nikolla perdhiku libër mësuesi matematika7 - albas.alalbas.al/udhezuesat/udhezues matematika...

Libër mësuesi

1

Libër mësuesi

7Matematika

Për klasën e 7-të të shkollës 9-vjeçare

Botime shkollore Albas

Nikolla Perdhiku

Libër mësuesi për tekstin “Matematika 7”

2

Botues:Latif AJRULLAIRita PETRO

Redaktore letrare:Vasilika DINI

Arti grafik:Emanuela LUMANI

© Albas, Tiranë 2008Të gjitha të drejtat janë të rezervuara

Shtëpia Botuese AlbasNë Tiranë: Rr. Budi, Pall. “Clasic Construction”, zyra nr. 2Tel/Fax: ++ 355 4 2379184e-mail: [email protected]ë Tetovë: Rr.Ilindenit, nr.105Tel: 044 344047e-mail: [email protected]ë Prishtinë: Rr.Eqrem Çabej, nr.47Tel: 038 5457139e-mail: [email protected]

Libër mësuesi

3

HYRJEZbatimi me sukses i programit të matematikës nuk mund të kuptohet pa rolin

shumë të rëndësishëm të mësuesit si përçues dhe transmetues i ideve të programit.Për t’iu ardhur në ndihmë mësuesve (veçanërisht mësuesve të rinj), po botojmë

këtë tekst ndihmës, që shoqëron tekstin e nxënësit dhe tekstin e ushtrimeve.Nuk duhet menduar se ky tekst do t’i shërbejë mësuesit për të bërë ditarin,

sepse ditari ka disa etapa të tjera që këtu nuk janë trajtuar. Po të shikohet me kujdes më shumë është trajtuar mënyra e zhvillimit të mësimit.

Për shumë tema, zhvillimi i mësimit mund të jetë trajtuar në më shumë se një faqe dhe mësuesi mund të mendojë se nuk do t’i premtojë koha. Nuk mendojmë se është kështu, se mësuesi nuk lexon, por shpjegon.

Mënyra se si është ndërtuar ora e mësimit në tekstin e nxënësit, i jep mundësi mësuesit për të përdorur metodat bashkëkohore të gërshetuar me metodat tradicionale (të cilat jepen dhe në këtë tekst).

Dihet se në matematikë një ushtrim mund të zgjidhet në disa mënyra. Për këtë në disa raste janë dhënë disa mënyra zgjidhjeje që në tekstin e nxënësit nuk janë.

Për tema të veçanta, si te tema 2.4 shumëzimet 2,3 · 4,5 dhe 34,06 · 20,08 janë dhënë dhe në një mënyrë tjetër që në tekst nuk është trajtuar.

Shpesh theksohet se tekstet janë të ngarkuara. Por ngarkesën mund ta bëjë dhe mësuesi. Për këtë në shumë tema theksohet se deri ku duhet të arrihet në dhënien e një koncepti. P.sh., te tema 3.4. nuk duhet kaluar te vërtetimi i vetisë së pikës ku priten mesoret e trekëndëshit, por vetëm të jepet kjo veti. Shumë koncepte në gjeometri duhet të mos shtjellohen, por të trajtohen si në tekst.

Sugjerojmë që shënimet KUJDES të shikohen me vëmendje.Në tekst janë bërë përpjekje që mësuesit të orientohen dhe nga puna e

diferencuar, duke rekomanduar dhe ushtrimet.Në tekst janë vendosur objektivat që rrjedhin nga programi si dhe objektivat minimale, mesatare dhe maksimale. Këto janë rekomandime dhe alternativa,

të cilat mësuesi mund t’i pasurojë, t’i ndryshojë ose të bëjë të tjera..Duke u nisur dhe nga udhëzimet e MASH-it në fund janë trajtuar dhe tri

module, të cilat do t’ju ndihmojnë që dhe ju të mund të trajtoni module të tjera.Në program është dhe përdorimi i makinave llogaritëse, por mendojmë se

përdorimi i tyre të jetë i kufizuar vetëm në rastet, kur kemi të bëjmë me numra shumë të mëdhenj. Një vend të rëndësishëm zënë dhe udhëzimet dhe për testet e kontrollit. Vendosja e pikëve dhe mënyra e korrigjimit kanë rendësi për eliminimin e subjektivizmit në vlerësim. Testet janë orientuese, mësuesi mund të hartojë të tjera sipas mendimit të tij.

Në këtë udhëzues janë vendosur dhe korrigjimet që duhen bërë, për gabime që janë vënë re në tekst.

Shënim: Plani analitik ndodhet në fund të tekstit.

Shpresojmë që ky tekst të mund t’ju ndihmojë për të arritur rezultate sa më të mira. Mirëpresim çdo sugjerim dhe vërejtje për të tri tekstet e Matematikës, të Shtëpisë Botuese ALBAS.

Autori


4

Zhvillimi i mësimit

a) Të lexojnë dhe të shkruajnë numrat dhjetorë duke përdorur kuptimin e vendvlerës. b) Të përcaktojnë pjesët e një numri dhjetor.

a) Të lexojnë numrat e plotë dhe dhjetorë.b) Të përcaktojnë vlerën e një shifre në një numër të plotë me pesë shifra dhe në një numër dhjetor deri në tri shifra pas presjes.c) Të përcaktojnë pjesën dhjetore dhe të plotë në një numër dhjetor.

a) Të përcaktojnë vlerën e një shifre në një numër dhjetor të çfarëdoshëm.b) Të përcaktojnë jo vetëm vlerën e një shifre në një numër por dhe të një grupi shifrash.

c) Të heqin zerot, që nuk ndryshojnë vlerën e numrit.

a) Të shkruajnë një numër kur ai jepet me një fjali matematike.

b) Të vendosin presjen në një numër, kur kërkohet që të përcaktohet vlera e një shifre të caktuar.

a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë frontalec) Një tabelë si e shembullit 1, faqe 9

Duke u nisur nga puna përgatitore mësuesi ngre tre nxënës në dërrasë për të shkruar llojet e numrave që kërkohen. Nëse mësuesi ka të dhëna për nxënësit nga klasa e gjashtë, ata që duhet të shkruajnë numrat të jenë nxënës mesatar dhe nën mesatar.

Nëse dikush e ka shkruar gabim, mësuesi i drejtohet klasës për ta korrigjuar. Por dhe nxënësit e tjerë punojnë në fletoret e klasës. Nëse mësuesi e shikon të

KREU ITema 1.1. NUMRAT DHJETORË. LEXIMI DHE SHKRIMI I TYRE. DUKE PËRDORUR KUPTIMIN E VENDVLERËS

Objektivat që dalin nga programi

Objektivat bazë (minimale)

Objektivat mesatare

Objektivat maksimale

Mjetet dhe baza materiale Metodat që do të përdoren

Libër mësuesi

5

arsyeshme mund të kërkojë dhe nga klasa disa numra.Mësimi është ndarë në katër çështje. Për çdo çështje ka shembuj dhe ushtrime. Në

të gjitha temat shembujt do të zhvillohen nga mësuesi kurse ushtrimet nga nxënësit.Këto janë çështje që janë zhvilluar dhe në klasën e gjashtë prandaj mësuesi

do të kërkojë që në trajtimin e temës të marrin pjesë dhe nxënësit.Kështu për çështjen e parë mësuesi shkruan në dërrasë dy numrat 321 dhe

3215. Kërkon nga klasë se çfarë përfaqëson shifra tre në të dy numrat. Përgjigjet do të jenë nga më të ndryshmet. Mësuesi do të pranojë përgjigjen e saktë duke e argumentuar atë. Pastaj zhvillon shembullin 1. Pas kësaj kërkon nga klasa përgjigjen për ushtrimin 1. Përgjigjja mund të jepet nga vendi. Mbas përfundimit të ushtrimit mësuesi sqaron se e njëjta shifër merr vlerë sipas vendit që zë në një numër. Kjo është e rëndësishme të thuhet.

Në çështjen e dytë mësuesi shkruan numri 32,432 dhe përcakton pjesën e plotë dhe pjesën dhjetore. Po kështu vepron dhe me shembullin 1 të kësaj çështjeje.

Klasa vihet në punë me ushtrimet 1 dhe 2.Mësuesi shkruan në dërrasë një numër të plotë dhe kërkon për të diskutuar së

bashku se mund të shkruhet si numër dhjetor. Përgjigjja mund të jetë po ose jo. Për ata që thonë Po, kërkohet si shkruhet. Por dhe nxënësit që kanë mendimin Jo duhen sqaruar se e kanë gabim. Por mund të priten dhe reagime, si: çfarë kuptimi ka 0 pas presjes. Nëse del ky problem mësuesi duhet të tregojë se ky numër ka zero të dhjeta. Ngrihet një nxënës në dërrasë për të punuar ushtrimin 3.

Çështja e tretë ka të bëjë me leximin e numrit. Me shembullin 1 duhet të punohet me kujdes sepse në përcaktimin e vlerave të shifrave merren dy raste: përcaktimi shifër për shifër por dhe me grupe shifrash. Të sqarohet se kur jepet me grup shifrash vlerën e përcakton shifra e fundit e grupit. P.sh.: numri 289,031.Me që 9 tregon se numri ka 9 njëshe atëherë grupi i shifrash 289 tregon se numri ka 289 njëshe.

Pastaj aktivizohen tre nxënës për të zgjidhur ushtrimin 1.Në çështjen e fundit ka dy momente: ai i të shkruarit të numrit dhe kur mund

të hiqet zerua nga numri pa ndryshuar vlerën e tij. Shembujt 1, 2 dhe 3 kanë të bëjnë me të shkruarit e numrit. Mendoj që mësuesi të mos e kalojë pa tërhequr vëmendjen për heqjen ose mos heqjen e zeros në një numër. Ushtrimi 2 (korrigjo nga 1 bëje 2) duhet të punohet me gojë nga nxënësit.

Përforcimi i mësimit mendoj të bëhet nëpërmjet ushtrimeve, që mund të jenë 2, 3, 8, faqe 10.

Detyrë shtëpie: mund të jepen ushtrimet 4, 6 dhe 10, faqe 10.


6

a) Të kthejnë pjesëtimin në thyesë dhe thyesën në pjesëtim.

a) Të shkruajnë pjesëtimin si thyesë kur pjesëtuesit janë numra të plotë.

a) Të kryejnë në dy mënyra ushtrime të trajtës (6 : 4) · 5b) Të shkruajnë pjesëtimin në formë thyese dhe anasjellas, kur pjesëtuesitjanë numra thyesorë.

a) Nëse ndërmjet thyesës dhe pjesëtimit është dhënë lidhja 33

611 6= ( ): : k , të

gjejnë vlerën e k.

a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimib) Libri i ushtrimeve

Dy pikat e para të punës përgatitore duhet të sqarohen mirë sepse ato do të ndihmojnë në lidhjen ndërmjet thyesës dhe pjesëtimit.

Nga pika e parë e punës përgatitore do të merret përgjigjja se ne kemi marrë

tri njësi thyesore të barabarta me 14

. Kurse e dyta tregon se numri 3 duhet

ndarë në katër pjesë të barabarta. Në mësim thuhet për mollë. Por mund të marrim dhe katër rripa letre të barabartë.

Marrim njërin e ndajmë në katër pjesë të barabarta dhe veçojmë tre prej tyre.

Këtu kemi sqaruar kuptimin e 34

.

Tre rripat e tjerë do t’i ndajmë në katër pjesë të barabarta. Pra do të formojmë gjithsej 12 pjesë (korrigjo e ke 3.4 duhet 3·4). Me 12 pjesët do të formojmë katër grupe. Vëmë re se do të formohen gjithsej katër grupe. Secili grup ka 3 pjesë nga ndarjet. Po të krahasohet një nga këto grupe me atë që fituam nga kuptimi

i thyesës 34

del se ato janë të barabarta. Pra del që:34

3 4= :


Tema 1.2. LIDHJA NDËRMJET THYESËS DHE PJESËTIMIT



Objektivat mesatare



Libër mësuesi

7

Nëse kjo që paraqitëm më lart do të kuptohet, atëherë shembujt 1, 2, 3 dhe

ushtrimet 1, 2 dhe 3 janë zbatim direkt i përfundimeve ab

a b= : dhe abcd

ab

cd

= :

Një moment mjaft i rëndësishëm është dhe shënimi KUJDES! Sepse shpesh gabohet kur shumëzohet me një numër për të marrë thyesa të barabarta.

Përforcimi të bëhet nëpërmjet ushtrimit 3, 5(a) dhe 6(a).

Detyrë shtëpie: Ushtrimet , 2, 5(b, e) dhe 6(b).Për punë të diferencuar të jepen 6(c, d).

Tema 1.3. NUMRAT DHJETORË PERIODIKË



Objektivat mesatare


a) Të përcaktojnë se cilët janë numra dhjetorë periodikë dhe si shkruhen ata.b) Të dallojnë numrat dhjetorë periodikë të thjeshtë dhe të përzier.c) Të dinë dhe të përcaktojnë pjesën e plotë, paraperiodën dhe periodën.d) Të përcaktojnë se, kur një thyesë kthehet në numër të plotë, numër dhjetor të fundmë dhe kur në numër dhjetor periodik.

a) Të pjesëtojnë numrat natyrorë me një dhe dy shifra.b) Të shkruajnë numrat dhjetorë periodikë.

a) Të përcaktojnë periodën dhe paraperiodën e një numri periodik.b) Të shkruajnë numra dhjetorë periodikë të thjeshtë dhe të përzier.

a) Të përcaktojnë, pa kryer pjesëtimin, se çfarë është herësi i dy numrave (i plotë, dhjetor i fundmë apo dhjetor periodik).


8

a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Diskutimit

Në punën përgatitore janë dhënë tri ushtrime. Më të rëndësishmit do të konsideroja të dytin dhe të tretin. Me anën e këtyre dy ushtrimeve mësuesi duhet të parapërgatitë nxënësit se ka numra dhe jashtë bashkësive që ata njohin. Duhet kaluar natyrshëm në çështjen e parë të mësimit se nga ndryshon herësi i numrit 2 me 5, nga herësi i numrit 2 me 3. Mbasi mësuesi ka zhvilluar shembujt 1, 2, 3dhe 4, kërkon nga nxënësit dallimet e pjesëtimeve te shembujt 1 dhe 2 (korrigjo e ke 26 duhet 261), nga pjesëtimet te shembujt 3 dhe 4, (këta shembuj i lë në dërrasë se do t’i përdorë më poshtë). Pasi merr përgjigjet nga nxënësit thekson se të parët i kemi quajtur numra dhjetorë. Të dytët me gjithë se janë dhjetorë kanë një ndryshim që pjesëtimi vazhdon dhe shifra pas presjes përsëritet.

Në këtë moment jep përkufizimin e numrave dhjetorë periodikë. Tregon si shënohen dhe si lexohen. Për çështjen e tretë shkruan në dërrasë numrat dhjetorë periodikë 45 7,

_dhe 2 4563,

__ (korrigjo e ke 2 4563,

_

duhet 2 4563,__

).Kërkon nga nxënësit që të tregojnë ndryshimin ndërmjet tyre, jo si numra të ndryshëm por si pjesë përbërëse të tyre. Mund të mos dilet atje ku kërkohet, atëherë mësuesi sqaron se të dy janë dhjetorë, te njëri ka shifra që përsëriten dhe te tjetri kemi dhe shifra që nuk përsëriten. Të parët quhen numra dhjetorë periodikë të thjeshtë dhe të dytët të përzier. Këtu mësuesi fut kuptimin e paraperiodës dhe të periodës.

Për të trajtuar çështjen e katërt, pra për të thënë se kur herësi i dy numrave është numër i plotë, dhjetor apo dhjetor periodik, mësuesi duhet t’u kthehet edhe njëherë shembujve 1, 2, 3 dhe 4. Për këtë nxënësve u drejton këtë pyetje: Çfarë numra janë i pjesëtueshmi me pjesëtuesin? Mund të marrë përgjigje tek, çift, me një apo me dy shifra. Por asnjë nga këto nuk është në atë që pret mësuesi. Nëse nuk merr përgjigjen, pyetjen e drejton të drejtpërdrejtë: janë primë? Mund ta marrë përgjigjen po. Këtë përgjigje e sqaron duke theksuar se pjesëtues të përbashkët kanë vetëm njëshin. Pasi ka marrë këtë përgjigje, klasës i drejtohet me pyetjen: te shembulli 1 dhe 2, secili emërues kë ka si pjesëtues të thjeshtë? Po te shembulli 3 dhe 4? Duke marrë përgjigjen që te 1 pjesëtues është 5, te 2 pjesëtues janë 2 dhe 5, kurse te 3 dhe 4 si pjesëtues i emëruesit del dhe 3, shprehen përfundimet e dhëna në çështjen e katërt. Para se të zhvillojë shembullin 1, mësuesi duhet të theksojë se: para se të japim përgjigjen se çfarë natyre ka herësi i dy numrave, thyesa duhet të jetë e pathjeshtueshme. Mbasi ka zhvilluar shembullin, 1 mësuesi diskuton me të gjithë klasën se 27 : 6 del numër dhjetor periodik apo jo. Përgjigjet duhet të jenë të argumentuara.



Libër mësuesi

9

Vë në punë të pavarur klasën me ushtrimet pas shembullit 1. Nëse ka kohë kërkon që të kryhen dhe pjesëtimet për të justifikuar përgjigjen. Gjithashtu kërkon nga nxënësit periodën dhe paraperiodën (nëse kanë). Këto do të shërbenin dhe si përforcim i mësimit.

Detyra shtëpie. Ushtrimet 2, 3, 4 dhe 7.

Tema 1.4. KTHIMI I NUMRAVE DHJETORË PERIODIKË NË NUMRA THYESORË




Objektivat mesatare



a) Të kthejnë numrat dhjetorë periodikë në thyesa.

Të shkruajnë si thyesa numrat dhjetorë periodikë të thjeshtë me periodë me një shifër.

Të shkruajnë si thyesë numrat dhjetorë periodikë të thjeshtë, kur perioda kamë tepër se një shifër.

Të shkruajnë si thyesë numrat dhjetorë periodikë të përzier, me çfarëdo periodë e paraperiodë.

a) Libri i nxënësit Diskutim, sidomos te çështja e katërt. b) Libri i ushtrimeve

Puna përgatitore ka si qëllim që nxënësit të kujtojnë nëpërmjet shembujve numrat dhjetorë dhe llojet e tyre, dhjetorë, dhjetorë periodikë të thjeshtë dhe të përzier. Të përforcojnë se cila quhet periodë dhe paraperiodë.

Të tre shembujt kanë ndryshime njëri nga tjetri. I pari është numër periodik i thjeshtë, i dyti numër dhjetor periodik i përzier por perioda dhe paraperioda janë me nga një shifër. I treti perioda dhe paraperioda kanë më shumë se një shifër. Algoritmi për t’i kthyer në thyesa është i njëjtë, ndryshimi është se me çfarë fuqie të dhjetës shumëzohen për të marrë dy numra që pjesën dhjetore ta kenë të njëjtë.


10

Të tre shembujt është e mira që të mos fshihen, por të jenë në dërrasë. Mbasi të ketë shpjeguar mirë të tre shembujt, një mësues i kujdesshëm mund

t’i përgatitë nxënësit për mënyrën e dytë të kthimit të numrit dhjetor periodik në thyesë. Konkretisht: në shembullin e parë mësuesi i drejtohet klasës: sa 9 ka emëruesi i thyesës (para thjeshtimit), po perioda sa shifra ka?

Në shembullin e dytë: sa 9 ka emëruesi i thyesës, po perioda sa shifra ka? Sa zero ka pas 9, po paraperioda sa shifra ka?

Në shembullin e tretë: sa 9 ka emëruesi i thyesës, po perioda sa shifra ka? Sa zero ka pas 9, po paraperioda sa shifra ka?

Me marrjen e përgjigjeve të sakta mësuesi drejton një pyetje të përbashkët: Ka ndonjë lidhje ndërmjet 9 dhe shifrave të periodës dhe 0 me shifrat e paraperiodës? Mendoj se nuk duhet konsideruar kjo si kryesorja e kësaj teme, prandaj dhe nuk është trajtuar këtu.

Për të bërë përforcimin nxënësit zhvillojnë në fletore ushtrimin 3(a, b) faqe 17.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1(a, c, f), 3(c, d, e), faqe 17. Për punë të diferencuar ushtrimin 4, faqe 17 (rëndësi në këtë ushtrim ka nxjerrja e konkluzionit, prandaj ushtrimi ka yll).

Tema 1.5. KTHIMI I NUMRAVE DHJETORË PERIODIKË NË NUMRA

THYESORË (VAZHDIM)



Objektivat mesatare



a) Të kthejnë numrat dhjetorë periodikë në thyesa.

a) Të shkruajnë si thyesa numrat dhjetorë periodikë të thjeshtë me periodë me një shifër sipas mënyrës së dytë.

Të shkruajnë si thyesë numrat dhjetorë periodikë të thjeshtë, kur perioda ka më tepër se një shifër, sipas mënyrës së dytë.

Të shkruajnë si thyesë numrat dhjetorë periodikë të përzier, me çfarëdo periodë e paraperiodë, sipas mënyrës së dytë.

a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë me grupe

Libër mësuesi

11


Dy ushtrimet e punës përgatitore janë për kthimin e herësit në numër dhjetor dhe anasjellas.

(Korrigjo e ke 34,7 duhet 34 7,__

).Mësuesi jep pa shumë sqarime mënyrën e dytë të kthimit të numrave periodikë në

thyesa. Mendoj se si sqarim mund të mjaftonte konkluzioni i dhënë një orë më parë.Mësuesi zhvillon të tre shembujt. Sqarimet që janë dhënë në çdo shembull

duhet të jepen me shumë kujdes nga mësuesi që nxënësit të arrijnë në përfundimin se kjo mënyrë është më e thjeshtë dhe më e shpejtë për kthimin e numrave dhjetorë periodikë në numra thyesorë, sepse eliminohen një apo dy shumëzime me fuqi të dhjetës. Kjo është e nevojshme të vihet në dukje.

Tek ushtrimet 1 dhe 2 kërkohet që numri 3 8,__

të kthehet në numër thyesor me të dy mënyrat. Mësuesi duhet të ngrejë në dërrasë dy nxënës mendoj të të njëjtit nivel, njëri të përdorë mënyrën e parë dhe tjetri të dytën. Po kështu klasa ndahet në dy grupe nga të cilët njëri të punojë më mënyrën e parë dhe tjetri me të dytën.

Gjatë punës do të dalë se mënyra e dytë është më e lehtë për të punuar.Kurse ushtrimi tre që ka dy numra duhet të punohen me mënyrën e dytë nga

nxënës të veçantë. Në fund mund t’u kërkohet që të sqarojnë teorikisht si veprohet për kthimin e

numrit dhjetor periodik në thyesë me mënyrën e dytë.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2 dhe 3, faqe 19. Për punë të diferencuar ushtrimi 4(ky vetëm për konkluzionin që kërkohet në pikën c).

Tema 1.6. PËRQINDJA DHE LIDHJA E SAJ ME NUMRIN DHJETOR



Objektivat mesatare

a) Të kthejnë përqindjen në thyesë.b) Të kthejnë thyesën në përqindje.

a) Të lexojnë %.b) Të kthejnë përqindjen në një thyesë dhjetore dhe anasjellas.

a) Të kthejnë në përqindje një numër dhjetor me dy shifra pas presjes.b) Të kthejnë në përqindje një thyesë kur emëruesi është një pjesëtues i 100.


12

Në punën përgatitore kërkohet që të përdoren simbolet për njëzet e tre përqind apo dyzet e pesë përqind. Gjithashtu të bëhet leximi i 23%, 41% dhe 0,5%. Nuk duhen shikuar si diçka e parëndësishme sepse nga nxënësit mund dhe të jenë harruar.

Nxënësi e njeh që nga klasa e gjashtë për të kthyer përqindjen në numër dhjetor, prandaj nxënësit të vihen në punë të pavarur për të zhvilluar ushtrimet 1, 2 dhe 3. Klasa të ndahet në tri grupe duke caktuar për secilin nga një ushtrim. Pastaj nga çdo grup të ngrihen nga tre nxënës për të punuar ushtrimet . Kjo krijon mundësinë për aktivizimin e një numri të madh nxënësish.

Për çështjen e dytë dhe të tretë mësuesi duhet që të pyesë nxënësit: si i kemi emërtuar thyesat e ushtrimit 3? Përgjigjja duhet të jetë: thyesa dhjetore. Pastaj sqaron: për të kthyer një thyesë në përqindje, emëruesi i saj duhet të jetë 100.I drejtohet përsëri klasës: kur një thyesë mund të kthehet në thyesë dhjetore? Përgjigjja duhet të jetë kur emëruesi është një pjesëtues i njëqindës. Pas kësaj zhvillon ushtrimet e çështjes së dytë.

15

1 205 20

20100

20= ⋅⋅

= = %

Mësuesi duke aktivizuar nxënësit sqaron si e përcaktuam 20 dhe ku mbështetemi që shumëzuam me 20 numëruesin dhe emëruesin.

Sqaron dhe mënyrën e dytë e cila do të ndihmojë për të kuptuar dhe çështje e tretë kur emëruesi nuk është pjesëtues i 100.

Pastaj ngre dy nxënës në dërrasë për të punuar ushtrimin 4.

Për çështjen e tretë merr thyesën 1316

dhe i drejtohet klasës: ka ndonjë numër

natyror që të shumëzohet me16 për të na dhënë 100? Përgjigjja do të jetë jo. I drejtohet përsëri klasës: po të kthehet në numër dhjetor mund ta paraqitim si përqindje? Nëse përgjigjja është jo, u thuhet shikoni ushtrimin dy që punuat pak më parë. Prandaj pjesëtojmë 13 me 16. Veprimet do t’i kryej mësuesi. Sqaron dhe rrumbullakimin që është bërë. Pastaj ngre dy nxënës për ushtrimin 5. Por mësuesi rikujton se herësi i dy numrave mund të dalë dhe numër dhjetor periodik.

a) Të kthejnë në përqindje një thyesë me emërues të çfarëdoshëm.b) Të rrumbullakojnë herësin e dy numrave dhe pastaj ta kthejnë atë në përqindje.



a) Libri i nxënësit. Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Puna me grupe


Libër mësuesi

13

Për këtë merr thyesën 23

dhe vepron si në libër. Në fund ngre një nxënës për të punuar ushtrimin 6.

Për të përforcuar mësimin të mos kërkohet për të thënë me fjalë rrugët që u përdorën për kthimin e thyesave në përqindje por mësuesi të ngrejë në dërrasë nxënës dhe të punojnë të parat e ushtrimeve 1, 2, 3 dhe 5.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 2, 3 (ato që nuk janë punuar) dhe ushtrimin 6.

Tema 1.7. USHTRIME

PËRDORIMI I PËRQINDJES NË SITUATA TË NDRYSHME



Objektivat mesatare



a) Të përdorin përqindjen në situata të ndryshme.

Të shkruajmë në përqindje marrëdhënien e pjesës me të tërën, në situata shumë të thjeshta.

Të shprehin në % një marrëdhënie midis pjesës dhe të tërës, por jo në situata të thjeshta, si: nëse klasa ka x nxënës, nga këta y janë djem. Gjeni sa është % e vajzave.

Të zgjidhin problema për të shprehur në % marrëdhënien e pjesës me të tërën por kur problema ka disa të dhëna dhe që duhet të përdoren dhe veprime të tjera algjebrike.

a) Libri i nxënësit Diskutim b) Libri i ushtrimeve Puna individuale


Në këtë orë mësimi duhet të sqarohet se nuk është si qëllim gjetja e përqindjes por shprehja në përqindje e madhësive të ndryshme.

Nëpërmjet këtyre ushtrimeve del qartë dhe lidhja që ekziston ndërmjet thyesës dhe përqindjes. Po kështu do të përdoret dhe kuptimi i thyesës.


14

Le të shohim problemën e zgjidhur. Mësuesi sqaron se skuadra ka shënuar 120 pikë, 30 nga këto i ka shënuar lojtari me numër 6. Mësuesi pyet klasën:

çfarë pjesë të pikëve ka shënuar lojtari me numër 6? Mund të merret përgjigjja e

saktë30

120. Nëse nuk merret kjo përgjigje, mësuesi drejton pyetjen tjetër: nëse

kemi një shirit dhe e kemi ndarë në 120 pjesë të barabarta dhe prej tyre marrim 30 çfarë pjesë të shiritit kemi marrë? Pas marrjes së përgjigjes së saktë mësuesi i drejtohet klasës: Si ta kthejmë në përqindje? Mund të marrë dy përgjigje:

1) Pjesëtojmë 30 me 120.

2) thjeshtojmë numëruesi dhe emëruesin dhe na del thyesa 14

.

Këtu mund të kryhet pjesëtimi ose e kthejmë 14

në thyesë dhjetore duke shumëzuar emëruesin dhe numëruesin me 25.

Mësuesi për të nxjerrë përfundimin përdor të dy mendimet e nxënësve dhe në fund del 25%.

Në këtë mënyrë veprohet dhe për të nxjerrë përqindjen e pikëve të realizuara nga lojtari me numër 8 dhe përqindjen e pikëve të realizuara nga lojtarët e tjerë.

Por pavarësisht se në tekst nuk është pasqyruar, mësuesi i drejtohet klasës me anën e pyetjes: si mund të veprohet ndryshe për të nxjerrë përqindjen e pikëve të realizuara nga lojtarët e tjerë kur kemi gjetur përqindjet e pikëve të realizuara nga lojtari me numër 6 dhe me numër 8?

Mendoj se mund të jepet përgjigjja e saktë: gjejmë shumën e përqindjeve të dy lojtarëve dhe nga 100% zbresim këtë shumë. Nëse nuk merr këtë përgjigje, mësuesi i drejtohet përsëri klasës: sa përqind bëjnë 120 pikët e realizuara? Përgjigjja: 100%. Sa përqind kanë realizuar dy lojtarë? 25% + 20% = 45%.

Sa përqind ngelen për të tjerët? 100% - 45% = 55%.Mësuesi vë në punë klasën duke punuar ushtrimin 3. Një prej nxënësve e

punon këtë ushtrim në dërrasë. Mësuesi në mënyra të vazhdueshme kontrollon punën e pavarur të nxënësve. Në fund nxënësi që ka punuar në dërrasë shpjegon zgjidhjen. Të tjerët e ndjekin duke kontrolluar dhe në fletore.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 3, 5, faqe 22.

Tema 1.8. PROBLEMA ME PËRQINDJE

Objektivat që dalin nga programi a) Të zgjidhin problema me përqindje, duke rikujtuar gjetjen e së tërës, kur jepet pjesa dhe anasjellas.

Libër mësuesi

15


Objektivat mesatare



a)Të zgjidhin problema të thjeshta me përqindje pa hartuar një plan zgjidhjeje.b)Të gjejnë përqindjen e një numri natyror.

a)Të zgjidhin problema me përqindje por që kanë disa të dhëna dhe të hartojnë planin e zgjidhjes së problemës.

a) Të zgjidhin problema me interes bankar, qofshin këto dhe në raste të përgjithshme.

a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimeve Punë të pavarur


Në këtë temë nuk kemi punë përgatitore por nxënësit duhet të rikujtojnë dy

formulat: gjetja e pjesës kur jepet e tëra dhe anasjellas. P T ab

= ⋅ dhe T P ba

= ⋅

Pjesa që duhet të gjejmë nga e tëra është sa ab

e së tërës. Por thyesa ab

përfaqëson dhe një përqindje, prandaj thekson mësuesi, nëse ab

kthehet në

përqindje, me anën e formulës PT ab

= ⋅ ne gjejmë pjesën kur jepet përqindja që

zë ajo tek e tëra. Me formulën T P ba

= ⋅ gjejmë të tërën kur jepet pjesa dhe

përqindja që zë ajo. Mësuesi duhet të sqarojë se po të jetë dhënë përqindja duke

e kthyer në thyesë ab

. Mbasi ka sqaruar mirë këto që thamë më lart mësuesi

fillon zgjidhjen e problemës.

Problema duhet lexuar me kujdes që të kuptohet së çfarë jepet dhe çfarë kërkohet.

Për këtë mësuesi mund t’u drejtohet nxënësve: Sa është numri i nxënësve të shkollës? Sa përqind zënë vajzat? Jepet e tëra dhe duhet gjetur pjesa apo jepet pjesa dhe duhet gjetur e tëra? Mbasi merr përgjigjet e duhura mësuesi sqaron se kjo problemë ka dy lloje kërkesash: vajzat jepen në përqindje dhe duhet gjetur numri i tyre dhe për djemtë do të gjendet numri dhe ai të shprehet në përqindje.

Problema duhet të zgjidhet si në tekst, bëhet pyetja dhe gjendet ajo që


16

kërkohet. Për gjetjen e përqindjes së djemve duhet të përdoren të dy mënyrat. Mënyra e dytë siç vihet re është e njëjtë me ushtrimet e temës 1.7.

Një nxënës në dërrasë duhet të punojë ushtrimin 1.Të veçantë paraqet ushtrimi 3. Gjej 30% të 20%. Këtu e tëra jepet në përqindje

dhe duhet të gjejmë pjesë, por dhe ab

jepet në %. Mendoj se dhe ky ushtrim duhet të punohet nga mësuesi.

Mësuesi i drejtohet klasës: Cila është e tëra? Përgjigjja duhet të jetë T = 20%. Kthejeni në numër këtë përqindje. Përgjigjja duhet të jetë 0,2.Sa përqind të këtij numri duhet të gjejmë? Përgjigjja: 30%

Kthejeni në thyesë. Përgjigjja duhet të jetëab

=30

1003

10=

Vazhdon mësuesi, me që duhet pjesa kur kemi të tërën shkruajmë:

P T ab

= ⋅ = ⋅

= ⋅

=

=

=

20 30

0 2 310

0 6106

1006

% %

,

,

%Mendoj se nxënësit të udhëhequr nga mësuesi duhet të zgjidhin dhe problemën

7 faqe 24.Gjatë zgjidhjes se kësaj probleme mësuesi duhet të sqarojë se 6% është

interesi që duhet të shlyejë qytetari çdo vit.Nxënësi shtron pyetjet për të zgjidhur problemin.

1) Sa lekë në vit është interesi?

2) Sa lekë duhet t’i shlyhen bankës pas pesëmbëdhjetë vjetësh, sipas interesit?

3) Sa lekë i detyrohet bankës gjithsej qytetari?Mbas çdo pyetje mund të jepet përgjigjja ose mbasi bëhet plani i zgjidhjes

kryhen veprimet.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 4, 5, për punë të diferencuar ushtrimi 8, faqe 23, 24.

Libër mësuesi

17

Tema 1.9. NUMËRORË QË TREGOJNË TË NJËJTËN SASI



Objektivat mesatare



a) Të gjejnë numërorë që tregojnë të njëjtën sasi, kur jepet kjo sasi.b) Të grupojnë numërorët që japin të njëjtën sasi, në një bashkësi me numërorë të ndryshëm.

Të shkruajnë numërorë që tregojnë të njëjtën sasi por me numërorë të plotë, duke përdorur vetëm një veprim.

Të shkruajnë numërorë që tregojnë të njëjtën sasi, por me çfarëdo numërorë racionalë, duke përdorur disa veprime.

Të grupojnë numërorët që tregojnë të njëjtën sasi kur ata janë dhënë së bashku.

a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimeve Punë e pavarur


Në punën përgatitore mësuesi ngre në dërrasë katër nxënës për të shkruar 8 si shumë dy numrash, diferencë dy numrash, prodhim dy numrash dhe herës dy numrash.

Duke u nisur nga kjo mësuesi e përgjithëson këtë rast edhe nëpërmjet materialit që trajtohet në çështjen e parë. Duke ju rikthyer vlerës së numrit, sipas vendndodhjes numri 2346 është paraqitur në trajtën:

2346 = 2·1000 + 3·100 + 4·10 + 6. Pra dhe ky është një numëror që paraqet të njëjtën vlerë me numrin 2346. Por me numrat jo të plotë si do të veprohet?

Para se të zhvillojë shembullin 1 mësuesi i drejtohet klasës: Cili është rregulli i shumëzimit për të marrë thyesa të barabarta? Po rregulli i pjesëtimit për të marrë përsëri thyesa të barabarta?

Si mund të shkruhet me ndihmën e dy thyesave: a bc+ ?

Këto janë disa rregulla për të marrë numërorë që tregojnë të njëjtën vlerë.


18

Mbas këtyre pyetjeve dhe marrjes se përgjigjeve, mësuesi zhvillon shembullin1.Çdo përfundim që nxjerr mësuesi duhet të bëjë sqarimin (si në tekst).

Për të përforcuar këto përfundime mësuesi ngre në dërrasë dy nxënës për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe 2.

Në çështjen e dytë trajtohet problemi si mund të grupojmë numërorët që tregojnë të njëjtën sasi kur i kemi në një bashkësi.

Mësuesi duhet të sqarojë se numërorët që tregojnë të njëjtën sasi janë të barabartë. Prandaj në këtë çështje duhet të kryhen veprime të cilat na çojnë në krahasimin e numrave. Rruga që ndiqet është që të kthehen në thyesa me emërues të njëjtë dhe pastaj shihen numëruesit.

Shembulli 1(çështja e dytë).Mbasi mësuesi i kthen në thyesa, duke sqaruar çdo veprim që kryen, kemi:

0 25 14

25 14

, ; %= = ; 26

13

14

0 3 13

= =; ; ,__

.

Atëherë numërorët 0,25; 25% dhe 14

paraqesin të njëjtën vlerë dhe numërorët 26

dhe 0 3,__

paraqesin të njëjtën vlerë.

Ushtrimi 3 ka dy bashkësi ku duhet të caktohen numërorët që paraqesin të njëjtën vlerë. Për këtë ngrihen në dërrasë dy nxënës kurse klasa vihet në punë duke u kontrolluar nga mësuesi. Mbas përfundimit, klasa kontrollon përfundimet me ato që kanë nxjerrë nxënësit në dërrasë.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 3, 8, 11(a, d) dhe 12.

Tema 1.10. TEST KONTROLLI

Testet që jepen janë variante por nëse do të ndërtoni të tjerë do të kini parasysh:a) Të vendosen ushtrime për të gjitha nivelet e nxënësve.b) Të nisemi nga parimi që ushtrimi që jepet të mund të jetë i zgjidhshëm nga

klasa, pra jo për të zënë nxënësit.c) Të vendosen ushtrime që do të duhen në temat që vinë më pas.d) Ushtrimet me disa kërkesa që përgjigjja e njërës varet nga tjetra të mos

jenë më shumë se dy.e) Ushtrimet me alternativa të kenë vetëm një përgjigje.f) Për ushtrimet që janë me zhvillim të kihet parasysh që vendosja e pikëve të

jetë e tillë që të mos ketë subjektivizëm gjatë kontrollit.

Libër mësuesi

19

g) Në vendosjen e pikëve të mos nisemi nga shkalla e vështirësisë por nga materiali teorik që zbatohet në ushtrim.

1. Çdo përgjigje e saktë për çdo shifër vlerësohet me një pikë. P.sh., nëse përcakton se numri ka 3 të dhjeta merr një pikë.

2. Përgjigja e saktë vlerësohet një pikë.3. Nëse a dhe b i zgjidh saktë i merr të dy pikët.4. Nëse a bëhet me një mënyrë merr 0,5 pikë, po e zgjidh në dy mënyra merr

2 pikë. Kështu dhe për b.5. Përgjigjja e saktë e a vlerësohet me një pikë; po kështu dhe e b.6. Përgjigjja e saktë e a vlerësohet me një pikë; po kështu b dhe c.7. Përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë.8. Përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë.9. Përgjigjja e saktë e çdo kërkese të ushtrimit vlerësohet me një pikë.10 Nëse ushtrimi zgjidhet me një mënyrë vlerësohet një pikë.11. Përgjigjja e saktë e çdo kërkese të ushtrimit vlerësohet me një pikë.12. Problema ka tri kërkesa, përgjigjja e saktë e çdo kërkese vlerësohet me

një pikë.

Varianti i dytë.

1. Çdo përgjigje e saktë për çdo kërkesë vlerësohet me një pikë. P.sh. nëse për të treguar 9 njëshe numrin e shkruan në trajtën 269,76 vlerësimi është një pikë.

2. Përgjigjja e saktë vlerësohet një pikë.3. Nëse a dhe b i zgjidh saktë i merr të dy pikët.4. Përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë.5. Përgjigjja e saktë e a vlerësohet me një pikë; po kështu e b dhe e c.6. Përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë.7. Përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë.8. Përgjigjja e saktë e çdo kërkese të ushtrimit vlerësohet me një pikë.9. Nëse ushtrimi zgjidhet me një mënyrë vlerësohet një pikë.10. Përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë.11. Nëse gjen vetëm përqindjen e vajzave vlerësohet me një pikë. Nëse gjen

edhe numrin e vajzave vlerësohet me dy pikë. 12. Nëse gjen se sa i shtohen nga interesi merr një pikë, po të gjejë dhe sa

tërhoqi pas një viti i shtohet dhe një pikë tjetër, po gjeti dhe se sa i mbetën vlerësohet me tri pikë.


20

Tema 1.11. BOSHTI NUMERIK DHE NUMRAT ME SHENJË



Objektivat mesatare



a) Të përkufizojnë saktësisht boshtin numerik.b) Të vendosin në boshtin numerik numrat racionalë.c) Të përcaktojnë nëse dy numra janë apo jo të kundërt.

Të vendosin në boshtin numerik numrat e plotë.Të përcaktojnë në bosht pikat që tregojnë numra të kundërt (të plotë).

Të përcaktojnë në boshtin numerik pikat që tregojnë thyesa të ndënënjësishme ( a

bku a < b )

Të përcaktojnë në boshtin numerik pikat që tregojnë thyesa të mbinjësishme ( a

bku a > b )

dhe numra dhjetorë periodikë.

a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve


Në fillim të rikujtojmë. Për këtë mësuesi u drejtohet nxënësve për të ndërtuar në dërrasë boshtin numerik dhe nëse është e mundur për ta përkufizuar atë. Nëse jo me të filluar çështjen e parë e përkufizon atë. Kur mendon se nxënësit janë në gjendje ta përkufizojnë mësuesi pyet disa nxënës, në fillim të mirët dhe pastaj të dobëtit. Pasi ka ndërtuar në dërrasë boshtin që është në libër, shpjegon se ndarjet janë bërë sipas njësisë së zgjedhur, të cilën e ndërton dhe atë. Pastaj pyet: sa njësi është OA? Përgjigjja: një njësi. Prandaj pranë A në kllapa vendosim numrin 1[A(1)]. Po OB, sa njësi është? Mund të merren dy përgjigje: 1 ose 2. Pse mund të jepet 1, sepse ne thamë që ndarjet janë nga një njësi dhe nxënësi nuk thellohet se AB është një njësi. Mësuesi duhet të sqarojë pse është 2 dhe jo 1. Vendos pas

Libër mësuesi

21

B numrin 2. Kështu veprohet dhe për pikat e tjera që janë në të djathtë të O.Vazhdojmë me pikën A1. Pyet klasën: sa njësi është OA1. Përgjigje: një njësi. Por për të dalluar pikën në të djathtë me pikën në të majtë që për të dyja, OA dhe OA1 është një njësi, te pika në të majtë vendosim një – (minus) pranë numrit. Pra pranë A1 vendosim – 1[A1(- 1)]. Kështu veprohet dhe për pikat e tjera në të majtë të origjinës. Para se të fillohet çështja e dytë theksohet se ku paraqiten në boshtin numerik numrat pozitivë dhe ku numrat negativë në lidhje me origjinën.Në çështjen e dytë jepet përkufizimi i numrave të kundërt duke i vendosur ata në boshtin numerik.Mësuesi diskuton me klasën: 7 kë ka të kundërt? – 2,4 kë ka të kundërt? – 3është i kundërt i treshit? – 8 ka të kundërt 8? Pavarësisht se bëhet fjalë për numrat e kundërt, pyetjet janë të ndryshme.Pastaj ngrihen në dërrasë njëri pas tjetrit katër nxënës për të dhënë përgjigje për ushtrimin 1.Mbas ushtrimit mësuesi i drejtohet klasës: çfarë numra janë këta që kemi paraqitur deri tani në bosht? Përgjigjja do të jetë: të plotë. Përsëri i drejtohet klasës: njohim numra të tjerë dhe cilët janë? Përgjigjja do të jetë Po dhe mjaft nxënës do të përmendin numrat thyesorë, dhjetorë dhe dhjetorë periodikë. Por si do të veprojmë dhe për këta numra që t’i vendosim në bosht? Për këtë mësuesi punon me shumë kujdes shembullin 1, 2 dhe 3. Të punohen të tre se kanë natyra të ndryshme, njëri është pozitiv më i vogël se 1, tjetri është pozitiv thyesor më i madh se 1, dhe tjetri është dhjetor periodik.Kujdes! Në shembujt thuhet që njësinë e ndajmë në pjesë të barabarta. Mos bëni përpjekje për t’ua ndarë në pjesë të barabarta se duhet teorema e TALETIT (që bëhet më vonë), por mjafton t’u thuhet se ndahet në pjesë të barabarta, aq sa tregon emëruesi. Mbas shembujve mësuesi duhet të ndalet te rubrika Sipërfundim 1 dhe 2. Secila ka rëndësinë e vet sepse tani themi që çdo numër i plotë, thyesor, dhjetor dhe dhjetor periodik paraqet një pikë në bosht, por jo çdo pikë në bosht përcakton një numër të plotë, thyesor, dhjetor, dhjetor periodik (do të themi po më vonë).Para përforcimit të mësimit punohet ushtrimi 2.Në përforcim duhet të kërkohet: ● Përkufizimi i boshtit numerik.● Përkufizimi i numrave të kundërt. ● Ku janë të vendosur numrat pozitivë dhe negativë në bosht në lidhje me O.● Si veprohet për të vendosur në bosht numrat e tjerë racionalë.

Detyra shtëpie: Ushtrimet 3, 6 dhe 7, faqe 29.


22

Tema 1.12. KRAHASIMI I NUMRAVE ME SHENJË



Objektivat mesatare



a) Të krahasojnë numrat a dhe b duke u nisur nga shenja e ndryshesës a – b.

Të krahasojnë numrat e plotë dhe thyesorë duke u nisur nga vendi që zënë në boshtin numerik.

Të krahasojnë numrat thyesorë pozitivë dhe negativë jo nëpërmjet vendit që zënë në boshtin numerik.

Të krahasojnë numrat racionalë duke u nisur nga diferenca a – b.



Në punën përgatitore kërkohet të krahasohen numrat e plotë.Në çështjen e parë sqarohen mënyrat e krahasimit të numrave: nga distanca

e pikave që përcaktojnë numrat nga origjina si dhe me anën e diferencës duke i konsideruar si numra pa shenjë, diferenca e dy numrave natyrorë. Zgjidhen nga mësuesi shembujt 1, 2 dhe 3. Por në çdo shembull kërkohet të gjendet dhe diferenca ndërmjet dy numrave, pa sqaruar përse bëhet. Mbasi të jenë trajtuar shembujt mësuesi sqaron: në shembullin e parë 5 është më e vogël se 7, kurse

diferenca 5 – 7 është negative.

Në shembullin e dytë 25

doli më e vogël se 12

, diferenca 25

- 12

doli përsëri

negative. Në shembulli e tretë – 3 doli më i madh se – 5, kurse diferenca – 3 – (- 5)

doli pozitive. Duke u nisur nga këta shembuj mësuesi kërkon nga klasa të arrijë në ndonjë konkluzion. Me përgjigjen po ose jo është kaluar në çështjen e tretë të mësimit. Mësuesi me shumë rigorozitet jep tri përkufizimet me anën e të cilave do të krahasohen numrat. Të sqarojë se këto përkufizime kanë dhe të anasjellë pavarësisht se nuk janë dhënë, pasi ato u takojnë mosbarazimeve.

Duke shfrytëzuar këto përkufizime mësuesi zhvillon shembujt 1 dhe 2. Ushtrimet

Libër mësuesi

23

i punon me kujdes. Në shembullin 2 të kihet më shumë kujdes në disa etapa: gjetja e diferencës së thyesave, gjetja e emëruesit të përbashkët dhe shuma e dy numrave me shenjë.

Klasa vihet në punë për të punuar ushtrimin që vjen pas shembujve. Nxënësit me nivel të mirë punojnë nga ushtrimi të krahasohen – 2,6 me2 6,

__. Pas përfundimit

ky ushtrim duhet diskutuar dhe në dërrasë.Si përforcim duhet kërkuar të formulohen saktë tri përkufizimet e çështjes së tretë.

Detyra shtëpie: Ushtrimet 2, 3, 5 dhe 7 faqe 32.

Tema 1.13. BASHKËSITË NUMERIKE



Objektivat mesatare



a) Të njohin dhe të përdorin simbolet ∈ ∉ ⊂ ⊄, , ,

b) Të përkufizojnë saktësisht kur B është nënbashkësi e A. c) Të formojnë nënbashkësi të një bashkësie.

Të shkruajnë simbolet e bashkësive të numrave natyrorë, të plotë dhe racionalë,duke shkruar disa elemente të tyre.Të shkruajnë simbolet që një element bën apo jo pjesë në një bashkësi ose simboli i përfshirjes.

Të përshkruajnë simbolet ∈ ∉ ⊂ ⊄, , , dhe të përcaktojnë dallimet ndërmjet tyre.

Të përshkruajnë tabelën me diagramet e Venit.

a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë frontalec) Tabela me bashkësitë të dhëna mediagramet e Venit


24

(Korrigjo tek ushtrimi 6, rretho shënimin e saktë është Z Q⊂ duhet Z Q⊄ )Nxënësit janë njohur me dy bashkësi numerike. Për këtë kërkohet simboli me të cilin

shënohet një bashkësi, shkronja që përdoret për bashkësinë e numrave natyrorë dhe bashkësinë e numrave të plotë. Nga nxënësit kërkohet që të japin nga një element për secilën bashkësi dhe simbolin që tregon nëse bën apo jo pjesë në bashkësi. Të insistohet në simbolet sepse në këtë temë do të marrim dhe dy simbole të tjera.

Çështja e parë fillon me dhënien e një bashkësie të re që është bashkësia e numrave racionalë. Zgjerimi i bashkësisë së numrave duhet të vija natyrshëm. Nxënësve duhet t’u rikujtohen numrat thyesorë, dhjetorë dhe dhjetorë periodikë, për të cilët nuk mund të përdorim simbolet që përdorim për numrat natyrorë dhe të plotë. Prandaj këta numra bëjnë pjesë në një bashkësi të re që shënohet me Q dhe quhen numra racionalë. Por nxënësve u drejtohet një pyetje që u është drejtuar dhe më parë: Çdo numër i plotë mund të shkruhet si thyesë? P.sh.: numri 5. Përgjigjja do të jetë Po. Thyesa mund të jetë jo e njëjtë me atë të tekstit. Por përgjigjja do të thotë se numrat e plotë janë numra thyesorë. Ushtrimi 1 zhvillohet frontalisht, duke kërkuar për çdo numër natyror të dhënë si thyesë në disa mënyra. Më pas punon mësuesi, shkruan në formë thyese numrin e plotë – 13. Punon

frontalisht me klasën ushtrimin 2. Mësuesi bën përgjithësimin për të kthyer një

numër të plotë në thyesë. Nëse a është numër i plotë atëherë në thyesë shkruhet: a nn⋅ ku n është numër natyror.

Figurën e tekstit mësuesi duhet ta ketë përgatitur, sepse ajo do të shërbejë dhe për nënbashkësitë.

Shembulli 1 shërben për të rikujtuar simbolet duke pasur parasysh dhe figurën. Për të nxjerrë kuptimin e nënbashkësisë do të përdoret bashkësia A dhe B që janë marrë te çështja e dytë. Duke sqaruar mirë atë që plotësojnë elementet e B në lidhje me bashkësinë A ka mundësi që përkufizimi i nënbashkësisë të nxirret nga vetë nxënësit. Në rast të kundër jepet nga mësuesi. Duke u nisur nga figura që tregon (vendosjen e bashkësive të numrave racionalë, të plotë dhe natyrorë, mësuesi pyet nxënësit se cila është nënbashkësi e tjetrës.

Dy shënimet KUJDES të sqarohen nga mësuesi. Simbolet ∈, ⊂ mund të lexohen bën pjesë; por i pari për një element të bashkësisë dhe i dyti për një nënbashkësi.

