nivelamento - matemática

Reta Final Polícia Rodoviária Federal Disciplina: Matemática Tema: Contagem Prof.: Joselias Silva Data: 21/10/2007

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CONTAGEM - PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Este princípio é conhecido como princípio da multiplicação e tem o seguinte enunciado: Sejam dois acontecimentos A e B. Se o acontecimento A pode ocorrer de m maneiras distintas e, para cada uma das m maneiras o acontecimento B pode ocorrer de n maneiras distintas então o número de possibilidades de ocorrer A seguido da ocorrência de B é mxn. 1. O candidato a um concurso tem 8 regiões possíveis para o candidato concorrer e 3 áreas possíveis em cada região. De quantos modos ele pode fazer a inscrição? Solução Temos neste caso dois acontecimentos A - Escolher a região (8 possibilidades) B - Escolher a área (4 possibilidades) Logo pelo princípio da multiplicação existem 8 x 4 = 32 modos de fazer a inscrição 2. Uma moça possui 10 blusas, 8 saias e 4 sapatos. De quantos modos ela pode se vestir? Solução Evidentemente que o princípio da multiplicação não está limitado apenas a 2 acontecimentos, portanto neste caso vamos estender a 3 acontecimentos. Acontecimentos: A - Escolher a blusa (10 possibilidades) B - Escolher a saia (8 possibilidades) C - Escolher o sapato (4 possibilidades) Pelo princípio da multiplicação temos 10 x 8 x 4 = 320 modos de se vestir. 3. Quantos números de 3 algarismos podem ser formados no sistema decimal? Solução Observe que temos três posições para preencher, veja o esquema

Posição A - 9 possibilidades (algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Posição B - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Posição C - 10 possibilidades (algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Pelo princípio da multiplicação temos: 9 x 10 x 10 = 900 números 4. Quantos números pares de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9 ? Solução Seja o esquema

Observamos que os números têm que ser pares, isto dificulta a contagem, daí precisamos primeiramente satisfazer a restrição de os números serem pares. Regra: “Se existe uma restrição causando dificuldade então devemos satisfazê-la em primeiro lugar” Sendo assim, temos: Posição C - 2 possibilidades (algarismos 6, 8) Posição A - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9) Posição B - 6 possibilidades (algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9) Pelo princípio da multiplicação temos 2 x 6 x 6 = 72 números 5. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9.


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Solução Seja o esquema

Na posição A: 6 possibilidades Na posição B, após ter preenchido a posição A: 5 possibilidades Na posição C, após ter preenchido as posições A e B: 4 possibilidades Logo, pelo princípio da multiplicação temos: 6 x 5 x 4 = 120 números 6. Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8, 9 Solução Primeiramente vamos satisfazer a condição do número ser par

Logo, na posição C, temos 2 possibilidades Agora, vamos para a posição A, após ter preenchido a posição C.

Agora, vamos para a posição B, após ter preenchido as posições C e A

Logo pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 x 2 = 40 números 7. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras linhas ligando a cidade B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma linha? Solução Ida de A para B - 3 possibilidades Ida de B para C - 4 possibilidades Volta de C para B - 3 possibilidades (porque?) Volta de B para A - 2 possibilidades (porque?) Pelo princípio da multiplicação temos 3 x 4 x 3 x 2 = 72 linhas de ônibus 8. Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras de se entrar nele e sair por uma porta diferente é: a. 5 b. 10


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c. 15 d. 20 e. 30 Solução Número de maneiras de entrar - 5 Número de maneiras de sair por uma porta diferente da que entrou - 4 Pelo princípio da multiplicação temos 5 x 4 = 20 números Resposta D 9. Um “bit” é um dos algarismos 0 ou 1. O número de seqüências de 10 “bits” é: a. inferior a 100 b. 100 c. um número entre 100 e 500 d. um número entre 500 e 1000 e. um número superior a 1000 Solução Considere o esquema

FATO R I A L Seja n um número natural maior que zero. Então o chamamos de n fatorial, e denotamos por n!, a: n (n-1), (n-2), ..., 1 , se n>0

*n.(n-1).(n-2).(n-3)...1 se n!

0! = 1n

∈=

�

10. Exemplos a. 3! = 3 x 2 x 1 = 6 b. 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 c. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24 d. n! = n (n-1)!

