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NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)
NF04Modélisation numérique des problèmes de l’ingénieur
Intervenants :•E. Lefrançois (4988) : resp. UV•M. Rachik•A. Rassineux
NF04 - Automne - UTC 2Version 09/2006 (E.L.)
En quelques mots …
Fournir des outils dédiés pour la résolution informatique des phénomènes physiques
Source : ONERA
Source : technoscience
Structure
Thermique
Fluide
Modèle réel Modèle numérique
NF04 - Automne - UTC 3Version 09/2006 (E.L.)
Pourquoi NF04 ?
Passage incontournable dans la boucle de conception d’un produit industriel Automobile, aéronautique, acoustique, génie civil … 1 emploi ingénieur sur 3 concerné par le numérique
99 % de la physique sous la forme d’E.D.P.
« Outils » mathématiques actuels valables pour moins de 1 % des cas !!
NF04 - Automne - UTC 4Version 09/2006 (E.L.)
Présentation générale
Déroulement sur 15 semaines: Cours TD/TP sur machines (Windows et Unix)
Moyens à disposition: Ensemble de scripts de calculs sous Matlab Ideas Site web nf04 : http://www4.utc.fr/~nf04 Mecagora : http://www.utc.fr/~mecagora
Évaluation: Devoirs (10%), médian (30%), final (40%) Mini projet (20%) (20-30 h)
Acoustique automobile, musicale Transport-diffusion d’un polluant Portance profil porteur …
Acoustique automobile
Pollution d’un lac
Portance aile d’avion
NF04 - Automne - UTC 5Version 09/2006 (E.L.)
Bagages nécessaires …
Mathématique : Équations différentielles ordinaires Techniques d’intégration standard Opérations matricielles de base Notion d’interpolation
Physique : ?
Ingénieur : développer le bon sens et un esprit critique
Informatique : apprentissage de l’outil Matlab
NF04 - Automne - UTC 6Version 09/2006 (E.L.)
Site web Mecagora : portail UTC « ouvert »
Accès au cours
NF04 - Automne - UTC 7Version 09/2006 (E.L.)
Site web Mecagora : page d’accueil
caractéristique
NF04 - Automne - UTC 8Version 09/2006 (E.L.)
Site web Mecagora : accès aux exemples
caractéristique
NF04 - Automne - UTC 9Version 09/2006 (E.L.)
Site web Mecagora : lecture d’un exemple
caractéristique
Boucle de modélisation
NF04 - Automne - UTC 10Version 09/2006 (E.L.)
Site web Mecagora : 300 fiche-notions type cours
caractéristique
NF04 - Automne - UTC 11Version 09/2006 (E.L.)
Plan du cours
Introduction générale
Différences finies 1D, 2D
Éléments finis 1D, 2DMédian
Problèmes temporels du 1er ordre
Problèmes temporels du 2nd ordre
Analyse de stabilité
Analyse modaleFinal
NF04 - Automne - UTC 12Version 09/2006 (E.L.)
Cours 1
Introduction générale
• Généralités• Concept de la boucle de modélisation• Apprentissage « simple » par l’exemple : thermique 1D
NF04 - Automne - UTC 13Version 09/2006 (E.L.)
Principe des méthodes numériques
Objectif : fournir une solution approchée du comportement réel d’un phénomène physique.
On parle ainsi de « modèles numériques »
La physique possède un caractère: Tridimensionnel Temporel Non linéaire (HPP, matériaux …)
Le rôle du modélisateur est de simplifier suffisamment le problème tout en conservant l’essentiel de la physique à l’origine du phénomène étudié
Donc : Approchée = simplifiée
Mais chaque hypothèse simplificatrice doit être justifiée, d’où une remise en cause possible des modèles numériques !
NF04 - Automne - UTC 14Version 09/2006 (E.L.)
Généralités
Système physique•Linéaire•Non linéaire
Discret
Continu
Stationnaire
Instationnaire
Équilibre
Valeurs propres
Stationnaire
Instationnaire
Équilibre
Valeurs propres
K U F
K U M U
0 0( ), ( )
v
s
mu cu u f
u f
u t u t
sur S
connus.
L
C
Différences finiesÉléments finis
0v
s
u f
u f
sur V
sur S
L
C
u u
u u
sur V
sur S
1 2
1 2
L L
C C
0 0( ) , ( )
M U C U K U F
U t U t
connus.
NF04 - Automne - UTC 15Version 09/2006 (E.L.)
