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P2
I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Polygones
Niveau 6e
H. TOURNEUR
9 décembre 2019
H. TOURNEUR Polygones
P2
I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
En bref
1 Polygones quelconques : vocabulaire et notations ;
2 Triangles quelconques, isocèles et équilatéraux ;
3 Quadrilatères quelconques et losanges.
H. TOURNEUR Polygones
P2
I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Sommaire
I. Polygone quelconque
II. TriangleTriangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral
III. QuadrilatèreQuadrilatère quelconqueLosange
H. TOURNEUR Polygones
P2
I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Plan
I. Polygone quelconque
II. Triangle
III. Quadrilatère
H. TOURNEUR Polygones
P2
I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Exemple
A
B
C
D
E
Nom :polygone ABCDE
Côtés :[AB], [BC ], [CD], [DE ], [EA]
Sommets :A,B,C ,D,E
Dé�nition
Un polygone est une �gure géométrique
plane,
fermée,
dont le bord est constitué de segments.
H. TOURNEUR Polygones
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Dé�nition
Un côté d'un polygone est l'un des segments du bord.
Dé�nition
Un sommet d'un polygone est l'une des extrémités d'un côté.
Remarques
Un polygone comporte toujours autant de côtés que desommets.
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Vocabulaire
Des sommets consécutifs sont des sommets voisins.
Exemple
Dans le polygone précédent, les sommets B et C sont consécutifs,tandis que les sommets B et E ne le sont pas.
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III - Quadrilatère
Nommer un polygone
On cite tous ses sommets dans l'ordre en suivant le bord.
Pour un même polygone, il existe ainsi plusieurs noms.
Exemple
Tous les noms du polygone précédent sont :ABCDE
BCDEA
CDEAB
DEABC
EABCD
↪→ Sens des aiguilles d'une
montre
AEDCB
EDCBA
DCBAE
CBAED
BAEDC
↪→ Sens inverse des aiguilles
d'une montre
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Dé�nition
Une diagonale d'un polygone est un segment qui joint deuxsommets non consécutifs.
Exemple
A
B
C
D
E
Toutes les diagonales dupolygones ABCDE sont :[AC ] ; [AD] ;[BD] ; [BE ] ;[CE ]
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral
Plan
I. Polygone quelconque
II. TriangleTriangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral
III. Quadrilatère
H. TOURNEUR Polygones
P2
I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral
Dé�nition
Un triangle est un polygone ayant trois côtés.
Remarques
Lorsqu'on désigne un triangle, l'ordre des sommets n'a aucuneimportance.
Un triangle ne comporte pas de diagonale.
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral
Dé�nition
Un triangle isocèle est un triangle ayant au moins deux côtés demême longueur.
Exemple
B
A
C
� Le triangle ABC estisocèle en B � signi�e� BA = BC �
Le point B est le sommetprincipal.
Le segment [AC ] est labase.
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral
Triangle isocèle
Dé�nition
Dans un triangle isocèle, le sommet principal est le sommetcommun aux deux côtés de même longueur.
Dé�nition
Dans un triangle isocèle, la base est le côté opposé au sommetprincipal.
Remarque
On dira indi�éremment :
� le triangle ABC est isocèle en B �,
� le triangle ABC est isocèle de sommet principal B �.
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral
Triangle équilatéral
Dé�nition
Un triangle équilatéral est un triangle ayant ses côtés de mêmelongueur.
Exemple
A
B
C
� Le triangle ABC est équi-latéral � signi�e� AB = BC = CA �.
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Triangle quelconqueTriangle isocèleTriangle équilatéral
Triangle équilatéral
Propriété
Si un triangle est équilatéral,alors il est isocèle en chacun de ses sommets.
↪→ vers la démonstration 27 (en annexe)
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Quadrilatère quelconqueLosange
Plan
I. Polygone quelconque
II. Triangle
III. QuadrilatèreQuadrilatère quelconqueLosange
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Quadrilatère quelconqueLosange
Quadrilatère quelconque
Dé�nition
Un quadrilatère est un polygone ayant quatre côtés.
Exemple
I
J K
L
On sait que IJKL est unpolygone a quatre côtés.Or d'après la dé�nition d'unquadrilatère,Donc le polygone IJKL estun quadrilatère.
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III - Quadrilatère
Quadrilatère quelconqueLosange
Quadrilatère quelconque
Vocabulaire
Deux côtés d'un quadrilatère sont adjacents lorsqu'ils sont
consécutifs (voisins).
Deux côtés d'un quadrilatère sont opposés lorsqu'ils sont nonconsécutifs.