ARRANJOS SIMPLES Seja A um conjunto com n elementos e p um número natural, com p n≤ . Chamamos um arranjo

simples p a p, dos n elementos de A, a cada subconjunto ordenado de p elementos de A. Como o

subconjunto é ordenado temos que são distintos quanto a ordem. Então chamaremos de p

nA ao

número de arranjo de n objetos, p a p.


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11. Exemplo Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos significativos? Solução Entendemos como algarismos significativos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Então teríamos: Para a primeira posição - 9 possibilidades Para a segunda posição, após preencher a primeira - 8 possibilidades Para a terceira posição, após preencher a primeira e a segunda posições – 7 possibilidades.

12. Exemplo Seis pessoas querem se sentar em um ônibus com 20 lugares desocupados. De quantas maneiras elas poderão se acomodar? Solução 1ª pessoa - 20 modos 2ª pessoa - 19 modos 3ª pessoa - 18 modos 4ª pessoa - 17 modos 5ª pessoa - 16 modos 6ª pessoa - 15 modos

Logo 620 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 = 27.907.200A =

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Chamamos de permutações simples de n objetos distintos a qualquer arranjo desses n elementos tomados em qualquer ordem. Assim, teremos o número de permutação de n objetos distintos, que denotamos por Pn a:


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13. Exemplo Quantos anagramas possui a palavra FISCAL? Solução

P6 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 ou P6 = 6! 14. Exemplo De quantos modos 4 pessoas podem se sentar em 4 cadeiras em fila?

COMBINAÇÕES SIMPLES Seja um conjunto A, com n elementos distintos. Chamamos de combinação simples dos n elementos, tomados k a k, a qualquer subconjunto de k elementos do conjunto A.

Indicamos o número de combinações dos n elementos tomados k a k por knC ou ( )n

k .

15. Exemplo Calcule:


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a. 25C

b. 37C

16. Exemplo Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podemos formar? Solução

17. Exemplo De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos. Solução

18. Exemplo (F.G.V.) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas contendo 2 diretores e 3 gerentes? Solução

19. Exemplo Quantas saladas de frutas diferentes, podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas? Solução

CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE

DEFINIÇÃO - ESPAÇO AMOSTRAL O espaço amostral de um experimento é o conjunto de todos resultados possíveis desse experimento. 20 . (Experimento 1): Lançar uma moeda equilibrada e observar a face superior. Qual o espaço amostral? 21. (Experimento 2): Lançar um dado honesto e observar o número da face superior. Qual o espaço amostral? DEFINIÇÃO - EVENTO


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Um evento é um subconjunto do espaço amostral S.

DEFINIÇÃO – PROBABILIDADE EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO E EQUIPROVÁVEL. Se A é um evento de um experimento com espaço amostral S. É razoável definir a probabilidade do evento A por:

Assim teremos:

22. Seja o lançamento de uma moeda honesta. Observa-se o resultado da face superior. Qual a probabilidade e ocorrer cara? 23. Seja o lançamento de duas moedas honestas. Observa-se os resultados das faces superiores. Qual a probabilidade de: a) Ocorrer duas caras? b) Ocorrer exatamente uma cara? c) Ocorrer duas coroas? 24. Seja o lançamento de dois dados honestos. Qual a probabilidade de obtermos pontos iguais nos dois dados? 25. Seja P(A ) = 8/10 e P(B) = 4 /10 e P(A∩B) = 3/10. Calcule: P(A∪B) 26. Sejam A e B eventos disjuntos. Se a probabilidade de P(A∪B)=3/5 e P(B)=1/5. Calcule P(A).


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27. Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a a) 1/7. b) 1/3. c) 2/3. d) 5/7. e) 4/7.

28. Se A e B são eventos independentes tais que P(A) = 1/3 e P(B)= ½. Calcule: P(A∪B), 29. Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A) = 1/4 e P(A ∪B) =1/3. Calcule P(B). 30. Inspirado nos quadrinhos...

Um big-balconista constatou que 70% dos consumidores de cachorro-quente colocam mostarda no lanche, 50% colocam ketchup e 30% colocam ambos os molhos. Ao servir um casal, observa que ambos não colocam molho algum e comenta: — Isso só ocorre 1% das vezes ... Está correto o balconista?

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