niepewnos´c w wiedzy´ - uniwersytet Śląskizsi.tech.us.edu.pl/~nowak/se/wykladniepewna.pdfpodstaw...

WprowadzenieLogika rozmyta

Podejscie probabilistyczneNiepewnosc w wiedzy a teoria prawdopodobienstwa

Mycin - pionierski system ekspertowyTeoria Dempstera - ShaferaWspółczynnik pewnosci CF

Niepewnosc w wiedzyRealizacja niepewnosci wiedzy w systemach ekspertowych

Agnieszka Nowak - Brzezinska

Instytut Informatyki, Uniwersytet Slaski, ul. Bedzinska 39, Sosnowiec, PolskaTel (32) 2 918 381, Fax (32) 2 918 283

21 czerwca 2010

Agnieszka Nowak - Brzezinska Niepewnosc w wiedzy




Table of contents

1 Wprowadzenie

2 Logika rozmyta

3 Podejscie probabilistyczne

4 Niepewnosc w wiedzy a teoria prawdopodobienstwa

4 Mycin - pionierski system ekspertowy

5 Teoria Dempstera - Shafera

6 Współczynnik pewnosci CF





Słowem wstepu...

Od zarania dziejów człowiek staje przed koniecznoscia dokonania wyborów omniejszym badz wiekszym znaczeniu.W bardzo złozonych systemach czesto wkrada sie niepewnosc, której nie moznatraktowac jako losowosc, dajaca sie opisywac klasycznym rachunkiemprawdopodobienstwa badz statystyka, gdyz ona ma zastosowanie tylko dla zjawiskmasowych (czesto powtarzalnych). Nie ma zas metod radzenia sobie z przypadkamirzadkimi.





...

Wiedza niepewna bedziemy okreslac taka wiedze, której ekspert te wiedzeprzekazujacy ufa w wiekszej czesci, i zakłada, ze w wiekszosci przypadków ta wiedzasie sprawdza w rzeczywistosci. Jednak nie ma on 100% przekonania o tym, ze bedzieona prawdziwa w kazdej sytuacji. Ekspert przekazuje przeciez wiedze bedacawynikiem jego doswiadczen, nie jest zatem powiedziane, ze wszyscy eksperci muszapodzielac takie samo zdanie. Mało tego, specyfika problemu analizowanego przezeksperta moze byc na tyle trudna do opisania, ze jedyne co ekspert moze zrobic tookreslic stopien swojego subiektywnego przekonania o spełnialnosci tej wiedzy wrzeczywistosci. Z niepewnoscia w wiedzy wiaza sie takze tzw. pojecia nieostre oraz poprostu wiedza niespójna.





...

Niepewnosc wiedzy jest zagadnieniem bardzo złozonym i powodowana jest wielomaczynnikami. Wiedza niepewna w bazie wiedzy zarówno w czesciach warunkowych jak idecyzyjnych reguł, moga byc:

...

pojecia nieostre,

pojecia niespójne,

szum informacyjny,

dane niekompletne.





Pojecia nieostre

Pojecia nieostre

Pojecia nieostre wystepuja zawsze wtedy gdy wiedza zapisana jest przy uzyciu pojectypu: ”stan pacjenta stabilny” czy ”odpowiednia dawka leku”. Bez odpowiedniegoaparatu matematycznego wspomagajacego tak zapisana wiedze np. w postaciwspółczynników pewnosci czy np. probabilistyki, wnioskowanie w takim systemie jestniemozliwe

Pojecia niespójne

Niepewnosc objawia sie w ten sposób np., ze przy takich samych warunkach w danejbazie wiedzy mamy reguły o innych decyzjach, które uniemozliwiaja podjeciejednoznacznej decyzji. Ten rodzaj niepewnosci wiedzy rozwiazuja doskonale zbioryprzyblizone





Szum informacyjny

Szum informacyjny

Jest specyficznym rodzajem niepewnosci wiedzy, dlatego, ze nie istnieje jednoznacznysposób identyfikacji takiego szumu i sposobów rozwiazania tego problemu. Szuminformacyjny moze powstawac z winy eksperta przekazujacego wiedze, badz z winyinzyniera wiedzy, który na etapie akwizycji wiedzy, zle zapisał w systemie ekspertowymwiedze pobrana od eksperta. Nie sa to jedyne przypadki powstania szumu. Zródłempowstania szumu informacyjnego moze byc chociazby problem techniczny. Mogłyzawiesc urzadzenia zapisujace i odczytujace dane, które przykładowo na etapie 80%transmisji danych uniemozliwia ich dalsza transmisje





...

Dane niekompletne

Zapisanej wiedzy, w której nie dysponujemy pełna informacja, nie mozna w 100% ufac.W przypadku danych niekompletnych wyróznia sie wiele metod uzupełniania takichbraków w danych (poprzez zastepowanie brakujacych danych np. wartoscia srednia wzbiorze) jednak metody takie mozliwe sa do stosowania jedynie w przypadku gdytakich braków jest stosunkowo mało, zas obserwacji w zbiorze odpowiednio duzo, bymóc np. wartosc srednia uznawac za miarodajna.





Niepewnosc w wiedzy - reprezentacja wiedzy niepewnej w bazachwiedzy

Niepewnosc moze wystepowac zarówno w faktach jak i w regułach. Do rozwiazaniaproblemu niepewnosci w bazach wiedzy wykorzystuje sie:

prawdopodobienstwo zajscia jakiegos zdarzenia (faktu),

zbiory rozmyte,

współczynnik CF,

teoria Dempstera-Sheffera,

zbiory przyblizone, gdzie wiedza pewna jest okreslona przez dolne lub górneprzyblizenie zbioru, a to, co znajduje sie na brzegu reprezentuje wiedze niepewna(brzeg to róznica miedzy górnym a dolnym przyblizeniem zbioru).





Pojecie nieostre

Z pojeciami nieostrymi mamy do czynienia bardzo czesto w swiecie rzeczywistym iprzyznamy z pewnoscia, ze kazdy człowieka przyjmuje własna interpretacje tego typupojec. To samo pojecie dla dwóch róznych ludzi moze miec zupełnie inne znaczenie.Wracajac do przykładu naszej bazy wiedzy z regułami rozwiazujacymi problempostepowania w przypadku awarii pradu. Z pojeciem nieostrym mielibysmy doczynienia w przypadku gdyby reguła:

2: brak_pradu = ”Zupelny” ifdzialaja_gniazdka = ”Nie” and swieci_swiatlo = ”Nie”

bedzie miała postac:

2: brak_pradu = ”Zupełny” ifdzialaja_gniazdka = ”Nie” and swieci_swiatlo = ” raczej nie”;

bo wówczas, okreslenie faktu, ze świeci_światło z wartoscia raczej nie niepozwala nam byc do konca pewnym, czy na pewno nie swieci. Wartosc raczej niesprawia, ze jestesmy bardziej skłonni do przyrównania z wartoscia nie, ale to tylkonasze subiektywne przypuszczenie.





Dwa rózne podejscia do rozwiazania problemu pojec nieostrych

współczynniki pewnosci, sieci bayesowskie czy teoria Dempstera-Shafera,

badz logika rozmyta.





Zbiory rozmyte

Zbiory rozmyte wchodza w kolizje z klasyczna logika, która oparta jest na prawiewyłaczonego srodka "tertium non datur", oznaczajacego, ze zdanie moze byc alboprawdziwe, albo fałszywe, ze dany przedmiot moze nalezec do zbioru lub nie. Wprzypadku zbiorów rozmytych owo trzecie wyjscie istnieje: przedmiot moze bowiemnalezec do zbioru w pewnym tylko stopniu (a tym samym jednoczesnie w okreslonymstopniu do niego nie nalezec). Dlatego, w teorii zbiorów rozmytych niezwykle istotne sawłasciwosci charakteryzujace obiekty, gdyz to one decyduja o przynaleznosci tychobiektów róznych zbiorów obiektów. Własciwosc (cecha) dobrze okreslona wyznaczadla danego zbioru jednoznaczne granice oddzielajace elementy nalezace od nienalezacych do niego. Jesli bowiem przyjmujemy, ze U to przestrzen rozwazanychobiektów, zbiór taki bedziemy mogli okreslac przez funkcje f wyznaczajacaprzynaleznosc obiektów do zbioru fw : U → {0,1} , gdzie w oznacza zbiór obiektów.Jesli teraz oznaczymy przez X zbiór odpowiadajacy pewnej własciwosci, to funkcjaprzynaleznosci okreslona jest nastepujaco:

fx (u) = 1 dla u ∈ X

lub:

fx (u) = 0 dla u < X





Logika rozmyta

Niestety, istnieja takie własciwosci, dla których trudno jest okreslic granicerozdzielajaca elementy spełniajace te własciwosc od elementów jej nie spełniajacych.W tym celu wykorzystuje sie własnie funkcje przynaleznosci, która przekształcaprzestrzen U w odcinek [0,1] . Po prostu, zdanie postaci: "Prawdopodobienstwochłodu w dniu 1 stycznia 2000 wynosi 60 %znaczy co innego niz stwierdzenie "Tegodnia jest chłodno w 60 % ". Stosujac logike rozmyta mozemy tym zdaniem wyrazicstopien naszego przekonania o istniejacych, rzeczywistych warunkachatmosferycznych, ze jest raczej zimno niz ciepło. Wnioskowanie rozmyte przebiegacpowinno zgodnie z algorytmem:

wyznaczenie wartosci funkcji f dla poszczególnych pojec rozmytychwystepujacych w warunkach reguł,

wyznaczenie obszarów rozmytych na podstawie wartosci obliczonych w punkciepierwszym,

zestawienie obszarów rozmytych,

wyznaczenie wynikowego obszaru rozmytego,

dokonanie defuzyfikacji wynikowego obszaru rozmytego, czyli zamiany tegozbioru na pewna wartosc liczbowa.





Geneza LOGIKI ROZMYTEJ

1 Kamienie milowe znaczace rozwój tej teorii to: koncepcja zbioru rozmytego, zbioryrozmyte a miary prawdopodobienstwa, zmienne lingwistyczne i wnioskowanieprzyblizone, rozmyte programowanie dynamiczne i podejmowanie decyzji,rozmyta interpretacja jezyka, rozmyta algebra, rozmyte procesy stochastyczne iinne prace matematyczne.

2 Twórcy logiki rozmytej (ang. fuzzy logic) powołuja sie na polskiego matematykaŁukasiewicza, który pierwszy wprowadził logike wielowartosciowa.

3 Praktyczne zastosowanie: układy sterowania. Wiele prac konstrukcyjnych iteoretycznych dotyczacych doboru reguł sterowania i parametrówsterownika.Powstały systemy samoorganizujace sie, systemy człowiek-maszyna,których pieknym przykładem jest zbudowany przez japonczyków helikoptersterowany głosem, rozumiejacy polecenia takie jak: lec troche wyzej, skrec niecow lewo,itp.

4 Urzadzenia powszechnego uzytku, takich jak pralki, odkurzacze, odbiornikiradiowe i telewizyjne. Systemem ogniskowania niektórych modeli kamer Cannonzarzadza układ rozmyty, który samodzielnie decyduje co jest obiektem filmowaniai odpowiednio ustawia ostrosc. W latach 1988-90 japonczycy opracowali iwprowadzili do produkcji (firma Omron) pierwszy rozmyty mikroprocesor FP1000.Od tej pory rozmyte układy scalone toruja sobie coraz smielej droge na rynek,chociaz z pewnym trudem upowszechniaja sie, gdyz inzynierowie nie znajapodstaw nowej techniki.





Pojecie zbioru rozmytego

W klasycznej teorii zbiorów obowiazuja m.in. dwa prawa:

prawo niesprzecznosci

prawo wyłaczonego srodka.

Inaczej mówiac, kazdy element nalezy albo do zbioru, albo do jego dopełnienia. Niemoze nalezec do obu naraz. Jesli mamy np. pojecia: dzien i noc, to one sie wzajemniewykluczaja. Temperatura otoczenia moze byc tylko albo ujemna, albo nieujemna. Wteorii zbiorów rozmytych przyjmuje, ze element moze nalezec czesciowo do zbioru jak ido jego dopełnienia. Stopien przynaleznosci elementu x do zbioru A okresla funkcjaprzynaleznosci, oznaczana zwykle mA(X), o wartosciach w przedziale [0,1].Zbioryrozmyte opisuja najczesciej pojecia lingwistyczne uzywane czesto w zyciu codziennymjak np. chłodno, goraco.





Chłodno czy goraco

Przykład funkcji przynaleznosci dla zbiorurozmytego chłodno, okreslonego w przestrzenitemperatur (np. −40..+ 500C). Sytuacja, gdymA(X) = 1 oznacza pełna przynaleznoscelementu x do zbioru A . Sytuacja, gdy mA(X) = 0oznacza brak tej przynaleznosci.





