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Invent mathDOI 10.1007/s00222-012-0415-2

Quelques conséquences des travaux d’Arthur pourle spectre et la topologie des variétés hyperboliques

Nicolas Bergeron · Laurent Clozel

Received: 21 June 2011 / Accepted: 22 July 2012© Springer-Verlag 2012

Résumé En nous basant sur les résultats d’Arthur (http://www.claymath.org/cw/arthur/, 2011) (annoncés dans Arthur in Harmonic Analysis, the TraceFormula, and Shimura Varieties, pp. 1–263, 2005) nous démontrons lesconjectures énoncées dans Bergeron (Int. Math. Res. Not. 20 : 1089–1122,2003 ; Mém. Soc. Math. Fr. 106, 2006) et Bergeron et Clozel (Astérisque303, 2005) dans le cas des groupes orthogonaux à l’exclusion des groupes detype 6D4. En ce qui concerne ces derniers, nous annonçons la démonstrationque leur réseaux de congruences ont toujours un H 1 trivial.

1 Introduction

Soit G le Q-groupe semi-simple obtenu—par restriction des scalaires—à par-tir d’un groupe spécial orthogonal sur un corps de nombres totalement réel.On considère pour l’instant un groupe G qui ne provient pas d’une forme

N.B. & L.C. sont membres de l’Institut Universitaire de France. Pendant la rédaction decet article L.C. était partiellement financé par la Florence Gould Foundation, l’EllentuckFund et le James D. Wolfensohn Fund.

N. Bergeron (�)Institut de Mathématiques de Jussieu, Unité Mixte de Recherche 7586 du CNRS,Université Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, Francee-mail: [email protected]: http://people.math.jussieu.fr/~bergeron

L. ClozelUnité Mixte de Recherche 8628 du CNRS, Laboratoire de Mathématiques, UniversitéParis Sud, Bât. 425, 91405 Orsay Cedex, Francee-mail: [email protected]

http://http://www.claymath.org/cw/arthur/http://http://www.claymath.org/cw/arthur/mailto:[email protected]://http://people.math.jussieu.fr/~bergeronmailto:[email protected]

N. Bergeron, L. Clozel

tordue 3D4 ou 6D4—on dit alors que G est non trialitaire. On suppose enfinG(R) égal au produit de SO(n,1) par un groupe compact. L’espace symé-trique associé au groupe G est alors l’espace hyperbolique réel Hn que l’onmunit de sa métrique de courbure sectionnelle constante égale à −1. Étantdonné un sous-groupe de congruence (sans torsion) Γ ⊂ G on peut formerle quotient Γ \Hn. Ce quotient est une variété hyperbolique réelle de volumefini ; appelons variétés hyperboliques de congruence les variétés ainsi obte-nues. Le cas échéant nous parlons de variétés hyperboliques de congruencenon trialitaires afin de rappeler que le groupe G est supposé non trialitaire.

Burger, Li et Sarnak [19] ont proposé la conjecture suivante—dite de pu-reté ou de quantification—décrivant le spectre du laplacien sur les variétéshyperboliques de congruence.

Conjecture 1.1 Soit M une variété hyperbolique de congruence de dimen-sion n. Le spectre L2 du laplacien (sur les fonctions) de M est contenu dansl’ensemble

⋃

0≤j

Spectre et topologie des variétés hyperboliques

Théorème 1.2 Soit M une variété hyperbolique de congruence non triali-taire de dimension n. Le spectre L2 du laplacien (sur les fonctions) de M estcontenu dans l’ensemble

⋃

0≤j


1.4 Propriétés de Lefschetz automorphes Celles-ci prédisent un lien entrela (co-)homologie des variétés hyperboliques Γ \Hn et les « sections hyper-planes » données par leur sous-variétés compactes totalement géodésiques.Cette idée a été introduite par Harris et Li dans le contexte des variétés hy-perboliques complexes, cf. [27]. Une telle sous-variété est associée à un sous-groupe H ⊂ G sur Q stable par l’involution de Cartan de G. Le groupe H(R)est alors localement isomorphe au produit du groupe SO(k,1) (avec k ≤ n)par un groupe compact. Au niveau des espaces symétriques, on obtient unplongement totalement géodésique Hk ↪→ Hn et si Γ ⊂ G est un sous-groupede congruence l’inclusion ci-dessus passe au quotient en une immersion tota-lement géodésique

j = j (Γ ) : (Γ ∩ H)\Hk → Γ \Hn.Cette immersion induit une application naturelle entre groupes d’homologie :

j• : H•((Γ ∩ H)\Hk)→ H•

(Γ \Hn). (1.1)

Si maintenant g ∈ G(Q), on peut considérer l’immersionjg = jg(Γ ) :

(H ∩ g−1Γ g)\Hk → Γ \Hn.

On définit alors l’application de restriction virtuelle

H •(Γ \Hn)→

∏

g∈G(Q)H •((

H ∩ g−1Γ g)\Hk) (1.2)

induite par les applications de restriction duales aux immersions (jg). Enpassant à la limite sur le système inductif des sous-groupes de congruenceΓ ⊂ G, on obtient finalement les application naturelles :

H•(Sh0H

)→ H•(Sh0G

)et H •

(Sh0G

)→∏

g∈G(Q)H •(Sh0H

), (1.3)

où

H•(Sh0G

)= lim←−Γ cong

H•(Γ \Hn), H •(Sh0G)= lim−→

Γ cong

H •(Γ \Hn)

et de même pour H .En ces termes, les deux théorèmes suivants découlent de [11, Theorem

2.4] et du théorème 1.3, pour le premier, et de la démonstration de [13, Théo-rème 8.7] (voir aussi la Conjecture 1.13), pour le second. Noter qu’un résultatproche du théorème 1.5(1) est démontré par des méthodes géométriques dans[16].


Théorème 1.5 Soient H ⊂ G deux groupes semi-simples sur Q. SupposonsG(R) ∼= SO(n,1) × (compact), H(R) ∼= SO(k,1) × (compact), H invariantpar une involution de Cartan de G et tous deux non trialitaires. Alors,

1. pour tout entier i ≥ n/2, l’application naturelleHi(Sh0H

)→ Hi(Sh0G

)

est injective,2. pour tout entier i ≤ k/2, l’application naturelle

Hi(Sh0G

)→∏

g∈G(Q)H i(Sh0H

)

est injective.

Théorème 1.6 Soit G un groupe semi-simple sur Q. Supposons G(R) ∼=SO(n,1) × (compact) et G non trialitaire. Soient α et β deux classes decohomologie de degrés respectifs k et l dans H •(Sh0G) avec k + l ≤ n/2.Il existe alors un élément g ∈ G(Q) tel que

g(α) ∧ β = 0dans Hk+l(Sh0G).

Comme dans [11] on peut également considérer le cas où G est un groupeunitaire tel que G(R) soit isomorphe au produit de SU(n,1) par un groupecompact. L’espace symétrique associé est l’espace hyperbolique complexeHnC. On note H

•,0(Sh0G) les groupes de cohomologie holomorphe obtenusen passant à la limite sur les sous-groupes de congruence. Le théorème suivantdécoule également du théorème 1.3, voir [13]. Remarquons que l’inclusionSO(n,1) ⊂ SU(n,1) correspond au plongement totalement géodésique—ettotalement réel—Hn ⊂ HnC.Théorème 1.7 Soient H ⊂ G deux groupes semi-simples sur Q. SupposonsH(R) ∼= SO(n,1)×(compact), G(R) ∼= SU(n,1)×(compact) et H invariantpar une involution de Cartan de G. Alors, pour tout entier i ≤ n/2, l’appli-cation naturelle

Hi,0(Sh0G

)→∏

g∈G(Q)H i(Sh0H

)

est injective.

