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WILSON ROBERTO RODRIGUES
NÚMEROS RACIONAIS: UM ESTUDO DAS CONCEPÇÕES DE
ALUNOS APÓS O ESTUDO FORMAL
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PUC/SPSÃO PAULO
2005
WILSON ROBERTO RODRIGUES
NÚMEROS RACIONAIS: UM ESTUDO DAS CONCEPÇÕES DE
ALUNOS APÓS O ESTUDO FORMAL
PUC/SPSÃO PAULO
2005
Dissertação apresentada à bancaexaminadora da Pontifícia UniversidadeCatólica de São Paulo, como exigênciaparcial para a obtenção do título deMESTRE em Educação Matemática,sob a orientação da Profª. Dra. TâniaMaria Mendonça de Campos.
BANCA EXAMINADORA
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos ou científicos, a reprodução totalou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
ASSINATURA:_______________________LOCAL E DATA:_______________
DEDICATÓRIA
A minha esposa Lúci e meus filhos, Flávia e Wilson.
AGRADECIMENTOS
À sensação de satisfação, de entusiasmo e de dever cumprido, que
necessariamente se faz presente no momento em que se conclui um trabalho como
este, junta-se, com a mesma intensidade, a de gratidão para com todas as pessoas
que dele fizeram parte e que possibilitaram sua concretização com orientações,
amizade, compreensão e incentivo nos momentos difíceis.
À Professora Dra Tânia Maria Mendonça de Campos, pela orientação segura,
pelas idéias sempre oportunas e enriquecedoras e, sobretudo, pelo privilégio de um
convívio afável, propiciado pelas muitas horas de leitura e discussão do trabalho, e
pela sua larga experiência de pesquisadora que me proporcionou momentos de rico
aprendizado.
À Professora Dra Sandra Maria Pinto Magina, que partilha com a Profa Tânia
a coordenação do Grupo de Pesquisa, pelo entusiasmo contagiante transmitido aos
membros do grupo e por suas valiosas sugestões, seja individualmente, seja nas
discussões dos seminários do grupo, que certamente em muito enriqueceram este
trabalho.
À Professora Dra Otília Therezinha W. Paques, pela amizade e consideração
que sempre me dedicou, pelas oportunidades que me proporcionou, pela motivação
na busca deste mestrado e pela colaboração na leitura e julgamento do trabalho na
Prova de Qualificação.
Ao Professor Dr Vincenzo Bongiovanni, pela meticulosa análise do trabalho na
fase de qualificação e pelas inúmeras sugestões apresentadas, que muito
contribuíram para o enriquecimento do conteúdo deste trabalho e que me sugeriram
caminhos para os trabalhos de análise que sucederam a Prova de Qualificação.
Aos colegas Alécio, Angélica, Aparecido, Conceição, Leonel, Raquel e Vera,
pela oportunidade de discussões acaloradas e enriquecedoras, pelas pacientes
leituras de trechos do trabalho, pelo auxílio nas análises, pela aplicação das
questões a seus alunos, enfim, pelo privilégio de poder desenvolver o trabalho num
autêntico grupo de pesquisa.
Aos colegas, professores da Escola Preparatória de Cadetes do Exército:
Samuel, pelo apoio e trocas de experiências ao longo de todo o mestrado; Márcia e
Maria da Graça, pelo auxílio na redação em inglês; e Wallace Fauth, pela meticulosa
revisão do texto.
Por fim, à minha esposa Lúci, a quem dedico este trabalho, pelo constante
incentivo e pela compreensão carinhosa de minha ausência nas horas a ele
dedicadas, o que certamente tornou mais ameno o caminho percorrido, que agora se
conclui, com a graça de Deus.
RESUMO
Este trabalho tem por objetivo identificar aspectos do conceito de fração,
relativos aos significados parte-todo e quociente, que permanecem não
apropriados por alunos em fase de escolarização posterior ao ensino formal
desses números. Para isso, busca-se a resposta para a seguinte questão de
pesquisa: “Que aspectos do conceito de fração nos significados parte-todo e
quociente permanecem sem ser apropriados por alunos de oitava série do Ensino
Fundamental, terceira série do Ensino Médio e Ensino Superior na área de
exatas?”, a qual remete a uma segunda questão: “Que ligações existem entre
essas dificuldades e as deficiências, já apontadas por outras pesquisas, da prática
pedagógica,?”.
Três idéias nortearam a busca dos fundamentos teóricos: a gênese do
número racional, focando-se as idéias de Caraça (1952); os princípios da
psicologia cognitivista, fundamentados nas idéias de Vygotsky e Vergnaud; bem
como as idéias de alguns educadores matemáticos, que propõem modelos
específicos para o estudo dos números racionais, com destaque para Kieren, Behr,
Nunes, Mack e Esolano e Gairín.
Foi elaborado um instrumento composto de 48 questões envolvendo o
conceito de fração nos significados parte-todo e quociente, em três níveis de
dificuldade, aplicado a 13 alunos de oitava série, 31 alunos do terceiro ano do
Ensino Médio e 29 alunos do Ensino Superior, na área de exatas.
Os resultados obtidos foram considerados sob os pontos de vista
quantitativo e qualitativo, constatando-se que, mesmo nesses níveis de
escolaridade, os alunos ainda apresentam dificuldades significativas sob três
pontos de vista: da compreensão do papel da unidade nos problemas envolvendo
frações; das peculiaridades das situações envolvendo grandezas discretas; e de
aspectos mais abstratos da construção dos números racionais, como a inclusão
dos inteiros e a explicitação de soluções em termos de operações com frações.
Por fim, procurou-se associar essas dificuldades a aspectos da prática
pedagógica levantados por outros pesquisadores, a fim de levantar hipóteses para
suas possíveis causas.
Palavras-chave: frações, problemas, concepções, Educação Matemática.
ABSTRACT
This work is aimed at identifying the fraction concept aspects related to the
part-whole and quotient meanings, which remain not learned by students during the
learning period that follows the formal teaching of these numbers. For this task, we
sought to answer the following research question: “Which aspects of the fraction
concept in the part-whole and quotient meanings remain not learned by eighth
grade students of elementary education, third grade high school students and
higher education students in the exact sciences area?”. This question leads us to a
second one: “What connections are there between these difficulties and the
teaching practice deficiencies already mentioned in other researches?”
Three great ideas have guided the search for theoretical bases: the genesis
of the rational number, focusing on the ideas of Caraça (1952), the principles of
cognitivist psychology, based on Vygotsky's and Vergnaud's ideas, and the ideas of
some mathematical educators who propose specific models for rational numbers,
with an emphasis on Kieren, Behr, Nunes, Mack and Esolano and Gairín.
An instrument was developed containing 48 questions involving the fraction
concept in the part-whole and quotient meanings, in three levels of difficulty. It was
taken by 13 eighth graders, 31 high shool students and 29 higher education
students in the exact sciences area.
The results obtained were considered under the quantitative and qualitative
points of view, and it could be observed that, even in these learning levels, students
still have considerable difficulty regarding the role of the unit in problems involving
discrete situations and more abstract aspects of building rational numbers, like the
insertion of integers and the clearing of solutions in terms of operations with
fractions.
At last, we sought to associate these difficulties to aspects of the teaching
practice listed by other researchers, in an attempt to raise hypotheses for possible
causes.
Keywords: fraction, problems, conception, Mathematical Education.
ÍNDICE
INTRODUÇÃO E QUESTÃO DE PESQUISA ................................................... 10
CAPÍTULO I - FUNDAMENTOS TEÓRICOS..................................................... 18
1.1 Caraça: A construção do Conjunto dos Números Racionais ........... 19
1.2 Vygotsky: Conceitos Científicos e Cotidianos .................................. 22
1.3 Vergnaud: A Teoria dos Campos Conceituais ................................. 23
CAPÍTULO II - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................... 31
2.1 Kieren: Os Subconstrutos do Número Racional ............................... 32
2.2 Nunes e Bryant: Uma Classificação Baseada em Vergnaud ........... 39
2.3 Behr: Considerações Sobre o Conceito de Número Racional ......... 44
2.4 Nancy Mack: O Conhecimento Intuitivo............................................ 46
2.5 Escolano e Gairín: Uma Crítica ao Modelo Parte-Todo ................... 52
2.6 Silva: Proposta de Mudanças de Paradigma................................... 58
2.7 Bezerra: Construindo o Conceito por Situações Significativas ....... 61
2.8 Santos: Um Diagnóstico das Concepções dos Professores............. 62
CAPÍTULO III – METODOLOGIA ...................................................................... 65
3.1 Fundamentos Metodológicos ........................................................... 65
3.2 Descrição do Experimento ............................................................... 66
3.2.1 Montagem do Instrumento de Pesquisa................................ 66
3.2.2 Universo de Estudo............................................................... 71
3.2.3 Estudos Preliminares............................................................ 72
3.2.4 Aplicação do Instrumento de Pesquisa................................. 73
CAPÍTULO IV - DESCRIÇÃO E ANÁLISE DO INSTRUMENTO DE
PESQUISA ................................................................................ 74
CAPÍTULO V - ANÁLISE QUANTITATIVA DOS RESULTADOS .................... 146
CAPÍTULO VI – UMA ANÁLISE QUALITATIVA DOS RESULTADOS ............ 179
6.1 – A fração Imprópria no Significado Parte-todo e o Papel da
Unidade......................................................................................... 180
6.2 – A Cardinalidade.............................................................................. 189
6.2 – Quociente e Grandezas Discretas................................................ 194
6.4 – A Capacidade de Formalizar......................................................... 199
CAPÍTULO VII – CONCLUSÃO......................................................................... 208
7.1 – Considerações Iniciais................................................................... 208
7.2 – Síntese dos Resultados Obtidos.................................................... 210
7.3 – Respondendo à Questão de Pesquisa........................................... 217
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 224
ANEXOS.............................................................................................................. 229
Anexo I – Fração Imprópria no Significado Parte-todo – Tabulação das
Respostas................................................................................................ 230
Anexo II – O instrumento de Pesquisa................................................... 233
10
INTRODUÇÃO
A aquisição do conhecimento matemático escolar, como modernamente é
concebida, pressupõe que o aluno desenvolva sua capacidade de estabelecer
relações entre conceitos correlatos, construindo uma teia de saberes
relacionados, que possibilite agregar novos conhecimentos ao seu repertório �
embasando-se em etapas anteriores � e, assim, construir um conjunto de
conceitos que, interligados uns aos outros, constituir-se-ão em seu conhecimento
matemático.
Os livros didáticos procuram estabelecer seqüências que direcionem essas
correlações, com base nos próprios critérios de verdade da Matemática e na
transposição didática1 necessária para que o conhecimento científico seja
acessível ao aluno, em cada uma das fases do estudo. É da própria natureza da
Matemática esse entrelaçamento de conceitos, e as rupturas nesse processo são
sempre traumáticas para o prosseguimento do trabalho de construir o
conhecimento matemático.
Diversos pesquisadores têm apontado, nesse processo, pontos críticos,
que são fontes de dificuldades para o ensino da matemática escolar; e alguns
1 A expressão Transposição Didática tem, neste texto, o sentido atribuído a ela por Chevallard
(1991),
11
desses pontos são particularmente sensíveis, como a introdução dos números
racionais, a partir dos naturais ou a introdução do conhecimento algébrico.
Como professor de Matemática no Ensino Médio, tenho constatado o
quanto essas deficiências dificultam o aprendizado, daí a motivação para
pesquisar as concepções de número racional dos alunos que já passaram pela
fase de estudo formal2 desses números, tentando obter um melhor conhecimento
dessas concepções, levantar pontos críticos e proporcionar subsídios para que
novos trabalhos apresentem propostas de intervenções para minimizá-los.
Assim, a pesquisa deverá ser pautada na busca de atingir o seguinte
objetivo:
Identificar aspectos do conceito de número racional cuja
construção não se tem revelado eficaz no período da educação
básica, quando são trabalhados em sala de aula, e que permanecem
sem ser apropriados pelos alunos por longo tempo, durante o
processo de escolarização.
O trabalho focará a forma fracionária do número racional positivo, ou seja,
números da forma p/q, com p e q naturais e q≠0. Estes números aqui receberão
simplesmente a denominação de fração.
Esta pesquisa faz parte de um trabalho mais amplo que se desenvolve na
PUC-SP, cuja abrangência é o ensino e a aprendizagem de frações, e procura
investigar as concepções a respeito desse objeto matemático, tanto de alunos
quanto de professores, em todas as etapas da escolarização. Esse conjunto de
2Estudo formal é aqui entendido como o estudo realizado em ambiente escolar, com base em
planejamento curricular.
12
pesquisas integra um programa de cooperação entre a Oxford University, a
Oxford Brookes University e o Centro das Ciências Exatas e Tecnologia da PUC �
SP.
No Brasil, o conceito de fração tem seu ensino iniciado, formalmente, a
partir do segundo ciclo do Ensino Fundamental, (entre 3ª e 4ª séries),
estendendo-se pelo menos até o final do terceiro ciclo (5ª e 6ª séries). Pesquisas
recentes (Kieren, 1988; Mack, 1990; Campos e Cols, 1995; e Nunes, 1997), têm
evidenciado dificuldades em relação a esse conceito, seja do ponto de vista de
seu ensino, seja de sua aprendizagem.
Alguns aspectos levantados nas pesquisas citadas merecerão especial
destaque neste trabalho, como as conclusões de Campos e Cols, citadas por
Nunes (1997), em que as pesquisadoras demonstram que, quando os alunos são
incentivados apenas a empregar procedimentos de dupla contagem para
representar uma fração, podem até resolver problemas de frações, sem, contudo
entender o significado desse novo tipo de número.
Nunes (ibid) chama a atenção para o fato de que as crianças tomam
posturas diferentes em problemas com frações, quando eles envolvem situações
cotidianas ou quando envolvem situações de avaliação escolar, sugerindo que há
uma dificuldade em relacionar os problemas contextuais aos algoritmos, que são
aprendidos para operar com as frações.
A pesquisadora ainda destaca o fato de que também pode ocorrer o
contrário: crianças que dominam os algoritmos e operam corretamente com
frações podem não ter a compreensão perfeita do que é o número racional em
todas as suas nuances. Nunes (2003) propõe uma classificação de situações em
que as frações são usadas, entendendo que propor essa classificação é o mesmo
13
que propor uma teoria sobre quais são os efeitos do raciocínio das crianças sobre
frações. Para a autora, os problemas envolvendo frações abrangem as idéias de
relações parte-todo, quociente, medida, operador multiplicativo e número. Esses
significados serão detalhados nos capítulos subseqüentes.
Kieren (1988), destaca que os números racionais não podem ser
considerados simplesmente como uma extensão dos naturais, e aponta algumas
de suas peculiaridades, com ênfase para a complexidade que envolve a idéia de
unidade nesse conjunto numérico. Kieren (ibid) também apresenta algumas
pesquisas que retratam o comportamento de crianças diante de situações em que
são solicitadas a manipular o referencial para representar uma grandeza através
de uma fração, identificando aí um ponto crítico na construção do conceito. O
autor também entende que a compreensão plena do número racional só será
conseguida se esses números forem estudados segundo as diversas maneiras
em que aparecem nos problemas, optando pela palavra �subconstrutos�, em vez
de significados, para definir esses tipos de situação.
Em comum com Nunes, a classificação de Kieren apresenta os
subconstrutos quociente, medida e operador, mas difere por não considerar o
significado parte-todo e por incluir o subconstruto razão.
As pesquisas comentadas acima, associadas ao fato de que os alunos
costumam apresentar dificuldades no emprego da fração mesmo após o período
de estudo formal desse conteúdo, proporcionaram a motivação para investigar até
que ponto os alunos de nível de escolaridade mais elevado dominam o conceito
de número racional em suas diversas peculiaridades, tanto em situações
contextuais, quanto formais, com ênfase para as primeiras.
