nhjf?

1

ПОГЛАВЉЕ X

ФОРМЕ, ВЕКТОРИ, И КООРДИНАТЕ

ОВО поглавље је збирка различитих резултата алгебре (§§ 10

.1-10

.3) и ана-

литичке геометрије (§§ 10.4-10

.8). Већина њих су познати, а остали су врло

блиски познатим теоремама. Они су овде укључени делимично због њихо-

ве суштинске користи, али углавном ради њихове примене на теорију ре-

флексијских група, која ће бити развијана у поглављима XI и XII. Алгебар-

ски део се углавном односи на квадратне форме чији "производ" чланови

немају позитивне коефицијенте, посебно на услов да за такву форму није

могуће узимање негативне вредности. У геометријском делу видећемо како

је положај тачке, у n димензионалном Еуклидовом простору, одређен

њеним растојањима од n хиперравни (нагнутих једна према другој под

одређеним угловима).

10.1. РЕАЛНЕ КВАДРАТНЕ ФОРМЕ. Хомогени полином другог степена

са n променљивих nxx ,,1 зове се квадратна форма. Ми ћемо обрадити

само случај где су коефицијенти и променљиве реални бројеви. Постоје

"квадрат" чланови као 2

111xa и "производ" чланови као 21122 xxa , које ћемо

писати и као 212112 xxaa . Читава форма је изражена као двострука сума

10.11 kiik xxa ,

где је kiik aa . Коефицијенти су елементи симетричне матрице ika .

За квадратну форму кажемо да је позитивно дефинитна ако је позити-

вна за све вредности променљивих изузев 0,,0 , а да је позитивно семи-

дефинитна ако није негативна,али је једнака нули и за неке вредности про-

менљивих које све нису нула. За квадратну форму кажемо да је индефини-

тна ако је позитивна за неке вредности променљивих, а негативна за друге.

Тако за 2n , 2

2

2

1 xx је дефинитна, 2

21 xx је семидефинитна, а 2

2

2

1 xx

је индефинитна.

Нека ikA означава кофактор од ika у детерминанти ikaa det . Тада зна-

мо да је*

10.12 jkikij aAa ,

где "Кронекерова делта" значи 1 или 0 према томе да ли је kj или

је kj . (Кад је kj , 10.12 је обичан развој детерминанте a по k тој

коло-ни. Кад је kj , то је аналогни развој детерминанте са две једнаке

колоне.)

Прва од следећих теорема је врло добро позната:

10.13. Детерминанта позитивно дефинитне форме је позитивна.

ДОКАЗ. Ово је тривијално кад је 1n . Сад применимо индукцију, и * Кад год се јавља неусловљено Σ, подразумева се да променљива сумације буде она која се јавља двоструко у

2

изразу.

§ 10.1 СЕМИДЕФИНИТНЕ ФОРМЕ 155

претпоставимо да резултат важи за сваку позитивно дефинитну форму од

1n променљивих, тако што је изведен од задате позитивно дефинитне

форме 10.11 стављањем 0kx ; тј. ми претпостављамо да је 0kkA . Како

је 10.11 позитивно дефинитна, то онда она мора да има позитивну вредност

и за iki Ax , па у том случају, према 10.12 важи

kkkjjkjiij aAaxxaxxa 0 .

Дакле, 0a .

------------------------------------------------------------------------------------------------- КОМЕНТАР ПРЕВОДИОЦА

Ако је 0kx , онда квадретна форма има једну променљиву мање (тј. 1n ) у односу

на полазну; њена детерминанта се добија кад се из полазне искључи к-та врста и к-та ко-

лона, а то је онда кофактор полазне, Акк, који је по претпоставци у индукцији позитиван.

Остало се добија на основу претпоставке теореме по 10.12. Последњи израз следи из чиње-

нице да је iki Ax , па је за ki kkk Ax .

-------------------------------------------------------------------------------------------------

10.14. Ако позитивна семидефинитна форма kijk xxa има вредност

нула за ii zx ni ,,1 , тада је

0ikiaz nk ,,1 .