Comme l’ont fait remarquer Raghunathan et Venkataramana dans [42] siH est un groupe obtenu—par restriction des scalaires—à partir d’un groupe


spécial orthogonal sur un corps de nombres totalement réel qui n’est pasune forme exceptionnelle de SO(8) ou de SO(4), alors il existe un groupeunitaire G sur Q, obtenu par restriction des scalaires à partir d’un « vrai »groupe unitaire—c’est-à-dire associé à une algèbre de matrices—et tel queH ⊂ G soit invariant par une involution de Cartan de G. De plus si H(R) ∼=SO(n,1) × (compact) on peut supposer G(R) ∼= SU(n,1) × (compact). OrAnderson montre dans [3] que pour un tel groupe unitaire G et pour tout en-tier i ≤ n, Hi,0(Sh0G) = {0}. Il découle donc du théorème 1.7 le corollairesuivant.

Corollaire 1.8 Soit Γ un réseau arithmétique dans le groupe de Lie réelSO(n,1), n ≥ 2. Si n = 7 nous supposons de plus que Γ ne provient pas d’uneforme tordue 6D4. Si n = 3 et Γ est commensurable au groupe des unitésd’une algèbre de quaternions sur un corps de nombres L avec un uniqueplongement complexe, nous supposons de plus que L contient un sous-corpsd’indice 2.

Alors, il existe un sous-groupe d’indice fini Γ ′ ⊂ Γ —que l’on peut choisirde congruence—tel que pour tout i ≤ n, bi(Γ ′)—le i-ème nombre de Betti dela variété Γ ′\Hn—est non nul.

Noter que—comme corollaire du théorème 1.7—ce résultat dépend duthéorème 1.3. À notre connaissance sa conclusion n’était auparavant connueque pour i < 14(n−1), voir Li [31]. Une conjecture célèbre (attribuée à Thurs-ton dans [17]) affirme—au moins pour le premier nombre de Betti—qu’unrésultat similaire devrait être vrai pour tout réseau dans SO(n,1). Dans [10]l’analogue du corollaire 1.8 est vérifié pour les réseaux non-arithmétiquesconstruits par Gromov et Piatetski-Shapiro [26]. Le cas général est encore ou-vert. C’est également le cas pour la plupart des réseaux arithmétiques exclusdans le corollaire 1.8, à l’exception notable de ceux couverts par les résultatsde Clozel [23] et Rajan [43].1

1.9 Groupes trialitaires Le cas des réseaux arithmétiques exceptionels dansSO(7,1) provenant d’une forme trialitaire de D4 est particulièrement inté-ressant. Commençons par remarquer que (du fait de la structure réelle) cesréseaux proviennent en fait nécessairement d’une forme tordue 6D4. De telsréseaux existent bel et bien—cela résulte par exemple de [41]—et sont touscocompacts.

Dans cet article on exclut le cas de ces formes exceptionnelles ; les groupesconsidérés sont alors des formes intérieures de groupes quasi-déployés aux-quels la théorie d’Arthur s’applique. Nous détaillons le cas des formes tordues

1Depuis la soumission de cet article, Agol a annoncé la démonstration de la conjecture deThurston pour tous les réseaux de SO(3,1), mais dans le cas arithmétique la constructiond’Agol ne permet pas a priori de prendre pour Γ ′ un sous-groupe de congruence.


6D4 dans un travail en préparation. Au prix d’un grand nombre d’efforts tech-niques le théorème 1.3 devrait s’étendre à ces formes tordues. Nous ne le vé-rifions pas—les corollaires mentionnés plus haut sont essentiellement vides.En admettant la stabilisation de la formule des traces tordue, nous montronspar contre, dans un travail à paraître, le théorème suivant qui contraste avec lecorollaire 1.8 et vient confirmer la conjecture 4.6 de [12]. La démonstrationnécessite non seulement les résultats d’Arthur mais aussi l’application à cettesituation de la stabilisation de la formule des traces tordue à laquelle on a faitréférence au début de cette introduction.

Théorème 1.10 Soit G un groupe projectif orthogonal ou de spin du type6D4 défini sur un corps de nombres totalement réel. Alors, pour tout sous-groupe de congruence Γ ⊂ G,

b1(Γ ) = 0.

Le problème des sous-groupes de congruence reste ouvert pour ces groupesalgébriques ; il n’est donc pas exclu que la conjecture de Thurston soit véri-fiée mais, contrairement à tous les autres cas arithmétiques connus, pour ladémontrer il sera nécessaire de considérer des sous-groupes qui ne sont pasde congruence.

On l’a dit, le théorème ci-dessus n’est pas vide, il existe de tels G.Concluons par la construction—due à Allison [2, Example 11.8]—d’unexemple.

Soit B = Q[b0], où le polynôme minimal de b0 est x4 + 3x − 12 . L’algèbreB est de dimension 4 sur Q, elle est naturellement munie d’une trace t etd’une involution θ : b �→ −b + 12 t (b). On peut associer à B une algèbre àinvolution—non associative—de dimension 8 :

CD(B,−3) := B ⊕ s0B,

muni du produit

(b1 + s0b2)(b3 + s0b4) = b1b3 + μ(b2b

θ4

)θ + s0(bθ1b4 +

(bθ2b

θ3

)θ)

et de l’involution

b1 + s0b2 = b1 − s0bθ2 .Notons

γ =⎛

⎝1

11

⎞

⎠


et

P = {X ∈ M3(CD(B,−3)) : γ −1tXγ = −X et tr(X) = 0}.

L’algèbre K := K(CD(B,−3)) obtenue en formant la somme directe de l’al-gèbre des dérivations intérieures de CD(B,−3) et de l’algèbre P est une al-gèbre de type D4. Sur C, l’algèbre CD(B,−3) est isomorphe à l’algèbre deCayley CC. Soient n et t respectivement la norme et la trace de CC et

〈x, y, z〉 = 12t(x(yz)

).

La forme trilinéaire 〈·, ·, ·〉 vérifie〈x, y, z〉 = 〈z, x, y〉 = 〈y, x, z〉 pour x, y, z ∈ CC.

On peut alors vérifier que l’algèbre KC est isomorphe à l’algèbre

L = {(L1,L2,L3) ∈ o(n)3 : 〈L1x, y, z〉 + 〈x,L2y, z〉 + 〈x, y,L3z〉 = 0pour x, y, z ∈ CC

}.

On peut donc identifier K à une Q-forme de L et la sous-algèbre associa-tive engendrée par K dans EndC(CC)3—appelé invariant d’Allen de K—estl’algèbre M4(D) où D est l’algèbre de quaternions (

ν,−3K

) sur K = Q(ν)extension cubique—de groupe de Galois S3—associée à un élément ν depolynôme minimal h(x) = x3 + 2x − 9.

Le polynôme h possède une racine réelle et deux racines complexes conju-guées de telle manière que DR ∼= M2(R) ⊕ M2(C) et sgn(KR) = −14. L’al-gèbre KR est donc isomorphe à o(7,1) et les groupes—projectif orthogonalou de spin—associés à l’algèbre de Lie K sont des exemples de groupes aux-quels le théorème 1.10 s’applique.

2 Groupes orthogonaux

On note G un groupe spécial orthogonal sur un corps de nombres totalementréel F . Dans cette section on suppose G non trialitaire, c’est-à-dire que l’onexclut le cas des formes exceptionnelles de SO(8). Soit A l’anneau des adèlessur F .

Nous supposons G compact à toutes les places à l’infini de F sauf une—notée v0—où le groupe est isomorphe au groupe SO(p, q). Supposons p ≥ qet notons m = p + q le nombre de variables du groupe orthogonal, � la partieentière de m/2 et N = 2�. Noter que � est le rang absolu de G. Le groupe Gest toujours forme intérieure d’un groupe quasi-déployé G∗.