Po kështu dhe për simbolet ∉dhe ⊄ .Punohen shembujt 2 dhe 3. Me nxënësit punohet frontalisht ushtrimi pas shembullit 3.Përforcimi duhet të konsistojë në përkufizimin e nënbashkësisë si dhe simbolet

∈, ⊂ , ∉dhe ⊄ .

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 5 dhe 7, faqe 34.


Libër mësuesi

25

Tema 1.14. FUQIA E NJË NUMRI ME EKSPONENT NATYROR



Objektivat mesatare



a) Të përkufizojnë saktësisht fuqinë e një numri a. b) Të përcaktojnë bazën dhe eksponentin kur jepet fuqia. c) Të kthejnë prodhimin në fuqi dhe fuqinë në prodhim.

Të shkruajnë si fuqi një prodhim faktorësh të barabartë dhe anasjellas.Të caktojnë bazën dhe eksponentin e fuqisë.Të lexojnë një fuqi.

Të shkruajnë në formë fuqie prodhimet e trajtave (-a)· a·a·a·a.

Të shkruajnë në formë fuqie prodhimin e disa numrave dhjetorë periodikë dhe pastaj baza e fuqisë të kthehet në thyesë.

Të interpretojë pse nuk është i vërtetë

barazimi: ab

ab

n n

=

a) Libri i mësuesit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve


Në punën përgatitore mësuesi do të kërkojë që nxënësit të gjejnë prodhimin e disa faktorëve të barabartë. Kjo ka rëndësi sepse dhe kur të japim simbolin e fuqisë, vlerën do ta gjejmë përsëri duke shumëzuar faktorë të barabartë.

Në çështjen e parë mësuesi merr prodhimin 2·2·2. Këtë prodhim do ta shkruajmë në një trajtë tjetër 23. Këtë do ta quajmë fuqi. Pra kemi një numëror që ka të njëjtën vlerë me numërorin 2·2·2.

Mbasi shkruan dhe fuqitë e tjera që janë në libër, mësuesi jep në mënyrë rigoroze përkufizimin e një fuqie me bazë a dhe eksponent n. Patjetër duhet të sqarohen dhe të insistohet për ato që janë mbas përkufizimit, sepse nxënësi


26

duhet të dijë dhe pjesët e një fuqie. Rëndësi duhet t’i kushtojë dhe leximit, sepse vihet re që nxënësit nuk dinë të lexojnë një fuqi.

Thuhet se n është një numër natyror i ndryshëm nga 1. Po nëse e marrim n = 1,mund të pyesë një nxënës: sa është a1? Kjo pyetje është e drejtë se përkufizimi e përjashton. Mësuesi thekson se me marrëveshje a1 do të merret e barabartë me a. Nuk duhet bërë interpretim i tepër se mund ta ndërlikojë problemin.

Të katër shembujt duhet të punohen nga mësuesi, sepse 1 dhe 2 kanë të njëjtë kërkesë, por kanë natyra të ndryshme me 3 (korrigjo: është 2 43,

_duhet

2 43,___

) dhe 4. Te 1 dhe 2 kërkohet të shkruhet në formë fuqie duke përcaktuar bazën dhe eksponentin e fuqisë. Të mos neglizhohet asnjë kërkesë. Te 3 jepet baza dhe eksponenti, kërkohet të shkruhet fuqia. Shembulli 4 kërkon llogaritjen e fuqisë. Pra do të kthehet fuqia në prodhim faktorësh dhe të llogaritet ky prodhim. Pra u kthyem në ushtrimet e punës përgatitore.

Çështja e dytë ka të bëjë me ushtrime që do të zgjidhen nga nxënësit duke pasur parasysh shembujt 1, 2, 3 dhe 4.

Në fund keni shënimin KUJDES! Janë tri shënime që mësuesi duhet të tërheqë vëmendjen e nxënësve, sepse eksperienca tregon se këto gabime bëhen. Përveç atyre situatave, mësuesi mund të krijojë dhe të tjera. Mësuesi mund të sqarojë një prej tyre.

P.sh., të tretën 23

23

2 2

≠

sepse: 23

2 23

2

= ⋅ (se në bazë të përkufizimit të

fuqisë 22 është 2·2) = 43

23

23

23

2

= ⋅ (në bazë të përkufizimit të fuqisë) = 2 23 3

⋅⋅

(nga shumëzimi i

thyesave) =49

. Duket qartë se janë të ndryshme.

Në përforcimin teorik, sepse praktike ishin ushtrimet e çështjes së dytë, mësuesi kërkon përkufizimin e fuqisë dhe përcaktimin e pjesëve të saj.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 3, 4 dhe 6. Për punë të diferencuar ushtrimi 7, faqe 37.

Libër mësuesi

27

Tema 1.15. RAPORTI DHE VETITË E TIJ



Objektivat mesatare



a) Të përcaktojnë kufizat e një raporti.b) Të shkruajnë në formë raporti një pjesëtim (a:b).c) Të formulojnë vetitë e raporteve dhe të vërtetojnë njërin prej tyre.

Të shkruajnë një raport kur jepen dy numra.Të përcaktojnë në një raport kufizën paraardhëse dhe pasardhëse.

Të formulojnë disa veti të raporteve dhe t’i zbatojë ato në ushtrime dhe problema të ndryshme.Të përcaktojnë kufizat paraardhëse dhe pasardhëse kur ato janë numra të çfarëdoshëm racionalë.

Të vërtetojnë vetitë e raporteve.Të zgjidhin problema që kanë të bëjnë me raportet.



Në punën përgatitore mësuesi në fillim duhet të kërkojë pjesë të së tërës dhe pastaj të formojë raporte. Me këto lloje raportesh nxënësi njihet që në klasë të gjashtë.

Por në çështjen e parë të kësaj teme nxënësit do të njihen dhe me raporte kur pjesët nuk kanë lidhje njëra me tjetrën.

Mbasi ta ketë lexuar mirë problemën e shembullit 1, mësuesi duhet të sqarojë mirë atë që kërkohet. Pra duhet gjetur se sa banorë mund të vendosen në 1km2.Mbasi shtron pyetjen, e cila dhe në libër është e sqaruar mirë, mësuesi kryen pjesëtimin që del 114. Thekson se me këtë përfundim ne do të kuptojmë se 114

banorë vendosen në 1km2, që shkruhet 114:1. Nga lidhja e pjesëtimit me thyesën

kemi: 1141

. Por këtë shënim e kemi quajtur raport. Mësuesi nxjerr përfundimin


28

se popullsia me sipërfaqen qëndron në raportin 1141

. Pastaj i drejtohet klasës:

3200000 banorë me 28000 m2 janë pjesë të së tërës? Përgjigjja është jo.

Si përfundim formohen dhe raporte të madhësive që nuk janë pjesë të së tërës.

Pasi të ketë dhënë emërtimet për a dhe b, në raportin ab

diskuton me nxënësit dy pyetjet që jepen para çështjes së dytë.Në çështjen e dytë jepen vetitë e raporteve. Kërkohet vërtetësia e barazimit

ab

k ak b

= ⋅⋅

oseab

a kb k

= ::

Vërtetësinë e tyre mësuesi duhet ta diskutojë me klasën. Nëse nuk ka përgjigje, klasës i drejtohet kjo pyetje: çfarë emërtimi tjetër kanë raportet

ab

k ak b

; ⋅⋅

? Përgjigjja duhet të jetë: thyesa. Vazhdohet: si është marrë e dyta nga

e para? Përgjigjja: e dyta është marrë nga e para duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me një numër k ≠ 0 . Atëherë, çfarë mund të themi? Nga nxënësit duhet të pritet përgjigjja se me këtë veprim fitojmë thyesa të barabarta, duke pasur parasysh rregullën e shumëzimit për të marrë thyesa të barabarta. Prandaj ka vend barazimi.

Me vërtetimin e vetisë: nëse ab

cd

ef

= = atëherë a c eb d f

ab

cd

ef

+ ++ +

= = =

Nxënësit do të mësojnë se vërtetime nuk ka vetëm në gjeometri. Prandaj mësuesi duhet ta shpjegojë me rigorozitet dhe duke argumentuar çdo kalim. Nga nxënës shumë të mirë mund të kërkohet dhe formulimi i kësaj vetie. Ky formulim është: raporti që ka si kufizë paraardhëse shumën e kufizave paraardhëse dhe si kufizë pasardhëse shumën e kufizave pasardhëse të disa raporteve të barabartë është i barabartë me secilin raport. (Korrigjo te barazimi a + c + e = k·b + k·d + k·f, zbatojmë vetinë e përdasimit duhet faktorizimi).

Çështja e tretë ka dy shembuj që kanë të bëjnë me formimin e raporteve kur jepen kufizat paraardhëse dhe kufizat pasardhëse dhe anasjellas. Mbas tyre mësuesi duhet të ngrejë nxënës në dërrasë për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe 2.Pavarësisht se janë të thjeshta, duhet t’u kushtohet rëndësia e duhur. Ky do të jetë dhe përforcimi praktik i mësimit. Për përforcimin teorik duhen kërkuar vetitë, të formuluara me fjalë nga masa e klasës, por:

ab

k ak b

= ⋅⋅

;ab

a kb k

= ::

;ab

ba

⋅ = 1;a c eb d f

ab

cd

ef

+ ++ +

= = = .

Nga nxënësit shumë të mirë mund të kërkohet dhe formulimi i vetive me fjalë.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 2, 5 dhe 8, faqe 39.

Libër mësuesi

29

Tema 1.16. USHTRIME



Objektivat mesatare



a) Të zbatojnë në situata të ndryshme vetitë e raporteve.

Të zgjidhin problema të thjeshta me një deri në dy veprime.

Të zgjidhin problema kur një ose disa madhësi pjesë të së tërës janë të lidhura me anën e raporteve.Të hartojnë pjesërisht planin e zgjidhjes së problemës.

Të zgjidhin problema me disa veprime kur e tëra dhe pjesë të së tërës janë të lidhura me anën e raporteve.Të hartojnë saktësisht planin e problemës.

a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri ushtrimeve Punë e pavarur

Zhvillimi i mësimitNë libër janë dy problema të zgjidhura. Duhet që të dyja të zgjidhen nga mësuesi.Në problemën e parë jepet e tëra dhe raporti ndërmjet dy pjesëve të kësaj së

tëre. Duhet të gjenden pjesët. Te e dyta jepet raporti ndërmjet dy pjesëve të së tërës dhe ndryshesa ndërmjet pjesëve. Duhet të gjendën pjesët. Në të dy rastet raportet janë ndërmjet pjesëve të së tërës. Pra natyra e problemave ndryshon.

Duhet vepruar kështu për ta shpjeguar problemën e parë të zgjidhur. Mësuesi mbasi ta ketë lexuar problemën, sa ajo të jetë kuptuar nga nxënësit, pyet: Çfarë dimë? Përgjigjja duhet të jetë: sasinë e mollëve dhe dardhave së bashku. Dimë gjithashtu dhe se në çfarë raporti janë këto sasi. Pyetja tjetër: çfarë duhet të gjejmë? Përgjigja duhet të jetë: sa kg mollë dhe sa kg dardha ka shitësi?

Mësuesi shkuan në dërrasë: Të dhënat: Çfarë duhet të gjejmë:

a) Mollë dhe dardha 40 kg. a) Sa kg mollë ka shitësi?

b) Raporti ndërmjet tyre 35

b) Sa kg dardha ka shitësi.


30

Kujdes: thuhet raporti i mollëve me dardhat. Duhet të nxirret kuptimi i raportit dhe pastaj të fillojë zgjidhja. Mësuesi i drejtohet klasës: çfarë kuptojmë me

raportin 35

. Përgjigjet mund të jenë nga më të ndryshmet ose mund të mos

jepet asnjë përgjigje. Mund të merret dhe një përgjigje, duke u nisur nga kuptimi i thyesave që e tëra është ndarë në pesë pjesë dhe kemi marrë tre, që është përgjigje e gabuar. Duke marrë shkas nga fjala pjesë, mësuesi i drejtohet klasës: kemi raportin e sasisë së mollëve me sasinë e dardhave. Sa pjesë mollë dhe sa pjesë dardha kemi? Mendoj se do të merret përgjigjja e saktë: tri pjesë mollë dhe pesë pjesë dardha. Pra sa pjesë kemi gjithsej?

Pra në tetë pjesë, tri janë mollë. Pra, cili është raporti i mollëve me të tërën? Plotësojmë në dërrasë:

Të dhënat dhe ato që dalin nga të dhënat: Çfarë duhet të gjejmë: a) Mollë dhe dardha 40kg. a) Sa kg. mollë ka shitësi?

b) Raporti ndërmjet tyre 35

. b) Sa kg. dardha ka shitësi?

c) Kemi 3 pjesë mollë dhe 5 pjesë dardha.

d) Gjithsej 8 pjesë.

e) Raporti është 38

.

Tani gjejmë sasinë e mollëve. Pra 38

e të tërës janë mollë.

1. Sa kg mollë ka shitësi? 38

e 40 = 38

40⋅

= 38

401

⋅

=3 408 1⋅⋅

= 15 kg mollë

2. Sa kg dardha ka shitësi? 40 – 15 = 25 kg dardha.Përgjigje. Shitësi ka 15 kg mollë dhe 25 kg dardha.Për gjetjen e sasisë së dardhave mund të përdoret dhe metoda e dytë.Problema e dytë jo vetëm që ndryshon nga ato që thamë më lart por dhe

mënyra e zgjidhjes ndryshon.Për t’u orientuar ndërtohet në dërrasë një trekëndësh dhe një drejtëz që e ka

ndarë trekëndëshin në dy pjesë jo të barabarta.Si te problema e parë kërkohet nga klasa se çfarë dihet dhe çfarë duhet të

gjendet. Mësuesi shkruan në dërrasë pasi ka marrë përgjigjet nga nxënësit.

Libër mësuesi

31

Të dhënat dhe ato që dalin nga të dhënat: Çfarë duhet të gjejmë:

a) Raporti ndërmjet dy pjesëve që është 35

. a) Sa cm2 është secila pjesë?

b) Njëra nga pjesët (më e madhja) ka syprinën 10 cm2 më të madhe.

Pyetje klasës: çfarë kuptojmë me raportin 35

? Duke u nisur nga problema

e parë përgjigjja mund të jetë se ndarja e vogël ka 3 pjesë dhe e madhja ka 5pjesë. Cili është ndryshimi në pjesë i ndarjeve?

Përgjigjja do të jetë 5 – 3 = 2. Po 10 cm2 më e madhe si do ta kuptojmë? Përgjigjet do të jenë nga më të ndryshmet. Mësuesi do të pranojë se ndryshesa ndërmjet pjesës më të madhe dhe më të vogël është 10 cm2.

Mësuesi plotëson në dërrasë. Të dhënat dhe ato që dalin nga të dhënat: Çfarë duhet të gjejmë:

a) Raporti ndërmjet dy pjesëve që është 35

a) Sa cm2 është secila pjesë? b) Njëra nga pjesët (më e madhja) ka b) Sa është syprina e syprinën 10 cm2 trekëndëshit më të madhe? c) Ndarja e vogël ka 3 pjesë dhe e madhja 5 pjesë. d) Ndryshesa e pjesëve është 5 – 3 = 2 e) Ndryshesa ndërmjet syprinave është 10 cm2.Tani mësuesi, para se të fillojë të gjejë ato që kërkohen, sqaron se në pjesë

ndryshesa është 2 dhe në syprina është 10 cm2. Pra dy pjesë përfaqësojnë 10 cm2. 1. Sa cm2 është një pjesë? 10 : 2 = 5 cm2. 2. Sa cm2 është pjesa më e vogël? 3·5 = 15 cm2

3. Sa është pjesa më e madhe? 15 + 10 = 25 cm2

4. Sa është syprina e trekëndëshit? 15 + 25 = 40 cm2.Përgjigje. MN e ka ndarë trekëndëshin në dy pjesë, me syprina 15 cm2 dhe 25 cm2.

Syprina e trekëndëshit është 40 cm2.Edhe në këtë problemë mund të përdoren dy mënyra për të gjetur ato që

kërkohen.Problema e parë mund të zgjidhet me mënyrën se si u zgjidh problema e dytë.

Kështu duke ditur se 8 pjesë përfaqësojnë 40 kg. gjejmë se sa kg. përfaqëson një pjesë. Pastaj gjejmë sa kg përfaqësojnë 3 pjesë dhe sa 5 pjesë.

Nxënësit vihen në punë duke zgjidhur problemën 5, faqe 41. Secili punon individualisht dhe mësuesi kontrollon. Kush e përfundon ngrihet në dërrasë.

Për punë të diferencuar jep problemën 6, faqe 41.

Detyrë shtëpie: Problemat 1, 4 dhe 10, faqe 41.


32

Tema 1.17. PËRPJESËTIMET



Objektivat mesatare



a) Të përkufizojnë saktësisht përpjesëtimin dhe të përcaktojnë kufizat e tij. b) Të gjejnë të katërtën e përpjesshme në një përpjesëtim.

a) Të shkruajnë një përpjesëtim b) Të përcaktojnë kufizat e brendshme dhe të jashtmec) Të përkufizojnë vetinë themelore të përpjesëtimeve.

d) Të gjejnë të katërtën e përpjesshme në

përpjesëtimet e formës: x4

32

=

Të vërtetojnë disa veti të përpjesëtimeveTë gjejnë të katërtën e përpjesshme sidoqë të jetë përpjesëtimi.

Të vërtetojnë vetitë e përpjesëtimeveTë diskutojnë vërtetësinë ose jo të përpjesëtimeve në problema të ndryshme.

a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Puna me grupe

Zhvillimi i mësimit[ Korrigjo tek ushtrimi 3(b) faqe 44 është

3 8= duhet3 18= ]

Kjo temë ka lidhje me raportet. Prandaj dhe puna përgatitore kërkon që nxënësit të shkruajnë dy raporte që janë të barabarta.

Në çështjen e parë mësuesi jep përkufizimin e përpjesëtimit duke përcaktuar kufizat e jashtme dhe të brendshme. Duhet që ky përkufizim të jepet dhe nga nxënësit.

Pasi shkruan dhe dy përpjesëtimet:

53

106

= ; 346

173

= kërkon nga nxënësit që të përcaktojnë në secilin përpjesëtim

kufizat e brendshme dhe të jashtme.

Libër mësuesi

33

Mësuesi u tërheq vëmendjen nxënësve në një fakt te përpjesëtimet se 5·6 = 10·3, 34·3 = 17·6. Për këtë shtron pyetjen: A është kjo veti e vërtetë për

çdo përpjesëtim?Përgjigjen jep në çështjen e dytë, të cilën duhet ta vërtetojë me kujdes

sepse nxënësit në mënyrë të pavarur do të mund të vërtetojnë dhe vetitë e

tjera. Mbas vërtetimit të vetisë themelore, mësuesi jep dhe dy forma të tjera të

përpjesëtimitab

cd

= .

Ushtrimi që vjen pas vetisë themelore duhet të zgjidhet duke e diskutuar së bashku.

Këto forma janë: a)ac

bd

= , b) ca

db

= , c) bd

ac

= , d) dc

ba

= , e) cd

ab

=

Mbas ushtrimeve është një veti tjetër. Nëse ab

cd

= atëherë a bb

c dd

+ = +

Mësuesi duhet të insistojë se bazë për vërtetim është vetia themelore. Për këtë pyet:

Nga vetia themelore duke pasur përpjesëtimin ab

cd

= çfarë mund të

shkruajmë? Përgjigjja do të jetë e saktë:a d b c⋅ = ⋅ (1) Këtu mund tu drejtohet kjo pyetje: nëse dy numrave të barabartë u shtohet i njëjti numër, si janë numrat e formuar? Përgjigja: të barabartë. Se çfarë duhet tu shtohet të dy anëve të barazimit (1) mësuesi të mos ua kërkojë nxënësve sepse nuk ka për të marrë përgjigjen e duhur. Prandaj shprehet: të dy anëve të barazimit (1) u shtojmë prodhimin b d⋅ . Mbas saj kemi: a d b d b c b d⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ . Pastaj vazhdon me transformimet duke argumentuar çdo transformim.

Në çështjen e tretë mësuesi sqaron se çdo kufizë e përpjesëtimit quhet e katërta e përpjesshme.

Me anën e shembullit 1 mësuesi nuk duhet ta zgjidhë mekanikisht, por të theksojë se do të përdoret vetia themelore e përpjesëtimeve.

Mësuesi e ndan klasën në tri grupe dhe njërit i cakton a, të dytit b dhe të tretit c e ushtrimit sipas shembullit 1. Për nxënës shumë të mirë mësuesi jep ushtrimin 4(a) faqe 44, duke i udhëzuar që të orientohen nga vetia e vërtetuar në libër. Klasa punon në heshtje dhe kontrollohet nga mësuesi. Kur të përfundojnë ngrihet një përfaqësues nga çdo grup. Mësuesi nuk duhet të mjaftohet me një zgjidhe mekanike, por duhet të kërkojë dhe të argumentojë çdo transformim. Në dërrasë ngrihet dhe nxënësi që mund të ketë zgjidhur ushtrimin 4(a) faqe 44.

Nëse ka kohë mund të punohet dhe ushtrimi 2(a), faqe 43 dhe 3(a), faqe 44.Në përforcimin teorik kërkohet përkufizimi i përpjesëtimeve dhe vetia themelore

e përpjesëtimeve.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 2(b), 3(b) dhe 4(b), faqe 44. Për punë të diferencuar jepet ushtrimi 5, faqe 44.


34


1. Çdo vendosje e saktë vlerësohet me një pikë.2. Krahasimi të bëhet sipas kërkesës. Çdo përgjigje e saktë vlerësohet me

një pikë. Nëse krahasimi bëhet i saktë për të tria pa kryer veprimin a – b, ushtrimi të

vlerësohet me një pikë.3. Nëse nuk bëhet asnjë gabim në renditje, vlerësimi bëhet me dy pikë. Nëse

bëhet një gabim në renditje, vlerësimi bëhet me 1,5 pikë. Nëse bëhen dy gabime në renditje, vlerësimi bëhet me një pikë. Nëse bëhen tri gabime në renditje, vlerësimi bëhet me një pikë. Nëse bëhen tri gabime në renditje vlerësimi bëhet me 0,5 pikë. Nëse bëhen më tepër se tre gabime në renditje vlerësohet me zero pikë.

4. Rrethimi i saktë vlerësohet me një pikë.5. Përgjigjja e saktë e çdo kërkese vlerësohet me një pikë.6. Përgjigjja e saktë e çdo kërkese vlerësohet me një pikë.7. Përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë.8. Për pikën a merren dy pikë, nëse të dy numrat kthehen në raport. Për pikën

b merren dy pikë, nëse për të dy numrat përcaktohet saktë kërkesa.9. Nëse zbatohet vetëm vetia themelore e përpjesëtimeve, ushtrimi vlerësohet

me një pikë. Nëse të dy anëve të barazimit u zbritet prodhimi që duhet, vlerësimit

i shtohet dhe një pikë. Nëse e vërteton deri në fund i merr të tri pikët.

10. Nëse zbaton vetinë themelore të përpjesëtimeve pra 4 3 56

x = ⋅ , vlerësohet

me 0,5 pikë. Nëse kryen dhe thjeshtimin me tre pra 4 52

x = merr dhe 0,5 pikë.

Nëse zbaton përsëri vetinë themelore të përpjesëtimeve, vlerësimit i shtohen dhe 0,5 pikë. Nëse e gjen saktë të katërtën e përpjesshme, vlerësimi është i plotë. Shënim nëse nxënësi e gjen të katërtën e përpjesshme duke përdorur ndonjë rrugë tjetër të saktë matematike vlerësohet përsëri me 2 pikë.

11. Nëse nxënësi bën planin e zgjidhjes merr1 pikë. Nëse gjen syprinën e pjesës së vogël i shtohen dhe dy pikë. Nëse gjen dhe syprinën e të gjithë trekëndëshit, vlerësohet me pikët maksimale. Nëse e zgjidh problemën pa plan zgjidhjeje, vlerësimi është me tri pikë.

Libër mësuesi

35

Tema 2.1. MBLEDHJA DHE ZBRITJA E THYESAVE



Objektivat mesatare



Të mbledhin dhe të zbresin thyesa me emërues të njëjtë dhe të ndryshëm.

Të mbledhin dhe të zbresin thyesa me emërues të njëjtë.Të mbledhin dhe të zbresin thyesa me emërues të ndryshëm, por emëruesi i përbashkët është prodhimi i tyre.

Të mbledhin dhe të zbresin thyesat me emërues të ndryshëm kur për gjetjen eemëruesit të përbashkët duhet të përdoret SHVP.Të mbledhin dhe të zbresin thyesat kur një nga mbledhorët ose të zbritshmit është numër i plotë.

Të mbledhin dhe të zbresin thyesat kur kemi kombinim të tyre me numra të plotë dhe numra të përzier.

a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Puna me grupe

Punë frontaleZhvillimi i mësimit

Që në fillim duhet theksuar: qëllimi i këtij kapitulli nuk është që nxënësit të përdorin makinat llogaritëse, por të krijojnë shprehi në veprimet me të gjithë numrat racionalë.

Në punën përgatitore mësuesi duhet të ketë si qëllim që nxënësit të dinë të shkruajnë thyesat dhe të shprehen me fjalë si mblidhen dhe zbriten thyesat me emërues të njëjtë. Kurse për thyesat me emërues të ndryshëm të kërkojnë të dinë se kush merret si emërues i përbashkët.

Nëse në punën përgatitore nxënësit u shprehën me fjalë si mblidheshin (zbriteshin) thyesat me emërues të njëjtë, në çështjen e parë mësuesi nëpërmjet shembujve 1 dhe 2 e zbaton praktikisht.

Ushtrimet 1(a, b) dhe 2(a, b) duhet të zgjidhen frontalisht me të gjithë klasën.Nxënësit në punën përgatitore do të kenë theksuar se emëruesi i përbashkët

është SHVP e emëruesve. Pra duhet ta gjejmë. Për këtë me anën e shembullit


36

3 mësuesi duhet të rikujtojë si gjendet SHVP. Nxënësit në mënyrë të pavarur zgjidhin ushtrimin 3.

Në çështjen e dytë mblidhen thyesa me emërues të ndryshëm. Mësuesi duhet të rikujtojë se për emëruesit që janë primë, SHVP është prodhimi i tyre. Por më parë është mirë që mësuesi të kërkojë nga nxënësit se kur dy e më shumë numra janë primë ndërmjet tyre, të theksohet ndërmjet tyre.

Gjatë zgjidhjes del faktori plotësues i 4 është 5 dhe i 5 është 4. Mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit se çfarë kuptojmë në këtë rast me faktor plotësues.

Te shembulli 2, SHVP-në ta gjejnë nxënësit dhe më tej të vazhdojë mësuesi. Shembulli 3 ka ndryshim nga 1 dhe 2 sepse kemi për të mbledhur numra të përzier. Mund të jetë harruar numri i përzier dhe si veprohet për ta kthyer në thyesë të mbinjësishme.

Për këtë mësuesi duhet të sqarojë se shënimi 2 35

është i ndryshëm nga shënimi

2 35

⋅ . I pari është numër i përzier dhe i kthyer në thyesë jep: 2 5 35

135

⋅ + = ,

kurse i dyti tregon shumëzimin e 2 me 35

që është i barabartë me 2 35

65

⋅ = .

Për zgjidhjen e ushtrimeve 1 dhe 2, klasa ndahet në dy grupe. Të parit i jep 1(a),2(a) kurse të dytit 1(b), 2(b). Nxënësit punojnë në mënyrë të pavarur, mësuesi kontrollon punën e gjithsecilit. Në fund kur sheh se ushtrimet janë përfunduar ngre në dërrasë katër nxënës.

Detyrë shtëpie: 1(b), 2(a), 3(b), 4(c) dhe 5(a), faqe 46.

Tema 2.2. SHUMËZIMI DHE PJESËTIMI I THYESAVE



Objektivat mesatare



Të shumëzojnë dhe të pjesëtojnë thyesat.

a) Të shumëzojnë deri në dy thyesa.b) Të pjesëtojnë deri në dy thyesa.

Të shumëzojnë dhe të pjesëtojnë thyesat kur kemi kombinim të tyre me numra të plotë dhe numra të përzier.

Të argumentojnë rastet kur pjesëtimi nuk mund të kryhet.


Libër mësuesi

37


Ato që kërkohen në punën përgatitore duhet të shprehen me fjalë nga nxënësit.Në çështjen e parë dhe të dytë mësuesi zbaton praktikisht ato që thuhen në

punën përgatitore.Shembulli 1 dhe 2 në çështjen e parë kanë ndryshim se tek i dyti del përsëri numri

i përzier, i cili duhet të kthehet në thyesë, mendoj që këtë kthim ta bëjë nxënësi.Në çështjen e dytë kemi pjesëtimin e thyesave, por dhe këtu shembujt 1 dhe 2

ndryshojnë nga njëri-tjetri. Tek i dyti kemi herësin e dy numrave të përzier. I dyti duhet të punohet me kujdes sepse mbas kthimit të numrave të përzier në thyesa të mbinjësishme dhe kthimit të pjesëtimit në shumëzim kryhet një thjeshtim. Mësuesi duhet të insistojë që po të ketë thjeshtime duhet të kryhen, sepse kur të kemi shprehje numerike është më lehtë të punohet me numra sa më të vegjël, por dhe me thyesa të pathjeshtueshme. Kjo e dyta ka rëndësi se do të jetë më lehtë për të gjetur emëruesin e përbashkët. Para se të fillojë me ushtrimet që do t’i punojnë nxënësit, mësuesi duhet t’u tërheqë vëmendjen te shënimi KUJDES.

Pastaj ngrihen në dërrasë tre nxënës, njëri pas tjetrit për të punuar ushtrimet. Për b dhe c duhen aktivizuar nxënës të mirë.

Nëse ka kohë mësuesi mund të zhvillojë dhe nga 1(c), faqe 47.Për përforcim duhet të kërkojë ato të punës përgatitore.

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1(a, d), 2(b), 3(a, c) dhe 4(b). Për punë të diferencuar 3(c). Nëse nxënësi i sjell të zgjidhura vetëm me përgjigjen nuk mund të pjesëtohen, mësuesi të kërkojë pse. Por ai mund të thotë se nuk pjesëtojmë me zero. Mësuesi duhet të arrijë që nxënësi pjesëtimin ta kthejë në thyesë dhe të nxjerrë përfundimin nga kuptimi që ka thyesa.

Tema 2.3. MBLEDHJA DHE ZBRITJA E NUMRAVE DHJETORË



Objektivat mesatare

Të mbledhin dhe të zbresin numrat dhjetorë periodikë.

Të mbledhin dhe të zbresin numrat dhjetorë të fundmë deri në dy shifra pas presjes.

Të mbledhin dhe të zbresin numrat dhjetorë periodikë të thjeshtë ku perioda ka një shifër.

Të mbledhin dhe të zbresin numra dhjetorë periodikë të çfarëdoshëm.Nëpërmjet ushtrimeve të nxirret konkluzioni, për rezultatin e mbledhjes dhe zbritjes së dy numrave racionalë.



38


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë individuale


[Korrigjo te shembulli 1 në fund është 3,7 + 2,4 = 6,2 duhet 3 7 2 4 6 2, , ,__ __ __

+ =dhe te shembulli 2 në fund është 5 60.

___ duhet 5 60,

___]

Mbledhja dhe zbritja e numrave dhjetorë të fundmë duhet të realizohet nëpërmjet punës përgatitore.

Para se të fillohet me çështjen e parë duhet të jepet rregulla. Kjo të përsëritet dhe nga nxënësit disa herë.

Mësuesi zgjidh shembullin 1, 2 dhe 3. Kanë ndryshim se njëri periodën e ka me një shifër, kurse tjetri me dy, e i treti numri është dhe me paraperiodë. Për të kthyer numrin dhjetor periodik në numër thyesor duhet të përdoret mënyra e dytë, ajo që është përdorur dhe në tekst.

Mbas përfundimit të shembujve ka mundësi që ndonjë nxënës, duke vënë re shembulli 2, të theksojë se 3 37 2 23 5 60, , ,

___ ___ ___+ = . Pra, pa i kthyer në thyesa.

Por mësuesi këtë përfundim të gabuar duhet t’ua hedhë poshtë me shembujt 1dhe 2. Mësuesi duhet t’ua theksojë nxënësve që shuma (diferenca) e numrave dhjetorë periodikë nuk mund të kryhet si te numrat dhjetorë të fundmë. Mbas përfundimit vë klasën në punë me ushtrimin.

Për çështjen e dytë të dy shembujt kanë një ngjashmëri nga e cila mund të nxirret një përfundim:

Nëse dy numra dhjetorë kanë paraperiodën dhe periodën të njëjtë, për të gjetur diferencën zbresim vetëm pjesët e plota.

Mësuesi ngre në dërrasë një nxënës për të zgjidhur ushtrimin sipas shembullit.Kohën që i ngelet të punohen ushtrimet 1(a), 2(a). Me ushtrimin 4 nxënësit të

vihen në garë se kush do ta përfundojë i pari dhe saktë.Përforcimi teorik të bëhet duke kërkuar rregullën e mbledhjes (zbritjes) së

numrave dhjetorë periodikë.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1(b), 2(c, d) dhe 3, faqe 49.

Shënim. Kjo të interpretohet kështu:a) Po të mblidhen dy numra të plotë çfarë numri mund të dalë?b) Po të mblidhen dy numra dhjetorë çfarë numri mund të dalë?c) Po të mblidhen një numër dhjetor me një dhjetor periodik çfarë numri mund të dalë?d) Po të mblidhen dy numra dhjetorë periodikë çfarë numri mund të dalë? Kështu duhet arsyetuar për zbritjen, shumëzimin dhe pjesëtimin.

Libër mësuesi

39

Tema 2.4. SHUMËZIMI I NUMRAVE DHJETORË



Objektivat mesatare



Të shumëzojnë numrat dhjetorë periodikë dhe jo periodikë.

Të shumëzojnë numrat dhjetorë me numër të plotë.Të shumëzojnë dy numra dhjetorë me një shifër pas presjes.Të shumëzojnë numër dhjetor periodik të thjeshtë (perioda ka një shifër) me një numër të plotë.

Të shumëzojnë numrat dhjetorë me disa shifra mbas presjes, por dhe me shifra që mund të jenë zero. Të shumëzojnë numra dhjetorë të thjeshtë

Të shumëzojnë numra dhjetorë periodikë të përzier. Të nxjerrin konkluzione (nëpërmjet shembujve) për rezultatin e shumëzimit të dy numrave racionalë.



[Korrigjo te shembulli 1 ku thotë ushtrim është 3,02· 4,1 duhet 3 02 4 1, ,__

⋅ ]Në klasën e gjashtë veprimi i shumëzimit është kryer ndërmjet numrit dhjetor

dhe një numri të plotë. Për rikujtim jepen dhe ushtrimet në punën përgatitore.Por si do të veprohet për të shumëzuar dy numra dhjetorë?Mësuesi jep rregullën e shumëzimit të dy numrave dhjetorë. Kjo rregull kërkohet

të përsëritet dhe nga nxënësit disa herë. Pastaj zgjidhen shembujt 1, 2, dhe 3.Natyra e të tre ushtrimeve ndryshon Po sqarojmë diçka për dy të parët.

Kështu është në libër: 2,3 · 4,5

115 920

10,35


40

Por nxënësve mund t’u shpjegohet se zeroja nën pesën mund të mos vendoset. Kur fillojmë të shumëzojmë me shifrën e dytë zhvendosemi një shifër, nëse kemi shifër të tretë zhvendosni dhe një shifër tjetër e kështu me radhë (shifër me vlerë). Konkretisht:

2,3 · 4,5

115 92

10,35Shohim shembullin 3: Në tekst është: 34,06 · 20,08

27248 000000 0000000 6812000 683,9248Por dy rreshtat me zero dhe tre zerot e fundit në rreshtin e parafundit mund

të eliminohen. Për këtë nxënësve u shpjegohet: shifra e parë e shumëzuesit është 8, dy shifra para tetës janë zero kur të kryejmë shumëzimin me 2 që është shifra e tretë me vlerë pas 8 do të vendosemi tre shifra djathtas, për të vendosur prodhimin e 2 me të shumëzuarin. Konkretisht:

34,06 · 20,08

27248 6812 683,9248Duhet sa më pak fjalë dhe sa më shumë shpjegim konkret. Në çështjen e dytë dhe të tretë kryhet shumëzimi i numrave dhjetorë periodikë.Këtu duhet të dalë në dukje se rregulli i shumëzimit të numrave dhjetorë

perioikë nuk është i njëjtë me shumëzimin e numrave dhjetorë të fundmë. Në këto raste numrat dhjetorë periodikë kthehen në numra thyesorë. Shumëzojmë thyesat. Nëse na duhet ta kthejmë në numër dhjetor kryejmë pjesëtimin. Mbasi të jenë zgjidhur shembujt dhe ushtrimet, mësuesi duhet të nxjerrë një konkluzion shumë të rëndësishëm. Prodhimi i një numri dhjetor me një numër dhjetor periodik ose të dy periodikë nuk mund të përcaktohet se është numër dhjetor i fundmë apo dhjetor periodik.

Në fund mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit rregullën e shumëzimit të numrave dhjetorë të fundmë dhe numrave dhjetorë periodikë.

Detyrë shtëpie: 2 dhe 4 faqe 51.

Libër mësuesi

41

Tema 2.5. PJESËTIMI I NUMRAVE DHJETORË



Objektivat mesatare



Të pjesëtojnë numrat dhjetorë periodikë dhe jo periodikë.

Të pjesëtojnë numrat dhjetorë me një shifër pas presjes.Të pjesëtojnë dy numra të thjeshtë periodikë (perioda të ketë një shifër).

Të pjesëtojnë numrat dhjetorë periodikë me më shumë se një shifër pas presjes.Të pjesëtojnë numrat dhjetorë periodikë të thjeshtë (perioda të ketë më shumë se një shifër).

Të pjesëtojnë numrat dhjetorë periodikë të përzier.Nëpërmjet shembujve të nxjerrin konkluzione për pjesëtimin e dy numrave racionalë.

a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë të pavarur


Në klasën e gjashtë kemi kryer pjesëtimin e numrit dhjetor me një numër të plotë.Për të rikujtuar duhet të përdoret puna përgatitore.Mësimi është ndarë në tri çështje. Duhet që për të dy çështjet e para të jepet rregulla

e cila duhet të përsëritet disa herë nga nxënësit. Pastaj mësuesi zhvillon shembullin 1 duke sqaruar çdo kalim që bëhet. Një nxënës në dërrasë punon ushtrimin, kurse klasa punon po ushtrimin në mënyrë të pavarur. Në fund krahasohen përfundimet. Mirë është që mësuesi të lerë në dërrasë dhe shembullin që zgjidhi vetë.

Mbasi të jetë përfunduar dhe ushtrimi nga nxënësi, mendoj që mësuesi duhet të tërheqë vëmendjen e nxënësve për përfundimet e nxjerra. Për këtë u drejtohet me pyetjen: çfarë numri doli herësi gjatë pjesëtimit në shembullin 1, po tek ushtrimi ? Përgjigjja duhet të jetë: te shembulli 1 numër dhjetor periodik kurse te ushtrimi numër dhjetor i fundmë. Kjo është thënë dhe te raporti i numrave natyrorë kur kemi futur kuptimin e numrave dhjetorë periodikë.


42

Një nxënësi të mirë mësuesi i kërkon që të zgjidhë shembullin 1 te çështja e dytë, por numrat dhjetorë t’i kthejë në thyesa dhjetore dhe pastaj të vazhdojë me pjesëtimin e thyesave. Në fund krahasohen përfundimet.

Mbas shembullit 1 në çështjen e dytë ngre dy nxënës njëri ta zgjidhë ushtrimin sipas shembullit, kurse tjetri duke i kthyer numrat dhjetorë në thyesa dhjetore. Çështja e tretë ka të bëjë më pjesëtimin e numrave dhjetorë periodikë. Përsëri duhet që numrat dhjetorë periodikë të kthehen në thyesa dhe pastaj vazhdohet si më parë. Është mirë që mësuesi t’u kujtojë nxënësve rëndësinë që ka shprehja e numërorëve të dhënë në numërorë të tjerë që paraqesin të njëjtën sasi.

Në fund ngrihen dy nxënës në dërrasë për të punuar ushtrimet.Mendoj se mësuesi duhet të nxjerrë dhe këtë konkluzion. Herësi i dy numrave

racionalë mund të jetë: a) numër i plotë, b) dhjetor i fundmë, c) dhjetor periodik. Pra herësi i dy numrave

racionalë është numër racional.Kërkon nga nxënësit rregullat e pjesëtimit të numrave dhjetorë.

Detyrë shtëpie: Ushtrimin 2, 3 dhe 4, faqe 53.

Tema 2.6. USHTRIME



Objektivat mesatare


Të përforcojnë njohuritë e marra për veprimet me numrat racionalë.

Të mbledhin, të zbresin, të shumëzojnë dhe pjesëtojnë numrat dhjetorë me një shifër pas presjes. Të mbledhin, të zbresin, të shumëzojnë dhe të pjesëtojnë numrat dhjetorë periodikë të thjeshtë me një shifër në periodë.

Të mbledhin, të zbresin, të shumëzojnë dhe të pjesëtojnë numrat dhjetorë me më shumë se një shifër pas presjes.Të mbledhin, të zbresin, të shumëzojnë dhe të pjesëtojnë numrat dhjetorë periodikë të thjeshtë me më shumë një shifër në periodë.

Të mbledhin, të zbresin, të shumëzojnë dhe të pjesëtojnë numrat dhjetorë periodikë të përzier Të nxjerrin konkluzione për rezultatet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit të dy numrave racionalë.

Libër mësuesi

43




Nuk ka ushtrime të zgjidhura. Prandaj mësuesi duhet të aktivizojë sa më shumë nxënës në dërrasë.

Ushtrimi 1(a) duhet të zgjidhet nga nxënës të dobët.Ushtrimi 2(b i pari) të zgjidhet nga një nxënës mesatar dhe 2(b i dytë) ta

zgjidhë një nxënës i dobët me ndihmën e shokëve të klasës. Mendoj se ai duhet të udhëzohet duke e pyetur. Te 1(a) si vepruam? Zbritëm numëruesit. Po si i kishin emëruesit? Të barabartë. Po këtu si i kemi? Të ndryshëm. Prandaj çfarë duhet të bëjmë? Të gjejmë emëruesin e përbashkët. I kujtohet algoritmi dhe gjen SHVP e numrave 21 dhe 35. Nëse nuk ecën më tej mësuesi duhet të vazhdojë pyetjet për ta çuar nxënësin në gjetjen e rezultatit. Kur ta ketë përfunduar duhet t’i jepet 2(b i treti) për ta zgjidhur në heshtje. Me klasën vazhdohet 3(b) dhe 3(c)e para. Mendoj se rëndësi kanë dhe ushtrimet 4. Të ngrihet një nxënës i mirë për të zgjidhur 4(a) të parën. Në fund kalohet me 6(a) dhe 6(d) të parat.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1(b), 2(b), 3(a), 4(b), 5(a, e, g), 6(b, c), faqe 54.

Tema 2.7. VEPRIMET E MBLEDHJES DHE ZBRITJES ME NUMRAT ME



Objektivat mesatareObjektivat maksimale

Të mbledhin dhe të zbresin numrat me shenjë.

Të mbledhin dhe të zbresin numrat me shenjë të njëjtë dhe të kundërt (numra të vegjël).

Të mbledhin dhe të zbresin numra të çfarëdoshëm me shenjë të njëjtë dhe të kundërt.




44


Mbasi kryen veprimin e mbledhjes së numrave me shenjë pozitive, mësuesi kërkon rregullat e mbledhjes (zbritjes) së numrave me shenjë. Kjo në punën përgatitore. Në çështjen e parë mësuesi punon tre shembuj për të mbledhur numra me shenjë të njëjtë (minus). Në shembullin e parë zbaton rregullën e dhënë në punën përgatitore. Kurse në shembullin e dytë në fillim zbaton rregullën që përdori në shembullin e parë. Pastaj duhet t’u sqarojë nxënësve, ashtu siç është dhe në tekst, se në ushtrimet nuk do t’i kemi (- 12) + (- 17), por në trajtën – 12 – 17. Nuk do të kthehen në trajtën (- 12) + (- 17) dhe pastaj të gjemë shumën. Por numrat i kemi të dy negativë, pra kur numrat janë me shenjë të njëjtë do t’i mbledhim dhe shumës do t’i vendosim shenjën e përbashkët. Këtu mësuesi duhet të insistojë fort për të kontrolluar nëse nxënësit e kanë kuptuar. Pasi shkruan shembullin 3, kërkon përgjigjen. Ngre në dërrasë dy nxënës të dobët dhe u jep të punojnë ushtrimet në fund të çështjes së parë. Nëse nuk është kuptuar mësuesi duhet t’i rikthehet shembullit dy.

Çështja e dytë merret me veprimin e mbledhjes së numrave me shenjë të kundërt. Si në çështjen e parë dhe këtu në fillim mësuesi duhet ta zgjidhë shembullin sipas rregullit të punës përgatitore. Pastaj me shumë kujdes duhet të kalojë nga (- 5) + (+7) te trajta – 5 + 7. Nëse në shembullin e çështjes së parë kalimi dhe veprimi mund të jetë më i kuptueshëm, këtu duhet të kihet kujdes. Numrat këtu janë me shenjë të kundërt, dhe kur janë me shenjë të kundërt duhet të zbriten. Pra duhet të bëhet dallimi: me shenjë të njëjtë mblidhen, me shenjë të kundërt zbriten. Shembujt 2 dhe 3 mësuesi duhet t’i punojë me nxënësit. Nëse është kuptuar veprimi i kryer në shembullin 1 këta shembuj do të kryhen me lehtësi. Çështja e tretë ka të bëjë me zbritjen e numrave me shenjë të kundërt. Nëpërmjet shembujve 1 dhe 2 mësuesi duhet t’u tregojë nxënësve se për të zgjidhur këto ushtrime kthehemi te çështja e parë dhe e dytë.

Konkretisht (- 50) – (- 20), duke pasur parasysh se zbritja është mbledhje shkruajmë: ( - 50) – ( - 20) = -50 + 20 ushtrimi u soll si shembulli 2 i çështjes së parë.

Pra nëse kuptohen mirë dy çështjet e para, e treta paraqet më pak vështirësi.Për ushtrimet pas çështjes së tretë mësuesi nuk duhet të përdorë kllapat por ato që janë dhënë në shembullin 2 të çështjes së parë dhe shembulli 1 në çështjen e dytë.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2(a, b), 3, faqe 56. Për 3 të kthehen në ushtrime pa kllapa dhe të përdoret mënyra e shembujve 2 të çështjes së parë dhe shembullit1 të çështjes së dytë.

Libër mësuesi

45

Tema 2.8. SHUMËZIMI DHE PJESËTIMI I NUMRAVE ME SHENJË




Të shumëzojnë dhe të pjesëtojnë numrat me shenjë.

Të formulojnë rregullën për shenjën që ka prodhimi ose raporti i dy numrave me shenjë të njëjtë ose i dy numrave me shenjë të kundërtTë shumëzojnë dhe të pjesëtojnë numra të vegjël me shenjë të njëjtë ose të kundërt.

Të shumëzojnë ose të pjesëtojnë numra të çfarëdoshëm me shenjë të njëjtë ose të kundërt.


a) Libri i nxënësit Punë frontaleb) Libri i ushtrimeve Bashkëbisedimc) Dy tabelat me shenjat (janë dhënë pak më poshtë)


Përsëri në punën përgatitore kërkohet vetëm rregulla e shumëzimit (pjesëtimit) të numrave më shenjë.

Në punën përgatitore mësuesi të kërkojë nga nxënësit se çfarë shenje ka prodhimi kur numrat që shumëzohen (pjesëtohen) janë më shenjë të njëjtë dhe kur numrat janë më shenjë të kundërt.

Mund të përdorë tabelën: (+ ) ∙ (+) → (+) (─ )∙ (+ ) → (─) (─) ∙ (─) → (+) (+ )∙ (─ ) → (─) (+ ) : (+) → (+) (─ ): (+ ) → (─) (─) : (─) → (+) (+ ): (─ ) → (─)Në çështjen e parë kemi shumëzimin dhe pjesëtimin e numrave negativë.

Të dy ushtrimet kanë ndryshim se i pari është me numra të plotë, kurse i dyti me numra dhjetorë. Mësuesi në fillim duhet të kërkojë nga nxënësit shenjën e prodhimit pastaj ta gjejë atë. Tek ushtrimi a duhet (+6) · (+5).

Shenjën e prodhimit ta kërkojë nga klasa në mënyrë frontale. Vë në punë në mënyrë individuale klasën, në përfundim kontrollon rezultatin.

Në çështjen e dytë kryhet veprimi i shumëzimit dhe pjesëtimit të numrave me shenjë të kundërt. Duhet të realizohen me kujdes sepse kryhen disa transformime


46

që mund të jenë harruar, si: kthimi i numrave dhjetorë në thyesa, thjeshtimi te shumëzimi i thyesave. Po kryesore është që nxënësit të përcaktojnë në fillim shenjën e prodhimit apo herësit.

Edhe tek ushtrimet pas shembullit 2 kërkohet frontalisht shenja e prodhimit apo herësit. Pastaj nxënësit vihen në punë të pavarur. Mbasi të jenë përfunduar, kontrollohet rezultati. KUJDES! Nxënësit të mos përdorin makina llogaritëse, sepse numrat janë të vegjël.

Mësuesi duhet të punojë me klasën dhe ushtrimet 1(b) dhe 2(e), faqe 58.Zgjidhja e këtyre ushtrimeve është një përforcim praktik i mësimit.

Shembulli 2 te çështja e parë dhe shembulli 2 te çështja e dytë mund t’u jepen si punë e pavarur nxënësve mesatarë, për të kryer veprimin e shumëzimit apo pjesëtimit dhe si numra dhjetorë. Të mos aktivizohen shumë nxënës.

Për përforcimin praktik klasa duhet të interpretojë tabelën me shenja në punën përgatitore.

Para se të jepen detyrat e shtëpisë, mësuesi duhet t’i kushtojë rëndësi dhe shënimit kujdes. Nëse te mbledhja e numrave me shenjë kllapat duhen hequr , te shumëzimi një gjë e tillë nuk rekomandohet. Domethënë nuk duhet shkruar – 2 ∙ ─ 6, por ( – 2) ∙ (─ 6). Pra kur kemi dy shenja veprimesh të njëpasnjëshme duhet të përdorim kllapat.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1(c, d) dhe 2(b, c, d), faqe 58.

Tema 2.9. USHTRIME

Objektivat që dalin nga programi Të përforcojnë njohuritë e marra për veprimet me numrat me shenjë.Për të tri nivelet objektivi do të jetë ai i programit.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Puna në grupe.c) Tabela që u përdor në mësimin 2.8


Mësuesi duhet të zgjidhë shembujt 1 dhe 2. Shembujt kanë ndryshim njëri nga tjetri sepse i pari është për numra dhjetorë, i dyti për numra thyesorë. Numrat dhjetorë të fundmë nuk është e nevojshme që të kthehen në thyesa,

Libër mësuesi

47

këtë mësuesi e konkretizon me anë e këtij shembulli. Shembulli i dytë ka një veçori, se nuk dimë se cila nga thyesat është më e madhe, që të përdorim rregullin nga më e madhja zbresim më të voglën (thyesat merren pa shenjë). Prandaj kthehen në emërues të njëjtë (të përbashkët) dhe kur t’i vendosim në një thyesë, shenja para thyesës i kalon numëruesit përkatës. Kjo ka rëndësi të theksohet dhe të bëhen përpjekje që dhe nxënësve të dobët t’u bëhet shprehi.

Mbas zgjidhjes së shembullit të parë, mësuesi ndan klasën në tri grupe. Njëri grup punon me 2(a, të parën), mendoj që të jenë nxënësit e dobët sepse do të ndihmohen dhe nga shembulli 1, meqë është i njëjtë me këtë shembull. Grupi i dytë punon me 2(b, të parën) dhe treti me 2(c, të parën). Nxënësit punojnë në mënyrë të pavarur. Në përfundim çohet nga një nxënës në dërrasë për të punuar. Klasa kontrollon përfundimin në fletore me atë në dërrasë.

