Nizovi

Geometrijski niz

Niz je geometrijski ako je omjer svakog člana (osim prvog) i člana ispred njega stalan:

Broj q naziva se kvocijent geometrijskog niza.

Primjer:

a) 6, 12, 24, 48, 96

b)

qa

a

n

n=

−1

8

1,

4

1,

2

1,1,2

Opći član aritmetičkog niza:

Geometrijski niz dobio je naziv zato je što svaki njegov član, osim prvog i posljednjeg, geometrijska sredina dvaju njegovih susjednih članova.

Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza dan je formulom:

1

1

−

=n

n qaa

11 −+= nnn aaa

1

11

−

−=

q

qaS

n

n

Složeni dekurzivni kamatni račun

• Kamate koje se izračunavaju za svako razdoblje kapitalizacije kroz vrijeme trajanja kapitalizacije od promjenjive glavnice nazivaju se složene kamate (kamate na kamate).

• Dekurzivni obračun kamata jest obračun kamata na kraju razdoblja ukamaćivanja od promjenjive glavnice s početkom tog razdoblja.

• U složenom kamatnom računu upotrebljavaju se oznake za slijedeće veličine:– C0 – glavnica

– p – godišnji dekurzivni kamatnjak

– n – broj godina

– I – kamata

– Cn – konačna vrijednost glavnice

• Konačna vrijednost glavnice na kraju n-te godine:

pri čemu je r dekurzivni kamatni faktor,

a izračunava se:

n

n rCC ⋅=0

1001

pr +=

• Primjer:

1. U banku je danas uloženo 500,00kn. Kolika je vrijednost novca tog uloga:a) na kraju 10 godine

b) na kraju 70 godine,

ako je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan? A koliko ako je

obračun dekurzivan i jednostavan? Godišnji kamatnjak je 6.

2. Uz koju bi mjesečnu kamatnu stopu trebalo uložiti neku glavnicu tako da se ona za točno godinu dana uveća za 55%?

3. Gvozden je danas uložio u banku 20.000,00 €. Odredite iznos kojim će Gvozden moći raspolagati na kraju četvrte godine ako je polugodišnja kamatna stopa u prva tri polugodišta 4%, u sljedeća tri 4,5%, a u ostatku vremena trajanja kapitalizacije 5%.

Financijske tablice

1. Bartol je danas uložio u banku 10.000,00 kn. Godišnja kamatnastopa iznosi 7,5%. Odredite iznos kojim će Bartol moći raspolagatina kraju osme godine ako je obračun kamata:a) jednostavan i dekurzivan; (16.000,00kn)

b) jednostavan i anticipativan; (25.000,00kn)

c) složen. (17.834,78kn)

2. Dvije nominalno jednake glavnice ukamaćuju se dvije godine uzgodišnju kamatnu stopu 8%. Prva se ukamaćuje uz složen, a drugauz jednostavan i dekurzivan obračun kamata. Za koliko ćepostotaka konačna vrijednost prve glavnice biti veća od konačnevrijednosti druge glavnice? (0,55%)

3. Tvrtko je danas uložio u banku 10.000,00 kn. Odredite iznos kojimće Tvrtko moći raspolagati na kraju pete godine ako je godišnjakamatna stopa u prve dvije godine 5%, u sljedeće dvije 6%, a uostatku vremena trajanja kapitalizacije 7%. (13.254,83 kn)

4. Goranko je danas uložio u banku 80.000,00 USD. Odredite iznoskojim će Goranko moći raspolagati na kraju četvrte godine ako jekvartalna kamatna stopa u prvoj godini 2%, u drugoj i trećoj 2,2%,a u četvrtoj 2,4%. (113.317,68 USD)

5. Neka se glavnica udvostruči za točno 10 godina. Ako je u prvečetiri godine primijenjena godišnja kamatna stopa 7,5%, odreditegodišnju kamatnu stopu u preostalom vremenu trajanjakapitalizacije. (6,96%)