Zmienne lingwistyczne

Pojecie zmiennej lingwistycznej,zawdzieczane Zadehowi jest w zasadzie proste iintuicyjne, chociaz formalizm matematyczny jest dosc skomplikowany. W potocznejmowie posługujemy sie takimi pojeciami jak zimno i goraco. Mozemy utworzyc zmiennalingwistyczna o nazwie temperatura, rozbudowujac powyzszy przykład nastepujaco:x - temperatura - nazwa zmiennej lingwistycznej,X - przestrzen temperatur, czyli przedział [-20,+40]0C,{Mróz, Zimno, Chłodno, Ciepło, Goraco} - wartosci zmiennej lingwistycznej,przy czym:

- dla temperatur [-20,0] zmienna lingwistyczna przyjmuje wartosc mróz,

- dla temperatur [-5,10] zmienna lingwistyczna przyjmuje wartosc zimno,

- dla temperatur [5,20] zmienna lingwistyczna przyjmuje wartosc chłodno,

- dla temperatur [15,30] zmienna lingwistyczna przyjmuje wartosc ciepło,

- dla temperatur [25,40] zmienna lingwistyczna przyjmuje wartosc goraco.





Temperatura





Zmienne lingwistyczne

Załozymy, ze funkcje przynaleznosci poszczególnych zbiorów rozmytych: mróz..goracomaja kształt trapezowy o parametrach odpowiednio dobranych dla powyzszychzbiorów:Dana wartosc zmiennej x moze nalezec jednoczesnie do kilku zbiorów rozmytych, zróznym stopniem przynaleznosci. Na przykład temperatura 14C nalezy do zbioruchłodno ze stopniem przynaleznosci 0,4 i zbioru ciepło ze stopniem przynaleznosci0,6. Proces wyznaczania nazw zbiorów i stopni przynaleznosci dla danego x nazywasie fuzzyfikacja. Podobnie wzrost człowieka, poziom wody w zbiorniku, mozemytraktowac jako zmienna lingwistyczn a wprowadzajac wartosci lingwistyczne: niski,sredni, wysoki oraz okreslajac odpowiednie funkcje przynaleznosci.





Zbiory rozmyte





Zastosowanie





Funkcje przynaleznosci





Operacje na zbiorach rozmytych





Reguły rozmyte





Wnioskowanie rozmyte





Schemat przetwarzania danych z wykorzystaniem wnioskowaniarozmytego

Przetwarzanie wstepne, przetwarzanie koncowe

Celem jest przekształcenie danych doprowadzonych do wejscia systemu do formatuakceptowanego przez moduł wnioskowania.Analogicznie przetwarzanie koncowe słuzydo konwersji danych wyjsciowych z tego modułu do postaci zgodniej z wymogamiukładów zewnetrznych.Sam moduł wnioskowania oczekuje na wejsciu ciagu liczbrzeczywistych i zwraca równiez ciag takich liczb (crisp values)

fuzyfikacja (rozmywanie):

polega na transformacji wartosci z dziedziny liczb rzeczywistych na wartosci zdziedziny zbiorów rozmytych. w Tym celu dokonuje sie wyznaczenia wartosci funkcjiprzynaleznosci dla kolejnych zmiennych lingwistycznych i dla danej rzeczywistejwartosci wejsciowej.





Schemat przetwarzania danych z wykorzystaniem wnioskowaniarozmytego

interpretacja reguł rozmytych

W pierwszej kolejnosci realizowany jest proces obliczenia mocy reguł. w tym celu dlakazdej zmiennej w przesłankach reguły wyznaczane sa stopnie przynaleznosci doodpowiedniego zbioru rozmytego. Jesli moc reguły jest zerowa, uznaje sie, ze nienastapiła aktywacja reguły. Wyznaczany jest tez zbiór rozmyty bedacy rezultatemuaktywnienia reguły. Zalezy on od kształtu odpowiedniej funkcji przynaleznosci orazobliczonej mocy reguły. W najstepnym kroku nastepuje agregacja aktywnych reguł.Polega ona na sumowaniu rozmytych zbiorów wynikowych ze wszystkich reguł.Otrzymany zbiór rozmyty jest zbiorem wynikowym wnioskowania rozmytego.

defuzyfikacja :

po zakonczeniu procedury agregacji reguł, wynikiem wnioskowania jest zbiór rozmyty.Zadaniem defuzyfikacji (zwanej tez wyostrzaniem), jest zatem przekształcenieodwrotne do rozmywania, czyli transformacja wartosci z dziedziny liczb rzeczywistych,której to mozna dokonac na wiele sposobów w zaleznosci od konkretnegozastosowania.





Etapy projektowania systemu rozmytego

okreslenie zadania oraz sposobu jego realizacji

okreslenie zmiennych lingwistycznych i odpowiadajacych ich atrybutów rozmytych

okreslenie funkcji przynaleznosci

okreslenie bazy reguł rozmytych

wybór metody defizyfikacji





1 Firma ufundowała wakacyjne praktyki dla studentów, którzy uzyskali najlepszewyniki z przedmiotów scisłych (elektronika, informatyka, matematyka) oraz zjezyków (angielski, niemiecki).

2 Słowo „najlepszy” to wartosc lingwistyczna, która opisano oddzielnie dlaprzedmiotów scisłych (NS) i jezyków (NJ).

3 Celem jest teraz okreslenie funkcji przynaleznosci...





Funkcja przynaleznosci dla zbioru rozmytego NS





Funkcja przynaleznosci dla zbioru rozmytego NJ





Szukamy najlepszych studentów w ramach przedmiotów

Najlepszy z elektroniki:

G1 =1x1

+0.2x2

+1x3

+0.4x4

+1x5

+1x6






Najlepszy z informatyki:

G2 =1x1

+0.8x2

+1x3

+1x4

+0.6x5

+0.4x6






Najlepszy z matematyki:

G3 =0.6x1

+0x2

+0.2x3

+0x4

+1x5

+1x6






Najlepszy z jezyka angielskiego:

G4 =0x1

+0.2x2

+0.4x3

+0.6x4

+0.8x5

+0.6x6






Najlepszy z jezyka niemieckiego:

G5 =1x1

+0.2x2

+0.4x3

+0.2x4

+0.8x5

+1x6





Szukamy najlepszych studentów w ramach przedmiotówNajlepszy z elektroniki:

G1 =1x1

+0.2x2

+1x3

+0.4x4

+1x5

+1x6

Najlepszy z informatyki:

G2 =1x1

+0.8x2

+1x3

+1x4

+0.6x5

+0.4x6

Najlepszy z matematyki:

G3 =0.6x1

+0x2

+0.2x3

+0x4

+1x5

+1x6

Najlepszy z jezyka angielskiego:

G4 =0x1

+0.2x2

+0.4x3

+0.6x4

+0.8x5

+0.6x6

Najlepszy z jezyka niemieckiego:

G5 =1x1

+0.2x2

+0.4x3

+0.2x4

+0.8x5

+1x6






Podstawiajac dane do wzoru:

D = G1

⋃G2

⋃G3

⋃G4

⋃G5

Decyzja rozmyta typu minimum jest postaci:

D =0x1

+0x2

+0.2x3

+0x4

+0.6x5

+0.4x6

Czyli x5 Charakteryzuje sie najwiekszym stopniem przynaleznosci !





Zastosowania

sterowniki – fuzzy controllers

sterowanie swiatlami na wjezdzie na autostrade

sprzet powszechnego uzytku (np. pralki)

w polaczeniu z innymi narzedziami AI, np. sieciami neuronowymi

rozpoznawanie slów (cyfr itp.)





Pojecia niespójne

Zbiory przyblizone pozwalaja reprezentowac niepewnosc w wiedzy za pomoca pojecdolnego i górnego przyblizenia zbioru.





Sieci bayesowskie łaczace w sobie cechy: graficznej reprezentacji pozwalajacejprzedstawiac zaleznosci przyczynowe oraz warunkowych prawdopodobienstwzmiennych wzgledem ich bezposrednich przyczyn, ciesza sie dosc duza popularnosciaw pracach zwiazanych z wnioskowaniem w systemach ekspertowych opartych nawiedzy niepewnej. Prekursorem sieci bayesowskich był Judea Pearl, który w 1988 rokuzaproponował je jako reprezentacje wiedzy niepewnej w sztucznej inteligencji.





Prawdopodobienstwo warunkowe - sieci Bayes’a

Wykorzystuje sie w tym celu twierdzenie Bayes’a, okreslajace prawdopodobienstwowarunkowe. Jest to oczywiscie prawdopodobienstwo zajscia zdarzenia A podwarunkiem zdarzenia B - co odpowiada prostej regule "Jezeli B to A", którego ogólnapostac wyglada nastepujaco:

P(A/B) =P(B/A) ∗ P(A)

P(B)

i oznacza, ze stwierdzenia A moze byc uznane jako prawdziwe wtedy, kiedystwierdzenie B jest uznane jako prawdziwe. Znajomosc prawdopodobienstwawarunkowego pozwala na realizacje procesów wnioskowania, które polegaja narozpatrywaniu prawdopodobienstwa stwierdzen traktowanych jako pewne hipotezy.






Aby np. okreslic prawdopodobienstwo faktu, ze dany student ma przyznanestypendium, przy załozeniu, ze nie posiadamy zadnej wiedzy na ten temat, zgodnie zteoria prawdopodobienstwa musimy okreslic zdarzenia elementarne dotyczacebadanej dziedziny. Zatem jesli załozymy, ze istnieja tylko dwa elementarne zdarzeniaD = {α, β} , gdzie odpowiednio:α - to zdarzenie polegajace na tym, ze dany student ma przyznane stypendium,β - to zdarzenie polegajace na tym, ze dany student nie ma przyznanego stypendium,to wykorzystujac rachunek prawdopodobienstwa mozemy stwierdzic, ze:

prawdopodobienstwo zajscia zdarzenia αjest równe prawdopodobienstwu zajsciazdarzenia β i wynosi P(α) = P(β) = 1

2 .






Dostosowujac sie do wzoru Bayes’a, w przypadku, gdy mamy dwa fakty:A - jezdze na rowerze,oraz B- jest ładna pogoda,gdzie P(A) = 0,2i P(B) = 0,4oraz równoczesnie w bazie wiedzy istnieja reguły :R1 : Jezeli jest ładna pogoda to jezdze na rowerze- co po prostu oznacza P(A/B)R2 : Jezeli jezdze na rowerze to jest ładna pogoda- co odpowiednio oznacza P(B/A) ,to znajac prawdopodobienstwo zajscia zdarzenia B pod warunkiem A , tzn., gdywiemy, ze P(B/A) = 0,8 , mozemy takze okreslic prawdopodobienstwo zajsciazdarzenia Apod warunkiem B . Korzystajac z wzoru Bayes’a otrzymujemy wartoscP(A/B) = [(0,8 ∗ 0,4)/0,2] = 0,4 . Wzór ten pozwala nam ustalic pewna hipoteze podwarunkiem, ze znamy hipoteze przeciwna.





Prawdopodobienstwo warunkowe to prawdopodobienstwo zajscia zdarzeniaA pod warunkiem zdarzenia B - co odpowiada prostej regule ”Jezeli B to A”,którego ogólna postac wyglada nastepujaco:

P(A/B) =P(B/A) ∗ P(A)

P(B)

i oznacza, ze stwierdzenie A moze byc uznane jako prawdziwe wtedy, kiedystwierdzenie B jest uznane jako prawdziwe.

Znajomosc prawdopodobienstwa warunkowego pozwala na realizacje procesówwnioskowania, które polegaja na rozpatrywaniu prawdopodobienstwa stwierdzentraktowanych jako pewne hipotezy.O ich popularnosci w duzej mierze zadecydowały wydajne metody wnioskowania.Znalezc mozna wiele zastosowan w sztucznej inteligencji, ekonomii, medycynie,genetyce czy statystyce.Siec Bayesa stanowi numeryczny model zwiazków przyczynowo-skutkowychzachodzacych pomiedzy elementami zbioru obserwacji i hipotez. Stosujac twierdzenieBayesa, mozna dokonywac zarówno wnioskowania progresywnego (wnioskowanie wprzód), jak i wnioskowania regresywnego (wnioskowanie wstecz).





Przetwarzanie wiedzy niepewnej - Podejscie probabilistyczne

Zastosowanie teorii prawdopodobienstwa do reprezentacji wiedzy niepewnej wydajesie stosunkowo oczywiste. Okreslenia w postaci: prawdopodobnie, najczesciej itp.skłaniaja do wykorzystania rachunku prawdopodobienstwa. Liczba reprezentujacaprawdopodobienstwo odzwierciedla jedynie wiedze obserwatora o swiecie, nie oddajewiec prawdopodobienstwa obiektywnego.Punktem wyjscia dla róznych metod probabilistycznych jest twierdzenie Bayesa.Załózmy, ze mamy zbiór wzajemnie wyłaczajacych sie hipotez:

H = {h1, . . . ,hn},

dla których jest spełnioneP(hi) > 0, i = 1,2, . . . ,n.