Exemples d’hypothèses simplificatrices (1/3)
Dimension du problème : 1, 2 ou 3 dimensions Existence ou non de dimensions négligeables devant les autres ?
Comportements linéaires ou non : HPP vérifiée ? Caractéristiques matériaux bien identifiées ?
Hauban : 1D Tablier : 2D
Pile de pont : 3D ou 1D ?
NF04 - Automne - UTC 16Version 09/2006 (E.L.)
Exemples d’hypothèses simplificatrices (2/3)
Problème temporel ou non : Réponse liée aux échelles de temps caractéristiques :
… des sollicitations externes … du fluide, du matériaux …
Solution recherchée sur une courte ou longue période ?
Air environnant (très affecté) : analyse instationnaire
Source : ldeo.columbia
ensoleillement
Sol (peu affecté) :analyse quasi-statique
NF04 - Automne - UTC 17Version 09/2006 (E.L.)
Exemples d’hypothèses simplificatrices (3/3)
Présence ou non de couplages multi physiques ?
Échelle des temps caractéristiques : fluide (~10-6s), structure (~10-2s), thermique (~10s) ...
Réponse en fonction du rapport des temps :
Réduite
Temps caractéristique solideU =
Temps caractéristique fl uide
RéduiteU <<1 RéduiteU 1 RéduiteU >>1
Réservoir en ballottementAcoustique musicale
(fluide ~ immobile % solide)
Aéroélasticité supersonique(solide ~ immobile % fluide)
Ouvrages génie civil (pont …)(fluide et solide se « voient »)
NF04 - Automne - UTC 18Version 09/2006 (E.L.)
Complexité : multi compétences
Structure:•Tenue•Fatigue•Aéroélasticité•Fréquences•Commandes•…
Fluide:•Aérodynamique•Traînée•Acoustique•…
Moteurs:•Combustion•Poussée•Acoustique environmentale•…
Intérieur:•Capacité transport•Confort passagers•…
Source : futura-sciences
NF04 - Automne - UTC 19Version 09/2006 (E.L.)
Chaîne de conception « industrielle »
Conception Simulation Expérimental Production
Sources : engineering.swan ONERA
Aérodynamique
Aéroélasticité
Tenue mécanique
NF04 - Automne - UTC 20Version 09/2006 (E.L.)
« Boucle de modélisation »
Modèlephysique
Modèlemathématique
(continu)
Modèlenumérique
(algébrique)
Modèleinformatique
NF04Démarche en 4 étapes (ou modèles) distinctes :
Écart entre solution réelle et solution exacte
du problème mathématique
Sources d’erreurs
Écart entre solution exacte du problème mathématique
et solution du système discret
Écart entre solution exacte du système discret et solution
informatique= + +
NF04 - Automne - UTC 21Version 09/2006 (E.L.)
« Boucle de modélisation »
•Observation du phénomène•Définition des objectifs
NF04
Modèle mathématique Modèle discret Modèle informatique
( , , ...) 0u u
L u fx t
Conditions auxlimites
et initiales
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
k k k u f
k k k u f
k k k u f
Modèle physique
L’idéal est d’avoir une approche indépendante : de la physique étudiée ; de la dimension géométrique du problème ; du régime (stationnaire ou non) ; de la méthode de discrétisation et des schémas employés.
NF04 - Automne - UTC 22Version 09/2006 (E.L.)
Analyse des sources d’erreurs
Mathématique : 3D 1D, 2D? temporel ? grands déplacements et grandes rotations ou HPP ? loi de comportement du matériaux absence de couplage ?
Algébrique : choix du découpage, de l’élément choix de l’algorithme de résolution …
Informatique : précision machine programmation …
Question : qu’est-ce qu’un bon modélisateur ? il annule les erreurs
estime et contrôle
NF04 - Automne - UTC 23Version 09/2006 (E.L.)
Apprentissage par l’exemple …« Isolation thermique d’un mur »
Objectif : Réduire les pertes caloriques par une meilleure isolation : il nous faut
donc connaître le profil de température au travers du mur et en déduire le flux.
Méthode : Différences finies
Simplifications du modèle : Stationnaire : à justifier ! Un seul isolant Rayonnement négligeable : à justifier ! Monodimensionnel : à justifier !
Source : www.isover.be - Saint Gobain
NF04 - Automne - UTC 24Version 09/2006 (E.L.)