6. Prije točno 10 godina Matija je uložila na štednju 15.000,00 kn.Otada pa do danas na svoj je račun prije točno 7 godina uplatilajoš 20.000,00 kn, a prije točno 4 godine još 10.000,00 kn.Odredite novčani iznos koji Matija danas ima na svojoj štednojknjižici ako je:a) kamatnjak u svih 10 godina jednak 7; (74.730,86 kn)

b) kamatnjak u prve tri godine jednak 7, u sljedeće tri 8, a u preostalom razdoblju 9. (82.354,86 kn)

7. Uz koji najmanji kvartalni kamatnjak treba uložiti50.000,00 USD tako da u petom polugodištu ukupaniznos kamata bude barem 3.084,08 USD? (0,58)

8. Neka je glavnica uložena u banku uz mjesečnikamatnjak 0,8. Procijenite najkraće vrijeme za koje će seta glavnica:a) uvećati za barem 5%; (7 mjeseci)

b) uvećati za barem 20%; (1 godina 11 mjeseci)

c) barem udvostručiti. (7 godina 3 mjeseca)

9. Uz koji bi kvartalni kamatnjak trebalo uložiti nekuglavnicu tako da se ona za točno godinu i pol:

a) uveća za 50%; (6,99))

b) uveća za 80%, (10,3)

c) udvostruči? (12,25)

10. Na štednu knjižicu uplaćeno je 50.000,00kn prije 5 godina oddanas. Kojim će se iznosom moći raspolagati za tri godine oddanas, ako je danas podignuto 25.000,00kn? Obračun kamata jesložen, dekurzivan i godišnji, a primjenjuje se kamatnjak 3.(36.020,33kn)

11. Štediša Dafroza je prije točno pet godina na račun uložila20.000,00 USD, a prije točno tri godine još 10.000,00 USD.Odredite najmanji iznos koji Dafroza danas može podići s računatako da za točno dvije godine na računu bude najmanje 40.000,00USD. Godišnji kamatnjak u prve četiri godine je 7,5, a upreostalom razdoblju za 1 manji. (5.486,53 USD)

12. Poduzeće duguje iznos od 100.000,00kn na kraju druge godine i150.000,00kn na kraju pete godine. S kojim iznosom možepodmiriti cijeli dug na kraju treće godine ako je kamatna stopa zaprve četiri godine 5%, a u preostalom razdoblju 6%? Obračunkamata je godišnji i dekurzivan. (239.770,89kn)

12. Tvrtka ''Dužniković i sinovi d.o.o.'' je trebala podmiritidug od 15.000,00 € prije točno 4 godine, dug od10.000,00 € prije točno dvije godine i dug od 5.000,00 €prije točno jednu godinu. Odredite iznos kojim tvrtkamože podmiriti sva tri duga:

a) danas ako je godišnji kamatnjak 10; (39.561,50 €; )

b) danas ako je, računajući od trenutka dospijeća prvoga duga,godišnji kamatnjak u prve dvije godine 10, a u ostatkurazdoblja 15; (42.978,38)

c) za točno dvije godine ako je godišnji kamatnjak 15;(59.790,35)

d) za točno dvije godine ako je, računajući od trenutka dospijećaprvoga duga, godišnji kamatnjak u prve dvije godine 10, usljedeće dvije 15, a u ostatku vremena trajanja kapitalizacije20. (61.888,86 €)

13. Marija i Marina su danas uložile na štednju nominalno jednake novčane iznose na dvije godine. Marija namjerava podići po 5.000,00 kn početkom drugoga i početkom četvrtoga polugodišta, a Marina namjerava podići 10.000,00 kn početkom četvrtoga kvartala, a uložiti još 2.000,00 kn početkom šestoga kvartala. Mjesečni kamatnjak u prvoj godini je 0,7, a u drugoj 0,75. Ako će po isteku vremena trajanja kapitalizacije Marija i Marina zajedno imati ukupno 39.503,08 kn, odredite nominalni novčani iznos kojega je danas uložila svaka od njih. (25.000,00 kn)

14. Neka tvrtka prodaje na licitaciji stroj i ima dvije ponude:

• kupac Ivo nudi: 2.000.000,00kn odmah i 5.000.000,00kn krajem četvrte godine,

• kupac Pero nudi: 2.500.000,00kn na kraju druge godine i 6.000.000,00kn na kraju osme godine. Koja ponuda je povoljnija, ako je godišnji kamatnjak 6 i obračun kamata dekurzivan? (Pero)