Mamy równiez do dyspozycji zbiór obserwacji

E = {e1, . . . ,em}.

Kazdy fragment obserwacji ei jest niezalezny warunkowo wzgledem kazdej hipotezy.





Reprezentacja wiedzy niepewnej

Rozwazmy przykład w którym n = m = 1 . Mamy zatem jedna obserwacje e orazjedna hipoteze h . Załózmy, ze interesuje nas zwiazek przyczynowo skutkowypomiedzy obserwacja e a hipoteza h reprezentowany przez regułe:

Jezeli e To h

co moze byc przedstawione graficznie:

?>=<89:;e //?>=<89:;h

Obserwacja e oraz hipoteza h sa reprezentowane przez wierzchołki grafu, natomiastnatomiast wnioskowanie przez krawedz.






Rozpatrywana reguła moze byc rozpatrywana w modelu Bayesa nastepujaco:

P(h|e) =P(e|h)P(h)

P(e)

Powyzszy wzór jest szczególnym przypadkiem wzoru Bayesa, który w jednej ze swychpostaci moze byc podany nastepujaco:

P(hi |e1, . . . ,em) =P(hi)P(e1, . . . ,em |hi)∑n

k=1 P(e1, . . . ,em |hk )P(hk )=

∏mj=1 P(ej |hi)∑n

k=1∏m

j=1 P(ej |hk )P(hk )P(hi)

co uzyskujemy wykorzystujac załozona uprzednio warunkowa niezaleznosc kazdejobserwacji ei wzgledem kazdej hipotezy, co mozna opisac wzorem:

P(e1, . . . ,em |hi) =

m∏j=1

P(ej |hi),dlai = 1, . . . ,n






W warunkach rzeczywistych nigdy nie wystepuje jedna reguła, zatem równiez zamiastprostego grafu z jedna krawedzia i dwoma wierzchołkami otrzymamy siec. Taka siecnazywana siecia wnioskowan moze miec nastepujaca postac:

?>=<89:;a

��333333

))RRRRRRRRRRRRRRRRR

?>=<89:;b //

��

?>=<89:;d //

�� =======?>=<89:;E

?>=<89:;c // ?>=<89:;F ?>=<89:;G

gdzie: a,b , c,d to obserwacje, zas E,F ,G to hipotezy. Taka siec wnioskowan mozebyc opisana poprzez zbiór wierzchołków oraz zbiór krawedzi. Kazdy wierzchołekreprezentuje obserwacje lub hipoteze, kazda krawedz jest okreslona w ten sposób, zepodaje sie dla niej informacje o wierzchołkach które dana krawedz łaczy, orazewentualnie dla grafów skierowanych informacje o kierunku krawedzi.





Definicja sieci Bayesowskiej

G to graf okreslony zbiorem wierzchołków N i krawedzi E . CP to zbiórprawdopodobienstw warunkowych opisujacych prawdopodobienstwo przejscia odjednego wierzchołka grafu do drugiego.Pod pojeciem sieci Bayesowskiej rozumiec bedziemy trójke: B = {N,E,CP} , gdziedwójka {N,E} jest zorientowanym grafem acyklicznym zbudowanym na podstawiezadanych prawdopodobienstw warunkowych zawartych w zbiorze CP.





Definicja sieci Bayesa

Siec Bayesa

Siec Bayesa stanowi numeryczny model zwiazków przyczynowo-skutkowychzachodzacych miedzy elementami zbioru obserwacji i hipotez. Stosujac twierdzenieBayesa, mozna dokonywac zarówno wnioskowania progresywnego (wnioskowanie wprzód), jak i wnioskowania regresywnego (wnioskowanie wstecz).





Przykład syntezy sieci Bayesa

Niech zbiór pewnych zmiennych identyfikujacychobserwacje i hipotezy ma nastepujaca postac:Z = {A ,B ,C ,D,E,F ,G,H},

CP = {P(A),P(B |A),P(C |B),P(C |F),P(D |C),P(E |CH),P(F |G),P(G),P(H|G)}

To pozwala zbudowac graf skierowany, któryopisuje siec Bayesa:B = {N,E,CP} , co moznaprzedstawic graficznie:

?>=<89:;A

��

?>=<89:;G

��

��333333

?>=<89:;B

��333333?>=<89:;F

��?>=<89:;H

��

?>=<89:;C

��

%%JJJJJJJJJJ

?>=<89:;D ?>=<89:;E

Siec Bayesa stanowi numeryczny model zwiazków przyczynowo-skutkowychzachodzacych pomiedzy elementami zbioru obserwacji i hipotez. Mozliwe jestwówczas wnioskowanie progresywne (w przód), jak i wnioskowanie regresywne(wstecz).





Podsumowanie

Prezentowana metoda reprezentacji i przetwarzania wiedzy niepewnej ma Metodaprobabilistyczna ma charakter wybitnie numeryczny. Zarówno struktura sieci Bayes’ajak równiez metody wnioskowania oparte sa całkowicie o metody probabilistyczne (czypodobne jak np. teoria Dempster’a-Shafer’a). Wady:

realizacja praktyczna takiej reprezentacji wiedzy,

umiarkowana zdolnosc do generowania objasnien (ang. explanations ) procesuwnioskowania powodowana wybitnie numerycznym jego charakterem,

złozonosc obliczeniowa i pamieciowa procesu wnioskowania.





Problemy wynikajace ze stosowania reprezentacji niepewnosci opartejna probabilistyce

Wartosc prawdopodobienstwa musi sie sumowac do jedynki, co oznacza, ze jesliP(a) = 0.3, to P(¬A) = 1 − P(a) = 1 − 0.3 = 0.7.

Gdy za pomoca teorii prawdopodobienstwa modelujemy wybrany fragmentrzeczywistosci (czesto bardzo złozony), nie mozemy sie ograniczac do logikidwuwartosciowej i prawa ”tertium non datur” tłumaczonego jako trzeciego wyjscianie ma.

Czasami jestesmy w stanie jedynie powiedziec, ze prawdopodobienstwo zajsciapewnego zdarzenia wynosi np. 0.7 i, ze jest ono mozliwe przy zajsciu pewnychzdarzen je warunkujacych. Mozemy jednak zauwazyc, ze zdarzenie to zajdziejesli choc jedno z tych zdarzen je warunkujacych nastapi, ale i gdy np. wszystkietrzy zajda w rzeczywistosci. Fakt, ze zdarzenia nie sa niezalezne nie pozwala włatwy sposób operowac rachunkiem prawdopodobienstwa.

Twórca wiedzy w bazie wiedzy jest ekspert z danej dziedziny, który najczesciej niepotrafi posługiwac sie statystykami i umiejetnoscia okreslaniaprawdopodobienstwa poprawnie.

Ekspert przedstawia tylko swoja subiektywna ocene.





Budowa sieci bayesowskiej dla bazy wiedzy zasilanie.bw

Reguły w bazie wiedzyzasilanie.bw sa budowaneprzy uzyciu dwójek <atrybut,wartość>. Jesli podstawimyza zmienne zdaniasymbolizujace pewnezdarzenia opisywane w tejbazie wiedzy to otrzymamynastepujacy wejsciowy zbiórdanych:

A : co_zrobic = ”Zgłosić awarie wrejonie energetycznym”

B: brak_pradu = ”Zupełny”

C: prad_u_sasiadow = ”Nie maja”

D: prad_u_sasiadow = ”Maja”

E: bezpiecznik_glowny = ”Bezpiecznikgłówny właczony”

F : co_zrobic = ”Właczyć głównybezpiecznik”

G: bezpiecznik_glowny = ”Bezpiecznikgłówny wyłaczony”

H: co_zrobic = ”Kontrolabezpiecznika obwodu gniazdek”

I: brak_pradu = ”W obwodzie gniazdek”

J: co_zrobic = ”Kontrolabezpiecznika obwodu świateł”

K : brak_pradu = ”W obwodzie świateł”

L : co_zrobic = ”Wszystko działanormalnie”

M: brak_pradu = ”Jest jak zawsze”

N: dzialaja_gniazdka = ”Nie”

O : swieci_swiatlo = ”Nie”

P: dzialaja_gniazdka = ”Tak”

R: swieci_swiatlo = ”Tak”

S: lodowka_dziala = ”Nie”

T : telewizor_dziala = ”Nie”

U: telewizor_dziala = ”Tak”

V : lodowka_dziala = ”Tak”





Analizujac reguły w bazie zasilanie.bw mozemy wyróznic zbiory obserwacji i hipotezN, z których bedzie mozna zbudowac siec. Dopiero gdy te siec opatrzymy zbioremprawdopodobienstw warunkowych CP nazwiemy siec siecia bayesowska - o ileoczywiscie spełni ona załozenia sieci bayesowskich o grafach acyklicznych iskierowanych. W naszym zbiorze obserwacjami beda: B, C, D, E, G, I, K , M, N, O , P,R, S, T , U oraz V zas do zbioru hipotez zaliczymy A , F , H, J, L , B, I, K , M, N oraz P.Schemat sieci bayesowskiej (bez uwzglednienia wartosci prawdopodobienstwwarunkowych) dla takiej bazy wiedzy wyglada nastepujaco:





Niech zbiór prawdopodobienstw warunkowych CP dla takich obserwacji i hipotez bedzie nastepujacy:CP = {P(A |B&C),P(A |B&D&E),P(F |B&D&G),P(B),P(D),P(G),P(E),P(H|D&I),P(I|N&R),P(R),P(N|S&T),P(S),P(T),P(J|K&O),P(P |U&V),P(U),P(V),P(O),P(L |M),P(M|P&R)}.





Przykład

1 A – pogoda (słonecznie/pochmurno/deszczowo/wietrznie)2 B – czas wolny (tak/nie)3 X – humor (bardzo dobry/dobry/nietegi)4 C – zajecie na zewnatrz (spacer/basen/rower)5 D – zajecie w domu(komputer/ksiazka/gotowanie)





Przykład





Narzedzia do budowy sieci bayesowskich

Bardzo wiele grup naukowców na całym swiecie zajmuje sie sieciami bayesowskimi,ich budowa, analiza i optymalizacja. Ogromne zasługi ma zespół profesora MarkaDruzdzela z University of Pittsburgh. Zespół opracował narzedzie SMILE+ (ang.Structural Modeling, Inference, and Learning Engine) dostarczajace graficznej metodyreprezentacji dla systemów decyzyjnych w postaci sieci bayesowskich. Do zbiorubibliotek stanowiacych system SMILE zbudowano interfejs uzytkownika GeNIe.Narzedzie cieszy sie sporym zainteresowaniem na całym swiecie.





Inne narzedzia:

Microsoft Bayesian Network Editor - narzedzie wspomagajace budowe sieciwnioskowan bayesowskich. Realizacja dwóch algorytmów rekomendacji kolejnychkroków w procesie ewaluacji sieci (czyli na przykład wskazuja zmienna, którejzmiana wartosci najbardziej wpłynie na uzyskane wyniki). W praktyce pozwala tona uzyskanie listy zmiennych (wezłów) uporzadkowanych według ich wagi iwpływu na proces wnioskowania, co jest mozliwe dzieki przypisaniu wezłompewnych typów decyzyjnych reprezentujacych role, jaka pełni dany wezeł w sieci.

HUGIN EXPERT - narzedzie słuzace do obliczen prawdopodobienstw i niepewnosciparametrów. Dedykowane jest nie tylko na platforme Windows ale równiezUNIXowe stacje robocze. Dostepna na stronie http://www.hugin.dk/,

Netica Bayesian Network Software from Norsys - oprogramowanie, któregowersja demonstracyjna (jest dostepna poprzez witrynehttp://www.norsys.com/)jest zupełnie wystarczajaca by zaprojektowac siec bayesowska i przeprowadzic wtakiej sieci wnioskowanie.


http://www.hugin.dk/

http://www.norsys.com/




Mycin

System Mycin, który powstał w latach siedemdziesiatych na UniwersytecieStanford i którego autorem jest Edward H. Shortliffe, jest uznawany za wzorcowy(medyczny) system ekspertowy. Prace nad jego powstaniem rozpoczeły sie wroku 1972 (i trwały kilka lat) w ramach Projektu Programowania Heurystycznegorealizowanego w Stanford University, rozwijanego we współpracy z ZespołemChorób Infekcyjnych (Infectious Diseases Group) ze Stanford Medical School.Prace Shortliffe’a nadzorował m.in. Bruce Buchanan.

