nit. 891901024-6 icfes 018275-024364-018283 cod. dane

INSTITUCION EDUCATIVA ACADÉMICO NIT. 891901024-6

ICFES 018275-024364-018283 Resolución No. 1664 sept. 3 de 2002

Cod. DANE 176147000236 CARTAGO- VALLE

PAGINA: (1)

CÓDIGO: 250.1.158.01

GUIA DE TRABAJO GRADO SEXTO GEOMETRIA

GUIA #

VERSION: 1

Fecha de aprobación:

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS Profesor: Luis Amado Camacho V.

En el plano dos rectas pueden tener las siguientes posiciones relativas: RECTAS SECANTES Rectas secantes son las que se cortan. Dos rectas secantes tienen un punto en común

RECTAS PERPENDICULARES Si al cortarse dos rectas forman cuatro ángulos iguales se dice que estas dos rectas son perpendiculares. Se llama ángulo recto a cualquiera de los ángulos con que se cortan.

RECTAS PARALELAS Rectas paralelas son las que no se cortan. No tienen puntos en común.

Como caso particular de rectas paralelas, se dice que dos rectas son coincidentes, si son la misma recta.

CONSTRUCCIÓN DE RECTAS PARALELAS Y

PERPENDICULARES. 1.- CONSTRUCCIÓN DE UNA RECTA PARALELA A UNA RECTA DADA. La figura muestra paso a paso el proceso de

construcción.

o Dado el punto 𝑷, trazar una recta 𝒔 paralela a 𝒓

o Por 𝑷 trazamos un arco que nos da 𝑴 en recta 𝒓

o Con centro en 𝑴 y radio hasta 𝑷 trazamos otro arco que nos da 𝑵 en 𝒓

o Con el compás cogemos la distancia 𝑵𝑷

o Esa distancia la trasladamos al punto M para obtener Q.

o Unimos 𝑸 con 𝑷 para obtener 𝒔 que es la paralela a 𝒓 por el punto 𝑷.

2.- CONSTRUCCIÓN DE RECTA PERPENDICULAR A UNA RECTA DADA POR UN PUNTO P Hay dos posibilidades, que el punto P esté en la recta dada, o bien sea exterior a ella.

PERPENDICULAR POR UN PUNTO DE LA RECTA

Sea 𝑷 un punto de la recta 𝒓. Colocamos la regla y el cartabón según la figura

PERPENDICULAR POR UN PUNTO EXTERIOR

▪ Con el compás haces centro en O y dibujas un arco que corte a la recta r en A y B. ▪ Con centro en A y abertura del compás algo mayor de la mitad de AB, trazas un arco por debajo de AB. Repite la misma operación, pero ahora con centro en B, obteniendo el punto C en La intersección de dichos arcos. ▪ Uniendo O con C se obtiene la recta pedida (dibujada de color rojo).

TALLER #

1) Observa el dibujo y completa

a) Las rectas 1 y 2 son________________

b) Las rectas 2 y 3 son ________________

c) Las rectas 2 y 4 son________________

d) Las rectas 3 y 4 son________________

e) El punto donde se cortan las rectas 1 y 4

es __________

f) El punto B donde se cortan las rectas ____ y ______

2) Observa la siguiente gráfica y contesta

a) Las rectas paralelas son: b) Las rectas secantes son: c) Las rectas perpendiculares son:

3) Traza una línea vertical y construye con los pasos vistos y frente a ella con lápiz y compás una línea una línea paralela y una perpendicular a la misma.




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CÓDIGO: 250.1.158.01


GUIA #

VERSION: 1


ANGULOS FORMADOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL

OBJETIVOS: Saber a operar ángulos encontrados entre dos líneas paralelas y conocer su valor Profesor: Luis Amado Camacho V.

Al trazar dos líneas pueden ocurrir dos situaciones: la primera, que se crucen en un punto; la segunda, que por más que se prolonguen no lleguen a unirse.

Dos rectas que se cortan en un punto se llaman secantes

Dos rectas situadas en el mismo plano que no se cortan o no tienen ningún punto en común RECTAS PARALELAS RECTAS PERPENDICULARES Si dos rectas se intersecan formando ángulos rectos, las rectas son perpendiculares y la medida de los cuatro ángulos formados es 90º.En la figura las rectas 𝒍 y 𝒎 son perpendiculares.

𝟏 = 𝟐 = 𝟑 = 𝟒 = 𝟗𝟎°

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL Al cortar dos rectas con una secante se forman ocho ángulos, los cuales se representan por los números que vemos; estos se clasifican por parejas de acuerdo

con la posición que tienen con la secante. como se muestra en la figura siguiente.