On décrit maintenant le groupe G∗ en distinguant deux cas selon la paritéde m.

2.1 Supposons d’abord m = N + 1 impair. Alors, le groupe G est forme in-térieure du groupe orthogonal déployé G∗ = SO(m) sur F associé à la formebilinéaire symmétrique attachée à

⎛

⎜⎝0 1

...

1 0

⎞

⎟⎠ .

Le groupe dual (complexe) de G∗ est Ĝ = Sp(N,C), le groupe symplectiquede la forme alternée sur CN de matrice

Ĵ =

⎛

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−1

...

−11

...

1

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

,

et LG = Ĝ × ΓF .2.2 Supposons maintenant m = N pair. On note SO(N) le groupe orthogo-nal déployé sur F associé à la forme bilinéaire symmétrique attachée à

J =(

0 1�1� 0

).

Les formes quasi-déployées de SO(N) sont paramétrées par les morphismesde ΓF = Gal(Q/F ) vers Z/2Z. D’après la théorie du corps de classes cesmorphismes correspondent aux caractères η de F ∗\A∗ tels que η2 = 1—caractères d’Artin d’ordre deux. Dans la suite nous notons SO(N,η) legroupe orthogonal tordu obtenu en faisant agir ΓF sur le diagramme deDynkin—ou la forme de SO(2) si N = 2—via le caractère η. Lorsque m = Nest pair, il existe un caractère d’Artin d’ordre deux η tel que le groupe G soitforme intérieure du groupe quasi-déployé G∗ = SO(N,η). Le groupe dual(complexe) de G∗ est alors Ĝ = SO(N,C) et LG = Ĝ � ΓF , où ΓF opèresur Ĝ par un automorphisme d’ordre 2—trivial sur le noyau de η—et respec-tant un épinglage. (Pour une description explicite, voir [15, p. 79].) Notonsque le caractère η est trivial à l’infini si et seulement si (p − q)/2 est pair.Au niveau des groupes réels cela revient à la dichotomie : si (p − q)/2 est


impair, SO(p, q) est forme intérieure de SO(� − 1;� + 1), si (p − q)/2 estpair, SO(p, q) est forme intérieure de SO(�, �) (déployé sur R).

2.3 Nous supposons Gv0 = SO(p, q) défini par la forme de matrice⎛

⎜⎜⎜⎝

1p−q1

...

1

⎞

⎟⎟⎟⎠ .

Une sous-algèbre de Cartan t de g = so(p, q) est alors donnée par les matrices

X =

⎛

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−x1x1

. . .

. . .

x�−x�

. . .

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(xi ∈ R). (2.1)

Posons yi =√−1xi , pour i ≤ � − q , et yi = xi , pour i > � − q . Les coor-

données y donnent un isomorphisme

tC = t ⊗ C ∼= C�

pour lequel les racines dans Δ(gC, tC) sont réelles. Le groupe de Weyl cor-respondant W est S� � {±1}�, si m est impair, alors que si m est pairW = S� � {±1}�−1, {±1}�−1 étant le sous-groupe de {±1}�, opérant dia-gonalement, défini par

∏si = 1. Notons ts l’espace vectoriel réel engendré

par les yi . Cet espace s’identifie à une sous-algèbre de Cartan déployée dela forme réelle déployée de Gv0 ; il s’identifie en particulier au sous-espacecorrespondant pour G∗.

3 Spectre automorphe des formes quasi-déployées

Dans ce chapitre nous supposons G quasi-déployé, autrement dit G = G∗.Dans ce cas les résultats globaux d’Arthur [4] s’appliquent. En particulierle théorème 1.5.2 donne une décomposition de la partie discrète du spectreautomorphe de G(A) selon certains paramètres globaux ψ̃ ∈ Ψ̃2(G). En la


place archimédienne v0 un tel paramètre ψ̃ se localise en un paramètre localψ̃v0 égal à une somme directe formelle

ψ̃v0 = ψ1 � · · · � ψr, (3.1)où chaque ψj est la localisation en v0 d’un paramètre global discret pourGL(Nj )|F avec

N = N1 + · · · + Nr.Les rangs Nj sont des entiers strictement positifs de la forme Nj = mjnjavec mj,nj ≥ 1 et chaque paramètre ψj est le produit tensoriel formel ψj =μj � rj d’une représentation irréductible μj de GL(mj ,R)—composante ar-chimédienne d’une représentation automorphe cuspidale de GL(mj )—et del’unique représentation irréductible rj de dimension nj du groupe SL(2,C).Notons ϕj : WR → LGL(mi) le paramètre de Langlands associé à la représen-tation μj . On préfère voir ψ̃v0 comme la représentation de dimension N dugroupe WR × SL(2,C) égale à ⊕j ϕj ⊗ rj . Le paramètre local ψ̃v0 consistealors en un L-homomorphisme

ψ̃ : WR × SL(2,C) → LGcomposé avec le plongement endoscopique ξ : LG → LGL(N).3.1 Paramètres d’Arthur (faibles) Notons

ψ : C× × SL(2,C) → Ĝ ⊂ GL(N,C)la restriction de ψ̃ à WC × SL(2,C) où WC s’identifie à C×. Chacun desparamètres ϕj se restreint à C× en une représentation semi-simple donnéepar mj (quasi) caractères χ de la forme zpzq avec p − q ∈ Z ; puisque ψ̃ estun paramètre réel, si χ apparaît dans ϕj alors χσ apparaît aussi dans ψ (maispeut-être pour un indice différent de j ). Ici on a noté χσ (z) = χ(z).

La conjecture de Ramanujan généralisée implique que chacun de ces carac-tères est unitaire, i.e. Re(p + q) = 0. La conjecture de Ramanujan est encoreouverte mais à défaut, on dispose du théorème de Luo, Rudnick et Sarnak[33]. Tel qu’étendu dans [15, chapitre 7] celui-ci implique inconditionnelle-ment que |Re(p + q)| < 1 − 2

m2j+1. Enfin le fait que ψ se factorise à travers

Ĝ force une condition d’auto-dualité : chaque caractère χ apparaît nécessai-rement avec son dual χ−1.

Appelons donc paramètre d’Arthur faible toute représentation

ψ =r⊕

j=1ϕj ⊗ rj : C× × SL(2,C) → Ĝ, (3.2)


où chaque ϕj est une représentation semi-simple de C× de rang mj , rj estla représentation irréductible de dimension nj du groupe SL(2,C), N =∑

j njmj et si χ = zpzq est un caractère tel que χ ⊗ rj apparaît dans ψalors χσ ⊗ rj et χ−1 ⊗ rj apparaissent aussi dans ψ et :

p − q ∈ Z et ∣∣Re(p + q)∣∣< 1 − 2m2j + 1

.

Il découle de la discussion ci-dessus que la restriction d’un paramètre d’Ar-thur local ψ̃ à C× définit un paramètre d’Arthur faible.

3.2 Paquets locaux Rappelons maintenant comment Arthur associe un pa-quet fini de représentations unitaires de G à tout paramètre local ψ̃ .

Il y a une notion naturelle de fonctions associées (ϕ, f ), ϕ ∈C∞c (GL(N,R)), f ∈ C∞c (G).2 Lorsque m est pair il faut en outre supposerf invariante par un automorphisme extérieur α de G ; on suppose α2 = 1.

On associe au paramètre ψ̃ un paramètre de Langlands ϕψ̃ en posant :

ϕψ̃(w) = ψ̃(

w,

( |w|1/2 00 |w|−1/2

)), w ∈ WR

où |w| est la valeur absolue de l’image de w dans R×. D’après la classifica-tion de Langlands, il correspond au paramètre ϕψ̃ une représentation Π deGL(N,R). Elle est θ -stable, θ étant l’automorphisme extérieur de GL(N), cfArthur [9, §30] ; fixons Aθ : Π → Π un entrelacement tel que A2θ = 1.