System Mycin cechuje sie wysokim poziomem kompetencji w zakresiegenerowanych konkluzji. Jego zadaniem jest diagnoza bakteryjnej choroby krwi izaproponowanie odpowiedniej terapii. System prowadzi swego rodzaju dialog zlekarzem, w którym lekarz przekazuje swoja wiedze dotyczaca badanej próbkikrwi (m.in. wiek i płec pacjenta, data pobrania krwi, itp), a system - po zadaniuokoło 50-60 pytan - wyswietla wyniki do jakich doszedł. Zaleta systemu byłaszybkosc podejmowania trafnych decyzji, do których nie potrzebuje wynikówczasochłonnych badan krwi ani wszystkich odpowiedzi na zadane lekarzowipytania.





Pamietajmy, ze zwłaszcza medyczne systemy ekspertowe sa narazone na to, zewiedza w nich zakodowana nie bedzie wolna od niepewnosci. Bardzo czestospotykamy sie z opisami typu: ”stan pacjenta stabilny” czy ”odpowiednia dawka leku”.Zawsze wtedy rodzi sie problem reprezentacji takich nieostrych pojec w bazie wiedzysystemu ekspertowego, tak by były one przez system tak samo dobrze rozumiane jakprzez eksperta - człowieka. Oczywiscie nieostrosc pojec nie jest jedynym przykłademniepewnosci wiedzy w medycznych bazach wiedzy. Reguły, o których spełnialnoscinawet lekarz przekazujacy wiedze inzynierowi wiedzy, nie jest przekonany w 100%powinno sie etykietowac dodatkowymi informacjami mówiacymi jak pewna jest tareguła. Zwykle do tego typu oszacowan wykorzystuje sie rachunekprawdopodobienstwa i statystyke. Dla objawów (e) pacjenta pasujacych do opisudanej choroby (h), P(h|e) bedzie okreslac prawdopodobienstwo warunkowe, zepacjent jest chory na chorobe h w swietle znanych faktów (objawów e), zas P(e|h)bedzie odpowiednio oznaczac warunkowe prawdopodobienstwo, ze pacjent bedziewykazywał objawy e skoro zdiagnozowano u niego chorobe h. Prawdopodobienstwowarunkowe P(h|e) obliczymy jako:

P(h|e) =P(e|h) ∗ P(h)

P(e|h) ∗ P(h)





Zauwazmy, ze w przykładowej regule bazy wiedzy systemu Mycin wszystkieprzesłanki: Kultura bakteryjna rozwineła sie we krwi, odczyn jestgramopozytywny, bakterie wnikneły przez jelito i żoładek lub miednica jestmiejscem infekcji musza byc prawdziwe (spełnione) by mozna było uznac hipotezetej reguły za spełniona w stopniu 0.7. Warto w tym momencie dodac, ze wartosc ta(0.7) nie jest wartoscia prawdopodobienstwa warunkowego, lecz pewnym liczbowymokresleniem stopnia przekonania eksperta dziedzinowego o spełnialnosci danej reguły.Wartosci te ekspert przekazywał inzynierowi wiedzy w procesie akwizycji wiedzy. Niemozemy traktowac takich danych jako prawdopodobienstwa warunkowego, gdyz gdybybyło tak, ze P(h|e1&e2&e3) = 0.7 to zgodnie z teoria prawdopodobienstwamusielibysmy załozyc, ze w takim razie P(¬h|e1&e2&e3) = 0.3 co jak wiemy nie jestprawda. Takiej wiedzy ekspert nie przekazał.





Mycin

Mycin – regułowy system ekspertowy stworzony w latach 70-tych XX wieku nauniwersytecie w Stanford. Napisany został w jezyku LISP.

Zadaniem systemu Mycin było zdiagnozowanie bakteryjnej choroby krwi izaproponowanie odpowiedniej terapii.

Baze wiedzy stanowił zestaw reguł IF-THEN stworzony przez konsylium lekarskiez tego zakresu.

Poczatkowo reguł tych było 200, po pózniejszych modyfikacjach wzrosła ona dookoło 600.

Przykładowa reguła:

IF Kultura bakteryjna rozwineła sie we krwiAND odczyn jest gramopozytywnyAND bakterie wnikneły przez jelito i zoładekOR miednica jest miejscem infekcjiTHEN Istnieja silne poszlaki (0,7),ze klasa bakterii, które sa za to odpowiedzialne jest Enterobacteriacae.

0,7 to poziom ufnosci danej reguły (z przedziału -1 do +1).





Mycin c.d.

Praca systemu Mycin polegała na dialogu z lekarzem, w czasie którego lekarzprzekazywał swoja wiedze dotyczaca badanej próbki krwi (m.in. wiek i płecpacjenta, data pobrania krwi, itp).

Po zadaniu około 50-60 pytan Mycin wyswietlał wyniki do jakich doszedł.

Zaleta systemu była szybkosc podejmowania trafnych decyzji, do których niepotrzebował wyników czasochłonnych badan krwi ani wszystkich odpowiedzi nazadane lekarzowi pytania.

Uwazany dzis za niemal wzorcowy, był pierwszym duzym systemem ekspertowymo wysokim poziomie kompetencji w zakresie generowanych konkluzji. Pomagalekarzom w wyborze terapii przeciwbakteryjnej dla pacjentów z chorobamiinfekcyjnymi krwi.

System diagnozował przyczyny infekcji, poprzez identyfikacje drobnoustrojuodpowiedzialnego za jej powstanie. Ponadto proponował terapie poprzez wybórleku (typu i dawkowania).

Nie był wyłacznie systemem diagnostycznym - co jest czesto powtarzanymbłedem - lecz równiez zajmował sie strona terapeutyczna chorób. Typowakonsultacja trwała około 20 minut.





Mycin c.d.

Podstawowym sposobem reprezentacji wiedzy były reguły i fakty. W procesierozwiazywania problemu wykorzystywał wnioskowanie wstecz.System zrealizowano z wykorzystaniem jezyka Lisp na maszyny DEC-20(mainframe).Nakład pracy obliczono na 52 osobo-lata, z czego znaczna czesc zawarta jest woprogramowaniu.W 1974 dokonano oceny konkluzji systemu przez grupe ekspertów-ludzi.Zaakceptowali oni 72% zalecen systemu MYCIN w odniesieniu do 15 faktycznychprzypadków infekcji. Testy porównawcze przeprowadzone w 1979 roku wodniesieniu do ulepszonej wersji tego systemu wykazały, ze poprawnoscrozwiazan generowanych przez ten system dorównuje lekarzom ekspertom (zosrodka Stanford) i przewyzsza rozwiazania proponowane przez lekarzyniespecjalistów. Był to jednoczesnie powazny dowód, ze system ekspertowymoze z powodzeniem rozwiazywac specjalistyczne problemy do tej pory„zarezerwowane” wyłacznie dla ekspertów-ludzi.Prace nad systemem MYCIN doprowadziły m.in do opracowania systemunarzedziowego EMYCIN (od Empty MYCIN). System EMYCIN ułatwił z koleirozwój dziedzinowego (diagnostyka medyczna) systemu ekspertowego o nazwiePUFF.





Mycin c.d.

Strukture wnioskowania mozna przedstawicnastepujaco: wiadomosci o pacjencie⇒ choroba⇒ leczenie





Wnioskowanie w systemie MYCIN:

W trakcie przeprowadzania wywiadu powstaje drzewo zawierajace informacje(fakty) o pacjencie, gdzie korzen drzewa stanowi identyfikator pacjenta.

Fakty zostały zawarte w trójelementowych krotkach ( obiekt - atrybut - wartosc ).

Jako atrybuty wystepuja tu: kultura dajaca pozytywny wynik, podejrzana choroba,poprzednie i terazniejsze metody leczenia.

Wysokosc drzewa moze byc powiekszana. Obiektem moze stac sie np. org. nr 1,dla którego okreslono atrybut i wartosc.

Powyzsza struktura zapisu faktów dotyczacych pacjenta pozwala na szybkieuzyskiwanie potrzebnych informacji. W trakcie procesu wyszukiwania danychprzesuwamy sie w dół drzewa i ukonkretniamy dane.





Mycin c.d.

Baza wiedzy zawierajaca zbiór 600 reguł mówiacych o diagnozowaniu i wybieraniuodpowiedniego leczenia. Maja one nastepujaca postac:IF warunek THEN akcjalubIF warunek AND ... AND warunek THEN akcja

Kolekcja uzytecznych procedur, zbierajacych informacje, orzekajacych koniecznoscprzeprowadzenia dodatkowych badan, oraz wybierajacych twierdzenia, które moga bycuzyte w procesie wnioskowania.

LABDATA - procedura ta decyduje o tym, które z badan moga byc wykonane tylkow drodze testów laboratoryjnych, a nie np. podane przez pacjenta,

UPDATEBY - procedura ta wyszukuje reguły, które mozna zastosowac downioskowania z aktualnie aktywnego twierdzenia,

FINDOUT - funkcja ta zbiera informacje potrzebne do sprawdzenia czesciwarunkowej rozwazanej reguły.

W przypadku, gdy informacja jest dostepna - blokuje system, przed powtórnympytaniem o to samo. W przypadku braku informacji zostaje wywołana proceduraUPDATEBY (wyszukuje reguły mogace przetworzyc niesprawdzalny warunek) lubLABDATA (wywołanie testów uzytkownika).





Mycin c.d. - Procedura FINDOUT





Mycin c.d.

Aparat wnioskujacy sterujacy poprawnym stosowaniem reguł.

Wnioskowanie rozpoczyna sie reguła: IF organizm potrzebuje leczenia ANDprzeprowadzone zostały rozwazania dotyczace mozliwosci istnienia organówwymagajacych leczenia THEN przetwórz liste mozliwych leczen i znajdz najlepsze

Do tego twierdzenia stosowane jest wnioskowanie wstecz, majace doprowadzicdo sprawdzenia warunków, a jednoczesnie jest konstruowana lista mozliwychsposobów leczenia.

Procedura kontrolujaca wnioskowanie nazywa sie MONITOR,gdzie jestwykorzystywana procedura FINDOUT.





Mycin c.d. - Procedura MONITOR





Dialog w systmie MYCIN

MYCIN dostaje dane bakteriologiczne, czasy pobierania próbek, nazwisko, płec, wiek.

Czy okreslono mikrobiologicznie rodzaj mozliwej infekcji? odp: Tak

Jakiego rodzaju jest to infekcja? Odp: Primary-Bacteremia

Prosze podac kiedy nastapiły pierwsze objawy infekcji. Odp: 15-Stycz-93 11:30

Skad pochodza próbki pierwszej kultury bakteryjnej? Odp: Krew

Kiedy otrzymano próbki kultury bakteryjnej z krwi? Odp: 16-Stycz-93 12:00

Pierwsza bakteria wyhodowana w tej próbce krwi bedzie okreslana jakoOrganizm-1. Zidentyfikuj organizm-1. Odp: Nieznany.

Czy organizm-1 jest pałeczka czy ziarnkowcem? Odp: Pałeczka

Jaki jest odczyn organizmu-1 Odp: gramonegatywny

Czy organizm-1 rozwijał sie aerobowo? Odp: tak

Czy organizm-1 rozwijał sie anaerobowo? Odp: takMoje zalecenia terapeutyczne beda oparte o nastepujace prawdopodobne infekcjespowodowane przez nast. bakterie. INFEKCJA-1 typu Primary-bacteremia:

1 1. E. Coli (Organizm-1)2 2. Pseudomonas-aeruginosa (Organizm-1)





W 1973 roku Richard Swinburne przedstawił nowa wizje klasyfikacji teoriistatystycznych. Zgodnie z nimi, teoria tradycyjnego prawdopodobienstwa ze statystykinie nadaje sie do procesu podejmowania decyzji w takich systemach, które wwiekszosci bazuja na jakosciowych a nie ilosciowych reprezentacjach wiedzy. Z tegowzgledu twórcy systemu Mycin zrezygnowali z klasycznego podejsciaprobabilistycznego. Zainteresowani byli natomiast mozliwosciami sprawdzaniawiarygodnosci hipotez czy prawdziwosci przypuszczen (domnieman). W pracySwinburne’a mozna znalezc m.in. definicje tzw. logicznej teorii prawdopodobienstwa(ang. Logical Theory) zgodnie z która prawdopodobienstwo jest logiczna relacjapomiedzy obserwacja a hipoteza i jest to stopien potwierdzenia prawdziwosci hipotezyh gdy prawdziwe sa obserwacje e.





Reprezentacja wiedzy niepewnej za pomoca teorii Dempstera - Shafera

Alternatywa dla słabych stron współczynników pewnosci CF oraz sieci bayesowskich irachunku prawdopodobienstwa przez nie wykorzystywanego miała byc matematycznateoria ewidencji Arthura Dempster’a.