Pas shembullit të dytë përsëri grupet e formuara punojnë përkatësisht me 3(a,të parën), 3(b, të parën) dhe 3(c, të parën).

Shembulli 3 ka tjetër natyrë dhe tjetër qëllim që është vendosur. Mblidhen numra me shenjë, por njëri është dhjetor i fundmë dhe tjetri thyesë. Zgjedhet rruga e kthimit të numrave në thyesa dhe jo në numra dhjetorë. Pse? Mund të ndodhë që numri thyesor po të kthehet në numër dhjetor të dalë periodik. Kjo do të na detyrojë që t’i kthejmë në thyesa. Prandaj dhe nëse mund të shprehet ndonjë mendim i tillë nga nxënësit, mësuesi duhet të sqarojë që është rruga më e leverdisshme. Për ndjekjen e kësaj rruge na detyron dhe fakti që një numër dhjetor është më lehtë të kthehet në një thyesë, sesa thyesa të kthehet në numër dhjetor. Edhe në këtë shembull duhet insistuar që shenja para thyesë i kalon numëruesit përkatës kur i vendosim në një vijë thyese të dy numëruesit.

Mbas shembullit mësuesi ngre në dërrasë katër nxënës dhe punojnë ushtrimin 4(c).

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2(a, të dytën), 2(b, të dytën), 3(a,b dhe c) dhe 4(a, b) faqe 59, 60.

Tema 2.10. SHPREHJET NUMERIKE

Objektivat që dalin nga programi Të gjejnë vlerën e një shprehjeje numerike pa kllapa duke zbatuar radhën e veprimeve (me numra të plotë).

Të shkruajnë një shprehje numerike kur jepen numrat dhe veprimet që duhet të ketë në këtë shprehje.Të gjejnë vlerën numerike të një shprehjeje kur nuk ka më shumë se tri veprime me numra të vegjël.



48


Të shkruajnë shprehje numerike pa u caktuar veprimet dhe numrat që duhen përdorurTë gjejnë vlerën numerike të një shprehjeje numerike me të pesë veprimet algjebrike.


a) Libri i nxënësit Punë frontaleb) Libri i ushtrimeve Punë e pavarur


[Korrigjo pas shembullit 4 faqe 61 ushtrimi d) është 16 - : 4 – 10 : 5 + 3 -5 duhet 16 - 4 : 4 – 10 : 5 + 3 -5 ]

Në punën përgatitore janë disa koncepte për t’u dhënë nga nxënësi. Mësuesi duhet t’i kërkojë për t’u dhënë në mënyrë të saktë sepse janë të nevojshme për mësimin. Nëse deri në klasën e gjashtë nxënësi ka punuar me shprehje numerike me katër veprime, tani ai njeh dhe veprimin e pestë që është ngritja në fuqi. Në një shprehje pa kllapa ky është veprimi i parë që kryhet. Duhet insistuar sepse nuk dihet nga nxënësit.

Mësimi ka një çështje mësimore: gjetja e vlerës së një shprehjeje numerike pa kllapa kur në të kemi vetëm numra natyrorë. Po të shihen me kujdes shembujt ndryshojnë njeri nga tjetri. I pari ka dy veprime: të mbledhjes dhe të zbritjes; i dyti veprimin e shumëzimit dhe pjesëtimit; i treti të katër veprimet e para dhe i katërti pesë veprimet. Të katër shembujt duhet të punohen me kujdes, të argumentohet çdo veprim. Po të vihet re me kujdes, në çdo rast është bërë nga një veprim p.sh. 5 + 3 – 7 – 29 + 6. Është thënë : kryejmë mbledhjen 5 + 3

5 + 3 – 7 – 29 + 6 = 8 – 7 – 29 + 6 kryejmë zbritjen 8 – 7 = 1– 29 + 6 kryejmë zbritjen 1 – 29 = – 28 + 6 = - 22

Që në fillim mund të kryhej dhe veprimi – 7 – 29. Por qëllimi është që nxënësi duhet të kuptojë radhën e veprimeve. Prandaj në ushtrimet e para veprimet të kryhen njëri pas tjetrit. Mbasi të jenë përfunduar të katër shembujt duhet theksuar që mund të kryhen dhe më shumë se një veprim njëherësh, por duhet sqaruar mirë për t’iu përmbajtur me rigorozitet radhës së veprimeve. Për ushtrimet e para është mirë që të sqarohet se çfarë ka kryer, pas çdo transformimi.

Ushtrimet a mund të kryhen në mënyrë frontale me që kanë vetëm veprimet e mbledhjes dhe zbritjes. Po kështu dhe b. Për ushtrimet c dhe d duhet të punojë çdo nxënës në fletoren e klasës. Mësuesi duhet të kontrollojë punën e gjithsecilit. Në fund për të kontrolluar saktësinë ngrihen dy nxënës në dërrasë për t’i punuar.

Libër mësuesi

49

Duhet kërkuar se si kanë vepruar për përfundimin e ushtrimit. Nëse del koha të zhvillohet dhe ushtrimi 9. Ky ushtrim të zgjidhet nga një nxënës mesatar.

Në fund të mësimit si përforcim të kërkohen ato të punës përgatitore. Më shumë të insistohet në radhën e veprimeve në shprehjet pa kllapa.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 4, 6, 7, faqe 61.

Tema 2.11. SHPREHJET NUMERIKE (VAZHDIM)



Objektivat mesatare


Të gjejnë vlerën e një shprehjeje numerike pa kllapa duke zbatuar radhën e veprimeve (me numra racionalë).

Të gjejnë vlerën numerike të një shprehjeje me tri veprime dhe me thyesa që emëruesi i përbashkët gjendet me lehtësi.

Të gjejnë vlerën numerike të një shprehjeje me të pesta veprimet, që nuk ka në të numrat dhjetorë periodikë.

Të gjejnë vlerën numerike të një shprehjeje me të pesta veprimet, që ka të gjitha llojet e numrave racionalë.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë e pavarur


Në punën përgatitore të kësaj teme janë po ato të temës së mëparshme, por mësuesi më shumë duhet të përqendrohet në radhën e veprimeve.

Mësimi ka vetëm një çështje, me dy ushtrime, ku shprehjet nuk janë vetëm me numra natyrorë, të cilët kanë veçoritë e tyre. Gjatë zhvillimit të ushtrimit duhet theksuar se po të jetë shprehje numerike që ka vetëm thyesa që mblidhen ose zbriten, veprimi i parë është: të kthehen në thyesa me emërues të përbashkët.

Veprimi i dytë: formohet një thyesë që si emërues ka emëruesin e përbashkët dhe numërues shumën e numëruesve të formuar pas kthimit në emërues të përbashkët. Mbas saj, në numëruesin e thyesës së formuar kemi një shprehje numerike me numra natyrorë, e cila është trajtuar në mësimin 2.10.

Shembulli i dytë ndryshon nga i pari, sepse në të ka më shumë se dy veprime


50

dhe se kemi numra të plotë, thyesa dhe numra dhjetorë periodikë. Nxënësit duhet të sqarohen mirë për këto lloj ushtrimesh.

1. Numrat dhjetorë të kthehen në thyesa dhjetore.2. Numrat dhjetorë periodikë të kthehen në numra thyesorë.3. Kur ka pjesëtim por herësi nuk del numër i plotë ose dhjetor i fundmë është

mirë që ky pjesëtim të kthehet në thyesë.4. Nëse ndonjë thyesë është e thjeshtueshme duhet bërë thjeshtimi, se

lehtëson në gjetjen e emëruesit të përbashkët.Të mos kërkohet që nxënësi t’i mësojë përmendsh, por mësuesi herë pas here

duhet t’i përmendë që nxënësit t’i fiksohen si radhë pune në një shprehje.Këto veprime mund të na çojnë në një shprehje numerike vetëm me mbledhje dhe

zbritje të thyesave. Në fund mund të në dalë përsëri një thyesë e thjeshtueshme, duhet bërë thjeshtimi. Të dy shembujt duhet të punohen me shumë kujdes dhe jo duke shpejtuar, meqë janë punuar dhe në klasën e gjashtë.

Meqë ka shumë veprime, ushtrimet, të cilat janë tre, që do të punohen në dërrasë, zgjidhen një nga një dhe me nxënës mesatarë. Mësuesi të kontrollojë punën për çdo nxënës dhe të sqarojë ato që punohen në dërrasë.


Tema 2.12. USHTRIME



Objektivat mesatare


Të gjejnë vlerat numerike të shprehjeve

Ato që janë dhënë në mësimet 2.10 dhe 2.11




a) Libri i nxënësit Punë e pavarur b) Libri i mësuesit Bashkëbisedim


Këto janë ushtrime para testit të kontrollit. Mirë është që të zhvillohen sa më shumë ushtrime, të cilat do të ndihmojnë

nxënësit për të dalë me sukses në testin e kontrollit. Prandaj duhet të fillohet nga ushtrimet më të thjeshta deri te më të vështirat. Të punohen ushtrimet 1, 2,

Libër mësuesi

51

5, 8, 9 dhe 10, faqe 63.1, 2 dhe 3 të punohen nga nxënësit në dërrasë. Kurse me ushtrimet e tjera të

punojë mësuesi duke aktivizuar dhe nxënësit në momente të caktuara.Ja si mund të veprohej për të zgjidhur ushtrimin 9.

3 2 4 1 10 2 1 4 2 100 2 3, , , : ,__ __

- ⋅ - ⋅ - ⋅Mësuesi i drejtohet klasës me pyetjen: para se të zbatojmë veprimet sipas

radhës çfarë duhet të bëjmë? Do të marrim përgjigjen: Të kthejmë numrat dhjetorë periodikë dhe të fundmë në thyesa.

3 2 32 39

299

,__

= - = dhe 4 1 41 49

379

,__

= - = . Atëherë:

3 2 4 1 10 2 1 4 2 100 2 3 299

379

10 2110

4210

100 2, , , : , :__ __

- ⋅ - ⋅ - ⋅ = - - ⋅ - ⋅� 33 .

Çfarë duhet të bëjmë para se të kemi vetëm veprimin e mbledhjes për thyesat? Përgjigje: pjesëtimin ndërmjet dy thyesave ta kthejmë në shumëzim. Si kthehet? Atëherë:

299

3709

2110

4210

100 2 3 299

3709

2110

1042

100 2 3- - ⋅ - ⋅ = - - ⋅ ⋅ - ⋅:

Po tani si të veprojmë? Mund të merret përgjigjja: shumëzojmë thyesat dhe shumëzojmë 2 me 3. Si mendim është i saktë, por mësuesi duhet t’i drejtojë nxënësit që të kryejnë thjeshtim dhe pastaj të kalohet në shumëzim. I drejtohemi klasës: mund të kryeni ndonjë veprim te thyesat para shumëzimit? Nëse nuk merr përgjigjen e duhur, e jep vet mësuesi: thjeshtojmë me dhjetë dhe me 21 te prodhimi i thyesave.

299

3709

2110

1042

100 2 3 299

3709

12

100 6- - ⋅ ⋅ - ⋅ = - - ⋅ - .

Mund të pyesim: cili është emëruesi i përbashkët? Përgjigje:18. Para se të kthejmë në emërues të përbashkët pyesim: Ka ndonjë thjeshtim? Mund të jepet përgjigjja: Po. Atëherë si shkruhet shprehja?

299

3709

12

100 6 299

3709

50 6- - ⋅ - = - - - .

Po tani cili është emëruesi i përbashkët? Përgjigje: 9. Atëherë, mësuesi thekson se mbas thjeshtimit, që është veprim njëvlershmërie, emëruesi u zvogëlua, gjë që na lehtëson veprimet.

299

3709

50 6 299

3709

4509

549

- - - = - - -

Duhet të sqarohen si dolën dy thyesat e fundit.


52

299

3709

4509

549

29 370 450 549

8459

8459

- - - = - - - = - = -

Si do t’i paraqesim në dërrasë. Mbasi janë kthyer numrat dhjetorë periodikë në thyesa shkruhet:

Duket sikur ushtrimi do shumë kohë, por pyetjet nuk do të shkruhen. Kjo mënyrë drejton nxënësin në ato veprime që janë më të shpejta dhe më të shkurtra.

Duke pasur parasysh orët e lira, mësuesi të marrë një orë për të zhvilluar ushtrime të ngjashme me ato të testit.

= - - ⋅ ⋅ - ⋅299

3709

2110

1042

100 2 3

= - - ⋅ -299

3709

12

100 6

= - - -299

3709

50 6

= - - -299

3709

4509

549

= - - -29 370 450 549

3 2 4 1 10 2 1 4 2 100 2 3 299

3709

2110

4210

100 2 3, , , : , :__ __

- ⋅ - ⋅ - ⋅ = - - ⋅ - ⋅

= - = -8459

8459


Kujdes! Nuk duhen lejuar makinat llogaritëse. Si do të vendosen pikët:1. a vlerësohet me një pikë. Nëse te b gjendet vetëm emëruesi i përbashkët

vlerësohet me një pikë, nëse përfundohet saktë merr dhe një pikë tjetër.2. a vlerësohet me një pikë. Nëse te b gjendet vetëm emëruesi i përbashkët

vlerësohet me një pikë, nëse përfundohet saktë merr dhe një pikë tjetër.3. a vlerësohet me një pikë. Te b nëse kryhet veprimi i shumëzimit pa kryer

thjeshtimin ushtrimi merr një pikë, nëse kryhet vetëm thjeshtimi merr një pikë, po të kryhet thjeshtimi dhe të nxirret rezultati i saktë merren të dy pikët.

Libër mësuesi

53

4. a vlerësohet me 0,5 pikë nëse kthen pjesëtimin në shumëzim, nëse e gjen saktë përfundimin vlerësohet me një pikë. Te b nëse kthen pjesëtimin në shumëzim merr një pikë, nëse gjen përfundimin saktë merr dy pikë.

5. Përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë.6. a, b, c për përgjigje të sakta vlerësohen me nga një pikë secila. Nëse te

d numrat dhjetorë periodikë kthehen në thyesa vlerësimi është një pikë, nëse nxirret dhe rezultati i saktë vlerësohet me 2 pikë.

7. Për përgjigje të saktë a vlerësohet me tri pikë. Nëse bën një gabim vlerësohet me dy pikë, nëse bën dy gabime vlerësohet me një pikë dhe po bëri më tepër se dy gabime nuk merr asnjë pikë. Për përgjigje të saktë b vlerësohet me katër pikë. Nëse bën një gabim vlerësohet me tri pikë, nëse bën dy gabime vlerësohet me dy pikë, nëse bën tri gabime vlerësohet me një pikë dhe nëse bën më shumë se tri gabime nuk merr asnjë pikë.

Tema 2.14. FAKTORIZIMI NË SHPREHJE TË THJESHTA



Objektivat mesatare


Të përcaktojnë faktorin e përbashkët në shprehje numerike dhe shkronjore të thjeshta dhe ta faktorizojnë atë.

Të faktorizojnë në një shprehje numerike kur faktori që duhet faktorizuar është i dukshëm (p.sh. 16·2 - 15·2).

Të faktorizojnë në një shprehje të thjeshtë si numra dhe shkronja.

Të llogarisin vlerën e një shprehjeje pasi të kenë kryer dhe faktorizimet.


a) Libri i nxënësit Metoda e diskutimitb) Libri i ushtrimeve


Mësimi ka vetëm një çështje, e cila ka gjashtë shembuj.Para se të fillohen shembujt duhet që me vetinë e përdasimit dhe me vetinë e

simetrisë së një barazimi duhet të punohet me kujdes. Nga vetia e përdasimit: a(b + c) = ab + ac kalojmë te ab + ac = a(b + c) duke patur parasysh vetinë e simetrisë. Për barazimin e fundit është mirë që të diskutohet me nxënësit. Pyesim: çfarë vini re te dy termat e anës së majtë? Mund të merren përgjigjet:


54

a) kemi dy prodhime, b) kemi shumën e dy monomeve, c) të dy kufizat kanë a të përbashkët. Të tri përgjigjet janë të sakta, nga mësuesi duhet të pranohen. Qëndrohet tek e treta (mund të jepet dhe e para kjo që na intereson). Pyetet përsëri: po në anën e djathtë çfarë kemi? Përgjigje: prodhim i a me një shumë. Këtu mësuesi me shumë kujdes duhet të nxjerrë kuptimin e faktorizimit. Pra, në anën e majtë të dy faktorët kanë a të përbashkët dhe në të djathtë kjo a doli më vete, pra do të themi se u faktorizua ky faktor i përbashkët. Gjithashtu duhet insistuar se kur faktorizon një madhësi në një shumë prodhimesh duhet të pjesëtosh çdo prodhim të shumës me atë që faktorizon. Kjo duhet interpretuar: ishte ab dhe në kllapë mbeti b, pra ab është pjesëtuar me a.

Nxënësve t’u thuhet se mbas faktorizimit brenda kllapave nuk duhet të na krijohen thyesa( nëse shprehja nuk ka pasur të tilla).

Qëllimi i shembujve 1 deri te 4 është që nxënësi të mësojë të faktorizojë në situata të ndryshme, prandaj duhet të punohen me shumë kujdes. Në shembullin 1 janë zbatuar një për një ato që u thanë në fillim.

Pra te shprehja 35∙2 + 65 ∙2 në fillim përcaktojmë faktorin e përbashkët, kjo

ka rëndësi të bëhet. Nuk është kaluar te 2(35 + 65) por te 2 35 22

65 22

⋅ + ⋅

.

Për ushtrimet e para kjo është e rëndësishme sepse fikson te nxënësi që faktorët e shumës pjesëtohen me faktorin që faktorizojmë. Ky moment në ushtrimin e parë nuk duhet të anashkalohet. Tek ushtrimi i dytë ky moment nuk paraqitet më, por nga 3·11 + 3·432 kalohet te 3(11 + 432).

Mbas tyre kalohet tek ushtrimet. Nxënësit që ngrihen në dërrasë duhet t’i punojnë sipas shembullit 1.

Nxënësi njihet nga klasa e gjashtë me shprehjet shkronjore. Mundet që një shkronjë të jetë e përbashkët, prandaj dhe shembujt 3 dhe 4 kanë si qëllim të kryhet faktorizimi në shprehjet shkronjore të thjeshta. Të theksohet se mënyra nuk ndryshon, pra në vend që të faktorizohet numri faktorizohet shkronja. Shembulli 4 është i lidhur me shënimin kujdes. Në shprehjen a – 4ab shkronja e përbashkët është a dhe mbas faktorizimit kemi:

a(1 – 4b). Por eksperienca tregon se ka nxënës që shkruajnë: a – 4ab = a(4b).Këtu mësuesi ndërhyn me atë që thuhet në shënimin kujdes. Duhet trajtuar pa tjetër.Ushtrimet pas shembullit janë shprehje shkronjore dhe nxënësit duhet të

zgjidhin sipas shembullit 2.Kurse me anën e shembujve 5 dhe 6 tregohet rëndësia e faktorizimit në një

shprehje numerike. Por në të njëjtën kohë nxënësi duke parë me kujdes një shprehje shkronjore zgjedh rrugën më të thjeshtë për të nxjerrë përfundimin.

Përforcimi bëhet me anën e ushtrimeve 3.Mund të kërkohen dhe ato që u thanë në fillim të çështjes mësimore.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet që u punuan në klasë ose nga teksti i ushtrimeve.

Libër mësuesi

55

Tema 2.15. USHTRIME



Objektivat mesatare


Të kryejnë faktorizimin në shprehje numerike.

Ato që janë dhënë në mësimin 2.14.




a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë individuale


[Korrigjo te ushtrimi 1 faqe 66 është + 013 duhet + 0,13 ]Janë dy shembuj të ndryshëm. Tek i pari, pra 4x + 12y, faktori që duhet faktorizuar

nuk është i dukshëm si te shembujt e mësimit të zhvilluar një orë më parë. Këtu mësuesi i drejtohet klasës: ka faktor të përbashkët? Shumica mund të

thotë jo. Pyetet klasa: kur faktorizojmë çfarë bëjmë me faktorin e përbashkët? Pjesëtojmë. Atëherë a ka ndonjë numër që pjesëton 4 dhe 12? Mund të merren dy përgjigje: 2 ose 4. Mësuesi i pranon të dyja, por thekson se për ne është më mirë 4. Pyet: çfarë është 4 për 4 dhe 12? Pritet përgjigjja: PMP. Atëherë ndërhyn mësuesi; nëse faktori i përbashkët në një shprehje nuk është i veçuar, ne duhet të gjejmë PMP. Meqë 4 është PMP e 4 dhe 12, ne shkruajmë:

4x + 12y = 4(x + 3y)Para se të punohet shembulli 2 nxënësit punojnë në mënyrë të pavarur

ushtrimin 1(a) dhe 2(b). Kujdes! Jo me makina llogaritëse.

Shembulli 2 ka dy momente që duhet të kihen parasysh nga mësuesi: e para që faktorët kanë një shkronjë të përbashkët dhe e dyta që numrat kanë si PMP 5.Pra në ushtrim kombinohen të dyja.

Punohet me klasën 3(a) dhe 4(a). Nxënësit duhet t’i punojnë në fletoren e tyre duke u kontrolluar nga mësuesi dhe kur vihet re se shumica i ka përfunduar ngrihen në dërrasë nxënës për t’i punuar dhe për të kontrolluar saktësinë nxënësit e tjerë.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1(b), 2(a) dhe 3(b,c). Për punë të diferencuar ushtrimi 4(c), faqe 66.


56

Tema 2.16. SHPREHJE NUMERIKE ME KLLAPA



Objektivat mesatare


Të gjejnë vlerën numerike në një shprehje numerike me kllapa.

Të shkruajnë një shprehje numerike me kllapa.Të llogarisin vlerën numerike të një shprehje me kllapa kur ka vetëm kllapa të rrumbullakëta dhe brenda saj ka jo më shumë se tri veprime.

Të llogarisin vlerën numerike të një shprehjeje që përmban të tri llojet e kllapave, por në to nuk janë të gjitha veprimet.

Të llogarisin vlerën numerike të një shprehjeje që përmban të tri llojet e kllapave dhe të pestë veprimet algjebrike.


a) Libri i nxënësit Punë e pavarurb) Libri i ushtrimeve


[ Korrigjo te shembulli 1 te fundi i reshti të katërt pas fjalës zgjidhje është +2·3 - 2 ) duhet +(2·3 - 2) ]

Te puna përgatitore dy janë momentet kryesore: vlera numerike e një shprehjeje dhe radha e veprimeve në një shprehje numerike me kllapa. Mbas sqarimit të këtyre dy momenteve, kalohet te lloji i kllapave duke theksuar se prioritet i jepet kllapave të rrumbullakëta, pastaj katrore dhe në fund kllapave gjarpëruese. Por aty është dhe shënimi kujdes. Mos e anashkaloni. Shprehja brenda çdo kllape duhet konsideruar sikur atë shprehje e kemi pa kllapa, prandaj radha e veprimeve është ajo që kemi thënë për to.

Në shembullin 1 numrat janë të plotë dhe shprehja ka vetëm kllapa të rrumbullakëta. Të sqarohet si në tekst çdo shndërrim.

Shembulli 2 i përmban të tri llojet e kllapave. Duhet të punohet me shumë kujdes dhe në dërrasë të paraqitet si në libër. Janë bërë shumë sqarime, secili ka rëndësinë e vet, por mësuesi duhet të ndalet veçanërisht kur kalohet nga njëra kllapë në tjetrën. Nga fundi i ushtrimit është shënimi kujdes. Duhet të insistohet sepse nxënësit gabojnë kur para një kllape është shenja minus dhe duhet të heqim kllapën. Mund të mos gabohet kur numri para kllapës është

Libër mësuesi

57

pozitiv dhe nuk i është shënuar shenja. Por gabohet shpesh kur edhe numri në kllapë është negativ.

Nga ushtrimet pas shembullit të punohet a dhe b ose të lihet për detyrë shtëpie. Për ushtrimin a mësuesi të aktivizojë një nxënës të mirë dhe klasa të punojë në fletore. Nëse tepron koha mësuesi të ketë planifikuar dhe ushtrimet 1 dhe 2.

Detyrë shtëpie: Ushtrimi b, faqe 68; 3 ,4 dhe 7, faqe 69.

Tema 2.17. USHTRIME PËR GJETJEN E VLERËS NUMERIKE

TË SHPREHJEVE NUMERIKE



Objektivat mesatare


Të gjejnë vlerën numerike të shprehjeve numerike me dhe pa kllapa.







Nuk ka shembuj të zgjidhur, por në fillim mësuesi duhet të kujtojë me nxënësit radhën e veprimeve në një shprehje pa kllapa dhe me kllapa.

Mbasi nxënësit kanë zgjidhur në mënyrë të pavarur ushtrimet 1(a), 2(a) dhe 3(a), mësuesi punon vetë në dërrasë ushtrimin 4(b). Meqenë se ky ushtrim nuk është i zgjidhur mësuesi kërkon që nxënësit të ndjekin atë dhe të punojnë në fletore. Ushtrimi duhet të punohet shumë ngadalë dhe mësuesi për shumë transformime të kërkojë dhe mendimin e nxënësve. Kujdes: të sqarohen veçanërisht rastet kur hiqen kllapat dhe para tyre është shenja minus.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1(b), 2(b), 3(c) dhe 5(a), faqe 69.


58

Tema 2.18. RRUMBULLAKIMI NUMRAVE




Të rrumbullakojnë çdo numër racional pozitiv.

Të rrumbullakojnë numrat e plotë deri në 10dhe deri në 100.Të rrumbullakojnë numrat dhjetorë deri në një dhe deri në të dhjetat.

Të rrumbullakojnë të gjithë numrat racionalë.


a) Libri i nxënësit Punë e pavarurb) Libri i ushtrimeve Bashkëbisedim

Punë frontaleZhvillimi i mësimit

[Korrigjo te shembulli 5 është 0 22, ≈ duhet 0 2 2,__

≈ dhe te shembulli 6 është 0,248 ≈ duhet 0 248,

___≈ ]

Për punën përgatitore mendoj që mësuesi të ketë përgatitur një bosht numerik ku të ketë vendosur në të numrat e plotë nga 50 deri te 60. Ajo që kërkohet në punën përgatitore është të thuhet një numër midis 50 dhe 60 që është më afër apo më larg 50. Duke pasur dhe boshtin numerik nxënësi është në gjendje jo vetëm ta përcaktojë, por dhe të shikojë që është më afër apo më larg.

Rregullat për rrumbullakimin duhet të sqarohen shumë mirë nga mësuesi.Mësimi është ndarë në dy çështje. Në çështjen e parë trajtohet rrumbullakimi

i numrave natyrorë. Shembujt 1 dhe 2 janë për të rrumbullakuar deri në 10, kur shifra e njësheve është më e vogël se 5 dhe pastaj më e madhe se 5. Kujdes se çfarë bëhet me shifrën e një rendi më të ulët se ajo që rrumbullakojmë. Kjo është trajtuar dhe në klasën e gjashtë.

Në çështjen e dytë kryhet rrumbullakimi i numrave dhjetorë të fundmë dhe i dhjetorëve periodikë. Në tekst ka një sqarim që zerot që duhet të vendosen mbas rrumbullakimit pas presjes dhjetore nuk shënohen. Ky fakt është përmendur dhe në mësimin 1.1. Në këtë çështje janë 6 shembuj. Secili ka veçorinë e vet. 1,2 dhe 3 janë për të rrumbullakuar numra dhjetorë të fundmë. Kujdes kur themi rrumbullakim në një. Duhet parë shifra e parë pas presjes. Shembujt 4, 5 dhe 6 janë për të rrumbullakuar numrat dhjetorë periodikë.

Te shembulli 5 thuhet: të rrumbullakohet deri në të dhjetat (0,1) numri 0 2,__

.

Libër mësuesi

59

Duhet parë shifra e të qindtave. Në numër nuk është. Por mësuesi duhet të theksojë se përderisa perioda është 2 dhe numri është periodik i thjeshtë shifra e të qindtave është përsëri 2, pra më e vogël se 5. Prandaj kemi: 0 2 0 2, ,

__≈

Në tekst nuk është trajtuar por duhet të kihet kujdes kur perioda është një numër me më shumë se një shifër. P.sh.: Të rrumbullakohet deri në të mijtat numri 2 345,

____

.Vëmë re se perioda është 345 dhe duhet bërë rrumbullakimi për shifrën e fundit

të periodës. Duhet parë shifra e të dhjetëmijtave pra shifra e parë e periodës, që është 3 dhe më e vogël se 5. Kujdes nuk ka rëndësi numri i shifrave të periodës dhe nuk ndikon shifra e fundit e periodës për rrumbullakim. Prandaj në rastin tonë do të kemi: 2 345 2 345, ,

____≈

Mësuesi duhet të theksojë se mbas rrumbullakimit numrat dhjetorë periodikë kthehen në dhjetorë të fundmë. Tri ushtrimet, mbas shembullit 6 duhet të punohen frontalisht duke marrë pjesë e gjithë klasa.

Mësuesi duhet të planifikojë për të punuar dhe ushtrimet 1 dhe 2.Për përforcim kërkon nga nxënësit rregullat teorike të rrumbullakimit të numrave.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 4 dhe 5, faqe 71.

Tema 2.19. RRUMBULLAKIMI I NUMRAVE NEGATIVË




Të rrumbullakojnë çdo numër racional negativ.

Të rrumbullakojnë numrat e plotë deri në 10dhe deri në 100.Të rrumbullakojnë numrat dhjetorë deri në një dhe deri në të dhjetat.

Të rrumbullakojnë të gjithë numrat racionalë.




Kjo temë është trajtuar me një çështje. Trajtimi duhet bërë si në temën për numrat pozitivë. Prandaj të punohet si te numrat pozitivë.

Detyrë shtëpie Ushtrimet 2, 3, dhe 5, faqe 72.


60

[Korrigjo te shembulli i zgjidhur faqe 73 është – 2,314 duhet – 2,314__

]Në këtë temë i kthehemi gjetjes së vlerës së një shprehjeje numerike por duke

pasur parasysh rrumbullakimin e numrave.Mësuesi punon shembullin duke kryer në fillim rrumbullakimin sipas kërkesës.

Mbasi ka bërë rrumbullakimin dhe ka vazhduar veprimet sipas radhës, në shprehje del numri 0,02. Por meqenëse në kërkesë duhet që numrat të rrumbullakosen në një të dhjetën duhet që dhe ky numër të rrumbullakoset, pra del se shifra e të qindtave është 2. Pra mësuesi duhet të theksojë se rrumbullakim sipas kërkesës duhet të bëjmë nëse lind nevoja dhe mbas kryerjes së veprimeve.

Në këtë temë, nëpërmjet ushtrimeve, duhet të dalë qartë se ndryshimi i vlerës së shprehjes para rrumbullakimit me atë pas rrumbullakimit nuk është shumë i madh. Kjo del duke punuar ushtrimin 3. Por mësuesi duhet të aktivizojë një nxënës për të punuar I(a). Klasa e ndjek nxënësin duke punuar në fletore.

Mbas mbarimit të këtij ushtrimi mësuesi e ndan klasën në dy grupe. Grupi i parë punon ushtrimin II (1, pikën a), grupi i dytë II (1, pikën b). Kontrollon punën e çdo nxënësi duke dhënë udhëzimet e nevojshme. Pasi të jetë përfunduar nga shumica, për çdo grup ngre nga një nxënës në dërrasë. Kur të dy nxënësit të kenë gjetur vlerat e shprehjeve, mësuesi kërkon nga çdo nxënës që të japë përgjigje për pikën c.

Në përfundim mësuesi duhet të kërkojë nga nxënës të ndryshëm rregullat për gjetjen e vlerës numerike të shprehjeve me dhe pa kllapa.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet I (b) dhe II (3, me të gjashtë kërkesat).

Tema 2.20. USHTRIME



Objektivat mesatare


Të gjejnë vlerën numerike të shprehjeve numerike duke kryer në fillim rrumbullakimin.

Të llogarisin vlerën numerike të një shprehjeje kur duhen rrumbullakuar numrat deri në një dhe në dhjetë.

Të llogarisin vlerën numerike të një shprehjeje kur rrumbullakimet janë të çfarëdoshme.

Të nxjerrin konkluzione për rezultatet e një shprehjeje para dhe pas rrumbullakimit.


a) Libri i nxënësit Puna me grupeb) Libri i ushtrimeve


Libër mësuesi

61

Tema 2.21. PËRDORIMI I MAKINËS LLOGARITËSE




Të përdorin makinën llogaritëse për gjetjen e vlerave numerike të shprehjeve numerike.

Të përdorin makinën llogaritëse në shprehje pa kllapa që kanë veprimin e mbledhjes dhe zbritjes.

Të përdorë makinën llogaritëse kur shprehja ka të katër veprimet.


a) Libri i nxënësit Punë e pavarurb) Libri i ushtrimevec) Makinë llogaritëse


Rregullat që zbatohen në një shprehje numerike përdoren dhe në një makinë llogaritëse. Qëllimi i përdorimit të saj është për një llogaritje të shpejtë dhe të saktë. Por para se të përdoret makina llogaritëse duhet të kryhet skema. I thjeshtë është përdorimi kur shprehja ka mbledhje dhe zbritje. Vështirësohet kur në shprehje kemi kllapa dhe janë të gjitha veprimet.

Për të punuar me makinë llogaritëse duhet që çdo nxënës të ketë një të tillë. Nxënësi duhet ta mësojë përdorimin, por mendoj se ne duhet të insistojmë që veprimet në këtë periudhë duhet të bëhen pa makinë llogaritëse. Nëse ne kërkojmë të mbledhim thyesat duke i kthyer në emërues të përbashkët, tani për tani nuk ka makina për veprime të tilla, prandaj nuk duhet që nxënësit të shkëputen nga veprimet pa makinë llogaritëse.

Detyrë shtëpie: Të jepen të pesta ushtrimet.Makina të mësohet për përdorim, por në ushtrime të përdoret në raste të veçanta.


62

Kjo temë ka një rëndësi të veçantë sepse kthimi me simbole matematike shkurton shumë në paraqitje, lejon që veprimet të kryhen më shpejt. Nëse deri tani janë shkruar me simbole matematike shprehje të trajtës: pesëdhjetë e pesë mijë, apo tridhjetë shumëzuar me pesëmbëdhjetë e të tjera, tani do të na jepet një problemë dhe të dhënat e saj apo shtrimi i problemës duhet të jepet me simbole matematike. Por rëndësi ka që shprehja e dhënë me fjalë të kuptohet mirë. Prandaj mësuesi duhet t’u kërkojë nxënësve që ta lexojnë disa herë shprehjen e dhënë me fjalë. Shembujt 1, 2, 3 dhe 4 janë të thjeshtë dhe mund të kalohen shpejt. Kujdes duhet të kihet me shembullin 5.

Si do t’i paraqesë në dërrasë mësuesi ato që jepen në problemë? Problema është e përbërë nga shprehje të thjeshta. Prandaj duhet ndarë ajo në këto shprehje të thjeshta.

Mësuesi i drejtohet klasës: 1. Çfarë nuk dimë? Lekët e Petritit.2. Çfarë u shtohet këtyre lekëve? Pesë të tretat e lekëve që kishte.

Tema 2.22. SHKRIMI ME SIMBOLE MATEMATIKE



Objektivat mesatare


Të shkruajnë me simbole matematike fjalitë matematike.

Të shkruajnë me simbol matematik numrin kur ai jepet me fjali matematike.Të shkruajnë me simbole matematike një shprehje (që jepet me fjali matematike) e cila të ketë jo më shumë se dy shkronja dhe deri në tri veprime matematike.

Të shprehin me simbole matematike një shprehje shkronjore të thjeshtë (që jepet me fjali matematike).

Të shkruajnë me simbole matematike një shprehje (që jepet me fjali matematike), që shpreh marrëdhëniet ndërmjet numrave, shkronjave dhe simboleve matematike.




Libër mësuesi

63

3. Çfarë u zbritet? Dyfishi i lekëve të Petritit.4. Çfarë i shtohet tjetër? Pesë mijë.5. Sa bëhen gjithsej? Tridhjetë e dy mijë lekë.

Të pesta këto fjali të thjeshta i shprehim me simbole matematike.1. x .

2. 53

x

3. 2x4. 50005. 32000.Duke pasur parasysh veprimin që caktohet në shprehjet e thjeshta të dhëna

para kthimit në simbole matematike kemi:

x x x+ - + =53

2 500 32000

Themi se kjo është ekuivalente me shprehjen e dhënë me fjalë në problemë. Pak a shumë kështu është dhënë dhe në libër, por duke pasur dërrasën do të kuptohet më mirë nëse trajtohet si vepruam këtu.

Mund të lindë mendimi se po të veprohet kështu do të duhet shumë kohë.Kur nxënësit të kenë fituar shprehi do të kryejnë më shpejt kalimin e shprehjeve

me fjalë në shprehje me simbole matematike.Tek ushtrimi 1(1, 2 dhe 3) të aktivizohen nxënësit nën mesatarë. Për ushtrimin

1(4) të aktivizohet një nxënës i mirë. Të veprojë si u veprua me shembullin 5.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 3, 4, 14 dhe 15, faqe 76.

Tema 2.23. VEÇIMI I SHKRONJËS NË FORMULA TË THJESHTA



a) Të veçojnë një shkronjë nga një formulë. b) Të llogarisin vlerën e një shkronje në një formulë.

Të veçojnë një shkronjë nga një formulë, duke përdorur një nga vetitë e shndërrimeve, si kalimi i kufizave nga njëra anë e barazimit në anën tjetër.Të llogarisin vlerën e një shkronje në një formulë të thjeshtë.


64

[Korrigjo te shembulli 1 faqe 78 është 6,28.3 duhet 6,28 · 3 dhe te shembulli i zgjidhur faqe 79 është 2 – 3 ≠ 0 duhet 2x – 3 ≠ 0]

Në punën përgatitore klasës i drejtohet një pyetje në barazimin 3ax = a + 1,nëse a është e ndryshme nga zero kemi të drejtë të pjesëtojmë të dy anët me 3a? Duhet konsideruar një moment i rëndësishëm sepse me këtë nxënësit do të ndeshen dhe në klasat e tjera kur të gjendet bashkësia e përcaktimit. Prandaj duhet sqaruar se pse veprimi i pjesëtimit me zero është i pamundshëm. Kjo del nga lidhja ndërmjet pjesëtimit dhe thyesës.

Mësimi është i ndarë në dy çështje. E para është veçimi i një shkronje nga një formulë. Në radhë të parë duhet sqaruar mirë se çfarë do të thotë të veçosh një shkronjë nga një formulë. Por çfarë rruge duhet të ndiqet për të kryer këtë veprim? Të tri momentet që përmenden në diskutim duhen vlerësuar sepse përvetësimi i tyre do të sjellë përvetësimin e kësaj teme dhe të temave të tjera që kanë lidhje me të.

Në shembullin e parë P = 4x duket qartë se P është shprehur me ndihmë të x. Kërkohet që x të shprehet me ndihmën e P. Në ushtrimet e para duhet theksuar se çfarë veti përdoret sepse nxënësi do të fiksojë këto veti apo transformime dhe do t’i zbatojë me lehtësi në ushtrime më të kombinuara. Në shembullin 2kemi dy ndryshore. Këtu do të rikujtohet si veprohet për të kaluar një kufizë nga njëra anë e barazimit në anën tjetër. Të theksohet se kalohet me shenjë të ndryshuar. Thuhet që pjesëtojmë me 5 apo me tre, por mendoj që mësuesi duhet ta theksojë vetë ose nxënësit, se janë të ndryshëm nga zero, prandaj kemi të drejtë ta kryejmë këtë veprim.

Çështja e dytë ka të bëjë me gjetjen e vlerës së shkronjës në formulë. Te shembulli i parë gjetja është e drejtpërdrejtë. Pra bëhet zëvendësimi i vlerave të shkronjave të tjera. Te shembulli dy përdoren dy mënyra për llogaritjen e vlerës

Objektivat mesatare


Të veçojnë një shkronjë në një formulë kur duhet të zbatohen disa veti të shndërrimeve.Të llogarisin vlerën e një shkronje në një formulë të çfarëdoshme.

Të veçojnë një shkronjë në një formulë kur duhet të pjesëtohet me një shprehje për të cilën duhet vënë kushti i ndryshëm nga zero.Të llogarisë vlerën e një shkronjë pasi ajo të jetë veçuar në formulë.




Libër mësuesi

65

së shkronjës. Një me zëvendësim direkt dhe shprehja merr trajtën e një ekuacioni të fuqisë së parë. Por mësuesi duhet t’i drejtojë nxënësit dhe te mënyra e dytë, megjithëse në pamje të parë duket si më e gjatë. Në shprehje të tjera mund të paraqitet më e vështirë gjetja e vlerës me zëvendësim të drejtpërdrejtë se sa shprehja e shkronjës me ndihmën e shkronjave të tjera dhe pastaj të bëhet zëvendësimi i tyre.

Të katër ushtrimet duhet të kryhen nga nxënësit, në mënyrë të pavarur në fletoret e klasës. Mësuesi të vëzhgojë punën e tyre duke bërë vërejtje dhe duke dhënë udhëzime. Vihet re se në asnjë ushtrim nuk ka lindur nevoja e pjesëtimit me një shkronjë. Nëse mund të teprojë kohë mësuesi mund të zhvillojë dhe shembullin e ushtrimeve ku pjesëtojmë një shprehje me shkronjë. Duhet theksuar patjetër që duhet të jetë e ndryshme nga zero. Nëse koha nuk del mund t’ua lërë si detyrë nxënësve shumë të mirë.

Mësimi të përforcohet duke u kërkuar nxënësve ato që u diskutuan teorikisht te çështja e parë.

Detyra shtëpie: Ushtrimet 1, 3 dhe 5 faqe 79.

Tema 2.24. USHTRIME



Objektivat mesatare


a) Të përforcojnë llogaritjen e shprehjeve.b) Të përforcojnë kryerjen e faktorizimeve.c) Të përforcojnë veçimin e shkronjës nga një formulë dhe të gjejnë vlerën e saj.






Zhvillimi i mësimit[Korrigjo ushtrimi 4(a) faqe 80 është deri në të njëqindtën duhet deri në njëqind]Ushtrimi 1 duhet të punohet nga nxënësit e dobët. Nga ushtrimi 2 mësuesi

zgjedh njërin p.sh.: 310 310 6902 + ⋅


66

Mënyra e parë. Ngrihet 310 në fuqi të dytë dhe del 96100. Pastaj kryhet shumëzimi i 310 me 690. Meqenëse të dy numrat mbarojnë me zero, shumëzojmë 31 me 39 dhe prodhimit i shtojmë dy zero në fund. Këto mësuesi duhet t’ua rikujtojë nxënësve, nëse ata i kanë harruar.

31 · 69

279186_

2139 Kështu 310 690 213900⋅ =

Pra 310 310 690 96100 2139002 + ⋅ = + 96100 + 213900

310000Përfundimisht: 310 310 690 3100002 + ⋅ =Mënyra e dytë. Shprehjen e shkruajmë në trajtën: 310·310 + 310 · 690. I drejtohet klasës pyetja: Cili është faktori i përbashkët? E faktorizojmë atë.

Kemi 310(310 + 690) = 310 · 1000. Tani kemi për të shumëzuar 31 me 1, që është më thjesht, prodhimit i shtojmë tre zero në fund.

Përfundimisht: 310 310 690 310 310 690 310 1000 3100002 + ⋅ = ⋅ + = ⋅ =( )Mbas përfundimit të ushtrimit nxënësve u drejtohet pyetja: cila është më e thjeshtë?Duhet punuar dhe 6(b e para). Kjo ka lidhje me ushtrimin e zgjidhur në temën e kaluar. a) Të veçohet shkronja x nga formula: 2 3 5xy x y- = +Në anën e majtë faktor i përbashkët është x, atëherë:x y y( )2 3 5- = + pjesëtojmë të dy anët me 2 3y - me kusht që të jetë endryshme nga zero.

x yy

yy

( )2 32 3

52 3

--

= +-

thjeshtojmë në anën e majtë me 2 3y -

x yy

= +-5

2 3 b) Të veçohet shkronja y Kalojmë -3 x nga ana e djathtë me shenjë të ndryshuar dhe y nga ana e majtë

me shenjë të ndryshuar. Kemi:2 3 5xy y x- = + Në anën e majtë faktorizojmë:y x x( )2 1 3 5- = + Pjesëtojmë të dy anët me 2 1x - , me kusht që të jetë e

ndryshme nga zeroy x

xxx

( )2 12 1

3 52 1

--

= +-

Thjeshtojmë në anën e majtë me 2 1x -

y xx

= +-

3 52 1

Libër mësuesi

67


Kujdes. Nxënësit nuk duhet të përdorin makinat llogaritëse.Si do të vlerësohen ushtrimet me pikë.

1. Çdo ushtrim po të zgjidhet saktë vlerësohet me nga një pikë.

2. Nëse a zgjidhet saktë vlerësohet me një pikë. Nëse b zgjidhet saktë vlerësohet me katër pikë. Nëse bëhet një gabim vlerësohet me tri pikë. Nëse bëhen dy gabime vlerësohet me dy pikë. Nëse bëhen tri gabime vlerësohet me një pikë. Nëse bën më tepër se tri gabime nuk vlerësohet me pikë.

3. Çdo përgjigje e saktë vlerësohet me një pikë.

4. Nëse vlerën e shprehjes e gjen pa bërë rrumbullakim ushtrimi vlerësohet me dy pikë. Nëse bën vetëm rrumbullakimin vlerësohet me një pikë. Nëse vazhdon por bën një gabim vlerësohet me dy pikë. Nëse gjen vlerën e saktë ku ka bërë dhe rrumbullakimin vlerësohet më pikët e plota, tre.

5. Nëse a dhe b shkruhen saktë, secila vlerësohet me nga një pikë. Po të shkruhet saktë me simbole, c vlerësohet me dy pikë. Nëse bën një gabim vlerësohet me një pikë. Po të bëjë dy gabime nuk vlerësohet me asnjë pikë.

6. Çdo përgjigje e saktë për a dhe b vlerësohet me një pikë. Nëse te c shprehet vetëm a, me ndihmë të b, vlerësimi është një pikë. Po të shprehet b dhe cvlerësohet me 2 pikë. Nëse nxënësi te d shkruan a b ab- =2 4 vlerësimi është një pikë. Nëse mbas saj shprehet vetëm a, me anë të b, vlerësohet me dy pikë, po të shprehet dhe b vlerësohet më tri pikë.

7. Nëse tek a vlera e x gjendet saktë ushtrimi vlerësohet me një pikë. Te bnëse vlera e x gjendet saktë ushtrimi vlerësohet me dy pikë. Nëse bëhet një gabim vlerësohet me një pikë, në të kundërt nuk vlerësohet me pikë.

8. Nëse llogaritja bëhet me një mënyrë vlerësohet me një pikë.

Në dërrasë do të shkruhen shprehjet shkronjore. Se çfarë transformimi është bërë duhet të theksohet nga mësuesi.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 3(b, c), 5, 6(a) dhe 7(a). Për punë të diferencuar të jepet 7(b), faqe 80.

Meqenëse jemi para testit të kontrollit nga orët e lira të merret një orë dhe të zgjidhen ushtrime të ngjashme me ato të testit.


68

Tema 3.1. KËNDI. MATJA E KËNDEVE. NDËRTIMI I KËNDEVE



Objektivat mesatare


Të ndërtojnë një kënd duke përdorur mjetet.Të matin kënde duke përdorur njësinë dhe mjetet matëse.

Të ndërtojnë me vizore kënde të ndryshëm pa u dhënë madhësia.Të lexojnë një kënd kur ai jepet me tri shkronja.Të ndërtojnë kënde të bashkëmbështeture.

Të ndërtojnë kënde me brinjë paralele dhe me brinjë pingule.Të vërtetojnë se këndet me brinjë pingule dhe paralele që kanë të njëjtën natyrë janë kongruente.Të ndajnë një kënd në dy pjesë të barabarta.

Të vërtetojnë se këndet me brinjë paralele dhe pingule që kanë natyra të ndryshme janë shtuese.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimeve Punë individualec) Vizore dhe kompasd) Raportore) Tabelë me lloje të ndryshme këndesh


[Korrigjo c) Kënde me brinjë pingule faqe 83 është [OwA1) duhet [OA1)]Për punën përgatitore mësuesi duhet të ketë të përgatitura në një tabelë

figurat 1 dhe 2. Ato që kërkohen nxënësi duhet t’i tregojë në tabelë. Mbas saj mësuesi duhet të japë përkufizimin 1. Ky përkufizim duhet të përsëritet disa herë dhe nga nxënësit. Duhet t’i kushtojë rëndësi simbolit të shënimit të këndit dhe të mos anashkalojë leximin. Shënimi kujdes, ka rëndësi se tregon simbolin e shënimit të këndit të drejtë dhe të këndit të shtrirë. Mendoj që mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit të përcaktojnë elementet e këndit. Para se të jepet përkufizimi i këndeve të bashkëmbështetura mësuesi të vizatojë dy kënde të

KREU

Libër mësuesi

69

tilla dhe t’u kërkojë nxënësve se çfarë vënë re për këto dy kënde. Mund të marrë përgjigje: se janë kënde të njëpasnjëshëm, ose një brinjë e kanë të përbashkët, ose një brinjë e kanë në shtrirje të njëra-tjetrës. Por mund të marrë dhe përgjigje që nxënësit nisen nga masa e tyre, si: njëri kënd është i ngushtë dhe tjetri i gjerë. Të gjitha këto janë përgjigje të sakta dhe mësuesi duhet t’i pranojë. Por mund të marrë dhe përgjigje që jo gjithmonë janë të vërteta, si: njëri kënd është 450 e tjetri 1200 ose 60o dhe 1200. E para nuk mund të ndodhë asnjëherë, kurse e dyta mund të ndodhë. Duke i orientuar nxënësit te përgjigjet që janë gjithmonë të vërteta për ndërtimin e bërë mësuesi kërkon nga nxënësit për të nxjerrë përkufizimin e dytë, atë të këndeve të bashkëmbështetura. Nëse nxënësit nuk e formulojnë saktë, atëherë përkufizimin e jep vetë mësuesi.

Në çështjen e parë jepen se çfarë duhet të merren të vërteta për masën e dy këndeve. Ndër të tjera futet dhe kuptimi i njësisë matëse të këndeve. Në

mënyrë rigoroze mësuesi duhet të japë kuptimin e këndit një gradë. Mund të

ketë ndërhyrje nga nxënësit që këndi një gradë është sa 1

360 pjesë e rrethit.

Mësuesi duhet ta pranojë dhe këtë përkufizim. Duhen përmendur dhe nënfishat e gradës, pavarësisht se ato do të përdoren te matjet.

Tri figurat që janë në çështjen e dytë dhe të tretë mësuesi duhet t’i ketë përgatitur. Megjithatë, mësuesi duhet t’u kërkojë që të ndërtojnë kënde me brinjë paralele dhe pingule.

Kompasin, vizoren dhe raportorin duhet ta ketë çdo nxënës dhe mësuesi. Punët e pavarura që janë para ushtrimeve duhet të ndërtohen nga nxënësit në fletore. Po kështu në dërrasë duhet të ngrihet një nxënës.

Në përfundim mësuesi kërkon që nxënësit të japin përkufizimin e këndit dhe të këndeve të bashkëmbështetura.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 3 dhe 4, faqe 84. Për ushtrimet 3 dhe 4mësuesi duhet t’i udhëzojë nxënësit se jepen raportet e këndeve dhe shuma. Pra kemi problema që mund të kthehen në tip probleme që jepet e tëra dhe të gjejmë pjesët.

Tema 3.2 KËNDET E KUNDËRTA NË KULM, KËNDE SHTUESE,

Objektivat që dalin nga programi a) Të përkufizojnë kuptimet: kënde të kundërta, kënde shtuese dhe kënde plotësuese.b) Të ndërtojnë të kundërtin, shtuesin, plotësuesin e një këndi të dhënë.


