos()
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
22/48
Composição de Funções
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
= b = c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
23/48
Composição de Funções
= b = c =
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
24/48
Composição de Funções
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
= b = c =
C i d F
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
25/48
Composição de Funções
= b = c =
C i ã d F õ
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
26/48
Composição de Funções
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
= b = c =
C i ã d F õ
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
27/48
Composição de Funções
= b = c =
C i ã d F õ
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
28/48
Composição de Funções
•
= ℎ()• =
C i ã d F õ
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
29/48
Composição de Funções
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
b
c
C i ã d F õ
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
30/48
Composição de Funções
b
c
C i ã d F õ
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
31/48
Composição de Funções
b
c
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
Composição de Funções
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
32/48
Composição de Funções
b
c
Composição de Funções
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
33/48
Composição de Funções
• Identifique qual das opções abaixo representa a função em
b
c
Composição de Funções
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
34/48
Composição de Funções
b
c
Problemas do Cálculo
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
35/48
Problemas do Cálculo
• Após a análise, são propostos dois problemas e
funções compostas para que se entenda a imporlimitações do cálculo:
O valor de 0 ;
A integral de −² ;
Problema do
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
36/48
Problema do
• A partir do que se conhecia no princípio do uso da potenciação comnúmero, observado que só eram trabalhados expoentes naturais e m
pode-se inferir as seguintes propriedades: . = +
= −
• Posteriormente, no estudo do quadrado e seu lado em função da áre
estudo das raízes e suas relações com os expoentes, foram estabepropriedades:
= ⇒ =
= ⇒ − =
=
Problema do
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
37/48
Problema do
• Dessa forma, podemos encontrar o valor de x elevado a qualquer núaté aproximar soluções irracionais. Percebeu-se, então, que faltava
expoente nulo. A seguinte construção nos leva a determinar o valor d
= − . ⇒ − =
• Como por exemplo:
2
=
=
• Logo:
=
Problema do
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
38/48
Problema do
• Dessa forma, podemos ver que:
lim→
= lim→
= lim→ 1 = 1
• Isso pode ser verificado no gráfico abaixo
Problema do
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
39/48
Problema do • Mas também há outras três formas de analisar esse problema. A s
analisando a função = 0. Observe a construção a seguir:
0. = 0, ∀∈
R 0 = 0. 0−
0 = 0, ∀ > 0• Portanto a função () é igual a 0 em todo o seu domínio ∈
função é descontínua em = 0. Portanto, só podemos verificar o limlim
→0 = lim
→0 = 0
Problema do
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
40/48
Problema do • A terceira tentativa de analisar esse valor é pela função ℎ
construção também apresenta problemas quando tratamos de seu
função também possui descontinuidade em 0, porém o valor do limiigual a 1:(Usando que 1 = 1, ∀ ∈ )lim
→ = lim
→(
) = lim→
x() = lim→
()()= lim→
1− =
Problema do
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
41/48
Problema do • O problema deste método é o fato de a função ℎ = possuir desenvolvim
funções em todos os pontos (ou seja, ser analítica) com exceção de 0.necessidade, tomemos uma função não–analítica em todos os pontos e ten
zero quando x a zero tende, como é o caso da função = −, e uma fdefinirmos a composição = ()(). O cálculo do limite nos dá um rdos outros explorados:
lim→
()() = lim→
−
=
≅ 0.36787944117
Problema do
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
42/48
Problema do • A partir das quatro construções observadas, podemos observar
calcular o valor de 0, podemos descobrir valores altamente disc
forma se torna praticamente impossível determinar uma única problema.
Problema do −²
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
43/48
Problema do • Os livros e cursos básicos de cálculos dados nas un
ensinam as mesmas técnicas de integração há mfato que abre, dentre muitas, duas questões importa
No patamar que já alcança a computação atuaainda necessário o aprendizado completo exaustão destas técnicas?
Estas técnicas buscam resolver integrais, encoa solução onde o símbolo não esteja prtermos de funções elementares; será que todaelementares têm integrais solúveis desta form
Problema do −²
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
44/48
Problema do • Vamos procurar uma resposta para a segunda questão, p
temos a definição de funções elementares, elas são:• Funções polinomiais;• Funções racionais;• Funções algébricas;• Funções exponenciais, particularmente = ;• Funções logarítmicas, particularmente = ln();• Funções trigonométricas (inclusive inversas e hiperbólicas);• Ou ainda, todas as funções, que por um número finito de et
construídas com as funções anteriores, por meio de operproduto e composição de funções.
Problema do −²
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
45/48
Problema do • Existem funções cujas antiderivadas não podem ser expressas em termos de
es, integrais onde são inúteis as técnicas de integração mais comuns; conhecido é o da função e−x
. Apesar de ser uma função elementar, foi
impossível obter sua primitiva utilizando apenas as funções supracitadas.
F
• O Teorema de Liouville (teve grande participação de outro matemáticofrancês: Augustin-Louis Cauchy) prova que certas integrais de funçõeselementares, não podem ser expressas em termos de funções elementares,como por exemplo:
=
= ln
= ()
= −
Problema do −²
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
46/48
Problema do • Esta última, importante em muitas áreas, como por exemplo a da pro
estatística, onde ganha o nome de função de Gauss.
Solução do problema do −²
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
47/48
Solução do problema do • A função () = −
pode ter sua integral resolvida em term
quando tem como limites de integração ∞ e ∞. Temos: −+
−
• Também ter sua antiderivada expressa em termo de funções nãofunção erf =
2
−
é denominada função erro, e podem
− =
2 er f .
Bibliografia
-
8/18/2019 Newton, Leibniz e o Cálculo - Apresentação
48/48
Bibliografia
• FILHO, D. C. D. M. Professor, qual a primitiva de (e^x)/x?. In: FILHO, D. Ctica Universitária. Campina Grande-PB: Departamento de Matemática e Esta
•
[2] RAMPANELLI, D. O Teorema de Liouville sobre Integrais Elementares. R2009.• [3] SODRÉ, U. Sercomtel - Matemática Essencial. Portal Sercomtel, 2004. D
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/zerozero/zero em: 05 nov. 2015.
• [4] BY MTH. By Math: Definite Integral. Newton - Leibniz formula. By Math vel em: . Acessoo 2015.
•
[5] E-CÁLCULO. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). Portal E-Cálculnivel em: . Acesso em: 22 Ou• [6] HISTORY CHANNEL. Isaac Newton. Seu History, 2012. Disponivel em:
euhistory.com/node/159791>. Acesso em: 27 Outubro 2015.