ДОКАЗ. Како је форма позитивно семидефинитна, то је онда она позитивна

или једнака нули за све вредности x ова; посебно, кад је iii zyx . Та-

ко да неједнакост

kiikkiikkkiiik yzayyazyzya 20

мора да важи за произвољне вредности од и од y ова. Али је ово могу-

ће само ако је коефицијент уз једнак нули, што значи да, за произвољне

вредности y ова важи

0kiik yza .

Тако је 10.14 доказано.


.

0

2

2

kiikkiikkiikkiik

kikikikiikkkiiik

zzayzazyayya

zzyzzyyyazyzya

02 ki zz по претпоставци, а изрази kiik zya и ikik zya

су једнаки, па отуд следи

kiikkiikkkiiik yzayyazyzya 20 .

Први члан на десној страни је полазна позитивна семидефинитна форма, па је као такав

овај израз ненегативан. Вредности другог члана зависе од који може бити и такав нега-

тиван број да збир ова два члана буде негативан, што је немогуће јер је њихов збир пола-

зна форма. Према томе неједнакост ће бити задовољена за све y -ове ако је коефицијент

уз једнак нули.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3

Следи да су вредности nxx ,,1 за које семидефинитна форма 10.11 има

156 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 10.2

вредност нулу решења система једначина

10.15 0iik xa nk ,,1 .

Овај скуп вредности представља вектор простора од n димензија, где

је ранг матрице ika . Овај број n се понекад зове нулиште форме.

Посебно, ако је 1 n , онда постоји решење nzz ,,1 , тако да је сва-

ко друго решење умножак од овог, тј. nzz ,,1 .

У припреми за значајну теорему 10.22, потребна нам је још једна дефи-

ниција. Форма је, кажемо, неповезана (немачки zerlegbar) ако је она сума

две форме које укључују раздвојене скупове променљивих; а ако не, онда

је, кажемо, повезана: на пр. 2

2

2

1 xx је неповезана, а 2

221

2

1 xxxx је пове-

зана.

10.2. ФОРМЕ СА НЕПОЗИТИВНИМ ПРОИЗВОД ЧЛАНОВИМА. Ми ће-

мо се посебно бавити са оним квадратним формама у којима је 0ika кад

год је ki . Кратко, назовимо их a формама.

10.21. Ако позитивно семидефинитна a форма постиже вредност нула

за ii zx , онда она постиже вредност нула и за ii zx .

ДОКАЗ. Изрази kiik zza и kiik zza се разликују само по оним

члановима за које је 0ki zz . Али за такве чланове је 0ika . Дакле,

00 kiikkiik zzazza ,

и ми можемо ставити "=" уместо "≤".

10.22. Свака позитивно семидефинитна повезана а-форма је нулишта 1.

ДОКАЗ. Нека нам је прва претпоставка да задата позитивно семидефини-

тна а-форма има вредност нула за ii zx , где је 021 mzzz ( nm ), док

су остали z ови нула. На основу 10.21 и 10

.14, имамо

0 iki az ,

а овде су једини ненула чланови они за које је mi . Отуд је

mi mk

iki az 0

и ова сума садржи непозитивне чланове. Дакле, 0ika кад год је mi и

mk ; тако да је форма неповезана.

Тада следи да, ако је форма повезана, онда мора бити

021 nzzz .

Свако решење од 10.15 мора бити пропорционално са nzz ,,1 ; јер, два

непропорционална решења могу бити комбинована тако да дају решење са

неким (али не свим) од x ова једнаким нули. Другим речима, решења са-

чињавају једнодимензионални векторски простор, а форма је нулишта 1.

4

Како је свако решење од 0kiik xxa пропорционално са позитив-

§ 10.2 СЕМИДЕФИНИТНЕ ФОРМЕ 157

ним решењем nzz ,,1 , то су онда x ови за које позитвно семидефини-

тна повезана а-форма има вредност нулу или сви позитивни или сви нега-

тивни или сви нула. Следеће две теореме следе непосредно на основу ових

примедби.

10.23. За сваку позитивно семидефинитну повезану а-форму постоје пози-

тивни бројеви iz такви да је

0ikiaz nk ,,1 ,

они су јединствени, независно од очигледне могућности множења свих

истом константом.

10.24. Ако модификујемо позитивно семидефинитну повезану а-форму та-

ко што се једна променљива изгуби (елиминише), тада добијамо позитив-

но дефинитну форму од преосталих променљивих.