14
A partir desses pressupostos, neste trabalho pretende-se investigar as
concepções do número racional, em sua representação fracionária e nos
significados parte-todo e quociente, por alunos que já concluíram o estudo formal
das frações. A pesquisa foi estruturada levando em conta a idéia de construção
do conceito de Vygotsky, a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud e as
idéias de Kieren e Nunes a respeito dos números racionais.
A palavra �concepção�, do ponto de vista da Didática, é entendida por
Balacheff como uma quádrupla, identificada por C=(P, R, L, ∑) em que
• P é um conjunto de problemas sobre o qual C opera;
• R é um conjunto de operadores;
• L é um sistema de representação, que permite exprimir os elementos de P
e R
• ∑ é uma estrutura de controle, que assegura a não contradição de C.
Segundo esse ponto de vista, pode-se dizer que um problema p,
pertencente ao conjunto P, será considerado resolvido se existir um operador r,
do conjunto R e uma estrutura s, do conjunto ∑ tal que s(r(p)) seja verdadeira.
Para Balacheff, portanto, um operador sempre transforma um problema em
novo problema e a condição para que um problema p pertença a P é que exista
uma seqüência de transformações em R que o conduza a um problema resolvido
segundo o critério de ∑. (Balacheff, 1994, p.225).
Não será objeto do presente trabalho explicitar os componentes da
concepção, conforme proposto por Balacheff. Portanto, o termo concepção será
aqui entendido, de maneira menos formal, como o ato de criar mentalmente, de
formar idéias, especialmente abstrações, que contribuirão para a formação do
conhecimento explícito do sujeito. Esse conhecimento será identificado pelas
15
representações simbólicas assumidas por esse sujeito, tais como expressão oral
ou escrita, buscando retratar, por meio dessas expressões, o estado em que se
encontra o conceito para o sujeito.
A idéia é aplicar a sujeitos de escolaridade mais elevada as questões
propostas por Campos e Cols, Mack e Kieren, além das questões que couberem
dos trabalhos em Moutinho(2005) e Merlini(2005), juntamente com outras
elaboradas pelo pesquisador em níveis diferentes de dificuldade, que pretendem
fornecer elementos para detectar pontos críticos nas concepções e principais
dificuldades apresentadas pelos sujeitos de pesquisa.
A escolha de apenas dois significados como objeto de pesquisa deveu-se
à impossibilidade de abranger todos os significados a partir da metodologia
adotada, considerando a extensão do trabalho. A opção por parte-todo e
quociente levou em conta que esses significados estão, no entendimento deste
pesquisador, mais associados às fases iniciais da construção do conceito de
número racional, sendo, portanto, mais apropriados para a identificação dos
pontos críticos desse processo.
O trabalho parte da hipótese de que o ensino formal de frações não tem
sido capaz de fornecer aos alunos elementos para que esse conceito seja
plenamente desenvolvido, mesmo em estágios avançados da escolarização. Por
isso pretende responder à seguinte questão de pesquisa:
Que aspectos do conceito de fração nos significados parte-todo
e quociente permanecem sem ser apropriados por alunos de oitava
série do Ensino Fundamental, terceira série do Ensino Médio e Ensino
Superior na área de exatas?
16
Essa questão conduz, de maneira natural, a uma outra:
Que ligações existem entre essas dificuldades e as deficiências
da prática pedagógica, já apontadas por outras pesquisas?
Para tentar responder a essas questões este trabalho foi estruturado em
capítulos, cujos resumos são descritos a seguir.
Nestas palavras iniciais foram apresentadas algumas considerações sobre
os números racionais e as dificuldades relativas à aquisição desse conceito, que
nos conduziram a formular a presente questão de pesquisa.
Os capítulos 1 e 2 procuram fundamentar a pesquisa em termos teóricos,
partindo da gênese número racional, conforme proposto por Caraça (1952), das
idéias sobre a construção do conceito, segundo as visões de Vygotsky e
Vergnaud, e das considerações específicas sobre as frações de Kieren (1981,
1988 e 1993), Nunes (1997 e 2003), Behr (1983), Mack (1990 e 1995), e
Escolano e Gairín (2005) e das observações de Silva (1997), Bezerra (2002) e
Santos (2005) sobre universos próximos aos do interesse desta pesquisa.
O capítulo 3 apresenta a metodologia empregada, a seleção do público
alvo e os critérios utilizados para a elaboração do instrumento de pesquisa, sua
testagem e aplicação.
O Capítulo 4 apresenta uma descrição e uma análise do instrumento de
pesquisa, procurando detalhar os objetivos esperados com cada item, as
respostas esperadas e o grau de dificuldade.
O Capítulo 5 apresenta o resultado das tabulações das respostas
apresentadas aos itens, em termos de certo ou errado, permitindo um
17
levantamento de pontos críticos que fornecerão subsídios para uma análise
qualitativa.
Os Capítulos 6 e 7 apresentam, respectivamente, a análise qualitativa do
resultado da pesquisa e as conclusões e considerações finais obtidas através
dessa análise.
Por fim, são apresentadas as referências bibliográficas. Os itens que
constituíram o instrumento de pesquisa, bem como algumas das tabelas da
análise qualitativa, estão incorporados ao trabalho sob a forma de anexos.
18
CAPÍTULO I
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
O presente capítulo procura buscar subsídios para fornecer uma base
teórica ao objeto da pesquisa: a avaliação do desempenho dos alunos acerca dos
números racionais em diferentes etapas da escolarização, principalmente nas
mais avançadas. Três grandes idéias nortearam a busca dos fundamentos
teóricos: a gênese do número racional, enquanto conceito fundamental da
Matemática; os princípios da psicologia cognitivista, que procura construir
modelos para compreender a construção do conceito; e as idéias de alguns
educadores matemáticos, que, a partir dessas teorias, propõem modelos
específicos para o estudo dos números racionais.
Com relação à origem primeira dos números racionais e sua inserção no
conhecimento matemático, serão tomadas como referência as idéias de Caraça
(1952), que descrevem o surgimento do campo dos números racionais a partir
das necessidades humanas e de princípios gerais em que se fundamenta a
construção da Matemática.
Do ponto de vista da psicologia cognitivista, a visão de Vygotsky a respeito
da formação e evolução do conceito, e as idéias de Vergnaud – que entende o
conceito como algo construído ao longo do tempo, dentro de um conjunto de
situações, operações mentais e representações – se mostram adequadas ao
estudo, uma vez que só teria sentido considerar as concepções dos sujeitos sobre
um assunto tipicamente escolar, fora do período em que ele é estudado na
19
escola, se a construção do conceito for entendida como um processo dinâmico
que se completa e se sofistica ao longo da vida do indivíduo.
Com relação aos aspectos peculiares à aprendizagem do número racional,
diversos autores têm proposto bases teóricas para esse estudo, com destaque
para Kieren(1981, 1988, 1993) e Nunes e Bryant(1997, 2003). O primeiro propõe
que os números racionais sejam compreendidos segundo quatro subconstrutos,
e que em seu estudo sejam considerados tanto elementos intuitivos quanto
formais; e Nunes e Bryant propõem uma classificação do número racional em
significados, que será tomada como base nesta pesquisa. Os tópicos seguintes
pretendem detalhar cada uma dessas considerações.
1.1 - CARAÇA: A CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS
RACIONAIS
Um bom ponto de partida para se pensar na construção dos números
racionais encontra-se em Caraça (1952). Nessa obra, o autor procura apresentar
os números racionais como a resposta do homem à necessidade de comparar
grandezas quando a habilidade de contar, que ele já dominava, não foi suficiente
para responder à questão de quantas vezes uma grandeza era maior que a outra.
Segundo o texto citado, esse problema começou a ser resolvido a partir da
idéia de se estabelecer um padrão para comparar grandezas de mesma espécie e
se denominar medida da grandeza à resposta da questão “quantas vezes essa
grandeza é maior que o padrão, tomado como unidade de comparação?”.
Segundo Caraça, esse problema de medir envolve três aspectos distintos: a
20
escolha da unidade, a comparação com a unidade e a expressão do resultado
dessa comparação por um número.
O problema de expressar a medida de uma grandeza em relação a outra
teria solução imediata, dada pelo quociente das duas medidas, sempre que fosse
possível efetuar a divisão entre os números inteiros que as representavam. Um
impasse viria a surgir, porém, quando essa divisão não era possível. A busca da
solução para esse problema, culminou, ao fim de um longo processo, na simples
negação dessa impossibilidade, e a divisão indicada, antes considerada
impossível, passou a ser vista como a representação de um novo tipo de número,
que expressa o resultado da divisão, agora considerado como possível, apesar
de não poder ser expresso por um número inteiro.
Dois princípios básicos que orientam a evolução de toda a Matemática
estão presentes na construção do conjunto dos números racionais: o princípio da
extensão, segundo o qual, na construção de um novo conhecimento, este deve
manter válido e englobar o conhecimento já existente; e o princípio da economia,
segundo o qual as operações usadas para resolver problemas na situação antiga
devem ser as mesmas operações usadas para resolver problemas análogos na
nova situação. Assim, os casos de medição que tinham como resultado um
número inteiro devem ser considerados casos particulares de medição nesse
novo conjunto numérico, que será denominado conjunto dos números racionais.
Isso significa que todo número inteiro deve ser também um número racional. A
partir desses dois princípios, os números racionais foram definidos, com suas
propriedades e operações.
O fato de serem uma extensão dos números naturais, entretanto, não
impede que os números racionais apresentem algumas peculiaridades que têm
21
trazido ao longo do tempo dificuldades à sua aprendizagem e por isso esses
números têm sido objeto de inúmeros estudos.
Dos aspetos citados por Caraça(1952) na construção do número racional,
um deles merecerá atenção especial nesta pesquisa: a escolha da unidade. As
situações-problema que compõem o instrumento de pesquisa, baseadas nos
significados parte-todo e quociente da classificação de Nunes(2003), impõem
quase sempre uma reflexão sobre o referencial a ser tomado para a apresentação
das respostas e essa reflexão parece não ser enfatizada no estudo escolar dos
números racionais.
Outras peculiaridades do número racional são o fato de que uma mesma
quantidade pode ser representada por muitos significantes diferentes e que um
mesmo número pode representar quantidades diferentes, em função da unidade
tomada. Este segundo problema aparece principalmente quando se propõem
situações contextuais, agregando dificuldades à compreensão do significado da
relação de ordem entre os números racionais.
A idéia de estudar essas concepções em sujeitos com um nível de
escolaridade mais elevado, que já ultrapassaram a fase do estudo formal das
frações, é tentar buscar elementos para se verificar quais dessas peculiaridades
têm resistido mais ao tempo e exigem um maior amadurecimento do sujeito para
sua plena compreensão ou uma maior atenção dos educadores para elaboração
de atividades de ensino que permitam que esses aspectos sejam enfatizados no
estudo desses números, durante o período escolar.
O estudo também parte do pressuposto de que as concepções dos alunos
não são estáticas e de que a construção dos conceitos se consolida ao longo do
processo de escolarização, influenciado pelo amadurecimento, pelos
22
conhecimentos e esquemas de que o indivíduo dispõe e pelas interações a que o
sujeito está submetido.
1.2 - VYGOTSKY: CONCEITOS CIENTÍFICOS E COTIDIANOS
Do ponto de vista cognitivo, os pressupostos acima descritos têm sua
origem primeira na idéia de construção do conceito proposta por Vygotsky, que
faz considerações sobre a interação entre a vida escolar e as experiências
cotidianas do sujeito no processo de construção do conceito.
Vygotsky divide os conceitos em dois tipos: cotidianos ou espontâneos e
científicos. Os conceitos cotidianos são desenvolvidos no decorrer da atividade
prática do indivíduo e de suas interações sociais imediatas, enquanto os
conceitos científicos são adquiridos por meio do ensino, como parte de um
sistema organizado de conhecimentos particularmente relevantes nas sociedades
letradas, em que os alunos são submetidos a processos deliberados de instrução
escolar. (Oliveira, 1992 p.31)
Tanto os conceitos cotidianos como os científicos, embora estes últimos
sejam transmitidos em situações formais, passam por um processo de
desenvolvimento, isto é, não são aprendidos em sua forma definitiva. As
experiências futuras do sujeito tenderão a fazer com que os conceitos cotidianos,
que se iniciam no confronto com uma situação concreta, expandam-se no
decorrer das leituras e dos trabalhos escolares posteriores, enquanto os conceitos
científicos, a partir também das experiências cotidianas, agreguem elementos
dessas experiências e caminhem em direção a um nível mais elementar e
23
concreto, num processo em que tanto os conceitos científicos quanto os
cotidianos caminham em direção a um ponto comum.
Pode-se mesmo dizer que os conceitos cotidianos têm um
desenvolvimento ascendente (rumo aos científicos) e que os conceitos científicos
têm um desenvolvimento descendente (em direção aos cotidianos).
A proposta de explorar o conceito de fração, que é um conceito científico na
medida em que é apresentado de maneira formal nos currículos escolares, a
partir de situações contextuais, procura detectar indícios da ocorrência dessa
convergência e de possíveis pontos críticos, de modo a fornecer elementos para
a formulação de propostas de atividades intervencionistas.
1.3 - VERGNAUD: A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
A idéia da construção do conceito como um processo dinâmico no
desenvolvimento das estruturas cognitivas do indivíduo, que se completa ao longo
do tempo, proposta por Vygotsky, ganha novos elementos com as idéias de
Vergnaud, que se constituirão no referencial teórico mais significativo da presente
pesquisa.
Embora Vergnaud não despreze as considerações de Vygotsky de que os
conceitos são construídos a partir das situações a que o sujeito se submete
dentro ou fora da escola, e de que esses conceitos evoluam e se sofistiquem ao
longo do tempo, sua teoria procura focar a construção do conceito no próprio
conteúdo do conhecimento a ser construído pelo indivíduo (Franchi 1999),
identificando: 1) o sentido que tem esse conhecimento para o sujeito; 2) que
24
conhecimentos anteriores são mobilizados pelo sujeito para construí-lo; e 3) de
que recursos dispõe esse sujeito para representá-lo.
Vergnaud parte da idéia de que o conhecimento está organizado em
grandes agrupamentos informais de problemas, situações, conceitos, relações,
estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros e
provavelmente entrelaçados no processo de aquisição (Vergnaud 1982), a que
ele denomina campos conceituais e entende a construção do conhecimento como
um processo progressivo, contínuo e demorado de domínio desses campos.
Apesar de existir uma interdependência entre os campos conceituais,
sendo muitas vezes necessário lançar mão de um deles para a compreensão de
um outro, Vergnaud considera importante distingui-los, sempre que eles puderem
ser consistentemente descritos, constituindo-se em unidades de estudo. Eles
permitem dar sentido aos problemas de aquisição e às observações feitas em
relação à conceitualização. (Moreira 2004)
Dois campos conceituais destacam-se nos estudos de Vergnaud: o das
estruturas aditivas, que é o conjunto de situações cujo domínio requer uma
adição, uma subtração ou o conjunto de tais operações, e o das estruturas
multiplicativas, em que está focada a presente pesquisa, que se compõe das
situações cujo domínio requer multiplicações, divisões ou combinações dessas
operações. Os conceitos de número racional, razão, fração, função linear, espaço
vetorial, dentre outros, encontram-se no campo conceitual das estruturas
multiplicativas.
Os campos conceituais são, portanto, grandes conjuntos de “insumos” que
propiciam a construção do conceito, e essa construção, na perspectiva de
Vergnaud, se constitui no núcleo do processo de desenvolvimento cognitivo.