Puede observarse que se forman cuatro pares de ángulos que son opuestos por el vértice, así como dos pares de ángulos que comparten el mismo vértice y son suplementarios. Adicionalmente se definen los ángulos siguientes

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Los ángulos situados del mismo lado de la transversal, uno externo y el otro interno, pero con vértice diferente se llaman ángulos correspondientes; hay cuatro pares de ángulos correspondientes. Los ángulos correspondientes son iguales, es decir

Ejemplo

Los ángulos correspondientes son congruentes, por lo tanto: ∠𝒆 = ∠𝒈 ∠𝒇 = ∠𝒉

Entonces, ∠𝒈 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∠𝒇 = 𝟖𝟎𝟎

Los ángulos alternos son congruentes entonces: ∠𝒄 = ∠𝒇 ∠𝒂 = ∠𝒉 ∠𝒃 = ∠𝒈 ∠𝒅 = ∠𝒆

Por lo tanto: ∠𝒂 = 𝟖𝟎𝟎 ; ∠𝒃 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∠𝒆 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ; ∠𝒅 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

Ángulos alternos internos Los ángulos situados dentro de las paralelas, en lados opuestos de la transversal o secante y con vértice diferente se llaman ángulos alternos internos; hay dos pares de ángulos alternos internos. Los ángulos alternos internos son iguales, es decir

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS Los ángulos situados fuera de las paralelas, en lados opuestos de la transversal y con vértice diferente se llaman ángulos alternos externos; hay dos pares de ángulos alternos externos. Los ángulos alternos externos son iguales, es decir

Ejemplo 1: Calculando ángulos entre paralelas Si las rectas l y m son paralelas y 𝟏 = 𝟐 =𝟓𝟓𝟎, Calcule la medida de 4

Solución Para resolver éste problema se utilizarán las propiedades de ángulos establecidas en ésta sección. Calculando el ángulo 𝐴𝐵𝐶 cuya medida es la suma de dos ángulos adyacentes ∠𝑨𝑩𝑪 = ∠𝟏 + ∠𝟐 = 𝟓𝟓𝟎 + 𝟓𝟓𝟎 =𝟏𝟏𝟎𝟎. Ahora se puede calcular el 3 ya que es igual al 𝐴𝐵𝐶 pues son alternos internos entre paralelas ∠𝟑 = ∠𝑨𝑩𝑪 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 Finalmente, el 3 y el 4 son ángulos suplementarios, es decir que suman 180º ∠𝟑 + ∠𝟒 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 ∠𝟒 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 − ∠𝟑 ∠𝟒 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟕𝟎𝟎

Entonces la medida del 𝟒 es 𝟕𝟎𝟎

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE son aquellos que tienen en común el mismo vértice y se oponen uno al otro.

Si las rectas cortadas por la secante son paralelas, los ángulos tienen las siguientes relaciones: Los ángulos OPUESTOS POR EL VÉRTICE tienen igual medida, esto es son congruentes:

∠𝒂 = ∠𝒅 ∠𝒃 = ∠𝒄 ∠𝒆 = ∠𝒉 ∠𝒇 = ∠𝒈

Si se traza una secante a dos rectas paralelas y se conoce la medida de uno de los ángulos, es posible determinar la medida de los otros. Obsérvese el siguiente ejemplo:

Como los ángulos colaterales son suplementarios y los ángulos 𝒆 y 𝒉 son colaterales, entonces: ∠𝒆 + ∠𝒉 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 ∠𝒆 + 𝟖𝟎𝟎 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 ∠𝒆 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝟖𝟎𝟎 ∠𝒆 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS: son aquellos que se encuentran del mismo lado de la secante y fuera de las rectas.

Los ángulos colaterales externos, son: ∠𝒂 𝑦 ∠𝒈 ; ∠𝒃 𝑦 ∠𝒉 ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS: son los ángulos que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas.

Los ángulos colaterales internos son: ∠𝒆 𝑦 ∠𝒄 ; ∠𝒇 𝑦 ∠𝒅

TALLER #

Para resolver los ejercicios1 a10, utilice la figura siguiente, donde 𝒍 es paralela a 𝒎 (𝒍 ∥ 𝒎).

1) Escriba que pares de ángulos son opuestos

por el vértice. __________________________

2) Escriba que pares de ángulos son alternos

internos entre paralelas. __________________

3) Escriba que pares de ángulos son adyacentes

y suplementarios. _______________________

4) Escriba que pares ángulos son

correspondientes entre paralelas. __________

__________________

5) Escriba que pares de ángulos son

suplementarios y no comparten el mismo

vértice. _______________________________

6) Si 𝒍 ∥ 𝒎, Encuentre 𝟏 y 𝟐.