Teoria Arthura Dempster’a została wprowadzona w roku 1960, a pózniej rozwijanadalej m.in. przez Glenn Shafer - stad o teorii mówi sie najczesciej teoriaDempster’a - Shafer’a. Wprowadzenie teorii do systemów ekspertowych nastapiłopo tym jak w roku 1976 Glenn Shafer opublikował prace: ”A mathematical theoryof evidence”.

Podzbiorom przestrzeni zdarzen przypisuje sie podstawowa miareprawdopodobienstwa (BPA , ang. Basic Probability Assignement) oznaczanaczesto m.Róznica w stosunku do klasycznego rachunku prawdopodobienstwa polega natym głównie, ze miara m nie musi byc okreslona na wszystkich elementachprzestrzeni zdarzen a jedynie na niektórych z podzbiorów. Miara m musi spełniacdwa warunki:

m(∅) = 0,∑A⊆Θ m(A) = 1.

Definiuje sie dwie nowe miary: miare przekonania (ang. belief) orazwiarygodnosci (ang. plausability).





Miara przekonania wyraza sie wzorem:

Bel(A) =∑B⊆A

m(B),

zas miara wiarygodnosci wzorem:

Pl(A) =∑

A∩B,∅

m(B).





Teoria Dempstera-Shafera

Wiedza reprezentowana jest w postaci funkcji przekonania, stad tez model tennazywany jest takze teoria funkcji przekonania.

Kazdemu zdaniu logicznemu przypisuje nie jedna lecz dwie wartosci.

Uzycie dwóch wartosci zamiast jednej umozliwia, oprócz modelowanianiepewnosci, reprezentacje ilosci pozyskanej informacji.

Proste modelowanie wspierania zbioru hipotez przez obserwacje.





PrzykładRozwazamy przestrzen U wszystkich mozliwych zdarzen. Zdarzenia te bedziemyokreslac jako zmienne x. Kazdemu stwierdzeniu typu: prawdopodobna wartosczmiennej x zawarta jest w zbiorze A , gdzie A ⊂ U (A jest podzbiorem U), moze bycprzyporzadkowany pewien współczynnik zwany stopniem przekonania. Jesli m(B) toliczba m(B) okreslajaca prawdopodobienstwo bedace miara stwierdzenia, zeprawdziwa wartosc x jest podzbiorem A , to funkcje przekonania okreslimy jako sumewszystkich mozliwych wartosci m(B). Obie miary przekonania i wiarygodnosci saliczbami z przedziału: [0,1]. Zatem, w sytuacji, gdy przy pełnej niewiedzy mamy zazadanie okreslic na ile prawdopodobne jest zdarzenie α:prad_u_sasiadów = Maja oraz zdarzenie β: prad_u_sasiadów = Nie maja,omawiane współczynniki beda nastepujace:

Bel(α) = Bel(β) = 0, poniewaz obydwa zdarzenia sa równie niewiarygodne,P(α) = P(β) = 1/2, gdyz prawdopodobienstwo zajscia któregokolwiek z nich jesttakie samo przy pełnej niewiedzy,Pl(α) = Pl(β) = 1, poniewaz pozornie słuszne sa obydwa fakty,Dou(α) = Dou(β) = 0, poniewaz obydwa zdarzenia sa równie watpliwe.

W tym konkretnym przypadku, wiarygodnosc faktów jest zawsze taka sama,niezaleznie od wprowadzonych zdarzen elementarnych. Z formalnego punktu widzeniateoria ta stanowi próbe stworzenia ogólnego formalizmu umozliwiajacego operowanie iprzetwarzanie subiektywnych sadów i opinii.





Teoria Dempstera-Sheffera

W teorii Dempstera - Sheffera wprowadza sie tzw. funkcje wiarygodnosci orazwspółczynnik pozornej słusznosci. Wprowadzone tu zostało pojecie przestrzeni U , astwierdzenia sa rozpatrywane jako pewne podzbiory w tej przestrzeni. Przestrzen Urozpatrywana jest jako zbiór wszystkich mozliwych wartosci zmiennej x . Wówczaskazdemu stwierdzeniu typu: Prawdopodobna wartosc zmiennej x zawarta jest wzbiorze A , gdzie A ⊂ U (A jest podzbiorem U ), moze byc przyporzadkowany pewienwspółczynnik wiarygodnosci zwany stopniem wiarygodnosci. Wówczas, funkcjewiarygodnosci otrzymujemy jako sume wszystkich wiarygodnosci liczb m(B) powszystkich podzbiorach, gdzie liczba m(B) to elementarna liczba prawdopodobienstwabedaca miara stwierdzenia, ze prawdziwa wartosc x jest podzbiorem A .Bel(A) =

∑B∈A m(B) Inaczej mówiac, w sytuacji, gdy ε jest zbiorem wszystkich

podzbiorów zbioru U , to funkcja wiarygodnosci jest definiowana w najogólniejszysposób jako: Bel : ε→ [0,1] i spełnia załozenia: Bel(∅) = 0 oraz Bel(U) = 1.Generalnie wiarygodnosc jest liczba ze zbioru [0,1] .Funkcja wiarygodnosci słuzy do okreslenia stopnia wiarygodnosci:Dou(A) = Bel(¬A).Z kolei dopełnienie stopnia watpliwosci do 1 to inaczej stopien pozornej słusznosci, cozapisujemy jako:Pl(A) = 1 − Dou(A) = 1 − Bel(¬A).





teoria Dempstera-Sheffera

Zatem, w sytuacji, gdy przy pełnej niewiedzy mamy za zadanie okreslic na ileprawdopodobne jest zajscie zdarzenia polegajacego na tym, ze dany student ma lubnie ma przyznanego stypendium, gdzie odpowiednio α i β to zdarzenia elementarne, wsytuacji gdy konkluzja jest β , współczynniki Dempstera - Sheffera beda wynosiły:

Bel(α) = Bel(β) = 0, poniewaz obydwa zdarzenia sa równie niewiarygodne,

P(α) = P(β) = 1/2, gdyz prawdopodobienstwo zajscia któregokolwiek z nich jesttakie samo przy pełnej niewiedzy,

Pl(α) = Pl(β) = 1, poniewaz pozornie słuszne sa obydwa fakty,

Dou(α) = Dou(β) = 0, poniewaz obydwa zdarzenia sa równie watpliwe.

W tym konkretnym przypadku, wiarygodnosc faktów jest zawsze taka sama,niezaleznie od wprowadzonych zdarzen elementarnych.





Teoria Dempstera-Shafera

Funkcja gestosci prawdopodobienstwa (ang. density probability function)

m : 2θ → [0,1]m[θ] = 0∑

A⊆θ m(A) = 1

Przekonanie (ang. belief)

Przekonanie oznaczane w skrocie Bel ∈ [0,1] mierzy siłe pozyskanych obserwacjiwspierajacych przekonanie o prawdziwosci rozwazanego zbioru hipotez.Bel(A) =

∑B⊆A m(B)

Wyobrazalnosc (ang. plausibility)

Wyobrazalnosc oznaczana w skrócie Pl ∈ [0,1] okresla na ile przekonanie oprawdziwosci A jest ograniczone przez dowody wspierajace ¬A . Pl(A) = 1 − Bel(¬A)





To pozwoliło powiazac logiczna teorie prawdopodobienstwa z potwierdzaniem iniepewnoscia. Pojecie potwierdzenia (ang. confirmation) dla hipotezy h moze bycuzyte w trzech róznych ujeciach:

klasyfikacji: gdzie obserwacja e potwierdza hipoteze h,

porównywania: gdy mozemy stwierdzac, ze ”obserwacja e1 mocniej niz e2potwierdza hipoteze h”,

jakosciowa: gdy stwierdzamy, ze obserwacja e potwierdza hipoteze h z siła x.

Twórcy systemu Mycin wykorzystali ostatnia droge, i wybrali ilosciowe metodypotwierdzania reguł, gdzie uzyli pewnej nowej ilosciowej miary C[h,e], która miałaodpowiadac P(h|e) i byc po prostu stopniem potwierdzenia prawdziwosci hipotezy hprzy prawdziwych przesłankach reguły (e).





Pamietajac, ze ekspert wyraza swoja subiektywna ocene dla prawdziwosci badzfałszywosci danej hipotezy, mozemy rozróznic tak naprawde dwie rózne wartosci:

miary wiarygodnosci (zaufania): zgodnie z która, jesli P(h|e) jest wieksze nizP(h), obserwacja e zwieksza zaufanie eksperta w prawdziwosc hipotezy h izmniejsza watpliwosc w te sama hipoteze. Wyraza sie to wzorem:

MB[h,e] =P(h,e) − P(h)

1 − P(h)

oraz watpliwosci w prawdziwosc danej hipotezy. Jesli P(h|e) jest mniejsze nizP(h) to obserwacja e zmniejsza zaufanie eksperta w prawdziwosc hipotezy h izwieksza tym samym jego watpliwosc w prawdziwosc takiej hipotezy co moznawyrazic wzorem:

MD[h,e] =P(h) − P(h|e)

P(h).





Zaznaczmy w tym momencie jeszcze tylko, ze takie pojmowanie zaufania i watpliwosciodpowiada dokładnie pojeciom potwierdzania oraz nie potwierdzenia hipotezy. Przyjacmozemy takze nastepujace załozenia:

jesli MB[h,e] > 0 to MD[h,e] = 0,

jesli MD[h,e] > 0 to MB[h,e] = 0,

zas jesli P(h|e) = P(h) wówczas MB[h,e] = MD[h,e] = 0.





W klasycznym prawdopodobienstwie relacja miedzy wiara w prawdziwosc pewnejhipotezy i w jej nieprawdziwosc jest znana, i ma sie sumowac do jednosci (zgodnie zzałozeniem, ze P(A) = 1 − P(¬A)). Eksperci nie zawsze przedstawiajac w formieliczbowej wartosc swojego zaufania wobec pewnej hipotezy potrafia okreslic wartosctakiego zaufania wobec negacji tej hipotezy (jej zaprzeczenia). Takie problemy stały sieargumentami do odrzucenia klasycznej teorii prawdopodobienstwa w systemie Mycin ido zastosowania tzw. współczynników pewnosci (ang. certainity factor).





Dlaczego współczynnik pewnosci ?

Współczynnik ten jest miara łaczaca w sobie dwie wyzej wymienione miary MB orazMD i wyraza sie wzorem:

CF[h,e] = MB[h,e] −MD[h,e].

W systemie Mycin implementacja współczynników pewnosci sprowadza sie do tego, zejesli reguła ma przyporzadkowany taki współczynnik, to wyraza on wiare eksperta wpoprawnosc takiej reguły i jej konkluzji. Sam współczynnik jest w systemie Mycin liczbaz przedziału [−1,+1] i okresla wiare w prawdziwosci hipotezy h pod warunkiemprawdziwosci obserwacji e. Przedział przyjmuje takie zakresy dlatego, ze jesli0 ≤ MB[h,e] ≤ 1 oraz 0 ≤ MD[h,e] ≤ 1 to −1 ≤ CF[h,e] ≤ 1.





Ograniczenia systemu Mycin

Przesłanki o bardzo niskim współczynniku pewnoscia moga niestety wpływacnegatywnie na wartosc współczynników pewnosci reguł.

W systemie Mycin zastosowano pewne ograniczenie polegajace na tym, ze nie sauwgledniane reguły, które czy to w czesci warunkowej czy decyzyjnej majawartosc współczynnika pewnosci mniejsza od 0.2.





Cechy systemu MYCIN

W 1974 dokonano oceny konkluzji systemu przez grupe ekspertów-ludzi, którzyzaakceptowali 72% zalecen systemu w odniesieniu do 15 faktycznychprzypadków infekcji.

Testy porównawcze, które przeprowadzono piec lat pózniej i w odniesieniu doulepszonej wersji systemu, wykazały, ze poprawnosc generowanych rozwiazandorównuje lekarzom ekspertom (z osrodka Stanford) i przewyzsza rozwiazaniaproponowane przez lekarzy niespecjalistów. Był to jednoczesnie powazny dowód,ze system ekspertowy moze z powodzeniem rozwiazywac specjalistyczneproblemy do tej pory zarezerwowane wyłacznie dla ekspertów-ludzi.





współczynnik CF

Współczynnikiem pewnosci CF (ang. Certainy Factor) obarczone moga byczarówno fakty jak i reguły. Zapis:< student , srednia_ocen,wysoka,CF = 0.5 >okresla, ze nie wiemy na pewno, ze tak jest w rzeczywistosci, wiemy natomiast, zestopien pewnosci wynosi 0,5 . Wystepowanie CF zarówno w przesłance jak i wkonkluzji wpływa na cała regułe, na jej pewnosc, gdyz ostateczny CF jest iloczynemCF w przesłance i w konkluzji. Zatem zapis stwierdzen niepewnych (hipotez,przypuszczen), uzupełniajacy kazda trójke < O ,A ,V > o stopien pewnosci CF (ang.:Certainty Factor ), powoduje, ze ostatecznie ta metoda reprezentacji wiedzy ma postacczwórki: < O ,A ,V ,CF >.W takim przypadku zapis postaci < student ,przyznane_stypendium, tak ,0.8 >oznaczac ma po prostu fakt, ze dany student ma przyznane stypendium ze stopniempewnosci CF = 0.8. Wielkosc ta ma okreslac stopien naszego przekonania oprawdziwosci konkluzji danej reguły w przypadku prawdziwosci jej przesłanki. Takisposób przetwarzania wiedzy niepewnej w obrebie regułowej reprezentacji wiedzystanowi dosc istotny problem i jako taki nie jest raczej stosowany. Powodem tego jestfakt, iz współczynnik pewnosci jest oszacowaniem ilosciowym o zbyt małym stopniuekspresji.