70


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë individualec) Vizored) Tabela me kënde të kundërta në kulm, shtuese dhe plotësuesee) Shkumësa me ngjyra

Zhvillimi i mësimitNë dërrasë vizatohet figura 1 e punës përgatitore. Kërkohet nga nxënësit

që të lexojnë të gjitha këndet. Në shumë ndërtime gjeometrike mund të jepen përgjigje dhe nëpërmjet vrojtimeve. Prandaj mësuesi i drejtohet klasës: mund të ketë kënde të barabarta? Mund të jepen përgjigje të sakta. Nëse thuhet se këndi A1OB1 me këndin AOB ose për dy të tjerët, klasës i drejtohet pyetja tjetër: çfarë mund të thoni tjetër për këto dy kënde? Mund të ketë përgjigje të sakta, si: a) kanë kulm të përbashkët, b) brinjët i kanë në shtrirje të njëri-tjetrit ose brinjët i kanë gjysmëdrejtëza, që dy e nga dy plotësojnë një drejtëz. Por mund të japin dhe përgjigje që mund të mos jenë gjithmonë të vërteta, si: a) janë të ngushtë, b) e kanë masën 300 etj. Për përgjigjet e fundit mësuesi duhet të sqarojë se në raste të veçanta mund të ndodhin, por jo gjithmonë.

Këndet A1OB1 dhe AOB quhen kënde të kundërta në kulm. Mësuesi i drejtohet përsëri klasës:

Kush mund të përkufizojë këndet e kundërta në kulm? Nëse nuk përgjigjet asnjë, mësuesi u drejtohet përsëri: ju thatë se kanë një pikë të përbashkët dhe brinjët i kanë në shtrirje të njëri-tjetrit, atëherë bashkoni këto dy cilësi dhe formoni përkufizimin. Përkufizimi mund të jepet i saktë, por mund të jepet dhe

Të ndërtojnë kënde të kundërta në kulm.Të përcaktojnë këndet shtuese dhe plotësues.

Të vërtetojnë se dy kënde të kundërta në kulm janë kongruente.Të vërtetojnë se këndet e bashkëmbështetura janë shtuese.Të vërtetojnë se këndet e ngushta të një trekëndëshi kënddrejtë janë plotësuese.

Të përcaktojnë masat e këndeve në situata të ndryshme kur ka brinjë pingule ose paralele.Të paraqesin planin e zgjidhjes dhe të zgjidhen problema me brinjë pingule ose paralele dhe me lidhje të ndryshme të masave të tyre.


Objektivat mesatare


Libër mësuesi

71

me gabime. Sido që të jepet mësuesi duhet të japë saktë këtë përkufizim. Për t’u mësuar përkufizimi duhet të përsëritet disa herë nga klasa.

Në gjeometri ka shumë teorema që duhen vërtetuar. Teorema është e thjeshtë, por duhet t’i kushtohet rëndësi vërtetimit, sepse numri i tyre në klasën e shtatë shtohet. Para se të kalohet në vërtetim është mirë që mësuesi t’i mësojë nxënësit që të dallojnë në teoremë se çfarë jepet dhe çfarë duhet të vërtetohet. Punët e pavarura duhet të kryhen nga nxënësit. Mësuesi ndërton në dërrasë tri këndet e figurës 3 dhe kërkon nga nxënësit të ndërtojnë me vizore tri këndet e kundërta në kulm. Në dërrasë ngrihet një nxënës për të ndërtuar dy kënde të kundërta në kulm që e kanë shumën 1800. Mësuesi i drejtohet klasës: vrojtoni figurën dhe nxirrni përfundimin për gjendjen e brinjëve të tyre. Këndet shtuese dhe plotësuese janë trajtuar dhe në klasën e gjashtë, prandaj mësuesi mund të kërkojë nga nxënësit përkufizimin e tyre ose të japin me masa nga dy kënde. Nëse kjo nuk arrihet përkufizimet i jep vetë mësuesi. Teorema për këndet shtuese është trajtuar dhe në klasën e gjashtë. Vërtetimi mund t’u lihet nxënësve me dëshirë. Mbas formulimit të saj, nxënësit punojnë në fletore ushtrimet e punës së pavarur.

Teorema për këndet e ngushta në trekëndëshin kënddrejtë duhet të vërtetohet. Mbas saj kalohet në punën e pavarur. Nxënësit në orën e gjeometrisë të kenë mjetet e punës. Ndërtimet të bëhen me laps.

Mësuesi duhet të planifikojë kohën që të zgjidhë dhe një problemë, p.sh.:problemën 2. Si duhet vepruar?

Ndërtohet një trekëndësh që afërsisht masat e këndeve të qëndrojnë në raportin e dhënë dhe vendos brenda trekëndëshit, pranë çdo kulmi, shkronjat x, y dhe z (mund të vendosen dhe numra por mos ngatërrohen me ato që jepen në problemë). Duhet të theksohet se figura në të shumtën e rasteve do të na ndihmojë për zgjidhje. Mbas saj, mësuesi i drejtohet klasës: Sa është shuma e këndeve në një trekëndësh? Përgjigjja: 1800. Këtë fakt mësuesi e pasqyron në dërrasë. m(∠x)+m(∠y)+ m( ∠z) =1800. Duhet të sqarohet se raporti 2 : 3: 4 formohet nëse pjesëtohen masat e këndeve dhe kryhen thjeshtimet. Nëse konsiderojmë këndin x me dy njësi, këndi y do të ketë tre njësi dhe këndi z do të ketë katër njësi. Të tri këndet kanë gjithsej 2 + 3 + 4 = 9 njësi Por të nëntë njësitë sa gradë përbëjnë? Përgjigjja 1800. Pyetet klasa: çfarë duhet të gjejmë për të gjetur masat e këndeve? Përgjigjja: Sa gradë përfaqëson një njësi. Cili është veprimi që kryhet për të gjetur këtë? Përgjigjja : pjesëtohet 1800 me 9.

Në dërrasë mësuesi duhet të pasqyrojë planin e zgjidhjes, i cili del nga bashkëbisedimi me klasën.

Pyetjet që drejtohen. Përgjigjet e shprehura me simbole.1. Çfarë është dhënë? 1. Trekëndëshi ABC.2. Çfarë duhet gjetur? 2. Masat e këndeve x, y dhe z.


72

3. Sa është shuma e masave të 3. m(∠x)+m(∠y)+ m(∠z) =1800. tri këndeve? 4. Sa njësi ka secili kënd? 4. x ka 2 njësi, y ka tri njësi dhe z

ka katër njësi.5.Sa njësi kanë të tri këndet? 5. Të tri këndet së bashku kanë 9

njësi.6.Të gjitha njësitë sa gradë përfaqësojnë? 6. 1800.7. Atëherë çfarë duhet të gjejmë për të 7. Duhet të gjejmë sa gradë

përcaktuar masat e këndeve? përfaqëson një njësi, pra duhet

gjetur 19

e 1800.Tani fillojmë zgjidhjen.

19

e 1800 = 19

. 1800= 200

m(∠x) = 2 ·200 = 400

m(∠y) = 3 · 200 = 600

m(∠z) 4 ·200 = 800

Përgjigje. Masat e këndeve janë: 400, 600 dhe 800. Për të përforcuar atë që u shpjegua duhet të përsëriten: tri përkufizimet dhe dy teoremat.

Frontalisht mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit që të japin me gradë kënde shtuese dhe plotësuese.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 4 dhe 7. Për punë të diferencuar ushtrimin 5. Nëse në algjebër udhëzimet për detyrat e shtëpisë nuk janë shumë të nevojshme, në gjeometri është e kundërta. Prandaj mësuesi për çdo detyrë të udhëzojë nxënësit. Nëse i mjafton koha udhëzime duhet të jepen dhe për problemat që nuk janë detyra shtëpie.

Tema 3.3. DREJTËZA PARALELE, PRERËSE DHE PINGULE.NDËRTIMI



a) Të ndërtojnë drejtëza paralele, prerëse ose pingule duke përdorur mjetet, si: vizore, vizore trekëndësh kënddrejtë. b) Të njehsojnë këndet ndërmjet drejtëzave

Të ndërtojnë drejtëza paralele, prerëse dhe pingule. Të emërtojnë këndet që formohen nga prerja e dy drejtëzave paralele me një të tretë dhe të dinë lidhjen ndërmjet masave të tyre.Të formulojnë aksiomën e Euklidit.

Libër mësuesi

73

Objektivat mesatare



a) Libri i nxënësit Puna me grupeb) Libri i ushtrimeve Bashkëbisedimc) Tabelë me këndet e formuar nga ndërprerja

e dy drejtëzave paralele me një të tretë, fig.4, faqe 88d) Tabelë me makete orësh që i përshtatenproblemës 4, faqe 89e) Vizoref) Shkumësa me ngjyrag) Raportor


Figurën e punës përgatitore e ndërton mësuesi dhe njëri kënd ta ketë masën 370.Ngrihen nxënësit njëri pas tjetrit në dërrasë për të matur këndet me raportor.

Kërkohet nga nxënësit të ndërtojnë dy drejtëza paralele. Kërkohet që të jepet nga nxënësit përkufizimi. Nëse nuk jepet saktë duhet të ndërhyjë mësuesi. Për t’u përvetësuar përsëritet nga disa nxënës.

Mësuesi duhet të ketë të përgatitur një tabelë me figurën 4, të faqes 88. Mësuesi duhet të japë llojet e këndeve që formohen kur dy drejtëza paralele priten nga një drejtëz tjetër. Teoremat të mos vërtetohen nga të gjithë, por mësuesi të insistojë që nxënësit të përcaktojnë këndet e formuar dhe vetitë që gëzojnë. Për punën e pavarur që përfaqësohet me anën e figurës 7, mësuesi duhet të ndajë klasën në dy grupe, njëri punon me figurën e parë dhe i dyti me të dytën e shtatës. Kjo punë e pavarur, do të zgjidhet jo me matje, por duke shfrytëzuar vetitë e këndeve të formuar nga ndërprerja e drejtëzave paralele. Mbasi të kenë gjetur atë që kërkohet mund të maten, për të provuar dhe saktësinë. Mbas punës së pavarur mësuesi jep përkufizimin e drejtëzave pingule. Mbas saj është dhe teorema: dy drejtëza pingule formojnë të gjitha këndet të barabarta me 900.Vërtetimi u lihet nxënësve. Mësuesi mund ta vërtetojë shumë lehtë me nxënësit në klasë, duke iu drejtuar nxënësve: përcaktoni këndet e kundërta? Si janë ndërmjet tyre? Përcaktoni këndet e bashkëmbështetura? Çfarë dini për ta?

Përmendet koncepti aksiomë. Mirë është që mësuesi t’ua kujtojë nxënësve se e kanë marrë në klasën e gjashtë. Aksioma formulohet nga mësuesi. Formulon

Të përcaktojnë masat e këndeve nga ndërprerja e drejtëzave paralele me një të tretë kur të dhënat nuk na lejojnë një zbatim direkt të njohurive teorike (si te puna e pavarur, figura 7, e dyta).

Të vërtetojnë vetitë e këndeve që formohen nga ndërprerja e dy drejtëzave paralele me një të tretë.


74

teoremën e parë dhe kërkon nga nxënësit çfarë jepet dhe çfarë duhet të vërtetohet. Vërteton teoremën 2 dhe 3.

Mësuesi duhet të zgjidhë një problemë. E veçantë është problema 4. Për këtë problemë mësuesi duhet të ketë përgatitur maketin e një ore. Ngre një nxënës në dërrasë dhe kërkon që të vendosë akrepat në orën 14oo. Pyetet klasa: në sa harqe të barabarta është ndarë rrethi i orës (si harqe do të konsiderojmë bashkimin e dy numrave natyrorë të njëpasnjëshëm)? Në dymbëdhjetë. Sa gradë i takon një harku? 3600 : 12 = 300

Nëse shohim figurën, akrepat kur ora është 1400 përcaktojnë dy harqe të njëpasnjëshme nga njëra anë dhe 10 harqe të njëpasnjëshme nga ana tjetër. Për të shmangur këtë ne duhet të kemi parasysh se çfarë kemi quajtur kënd ndërmjet dy gjysmë drejtëzave, këndin ndërmjet drejtimeve të tyre që nuk përmban zgjatimet. Ose më shkurt: më i vogli ndërmjet dy këndeve që formojnë. Prandaj këndi më i vogël ndërmjet akrepave do të jetë ai që ka më pak harqe të njëpasnjëshme. Kështu për orën dy do të merren dy harqe. Si përfundim këndi ndërmjet dy akrepave është: 2 · 300 = 600.

Ngrihet një nxënës tjetër dhe vendos akrepat në maket që të tregojnë orën 1500. Po këtij nxënësi: sa harqe të njëpasnjëshme i kanë përcaktuar këta akrepa? Përgjigjja: tre. Atëherë këndi është: 3 · 300= 900 = 1d

Në dërrasë ngrihet një nxënës tjetër për të vendosur akrepat në maket që të paracaktohet ora 10oo. Sa harqe të njëpasnjëshme përcaktojnë akrepat? Përgjigjja: dy. Atëherë këndi është: 2 · 300 = 600.

Po kështu veprohet dhe për rasti kur ora është 8oo.Para se të jepen detyrat kërkohen të përkufizohen drejtëzat paralele, drejtëzat

pingule, aksioma e drejtëzave paralele. Të formulohen dhe teoremat. Jo duke u thënë teorema 1, 2. Por mësuesi formulon teoremën për këndet përgjegjëse ose teoremën për dy drejtëza pingule me një të tretë.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2 dhe 3. Nxënësve të mirë ushtrimin 5, faqe 89.

Tema 3.4. TREKËNDËSHI. LARTËSITË, MESORET, PËRGJYSMORET



Të përkufizojnë dhe të ndërtojnë lartësitë, mesoret dhe përgjysmoret e një trekëndëshi

Të ndërtojnë trekëndësha kënddrejtë, këndngushtë dhe këndgjerë.Të ndërtojnë me vizore lartësitë, mesoret dhe përgjysmoret e këndeve të një trekëndëshi.Me matje të konstatojnë vetinë e pikës ku priten mesoret e një trekëndëshi.

Libër mësuesi

75

Të formulojnë vetitë e prerjes së lartësive, mesoreve dhe përgjysmoreve të një trekëndëshiTë ndërtojnë lartësitë nga kulmet e një shumëkëndëshi mbi brinjët e tij

Të zgjidhin problema për të cilat shfrytëzohen jo drejtpërdrejt njohuritë për lartësinë, mesoren dhe përgjysmoren

Objektivat mesatare



a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimevec) Tabela me trekëndësha ku janë ndërtuar lartësitë, mesoret dhe përgjysmoretd) Vizore f) Shkumësa me ngjyra


[Korrigjo në anën e djathtë të figurës 7 faqe 91 është AM) duhet [AM)]Në punën përgatitore kërkohet që nxënësit të rikujtojnë, formulimin e tri

teoremave të kongruencës së trekëndëshave. Por rëndësi ka dhe përcaktimi i distancës (largësisë) së një pike nga një drejtëz, pavarësisht se nuk përmendet që mësuesi duhet të kërkojë se si e përcaktojmë largësinë. Pasi përkufizohen trekëndëshat duke u nisur nga masa e këndeve, ngrihen në dërrasë tre nxënës për të vizatuar një trekëndësh këndngushtë, një kënddrejtë dhe një këndgjerë dhe nga secili kulm të ndërtojnë pingulet mbi brinjën përballë. Këta nxënës duhet të jenë të nivelit nën mesatar. Mësuesi jep përkufizimet e lartësive, përgjysmoreve dhe mesoreve të një trekëndëshi. Tre nxënës ngrihen në dërrasë, ndërtojnë secili nga një trekëndësh dhe njëri ndërton lartësitë, i dyti përgjysmoret dhe i treti mesoret. Të tre duhet të përdorin mjetet e punës. Nëse ndërtimi është bërë i saktë secili duhet të nxjerrë konkluzionin se priten në një pikë. Nxënësit që ka ndërtuar mesoret i kërkohet të masë segmentet e një mesoreje nga pika e prerjes deri te kulmi dhe nga pika e prerjes deri te brinja. Të njëjtën gjë bën dhe për dy mesoret e tjera. Pyetet: çfarë vë re? Nëse ndërtimi dhe matjet janë bërë të sakta duhet të nxjerrë vetinë e pikës ku priten mesoret, që është: largësia e saj nga kulmi është sa dyfishi i largësisë nga brinja. Ky është dhe përfundimi më i rëndësishëm në këtë temë. Prandaj mësuesi duhet të insistojë që ky përfundim të përvetësohet nga nxënësit.

Të mos anashkalohet shënimi KUJDES! Se lartësitë, mesoret dhe përgjysmoret nuk janë të njëjtat segmente.


76

Në përfundim kërkon nga nxënësit: a) Të përkufizojnë trekëndëshin duke pasur parasysh masën e këndeve. b) Të përkufizojnë lartësinë, përgjysmoren dhe mesoren e trekëndëshit. c) Vetinë e pikës së prerjes së mesoreve.Gjithashtu në dërrasë vizatohet figura 3 dhe nxënësit duhet të ndërtojnë pingulet e hequra nga kulmet për secilën brinjë.

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 2, 3 dhe 4, faqe 91.

Tema 3.5. USHTRIME

Objektivat që dalin nga programi Të përdorin rastet e kongruencës së trekëndëshave.


Para se të fillojë ushtrimet mësuesi kërkon dhe njëherë nga nxënësit: a) Të përkufizojnë trekëndëshin duke pasur parasysh masën e këndeve. b) Të përkufizojnë lartësinë, përgjysmoren dhe mesoren e trekëndëshit. c) Vetinë e pikës së prerjes së mesoreve.Ngre në dërrasë nxënës për të ndërtuar trekëndësha të ndryshëm. Pastaj kërkon nga klasa për të ndërtuar lartësitë, mesoret dhe përgjysmoret. Dy nxënës ndërtojnë nga një trekëndësh, jo kënddrejtë. Pastaj aktivizohen dy nxënës të tjerë për të ndërtuar pingulet e hequra nga çdo kulm për secilën brinjë. Nxënësit që aktivizohen duhet të jenë të ndryshëm, por dhe me nivel nën mesatar.Në këtë temë ushtrimesh katër janë me yll, prandaj mësuesi duhet të jetë i kujdesshëm për dhënien e detyrave. Mësuesi duhet të zgjidhë dy problema, 9 dhe 4*.Si do të veprohet? Për ushtrimin 9 pas ndërtimit të trekëndëshit, mësuesi sqaron se cili quhet kënd i jashtëm. Trekëndëshi është ABC, në zgjatim të [BC) marrim pikën D. Këndi DCA është një kënd i jashtëm i trekëndëshit. Duhet vërtetuar se:

m DCA m CBA m CAB∧ ∧ ∧

=

+

Vërtetim. Nga pika C ndërtojmë një drejtëz paralele me AB dhe marrin në të një pikë T.Meqenëse CT paralele me AB, të prera nga AC, ka formuar këndet ndërruese të brendshme, BAC

∧ dhe ACT

∧ kongruentë, pra masat i kanë të barabarta

Libër mësuesi

77

m CAB m ACT∧ ∧

=

(1)

Meqenëse CT paralele me AB të prera nga BD ka formuar këndet përgjegjëse, ABC

∧ dhe TCD

∧ janë kongruentë, pra dhe masat i kanë të barabarta:

m CBA m TCD∧ ∧

=

(2)

m DCA m TCD m ACT∧ ∧ ∧

=

+

(3) Te (3) bëjmë zëvendësimet duke pasur

parasysh (1) dhe (2). Si përfundim kemi:m DCA m CBA m CAB∧ ∧ ∧

=

+

.

Çfarë deshëm të vërtetonim.Problema 4*. Ndërtohet trekëndëshi kënddrejtë dybrinjënjëshëm ∆ACB (m C

∧

= 900 )

Ndërtohet lartësia e hequr nga kulmi C mbi hipotenuzë, le të jetë CH.

Meqenëse ∆ACB është dybrinjënjëshëm, atëherë lartësia CH është dhe

mesore, pra AH AB= 12

(1)

Nga kushti m A∧

= 450, por meqenëse ∆AHC është kënddrejtë me një

kënd 450 sjell që trekëndëshi është dybrinjënjëshëm, domethënë katetet i ka

kongruente. Si përfundim CH = AH (2). Duke parë barazimet (1) dhe (2) mund

të shkruajmë CH CA AB= 12

. Çfarë deshëm të vërtetonim.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 2, 8. Me dëshirë ushtrimin 5* faqe 92.

Tema 3.6. SEGMENTI. PËRMESORJA E SEGMENTIT. VETIA DHE



a) Të ndërtojnë një segment dhe të shënojnë mesin e tij.b) Të përkufizojnë përmesoren e segmentit dhe ta ndërtojnë atë. c) Të formulojnë vetinë e përmesores dhe ta vërtetojnë.

Të përkufizojnë përmesoren e një segmenti.Të ndërtojnë një segment dhe ta lexojnë atë.Të ndërtojnë përmesoren me vizore pa kompas, duke u mbështetur në përkufizimin e përmesores së segmentit.Me anën e matjeve të provojnë se një drejtëz është apo jo përmesore e një segmenti.


78

Të vërtetojnë se çdo pikë e përmesores së një segmenti është e baraslarguar nga skajet e segmentit.Të ndërtojnë përmesoren e segmentit me ndihmën e vizores dhe kompasit. Të zgjidhin problema të thjeshta me përmesoren e segmentit.

Të zgjidhin problema të kombinuara që shfrytëzojnë vetinë e përmesores së segmentit.

Objektivat mesatare



a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Diskutimc) Vizore, kompas Ballafaqimd) Shkumësa me ngjyra


[Korrigjo ushtrimin 1 figura e parë faqe 94 te pika M është një hark, nuk duhet]Ndërtohet një drejtëz dhe në të merren dy pika A dhe B. Mësuesi kërkon nga nxënësit që të japin përkufizimin e segmentit dhe kush quhet mes i segmentit. Mësuesi i pranon përkufizimet nëse ato janë afër përkufizimit të saktë. Në rast të kundërt përkufizimet i jep vetë mësuesi.Mësuesi ngre në dërrasë një nxënës dhe i kërkon të ndërtojë një segment duke përcaktuar mesin me vizore. I drejtohet klasës: a është përcaktuar saktë mesi? A ka mënyrë tjetër për të gjetur mesin e segmentit? Për pyetjen e parë mund të jepet përgjigjja Po, për të dytën mund të mos ketë përgjigje. Mësuesi duhet të ndërhyjë se dhe e para jo gjithmonë është e saktë, p.sh., gjatësia e segmentit është 4,7cm, atëherë pika e mesit është 2,35 cm larg nga skajet e segmentit. Si mund të gjejmë në vizore 2,35 cm. Pra dhe përcaktimi i mesit nuk është i saktë.Mbasi ka dhënë përkufizimin e përmesores së segmentit, mësuesi formulon vetinë e përmesores së segmentit. Nga vetia duhet të dalë dhe mënyra e gjetjes së mesit të segmentit.Mësuesi ndërton në dërrasë dy segmente. Ngre në dërrasë dy nxënës për të gjetur pikën e mesit me vizore. Pastaj ngre dy të tjerë që të përcaktojnë mesin, duke ndërtuar përmesoren. Kontrollohet dhe saktësia e përcaktimit të mesit.Para se të fillojë zgjidhjen e problemës 5, mësuesi i drejtohet klasës për të dhënë përkufizimin e segmentit, mesit të segmentit, përmesores dhe formulimin e vetisë së përmesores (të drejtë dhe të anasjellë)Mësuesi lexon problemën 5. Pyet: çfarë na jepet? Përgjigjja: tri pika jo në vijë të drejtë. Mësuesi tërheq vëmendjen se të qenurit jo në vijë të drejtë ka rëndësi të veçantë.

Libër mësuesi

79

Pyetja tjetër: Çfarë duhet të ndërtojmë? Një rreth që kalon në këto tri pika. Mësuesi kërkon nga nxënësit që të japin përkufizimin e rrethit.Pyetje tjetër: që të ndërtohet ky rreth çfarë duhet të përcaktojmë? Përgjigjja: qendrën dhe rrezen.Shënon tri pika jo në vijë të drejtë: A, B dhe C. Pyet përsëri klasën: ka mendim ndonjë? Në të shumtën e rasteve mund të mos kemi përgjigje. Mësuesi bashkon të tri pikat A, B dhe C. Ai sqaron që pikat A, B dhe C duhet të ndodhen në një rreth. Atëherë qendra O e rrethit si duhet t’i ketë distancat nga pikat A, B dhe C? Nëse nxënësit e kanë të qartë përkufizimin e rrethit të dhënë pak më lart do të theksojnë se O distancën nga të tri pikat do ta ketë të njëjtë. Deri këtu është bërë analiza e problemës.Mësuesi vazhdon ndërtimin. Ndërtojmë përmesoren e segmentit AB. Le të jetë drejtëza (d). Si e kanë largësinë pikat e (d) nga pika A dhe B? Përgjigjja: të barabartë, nga vetia e përmesores së një segmenti. Por ne kërkojmë atë pikë të (d) që të jetë e baraslarguar dhe nga C. Prandaj çfarë duhet të ndërtojmë tjetër? Përgjigjja: përmesoren e segmentit CA ose CB. Meqenëse secili nga këto dy segmente nuk janë paralelë me AB, përmesoret do të priten në një pikë O. Kjo është qendra e rrethit. Si rreze shërben segmenti OA, ose OB, ose OC. Vërtetimin mund ta bëjnë vetë nxënësit.Mësuesi u lë si detyrë nxënësve shumë të mirë të vërtetojnë faktin se përmesoret e segmenteve jo paralele AB dhe CA priten (në mënyrë të tërthortë është zgjidhur dhe problema 4*). Nga kjo problemë dalin dy përfundime shumë të rëndësishme që mësuesi duhet t’i përmendë patjetër: a) Përmesoret e brinjëve të një trekëndëshi priten në një pikë. b) Qendra e rrethit të jashtëshkruar një trekëndëshi është pika e prerjes së përmesoreve të brinjëve të tij.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 3 dhe 6.

Tema 3.7. ZBATIME (TREKËNDËSHI DYBRINJËNJËSHËM)



Objektivat mesatare


Të zbatojnë vetinë e përmesores së segmentit.

Nëpërmjet matjeve të tregojnë se lartësia në trekëndëshin dybrinjënjëshëm është përmesore

Të vërtetojnë se në trekëndëshin dybrinjë-njëshëm mesorja është dhe përmesore.

Të zgjidhin problema me përmesore, por jo në zbatim të drejtpërdrejtë të vetisë së saj.


80


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimevec) Vizore d) Shkumës me ngjyrë


Në punën përgatitore nxënësit i kërkohet që të ndërtojë një trekëndësh dybrinjënjëshëm me vizore dhe kompas. I kërkohet që të ndërtojë lartësinë nga kulmi.Pastaj mësuesi vërteton se kjo lartësi është dhe përmesore. Ndërtohet përsëri një trekëndësh dybrinjënjëshëm dhe me ndihmën e raportorit dhe vizores ndërtohet përgjysmorja e këndit në kulm. (Të gjitha ndërtimet duhet t’i bëjë nxënësi).Mësuesi vërteton se kjo përgjysmore është përmesore. Mbas vërtetimit të këtyre teoremave mësuesi aktivizon nxënës të mirë për të vërtetuar teoremat e anasjella.1. Përmesorja e bazës së një trekëndëshi dybrinjënjëshëm është lartësi.2. Përmesorja e bazës së një trekëndëshi dybrinjënjëshëm është përgjysmore e këndit.3. Përmesorja e bazës së një trekëndëshi dybrinjënjëshëm është mesore.Vërtetimi duhet të bëhet rigoroz duke argumentuar çdo përfundim që arrihet. E para dhe e treta rrjedh nga përkufizimi i përmesores.

Detyrë shtëpie: Pikën 4 të mësimit, faqe 94.

Tema 3.8. PROBLEMA



Objektivat mesatare


Të zbatojnë vetinë e mesit të segmentit.Të zbatojnë vetinë e përmesores së segmentit.

Të zgjidhin problema të thjeshta me llogaritje, ku zbatohet vetia e mesit të segmentit.

Të zgjidhin problema që zbatojnë në mënyrë të drejtpërdrejtë vetinë e mesit dhe të përmesores së segmentit.

Të zgjidhin problema me vërtetim në të cilat zbatohet vetia e përmesores së një segmenti.

Libër mësuesi

81


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimevec) Vizored) Shkumësa me ngjyra

Zhvillimi i mësimitMësuesi punon problemën 1, faqe 95.Ngre në dërrasë një nxënës dhe vizaton figurën 1. Përgjigjen për pikën e parë e jep nxënësi.Për pikën b mësuesi vepron kështu: Shënon me M mesin e segmentit [AD] [AM] = [AB] + [BM] (1) [DM] = [DC] + [CM] (2)Meqenëse M është mesi i [AD] atëherë [AM] = [BM (3). Duke pasur parasysh barazimet (1), (2) dhe (3) kemi: [AB] + [BM] = [DC] + [CM] (4)Nga të dhënat e problemës kemi se [AB] = [DC], prandaj nga barazimi (4) del se [BM] = [CM]Ky barazim tregon se pika M është dhe mes i segmentit [BC].Mësuesi të zgjidhë dhe problemën 4.Në dërrasë ngrihet një nxënës që ndërton figurën sipas të dhënave të problemës.Rasti i parë: C zgjidhet në zgjatim të gjysmëdrejtëzës [MB) dhe D në zgjatim të gjysmëdrejtëzës [MA). a) Nga ndërtimi kemi: 1) [AC] = [AM] + [MC]. Atëherë AC = 6 + 10 = 16cm

2) [BD] = [BM] + [MD]. Atëherë BD = 6 + 10 = 16cm Pra segmentet i kanë gjatësitë të barabarta, prandaj [AC] ≡ [BD] b) Meqenëse nga të dhënat e problemës kemi MC = MD = 10 cm dhe MA = MB = 6 cm tregon se M është mesi i [CD] dhe segmentit [AB]. Rasti i dytë: C zgjidhet në zgjatim të gjysmëdrejtëzës [MA) dhe D në zgjatim të gjysmëdrejtëzës [MB). a) Nga ndërtimi kemi: 1) [AC] = [MC] – [MA]. Atëherë AC = 10 – 6 = 4 cm

2) [BD] = [MD] – [MB]. Atëherë BD = 10 – 6 = 4 cm Pra segmentet i kanë gjatësitë të barabarta, prandaj [AC] ≡ [BD] b) Si në rastin e parë.Duhet të punohet me shumë kujdes që nxënësit të kuptojnë mënyrën e zgjidhjeve të problemave të gjeometrisë.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 7. Me dëshirë ushtrimin 8*, faqe 95.


82

Tema 3.9. PARALELOGRAMI. VETITË



Objektivat mesatare


a) Të përkufizojnë paralelogramin.b) Të formulojnë vetitë e paralelogramit dhe t’i zbatojnë në problema.

Të ndërtojnë paralelogramin.Të përkufizojnë paralelogramin.Të përcaktojnë elemente të paralelogramit.Të formulojnë me fjalët e veta vetitë e paralelogramit.

Të vërtetojnë vetitë e paralelogramit.Të zgjidhin problema të thjeshta për paralelogramin duke zbatuar drejtpërdrejt vetitë e tij.

Të zgjidhin problema në të cilat zbatohen në mënyrë jo të drejtpërdrejtë vetitë e paralelogramit.


a) Tabela me paralelogram Problemoreb) Libri i nxënësit Diskutimc) Libri i ushtrimeved) Vizoree Shkumësa me ngjyra


Nëpërmjet punës përgatitore duhet të dalë përkufizimi i paralelogramit. Këtë përkufizim mësuesi duhet ta kërkojë dhe nga nxënësit. Mbas përkufizimit të parë dhe të dytë duhet të përcaktohen brinjët, kulmet, lartësia, diagonalet.Megjithëse në shtjellimin e temës nuk janë përmendur teorema, të gjitha ato që janë vërtetuar janë veti të paralelogramit. Këto veti duhet të dihen nga nxënësit. Prandaj është e nevojshme që mësuesi t’i theksojë këto veti.

a) Këndet e kundërta janë të barabarta, dhe këndet mbi të njëjtën brinjë janë shtuese.b) Brinjët e kundërta janë dy e nga dy të barabarta.c) Diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën.d) Diagonalja e ndan paralelogramin në dy trekëndësha kongruentë.

Libër mësuesi

83

Duhet theksuar se kanë vend dhe të anasjellat.Në punë të pavarur është dhënë një problemë dhe një veti e paralelogramit që e kemi te pika d.Problemën mendoj që duhet të punohet nga një nxënës mesatar. Kurse vetinë e diagonales se paralelogramit duhet ta vërtetojë një nxënës mbi mesatar.Vërtetimi të bëhet në tri mënyra.

1 Të shfrytëzohet vetia e brinjëve të paralelogramit. 2. Të shfrytëzohet vetia e këndeve që formohen nga ndërprerja e dy

drejtëzave paralele me një të tretë. 3. Të shfrytëzohet vetia e këndeve të kundërta dhe e brinjëve të kundërta.Për njërën prej tyre nxënësi të ngrihet në dërrasë, për dy të tjerat të punojnë në fletoren e klasës. Nëse dhe këta të dy e përfundojnë çohen në dërrasë për ta punuar.Me anën e këtyre tri mënyrave të vërtetimit t’i tregohet nxënësit se problemat e gjeometrisë mund të zgjidhen nëse zotërohet mirë materiali teorik. Për përforcim duhet të kërkohet: 1. Përkufizimi i paralelogramit.

2. Ndërtimi i një paralelogrami duke përcaktuar brinjët, kulmet, këndet e kundërta.3. Të formulohen vetitë e paralelogramit.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1. 2 dhe 5. Me dëshirë ushtrimi 7*faqe 97.

Tema 3.10. DREJTKËNDËSHI. VETITË



Objektivat mesatare


a) Të përkufizojnë drejtkëndëshin. b) Të formulojnë vetitë e drejtkëndëshit dhe t’i zbatojnë në problema.

Të përkufizojnë drejtkëndëshin.Të ndërtojnë drejtkëndëshin.Të formulojnë vetitë e drejtkëndëshit.

Të vërtetojnë vetitë e drejtkëndëshit.Të zgjidhin problema që kanë një zbatim të drejtpërdrejtë të vetive të drejtkëndëshit.

Të zgjidhin problema të kombinuara me vetitë e drejtkëndëshit dhe paralelogramit.


84


a) Libri i nxënësit Metoda problemoreb) Libri i ushtrimeve Bashkëbisedimc) Vizored) Shkumësa me ngjyra


Përkufizimi i drejtkëndëshit të nxirret nëpërmjet ndërtimit të figurës që thuhet në punën përgatitore. Por duke shfrytëzuar një veti të paralelogramit, në bashkëpunim me nxënësit, të tregohet se drejtkëndëshi është paralelogram. Mësuesi pyet klasën: duke shfrytëzuar faktin që drejtkëndëshi është paralelogram çfarë mund të themi për vetitë e tij?

Përgjigjja do të jetë: ka vetitë e paralelogramit.Po veti të tjera mund të ketë drejtkëndëshi? Për këtë nxënësit i është lënë

që të vërtetojë se: drejtkëndëshi i ka diagonalet kongruente. Mësuesi duhet të japë këtë udhëzim: vërteto në fillim se trekëndëshat ABC dhe BCD janë kongruentë.

Një nxënës nën mesatar ngrihet në dërrasë dhe ndërton katërkëndëshat e figurës 3. Diskuton me nxënësit dy pyetjet që janë pas teoremës që lihet për vërtetim.

Lexohet problema: Në një drejtkëndësh këndi ndërmjet diagonaleve është 700.Gjej këndet që formojnë diagonalet me brinjët e drejtkëndëshit. Nxënësit vihen në punë. Mësuesi kontrollon punën e tyre. Çohet një nxënës për ta punuar në dërrasë. Mbas përfundimit duhet të diskutohet nga e gjithë klasa.

Mësuesi duhet të zgjidhë problemën 3.Kjo problemë zgjidhet në dy mënyra. Një është me simetrinë qendrore. Por

mendoj që për klasën e shtatë në këtë moment nuk mund të kuptohet. Prandaj të ndiqet kjo rrugë:

Ndërtohet drejtkëndëshi ABCD. Shënohet me M mesi i AB dhe me N mesi i CD. Ndërtohet diagonalja AC e cila pritet me MN në pikën O. Të vërtetojmë se O është mesi i MN dhe i AC (po në mesin e AC kalon dhe diagonalja tjetër BD që është dhe mesi i saj).

Vërtetim. Marrim në shqyrtim dy trekëndëshat ∆AMO dhe ∆CON.Këta trekëndësha janë kongruentë sepse: a) [AM] ≡ [CN] sepse janë gjysmat e brinjëve të kundërta të drejtkëndëshit që

janë kongruente. b) Këndi ∠CAM është kongruent me këndin ∠CNMA(1) si kënde ndërruese të

brendshme të drejtëzave paralele AB dhe CD, të prera nga AC. c) Këndi ∠AMN është kongruent me këndin ∠CNM si kënde ndërruese të

Libër mësuesi

85

brendshme të drejtëzave paralele AB dhe CD, të prera nga MN.Pra trekëndëshat plotësojnë kushtet e teoremës KBK të kongruencës. Kjo

sjell se: [AO] është kongruente me [OC], po kështu dhe [MO] është kongruent me [ON]. Kjo do të thotë se O është mesi i AC dhe MN.

Në fund mësuesi kërkon nga nxënësi: a) Përkufizimin e drejtkëndëshit

b) Vetitë e drejtkëndëshitc) Cilën veti ka drejtkëndëshi që nuk e ka paralelogrami.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 2 dhe me dëshirë ushtrimin 4*, faqe 99.

Tema 3.11. ROMBI DHE KATRORI. VETITË



Objektivat mesatare


a)Të përkufizojnë kuptimet romb, katror.b) Të formulojnë vetitë e rombit dhe t’i zbatojnë ato në problema.c) Të formulojnë vetitë e katrorit dhe t’i zbatojnë ato në problema.

Të përkufizojnë rombin dhe katrorin.Të ndërtojnë rombin dhe katrorin.Të formulojnë vetitë e rombit dhe katrorit.

Të vërtetojnë vetitë e rombit dhe katrorit.Të zgjidhin problema që zbatojnë drejtpërdrejt vetitë e rombit dhe katrorit.

Të zgjidhin problema të kombinuara me vetitë e figurave gjeometrike të njohura.


a) Libri i nxënësit Problemoreb) Libri i ushtrimevec) Vizored) Shkumës me ngjyrëe) Bllok skemash që është në libër


86

Zhvillimi i mësimitPërsëri me anën e ndërtimit të një katërkëndëshi që dy brinjët e njëpasnjëshme

i ka të barabarta dhe dy nga dy paralele, mësuesi përkufizon rombin. Teorema e parë që vërtetohet shkurt del se rombi është dhe paralelogram. Mësuesi i drejtohet klasës: Cilat janë vetitë e rombit, tani që vërtetuam se ai është paralelogram? Mund të merret përgjigjja: ka vetitë e paralelogramit.

Por teorema 2 është dhe vetia më e rëndësishme e rombit. Prandaj mësuesi duhet të tregojë shumë kujdes në vërtetimin e saj duke mos anashkaluar asnjë detaj të vërtetimit. Mbas përkufizimit të rombit, përkufizohet dhe katrori. Në libër është dhe një bllok – skemë e cila tregon lidhjen ndërmjet katërkëndëshit, paralelogramit, drejtkëndëshit, rombit dhe katrorit.

Kjo bllok – skemë na jep shtytjen për një trajtim tjetër. Kjo do të jepet në një modul, që përmbahet dhe në udhëzimet e MASH-it.

Mësuesi për përforcim kërkon: 1) përkufizimin e paralelogramit dhe vetitë e tij.

2) përkufizimin e drejtkëndëshit dhe vetitë e tij. 3) përkufizimin e rombit, katrorit dhe vetitë e tyre.

Mirë është që mësuesi së bashku me nxënësit të nxjerrin vetitë e përbashkëta dhe ato që i dallojnë.

Çfarë duhet të thuhet për vetitë?1) Vetitë e paralelogramit:

a) brinjët e kundërta i ka dy nga dy paralele dhe kongruente.b) këndet e kundërta i ka kongruente.c) këndet me kulm në të njëjtën brinjë janë shtuese.

d) diagonalet përgjysmojnë njëra-tjetrën.e) diagonalja e ndan paralelogramin në dy trekëndësha kongruentë.

2) Vetitë e drejtkëndëshit: a) ka të pesta vetitë e paralelogramit. b) diagonalet i ka kongruente. c) të katër këndet i ka të drejta.3) Vetitë e rombit: a) ka të pesta vetitë e paralelogramit. b) diagonalet janë pingule. c) diagonalet janë përgjysmore të këndeve.4) Vetitë e katrorit: a) ka të gjitha vetitë e rombit. b) diagonalet janë kongruente. c) të katër këndet i ka të drejta.Mësuesi duhet të zgjidhë problemën 4, faqe 101.Vërteto se rombi me diagonale kongruente është katror.Vërtetim. Le të jetë ABCD një romb. Shënojmë me O pikën e prerjes së diagonaleve.

Shqyrtojmë ∆AOB. Është trekëndësh kënddrejtë dybrinjënjëshëm, sepse:

Libër mësuesi

87

1) meqenëse është romb diagonalet janë pingule. 2) meqenëse është romb ka diagonale kongruente, pra dhe gjysmat e

tyre janë kongruente, pra [AO] kongruente me [BO]. Kjo sjell që trekëndëshi është kënddrejtë dybrinjënjëshëm. Pra gjysma e këndit ∠BAD e ka masën 450.Por duke ditur vetinë e diagonales së rombit, si përgjysmore e këndit, del që këndi ∠BAD e ka masën 900. Duke zbatuar vetitë e këndeve të paralelogramit ky romb i ka të katër këndet e drejta dhe të katër brinjët kongruente. Pra sipas përkufizimit është katror.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 2, me dëshirë ushtrimi 3, faqe 101.

Tema 3.12. TEOREMA E TALETIT



Objektivat mesatare


a) Të formulojnë teoremën e Taletit.b) Të ndajnë një segment në 3, 5 pjesë të barabarta.

Të formulojnë teoremën e Taletit.Të zgjidhin problema të thjeshta dhe që kërkojnë zbatimin e drejtpërdrejtë të teoremës së Taletit.

Të formulojnë dhe të vërtetojnë teoremën e Taletit.Të përgjithësojnë teoremën e Taletit.Të zgjidhin problema me ndihmën e teoremës së përgjithësuar të Taletit.

Të zgjidhin problema të kombinuara që nuk mund të zgjidhen duke zbatuar direkt teoremën e përgjithësuar të Taletit.Të ndajnë një segment të dhënë në disa pjesë të barabarta.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë individualec) Vizored) Shkumësa me ngjyra


88


[Korrigjo te figura 2 faqe 101 te pika E në të djathtë janë dy harqe, duhen në të majtë të saj; në faqen 102 ushtrimi 4 figura b është CD = 14 duhet C1A1 = 14 dhe në figurë duhen vendosur pikat nga lart poshtë majtas A, B, C dhe djathtas A1, B1, C1]

Një nxënës ngrihet në dërrasë dhe vizaton figurën 1. Mësuesi pyet: 1. Si janë drejtëzat a, b, c, d?

2. Po segmentet A1B1, B1C1, C1D1 si janë ndërmjet tyre?Mësuesi formulon teoremën e Taletit duke pasur për bazë figurën e ndërtuar

nga nxënësi në dërrasë.Kërkon nga klasa se cilat janë kushtet dhe çfarë duhet të vërtetojmë (përfundimi).Duke qenë një teoremë e rëndësishme mësuesi duhet ta vërtetojë vetë pa

aktivizimin e nxënësve.

Por mbas vërtetimit të teoremës mësuesi duhet të theksojë:

Nëse A BB C

A BB C

1 1

1 1

2 2

2 2

= dhe B CC D

B CC D

1 1

1 1

2 2

2 2

= atëherë drejtëzat (a), (b), (c) dhe

(d) janë paralele. Formulimi i teoremës së anasjellë është; Nëse dy drejtëza

prerëse (d1) dhe (d2) presin tri drejtëza paralele (a), (b) dhe (c) përkatësisht në

pikat B1C1D1 , B2C2D2 atëherë B CC D

B CC D

1 1

1 1

2 2

2 2

=

Zbatimi praktik ka një rëndësi të veçantë sepse tregon mënyrën e ndarjes së një segmenti në tre, katër, pesë e më tepër pjesë kongruente, që nuk mund ta bëjmë këtë ndarje me vizore.

Punë praktike: mësuesi duhet të vërë në punë të gjithë klasën.Mësuesi duhet të punojë problemën e zgjidhur.Mësuesi duhet të zgjidhë dhe një nga ushtrimet dhe pikërisht 4(b).Rruga për ta zgjidhur problemën.

Arsyetojmë: meqenëse C1D1 = 14 cm dhe A1B1 = 6 cm del që B1C1= 8cm.

Meqenëse tri drejtëzat janë paralele atëherë xx +

=2

68

. Duke zbatuar vetinë

themelore të raporteve kemi: 8x = 6(x + 2)8x = 6x + 128x - 6x = 12

2x = 12x = 6 cm

Pra segmentet në drejtëzën e parë janë 6 cm dhe 8 cm.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 3, faqe 102.

Libër mësuesi

89

Tema 3.13. VIJA E MESME E TREKËNDËSHIT



Objektivat mesatare


Të përkufizojnë vijën e mesme.

Të përkufizojnë vijën e mesme dhe ta ndërtojnë atë.Të zgjidhin problema që zbatojnë drejtpërdrejt vetinë e vijës së mesme të trekëndëshit.

Të vërtetojnë vetinë e vijës së mesme të trekëndëshit.Të hartojnë planin e zgjidhjes së problemësTë zgjidhin problema të trajtës: nëse 20 cm dhe 16 cm janë diagonalet e një paralelogrami, vërteto se katërkëndëshi me kulme meset e brinjëve të tij është paralelogram dhe gjej brinjët e tij.

Të zgjidhin problema me vijën e mesme të trekëndëshit, nëse elementet e trekëndëshit kanë lidhje të ndryshme dhe nuk ka një zbatim drejtpërdrejtë të vetisë së vijës së mesme.




Mbasi nxënësit të kenë ndërtuar një trekëndësh dhe nga mesi i njërës brinjë të ndërtojnë paralelen me brinjën tjetër, mësuesi u drejtohet nxënësve: ku e pret kjo paralele brinjën?

Nxënësit mund të japin përgjigjen: në mes. Nuk duhet të mjaftohemi me kaq, por të kërkohet dhe argumentimi. Pra në bazë të këtyre që thamë ky segment i përcaktuar nga këto dy brinjë ka një veti të veçantë prandaj duhet që të bëjë pjesë në elementet e trekëndëshit. Për këtë mësuesi jep përkufizimin e vijës së mesme të trekëndëshit. Mbasi përkufizimi formulohet disa herë nga nxënësit, mësuesi formulon teoremën për vijën e mesme.

Kërkohet nga nxënësi se cili është kushti dhe përfundimi i teoremës. Kujdes, se teorema ka dy përfundime të rëndësishme të cilat përdoren në zgjidhjen


90

e shumë problemave. Prandaj duhet këmbëngulur në përvetësimin e këtyre vetive të vijës së mesme të trekëndëshit.

Meqenëse 1 i punës së pavarur është zbatim direk i teoremës, mësuesi kërkon që nxënësit ta zgjidhin në fletoret e tyre. Mbas përfundimit mësuesi bashkëbisedon me nxënësit se si e zgjidhën.

Problemën e dytë të punës së pavarur e zgjidh mësuesi.Gjithashtu mësuesi zgjidh dhe problemën 1 tek ushtrimet. Ja si do të veprohet.Ndërton trekëndëshin duke marrë brinjët e ndryshme, sepse raportet e tyre

janë 3 : 2 : 4. Bashkon meset.Fillon të bëjë analizën, duke pyetur nxënësit: Çfarë duhet të gjejmë në fillim për

të përcaktuar brinjët e trekëndëshit? Brinjët e trekëndëshit me perimetër 27.Meqenëse problema me raport kemi zgjidhur, nxënësit mund të shprehen se raporti

i dhënë tregon që njëra brinjë ka 3 njësi, e dyta 2 njësi dhe e treta 4 njësi. Nëse kjo nuk jepet nga nxënësit, e jep mësuesi. Sa njësi kanë të tri brinjët e trekëndëshit? 9 do të jetë përgjigjja. Mësuesi shkruan në dërrasë planin e zgjidhjes.

Pyetjet që drejtohen. Përgjigjet me simbole1. Sa është perimetri i trekëndëshit? 1. 27 cm2. Sa njësi kanë të tri brinjët e trekëndëshit? 2. 9 njësi

3. Të 9 njësitë sa cm përfaqësojnë? 3. 27 cm

4. Sa cm është 1 njësi, pra sa është 19

e 27? 4. 19

e 27= 19

. 27 = 3 cmVazhdojmë zgjidhjen. Brinja që ka 3 njësi është: 3 · 3 = 9 cm Brinja që ka 2 njësi është: 2 · 3 = 6 cm Brinja që ka 4 njësi është: 4 · 3 = 12 cmTani mësuesi pyet: sa janë gjatësitë e vijave të mesme të trekëndëshit?Pritet përgjigjja: 4,5 cm; 3 cm; 6 cm. Por mësuesi duhet të pyesë: Pse?Në përforcim të mësimit duhet të kërkohet: a) Përkufizimi i vijës së mesme.

b) Teorema për vijën e mesme.


Tema 3.14. TRAPEZI: VIJA E MESME E TRAPEZIT

Objektivat që dalin nga programi a) Të përkufizojnë trapezin dhe të ndërtojnë një trapez.b) Të përkufizojnë vijën e mesme të trapezit dhe të formulojnë vetinë e saj.

Libër mësuesi

91

Objektivat mesatare



a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimeve c) Vizore d) Shkumësa me ngjyrae) Tabelë me lloje trapezash


Duke u nisur nga figura që do të ndërtojë një nxënës me të dhënat në punën përgatitore, mësuesi jep përkufizimin e trapezit. Elementet që përcaktojnë një trapez duhet të jepen, dhe para përkufizimit të dytë duhet të përsëriten nga nxënësit e klasës, kryesisht nxënësit e dobët.

Mësuesi vizaton në dërrasë, duke tërhequr vëmendjen e nxënëseve, tri llojet e trapezave: barabrinjës, dybrinjënjëshëm dhe kënddrejtë. Pastaj jep dhe përkufizimin e tyre.

Pyeten nxënësit: cila mendoni ju quhet vijë e mesme e trapezit?Formulon dhe vërteton vetinë e vijës së mesme. Gjatë vërtetimit, mësuesi u

thekson nxënësve se për vërtetimin e saj do të mbështetemi te teorema e Taletit dhe te vetia e vijës së mesme të trekëndëshit. Për këtë, atje ku do të thuhet se [MK] është vijë e mesme e trekëndëshit, klasës i drejtohet: pse?

Në punën e pavarur janë dy problema. Të dyja duhen punuar. E para të zgjidhet duke diskutuar me klasën, sepse nxënësit nuk i duhen për të bërë veprime se sa i duhet të kujtojë një veti të drejtëzave paralele. Kështu mësuesi kontrollon dhe në çfarë mase mbahen mend njohuritë e dhëna më parë.

Kurse problema e dytë ka të bëjë me vetinë e vijës së mesme të trapezit dhe të trekëndëshit. Një nxënës ngrihet në dërrasë kurse të tjerët punojnë në heshtje duke u kontrolluar nga mësuesi. Pasi të jetë zgjidhur bëhet diskutimi. Duhet që për çdo veprim të jepet argumentimi.

Objektivat bazë (minimale) Të ndërtojnë një trapez çfarëdo.Të përcaktojnë bazat, brinjët anësore, lartësinë dhe vijën e mesme.Të zgjidhin problema duke zbatuar drejtpërdrejtë vetinë e vijës së mesme.

Të vërtetojnë vetinë e vijës së mesme Të zgjidhin problema për vijën e mesme, por jo me zbatim drejtpërdrejtë të vetisë së saj.

Të zgjidhin problema ku duhet të zbatojnë disa veti të figurave.


92

Në fund mësuesi i drejtohet klasës: 1. Çfarë quajmë trapez?

2. Përcakto elementet e trekëndëshit 3. Përcakto llojet e trapezit në varësi të brinjëve dhe këndeve, ndërtoj ata.

4. Përkufizo vijën e mesme të trapezit.5. Formulo vetinë e vijës së mesme të trapezit.

Kujdes: për dhënien e këtyre përgjigjeve duhet të aktivizohen nxënësit e dobët, sidomos për ndërtime të thjeshta këta duhet të jenë në qendër të vëmendjes së mësuesit.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 2, 4. Për punë të diferencuar ushtrimi 3faqe 105.

