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D.R. 2015 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaa de Cengage Learning, Inc.Corporativo Santa FeAv. Santa Fe nm. 505, piso 12Col. Cruz Manca, Santa FeC.P. 05349, Mxico, D.F.Cengage Learning es una marca registrada usada bajo permiso.

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Traducido del libro Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions, Eleventh Edition.Walter Nicholson and Christopher Snyder.Publicado en ingls por South-Western, una compaa de Cengage Learning 2012.ISBN: 978-111-1-52553-8

Datos para catalogacin bibliogrfica:Nicholson, Walter y Christopher Snyder.Teora microeconmica. Principios bsicos y ampliaciones, 11a. edicin.ISBN: 978-607-552-028-4

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Teora microeconmica. Principios bsicos y ampliaciones, 11a. edicin.Walter Nicholson y Christopher Snyder

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Impreso en Mxico1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14

Contenido detallado

Prefacio ........................................................................................................................................................xix

Introduccin 1PARTE UNO

CAPTULO 1 Modelos econmicos ...................................................................................................................................3Modelos tericos 3Comprobacin de modelos econmicos 4Caractersticas generales de los modelos econmicos 5Desarrollo de la teora econmica del valor 9Evolucin moderna 17

Resumen 18Sugerencias de lecturas adicionales 19

CAPTULO 2Matemticas para microeconoma ..........................................................................................................21Maximizacin de una funcin de una variable 21Funciones de varias variables 26Maximizacin de funciones de varias variables 33Teorema de la envolvente 35Maximizacin restringida 39Teorema de la envolvente en problemas de maximizacin restringida 45Restricciones de desigualdad 46Condiciones de segundo orden y curvatura 48Funciones homogneas 55Integracin 58Optimizacin dinmica 63Estadstica matemtica 67

Resumen 76Problemas 77

Sugerencias de lecturas adicionales 82Extensiones: Condiciones de segundo orden y lgebra matricial 83

Eleccin y demanda 87PARTE DOS

CAPTULO 3Preferencias y utilidad ...............................................................................................................................89Axiomas de la eleccin racional 89

xi

xii Contenido

Utilidad 90Intercambios y sustitucin 92Matemtica de las curvas de indiferencia 99Funciones de utilidad para preferencias especficas 102El caso de muchos bienes 106

Resumen 106Problemas 107Sugerencias de lecturas adicionales 110

Extensiones: Preferencias especiales 112

CAPTULO 4Optimizacin de la utilidad y eleccin .................................................................................................117Sondeo inicial 118El caso de dos bienes: anlisis grfico 119El caso de n bienes 122Funcin de utilidad indirecta 128Principio de suma global 129Minimizacin del gasto 131Propiedades de las funciones de gasto 134


Extensiones: Porciones presupuestales 141

CAPTULO 5Efectos de ingreso y de sustitucin .......................................................................................................145Funciones de demanda 145Variaciones en el ingreso 147Variaciones en el precio de un bien 149Curva de demanda de una persona 152Curvas y funciones de demanda compensada (de Hicks) 155Desarrollo matemtico de la respuesta a las variaciones de precio 160Elasticidades de la demanda 163Supervit del consumidor 169Preferencia revelada y efecto de sustitucin 174


Extensiones: Conceptos de demanda y evaluacin de ndices de precios 181

CAPTULO 6Relaciones de demanda entre bienes ...................................................................................................187El caso de dos bienes 187Sustitutos y complementarios 189Sustitutos y complementarios netos (de Hicks) 191

Contenido xiii

Sustituibilidad con muchos bienes 193Bienes compuestos 193Produccin domstica, atributos de los bienes y precios implcitos 197


Extensiones: Simplificacin de la demanda y presupuestacin en dos etapas 204

Incertidumbre y estrategia 207PARTE TRES

CAPTULO 7Incertidumbre ............................................................................................................................................ 209Estadstica matemtica 209Apuestas razonables e hiptesis de la utilidad esperada 210Utilidad esperada 211El teorema Von Neumann-Morgenstern 212Aversin al riesgo 214Medicin de la aversin al riesgo 217Mtodos para reducir la incertidumbre y el riesgo 222Seguros 222Diversificacin 223Flexibilidad 224Informacin 231Enfoque de estados de preferencia de la eleccin en condiciones de incertidumbre 232Asimetra de informacin 238


Extensiones: El problema de la cartera 244

CAPTULO 8Teora de juegos ....................................................................................................................................... 251Conceptos bsicos 251Dilema del prisionero 252Equilibrio de Nash 254Estrategias mixtas 260Existencia de equilibrio 265Continuo de acciones 265Juegos secuenciales 268Juegos repetidos 274Informacin incompleta 277Juegos bayesianos simultneos 278Juegos de sealamiento 282Juegos experimentales 288

xiv Contenido

Juegos evolutivos y aprendizaje 290Resumen 290Problemas 291Sugerencias de lecturas adicionales 295

Extensiones: Existencia del equilibrio de Nash 296

Produccin y oferta 301PARTE

CUATRO

CAPTULO 9Funciones de produccin.........................................................................................................................303Productividad marginal 303Grficas de isocuantas y tasa de sustitucin tcnica 306Rendimientos a escala 310Elasticidad de sustitucin 313Cuatro funciones de produccin simples 316Progreso tcnico 320


Extensiones: Funciones de produccin con muchos insumos 329

CAPTULO 10Funciones de costo ...................................................................................................................................333Definiciones de costos 333Decisiones de insumos de minimizacin de costos 336Funciones de costo 341Funciones de costo y desplazamientos en curvas de costo 345Lema de Shephard y elasticidad de sustitucin 355Distincin corto plazo, largo plazo 355


Extensiones: La funcin de costo translog 367

CAPTULO 11Maximizacin de beneficios ...................................................................................................................371Naturaleza y comportamiento de las empresas 371Maximizacin de beneficios 373Ingreso marginal 375Oferta a corto plazo por una empresa fijadora de precios 380Funciones de beneficios 383Maximizacin de beneficios y demanda de insumos 389


Extensiones: Lmites de la empresa 401

Contenido xv

Mercados competitivos 407PARTE

CINCO

CAPTULO 12El modelo competitivo de equilibrio parcial ........................................................................................409

Demanda del mercado 409Determinacin temporal de la respuesta de la oferta 413Determinacin de precios a muy corto plazo 413Determinacin de precios a corto plazo 415Desplazamientos en curvas de oferta y demanda: anlisis grfico 419Modelo matemtico del equilibrio del mercado 422Anlisis de largo plazo 425Equilibrio a largo plazo: caso de costo constante 426Forma de la curva de oferta a largo plazo 428Elasticidad de la oferta a largo plazo 431Anlisis de esttica comparativa del equilibrio a largo plazo 431Supervit del productor a largo plazo 435Eficiencia econmica y anlisis de bienestar 438Controles de precios y escasez 441Anlisis de la incidencia tributaria 442


Extensiones: Agregacin y estimacin de la demanda 453

CAPTULO 13Equilibrio general y bienestar ................................................................................................................457

Sistema de precios perfectamente competitivo 457Modelo grfico de equilibrio general con dos bienes 458Anlisis de esttica comparativa 467Modelizacin del equilibrio general y precios de factores 469Modelo matemtico de intercambio 471Modelo matemtico de produccin e intercambio 482Modelos calculables de equilibrio general 485


Extensiones: Modelos calculables de equilibrio general 495

Poder de mercado 499PARTE SEIS

CAPTULO 14Monopolio ...................................................................................................................................................501

Barreras de entrada 501

xvi Contenido

Maximizacin de beneficios y decisiones de produccin 503Monopolio y asignacin de recursos 507Monopolio y calidad y durabilidad de los productos 510Discriminacin de precios 513Discriminacin de precios de segundo grado mediante programas de precios 517Regulacin del monopolio 519Visiones dinmicas del monopolio 523


Extensiones: Tarifas lineales ptimas en dos partes 528

CAPTULO 15Competencia imperfecta ..........................................................................................................................531

Decisiones a corto plazo: Precios y produccin 531Modelo de Bertrand 533Modelo de Cournot 534Restricciones de capacidad 540Diferenciacin de productos 541Colusin tcita 547Decisiones a largo plazo: Inversin, entrada y salida 551Disuasin estratgica de la entrada 557Sealamiento 559Que entren cuntas empresas? 562Innovacin 566


Extensiones: Sustitutos y complementos estratgicos 573

Determinacin de precios en mercados de insumos 579PARTE

SIETE

CAPTULO 16Mercados de trabajo.................................................................................................................................581

Asignacin de tiempo 581Anlisis matemtico de la oferta de trabajo 584Curva de oferta de trabajo del mercado 588Equilibrio del mercado de trabajo 589Variacin salarial 591Monopsonio en el mercado de trabajo 595Sindicatos 598


Contenido xvii

CAPTULO 17Capital y tiempo .........................................................................................................................................607Capital y tasa de rendimiento 607Determinacin de la tasa de rendimiento 609Demanda de capital de la empresa 616Enfoque del valor presente descontado de las decisiones de inversin 618Determinacin de precios de los recursos naturales 623


APNDICE

Matemticas del inters compuesto 631Valor presente descontado 631Tiempo continuo 633

Fallas del mercado 639PARTE

OCHO

CAPTULO 18Informacin asimtrica ............................................................................................................................641Contratos complejos como respuesta a la informacin asimtrica 641Modelo principal-agente 642Acciones ocultas 645Relacin dueo-gerente 646Riesgo moral en los seguros 650Tipos ocultos 655Determinacin de precios no lineales 656Seleccin adversa en los seguros 663Sealamiento del mercado 670Subastas 672Resumen 676Problemas 676Sugerencias de lecturas adicionales 679Extensiones: Determinacin de precios no lineales con un continuo de tipos 680

CAPTULO 19Externalidades y bienes pblicos ..........................................................................................................685Definicin de las externalidades 685Externalidades e ineficiencia de asignacin 687Soluciones al problema de las externalidades 691Atributos de los bienes pblicos 694Bienes pblicos y asignacin de recursos 696Determinacin de precios de Lindahl de bienes pblicos 700El voto y la asignacin de recursos 703Modelo poltico simple 705

xviii Contenido

Mecanismos de votacin 708Resumen 710Problemas 710Sugerencias de lecturas adicionales 713

Extensiones: Reduccin de la contaminacin 714

Respuestas breves a las preguntas 717Soluciones a los problemas de nmero non 727Glosario de trminos de uso frecuente 739ndice analtico 747

PARTEUNO

1

Introduccin

Captulo 1Modelos econmicos

Captulo 2Matemticas para microeconoma

Esta parte contiene dos captulos. El captulo 1 examina la filosofa general de la manera en que los eco-nomistas elaboran modelos de comportamiento econmico. El captulo 2 estudia algunas de las herra-mientas matemticas que se utilizan en la construccin de estos modelos. Las herramientas matemticas del captulo 2 se emplearn a lo largo del libro.