Reprezentacja wiedzy niepewnej za pomoca współczynników pewnosci

Współczynnikiem pewnosci CF (ang. certainity factor) obarczone moga byc zarównofakty jak i reguły zapisane w bazie wiedzy. Zapis: lodówka_działa = ”Tak” withCF=0.9 okresla, ze nie wiemy na pewno, ale jestesmy niemal przekonani, ze lodówkadziała. Wystepowanie CF zarówno w przesłance jak i w konkluzji wpływa na całaregułe, na jej pewnosc, gdyz ostateczny CF jest iloczynem CF w przesłance i wkonkluzji. To rozszerzenie modelu regułowego o pewne numeryczne oszacowaniestopnia pewnosci eksperta i moze miec postac:

Jezeli e1&e2&...&en To h ze stopniem pewnosci CFgdzie e1, e2, . . ., en to przesłanki reguły a h to konkluzja, & to operator logiczny and.

Wnioskowanie odbywa sie w sposób klasyczny, i w systemie Mycin realizowane byłometoda wnioskowania wstecz. W trakcie tego procesu niepewnosc jest uwzglednianaw kolejnych krokach wnioskowania poprzez obliczenie współczynnika pewnosciposzczególnych konkluzji. Operacja ta nosi nazwe procesu propagacji współczynnikapewnosci.





Metoda współczynników pewnosci CF

W systemach zblizonych do modelu MYCIN wnioskowanie odbywa sie w sposóbklasyczny, z wykorzystaniem interpretera reguł produkcji, który np. w systemie MYCINpracuje w trybie wnioskowania wstecz. W trakcie tego procesu niepewnosc jestuwzgledniana w kolejnych krokach wnioskowania poprzez obliczenie współczynnikapewnosci poszczególnych konkluzji. Proces ten ma jednak charakter pomocniczy i tonie on steruje procesem wnioskowania, główna role odgrywa tutaj interpreter reguł.Innymi słowy, przetwarzanie niepewnosci jest tutaj procesem równoległym, majacymna celu okreslenie stopnia pewnosci konkluzji generowanych przez interpreter reguł.Przypomnijmy, ze w systemach Bayes’owskich (i podobnych) to mechanizmprzetwarzania wiedzy niepewnej decydował o konkluzji i okreslał pewne numeryczneoszacowanie jej pewnosci (w postaci prawdopodobienstw czy np.Dempster’owko-Shafer’owskich mas).






Równiez współczynnik pewnosci CF nie jest tutaj bezposrednio rozumiany jakoklasyczne prawdopodobienstwo. Jak podaja autorzy systemu MYCIN, Shortliffe iBachman, współczynnik pewnosci jest chwytem pozwalajacym połaczenie stopniawiedzy oraz niewiedzy i odwzorowanie ich w postaci jednej liczby. Do odwzorowaniawiedzy słuzy współczynnik MB zwany miara wiarygodnosci (ang. measure of belief ),do opisania niewiedzy słuzy zas współczynnik MD zwany miara niewiarygodnosci(ang. measure of disbelief ). Poniewaz współczynnik CF wiazany jest z reguła, równiezwspółczynniki MB i MD sa wiazane z reguła.






Załózmy, ze dana jest reguła:

Jezeli e to h.

Współczynniki dla takiej reguły beda okreslone odpowiednio MB(h,e) , MD(h,e),CF(h,e) . Współczynnik CF(h,e) jest zdefiniowany jako róznica pomiedzy miarawiarygodnosci a miara niepewnosci:

CF(h,e) = MB(h,e) −MD(h,e)

Interpretacja miar wiarygodnosci i niewiarygodnosci (w powiazaniu zprawdopodobienstwem warunkowym) moze byc nastepujaca:

jezeli P(h|e) = 1 to h jest prawdziwe na pewno, wtedy MB(h,e) = 1 ,MD(h,e) = 0 , oraz CF(h,e) = 1 ,

jezeli P(¬h|e) = 1 to h jest fałszywe na pewno, wtedy MB(h,e) = 0 ,MD(h,e) = 1, oraz CF(h,e) = −1 ,

jezeli P(h|e) = P(h) to h co znaczy, ze h i e sa niezalezne, wtedy MB(h,e) = 0 ,oraz MD(h,e) = 0 , CF(h,e) = 0 .






Powyzsze zaleznosci mozna przedstawic w bardziej zwartej postaci:

CF(h|e) =

1 P(h) = 1MB(h,e) P(h|e) > P(h)0 P(h|e) = P(h)−MD(h,e) P(h|e) < P(h)−1 P(h) = 0

Wartosc współczynnika CF nalezy zatem do przedziału od [−1,+1] . Dodatniewartosci odpowiadaja wzrastaniu wiarygodnosci hipotezy, natomiast ujemneodpowiadaja zmniejszaniu sie wiarygodnosci.





Propagacja niepewnosci w modelu współczynników pewnosciWnioskowanie w modelu współczynnika pewnosci CF odbywa sie w oparciu odziałanie interpretera reguł. Przebieg tego procesu:

W trybie wnioskowania wstecz, okresla on cel wnioskowania, tzn. hipoteze którejprawdziwosc ma byc dowiedziona, w trybie wnioskowania do przodu poszukujesie konkluzji jaka mozna wywiesc ze znanych faktów.Rozpoczeciu wnioskowania towarzyszy zwykle ustalenie pewnych faktówinicjujacych proces wnioskowania. Fakty te zwykle odpowiadaja obserwacjom,które skłoniły uzytkownika do konsultacji z systemem ekspertowym.Fakty sa składowane w pamieci podrecznej interpretera reguł (ang. workingmemory) zwanej takze czesto globalna baza danych.Interpreter okresla regułe lub reguły, które moga byc w danych warunkachzastosowane (min. w oparciu o zawartosc pamieci podrecznej), wybiera jedna znich i wykonuje.Efekt zastosowania danej reguły prowadzi zwykle do modyfikacji zawartoscipamieci podrecznej, polegajacej np. na dopisaniu nowych faktów ustalonych wtrakcie wnioskowania.Proces doboru i wykonywania reguł jest powtarzany tak długo az hipotezazostanie potwierdzona (wnioskowanie wstecz) lub zostanie wyprowadzonakonkluzja (wnioskowanie do przodu) badz ani jedno ani drugie nie moze bycosiagniete.





Metoda współczynników pewnosci CFW czasie wnioskowania nastepuje zatem zjawisko przechodzenia od reguły do reguły,czego efektem jest jest budowa drzewa wywodu odwzorowujacego wybrane iuaktywnione reguły oraz ich kolejnosc. W trakcie tego procesu nastapic musirównoległy proces obliczania współczynników pewnosci. Dochodzi do propagowanianiepewnosci co jest wynikiem odpowiednich złozen jakim podlega współczynnik CF wtrakcie budowy drzewa wywodu.Równiez fakty moga posiadac swój współczynnik pewnosci, który ma odwzorowywacprzekonanie uzytkownika systemu o pewnosci danej obserwacji. Fakty te zwyklewchodza w skład przesłanki (nazwijmy ja e) pewnej reguły, która umownie nazwiemyR. Sama reguła R tez posiada współczynnik pewnosci CF .

Jezeli e to h ze stopniem pewnosci CF

Konkluzja (h) reguły R jest zatem obarczona niepewnoscia wynikajaca zarówno zniepewnosci faktu wchodzacego do przesłanki e jak równiez współczynnika CF samejreguły R. Koncowy współczynnik pewnosci wyznaczany jako:

CF(h,e) = CF(e) ∗ CF(h)

gdzie:CF(e) to współczynnik pewnosci przesłanki,a CF(h) to współczynnik pewnosci reguły R.






W przypadku gdy przesłanka reguły zawiera wyrazenie zawierajace operator AND (&) :

Jezeli e1&e2 to h ze stopniem pewnosci CF

to współczynnik pewnosci konkluzji h wyznaczany jest w nastepujacy sposób:

CF(h,e1&e2) = Minimum{CF(e1),CF(e2)} ∗ CF(h)

W przypadku gdy przesłanka reguły zawiera wyrazenie zawierajace funktor OR (|) :

Jezeli e1 | e2 to h ze stopniem pewnosci CF

to współczynnik pewnosci konkluzji h wyznaczany jest w nastepujacy sposób:

CF(h,e1|e2) = Maksimum{CF(e1),CF(e2)} ∗ CF(h)






W przypadku, gdy jedna hipoteza h jest konkluzja wiecej niz jednej reguły:Jezeli e1 to hJezeli e2 to h ?>=<89:;e1 //?>=<89:;h

?>=<89:;e2

EE��






?>=<89:;e1 //?>=<89:;h

?>=<89:;e2

EE��

CF(h,e1,e2) =

CF(h,e1) + CF(h,e2) − CF(h,e1) ∗ CF(h,e2) CF(h,e1),CF(h,e2) > 0CF(h,e1) + CF(h,e2) + CF(h,e1) ∗ CF(h,e2) CF(h,e1),CF(h,e2) < 0

CF(h,e1)+CF(h,e2)

1−min{(|CF(h,e1)|)(|CF(h,e2)|)} CF(h,e1) ∗ CF(h,e2) < 0






W przypadku połaczenia ”szeregowego” regułJezeli e1 to e2Jezeli e2 to hco mozna przedstawic graficznie:

?>=<89:;e1 // ?>=<89:;e2 //?>=<89:;h

obowiazuje nastepujacy wzór:

CF(h,e1) = CF(e2,e1) ∗ CF(h,e2)





Metoda współczynników pewnosci CF - Zalety

Prostota i łatwosc w interpretacji,

Powiazanie z najbardziej popularna reprezentacja wiedzy w postaci regułprodukcji,

Stosunkowo łatwe obliczenia nie obciazajace czasowo ani pamieciowo.





Metoda współczynników pewnosci CF -Wady

Mało stabilna podbudowa teoretyczna,

Bardzo luzny zwiazek z teoria prawdopodobienstwa,

Udowodniono wyrazne rozbieznosci pomiedzy wynikami wnioskowania czystoprobabilistycznego a w oparciu o model CF ,

Pojedynczy współczynnik CF jest zbyt słabym narzedziem do odwzorowaniawiedzy i niewiedzy. Wartosc CF = 0, moze oznaczac zarówno sytuacje w którejwspółczynniki wiarygodnosci i niewiarygodnosci maja wartosc równa zeru :MB(h,e) = MD(h,e) = 0, jak równiez sytuacje w której współczynniki te majajednakowe wartosci : MB(h,e) = MD(h,e) = 1 (CF jest równy róznicy tychwartosci).

Problem, gdy ekspert nie jest w stanie podac pojedynczej wartosci liczbowej, leczpowie raczej, ze w przypadku prawdziwosci okreslonej przesłanki dana regułabedzie prawdziwa na co jest szansa wahajaca sie od 40% do 60%. Wówczastrzeba dokonac decyzji o wyborze pojedynczej liczby (kres dolny lub górnyprzedziału).