Il découle alors de [4, Theorem 2.2.1] (voir aussi le théorème 30.1 de [9,§30])3 que l’on peut associer au paramètre ψ̃ une famille finie

∏(ψ̃) de re-

présentations de G, et des multiplicités m(π) > 0 (π ∈∏(ψ̃)) telles que,pour ϕ et f associées :

trace(Π(ϕ)Aθ

)=∑

π∈∏(ψ̃)ε(π)m(π)traceπ(f ), (3.3)

où chaque ε(π) est un signe ∈ {±1}.On pourrait aussi—comme Arthur le fait—définir

∏(ψ̃) comme un en-

semble de représentations-avec-multiplicités. L’égalité (3.3) détermine uni-quement cet ensemble ainsi que les signes ε(π). Arthur détermine d’ailleurs

2On peut en fait considérer seulement des fonctions K-finies des deux côtés.3Lorsque m est pair on identifie deux représentations irréductibles de G conjuguées par α, voir[4, Theorem 2.2.4]. On désigne simplement par π la classe d’équivalence. Alors traceπ(f ) estbien définie pour f restreinte comme expliqué ci-dessus.


ces signes pour un choix convenable de Aθ (normalisation par le modèle deWhittaker).

3.3 Caractère infinitésimal Le caractère infinitésimal de Π est donné parune orbite adjointe semi-simple dans l’algèbre de Lie de GL(N,C). En voicila description : la restriction du paramètre de Langlands ϕψ̃ à C

× définit uneapplication

C× → Ĝ ⊂ GL(N,C).Étant semi-simple, elle est (à conjugaison près) d’image contenue dans le toremaximal

T̂ = {diag(x1, . . . , x�, x−1� , . . . , x−11)}

de Ĝ. On peut donc écrire

ϕψ̃ =(η1, . . . , η�, η

−1� , . . . , η

−11

)

où les ηi sont des caractères, de la forme zPi zQi . Le caractère infinitésimal deΠ est alors égal à (l’orbite adjointe de) (νψ,−νψ), où le vecteur

νψ = (P1, . . . ,P�) ∈ C� ∼= t∗Cest uniquement défini modulo W et ne dépend que de ψ . On appelle νψ lecaractère infinitésimal associé à ψ , voir [15, Lemmes 6.3.1 et 6.4.1].

Lemme 3.4 Soit π ∈∏(ψ̃). Alors π a pour caractère infinitésimal l’imagede νψ dans t∗C/W .

Démonstration Ceci résulte de l’identité de caractères (3.3). Considérons eneffet T un tore maximal de G associé à un θ -tore T (N) de GL(N) commedans [4, p. 55]. En développant les deux parties selon la formule d’intégrationde Weyl (cf. [22] ou [39]), l’identité (3.3) se réduit à une égalité de fonctionslisses sur les éléments réguliers de T (identifié à TN du côté tordu) :

ΘΠ,θ (t) =(ΔIV(t, t)

)−1 ∑

π∈∏(ψ̃)ε(π)m(π)Θπ(t). (3.4)

Le facteur ΔIV est celui de Kottwitz-Shelstad [29] ; c’est un quotient de dé-nominateurs de Weyl qui est égal à 1 si G = SO(2� + 1) (groupe endosco-pique « maximal ») mais est non trivial si G = SO(2�), voir [39, §5.1]. Unélément du centre de l’algèbre enveloppante de gl(N) définit naturellement(par exemple grâce à la relation de la section 3.3 entre caractères infinitési-maux) un élément z du centre Z de l’algèbre enveloppante de g.4 Et la théorie

4Dans la suite on identifie z à un élément de S(tC)W via le morphisme d’Harish-Chandra.


d’Harish-Chandra des parties radiales (étendue au cas tordu par Bouaziz, cf.[14, 18]) leur associe des opérateurs différentiels sur T (toujours identifié àTN ). Ceux-ci coïncident et si λ ∈ t∗C/W , chaque fonction caractère Θπ estpropre sous l’action de z après multiplication par un certain dénominateurde Weyl. Il en est de même pour ΘΠ,θ ; voir [14, §3.4]. Les dénominateursde Weyl et le facteur ΔIV se compensent et il découle de l’indépendance li-néaire des Θπ que tous les éléments du paquet

∏(ψ̃) ont le même caractère

infinitésimal que Π . �

La proposition suivante découle finalement du théorème 1.5.2 de [4] (voiraussi [9, Theorem 30.2]).

Proposition 3.5 (On suppose G quasi-déployé) Soit π une représentationautomorphe de G apparaissant dans la partie discrète de L2(G(F )\G(A)).Alors, il existe un paramètre d’Arthur ψ̃ tel que le caractère infinitésimal deπv0 soit associé à νψ .

4 Stabilisation de la formule des traces

On revient maintenant au cas général : G est un groupe (non trialitaire) or-thogonal arbitraire, G∗ sa forme intérieure quasi-déployée. On veut comparerles spectres automorphes discrets des groupes G et G∗.

Soit donc f =⊗v fv une fonction lisse à support compact, décomposable,sur G(A). On s’intéresse essentiellement à

trace RGdis(f ) = trace(f |L2dis

(G(F)\G(A))), (4.1)

où L2dis est la partie discrète de l’espace des formes automorphes surG(F)\G(A). Cette trace est bien définie d’après Müller [37], mais ceci n’estpas nécessaire pour les démonstrations qui suivent. En effet, ce n’est pasl’expression (4.1) que l’on peut comparer à son analogue pour G∗, mais « lapartie discrète de la formule des traces pour G ». Il s’agit alors de fixer unréel positif t et, selon Arthur, de considérer des expressions relatives à G etG∗ portant sur des représentations dont la « norme de la partie imaginairedu caractère infinitésimal de la représentation cuspidale associée » est égaleà t . Voir Arthur [9, p. 138]. On reviendra sur cette condition dans le cha-pitre 6.

Pour t fixé, Arthur définit une distribution f �→ IGdisc,t (f ), somme de lapartie de (4.1) relative à t et de termes associés à diverses représentationsinduites de sous-groupes de Levi [9, (21.19)]. On reviendra plus tard sur lestermes complémentaires. Observons que l’on ne sait pas a priori montrer


que la somme sur t de ces distributions converge ; cela nécessiterait d’étendrele résultat de Müller mentionné plus haut.

4.1 Sous-groupes elliptiques Considérons la famille Eell(G) des données en-doscopiques elliptiques pour G [9, §27]. Puisque G est forme intérieure deG∗, Eell(G) = Eell(G∗). Cet ensemble est décrit explicitement par Arthur [9,§30]. Il faut distinguer deux cas selon la parité de m.

Si m = N + 1 est impair G∗ = SO(N + 1) et l’ensemble Eell(G∗) estparamétré par des paires d’entiers pairs (N ′,N ′′) avec N ′′ ≥ N ′ ≥ 0 etN = N ′ + N ′′. Le groupe endoscopique correspondant est le groupe déployé

H = SO(N ′ + 1)× SO(N ′′ + 1). (4.2)Ainsi

Ĥ = Sp(

N ′

2

)× Sp

(N ′′

2

)

et LH = Ĥ × ΓF .Si m = N est pair G∗ = SO(N,η) et l’ensemble Eell(G∗) est paramétré

par des paires d’entiers pairs N ′′ ≥ N ′ ≥ 0 tels que N = N ′ + N ′′, et despaires correspondantes de caractères d’Artin η′, η′′ avec η′η′′ = η.5 Le groupeendoscopique correspondant est le groupe quasi-déployé

H = SO(N ′, η′)× SO(N ′′, η′′). (4.3)Ainsi

Ĥ = SO(N ′,C)× SO(N ′′,C)

et LH = Ĥ � ΓF , où ΓF opère sur chaque facteur par un automorphismed’ordre 2, respectant un épinglage.