На пример, 211332

2

3

2

2

2

1 xxxxxxxxx је семидефинитна, али је

21

2

2

2

1 xxxx дефинитна.

Друга особина коју позитивно семидефинитне повезане а-форме деле са

позитивно дефинитним формама је следећа:

10.25. Квадратни чланови позитивно семидефинитне повезане а-форме су

сви позитивни.

ДОКАЗ. За свако k постоји бар један ненула коефицијент ika ( ki ), или

би иначе форма била неповезана у односу на члан 2

kkk xa . Стога морамо има-

ти 0kka , да уравнотежи негативне чланове у ikiaz . (Видети 10.23.)

У другу руку, следећа особина разликује ове од дефинитних форми:

10.26. Позитивно семидефинитна повезана а-форма постаје индефинитна

кад се било који од њених коефицијената смањи.

ДОКАЗ. Према 10.25, форма узима позитивну вредност 11a за 0,,0,1 пре

и после модификације. Према 10.23 постоје позитивни бројеви nzz ,,1 , та-

кви да је 0kiik zza . Али ако смањимо један од ika ова смањи се и

овај израз. Дакле, модификована форма је састављена и од позитивних и од

негативних вредности.

Занимљиво је запазити да z ови могу бити изражени директно помоћу

коефицијената ika :

10.27. Ако позитивно семидефинитна повезана а-форма узима вредност

нулу за ii zx , тада је

iii Az ,

5

где је iiA кофактор од iia у детерминанти а, а је произвољна константа.

ДОКАЗ. Решавајући систем једначина 10.15 помоћу детерминаната, уоча-


вамо да су nzz ,,1 пропорционални елементима било које врсте или коло-

не припадне матрице ikA . Отуд

kiik zzA ,

где се, применом 10.13 и 10

.24 на случај ki , добије 0 . Жељени резул-

тат следи кад ставимо 2

1

.

Узгред, како је kiik zzA , то су онда и z ови позитивни.

10.3. КРИТЕРИЈУМ ЗА СЕМИДЕФИНИТНОСТ. С обзиром на примене ко-

је ћемо чинити у следећем поглављу, ми желимо да будемо способни да на

први поглед уочимо да ли је задата а-форма семидефинитна. Погодан кри-

теријум је лако установити на основу следеће леме:

10.31. Ако је

n

i

ikk as1

nk ,,1 и kiik aa , тада је

22

2

1kiikkkkiik xxaxsxxa .

ДОКАЗ. Имамо

k

k

i

iikk

i

ikkkiik xxaxasxxa

= kikikkk xxxaxs 2 .

Писањем истог резултата заменом i са k и обрнуто (у завршној суми) и са-

бирањем тих једнакости, добијамо

222 ikikkkkiik xxaxsxxa ,

што се и желело.

Писањем i

i

z

x уместо ix , kk sz уместо ks , и ikki azz уместо ika , изводимо

10.32. Ако је 021 nzzz и kiki saz ( nk ,,1 ), тада је

22

2

1

k

k

i

i

ikki

k

kk

kiikz

x

z

xazz

z

xsxxa .

Сад смо спремни за критеријум

10.33. Ако постоје позитивни бројеви nzz ,,1 такви да је

0 ikiaz ( nk ,,1 ),

тада је а-форма kiik xxa позитивно семидефинитна.

6

ДОКАЗ. Према 10.32 уз 0ks и 0kz и 0ika , задата форма је једнака

суми квадрата, и као таква не може бити негативна.Али је једнака нули кад

је kk zx . Отуд је она позитивно семидефинитна.

§ 10.4 ВЕКТОРИ 159

Комбиновањем ових ових резултата са 10.23, имамо

10.34. Потребан и довољан услов да повезана а-форма буде позитивно

семидефинитна је да постоје позитивни бројеви nzz ,,1 такви да је

0 ikiaz .

10.4. КОВАРИЈАНТНЕ И КОНТРАВАРИЈАНТНЕ БАЗЕ ВЕКТОРСКОГ

ПРОСТОРА. Унутрашњи производ (или скаларни производ) два вектора x

и y, у n димензионалном Еуклидовом простору, дефинисан је формулом

xּy=|x| |y| cos ,

где су |x| и |y| њихове дужине, а θ угао између њих . Посебно је xּx= |x|2 .