Tema 3.15. NDËRTIMI I TREKËNDËSHIT KUR JEPEN ELEMENTET E




Të ndërtojnë trekëndëshin kur jepen: a) Dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre (BKB). b) Dy kënde dhe brinja ndërmjet tyre (KBK).c) Tri brinjët e trekëndëshit (BBB).

Të ndërtojnë trekëndëshin kur jepen tri elemente të tij (duke u dhënë nga mësuesi.

Të përcaktojnë nëse mund të ndërtohet trekëndëshi kur janë dhënë tri elemente të tij.Të ndërtojnë trekëndëshin kur jepen tri elemente të tij.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimeve Punë e pavarurc) Vizored) Kompas dhe raportore) Shkumësa me ngjyra


Në punën përgatitore kërkohet të ndërtohet një trekëndësh çfarëdo. Nxënësve u kërkohet: mund të ndërtohet një trekëndësh kongruent me të? Nëse përgjigjja është Po, t’u kërkohet më tej: si? Përgjigjja duhet të jetë duke pasur parasysh rastet e kongruencës së trekëndëshave. Nëse nuk merret kjo përgjigje duhet t’u kërkohen tri rastet e kongruencës.

Libër mësuesi

93

Në çështjen e parë jepen hapat për ndërtimin e trekëndëshit sipas rastit të parë të kongruencës.

Në çështjen e dytë jepen hapat për ndërtimin e trekëndëshit sipas rastit të dytë të kongruencës.

Në fund të kësaj probleme është vënë shënimi KUJDES. Duhet të trajtohet nga mësuesi, për faktin që me dhënien e një brinje dhe dy këndeve mbi të, të përcaktojë nëse ndërtohet apo jo trekëndëshi. P.sh.: nëse brinja është 5 cm dhe këndet mbi të kanë masën 700 dhe 1200, trekëndëshi nuk mund të ndërtohet se shuma e dy këndeve është 1900 > 1800.

Në çështjen e tretë jepen hapat për ndërtimin e trekëndëshit sipas rastit të tretë të kongruencës.

Në fund të ndërtimit jepet përsëri shënimi KUJDES. Duhet të trajtohet nga mësuesi, për faktin që me dhënien e tri brinjëve, të përcaktojë nëse mund të ndërtohet apo jo trekëndëshi. P.sh.: Trekëndëshi me brinjë 4 cm, 1 cm dhe 2 cm nuk mund të ndërtohet sepse 1 cm + 2 cm < 4 cm. Kjo mund të tregohet po të tentohet për t’u ndërtuar.

Atëherë, KUJDES!Për rastin e parë, kur jepen dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre, ndërtohet një

trekëndësh i vetëm. Nëse jepen dy kënde dhe një brinjë ku mbështeten këta kënde, ndërtohet një

trekëndësh, kur shuma e këndeve është më e vogël se 1800 dhe nuk ndërtohet asnjë trekëndësh kur kjo shumë është më e madhe ose e barabartë me 1800.

Nëse jepen tri brinjë ndërtohet një trekëndësh, kur shuma e dy brinjëve është më e madhe se brinja më e madhe dhe nuk ndërtohet asnjë trekëndësh kur kjo shumë është me e vogël ose e barabartë me brinjën më të madhe.

Mbas tri ndërtimeve të bëra nga mësuesi, ngrihet një nxënës për të punuar pavarur 1(b) nga puna e pavarur, një tjetër për të punuar 2(a) dhe një i tretë 3(a).

Diskutojmë me klasën: 1) sa trekëndësha ndërtohen kur kemi dy brinjë me gjatësi 3 cm dhe 4 cm dhe këndi që përfshijnë 400.

2) Sa trekëndësha ndërtohen nëse jepen gjatësitë e brinjës dhe dy këndet me kulme mbi të?

a) 10 cm, 300 dhe 600

b) 10 cm, 600 dhe 1100

c) 10 cm, 450 dhe 1600

d) 10 cm, 900 dhe 900

3) Sa trekëndësha mund të ndërtohen nëse jepen gjatësitë e të tri brinjëve? a) 10 cm, 4 cm dhe 8 cm b) 10 cm, 8 cm dhe 2 cm c) 3 cm, 3 cm dhe 7 cmNë fund të orës mësuesi kërkon që nxënësit të formulojnë tri rastet e

kongruencës së trekëndëshave.

Detyrë shtëpie: Nga puna e pavarur, ushtrimet 1(c), 2(b) dhe 3(b).Për punë të diferencuar ushtrimi 3(c) faqe 106.


94

Tema 3.16. PROBLEMA



Objektivat mesatare


Të zgjidhin problema të kombinuara

Të zgjidhin problema të thjeshta me llogaritje, që nuk kërkojnë më shumë se një veti të figurës.

Të zgjidhin problema të kombinuara por që nuk kërkojnë më shumë se dy apo tri veti të figurës gjeometrike, duke bërë argumentimin e zgjidhjes jo në mënyrë rigoroze.

Të zgjidhin problema të kombinuara që kërkojnë jo vetëm njohuri gjeometrike por dhe algjebrike. Argumentimi të jetë rigoroz.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimevec) Vizore,raportor dhe kompasd) Shkumësa me ngjyra

Zhvillimi i mësimitMësuesi duhet të zgjidhë problemën 1. Nxënësit duhet të ndjekin mësuesin

gjatë zgjidhjes. Nxënësit duhet të punojnë problemën 4, faqe 107.Mësuesi duhet ta lërë të lirë nxënësin për zgjidhje dhe të mos i imponojë atij

mënyrën e tij. Nëse nxënësi nuk di se nga t’ia fillojë, mësuesi i jep udhëzim.Çfarë kupton me raportin 2 : 3? Nëse nxënësi që punon në dërrasë nuk

jep përgjigje, mësuesi e kërkon përgjigjen nga klasa. Duke pjesëtuar masat e këndeve, pas thjeshtimeve del ky raport. Duke menduar njërin kënd me 2njësi, tjetri ka 3 njësi. Mbas kësaj nxënësi duhet të arsyetojë se i gjithë këndi i drejtë ka 2 + 3 = 5 njësi. Po në gradë sa japin këto dy kënde? Kështu duhet të arsyetojë nxënësi; nëse ai nuk e bën, mësuesi kërkon ndihmën e klasës.

Çfarë na duhet të gjejmë që të përcaktojmë masën e të dy këndeve? Sa gradë

përfaqëson njësia thyesore 15

, sepse duke gjetur këtë, gjejmë masën e secilit

kënd se dimë sa njësi thyesore ka secili: njëri 2 dhe tjetri 3.

Atëherë: 15

e 900 = 15

. 900 = 180. Prandaj këndi i parë është: 2 ·180 = 360 dhe

i dyti 3 · 180 = 540

Libër mësuesi

95

Për pikën e dytë. Nxënësi do të shqyrtojë trekëndëshin kënddrejtë me një kënd 360 dhe trekëndëshin kënddrejtë me një kënd 540. Duke u nisun nga fakti se këndet e ngushta të trekëndëshit janë shtues , përcaktohen këndet që kërkohen. Nëse mësuesi është i bindur se problema u kuptua, mund të zhvillojë dhe një problemë që duhet ta ketë planifikuar.

P.sh.: problemën 9*. Pasi vizaton figurën, shkruan në tabelë të dhënat dhe ato që duhen gjetur.

Bazat nuk dihen. Shënojmë me x bazën e madhe.Diferenca e tyre është 10. Prandaj baza e vogël është x – 10 (nga kushti baza e vogël është 10

më e vogël se e madhja)Meqenëse jepet vija e mesme, cila është lidhja ndërmjet saj dhe dy bazave?

Shuma e bazave është sa dyfishi vija e mesme x + x – 10 = 48Zgjidhim ekuacionin e formuar. x + x – 10 = 48

2x = 48 + 102x = 58

x = 29 cm baza e madhe x – 10 = 29 – 10 = 19 cm baza e vogëlPërgjigje: bazat e trapezit janë 29 cm dhe 19 cm.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 3, 5, me dëshirë ushtrimin 10*, faqe 107.

--- Test kontrolli1. Nëse secili ushtrim zgjidhet saktë, vlerësimi bëhet me dy pikë.2. Përcaktimi i një çifti vlerësimi është një pikë, i dy çifteve vlerësimi është

me dy pikë, i tri çifteve vlerësimi është me tri pikë dhe po u gjetën katër çifte vlerësimi është me katër pikë.

3. Për figurën e parë nëse gjen një kënd që ndihmon për gjetjen e këndit x vlerësimi është me një pikë, nëse e gjen këndin x vlerësimi është me dy pikë. Për figurën e dytë nëse gjen njërin kënd, të trekëndëshit ku është këndi x, vlerësimi është me një pikë, po i gjeti të dy këndet vlerësimi është me dy pikë dhe po e gjeti këndin x, vlerësimi është me katër pikë.

4. Nëse thekson se këndet C dhe B janë kongruente si kënde të bazës në një trekëndësh dybrinjënjëshëm vlerësimi është me një pikë, nëse thekson se përgjysmoret e ndajnë këndin në dy kënde kongruente vlerësimit i shtohet dhe një pikë, nëse thekson se gjysmat e këndeve kongruente janë kongruente prandaj ∠NCM ≡ ∠MBN, vlerësimi është me katër pikë.

5. Nëse vërteton që CM është përmesore e KL vlerësohet me dy pikë, nëse vërteton që CM është përmesore dhe për PQ, vlerësimi është me katër pikë dhe nëse vërteton se CM është përmesore dhe për EF, vlerësimi është me gjashtë pikë.

6. Nëse ndërton figurën vlerësohet me një pikë, nëse vërteton se është romb


96

vlerësohet dhe me dy pikë të tjera, nëse gjen brinjën e rombit vlerësohet dhe me një pikë tjetër dhe nëse gjen perimetrin merr të pesë pikët.

7. Nëse ndërton figurën duke ndërtuar dhe dy lartësitë e hequra nga dy kulmet e bazës së vogël merr një pikë, nëse gjen katetin e panjohur në çdo trekëndësh të formuar mbas ndërtimit të lartësive merr dhe një pikë, nëse gjen bazën e vogël merr dhe një pikë dhe nëse gjen e bazën e madhe vlerësimi është me pikët e plota.

Tema 3.17. SHUMËFAQËSHIT




a) Të përkufizojnë shumëfaqëshit. b) Të ndërtojnë një shumëfaqësh.

Të përkufizojnë shumëfaqëshit.Të përkufizojnë prizmin, të përcaktojnë elementet e tij.Të ndërtojnë një prizëm.

Të ndërtojnë lartësitë në një prizëm të çfarëdoshëm.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Maket prizmash trekëndorë, Punë e pavarurkatërkëndorë dhe pesëkëndorë.c) Vizored) Shkumësa me ngjyra


[Korrigjo te figura 4 faqe 109 O1O duhet të zgjatet dhe pak që pikat O dhe O1

të jenë në bazat]Nxënësit duhet të kenë marrë një kuti shkrepëse ose të kenë përgatitur vetë

një trup të çfarëdoshëm gjeometrik. Mësuesi u vë si detyrë për ta vizatuar atë në fletore. Shumë nxënës do ta kenë të vështirë se duke e ndërtuar në plan do të duket sikur të gjitha brinjët priten. Për të provuar këtë, mbas ndërtimit u kërkon që të vendosin shkronja në kulmet. Nëse gabojnë ju kërkon që të hapin librin dhe të shohin figurën1.

Mësuesi jep përkufizimin e një shumëfaqëshi. Mirë është që mësuesi të ketë një maket shumëfaqëshi dhe ta ketë atë të vizatuar në një tabelë. Përcakton disa brinjë, disa diagonale dhe disa kulme. Por meqenëse nxënësit shumë pak

Libër mësuesi

97

kanë për t’u ndeshur me shumëfaqëshit e çfarëdoshëm mos u përqendroni shumë për sqarime. Në tabelën e shumëfaqëshit të jetë dhe një paralelepiped (për nxënësin të jetë shumëfaqësh), si i figurës 3. Mësimin e zhvillon në formë diskutimi për të përcaktuar kulmet, brinjët, faqet, diagonalet e faqeve dhe diagonalet e shumëfaqëshit. Mbas përkufizimit të dytë ndërton në dërrasë një prizëm me bazë trekëndësh (kërkon nga nxënësit që të njëjtën gjë të bëjnë dhe ata në fletoret e klasës).

Gjatë ndërtimit mësuesi t’u tregojë nxënësve se si vepron. Një element të ri që nuk e kishte shumëfaqëshi është dhe lartësia.

Duhet të ngrihen nxënës në dërrasë për të ndërtuar prizëm me bazë katërkëndësh dhe pesëkëndësh. Të përcaktohen bazat, lartësitë, kulmet, diagonalet e faqeve dhe diagonalet e prizmave.

Detyrë shtëpie: Nxënësit të ndërtojnë me karton një kub dhe një kuboid (me njohuritë që kanë nga klasa e gjashtë).

Për të zhvilluar mësimin e radhës porositen nxënësit që të kenë me vete dy shirita letre me gjatësi 16 cm dhe gjerësi 4 cm.

Tema 3.18. KUBOIDI. KUBI. HAPJA E TYRE



Objektivat mesatare


a) Të ndërtojnë një kuboid, kub me mjete të thjeshta duke u nisur nga hapja e tyre. b) Të vizatojnë një kuboid, kub.

Të përkufizojnë kuboidin dhe kubin.Të ndërtojnë kuboidin, kubin dhe të përcaktojnë elementet e tyre.Të kryejnë hapjen e një kuboidi dhe kubi.

Të formojnë kubin dhe kuboidin kur është dhënë hapja e tyre.Të zgjidhin problema të thjeshta.

Të zgjidhin problema për të cilat duhen jo vetëm njohuri gjeometrike por dhe algjebrike.Të përcaktojnë se çfarë ka të përbashkët prizmi me kubin e kuboidin dhe çfarë i dallon.


98


a) Libri i nxënësit Problemore b) Libri i ushtrimeve Punë e pavarurc) Makete kubi, kuboidi dhe hapje të tyred) Vizoree) Shkumësa me ngjyra

Zhvillimi i mësimitNxënësit vihen në punë duke ju kërkuar që shiriti prej 14 cm të ndahet në

katër pjesë dhe të përthyhet sipas vijave të ndarjes. Në pjesët e hapura të vendosen katrorë me brinjë 4 cm. Sipas përkufizimit ky është një shumëfaqësh, por i veçantë, se të gjitha faqet i ka katrorë, prandaj duhet të emërtohet me një emër të veçantë. Këtu mësuesi jep përkufizimin e kubit. U tregon nxënësve se si veprohet për ta ndërtuar në dërrasë kubin. Pastaj kërkon nga nxënësit të gjejnë brinjët, kulmet, lartësinë, diagonalet.

Shënimi KUJDES. Të mos anashkalohet sepse nxënësit jo vetëm që do ta ndërtojnë saktë trupin por do të mund të përcaktojnë dhe pikat e prerjes së brinjëve.

Mësuesi kërkon që kubin e formuar ta hapin por duke plotësuar dhe dy bazat. Çfarë vini re në hapje? Mund të përgjigjen: gjashtë katrorë, një drejtkëndësh i ndarë në katër katrorë dhe dy katrorë sipër. Përgjigjet janë të sakta. Mësuesi përcakton se drejtkëndëshi quhet sipërfaqja anësore. Dy katrorët e tjerë quhen baza.

Merr shiritin e dytë, 16 cm e ndan në katër pjesë duke filluar me 3 cm, 5 cm, 3 cm dhe 5 cm. Formon kështu katër drejtkëndësha me gjerësi 4 cm. Të gjithë bëjnë palosjen, në pjesët e hapura vendosen dy drejtkëndësha me përmasa 3cm me 5 cm. Edhe ky është një shumëfaqësh i veçantë, prandaj dhe ky duhet emërtuar. Këtu jepet përkufizimi i kuboidit. Mësuesi u tregon nxënësve se si vizatohet një kuboid.

Ngre në dërrasë një nxënës nën mesatar për të përcaktuar kulmet, bazat, faqet anësore, diagonalet, lartësinë.

Pastaj u kërkon nxënësve që të bëjnë hapjen e kuboidit, mësuesi e paraqet në dërrasë si figura 7 në libër. Çfarë vini re në hapje? Mund të përgjigjen: Një drejtkëndësh të madh të ndarë në katër drejtkëndësha të vegjël, dy nga dy kongruentë dhe dy drejtkëndësha të tjerë po kongruentë.

Zhvillon në dërrasë problemën 3.Zgjidhje. Meqenëse përmasat janë në raport 2 : 3 : 4 themi se njëra nga

përmasat ka 2 njësi, e dyta 3 njësi dhe e treta 4 njësi. Pra të tri përmasat kanë gjithsej 2 + 3 + 4 = 9 njësi. Meqenëse shuma e përmasave është 36 cm atëherë një njësi është 36 : 9 = 4 cm.

Libër mësuesi

99

Pra përmasat janë: 2 · 4 = 8 cm3 · 4 = 12 cm4 · 4 = 16 cm

Pika e dytë. Nëse brinja e kubit e ka gjatësinë x dhe me që kubi ka 12 brinjë atëherë shuma e të gjitha brinjëve është 12 x. Por problema thotë se kjo shumë është sa shuma e përmasave të kuboidit, prandaj: 12 x = 8 + 12 + 16

12 x = 36 x = 3 cm

Përgjigje. Përmasat e kuboidit janë: 8 cm, 12 cm dhe 16 cm. Përmasa e kubit është 3cm. Për përforcim kërkohet përkufizimi i kubit dhe kuboidit.


Tema 3.19. PIRAMIDA. HAPJA E SAJ




a) Të përkufizojnë piramidën.b) Të ndërtojnë një piramidë me mjete rrethanore.c) Të vizatojnë një piramidë.

Të përkufizojnë piramidën dhe të përcaktojnë elementet e saj.Të realizojnë hapjen e piramidës.

Të realizojnë maketin e një piramide.Të analizojnë dallimet ndërmjet piramidës, prizmit, kubit dhe kuboidit.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Makete piramidash trekëndore, katërkëndëshec) Vizored) Shkumësa me ngjyra

Zhvillimi i mësimit[Korrigjo te figura e piramidës para përkufizimit faqe 111 hija i takon trekëndëshit SBC]Mësuesi sjell në klasë një piramidë. I drejtohet klasës: Edhe ky është një

shumëfaqësh, por çfarë ndryshime ka nga kubi dhe kuboidi? Mund të merren disa përgjigje të sakta.

a) Faqet i ka trekëndësha, që kanë një pikë të përbashkët.


100

Tema 3.20. CILINDRI RRETHOR. HAPJA E TIJ




. a) Të dallojnë cilindrin si trup rrotullimi. b) Të ndërtojnë hapjen e tij.

Të përkufizojnë cilindrin duke përcaktuar dhe elementet.

Të ndërtojnë maketin e një cilindri dhe të kryejmë hapjen e tij.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Makete me cilindrac) Vizored) Shkumësa me ngjyra

b) Një faqe është shumëkëndësh, në të cilin është një brinjë e trekëndëshave.Ky shumëfaqësh quhet piramidë. Kërkohet që të jepet përkufizimi rigoroz. Nëse

nxënësit gabojnë e jep mësuesi dhe pastaj kërkon të përsëritet nga nxënësit.Piramidën e ndërton në dërrasë dhe kërkon që të përcaktojë faqet anësore,

kulmet, brinjët anësore, brinjët e bazave. Ngrihet një nxënës për të vizatuar në dërrasë një piramidë me bazë trekëndësh. Kërkohet të paracaktohen ato që u përcaktuan në të parin. Mësuesi i drejtohet klasës: Çfarë lidhje ka numri i kulmeve me numrin e brinjëve të bazës?

Çfarë lidhje ka numri i faqeve anësore me numrin e brinjëve të bazës?Përveç këtyre elementeve mësuesi ndërton dhe përcakton apotemën dhe

lartësinë e piramidës. Në varësi të bazës dhe të pozicionit të lartësisë përcaktohet dhe lloji i piramidës.Nëse te kubi dhe kuboidi hapja bëhej duke mos shkëputur faqet anësore, te

piramida bëhen prerjet sipas brinjëve anësore, pa u shkëputur nga baza. Në hapje do të dalin: shumëkëndësh (që është baza) dhe trekëndësha, numri i të cilëve varet nga numri i brinjëve të bazës.

Për piramidën mund të bëhet dhe një hapje tjetër, pritet: sipas njërës brinjë anësore dhe brinjëve të bazës, duke lënë njërën pa prerë. Në hapje do të dalë një shumëkëndësh dhe trekëndësha që kanë nga një brinjë të përbashkët.

Meqenëse nxënësit njohin deri tani katër shumëfaqësha: prizëm, kuboid, kub dhe piramidë, mësuesi duhet të ngrejë njëri pas tjetrit nxënësit për të ndërtuar këta shumëfaqësh. Të përcaktohen brinjët, kulmet, diagonalet, lartësia, apotema. Ushtrimi i dytë i punës së pavarur u lihet nxënësve për detyrë.

Libër mësuesi

101


Nëpërmjet punës përgatitore nxirret përkufizimi i cilindrit. Ky është një trup rrotullimi. Nëse rrotullojmë drejtkëndëshin ABCD rreth AB, çfarë formojnë gjatë rrotullimit BC dhe AD? Një përgjigje është që formohet rreth. Mundet që kjo përgjigje të jepet për dy arsye: shpesh nxënësit rrethin me qarkun i konsiderojnë një dhe arsyeja tjetër se janë të bindur që është rreth. Mësuesi duhet të sqarojë, nëse do të shpreheshim çfarë përshkruajnë pikat C ose D përgjigjja do të ishte rreth, por në rastin tonë rrotullohen dy segmente, prandaj përshkruajnë qarqe. (Qarku është sipërfaqe, rrethi është vijë që kufizon qarkun.) Kurse brinja CD përshkruan një sipërfaqe që quhet sipërfaqe rrotullimi. Pasi është dhënë përkufizimi, mësuesi ngre një nxënës për ta vizatuar në dërrasë. Mësuesi së bashku me nxënësit përcaktojnë elementet e cilindrit. Me shumë kujdes mësuesi sqaron se ky quhet cilindër i drejtë rrethor. Në klasat e tjera do të njihemi dhe me cilindra jo rrethorë. Kjo vetëm për kureshtje, por jo për ta kërkuar. Mësuesi duhet të ketë një maket cilindri. Për të bërë hapjen mësuesi duhet ta presë sipas një përftueseje, bën prerjen sipas rrathëve duke i lënë në një pikë të pa prerë nga sipërfaqja anësore. Nga hapja del një drejtkëndësh dhe dy qarqe. Meqenëse kjo është ora e fundit e trupave gjeometrikë, mendoj që mësuesi të ngrejë nxënës të ndryshëm në dërrasë për të vizatuar prizmin, me bazë trekëndësh, me bazë katror dhe me bazë drejtkëndësh: kuboid; kub; piramidë me bazë trekëndësh, katërkëndësh; cilindër. Për të gjithë trupat e ndërtuar të përcaktojë kulmet, brinjët, diagonalet, lartësinë.

Si detyrë mësuesi kërkon nga nxënësit të ndërtojnë makete të këtyre trupave.

Tema 3.21. PROBLEMA



Objektivat mesatare


Të zbatojnë kuptimet prizëm, kub, kuboid, piramidë dhe cilindër rrethor në problema.

Të zgjidhin problema të thjeshta me llogaritje ku përdoren drejtpërdrejtë njohuritë teorike.

Të hartojnë planin e zgjidhjes së problemës dhe ta zgjidhin atë.

Të zgjidhin problema të kombinuara duke bërë argumentimin rigoroz për çdo zbatim teorik.Të argumentojnë që me të dhënat mund të ketë ose jo zgjidhje një problemë.


102


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimeve Punë frontalec) Vizored) Shkumësa me ngjyra


Para se të fillohet me problemat mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit përkufizimin e trupave gjeometrikë.

Në fillim zgjidhet frontalisht problema 1.Të zgjidhet problema 4 dhe 7.Shohim në fillin problemën 4.Fillimisht mësuesi ngre në dërrasë një nxënës për të ndërtuar një kuboid.Pyeten nxënësit dhe përgjigjet nëse është e mundur jepen me simbole. Këto

i paraqesim në dërrasë. Pyetjet

1. Çfarë dihen? 1. Përmasat e kuboidit

a cm b cm c cm= = =3 4 367

, ,

2. Çfarë kërkohet? 2. Brinja e një kubi që po e shënojmë me x.

3. Çfarë lidhje ka ndërmjet dy trupave? 3. Syprina e përgjithshme e kubit është e

barabartë me syprinën e kuboidit.

Ky plan na çon në gjetjen e syprinës së përgjithshme të kuboidit dhe të kubit

dhe t’i barazojmë ato.

Meqenëse kuboidi ka tri çifte faqesh kongruente: me përmasa 3 cm dhe

4 cm, me përmasa 3 cm dhe 367

cm , 4 cm dhe 367

cm , gjejmë syprinën e

përgjithshme.

S b b aca

= ⋅ + ⋅ + ⋅

- ± -2 3 4 3 367

4 367

42

2

= + +( )

2 12 367

3 4

= + ⋅

2 12 367

7

= 2 [12 + 36] = 96 cm2

Libër mësuesi

103

Meqenëse kubi i ka të gjashta faqet katrorë, atëherë syprina e kubit është:

S1 = 6 x2

Nga të dhënat e problemës kemi: S1 = SAtëherë: 6x2 = 96

x2 = 16

Meqenëse nxënësit nuk kanë bërë rrënjën katrore mësuesi pyet se cili është ai numër pozitiv që po të ngrihet në katror na jep 16? Përgjigjja: 4

Pra brinjë e kubit është: 4 cm.

Mësuesi duhet të sqarojë çdo veprim që kryen.Po diskutojmë: nëse apotema është 3 cm lartësia e piramidës nuk mund të

jetë 10 cm sepse nga kulmi i piramidës është hequr lartësia dhe apotema, por kemi theksuar që në klasën e gjashtë se lartësia është më e shkurtër se çdo vijë e pjerrët, pra lartësia duhet të jetë më e vogël se 3 cm.

(Piramida duhet konsideruar e tillë që lartësia bie në prerjen e diagonaleve.) Trekëndëshi i formuar nga apotema, brinja anësore dhe nga gjysma e brinjës

së bazës po të ekzistonte do t’i kishte brinjët: 3 cm (apotema), 3 cm ose 4 cm (brinja e bazës së trekëndëshit) dhe 10 (brinja anësore)

Por 10 > 3 + 3 osë 10 > 3 + 4. Kjo bie në kundërshti me kushtin që shuma e dy brinjëve të trekëndëshit duhet të jetë më e madhe se brinja e tretë. Si përfundim: piramida me bazë drejtkëndësh, me brinjë të bazës 6 cm dhe 8 cm, apotemë 3 cm nuk mund ta ketë lartësinë apo brinjën anësore 10 cm.

Ka dhe një mënyrë tjetër: përdoret teorema e Pitagorës për gjetjen e lartësisë dhe të brinjës anësore.

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3, 6, me dëshirë ushtrimin 8, faqe 113.


104

Tema 4.1. SHNDËRRIME TË NJËSIVE TË GJATËSISË




Të këmbejnë njësitë matëse të gjatësisë nga njësi më të mëdha në njësi më të vogla dhe anasjellas.

Të tregojnë njësitë matëse të gjatësisë, njësinë bazë, nënfishat dhe shumëfishat e njësisë bazë.Të kthejnë në njësi më të mëdha ose më të vogla, por duke kaluar te njësia më e afërt.Të kryejnë veprime me njësitë matëse të gjatësive, por jo më shumë se një njësi.

Të kthejnë njësitë më të mëdha në më të vogla dhe anasjellas.Të kryejnë veprime me njësitë e gjatësisë.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimevec) Tabelë me njësitë matëse të gjatësisë

Zhvillimi i mësimitPër punën përgatitore mësuesi i drejtohet klasës: cila është vetia e përbashkët

e madhësive?Jo nga të gjithë pritet përgjigjja e saktë: maten. Pastaj diskuton me klasën

për të përcaktuar se çfarë është madhësia dhe të përcaktohet njësia matëse, mundësisht dhe disa nënfisha dhe shumëfisha.

a) forma e një objekti, b) masa e një objekti, c) ngjyra e një objektid) koha, e) syprina e një objekti, f) gjatësia e një objekti

Mbas këtij diskutimi mësuesi tregon dy tabelat që japin njësinë themelore dhe nënfishat dhe shumëfishat e njësive të gjatësisë.

Diskutimi duhet të përqendrohet në renditjen e njësive matëse, që jepet me anën e tabelës së parë. Me ndihmën e tabelës së dytë nxënësi të kuptojë se kur kalohet nga një njësi më e madhe në një më të vogël shumëzojmë me një fuqi të dhjetës dhe pjesëtojmë me një fuqi të dhjetës kur kalojmë nga një njësi më e vogël në një më të madhe.

KREU IV

Libër mësuesi

105

Tema 4.2. SHNDËRRIME TË NJËSIVE TË SIPËRFAQES




Të këmbejnë njësitë matëse të sipërfaqes nga njësi më të mëdha në njësi më të vogla dhe anasjellas.

Të tregojnë njësitë matëse të sipërfaqeve, njësinë bazë, nënfishat dhe shumëfishat.Të kthejnë njësitë nga më e vogla te më e madhja dhe anasjellas, por te njësia më e afërt.Të kryejnë veprimet me njësitë e sipërfaqeve, por vetëm me një njësi.

Të kthejnë njësinë nga më e vogla te më e madhja dhe anasjellas.Të kryejnë veprime me njësitë e sipërfaqes.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i mësuesit Bashkëbisedimc) Tabela me njësitë matëse të sipërfaqeve

Në punën e pavarur janë dhënë katër ushtrime. Dy që janë të zgjidhura duhet të punohen nga mësuesi. Me anën e këtyre shembujve mësuesi duhet të tregojë praktikisht atë që u tha më lart kur kalohet nga një njësi në tjetrën.

Mësuesi kërkon dhe përgjigjet e pyetjeve të ushtrimit 3 te puna e pavarur.Duke u nisur nga kjo, mësuesi u drejtohet nxënësve për të përgatitur pyetje si

te 3 dhe këto t’ia drejtojnë shokut.Por në fund dhe mësuesi mund t’i drejtojë pyetje klasës për të kuptuar sa

mbajnë mend lidhjen ndërmjet njësive.a) 1 km kthejeni në: hm, dam, m, dm, cm dhe mmb) 1 mm kthejeni në: cm, dm, m, dam, hm dhe kmPyetje: cila është më e madhe: 12 m apo 12000 mm; 0,2 km apo 200 m;30 dm apo 30 dam; 21,5 cm apo 214 mm; 56 hm apo 561 m?Në fund i drejtohet klasës: 1. Renditni në rendin zbritës njësitë e gjatësisë.

2. Renditni në rendin rritës njësitë e gjatësisë.



106


[Korrigjo te tabela e parë në faqen 115 në rreshtin e fundit të saj është 1 mm2 = 0,00001 m2 duhet 1 mm2 = 0,000001 m2]Mësuesi drejton pyetjen: Çfarë do të thotë të matësh një sipërfaqe?Pastaj nxjerr para klasës dy tabelat që tregojnë njësitë matëse të sipërfaqeve

dhe kalimin nga një njësi në tjetrën. Po kështu duhet që dhe njësive të matjeve në bujqësi mësuesi t’u kushtojë po atë rëndësi si dhe njësive të tjera. Me të dy tabelat duhet që të bëhet një diskutim në mënyrë që nxënësit jo vetëm të dinë njësitë por të kenë mundësi të bëjnë kalimet nga një njësi në tjetrën.

Te puna e pavarur në katër ushtrime, dy janë të zgjidhura dhe si gjithmonë këto duhet t’i punojë mësuesi, dy të tjerat nxënësi.

Pyetjet 3 te punë e pavarur i drejton mësuesi dhe pret përgjigje nga nxënësit. Kërkon nga nxënësit të përgatitin nga dy pyetje që kanë të bëjnë me njësitë

dhe t’ua drejtojnë shokëve të klasës.Por në fund dhe mësuesi mund t’i drejtojë pyetje klasës për të kuptuar sa

mbajnë mënd lidhjen ndërmjet njësive.a) 1 km2 kthejeni në: hm2, dam2, m2, dm2, cm2 dhe mm2

b) 1 mm2 kthejeni në: cm2, dm2, m2, dam2, hm2 dhe km2

c) 1 ha kthejeni në: m2, ar, dynymPyetje: cila është më e madhe: 12 m2 apo 12000000 mm2; 0,002 km2 apo 200 m2;

30 dm2 apo 30 dam2

Mund të themi se: 1 km = 1000 m2, po 1 dynym = 1000 m? Argumento përgjigjenNë fund i drejtohet klasës: 1. Renditini në rendin zbritës njësitë e sipërfaqes.

2. Renditini në rendin rritës njësitë e sipërfaqes.


Tema 4.3. SHNDËRRIME TË NJËSIVE TË VËLLIMIT



Të këmbejnë njësitë matëse të vëllimit nga njësi më të mëdha në njësi më të vogla dhe anasjellas.

Të tregojnë njësitë matëse të vëllimit, njësinë bazë, nënfishat dhe shumëfishat.Të kthejnë njësitë nga më e vogla te më e madhja dhe anasjellas, por te njësia më e afërt.Të kryejnë veprimet me njësitë e vëllimit, por vetëm me një njësi.

Libër mësuesi

107


Të kthejnë njësinë nga më e vogla te më e madhja dhe anasjellasTë kryejnë veprime me njësitë e vëllimit.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i mësuesitc) Tabela me njësitë matëse të vëllimit

[korrigjo te tabela e dytë faqe 117 kemi dam2, m2 e të tjera duhen dam3, m3 e të tjera]Mësuesi drejton pyetjen: Çfarë do të thotë të matësh vëllimin e një trupi?Është e saktë: vëllimi i një paralelogrami është 20 cm3.Mësuesi vendos në dërrasë dy tabela si ato që janë në libër. Diskuton me

nxënësit për tabelat. Me anën e tyre nxënësi do të mësojë shumëfishat dhe nënfishat e njësisë themelore të matjes. Gjithashtu nxënësit duhet të arrijnë në përfundimin se duke kaluar nga e majta në të djathtë kryejmë shumëzimin me një fuqi të dhjetës, kurse kur kalojmë nga e djathta në të majtë pjesëtojmë me një fuqi të dhjetës. Kjo sqarohet te shënimi vëmendje. Ushtrimet 1 dhe 2 te shënimi vëmendje kanë nga një ushtrim të zgjidhur. Ky duhet të punohet nga mësuesi, dy të tjerët punohen nga nxënësit.

Pas përfundimit të ushtrimeve mësuesi i drejtohet klasës me pyetjet e ushtrimit 3. Mësuesi kërkon që nxënësit të përgatitin nga dy pyetje për shokun e bankës për njësitë e vëllimit.

Pasi të jenë realizuar dhe përgjigjet e pyetjeve që nxënësit i kanë drejtuar njëri-tjetrit, mësuesi diskuton me klasën:

Cili është më i madh: 2 km3 apo 2000000000 m3; 0,002 dam3 apo 10 m3, 0,003 mm3 apo 3 cm3? Argumento përgjigjen.Janë të sakta shprehjet: 1 m3 është e barabartë me 1000 dm?

1mm është e barabartë me 0,001 cm3?Për të kontrolluar përvetësimin e mësimit mësuesi drejto pyetjet:

a) Cila është njësia themelore e vëllimit? b) Cilat janë nënfishat e saj? c) Cilat janë shumëfishat e saj?

d) Kur kalohet nga një njësi më e vogël në me një më të madhe çfarë veprimi kryejmë?

e) Po kur kalojmë nga njësia më e madhe në një njësi më të vogël çfarë veprimi kryejmë?




108

Tema 4.4. SHNDËRRIME TË NJËSISË SË KOHËS




Të kryejnë veprime dhe të shndërrojnë te njëra-tjetra njësitë e kohës.

Të tregojnë njësitë matëse të kohës, njësinë bazë, nënfishat dhe shumëfishat.Të kthejnë njësitë nga më e vogla te më e madhja dhe anasjellas, por te njësia më e afërt.Të kryejnë veprimet me njësitë e kohës, por vetëm me një njësi.

Të kthejnë njësinë nga më e vogla te më e madhja dhe anasjellas.Të kryejnë veprime me njësitë e kohës.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i mësuesit Punë individualec) Tabela me njësitë matëse të kohës

Mësuesi kërkon nga nxënësit që të japin të gjitha njësitë e kohës. Në punën e pavarur janë tre problema. Të parën ta zgjidhë mësuesi.

Meqenëse kemi njësinë më të vogël të kohës, për ta kthyer në njësi më të madhe do të kryejmë veprimin e pjesëtimit. Kjo do t’u thuhet nxënësve para se të fillojnë zgjidhjen. Atëherë:

1. Sa minuta zgjat muaji hënor? 2551443 : 60 = 42524 minuta 2. Sa orë zgjat muaji hënor? 42524 : 60 = 709 orë 3. Sa ditë zgjat muaji hënor? 709 : 24 = 29,5 ditë 4. Sa javë ka muaji hënor? 29,5 : 7 = 4,2 javë

Gjatë veprimeve pyetet klasa: pse pjesëtojmë me 60, me 24 apo me 7?Kur themi ditë do të nënkuptojë ditë natë.Për ushtrimet 2 dhe 3 klasa punon në heshtje dhe mësuesi kontrollon dhe

ndihmon nxënësit. Diskutohet me klasën se cili është më i madh: 2 orë apo 120 minuta,

3600 sekonda apo 61 minuta, 1 ditë e 20 minuta apo 24 orë?


Libër mësuesi

109

Argumento çdo përgjigje.Janë të sakta shprehjet: a) dita ka 1440 orë? b) 1orë është e barabartë me 10 cm? c) shoku i bankësi tha shitësit:

më jep 60 sekonda karamele.

Argumento çdo përgjigje.Në përfundim mësuesi kërkon nga klasa njësitë e kohës dhe lidhjet ndërmjet

orës, minutës dhe sekondës.

Detyrë shtëpie: 2, 3 dhe 7, faqe 119.

Tema 4.5. PËRAFRIMI NË MATJE




Të parashikojnë me përafërsi përfundimin e një veprimtarie matëse.

Të përcaktojnë njësitë matëse kur jepet madhësia.

Të vizatojë segmente kur jepet masa e tyre, duke kryer përafrimet e duhura.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimevec) Vizored) Raportor

Mësuesi i drejtohet klasës: a) Përmendni disa njësi matëse të gjatësisë. b) Përmendni disa njësi matëse të sipërfaqes. c) Përmendni disa njësi matëse të vëllimit. d) Përmendni disa njësi matëse të kohës.Pra çdo madhësi do njësinë matëse të saj. Por edhe brenda madhësive të

njëjta nuk përdoret e njëjta njësi matëse. P.sh.: kur shkojmë në dyqan për të blerë sheqer i drejtohemi shitëses: të lutem më jep 1 kg sheqer dhe jo një ton sheqer. Po kështu: nuk mund të kërkojmë 0,125 kg sheqer se aparati matës nuk ka me të qindta të kilogramit. Prandaj lind nevoja e përafrimeve në matjet



110

e ndryshme. Po kështu, vini re me kujdes, vizorja është ndarë në milimetra dhe jo në të dhjetat e milimetrit. Këto mësuesi duhet t’ua thotë nxënësve në këtë temë mësimore. Këto do të orientojnë nxënësin që kur i duhet për të ndërtuar një segment, të ketë parasysh se saktësia e ndërtimit është deri në një mm.

Nëpërmjet ushtrimit 2, vizato segmentet: nxënësit do të ndërtojnë 7 mm dhe 3

cm. Kurse segmentin 3,5 mm, 15

mm; 0,8 mm dhe 1

10mm nuk mund t’i ndërtojnë.

Këtu mësuesi drejton nxënësit për të kujtuar rrumbullakimin e numrave deri në një. Kështu numri 3,5 mm rrumbullakohet në 4 mm; 0,8 mm rrumbullakohet me

1mm. Kurse segmentet me gjatësi 15

mm dhe 1

10mm nuk mund të ndërtohen se

shifra e të dhjetave (që del pas pjesëtimit) është më e vogël se 5 dhe në bazë të rregullave të rrumbullakimit kjo shifër bëhet zero dhe shifra e njësheve mbetet e pa ndryshuar, pra zero.

Për të provuar saktësinë e syrit, mësuesi kërkon nga nxënësit që të vlerësojnë përmasat e librit të matematikës dhe ta kontrollojnë atë me anë të matjes që duhet të bëjnë.

Ushtrime të kësaj natyre jep për punë të pavarur. Ngrihen në dërrasë dhe vizatojnë tri kënde. Kërkon që tre nxënës të vlerësojnë masën e tyre me sy. Pastaj ngrihen tre nxënës të tjerë dhe matin me raportor këto kënde.


Tema 4.6. PROBLEMA



Objektivat mesatare


Të zgjidhin problema duke zbatuar njësi të njohura të matjes.

Të zgjidhin problema kur ato nuk kanë më shumë se dy veprime, pa bërë planin e zgjidhjes.

Të zgjidhin problema që kanë më shumë se dy veprime, duke bërë dhe planin e zgjidhjes.

Të zgjidhin problema të kombinuara me njësi matëse.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimeve Punë individuale

Libër mësuesi

111

Mendoj që mësuesi të zgjidhë dy problema, 3 dhe 7.Si do të veprohet për të zgjidhur 3. Bëjmë njëherë analizën. Dimë peshën e 10

l vajguri. Nëse do të dimë peshën e 1 l vajguri kemi mundësi të gjejmë peshën e 46 l vajguri. Atëherë:

1. Sa peshon një litër vajguri? 8,5 kg : 10 l = 0,85 kg2 Sa peshojnë 46 l vajguri?

0,85 · 46__

510340__39,10

Përgjigje 46 l vajguri peshojnë 39,1 kg.

Problema 7Duke lexuar me kujdes vëmë re se na duhet koha për të arritur në Athinë dhe jo

për sa orë duhet të përshkojë automobili rrugën Tiranë – Athinë pa bërë ndalesa.1. Sa orë i duhen automobilit për të shkuar nga Tirana në Athinë pa bërë ndalesa? 792 : 70 = 11 orë 18,8 min ≈ 11 orë 19 min - 70 92 - 70

22 · 60 = 1320 min - 70 620 - 560 600 - 560

402. Sa orë janë harxhuar për gjashtë ndalesat?

30 min · 6 = 180 min = 6 orë3. Sa orë zgjat udhëtimi me gjithë ndalesat?

11 orë 19 min + 6 orë = 17 orë 19 min.Përgjigje. Automobili mbërrin në Athinë pas 17 orë 19 min.Nxënësit vihen në punë me problemën 5. Në fillim nxënësit punojnë në fletoret

e klasës. Mësuesi i kontrollon duke kaluar bankë më bankë, duke dhënë dhe udhëzime të nevojshme.

Kush nga nxënësit e përfundon i pari ngrihet në dërrasë. Problema duhet të shpjegohet për ta kuptuar e gjithë klasa.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 2, 4 dhe 6, faqe 121.



112

Tema 4.7. PERIMETRI I FIGURAVE




a)Të përdorin formulën për llogaritjen e perimetrit të shumëkëndëshit barabrinjës.b) Të njehsojnë perimetrin e shumëkëndëshit të çfarëdoshëm.

Të shkruajnë formula që japin perimetrin e figurave si trekëndësh, katror, drejtkëndësh.Të llogarisin perimetrat e këtyre figurave kur formulat zbatohen drejtpërdrejtë.

Të bëhet plani i zgjidhjes së problemave për llogaritjen e perimetrave të figurave kur nuk kemi zbatim të drejtpërdrejtë të formulave (ose llogaritjen e brinjëve).


a) Libri i nxënësit Diskutim b) Libri i ushtrimeve Punë frontalec) Vizore d) Shkumësa me ngjyra

[Korrigjo te ushtrimi 2 faqe 121 4 cm duhet 5 cm, pas 3 cm duhet vendosur 4 cm, këndi ndërmjet 5 cm dhe 3 cm është këndi 1 dhe këndi përballë 4 cm është këndi 2, pika b duhet të jetë trekëndëshat përbërës të figurës nëse këndi 2 është i barabartë me këndin 1]

Për kujtesën ngrihen dy nxënës në dërrasë dhe vizatojnë njëri një pesëkëndësh dhe tjetri një gjashtëkëndësh. Mësuesi pyet: si do ta gjeni perimetrin e secilit? Nxënësit të jenë të nivelit nën mesatar. Nëse përgjigjja është pozitive kërkohet që nxënësit të gjejnë perimetrat e shumëkëndëshave të ndërtuar.

Por në varësi të gjatësive të brinjëve shumëkëndëshat marrin dhe emërtime të ndryshme. Prandaj mësuesi pyet: kur një shumëkëndësh quhet i rregullt? Kjo do të na duhet për të gjetur më shpejt perimetrin e një shumëkëndëshi të tillë.

Pra te përkufizimi i perimetrit u theksua se : perimetri është shuma e gjatësive të brinjëve.

Mësuesi pyet klasën: një trekëndësh barabrinjës më brinjë 5 cm sa e ka perimetrin? Përgjigjja mund të jetë e saktë, 15 cm. Qëllimi i mësuesit nuk është që të japë rezultatin, por si e gjeti. Disa mund të thonë se përdorëm rregullën e


Libër mësuesi

113

gjetjes së perimetrit duke mbledhur tre 5, të tjerë mund të thonë se shumëzuam numrin e brinjëve me gjatësinë e njërës prej tyre. Të dy palët kanë të drejtë. Por qëllimi është që të tregohet si ka dalë mënyra e dytë e gjetjes së perimetrit. Sipas përkufizimit: P = 5 + 5 + 5 = 3 ∙ 5 = 15 cm. Po të ishte katror, kemi:

P = 5 + 5 + 5 + 5 = 4 · 5 = 20 cm. Pra në të dy rastet kur shumkëndëshi i ka të gjitha brinjët e barabarta shumëzohet numri i brinjëve me gjatësinë e brinjës. Përfundimisht:

Perimetri i një n- këndëshi me brinjë të barabarta me a është P = n · a.Këtu mësuesi jep disa ushtrime që janë zbatim i formulës. Nuk duhet

neglizhuar, nuk duhet menduar se është shumë e thjeshtë. Këto ushtrime të jepen për nxënësit e dobët.

Të gjendet perimetri i një pesëkëndëshi të rregullt me gjatësi të brinjës: a) 5 cm; b) 7,2 cm; c) 0,8 dm.

Mësuesi punon problemën 2, faqe 121.

1. Sa është brinja e katrorit të vogël?5 cm

2. Sa është perimetri i tij?4 · 5 = 20 cm

3. Sa është brinja e katrorit të madh?4 + 3 = 7 cm

4. Sa është perimetri i katrorit të madh?4 · 7 = 28 cm

Për trekëndëshat e vegjël duhet vërtetuar se janë kongruentë. Me të vërtetë:Po marrim dy:

a) janë kënddrejtë b) hipotenuzën e kanë kongruente (nga kushtet e problemës)c) kanë dhe nga një kënd të ngushtë të barabartë, pra del që dhe këndin tjetër e kanë të barabartë.

Jemi në rastin KBK. Prandaj katetet e trekëndëshve janë 3 cm dhe 4 cm.

5. Sa është perimetri i një trekëndëshi përbërës të figurës?4 + 3 + 5 = 12 cm

Klasa vihet në punë të pavarur me problemën 4



114

Tema 4.8. PERIMETRI I RRETHIT




a) Të njehsojnë perimetrin e rrethit me rreze të dhënë. b) Të njehsojnë rrezen e rrethit kur njihet perimetri i tij.

Të shkruajnë formulën për perimetrin e rrethit dhe të shkruajnë numrin π deri në dy shifra pas presjes.Të gjejnë perimetrin e rrethit kur jepet rrezja ose diametri.

Të gjejnë rrezen, diametrin ose perimetrin kur nuk kemi zbatim të drejtpërdrejtë të formulës.


a) Libri i nxënësit Problemoreb) Libri i ushtrimeve

[Korrigjo te tabela faqe 122, 60 π dhe 80 π duhen brenda kuadrateve]Para se të kalohet në atë që kërkohet në punën përgatitore është mirë që nxënësve

t’u kërkohet se: çfarë do të thotë të gjesh gjatësinë e një segmenti? Mbasi të merret përgjigja: se duhet të gjesh sa herë vendoset në të njësia matëse, i drejtohesh klasës: a ka mundësi që një segment njësi të vendoset në rreth? Përgjigjja duhet të jetë Jo, se rrethi është vijë e lakuar. Por sipas punës përgatitore përdoret një rrugë indirekt, duke përdorur një spango. Si veprohet e tregon mësuesi. Pastaj matim spangon. Kjo do të jetë gjatësia e rrethit. Por mësuesi shpjegon se kjo rrugë nuk mund të zbatohet në çdo rreth. Mësuesi duhet të ketë marrë disa monedha, 10, 20, 50 dhe 100 lekëshe dhe e ndan klasën në katër grupe. Çdo grup gjen perimetrin e secilës monedhë dhe diametrin e tyre. Pastaj çdo grup përcakton raportin perimetër diametër. Grupet japin përfundimin dhe mësuesi krahason këto përfundime. Nëse matjet do të jenë të sakta këto raporte do të dalin afërsisht të barabarta. Ky është një numër irracional (nxënësve nuk do t’u thuhet irracional), por një numër dhjetor

jo periodik i pafundmë që shënohet me π. Pra Pd

= pπ, P = π d, P = 2πr.

Me punën e pavarur duhet të punojë e gjithë klasa, dhe në fund diskutohen përfundimet.Në klasë të punohet dhe problema 3 për të cilën duhet të plotësohet tabela. Një

kolonë të tabelës duhet ta plotësojë mësuesi. Vërtet janë ushtrime që zbatohen formulat por dhe këto kanë rëndësinë e tyre.



Libër mësuesi

115

Tema 4.9. SYPRINA E QARKUT



Objektivat mesatare


a) Të njehsojnë syprinën e qarkut.b) Të përdorin formulën për njehsimin e syprinës së qarkut, për llogaritjen e rrezes apo diametrit të rrethit.

Të formulojnë teoremën që jep syprinën e qarkut.Të zbatojnë formulën në problema të thjeshta.

Të veçojnë shkronjat te formula e syprinës së qarkut dhe të njehsojnë këto shkronja.

Të argumentojnë ndryshimin ndërmjet qarkut dhe rrethit.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimevec) Vizore dhe kompas

Pyetjet që i drejtohen klasës: çfarë quajmë qark?Kujdes! Qarku është sipërfaqe dhe rrethi është vijë. Për qarkun duhet gjetur

syprina dhe për rrethin gjatësia ose perimetri.Pyetje për klasën: Çfarë do të thotë të gjesh syprinë e qarkut?Mësuesi sqaron se njësia matëse është katror me brinjë një njësi, prandaj

krahasimi nuk mund të bëhet. Prandaj do të përdoret një rrugë e tërthortë për të

gjetur syprinën. Për këtë përdoret metoda e Arkimedit. Syprina e trekëndëshit

të formuar sipas rregullës së Arkimedit është:

Mbas saj mësuesi kërkon formulimin për syprinën e qarkut.Nxënësit vihen në punë me ushtrimet e punës së pavarur.Në fund mësuesi përforcon mësimin duke drejtuar këto pyetje:1. Çfarë quajmë qark?2. Çfarë është rrethi dhe çfarë është qarku?3. E saktë apo e gabuar është fjalia: gjatësia ë qarkut është 12 cm apo syprina

e rrethit është 20 cm2?4. Cila është formula për gjetjen e syprinës së qarkut, po e perimetrit të rrethit?



S = = π r2r . 2 π r

2


116

Tema 4.10. Ushtrime




a) Të njehsojnë perimetrin e rrethit duke përdorur formulën përkatëse.b) Të njehsojnë syprinën e qarkut duke përdorur formulën përkatëse.

Të zgjidhin problema që zbatojnë drejtpërdrejtë formulat për gjetjen e perimetrit të rrethit dhe syprinës së qarkut.