Przykład modelu ze współczynnikiem CF

?>=<89:;e10.9 // ?>=<89:;e2

0.5 // ?>=<89:;e40.6 //?>=<89:;h

?>=<89:;e3

−0.2

@@�� ?>=<89:;e5

0.5

@@��

CF(e4,e1e2) = CF(e2,e1) ∗ CF(h,e2) = 0.9 ∗ 0.5 = 0.45

[email protected] // ?>=<89:;e4

0.6 //?>=<89:;h

?>=<89:;e3

−0.2

>>}}}}}}}}} ?>=<89:;e5

0.5

@@��

CF(e4,e1e2e3) =CF(e4,e1e2) + CF(e4,e3)

1 −min{(|CF(e4,e1e2)|), (|CF(e4,e3)|)}=

0.45 + (−0.2)

1 −min{(|0.45|), (| − 0.2|)}

=0.25

1 −min{0.45,0.2}=

0.251 − 0.2

=0.250.8

= 0.3125





Przykład modelu ze współczynnikiem CF

WVUTPQRSe1e2e30.3125 // ?>=<89:;e4

0.6 //?>=<89:;h

?>=<89:;e5

0.5

AA��

CF(h,e1e2e3e4) = CF(h,e4) ∗ CF(e4,e1e2e3) = 0.3125 ∗ 0.6 = 0.1875

gfed`abce1e2e3e40.1875 //?>=<89:;h

?>=<89:;e5

0.5

==zzzzzzzzzzz

CF(h,e1e2e3e4e5) = CF(h,e1e2e3e4) + CF(h,e5) − CF(h,e1e2e3e4) ∗ CF(h,e5)

= 0.1875 + 0.5 − 0.1875 ∗ 0.5 = 0.6875 − 0.1875 ∗ 0.5 = 0.5937

gfed`abce1e2e3e4e50.5937 //?>=<89:;h





Propagacja niepewnosci dla współczynników CF - baza zasilanie.bw

Załózmy, ze omawiana przez nas w całym podreczniku baza zasilanie.bw, przedstawimy z uzyciemwspółczynników pewnosci.if B and C then A with cf=0.7if B and D and E then A with cf=0.9if B and D and G then F with cf = 1.0if S then N with cf=0.4if T then N with cf=0.4if N and R then I with cf = 0.5if I and D then H with cf = 0.6if U then P with cf = 0.2if V then P with cf = 0.2if P and O then K with cf = 0.4if K and D then J with cf = 0.6if P and R then M with cf = 0.8

if M then L with cf = 0.6





Załózmy takze, ze znamy wartosci współczynników pewnosci niektórych faktów:

B with cf = 1C with cf = 1E with cf = 1D with cf = 0.5G with cf = 1S with cf = 1T with cf = 1R with cf = 1U with cf = 1V with cf = 1.





Przedstawimy teraz procedure propagacji niepewnosci w takiej bazie wiedzy dla wyzej wymienionych załozen.

if B and C then A with cf = 0.7if B and D and E then A with cf = 0.9

Dwie pierwsze reguły mozna przedstawic graficznie jako:

?>=<89:;BC0.7

��>>>>>

?>=<89:;A

GFED@ABCBDE

0.9

??��





Korzystajac z odpowiednich wzorów otrzymujemy nastepujaca wartosc współczynnikapewnosci hipotezy A :

CF(A ,BCorBDE) = CF(A ,BC) + CF(A ,BDE) − CF(A ,BC) ∗ CF(A ,BDE) =0.7 + 0.9 − 0.7 ∗ 0.9 = 1.6 − 0.63 = 0.97.

(B and C) or (B and D and E)0.97 // A





Jak widac, współczynnik pewnosci hipotezy A , która przypomnijmy odpowiadazdarzeniu:

co_zrobic = ”Zgłosić awarie w rejonie energetycznym”

jest wysoki i wynosi 0.97. Wynika to z faktu, ze hipoteza ta była konkluzja dwóch reguł w baziewiedzy, z których prawie wszystkie (prócz przesłanki D) przesłanki były prawdziwe, lecz konkluzjereguł były obarczone pewnym mniejszym niz 100% przekonaniem eksperta. Reguły 4, 5, 6 oraz 7da sie zobrazowac graficznie jako:

?>=<89:;S0.4

��:::::?>=<89:;D

?

%%KKKKKKKK

?>=<89:;N

? %%LLLLLLLL ?>=<89:;H

?>=<89:;T

0.4

AA�� 76540123I

?

BB��

?>=<89:;R

0.5

BB��





Z kolei propagacja współczynnika pewnosci hipotezy H:

co_zrobic = ”Kontrola bezpiecznika obwodu gniazdek”

przedstawia sie nastepujaco:

CF(N,SorT) = CF(N,S) + CF(N,T) − CF(N,S) ∗ CF(N,T) = 0.4 + 0.4 − 0.4 ∗ 0.4 =0.8 − 0.16 = 0.64 CF(I,NandR) = CF(I,N) ∗ CF(I,R) = 0.64 ∗ 1 = 0.64CF(H, IandD) = CF(H, I) ∗ CF(H,D) = 0.64 ∗ 0.5 = 0.032

(((S or T → N) and R)→ I) and D0.032 // H

Ostatecznie wartosc tego współczynnika jest dosc mała i wynosi 0.032. Wynika to zfaktu, ze przesłanki poszczególnych reguł prowadzacych do tej hipotezy byłyniepewne, a zatem finalnie i sama hipoteza obarczona została przez to mniejszymstopniem pewnosci.





Hipoteza J:

co_zrobic = ”Kontrola bezpiecznika obwodu świateł”

moze byc wykazana poprzez uaktywnienie kolejno reguł: 8, 9, 10 oraz 11.

?>=<89:;U0.2

��:::::?>=<89:;D

?

&&LLLLLLLLL

?>=<89:;P

? &&LLLLLLLLL ?>=<89:;J

?>=<89:;V0.2

AA�� ?>=<89:;K?

BB��

?>=<89:;O?

AA��





Propagacji współczynnika pewnosci dla tej hipotezy przedstawia sie nastepujaco:

CF(P,UorV) = CF(P,U) + CF(P,V) − CF(P,U) ∗ CF(P,V) = 0.2 + 0.2 − 0.2 ∗ 0.2 =0.4 − 0.04 = 0.36 CF(K ,PandO) = CF(K ,P) ∗ CF(K ,O) = 0.36 ∗ 0.8 = 0.288CF(J,KandD) = CF(J,K) ∗ CF(J,D) = 0.288 ∗ 0.5 = 0.0144

Wartosc 0.0144 jest niewatpliwie niska, na co z pewnoscia wpływ ma fakt, ze kazda zprzesłanek reguły była obarczona małym współczynnikiem pewnosci.





(((U or V → P) and O)→ K) and D0.0144 // J

Hipoteza L :

co_zrobic = ”Wszystko działa normalnie”

moze byc wykazana dzieki uaktywnieniu reguł 8, 9 a nastepnie 12 i 13.

?>=<89:;U0.2

��:::::

?>=<89:;P?

��;;;;;

?>=<89:;V

0.2AA�� ?>=<89:;M

?//?>=<89:;L

?>=<89:;R?

AA��





Obliczenia:

CF(M,PandR) = CF(M,P) ∗ CF(M,R) = 0.36 ∗ 1 = 0.36CF(L ,M) = CF(L) ∗ CF(M) = 0.36 ∗ 0.7 = 0.252

pozwalaja wnioskowac, ze współczynnik pewnosci hipotezy L wynosi 0.252.

((S or T → R) and P)→ M0.252 // L





Problemy ze współczynnikami pewnosci

Współczynniki pewnosci wnosza pewien problem w proces wnioskowania wwarunkach niepewnej wiedzy. Mianowicie, gdy liczba reguł wyprowadzajacych decyzjeh jest dosc duza, moze sie zdarzyc, ze nawet przy niskich wartosciach wszystkichwspółczynników CF (wazne zeby były to wartosci dodatnie), moze dazyc do wartoscimaksymalnej równiej 1. Np. gdybysmy mieli w naszej bazie wiedzy reguły postaci:if a then h with cf=0.1

if b then h with cf=0.1if c then h with cf=0.1if d then h with cf=0.1if e then h with cf=0.1





co da sie zobrazowac nastepujaco:

?>=<89:;a

0.1

��

?>=<89:;b

0.1

��<<<<<<<<

?>=<89:;c0.1 //?>=<89:;h

?>=<89:;d

0.1

AA��

?>=<89:;e

0.1

OO





Przetwarzanie wiedzy niepewnej - wybrane metody

W warunkach rzeczywistych czesto trudno jest arbitralnie stwierdzic, ze danakonkluzja jest pewna w stu procentach czy tez okreslic, ze dany fakt na pewnomiał miejsce.

Prowadzi to do koniecznosci uwzglednienia w metodach reprezentacji wiedzypewnego sposobu okreslania stopnia pewnosci informacji.

Osobnym zagadnieniem jest problematyka przetwarzania wiedzy niepełnej co niejest jednak tematem tego opracowania.





Przetwarzanie wiedzy niepewnej - przykład

Załózmy, ze zadaniem inzyniera wiedzy jest dobór własciwej reprezentacji wiedzy dlanastepujacego fragmentu wiedzy medycznej, która bedzie zapisana w bazie wiedzyprzyszłego systemu ekspertowego wspomagajacego diagnoze w przypadku choróbserca:

"Miazdzyca powoduje czesto zwezenie tetnic wiencowych. Prowadzi tozazwyczaj do zmniejszenia przepływu krwi w tych naczyniach, co mozewywołac niedotlenienie miesnia sercowego, zwłaszcza przy wysiłkufizycznym".

Zwraca uwage nieostrosc stwierdzen spowodowana stosowaniem przysłówków czesto,zazwyczaj, czy okresleniem moze powodowac. Wykorzystujac reprezentacje wiedzy wpostaci rachunku perceptów czy predykatów (czy np. reguł w postaci klauzul Horna bezwspółczynnika CF) inzynier wiedzy zmuszony byłby do przekształcenia powyzszegozdania do scisłej formy umozliwiajacej zastosowanie klarownych implikacji:

"Miazdzyca powoduje zwezenie tetnic wiencowych. Prowadzi to dozmniejszenia przepływu krwi w tych naczyniach, co wywołuje niedotlenieniemiesnia sercowego, zwłaszcza przy wysiłku fizycznym".






"Miazdzyca powoduje zwezenie tetnic wiencowych. Prowadzi to dozmniejszenia przepływu krwi w tych naczyniach, co wywołuje niedotlenieniemiesnia sercowego, zwłaszcza przy wysiłku fizycznym".

Niestety prowadzi to do znacznej radykalizacji prezentowanych stwierdzen orazpotencjalnych problemów z odwzorowaniem ostatniej czesci zdania. Najwazniejszawada jest uniemozliwienie przywiazania róznych wag do poszczególnych symptomów.Lekarz bowiem jest zainteresowany informacjami o duzo subtelniejszej naturze nizstwierdzenie, ze pacjent z miazdzyca ma niedotleniony miesien sercowy (co wydaje sieoczywiste lecz nie zawsze prawdziwe).






Kardiolog moze oczekiwac od przyszłego systemu ekspertowego, ze bedzie "umiałónodpowiedziec np. na pytania:

jaki ma wpływ wysiłek fizyczny na niedotlenienie miesnia sercowego u ludzi zjednakowo posunieta miazdzyca, wykonujacych wysiłek fizyczny o róznymnatezeniu?

w jakim stopniu człowiek u którego nie wystepuje niedotlenienie z powoduwysiłku, narazony jest na zwezenie tetnic z powodu miazdzycy?

Zauwazmy, ze kardiologa nie interesuje wyłacznie wystepowanie pewnej cechy(atrybutu) a głównie pewna miara np. czestosci czy stopnia wystepowania danej cechy.Powoduje to, ze nie mozemy ograniczyc sie do cech majacych charakterdwuwartosciowy (np. cecha wystepuje lub cecha nie wystepuje) lecz dokonac wpewien sposób dyskretyzacji wartosci danej cechy lub okreslic inny sposóbstopniowania natezenia w jakiej ona wystepuje.Istnieja rózne podejscia umozliwiajace odwzorowanie takiej wiedzy medycznej orazumozliwiajace realizacje procesu wnioskowania. Zwykle sa to metody numeryczne:probabilistyczne, wielowartosciowe, rozmyte czy wykorzystujace teorieDempstera-Shafera.






Pierwszym etapem automatyzacji przetwarzania informacji niepewnej jest ustaleniekonkretnej metody przydzielania i stopniowania niepewnosci informacji wchodzacych wskład bazy wiedzy. W potoczym okreslaniu niepewnosci uzywa sie pewnych arbitralnieprzyjetych okreslen, takich jak : prawdopodobny, mozliwy, konieczny, wiarygodny,czesty, zwykle spotykany itp.Okreslenia te w kazdej ze wspomnianych metod nabierajakonkretnego wymiaru, zwykle o przekonywujacej interpretacji matematycznej.Drugim etapem jest okreslenie metody wnioskowania uwzgledniajacej zagadnieniepropagacji niepewnosci informacji. Załózmy, ze do okreslenia stopnia pewnosci faktówjak i hipotez uzyjemy oszacowania procentowego. Jezeli u danego pacjenta lekarzstwierdzi miazdzyce pewna na 30% oraz wpływ miazdzycy na potencjalneniedotlenienie okresli wartoscia 40%, to hipoteza, ze pacjent ten ma niedotlenieniemiesnia sercowego, posiada pewien wynikowy stopien pewnosci bedacy wynikiem nietylko stopnia pewnosci implikacji lecz równiez stopnia pewnosci obserwacji, ze pacjentcierpi na miazdzyce.Mówi sie zatem o propagacji niepewnosci informacji, azagadnienia sposobu składowania i kumulowania niepewnosci w trakcie wnioskowaniasa przedmiotem sygnalizowanych metod modelowania wiedzy niepewnej.