Како је простор n димензионални, ми можемо изабрати n линеарно

независних вектора neee ,,, 21 . Они спрежу простор, у смислу да је сваки

вектор x јединствено изражен као линеарна комбинација*

n

nexexex 2

2

1

1 .

n изабраних вектора ie зовемо коваријантна база, а коефицијенти ix се зо-

контраваријантне компоненте вектора x. Дужина од x је задата са

10.41 |x|

2= xּx= ki

ikk

k

i

i xxaexex ,

где је

10.42 kiik eea kia .

Посебно, дужина од ie је iki ae .

Угао, , између вектора x и y, задат је са

10.43 |x| |y| cos = x ּy= ki

ik xxa .

Посебно, ненула вектори x и y су нормални ако је

0 ki

ik xxa .

Дужина |x| не може бити нула ако нису све компоненте ix нула; дакле, ква-

дратна форма 10.41 је позитивно дефинитна, а према 10

.13 и њена детерми-

нанта а је позитивна.

Сада, узимајући ikA као у 10.12, и ставимо

a

Aa ikik , тако да је

k

j

ik

ij aa

(који значи 1 или 0 према томе да ли је kj или kj ). Размотримо нови

скуп од n вектора

10.44 k

iki eae .

Они опет спрежу простор, према томе

10.45 jk

k

jk

ik

ij

i

ij eeeaaea ;

7

тако да их погодно можемо назвати контраваријантном базом. Задати век-

тор x има коваријантне компоненте ix , тако да је

x= i

iex .

* Овде x1, x2, итд. не значе степене од x. До краја овог поглавља степене ћемо избегавати,, сачуваћемо их само у

таквом изразу као што је x2, где не може бити било какве забуне.


Оне су повезане са контраваријантним компонентама формулама

i

ijj xax , j

iji xax , које су добијене

заменом 10.44 или 10

.45 у векторском идентитету j

ji

i exex .


Заменом 10.44 у овом векторском идентитету добија се

j i j

j

j

j

ij

i

j

j

j

i j

j

ij

i

j j

j

j

j

ij

i

i exeaxexeaxexeax

00

j i

j

jij

ij

j

j

j

i

ij

i

j

j exaxeexaxe

0

j

j

i

ij

ij xaxe . Како су je јединични вектори, то је онда последња једна-

кост могућа ако је 0

j

i

ij

i xax , одакле следи прва формула; друга се добија за-

меном 10.45 у поменутом идентитету на исти начин.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

У овом обележавању унутрашњи производ 10.43 је просто

10.46 xּy= k

ki

i yxyx .

Тако да је дужина од x

10.47 |x|= i

i xxxx .

Да бисмо нашли геометријски смисао за контраваријантну базу, запази-

мо да, како је

i

jjk

ik

jk

ik

j

i aaeeaee ,

то је онда сваки ie нормалан на сваки je изузев ie . Другим речима, ie је

нормалан на 1n димензионални векторски простор спрегнут са 1n

вектора je ; и ie је слично повезан са je овима. Шта више, дужина од ie је

таква да је 1 i

i ee . (Видети Сл. 10.4А за пример са 2n . Кад је 3n , та-

2e 2e

1e 1e

8

Сл. 10.4А

да је1ea познати спољашњи, или векторски производ, 32 ee .)

Компоненте од x могу бити дефинисане као унутрашњи производ векто-

§ 10.5 РЕЦИПРОЧНЕ РЕШЕТКЕ 161

ра x са e овима; јер је

x j

i

jij

i

ij xxeexe ,

и слично

x kk xe .

Узимајући x ie у овој последљој релацији, изводимо из 10.44 да је

ikki aee .

(Видети 10.42.) Отуд је реципрочност између "коваријантан" и "контрава-

ријантан" потпуна.

10.5. АФИНЕ КООРДИНАТЕ И РЕЦИПРОЧНЕ РЕШЕТКЕ. Ако смо иза-

брали утврђен почетак,О, тада сваки вектор x одређује тачку x и хиперра-

ван x , наиме тачку чији је вектор положаја из О вектор x, и хиперраван

кроз О која је нормална на x.Ако схватимо ко (или контра) варијантне ком-

поненте од x као координате од x , тада су контра (или ко) варијантне

компоненте тангенцијалне координате за x . У ствари, услов да тачка x и

раван y буду припадне, тј. да x лежи у y , је x · y=0. (Видети 10.46.)