Modelos econmicos

El objetivo principal de este libro es presentar los modelos ms importantes que utilizan los eco-nomistas para explicar el comportamiento de consumidores, empresas y mercados. Estos mode-los son centrales para el estudio de todas las reas de la economa. Por consiguiente, es esencial comprender tanto la necesidad de esos modelos como el marco bsico que se utiliza para desarro-llarlos. El objetivo de este captulo es iniciar esbozando algunas de las consideraciones concep-tuales que determinan la forma en que los economistas estudian prcticamente todas las interro-gantes que les interesan.

MODELOS TERICOSUna economa moderna es una entidad compleja. Miles de empresas se dedican a la produccin de millones de bienes diferentes. Muchos millones de personas trabajan en todo tipo de ocupacio-nes y toman decisiones sobre cules de estos bienes comprar. Usemos como ejemplo los cacahua-tes o manes. Los cacahuates deben ser cosechados en el momento justo y ser enviados a sus procesadores quienes los convierten en mantequilla, aceite, turrn de cacahuate y muchos otros manjares. Estos procesadores deben cerciorarse a su vez de que sus productos lleguen a miles de tiendas minoristas en las cantidades adecuadas para satisfacer la demanda.

Dado que sera imposible describir en detalle las caractersticas de los mercados, incluso de los mercados de cacahuates, los economistas han optado por hacer abstraccin de la complejidad de la realidad y desarrollan modelos simples que captan la esencia. As como un mapa es til, aun-que no registre cada casa o tienda, los modelos econmicos de, digamos, el mercado de los caca-huates tambin son tiles aunque no registren hasta el ltimo rasgo de la economa del cacahuate. En este libro estudiaremos los modelos econmicos usados con mayor frecuencia. Veremos que, a pesar de que estos modelos hacen abstracciones de las complejidades de la realidad, capturan caractersticas esenciales comunes a todas las actividades econmicas.

El uso de modelos est muy extendido en las ciencias fsicas y sociales. En fsica, la nocin de cos estudiar

cadas. En qumica, la idea de un tomo o una molcula cado de la estructura de la materia. A los arquitectos, las maque- cios. Los diagramas de cableado les sirven a los reparadores de

car problemas. Los modelos de los economistas desempean funciones

en que las empresas se comportan, as como de la manera en que esos dos grupos interaccio-

CAPTULOUNO

3

4 Parte 1: Introduccin

COMPROBACIN DE MODELOS ECONMICOSClaro que no todos los modelos son buenos. Por ejemplo, el modelo geocntrico del movi-miento planetario ideado por Ptolomeo se desech despus porque result incapaz de explicar con precisin cmo se mueven los planetas alrededor del Sol. Un propsito importante de la investigacin cientfi ca es separar los modelos malos de los buenos. Se han utilizado dos mto-dos generales para comprobar los modelos econmicos: 1) un mtodo directo, que busca estable-cer la validez de los supuestos bsicos en que se funda un modelo, y 2) un mtodo indirecto, que intenta confi rmar la validez del modelo, mostrando que un modelo simplifi cado predice de manera correcta sucesos reales. Para ilustrar las diferencias bsicas entre estos dos mtodos exa-minemos de forma breve un modelo que usaremos ampliamente en captulos posteriores: el de una empresa que intenta maximizar sus benefi cios.

Modelo de maximizacin de beneficiosEl modelo de una empresa que intenta maximizar los benefi cios es obviamente una simplifi ca-cinde la realidad. Ignora las motivaciones personales de los administradores de la empresa y no considera confl ictos entre ellos. Supone que los benefi cios son el nico objetivo relevante de la empresa; otros objetivos posibles, como obtener poder o prestigio, no se tratan como importan-tes. Asimismo, supone que la empresa tiene informacin sufi ciente sobre los costos y la naturaleza de su mercado para descubrir sus opciones de maximizacin de benefi cios. En la realidad es obvio que la mayora de las empresas no dispone tan fcil de esta informacin; sin embargo, esas defi -ciencias del modelo no son necesariamente graves. Ningn modelo puede describir de modo fi el la realidad. La verdadera pregunta es si ese modelo simple merece que se le considere bueno.

Prueba de supuestosUna prueba del modelo de una empresa maximizadora de benefi cios investiga el supuesto bsico de este modelo: es cierto que las empresas buscan benefi cios mximos? Algunos economistas han examinado esta pregunta enviando cuestionarios a ejecutivos para que especifi quen los objetivos que persiguen. Los resultados de esos estudios son variados. Las personas de negocios suelen indi-car objetivos distintos de los benefi cios o afi rmar que slo hacen lo ms que pueden para aumen-tar los benefi cios, dada su informacin limitada. Por otra parte, la mayora de los interrogados menciona un fuerte inters en los benefi cios y opina que la maximizacin de los benefi cios es un objetivo apropiado. As, la prueba del modelo de optimizacin de utilidades que consiste en probar sus supuestos ha proporcionado resultados concluyentes.

Prueba de prediccionesAlgunos economistas, Milton Friedman en particular, niegan que un modelo pueda probarse indagando la realidad de sus supuestos.1 Argumentan que todos los modelos tericos se basan en supuestos poco realistas; la naturaleza misma de la teoria de la demanda exige hacer ciertas abstracciones. Estos economistas concluyen que la nica manera de determinar la validez de un modelo es ver si es capaz de predecir y explicar sucesos reales. La prueba ltima de un modelo econmico ocurre cuando se le enfrenta con datos de la economa misma.

Friedman ofrece una ilustracin importante de ese principio. l pregunta qu tipo de teora debera usarse para explicar las jugadas que realizarn jugadores expertos de billar. Sostiene que

1 Vase M. Friedman, Essays in Positive Economics (University of Chicago Press, Chicago, 1953), cap. 1. Para una opinin diferente que subraya la importancia de emplear supuestos realistas, vase H. A. Simon, Rational Decision Making in Business Organiza-tions, American Economic Review, vol. 69, nm. 4 (septiembre de 1979), pp. 493-513.

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Captulo 1: Modelos econmicos 5

las leyes de la velocidad, el impulso y los ngulos de la fsica terica seran un modelo adecuado. Los jugadores de billar juegan como si siguieran esas leyes. Sin embargo, la mayora de los jugado-res de billar a quienes se les interrog sobre si comprenden cabalmente los principios fsicos en que se funda el billar sin duda respondieron que no. Aun as, arguye Friedman, las leyes fsicas brindan predicciones atinadas y, por tanto, deberan aceptarse como modelos tericos apropiados de cmo juegan billar los expertos.

Por ende, una prueba del modelo de maximizacin de benefi cios se hara prediciendo el com-portamiento de empresas reales con base en el supuesto de que estas empresas se comportan como si maximizaran sus benefi cios (vase el ejemplo 1.1, ms adelante.) Si estas predicciones son razo-nablemente acordes con la realidad podemos aceptar la hiptesis de maximizacin de benefi cios. No obstante, rechazaramos el modelo si datos reales parecieran incongruentes con l. De ah que la prueba ltima de cualquier teora sea su capacidad de predecir sucesos reales.

Importancia del anlisis empricoEl principal inters de este libro es la elaboracin de modelos tericos. Pero el objetivo de estos modelos siempre es aprender algo acerca de la realidad. Dado que la inclusin de una larga serie de ejemplos aplicados ampliara de modo innecesario un libro ya voluminoso,2 las extensiones al fi nal de algunos captulos intentan ofrecer una transicin entre la teora que se presenta aqu y la forma en que se aplica en estudios empricos.

CARACTERSTICAS GENERALESDE LOS MODELOS ECONMICOSEl nmero de modelos econmicos actualmente en uso es inmenso. Los supuestos especfi cos utilizados y el grado de detalle provisto varan demasiado, dependiendo del problema de que se trate. Los modelos que se usan para explicar el nivel general de la actividad econmica en Estados Unidos, por ejemplo, deben ser mucho ms globales y complejos que aquellos que intentan inter-pretar los precios de las fresas en Arizona. Pese a esta variedad, prcticamente todos los modelos econmicos incorporan tres elementos comunes: 1) el supuesto ceteris paribus (todo lo dems igual); 2) el supuesto de que los tomadores de decisiones econmicas buscan optimizar algo, y 3) una cuidadosa distincin entre cuestiones positivas y normativas. Puesto que encontraremos estos elementos a lo largo de este libro, puede ser til describir de antemano la fi losofa en que se apoyan.

Supuesto ceteris paribusComo en la mayora de las ciencias los modelos que se emplean en la economa tratan de describir relaciones relativamente simples. Un modelo del mercado del trigo, por ejemplo, podra intentar explicar los precios de ese grano con un nmero reducido de variables cuantifi cables como los salarios de los trabajadores agrcolas, la lluvia o el ingreso de los consumidores. Esta parsimonia en la especifi cacin del modelo permite estudiar los precios del trigo en un marco simplifi cado en el que sea posible saber cmo operan esas fuerzas especfi cas. Aunque cualquier investigador admitir que el precio del trigo se ve afectado por muchas fuerzas externas (como presencia de plagas en el grano, cambios en el precio de los fertilizantes o los tractores, o cambios en el com-portamiento de los consumidores respecto a la ingesta de pan), estas otras fuerzas se mantienen constantes en la construccin del modelo. Es importante advertir que los economistas no suponen que ningn otro factor afecte los precios del trigo; al contrario, dan por sentado que esas otras

2 Para un texto de nivel intermedio con una amplia serie de aplicaciones reales, vase W. Nicholson y C. Snyder, Intermediate Microeconomics and Its Application, 11 ed. (Thomson/Southwestern, Mason OH, 2010).

