1

Néhány véges trigonometriai összegről

A Fizika számos területén találkozhatunk véges számú tagból álló trigonometriai össze -

gekkel, melyek a számítások során állnak elő. Ezek értékét kinézhetjük matematikai táb -

lázatokból, képletgyűjteményekből, mint amilyen pl. [ 1 ]. Ez gyakran nem segíti eléggé a

megértést, mivel nem szemléletes. Szerencsésebb szert tenni egy jó ábrákkal szemléltetett,

részletes levezetésre, mert ez sokkal inkább szolgálhatja a tanulni vágyó olvasót céljai el -

érésében. Most ilyenekről lesz szó.

1. Feladat

Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!

, ( 1 )

( 2 )

A geometriai szemléletre alapozott megoldáshoz tekintsük az 1. ábrát!

1. ábra – forrása: [ 2 ]

Itt azt látjuk, hogy n = 6 darab egyenlő A hosszúságú vektort hordtak fel, egymáshoz

képest folytonos nyílértelemmel, ahol az egymást követő vektorok egyenesei egymással φ

szöget zárnak be. Ezen A1, … , An összeadandó vektorok eredője az AR vektor, mely az

első vektor egyenesével egybeeső x tengellyel ϕ szöget zár be.

A vetületi tétel szerint:

azaz Ai = A - val is ( i = 1, 2, …, n-1, n ):

ϕ

2

, ( 3 / 1 )

vagy rövidítő jelöléssel:

( 3 / 2 )

Folytatva:

azaz:

( 4 / 1 )

vagy:

( 4 / 2 )

Látjuk, hogy a koszinuszos Sc, valamint a szinuszos Ss összegek meghatározásához elő

kell állítanunk az eredő vektor nagyságának és hajlásának kifejezéseit.

Az 1. ábra szerint:

( 5 )

( 6 )

majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal:

( 7 )

Ezután a 2. ábra szerint az OTMx egyenlő szárú háromszögből:

2. ábra

3

( 8 )

Most ( 3 / 2 ) - ből, ( 7 ) és ( 8 ) - cal is:

( 9 )

majd ( 4 / 2 ) - ből, ( 7 ) és ( 8 ) - cal is:

( 10 )

Végül ( 1 ), ( 2 ), ( 9 ) és ( 10 ) - zel:

( 11 )

( 12 )

A ( 11 ) és ( 12 ) eredmények – kicsit más jelölésekkel – megtalálhatók [ 3 ] - ban is.

Eredményeinket más úton is levezethetjük.

A komplex számokkal kapcsolatos ismeretekre alapozott megoldás az alábbi.

Tekintsük az

( 13 )

komplex számot, ahol az Sc és Ss összegek ( 1 ) és ( 2 ) szerintiek. Látható, hogy ( 13 )

szerint írhatjuk:

( 14 )

Euler képlete szerint:

( 15 )

így ( 14 ) és ( 15 ) - tel:

( 16 )

4

A ( 16 ) képletet kicsit átírva, majd alkalmazva a mértani sorozat összegképletét:

( 17 )

a ( 16 ) és ( 17 ) képletekkel:

( 18 )

Azonos átalakításokkal ( 18 ) - ból:

( 19 )

most ( 15 ) - ből:

( 20 )

így ( 19 ) és ( 20 ) - szal:

tehát:

( 21 )

Most ( 21 ) - re alkalmazva Euler képletét:

( 22 )

Ezután ( 13 ) és ( 22 ) összehasonlításából:

( 23 )

( 24 )

Örömmel konstatáljuk, hogy újabb eredményeink megegyeznek a korábbiakkal. ☺

5

Megjegyzések:

M1.1. Egy fontos speciális eset: ( * ) ~ a vektorsokszög szabályos sokszög. Ekkor:

( 25 )

most ( 23 ) és ( 25 ) szerint:

( 26 )

( 27 )

Majd ( 24 ) és ( 25 ) szerint:

( 28 )

( 29 )

Utóbbi eredményeinkhez lásd a 3. ábrát is!

3. ábra

A ( 29 ) eredmény furcsának tűnhet: a zérusvektorhoz irány is tarozik. Ugyanis általában

úgy vesszük, hogy a zérusvektor nagysága zérus, iránya pedig határozatlan. Itt azonban

nem ez a helyzet. Ugyanakkor e meglepő tény esetünkben nem bír igazán jelentőséggel.

6

M1.2. Egy másik fontos speciális eset: ( ** ) ~ a vektorsokszög egyenessé fajul. Ekkor:

( 30 )

Ezt úgy vizsgáljuk, hogy képezzük a φ 0 esetén előálló határértéket.

Ehhez felhasználjuk a szinusz - függvény hatványsorát:

vagyis:

( 31 )

így ( 21 ), ( 22 ), ( 23 ), ( 24 ), ( 30 ) és ( 31) - gyel:

( 32 )

( 33 )

( 34 )

Most ( 7 ) és ( 31 ) szerint:

( 35 )

A ( ** ) speciális esetet a 4. ábra szemlélteti.

4. ábra

M1.3. Eddig a ( 11 ) és ( 12 ) szerinti

( 36 )

( 37 )

7

alakú véges trigonometrikus összegeket vizsgáltuk. Most tekintsük az ezeknél kicsit

általánosabb

( 38 )

alakú összegeket – 5. ábra!