Të hartojnë planin e zgjidhjes së problemës.Të zgjidhin problema në të cilat nuk mund të zbatohen drejtpërdrejtë formulat e gjatësisë së rrethit dhe syprinës së qarkut.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimeve Punë e pavarurc) Vizore dhe kompas

Mendoj që mësuesi të zgjidhë problemën 6.Mbas ndërtimit të figurës mësuesi shtron pyetjet:1. Sa është syprina e qarkut me rreze r1 = 5 cm?

S1 = πr21 = π52 = 25πcm2

2. Sa është syprina e qarkut me reze r2 = 7 cm S2 = πr2

2 = π72 = 49πcm2

3 Si e gjejmë syprinën e unazës qarkore? Duke zbritur nga syprina qarkut të madh, syprinën e qarkut të vogël4. Atëherë sa është kjo syprinë.

S = S2 - S1

= 49π - 25π = 49π - 25π = 24πcm2

Përgjigje. Syprina e unazës është 24πcm2

Klasa vihet në punë për të plotësuar tabelën e problemës 8. Veprimet të bëhen me kujdes në zbatimin e formulave.



Libër mësuesi

117

Tema 4.11. Vëllimi i kubit dhe kuboidit



Objektivat mesatare


Të njehsojnë vëllimin e kubit dhe kuboidit.

Të vizatojnë kubin, kuboidin, të tregojnë përmasat.Të shkruajnë formulat për gjetjen e vëllimit dhe syprinave anësore të këtyre trupave.Të zgjidhin problema kur kemi zbatim të drejtpërdrejta të formulave.

Të zgjidhin problema në të cilat nuk mund të zbatohen drejtpërdrejt formulat e dhëna.

Të zgjidhin problema të kombinuara.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimeve Punë e pavarurc) Tabelë me kuboidin, kubin dhe formulat për vëllimin dhe syprinën anësored) Vizore e) Shkumësa me ngjyra

[Korrigjo tek ushtrimet që janë për detyrë në faqen 126 duhet të vazhdojnë: 3, 4, 5, 6, 7,8, 9.]Në këto mësime nuk do të vërtetohen formulat për gjetjen e vëllimit të kubit,

kuboidit dhe prizmit. Por këto do të jepen të gatshme. Prandaj të mos bëhet asnjë tentativë për vërtetimin e ndonjë formule sado e thjeshtë qoftë ajo. Mbasi nxënësit të kenë ndërtuar në dërrasë një kub, një kuboid dhe dy prizma të drejtë trekëndorë dhe katërkëndorë, mësuesi shënon me a, b dhe c përmasat e kuboidit dhe me a të kubit. Nëse nxënësit i mbajnë mend formulat mësuesi i kërkon nga nxënësit. Nëse nuk mbahen mend i formulon mësuesi.

Mësuesi kërkon nga nxënësit, pasi ka shkruar formulat në dërrasë, plotësimin e tabelës.

Mësuesi duhet të insistojë që nxënësit të mbajnë mend formulat që jepen te shënimi përfundime.

Me anën e ushtrimit 2 të provohet shpejtësia e zbatimit të formulave.Mësuesi duhet të zgjidhë problemën 5, faqe 126 dhe 7 faqe 124.



118

Si do të veprohet.Në dërrasë një nxënës ndërton një prizëm trekëndor.Pasi lexohet disa herë problema mësuesi kërkon nga klasa:Çfarë janë dhënë? Përgjigjja: 1. Prizëm i drejtë trekëndor.

2. Lartësia e prizmit h =10 cm.3. Baza trekëndësh kënddrejtë me katete 6 cm dhe 8 cm

Çfarë duhet të gjejmë? Përgjigjja: vëllimin e prizmit.Cila është formula për gjetjen e vëllimit të prizmit?V = B · h, ku B është syprina e bazës dhe h lartësia e prizmit.Gjemë syprinën e bazës. Meqë baza është trekëndësh kënddrejtë dihet që

syprina është e barabartë me gjysmën e prodhimit të kateteve.

Pra B = 12

· 6 · 8 = 24 cm2. Përfundimisht V= 24·10= 240 cm3

Përgjigje. Vëllimi i prizmit trekëndor të drejtë është 240 cm3.

Problema 7, faqe 124Vizatohet një qark. Pasi lexohet problema, mësuesi pyet:

1. Çfarë është dhënë? Përgjigjja: Syprina e qarkut S = 225π 2. Çfarë kërkohet? Përgjigja: Perimetri i rrethit P = 2πr 3. Çfarë duhet gjetur që të përcaktojmë perimetrin e rrethit?

Përgjigjja: rrezen.Por rrezja e rrethit është dhe ajo e qarkut, kështu që: S = π r2është 225 π.

πr2 = 225π r2 = 225 Tani diskutojmë cili është ai numër që po të ngrihet në katror jep 225? Nëse

nuk marrim përgjigjje mësuesi udhëzon: me sa shifra duhet të jetë ky numër? Përgjigja do të jetë: me dy shifra. Cili shifër do të jetë te njëshet?

Mund të përgjigjen saktë (jo të gjithë) pesë. Atëherë marrim në fillim numrin 15 dhe shkruajmë:

152 = 15 . 15 (nga kuptimi i fuqisë)= 225

Pra rezja e rrethit është r = 15 cmGjejmë tani perimetrin e rrethit: P = πr = 2 . π . 15 = 30 πcmPërgjigje perimetri i rrethit është P = 30 πcm


Libër mësuesi

119

Tema 4.12. MATJA E KËNDEVE. MASA E KËNDIT




a) Të masin me raportor këndet e një figure gjeometrike.b) Të ndërtojnë këndin, kur njohin masën e tij.

Të shkruajnë njësitë matëse të këndeve, njësinë bazë dhe nënfishat.Të masin me raportor një kënd. Të ndërtojnë me raportor këndin kur jepet masa e tij.

Të përcaktojnë me raportor masat e këndeve kur ata kanë kulm të përbashkët dhe në këto kushte të mbledhin dhe të zbresin masat e tyre.


a) Tabela me njësitë matëse Punë individualeb) Raportor Diskutimc) Vizored) Libri i nxënësite) Libri i ushtrimeve

Në pjesën e parë kemi: kujtojmë dhe punë përgatitore. Nxënësit duhet të kujtojnë përkufizimin e këndit dhe të përcaktojnë llojet e tyre.

Në punën përgatitore mësuesi duhet të paraqesë në klasë një tabelë që është në libër dhe të diskutojë me nxënësit për të. Mësuesi duhet të përmendë veti të masës së këndeve, të cilat kanë rëndësi për matjen e këndeve. Mësuesi duhet të ketë raportorin për të bërë matjet dhe ndërtimet e këndeve. Mësuesi me shumë kujdes duhet të tregojë mënyrën e përcaktimit të masës së një këndi dhe mënyrën e ndërtimit të këndit kur jepet masa e tij.

Të ndiqet pikë për pikë ajo që jepet në tekst. Për nxënësin nuk është e nevojshme, që kur duhet të matë apo të ndërtojë një kënd të shpjegojë ato që tha mësuesi kur e shpjegoi mësuesi. Në këtë rast ka rëndësi gjetja e masës ose ndërtimi, fjalët se si veprohet.

Mësuesi ka mundësi që të ngrejë një numër të konsiderueshëm nxënësish, për të bërë matjet dhe ndërtimet. Vepron kështu: ngre në dërrasë tre nxënës për të ndërtuar tri kënde, pa e ditur masën e tyre. Pastaj ngrihen tre nxënës të tjerë për të gjetur masën e tyre me raportor.



120

Mësuesi jep këtë ushtrim: ndërtoni me raportor këndet me masë: a) 320; b) 1250; c)1790

Ngrihen tre nxënës për të ndërtuar këto kënde me raportor.Punohet në mënyrë të pavarur ushtrimi 6.Kërkon: a) përkufizimin e këndit b) vetitë e masës së këndit. c) këndet shtuese. d) këndet plotësuese.


Tema 4.13. SYPRINA E PARALELOGRAMIT



Objektivat mesatare


a) Të njehsojnë syprinën e paralelogramit (rombit) sipas formulës përkatëse. b) Të përdorin vetitë e rombit për zgjidhjen e detyrave më të ndërlikuara për llogaritjen e syprinave.

Të formulojnë teoremën për gjetjen e syprinës së paralelogramit dhe rombit.Të zbatojnë formulën për syprinën e paralelogramit dhe rombit në problema të thjeshta.

Të vërtetojë teoremën për gjetjen e syprinës së paralelogramit dhe rombit.Të zgjidhin problema të kombinuara që zbatojnë formulat e gjetura deri tani.

Të zgjidhin problema që kanë trajtën e teoremave.


a) Tabelë me paralelogram Diskutimb) Tabelë në të cilën është ndërtuar

figura 2 e faqes 128c) Libri i nxënësitd) Libri i ushtrimevee) Vizoref) Shkumësa me ngjyra

Libër mësuesi

121

Nxënësit në dërrasë ndërtojnë paralelogramin ABCD. Mësuesi drejton pyetjen: mund të shërbejë çdo brinjë e paralelogramit si bazë? Duke u nisur nga idea që ka nxënësi për bazën, pritet që një pjesë e nxënësve të thonë Jo. Për momentin mësuesi e pranon dhe u kërkon nxënësve se kush është baza. Përgjigjja do të jetë: AB. Ndërhyn mësuesi: ndërtojmë po këtë paralelogram por në pozicionin e AB vendosim AD. Është i njëjti paralelogram? Përgjigjja Po. Po këtu, duke menduar si më sipër kush është baza? Përgjigjja AD. Pra arrijmë në përfundimin se çdo brinjë mund të shërbejë si bazë. Atëherë le të ndërtojmë lartësinë e paralelogramit kur si bazë merret AB dhe kur si bazë merret AD. Përsëri ngrihet një nxënës dhe ndërton përsëri paralelogramin ABCD duke marrë për bazë AB. Ndërton dhe lartësitë DF dhe CG mbi AB. Nxënësit vërtetojnë se ∆ AFD dhe ∆BGC janë kongruentë. Prandaj, çfarë mund të themi për syprinat e paralelogrameve ABCD dhe DFGC (drejtëkëndësh)? Më tej vazhdon mësuesi. Por dimë se syprina e drejtkëndëshit DFGC është bazë shumëzuar për lartësinë, ku baza dhe lartësia janë të paralelogramit. Këtu mësuesi formulon përfundimin që është në libër. Për të zbatuar formulën mësuesi i jep klasës ushtrimin e punës së pavarur.

Për të nxjerrë formulën për syprinën e rombit mësuesi ndjek rrugën që është paraqitur në libër. Në fund zbaton formulën për ushtrimin.

Mësuesi duhet të zgjidhë dhe problemën 3, faqe 128.Ndërton në dërrasë paralelogramin ABCD. Përcakton brinjët e tij sipas të

dhënave. Në problemë theksohet se lartësia më e madhe është 8 cm. Mësuesi kërkon që nxënësit të ndërtojnë dy lartësitë e paralelogramit dhe të tregojnë lartësinë më të madhe. Mësuesi i drejtohet klasës: çfarë lidhje ka ndërmjet farësive dhe brinjëve? Mund të mos merret përgjigjja që kërkohet. Atëherë ndërhyn mësuesi ajo që ju thatë se është lartësia më e madhe, brinja mbi të cilën është hequr kjo lartësi si është me brinjën tjetër? Përgjigjja do të jetë e saktë. Përfundimisht; në një paralelogram brinjës më të madhe i takon lartësia më e vogël. Tani gjithçka është e thjeshtë. S = b . h = 8 . 9= 72 cm2

Por mësuesi në problemë mund të shtrojë dhe një kërkesë tjetër. Gjeni lartësinë më të vogël. Një nxënës i kujdesshëm thekson se e shprehim syprinën në dy mënyra njëherë duke marrë si bazë brinjën më të vogël dhe herën dytë brinjën më të madhe. Pra: S = 8 . 9 dhe S = 12 . x ku x është lartësia e vogël. Duke pasur parasysh se është e njëjta figurë dhe syprina nuk ndryshon shkruajmë: 12 . x = 8 . 9. Përfundimisht x = 6 cm.

Mësuesi kërkon dy përfundimet që japin syprinën e paralelogramit dhe rombit.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 4 dhe 6, faqe 128. Për punë të diferencuar mësuesi lë dhe gjetjen e syprinës së rombit duke shfrytëzuar vetëm vetinë e diagonaleve të rombit dhe formulën për gjetjen e syprinës së trekëndëshit kënddrejtë.



122

Tema 4.14. Syprina e trapezit dhe deltoidit




a) Të njehsojnë syprinën e trapezit dhe deltoidit.b) Të njehsojnë syprinën e katërkëndëshit me diagonale pingule.

Të shkruajnë formulën e syprinës së rombit dhe deltoidit.Të zbatojnë këto formula në ushtrime të thjeshta.

Të vërtetojnë teoremën për syprinën e deltoidit.


a) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimeve

c) Tabelë me figurën e trapezit në punën përgatitore dhe ajo para punës së pavarurd) Vizoree) Shkumësa me ngjyra

[Korrigjo te figura e punës përgatitore nga pika B të ulet pingulja mbi DC dhe a) Njehso syprinën e trapezit të vendoset para Vini re ku është njehso syprinën e trapezit dhe shprehja = të shkruhet S = ]

Në punën përgatitore mësuesi jep udhëzime për gjetjen e syprinës së trapezit me të dhënat.

Dhe diskuton me nxënësit për shprehjen S = + ⋅16 82

5

Çfarë është 16, po 8, po 5? Kur përgjigjet janë të sakta, mësuesi kërkon përgjigjen e pyetjes: si e gjetëm syprinën e këtij trapezi? Mbas përgjigjes së saktë mësuesi vërteton teoremën për gjetjen e syprinës së trapezit.

Për tri ushtrimet e punës së pavarur mësuesi aktivizon nxënësit nën mesatar sepse kemi të bëjmë me zbatim formule.

Për të nxjerrë formulën e syprinës së deltoidit mësuesi aktivizon atë nxënës i cili ka zgjidhur detyrën për gjetjen e syprinës së rombit duke gjetur syprinat e dy trekëndëshave përbërës.

Detyrë shtëpie: Të shfrytëzohet teksti i ushtrimeve për klasën e shtatë.


Libër mësuesi

123

Tema 4.15. USHTRIME




Të aftësohen për zgjidhjen e problemave të kombinuara.

Të zgjidhin problema të thjeshta te të cilat zbatohen drejtpërdrejt formulat e marra në këtë kapitull.

Të zgjidhin problema të kombinuara te të cilat nuk ka një zbatim direkt të formulave.



Para se të zgjidhen ushtrime, mësuesi i drejtohet klasës me këto pyetje:

1. Si e gjemë syprinën e drejtkëndëshit? 2. Si e gjemë syprinën e katrorit? 3. Si e gjemë syprinën e paralelogramit? 4. Si e gjemë syprinën e rombit? 5. Si e gjemë syprinën e trapezit?

6. Si e gjemë syprinën e deltoidit?

Për çdo pyetje mësuesi ngre në dërrasë një nxënës që ndërton figurën dhe shkruan formulën.

Mbas këtyre pyetjeve ngrihen në dërrasë nxënësit me nivel të ulët për të zgjidhur problemat 3 dhe 4, faqe 130.

Mësuesi zgjidh problemën 5. Mbasi ka ndërtuar trapezin kërkon: cila quhet vijë e mesme e trapezit dhe

kush do ta ndërtojë atë? Mbasi plotësohet kjo, mësuesi i drejtohet klasës përsëri: çfarë lidhje ka ndërmjet vijës së mesme dhe bazave? Duke shënuar me m vijën e mesme të trapezit mësuesi shkruan në një trajtë tjetër formulën



124

për syprinën e trapezit. S a b h m h= + ⋅ = ⋅2

që këtej S = m . h nga vetia e simetrisë kemi:

m . h = S ose m Sh

= duke zëvendësuar të dhënat kemi m = 18012

Përfundimisht: m = 15 cm.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 2, 3 dhe për punë të diferencuar ushtrimin 7, faqe 130.

---Test kontrolliVlerësimet në pikë.1. Çdo përgjigje e saktë vlerësohet me 0,5 pikë.2. Çdo përgjigje e saktë vlerësohet me 1 pikë.3. Çdo përgjigje e saktë vlerësohet me 1 pikë.4. Nëse për çdo figurë bën vetëm matjen vlerësohet me 0,5 pikë , nëse gjen

dhe perimetrin vlerësohet me 1 pikë. (korrigjo te pikët duhet shënuar 4pikë)5. Nëse bën vetëm ndërtimin vlerësohet me një pikë, nëse bën dhe matjen

vlerësohet me dy pikë.6. Çdo kërkesë vlerësohet me një pikë (korrigjo ka 2 pikë jo 3).7. Përgjigjja e saktë vlerësohet me 1 pikë (korrigjo ka një pikë jo 2).8. Plotësimi i saktë i çdo kolone vlerësohet me 1 pikë (korrigjo ka 6 pikë jo 4).9. Përgjigjja e saktë e çdo kërkese vlerësohet me 1 pikë.10. Ndërtimi i saktë vlerësohet me një pikë (korrigjo ka 1 pikë).

Libër mësuesi

125

Tema 5.1. KOORDINATAT E PIKËS NË DREJTËZ



Objektivat mesatare


a) Të paraqesin pikën në drejtëz me anë të koordinatave.b) Të gjejnë largësinë ndërmjet pikave me koordinata.

Të përkufizojnë boshtin koordinativ dhe çfarë quajmë koordinatë të pikës.Të gjejnë koordinatat e pikave të vendosura në boshtin koordinativ.

Të gjejnë largësinë e dy pikave në bosht duke ditur koordinatat e tyre.

Të argumentojnë nëpërmjet matjes pse vlera numerike e largësisë së pikës nga origjina është me koordinatën e pikës duke e marrë me shenjën plus ose si jepet te leximi me vlerën absolute të koordinatës.Të zgjidhin problema, si 4, faqe133.

Mjetet dhe baza materiale Metodat që do të përdorena) Libri i nxënësit Diskutimb) Libri i ushtrimeve Punë e pavarurc) Vizored) Shkumësa me ngjyra

[Korrigjo te leximi faqe 135 është |1,5| = - (1,5) = 1,5 duhet |-1,5|= - (-1,5) = 1,5].Një nxënës ngrihet në dërrasë, ndërton një drejtëz dhe përcakton një pikë O. Mësuesi i drejtohet: çfarë ke përcaktuar në këtë drejtëz? Përgjigjja duhet të jetë: dy gjysmëdrejtëza me drejtime të kundërta. Kujdes! Të kundërta, jo të ndryshme. Këto përcaktime nuk janë ekuivalente. Të ndryshme janë në rastin kur gjysmëdrejtëzat janë marrë në drejtëza jo paralele.

Mbas kësaj mësuesi thekson se në këtë drejtëz ku kemi përcaktuar dy gjysmëdrejtëzat marrim një segment njësi. Po kështu përcaktojmë se kë do të marrim drejtim pozitiv dhe kë drejtim negativ. Mbasi janë zgjedhur të gjitha këto mësuesi thekson se tani kemi përcaktuar një bosht koordinativ që do ta shënojmë x’x ose y’y. Segmenti njësi konsiderohet ai që gjatësinë e ka 1, mund


KREU V


126

të jetë cm, mm. Por në përgjithësi ne do të themi segmente njësi pa e përcaktuar njësinë e matjes.

Në boshtin koordinativ mund të merren pika të ndryshme. Pozicioni i tyre përcaktohet nga distanca e tyre nga pika O që quhet origjinë. Por na paraqitet ky fakt: në boshtin koordinativ ka dy pika që distancën nga O e kanë p.sh.: 5njësi. Njëra është vendosur në të djathtë të O dhe tjetra në të majtë. Atëherë lind pyetja: cila do të merret në këtë rast? Këtë mësuesi e diskuton me nxënësit. Mësuesi thekson se ne kemi përcaktuar drejtimet e boshtit koordinativ. Për të mos përdorur fjalinë që do marrim pikën në drejtimin negativ apo në drejtimin pozitiv, futet kuptimi i koordinatës. Numri 5 quhet koordinatë e pikës A kur kjo ndodhet në drejtimin pozitiv dhe – 5 kur kjo ndodhet në drejtimin negativ. Shënohet A(5) lexohet: pika A ka koordinatë 5. Në përgjithësi: nëse largësia e pikës nga origjina është x atëherë koordinata e saj është x kur ndodhet në drejtimin pozitiv dhe – x kur ndodhet në drejtimin negativ. Nxënësit mund ta kenë harruar përcaktimin e pikës kur jepet koordinata e saj dhe përcaktimi i koordinatës kur jepet pika. Këtë duhet ta bëjë mësuesi. Të kihet kujdes: çdo numër përcakton një pikë në bosht, por e anasjella tani për tani nuk është e vërtetë se nuk njihen numrat irracionalë.

Në tekst është futur dhe një pjesë që thuhet lexim. Nga kjo do të merret simboli i vlerës absolute. Pra vlera absolute e koordinatës së pikës jep distancën e pikës nga origjina. Dhe mësuesi duhet ta japë të gatshme, pa sqaruar. Nëse kemi pikat A(x1) dhe B(x2), distanca ndërmjet tyre jepet me: AB = |x2 - x1| . Nuk duhen bërë shumë diskutime. Por e mira është që të jepen koordinatat e disa pikave dhe të gjenden distancat.

P.sh.: Gjej distancën ndërmjet pikave A (4) dhe B(9). AB = |9 - 4| = |5| = 5. Një moment tjetër është dhe fakti që duhet theksuar: meqë shpreh distancë

vlera absolute është numër pozitiv.Nxënësit punojnë ushtrimet 1 dhe 2 të punës së pavarur.

Në përfundim mësuesi kërkon: a) përkufizimin e gjysmëdrejtëzës b) përkufizimin e boshtit koordinativ.

c) cila merret si koordinatë e një pike.d) si përcaktohet distanca ndërmjet dy pikave.


Libër mësuesi

127

Tema 5.2. KOORDINATAT E PIKËS NË PLAN




a) Të ndërtojnë sistemin e boshteve koordinative.b) Të gjejnë koordinatat e pikës në planin koordinativ.c) Të gjejnë largësinë ndërmjet pikave në plan.

Të përkufizojnë sistemin koordinativ dhe ta ndërtojnë atë.Të përcaktojnë pikat në plan kur jepen koordinatat e tyre.Të gjejnë largësinë ndërmjet dy pikave duke përdorur formulën.

Të nxjerrin formulën e largësive ndërmjet dy pikave.Të përdorin formulën për koordinatat e mesit të segmentit në situata të ndryshme.


a) Libri i nxënësit Punë individualeb) Libri i ushtrimevec) Vizored) Shkumësa me ngjyra

[Korrigjo në faqen 134 është thënë nga mësimi 3.22 duhet nga mësimi 5.1]Para se të përcaktohen koordinatat e pikës në plan, duhet të futet kuptimi i

sistemit koordinativ. Për këtë mësuesi ngre një nxënës në dërrasë dhe i kërkon të ndërtojë dy drejtëza pingule dhe secilën e kthen në bosht koordinativ. Për boshtin horizontal që shënohet x’x dhe quhet boshti i abshisave, është futur kuptimi i drejtimit pozitiv dhe negativ, kurse për boshtin vertikal, që shënohet y’y dhe quhet boshti i ordinatave, drejtimi pozitiv merret mbi boshtin horizontal. Këto dy boshte me kushtet e përcaktuara quhen sistem koordinativ kënddrejtë.

Me shumë kujdes dhe atë mënyrë trajtimi si në tekst të jepet kuptimi i koordinatave të pikës në plan. Të mos kalohet në hollësira por nxënësit të kuptojnë se çdo çift numrash në plan cakton një pikë dhe çdo pikë në plan cakton një çift numrash (të sqarohet se kjo e dyta tani për tani nuk është gjithmonë e vërtetë, por do të plotësohet më vonë).

Nxënësit nëpërmjet ushtrimit të punës së pavarur të fitojnë shprehi për përcaktimin e pikës kur jepen koordinatat dhe anasjellas.



128

Një çështje e rëndësishme është dhe gjetja e largësisë ndërmjet dy pikave në plan. Të trajtohet si në tekst. Në fakt aty është përcaktuar vetëm katrori i distancës ndërmjet dy pikave dhe jo distanca. Kjo për faktin se nxënësit nuk e njohin akoma rrënjën katrore të numrave. Grupi i ushtrimeve të punës së parë të pavarur të zgjidhet nga nxënësit. Por mësuesi të zgjidhë një prej tyre.

A(- 3, 2) dhe B(2, 2) AB2 = [2 – (-3)]2 + (2 – 2)2

= ( 2 + 3)2 + 02

= 52 + 0 = 25Për të gjitha ushtrimet duhet arsyetuar si për të gjetur AB: cili është ai numër

pozitiv që po të ngrihet në katror të japë 25. Përgjigjja: 5. Pra AB = 5Prandaj ushtrimet janë zgjedhur të tilla që nxënësi të gjejë me lehtësi përfundimin.Edhe formulat që japin koordinatat e mesit të një segmenti duhet të merren të

gatshme. Për të zbatuar formulat përdoret puna e pavarur.Në përfundim mësuesi kërkon nga nxënësit:a) si ndërtohet sistemi koordinativ kënddrejtë.b) formula që jep largësinë ndërmjet dy pikave me ndihmën e koordinatavec) formulat e koordinatave të mesit të një segmenti.

Detyrë shtëpie: Ushtrimi 1, faqe 136.

Tema 5.3. USHTRIME



Objektivat mesatare


Të përdorin sistemin koordinativ për vendosjen e pikave dhe për përcaktimin e largësive ndërmjet pikave. Të zgjidhin problema gjeometrie që kanë lidhje me koordinatat.

Të përcaktojnë koordinatat e pikëve të dhëna në një sistem koordinativ.Të përcaktojnë pika në planin koordinativ kur jepen koordinatat.

Të gjejnë distancën ndërmjet pikave në planin koordinativ me formulë dhe ta krahasojnë atë me matjen drejtpërdrejtë.

Të zgjidhin problema me shkallë vështirësie si problemat 4, 5 dhe 6, faqe 136.

Libër mësuesi

129



Para se të fillohen ushtrimet mësuesi kërkon nga nxënësit:a) si ndërtohet sistemi koordinativ kënddrejtë.b) formula që jep largësinë ndërmjet dy pikave me ndihmën e koordinatave.c) formulat e koordinatave të mesit të një segmenti. Pastaj punohet me të gjithë klasën ushtrimi 2 faqe 136.Mësuesi duhet të punojë në klasë ushtrimin 4, faqe 136.Si duhet vepruar?Hapi i parë. Ndërtohet sistemi koordinativ dhe të përcaktohen sipas koordinatave kulmet

e trekëndëshit.Hapi i dytë.Gjejmë distancat ndërmjet pikave, të cilat përcaktojnë gjatësitë e brinjëve të

trekëndëshit. AB22

252

1 4 2= -

+ -( ) AB22

25 22

2= -

+

AB2 94

4= + AB2 9 4 44

= + ⋅

AB2 254

=

Cili është ai numër pozitiv që po të ngrihet në katror të japë 254

? Përgjigjja: 52

; AB = 52

AC2 2 24 1 2 2= -( ) + -( ) AC2 2 23 0= + AC2 9=

Cili është ai numër pozitiv që po të ngrihet në katror të japë 9? Përgjigjja: 3;AC = 3

BC22

24 52

2 4= -

+ -( ) BC22

24 2 52

2= ⋅ -

+ -( ) BC223

24=

+

BC2 9 4 44

= + ⋅ BC2 254

=BC2 94

4= +

Cili është ai numër pozitiv që po të ngrihet në katror të japë 254

? Përgjigjja: : 52

;BC = 52

Meqenëse AB BC= = 52

trekëndëshi është dybrinjënjëshëm.



130

Hapi i tretë. Meqenëse trekëndëshi ABC është trekëndësh dybrinjënjëshëm atëherë lartësia e hequr nga B mbi AC kalon nga mesi i AC. Gjejmë koordinatat e mesit M të AC.

xx x

MA c=

+2

; xM = + =1 42

52

; yy y

MA c=

+2

; yM = + =2 22

2 .

Pra M 52

2,

Hapi i katërt. Gjejmë gjatësinë e BM

BM22

252

52

4 2= -

+ -( ) ; BM2 2 20 2= + ; BM2 4=

Cili është ai numër pozitiv që po të ngrihet në katror të japë 4? Përgjigjja: 2; BM = 2

Hapi i pestë. Gjejmë syprinën e trekëndëshit.

S AC BM= ⋅2

; S = ⋅ =3 22

3 . Pra S = 3 njësi katrore.

Vërtet që problema është e gjatë dhe jo për të gjithë nxënësit por gjatë zgjidhjes u përdorën të gjitha njohuritë e marra deri tani.


Tema 5.4. ZHVENDOSJA PARALELE NË PLANIN KOORDINATIV




Të përcaktojnë pozicionin pas zhvendosjes paralele me rrjetin koordinativ.

Duke pasur dy pika në planin koordinativ, të shpjegojnë me fjalë se si mund të zhvendosemi nga pika e parë te e dyta duke pasur parasysh boshtet koordinative.

Të interpretojnë saktë zhvendosjen për të kaluar nga një pikë në tjetrën duke dhënë dhe madhësitë e kësaj zhvendosjeje sipas boshteve.

Libër mësuesi

131



Mbasi nxënësi ka ndërtuar një rrjet koordinativ përcakton në të pikat A(- 2, 3)dhe B(2, -3).

Mësuesi shtron pyetjen: ka mundësi që të gjejmë zhvendosjen nga pika A për te pika B? Përgjigjet do të jenë të ndryshme. Ka mundësi që asnjëra të mos jetë ajo që ka dhe mësimi.

Në dërrasë ndërtohen dy sisteme (rrjetë) plane të tjera koordinative. Te njëri përcaktohet pika A(- 2, 3). Mësuesi vazhdon: Përcaktoni një pikë që ordinatë të ketë atë të pikës A dhe abshisë atë të pikës B. Pra çfarë koordinatash do të ketë kjo pikë? Përgjigjja: C(2, 3). Atëherë si do të veprojmë për të kaluar në këtë pikë? Përgjigjet mund të jenë të ndryshme dhe të gabuara. Nëse përgjigja është e saktë e sqaron dhe mësuesi. Nëse përgjigjet janë të gabuara, ndërhyn mësuesi: nëse na është dhënë numri – 2 sa duhet t’i shtojmë për të marrë 2? Përgjigjja: 4. Atëherë për të kaluar nga pika A te pika me abshisë + 2 dhe ordinatë 3, si do ta zhvendosim?

Mund të marrim përgjigje: do të zhvendosemi djathtas 4 njësi paralel me x’x. Kemi përcaktuar pikën C(2, 3). Në sistemin e dytë që kemi ndërtuar përcaktojmë pikat A(-2, 3) dhe C(2, 3). Mësuesi mbas përcaktimit të pikës C, diskuton me nxënësit si në rastin e parë, por tani për të marrë një pikë me abshisë të pandryshuar, pra 2 dhe me ordinatë – 3. Do të arrihet në këtë përfundim: Për tu zhvendosur nga pika A(-2, 3) te pika B(2, -3) duhet të kryejmë dy zhvendosje, një djathtas me 4 njësi dhe një poshtë me 6 njësi. Në këtë temë nuk duhet të kalohet në përcaktimin e formulave për zhvendosjen. Por nëpërmjet arsyetimit, mësuesi të përgatitë nxënësit që të mund të gjejnë zhvendosjen që duhet të kryhet. Në tekst është vetëm një ushtrim në punën e pavarur, por mësuesi mund të gjejë të tjera në librin e ushtrimeve.

Në këto kushte kur ne nuk kemi nxjerrë formulat, mësuesi me nxënësit bën këtë diskutim:

Nëse abshisa e pikës së dytë, ku duhet të kalojmë, rritet nga do të zhvendosemi? Përgjigjja duhet të jetë: djathtas. Po nëse ordinata e pikës së dytë ku duhet të kalojmë, zvogëlohet nga do të zhvendosemi? Përgjigjja do të jetë: poshtë.

Përfundimisht: Nëse koordinatat e pikës ku do të zhvendosemi rriten, zhvendosja kryhet djathtas dhe lart. Nëse koordinatat e pikës ku do të zhvendosemi zvogëlohen, kzhvendosja kryhet majtas dhe poshtë. Por kemi dhe rastet e kombinuara kur njëra rritet dhe tjetra zvogëlohet. Ky duhet të jetë konkluzioni në fund të mësimit.

Detyrë shtëpie: Të merren ushtrimet në tekstin e ushtrimeve.



132

Tema 5.5. USHTRIME



Objektivat mesatare


Të gjejnë dhe të zbatojnë një formulë për të treguar zhvendosjen sipas boshteve nga pozicioni M1 në pozicionin M2.

Të përcaktojnë koordinatat e pikës që merret nga një pikë tjetër duke ditur masat e zhvendosjes sipas boshteve.Të zbatojnë formulat për përcaktimin e koordinatave, por duke i pasur ato.

Të nxjerrin formulat e zhvendosjes sipas boshteve.Të zbatojnë këto formula për problema të ndryshme të cilat nuk kërkojnë një përdorim të drejtpërdrejtë të tyre.

Të ndërtojnë shumëkëndësha në planin koodinativ kur jepen koordinatat e kulmeve, të përdorin formulat për përcaktimin e koordinatave të kulmeve që merren nga kjo zhvendosje dhe t’i ndërtojnë ato në planin koordinativ.



Në fillim mësuesi ngre në dërrasë një nxënës për të punuar ushtrimin 1 faqe 138.Por ushtrimet mund të kenë trajtën; Jepen pikat A(x1, y1) dhe B(x2, y2). Duhet

të zhvendosemi nga pika A në B, si do të zhvendosemi? Këtë pyetje shtron mësuesi para nxënësve. Për këtë do të punojë ushtrimin 2, faqe 138.

Mësuesi fillon zgjidhjen duke arsyetuar: supozojmë se për të kaluar nga A në Bduhet të zhvendosen x0 sipas boshtit x’x dhe y0 sipas boshtit y’y. Por cili është kuptimi sipas boshteve. Në mësimin e kaluar u shprehëm: zhvendosemi 4 njësi djathtas apo 6 njësi poshtë. Prandaj është detyrë e mësuesit që të sqarojë se zhvendosja x0 sipas boshtit x’x nënkupton zhvendosjen majtas apo djathtas dhe y0 sipas boshtit të y’y nënkupton lart ose poshtë.

Atëherë me zhvendosjen x0 sipas boshtit x’x1 abshisa x1 duhet të bëhet x2.


Libër mësuesi

133

Prandaj mund të shkruajmë: x2 = x1 + x0 (1)(1). Këtë arsyetim duhet të bëjë mësuesi dhe për koodinatën e dytë.Prandaj mund të shkruajmë: y2 = y1 + y0 (2). Ushtrimet i kemi të tri llojeve: Jepen pikat të gjendet zhvendosja; për këtë nga

1 dhe 2 nxjerrim:

x x xy y y

0 2 1

0 2 1

= -= -

b) Jepet pika dhe zhvendosja të gjejnë koordinatat e pikës pas zhvendosjes për këtë do të merren (1) dhe (2) si janë, pra:

x x xy y y

2 1 0

2 1 0

= += +

c) Jepet zhvendosja dhe pika pas zhvendosjes, të gjenden koordinatat e pikës para zhvendosjes; për këtë nga (1) dhe (2).

(2) nxjerrim: x x xy y y

1 2 0

1 2 0

= -= -

Mësuesi duhet t’i nxjerrë, por nuk duhet që t’ua kërkojë nxënësve për t’i mbajtur përmendsh (mund të mbajnë mend 1 dhe 2). Nxënësit e mirë mund t’i mbajnë mend.

Pastaj mësuesi zhvillon në klasë ushtrimin 4 dhe 5, faqe 138. Tek ushtrimi 6 përmenden koordinata të reja, do të nënkuptoni ato që merren pas zhvendosjes.


Tema 5.6. ZMADHIMI . ZVOGËLIMI I FIGURAVE NË RRJETIN KOORDINATIV




Të ndërtojnë figura (segment, trekëndësh etj.), me anë të zmadhimit e zvogëlimit.

Nëse në plan janë dhënë dy pika [ A( 2, 5) dhe B(4, 10) ] , të përcaktojnë çfarë ka ndodhur me koordinatat kur kalojmë nga pika A në pikën B.Të zbatojnë formulat që japin rritjen apo

zvogëlimin e koordinatave: x k xy k y

1

1

==

Të kryejnë zmadhimin (zvogëlimin) e një figure në plan nëse jepet qendra O dhe koeficienti i zmadhimit (zvogëlimit).


134


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë individualec) Vizored) Shkumësa me ngjyra

Në dërrasë është ndërtuar rrjeti koordinativ. Ngrihet një nxënës për të përcaktuar në rrjetin koordinativ pikat M(3, 4) dhe M1(9,12). Të njëjtën gjë bëjnë dhe nxënësit në fletore. Në këto momente mësuesi u drejton nxënësve katër pyetje:

a) A janë në vijë të drejtë pikat O, M dhe M1? b) Çfarë lidhje ka ndërmjet koordinatave të pikës M dhe M1? c) Çfarë lidhje ka ndërmjet gjatësisë së segmentit OM1 me gjatësinë e

segmentit OM?d) Shihni ndonjë lidhje ndërmjet koordinatave të pikave dhe gjatësive të

segmenteve që përmendëm?

Në radhë të parë duhet të kërkoni një ndërtim të saktë. Përgjigjja e pyetjes së parë duhet të jetë Po. Po kështu për të dytën, nëse nuk jepet një përgjigje u drejtohet nxënësve: si merren koordinatat e M1 nga të M. Nëse nuk është bërë saktë ndërtimi nuk do të jepet përgjigjja që presim. Qëllimi i këtyre pyetjeve është që në radhë të parë nxënësi të arrijë në përfundimin se kemi një zmadhim dhe pastaj sa herë është bërë zmadhimi. Merren përsëri pikat: A(5,10) dhe B(1,2). Mbasi ndërtohen në planin koordinativ u drejtohen përsëri nxënësve katër pyetjet e mësipërme. Në shembullin e parë themi se kemi një zmadhim dhe në të dytin një zvogëlim. Mbasi jepet dhe përkufizimi 1, mësuesi shkruan në dërrasë dhe formulat që tregojnë një zmadhim apo zvogëlim. Por duhet të bëjë

një dallim: zmadhim (zvogëlim) për koordinatat x kxy ky

2 1

2 1

==

(k mund të jetë

pozitive ose negative) dhe zmadhim (zvogëlim) për gjatësi OA kOA2 1= kur(k>0 zmadhim k>1 dhe zvogëlim kur 0<k<1). Nuk duhen bërë shumë sqarime por të insistohet në ndërtim sipas formulave. Nëse është figurë, ndërtimi në rrjetin koordinativ do të bëhet vetëm me ndihmën e koordinatave të kulmeve.

Nxënësit vihen në punë me ushtrimin e punës së pavarur.Vini re figurën. Mësuesi duhet t’u tregojë nxënësve se kemi zmadhim (zvogëlim)

të figurave dhe jashtë një rrjeti koordinativ.

Detyrë shtëpie: Të merren ushtrime nga libri i ushtrimeve.


Libër mësuesi

135

Tema 5.7. USHTRIME



Objektivat mesatare


Të zbatojnë formulat e zmadhimit (zvogëlimit) në koordinata.

Të zbatojnë formulat e zmadhimit (zvogëlimit) kur jepen koordinatat e një pike.Të zmadhojnë një segment në plan kur jepet segmenti, qendra e zmadhimit, si dhe koeficienti i zmadhimit.

Të zmadhojnë një figurë në plan, kur jepet qendra e zmadhimit si dhe koeficienti i zmadhimit.

Duke arsyetuar të përcaktojnë qendrën e zmadhimit (zvogëlimit) kur jepen dy figura të marra në këtë zmadhim (zvogëlim), si dhe të gjendet koeficienti i zmadhimit (zvogëlimit).



Për secilin ushtrim mësuesi duhet të bëjë një shembull dhe të shpjegojë mënyrën e ndërtimit. Nga 1 po marrim c). Meqenëse duam një zmadhim me k = 3, zgjatim OA përtej pikës A në mënyrë që OA1 = 3OA dhe OB1 = 3OB.Segmenti i kërkuar është A1B1. Nuk është e nevojshme të bëhet vërtetimi se A1B1 = 3AB. Shënim: nxënësve shumë të mirë mund t’u lihet si detyrë, por jo e detyruar. Si do të bëhej vërtetimi:

Nga të dhënat dhe ndërtimi kemi:AB = OB – OA(1)

OA1 = 3OA(2) , OB1 = 3OB(3) dhe A1B1= OB1 – OA1(4).Te barazimi (4) zëvendësojmë (2) dhe (3), fitojmë barazimin: A1B1= 3OB – 3OA ose A1B1= 3(OB – OA) (5)Te barazimi (5) zëvendësojmë (1): A1B1= 3AB Çfarë deshëm të vërtetonim.Tek ushtrimi 2 duhet të keni parasysh dy momente para se të gjeni qendrën

O: te a) segmentet AB dhe A1B1 të jenë paralele dhe gjatësia e segmentit A1B1



136

Tema 5.8. SIMETRIA SIPAS NJË PIKE. SIMETRIA SIPAS PIKËS O NË RRJETIN KOORDINATIV



Objektivat mesatare


a) Të përkufizojnë simetrinë sipas një pike. b) Të zbatojnë kuptimin e simetrisë në rrjetin koordinativ.c) Të ndërtojnë simetrinë e një figure të dhënë.

Të përkufizojnë qendrën e simetrisë së një segmenti.Të zbatojnë formulat që përcaktojnë koordinatat e një pike simetrike të një pike të dhënë në lidhje me origjinën e sistemit koordinativ.

Të ndërtojnë simetriken e një segmenti në lidhje me një pikë të çfarëdoshme.

Të ndërtojnë simetriken e një figure çfarëdo në lidhje me një pikë.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë frontalec) Vizored) Shkumësa me ngjyrae) Kompas

të jetë sa dyfishi i gjatësisë së segmentit AB. Te b) gjatësia e A1B1 përsëri të ketë gjatësi sa dyfishi i gjatësisë së AB, por A1A dhe B1B të kenë gjatësi të barabarta.

Për të dytën, pasi të jenë plotësuar këto kushte pika O është mesi i segmentit AB. Edhe këtu vërtetimi mund të bëhet, por jo të kërkohet për të gjithë.

Për ushtrimin 3 te a) mungon trekëndëshi A1B1C1, te b) mungon trekëndëshi ABC dhe te c) mungon qendra O. Secili ushtrim ka mënyrën e tij të ndërtimit.

Po mësuesi të zgjidhë b). Si do të veprojë:Bashkojmë O me A1, B1 dhe C1 Me qenë se kemi zmadhim atëherë përcaktojmë

meset e OA1, OB1 dhe OC1 që janë përkatësisht A, B dhe C. Pastaj i bashkojmë këto tri pika. Trekëndëshi ABC është trekëndëshi i kërkuar. Të mos bëhen tentativa për vërtetim, por mund të maten brinjët dhe do të vihet re se:

A1B1 = 2AB, A1C1 = 2AC dhe B1C1 = 2BCNxënësit të zgjidhin problemën 4 faqe 140

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1(a), 2(a), 3(a) dhe 5. Për punë të diferencuar ushtrimi 3(c) dhe 6 (kujdes te k).

Libër mësuesi

137

Në punën përgatitore një nxënës ngrihet në dërrasë për të gjetur mesin e një segmenti AB. Kjo me ndihmën e kompasit. Nga ndërtimi pika O plotëson dy kushte: ndodhet në segmentin AB dhe e ndan këtë segment përgjysmë.

Pas këtij konkluzioni mësuesi jep përkufizimin e simetrisë në lidhje me një pikë.Duhet t’i kushtohet rëndësi simbolikës.Shënimi kujdes duhet të mos anashkalohet sepse tregon një veti të rëndësishme

të simetrisë. Nuk duhet të tentohet për ta vërtetuar, por mund të bëhen matje.Në çështjen e parë, simetria e një segmenti. Jepen tri raste të vendosjes së

qendrës së simetrisë në lidhje me një segment.a) Qendra ndodhet në mesin e segmentitb) Qendra ndodhet në drejtëzën ku ndodhet segmenti.c) Qendra ndodhet jashtë drejtëzës AB.

Të tri rastet duhet të punohen nga mësuesi duke pasur parasysh dhe atë që thuhet në fund të çështjes.

Mësuesi mund të ngrejë një nxënës për të ndërtuar simetriken e segmentit kur pika O mund të ndodhet midis A dhe B, por jo në mes ose kur pika O është një nga skajet e segmentit AB.

Çështja e dytë ka të bëjë me simetrinë e pikave në planin koordinativ ku si qendër simetrie shërben qendra e sistemit koordinativ. Në tekst janë marrë pikat

M1 dhe M1 simetrike në lidhje me O dhe thuhet: Vihet re se:x xy y

1

1

= -= -

.

Mësuesi, duke përdorur vetinë e qendrës së simetrisë, që është mesi i segmentit të pikës fytyrë me pikën shëmbëllim, të nxjerrë këto formula.

Konkretisht: M(x,y) pika fytyrë, M1(x1,y1) pika shëmbëllim dhe O(0, 0) qendra e simetrisë. Mësuesi pyet klasën: cilat janë formulat që japin koordinatat e mesit

të një segmenti? Nëse nuk ka përgjigje mësuesi shkruan:x

x x

yy y

m

m

=+

=+

1 2

1 2

2

2 Zëvendësojmë koordinatat e pikave të dhëna:

02

02

1

1

=+

=+

x x

y yduke kryer veprimet kemi:

x xy y

1

1

= -= -

Mësuesi diskuton me nxënësit: çfarë lidhje ka ndërmjet shenjave të koordinatave të pikave simetrike në lidhje me origjinën e koordinatave. Përgjigjja: koordinatat i kanë numrat të kundërt.



138

Për të mbajtur mend këtë mësuesi zgjidh disa ushtrime frontalisht.a) Përcakto koordinatat e shëmbëllimeve në simetrinë në lidhje me origjinën e

koordinatave të pikave: A(2, 3); B(-2, 3); C( 2; -3); D(-2, -3); E(0, 3); F(2, 0).

b) Përcakto koordinata e fytyrave në simetrinë në lidhje me origjinën e koordinatave të pikave: A(4, 3); B(2, 4); C( -4; -3); D(-4, 3); E(0, -3); F(-2, 0).

Detyrë shtëpie: Ushtrimet që u dhanë më lart, por të vendosen në sistemin koordinativ. Të udhëzohen që sistemet koordinative të jenë të ndryshme.

Tema 5.9. FIGURAT QË KANË QENDËR SIMETRIE




Të dallojnë figurat që kanë qendër simetrie nga figurat që nuk kanë qendër simetrie.

Të përkufizojnë qendrën e simetrisë së një figure.Të gjejnë figura që kanë qendër simetrie.

Të përcaktojnë qendrat e simetrisë së disa figurave dhe të vërtetojnë që ato janë qendra simetrie.


a) Libri i nxënësit Bisedëb) Libri i ushtrimevec) Vizored) Shkumësa me ngjyra

Mësimi ka dy çështje që në fakt janë dy ushtrime që tregojnë se dy figurat, segmenti dhe paralelogrami, kanë një pikë që po të merret simetria në lidhje me të i kalon ato në vetvete.

Një pikë që gëzon këtë veti quhet qendër simetrie. Jep përkufizimin e qendrës së simetrisë.

Rëndësi ka përdorimi i simboleve, sepse në klasat e tjera do të përdoret shumë.Mësuesi të dy këta shembuj duhet t’i punojë vetë në dërrasë. Mbasi i përfundon

ngre njëri pas tjetrit tre nxënës për të provuar se pikëprerja e diagonaleve të rombit dhe katrorit janë qendra simetrie për këto dy figura dhe qendra e rrethit është qendër simetrie për të.


Libër mësuesi

139

Tema 5.10. USHTRIME



Objektivat mesatare


Të zgjidhin problema për simetrinë qendrore, për simetrinë e pikave në sistemin koordinativ në lidhje me origjinën.

Të ndërtojnë simetriken e një trekëndëshi në lidhje me një pikë.Të zbatojnë formulat për simetrinë e pikës në lidhje me qendrën e sistemit koordinativ.

Të ndërtojnë simetriken e një figure në planin koordinativ në lidhje me origjinën, kur kulmet janë dhënë me koordinata.

Të argumentojnë pse për disa figura mjafton të ndërtohet simetrikja e një pike dhe mund të ndërtojmë figurën (si rrethi, drejtëza).


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimevec) Vizore d) Shkumësa me ngjyra

Për ushtrimin 1(a) mësuesi mund të ngrejë në dërrasë një nxënës mesatar.Më i vështirë është ndërtimi i simetrikes së figurës pika d. Mendoj që duhet të

ndërtohet nga mësuesi. Si do të veprohet: Ndërtohet më kujdes figura, nuk ka rëndësi se çfarë trapezi është. Para se të

fillohet ndërtimi mësuesi duhet të bëjë këtë diskutim: meqenëse O është pika e prerjes së diagonaleve të trapezit dhe [AB] > [DC] atëherë [AO] > [OC] dhe [BO] > [OD] (nuk ka nevojë që të vërtetohet, sepse duhen njohuri të tjera, por konkluzioni të dalë nga vrojtimi). Nxënësve t’u thuhet se do ta vërtetojnë në klasat e tjera. Fillojmë ndërtimin:

A A

B B

C C

D D

AB A B BC B C DC

S

S

S

S

S S

o

o

o

o

o o

→

→

→

→

⇒ → →

1

1

1

1

1 1 1 1, , →→ → ⇒ →S S So o o

D C AD A D ABCD A B C D1 1 1 1 1 1 1 1,



140

Tema 5.11. SIMETRIA SIPAS NJË DREJTËZE. SIMETRIA SIPAS BOSHTEVE KOORDINATIVE



Objektivat mesatare


a) Të përkufizojnë simetrinë sipas një drejtëze.b) Të ndërtojnë simetriken e një figure në simetrinë sipas një drejtëze.c) Të ndërtojnë simetriket e pikave në rrjetin koordinativ në simetrinë sipas boshteve.

Të përkufizojnë drejtëzën simetrike.Të ndërtojnë simetriken e një pike në lidhje me një drejtëz.Të përcaktojnë koordinatat e një pike në lidhje me secilin bosht koordinativ.

Të ndërtojnë simetriken e një figure në lidhje me një drejtëz, sidoqoftë pozicioni i drejtëzës në lidhje me figurën.

Të argumentojnë se formulat që lidhin koordinatat e pikave simetrike në lidhje me

x’x janë: x xy y

1

1

== -

dhe në lidhje me y’y

janë:x xy y

1

1

= -=


a) Libri i nxënësit Frontaleb) Libri i ushtrimeve Diskutimc) Vizored) Shkumësa me ngjyra

Gjatë kohës që shkruan simbolet, që tregojnë simetrinë, bën dhe ndërtimin e tyre. Gjithashtu mësuesi duhet të sqarojë, duke u mbështetur te diskutimi i bërë më lart pse pikat A1 dhe B1 ndodhen në zgjatimet e OC dhe OD, kurse pikat D1dhe C1 ndodhen në [OA] dhe [OB].

Nxënësit vihen në punë të pavarur me ushtrimin 4. Këtë ushtimë nxënësit duhet ta punojnë në fletoret e klasës në mënyrë të pavarur. Pas përfundimit mësuesi diskuton rezultatet.

Problema 7 të punohet nga një nxënës i mirë. Ndërtimet të bëhen sakta në një plan koordinativ.

Detyra shtëpie: Ushtrimet 1(b, c, e, f), 5, 6. Punë të diferencuar ushtrimet 8, 9 dhe 10, faqe 143.

Libër mësuesi

141

[Korrigjo në të djathtë të figurës 3 faqe 144 është AB] duhet [AB] , në faqen 145 te sistemi koordinativ figura 4 është M(- x, y) duhet M(x, y), është M1 (- x, y ) duhet M1(x , - y)]

Qëllimi i punës përgatitore është që të jepet përkufizimi i simetrisë sipas një drejtëze për një pikë. Në çështjen e parë gjendet simetria e një segmenti në lidhje me një drejtëz, por në tri raste:

a) drejtëza është përmesore e segmentit.b) drejtëza nuk është përmesore e segmentit, por është pingul me të.c) drejtëza nuk është pingul me segmentin.