Dans tous les cas, on vérifie l’existence d’un morphisme naturelLH → LG.4.2 Lemmes fondamentaux et transfert Les hypothèses d’analyse harmo-nique locale de [8, §5]—lemmes fondamentaux standard et pondéré—sontmaintenant des théorèmes, voir Ngô [38] et Chaudouard-Laumon [20, 21].D’après Waldspurger [51], ces lemmes permettent d’associer à f une famillede fonctions (f H )H∈Eell(G) (c’est une correspondance, non une application :f H n’est définie que par ses intégrales orbitales stables). Si f est non rami-fiée hors d’un ensemble fini de places S ⊃ ∞, il en est de même de f H (si Hest ramifié en une place v et fv non ramifiée, alors f Hv et donc f

H est nulle).

5Si N ′ = 0, η′ = 1 ; si N ′ ou N ′′ est égal à 2, le caractère correspondant est non trivial.


Le groupe G∗ appartient à Eell(G). C’est le seul de dimension maximale.On notera f ∗ la fonction f G∗ .

Théorème 4.3 (Arthur) On a :

IGdisc,t (f ) =∑

H∈Eell(G)ι(G,H)SHdisc,t

(f H)

(4.4)

où, pour tout H , SHdisc,t est une distribution stable.

Voir [9, Corollary 29.10]. Les coefficients ι(G,H) sont définis dans [9,§27] et sont des rationnels > 0. Noter que (4.4)—appliqué à G∗ plutôt qu’à G,et inductivement à ses sous-groupes endoscopiques—définit, de façon unique,les distributions SHdisc,t .

5 Déstabilisation de la formule des traces

Les termes de droite de (4.4), définis à partir du côté géométrique de la for-mule des traces, n’ont pas a priori d’interprétation spectrale. Pour utilisercette identité, il faut donc déstabiliser son membre de droite.

5.1 Supposons pour un instant que G est un groupe (réductif, connexe)arbitraire sur un corps de nombres. Si G est quasi-déployé, G apparaît dans(4.4) comme l’un de ses sous-groupes endoscopiques et l’on a l’égalité

IGdisc,t (f ) = SGdisc,t (f ) +∑

H∈E 0ell(G)ι(G,H)SHdisc,t (f ) (5.1)

où la somme porte sur les groupes endoscopiques propres. Cf. [9, (29.21)],ainsi que la discussion suivant le corollaire 29.10, ibid. Nous pouvons appli-quer (5.1) à chacun des groupes endoscopiques H apparaissant dans (4.4).

5.2 Transfert Fixons un ensemble fini S de places de F , contenant les placesarchimédiennes, et supposons que S contient les places de ramification de G.Pour v /∈ S, G × Fv est isomorphe au groupe quasi-déployé G∗(Fv) et se dé-ploie sur un extension non-ramifiée de Fv ; ce groupe possède donc un sous-groupe hyperspécial (voir [50, 1.10.2]) que l’on note Kv . Soit Hv l’algèbrede Hecke correspondante.

On supposera que f = fS⊗f S , où f S =⊗v /∈S fv et fv ∈ Hv pour toutv /∈ S.

Si v /∈ S, la correspondance fv � f Hv est une application, décrite explici-tement, de Hv vers l’algèbre de Hecke de (H(Fv),KHv ) où KHv est un sous-groupe hyperspécial de H(Fv), qui est non-ramifié si f H = 0. Les groupes


H ont été décrits dans la section précédente, et dépendent, puisque η′′ = η′η,d’un caractère d’Artin quadratique η′. Ce caractère étant non ramifié horsS, ceci ne laisse qu’un nombre fini de possibilités pour η′ et donc pour lesgroupes H .

En les places archimédiennes, en particulier en la place v0, on supposeraque fv appartient à l’algèbre Hv des fonctions Kv-finies à droite et à gauche(pour un sous-groupe compact maximal Kv de G(Fv)). On dispose des ré-sultats de Shelstad [48] sur le transfert fv �→ f Hv pour les fonctions dans lesespaces de Schwartz-Harish-Chandra. Et il découle de [24, appendice, théo-rème A.3] que les propriétés de support compact et de Kv-finitude peuventaussi être préservées. L’application de transfert n’a pas d’importance pournous, seuls comptent son existence et le fait, que nous expliquons dans lesparagraphes qui suivent, que le transfert est compatible aux multiplicateursd’Arthur.

5.3 Transfert spectral aux places archimédiennes Fixons v0 et posons icif = fv0 . Rappelons que Langlands classifie les représentations admissiblesirréductibles en termes de L-paramètres. Considérons donc ϕH : WR → LHun paramètre de Langlands réel tempéré pour le groupe endoscopique H etϕ : WR → LG le paramètre de Langlands réel obtenu en composant ϕH parle morphisme naturel LH → LG. Supposons ϕ « relevant for Gv0 » au sensde Langlands [30], cf. Shelstad [48]. Il définit alors un L-paquet Π de repré-sentations irréductibles tempérées de Gv0 . On a donc deux L-paquets ΠH etΠ de représentations irréductibles tempérées de Hv0 et de Gv0 .

On pose

trace Π(f ) =∑

π∈Πtrace π(f )

et de même pour ΠH . Compte tenu des identités de caractères, dues à Shelstad[47], on a :

traceΠH(f H)=

∑

π∈ΠΔ(ϕH ,π)traceπ(f ) (5.2)

où les coefficients Δ(ϕH ,π)—les facteurs de transferts spectraux—sont com-plexes et supportés sur le paquet Π . (Si ϕH n’est pas « relevant » pour Gv0 ,alors trace ΠH(f H ) = 0.)

Par ailleurs le lemme 5.3 de [46, p. 40] implique que les traces de f H danstout L-paquet tempéré ΠH sont nulles :

trace ΠH(f H)= 0

si et seulement si les intégrales orbitales stables de f H son nulles. Le transfertf H de f est donc caractérisé par les identités (5.2).


5.4 Multiplicateurs d’Arthur Le centre Z de l’algèbre enveloppante de gs’identifie à S(tC)W . Toute représentation irréductible admissible π de Gv0a un caractère infinitésimal que l’on voit comme un élément νπ ∈ t∗C/W .Rappelons (section 2.3) que ts désigne la « forme déployée » de l’algèbre deCartan complexe tC. L’algèbre Z agit sur Hv0 —l’algèbre des fonctions K-finies et à support compact sur Gv0 . Arthur montre plus généralement—voir[5, Theorem 4.2] ou encore [9, Theorem 20.4]—qu’il existe une action ca-nonique de l’algèbre E (ts)W sur Hv0 . Ici E (ts)W désigne l’algèbre des multi-plicateurs—distributions W -invariantes et à support compact sur ts munis duproduit de convolution. Arthur montre en outre que pour toute représentationirréductible admissible π de Gv0 ,

π(α · f ) = α̂(νπ )π(f ), α ∈ E (ts)W , f ∈ Hv0, (5.3)où α �→ α̂ est la transformée de Fourier qui est en particulier une fonctionholomorphe W -invariante sur t∗C.