5. ábra

A vetületi tétellel most ezek adódnak, Ai = A - val is:

( 39 )

( 40 )

Most a komplex számokkal dolgozva:

( 41 )

az Euler képlettel is, a korábbiak szerint:

8

tehát:

( 42 )

vagyis ( 41 ) és ( 42 ) szerint:

( 43 )

( 44 )

( 45 )

( 46 )

Végül azt eredmények:

innen:

( 47 )

( 48 )

( 49 )

( 50 )

A ( 47 ) és ( 48 ) eredmények az 5. ábra szemlélete alapján közvetlenül is beláthatók:

a koordináta - rendszer α szöggel való elforgatása az eredő vektor nagyságát változatlanul

hagyja, az eredő hajlásszögét pedig α - val megnöveli, az α = 0 esethez képest.

M1.4. Végezzük el a ( 49 ) és ( 50 ) képletekben az n n+1 helyettesítést!

Ekkor kapjuk, hogy

9

( 51 )

( 52 )

Az ( 51 ) és ( 52 ) képletek megegyeznek az [ 1 ] képletgyűjteményben is megtalálható

eredményekkel, a jelölésektől eltekintve.

2. Feladat

Határozzuk meg az

( 53 )

és az

( 54 )

véges összegek kifejezéseit!

Most felhasználjuk, hogy

( 55 )

A komplex számokkal történő megoldás az alábbi – v. ö. [ 4 ]! – :

. ( 56 )

Felhasználjuk, hogy

( 57 )

10

Most kiszámítjuk az ( 56 ) - ban szereplő

( 58 )

összeget. Ehhez ( 57 ) - tel:

( 59 )

így ( 58 ) és ( 59 ) - cel:

( 60 )

Az első összeg, a korábbiak szerint:

( 61 )

a második összeg:

( 62 )

Most ( 60 ), ( 61 ), ( 62 ) - vel:

( 63 )

Tovább alakítva ( 63 ) - at:

tehát:

11

( 64 )

Ezután ( 56 ) és ( 64 ) - gyel:

vagyis ( 53 ) és ( 54 ) - gyel is:

( 65 )

( 66 )

Megjegyzések:

M2.1. Érdemes megemlíteni, hogy ( 58 ) - at egyszerűbben is kiszámíthatjuk.

( 67 )

most felidézzük, hogy

( 49 )

majd az

( 68 )

helyettesítéseket alkalmazva ( 49 ) és ( 68 ) - cal:

tehát:

( 64 ) - gyel egyezően.

12

M2.2. A ( 65 ) és ( 66 ) eredmények összeadásával és kivonásával kapjuk, hogy

( 69 )

( 70 )

A ( 69 ) és ( 70 ) képletekre közvetlen ellenőrzést adhat ( 53 ) és ( 54 ) összeadása és

kivonása:

( 69 / 1 )

( 70 / 1 )

ahol felhasználtuk ( 58 ) - at és ( 64 ) - et is.

M2.3. Egy fontos speciális eset: ( * ). Ekkor:

( 71 )

most ( 64 ) és ( 71 ) - gyel:

( 72 )

így ( 65 ), ( 66 ) és ( 71) szerint:

13

( 73 )

( 74 )

Egy alkalmazás

Az [ 5 ] műben található az alábbi összegezési feladat - rész, melynek vektorábráit a

6. ábra mutatja.

6. ábra – forrása: [ 5 ]

Az ebben fellépő összegek kiszámítása az alábbiak szerinti, az [ 5 ] - beli jelölésekről

áttérve az itteniekre.

A felső ábrarész esetében először ( 49 ) - cel:

( a )

itt:

( b )

így ( a ) és ( b ) - vel:

( E1 )

Másodszor az alsó ábrarészhez: ( b ), ( 58 ) és ( 64 ) - gyel:

14

( d )

majd ( c ) és ( d ) - vel:

( E2 )

Az ( E1 ) és az ( E2 ) eredményeket a 6. ábra zárt vektorsokszögei magyarázzák.

--------------

Végül megemlítjük, hogy a leggyakrabban előforduló trigonometriai összegképletek ki -

számításáról a [ 6 ] műben is olvashatunk. Az ottani eredményeket itt nem használtuk fel.

Források:

[ 1 ] – A. P. Prudnyikov ~ Ju. A. Brücskov ~ O. I. Maricsev: Intyegralü i rjadü

Moszkva, Nauka, 1981.

[ 2 ] – R. P. Feynman ~ R. B. Leighton ~ M. Sands: Mai fizika, 3. kötet:

Optika. Anyaghullámok

3. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985.

[ 3 ] – Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Mechanika I.

Dialóg Campus Kiadó, Budapest - Pécs, 2004.

[ 4 ] – L. G. Lojcjanszkij ~ A. I. Lurje: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki – 2. kötet

Gyinamika

6. kiadás, Moszkva, Nauka, 1983.

[ 5 ] – Erwin Pawelka: 100 Übungen aus der Mechanik

Springer-Verlag Wien GmbH , 1948.

[ 6 ] – Szász Pál: A differenciál - és integrálszámítás elemei – I. kötet

Közoktatásügyi Kiadóvállalat, Budapest, 1951.

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2018. 07. 02.