Të tri rastet kanë specifikën e tyre prandaj të tri rastet duhet të studiohen dhe simbolet të përdoren me kujdes dhe të kuptohen nga nxënësit.

Pra, çështja e parë studion simetrinë e figurave në kuptimin gjeometrik. Në çështjen e dytë kalohet në sistemin koordinativ dhe përcaktohen simetriket e pikave kur jepen koordinatat, por në lidhje me dy boshtet koordinative. Kujdes të mos kalohet në gjetjen e simetrikeve të pikave në lidhje me një drejtëz çfarëdo të planit koordinativ. Mësuesi duhet t’i punojë vetë shembujt e tekstit. Dhe pastaj arrin në përfundimin që: pika M(x, y) ka si simetrike në lidhje me boshtin x’x pikën M1(x, - y) dhe në lidhje me boshtin y’y pikën M2(- x, y). Këto fakte me simbolikë mund t’i shkruajë në trajtën:

M x y M x yx x

( , ) ( , )'

→ -1 dhe M x y M x yy y

( , ) ( , )'

→ -2

Diskutohet me nxënësit: çfarë vini re për shenjat e koordinatave, shëmbëllimeve dhe të fytyrave.

Për të mbajtur mend këtë, mësuesi zgjidh disa ushtrime frontalisht.a) Përcakto koordinatat e shëmbëllimeve në simetrinë në lidhje me boshtin e

abshisave:A(2, 3); B(-2, 3); C( 2; -3); D(-2, -3); E(0, 3); F(2, 0).

b) Përcakto koordinatat e fytyrave në simetrinë në lidhje me boshtin e ordinatave:

A(4, 3); B(2, 4); C( -4; -3); D(-4, 3); E(0, -3); F(-2, 0).

Detyrë shtëpie: Ushtrimet që u punuan frontalisht të jepen detyrë për t’i vendosur në sistemin koordinativ. Të udhëzohen që, për a) dhe b), sistemet koordinative të jenë të ndryshme.



142

Tema 5.12. FIGURA QË KANË BOSHT SIMETRIE



Objektivat mesatare


Të dallojnë figurat që kanë bosht simetrie.

Të përkufizojnë boshtin e simetrisë së një figure.Të përcaktojnë disa figura që kanë bosht simetrie.

Të vërtetojnë se përmesorja është bosht simetrie një segmenti, përgjysmorja e këndit në një trekëndësh barabrinjës është bosht simetrie.

Të tregojnë me anën e matjeve se kur një figurë ka dy drejtëza pingule boshte simetrie, ajo ka si qendër simetrie pikëprerjen e tyre. Pastaj ta vërtetojnë këtë fakt.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimevec) Vizore d) Shkumësa me ngjyra

Në punën përgatitore mësuesi nëpërmjet diskutimit me nxënësit të tregojë se përmesorja e një segmenti është një drejtëz që segmenti e kalon në vetvete.

Këtë drejtëz do ta quajmë bosht simetrie të segmentit. Mësuesi jep përkufizimin e tij.Në çështjen e dytë mësuesi duhet të vërtetojë se trekëndëshi dybrinjënjëshëm

ka bosht simetrie përmesoren e bazës. Simbolika që përdoret në vërtetim duhet të konsiderohet e rëndësishme sepse ajo justifikon dhe fjalët e shumta që mund të duhen për vërtetim. Çështja e tretë ka të bëjë me boshtin e simetrisë së këndit.

Në punën e pavarur janë dy problema: një për të treguar që trekëndëshi barabrinjës ka tri boshte simetrie dhe që katrori ka katër boshte simetrie. Problemi i parë nuk paraqet vështirësi sepse me pyetjen që mësuesi u drejtohet nxënësve: trekëndëshi barabrinjës është dybrinjënjëshëm? Nxënësit e kthejnë zgjidhjen te çështja e dytë.

Kurse problema e dytë ka dy momente: a) t’i shkojë mendja se cilat mund të jenë boshte simetrie. b) t’i vërtetojë se plotësojnë kushtet për të qenë boshte simetrie për katrorin.


Libër mësuesi

143

Në problemën e dytë mësuesi duhet që të jetë një udhëzues i nxënësit që është ngritur për ta vërtetuar këtë.

Detyrë shtëpie: Të vërtetohet se drejtkëndëshi dhe rombi kanë dy boshte simetrie.

Punë e diferencuar: të vërtetohet se figura që ka dy boshte simetrie pingul, pika e prerjes së tyre është qendër simetrie e figurës (kujto rombin).

Tema 5.13 - 5. 14. USHTRIME



Objektivat mesatare


Të zgjidhin problema të kombinuara për shndërrimet gjeometrike.

Të ndërtojnë simetriken e një segmenti.Të gjejnë koordinatat e simetrikes së një pike në lidhje me origjinën e sistemit koordinativ, në lidhje me dy boshtet koordinative.

Të përcaktojnë simetriken e një figure në lidhje me një drejtëz sidoqoftë pozicioni i saj në lidhje me figurën.Të përcaktojnë llojin e shndërrimit kur jepen formulat.

Të zgjidhin problema që kanë lidhje me shndërrimet, por që nuk kanë një zbatim të drejtpërdrejtë.


a) Libri i nxënësit Punë frontaleb) Libri i ushtrimeve Bashkëbisedimc) Vizored) Shkumësa me ngjyra

[Korrigjo te figura e problemës 16 te kumi C nuk duhet 1 dhe 2 por 3 dhe 4]Këto janë dy orë ushtrimesh. Ora e parë duhet të jetë deri tek ushtrimi10.Para se të fillohen ushtrimet kërkohet nga nxënësit që të shkruajnë në

dërrasë formulat që japin simetrinë e pikës në lidhje me origjinën dhe boshtet koordinative.



144

Për orën e parë mësuesi duhet të ngrejë njëri pas tjetrit nxënës (nën mesatar) për të punuar ushtrimet 1. Nxënësit e tjerë të punojnë në fletore, duke u kontrolluar dhe ndihmuar nga mësuesi.

Frontalisht punohet dhe ushtrimi 2.Nxënësve të mirë u jepet për të punuar problema 8. Pasi të jenë përfunduar

ushtrimi 1 dhe 2, nëse konstatohet se është përfunduar dhe ushtrimi 8, punohet dhe ky ushtrim në dërrasë. Nëse jo nxënësve që u është dhënë u thuhet që ta ndërpresin. Mësuesi duhet të punojë në dërrasë problemën 4. Si do të procedojë:

Etapa e parë: ndërton sistemin koordinativ, me ndarje shumë të sakta.

Etapa e dytë: përcakton në sistemin koordinativ pikat ABCD.

Etapa e tretë: pyet klasën:çfarë figure është A,B,C,D? Përgjigjja: katror. Pse? Nxënësit duhet të arsyetojnë se nga mënyra e përcaktimit të pikëve kur jepen koordinatat, katërkëndëshi këndet i ka të drejtë, por nga ndërtimi brinjët i ka të barabarta.

Etapa e katërt: Si gjendet perimetri? Po syprina?

Etapa e pestë: Sa është brinja e katrorit? përgjigjja: 1. Pse? Një pjesë e nxënësve 1 mund ta gjejnë me matje, pjesa tjetër me arsyetim. Të dyja duhen pranuar.

Etapa e gjashtë: P = 4, S=1.Për pjesën e dytë të problemit duhet të aktivizohen nxënës të veçantë për çdo

etapë.Ne fund do të dalë se perimetri dhe syprina e figurës fytyrë dhe shëmbëllim

janë të barabarta.Pavarësisht se nuk është vërtetim, mësuesi duhet t’u nxjerrë nxënësve

këtë konkluzion: Në simetrinë boshtore figurat nuk ndryshojnë përmasat, nuk ndryshojnë syprinat dhe perimetrat. Kujdes, nuk duhet t’i futemi vërtetimit, por konstatimit që doli nga kjo problemë.


Për orën e dytë mësuesi i drejtohet klasës me anën e problemës 11. Me anën e kësaj probleme mësuesi duhet të konstatojë nëse nxënësi e di apo jo kuptimin e boshtit të simetrisë.

Mësuesi zgjidh problemën 16. Ja si duhet vepruar. Mbasi lexohet problema

Libër mësuesi

145

dhe ndërtohet me kujdes figura, mësuesi i drejtohet klasës: për të vërtetuar se AC është bosht simetrie i katërkëndëshit ABCD, çfarë duhet të tregojmë? Disa mund të përgjigjen: që figura të kalojë në vetvete. Përgjigjja është e saktë. Por mësuesi për ta bërë më të qartë vërtetimin kërkon më tepër: tregoni me elemente ose mund të themi që AD të kalojë te BC dhe anasjellas. Mund të ketë dhe përgjigje Po. Por mësuesi sqaron, meqë pika A ndodhet në AC atëherë në simetrinë sipas AC kalon në vetvete dhe kjo pikë nuk i takon BC. Problemi dhe kështu zgjidhet, por meqenëse [DC] dhe [BC] nuk janë kongruente me [AD] dhe [AB], duhet bërë ky ndryshim. Mësuesi fillon zgjidhjen:

Etapa e parë: Vërtetohet se [AD] është kongruente me [AB] dhe [CD] është kongruente me [CB].

Shqyrtojmë trekëndëshat ADC dhe ABC. a) AD e kanë të përbashkët. b) Këndi 1 është kongruent me këndin 2 ( nga kushti). c) Këndi 3 është kongruent me këndin 4 (nga kushti).Trekëndëshat plotësojnë kushtet e rastit KBK për të qenë kongruentë.

Meqenëse janë kongruentë dhe elementet e tjera janë kongruente. Pra [AD] është kongruente me [AB] dhe [CD] kongruente me [CB].

Etapa e dytë: Bashkojmë pikën D me B. Nga kushtet e problemës dhe ajo që vërtetuam më lart, AO është përmesore e trekëndëshit ADB dhe CO përmesore e trekëndëshit DCB (O është pika e prerjes së AC dhe DB). Atëherë, në bazë të asaj që kemi shpjeguar në teori, këto janë boshte simetrie për secilin trekëndësh, meqenëse AO dhe CO ndodhen në AC arrijmë në përfundimin se AC është bosht simetrie i katërkëndëshit të dhënë.

Por pika e dytë mund të trajtohet dhe në një mënyrë tjetër.Bashkojmë pikat D dhe B. Shënojmë me O pikën e prerjes me AC. Nga ato që

vërtetuam në etapën e parë, trekëndëshi ADC është dybrinjënjëshëm dhe AO përmesore e trekëndëshit. Në të njëjtat përfundime arrijmë dhe për trekëndëshin DCB.

Pra mund të shkruajmë:

A A

D B

C C

AD AB DC CB ABCD ABCD

AC

AC

AC

AC AC AC

↔

↔

↔

⇒ ↔ ↔ ⇒ ↔,

Ushtrimi 15 duhet të punohet nga nxënësit. Duhet korrigjuar te kërkesa: jo ndërto figurë, por ndërto pikat. Kujdes! Te b kemi zhvendose me -4 dhe -3. Kujdes dhe te d), g).


146

Për përgjigjen e pjesës së parë të këtij ushtrimi duhet të kihen parasysh përfundimet e temave:

5.5(ushtrimi i zgjidhur), 5.6, 5.8(b) dhe 5.11(b).

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 12,13 dhe 14. Për punë të diferencuar ushtrimin 17, faqe 147.

Testi i kontrollit.

Vlerësimi në pikë.1. Në pikën a nëse gjenden koordinatat e të gjitha pikave vlerësimi është me

2 pikë, nëse gjenden koordinatat e tri pikëve vlerësimi është me një pikë. Për pikën b nëse gjenden dy largësi vlerësimi është me një pikë, nëse

gjenden të katër largësitë vlerësimi është me katër pikë.

2. Nëse në pikën a përcaktohen të gjitha pikat vlerësimi është me 2 pikë, nëse përcaktohen tri pika vlerësimi është me një pikë. Për pikën b nëse përcaktohen të katër largesat vlerësimi është me 2 pikë, nëse përcaktohen dy largesa vlerësimi është me 1 pikë. Për pikën c çdo përgjigje e saktë e çdo kërkese vlerësimi është me 2 pikë, çdo përgjigje e pjesshme vlerësimi është me 1 pikë.

3. Zgjidhja e plotë e çdo kërkese vlerësohet me 2 pikë. Çdo zgjidhje e pjesshme vlerësohet me një pikë.

4. Nëse përcaktohet drejtëza duke arsyetuar vlerësohet me 2 pikë, pa arsyetim me 1 pikë.

Nëse përcaktohet simetrikja e B me arsyetim vlerësohet me dy pikë, pa arsyetim me një pikë.

5. Nëse përcaktohet pika O me arsyetim vlerësohet me dy pikë, pa arsyetim me një pikë.

Nëse lidhja ndërmjet gjatësive gjendet me arsyetim vlerësohet me dy pikë, pa arsyetim me një pikë.

6. Nëse pika a zgjidhet duke arsyetuar vlerësohet me dy pikë, pa arsyetim me

Libër mësuesi

147

Tema 6.1. SHPREHJE SHKRONJORE



Objektivat mesatare


a) Të përcaktojnë monomet e ngjashme në një bashkësi me monome.b) Të përcaktojnë koeficientet dhe pjesën shkronjore në një monom.

Të shkruajnë një shprehje shkronjore.Të përkufizojnë monomin si një shprehje shkronjore.Të shkruajnë monome të ndryshme.Të shkruajnë monome të ngjashme dhe të kundërta.

Të përkufizojnë shprehjet e njëvlershme.

Të përcaktojnë veprimet algjebrike që zbatohen për shndërrime të njëvlershme.


a) Libri i nxënësit Punë frontaleb) Libri i ushtrimevec) Tabelë me shndërrimet e njëvlershme

[Korrigjo mbas shembullit 2 ushtrimi 2 faqe 150 është 3 ab duhet 3ab]Në punën përgatitore nxënësit do të rikujtojnë përkufizimin e shprehjes shkronjore.Për ta rikujtuar mirë duhet që të jepen nga nxënësit disa shprehje shkronjore.

Në çështjen e parë monomet, jepet përkufizimi i një monomi si rast i veçantë i një shprehjeje shkronjore por me kusht që shkronjat dhe numrat të lidhen vetëm me veprimin e shumëzimit dhe ngritjes në fuqi.

Mbas dhënies së disa monomeve mësuesi përcakton pjesët e një monomi. Kujdes te dhënia e monomeve të rregullta. Përkufizimeve 2 dhe 3 duhet t’u kushtohet kujdes se do të ndihmojnë nxënësit në veprimet me monome. Nëpërmjet shembullit 2, që do të trajtohet nga mësuesi, nxënësit do të mund të dallojnë monomet e ngjashme.

Ushtrimi 1 dhe 2 duhet të zhvillohen frontalisht sepse kërkojnë vetëm përcaktim koeficientesh, pjesë shkronjore dhe monome të ngjashme.

Çështja e dytë ka rëndësi të veçantë sepse do të na ndihmojë që të bëjmë


KREU VI


148

transformim shprehjesh.Merren dy shprehje shkronjore dhe një bashkësi numerike. Përcaktohen vlerat

e çdo shprehjeje dhe arrihet në përfundimin që për të njëjtën vlerë të ndryshores vlera numerike e tyre është e njëjtë.

Pra për nxënësit theksohet se këto dy shprehje në bashkësinë e dhënë kanë një cilësi të veçantë. Prandaj për t’i dalluar nga të tjerat futet kuptimi i shprehjeve të njëvlershme. Kujdes! Njëvlershmëria duhet kuptuar për shprehje të ndryshme por në të njëjtën bashkësi. Mësuesi mund të marrë dy shprehje që janë të njëvlershme në një bashkësi dhe në një tjetër jo. P. sh.:

x2- x dhe x + 1 Në bashkësinë A = { - 1, 1} shprehjet marrin vlera të barabarta pra janë të njëvlershme, kurse në bashkësinë B = {1, 0, -1} nuk janë të njëvlershme. Pra detyra e mësuesit është të theksojë që njëvlershmëria e shprehjeve numerike varet nga bashkësia ku shqyrtohen.

Por nga nxënësit me të drejtë mund të lindë pyetja: pse duke gjetur vlerat numerike do të konstatojmë se shprehjet janë të njëvlershme? Përgjigjja e mësuesi duhet të jetë Jo. Për këtë mësuesi jep disa veti të veprimeve aritmetike të cilat janë shndërrime të njëvlershme.

Ato duhet të jepen njëra pas tjetrës dhe të kërkohen nga mësuesi që nxënësit t’i mbajnë mend.

Në përforcim të mësimit, mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit tri përkufizimet e çështjes së parë dhe një të çështjes së dytë. Po kështu dhe veprimet algjebrike që janë shndërrime të njëvlershme.


Tema 6.2. SHNDËRRIMI NË SHPREHJE TË NJËVLERSHME



Objektivat mesatare


a) Të kthejnë monomet jo të rregulla në monome të rregullta.b) Të mbledhin dhe të zbresin monomet e ngjashme.

Të shkruajnë monome të ngjashme dhe të përcaktojnë koeficientet dhe pjesën shkronjore.Të mbledhin monome të ngjashme kur janë në trajtë të rregullt.

Të kthejnë në trajtë të rregullt monomet dhe pastaj t’i mbledhin ato.

Të veçojnë monomet e ngjashme në një grup monomesh dhe të kryejnë mbledhjen.

Libër mësuesi

149



Nëpërmjet punës përgatitore mësuesi duhet të kuptojë se nxënësit i kanë apo jo të qarta konceptet: monom i rregullt, monom jo i rregullt dhe shprehje shkronjore. Nëse konstaton që nuk janë të qarta, duhet t’i sqarojë mirë këto koncepte se i duhen që në çështjen e parë. Në shembullin 1 shndërrohet një shprehje në një shprehje të njëvlershme me të. Sqarohen edhe shndërrimet që kryhen. Poshtë shembullit tregohet pse për monomet e ngjashme mblidhen vetëm koeficientet. Këtu na sjell pikërisht faktorizimi që kemi trajtuar në mësimin 2.14. Pas saj jepet rregulla që ndiqet për të mbledhur monomet e ngjashme. Ushtrimet do të punohen nga nxënësit duke sqaruar çdo transformim që bëhet. Mund të zgjidhen duke kryer faktorizimin, por dhe duke zbatuar rregullën për mbledhjen e monomeve të ngjashme. Është mirë që mësuesi t’i drejtojë te rregulli për mbledhjen e monomeve të ngjashme.

Rubrika diskutojmë së bashku duhet të vlerësohet sepse aty mësuesi do të konstatojë se: a) nxënësit i dallojnë monomet e ngjashme.

b) nxënësit dallojnë koeficientet.c) nxënësit dinë se shuma e numrave të kundërt është zero.d) prodhimi i çdo shprehje me zero është zero.

Shembulli 2 ndryshon nga 1 sepse kërkohet të mblidhen dy monome jo të rregullta. Kështu nëpërmjet tij nxënësit duhet të kuptojnë se për të mbledhur monomet në fillim duhet të kthehen në monome të rregullta. Pikërisht dhe mësuesi gjatë zgjidhjes së shembullit duhet të insistojë në mënyrën e kthimit të monomeve në monome të rregullta.

Pasi të jetë bindur se nxënësit e kanë kuptuar shembullin kalohet në ushtrimet a dhe b që duhet të punohen nga nxënësit.

Për të përforcuar dijet që mësuesi t’i drejtohet klasës:a) Çfarë quajmë monom

b) Çfarë dallojmë te monomi (pjesën shkronjore dhe koeficientin)? Te kjo pyetje mësuesi pasi ka marrë përgjigjen jep dy monomet; xy dhe -xyz dhe u kërkon të përcaktojnë koeficientin. Të jepen këto monome se shpesh thuhet se nuk kanë koeficient.

c) Kur monomi do të quhet i rregullt?d) Kur dy monome janë të ngjashme?e) Cili është rregulli i mbledhjes së monomeve të ngjashme?f) Mund të mblidhen monomet: 2x dhe 5xy?




150

Tema 6.3. SHNDËRRIMI I SHPREHJEVE NË SHPREHJE TË NJËVLERSHME




Të shndërrojnë një shprehje shkronjore në një shprehje të njëvlershme.

Të kryejnë shndërrime të njëvlershme në një shprehje që nuk ka më shumë se dy-tre monome të ngjashme.Të kryejnë shndërrime njëvlershmërie në shprehje shkronjore kur ato kanë kllapa dhe para tyre ka numra pozitivë.

Të kryejnë shndërrime të njëvlershme në shprehje me kllapa, kur para tyre ka numra pozitivë dhe negativë. Koeficientet e monomeve janë numra të çfarëdoshëm racionalë.


a) Libri i nxënësit Punë individualeb) Libri i ushtrimeve

Meqenëse mësimi kërkon që shprehje të ndryshme shkronjore të shndërrohen në shprehje të njëvlershme, duhet që nxënësit të rikujtojnë rregullën e mbledhjes së monomeve si dhe disa veti aritmetike. Kjo do të bëhet patjetër në punën përgatitore.

Pasi është përfunduar puna përgatitore mësuesi ka për të zgjidhur pesë shembuj. Të pestë kanë veçoritë e tyre dhe mësuesi duhet t’i ketë parasysh ato.

Shembulli i parë ka shndërrimin e një shprehjeje shkronjore pa kllapa.Shembulli i dytë ka shndërrimin e një shprehjeje me kllapa, por kur para kllapave

koeficienti është një, i cili si zakonisht nuk vendoset. Përbri këtij shembulli është vendosur shënimi: kujdes! Ky shënim nuk duhet të anashkalohet. Sepse shumë nxënës mendojnë se nuk ka koeficient, pavarësisht se veprimin mund ta kryejnë mirë. Prandaj mendoj që para se mësuesi të fillojë zgjidhjen, të kërkojë nga nxënësit që të përcaktojnë koeficientet para kllapave.

Shembulli i tretë ka shndërrimin e një shprehjeje me kllapa por që para tyre ka koeficiente pozitive. Në këto raste nxënësit e nivelit nën mesatar kur zbatojnë vetinë e përdasimit me koeficientin shumëzojnë vetëm monomin e parë të shprehjes brenda kllapave. Prandaj mësuesi duhet t’u tërheqë vëmendjen nxënësve për këtë fakt.


Libër mësuesi

151

Tema 6.4. GJETJA E VLERAVE NUMERIKE TË SHPREHJEVE

SHKRONJORE. USHTRIME



Objektivat mesatare


a) Të gjejnë vlerën numerike të një shprehjeje shkronjore në trajtë të çfarëdoshme.b) Të gjejnë vlerën numerike të një shprehje shkronjore duke e kthyer në fillim në një shprehje të njëvlershme me të, më të thjeshtë.

Të gjejnë vlerën numerike të një shprehjeje shkronjore që nuk ka më shumë se dy ndryshore.

Të gjejnë vlerën numerike të një shprehjeje shkronjore të çfarëdoshme.

Të kryejmë shndërrimet e njëvlershme në një shprehje shkronjore, pastaj të gjejnë vlerën numerike të saj.



Menjëherë pas këtyre tre shembujve, mësuesi vë në punë të pavarur nxënësit me ushtrimet a dhe b. Mësuesi kontrollon punën e nxënësve dhe kur ushtrimet përfundohen ai ngre në dërrasë nxënës për t’i punuar dhe të tjerët kontrollojnë atë që kanë bërë.

Shembulli katër: Ka shndërrimin e shprehjes me kllapa, por koeficienti para kllapave është një ose minus një. Përbri këtij shembulli kini përsëri shënimin: kujdes! Ashtu si dhe më lart, ky shënim duhet të konsiderohet shumë i rëndësishëm. Që në fillim mësuesi duhet të kërkojë që nxënësit të përcaktojnë koeficientet dhe pastaj të insistojë që gjatë shumëzimit të një shprehjeje më një numër negativ të gjitha monomet ndryshojnë shenjë.

Shembulli pesë është një kombinimi të gjithë shembujve.U dhanë të gjitha këto sqarime që të mos konsiderohen se mjafton të kryhen

nga mësuesi një apo dy shembuj.Në përfundim të orës, mësuesi ngre tre nxënës njëri pas tjetrit për të zgjidhur

tri ushtrimet. Duhet që mësuesi të kontrollojë gjithë klasën duke dhënë dhe udhëzimet e nevojshme.

Detyrë shtëpie: Të merren ushtrime në tekstin e ushtrimeve.


152

[Korrigjo te shembulli 1 faqe 154 është = 4.2 + 3.4 duhet = 4·2 + 3·4 dhe te shembulli 2 është = 4.2 duhet = 4·2]

Është një temë vetëm me ushtrime por që ka një rëndësi të veçantë sepse nxënësit do ta ndeshin vazhdimisht. Para se të fillohet me shembujt në punën përgatitore mësuesi duhet të kërkojë:

a) Cila quhet vlerë numerike e një shprehjeje shkronjoreb) Në një shprehje numerike cila është radha e veprimeve?

Kalohet në shembullin 1. Janë dy shprehje shkronjore pa kllapa dhe kërkohet vlera përkatëse për vlerat e shkronjave. Shembulli i dytë është shprehje me kllapa. Kujdes, në radhën e veprimeve numerike. Mbas shembullit të dytë mësuesi ngre një nxënës në dërrasë për të plotësuar tabelën e parë të ushtrimit 1. Të mos shpejtohet në plotësimin e tabelës sepse tabela të tilla do të plotësohen kur duhet të ndërtohen grafikë apo te gjetja e vlerave të funksioneve.

Për dy nxënës të mirë mësuesi jep nga ushtrimi 2(c). Këto ushtrime pas përfundimit të punohen në dërrasë.

Por shpesh herë është më mirë që shprehja të shndërrohet në një shprehje të njëvlershme më të thjeshtë dhe pastaj të gjendet vlera numerike e saj. Kjo tregohet me anë të shembullit 3. Për këtë shembull të veprohet kështu: një nxënësi shumë të mirë mësuesi i kërkon që të gjejë vlerën numerike të shprehjes së shembullit 3, duke zëvendësuar direkt vlerat e shkronjave, kurse vetë mësuesi zgjidh shembullin si në tekst. Pastaj nëse ka kohë, nxënësi që ka punuar ushtrimin çohet në dërrasë për ta punuar. Kujdes! Në dërrasë të jetë dhe punimi i mësuesit. Pyet nxënësin: Sa shumëzime ke kryer, sa reduktime të monomeve të ngjashme ke kryer, sa ngrite në fuqi ke kryer? Duke e krahasuar me atë që ka kryer mësuesi, shpesh na leverdis të bëjmë shndërrimet, pastaj të gjejmë vlerën e shprehjes, kjo do të jetë më e mira, kur vlerat e shkronjave janë numra të mëdhenj dhe me presje.

Nxënësit punojnë në heshtje dhe 3(a).

Detyrë shtëpie: Ushtrimi 1 tabela e dytë, 2(a,b) dhe 3(b, c), faqe 154.


Libër mësuesi

153

Tema 7.1. EKUACIONI, INEKUACIONI I FUQISË SË PARË



Objektivat mesatare


a)Të formojnë ekuacione të fuqisë së parë kur jepet a dhe b.b) Të caktojnë a dhe b në një ekuacion të fuqisë së parë.c) Të zgjidhin ekuacionin e fuqisë së parë ax + b = 0.

Të shkruajnë ekuacione të fuqisë së parë.Të përcaktojnë koeficientet a dhe b në një ekuacion të fuqisë së parë.Të zgjidhin ekuacionet e fuqisë së parë të trajtës ax + b = 0 kur a dhe b janë numra të plotëTë tregojë nëse një vlerë e ndryshores është zgjidhje e ekuacionit.

Të zgjidhin ekuacione të fuqisë së parë, kur duhen bërë shndërrime për ta sjellë në trajtën ax + b = 0.

Të zgjidhin ekuacione të fuqisë së parë që përmbajnë të pesta veprimet, thyesa si dhe të gjitha llojet e numrave racionalë.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë fontale

Puna përgatitore përqendrohet në përcaktimin e zgjidhjes së ekuacionit të fuqisë së parë kur jepen disa vlera të ndryshores. Kjo jo vetëm që nxënësi do të rikujtojë praktikisht se cila është zgjidhje, por mësuesi do të konstatojë se sa mbahet mend gjetja e vlerës së një shprehjeje. Nxënësit duhet të pyeten se çfarë quajmë ekuacion në përgjithësi.

Mësimi është i ndarë në dy çështje. Çështja e parë ka të bëjë me përkufizimin e ekuacionit të fuqisë së parë, përcaktimin e koeficienteve a dhe b, përsëritjen e shndërrimeve të njëvlershme. Shembulli 1 nuk duhet nënvlerësuar sepse:

a) përcaktimi i a dhe b do të ndihmojë nxënësit për të zgjidhur saktë ekuacionet.


KREU VII


154

Tema 7.2. USHTRIME



Objektivat mesatare

Të zgjidhin ekuacionet e fuqisë së parë.

Të zgjidhin ekuacionet e fuqisë së parë të trajtës ax + b = 0.

Të zgjidhin ekuacionet e fuqisë së parë kur nuk janë në trajtën ax + b = dhe koeficientet i ka thyesa.

b) koeficientet përcaktohen kur ekuacioni të sillet në trajtën ax + b =0 Shënimi kujdes! Duhet të sqarohet mirë nga mësuesi: se koeficientët nuk

përcaktohen nga radhitja e kufizave të ekuacionit. A është koeficienti para x dhe b termi pa ndryshore. Një moment tjetër i shënimit është dhe fakti që koeficientet duhet të merren me gjithë shenjën që kanë para. Ushtrimet mbas shembullit 1 të zgjidhen frontalisht duke diskutuar me të gjithë klasën.

Çështja e dytë ka të bëjë me zgjidhjen e ekuacionit të fuqisë së parë. Por përkufizimet 2 dhe 3 duhet të mos nënvlerësohen. Para se të kalohet në shembullin 2 mësuesi duhet të bëjë zgjidhjen teorike të ekuacionit. Është vënë kushti që a të jetë e ndryshme nga 0. Nuk duhet që mësuesi të shqyrtojë rastet kur a është 0 dhe b e ndryshme nga 0 apo a dhe b të barabarta me 0. Ky është diskutimi I ekuacionit që nuk është në programin e klasës së shtatë. Prova në ushtrimet e para duhet bërë që nxënësi të kontrollojë saktësinë e gjetjes së zgjidhjes, por dhe për të bërë interpretimin e përkufizimit 2.

Shembujt 2 dhe 3 kanë ndryshim ndërmjet tyre. I dyti është në trajtën 6x - 24= 0, zgjidhja e tij fillon si ax + b = 0. Argumentimi duhet bërë në ushtrimet e para që nxënësit të përvetësojnë shndërrimet e njëvlershme.

Shembulli 3 nuk e ka ekuacionin në trajtën ax + b = 0. Prandaj duhet të kryhen shndërrimet e njëvlershme deri sa të sillet në trajtën ax + b = 0. Për këtë shembull argumentimi i çdo shndërrimi ka mjaft rëndësi.

Tri ushtrimet duhet të punohen nga nxënësit. Dy të parët të punohen nga nxënësit nën mesatar kurse i treti nga nxënës mesatar.

Përforcimi teorik bëhet duke kërkuar tri përkufizimet e mësimit dhe cilat janë shndërrimet e njëvlershme.

Para se të jepen detyrat e shtëpisë mësuesi u tërheq vëmendjen nxënësve për ushtrimet: shembulli I zgjidhur tek ushtrimet të shikohet me kujdes se do t’i ndihmojë në zgjidhjen e ushtrimeve 7, 8 dhe 9. Gjithashtu në ushtrime të kenë parasysh dhe shënimin kujdes!

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 3, 5 , 6 7(a), 8(b) dhe 9(a), faqe 157.

Libër mësuesi

155




Ushtrimet fillojnë me një shembull të zgjidhur. Duhet të punohet nga mësuesi.Mirë është që mësuesi t’i drejtohet klasës: është në trajtën ax + b= 0? Pritet

përgjigjja: Jo. Për shndërrimin e parë i drejtohet klasës: kë veti do të zbatojmë? Nëse nxënësve nuk u kujtohet, mësuesi e jep vetë përgjigjen. Shumëzojmë me 12 shprehet mësuesi. Pse? Kur ushtrimi të jetë sjellë në trajtën 8x – 40 – 3x -9 = 0 mësuesi pyet: Cilat janë monomet e ngjashme? Mbasi ekuacioni merr trajtën 5x – 49 = 0 mësuesi kërkon nga nxënësit që të përcaktojnë a dhe b. Kujdes se për b mund të jepet dhe përgjigjja e gabuar 49. Për përcaktimin e a dhe të b duhet të pyeten nxënësit e dobët. Tek ushtrimet e pazgjidhura, si e panjohur nuk është vetëm x por dhe t, k, r, z. Kjo duhet bërë sepse më vonë nxënësit do të ndeshen në fizikë apo dhe në ndonjë lëndë tjetër me ekuacione që ndryshoren nuk e kanë x.

Klasa vihet në punë me ushtrimet 1(a), 4(b). Pas përfundimit të ushtrimeve, mësuesi zgjidh ushtrimin7(b).

5 13

1( )k

k-

= + .

Në fillim mund të përdoret vetia e përdasimit për numëruesin dhe ekuacioni merr trajtën: 5 5

31k k- = + .

Shumëzohet me emëruesin e përbashkët:

3 5 53

3 1⋅ - = +( )k k . Duke thjeshtuar me 3 në anën e majtë dhe në anën e

djathtë zbatojmë vetinë e përdasimit, kemi: 5k - 5 = 3k + 3.Tani vazhdohet si shembulli 3 i mësimit 7.1. Por ushtrimi mund të fillojë dhe

duke shumëzuar të dy anët me emëruesin e përbashkët.

35 1

33 1⋅

-( ) = +( )kk .Thjeshtojmë në anën e majtë: 5(k - 1)=3(k+1). Në të dy

anët zbatojmë vetinë e përdasimit:5k - 5 = 3k + 3. Përsëri u soll si më lart. Prandaj do të vazhdohet si shembulli 3 mësimi 7.1.

Mirë është që mësuesi të zhvillojë dhe një ushtrim me numra dhjetorë. Për këtë zgjidh ushtrimin 10.


Të zgjidhin ekuacione të fuqisë së parë të cilat përmbajnë të pesta veprimet, thyesa si dhe të gjitha llojet e numrave racionalë.


156

0 12 3 0 31 5 2 0 04 5 2 2 7, , ( , , ) ,t t t- -( ) = - - - . Mund të ketë mendim për ta kthyer në numra thyesorë.

Zbatojmë vetinë e përdasimit. Kujdes gjatë shumëzimit

me numrat negativë përpara kllapave.0 12 0 93 15 0 08 10 4 2 7, , , , ,t t t- + = - + - Kalojmë kufizat e anës së djathtë në anën e majtë me

shenjë të ndryshuar.0 12 0 93 15 0 08 10 4 2 7 0, , , , ,t t t- + + - + = Reduktojmë kufizat e ngjashme.- + =0 73 7 3 0, ,t Kalojmë 7,3 në anën e

djathtë me shenjë të ndryshuar.

- = -0 73 7 3, ,t Pjesëtojmë të dy anët me -0,73.--

= --

0 730 73

7 30 73

,,

,,

t Thjeshtojmë në anën e majtë, në të djathtë thyesa del pozitive. Pse?

t = 7 30 73

,, Shumëzojmë numëruesin

dhe emëruesin me 100.t = =730

7310

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2(a, b), 4(a, b), 6(a, b), 9(a,b), faqe 158.

Tema 7.3. PROBLEMA




a) Të bëjnë planin e zgjidhjes së një probleme.b) Të formojnë ekuacionin për zgjidhjen e problemës.

Të zgjidhin problema të thjeshta, të cilat çojnë në zgjidhjen e një ekuacioni të fuqisë së parë ax + b = 0

Të bëjnë planin e zgjidhjes së problemës, i cili do të çojë në formimin e një ekuacioni të fuqisë së parë, por jo në trajtën ax + b = 0.

Libër mësuesi

157



Nxënësve duhet t’u bëhet e qartë se ekuacionet shërbejnë për të zgjidhur probleme të ndryshme të jetës. Është thënë vazhdimisht që problema në radhë të parë duhet të kuptohet. Të përcaktohen drejt të dhënat dhe ajo që kërkohet të gjendet. Kur këto të jenë të qarta ndërtohet plani i zgjidhjes. Për çdo pyetje që parashtrojmë përgjigjen ta shprehim me ndihmën e të dhënave dhe të panjohurës. Pra pyetja të na drejtojë në lidhjet ndërmjet tyre.

Shembulli 1 është zgjidhur duke pasur parasysh ato që thamë më lart.Nxënësit të zgjidhin problemën 1. Këtu janë dy të panjohura dhe problemi mund

të zgjidhet dhe me sistem, por mësuesi duhet t’i shmanget kësaj mënyre, sepse sistemet nuk janë trajtuar. Meqenëse janë dy të panjohura, kë do të shënojmë me x? Kjo është pyetja e parë, pasi nxënësi të ketë nxjerrë të njohurat dhe të panjohurat.

Mësuesi duhet të zgjidhë dhe problemën 7. Kujdes në problemë:a) Rezervuari është bosh.b) Pesë pompa e mbushin.c) Kanali vaditës e zbraz.d) Të pesë pompat së bashku derdhin në rezervuar 400 m3 ujë.e) Mëqenëse në rezervuar më shumë ujë sjellin pompat se sa nxjerr

kanali vaditës, rezervuari fillon të mbushet. Na kërkohet koha që duhet të kalojë që në rezervuar të ketë 1000m3 ujë.

Këto të kihen parasysh në zgjidhjen e problemës.Atëherë: 1. Shënojmë me x orët që duhet të kalojnë që në rezervuar të kemi

1000 m3 ujë. 2. Pompat do të sjellin në x orë 400x m3 ujë.3. Kanali vaditës do të nxjerrë 200x m3 ujë.

Ekuacioni do të ketë trajtën: 400x – 200x = 1000200x = 1000

200200

x =1000200

x = 5 orë

Përgjigje. Mbas pesë orësh në rezervuar do të ketë 1000 m3 ujë.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1, 4, 6. Për punë të diferencuar ushtrimi 8, faqe 159.



158

Tema 7.4. INEKUACIONET E FUQISË SË PARË ME NJË NDRYSHORE




a) Të formojnë inekuacione të fuqisë së parë. b) Të caktojnë a dhe b, kur është dhënë inekuacioni.c) Të zgjidhin inekuacionin duke zbatuar shndërrimet e njëvlershme.

Të përkufizojnë inekuacionin e fuqisë së parë.Të shkruajnë inekuacione të fuqisë së parë.Të lexojnë simbolet ≤ ≥ > <, , , dhe të tregojnë se cilat janë të kundërta.Të zgjidhen inekuacionet ax + b > 0 kur a dhe b janë të përcaktuara.

Të shprehen me fjalë shndërrimet e njëvlershme për inekuacionet. Të zgjidhet inekuacioni ax + b > 0 duke diskutuar në lidhje me shenjën e a.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimitb) Libri i ushtrimeve

Nxënësit janë njohur me inekuacionet. Prandaj në punën përgatitore në fillim të formohen nga nxënësit mosbarazimet numerike dhe pastaj ato shkronjore. Janë katër shenja që lidhin shprehjet shkronjore, me të cilat formohen inekuacione.

Në çështjen e parë jepet përkufizimi i inekuacioneve. Kujdes përkufizimi duhet kuptuar mirë.

a) Kushtet që plotësojnë a dhe b (për klasën e shtatë se më vonë do të trajtohet dhe kur a = 0)b) Cila quhet anë e majtë dhe cila anë e djathtë?c) Cili quhet kah i inekuacionit?d) Cilat çifte simbolesh janë të kundërta?

Te shembulli 1 mësuesi përcakton koeficientet a dhe b. Duhet të sqarohet shënimi kujdes.

Çështja e dytë trajton shndërrimet e njëvlershme. Më shumë duhet të insistohet te shumëzimi apo pjesëtimi me një numër negativ në të dy anët e inekuacionit. Dhe mësuesi me shumë kujdes e krahason këtë me shumëzimin apo pjesëtimin e të dy anëve të ekuacionit me numër negativ.


Libër mësuesi

159

Në çështjen e tretë kalohet në zgjidhjen e inekuacionit në rastin e përgjithshëm. Por duhet të jepet përkufizimi 1 i cili e njeh nxënësin me faktin se kur një numër është zgjidhje e një inekuacioni.

Fakti që thamë më lart se shumëzimi apo pjesëtimi me numër negativ në të dy anët e një inekuacioni nuk është i njëjtë. Nëse ky numër është pozitiv na detyron që për ax +b >0 të marrim dy raste: a > 0 dhe a<0.

Dhe në rastet e inekuacioneve ax + b < 0, ax + b ≥ 0 dhe ax + b ≤ 0 rruga e zgjidhjes është e njëjtë.

Pra, pasi mësuesi tregon zgjidhjen në rastin e përgjithshëm mund të kalohet nëpërmjet shembujve 1 dhe 2 në raste të veçanta. Shembujt kanë vetëm një ndryshim në kahun e tyre, i pari e ka kahun >, kurse i dyti ≤ . Momenti që mësuesi duhet të ndalet është te shembulli i dytë kur pjesëton me – 2 të dy anët e inekuacionit dhe që ndryshon kahun e inekuacionit. Në përfundim të shembullit të parë bëhet prova për zgjidhjen e inekucionit. Mësuesi duhet të theksojë se prova bëhet për të konstatuar nëse një vlerë e marrë në bashkësinë e zgjidhjeve është zgjidhje. Prova nuk rekomandohet të bëhet.

Mësuesi aktivizon tre nxënës nën mesatar për të zgjidhur tri ushtrimet Para se të jepen detyrat e shtëpisë mësuesi kërkon nga nxënësit:a) Përkufizimin e inekuacionit të fuqisë së parë me një ndryshore.b) Të gjitha shndërrimet e njëvlershme. Duhet insistuar te shumëzimi me

numër negativ. Për këtë mund të drejtojë dhe këtë pyetje: kemi x > 6 mbas shumëzimit me a kemi: a·x <6a, çfarë mund të themi për numrin a?

c) Çfarë do të thotë të zgjidhësh një inekuacion?

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 3, 4, 5(a,c), faqe 161. Nxënësit udhëzohen që për zgjidhjen drejt të ushtrimeve 5 të kenë parasysh dhe shembullin e zgjidhur. Kurse për ushtrimin 4 mësuesi thekson se duhet të kihet kujdes pika 4 e çështjes së dytë.

Tema 7.5. USHTRIME



a) Të zgjidhin inekuacionin e fuqisë së parë. b) Të përcaktojnë shenjën e një shkronje, kur jepen dy inekuacione, ku i dyti merret nga i pari duke u shumëzuar me këtë shkronjë.

Të zgjidhin inekuacionet e formës 2x + 3 > 0, 3x – 6 < 0 apo 4x – 5 ≤ 0

Të zgjidhin inekuacionet e fuqisë së parë kur të dy anët janë shprehje shkronjore që kanë të gjitha veprimet dhe kllapat.

Objektivat mesatare


160

Të argumentojnë të gjitha shndërrimet që mund Objektivat maksimale

Metodat që do të përdoren

a) Libri i nxënësit Punë frontaleb) Libri i ushtrimeve Bashkëbisedim

Para fillimit të ushtrimeve mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit shndërrimet e njëvlershme.

Ushtrimi 1(a, b) duhet të zgjidhet frontalisht dhe duhet të aktivizohen nxënësit e dobët, për 1(c, d) të vihet në punë e gjithë klasa.

Në orën e kaluar u la si detyrë ushtrimi 4. Nëse këtë ushtrim e ka zgjidhur ndonjë nxënës, mësuesi aktivizon një prej tyre për të punuar ushtrimin 3. Nuk është ushtrim i vështirë por është ushtrim që tregon se sa të përqendruar janë nxënësit në përdorimin e shndërrimeve të njëvlershme.

Për të pasur rezultat në testin që do të zhvillohet, mësuesi duhet të punojë të dy shembujt e zgjidhur. Jo pa qëllim janë marrë ushtrime që në një moment kryhet shumëzimi i të dy anëve me një numër negativ. Pra, mësuesi duhet të insistojë vazhdimisht në këtë shndërrim të rëndësishëm, si dhe ku nxënësit gabojnë nga mosdija apo nga shpejtësia në zgjidhje.

Mësuesi, nëse nuk ka planifikuar një orë përsëritje para testit duhet që orën e ushtrimeve ta lërë të gjithën për të aktivizuar nxënësit për të punuar ushtrimet. Kështu nxënësit duhet të punojnë 2(a, b), 5(a) dhe 6(a).

Shndërrimet e njëvlershme duhet të kërkohen dhe në fund të orës së mësimit.

Detyrë shtëpie: Të zgjidhen ekuacionet 1(a, b) 4(a,b) 6( b, c), faqe 162.


Mjetet dhe baza materiale

Libër mësuesi

161

Tema 7.6. TESTI I KONTROLLIT

Vlerësimi në pikë

1. Nëse tek a bëhen vetëm shndërrimet vlerësimi është me një pikë, nëse gjendet dhe vlera e saktë vlerësimi është me dy pikë. Por nëse nxënësi gjen vlerën pa bërë shndërrimet vlerësimi është vetëm 1 pikë. Për b nëse zbaton saktë vetinë e përdasimit vlerësimi është vetëm një pikë, nëse bën dhe reduktimet e kufizave të ngjashme vlerësimit i shtohet dhe një pikë tjetër, nëse bën vetëm një gabim në llogaritje vlerësimit i shtohet dhe një pikë tjetër dhe nëse vlera gjendet e saktë vlerësimi është me katër pikë. Nëse nxënësi gjen vlerën e saktë pa bërë shndërrimet ushtrimi vlerësohet me dy pikë.

2. Për përgjigje të saktë çdo ushtrim vlerësohet me një pikë.

3. Ekuacionet a dhe b për zgjidhje të saktë secili vlerësohet me nga një pikë. Nëse zbaton drejt vetinë e përdasimit vlerësimi është me një pikë, nëse kthen në emërues të përbashkët vlerësimit i shtohet dhe një pikë dhe nëse zgjidh saktë ushtrimin vlerësimi është me tri pikë.

4. Përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë.

5. Përgjigjja e saktë e çdo ushtrimi, vlerësimi për secilin është me një pikë.

6. Nëse a zgjidhet saktë vlerësimi është një pikë. Nëse te b zbatohet vetia e përdasimit vlerësimi është një pikë, nëse zgjidhet saktë vlerësimit i shtohet dhe një pikë tjetër. Nëse te c shumëzohet me emëruesin e përbashkët vlerësimi është një pikë, nëse kalimi i termave nga njëra anë e inekuacionit në anën tjetër është i saktë, vlerësimit i shtohet dhe një pikë tjetër dhe po të zgjidhet saktë vlerësimi është me tri pikë.

7. Nëse bëhet plani i zgjidhjes vlerësimi është me një pikë. Nëse shtron saktë ekuacionin vlerësimit i shtohet dhe një pikë tjetër, nëse e zgjidh ekuacionin saktë vlerësimit i shtohen dhe dy pikë.


162

Tema 8.1. PRODHIMI KARTEZIAN



Objektivat mesatare


a) Të formojnë çifte të radhitura dhe të përcaktojnë abshisën dhe ordinatën.b) Të gjejnë prodhimin kartezian të dy bashkësive A dhe B.c) Të formojnë relacione nga një prodhim kartezian, kur ky jepet me diagramet e Venit ose nga çifte të radhitura.

Të shkruajnë çifte të radhitura dhe të përcaktojnë abshisën dhe ordinatën.Të përcaktojnë abshisën dhe ordinatën që dy çifte të jenë të barabarta.Të përkufizojnë prodhimin kartezian të dy bashkësive.Të gjejnë prodhimin kartezian të dy bashkësive me jo më shumë se tri elemente.

Të formojnë relacione të ndryshme nga një prodhim kartezian, kur jepen kushtet e këtij relacioni.

Nëse jepet prodhimi kartezian i dy bashkësive të gjejnë bashkësinë e fillimit dhe të mbarimit.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimeve Punë frontale

Punë me grupe

Koncepti i funksionit është një nga konceptet bazë të matematikës. Kuptimi i tij është dhënë me anën e diagrameve të Venit në klasën e gjashtë. Për të rikujtuar këtë koncept në punën përgatitore janë marrë dy bashkësi dhe kërkohet që me anën e diagrameve të Venit të formohet një funksion. Por duke futur koncepte të reja do të japim dhe përkufizimin rigoroz të funksionit.

Në çështjen e parë jepet kuptimi i çiftit të radhitur i cili përcaktohet nga një çift


KREU VIII

Libër mësuesi

163

numrash të vendosur midis dy kllapave të rrumbullakëta të ndara me presje. Merren dy çifte (2, 3) dhe (3, 2). Kërkohet që një nxënës të përcaktojë në planin koordinativ secilin çift. Pastaj mësuesi i drejtohet klasës: këto dy çifte paraqesin të njëjtën pikë në plan? Duke u nisur nga ndërtimi përgjigjja do të jetë Jo. Pra, mësuesi duhet të diskutojë me nxënësit se çifti (a, b) dhe çifti (b, a) janë të ndryshëm. Pra mësuesi nxjerr konkluzionin se në një çift ka rëndësi renditja e elementeve të cilat do t’i quajmë koordinata, të parën abshisë dhe të dytën ordinatë. Shembujt një dhe dy janë të ndryshëm ndërmjet tyre. I pari ka të bëjë me formimin e çiftit dhe i dyti me përcaktimin e koordinatave të dy çifteve për të qenë të barabarta.

Ushtrimet 1 dhe 2 mendoj që të zhvillohen frontalisht në klasë.Në çështjen e dytë mësuesi duhet të ketë shumë kujdes në përkufizimin e

prodhimit kartezian.a) Prodhimi kartezian është bashkësi ku elementet janë çifte të radhitura.b) Duke u nisur nga përkufizimi, prodhimi kartezian AxB është i ndryshëm nga

prodhimi BxA. Këtë mësuesi duhet ta tregojë mbas shembullit të parë. Në dërrasë një

nxënës të gjejë BxA dhe ta krahasojë me AxB që e gjeti mësuesi.Ushtrimet 1 dhe 2 mbas çështjes së dytë do të punohen nga të gjithë nxënësit

e klasës.Por është mirë që klasa të ndahet në katër grupe dhe dy grupe të gjejnë AxB

dhe dy të tjerë BxA, për secilin ushtrim.Në çështjen e tretë trajtohet koncepti tjetër mjaft i rëndësishëm që është

relacioni. Nxënësit duhet të kuptojnë se relacioni është një nënbashkësi e prodhimit kartezian të dy bashkësive. Në tekst janë dhënë tri relacione. Rëndësi duhet t’u kushtohet emërtimeve ku merret abshisa dhe ordinata e çiftit të radhitur. Por mësuesi duhet t’u bëjë të qartë nxënësve se çiftet e një relacioni mund të formohen sipas një rregulli të caktuar. Për këtë mësuesi merr në konsideratë relacionet R dhe T.

Ky fakt konkretizohet me anën e dy ushtrimeve që duhet të punohen nga nxënësit.

Në fund mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit:a) Çfarë quhet çift i radhitur

b) Përkufizimi i prodhimit kartezian c) përkufizimi i relacioneve.



164

Tema 8.2. FUNKSIONI



Objektivat mesatare


. a) Të përcaktojnë nëse një relacion është funksion.b) Të formojnë funksione me të katër mënyrat e dhënies.c) Të ndërtojnë grafikët e funksioneve y = kx dhe y = kx + b

Të përkufizojnë funksionin jo rigorozisht.Nëse relacionet jepen me anën e diagrameve të Venit të tregojnë se cili paraqet funksion.Të ndërtojnë grafikët e funksioneve përpjesë-timore dhe lineare.

Të analizojnë nëse një tabelë, ku në rreshtin e parë është abshisa dhe në të dytin ordinata, mund të shërbejë si tabelë e një funksioni.Pa ndërtuar grafikun e funksionit përpjesëtimor të përcaktojnë se në cilët kuadrantë do të kalojë grafiku.