25
Vergnaud entende um conceito como sendo uma terna de conjuntos,
freqüentemente representada por
C=(S, I, R)
em que
• S é o conjunto de situações que dão sentido ao conceito;
• I é o conjunto de invariantes que o sujeito pode mobilizar para analisar e
dominar as situações do primeiro conjunto;
• R é o conjunto dos recursos de que o sujeito dispõe para representar os
invariantes e, conseqüentemente, as situações e os procedimentos para
lidar com elas, seja na forma de linguagem, de gráficos, etc (1997, p.6;
1988, p.1; 1993 p.8)
Em termos psicológicos, Vergnaud considera S a realidade, a que
denomina referente, e o par (I, R) a representação, que pode ser considerada
como dois aspectos do pensamento interagindo: o significado (I), que
corresponde à representação do conceito interna ao sujeito e o significante (R),
que representa o conceito de forma mediada pela linguagem.
As considerações acima apontam para dois aspectos importantes a serem
observados quando se considera o estudo do desenvolvimento de um conceito à
luz da Teoria dos Campos Conceituais: 1) o de que os três elementos que
constituem o conceito não podem ser considerados separadamente, sendo,
portanto, sempre interdependentes entre si; e 2) o de que as situações são a
principal porta de entrada para um campo conceitual, pois é através delas que o
conceito adquire sentido para o sujeito.
26
A interdependência entre os elementos da terna que constitui o conceito foi
representada esquematicamente por Santos (2005) pela figura a seguir, que toma
componentes do conceito de fração para exemplificar a interação entre situação,
invariantes operatórios e representações:
Cada um desses elementos será objeto de uma discussão mais
aprofundada nos parágrafos seguintes.
• Equivalência
• Ordenação
• Objetos,propriedades erelações
• a/b, com a,b
naturais e b≠≠≠≠0
• Pictórica
• Porcentagem
• Decimal
I (INVARIANTES)(invariantes do conceito)
R (SIGNIFICANTE)(representações simbólicas)
S (REFERENTE)
Problemas envolvendo o conceitode fração na linguagem escrita ouoral contemplando os significados:• Número• Parte-todo• Medida• Operador Multiplicativo• Quociente
27
O termo situação tem, para Vergnaud, o sentido de tarefa a ser executada
pelo aluno, diferentemente do sentido que Brousseau (1998) atribui à expressão
situação didática.
O conceito de situação não tem aqui o sentido de uma situação didática, mas o de
tarefa. A idéia é que toda situação complexa pode ser analisada como uma
combinação de tarefas, cuja natureza e dificuldades específicas devem ser bem
conhecidas. A dificuldade de uma tarefa não é nem a soma nem o produto da
dificuldade das diferentes subtarefas. É claro, contudo, que o fracasso em uma
subtarefa provoca o fracasso global. (Vergnaud 1993 p.9)
Vergnaud não descarta a importância da forma dos enunciados e do
número de elementos em jogo dentro de uma situação, mas entende essa
importância como secundária e ressalta que a teoria dos campos conceituais
privilegia os modelos que atribuem papel essencial aos conceitos matemáticos
em si mesmos. (1993 p.9)
Essas idéias tiveram um papel fundamental na forma como este
instrumento de pesquisa foi elaborado. Aos sujeitos sempre foram apresentadas
situações contextuais, procurando dar sentido à idéia de fração, que deve ser
mobilizada a partir desses contextos apresentados.
A situação, entretanto, apesar de permitir que um conceito adquira sentido,
não pode ser confundida com o próprio sentido do conceito. O sentido, para
Vergnaud, “é uma relação do sujeito com as situações e os significantes” (1993
p.18). O sentido está nos esquemas evocados pelo sujeito individual por uma
situação ou mesmo por um significante.
Vergnaud denomina os esquemas de “organização invariante do
pensamento para uma determinada classe de situações” (Moreira 2004 p.12) e
28
eles constituem o grande legado das idéias de Piaget à Teoria dos Campos
Conceituais.
A título de exemplificação, consideremos uma situação envolvendo o
conceito de fração, com a seguinte proposta: um menino reparte um chocolate em
5 partes iguais, toma duas para si, dá três para seu irmão. Represente por frações
esses pedaços de chocolate e indique qual das frações é maior.
Embora existam muitas maneiras de se chegar ao resultado, não deixa de
haver uma organização invariante do pensamento para resolver a questão, que
passa pela repartição do chocolate, valendo-se da idéia de conservação do
tamanho das partes, do agrupamento dessas partes, da escolha do referencial a
ser adotado, da explicitação dessas partes como uma fração e da comparação
das frações, usando como suporte o fato de que a fração maior está associada ao
maior pedaço de chocolate.
Uma análise mais atenta da situação descrita permite observar que o
esquema recorre: a significantes (palavras, números e esquemas gráficos
eventualmente utilizados pelo sujeito), a construções conceituais, (como o próprio
conceito de fração), à idéia de conservação de áreas, (caso se utilize do suporte
gráfico), à relação de ordem entre os números naturais. Esses conceitos e
conhecimentos são geralmente implícitos e, muitas vezes, não podem ser
explicitados pelo sujeito, principalmente nas fases iniciais da escolaridade, porém
eles orientam o desenvolvimento da ação do sujeito, e por isso são chamados de
conhecimentos-em-ação.
Para Vergnaud, esses conhecimentos implícitos do sujeito são essenciais
na construção do significado e, muitas vezes, se mantêm implícitos durante todo o
processo de construção do conceito, ou seja, o indivíduo lança mão deles na
29
construção dos esquemas durante o processo de conceitualização, mas em geral
não é capaz de explicitá-los. Quando explicitados, esses conhecimentos
constituem o saber científico, mas Vergnaud(1990a) insiste que “os
conhecimentos explícitos são apenas a parte visível de um Iceberg, que não seria
nada sem a parte invisível , constituída pelos conhecimentos-em-ação”.
A Teoria dos Campos Conceituais distingue duas grandes categorias de
conhecimentos-em-ação: os conceitos em ação e os teoremas em ação. Os
primeiros são os objetos, os predicados ou as categorias de pensamento tidas
como pertinentes pelo sujeito na construção dos esquemas que conduzem ao
conceito, enquanto os segundos são as proposições tidas como verdadeiras
sobre o real que o sujeito utiliza. Vergnaud denomina, de maneira mais genérica,
os teoremas e os conceitos em ação de invariantes operatórios e atribui a eles o
papel de serem os responsáveis pela construção do significado do conceito, que é
o núcleo do processo de conceitualização.
A idéia presente nesta pesquisa, de compreender as concepções de
número racional através de situações-problema e da análise dos procedimentos
executados pelo sujeito para resolvê-los, está também firmemente apoiada na
crítica feita por Vergnaud à postura da escola, que tem considerado as
concepções prévias dos alunos como errôneas ou ingênuas, em relação às
concepções científicas. Para o autor, conceber dessa maneira o conhecimento
prévio do aluno, pressupõe esse aluno como incompleto, imperfeito ou deficiente
em relação ao adulto especialista. Essa postura não considera o aprendiz como
um sistema dinâmico, com mecanismos regulatórios capazes de assegurar seu
processo cognitivo. (Vergnaud 1990 b)
30
As representações, entendidas como o significante do conceito,
correspondem, na teoria dos campos conceituais, ao conjunto de representações
lingüísticas, gráficas ou gestuais, que podem ser usadas para representar os
invariantes, as situações e os procedimentos (1997 p. 6). Embora Vergnaud
atribua grande importância às representações simbólicas na construção do
conceito, sobretudo na explicitação dos conhecimentos em ação, que
transformam o conhecimento implícito no saber científico, ele reconhece que um
objeto em geral não pode ser representado mentalmente através de símbolos.
Mesmo sendo grande a importância dos símbolos no pensamento, o
conhecimento não é, em essência, simbólico. O reconhecimento de invariantes
operatórios, bem como a construção de objetos e predicados de nível mais alto
são aspectos mais essenciais do conhecimento. (Vergnaud 1998 p.177 )
O diagnóstico sobre as concepções de número racional que se pretende
fazer nesta pesquisa partiu dos pressupostos da teoria dos campos conceituais
para avaliar concepções de número racional em sujeitos de escolaridade
relativamente elevada, entendendo que o domínio de todos os aspectos desse
conceito corresponde a uma escalada progressiva em direção à construção do
conhecimento. Nessa escalada se buscou, por meio de situações, permitir que o
sujeito percebesse um “sentido” no conceito, mobilizasse seus conhecimentos
implícitos para a construção de novos esquemas e expressasse a resposta
utilizando-se de recursos simbólicos. Os procedimentos puramente algorítmicos
não foram objeto da pesquisa, e apenas em uma situação foi solicitada a
formalização do problema, com objetivo de avaliar a diferença entre a quantidade
de elementos capazes de resolver o problema por meio de seu repertório de
invariantes operatórios e os capazes de explicitá-lo na forma de saber científico.
31
CAPÍTULO II
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
As considerações aqui apresentadas pretendem trazer idéias de autores
que elaboraram pesquisas específicas sobre os números racionais no âmbito do
campo de estudos da Educação Matemática. Destacam-se entre estes autores,
Kieren (1981, 1988 e 1993), que foi o primeiro a propor que os números racionais
devem ser estudados segundo subconstrutos; Nunes(1997 e 2003), que
apresenta uma classificação dos significados do número racional, adotada como
referência nesta pesquisa; Behr et al (1983), que apresentam considerações
sobre a importância do estudo dos números racionais; Mack (1990, 1993 e 1995),
que procura estabelecer relações entre o conhecimento intuitivo do aluno e a
construção formal do conhecimento e Escolano e Gairín (2005), que apresentam
modelos de introdução do conceito de número racional a partir do significado
�medida�.
Também foram destacados trabalhos de Silva (1997), Bezerra (2001) e
Santos (2005) por se reportarem universos próximos aos do interesse desta
pesquisa e enfocarem aspectos que poderão se constituir em subsídios para a
busca de respostas à questão de pesquisa.
32
2.1 - KIEREN: OS SUBCONSTRUTOS DO NÚMERO RACIONAL
Thomas Kieren foi um dos primeiros pesquisadores a chamar a atenção da
comunidade científica para a complexidade do conceito de fração e propôs, em
artigo de 1976, que a compreensão desse conceito deve levar em conta sete
interpretações que mantêm relações entre si e que devem ser consideradas
segundo as estruturas matemáticas, as estruturas cognitivas e as estruturas
instrucionais envolvidas (Martinez, 1992).
As interpretações propostas por Kieren são assim enumeradas:
• frações que podem ser somadas, subtraídas, comparadas, etc;
• frações decimais, como uma extensão do sistema decimal de numeração;
• classes de equivalência de frações;
• números da forma p/q com p e q inteiros e q≠0, isto é, razões de inteiros;
• operadores multiplicativos;
• elementos de um conjunto quociente infinito
• medidas ou pontos na reta numérica.
Em artigos posteriores, Kieren (1981, 1988 e 1993) mudou a classificação
apresentada originalmente e substituiu o termo interpretações do número racional
pelo termo subconstrutos. Kieren tomou como base o trabalho do filósofo Henry
Margenau, que denomina construtos teóricos a objetos mentais que podem ser
construídos a partir de idéias mais simples que se complementam. (Kieren, 1988
p.162)
33
Margenau entende o processo de construção do conceito como o
estabelecimento de relações entre as percepções e compreensões de um objeto
mental (os construtos), que tem como implicações o surgimento de atos físicos ou
mentais envolvidos nessa gênese. (Kieren, 1993, p.57).
A proposta de Kieren, de substituir o termo interpretações por subconstrutos,
é comentada por Martinez (1992). Segundo esse autor (p. 36), Kieren entendeu a
noção de número racional como um construto teórico, que pode se constituir a
partir de noções mais simples, chamadas subconstrutos. Essa postura diante do
problema permite isolar com mais facilidade as noções essenciais para a
construção do conceito. Nas interpretações, conforme Kieren havia proposto
anteriormente, essas noções essenciais estavam muito interligadas e não podiam
ser isoladas e identificadas com facilidade.
Assim, para Kieren o conceito de número racional pode ser construído a
partir da consideração dos quatro seguintes subconstrutos (Kieren, 1988 p.166):
• quocientes;
• operadores;
• medidas;
• razões.
O autor não considera o subconstruto parte-todo como outros
pesquisadores, entendendo que as idéias que o constituem já estão presentes
nos subconstrutos quociente, operador e medida (Kieren, 1993, p.57).
Esse enfoque surgiu aparentemente da necessidade de isolar as noções
que são mecanismos para a construção do conceito, como as de partição e
equivalência, daquelas que são específicas do construto. Martinez (1992) ainda
argumenta que não seria possível fazer essa separação a partir das
34
interpretações, como proposto anteriormente, pois naquele caso essas idéias
aparecem muito inter-relacionadas.
A mudança proposta por Kieren também sugere um desvio de foco do
pesquisador, pois as interpretações, como apresentadas no primeiro artigo,
pareciam privilegiar as estruturas matemáticas envolvidas no conceito, enquanto
a idéia de subconstrutos parece atribuir mais ênfase às estruturas cognitivas.
Aprofundando suas considerações sobre a construção do conceito de
número racional, Kieren propõe um modelo teórico para essa construção que
procura apresentar as possíveis interconexões entre as idéias que formam o
conceito, partindo das situações presentes no conhecimento intuitivo do sujeito
até o estágio da formalização. O modelo é apresentado sob a forma de um mapa
em que se identificam quatro níveis pelos quais deve passar a construção do
conceito de numero racional (Kieren, 1993 p. 64-65):
• o nível dos conhecimentos intuitivos
• os subconstrutos,
• um terceiro nível, obtido a partir dos subconstrutos em direção a um
pensamento multiplicativo mais formal
• o conhecimento estruturado nos números racionais dentro de um conjunto
quociente.
Na busca de explicações para essa evolução do processo de construção
do conceito, Kieren (1993) considera que a partição e a obtenção da fração com
numerador unitário da forma b1 tem, para a criança, o mesmo papel de um
axioma na construção do número racional como elemento de um conjunto
quociente. Denominando essa operação de thinking tool, o autor volta a enfatizar
35
a idéia de que o número racional deve ser visto primeiro como um conhecimento
humano e só posteriormente como uma construção lógica formal.
Outro aspecto interessante do número racional é o fato de ele ter, ao
mesmo tempo, um caráter de quociente e um caráter de razão. Quando visto
como quociente ele responde à questão �quanto?� e quando visto como razão ele
estabelece uma propriedade relacional entre a parte e o todo. Essa
complementaridade fica bem expressa nas respostas de crianças de 7 a 9 anos à
situação abaixo, em que lhes foi solicitado repartir as pizzas já divididas ao meio
entre as pessoas dos grupos A e B:
Fonte: Kieren, 1993 p.54
Em resposta à pergunta �quem ganhará mais pizza, as pessoas do grupo
A ou do grupo B?�, numa pesquisa, com crianças entre 7 e 9 anos, predominaram
respostas do tipo B receberá meia pizza por pessoa, e A receberá meia pizza por
pessoa, e mais um pedaço, entendendo que a metade que sobra deva ser
dividida em 7 partes e repartida entre os membros do grupo. Esse tipo de
resposta denota uma complementaridade entre as idéias de quociente (dividir o
pedaço que sobrou em 7 partes) e razão (estabelecer a propriedade relacional
entre o número de pizzas e o número de pessoas) que são mobilizadas pela
criança para resolver o problema.
36
Outro fator que demonstra que os números racionais não podem ser
considerados como uma simples extensão dos números inteiros é o fato de que
nos racionais a adição e a multiplicação são operações independentes. Enquanto
nos inteiros a multiplicação conduz sempre a um número maior, nos racionais, a
multiplicação conduz ironicamente a uma sucessão de divisões, por exemplo:
multiplicar 21 por
31 significa dividir o
21 em 3 partes e essa operação não pode
ser reduzida a uma adição, como se fazia com os números inteiros.