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variables se mantienen sin cambios durante el periodo de estudio. Esto permite examinar en un marco simplifi cado el efecto de unas cuantas fuerzas. Tales supuestos ceteris paribus (todo lo dems igual) se utilizan en todos los modelos econmicos.

El uso del supuesto ceteris paribus plantea algunas difi cultades para la comprobacin de mode-los econmicos a partir de datos reales. En otras ciencias estos problemas quiz no sean tan seve-ros, dada la posibilidad de hacer experimentos controlados. Por ejemplo, un fsico interesado en probar un modelo de la fuerza de gravedad tal vez no lo haga arrojando objetos desde el Empire State. Experimentos realizados de ese modo estaran sujetos a demasiadas fuerzas extraas (como corrientes de viento, partculas en el aire y variaciones de temperatura) como para permitir una prueba precisa de la teora. Ms bien el fsico hara experimentos en un laboratorio, utilizando un vaco parcial en el que la mayora de las fuerzas adicionales puedan controlarse o eliminarse. De esta forma, la teora podra comprobarse en un marco simple sin considerar las dems fuerzas que en el mundo real afectan la cada de los cuerpos.

Con notables excepciones los economistas no han podido llevar a cabo experimentos contro-lados para probar sus modelos. En cambio, al verifi car sus teoras se han visto obligados a depen-der de varios mtodos estadsticos para controlar otras fuerzas. Aunque en principio estos mto-dos estadsticos son tan vlidos como los mtodos de los experimentos controlados que usan otros cientfi cos, en la prctica plantean varias cuestiones espinosas. Por esta razn las limitacio-nes y el signifi cado preciso en la economa del supuesto ceteris paribus estn sujetos a mayor controversia que en las ciencias de laboratorio.

Estructura de los modelos econmicosLa mayora de los modelos econmicos en este libro tiene una estructura matemtica. Destacan las relaciones entre factores que afectan las decisiones de familias y empresas, y los resultados de esas decisiones. Los economistas tienden a usar diferentes nombres para estos dos tipos de facto-res (o en trminos matemticos, variables). Las variables fuera del control de quienes toman las decisiones se llaman variables exgenas. Estas variables son la entrada de los modelos econmi-cos. Por ejemplo, en la teora del consumo solemos tratar a los individuos como seguidores de precios. Los precios de los bienes se determinan fuera de nuestros modelos de comportamiento del consumidor, y queremos estudiar cmo se ajustan los consumidores a ellos. Los resultados de esas decisiones (como la cantidad de cada bien que compra un consumidor) son variables end-genas. Estas variables se determinan dentro de nuestros modelos. Esta distincin se representa de forma esquemtica en la fi gura 1.1. Aunque los modelos desarrollados por los economistas pue-den ser complicados, todos tienen esta estructura bsica. Una buena manera de comenzar a estu-diar un modelo particular es identifi cando precisamente cmo encaja en este marco.

La distincin entre variables exgenas y endgenas se aclarar a medida que exploremos varios modelos econmicos. Acertar qu variables se determinan fuera de un modelo particular y cules dentro de l puede ser confuso; as, trataremos de recordrtelo conforme avancemos. Esta distin-cin entre variables exgenas y endgenas tambin es til para comprender la forma en que el supuesto ceteris paribus se incorpora a los modelos econmicos. En la mayora de los casos vamos a querer estudiar cmo cambian los resultados de nuestros modelos cuando una de las variables exgenas cambia. Es posible, incluso probable, que el cambio en esta variable altere todos los resultados calculados a partir del modelo. Por ejemplo, como veremos, es probable que el cambio en el precio de un bien provoque que un individuo modifi que las cantidades de prcticamente todos los bienes que compra. Examinar todas estas respuestas es justo el motivo de que los econo-mistas hagan modelos. El supuesto ceteris paribus se cumple cambiando slo una variable ex-gena y manteniendo constantes todas las dems. Si se quieren estudiar los efectos de una modifi -cacin en el precio de la gasolina sobre las compras de una familia, en el modelo se cambiar ese precio pero no los precios de otros bienes (y, en algunos casos, tampoco el ingreso del individuo). Estudiar el efecto ceteris paribus de un incremento en el precio de la gasolina signifi ca mantener constantes los dems precios.

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Supuestos de optimizacinMuchos modelos econmicos parten del supuesto de que los actores econmicos estudiados per-siguen de modo racional un objetivo. Ya examinamos brevemente un supuesto de esa clase al investigar la nocin de que las empresas maximizan sus benefi cios. El ejemplo 1.1 muestra cmo puede utilizarse ese modelo para hacer predicciones comprobables. Otros ejemplos que se halla-rn en este libro incluyen aquellos en que los consumidores maximizan su bienestar (utilidad), las empresas minimizan costos y los rganos reguladores gubernamentales intentan maximizar el bienestar pblico. Aunque todos esos supuestos son poco realistas (como demostraremos) se les acepta ampliamente como punto de partida para el desarrollo de modelos econmicos. Al pare-cer, esta aceptacin tiene dos razones. Primero, los supuestos de optimizacin son tiles para generar modelos precisos y con solucin, principalmente porque tales modelos pueden valerse de diversas tcnicas matemticas adecuadas para problemas de optimizacin. Muchas de estas tcni-cas, junto con la lgica que las sustenta, se estudiarn en el captulo 2. Una segunda razn de la popularidad de los modelos de optimizacin concierne a su aparente validez emprica. Como indicarn algunas de nuestras extensiones, dichos modelos parecen ser muy apropiados para explicar la realidad. En general, entonces, los modelos de optimizacin han terminado por ocupar una posicin destacada en la teora econmica moderna.

FIGURA 1.1

Estructura de un modelo microeconmico represen tativo.

Los valores de las variables exgenas son las entradas de la mayora de los modelos econmicos. Las salidas (resultados) del modelo son los valores de las variables endgenas.

EJEMPLO 1.1 Maximizacin de benefi cios

La hiptesis de maximizacin de benefi cios es una ilustracin til de cmo pueden usarse los supuestos de optimizacin para generar proposiciones empricamente comprobables sobre el comportamiento eco-nmico. Supongamos que una empresa puede vender toda la produccin que desee a un precio p por unidad, y que el costo total de produccin, C, depende de la cantidad producida, q. As, los benefi cios estn dados por

beneficios!"! pq C(q). (1.1)

VARIABLES EXGENASFamilias: precios de los bienesEmpresas: precios de los insumosy de produccin

VARIABLES ENDGENASFamilias: cantidades compradasEmpresas: bienes producidos,insumos contratados

MODELO ECONMICOFamilias: maximizacin de la utilidadEmpresas: maximizacin de losbeneficios

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La maximizacin de los benefi cios consiste en hallar el valor de q, que maximiza la expresin de los bene-fi cios en la ecuacin 1.1. Este es un problema simple de clculo. Diferenciar la ecuacin 1.1 e igualar a 0 esa derivada da la siguiente condicin de primer orden para un mximo:

dpdq ! p C #(q) ! 0 o p ! C #(q). (1.2)

Es decir, el nivel de produccin de maximizacin de benefi cios (q) se determina seleccionando el nivelde produccin en que el precio es igual al costo marginal, C#(q). Este resultado debe parecerte conocido debido al curso de introduccin a la economa. Ntese que en esta derivacin el precio de produccin de la empresa se trata como una constante porque la empresa es seguidora de precios. Es decir, el precio es una variable exgena en este modelo.

La ecuacin 1.2 es apenas la condicin de primer orden para un mximo. Tomar en cuenta la condi-cin de segundo orden puede ayudarnos a derivar una implicacin comprobable de este modelo. La condicin de segundo orden para un mximo es que en q debe ocurrir que:

d 2pdq 2 C $ (q) < 0 o C $(q ) > 0. (1.3)

Es decir, el costo marginal debe aumentar en q para que este sea un punto verdadero de benefi cios mxi-mos.

Nuestro modelo puede usarse ahora para predecir cmo reaccionar una empresa a un cambio de precio. Para hacerlo, diferenciamos la ecuacin 1.2 respecto al precio (p), suponiendo que la empresa contina eligiendo un nivel de maximizacin de benefi cios de q:

d[p C #(q ) ! 0dp ! 1 C $ (q

dqdp ! 0.

(1.4)

Al reordenar un poco los trminos resulta que:

dqdp !

1C $ (q ) > 0.

(1.5)

Aqu la desigualdad fi nal refl eja de nuevo el hecho de que el costo marginal debe aumentar en q para que este punto sea un mximo verdadero. Esta es, as, una de las proposiciones comprobables de la hiptesis de maximizacin de los benefi cios: si lo dems no cambia, una empresa seguidora de precios debera responder a un incremento de precio aumentando su produccin. Si, por el contrario, las empresas res-ponden a incrementos de precio reduciendo su produccin, debe haber un error en nuestro modelo.

Aunque este es un modelo simple, refl eja la forma en que procederemos a lo largo de gran parte deeste libro. Especfi camente, el hecho de que la implicacin primaria del modelo se derive mediante clcu lo y consista en mostrar qu signo debe tener una derivada, es el tipo de resultado que veremos muchas veces. Advirtase que en este modelo slo hay una variable endgena: q, la cantidad que la empresa decide producir. De igual forma, slo hay una variable exgena: p, el precio del producto que laempresadapor sentado. Nuestro modelo hace una prediccin especfi ca sobre la forma en que los cambios en esta variable exgena afectan la decisin de produccin de la empresa.

PREGUNTAS: En trminos generales, cmo cambiaran las implicaciones de este modelo, si el precio que una empresa obtiene por su produccin estuviera en funcin de cunto vendi? Es decir, cmo operara el modelo si se abandonara el supuesto de seguimiento de precios?