Duke u nisur nga grafikët e ndërtuar të nxjerrin konkluzione se çfarë lidhje ka ndërmjet këndit që formon drejtëza me boshtin x’x dhe shenja e a.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i mësuesit

[Korrigjo te shembulli 1 faqe 167 është y =2.0 = 0 duhet y = 2·0 =0 dhe është y =2.2 =4 duhet y = 2·2 =4, pas shembullit 3 faqe 168 është Ushtrimi 3 duhet ushtrimi 2].

Në punën përgatitore ngrihen në dërrasë dy nxënës, njëri të shkruajë AxB dhe tjetri relacionin ku abshisa të jetë numër tek për A = {3, 5, 6} dhe B= {2, 7}

Në çështjen e parë trajtohet funksioni. Meqenëse në punën përgatitore mësuesi rikujton prodhimin kartezian të dy bashkësive, ai shkruan në dërrasë tri relacion të prodhimit kartezian AxB,

ku A = {2, 3, 6, 7} dhe B = {2, 6, 8, 10, 12}. Relacionet duhet të paraqiten me diagramet e Venit.


Libër mësuesi

165

Mësuesi duhet që nëpërmjet diskutimit me të gjithë nxënësit të nxjerrë dallimet e këtyre tri relacioneve. Nëse do të kërkohen thjesht dallimet ka mundësi që të mos arrihet atje ku kërkon mësuesi, prandaj duhet që diskutimi të bëhet nëpërmjet pyetjeve që janë dhënë në libër. Nëse mësuesi mund të gjejë ndonjë rrugë më të përshtatshme, mund ta përdorë atë. Qëllimi është që nxënësit të tregojnë se relacioni 3 është i veçantë nga dy të tjerët dhe paraqet interes për studim. Mësuesi jep përkufizimin e funksionit në mënyrë rigoroze si është në tekst dhe kështu duhet të kërkohet dhe nga nxënësit. Duhet të tregohet se çfarë paraqesin bashkësitë A dhe B.

Përkufizimi të kërkohet disa herë nga nxënësit. Në çështjen e parë përkufizimin e funksionit e nxorëm me ndihmën e

diagrameve të Venit, por kjo dhënie nuk është e vetme. Për këtë në çështjen e dytë jepen katër mënyrat që mund të paraqitet funksioni. Të mos kalohet në format: f: y = f(x) ose f: x y ku x ∈X dhe y ∈Y, por në këto raste të jepen formulat. Deri në klasën e shtatë nxënësit njihen vetëm me funksionin proporcional dhe linear, mënyra e dhënies të cilëve është dhënë që në klasën e gjashtë dhe që në çështjen e dytë përsëriten duke theksuar se si bëhet kalimi nga një mënyrë në tjetrën.

Mësuesi të mos merret me faktin pse funksionet y = kx dhe y = kx + b paraqesin drejtëz por të punohet që nxënësit të dinë të ndërtojnë

grafikët e tyre. Shembujt 1 dhe 2 vërtet që japin mënyrën e ndërtimit të grafikëve të dy funksioneve proporcionalë, por kanë një dallim i cili do të krijojë mundësi për mësuesin që të debatojë për mënyrën e vendosjes në lidhje me të katër kuadratet. Nxënësit do të punojnë në mënyrë të pavarur me dy ushtrimet pas shembujve 1 dhe 2.

Shembulli 3 tregon mënyrën e ndërtimit të grafikut të funksionit linear. Pavarësisht se në tekst nuk është mësuesi mund të diskutojë me nxënësit:

a) Çfarë të përbashkët kanë funksionet proporcionale dhe lineare duke u nisur nga grafiku?

b) Çfarë i dallon këto funksione duke i parë përsëri nga grafiku?Për të parën përgjigjja do të jetë: se të dy paraqesin drejtëz.Për të dytën përgjigjja do të jetë: se proporcionali kalon në origjinën e sistemit

koordinativ, kurse lineari jo.Ushtrimi 2 punohet nga nxënësit (kujdes në tekst është gabim 3).

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 3 dhe 4(b). Për ushtrimin 2 mësuesi mund të japë këtë udhëzim: kaloni nga mënyra me tabelë në mënyrën me diagrame të Venit. Ose në rreshtin e abshisave nuk duhet të jenë dy numra të njëjtë (por këtu mësuesi duhet të kërkojë dhe sqarimin duke u nisur nga përkufizimi).


166

Tema 8.3. USHTRIME



Objektivat mesatare


a) Nëpërmjet grafikut të një funksioni të përcaktojnë sjelljen e tij.b) Nëpërmjet grafikut të përcaktojnë k dhe b, nëse funksioni jepet në formën y = kx + bc) Të përcaktojnë nëse një pikë ndodhet në grafikun e një funksioni apo jo.

Të ndërtojnë grafikun e funksionit proporcional dhe linear. Të vërtetojnë nëse një pikë ndodhet apo jo në grafikun e një funksioni.

Të studiojnë sjelljen e një funksioni nëpërmjet grafikut.Të caktojnë k ose b nëse jepet pika që ndodhet në grafikun e funksionit linear ose proporcional.

Nëpërmjet grafikëve të funksioneve proporcionale ose lineare të caktohet k ose b.



c) Tabelë me grafik funksioni (si i figurës te shembulli, faqe 169)

d) Vizore

[Korrigjo te shembulli në fillim është nhga duhet nga dhe te shembulli 1 zgjidhje është = 2.2 duhet = 2·2, është = 2.0 duhet = 2·0].

Që mësuesi të mos harxhojë kohë, duhet që grafikun e shembullit 1 ta ketë të ndërtuar në një tabelë. Qëllimi i këtij shembulli është që grafikisht nxënësit të dallojnë se si paraqitet funksioni për vlera të ndryshme të x, ku arrihet vlera më e madhe dhe më e vogël, duke u nisur nga grafiku. Të mos kalohet që është apo jo grafik funksioni, as të mos përmendet interval apo segment, por ashtu si është trajtuar në libër.

Mbas këtij shembulli, mësuesi ngre në dërrasë dy nxënës, njëri për të ndërtuar grafikun e funksionit 2(a e para) dhe tjetri 2(b e dyta).

Shënimi që është në të djathtë të ushtrimeve 2 i takon shembullit 1.


Libër mësuesi

167

Ky shembull duhet të trajtohet me shumë kujdes dhe nxënësit ta kenë shumë të qartë se kur një pikë ndodhet në grafikun e një funksioni. Ky shembull do të na ndihmojë për ushtrimet e tjera.

Nxënësit zhvillojnë në mënyrë të pavarur 3(a, f) mësuesi kontrollon dhe ndihmon nxënësit, duke kaluar bankë më bankë.

Shembulli 2 do të kuptohet nga nxënësit nëse ata do të kenë të qartë shembullin 1. Në funksionin linear një nga koeficientet k ose b nuk jepet me vlerë numerike. Nxënësit duhet që nga grafiku të gjejnë një pikë që ndodhet në të dhe të shfrytëzojnë kushtin kur pika ndodhet në grafik. Kujdes! Duhet të gjendet një pikë me koordinata numra të plotë dhe jo koordinatat me afërsi.

Nxënësit punojnë 6(a) dhe 7(a).

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2(a të dytën, c), 4, 6(b) dhe 7(b), faqe 170.

Tema 8.4. POHIMI DHE FUNKSIONI I ANASJELLË



Objektivat mesatare


a) Nëse jepet një pohim të formojnë pohimin e anasjellë.b) Të formojnë funksionin e anasjellë kur ky jepet me diagramin e Venit.c) Të gjejnë funksionin e anasjellë në mënyrë analitike.

Të formulojnë pohime të anasjella.Nëse funksioni jepet me diagramet e Venit, të japin po me diagramet e Venit funksionin e anasjellë (funksioni të ketë funksion të anasjellë).

Nëse funksioni jepet me tabelë të ndërtojnë tabelën e të anasjellës (funksioni të ketë të anasjellë).Të gjejnë funksionin e anasjellë nëse ai jepet në trajtën e funksionit linear me koeficiente numra të plotë.

Të gjejnë funksionin e anasjellë nëse ai jepet në trajtën e një funksioni linear me koeficiente çfarëdo numër racional.


168


a)Libri i nxënësit Bashkëbisedim b) Libri i ushtrimevec) Tabelë me diagramet e Venit,me relacione ku ka dhe funksione

Nxënësit njohin shumë fjali matematike. Disa nga këto janë dhe pohime matematike. Por nxënësit akoma nuk e dinë se çfarë ndryshimi ka ndërmjet tyre dhe nuk duhet të bëhen përpjekje për të sqaruar këtë. Në punën përgatitore nxënësit i kërkohet të formulojë disa pohime.

Në çështjen e parë trajtohet pohimi i anasjellë. Marrim këto dy pohime: Nëse këndet e një trekëndëshi janë nga 600 atëherë trekëndëshi i ka të tri brinjët e barabarta.

Nëse formulojmë pohimin: nëse një trekëndësh i ka të tri brinjët e barabarta atëherë dhe këndet i ka nga 600. Ndryshimi midis tyre është se: tek i pari nga këndet e barabarta dalin brinjët e barabarta, tek i dyti nga brinjët e barabarta dalin këndet e barabarta. Pra janë të anasjellë të njëri-tjetrit. Pra pohimi i parë ka të anasjellë të dytin. Por dhe i dyti ka të anasjellë të parin.

Në shembujt 1 dhe 2 jepen pohimet dhe përcaktohen të anasjellët. Nuk duhet të kalohet në hollësira të tjera për pohimet e anasjella.

Por për ne ka rëndësi më tepër funksioni i anasjellë. Në çështjen e dytë funksioni i anasjellë sqarohet me anën e diagrameve të Venit. Te funksioni A është bashkësia e fytyrave dhe B bashkësia e shëmbëllimeve, kurse te funksioni i anasjellë bashkësitë ndryshojnë rolet.

Për tri funksionet e dhëna me diagramet e Venit tek ushtrimi, nxënësit të përcaktojnë po me diagramet e Venit funksionet e anasjella. Mësuesi të kërkojë nga nxënësit bashkësitë për caktimin vlerave të funksionit.

Por mënyra më e mirë për dhënien e funksionit është me formulë. Prandaj lind dhe nevoja e gjetjes së funksionit të anasjellë në këtë rast. Kjo trajtohet në çështjen e tretë. Por para se të shtjellohet kjo, mësuesi duhet të ketë parasysh se do të përcaktohen vetëm funksionet e anasjella të funksioneve përpjesëtimore dhe lineare. Të mos bëhen përpjekje në gjetjen e funksioneve të anasjella të një funksioni çfarëdo.

Kur dhamë funksionin e anasjellë me diagramet e Venit theksuam se bashkësia e përcaktimit kthehet në bashkësi vlerash për funksionin dhe bashkësia e vlerave të funksionit në bashkësi përcaktimi. Kjo na detyron që të nxirret ky rregull, i cili duhet t’u paraqitet nxënësve:

a) Veçohet ndryshorja x, pra shprehet me anën e y.b) Ndërrohet x me y dhe y me x.


Libër mësuesi

169

Funksioni që fitohet është i anasjellë i funksionit të dhënë.Pra, duhet të theksojë mësuesi, ndiqet rruga e veçimit të ndryshores nga një

formulë. E veçanta është që ndryshohen x me y.Këtë mësuesi duhet ta konkretizojë me anën e shembujve 1 dhe 2. Ndryshimi

ndërmjet këtyre shembujve është se tek i pari koeficienti pranë x është 1 dhe tek i dyti është 2. Nëse nxënësit do të kenë të qartë veçimin e shkronjave, në rastin tonë të ndryshores, nga një formulë, ushtrimet janë të thjeshta. Për të kontrolluar këtë nxënësit duhet të punojnë në mënyrë të pavarur ushtrimet 1 dhe 2.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 2, 3, dhe 5. Punë të diferencuar ushtrimi 6*, faqe 172, 173.

Tema 8.5. USHTRIME



Objektivat mesatare


a)Të përforcojnë zgjidhjen e ekuacionit.b) Të përforcojnë zgjidhjen e inekuacionit.c) Të përforcojnë ndërtimin e grafikëve të funksioneve lineare.

Të zgjidhin ekuacione të fuqisë së parë të thjeshtë me koeficiente të plota.Të zgjidhin inekuacione të fuqisë së parë të trajtave ax + b > 0 ose ax + b ≤ x. Të ndërtojnë grafikët e funksioneve përpjesë-timore dhe lineare.

Të zgjidhin ekuacionet e fuqisë së parë të çfarëdo trajte.Të zgjidhin inekuacionet e fuqisë së parë të çfarëdo trajte.Të përcaktojnë k ose b të një funksioni linear kur jepet pika në grafikun e funksionit.

Duke u nisur nga grafiku i funksionit y = kx + b të përcaktohen k ose b (pra njëra prej tyre).Të përcaktojnë funksionin e anasjellë të një funksioni të dhënë me formulë.




170

[Korrigjo te shembulli 2 faqe 174 është – 10x ≥ -1 duhet – 10x ≥ -12 te figurat 7 dhe 8 faqe 175 duhet të jenë: boshtet të jenë drejtëzat me origjinë në O, te figura e ushtrimit 7 ndërtohet dhe një drejtëz që kalon në pikën (5, 0) dhe në pikën (0, 5). Te figura e ushtrimit 8 drejtëza duhet të kalojë në pikat (0, 2) dhe (1, 5).]

Meqenëse ushtrimet janë para testit të kontrollit mësuesi duhet të punojë më shumë duke zgjidhur ushtrimet tip.

Shembulli 1 është një ekuacion i fuqisë së parë por që përmban të gjitha shndërrimet që bëhen për të zgjidhur një ekuacion.

Meqenëse klasa ka dhe nxënës të dobët është mirë që këta nxënës të punojnë në dërrasë nën drejtimin e mësuesit ushtrimin 1(a).

Pastaj mësuesi kalon në shembullin 2 që është një inekuacion i cili përmban të gjitha shndërrimet.

Por mësuesi duhet të përqendrohet kur ka arritur te mosbarazimi: – 10x ≥ -12(në tekst është gabim jo - 1 por – 12).

Midis mësuesit dhe klasës duhet të zhvillohet ky dialog:a) Sa është a në këtë inekuacion? Përgjigjja: - 10b) Çfarë numri është? Përgjigjja: e para numër i plotë, e dyta numër negativ. (Mësuesi duhet t’i pranojë të dyja por veçon të dytën)c) Pra, me çfarë numër do të pjesëtojmë të dy anët për të marrë zgjidhjet e inekuacionit. Përgjigjja: me – 10, numër

negativ.d) Për të marrë një inekuacin të njëvlershëmme të parin çfarë duhet bërë? Përgjigjja: ndryshojmë kahun në të kundërt.Këto mësuesi i pasqyron në dërrasë. Jo dialogun por veprimet.Në fund të ushtrimit mësuesi duhet të përsërisë se: po të shumëzojmë

(pjesëtojmë) të dy anët e një inekuacioni me një numër negativ ndryshohet kahu në të kundërt, për të marrë një inekuacion të njëvlershëm me të parin.

Si në rastin e ekuacioneve dhe të inekuacioneve nga nxënësit e dobët punohet 2(a).Një nxënës mesatar ngrihet në dërrasë për të punuar 3(b të parën).Përsëri një nxënës mesatar punon ushtrimin 6. Kujdes, të tjerët punojnë në

fletore dhe kontrollohen nga mësuesi.Ngrihet një nxënës i mirë për të punuar ushtrimin 7.Ushtrimi i fundit do të jetë 9(c) që duhet të punohet nga mësuesi. Duhet të planifikohet dhe një orë ushtrimesh para testit.

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 1(b, c), 2(b), 3(a e dyta dhe b e treta), 5 dhe 10, faqe 174 – 175.


Libër mësuesi

171


Shënim: Plotëso grafikun e ushtrimit 4: Pika me koordinata (0, 1) bashkohet me pikën (2, 2), kjo pikë bashkohet me pikën (4, 2), kjo bashkohet me pikën (6, 4) dhe së fundi kjo bashkohet me pikën (7, 0). Të gjitha bashkimet bëhen me segmente.

Vlerësimi me pikë i ushtrimeve

1. Nëse zgjidh saktë 1(a) vlerësohet me një pikë. Nëse te 1(b) zbaton mirë vetinë e përdasimit vlerësimit i shtohet dhe një pikë, nëse e zgjidh saktë vlerësimit i shtohet dhe një pikë tjetër. Nëse te 1(c) kryhet saktë kthimi në emërues të përbashkët vlerësimit i shtohet dhe një pikë tjetër, nëse kryen saktë reduktimin e kufizave të ngjashme vlerësimit i shtohet dhe një pikë tjetër dhe nëse zgjidhet saktë merr dhe një pikë tjetër. Pra 1(a) për zgjidhje të saktë ka një pikë, 1(b) ka dy pikë dhe 1(c) ka tri pikë.

2. 2(a) ka një pikë, e merr këtë pikë për zgjidhje të saktë. 2(b) për zgjidhje të saktë vlerësohet me 2 pikë, por këto pikë ndahen kështu: po të zbatojë saktë vetinë e përdasimit dhe të ketë kaluar kufizat nga njëra anë në tjetrën vlerësimi është një pikë, nëse e përfundon saktë i merr të dy pikët. 2(c) për zgjidhje të saktë vlerësimi është tri pikë, por këto pikë ndahen kështu: nëse kthen në emërues të përbashkët merr një pikë, nëse redukton kufizat e ngjashme merr dhe një pikë tjetër dhe nëse e përfundon saktë i merr të tri pikët.

3. Nëse përcakton një pikë në grafik merr një pikë, po i përcaktoji të dyja merr dy pikë. Nëse për çdo pjesë të grafikut jepet përgjigje e saktë vlerësimi është me një pikë (katër pjesë katër pikë).

Nëse përcakton vlerën më të madhe merr një pikë, po përcaktoni dhe vlerën më të vogël merr dhe një pikë tjetër.

4. Nëse në grafik përcakton pikën merr një pikë, nëse gjen b merr dhe një pikë tjetër.

5. Nëse ndërton vetëm tabelën e vlerave merr një pikë, po të ndërtojë dhe grafikun merr dhe një pikë tjetër.

6. Nëse veçon ndryshoren x merr një pikë, po të ndryshojë dhe x me y dhe y me x merr dhe një pikë tjetër.


172

Tema 9.1. PARAQITJA E TË DHËNAVE. TIPARI STATISTIKOR


Objektivat bazë (minimale)Objektivat mesatareObjektivat maksimale

Të dallojnë në të dhënat e mbledhura popullimin, tiparin dhe individin.

Të japin popullime të ndryshme.Të japin elementet e popullimit që merr.



Këto tema do të trajtohen pa asnjë ndryshim si janë trajtuar në tekst. Ky mësim duhet të trajtohet nëpërmjet një bashkëbisedimi. Duhet që nëpërmjet këtij mësimi nxënësi të dallojë popullimin si dhe tiparin e një objekti që studiohet. Shembuj të merren të thjeshtë. Ushtrimet të zgjidhen në klasë. Për detyra shtëpie mund të jepen nga përsëritja vjetore që mund të jetë planifikuar.


KREU IX

Tema 9.2. TABELA E EFEKTIVAVE DHE DENDURIVE



Objektivat mesatare


Të sistemojnë të dhënat në tabela sipas efektivave dhe dendurive.

Të plotësojnë tabelën me efektivin e popullimit dhe dendurinë.

Të plotësojnë me saktësi tabelën ku është dhe denduria me përqindje.

Të formojnë tabelën me efektivin, dendurinë dhe dendurinë në përqindje, kur tipari sasior është i vazhduar dhe grupet ndahen në klasa.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimevec) Tabela me efektivin, dendurinë, dendurinë në përqindje të disa popullimeve

Libër mësuesi

173

Nëse kemi një objekt studimi të dhënat duhet të jenë të sistemuara që të mund të japim përgjigje të sakta. Për këtë mësuesi shkruan në dërrasë notat e marra në një test matematike, sipas radhës në regjistër. Dhe pyet klasën: mund të gjeni menjëherë çfarë nota janë marrë më shumë? Përgjigja është Jo. Si është shpërndarja e tyre? Përsëri përgjigjja është Jo. Prandaj lind nevoja e sistemimit në një tabelë.

Por mësuesi duhet të sqarojë një gjë: se kjo tabelë që do të ndërtojmë është më e thjeshta.

Me popullimin që mori nga testi plotëson tabelën.Për tiparet diskrete; si: notat e marra, numri i shtëpive e të tjera si këto në

rreshtin e parë për çdo kolonë përdoren numrat natyrorë sipas rendit rritës. Kurse për tiparin e vazhdueshëm përdoren klasat me ndryshesë të njëjtë. Nëse kërkohet një saktësi e madhe ndryshesa të jetë sa më e vogël. Klasës i takon vetëm skaji i majtë.

Përsëri në klasë punohen të tri ushtrimet.

Detyrat të jepen nga teksti i ushtrimeve.


Tema 9.3. PARAQITJA GRAFIKE E TË DHËNAVE




Të paraqitin me diagrame të dhënat e vrojtuara.

Të krijojnë tabela që lidhin tiparin me efektivin e një popullimi.Të ndërtojnë diagrame me shtyllat e të dhënave të një popullimi.

Të paraqesin të dhënat e një popullimi me diagrame rrethore.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimevec) Tabela me diagrame rrethore ose në shtyllë të botuara në shtypin e përditshëm ose në buletinetë ndryshme të shtetit


174

Një mënyrë e paraqitjes të të dhënave ishte ajo që u dha në mësimin 9.2.Për të treguar dhe mënyra të tjera mësuesi mund të gjejë në statistikorë të

ndryshëm paraqitjen me diagrame me shtyllë dhe rrethore. Pastaj merr dhe punon dy shembujt që janë në libër. Rëndësi ka mënyra e vendosjes së të dhënave në boshtet koordinative.

Për diagrame rrethore duhet të sqarojë gjetjen e madhësisë së sektorëve. Për të gjetur me çfarë sektori paraqitet një individ, pjesëtohet masa e këndit të plotë (që presupozon rrethin) me të gjithë efektivin.

Ushtrimin 1 dhe 2 mësuesi e zhvillon në klasë kurse 3 e jep për detyrë shtëpie.


Tema 9.4. MODA DHE MESORJA


Objektivat bazë (minimale)Objektivat mesatareObjektivat maksimale

Të përcaktojnë modën dhe mesoren në një varg të dhënash statistikore.

Të përcaktojnë modën e një popullimiTë përcaktojnë mesoren e një popullimi


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimevec) tabela me të dhëna të popullimeve të ndryshme

Mësimi të fillojë me përkufizimin e modës për të dy tiparet.Mësuesi duhet të ketë përgatitur një tabelë dhe në të, të ketë dyja diagrame,

një diagram shtyllë dhe një diagram rrethor. Diskuton me nxënësit se çfarë është moda, pa bërë sqarime se është drejtkëndëshi me lartësi më të madhe apo sektori më i madh. Gjithashtu mësuesi bisedon me klasën: çfarë duhet të bëjmë më parë nëse nuk kemi paraqitjen grafike të të dhënave, për të përcaktuar modën? Përgjigjja duhet të jetë: duhet të përgatitet tabela e efektivave.

Në temën e mësimit është dhe përkufizimi i mesores, kujdes, MESORES, jo MESATARJA.

Përkufizimi duhet sqaruar me anën e shembullit. Për këtë mësuesi merr dy vargje: një me numër çift elementesh dhe një me numër tek elementesh.


Libër mësuesi

175

Mësuesi sqaron se për të gjetur mesoren vargjet duhen renditur në rendin rritës, por elementet e vargut duhet të vendosen sa herë janë.

Grupi A në një testim ka marrë këto nota: 6, 7, 4, 8, 9 ,5, 4, 4, 10, 9, 6, 6, 8, 9, 7, 7,10. Për të gjetur mesoren do t’i

rendisim. 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10. Nëse vargu ka numër tek kufizash mesore është ajo kufizë që lë një numër të njëjtë kufizash në të majtë dhe në të djathtë. Vargu ka 17 kufiza, atëherë kufiza që plotëson kushtin e mësipërm është e nënta, pra 7. Duke shënuar mesoren me Me kemi: Me = 7.

Grupi B në të njëjtin testim ka marrë këto nota: 10, 10, 9, 4, 4, 7, 9, 9, 10, 5, 5, 6, 6, 4, 8, 9.I renditim si të grupit A : 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10.Meqenëse numri i kufizave është çift në rastin tonë 16, mesi është 8 kufiza në

të djathtë dhe 8 në të majtë. Pra janë 7 dhe 8. Mesi gjendet si gjysmëshuma e këtyre dy kufizave.

Pra: Me = 7 8

27 5+ = ,

Para se të mbyllet mësimi, mësuesi kërkon nga nxënësit që të japin përkufizimin e modës dhe mesores.


Tema 9.5. MESATARJA



Objektivat mesatare


Të llogarisin me lehtësi mesataren aritmetike të një tipari të vrojtuar.

Të përcaktojnë mesataren e dy, tre ose katër të dhënave.Të zgjidhin problema me përcaktimin e mesatares.

Të përcaktojnë mesataren e disa numrave kur nuk janë në kushte standarde të gjetjes së saj.

Të argumentojnë se mesatarja nuk mund të gjendet si mesatare e mesatareve.(p.sh. mesatarja e 10 numrave është 25, kurse e katër numrave të tjerë është 10, atëherë

mesatarja e 14 numrave nuk është 25 102+ ).




176


Mësuesi para se të fillojë mësimin pyet nxënësit: a) Cilat janë mënyrat e paraqitjes grafike të të dhënave?

b) Çfarë quhet modë?c) Çfarë quhet mesore?

Mësimin e fillon me përkufizimin e mesatares. Nuk duhet të japë ndonjë formulë me shumatore, por të jepet thjesht si në libër. Nxënësve duhet t’u bëhet e qartë se mesorja dhe mesatarja janë të ndryshme midis tyre si koncepte, si vlera mund të ketë raste kur dalin të barabarta.

Marrim të dy vargjet e mësimit të kaluar dhe le të gjejmë notën mesatare për çdo grup. Mesatarja shënohet: X

___

Grupi A:

X___

= + + + + + + + + + + + + + + + + = =4 4 4 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 9 10 1017

11917

7

Grupi B:X___

,= + + + + + + + + + + + + + + + = =4 4 4 5 5 6 6 7 8 9 9 9 9 10 10 1016

11516

7 1

Pra ajo që thamë më lart, mesatarja nuk është gjithmonë në vlerë të barabartë me mesoren.

Por për të mos pasur një thyesë të tillë, çdo notë e shumëzojmë me numrin e tyre, pra me efektivin:

Grupi A: X___

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =3 4 1 5 3 6 3 7 2 8 3 9 2 1017

11917

7

Grupi B:

X___

,= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =3 4 2 5 2 6 1 7 1 8 4 9 3 1016

11516

7 1

Gjithashtu mësuesi punon dhe dy shembujt e librit. Për nxënësit e mirë mësuesi mund të punojë dhe një shembull tjetër.

Pesë shokë të një klase kanë notën mesatare 8,4 kurse një shoku i tyre në një klasë

tjetër e ka notën mesatare 9,9. Kemi vepruar drejt nëse notën mesatare për të gjashtë

nxënësit e gjejmë duke vepruar në këtë mënyrë: X___ , , , ,= + = =8 4 9 9

218 2

29 1?

Përgjigja është jo.Duhet vepruar kështu: X

___ , , , ,= ⋅ + = =5 8 4 9 96

51 96

8 6

Nxënësve të mirë u lihet detyrë që të argumentojnë pse është e saktë sipas rregullit të dytë.

Detyrë shtëpie: Puna e pavarur si dhe ushtrime nga teksti i ushtrimeve.

Libër mësuesi

177

Tema 10.1. PROVA. HAPËSIRA E REZULTATEVE



Objektivat mesatare


Të përcaktojnë hapësirën e rezultateve të një prove.

Të gjejnë hapësirën e rezultateve të një prove të thjeshtë (kur hidhen dy monedha)

Të gjejnë hapësirën e rezultateve, kur prova bëhet me monedhë dhe zar, (dy zare).

Të argumentojnë, duke u nisur nga shembujt, mënyrën e përcaktimit të hapësirës së rezultateve, kur hidhen dy zare.

Mjetet dhe baza materiale Metodat që do të përdorena) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimevec) Tabela e shembullit 4

Për të provuar se një trekëndësh që ka dy këndet e bazës të barabarta, brinjët i ka të barabarta, bëhen shumë ndërtime trekëndëshash të tillë dhe maten brinjët. Pra për të nxjerrë një përfundim jo me vërtetim bëhen shumë eksperimente dhe nëse rezultatet përsëriten e përgjithësojmë atë përfundim. Është përkufizuar teoria e probabilitetit. Por dhe nëse nxënësit e japin jo si në tekst, por me fjalët e tyre (por të dalë ajo që jepet), nuk ka shumë rëndësi. Në teorinë e probabilitetit eksperimenti quhet provë.

Këtu mësuesi jep disa prova, si: hedhja e zarit, e monedhës, e dy zareve e të tjera.Por mësuesi thekson se kur bëjmë një provë marrim disa rezultate. Bashkësia e këtyre

rezultateve me marrëveshje shënohet me H. Kurse për të treguar numrin e elementeve të hapësirës së rezultateve përdoret shënimi: n(H) lexohet numri i elementeve të H.

Shembujt duhen punuar me kujdes. Por shembulli 4 duhet sqaruar më mirë. Kjo tabelë është si prodhim kartezian i dy bashkësive të barabarta. Por mësuesi mund të përdorë një tabelë që të kuptohet se si ka dalë kjo hapësirë rezultatesh kur hidhen dy zare:

1\2 1 2 3 4 5 6_ 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,3) (3,4) (3,5) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Rreshti i parë tregon shifrat e njërit zar kurse shtylla e parë numrat te zari tjetër.Nxënësit duhet të punojnë ushtrimet e punës së pavarur. Të nxjerrin hapësirën e

rezultateve me tabelë. Të punohet në klasë dhe ushtrimi 2, faqe 181. Të gjendet dhe numri i elementeve të hapësirës së rezultateve.


Kreu X



178

Tema 10.2. NGJARJA. NGJARJA E SIGURT, NGJARJA E PAMUNDUR

DHE NGJARJA E KUNDËRT




Të dallojnë ngjarjen e sigurt, ngjarjen e pamundur dhe ngjarjet e kundërta.

Të përkufizojnë një ngjarje.Të përcaktojnë ngjarje të sigurta ose të pamundura në një provë.

Të përcaktojnë një ngjarje të kundërt në një provë.Të shkruajnë kushtet që dy ngjarje janë të kundërta në një provë.



Zhvillimi i mësimitPuna përgatitore zhvillohet nga nxënësit dhe ato që kërkohen paraqiten në dërrasë.Jepet përkufizimi i provës si nënbashkësi e hapësirës së rezultateve. Në dërrasë janë

shkruar dy ngjarje: A = { }1 3 5, , dhe A__

, ,= { }2 4 6 .Të dyja janë nënbashkësi të H= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Mësuesi u drejtohet nxënësve: gjeni lidhjet ndërmjet këtyre bashkësive. Nëse nuk

jepen nga nxënësit i jep mësuesi: A A H∪ =__

dhe A A∩ =__

Φ . Këto ngjarje që plotësojnë dy kushtet e mësipërme në lidhje me H quhen të kundërta.

Mësuesi bashkëbisedon me nxënësit:

a) Hidhet një zar, tregoni hapësirën e rezultateve. Çfarë mund të thoni për ngjarjen: Zari do të bjerë një numër natyror më i vogël se shtata, ndodh gjithmonë?

Po ngjarja: do të bjerë një numër tek ose çift?Këto lloj ngjarjesh quhen të sigurta.

b) Çfarë mund të thoni për ngjarjet: Bie një numër negativ? Bie një numër më i madh se gjashta? Këto ngjarje quhen të pamundura.Mësuesi kërkon: Cila quhet ngjarje? Kur dy ngjarje quhen të kundërta? Kur ngjarja quhet e pamundur? Kur ngjarja quhet e sigurt?Në çdo rast nxënësit të japin shembuj. Shembujt në fillim të kërkohen nga nxënësit e dobët.


Libër mësuesi

179

Tema 10.3. PROBABILITETI I NJË NGJARJEJE



Objektivat mesatare


Të shprehin me thyesë probabilitetin e një ngjarjeje.

Të shkruajnë formulën e probabilitetit të një ngjarjeje.Të gjejnë probabilitetin e ngjarjeve të thjeshta.

Të gjendet probabilitet i një ngjarjeje kur prova realizohet me dy objekte.

Të argumentojnë pse duhet shfrytëzuar fakti se ngjarja është nënbashkësi e hapësirës së rezultateve.



Zhvillimi i mësimit[Korrigjo te tabela, në rreshtin e parë është: numri i rasteve të mundshme (m) duhet

numri i rasteve të mundshme (n) dhe është numri i rasteve të favorshme(n) duhet numri i rasteve të favorshme (m)].Tabela që është në punën përgatitore duhet të plotësohet në klasë duke diskutuar me

nxënësit.Mësuesi rikujton përkufizimin e probabilitetit të një ngjarjeje. Raste të favorshme janë

rastet e mundshme të ngjarjes, kurse rastet e mundshme janë rastet e hapësirës së rezultateve ku është përcaktuar ngjarja.

Nga të dhënat e tabelës kemi: për ngjarjen e parë: P A mn1

1

1

152

( ) = =

për ngjarjen e dytë: P A mn2

2

2

36

12

( ) = = =

për ngjarjen e tretë: P A mn3

3

3

712

( ) = =

Pra duke parë me kujdes këto raste për gjetjen e probabilitetit duhet të kuptohet se cila është hapësira e rezultateve dhe përcaktimi i elementeve të saj dhe cila është ngjarja për të cilën duhet gjetur numri i elementeve të saj.

Duhet të kihet shumë kujdes për provën që bëjmë se mund të ketë vështirësi në gjetjen e hapësirës së rezultateve dhe pastaj të ngjarjes. Provat duhet te jenë të thjeshta, mësuesi zgjidh shembullin 1. Për ta bërë më të qartë hapësirën e rezultateve mund të përdoret dhe tabela si në mësimin 10.2 kur hidheshin dy zare.

1\2 1 2 3 4 5 6_ S (S,1) (S,2) (S,3) (S,4) (S,5) (S,6) L (L,1) (L,2) (L,3) (L,4) (L,5) (L,6)


180

Në rreshtin e parë mundësitë e rënies së zarit dhe në shtyllën e parë mundësitë e rënies së lekut.Brenda tabelës mundësitë e kombinimeve. Por mësuesi mund të kërkojë nga nxënësit

se çfarë ju kujton bashkësia e të gjitha këtyre çifteve? Një nxënës i vëmendshëm do të shprehet: prodhimin kartezian. Atëherë: nëse A = {S,L} është bashkësia e mundshme e rënies së lekut dhe B= {1, 2, 3, 4, 5, 6} është bashkësia e numrave që ndodhen në zar, prodhimi kartezian A x B = {(S,1), (S,2), (S,3), (S,4), (S,5), (S,6), (L,1), (L,2),(L,3), (L,4), (L,5), (L,6)} Pra doli hapësira e rezultateve.

Të sqarojmë pak shënimin mbani mend. Rastet e favorshme po të shënohen me n nuk mund të jenë më të mëdha se m, ose ngjarja duke qenë një nën bashkësi e hapësirës së rezultateve numri i elementeve të saj nuk mund të jetë më i madh se numri i elementeve të hapësirës së rezultateve. Por duke pasur parasysh se bashkësia boshe merret si nën bashkësi e çdo bashkësie për një ngjarje A në një hapësirë rezultatesh H, mund të shkruajmë: 0 ≤ ≤n A n H( ) ( ).

Pjesëtojmë me n(H). 0n H

n An H

n Hn H( )

( )( )

( )( )

≤ ≤ si përfundim: 0 1≤ ≤P A( )

Mësuesi kujton ngjarjet e sigurta, të pamundurat dhe ngjarjen e kundërt. Nëse një ngjarje është e sigurt probabiliteti është 1 dhe po të jetë e pamundur probabiliteti është 0.

Lidhja ndërmjet probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta është: P A P A( ) ( )__

= -1Kjo e fundit vërtetohet kështu: n A n H n A( ) ( ) ( )

__

= - .

Pjesëtojmë me n(H) dhe kemi: n An H

n Hn H

n An H

( )( )

( )( )

( )( )

__

= - ,

përfundimisht: P A P A( ) ( )__

= -1Këto i vërtetuam, por në klasë nuk duhen vërtetuar. Mësuesi t’i ketë të qarta si

vërtetohen dhe nëse ka nxënës shumë të mirë le t’i japë detyrë shtëpie për ta.


Tema 11.1. DREJTKËNDËSHI, ROMBI DHE KATRORI




Të studiohen këto figura duke ndjekur një rrugë tjetër.

Të përkufizojnë këto figura duke përcaktuar elementet e tyre. Të formulojnë disa veti të tyre.

Të vërtetojnë disa veti të thjeshta.Të vërtetojnë të gjitha vetitë e këtyre figurave.


a) Libri i nxënësit Bashkëbisedimb) Libri i ushtrimevec) Tabela me drejtkëndësh,romb dhe katror

KREU XI Moduli 1

Libër mësuesi

181


Në tekst këto figura janë përkufizuar duke u mbështetur te shumëkëndëshi. Në këtë modul ne do të mbështetemi te paralelogrami.

DrejtkëndëshiPërkufizim: Paralelogrami që ka një kënd të drejtë quhet drejtkëndëshMeqenëse drejtkëndëshi është paralelogram ai ka të gjitha vetitë e paralelogramit.

Pra: a) Diagonalet përgjysmojnë njëra-tjetrën. b) Brinjët e kundërta i ka të barabarta.c) Këndet e përkundrejta i ka të barabarta, kurse këndet e njëpasnjëshme e kanë shumën 1800. d) Diagonalja e ndan në dy trekëndësha kongruentë.

Sipas përkufizimit të dhënë në mësimin 3.10 duhej vërtetuar që është paralelo-gram. Nëse në përkufizimin e dhënë në 3.10 theksonim se katërkëndëshi me katër kënde të drejtë quhet drejtkëndësh, tani ta vërtetojmë.

Të vërtetojmë se drejtkëndëshi i ka të katër këndet e drejta. Kushti ABCD paralelogram me kënd të drejtë në A Përfundimi Këndet B, C dhe D të drejtaVërtetim: Meqenëse ABCD është paralelogram atëherë këndet e njëpasnjëshme kanë shumën 180.Por këndi A nga kushti është i drejtë, prej këtej del që dhe B është i drejtë. Kështu

veprohet dhe për dy këndet e tjera.Por drejtkëndëshi ka dhe këtë veti: --Diagonalet e drejtkëndëshit janë të barabarta. (Vërtetimi bëhet duke shqyrtuar

trekëndëshat ABC dhe DAB.)

Përkufizim: Romb quhet paralelogrami që brinjët e njëpasnjëshme i ka të barabarta.Meqenëse rombi është paralelogram ai ka të gjitha vetitë e paralelogramit.a) Diagonalet përgjysmojnë njëra tjetrën.b) Brinjët e kundërta i ka të barabarta.c) Këndet e përkundrejt i ka të barabarta, kurse këndet e njëpasnjëshme e kanë shumën 1800.d) Diagonalja e ndan në dy trekëndësha kongruentë. Sipas përkufizimit të dhënë në mësimin 3.11 duhej vërtetuar që është paralelogram.Por rombi ka dhe këto dy veti:

- Diagonalet janë pingule njëra me tjetrën.- Diagonalet janë përgjysmore të këndeve.

Vërtetimi është i njëjtë me atë të 3.10.

Përkufizim:1. Katror quhet rombi me një kënd të drejtë.2. Katror quhet drejtkëndëshi me dy brinjë të njëpasnjëshme të barabarta.Pra katrori po të përkufizohet si romb me një kënd të drejtë ka të gjitha vetitë e rombit.

1) Diagonalet përgjysmojnë njëra-tjetrën. 2) Të katra brinjët i ka të barabarta. 3) Këndet e kundërta i ka të barabartë dhe këndet e njëpasnjëshme e

kanë shumë 1800. 4) Diagonalja e ndan në dy trekëndësha kongruentë. 5) Diagonalet janë pingule.

6) Diagonalet janë përgjysmore të këndeve.Veti që nuk i ka rombi, por i ka katrori:

- Katrori i ka të katër këndet e drejta.

A B

D C


182

D C

A B

o

D C

A B

o

Tema 11.2. SYPRINA E TRAPEZIT

Qëllimi: Për të treguar një rrugë tjetër për njehsimin e syprinës së trapezit.Teoremë syprina e trapezit është e barabartë me prodhimin e gjysmë shumës së dy

bazave me lartësinë. Le të jetë dhënë trapezi ABCD.

Nëse AB = a është baza e madhe, CD = b-baza e vogël,DH = CT = h-lartësia

S syprina duhet të vërtetojmë se S a b h= + ⋅2

.Ndërtojmë dy diagonalet e trapezit.Duke patur parasysh disa veti të syprinave mund të shkruajmë: S S SABD DBC= + (1). Nga pika C ndërtojmë CE

paralele me DB e cila pret zgjatimin e AB në pikën E.Nga ndërtimi BECD është paralelogram ( DC//BE dhe CE//DB). Nga një veti e

Moduli 2

A M T B E

D C

- Diagonalet e katrorit janë të barabarta.Vërtetojmë të dytën se e para del nga që katrori është një paralelogram me një kënd

të drejtë.Kushti ABCD katror_____________________Përfundimi Diagonalet AC dhe BD janë të barabarta.

Vërtetim: Meqenëse ABCD është katror, është dhe romb, diagonalet janë pingule dhe përgjysmojnë njëra-tjetrën. Pra DB ⊥ AC dhe AO OC[ ] ≡ [ ], DO OB[ ] ≡ [ ]Por meqenëse këndi A dhe D janë të drejtë dhe katrori është romb, diagonalet janë përgjysmore të këndeve, del që trekëndëshi AOD është kënddrejtë dybrinjënjëshëm. Pra AO OD[ ] ≡ [ ]. Kjo sjell që dhe 2 2AO OD[ ] ≡ [ ]. Përfundimisht AC DB[ ] ≡ [ ]Nëse marrim përkufizimin e dytë të katrorit, ai ka të gjitha vetitë e drejtkëndëshit:

1) Të katër këndet i ka të drejta. 2) Diagonalet i ka kongruente. 3) Brinjët i ka të barabarta.Veti që i ka katrori, por nuk i ka drejtkëndëshi:

- Diagonalet janë përgjysmore të këndeve.- Diagonalet janë pingule.

Të vërtetojmë të dytën.Kushti ABCD katror_____________________Përfundimi Diagonalet AC dhe BD janë pingule.

Vërtetim: Meqenëse ABCD është katror dhe nga përkufizimiështë drejtkëndësh, diagonalet i ka kongruente. AC DB[ ] ≡ [ ] .Meqenëse brinjët i ka të barabarta, atëherëtrekëndëshi ADC është kënddrejtë dybrinjënjëshëmPrandaj mesorja DO është dhe lartësi. Pra DB ⊥ AC

Libër mësuesi

183

paralelogramit diagonalja BC e ndan atë në dy trekëndësha kongruentë. Pra S SDBC BEC= (2)

Nga kushtet e teoremës kemi: S AB CT AB DH SABC ABD= ⋅ = ⋅ =2 2

.Pra: S SABD ABC= (3)Duke u nisur nga ndërtimi S S SACE ABC BCE= + (4)Duke pasur parasysh barazimet (1), (2) dhe (3) kemi: S S SABC BCE= + (5)Duke krahasuar barazimet (4) dhe (5) kemi: S SACE= (6)

Por syprina e trekëndëshit ACE është: S AE CT AB BECTACE = ⋅ =

+( ) ⋅2 2

.

Nga ndërtimi BE DC= Atëherë SAB DC

CTa b

hACE == +( ) ⋅ =

+( ) ⋅2 2

(7):

Duke krahasuar barazimet (7) dhe (6) kemi: Sa b

h=+( ) ⋅2

. Çfarë deshëm të vërtetonim.

Shënim: Qëllimi nuk është për të gjetur një rrugë më të shkurtër, por për të treguar se ka rrugë të ndryshme për të arritur në të njëjtin përfundim.

Vetia: Nëse ab

cd

ef

= = atëherëa c eb d f

ab

cd

ef

+ ++ +

= = =

Vërtetim. Duke u nisur nga kushti i vetisë formojmë dy përpjesëtime:ab

cd

= dheab

ef

= te të dy përpjesëtimet zbatojmë vetinë themelore të përpjesëtimeve:

Prodhimi i termave të brendshme është i barabartë me prodhimin e termave të jashtme.a d b c⋅ = ⋅ (1) dhe a f b e⋅ = ⋅ (2) Duke zbutuar një veti të barazimeve nga (1) dhe

(2) kemi: a d a f b c b e⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ (3).Të dy anëve të barazimit (3) u shtojmë prodhimin a b⋅a d a f a b b c b e a b⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ . Tek ana e majtë faktorizojmë a dhe tek ana e

djathtë faktorizojmë b.Atëherë a d f b b c e a+ +( ) = + +( ) . Të dy anët e këtij barazimi i pjesëtojmë

me prodhimin b d f b⋅ + +( )) .a d f bb d f b

b c e ab d f b

+ +( )+ +( ) = + +

+ +( )( )

.

Thjeshtojmë në të dyja anët e barazimit: ab

c e ad f b

= + ++ +

Duke zbatuar kushtin e vetisë dhe dy veti të barazimeve përfundimisht:a c eb d f

ab

cd

ef

+ ++ +

= = =

Tema 11.2. VËRTETIMI I NJË VETIE TË RAPORTEVE

Moduli 3Mbasi të jetë zhvilluar dhe tema e përpjesëtimeve dhe e faktorizimit disa veti të

raporteve mund të vërtetohen dhe ndryshe.


184

Libër mësuesi

185


186

Libër mësuesi

187


188

Libër mësuesi

189


190

KREU I KUPTIMI I NUMRIT1.1. Numrat dhjetorë, leximi dhe shkrimi i tyre duke përdorur kuptimin e vendvlerës 41.2. Lidhja ndërmjet thyesës dhe pjesëtimit 61.3. Numrat dhjetorë periodikë 71.4. Kthimi i numrave dhjetorë periodikë në thyesa 91.5. Kthimi i numrave dhjetorë periodikë në thyesa (vazhdim) 101.6. Përqindja dhe lidhja e saj me numrin dhjetor 111.7. Ushtrime. Përdorimi i përqindjes në situata të ndryshme 131.8. Problema me përqindje 141.9. Numërorët që tregojnë të njëjtën sasi 171.10. Variante për test kontrolli 181.11. Boshti numerik dhe numrat me shenjë 201.12. Krahasimi i numrave me shenjë 221.13. Bashkësitë numerike 231.14. Fuqia e një numri me eksponent natyror 251.15. Raporti dhe vetitë e tij 271.16. Ushtrime 291.17. Përpjesëtimet 321.18. Test kontrolli 34

KREU II VEPRIMET ME NUMRAT2.1. Mbledhja dhe zbritja e thyesave 352.2. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave 362.3. Mbledhja dhe zbritja e numrave dhjetorë periodikë 372.4. Shumëzimi i numrave dhjetorë 392.5. Pjesëtimi i numrave dhjetorë 412.6. Ushtrime 422.7. Veprimet e mbledhjes dhe zbritjes me numrat me shenjë 432.8. Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave me shenjë 452.9. Ushtrime 462.10. Shprehje numerike 472.11. Shprehjet numerike (Vazhdim) 492.12. Ushtrime 502.13. Test kontrolli 522.14. Faktorizimi në shprehje të thjeshta 532.15. Ushtrime 552.16. Shprehje numerike me kllapa 562.17. Ushtrime për gjetjen e vlerës numerike të një shprehjeje numerike 572.18. Rrumbullakimi i numrave 582.19. Rrumbullakimi i numrave negativë 592.20. Ushtrime 602.21. Përdorimi i makinës llogaritëse 612.22. Shkrimi me simbole matematike 622.23. Veçimi i një shkronje në formula të thjeshta 632.24. Ushtrime 652.25. Test kontrolli 67

PËRMBAJTJA E LËNDËS

Libër mësuesi

191

KREU III GJEOMETRI NË PLAN DHE NË HAPËSIRË3.1. Këndi, matja e këndeve. Ndërtimi i këndeve 683.2 Kënde të kundërta në kulm. Kënde shtuese, kënde plotësuese 693.3. Drejtëza paralele, prerëse dhe pingule. Ndërtimi 723.4. Trekëndëshi. Lartësia, mesoret, përgjysmoret 743.5. Ushtrime 763.6. Segmenti. Përmesorja e segmentit. Vetia, ndërtimi 773.7. Zbatime (trekëndëshi dybrinjënjëshëm) 793.8. Problema 803.9. Paralelogrami. Vetitë 823.10. Drejtkëndëshi. Vetitë 833.11. Rombi dhe katrori. Vetitë 853.12. Teorema e Taletit 873.13. Vija e mesme e trekëndëshit 893.14. Trapezi, vija e mesme e trapezit 90 3.15. Ndërtimi i trekëndëshit kur jepen elementet e tij 923.16. Problema 943.17. Shumëfaqëshi 963.18. Kuboidi, kubi. Hapja 973.19. Piramida. Hapja 993.20. Cilindri rrethor. Hapja e tij 1003.21 Problema 101

KREU IV MATJET4.1. Shndërrime të njësive të gjatësisë 104 4.2. Shndërrime të njësive të sipërfaqes 105 4.3. Shndërrime të njësive të vëllimit 1064.4. Shndërrime të njësive të kohës 1084.5. Përafrimi në matje 1094.6. Problema 1104.7. Perimetri i figurave 1124.8. Perimetri i rrethit 1144.9. Syprina e qarkut 1154.10. Ushtrime 1164.11. Vëllimi i kubit dhe kuboidit 1174.12. Matja e këndeve, masa e këndit 1194.13. Syprina e paralelogramit 1204.14. Syprina e trapezit dhe deltoidit 1224.15. Ushtrime 123

KREU V. SHNDËRRIMET GJEOMETRIKE5.1. Koordinatat e pikës në drejtëz 1255.2. Koordinatat e pikës në plan 1275.3. Ushtrime 1285.4. Zhvendosja paralele në planin koordinativ 1305.5. Ushtrime 1325.6. Zmadhimi (zvogëlimi) i figurave në rrjetin koordinativ 1335.7. Ushtrime 1355.8. Simetria sipas një pike. Simetria sipas pikës O të rrjetit koordinativ 136


192

5.9. Figurat që kanë qendër simetrie 1385.10. Ushtrime 1395.11. Simetria sipas një drejtëze. Simetria sipas boshteve koordinative 1405.12. Figurat që kanë bosht simetrie 1425.13. Ushtrime 143

KREU VI. KUPTIMI I SHPREHJEVE SHKRONJORE6.1. Shprehje shkronjore 1476.2. Shndërrime në shprehje të njëvlershme 1486.3. Shndërrimi i shprehjeve në shprehje të njëvlershme 1506.4. Gjetja e vlerave numerike të shprehjeve shkronjore. Ushtrime 151

KREU VII. EKUACIONI, INEKUACIONI7.1. Ekuacioni i fuqisë së parë 1537.2. Ushtrime 1547.3. Problema 1567.4. Inekuacionet e fuqisë së parë me një ndryshore 1587.5. Ushtrime 1597.6. Test kontrolli 161

KREU VIII. FUNKSIONI8.1. Prodhimi kartezian 1628.2. Funksioni 1648.3. Ushtrime 1668.4. Pohimi dhe funksioni i anasjellë 1678.5. Ushtrime 1698.6. Test kontrolli 171

KREU IX. STATISTIKË9.1. Paraqitja e të dhënave. Tipari statistikor 1729.2. Tabela e efektivave dhe dendurive 1729.3. Paraqitja grafike e të dhënave 1739.4. Moda dhe mesorja 1749.5. Mesatarja 175

KREU I X10.1. Prova. Hapësira e rezultateve 17710.2. Ngjarja. Ngjarja e sigurt, ngjarja e pamundur, ngjarja e kundërt 178 10.3. Probabiliteti i një ngjarjeje 179

KREU I XI MODULE11.1. Moduli 1 18411.2. Moduli 2 18611. 3 Moduli 3 187

nikolla perdhiku libër mësuesi matematika7 - albas.alalbas.al/udhezuesat/udhezues matematika...

Documents