Kieren também aponta o duplo papel desempenhado pelo número 1 no
campo racional como uma consideração importante a ser levada em conta na
compreensão da construção desse conceito, pois o número 1 serve tanto de
unidade divisível que forma a base de comparação quanto a base conceitual para
a formação dos inversos multiplicativos, além, é claro, de ser o elemento neutro
da multiplicação. As crianças precisam passar a ver o número 1 segundo essa
visão mais complexa. O autor ilustra esse fato com a descrição de um
experimento de Mack (1990) que será objeto de estudo mais detalhado na seção
2.4 deste trabalho. Este aspecto levantado por Kieren será objeto de especial
atenção nesta pesquisa e deverá fornecer subsídios importantes para a análise a
que este trabalho se propõe.
Uma conseqüência imediata da aplicação das idéias de Kieren é a de que
os currículos montados segundo essa orientação propiciariam uma melhor
interligação dos vários campos da Matemática. Se considerados apenas como
uma extensão dos números inteiros, ou um simples algoritmo numa relação parte-
todo estática, os números racionais permaneceriam apenas no domínio
matemático dos números. Se considerados, porém, segundo a visão dos
subconstrutos, os números racionais se tornam uma janela significativa para que
37
a criança tenha contato com outros domínios da matemática desde as séries
iniciais.
São exemplos disso o fato de que partições sucessivas podem conduzir
crianças muito jovens à idéia de grandezas infinitesimais, como no relato de um
estudante de 11 anos que respondeu que sua fração favorita era 21 , pois �me
fascina a possibilidade de dividir em dois e obter pedaços tão pequenos quanto
eu queira, indefinidamente�. O subconstruto medida oferece também uma ligação
importante entre a geometria, o espaço e o estudo dos números racionais.
(Kieren 1988 p.59)
O subconstruto operador proporciona uma aproximação dos números
racionais com a álgebra e com a noção de função composta, em termos não
formais. O subconstruto razão aponta na direção dos importantes conceitos de
proporção e de probabilidade.
Com relação às possibilidades de atividades significativas para as
crianças, Kieren descreve um trabalho de Streefland(1984) em que uma classe de
equivalência de frações foi construída de maneira significativa. A proposta era
imaginar que 12 crianças sentaram-se à mesa e pediram 8 pizzas que seriam
divididas igualmente. Em seguida imaginar que as crianças poderiam se dividir
em duas ou três mesas mantendo a equivalência na divisão. Depois de muito
trabalho as crianças desenvolveram sua própria notação para resolver esse
problema, através de um diagrama em forma de árvore. Uma nova questão de
como dividir 36 pizzas para 24 crianças foi resolvida facilmente pela árvore abaixo
sem que a distinção entre fração própria ou imprópria fosse significativa,
superando a dificuldade apontada anteriormente.
38
Fonte: Kieren, 1993 p.54
Kieren verificou também, por experiências, que essa consideração dos
números racionais é significativa ao notar que os sujeitos mobilizam diferentes
significados do número racional para resolver diferentes problemas: em um
problema de concentração de leite com chocolate, os estudantes mobilizam
predominantemente a idéia de razão, enquanto que num problema de repartição
de uma pizza, a idéia predominante é a de quociente.
A partir dessas idéias, o autor afirma que o estudo dos números racionais
por intermédio dos subconstrutos fornece suporte para uma análise semântica,
psicológica e pedagógica do ensino do número racional, bem como um suporte
empírico para seu estudo. Sugere também que a idéia intuitiva de partição tem
um papel importante na construção do conhecimento do número racional por
parte do sujeito e propõe, como ponto de partida para uma posterior construção
formal, a abordagem dos números racionais como um conhecimento humano, a
partir de suas bases intuitivas e de seus significados.
39
2.2 – NUNES E BRYANT: UMA CLASSIFICAÇÃO BASEADA EM VERGNAUD
Assim como Kieren, Nunes e Bryant(1997) também diferenciam dois
aspectos no ensino dos números racionais. Para os autores, há claramente uma
lacuna entre a compreensão das crianças em tarefas experimentais sobre divisão
e números racionais e entre as tarefas resolvidas no contexto de avaliações
educacionais.
Nunes e Bryant (ibid) afirmam que, com as frações, as aparências podem
enganar e alguns alunos podem passar pela escola sem dominar diversos
aspectos cruciais do conceito de fração, mesmo usando termos fracionais certos,
falando coerentemente sobre frações e resolvendo alguns problemas. Segundo
os autores,
... quando as crianças resolvem tarefas experimentais sobre divisão e
números racionais, elas se engajam em raciocinar sobre as situações.
Em contraste, quando elas resolvem tarefas matemáticas em avaliações
educacionais, elas vêem a situação como um momento no qual elas
precisam pensar em que operações fazer com os números, como usar o
que lhes foi ensinado na escola; concentrando-se nas manipulações de
símbolos, os alunos poderiam desempenhar em um nível mais baixo do
que teriam desempenhado se tivessem se preocupado mais com a
situação-problema. Portanto, é possível que os mesmos alunos que se
engajam em tarefas de raciocínio semelhantes às descritas
anteriormente, nos quais eles podem focalizar bem a situação-problema,
desempenhem bastante diferentemente de quando eles estão
resolvendo problemas em avaliações educacionais escritas: seu
desempenho mostra uma lacuna entre o que eles entendem e o que eles
podem fazer com símbolos depois destes terem sido aprendidos de uma
forma particular. (Nunes e Bryant, 1997, p.212)
40
Os tópicos selecionados para compor a presente pesquisa levaram em
conta essas considerações e procuraram se afastar, dentro do possível, das
situações típicas de sala de aula concentrando-se em problemas que levem o
aluno a racionar sobre situações e resolvê-las quase sempre sem a necessidade
de recorrer aos algoritmos. O trabalho tenta diagnosticar até que ponto esses
aspectos da compreensão do conceito de fração perduram no processo de
escolarização.
As propostas de Nunes e Bryant apóiam-se em várias pesquisas, das
quais serão destacadas, neste trabalho, as de Campos e Cols (1995) e
Mack(1993), sendo esta última objeto de tópico à parte.
Campos e Cols., em trabalho citado por Nunes e Bryant(1997),
demonstraram que a impressão de crianças raciocinando sobre frações poderia
ser falsa, sobretudo quando são submetidas a um método de ensino que se limita
e estimular os alunos a resolver os problemas utilizando-se de procedimentos de
dupla contagem, sem entender o significado deste novo tipo de número.
Para demonstrar sua hipótese, Campos e Cols. (1995) apresentaram os
desenhos indicados abaixo a crianças de idade aproximada de 12 anos ou mais
que haviam aprendido o procedimento de dupla contagem e pediram-lhes para
nomear as frações apresentadas em cada uma das figuras:
Item tipo 1Item tipo 2
Item tipo 3
41
Este trabalho tem particular interesse nas questões do terceiro tipo, em
que o procedimento de dupla contagem simples não é suficiente, uma vez que o
todo não estava dividido explicitamente em partes iguais e o número de partes
tinha que ser descoberto pelos alunos através de uma análise das relações parte-
todo, que, no caso, implica a capacidade de perceber a conservação da área
como invariante para o estabelecimento da relação parte-todo. Na pesquisa de
Campos e Cols, foi muito significativa a queda na quantidade de acertos no item
tipo 3 em relação aos itens tipo 1 e 2.
Pretende-se, nesta pesquisa, explorar tópicos com variações do item do tipo
3, em termos de quantidades discretas ou contínuas, ou questões envolvendo
ícones ou apenas texto, tentando diagnosticar até que ponto essas observações
da pesquisadora ainda são significativas em alunos de estágios mais avançados
de escolaridade.
A hipótese de dissociação entre o desempenho dos alunos em situações
contextuais e o desempenho frente às situações de avaliação escolar foi bastante
explorada por Mack (1993), também citada por Nunes e Bryant e discutida com
mais profundidade na seção 2.4.
A análise dos resultados da pesquisa de Mack reforça as afirmações de
Nunes e Bryant e aponta para a idéia de que, embora os problemas da vida
cotidiana não pareçam causar dificuldades, muitos dos problemas apresentados
simbolicamente não são resolvidos pelos estudantes, que apresentam algoritmos
falhos e comparações inadequadas.
A verificação da persistência dessas dissociações em sujeitos de maior
escolaridade foi um dos temas de grande interesse para este trabalho, que
42
contém em seu instrumento de pesquisa algumas situações semelhantes à
proposta por Mack.
A idéia das conexões entre situações contextuais e situações simbólicas,
investigada por Mack(1995), está intimamente ligada ao conceito de invariante, de
Vergnaud. A proposta de Nunes é partir da concepção mais simples de fração e
enriquecer essa definição perguntando qual é o invariante central desse conceito,
quais as situações em que ele é usado e quais os diferentes tipos de
representação.
Duas questões são significativas no caso do conceito de número racional:
�como as crianças vêm a entender essas classes de equivalência � 1/3, 2/6,
3/9..... � e como essas classes podem ser ordenadas � 1/3 >1/4 >1/5....�
Com base nas idéias de Vergnaud, Nunes e Bryant (2003) propõem uma
classificação de situações em que as frações são usadas, entendendo que propor
essa classificação é o mesmo que propor uma teoria sobre quais são os efeitos
do raciocínio das crianças sobre frações. Os parágrafos a seguir pretendem
apresentar essa classificação, reiterando que, nesta pesquisa, merecerão
destaque os significados parte-todo e quociente.
A Fração como uma relação parte-todo – A idéia presente nesse significado
é a da partição de um todo em n partes iguais, em que cada parte pode ser
representada como n1 . Assim, assumiremos como o significado parte-todo, um
dado todo dividido em partes iguais em situações estáticas, nas quais a
utilização de um procedimento de dupla contagem é suficiente para se chegar
a uma representação correta. Por exemplo, se um todo foi dividido em cinco
partes e duas foram pintadas, os alunos podem aprender a representação
como uma dupla contagem: acima do traço escreve-se o número de partes
43
pintadas, abaixo do traço escreve-se o número total de partes. Exemplo: uma
barra de chocolate foi dividida em quatro partes iguais. João comeu três
dessas partes. Que fração representa o que João comeu?
A fração como quociente, indicando uma divisão e seu resultado – Este
significado está presente em situações em que está envolvida a idéia de
divisão � por exemplo, uma pizza a ser repartida igualmente entre 5 crianças.
Nas situações de quocientes temos duas variáveis (por exemplo, número de
pizzas e número de crianças), sendo que uma corresponde ao numerador e a
outra ao denominador � no caso,1/5. A fração, nesse caso, corresponde à
divisão (1 dividido por 5) e também ao resultado da divisão (cada criança
recebe1/5). Exemplo: Três chocolates devem ser divididos para 4 crianças.
Que fração de chocolate cada criança irá receber?
A fração como uma medida – Algumas medidas envolvem fração por se
referirem a quantidades intensivas, nas quais a quantidade é medida pela
relação entre duas variáveis. Por exemplo, a probabilidade de um evento é
medida pelo quociente número de casos favoráveis dividido pelo número de
casos possíveis. Portanto, a probabilidade de um evento varia de 0 a 1, e a
maioria dos valores com os quais trabalhamos são fracionários. Exemplo:
Fizemos uma rifa na escola. Foram impressos 150 bilhetes. Minha avó
comprou 20 bilhetes. Qual a sua chance de ganhar o prêmio?
A fração como número – Frações, como os inteiros, são números que não
precisam necessariamente referir-se a quantidades específicas. Existem duas
formas de representação fracionária: ordinária e decimal. Um exemplo de
exercício usado no ensino de Matemática em que a fração é trabalhada sem
44
um referente específico é apresentado como a seguir: represente o número
21 na forma decimal.
A fração como um operador multiplicativo – Como o número inteiro, as
frações podem ser vistas como o valor escalar aplicado a uma quantidade. No
caso do inteiro, por exemplo, podemos dizer 2 balas; no caso da fração,
poderíamos dizer 3/4 de um conjunto de balas. A idéia implícita nesses
exemplos é que o número é um multiplicador da quantidade indicada.
Exemplo: Dei 3/4 das balas de um pacote de 40 balas para meus irmãos.
Quantas balas dei a eles?
2.3 – BEHR: CONSIDERAÇÕES SOBRE O CONCEITO DE NÚMERO
RACIONAL
Dentre os inúmeros autores que se dedicaram ao estudo dos números
racionais nas décadas de 1980 e 1990, merecem destaque Merlyn Behr e cols
(1983), cujo trabalho abrange tanto considerações gerais sobre a importância do
estudo dos números racionais quanto considerações específicas sobre o ensino
desses números.
Os autores reconhecem que os números racionais se constituem numa das
mais importantes idéias matemáticas desenvolvidas no contexto escolar e que,
por ocorrerem em grande parte no período da transição do pensamento concreto
para o pensamento operacional formal, constituem-se também em um contexto
ideal para se pesquisar os processos de aquisição do conceito matemático.
45
Entendem que a importância de se estudar o número racional no Ensino
Fundamental deve ser justificada segundo uma perspectiva prática, uma
perspectiva matemática e uma perspectiva psicológica.
Do ponto de vista prático, o estudo do conceito de número racional
aperfeiçoa a habilidade de dividir, o que permite entender e manipular melhor os
problemas do mundo real. Na perspectiva psicológica, os números racionais
proporcionam um rico campo, dentro do qual as crianças podem desenvolver e
expandir suas estruturas mentais para um desenvolvimento intelectual contínuo.
Do ponto de vista matemático, a compreensão do número racional fornece a base
sobre a qual serão construídas, mais tarde, as operações algébricas elementares.
Martinez (1992) reforça as idéias de Behr e cols. ao argumentar que reduzir
o estudo das frações aos números decimais, como uma extensão natural do
sistema decimal de numeração, provocaria uma perda de experiências pré-
algébricas importantes na formação matemática dos alunos (p. 34)
Os autores criticam a ênfase curricular nos procedimentos e algoritmos e
argumentam que, mesmo com essa ênfase, o resultados dos alunos em testes de
desempenho não costumam ser satisfatórios. Entendem que a provável causa
dessas dificuldades seja a priorização, no ensino, dos procedimentos em
detrimento de um cuidadoso desenvolvimento dos aspectos ligados à
compreensão do conceito.
Ao procederem a uma análise matemática e curricular dos conceitos de
número racional, retomam idéias de diversos autores e, a exemplo de Kieren,
identificam diferentes maneiras de interpretar o número racional, que também
denominam subconstrutos: um decimal, uma razão, um quociente indicado, um
operador, uma comparação da parte com o todo e uma medida de quantidades
46
contínuas ou discretas. Enfatizam, do mesmo modo que Kieren (1988), que a
compreensão completa do número racional requer não somente um entendimento
de cada um desses subconstrutos, mas também como eles se inter-relacionam.
Em suas considerações sobre os subconstrutos parte-todo e medida,
afirmam que as regiões geométricas, as séries de objetos e a reta numérica são
os modelos mais comumente usados para representar a fração no ambiente
escolar. Reportam-se a Piaget ao afirmar que os processos mentais usados pelas
crianças para trabalharem com quantidades contínuas é diferente daqueles
trabalhados com grandezas discretas e apontam as dificuldades apresentadas em
relação à unidade, citando que, em experiências com a reta numérica, os alunos
têm dificuldade em identificar a unidade.
2.4 - NANCY MACK: O CONHECIMENTO INTUITIVO3
O trabalho de Nancy Mack deverá fornecer importantes subsídios para a
presente pesquisa, na medida em que a autora se preocupa em analisar a
influência do conhecimento intuitivo dos alunos na construção significativa dos
procedimentos formais referentes às frações (Mack, 1990), bem como a tendência
dos alunos em fazer generalizações sobre as frações baseadas nas estruturas
simbólicas disponíveis para números inteiros e, reciprocamente, fazer
generalizações sobre números inteiros com base nas estruturas simbólicas das
frações, (Mack, 1995).