Растојање између тачака x и y је

|x-y|= ii

i yxyx .

Растојање између тачке x и хиперравни y , мерено дуж нормале, је про-

јекција вектора x на вектор y, наиме

10.51

i

i

i

i

yy

yx

y

yx.

Кад је y координатна хиперраван 0kx , имамо

i

k

iy , ik

j

kiji aay ,

а растојање је

10.52

kk

k

a

x.

Скуп тачака x чије су коваријантне координате цели бројеви чине ре-

шетку тј. скуп слика тачке групом транслација. (Видети § 4.3.) Транслације

које се изводе задате су контраваријантном базом вектора ie . Слично, та-

чка чије су контраваријантне координате цели бројеви чине другу решетку.

Кристалографи (такви као Евалд) називају ове две решетке "реципрочним".

Ако су nyy ,,1 цели бројеви са највећим заједничким делиоцем 1, тада

свака од хиперравани y или 0 i

i xy и њој паралелне хиперравни

9

1 i

i xy садржи бесконачно много тачака прве решетке, али се ниједна

тачка решетке не може наћи између њих. Према 10.51, растојање између

ових двеју паралелних равни (или растојање од координатног почетка

до друге) је y

1, тј. реципрочна вредност од растојања од координатног по-


четка до тачке y која припада другој решетки. Другим речима, свака "пр-

ва рационална хиперраван" прве решетке одговара тачки друге решетке по-

стављеној на реципрочном растојању у нормалном правцу. Ова тачка друге

решетке је "видљива из координатног почетка" (тј. то је прва тачка решетке

у овом правцу). Због тога смо претпоставили да координате iy немају заје-

днички делилац већи од 1. Међусобном заменом "коваријантан" и "контра-

варијантан" уочавамо одмах да је релација између две решетке симетрична:

једна је реципрочна другој.

n димензионална коцкаста решетка (коју сачињавају темена од 1n

ивице 1) је очигледно сама себи реципрочна. У другу руку, решетка од те-

мена 6,3 (§ 4.4) је реципрочна другој решетки истог облика, ротираној за

прав угао око координатног почетка (тако да су њихове темене фигуре ре-

ципрочни шестоуглови). Слично, у четири димензије, постоје две реципро-

чне решетке сачињене од два 3,4,3,3 ова са заједничким теменом у коор-

динатном почетку, тако постављени да су њихове темене фигуре реципро-

чни 3,4,3 ови.

Појам реципрочне решетке не мора бити побркан са реципрочним хани-

комбима, као што је дефинисано у § 7.4; на пр. ханикомб реципрочан хани-

комбу 3,4,3,3 није други 3,4,3,3 , већ 3,3,4,3 (чија темена не чине реше-

тку). У другу руку, представљена употреба речи реципрочан није неподе-

сна, као што је "видљива тачка" y пол "прве рационалне хиперравни"

1 i

i xy у односу на јединичну сферу 1 i

i xx .

10.6. УОПШТЕНА РЕФЛЕКСИЈА. Нека је x слика од x рефлексијом у

односу на хиперраван y . Тада је x-x' вектор паралелан са y, двоструке ду-

жине 10.51. Отуд је

x·y x·y x−x'=2 ── y, x'=x−2 ── y, y·y y·y

x·y

10.61 ii xx 2 ── iy .

y·y

Посебно, рефлексија у односу на координатну хиперраван 0kx (где је

y= ke ) је трансформација

10.62

kk

ik

kia

axxx 2 .

10

Ако смо спремни да жртвујемо реципрочност између "коваријантан" и

"контраваријантан", ми можемо узети да ke ови буду јединични вектори.