Distincin positivo-normativoUna ltima caracterstica de la mayora de los modelos econmicos es el intento de diferenciar cuidadosamente entre cuestiones positivas y normativas. Hasta aqu nos hemos ocupado sobre todo de teoras econmicas positivas. Estas teoras toman la realidad como objeto de estu-dio, tratando de explicar los fenmenos econmicos observados. La economa positiva busca determinar la forma en que los recursos se asignan de hecho en una economa. Un tanto diferente en el uso de la teora econmica es el anlisis normativo, adoptando una postura defi nida sobre lo

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que debera hacerse. Bajo el rubro del anlisis normativo los economistas tienen mucho que decir sobre cmo deberan asignarse los recursos. Por ejemplo, un economista dedicado al anlisis posi-tivo podra investigar cmo se determinan los precios en la economa de atencin a la salud de Estados Unidos. Asimismo, este economista podra desear medir los costos y benefi cios de desti-nar aun ms recursos a la atencin de la salud ofreciendo, por ejemplo, seguro mdico subsidiado por el gobierno. Pero cuando argumenta especfi camente que debera adoptarse ese plan de segu-ros, el anlisis se vuelve normativo.

Algunos economistas creen que el nico anlisis propiamente econmico es el positivo. Esta-bleciendo una analoga con las ciencias fsicas, stas sostienen que la economa cientfi ca slo debe ocuparse de la descripcin (y, quiz, la prediccin) de sucesos econmicos reales. Adoptar posiciones polticas y abogar por intereses especiales se juzga ajeno a la competencia de un eco-nomista como tal. Claro que, como cualquier otro ciudadano, un economista es libre de expresar sus opiniones polticas, pero al hacerlo acta como ciudadano, no como economista. A otros economistas, sin embargo, la distincin positivo-normativo les parece artifi cial. Creen que el estudio de la economa involucra necesariamente las opiniones de los investigadores sobre tica, moral y justicia. Segn estos economistas, en dichas circunstancias es intil buscar objetividad cientfi ca. Pese a cierta ambigedad este libro intenta adoptar un tono positivo, dejando las con-sideraciones normativas para decisin de cada quien.

DESARROLLO DE LA TEORA ECONMICADEL VALORPuesto que la actividad econmica es una caracterstica central de todas las sociedades sorprende que estas actividades no se hayan estudiado en detalle hasta fecha muy reciente. A los fenmenos econmicos se les trataba casi invariablemente como un aspecto bsico de la conducta humana no lo bastante interesante para merecer atencin especfi ca. Es cierto, desde luego, que los individuos siempre han estudiado las actividades econmicas con la mira puesta en la obtencin de algn tipo de benefi cio personal. Los comerciantes romanos no eran ajenos a la obtencin de benefi cios en sus transacciones. Pero las investigaciones sobre la naturaleza bsica de esas actividades no empezaron en serio hasta el siglo xviii.3 Dado que este libro trata de la teora econmica en su estado actual ms que de la historia del pensamiento econmico, nuestro anlisis de la evolucin de la teora econmica ser breve. Se examinar en su marco histrico slo un rea del estudio econmico: la teora del valor.

Reflexiones econmicas iniciales sobre el valorLa teora del valor se refi ere a los determinantes del valor de una mercanca. Este tema est en el centro de la teora microeconmica moderna y se vincula de forma estrecha con el problema econmico fundamental de asignar recursos escasos a diferentes usos. El punto de partida lgico es una defi nicin del trmino valor. Por desgracia, el signifi cado de esta palabra no ha sido sis-temtico durante el desarrollo de este tema. Hoy valor es sinnimo del precio de una mercan-ca.4 Los primeros fi lsofos-economistas, sin embargo, hacan una distincin entre el precio de mercado de una mercanca y su valor. El trmino valor se conceba entonces, en cierto sentido, como sinnimo de importancia, esencia o (a veces) santidad. Dado que precio y valor eran conceptos aparte, podan diferir, y la mayora de los primeros anlisis econmicos se centra-ron en esas divergencias. Por ejemplo, santo Toms de Aquino crea que el valor estaba divina-mente determinado. Como los precios los fi jaban seres humanos, era posible que el precio de una

3 Para un tratamiento detallado del pensamiento econmico temprano, vase la obra clsica de J. A. Schumpeter, History of Eco-nomic Analysis (Oxford University Press, Nueva York, 1954), parte II, captulos 1-3.4 Esto no es del todo cierto cuando implica externalidades, caso en que debe hacerse una distincin entre valor privado y social (vase el captulo 19).

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mercanca difi riera de su valor. A una persona acusada de cobrar un precio superior al valor de un bien se le culpaba de imponer un precio injusto. Aquino crea que, en la mayora de los casos, la tasa de inters justa era cero. Todo prestamista que exiga un pago por el uso de dinero impona un precio injusto y poda ser procesado (y en ocasiones as ocurri) por los funcionarios eclesis-ticos.

Fundacin de la economa modernaA fi nes del siglo xviii los fi lsofos comenzaron a adoptar un enfoque ms cientfi co de los asuntos econmicos. La publicacin, en 1776, de Th e Wealth of Nations (La riqueza de las naciones) de Adam Smith (1723-1790) es considerada, en general, el inicio de la economa moderna. En esa vasta y exhaustiva obra Smith sent las bases de la refl exin sobre las fuerzas del mercado en forma ordenada y sistemtica. Aun as l y sus sucesores inmediatos, como David Ricardo (1772-1823), siguieron distinguiendo entre valor y precio. Para Smith, por ejemplo, el valor de una mercanca aluda a su valor de uso, mientras que el precio representaba su valor de cambio. Esta distincin entre ambos conceptos se ilustr con la famosa paradoja del agua y el diamante. El agua, que posee obviamente gran valor de uso, tiene poco valor de cambio (precio bajo); los dia-mantes son de escasa utilidad prctica, pero tienen gran valor de cambio. Esta paradoja a la que se enfrentaron los primeros economistas se deriva de la observacin de que algunos objetos tiles tienen un precio bajo, en tanto que ciertos objetos no esenciales tienen un precio alto.

Teora del valor de cambio del trabajoNi Smith ni Ricardo resolvieron de modo satisfactorio la paradoja del agua y el diamante. El con-cepto de valor de uso se cedi al debate de los fi lsofos mientras los economistas dirigan su atencin a explicar las determinantes del valor de cambio (es decir, los precios relativos). Una obvia explicacin posible es que el valor de cambio de los bienes est determinado por lo que cuesta producirlos. El costo de produccin est principalmente sujeto a la infl uencia del costo de la mano de obra o al menos as era en tiempos de Smith y Ricardo, de manera que faltaba un solo paso para adoptar una teora del valor-trabajo. Por ejemplo, parafraseando un ejemplo de Smith, si cazar un venado implica el doble de horas de trabajo que cazar un castor, un venado debera intercambiarse por dos castores. En otras palabras, el precio de un venado debera ser eldoble del de un castor. De igual manera, los diamantes son relativamente costosos porque su produccin requiere un insumo sustancial de trabajo, mientras que el agua se consigue gratis.

A los estudiantes con un conocimiento incluso superfi cial de lo que ahora llamamos la ley de la oferta y la demanda, la explicacin de Smith y Ricardo debe parecerles incompleta. Estos auto-res no reconocieron los efectos de la demanda en el precio? La respuesta a esta pregunta es s y no. Observaron periodos de precios relativos que suban y bajaban rpidamente, y atribuyeron esos cambios a modifi caciones en la demanda. Sin embargo, los consideraron anormalidades que slo producan una divergencia temporal entre el precio de mercado y el valor del trabajo. Como no desarrollaron una teora del valor de uso se resistan a conceder a la demanda algo ms que un papel fugaz en la determinacin de los precios relativos. Suponan ms bien que el valor de cam-bio a largo plazo slo estaba determinado por los costos laborales de produccin.

Revolucin marginalistaEntre 1850 y 1880 los economistas repararon cada vez ms en que para elaborar una alternativa adecuada de la teora del valor-trabajo tenan que concebir una teora del valor de uso. En la dcada de 1870 varios de ellos descubrieron que lo que determina el valor de cambio de una mer-canca no es su utilidad total, sino la utilidad de la ltima unidad consumida. Por ejemplo, el agua es sin duda, til: es necesaria para todas las formas de vida.

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Sin embargo, como el agua es relativamente abundante, consumir medio litro ms (ceteris pari-bus) tiene un valor relativamente bajo para la gente. Estos marginalistas redefi nieron el con-cepto de valor de uso desde una idea de utilidad general hasta otra de utilidad marginal o incre-mental: la utilidad de una unidad adicional de una mercanca. El concepto de demanda de una unidad incremental de produccin se contrast entonces con el anlisis de Smith y Ricardo sobre los costos de produccin para derivar una descripcin completa de la determinacin de precios.5

Sntesis oferta-demanda de MarshallLa formulacin ms clara de estos principios marginales fue presentada por el economista ingls Alfred Marshall (1842-1924) en sus Principles of Economics (Principios de economa), publicados en 1890. Marshall demostr que demanda y oferta operan simultneamente para determinar el precio. Como l mismo seal, as como no puede decirse cul de las hojas de unas tijeras hace elcorte, tampoco puede decirse si es la demanda o la oferta la que determina por s sola el precio. Este anlisis es ilustrado por la famosa interseccin de Marshall, que aparece en la fi gura 1.2. En este diagrama la cantidad de un bien, adquirida por periodo, se indica en el eje horizontal y su precio aparece en el eje vertical. La curva DD representa la cantidad demandada del bien por periodo en cada precio posible. Esta curva es de pendiente negativa para refl ejar el principio mar-ginalista de que, al aumentar la cantidad, la gente est dispuesta a pagar menos por la ltima unidad comprada. Lo que fi ja el precio de todas las unidades adquiridas es el valor de esta ltima unidad. La curva SS muestra cmo aumenta el costo (marginal) de produccin al incrementarse la produccin. Esto refl eja el costo creciente de producir una unidad ms al aumentar la produc-cin total. En otras palabras, la pendiente ascendente de la curva SS refl eja costos marginales crecientes, as como la pendiente descendente DD refl eja un valor marginal decreciente. Estas dos curvas se cruzan en p, q. Este es un punto de equilibrio: tanto compradores como vendedores estn satisfechos con la cantidad comerciada y el precio al que se le vende. Si una de las curvas cambiara, el punto de equilibrio pasara a una nueva ubicacin. As, precio y cantidad estn simultneamente determinados por la operacin conjunta de la oferta y la demanda.