Os dois trabalhos referem-se a atividades intervencionistas aplicadas a
pequenos grupos de alunos, em atividades individualizadas, com minuciosa
3 Tradução do pesquisador para �Informal Knowledge”.
47
descrição das respostas e procedimentos apresentados pelos sujeitos. Embora
apresentem grandes diferenças do ponto de vista metodológico em relação à
presente pesquisa, têm em comum a busca da representação simbólica da fração
a partir de situações contextuais que mobilizam, de início, conhecimentos
intuitivos. Algumas das questões tratadas pela pesquisadora são reproduzidas no
presente instrumento de pesquisa, e as observações do desempenho entre
crianças de quinta e sexta séries4 deverão ser úteis na análise de possíveis
respostas às mesmas questões por estudantes de nível de escolaridade mais
elevado, objeto da presente pesquisa.
Mack (1990) aponta dois pontos importantes a serem levados em conta na
construção do conhecimento matemático dos estudantes: a obtenção de
situações que promovam a efetiva participação dos alunos e o relacionamento
entre o seu conhecimento intuitivo e os procedimentos simbólicos.
A autora define �conhecimento intuitivo� como as respostas dadas pelo
estudante a situações extraídas da vida real. Argumenta que esse conhecimento
costuma ser pouco relacionado ao conhecimento dos símbolos matemáticos e cita
Hiebert, que propõe que esses conhecimentos devam servir de base para a
construção do conhecimento formal (Mack 1990 p. 16). Argumenta também que
os estudos recentes sobre frações estão mais focados nas falsas concepções dos
alunos sobre esse objeto matemático e partem do princípio de que os alunos não
têm nenhum conhecimento anterior ao iniciar seu estudo e não costumam
considerar esses conhecimentos intuitivos. Têm surgido evidências, porém, de
que os alunos trazem para a escola um rico histórico de conhecimentos intuitivos
e que, embora haja estudos que demonstrem a existência desses conhecimentos,
4 Fifth e sixth grades do currículo dos Estados Unidos.
48
não existem estudos sobre os caminhos que os estudantes podem tomar para, a
partir deles, dar significado aos símbolos e procedimentos formais referentes às
frações.
A autora observa inicialmente que, nos problemas envolvendo partições, os
alunos apresentam uma tendência a separar um todo em partes e a representar
cada uma das partes como um número inteiro, e não como uma fração do todo.
(Mack, 1990 p. 21)
Alguns resultados apresentados mostram que, em geral, os alunos são
capazes de resolver um grande número de problemas apresentados sob a forma
de situações do dia-a-dia e explicitar corretamente suas soluções, porém não
conseguem resolver os mesmos problemas quando apresentados de maneira
simbólica. Essa questão é ilustrada pelas respostas dos alunos à seguinte
proposta de atividade: �se tivermos duas pizzas de mesmo tamanho e dividirmos
a primeira em 6 partes iguais e a segunda em 8 partes iguais, qual pedaço será
maior?�. Os alunos não tiveram dificuldade em responder que o pedaço da
primeira pizza será maior, porém, quando, num outro momento, foi-lhes
perguntado �qual fração é maior, 61 ou
81 �, mais da metade dos alunos respondeu
81 , porque 8 é maior que 6.
Segundo a autora, o fato de que a maioria dos alunos não foi capaz de
responder simbolicamente a uma questão que haviam acabado de responder
quando proposta dentro do contexto de uma ação cotidiana, sugere que a
capacidade de comparar é inicialmente desconectada do significado que os
alunos dão para os símbolos fracionais (Mack, 1990 p. 21).
49
A questão da identificação da unidade, muito relevante para a presente
pesquisa, também foi tratada por Mack (ibid p.22), que mostrou que os alunos são
capazes de identificar corretamente a unidade a que se refere uma fração quando
trabalhando com situações contextuais, porém têm dificuldades em identificar a
unidade quando trabalham com situações simbólicas. Concluiu que os alunos
tendem, numa situação simbólica ou concreta, a tratar uma coleção de unidades
como se essa coleção fosse sempre a nova unidade. A autora ilustra esse fato
comentando os resultados obtidos da seguinte questão proposta a seus sujeitos
numa situação em que, mostrando a figura abaixo aos alunos pergunta: �quanto
está sombreado?�
A resposta mais comum é 5/8. Diante da afirmação �suponha que estejamos
falando de pizzas�, os alunos tendem a mudar sua resposta para 1 ¼. A autora
transcreve de um de seus protocolos a seguinte afirmação de um sujeito:
�Frações são partes de um todo.......... Elas são sempre menores que um todo.�
(Mack, 1990 p.22).
Essa questão também é tratada por Escolano e Gairín (2005), que
atribuem a ênfase exagerada no modelo parte-todo no início dos trabalhos
escolares com frações como uma das possíveis causas dessa falsa concepção.
Uma outra questão discutida por Mack (1990) é a influência dos
procedimentos padronizados, muitas vezes incorretos, na tentativa de resolver as
questões simbólicas, que muitas vezes se sobrepõem aos procedimentos
intuitivos e se constituem num fator dificultador da construção do conceito (p.29).
50
Mack sugere que seja pesquisada a viabilidade de se abordar o estudo das
frações inicialmente a partir da noção de partição, estendendo-se essa concepção
para outros significados antes que os alunos possam relacionar os símbolos
matemáticos ao seu conhecimento intuitivo de fração(p.30).
Segundo a autora, quando esse caminho é seguido, surge nos alunos uma
tendência a construírem algoritmos alternativos, porém corretos, para a solução
dos problemas. Esses algoritmos muitas vezes são mais trabalhosos que os
tradicionais, e os alunos tendem a substituí-los por outros mais práticos na
medida em que amadurecem em seu estudo (p. 25).
A pesquisadora também analisa a influência dos procedimentos formais já
disponíveis pelo aluno, relativos ao número inteiro, na construção dos
procedimentos simbólicos envolvendo frações. Respostas do tipo �um pedaço dos
três em que a pizza foi dividida�, em vez de �um terço da pizza�, sugerem que o
aluno está utilizando suas estruturas relativas a números inteiros para resolver
problemas de frações. A autora argumenta que esses conhecimentos anteriores
influenciam fortemente os significados a serem construídos para as
representações simbólicas da fração (p. 431). Respostas do tipo �83 significam
três tortas inteiras repartidas em 8 partes cada uma� e �81 representa uma torta
inteira dividida em 8 partes�, reforçam a afirmação dessa influência.
Uma outra demonstração da predominância da influência das estruturas do
número inteiro na construção das representações simbólicas da fração é
apontada pela autora ao descrever o fato de que, quando os alunos resolvem o
mesmo problema utilizando inicialmente seus conhecimentos intuitivos e depois
as representações simbólicas de que dispõem, a tendência é desprezar a solução
51
intuitiva, geralmente correta, em favor da simbólica, geralmente incorreta (Mack,
1995 p. 432)
A título de exemplo, é descrito um protocolo em que o sujeito responde
corretamente à questão colocada verbalmente de que se uma pizza for dividida
em 8 partes e ele receber uma dessas partes, e uma nova pizza de mesmo
tamanho também for dividida em 8 partes, e ele receber outro pedaço, ele terá
82 de pizza. Diante da questão simbólica
81
81 + , porém, a resposta obtida foi
162 .
Ao pedir ao sujeito que comparasse as duas situações, obteve a seguinte
resposta: �a primeira (contextual) está errada. Deve ser 2 dezesseis-avos, pois
você tem uma pizza inteira em 8 pedaços e depois outra pizza também em 8
pedaços, então são duas pizzas e 16 pedaços ao todo�.
Como conclusões de seu trabalho, Mack propõe que, embora muitos
autores reconheçam que o modelo parte-todo imponha limites à compreensão do
número racional e traga dificuldades futuras ao estudo, suas observações
mostram que é possível utilizar a idéia de partição para resolver muitos problemas
de maneira significativa. Afirma também que suas observações reforçam as
conclusões de Hiebert de que o conhecimento intuitivo pode proporcionar a base
para a construção de conhecimentos matemáticos mais complexos (Mack, 1990
p.29).
Outra conclusão importante de suas pesquisas é que a abordagem do
estudo das frações a partir da noção de partição e do conhecimento intuitivo
permite resolver, mais cedo que na proposta curricular tradicional, problemas
como a subtração com reagrupamentos (como 3 � 1/5) ou a conversão de
números mistos em frações impróprias. (Mack, 1990 p. 30).
52
2.5 – ESCOLANO E GAIRÍN: UMA CRÍTICA AO MODELO PARTE-TODO
No artigo �Modelos de Medida para la Enseñanza Del Número Racional en
Educación Primaria�, Escolano e Gairín (2005) apresentam os resultados de uma
pesquisa realizada com alunos de educação primária na Espanha, entre os anos
de 1999 e 2004, em que analisam alguns dos obstáculos didáticos que, segundo
os autores, são decorrentes do uso do modelo parte-todo na introdução do
conceito de número racional.
Os autores iniciam o texto com algumas considerações sobre
peculiaridades do significado parte-todo e comparam esse significado com os
significados medida, quociente e razão. Afirmam também que as dificuldades que
costumam ser apresentadas pelos alunos em relação ao domínio dos números
racionais podem ser causadas tanto pelo conjunto de procedimentos, relações e
operações próprias dos números racionais quanto pelas decisões tomadas em
relação ao processo educativo desses números. As considerações do artigo
referem-se a essa segunda classe de dificuldades.
O trabalho destaca o fato de que o número racional positivo sintetiza
diversos significados ou interpretações, que participam da construção desse
conceito. Cita autores como Behr et al (1993) que admitem cinco significados para
a fração: parte-todo, quociente, razão, operador e medida. Destaca também que
Kieren (1993) considera o significado parte-todo incluído nos significados
quociente e medida.
Ao descrever o significado parte-todo, os autores consideram que a
apresentação da fração numa situação estática, com uma figura dividida em
partes iguais, com algumas dessas partes pintadas, como tradicionalmente é
53
feito, exigirá do aluno realizar uma transferência entre representações gráficas e
simbólicas e as etapas dessa transferência são a interpretação da figura, a
realização de uma dupla contagem, e a representação do resultado dessas
operações de forma simbólica. Essas tarefas conduzem ao estabelecimento de
uma relação simbólica entre dois números naturais, e só depois, ao longo do
processo educativo, será instituída a definição de número racional.
A construção do conceito de fração, tendo como ponto de partida o modelo
parte-todo aqui descrito, tem como características a constatação de que boa parte
do conhecimento é adquirido de forma visual, e também o fato de que a atividade
não está associada à tarefa de medir grandezas. Segundo os autores, esses fatos
produzem na aprendizagem alguns efeitos indesejados.
Os autores entendem que não considerar um processo de medição,
intrínseco à própria gênese do número racional, faz com que o modelo crie
obstáculos à formação de concepções adequadas, pois
• fica omitida a grandeza utilizada. Embora se esteja trabalhando com
unidades de superfície, não se faz menção a isso, pois a ênfase está na
dupla contagem;
• não se define uma unidade. O todo-unidade não necessita ser apresentado
de forma explícita. Por esse motivo as figuras podem ser apresentadas
superpostas e claramente diferenciadas segundo o atributo da cor, de
modo que o aluno não tem a necessidade de reconhecer a unidade para
resolver a tarefa;
• não se atribui relevância à necessidade de igualdade dos tamanhos das
partes (conservação das áreas), pois o processo está centrado na
cardinalidade do número de partes.
54
Os três aspectos acima descritos merecerão especial atenção neste trabalho.
Eles estão presentes nas questões preparadas e a pesquisa pretende investigar
se seus efeitos permanecem ao longo dos estágios mais avançados da
escolarização. A questão da conservação de áreas, também colocada, foi
estudada profundamente por Campos e Cols (1995), já citadas nesta dissertação.
Aos argumentos já apresentados, os autores somam a idéia de que o modelo
parte-todo, termina por reforçar o sentido de número natural, pois a tarefa se
resolve por dupla contagem e o aluno não sente a necessidade de introduzir
nenhuma estrutura numérica superior à do número natural. Dessa forma, a fração
não adquire o status de número, mas de uma simples relação entre dois números
naturais. Destacam também que a abordagem provoca uma aprendizagem
passiva, uma vez que não há uma situação problemática, e que a tarefa está
preparada para assegurar o êxito agindo de uma única maneira possível.
Ao se reportarem à gênese do número racional, apresentam idéias
semelhantes às propostas por Caraça (1952), embora não citem aquele autor.
Destacam que as atividades humanas que permitiram o surgimento do número
racional encontram-se principalmente nos domínios dos significados quociente,
medida e razão. A partir dessa observação, afirmam que o significado parte-todo
não surge das necessidades humanas, visto que a gênese do número racional se
encontra na medida de grandezas, seja realizada diretamente, seja para
expressar o resultado de uma partição, ou na comparação com grandezas já
medidas, o que dá sentido à noção de razão.
A partir dessas idéias, os autores argumentam que a aparente facilidade do
ponto de vista docente, apresentada pelo modelo parte-todo, termina por
55
introduzir alguns obstáculos didáticos, no sentido atribuído por Brousseau (1993)
ao termo, que são enumerados:
1) Criam-se obstáculos à formação de concepções adequadas, pois,
a) não existem frações impróprias;
b) as frações são números, não medidas. Esse fato foi descrito pela análise
das respostas à questão �encontrar o número de maçãs que havia em uma
cesta, sabendo que depois de retirar metade das maçãs menos 7, restaram
40�, apresentada a um grupo de alunos de um curso de formação de
professores. Segundo os autores é freqüente que se obtenha a resposta de
que o problema é impossível, pois 1/2 �7 é um número negativo;
c) o todo, ou unidade não é um número. No processo não se explicita o
sentido e as funções da unidade, o que provoca a identificação de frações
do tipo a/a com a unidade.
2) Criam-se obstáculos à separação conceitual entre número racional e número
natural, pois
a) a fração é formada por dois números naturais e descreve apenas uma
situação estática em que estão envolvidos dois números naturais, portanto,
nem a fração nem a expressão decimal são entendidos como um ente
numérico diferente dos números naturais;
b) as relações e operações com os números racionais têm os mesmos
significados que com os números naturais. Os alunos tendem a estender
aos números racionais as mesmas técnicas operatórias usadas nos
números naturais, não percebendo as peculiaridades das operações com
racionais, principalmente no que diz respeito à adição e à multiplicação.
56
3) Criam-se obstáculos à formação de idéias abstratas, na medida em que não
provêm situações que facilitem a passagem do mundo dos objetos para o
mundo das idéias, e assim os alunos adquirem crenças do tipo
a) os conceitos são as técnicas a eles associadas;
b) os conteúdos úteis são os procedimentais.
A partir dos pressupostos aqui apresentados, os autores descrevem uma
seqüência de ensino, com uma proposta alternativa de abordagem do ensino de
frações, preocupada em reduzir os efeitos apontados como desvantagens do
modelo parte-todo. As atividades tiveram a participação de 160 alunos e 5
professores.
Este texto não pretende descrever a seqüência, mas apenas apontar os
fatores que condicionaram sua construção e comentar os resultados obtidos. São
citados três grandes objetivos para a seqüência:
1) Favorecer a construção de concepções adequadas, ao propor modelos que
têm como característica comum a medida de grandezas. Deste modo se
dispõe de um mundo de objetos físicos para justificar os resultados
matemáticos.
2) Potencializar a idéia de número racional, provocando uma ruptura entre as
concepções de número natural e de número racional, na medida em que se
destaca que os naturais servem para contar, e os racionais, para medir.
3) Facilitar a construção de idéias abstratas, entendendo que os modelos de
aprendizagem em que o aluno interage com o mundo dos objetos facilita a
construção mental dos números racionais e permite a avaliação semântica de
qualquer expressão simbólica em que esses números apareçam.