Zadania z wiedzy niepewnej - sieci Bayes’a

W podanym nizej tekscie wystepuja pewne zaleznosci przyczynowo skutkowe opisaneliczbowo prawdopodobienstwami warunkowymi. Prosze podac zbiór CP takichprawdopodobienstwa warunkowych oraz narysowac graf przyczynowo-skutkowy. Czyotrzymany graf jest siecia Bayes’a - prosze uzasadnic odpowiedz.

Jezeli masz sporo pieniedzy, lubisz szybkie samochody i masz mała rodzineto stawiam 10 do 100, ze kupisz mały, czerwony, sportowy samochód. Alejesli masz sporo pieniedzy, lubisz szybkie samochody i masz sporo dzieci tokupisz na pewno kombi z mocnym silnikiem. Jezeli jestes na stanowiskukierowniczym i dbasz o prestiz to na 50 % kupisz sedana ze skórzanatapicerka. Jezeli potrzebujesz jedynie wygodnego, prostego samochodu tona pewno kupisz auto klasy kompaktowej. Jezeli jest ci wszystko jedno to na30 % kupisz malucha.





Sieci Bayes’a - RozwiazanieO - obserwacje: H - hipotezy:a - mała rodzina (mało dzieci) D - czerwony, sportowy samochódb - sporo pieniedzy G - kombic - lubic szybkie samochody I - sedan ze skórzana tapicerkae - spora rodzina (sporo dzieci) L - samochód kompaktowyf - stanowisko kierownicze M - maluchh - posiadany prestizj - chec wygodny i prostotyk - obojetnosc

Reprezentacja graficzna: CP = {P(D |a,b , c) = 0.1, P(G|b , c,e) = 1.0, P(I|f ,h) = 0.5, P(L |j) = 1.0, P(M|k) = 0.3}?>=<89:;a

------

?>=<89:;b

------0.1 // ?>=<89:;D

76540123c

��1.0 // ?>=<89:;G

?>=<89:;e

��

76540123f

------

0.5//76540123I

?>=<89:;h

��

?>=<89:;j1.0 //76540123I

?>=<89:;k0.3 // ?>=<89:;M

Jak widac graf jest skierowany

(dokładnie okreslone sa kierunki wnioskowania), jest on acykliczny (gdyz nie zawiera zadnych cykli), zatem jest on

siecia Bayesa. Agnieszka Nowak - Brzezinska Niepewnosc w wiedzy





O = {A ,B ,C ,D,E,G}H = {X ,Y ,Z ,F}CP = {P(A),P(B),P(D),P(E),P(F),P(G),P(D |B),P(X |A ,B),P(F |G),P(C |X),P(Y |C ,D,E),P(Z |C ,E),P(B |Z)}Rozwiazanie - reprezentacja graficzna:

��oo

76540123B //

��222276540123D

!!CCCCCC

//76540123X //76540123C

(((((((((//76540123Y

76540123A

FF��//76540123E

MMMMMMMM

=={{{{{{

76540123G //76540123F //76540123Z






Jak widac otrzymany graf jest skierowany, ale niestety jest cykliczny w drodzewnioskowania: ?>=<89:;B // ?>=<89:;X // ?>=<89:;C // ?>=<89:;Z // ?>=<89:;B

, w zwiazku z czym nie mozemy powiedziec, ze otrzymany graf jest sieciaBayesa.Widzimy tez pewien odłamek w grafie:

?>=<89:;G // ?>=<89:;F

, który jest czescia naszej sieci, ale nie powiazana w całoscia, jednak nie ma w definicjisieci Bayesa warunku, aby graf był spójny.





Podsumowanie

Warto zauwazyc, ze juz pierwsze, powstajace w latach 70-tych systemyekspertowe z niepewnoscia projektowano i implementowano jako systemyregułowe (MYCIN, ONCOCIN-OPAL). Od połowy lat 80-tych, uwaga projektantówskupia sie bardziej na metodzie reprezentowania wiedzy niepewnej w postaci sieciprzekonan (HEPAR, PROSTANET). Jak ostatnio pokazano, uzywane wsystemach regułowych współczynniki pewnosci sa w istocie blisko zwiazane zmodelem niepewnosci, stosowanym w sieciach przekonan.

Ze wzgledu na specyfike, kazda z metod sprawdza sie"w okreslonychzastosowaniach. I tak, w przypadkach, gdy wiedza dziedzinowa ma charakterprostych, liniowych zaleznosci przyczynowo-skutkowych, wygodne okazuja siesieci przekonan. Z kolei, w przypadkach, gdy wiedza ma charakter złozonychimplikacji, odzwierciedlajacych tok myslenia specjalistów w dziedzinie i wiazacychwieloparametrowa dana wejsciowa z wieloparametrowym wynikiem koncowym,lepiej sprawdzaja sie systemy regułowe.

w zastosowaniach medycznych, reprezentacja wiedzy w postaci sieci przekonandobrze zdaje egzamin w systemach diagnostycznych, zaa w postaci regułowej - wsystemach przeznaczonych do planowania i prognozowania skutków terapiifarmakologicznych.





Podsumowanie cd.

Implementacja systemu regułowego z niepewnoscia wymaga zastosowania narzedzisilniejszych niz logika zdaniowa. W szczególnosci, mozna ja przeprowadzic przyuzyciu:

logiki modalnej:fakt: mozliwe, ze Areguła: jesli (mozliwe, ze A ),to (konieczne, ze B i mozliwe, ze nie C)

zbiorów rozmytych:fakt: (A , prawie_pewne)reguła: jesli (A , watpliwe) to ((B, pewne) i (nie C, niewiadome))

stopni ufnosci:fakt:(A z prawdopod. 0.8)reguła: jesli (A z prawdop. 0.3), to (B z prawdop. 1.0 i nie C z prawdop. 0.5)





Podsumowanie cd.

W najczesciej stosowanej implementacji, niepewnosc wiedzy wyraza sie za pomocastopni ufnosci przypisywanych faktom i regułom. Przebieg i ostateczny rezultatwnioskowania zaleza tutaj zarówno od kształtu bazy wiedzy (dopuszczenieniezgodnosci pomiedzy konkluzjami reguł o podobnych przesłankach), algorytmurozstrzygania konfliktów w zbiorze reguł aktywnych, sposobu obliczania stopni ufnoscikonkluzji oraz przyjetej procedury wnioskowania.





Regułowe systemy ekspertowe w zastosowaniach medycznych

Systemy ekspertowe z niepewnoscia znajduja zastosowanie w wielu róznychobszarach. Jednym z najbardziej spektakularnych jest medycyna. Systemyekspertowe wykorzystuje sie w medycynie do wspomagania procesów diagnozowania,projektowania terapii farmakologicznych i stawiania prognoz dotyczacych postepówleczenia. Potrzeba operowania pojeciem niepewnosci wynika tutaj z szereguprzesłanek, miedzy innymi:

niepewnej wiedzy jednostkowej, na temat skali i czestotliwosci wystepowaniaposzczególnych symptomów choroby,

niepewnej wiedzy medycznej na temat skutków własciwych i ubocznych działaniaróznych srodków farmakologicznych.





Podsumowanie

Model współczynników pewnosci (Mycin) cieszy sie duza popularnoscia zewzgledu na naturalnosc tworzenia reguł obarczonych pewnym stopniem pewnoscireguły w rozumieniu eksperta dziedzinowego.

Duzym zainteresowaniem cieszyły sie takze tzw. sieci bayesowskie, które potrafiłygraficznie przedstawiac łaczny rozkład prawdopodobienstwa, bazujac na tzw.czestosci warunkowej. Metoda ta doczekała sie kilku metod efektywnegownioskowania z wykorzystaniem ich graficznej struktury. Opracowano tez szeregmetod odkrywania sieci bayesowskich z danych.

W powszechnym przekonaniu formalizm probabilistyczny nie jest w stanie wyrazicwielu form niepewnosci totez model ten podlegał ciagłym modyfikacjomwspierajac sie m.in. teoria zbiorów rozmytych, zbiorów przyblizonych czy chocbyteoria Dempstera-Shafera.

Ta ostatnia pozwalała w łatwy sposób reprezentowac ignorancje oraz cechowałasie spójnoscia z klasyczna teoria prawdopodobienstwa, zgodnoscia z logikaboolowska oraz stosunkowo niewielka złozonoscia obliczeniowa opracowanychmetod wnioskowania w tzw. strukturach hiperdrzew [?].





Znane medyczne systemy ekspertowe:

Oncocin - Stanford, lata 80-te; wspomaganie leczenia pacjentów z zaawansowanachoroba nowotworowa (chemioterapia); reprezentacja wiedzy w postaci zbiorureguł; uwzglednienie czynnika czasowego - decyzje uwarunkowane przebiegiemterapii w czasie;

VM - 1984, system diagnostyczny (m. in. monitorowanie pacjentów zniewydolnoscia oddechowa), z reprezentacja wiedzy wzorowana na systemieMYCIN, z dodatkowa mozliwoscia wnioskowan temporalnych; implementacjabezwzglednej skali czasowej;

MED2 - 1987, system diagnostyczny, z mozliwoscia reprezentacji czasuwzorowanej na VM; zamiast bezwzglednej skali czasowej uzywa czasówrelatywizowanych w stosunku do pewnego, poczatkowego punktu odniesienia.

HEPAR – system regułowy, przeznaczony do wspomagania diagnozowaniachorób watroby; system pracuje przy wykorzystaniu współczynników pewnosci; ztego powodu, konkluzje formułowane przez system okazuja sie czesto trudne dointerpretacji.





Jezyki i narzedzia do wspomagania tworzenia systemów ekspertowychz niepewnoscia

Zarówno w przeszłosci, jak i współczesnie projektuje sie i eksploatuje srodowiska dotworzenia gotowych systemów ekspertowych. Takie srodowiska nie tylko zapewniajasrodki dla formalnej reprezentacji wiedzy oraz mechanizmy do prowadzeniawnioskowan, lecz takze wspomagaja strukturalizacje wiedzy, oferuja gotowy interfejsuzytkownika, umozliwiaja tworzenie systemu objasniajacego i wspomagajaprojektowanie modułów TMS. Przykładami takich srodowisk sa EMYCIN orazSPHINX/PC-SHELL.Zamiast korzystac z gotowych srodowisk szkieletowych, do projektowania systemówekspertowych mozna stosowac specjalizowane jezyki programowania. Przykłademtakiego jezyka jest FuzzyCLIPS. Wymagajac znajomosci metodologii programowania,jezyki specjalizowane gwarantuja wieksze mozliwosci aplikacyjne i wiekszaelastycznosc systemów.Systemy ekspertowe mozna tez projektowac przy uzyciu wszelkich ”jezyków sztucznejinteligencji” (Lisp, Prolog, a nawet imperatywnych i obietowych (C, Pascal, Fortra, C++,Java).





literatura

Wierzbicki J., Augustyn G.Ł., Usuwanie szumu i zakłócen z wykorzystanieminteligentnych systemów wnioskowania rozmytego, AGH, Kraków,

Elektronika praktyczna, Układy rozmyte cz.1, Marzec 2000.

Elektronika praktyczna, Układy rozmyte cz.2, Kwiecien 2000.

Wróblewski J., http://www.jakubw.pl/zajecia/nai/naiarch/index.html,materiały dydaktyczne

http://http.cs.berkeley.edu/People/Faculty/Homepages/zadeh.html

http://www.cms.dmu.ac.uk/~rij/fuzzy.html

http://www.abo.fi/~rfuller/fuzs.html

http://www.ncrg.aston.ac.uk/NN/software.html

Mulawka J., Systemy Ekspertowe, WNT, Warszawa, Poland, 1996r.

Cholewa W., Pedrycz W., Systemy doradcze, skrypt Politechniki Slaskiej nr1447,Gliwice, Poland, 1987r.

Levesque H.J., Incompleteness in Knowledge Bases,Communications of theACM, Vol. 600 (1980) 150-152, Dept. of Computer Science, University of Toronto,Toronto, Ontario, 1980r.


http://www.jakubw.pl/zajecia/nai/naiarch/index.html

http://http.cs.berkeley.edu/People/Faculty/Homepages/zadeh.html

http://www.cms.dmu.ac.uk/~rij/fuzzy.html

http://www.abo.fi/~rfuller/fuzs.html

http://www.ncrg.aston.ac.uk/NN/software.html

niepewnos´c w wiedzy´ - uniwersytet Śląskizsi.tech.us.edu.pl/~nowak/se/wykladniepewna.pdfpodstaw...

Documents