Exemple
Dans l'exemple précédent du quadrilatère IJKL :
les côtés [IJ] et [JK ] sont adjacents ;
les côtés [IJ] et [LK ] sont opposés ;
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Quadrilatère quelconqueLosange
Losange
Dé�nition
Un losange est un quadrilatère ayant ses côtés de même longueur.
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III - Quadrilatère
Quadrilatère quelconqueLosange
Losange
Approche du tracé 1/3
On veut tracer le losange ABCD de côté 4 cm.
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III - Quadrilatère
Quadrilatère quelconqueLosange
Losange
Approche du tracé 2/3
A
B
(C)
D
(C1)
(C2)
C
1 Cercle (C) de centreA et de rayon 4 cm.
2 Placer B et D sur(C).
3 Tracer [AB] et [AD].
4 Cercle (C1) de centreD et de rayon 4 cm.
5 Cercle (C2) de centreB et de rayon 4 cm.
6 (C1) et (C2) secoupent en A (déjàplacé) et C .
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III - Quadrilatère
Quadrilatère quelconqueLosange
Losange
Approche du tracé 3/3
A
B
(C)
D
(C1)
(C2)
C
Selon la position despoints B et D sur lecercle (C), il est pos-sible de tracer plusieurslosanges.Pour n'avoir qu'un seullosange, il faut donc,en plus de la lon-gueur d'un côté, impo-ser également la lon-gueur d'une des diago-nales du losange.
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I - Polygone quelconqueII - Triangle
III - Quadrilatère
Quadrilatère quelconqueLosange
Losange
Exemple 1/2
On veut tracer un losange ABCD de côté 4 cmet dont la diagonale [BD] mesure BD = 3 cm.
Indice
Commencer par tracer la diagonale, puis deux arcs de cercles.
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III - Quadrilatère
Quadrilatère quelconqueLosange
Losange
Exemple 2/2
B
D
3 cm
(C2)
(C1)
A
C
4 cm
1 Tracer le segment[BD].
2 Tracer le cercle (C1)de centre D et derayon 4 cm.
3 Tracer le cercle (C2)de centre B et derayon 4 cm.
4 (C1) et (C2) secoupent en A et C .
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P2I - SupplémentII - Exercices
Début des annexes
↪→ vers la diapositive 2 (sommaire principal)
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P2I - SupplémentII - Exercices
Plan
I. Supplément
II. Exercices
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P2I - SupplémentII - Exercices
Supplément
Propriété
Si un triangle est équilatéral,alors il est isocèle en chacun de ses sommets.
DémonstrationOn considère un triangle équilatéral ABC .On veut démontrer qu'il est simultanément
isocèle en A,
isocèle en B ,
isocèle en C .
↪→ Montrons simplement qu'il est isocèle en B.
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Supplément
Démonstration (suite)
Etape 1On sait que ABC est équilatéralOr un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur,Donc AB = BC
↪→ De la double égalité AB = BC = CA,
on n'utilise ici que la première égalité.
Etape 2On sait que ABC est un triangle tel que AB = BC
Or un triangle isocèle possède au moins deux côtés de mêmelongueur,Donc ABC est un triangle isocèle.
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Supplément
Démonstration (suite)
Etape 3On sait que
ABC est un triangle isocèle avec AB = BC
↪→ D'après l'étape 1.
B ∈ [AB] et B ∈ [BC ]↪→ Evident d'après les notations.
Or le sommet principal d'un triangle isocèle est le sommet communaux deux côtés de même longueur,Donc B est le sommet principal du triangle isocèle ABC .
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Supplément
Démonstration (�n)
Conclusion
L'étape 3 a permis de conclureque le triangle équilatéral ABC est isocèle en B .
Pareillement, on démontreraitqu'il est également isocèle en A, puis en C .
Ainsi le triangle équilatéral ABCest bien isocèle en chacun de ses sommets.
↪→ retour 17
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P2I - SupplémentII - Exercices
Plan
I. Supplément
II. Exercices
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Tracés de polygones
Tracer en les codant les �gures suivantes :
1 ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm.
2 EFG est un triangle isocèle de sommet principal Gtel que EG = 5,2 cm et EF = 6 cm.
3 KLM est un triangle tel que KL = 3 cm, ML = 4,4 cmet KM = 5,5 cm.
4 ABCD est un quadrilatère tel que
AB = 3,5 cm
BC = 5 cm
CD = 7 cm
DA = 2,8 cm
AC = DC
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Fin des annexes
↪→ vers la diapositive 2 (sommaire principal)
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