57
Para atingir esses objetivos, a seqüência leva em conta a gênese histórica do
número racional e procura priorizar modelos que forneçam suportes físicos
estáveis para que os alunos construam seu conhecimento. Foram montados três
modelos, com objetivos bem definidos, levando em conta os níveis de
desenvolvimento cognitivo dos alunos nas respectivas idades:
1) Modelos de medida direta, na quarta série (alunos de 10 anos). O número
racional surge da necessidade de comunicar o resultado da realização de
uma ação: medir uma grandeza.
2) Modelos quociente, baseado no resultado da ação de repartir em partes
iguais, utilizado no quinto ano (alunos de 11 anos). Estes modelos
permitem introduzir a notação decimal e conectá-la com a fracionária.
3) Modelos de razão, no sexto ano (alunos de 12 anos). Estes modelos
vinculam o número racional à idéia de proporcionalidade.
Os autores propõem que as atividades comecem pela notação fracionária,
pois o início pela notação decimal traria algumas questões de difícil resposta do
tipo �como se realiza a notação efetiva da fração a partir da notação decimal?� ou
�como justificar a existência de números racionais não decimais?� . Propõem
também que as atividades tenham início com a grandeza comprimento, para que
as técnicas de medição sejam as mais simples possíveis e o aluno possa se
concentrar exclusivamente na idéia de fração.
Merece destaque a sugestão de incorporar a idéia de cardinalidade como uma
nova grandeza, considerando que o modelo baseado na cardinalidade apresenta
características diferentes dos outros modelos, baseados em grandezas contínuas,
porque o fracionamento da unidade não mais se pode fazer em tantas partes
quanto se deseja, mas apenas no número de divisores do cardinal da unidade.
58
Essa grandeza fornece uma nova perspectiva do significado de fração e é um
conhecimento socialmente útil e presente no mundo real.
Os autores ainda sugerem que o ensino das frações deve anteceder o ensino
do Sistema Métrico Decimal e sintetizam a descrição informando que as
atividades se dividiram em três grandes grupos: construção do sistema de
representação fracionário com grandezas contínuas; relações de equivalência e
ordem de frações; e construção do sistema fracionário de representação com a
grandeza cardinalidade.
Como conclusão, os autores argumentam: 1) que o modelo apresentado,
baseado nos significados medida, quociente e razão, proporciona o
desaparecimento dos obstáculos citados inicialmente, pois permite que as frações
impróprias tenham o mesmo status que as próprias, como expressão da medida
de uma grandeza; 2) que as frações sejam vistas como entes numéricos
associados à idéia de medida e destacam que a unidade tem um papel essencial
para interpretar as frações; 3) que ficam bem caracterizadas as diferenças entre
os números racionais e os naturais, bem como a idéia de frações equivalentes,
através de atividades manipulativas.
2.6 – SILVA : PROPOSTA DE MUDANÇAS DE PARADIGMA
O trabalho de Silva (1997) apresenta alguns pontos em comum em relação
à presente pesquisa na medida em que a autora procura investigar se um grupo
de alunos de um curso de magistério consegue perceber as diferenças de
concepção de fração como parte-todo, medida e quociente. A autora também
59
explora as diferenças de tratamento necessárias para o trabalho com quantidades
discretas e contínuas e procura, por meio de uma seqüência didática, investigar a
capacidade dos futuros professores em romper com seus conhecimentos
anteriores e refletir sobre o estudo das frações a partir de outros de pontos de
vista.
A pesquisadora, de início, levanta um perfil do conhecimento de número
fracionário de seus sujeitos de pesquisa, aplicando um pré-teste. Faz também
uma análise de alguns livros didáticos. Obtém como resultado dessa análise uma
ênfase exagerada no modelo parte-todo e, com base nas resoluções dos sujeitos,
observa uma tendência ao uso de algoritmos (p.198), sem uma reflexão sobre
significados.
A proposta de introduzir o enfoque do estudo das frações por intermédio de
situações que remetessem aos significados selecionados, prosseguiu através de
uma seqüência de 4 atividades, que foram complementadas por um pós-teste, em
que a autora pôde constatar que o conhecimento adquirido anteriormente pelos
sujeitos muitas vezes apresenta raízes profundas e, em alguns casos, nem
mesmo um conjunto de atividades criteriosamente elaborado é capaz de mudá-
los (p. 197).
Com relação aos obstáculos didáticos, os trabalhos de Silva confirmam os
resultados de Kieren (1988), que apontam para a tendência da discretização do
contínuo no trabalho com frações no significado parte-todo, que aparece em
situações em que o aluno tende a substituir a referência inicial pelo número de
partes conseguidas após a divisão do todo.
O trabalho aponta também para a dificuldade em perceber as várias
maneiras em que se pode dividir mais que um inteiro ao mesmo tempo, a falta de
60
entendimento do conceito de medição e a tendência ao uso de decimais para
expressar as respostas, sem estabelecer uma conexão com os números
fracionários.
Quanto aos obstáculos de origem epistemológica, merece destaque a
tendência à generalização dos procedimentos usados para os números naturais
nas operações com frações. Essa tendência se revelou tão forte que, para alguns
sujeitos, permaneceu mesmo após a aplicação da seqüência. Nesse sentido as
idéias de Silva parecem ir ao encontro das de Mack (1995).
Um outro resultado significativo apresentado foi constatação de que a
tentativa de usar algoritmos conhecidos, em substituição às concepções
espontâneas para resolver problemas, leva a um maior número de erros. Em uma
das atividades previstas, os sujeitos de pesquisa analisaram respostas a questões
do significado quociente apresentadas a crianças de terceira e quarta séries.
Observaram que o índice de acertos das crianças de terceira série foi maior por
que elas usaram apenas suas concepções espontâneas, enquanto as de quarta
série tentaram usar algoritmos com menor sucesso.
Ainda em relação aos algoritmos, a autora destaca a forte tendência dos
sujeitos a usar o m.m.c. nas questões que envolvem comparação ou adição de
frações, sem associar ao significado do problema. Sugere que sejam previstas
duas fases para o tratamento do tema nos cursos de magistério: no terceiro ano,
questões envolvendo a introdução do conceito de número fracionário envolvendo
os significados quociente, parte-todo e medida, semelhantes às propostas em seu
trabalho e, no quarto ano, abordagens de razão, operador e o trabalho com as
operações.
61
2.7 - BEZERRA: CONSTRUINDO O CONCEITO POR SITUAÇÕES
SIGNIFICATIVAS
Com o objetivo de investigar como ocorre a aquisição do conceito de
número fracionário, bem como de suas representações, Bezerra (2001) elaborou
uma seqüência de ensino abordando frações nos significados parte-todo e
quociente. A pesquisa foi aplicada a crianças cursando a 3ª série do Ensino
Fundamental, considerando que o contato desses sujeitos com o campo numérico
dos números racionais fosse inédito. Dentro dessa perspectiva, Bezerra (p. 02)
destaca o seu problema de pesquisa: �Como abordar os conteúdos relacionados
ao número fracionário de forma que o aluno compreenda seu conceito e
estabeleça a relação entre o número e sua representação?�
Logo no início do trabalho, o autor fala do conjunto dos números naturais
como sendo um obstáculo à aprendizagem do conjunto dos números racionais, no
sentido atribuído ao termo por Brousseau (1993).
Nas diferentes formas de abordar a introdução do conceito dos números
fracionários, o autor optou por uma forma não convencional, ou seja, partir do
conceito de divisão já abordado nos números naturais e de frações impróprias. A
construção da seqüência foi baseada na formulação de situações-problema que
procuraram motivar os alunos a encontrar respostas que os levassem à aplicação
dos conceitos adquiridos em outras situações semelhantes, sempre partindo de
uma situação-problema em que os alunos, fazendo uso de determinados
materiais significativos, caminhassem na direção da construção do conceito do
número fracionário. Desse modo, (p. 03) foi formalizado o conceito do número
62
fracionário, bem como sua representação na forma a/b (a€N, b€N, com b≠0),
ocorrendo a institucionalização dos conteúdos trabalhados.
Na fundamentação teórica, Bezerra parte de um pressuposto
socioconstrutivista e destaca que seu trabalho se apóia nas contribuições da
psicologia cognitivista, principalmente na Teoria dos Campos Conceituais de
Vergnaud e nos trabalhos de Nunes e Bryant, ambos já amplamente citados neste
trabalho.
A seqüência de ensino proposta por Bezerra se inicia com situações que
exploram o modelo quociente e, no desencadear dos encontros, são também
apresentadas situações com o modelo parte-todo. O autor destaca que o modelo
parte-todo é importante, mas não deve ser o único e nem deve ser o ponto de
partida para o aprendizado das crianças, �pois ele parece oferecer uma barreira
maior entre os números naturais e os fracionários� (p. 168).
2.8 – SANTOS: UM DIAGNÓSTICO DAS CONCEPÇÕES DOS PROFESSORES
O trabalho de Santos (2005) teve por objetivo investigar o estado em que
se encontra o conceito de fração para professores do Ensino Fundamental, tanto
polivalentes quanto especialistas, apoiando-se, como nesta pesquisa, na Teoria
dos Campos Conceituais de Vergnaud e nas idéias de Nunes e Kieren em relação
aos diferentes significados da fração.
O instrumento de pesquisa foi aplicado em duas fases, em que numa
primeira sessão foi solicitado aos sujeitos que elaborassem seis problemas
envolvendo frações que poderiam ser usados em sala de aula e, numa segunda
sessão, dias depois, esses problemas foram apresentados aos professores que
63
os propuseram e lhes foi solicitado que resolvessem, deixando indicados os
procedimentos usados nessa resolução.
A análise dos significados de fração envolvidos nos problemas propostos,
bem como das estratégias de solução adotadas conduziu às conclusões da
pesquisa, a seguir resumida.
A primeira grande observação é a de que houve uma predominância em
criar problemas de significado operador multiplicativo, sugerindo, segundo o
pesquisador, que existe uma diferença entre as concepções dos professores
polivalentes e o que preconizam os PCN, que não sugerem o uso desse
significado para o início do trabalho com frações.
O estudo também mostrou que o significado parte-todo, embora seja o
segundo mais freqüente nos problemas criados, teve um percentual muito
pequeno se comparado ao significado operador multiplicativo. O significado
quociente teve uma porcentagem ainda menor que o parte-todo e os significados
número e medida praticamente não foram usados.
O pesquisador observou também que, nos problemas envolvendo parte-
todo, predominaram as quantidades contínuas, enquanto nos problemas de
operador, as quantidades discretas.
Com relação à resolução, nos problemas envolvendo parte-todo,
predominaram as resoluções gráficas que conduziam a obtenção do resultado por
dupla contagem. No caso do significado operador, os procedimentos centrados
em algoritmos, que apareceram com larga predominância sobre os demais. Nos
problemas de quociente, o pesquisador destaca que embora os sujeitos
reconheçam que a divisão é uma boa ferramenta para resolvê-los, parecem não
aceitar a representação fracionária como resposta a essa operação,
64
apresentando a solução geralmente por um número decimal obtido a partir do
algoritmo da divisão.
Ainda segundo o pesquisador,
é razoável concluir que a concepção dos professores polivalentes e especialistas está
bem próxima, em relação à elaboração de problemas envolvendo o conceito de fração em
seus diferentes significados. Podemos até, de certo modo, inferir que esta concepção é
limitada e preocupante, do ponto de vista do nosso estudo, visto que estamos
defendendo, assim como Vergnaud e Nunes, que o conhecimento conceitual deve
emergir dentro de uma variedade de situações. (Santos, 2005, p. 188)
Essa constatação, associada à conclusão de que há fortes indícios do
predomínio de atividades procedimentais na sala de aula, permite concluir que a
concepção dos professores, tanto polivalentes quanto especialistas, carrega
fortes marcas daquela construída enquanto aluno da formação básica.
�Concepção essa tão profunda que é provável que permaneçam engessadas em
suas mentes�.(p. 189)
O autor encerra seu trabalho externando sua convicção de que se faz
necessário um trabalho consistente de formação de professores, tanto
especialistas como polivalentes, a partir de novos enfoques didáticos e
pedagógicos, sobre o ensino e a aprendizagem do conceito de fração, visando a
minimizar, a médio e longo prazo, as dificuldades encontradas por alunos e
professores acerca desse conceito.
65
CAPÍTULO III
METODOLOGIA
Este capítulo pretende apresentar os detalhes referentes ao tipo de
pesquisa utilizado e tecer considerações sobre a metodologia empregada. Serão
descritos os estudos que precederam a montagem do instrumento de pesquisa,
procurando justificar os procedimentos e decisões tomadas. Serão feitas também
algumas considerações sobre o universo da pesquisa, com a descrição de suas
peculiaridades e as razões de sua escolha.
3.1 - FUNDAMENTOS METODOLÓGICOS
A natureza da proposta – estudar concepções do número racional em
sujeitos que já concluíram seu estudo formal – sugere, como metodologia
adequada para este estudo uma conduta que permita a obtenção de dados
qualitativos e quantitativos, colocando o pesquisador na condição de observador
que procura conhecer e interpretar a realidade sem, contudo, interferir nela. Essas
características são atribuídas por Rudio (1995) à pesquisa descritiva, em suas
várias formas (p.55).
Na mesma direção das idéias de Rudio, Cervo e Bervian (1983) afirmam
que a pesquisa descritiva "estuda fatos e fenômenos do mundo humano, sem a
interferência do pesquisador, procurando descobrir a freqüência com que um
66
fenômeno ocorre, sua relação e conexão com outros, sua natureza e
características".(p. 55)
Dentre as diversas modalidades de pesquisa descritiva, Rudio destaca uma
denominada “estudos causais comparativos”, em que o pesquisador parte da
observação de um fenômeno e “procura achar, entre as múltiplas causas
possíveis, os fatores – variáveis dependentes e independentes – que se
relacionam com o fenômeno ou contribuem para determinar seu aparecimento.”
(p. 59). O autor ainda caracteriza esse tipo de pesquisa como adequada ao
estudo de uma situação em que os indivíduos já experimentaram o fenômeno que
se deseja estudar.
A proposta de trabalho aqui apresentada pretende, apoiando-se nas idéias
desses autores, realizar um estudo causal comparativo, de caráter diagnóstico,
através da aplicação e da análise de um instrumento de pesquisa que será
descrito nos tópicos a seguir.
3.2 - DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
3.2.1 - Montagem do Instrumento de Pesquisa
Considerando que este trabalho mantém ligações estreitas com os
trabalhos de Santos (2005), Merlini (2005) e Moutinho (2005), sobretudo dos dois
últimos, que desenvolveram pesquisas correlatas aplicadas a públicos com graus
de escolaridade diferentes, tomou-se como ponto de partida a idéia de manter a
complementaridade entre os trabalhos e elaborar um instrumento de pesquisa
que, embora adequado ao universo de estudo escolhido, mantivesse as
atividades aplicadas por aqueles pesquisadores que fossem compatíveis com os
67
objetivos desta pesquisa. As variáveis de observação fixadas, a forma icônica
(com desenhos que permitam auxiliar a resolução) ou não icônica em que as
situações são apresentadas, bem como a influência de se propor situações
envolvendo quantidades discretas ou contínuas na resolução, são as mesmas
das pesquisas de Merlini (2005) e Moutinho (2005).
O instrumento de pesquisa foi montado apresentando duas questões de
cada tipo, fixando-se nos significados parte-todo e quociente, segundo a
classificação proposta por Nunes (2003), entendendo que esses dois significados
estão mais ligados que os outros à idéia primeira da construção do número
racional. É por meio desses significados que o conceito de fração costuma ser
introduzido o conceito de fração no início da escolarização. Por isso, eles
responsáveis pela formação concepções que podem perdurar por muito tempo no
sujeito e, em alguns casos, constituírem-se em obstáculos didáticos, no sentido
atribuído por Brousseau (1998) ao termo.