5 Ricardo ya haba dado un importante primer paso en el anlisis marginal en su estudio de la renta. Consider que al aumentar la produccin de maz se usara tierra de calidad inferior, lo que causara un aumento en el precio del maz. En su argumento reconoci que lo relevante para la fijacin del precio es el costo marginal, el costo de producir una unidad adicional. Ntese que mantuvo implcitamente otros insumos constantes al tratar la productividad decreciente de la tierra; es decir, us una versin del supuesto ceteris paribus.

FIGURA 1.2

Interseccin oferta-demanda de Marshall.

Marshall mostr que la demanda y la oferta interactan entre s para determinar el precio de equilibrio (p*) y la cantidad (q*) que se comercializar en el mercado. Concluy que no puede decirse que la demanda o la oferta determinen por s solas el precio ni que, por tanto, los costos o la utilidad para los compradores deter-minen por s solos el valor de cambio.

Cantidad por periodo

Precio

S

S

D

D

q*

p*

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Aunque las presentaciones grfi cas son adecuadas para algunos propsitos, los economistas suelen usar representaciones algebraicas de sus modelos tanto para aclarar sus argumentos como para darles ms precisin. Como un ejemplo elemental supongamos que queremos estudiar el mercado de los cacahuates y que, con base en el anlisis estadstico de datos histricos, concluimos que la cantidad de cacahua-tesdemandada cada semana (q, medida en bushels)6 depende del precio de los cacahuates (p, medido en dlares por bushel), de acuerdo con la ecuacin: cantidad demandada ! qD ! 1 000 % 100p. (1.6)Como esta ecuacin de qD contiene nicamente la variable independiente p, mantenemos implcitamente constantes todos los dems factores que podran afectar la demanda de cacahuates. La ecuacin 1.6 indica que, de no cambiar nada ms, a un precio de $5 por bushel la gente demandar 500 bushels de cacahuates, mientras que a un precio de $4 por bushel, demandar 600 bushels. El coefi ciente negativo dep en la ecuacin 1.6 refl eja el principio marginalista de que un precio menor provocar que la gente compre ms cacahuates.

Para completar este modelo simple de determinacin de precios supongamos que la cantidad de ca cahuates ofrecida tambin depende del precio: cantidad ofrecida ! qS ! %125 & 125p. (1.7)Aqu, el coefi ciente positivo del precio refl eja asimismo el principio marginal de que un precio ms alto oca-sionar una oferta mayor, sobre todo porque (como vimos en el ejemplo 1.1) permitir a las empresas incu-rrir en costos marginales de produccin ms altos sin sufrir prdidas en las unidades adicionales producidas.

Determinacin del precio de equilibrio. En consecuencia, las ecuaciones 1.6 y 1.7 refl ejan nuestro modelo de determinacin del precio en el mercado de los cacahuates. Un precio de equilibrio puede hallarse al igualar la cantidad demandada con la cantidad ofrecida: qD ! qS (1.8)o 1 000 % 100p ! %125 & 125p (1.9)o 225p ! 1 125 (1.10)as, p ! 5. (1.11)A un precio de $5 por bushel este mercado est en equilibrio: en ese precio, la gente querr adquirir 500 bushels, justo lo que los productores de cacahuates estn dispuestos a ofrecer. Este equilibrio se repre-senta de manera grfi ca como la interseccin de D y S en la fi gura 1.3.

Un modelo ms general. Para ilustrar cmo podra usarse este modelo de oferta-demanda, adoptemos una notacin ms general. Supongamos ahora que las funciones de demanda y oferta estn dadas por: qD ! a & bp y qS ! c & dp (1.12)donde a y c son constantes que pueden usarse para modifi car las curvas de demanda y oferta, respectiva-mente; y b ('0) y d ((0) representan reacciones de demandantes y ofertantes al precio. El equilibrio en este mercado requiere:

qD ! qS o

a& bp ! c& dp. (1.13)

As, el precio de equilibrio est dado por:7

p ! a cd b . (1.14)

6 El bushel es una unidad de medida inglesa de capacidad (masa o volumen) para mercanca slida. Se utiliza en el comercio de granos, harinas y otros productos similares. En Reino Unido un bushel tiene 4 pecks o 32 quarts, y equivale a 1.03205 del bushel de los Estados Unidos, que a su vez equivale a 0.35238 hectolitros.7 La ecuacin 1.14 tambin se conoce como la forma reducida del modelo estructural de oferta-demanda de las ecuaciones 1.12 y 1.13. Indica que el valor de equilibrio de la variable endgena p slo depende en definitiva de los factores exgenos en el modelo (a y c) y de los parmetros de comportamiento b y d. Una ecuacin similar puede calcularse respecto de la cantidad de equilibrio.

EJEMPLO 1.2 Equilibrio oferta-demanda

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Ntese que en nuestro ejemplo previo a ! 1 000, b ! %100, c ! %125 y d ! 125; por tanto:

p ! 1 000& 125125& 100 !1 125225 ! 5. (1.15)

Con esta formulacin ms general, sin embargo, podemos plantear preguntas sobre cmo podra cam-biar el precio de equilibrio si la curva de demanda o de oferta cambiara. Por ejemplo, la diferenciacin de la ecuacin 1.14 muestra que:

dpda !

1d b ( 0,

dpdc !

1d b ' 0.

(1.16)

Es decir, un aumento en la demanda (un aumento en a) incrementa el precio de equilibrio, mientras que un aumento en la oferta (un aumento en c) reduce el precio. Esto es justo lo que mostrara un anlisis grfi co de curvas de oferta y demanda. Por ejemplo, la fi gura 1.3 indica que cuando la constante, a, en la ecuacin de demanda aumenta a 1 450, el precio de equilibrio aumenta a p ! 7 [! (1 450 & 125)/225].

PREGUNTAS: Cmo podras usar la ecuacin 1.16 para predecir en qu forma cada incremento unitario en la constante exgena a afecta la variable endgena p? Esta ecuacin predice correctamente el incremento en p, cuando la constante a aumenta de 1 000 a 1 450?

FIGURA 1.3 Equilibrios cambiantes de oferta-demanda

El equilibrio de oferta-demanda inicial es ilustrado por la interseccin de D y S (p* ! 5, q* ! 500). Cuando la demanda se desplaza a qD# ! 1 450 ! 100p (denotado por D#), el equilibrio cambia a p* ! 7, q* ! 750.

0 Cantidad porperiodo (en bushels)

Precio($)

S

S

D

D

D

D

14.5

10

7

5

500 750 1 000 1 450

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Resolucin de la paradojaEl modelo de Marshall resuelve la paradoja del agua y el diamante. Los precios refl ejan tanto la evaluacin marginal que los demandantes hacen de los bienes, como el costo marginal de produ-cir esos bienes. Visto de esta manera no hay paradoja. El agua es de bajo precio porque tiene un valor marginal bajo y un bajo costo marginal de produccin. En cambio, los diamantes son de alto precio porque tienen un valor marginal alto (la gente est dispuesta a pagar mucho por uno ms) y un alto costo marginal de produccin. Este modelo bsico de oferta y demanda est en la base de gran parte del anlisis que se presentar en este libro.

Modelos de equilibrio generalAunque el modelo de Marshall es un instrumento sumamente til y verstil, constituye un modelo de equilibrio parcial, ya que slo considera un mercado a la vez. En algunas cuestiones esta reduc-cin de la perspectiva aporta valiosas ideas y sencillez analtica. Pero en cuestiones ms amplias un punto de vista tan estrecho puede impedir que se descubran relaciones importantes entre mercados. Para responder preguntas ms generales debemos disponer de un modelo de toda la economa que refl eje de manera conveniente las relaciones entre varios mercados y agentes eco-nmicos. El economista francs Leon Walras (1831-1910), partiendo de una larga tradicin euro-pea en dicho anlisis, sent las bases de la investigacin moderna en esas grandes preguntas. Su mtodo de representar la economa con gran nmero de ecuaciones simultneas es la base para comprender las interrelaciones implcitas en el anlisis del equilibrio general. Walras reconoci que no se puede hablar de un mercado en aislamiento; se requiere un modelo que permita que los efectos del cambio en un mercado sean seguidos en otros.

Supongamos, por ejemplo, que la demanda de cacahuates aumenta. Esto provocara un incre-mento en su precio. El anlisis marshalliano intentara conocer la magnitud de este incremento, examinando las condiciones de oferta y demanda en el mercado de los cacahuates. El anlisis del equilibrio general no slo examinara ese mercado, sino tambin las repercusiones en otros. Un aumento en el precio de los cacahuates incrementara los costos para los productores de crema de cacahuate, lo que a su vez afectara la curva de oferta de este producto. De igual manera, un precio ms alto de los cacahuates podra signifi car precios de la tierra ms altos para los agricultores, lo que afectara las curvas de demanda de todos los productos que estos compran. Las curvas de demanda de automviles, muebles y viajes a Europa cambiaran, lo cual podra generar ingresos adicionales para los proveedores de dichos productos. En consecuencia, los efectos del aumento inicial en la demanda de cacahuates se extenderan a la larga a toda la economa. El anlisis del equilibrio general trata de desarrollar modelos que nos permitan examinar tales efectos en un marco simplifi cado. Varios modelos de este tipo se describirn en el captulo 13.

Frontera de posibilidades de produccinAqu presentaremos brevemente algunas ideas del equilibrio general, usando otro grfi co que debes recordar de tu curso de introduccin a la economa: la frontera de posibilidades de produc-cin. Este grfi co muestra las diversas cantidades de dos bienes que una economa puede producir usando sus recursos disponibles durante cierto periodo (una semana, digamos). Dado que la frontera de posibilidades de produccin muestra dos bienes, no uno solo como el modelo de Marshall, sirve como componente bsico de modelos de equilibrio general.