Modèle physique
Pertes caloriques = flux thermique : q(x) (W/m2) Fonction des matériaux employés
Conductivité thermique : k (W/°C-m) Fonction du champ de température : T(x) (°C)
Loi de comportement entre flux et température (Fourier) Fonction des échanges avec l’extérieur : h (W/°C-m2) et Text
Objectifs : Calculer la température en tout point En déduire les valeurs de flux pour déterminer les pertes
NF04 - Automne - UTC 25Version 09/2006 (E.L.)
Modèle mathématique
Définition du domaine d’étude :
Équilibre thermique régi par :
Loi de comportement :
Conditions aux limites (CL) : Température imposée en x=0 (CL type Dirichlet) : Condition en flux en x=L (CL type Cauchy) :
. 0, 0,vq x f x L ]]]]]]]]]]]]]]
q x k T x
0 30T C
0,x L
L
extq L h T L T
2
20, 0,soit à résoudre: v
d T xk f x Ldx
NF04 - Automne - UTC 26Version 09/2006 (E.L.)
Modèle numérique (1/4)
Discrétisation du domaine d’étude : Notion de discrétisation : nombre fini de nœuds de calcul
Nœud fictif pour traiter la condition à la limite en dérivée en x=L
On associe une variable inconnue par nœud : soient 5+1=6 inconnues
Objectif suivant : trouver 6 équations !
1 2 3 4 5 6
T1 T2 T3 T4 T5 T6
NF04 - Automne - UTC 27Version 09/2006 (E.L.)
Discrétisation des termes de dérivées (démonstration au prochain cours) :
Modèle numérique (2/4)
2
2
1
1
21 1
2 2
1 1
(1)
(2)
21 2
1 2
...
...
...
.2
..
i i
i
i i
i
i i i
i
i i
i
T TdT
dx x
T T
x
x
x
x
dT
dx x
T T Td T
dx x
T TdT
dx x
Décentré droit
Décentré gauche
Centré
Centré
Termes tronqués
Type
Précision du schéma
NF04 - Automne - UTC 28Version 09/2006 (E.L.)
Modèle numérique (3/4)
L’équation d’équilibre devient :
Les conditions aux limites deviennent :
2
2
1 12
0 2,..,5
20
vi
i
i i ivi
d Tk f idx
T T Tk f
x
1
5 1 5 15
5
6 4 5
30
2
2
exti
ext
T
T TdTk k h T Tdx x
h xT T T T
k
4 eq.
6 inconnues
2 eq.
Au total : 6 équations pour 6 inconnues
NF04 - Automne - UTC 29Version 09/2006 (E.L.)
Modèle numérique (4/4)
Réorganisation matricielle
Plus qu’à résoudre ce système ….
2
3
3
2
1
2 2 2 2
2 2 2 3
2 2 2 4
2 2 5
301 0 0 0 0
20 0
20 0
20 0
2 20 0 0 2N ext
f
f
f
f
T
k k kTx x x
k k kTx x x
k k kTx x x
h k h hTTx x x x
Astuce : on a éliminé T6
NF04 - Automne - UTC 30Version 09/2006 (E.L.)
Modèle informatique (langage Matlab)
clear allclose
%----- Paramètres géométriques et physiquesL = 1; % longueur mk=2; % coeff. de conductivité W/°C-mh=3; % coeff. d’échange convectif W/°C-m2
f0=10; % production W/m3T0=30; Text=10; % conditions aux limites
%----- Paramètres numériquesnnt=input('entrer le nombre de points: ');dx = L / (nnt - 1); % pas de discrétisationvkg=zeros(nnt,nnt); % initialisation de la matricevfg=zeros(nnt,1); % initialisation du second membrec=k/dx^2;
% Schéma aux différences finies [-1 2 -1]*k/dx^2for i=2:nnt-1
vfg(i) = -f0; vkg(i,[i-1 i i+1])=[c -2*c c];end
%---- Condition de Dirichletvkg(1,1)=1; vfg(1)=T0;
%---- Condition de Cauchyvkg(nnt,[nnt-1 nnt])=[2*h/dx^2 –2*(k/dx^2+h/dx)]; vfg(nnt)=-f0-2*h*Text/dx;
%----- Résolutionvsol = vkg\vfg
%---- Affichage vcorg = 0:dx:L; % Coordonnées des noeudsplot(vcorg,vsol,'b -o') % trace solution calculée …
Post-traitement des résultats
Puis analyse …