7) Si 𝒍 ∥ 𝒎, Encuentre la medida de los otros

ángulos numerados




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CÓDIGO: 250.1.158.01


GUIA #

VERSION: 1


LOS POLIGONOS Y SU CLASIFICACION Profesor: Luis Amado Camacho V.

POR EL NÚMERO DE LADOS

Los nombres de los polígonos se forman anteponiendo a la palabra griega "gono", que significa lado, los prefijos que indican número: LOS POLIGONOS PUEDEN SER: POLIGONOS REGULARES: son aquellos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales.

POLIGONOS IRREGULARES: son aquellos que tienen al menos uno de sus lados de diferente longitud

La palabra “Polígono” significa “varios lados”; es por esto que el nombre particular de cada polígono está determinada por el número de lados. •Según el número de lados, los polígonos se clasifican en:

POR EL TIPO DE ÁNGULOS • Se denominan polígonos convexos a aquellos

en los que todos sus ángulos son menores que 180°.

• Llamamos polígonos cóncavos a aquellos que al menos tienen un ángulo que mide más de 180°.

POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES Si todos sus ángulos y lados son iguales es regular.

Polígono regular Polígono irregular

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR • Centro: punto interior que equidista de cada vértice.

• Radio: segmento que va del centro a cada vértice.

• Apotema: distancia del centro al punto medio de un lado.

TRIÁNGULOS Un triángulo es un polígono que tiene tres lados, tres ángulos y tres vértices. Es el polígono con menor número de lados. Una propiedad fundamental del triángulo es que la suma de sus ángulos siempre es 180º.

Los triángulos se clasifican normalmente según el tipo de ángulos que tiene o según sus lados.

SEGÚN SUS LADOS:

• Triángulo equilátero: o Los tres lados son iguales. o Los ángulos también son iguales y

miden exactamente 60º.

• Triángulo isósceles: o Dos de sus lados son iguales. o Dos de sus ángulos son iguales.

• Triángulo escaleno:

o Ningún lado es igual. o Ningún ángulo es igual.

SEGÚN SUS ÁNGULOS:

• Triángulo acutángulo: sus tres ángulos son agudos,

menores de 90º • Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto y los

otros dos son agudos.

o El lado mayor de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa.

o Los otros dos lados se llaman catetos.

Triángulo obtusángulo: tiene un lado obtuso, mayor de 90º.

TALLER #

1) RELACIONA CON FLECHAS LOS TRIANGULOS Y SUS POSIBLES NOMBRES SEGÚN EL CONCEPTO Y EL DIBUJO. 2) VAMOS A CONSTRUIR UN TRIÁNGULO EN TRES SITUACIONES DIFERENTES:

• Construir un triángulo conociendo los tres lados.

• Construir un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman

• Construir un triángulo conociendo uno de

los lados y dos ángulos.

3) CONSTRUIR UN TRIÁNGULO CONOCIENDO LOS TRES LADOS Vamos a construir un triángulo en el que conocemos

las medidas de los tres lados (𝒂, 𝒃 𝑦 𝒄). • Se dibuja con una regla el segmento que

representa al lado 𝒂.

• Sobre los extremos de este segmento, que serán dos vértices, se trazan con el compás arcos con radios iguales a la longitud del lado 𝒃 y del lado c respectivamente.

• El punto de intersección es el otro vértice.

4) CONSTRUIR UN TRIÁNGULO CONOCIDOS LOS LADOS Y EL ÁNGULO QUE FORMAN.

• Se dibuja el segmento que representa el lado 𝒂.

• Desde uno de los extremos se traza con el transportador el ángulo que conocemos.

• Se lleva el lado 𝒃 sobre este lado del ángulo y

se unen los extremos de 𝒂 y 𝒃 para construir el tercer lado.

5) CONSTRUIR UN TRIÁNGULO CONOCIDOS UN LADO Y LOS DOS ÁNGULOS CONTIGUOS. Se debe cumplir que la suma de los dos ángulos sea menor que 𝟏𝟖𝟎º. • Se dibuja el segmento que representa al lado 𝒂.

• Desde sus extremos, que son dos vértices del

triángulo, se trazan con el transportador los ángulos que conocemos.

• El punto de unión de los lados de los ángulos es el tercer vértice.