La fi gura 1.4 muestra la frontera de posibilidades de produccin de dos bienes: alimentos y ropa; e ilustra la oferta de estos bienes exhibiendo las combinaciones que es posible producir con los recursos de esa economa. Por ejemplo, podran producirse 4 kg de alimentos y 3 unidades de ropa, o 1 kg de alimentos y 12 unidades de ropa, aunque tambin seran posibles muchasotras combinaciones de alimentos y ropa. La frontera de posibilidades de produccin las muestra todas. Las combinaciones de alimentos y ropa fuera de esta frontera son imposibles de producir porque

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PARTEDOS

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Eleccin y demanda

Captulo 3Preferencias y utilidad

Captulo 4Optimizacin de la utilidad y eleccin

Captulo 5Efectos de ingreso y de sustitucin

Captulo 6Relaciones de demanda entre bienes

En la parte 2 investigaremos la teora econmica de la eleccin. Una meta de este examen es desarrollar la nocin de demanda de manera formal para que pueda usarse en secciones posteriores del texto cuando pasemos al estudio de los mercados. Una meta ms general de esta parte es ilustrar el mtodo que usan los economistas para explicar cmo toman decisiones los individuos en una amplia variedad de contextos.

La parte 2 comienza con una descripcin de la forma en que los economistas realizan modelos tericos de las preferencias individuales, usualmente conocidas con el trmino formal de utilidad. El captulo 3 muestra cmo los economistas conceptualizan la utilidad de forma matemtica. Esto permite un examen de los diversos intercambios que los individuos estn dispuestos a hacer voluntariamente.

En el captulo 4 se usa el concepto de utilidad para ilustrar la teora de la eleccin. La hiptesis funda-mental de este captulo es que las personas que enfrentan ingresos limitados tomarn decisiones econmi-cas de tal manera que puedan alcanzar la mayor utilidad posible. El captulo 4 usa los anlisis matemtico e intuitivo para indicar los discernimientos que esta hiptesis aporta al comportamiento econmico.

Los captulos 5 y 6 usan el modelo de optimizacin de la utilidad para investigar cmo respondern los individuos a los cambios en sus circunstancias. El captulo 5 se ocupa principalmente de las respuestas a los cambios en el precio de una mercanca, anlisis que conduce directamente al concepto de la curva

captulo 6 aplica este tipo de anlisis al desarrollo de una comprensin de las relacio-

Preferencias y utilidad

En este captulo examinaremos la manera en que los economistas caracterizan las preferencias de los individuos. Comenzaremos con un anlisis muy abstracto sobre la relacin de preferencia, pero pasa-remos rpidamente a la principal herramienta de los economistas para estudiar las decisiones indivi-duales: la funcin de utilidad. Estudiaremos algunas caractersticas generales de estas funciones y algu-

cas que encontraremos a lo largo de este libro.

AXIOMAS DE LA ELECCIN RACIONALUna forma de iniciar un anlisis de las decisiones de los individuos es enunciar una serie bsica de postulados o axiomas que caracterizan el comportamiento racional. Estos empiezan con el concepto de preferencia: se entiende que un individuo que reporta que A es preferible a B quiere decir que, habiendo considerado todas las cosas, se siente en mejores condiciones en la situacin A que en la situacin B. Se supone que la relacin de preferencia tiene las tres propieda-des bsicas siguientes. I. Integridad. Si A y B son dos situaciones cualesquiera car

exactamente una de las tres posibilidades siguientes: 1. A es preferible que B, 2. B es preferible que A, o 3. A y B son indiferentes. En consecuencia se supone que los individuos no se paralizan por la indecisin: entienden

por completo y siempre pueden hacerse una opinin sobre el atractivo de dos opciones cua-lesquiera. Este supuesto tambin descarta la posibilidad de que un individuo pueda reportar tanto que A es preferible a B como que B es preferible a A.

II. Transitividad. Si un individuo reporta que A es preferible a B y B es preferible a C, tambin debe reportar que A es preferible a C.

Este supuesto establece que las decisiones del individuo son internamente coherentes. Tal supuesto puede someterse a un estudio emprico. En general, este tipo de estudios concluye que las decisiones de una persona son tran carse en casos en los que el individuo probablemente no comprende completamente las consecuencias de sus decisiones. Dado que en la mayora de los casos supondremos que las decisiones son totalmente informadas (vase, sin embargo, el anlisis de la incertidumbre en el captulo 7 y en algunas partes ms), la propiedad de la transitividad parece ser un supuesto apropiado a establecer sobre las preferencias.

III. Continuidad. Si un individuo reporta que A es preferible a B las situaciones adecuadamente cercanas a A deben ser preferibles a B.

Este supuesto ms bien tcnico se requiere si deseamos analizar las respuestas de los indi-viduos a cambios relativamente reducidos en ingreso y precios. El propsito de este supuesto

CAPTULOTRES

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90 Parte 2: Eleccin y demanda

es descartar ciertos tipos de fi losas preferencias discontinuas que plantean problemas a un desarrollo matemtico de la teora de la eleccin. Suponer continuidad no parece implicar el riesgo de pasar por alto tipos de comportamiento econmico que son importantes en la reali-dad (vase el problema 3.14 para algunos contraejemplos).

UTILIDADDados los supuestos de integridad, transitividad y continuidad, es posible demostrar formal-mente que las personas pueden clasifi car todas las situaciones posibles entre la menos y la ms deseable.1 Siguiendo la terminologa introducida por el terico poltico del siglo xix, Jeremy Bentham, los economistas llaman a esta clasifi cacin utilidad.2 Nosotros tambin seguiremos aBentham al decir que las situaciones ms deseables ofrecen ms utilidad que las menos desea-bles. Es decir, si una persona prefi ere la situacin A a la situacin B, diramos que la utilidad asignada a la opcin A, denotada por U(A), excede a la utilidad asignada a B, U(B).

No singularidad de las medidas de utilidadIncluso podramos atribuir nmeros a esas clasifi caciones de utilidad; sin embargo, esos nmeros no sern nicos. Cualquier conjunto de nmeros que asignemos arbitrariamente y que refl eje conexactitud el orden de las preferencias originales implicar el mismo conjunto de decisiones. No hay ninguna diferencia entre decir que U(A) ! 5 y U(B) ! 4, y decir que U(A) ! 1 000 000 y U(B) ! 0.5. En ambos casos los nmeros implican que A es preferible a B. En trminos tcnicos, nuestra nocin de utilidad slo se defi ne hasta una transformacin preservadora del orden (montona).3 Cualquier conjunto de nmeros que refl eje con exactitud el orden de preferencias de una persona ser sufi ciente. En consecuencia, no tiene sentido preguntar cunto ms es prefe-rible A que B porque esta pregunta no tiene una sola respuesta. Estudios en los que se le pide a los individuos clasifi car su felicidad en una escala de 1 a 10 bien podran usar una escala de 7 a1 000 000. Slo cabe esperar que una persona que reporte estar en 6 en la escala cierto da y en 7 al da siguiente sea realmente ms feliz el segundo da. As, las clasifi caciones de utilidad son como las clasifi caciones ordinales para los restaurantes o las pelculas en las que se usan una, dos, tres o cuatro estrellas; simplemente registran la atraccin relativa de conjuntos de mercancas.

Esta falta de singularidad en la asignacin de nmeros de utilidad tambin implica que no es posible comparar utilidades de personas diferentes. Si una persona reporta que cenar un bistec brinda una utilidad de 5 y otra reporta que la misma cena ofrece una utilidad de 100, no puede decirse cul de ellas valora ms esa cena, porque quiz hayan usado escalas diferentes. De igual manera, no se puede medir si un desplazamiento de la situacin A a la situacin B brinda ms utilidad a una persona u otra. No obstante, como veremos, los economistas pueden decir mucho sobre clasifi caciones de utilidad, examinando qu deciden hacer las personas en forma voluntaria.

El supuesto ceteris paribusDado que utilidad se refi ere a la satisfaccin general tal medida se ve claramente afectada por varios factores. La utilidad de una persona se ve afectada no slo por su consumo de mercancas fsicas, sino tambin por actitudes psicolgicas, presiones de grupos de amigos, experiencias per-sonales y el entorno cultural general. Aunque los economistas tienen un inters general en exami-

1 Estas propiedades y su relacin con la representacin de las preferencias mediante una funcin de utilidad se exponen en detalle en Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston y Jerry R. Green, Microeconomic Theory (Oxford University Press, Nueva York, 1995).2 J. Bentham, Introduction to the Principles of Morals and Legislation (Hafner, Londres, 1848).3 Podemos denotar matemticamente esta idea diciendo que cualquier clasificacin numrica de utilidad (U) puede ser transfor-mada en otro conjunto de nmeros por la funcin F siempre y cuando F(U) preserve el orden. Esto puede garantizarse si F#(U) ( 0. Por ejemplo, la transformacin F(U) ! U2 preserva el orden, lo mismo que la transformacin F(U) ! ln U. Para facilitar el anlisis de una clasificacin de utilidad particular en algunas secciones del libro y los problemas ser conveniente hacer esta clase de transformaciones.

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Captulo 3: Preferencias y utilidad 91

nar esas infl uencias, suele ser necesario restarle atencin. En consecuencia, una prctica comn es atender exclusivamente decisiones entre opciones cuantifi cables (por ejemplo, las cantidades relativas de alimento y techo comprados, el nmero de horas trabajadas por semana o los votos entre frmulas tributarias especfi cas) manteniendo constantes al mismo tiempo las dems cosas que afectan el comportamiento. Este supuesto ceteris paribus (todo lo dems igual) se invoca en todos los anlisis econmicos de decisiones de optimizacin de la utilidad para volver manejable el anlisis de las decisiones en un marco simplifi cado.

Utilidad del consumo de bienesComo un ejemplo importante del supuesto ceteris paribus considrese el problema de eleccin de un individuo, en un punto en el tiempo, entre n bienes de consumo x1, x2, , xn. Supondremos que la clasifi cacin de estos bienes por el individuo puede ser representada por una funcin de utilidad de la forma

utilidad ! U(x1, x2, , xn; todo lo dems), (3.1)

donde las x se refi eren a las cantidades de los bienes que podran elegirse, y la notacin todo lo dems se usa como recordatorio de que muchos aspectos del bienestar individual se mantienen constantes en el anlisis.