5.5 Revenons maintenant au transfert. On peut identifier le tore maximalT̂H de Ĥ au tore maximal

T̂ = {diag(x1, . . . , x�, x−1� , . . . , x−11)}

de Ĝ (= Sp(N,C) ou SO(N,C)). On en déduit un isomorphisme entreles tores maximaux TH et T ∗ de H et G∗. Par ailleurs G et G∗ ont lamême complexification, et on en déduit une identification canonique (mo-dulo W = W(G∗, T ∗)) de leurs sous-algèbres de Cartan complexifiées ainsique des sous-algèbres réelles canoniques ts et t∗s . Cet isomorphisme permet deréaliser le groupe de Weyl WH := W(H,TH ) comme sous-groupe du groupede Weyl W et induit un isomorphisme naturel

t̂H,C/WH → t̂∗C/W ∼= t̂C/W,où ˆ désigne ici le dual d’un espace vectoriel. Soit (ϕH )C× : C× → Ĥ leparamètre d’un L-paquet tempéré et (ϕ)C× : C× → Ĝ le paramètre ob-tenu par composition. Leurs caractères infinitésimaux νΠH et νΠ sont alorstous deux égaux à (ν,−ν) ∈ C� ⊕ C�. On identifie ce vecteur au vecteurν ∈ C� ∼= t̂H,C ∼= t̂C. Un multiplicateur d’Arthur α ∈ E (ts)W définit donc unmultiplicateur αH ∈ E (tH,s)WH , et l’on a

α̂H(ν(ϕH )

)= α̂(ν(ϕ)).D’après (5.3) on a :

traceπ(α · f ) = α̂(ν(ϕ))traceπ(f )


pour tout π ∈ Π , ettraceΠH

(αH · f H

)= α̂H(ν(ϕH )

)traceΠH

(f H).

Les identités (5.2) impliquent donc que α · f admet pour transfert αH · f H ,c’est-à-dire que le transfert est compatible aux multiplicateurs d’Arthur.

5.6 Déstabilisation Appliquons maintenant (5.1) à chacun des termes de(4.4). Par récurrence, on voit que SHdisc,t (f

H ) s’écrit comme combinaison

linéaire des termes IJdisc,t (fJ ) où les groupes J sont des groupes endosco-

piques itérés des groupes H .Soit H un groupe endoscopique associé à une partition N = N ′ +N ′′, voir

(4.2) ou (4.3). Un groupe endoscopique pour H se décompose en produit degroupes endoscopiques pour chacun des facteurs et ceux-ci sont décrits auparagraphe précédent. Si H ′ est par exemple le premier facteur de (4.2), resp.(4.3), tout sous-groupe endoscopique elliptique H1 pour H ′ est de la forme

H1 = SO(N1 + 1) × SO(N2 + 1), resp. H1 = SO(N1, η1) × SO(N2, η2),où N1, N2 sont pairs positifs et de somme N ′ et η1, η2 sont des caractèresd’Artin d’ordre 2 avec η1η2 = η′. Comme dans le paragraphe précédent, on aun morphisme naturel LH1 → LH ′.

Après itération (finissant par des groupes SO(3), resp. SO(2), qui n’ont pasde sous-groupes endoscopiques propres), on voit que les groupes endosco-piques itérés sont, dans le premier cas, des produits de groupes SO(Ni + 1)et, dans le second cas, des produits de groupes SO(Ni, ηi) où les Ni sontdes entiers pairs qui forment une partition de N et les ηi sont des caractèresd’Artin d’ordre 2 qui vérifient η1 · · ·ηr = η. (Ce ne sont des groupes endo-scopiques pour G que s’il y a deux facteurs.) Dans tous les cas, l’argumentde ramification précédent reste valide : ils sont en nombre fini. Un groupeendoscopique itéré J est défini par une itération :

(G,H1, . . . ,Hr = J ) = J (5.4)et l’application f �→ f H1 �→ (f H1)H2 �→ · · · �→ f J —en fait, une correspon-dance entre fonctions lisses—n’est pas évidemment indépendante de la suite(G, . . . , J ). On conviendra donc qu’un groupe endoscopique itéré est, non legroupe J , mais la suite J de (5.4), et on note f J le terme final.

Au terme de cette procédure, on obtient dans tous les cas une expressionfinie :

IGdisc,t (f ) = IG∗

disc,t

(f ∗)+∑

Jη(G, J )I Jdisc,t

(f J)

(5.5)

où les η(G, J ) sont des rationnels, peut-être négatifs ou nuls.


5.7 Supposons pour l’instant G (réductif connexe sur F ) arbitraire. Il esttemps de décrire le terme IGdisc,t (f ). Il est défini par Arthur dans [6, §4]—voirla formule (4.3)—ainsi que dans [9, (21.19)] :

IGdisc,t (f ) = trace(f |L2disc,t

(G(F)\G(A)))

+∑

M

|WM0 ||WG0 |

∑

s∈W(M)reg

∣∣det(s − 1)∣∣−1

× trace(MP (s,0)IP,t (0, f )). (5.6)

Le terme correctif porte sur les sous-groupes de Levi standard, propres, de G ;l’opérateur IP,t (0, f ) est défini par l’action de f dans une représentation deG(A) unitairement induite à partir d’une somme finie (pour f∞ K∞-finie) dereprésentations du spectre discret de M(A). Les définitions des autres termesn’ont pas d’importance pour nous, cf. [6, 9]. Qu’il nous suffise de dire queMP (s,0) est un opérateur d’entrelacement de la représentation induite. Nousappliquerons (5.6) à chaque terme de (5.5).

6 Caractères infinitésimaux des représentations automorphes de G

Fixons un sous-groupe compact-ouvert K ⊂ G(Af ). Rappelons que la fonc-tion fv0 ainsi que les fonctions associées sur les groupes G

∗ et J sontKv0 -finies, ainsi que les fonctions fv en toutes les places archimédiennes.Considérons le terme invariant (5.6) pour chacun de ces groupes. Le résultatsuivant—dû à Arthur [6, Lemma 4.2]—est fondamental.

Lemme 6.1 Pour t fixé, chacun des termes de (5.5) est une combinaison li-néaire finie de traces de f ∗v0 (resp. f

Jv0

) dans des représentations irréductiblesde G∗v0 (resp. Jv0 ).

Rappelons brièvement l’argument, en considérant G∗v0 . Considéronsd’abord la partie de (5.6) donnée par le spectre discret. Une représenta-tion π de G∗(A) intervenant dans celui-ci est, d’après Langlands, obte-nue par la formation de séries d’Eisenstein à partir d’une représentationindG

∗(A)M(A)N(A)(τM ⊗ λ) où P = MN ⊂ G∗ est un sous-groupe parabolique

et où τM est une représentation cuspidale et λ ∈ a∗M ⊗ C (notations de[9, §5]). Le choix de K ⊂ G(Af ) détermine KM ⊂ M(Af ) tel que τM,fait un vecteur KM -invariant. De même, τM,v0 contient une famille finie,fixée par fv0 , de Kv0 -types. Le choix de t détermine la norme de la partieimaginaire du caractère infinitésimal de τM |M1(Fv0 ) où M(Fv0) = M1AM ;il est bien connu qu’il n’y a alors qu’un nombre fini de possibilités pour


τM |M1(Fv0 ) si celle-ci contient un Kv0 -type fixé. (Rappelons que τM |M1(Fv0 )apparaît dans les formes paraboliques sur M(F)AM\M(A).) Enfin, la théo-rie des résidus de Langlands [36] ne laisse qu’un nombre fini de choix pourλ quand ind(τM ⊗ λ) admet un résidu appartenant à L2disc(G∗). Les termescomplémentaires de (5.6) sont construits à partir d’une représentation ρ dansL2disc,t (M(A)), elle-même obtenue comme auparavant à partir de τM1 ⊗ λ1 etd’un élément singulier λ1 ∈ a∗M1 [6, p. 517, condition (ii)]. Le même arguments’applique.