Тада је 1kka , а ika је косинус угла између ie и ke . према 10.52, коваријан-

тне координате тачке x су управо њена растојања од координатне хипер-

равни 0kx , мерена у правцима одговарајућих нормалних вектора ke .Пра-

§ 10.7 КОСЕ И НОРМАЛНЕ КООРДИНАТЕ 163

ве по којима се ове хиперравни секу (у скуповима од по 1n ) су у правци-

ма вектора ie (који, у општем случају, нису јединични вектори). Контрава-

ријантне координате тачке, биће коефицијенти у изразу k

kex за њен век-

тор положаја, а то су познате "косе Декартове" координате, у односу на осе

у правцима јединичних вектора ke . Трансформација 10.62 је једноставно

10.63 kikii xaxx 2 .

Овај исти резултат могао је бити добијен на следећи начин. Како је kx

ново растојање тачке x од хиперравни 0kx , то је онда рефлексија у од-

носу на ову хиперраван задата са

x−x'= kk ex2 .

Узимајући унутрашњи производ обе стране са ie , изводимо

ikkii axxx 2 ,

која је 10.63.

10.7. НОРМАЛНЕ КООРДИНАТЕ. У односу на n димензионални сим-

плекс 121 ,,, nOOO ми дефинишемо нормалне координате 121 ,,, nxxx

тачке као њена растојања од 1n ограничавајућих хиперравни, са уобича-

јеним договором знака (тако да су координате унутрашње тачке позити-

вне). Оне су "трилинеарне" кад је 2n , "квадрипланарне" кад је 3n .

Нека iC означава меру ћелије наспрам iO , а iz реципрочну вредност од-

говарајуће висине. Тада је i

i

z

C једнако n пута мера читавог симплекса, че-

му је једнак и израз

1

1

2

2

1

1

n

n xCxCxC

за сваку тачку x .Отуд идентична релација задовољена са 1n x ова је

10.71 11

2

2

1

1

n

n xzxzxz .

Нека су 121 ,,, neee јединични вектори нормални на 1n хиперравни,

усмерени према унутрашњости (сваки према наспрамном темену). Тада је

1 iiii eea ,

а ika је косинус угла између ie и ke ; тако да је ika косинус одговарајућег

диедарског угла симплекса. Само n од 1n вектора ie су линеарно незави-

сни. Наћи ћемо да је релација која их све повезује следећа

10.72 01

1

2

2

1

1

n

n ezezez .

Ово је значајан резултат, па ћемо дати два упоредна доказа..

11

Први се ослања на чињеницу, кад је политоп пројектован на било коју

хиперраван, онда је сума мера од пројекција његових ћелија једнака нули,

ако се доследно држимо договора о знаку.Пројектујући симплекс на хипер-

раван нормалну на вектор x, уочавамо да је мера пројекције i те ћелије

i

ieC x. Отуд је


1

1

2

2

1

1

n

n eCeCeC x=0.

Како је x произвољно, а C ови пропорционални z овима, то онда ово

повлачи 10.72.

Други доказ је елементарнији, али мање елегантан (у њему се један од

e ова посебно изабере). Нека x означава вектор од 1nO до било које тачке

0,,,, 21 nxxx у наспрамној хиперравни 01 nx . Тада је

ie x= ix ni и 1ie x=1

1

nz

.

Стога, применом 10.71 уз 01 nx , добија се

1

1

2

2

1

1

n

n

n

n ezezezez x= 011

1 n

n xzxz .

Као и раније, произвољност вектора x нам омогућава да изведемо 10.72.

(Прим. прев. Ако вектор x није нула вектор и није нормалан на 11 ,, nzz , онда израз у

загради мора бити једнак нула, а то је онда 10.72.)

Сада следи, узимајући унутрашњи производ са ke , да је

10.73 0 ik

iaz

(сумирано за 1n вредности од i ).

Исто тако следи да квадратна форма

2

i

i

k

k

i

iki

ik exexexxxa

узима вредност нулу кад је ii zx , али никад није негативна; па је онда по-

зитивно семидефинитна. Шта више, она је нулишта 1, пошто било којих n

од 1n e ова одређује систем афиних координата; у ствари, ми добијамо

позитивно дефинитну форму од n променљивих дајући било којем од x

ова вредност нулу.

Рефлексија у односу на 0kx је још увек задата према 10.63, са рангом

од i и k проширеним на 1n . Јер, једина могућа сумња лежи у понашању

1nx , а 10.63 је у сагласности са 10

.71, па према 10

.73 важи

i

i

i

kiki

i xzxaxz 2 .