A menudo es ms fcil escribir la ecuacin 3.1 como

utilidad ! U(x1, x2, , xn) (3.2)

O, si slo se consideran dos bienes, como

utilidad ! U(x, y) (3.2)

donde es evidente que todo se mantiene constante (es decir, fuera del marco de anlisis) excepto los bienes referidos en la funcin de utilidad. Sera tedioso recordarte a cada paso qu se mantiene constante en el anlisis, pero debers recordar que alguna forma del supuesto ceteris paribus siem-pre estar vigente.

Argumentos de funciones de utilidadLa notacin de la funcin de utilidad se usa para indicar cmo un individuo clasifi ca los argu-mentos particulares de la funcin considerada. En el caso ms comn, la funcin de utilidad (ecuacin 3.2) se utilizar para representar cmo un individuo clasifi ca ciertos conjuntos de bie-nes que podran ser adquiridos en un cierto momento. En ocasiones se usarn otros argumentos en la funcin de utilidad, y es mejor aclarar ciertas convenciones desde el principio. Por ejemplo, podra ser til hablar de la utilidad que recibe una persona de su patrimonio real (W). As, usare-mos la notacin

utilidad ! U(W). (3.3)

A menos que el individuo sea ms bien peculiar, alguien como Scrooge, el patrimonio en s mismo no ofrece ninguna utilidad directa. Ms bien, slo cuando el patrimonio se gasta en bienes de consumo es que resulta alguna utilidad. Por esta razn se entender que la ecuacin 3.3 signifi ca que la utilidad del patrimonio se deriva, de hecho, gastando ese patrimonio de tal manera que produzca la mayor utilidad posible.

Otros dos argumentos de funciones de utilidad se usarn en captulos posteriores. En el cap-tulo 16 ser importante la decisin trabajo-ocio del individuo y, por tanto, habr que considerar la presencia del ocio en la funcin de utilidad. La funcin que utilizaremos ser una de la forma

utilidad ! U(c, h) (3.4)

Aqu, c representa el consumo y h las horas sin trabajar (es decir, el ocio) durante un periodo particular.

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Bienes econmicosEn esta representacin se entiende que las variables son bienes; es decir, cualesquiera que sean las cantidades econmicas que representen, suponemos que se prefi ere ms que menos de cualquier xi particular durante cierto periodo. Suponemos que esto se aplica a todo bien, sea un ar tculo simple de consumo como un hot dog o un agregado complejo como patrimonio u ocio. Hemos descrito esta convencin para una funcin de utilidad de dos bienes en la fi gura 3.1. Ah, todos los conjuntos de bienes de consumo en el rea sombreada son preferibles al conjunto x, y porque cualquier paquete en el rea sombreada brinda ms de al menos uno de los bienes. De acuerdo con nuestra defi nicin de bienes, los conjuntos de bienes en el rea sombreada ocupan una cla-sifi cacin ms alta que x, y. De igual manera, los conjuntos en el rea marcada como peor son evidentemente inferiores a x, y porque contienen menos de al menos uno de los bienes y no ms del otro. Los conjuntos en las dos reas indicadas por signos de interrogacin son difciles de comparar con x, y, porque contienen ms de uno de los bienes y menos del otro. Desplazamien-tos dentro de estas reas implican opciones entre ambos bienes.

INTERCAMBIOS Y SUSTITUCINLa mayor parte de la actividad econmica implica el intercambio voluntario entre individuos. Cuando una persona compra, digamos, una hogaza de pan, renuncia voluntariamente a una cosa (dinero) a cambio de otra (pan) de mayor valor para ella. Para examinar este tipo de transaccin voluntaria debemos desarrollar un aparato formal para ilustrar intercambios en el contexto de la funcin de utilidad. Motivaremos inicialmente nuestro anlisis con una presentacin grfi ca y despus pasaremos a matemticas ms formales.

Curvas de indiferencia y la tasa marginal de sustitucinLos intercambios voluntarios pueden estudiarse mucho mejor usando el recurso grfi co de una curva de indiferencia. En la fi gura 3.2 la curva U1 representa todas las combinaciones alternativas de x y y para las cuales un individuo est igualmente en buenas condiciones (recuerda que todos los dems argumentos de la funcin de utilidad se mantienen constantes). Esta persona est igual-mente satisfecha consumiendo, por ejemplo, la combinacin de bienes x1, y1 o la combinacin x2, y2. Esta curva que representa todos los conjuntos de bienes de consumo que el individuo clasifi ca para el mismo nivel de utilidad se llama curva de indiferencia.

En el captulo 17 nos interesarn las decisiones de consumo del individuo en periodos diferen-tes. En ese captulo se usar una funcin de utilidad de la forma

utilidad ! U(c1, c2) (3.5)

donde c1 es consumo en este periodo y c2 es consumo en el periodo siguiente. As, al cambiar los argumentos de la funcin de utilidad podremos concentrarnos en aspectos especfi cos de las deci-siones de un individuo en varios marcos simplifi cados.

En suma, iniciaremos nuestro examen del comportamiento individual con la defi nicin siguiente.

DEFINICIN Utilidad. Se supone que las preferencias de las personas estn representadas por una funcin de utilidad de la forma

U(x1, x2, , xn), (3.6)

donde x1, x2, , xn son las cantidades de cada uno de los n bienes que podran consumirse en un periodo. Esta funcin es nica slo hasta una transformacin preservadora del orden.

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La pendiente de la curva de indiferencia en la fi gura 3.2 es negativa, lo cual indica que si el individuo es obligado a renunciar a una parte de y, debe ser compensado por una cantidad adi-cional de x para mantenerse indiferente entre los dos conjuntos de bienes. Esta curva tambin est trazada de tal modo que la pendiente aumenta al aumentar x (es decir, la pendiente comienza en infi nito negativo y aumenta hacia cero). Esta es una representacin grfi ca del supuesto de que las personas estn progresivamente menos dispuestas a ceder y para obtener ms x. En trminos matemticos el valor absoluto de esta pendiente disminuye al aumentar x. De ah que se tenga la defi nicin siguiente.

FIGURA 3.1

Es preferible ms que menos de un bien.

El rea sombreada representa las combinaciones de x y y inequvocamente preferibles a la combinacin x, y. Ceteris paribus, los individuos prefieren ms que menos de cualquier bien. Las combinaciones identifi-cadas con ? implican cambios ambiguos en el bienestar porque contienen ms de un bien y menos de otro.

Cantidad de x

Cantidadde y

?

?

Preferiblea

x*, y*

Peorque

x*, y*

y*

x*

DEFINICIN Curva de indiferencia. Una curva de indiferencia (o, en muchas dimensiones, una superfi cie de indife-rencia) muestra una serie de conjuntos de bienes de consumo acerca de los cuales el individuo es indi-ferente. Es decir, todos los conjuntos brindan el mismo nivel de utilidad.

DEFINICIN Tasa marginal de sustitucin. La pendiente negativa de una curva de indiferencia (U1) en algn punto se denomina tasa marginal de sustitucin (TMS) en ese punto. Es decir,

TMS dydx U!U1, (3.7)

donde la notacin indica que la pendiente debe calcularse a lo largo de la curva de indiferencia U1.

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As, la pendiente de U1 y la TMS nos dicen algo sobre los intercambios que esta persona har en forma voluntaria. En un punto como x1, y1, la persona tiene mucho de y y est dispuesta a intercambiar una cantidad signifi cativa de ella para obtener ms x. Por tanto, la curva de indife-rencia en x1, y1 es ms bien empinada. Esta es una situacin en la que la persona tiene, digamos, muchas hamburguesas (y) y poco que beber para acompaarlas (x). Esta persona renunciara gustosamente a algunas hamburguesas (digamos 5) para saciar su sed con una bebida ms.

En x2, y2, por otro lado, la curva de indiferencia es ms plana. Aqu, esta persona tiene algunas bebidas y est dispuesta a renunciar a relativamente pocas hamburguesas (digamos 1) para obte-ner otra bebida. En consecuencia, la TMS disminuye entre, x1, y1 y x2, y2. La inestable pendiente de U1 muestra cmo el particular conjunto de bienes de consumo disponible infl uye en los inter-cambios que esta persona har libremente.

Mapa de curvas de indiferenciaEn la fi gura 3.2 slo se traz una curva de indiferencia. El cuadrante x, y, sin embargo, est den-samente ocupado por curvas de ese tipo, cada una de las cuales corresponde a un nivel de utilidad diferente. Dado que cada conjunto de bienes puede clasifi carse y produce cierto nivel de utilidad, cada punto de la fi gura 3.2 debe tener una curva de indiferencia que pase por l. Las curvas de indiferencia son similares a las curvas de nivel en un mapa, en el sentido de que representan lneas de igual altitud de utilidad. En la fi gura 3.3 se advierten varias curvas de indiferencia para indi-car que en el plano hay un nmero infi nito de estas. El nivel de utilidad representado por dichas curvas aumenta conforme nos movemos hacia el noreste; la utilidad de la curva U1 es menor que la de U2, la cual es menor que la de U3. Esto se debe al supuesto que se establece en la fi gura 3.1: es preferible ms que menos de un bien. Como ya se dijo, no existe una manera nica de asignar

FIGURA 3.2

Curva de indiferencia.

La curva U1 representa aquellas combinaciones de x y y de las cuales el individuo deriva la misma utili-dad.La pendiente de esta curva representa la tasa en la que el individuo est dispuesto a intercambiar x por y mientras permanezca en condiciones igualmente buenas. La pendiente (o, ms propiamente, la pendiente negativa se denomina tasa marginal de sustitucin. En la figura la curva de indiferencia se traza con base en el supuesto de una tasa marginal de sustitucin decreciente.

Cantidad de x

Cantidadde y

x2x1

y1

U1

U1y2

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nmeros a estos niveles de utilidad. Las curvas slo muestran que las combinaciones de bienes en U3 son preferibles a aquellas en U2, las cuales son preferibles a aquellas en U1.