6.2 L’identité (5.5), pour t fixé, s’écrit alors :∑

π

c(π)traceπ(f ) =∑

π∗c(π∗)traceπ∗

(f ∗)+∑

J

∑

ρ

c(ρ)traceρ(f J)

où, pour tout J , ρ parcourt un ensemble fini de représentations de J (Fv0) ;toutes les sommes sont finies. Si z est un multiplicateur—en particulier si zappartient au centre Z de l’algèbre enveloppante pour g—on a alors

∑

π

c(π)λπ(z)traceπ(f ) =∑

π∗c(π∗)λπ∗(zG∗)traceπ

∗(f ∗)

+∑

J ,ρc(ρ)λρ(zJ )traceρ

(f J), (6.1)

les applications z �→ zJ (et zG∗) étant définies comme en section 5.5.Soit π une représentation de G(A) apparaissant dans L2(G(F )\G(A)) et

fixons t associé à πv0 . Prenons pour ff =⊗

v finie fv la fonction caracté-ristique d’un sous-groupe compact-ouvert assez petit. Alors le membre degauche de (6.1) s’écrit simplement

∑

π ′v0

m(π ′v0)λπ ′v0

(z)traceπ ′v0(fv0)

où πv0 est l’une des représentations π′v0

de G(Fv0), les π′v0

sont distinctes, etm(π ′v0) > 0 est une multiplicité. D’après l’indépendance linéaire des carac-tères, on choisit fv0 Kv0 -finie telle que

∑

λπ ′v0=λπv0

m(π ′v0)traceπ ′v0(fv0)

soit non nul.En faisant varier z ∈ Z , on voit donc qu’il existe π∗ (ou ρ) telle que

(par exemple) λρ ◦ ϕ(z) ≡ λπ(z) (z ∈ Z) où ϕ : Z(G) → Z(J ) est l’homo-morphisme naturel qui se déduit du morphisme décrit en section 5.5. Mais


ceci veut dire simplement que le caractère infinitésimal (ν,−ν) de πv0 (sec-tion 5.4) s’identifie (modulo W ) à celui de ρ, défini modulo le groupe de Weylcomplexe WJ de J .

Puisque J (ou G∗, qui en est un cas particulier) est un produit de groupesquasi-déployés, il découle du chapitre 3 que si π est une représentation auto-morphe de J qui intervient dans

trace(f |L2disc,t

(J (F )\J (A))),

il existe un paramètre d’Arthur ψ̃ tel que le caractère infinitésimal de πv0 estégal à νψ .

Considérons maintenant le cas où π intervient dans le terme complémen-taire de (5.6) pour le groupe J . Alors le parabolique P a un sous-groupe deLevi M qui est le produit d’un groupe orthogonal J1 du même type que Jet d’un produit de groupes linéaires GL(N ′). Le paramètre d’Arthur associéest obtenu par sommation de termes associés aux différents facteurs de M .La représentation de J1 donne en effet un paramètre d’Arthur pour J1. Etpour chaque facteur GL(N ′) la représentation du spectre discret de GL(N ′)définit, d’après Moeglin et Waldspurger [35], un paramètre ψ̃N ′ (ainsi qu’unparamètre dual ψ̃∗

N ′ ). La somme ψ̃N ′ + ψ̃∗N ′ donne alors un paramètre auto-dual de dimension 2N ′.

On a donc démontré pour tout groupe orthogonal G, non nécessairementquasi-déployé, l’analogue de la proposition 3.5 :

Théorème 6.3 Si une représentation irréductible π de Gv0 apparaît dansL2(Γ \G) pour un sous-groupe de congruence Γ , il existe un paramètre d’Ar-thur ψ̃ tel que le caractère infinitésimal de π soit égal à νψ .

On peut tirer de ce théorème des conséquences similaires à celles que l’ontire de la conjecture 6.1.2 dans [15, §6.3 et 6.4]. Supposons donc p = net q = 1. Notons M = S(O(n − 1) × O(1,1)) ⊂ Gv0 le sous-groupe qui—dans notre réalisation de Gv0 = SO(n,1)—stabilise la décomposition Rn+1 =Rn−1 ⊕R2. Il admet une décomposition de Langlands M = 0M ×R×+, la com-posante neutre de 0M étant SO(n−1). D’après la classification de Langlands,une représentation admissible irréductible π de Gv0 est soit un membre de lasérie discrète de G—auquel cas n est pair—soit un sous-quotient irréduc-tible J (τ, s) d’une induite (non nécessairement unitaire) I (τ, s) où τ ∈ 0̂M etRe(s) ≥ 0 (voir [15, §6.3 et 6.4] pour plus de détails). Il découle par exemplede [15, Fait p. 39], voir également [40], que les séries discrètes ne peuventcontribuer au spectre du laplacien sur les formes différentielles qu’en degrémédian n/2 et pour la seule valeur propre 0. Dans la suite on ne considèredonc que les représentations J (τ, s).

La proposition qui suit est une version affaiblie des lemmes 6.3.2 et 6.4.2de [15] où on avait supposé la conjecture de Ramanujan.


Proposition 6.4 Toute représentation unitaire π de Gv0 dont le caractère in-finitésimal est associé à un paramètre d’Arthur appartient à la série discrètede Gv0 , ou est de la forme J (τ, s) avec

1. |Re(s)| < 12 − 1N2+1 , ou2. s ∈ n−12 + Z.Démonstration Le caractère infinitésimal de la représentation π = J (τ, s) est

νπ = (λτ , s) ∈ C�

où λτ —le caractère infinitésimal de τ—est une suite strictement croissanted’éléments dans (n − 1)/2 + Z. Supposons νπ associé à un paramètre d’Ar-thur ψ̃ : WR × SL(2,C) → LG. Montrons d’abord que si s /∈ 12Z alors|Re(s)| < 12 − 1N2+1 .

Pour cela il suffit de considérer la restriction ψ de ψ̃ à WC = C×. Rap-pelons que ψ définit un paramètre d’Arthur faible au sens du section 3.1.Supposons maintenant s /∈ 12Z et écrivons ψ =

⊕j ϕj ⊗ rj comme dans la

section 3. Puisque νπ = νψ il existe un indice j , un entier k compris entre 1et nj (la dimension de rj ) et un caractère χ = zpzq apparaissant dans ϕj telsque

s = p + nj + 1 − 2k2

(1 ≤ k ≤ nj ).Donc p /∈ 12Z. Par ailleurs la représentation χ ⊗ rj de C× ×SL(2,C) apparaîtavec sa duale χ−1 ⊗ rj et puisque p = 0, χ = χ−1. Si nj > 1 le caractèreinfinitésimal νψ contient au moins deux coordonnées /∈ 12Z, contrairement àνπ . Donc nj = 1 et s = p.

Remarquons maintenant que χ et χ−1 apparaissent tous deux dans ψ (parautodualité) et

∣∣Re(p + q)∣∣< supj

{1 − 2

m2j + 1}

≤ 1 − 2N2 + 1 .

Les caractères χ et χ−1 sont les seuls ayant un exposant /∈ 12Z. Puisque ψest un paramètre d’Arthur faible, cela force χσ = χ ou χ−1 soit χ = (zz)pou (z/z)p . Le second cas n’est pas possible puisque p = s /∈ 12Z. Seule restecomme possibilité χ = (zz)s avec |Re(s)| < 12 − 1N2+1 .

En considérant le L-morphisme ψ̃ : WR × SL(2,C) → LG plutôt queseulement sa restriction à WC on peut plus précisément montrer ques ∈ (n − 1)/2 + Z. Ceci est démontré dans [15], lemme 6.3.3 (pour n im-pair), lemme 6.4.2 (pour n pair). �


Remarque La proposition n’est pas nouvelle si elle est vue comme classi-fiant les représentations du groupe réel Gv0 associées aux paramètres d’Ar-thur réels ; dans ce cas on peut même supposer Re(s) = 0 dans (1). Voir parexemple [1]. L’apport nouveau est évidemment le fait que nous décrivonstoutes les représentations de Gv0 correspondant à la restriction en v0 d’unparamètre d’Arthur global, et donc d’après Arthur (et les arguments du sec-tion 5) toutes les représentations apparaissant dans les formes automorphessur G(A).