Para atender a esses requisitos de ordem prática e observar se há
evolução do conceito ao longo do tempo, mesmo que ele não seja objeto
específico do estudo formal naquele período, surgiu a idéia de organizar as
questões segundo três níveis de dificuldade, assim definidos:
a) no significado parte-todo foram consideradas de nível 1 as questões
em que o número de partes em que um determinado todo foi
dividido e quantas partes deveriam ser tomadas para responder ao
problema são fornecidos de maneira explícita ao sujeito, de modo
que o conhecimento mais elementar da noção de fração e a dupla
contagem dêem conta de resolver o problema. Nas questões
68
consideradas de nível 2, o todo e/ou as partes não são fornecidos
explicitamente, requerendo um trabalho adicional para responder à
questão, seja associado à idéia de conservação, seja de áreas, seja
da cardinalidade de um conjunto, para que a questão possa ser
respondida corretamente. Nas questões de nível 3, além da dupla
contagem, busca-se partir dos elementos concretos fornecidos pelo
problema e atingir um nível mais elevado de abstração,
caracterizado pelo emprego da fração imprópria que, neste contexto,
significa ser capaz de ver a fração como algo capaz de representar
uma parte maior que o próprio todo.
b) no significado quociente, foi considerada de nível 1 a questão em
que são fornecidos uma certa quantidade de objetos e o número de
pessoas para quem esses objetos serão divididos. A simples
compreensão da fração como um novo tipo de número capaz de
relacionar duas variáveis e ao mesmo tempo indicar uma divisão e
representar uma quantidade, dará conta de responder à questão.
Nos problemas considerados de nível 2, além da compreensão do
quociente, coloca-se a questão da equivalência e da ordem, ao se
propor a comparação entre duas situações de divisão. Nos
exercícios de nível 3, procura-se estender o conceito de quociente,
com propostas de situações em que se espera do sujeito, na
resolução de uma situação contextual, a aplicação do princípio da
extensão, conforme apresentado por Caraça (1952). As questões
propõem problemas que podem ser resolvidos por uma única
divisão, desde que o sujeito perceba, ainda que de forma implícita,
69
que o conceito de divisão pode ser aplicado aos números racionais
da mesma forma que aos naturais. Procura-se verificar também a
capacidade de formalizar a resolução em comparação com a
mobilização de técnicas intuitivas.
O critério de gradação da dificuldade nos itens foi atribuído pelo
pesquisador em função do número de operações mentais necessárias para sua
resolução, não implicando na equivalência de gradação entre os significados
parte-todo e quociente.
Para atender às condições acima descritas, foi necessário montar um
instrumento de pesquisa composto de 48 itens, distribuídos conforme o quadro a
seguir:
Parte-Todo QuocienteIcônico
contínuoNão
icônicocontínuo
Icônicodiscreto
Nãoicônicodiscreto
Icônicocontínuo
Nãoicônico
contínuo
Icônicodiscreto
Nãoicônicodiscreto
Nível 1Itens
1 e 2
Itens
7 e 8
Itens
13 e 14
Itens
19 e 20
Itens
25 e 27
Itens
31 e 32
Itens
37 e 38
Itens
43 e 44
Nível 2Itens
3 e 4
Itens
9 e 10
Itens
15 e 16
Itens
21 e 22
Itens
26 e 28
Itens
33 e 34
Itens
39 e 40
Itens
45 e 46
Nível 3Itens
5 e 6
Itens
11 e 12
Itens
17 e 18
Itens
23 e 24
Itens
29 e 30
Itens
35 e 36
Itens
41 e 42
Itens
47 e 48
Quadro 3.2.1-1 – Distribuição das questões.
Os itens apresentados na mesma linha da tabela deverão manter fixos os
mesmos invariantes e mudar apenas a forma de apresentação. Já os itens da
mesma coluna apresentarão a gradação de dificuldade citada, buscando
elementos para analisar capacidade dos alunos em utilizar os significados em
70
situações mais complexas, bem como avaliar a evolução dos conceitos e a
capacidade de abstrair a partir do uso das frações em situações mais formais.
Os itens foram numerados de 1 a 48, conforme descrito no quadro 3.2.2-1.
Considerando ter resultado em um trabalho longo, cuja resolução pode ser
cansativa mesmo para alunos de níveis mais elevados, os itens foram distribuídos
em 3 cadernos de atividades para permitir que fossem aplicados em três seções,
caso fosse possível.
Na organização dos cadernos de itens, as questões foram divididas em 16
grupos com 3 questões cada. Cada um desses grupos corresponde a um tipo
específico de questão, apresentada em seqüência, nos três níveis de dificuldade.
O quadro a seguir complementa as informações do quadro 1, segundo essa
ordenação.
Grupo Itens Grupo Itens1 1, 3, e 5 9 25, 26 e 29
2 2, 4, e 6 10 27, 28 e 30
3 7, 9, e 11 11 31, 33 e 35
4 8, 10 e 12 12 32, 34 e 36
5 13, 15 e 17 13 37, 39 e 41
6 14, 16 e 18 14 38, 40 e 42
7 19, 21 e 23 15 43, 45 e 47
8 20, 22,e 24 16 44, 46 e 48
Quadro 3.2.1-2 – Grupos de itens
Assim, por exemplo, os itens 1, 3 e 5, denominados “grupo 1”,
correspondem a questões envolvendo o significado parte-todo, com grandezas
contínuas e ícones, apresentados em seqüência nos três níveis de dificuldade.
71
O caderno da primeira aplicação contém 6 desses grupos de itens,
escolhidos de maneira aleatória, enquanto que os cadernos das segunda e
terceira aplicações contém cinco grupos cada, também apresentados em
seqüência aleatória.
A numeração dos itens, citada nos quadros acima descritos, deverá servir
de referência para todo o trabalho, independente da ordem em que estes
apareceram nos cadernos de questões.
Os três cadernos de questões deverão conter os itens na seguinte ordem,
obtida por sorteio:
Caderno 1 – grupos 6, 15, 4, 5, 9 e 16
Caderno 2 – grupos 7, 12, 10, 13 e 8
Caderno 3 – grupos 3, 2, 1, 14 e 11
3.2.2 – Universo do Estudo
O instrumento de pesquisa foi aplicado em três grupos distintos de sujeitos, que
se deseja estudar:
! 29 alunos de Ensino Superior, com 24 de Licenciatura em
Matemática e 05 de outros cursos da área de exatas, em duas
Universidades, sendo uma em São Paulo e outra em Campinas.
! 31 alunos de terceiro ano do Ensino Médio de uma escola
profissionalizante da cidade Campinas, que seleciona seus alunos
segundo um concurso de admissão de caráter nacional.
! 13 alunos de oitava série de uma escola particular Campinas.
72
A escolha deste universo foi feita tentando fazer com que o estudo se
reportasse a sujeitos submetidos a uma educação considerada de boa qualidade
e não se colocasse, como variável, eventuais deficiências de formação. Os alunos
das Universidades e do Ensino Médio são submetidos a rigorosos exames para
ingresso em suas respectivas escolas. Os alunos de oitava série da escola
selecionada estudam em condições consideradas muito boas, com professores
experientes, poucos alunos por série e um projeto pedagógico que incentiva a
busca da autonomia.
3.2.3 – Estudos preliminares
Uma vez definidas as características do instrumento de pesquisa, foi
aplicada uma primeira versão a uma aluna de Ensino Médio que respondeu às
questões diante do pesquisador, comentando detalhes de compreensão do texto
e estratégias de resolução utilizadas. Essa atividade forneceu dados importantes
para ajustes e apresentou ao pesquisador uma primeira idéia de como seria o
desempenho dos alunos. A duração da atividade também levou à idéia já exposta
de dividir o instrumento em três partes e aplicá-lo em três etapas nas oitavas
séries.
Uma vez feitos os ajustes, o instrumento, já dividido em 3 partes, foi
aplicado a 6 alunos de Ensino Médio, com cada uma das partes sendo resolvida
por 2 alunos, individualmente, tentando reproduzir as condições em que o teste
seria aplicado, ficando a interpretação do texto a critério de cada um. Os tempos
de resolução de cada uma das partes foram equivalentes, e o instrumento foi
considerado pronto para ser aplicado no universo de pesquisa.
73
3.2.4 – Aplicação do instrumento de pesquisa.
O teste foi aplicado em um único encontro nos ensinos Superior e Médio e,
em três etapas, na oitava série. Optou-se por essa solução por motivos de ordem
prática, pois haveria dificuldade em reunir os mesmos do Ensino Superior alunos
em 3 oportunidades diferentes. Mantiveram-se as mesmas regras para o Ensino
Médio, para que as condições de aplicação não diferissem das do Ensino
Superior.
Nos encontros para a aplicação do teste, num primeiro momento o
pesquisador apresentou aos alunos uma breve descrição da pesquisa, seu
objetivo, e solicitou-lhes que resolvessem o instrumento em seu próprio ritmo,
sem se preocupar com o tempo e deixando registrados os passos da resolução,
uma vez que seu objetivo é analisar, principalmente, as linhas de ação tomadas,
que refletem os significados da fração considerados pelo aluno e, possivelmente,
os invariantes operatórios que foram mobilizados na resolução de cada item.
Após essas considerações iniciais, foram tomados os seguintes
procedimentos:
a) Nos ensinos Superior e Médio foi distribuído, a cada aluno, o caderno
número 1 e solicitado que o resolvesse em seu próprio ritmo, trocando-o
pelos cadernos 2 e 3, à medida que terminasse o anterior. O tempo de
resolução dos cadernos variou entre 25 e 45 minutos.
b) Na oitava série, a aplicação foi feita em três sessões, em dias diferentes,
com uma semana de intervalo entre elas, mantidas, em cada sessão, as
mesmas condições da aplicação nos níveis Superior e Médio.
74
CAPÍTULO IV
DESCRIÇÃO E ANÁLISE DO
INSTRUMENTO DE PESQUISA.
Neste capítulo apresentaremos em detalhes as questões que foram resolvidas
pelos sujeitos de pesquisa, organizadas segundo os grupos descritos em 3.1 (quadro
3.2.1-2, pág 70), bem como sua análise. A opção pela apresentação dos itens na
ordem apresentada no quadro 3.2.1.-1, (pág 69) e não na ordem em que foram
resolvidos pelos alunos, deve-se ao entendimento do pesquisador de que essa
ordem facilitará a análise posterior dos itens, que estarão agrupados segundo as
variáveis que condicionaram a montagem do instrumento (significado, questões
icônicas ou não icônicas e quantidades discretas ou contínuas). A ordem de
resolução deverá ser uma variável adicional considerada na análise.
Grupo 1 – Questões tipo parte-todo, icônicas, envolvendo quantidades
contínuas.
Estes itens foram incluídos no caderno 3, como questões 7, 8 e 9, conforme
descrito no tópico 3.2.1 (pág. 71).
75
Item 1 – Observe as figuras abaixo:
a) Que fração representa a quantidade de pizza existente na mesa 1?
b) Que fração representa a quantidade de pizza existente na mesa 2?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue
• identificar o todo e as partes e utilizar a dupla contagem para representar
uma fração numa situação estática;
• manter o mesmo referencial em todas as respostas do item.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 83 , indicando que o aluno identificou prontamente o todo e as partes;
• 53 , indicando que o aluno estabeleceu uma relação parte-parte.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 85 , indicando que o aluno manteve uma pizza como unidade de
comparação e executou corretamente a dupla contagem;
• 165 , indicando que o aluno utilizou um referencial para cada subitem do
problema.
• 115 , indicando que o aluno não manteve o referencial e tomou uma relação
parte-parte.
76
Respostas consideradas corretas:
• 83 no subitem a) e
85 no subitem b)
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 1, podendo ser resolvido de imediato por uma
operação de dupla contagem, pois a parte e o todo estão perfeitamente explicitados.
No subitem b) é acrescida a necessidade de que o aluno mantenha a unidade,
respondendo como fração de uma pizza. Espera-se por conta disso uma redução no
percentual de acertos nesse subitem.
Observações:
O subitem 1b) remete às considerações de Kieren sobre a dificuldade
apresentada pelos alunos em relação à compreensão do papel desempenhado pela
unidade no conjunto dos números racionais. Reproduz também, com adaptações, a
experiência de Mack, descrita na pág. 49, em que a autora aponta, em seu universo
de pesquisa, a tendência do aluno de considerar sempre a parte menos que o todo. A
análise dos resultados desta pesquisa fornecerá indicações sobre a permanência
dessas dificuldades mesmo em alunos com escolarização mais elevada.
Item 3 – Que fração representa a parte pintada da figura abaixo?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue identificar o todo e as partes e utilizar a dupla
contagem para representar uma fração numa situação estática, observando, através
77
da conservação da área, a equivalência entre as partes em que foi dividido o todo. É
necessária a compreensão adicional de que, para haver fração, o todo deve ser
dividido em partes iguais.
Possíveis respostas:
• 82 , indicando que o aluno identificou prontamente o todo e as partes,
percebendo a relação entre a parte pintada e o todo, dividindo
mentalmente, ou mesmo graficamente, essa parte para exprimir a fração;
• 41 , indicando que o aluno percebeu a necessidade da equivalência entre as
partes e redividiu o todo, agora em 4 partes, antes de efetuar a dupla
contagem.
• 71 , indicando que o aluno não percebeu a necessidade da conservação da
área para exprimir a fração.
• 61ou
31
62 , , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Respostas consideradas corretas:
• 82 ou
41 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 2, pois o todo e as partes não estão
perfeitamente explicitados, exigindo a compreensão da conservação da área para
obter uma fração. Espera-se alguma redução na quantidade de acertos em relação
às questões consideradas de nível 1, em que parte e todo estão completamente
explicitados.
78
Observações:
Esta questão foi extraída de um trabalho de Campos e Cols, citada por Nunes
(1997) e faz parte também dos trabalhos de pesquisa de Merlini (2005) e Moutinho
(2005), que a aplicaram em alunos de quarta, quinta, sexta e oitava séries.
Item 5 – Se pudéssemos juntar todos esses pedaços de pizza e exprimir essa
quantidade como fração de uma pizza, qual a fração que representa a quantidade de
pizza que não foi consumida?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue expandir a idéia de fração, vendo-a como um
objeto matemático que vai além da idéia de divisão de um todo em partes e é capaz
de caracterizar uma situação em que a parte é maior que o próprio todo.
Possíveis respostas:
• 45ou
810 , indicando que o aluno identificou prontamente o todo e as partes,
foi capaz de adotar como referência uma pizza e foi capaz de expressar
uma quantidade maior que a própria unidade de referência.
• 85ou
1610 , indicando a dificuldade em transformar uma situação fortemente
contextualizada em um objeto essencialmente abstrato, como a fração
imprópria e sugerindo uma tendência a enxergar a fração como uma mera
79
relação entre duas quantidades, sem se preocupar com o estabelecimento
de um referencial, mesmo estando esse referencial apresentado de
maneira clara no enunciado da situação-problema.
• 43ou
86 , indicando que o raciocínio esperado foi feito sobre a parte
consumida e não sobre a parte não consumida.
• 83ou
166 , indicando a tomada de duas pizzas como unidade e o raciocínio
feito sobre a parte consumida da pizza.
• 6
1035
106
53 ,,, , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Respostas consideradas corretas:
• 45ou
810 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 3, pois espera-se a ruptura com a situação
contextual, que é muito simples (contar pedaços de pizza), e a expressão do
resultado como algo que requer do aluno maior capacidade de abstrair para aceitar
uma fração que seja maior que o próprio todo.
Grupo 2 – Questões tipo parte-todo, icônicas, envolvendo quantidades
contínuas.