10.8. СИМПЛЕКСИ ОДРЕЂЕНИ СА 1n ЗАВИСНИХ ВЕКТОРА. Видели

смо да вектори повучени унутра (или споља), нормално на ограничавајуће

хиперравни симплекса, задовољавају релацију 10.72, где су сви z ови по-

зитивни. Обрнуто, задавањем 1n јединичних вектора ie , који задовољава-

ју такву релацију (са позитивним z овима) при чему су nee ,,1 линеарно

12

независни, ми можемо конструисати одговарајући симплекс на следећи на-

чин.

Представити 1n вектора одговарајућим дужима IM i усмерених према

њиховој заједничкој завршној тачки I , као на Сл. 10.8А (где је 2n ). Кроз

тачке iM тако одређене повући редом нормалне хиперравни. Оне огранича-

вају симплекс (са центром уписане сфере I ); првих n од њих одређују си-

стем афиних координата у којем преостала хиперраван има једначину

§ 10.9 ВИТ, МАЛЕР, ДИ ВАЛ 165

11

1 n

n xzxz .

O1

M3 M2

I

O2 M1 O3

Сл. 10.8А

10.9. ИСТОРИЈСКИ ОСВРТ. Једини новитет у обради квадратних форми у

§ 10.1 је избегавање свођења на канонски (или дијагонални) облик. Докази

10.14, 10

.21, и 10

.22 су преузети из Вит 1, стр. 292. Прва од ових теорема је

природно проширење геометријског исказа да, ако купа нема реалне гене-

ратрисе, онда је једина њена реална тачка њен врх. Иако је § 10.2 највећим

делом дао Вит, неке особине ових " a форми" (које имају 0 kiik aa кад

год је ki ), и одговарајуће " a матрице", биле су већ установљене од

стране других аутора. Малер (око 1939 год.) доказује да ако је

0ikiaz nk ,,1 ,

где су a ови коефицијенти позитивно дефинитне a форме, тада је

0kz . Ди Вал (3, стр. 309) изводи да инверзна од позитивно дефинитне а-

матрице нема негативне елементе, и да сферни симплекс који нема тупе

диедарске углове нема ни тупе ивице. Теорема 10.23 може бити схваћена

као аналогија Малеровом резултату, кад је a форма семидефинитна (и по-

везана) уместо дефинитна.Слично је 10.28 аналогија Ди Валовом резултату.

Лему 10.32, која олакшава доказ од 10

.33 на потпуно изузетан начин, от-

крио је В.Ј.Р Крозби, студент истраживач на Универзитету у Торонту. По-

казује се, даље, да ако постоје позитивни бројеви kz такви да је 0ikiaz ,

тада је a форма позитивно дефинитна. (Видети Минковски 1.) Ови резул-

тати су посебни случајеви теореме признате Тамбс Личу (1) за матрицу

ika која није нужно симетрична. Елегантан доказ још општије теореме дао

је Рорбах (1).

13

Обрада вектора у §§ 10. 44 и 10

.5 потиче од Хесенберга (1). Она се може

схватити као врло једноставан случај Ричијевог тензорског рачуна (који је Ајнштајн користио у својој општој теорији релативности). Али суштинске

идеје у тродимензионалном случају,јављају се код кристалографа В.Х. Ми-

лера већ 1839 год. У ствари, ако коваријантни вектори 321 ,, eee од § 10.4

представљају три кристалне осе* cba ,, , тада су Милерови индекси страна * Милер, 1, стр. 1-4; Татон 2, поглавље V.


lkh ,, коваријантне компоненте вектора нормалног на кристалну страну

hkl , тј. постоје коваријантне тангенцијалне координате (§ 10.5) равни па-

ралелне стране.Исто тако су индекси зона* wvu ,, контраваријантне компо-

ненте вектора дуж осе зоне, или контраваријантне тангенцијалне координа-

те равни нормалне на све равни зоне uvw . Отуд је оса зоне дијагонала па-

ралелопипеда одређеног векторима 321 ,, weveue , а услов да страна hkl

припада зони uvw је 0 iwkvhu .

Формула за 10.61 за рефлексију потиче од Вајла (1, стр. 367).

* Милер 1, стр. 7-10; Татон 2, поглавље VI.

nhjf?

Documents