6.5 Pour tout τ fixé et dans le cas (2) de la proposition, la longueur du pa-ramètre s ∈ (n − 1)/2 + Z est contrôlée par la description, connue, des sériescomplémentaires. Pour 0 ≤ k ≤ n−1, notons τk la représentation standard de0M sur

∧k Cn−1. Les représentations τk et τn−1−k sont équivalentes, τk estirréductible pour k = (n − 1)/2, et τ(n−1)/2 = τ+(n−1)/2 ⊕ τ−(n−1)/2, somme di-recte de deux représentations irréductibles. Ces représentations sont les seulesreprésentations de 0M apparaissant dans

∧∗ pC, où pC = Cn. On a plus pré-cisemment les décompositions :

( k∧Cn)

|SO(n−1)=

⎧⎪⎨

⎪⎩

τk ⊕ τk−1 si 1 ≤ k < n−12 ,τ+k ⊕ τ−k ⊕ τk−1 si k = n−12 ,τk ⊕ τk si k = n2 .

La réciprocité de Frobenius implique donc que HomK(∧l Cn, J (τ±1k , s))

est non trivial si et seulement si l = k ou k + 1. Et via la formule deMatsushima—telle que rappelée dans [15, chapitre 1]—les représentationsJ (τ±k , s) correspondent aux k-formes différentielles cofermées. On a parailleurs

λτk =(

n − 12

, . . . ,̂n − 12

− k, . . . , n − 12

− (� − 1))

si k = n − 12

,

λτ±k=(

n − 12

, . . . ,2,±1)

si k = n − 12

.

Rappelons que � est la partie entière de (n + 1)/2 de sorte quen − 1

2− (� − 1) =

{12 si n est pair,

0 si n est impair.

La représentation J (τk, s) est unitaire6 si s ∈ iR ou s ∈ R et |s| ≤(n − 1)/2 − k ; pour les représentations d’Arthur—considérées dans la pro-

6Voir par exemple [28] pour un guide concernant la littérature sur les duaux unitaires.


position 6.4—on a donc s ∈ iR ou s ∈ R avec soit |s| < 1/2 − 1/(N2 + 1)soit

±s ∈{

n − 12

− (� − 1), . . . , n − 12

− k}.

Notons δ l’adjoint de la différentielle sur les formes différentielles L2.L’espace des k-formes L2 se décompose en la somme directe orthogonaledu noyau de δ—les k-formes cofermées—et de l’image de d . Mais la res-triction de d aux (k − 1)-formes fermées est triviale. L’image de d coïncidedonc avec l’image par d des (k − 1)-formes cofermées. Puisque la différen-tielle commute au laplacien on en conclut que le spectre du laplacien sur lesk-formes différentielles L2 est la réunion du spectre sur les k-formes cofer-mées et du spectre sur les (k − 1)-formes cofermées. Il suffit donc de décrirele spectre sur les k-formes cofermées. La proposition 6.4 implique donc :

Théorème 6.6 Soit k un entier compris entre 0 et � et soit Γ ⊂ G un sous-groupe de congruence. Alors, le spectre du laplacien sur les k-formes diffé-rentielles L2 et cofermées de Γ \Hn est contenu dans l’ensemble

⋃

k≤j≤�−1

{(n − 1

2− k)2

−(

n − 12

− j)2}

∪[(

n − 12

− k)2

−(

1

2− 1

N2 + 1)2

,+∞[.

En particulier, la conjecture A− de [15] est toujours vérifée et pour tout k ≤(n − 4)/2, la première valeur propre non nulle λk1 = λk1(Γ ) vérifie :

λk1 ≥ n − 2k − 2.6.7 Pour conclure remarquons que—modulo la conjecture de Ramanujan—le théorème 6.6 est optimal dans le sens où il existe effectivement une variétéde congruence (compacte) Γ \Hn dont le spectre du laplacien sur les k-formescofermées contient les valeurs propres

(n − 1

2− k)2

−(

n − 12

− j)2

(k ≤ j ≤ � − 1).

Considérons en effet un groupe spécial orthogonal G = SO(Q) associé àune forme quadratique Q définie sur un corps de nombres totalement réel Fet telle que Q soit de signature (n,1) en exactement une place v0 à l’infiniet définie positive en toutes les autres places. Le résultat mentionné plus hautdécoule alors de la proposition suivante, démontrée par Li [32] à l’aide desséries θ ; voir aussi [25]. Nous en donnons une démonstration nouvelle.


Proposition 6.8 (J.-S. Li) Il existe un sous-groupe de congruence Γ ⊂ G telque pour tout entier k compris entre 0 et � et pour tout entier j compris entrek et � − 1, la représentation unitaire

J

(τk,

n − 12

− j)

apparaît dans L2(Γ \G).

Démonstration D’après [44, Theorem 7.2], les représentations J (τk, (n−1)/2 − j) (0 ≤ k ≤ j ≤ � − 1)—représentations unitaires de Gv0 = SO(n,1)—peuvent être réalisées dans un sous-espace (fermé) de la représentation quasi-régulière de SO(n,1) dans L2(SO(n,1)/(SO(j) × SO(n − j,1))).7

Fixons k et j et considérons un sous-groupe H de G stabilisant un sous-espace totalement positif de dimension j . Alors Hv0 = SO(j)×SO(n−j,1).

Un théorème de Burger, Li et Sarnak [19, Theorem 1(i)] affirme que si ρest une représentation automorphe de H alors le support de l’induite (unitaire)de ρv0 à Gv0 est contenu dans l’adhérence (pour la topologie de Fell dans ledual unitaire de Gv0 ) de l’ensemble des composantes en v0 de représenta-tions automorphes de G. En appliquant—comme dans [19, Example B]—cette remarque à la représentation triviale de H (dont l’induite unitaire àGv0 est L

2(Gv0/Hv0)) on conclut que la représentation J (τk, (n − 1)/2 − j)est dans l’adhérence de l’ensemble des composantes en v0 de représenta-tions automorphes de G. Mais d’après le théorème 6.6 la représentationJ (τk, (n − 1)/2 − j) est isolée dans cet ensemble, elle apparaît donc commecomposante locale en v0 d’une représentation automorphe de G. �

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7Avec les notations de [44], on prend :

m = j, μ = (1, . . . ,1︸︷︷︸k fois

,0, . . . ,0) et ν = n − 12

− j.

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Quelques conséquences des travaux d'Arthur pour le spectre et la topologie des variétés hyperboliquesIntroduction1.4 Propriétés de Lefschetz automorphes1.9 Groupes trialitaires

Groupes orthogonaux2.1 2.2 2.3

Spectre automorphe des formes quasi-déployées3.1 Paramètres d'Arthur (faibles)3.2 Paquets locaux3.3 Caractère infinitésimal

Stabilisation de la formule des traces4.1 Sous-groupes elliptiques4.2 Lemmes fondamentaux et transfert

Déstabilisation de la formule des traces5.1 5.2 Transfert5.3 Transfert spectral aux places archimédiennes5.4 Multiplicateurs d'Arthur5.5 5.6 Déstabilisation5.7

Caractères infinitésimaux des représentations automorphes de G6.2 6.5 6.7

Bibliographie

webusers.imj-prg.frwebusers.imj-prg.fr/~nicolas.bergeron/travaux_files/inventiones.pdf · invent...

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