Nezávislé pokusy

Nezávislé pokusy

Příklad 1: Vyjádřete pravděpodobnosti možných výsledků při 3 hodech mincí.

Ω = {LLL, LLR, LRL, LRR, RLL, RLR, RRL, RRR}

P(LLL) = P(LLR) = . . . = P(RRR)=1/8

P(LLL) = 1/8 = ½ ∙ ½ ∙ ½ = P(L) ∙ P(L) ∙ P(L)

P(LLR) = 1/8 = ½ ∙ ½ ∙ ½ = P(L) ∙ P(L) ∙ P(R)

. . .

Nezávislé pokusy

• Nechť je sdružený náhodný pokus tvořen n dílčími pokusy. Řekneme, že dílčí náhodné pokusy jsou nezávislé, jestliže pro každý výsledek (1, 2, …, n) sdruženého pokusu platí

P(1, 2, …, n) = P(1)∙P(2)∙...∙P(n),

kde 1, 2, …, n jsou výsledky dílčích pokusů.

Nezávislé pokusy

Příklad 2: Určete pravděpodobnost výhry ve Sportce v I. pořadí (uhodneme všech 6 čísel ze 6 tažených) a porovnejte tuto pravděpodobnost s pravděpodobností padnutí n líců při n hodech mincí (tj. určete pro jaký počet mincí jsou tyto pravděpodobnosti přibližně stejné).

Nezávislé pokusy

Příklad 3: Představme si, že budeme ve Sportce sázet každý týden jednu sázenku. S jakou pravděpodobností získáme během jednoho roku alespoň jednou výhru v V. pořadí? (Výhru v V. pořadí získáme, uhodneme-li 3 čísla ze 6 tažených.)

Bernoulliovo schéma

• Uvažujeme náhodný pokus, při kterém je pravděpodobnost, že nastane sledovaný jev rovna p. Pravděpodobnost, že při n-násobném nezávislém opakování tohoto náhodného pokusu nastane sledovaný jev k-krát je

k = 0, 1, 2, …, n

,1 )P( knk ppk

nk

Bernoulliovo schéma

Příklad 4: Pravděpodobnost narození dívky je 0,48. Určíme jaká je pravděpodobnost, že v rodině se čtyřmi dětmi je jedna dívka a tři chlapci.

Ze zadání je n = 4, k = 1, p = 0,48. Po dosazení dostaneme

.270,052,048,0!3!1

!4

48,0148,01

4)1(

3

31

P

Bernoulliovo schéma

• Podobně je možné spočítat pravděpodobnost i pro jiné podoby rodin se čtyřmi dětmi:

k – počet dívek

0 1 2 3 4

P(k) 0,073 = 7,3%

0,270 = 27,0%

0,374 = 37,4%

0,230 = 23,0%

0,053 = 5,3%

Bernoulliovo schéma

Příklad 5: Jaká je pravděpodobnost, že při 10 hodech kostkou padne šestka

a) právě třikrát;

b) nejvýše jednou;

c) alespoň jednou?

Bernoulliovo schéma

Příklad 6: Písemný test je tvořen 12 otázkami. Každá z otázek má 5 možných odpovědí, z nichž právě jedna je správná. Pro úspěšné zvládnutí testu je potřeba správně zodpovědět alespoň 8 otázek. Student je na test naprosto nepřipraven, odpovědi volí náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že se mu podaří test úspěšně zvládnout?

Bernoulliovo schéma

k – počet správných odpovědí

P(8) + P(9) + P(10) + P(11) + P(12) = 0,00058

k 8 9 10 11 12

P(k) 0,00052 0,000058 0,000004 0,0000002 0,000000004