Curvas de indiferencia y transitividadComo ejercicio de examen de la relacin entre preferencias sistemticas y la representacin de preferencias por funciones de utilidad, consideremos la siguiente pregunta: dos curvas de indi-ferencia cualesquiera de un individuo pueden interceptarse? Dos de tales curvas cruzadas apare-cen en la fi gura 3.4. Queremos saber si estas violan nuestros axiomas bsicos de racionalidad. Usando nuestra analoga del mapa parecera haber algo errneo en el punto E donde la altitud es igual a dos nmeros diferentes, U1 y U2. Pero ningn punto puede estar a la vez a 100 y a 200 pies sobre el nivel del mar.

Para proceder formalmente analicemos los conjuntos de bienes representados por los puntos A, B, C y D. Por efecto del supuesto de no saciedad (es decir, de que ms de un bien siempre incre-menta la utilidad) A es preferible a B y C es preferible a D. Pero esta persona est igualmente satisfecha con B y C (que estn en la misma curva de indiferencia), as que el axioma de transiti-vidad implica que A debe preferirse a D. Sin embargo, esto no puede ser cierto, porque A y D estn en la misma curva de indiferencia y se consideran por defi nicin indiferentes. Esta contradiccin demuestra que las curvas de indiferencia no se pueden interceptar. As, siempre debemos trazar mapas de curvas de indiferencia como los que aparecen en la fi gura 3.3.

Convexidad de curvas de indiferenciaOtra manera de enunciar el principio de tasa marginal de sustitucin decreciente usa la nocin matemtica de conjunto convexo. Se dice que un conjunto de puntos es convexo si dos puntos cualesquiera en l pueden unirse por una lnea recta completamente contenida en el conjunto. El

FIGURA 3.3

Hay infinitas curvas de indiferencia en el plano x-y.

Hay una curva de indiferencia que pasa por cada punto en el plano x-y. Cada una de esas curvas registra combinaciones de x y y de las cuales el individuo recibe cierto nivel de satisfaccin. Desplazamientos en una direccin noreste representan movimientos a mayores niveles de satisfaccin.

Cantidad de x

Cantidadde y

Utilidad creciente

U1

U1

U2

U3

U2 U3

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supuesto de una TMS decreciente es equivalente al de que todas las combinaciones de x y y prefe-ribles o indiferentes a una combinacin particular x, y forman un conjunto convexo.4 Esto se ilustra en la fi gura 3.5a, donde todas las combinaciones preferibles o indiferentes a x, y estn en el rea sombreada. Dos combinaciones cualesquiera entre estas digamos x1, y1 y x2, y2 pueden unirse por una lnea recta tambin contenida en el rea sombreada. En la fi gura 3.5b esto no es cierto. Una lnea que une a x1, y1 y x2, y2 pasa fuera del rea sombreada. As, la curva de indiferen-cia a travs de x, y en la fi gura 3.5b no cumple el supuesto de la TMS decreciente porque el conjunto de puntos preferible o indiferente a x, y no es convexo.

Convexidad y equilibrio en el consumoUsando la nocin de convexidad puede demostrarse que los individuos prefi eren cierto equilibrio en su consumo. Supongamos que un individuo es indiferente entre las combinaciones x1, y1 y x2, y2. Si la curva de indiferencia es estrictamente convexa la combinacin (x1 & x2)/2, (y1 & y2)/2 ser preferible a cualquiera de las combinaciones iniciales.5 Intuitivamente, los conjuntos de bienes debidamente equilibrados son preferibles a los conjuntos muy inclinados a un solo bien. Esto se ilustra en la fi gura 3.6. Dado que la curva de indiferencia se supone convexa, todos los puntos en la lnea recta que une a (x1, y1) y a (x2, y2) son preferibles a esos puntos iniciales. En consecuencia, este ser el caso del punto (x1 & x2)/2, (y1 & y2)/2, que est en el punto medio de esa lnea. En

4 Esta definicin es equivalente a suponer que la funcin de utilidad es cuasi cncava. Tales funciones se estudiaron en el captulo2 y volveremos a examinarlas en la siguiente seccin. A veces se usa el trmino cuasi concavidad estricta para descartar la posibilidad de curvas de indiferencia que tengan segmentos lineales. En general supondremos cuasi concavidad estricta, pero en algunas secciones ilustraremos las complicaciones planteadas por porciones lineales de curvas de indiferencia.5 En el caso en que la curva de indiferencia tenga un segmento lineal el individuo ser indiferente entre las tres combinaciones.

FIGURA 3.4

La interseccin decurvas de indiferencia implica preferenciasasistemticas.

Las combinaciones A y D estn en la misma curva de indiferencia y, por tanto, son igualmente deseables. Pero el axioma de transitividad puede usarse para demostrar que A es preferible a D. De ah que curvas de indiferencia interceptadas no son congruentes con las preferencias racionales.

Cantidad de x

Cantidadde y

D

C

EA

B U2

U1

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FIGURA 3.5

Nocin de convexidad como definicin alterna de la TMS decreciente.

En a), la curva de indiferencia es convexa (toda lnea que una dos puntos arriba de U1 tambin estar arriba de U1). En b) tal no es el caso y la curva mostrada ah no tiene en todas partes una TMS decreciente.

FIGURA 3.6

Son preferibles los conjuntos equilibrados de bienes a los conjuntos extremos.

Si las curvas de indiferencia son convexas (si cumplen el supuesto de la TMS decreciente) la lnea que una dos puntos cualesquiera que sean indiferentes contendrn puntos preferibles a cualesquiera de las combi-naciones iniciales. Intuitivamente, los conjuntos equilibrados son preferibles a los no equilibrados.

Cantidadde x

Cantidadde x

Cantidadde y

Cantidadde y

(b)(a)

U1 U1

U1 U1

y1

y2 y2

x1 x1 x2x*x2x*

y*

y1

y*

Cantidad de x

Cantidadde y

2x1 + x2

2y1 + y2

U1

U1

y1

x1 x2

y2

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efecto, cualquier combinacin proporcional de los dos conjuntos indiferentes de bienes ser pre-ferible a los conjuntos iniciales porque representar una combinacin ms equilibrada. As, la convexidad estricta es equivalente al supuesto de la TMS decreciente. Ambos supuestos descartan la posibilidad de que una curva de indiferencia sea recta en cualquier porcin de su longitud.

FIGURA 3.7 Curva de indiferencia de utilidad ! !"x y

Esta curva de indiferencia ilustra la funcin 10 ! U ! !"x y. En el punto A(5, 20), la TMS es 4, lo que implica que esta persona est dispuesta a intercambiar 4y por una x adicional. En el punto B(20, 5), sin embargo, la TMS es 0.25, lo cual implica una muy reducida disposicin a intercambiar.

Cantidad de x

Cantidadde y

20

12.5

5

200 5 12.5

A

C

BU = 10

EJEMPLO 3.1 Utilidad y TMS

Supongamos que la clasifi cacin que una persona haga de las hamburguesas (y) y los refrescos (x) pudiera representarse con la funcin de utilidad

utilidad ! !"x . y. (3.8)

Una curva de indiferencia de esta funcin se puede hallar identifi cando el conjunto de combinaciones de x y y para el cual la utilidad tiene el mismo valor. Supngase que, arbitrariamente, igualamos la utilidad a 10. Entonces, la ecuacin de esta curva de indiferencia es

utilidad ! 10 ! !"x . y. (3.9)

Puesto que elevar al cuadrado esta funcin preserva el orden, esta curva de indiferencia tambin es repre-sentada por

100 ! x . y, (3.10)

que es ms fcil de grafi car. En la fi gura 3.7 aparece esta curva de indiferencia; se trata de una conocida hiprbola rectangular. Una manera de calcular la TMS es despejar y en la ecuacin 3.10,

y ! 100/x, (3.11)

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Se usa entonces la defi nicin (ecuacin 3.7):

TMS ! %dy/dx (a lo largo de U1) ! 100/x2. (3.12)

Evidentemente, esta TMS decrece al incrementarse x. En un punto como A en la curva de indiferencia con muchas hamburguesas (digamos x ! 5, y ! 20), la pendiente es empinada, as que la TMS es alta:

TMS en (5, 20) ! 100/x2 ! 100/25 ! 4. (3.13)

Aqu la persona est dispuesta a renunciar a 4 hamburguesas para obtener 1 refresco ms. Por otro lado en B, donde hay relativamente pocas hamburguesas (aqu x ! 20, y ! 5), la pendiente es plana y la TMS baja:

TMS en (20, 5) ! 100/x2 ! 100/400 ! 0.25. (3.14)

Ahora esta persona slo renunciar a un cuarto de hamburguesa por otro refresco. Ntese tambin cmo la convexidad de la curva de indiferencia U1 es ilustrada por este ejemplo numrico. El punto C est a medio camino entre los puntos A y B; en C esta persona tiene 12.5 hamburguesas y 12.5 refrescos. Aqu la utilidad est dada por

utilidad ! !"x . y ! !"(12.5)2 ! 12.5, (3.15)

que obviamente excede la utilidad a lo largo de U1 (la cual fue supuesta como 10).

PREGUNTA: Aqu, con base en nuestra derivacin, parece que la TMS depende slo de la cantidad de x consumida. Por qu es engaoso esto? Cmo entra implcitamente la cantidad de y en las ecuaciones 3.13 y 3.14?

MATEMTICA DE LAS CURVASDE INDIFERENCIAUna derivacin matemtica del concepto de curva de indiferencia brinda discernimientos adicio-nales sobre la naturaleza de las preferencias. En esta seccin se examinar un ejemplo de dos bienes directamente relacionados con el tratamiento grfi co que ya hemos provisto. Ms adelante se estudiar el caso de muchos bienes, aunque se concluir que este caso ms complicado slo aade unos cuantos discernimientos.

Tasa marginal de sustitucinSupongamos que un individuo recibe la utilidad de consumir dos bienes cuyas cantidades estn dadas por x y y. La clasifi cacin que esta persona hace de los conjuntos de estos bienes puede representarse con una funcin de utilidad de la forma U(x, y). Estas combinaciones de los dos bienes que producen un nivel especfi co de utilidad, digamos k, son representadas por las solucio-nes de la ecuacin implcita U(x, y) ! k. En el captulo 2 (vase ecuacin 2.23) se demostr que las opciones c

nicholson, chap 1-3 spa

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