Puedes aprender más sobre triángulos en esta dirección: web: http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/12/02.htm

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/12/02.htm

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/12/02.htm




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CÓDIGO: 250.1.158.01


GUIA #

VERSION: 1


POLIGONOS (CUADRILATEROS)

Profesor: Luis Amado Camacho V.

CUADRILATERO Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados, cuatro ángulos, cuatro vértices y dos diagonales.

Una propiedad fundamental de cualquier tipo de cuadrilátero es que la suma de sus ángulos es 360º

Los cuadriláteros se clasifican normalmente según el número de lados que tengan paralelos:

• Paralelogramos: los cuatro lados son paralelos dos a dos (con el lado que tienen enfrente).

• Trapecios: dos de sus lados son paralelos y los otros no.

• Trapezoides: ninguno de sus lados es paralelos entre sí.

• Deltoides: sus lados consecutivos son iguales dos a dos. Es un tipo especial de trapezoide porque ninguno de sus lados es paralelo entre sí.

PARALELOGRAMOS

LOS PARALELOGRAMOS SON CUADRILÁTEROS CON LOS LADOS OPUESTOS PARALELOS QUE

TIENEN LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:

• Tienen iguales sus lados opuestos.

• Tienen iguales sus ángulos opuestos.

• Las diagonales se cortan en su punto medio.

CUADRADOS:

• Tienen los cuatro lados y ángulos iguales.

• Sus diagonales son iguales y perpendiculares (forman un ángulo de 90º).

RECTÁNGULOS:

• Tienen los cuatro ángulos rectos.

• Sus diagonales son iguales, pero no forman ángulo recto.

ROMBOS:

• Tienen los lados iguales.

• Sus diagonales son perpendiculares (forman un ángulo de 90º).

• El cuadrado es un rectángulo y un rombo a la vez, porque verifica las condiciones que los definen.

ROMBOIDES:

• Tienen los lados opuestos paralelos.

• Los lados y ángulos contiguos son desiguales.

• Los ángulos son iguales dos a dos.

TRAPECIOS

Los trapecios son cuadriláteros:

• Con dos lados paralelos llamados base mayor y base menor.

• Dos lados que no son paralelos.

PODEMOS CONSIDERAR TRES TIPOS DE TRAPECIOS

TRAPECIO ISÓSCELES:

• Sus lados no paralelos son iguales.

• Los ángulos internos y de las diagonales son iguales dos a dos.

TRAPECIO RECTÁNGULO • Tiene dos ángulos rectos

TRAPECIO ESCALENO

• Sus cuatro lados son desiguales. TRAPEZOIDES Los trapezoides son los cuadriláteros que:

• No tienen ningún lado igual. • No tienen ningún ángulo igual.

DELTOIDES Son cuadriláteros que tienen forma de cometa.

• Tiene dos pares de lados de la misma longitud.

• Las diagonales son perpendiculares y una de las diagonales divide por la mitad a la otra.

RESUMIENDO, LA CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS QUEDA

TALLER # Según lo expuesto en los cuadriláteros di según los ángulos dados cuales son o no cuadriláteros colocando sí o no 1) 𝟕𝟕𝟎, 𝟏𝟎𝟕𝟎, 𝟖𝟖𝟎, 𝟖𝟖𝟎 _______________

2) 𝟏𝟐𝟐𝟎, 𝟓𝟕𝟎, 𝟏𝟏𝟕𝟎, 𝟒𝟔𝟎 _______________

3) 𝟒𝟗𝟎, 𝟏𝟔𝟓𝟎, 𝟗𝟓𝟎, 𝟖𝟖𝟎 _______________

4) 𝟗𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟎 _______________

5) 𝟔𝟖𝟎, 𝟏𝟎𝟐𝟎, 𝟏𝟑𝟕𝟎, 𝟓𝟑𝟎 ______________ 6) 𝟓𝟖𝟎, 𝟏𝟐𝟐𝟎, 𝟓𝟖𝟎, 𝟏𝟐𝟐𝟎 _______________

7) 𝟓𝟎𝟎, 𝟓𝟎𝟎, 𝟏𝟑𝟎𝟎, 𝟏𝟑𝟎𝟎 _______________

8) 𝟐𝟐𝟒𝟎, 𝟐𝟗𝟎, 𝟑𝟐𝟎, 𝟕𝟓𝟎 _______________

9) 𝟏𝟏𝟓𝟎, 𝟗𝟐𝟎, 𝟖𝟕𝟎, 𝟏𝟔𝟑𝟎 _______________

10) 𝟒𝟓𝟎, 𝟗𝟎𝟎, 𝟗𝟎𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟎 _______________

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