Estes itens foram incluídos no caderno 3, como questões 4, 5 e 6, conforme
descrito no tópico 3.2.1.
80
Item 2 – Nos gráficos abaixo, as barras representam as capacidades de dois
tanques de combustível, A e B e as partes escuras, a quantidade de combustível
existente em cada um dos tanques.
a) Que fração representa a quantidade de combustível existente no tanque A em
relação à sua capacidade?
b) Que fração representa a quantidade de combustível existente no tanque B em
relação à sua capacidade?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue identificar o todo e as partes e utilizar a dupla
contagem para representar uma fração numa situação estática;
Possíveis respostas para o subitem a):
• 53 , indicando que o aluno identificou prontamente o todo e as partes;
• 35 , indicando a inversão entre parte e todo na representação da fração;
• 32ou
23 , indicando que o aluno estabeleceu relações parte-parte.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 74 , indicando que o aluno identificou prontamente o todo e as partes;
AB
81
• 35 , indicando a inversão entre parte e todo na representação da fração;
• 43ou
34 , indicando que o aluno estabeleceu relações parte-parte
Respostas consideradas corretas:
• 53 no subitem a) e
74 no subitem b)
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 1, podendo ser resolvido de imediato por uma
operação de dupla contagem, pois o todo e as partes estão perfeitamente
explicitados. Espera-se um grande percentual de acertos nos dois subitens.
Item 4 – Os prédios A e B são iguais e todos os andares têm a mesma altura. A área
sombreada representa uma parte do prédio B que está sendo pintada. Que fração
representa essa parte?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue identificar o todo e as partes e utilizar a dupla
contagem para representar uma fração numa situação estática, observando, através
da conservação da área, a equivalência entre as partes em que foi dividido o todo. É
necessária a compreensão adicional de que, para haver fração, o todo deve ser
dividido em partes iguais.
A B
82
Possíveis respostas:
• 53 , indicando que o aluno identificou prontamente o todo e as partes,
percebendo a relação entre a parte pintada e o todo, dividindo
mentalmente, ou mesmo graficamente, essa parte para exprimir a fração;
• 31 , indicando que o aluno não percebeu a necessidade da conservação da
área para exprimir a fração.
• 21
32
23 ,, , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Resposta considerada correta:
• 53 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 2, pois o todo e as partes não estão
perfeitamente explicitados, exigindo a compreensão da conservação da área para
obter fração. Espera-se alguma redução na quantidade de acertos em relação às
questões consideradas de nível 1, em que parte e todo estão completamente
explicitados.
Item 6 – Considerando sempre uma barra como o inteiro, responda
1
2
3
4
83
a) Que fração representa a parte pintada da barra 1?
b) Que fração representa a soma das partes pintadas das barras 1 e 2?
c) Que fração representa a soma das partes pintadas das barras 1, 2 e 3?
d) Que fração representa a soma das partes pintadas das barras 1, 2, 3 e 4?
e) Que fração representa o dobro das partes pintadas das barras 1 e 2?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue expandir a idéia de fração, vendo-a como um
objeto matemático que vai além da idéia de divisão de um todo em partes e é capaz
de caracterizar uma situação em que a parte é maior que o próprio todo.
Ao contrário do item 5, em que a fração imprópria era perguntada num único
item, aqui se foi construindo, progressivamente e por dupla contagem, frações cada
vez maiores numa situação em que a parte só se torna maior que o todo a partir de
um determinado momento, e o texto sugere, com muito mais ênfase, a idéia de que é
importante manter o mesmo referencial em todas as respostas. Os subitens c) e d)
são os que devem corresponder, para fins de análise, à resposta do item 5.
No subitem e), tenta-se verificar se a equivalência é percebida em relação ao
subitem d), seja pelos cálculos, seja pela observação das áreas. A análise deverá
levar em conta o número de sujeitos que indicou o mesmo valor para as duas
respostas.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 53ou
106
2012 , , indicando que foi estabelecida a relação parte-todo
corretamente;
• 32
23
64
46
812
128 ,,,,, , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
84
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 53ou
106
2012 , .
Possíveis respostas para o subitem b):
• 54ou
108
2016 , , indicando que foi estabelecida a relação parte-todo
corretamente;
• 3
10103
620
206
1240
4012 ,,,,, , indicando o estabelecimento de relações parte-todo
não considerando a manutenção do referencial.
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 54ou
108
2016 ,
Possíveis respostas para o subitem c):
• 57ou
1014
2028 , , indicando que foi estabelecida a relação parte-todo
corretamente;
• 7
15157
1430
3014
2860
6028 ,,,,, , indicando o estabelecimento de relações parte-todo
não considerando a manutenção do referencial.
Respostas consideradas corretas para o subitem c):
• 57ou
1014
2028 , .
Possíveis respostas para o subitem d):
• 58ou
1016
2032 , , indicando que foi estabelecida a relação parte-todo
corretamente;
85
• 6
20206
1240
4012
2480
8024 ,,,,, , indicando o estabelecimento de relações parte-todo
não considerando a manutenção do referencial.
Respostas consideradas corretas para o subitem d):
• 58ou
1016
2032 ,
Possíveis respostas para o subitem e):
• 58ou
1016
2032 , , indicando que foi estabelecida a relação parte-todo
corretamente;
• 3
10103
620
206
1240
4012 ,,,,, , indicando o estabelecimento de relações parte-todo
não considerando a manutenção do referencial.
Respostas consideradas corretas para o subitem e):
• 58ou
1016
2032 , .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 3, pois se espera do sujeito, a manutenção do
referencial, a construção intuitiva da adição de frações e a observação da
equivalência, com a utilização de frações impróprias.
Grupo 3 – Questões tipo parte-todo, não icônicas, envolvendo quantidades
contínuas.
Estes itens foram incluídos no caderno 3, como questões 1, 2 e 3, conforme
descrito no tópico 3.2.1 (pág. 71).
Item 7 – Um pedaço de corda foi dividido em 9 partes iguais, que foram distribuídas
para as crianças de uma escola brincarem no recreio. As crianças da pré-escola
86
receberam 3 dessas partes, as da primeira série, 2 partes e as da segunda série 4
partes.
a) Que fração da corda as crianças da pré-escola receberam?
b) Que fração da corda as crianças da primeira série receberam?
c) Que fração da corda as crianças da segunda série receberam?
Objetivos:
Verificar se os sujeitos conseguem identificar o todo, as partes e representar
por uma fração uma situação estática, em que todo e partes estão bem definidos,
porém, apresentados apenas a partir de um texto, sem auxílio de figuras.
Possíveis respostas para o subitem a)
• 93 , indicando a correta relação parte-todo
• 63 , indicando o estabelecimento de relação parte-parte
Possíveis respostas para o subitem b)
• 92 , indicando a correta relação parte-todo;
• 72 , indicando o estabelecimento de relação parte-parte.
Possíveis respostas para o subitem c)
• 94 , indicando a correta relação parte-todo;
• 54 , indicando o estabelecimento de relação parte-parte.
Respostas consideradas corretas
• 94e
92
93 , respectivamente para os subitens a), b) e c).
87
Grau de dificuldade:
A questão é considerada de nível 1, pois as frações podem ser perfeitamente
caracterizadas pela descrição fornecida, estando explicitados no texto: quem é o
todo-referência, em quantas partes esse todo foi dividido e qual o número de partes
tomadas em cada caso. Espera-se um grande número de acertos nesse item.
Item 9 – Um chocolate foi dividido em 5 partes, sendo 4 delas iguais e uma igual ao
dobro de cada uma das 4 anteriores. Que fração representa essa parte maior em
relação ao chocolate todo?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue, a partir de uma descrição e sem o auxílio de
figuras, levar em conta a informação sobre partes de um todo dividido em partes de
diferentes tamanhos e encontrar uma fração que exprima essas partes.
Possíveis respostas:
• 31ou
62 , indicando que foi levada em conta a diferença de tamanho entre as
partes;
• 51 , indicando que não foi feita essa consideração;
• 42ou
41 , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Respostas consideradas corretas:
• 31ou
62 .
Grau de dificuldade:
A questão é considerada de nível 2, pois é necessário um trabalho de
interpretação para entender que o tamanho da barra de chocolate corresponde, na
verdade, a 6 dos pedaços menores em que ele foi dividido, e a parte maior
88
corresponde a duas dessas partes. A ausência de uma figura acrescenta, nesse caso
uma dificuldade ao problema. Espera-se um percentual menor de acertos em relação
aos itens 3 e 5, que são semelhantes, porém com figuras, e em relação ao item 7.
Item 11 – Dois irmãos, Roberto e Antônio, receberam como herança dois terrenos de
mesma área. Cada um desses terrenos foi dividido em 5 partes iguais, cabendo duas
partes a Antônio e três a Roberto.
Complete com frações:
a) A parte de Antônio na herança corresponde a ______________ da área de
um terreno.
b) A parte de Roberto na herança corresponde a ______________da área de
um terreno.
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue, a partir da descrição de um problema, identificar
o número de partes em que o todo foi dividido, perceber que a repartição se refere a
duas unidades e responder a questão no referencial pedido, usando uma fração
imprópria
Possíveis respostas para o subitem a):
• 54 , indicando a compreensão do problema;
• 52ou
104 , indicando não que não foi levado em conta que são dois terrenos ou
que foram tomados como referencial dois terrenos, em vez de um.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 56 , indicando a compreensão do problema;
89
• 53ou
106 , indicando não que não foi levado em conta que são dois terrenos ou
que foram tomados como referencial dois terrenos, em vez de um.
Respostas consideradas corretas:
• 56e
54 , respectivamente para os subitens a) e b)
Grau de dificuldade:
A questão foi considerada de nível 3 porque apresenta dois elementos a serem
levados em conta, que precisam ser percebidos pelo sujeito: o referencial solicitado e
o uso da fração imprópria.
Grupo 4 – Questões tipo parte-todo, não icônicas, envolvendo quantidades
contínuas.
Estes itens foram incluídos no caderno 1, como questões 7, 8 e 9, conforme
descrito no tópico 3.2.1 (pág. 71).
Item 8 – No balcão de uma padaria podem ser vistos dois bolos de chocolate, três
bolos de coco e quatro de morango. Maria comprou um bolo de chocolate e outro de
morango. Represente por uma fração a quantidade de bolos que Maria comprou em
relação ao total de bolos da padaria.
Objetivos:
Verificar se os sujeitos conseguem identificar o todo, as partes e representar
por uma fração uma situação estática, em que todo e partes estão bem definidos,
porém, apresentados apenas a partir de um texto, sem auxílio de figuras.
Possíveis respostas:
• 92 , indicando a obtenção correta das partes e do todo;
90
• 72 , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Resposta considerada correta:
• 92
Grau de dificuldade:
A questão é considerada de nível 1, pois a fração pode ser perfeitamente
caracterizada pela descrição fornecida, estando perfeitamente explicitados no texto
quantos elementos possui o conjunto tomado como todo-referência, e quantas
dessas partes foram tomadas. Espera-se um grande número de acertos nesse item.
Item 10 – Para a confecção de uma fantasia, um novelo de fita vermelha foi cortado
em 4 partes, de modo que 3 dessas partes têm o mesmo tamanho, e a quarta parte
tem o dobro do tamanho de cada uma das 3 anteriores. Logo após, para confeccionar
outra fantasia, um novelo de fita azul, do mesmo tamanho da vermelha, foi cortado,
nas mesmas condições.
a) Que fração da fita vermelha representa o pedaço maior?
b) Considerando o inteiro como um novelo de fita, que fração de novelo
representa a soma dos pedaços maiores das duas fitas?
Objetivos
Verificar se o aluno consegue, a partir de uma descrição, sem o auxílio de
figuras, levar em conta a informação sobre um todo dividido em partes de diferentes
tamanhos e encontrar uma fração desse todo que exprima essas partes.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 52 , indicando que foi levada em conta a diferença de tamanho entre as partes;
91
• 41 , indicando que não foi levada em conta essa consideração;
• 31 , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 54 , indicando que foi levada em cota a diferença de tamanho entre as partes e
mantido referencial de um novelo;
• 104 , indicando que foi levada em conta a diferença entre as partes, mas não
mantido o mesmo referencial;
• 21ou
42 indicando que não foi levada em conta a diferença de tamanho entre
as partes;
• 41ou
82 , indicando que não foi levada em conta a diferença de tamanho enre
as partes nem mantido o referencial.
Respostas consideradas corretas:
• 52 para o subitem a) e
54 para o subitem b).
Grau de dificuldade:
A questão é considerada de nível 2, pois é necessário um trabalho de
interpretação para entender que o comprimento do novelo de fita corresponde, na
verdade, a 5 dos pedaços menores em que ele foi dividido, e a parte maior
corresponde a duas dessas partes. A ausência de uma figura acrescenta, nesse
caso, uma dificuldade ao problema.
92
Item 12 - André ganhou 4 chocolates do mesmo tamanho, cada um deles com
marcas para serem divididos em 4 pedaços iguais. Do primeiro chocolate comeu 3
pedaços e deu 1 para seu irmão Pedro. Do segundo, comeu dois pedaços e deu os
outros dois para sua prima Daniela. Logo após, resolveu comer os outros dois
chocolates e dividiu com Pedro e Daniela da mesma maneira que os dois primeiros.
a) Que fração de uma barra de chocolate representa o que André comeu dos
dois primeiros chocolates?
b) Que fração de uma barra de chocolate representa o que André comeu dos 4
chocolates?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue, a partir da descrição de um problema, identificar
o número de partes em que o todo foi dividido, perceber que partes de várias
unidades devem ser reagrupadas e exprimir essas partes tomando uma unidade
como referência.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 45 , indicando que a fração foi apresentada segundo o referencial pedido;
• 85 , indicando que foram tomadas como referencial duas barras de chocolate,
em vez de uma.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 10/4 ou 5/2, indicando que a fração foi apresentada segundo o referencial
pedido;
• 10/16 ou 5/8, indicando que foram tomadas como referencial duas barras de
chocolate, em vez de uma.
93
Respostas consideradas corretas:
• 45 para o subitem a) e
25ou
410 para o subitem b).
Grau de dificuldade:
A questão foi considerada de nível 3 porque apresenta dois elementos a serem
levados em conta que precisam ser percebidos pelo sujeito: o estabelecimento de um
referencial e o uso da fração imprópria.
Grupo 5 – Questões tipo parte-todo, icônicas, envolvendo quantidades
discretas.
Estes itens foram incluídos no caderno 1, como questões 10, 11 e 12,
conforme descrito no tópico 3.2.1 (pág. 71).
Item 13 – No balão, somente três bolas estão pintadas. Represente por uma fração a
quantidade de bolas pintadas em relação a todas as bolas que estão no balão.
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue utilizar a fração identificando o todo e as partes,
com apoio de uma figura, numa situação em que o todo deve ser tomado como um
conjunto de objetos e a parte, um de seus subconjuntos.
Possíveis respostas:
• 73 , indicando o estabelecimento de relações parte-todo;
94
• 43 , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Resposta considerada correta:
• 73 .
Grau de dificuldade:
A questão é considerada de nível 1, pois a parte e o todo estão perfeitamente
explicitados e é possível resolvê-la simplesmente através uma dupla contagem.
Item 15 – Na mesa encontram-se quatro pratos com docinhos iguais. Encontre uma
fração que exprima a quantidade de doces do prato 1 em relação ao total de doces
existente na mesa.
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue, observando uma figura, identificar o conjunto a
ser tomado como referência e exprimir uma parte desse conjunto como uma fração.
Este item foi elaborado procurando explorar os mesmos invariantes do item 3,
adaptando a proposta de Campos e Cols. (1995) para as quantidades discretas.
4
1 2
3
95
Possíveis respostas:
• 104ou
52 , indicando que o aluno interpretou corretamente e raciocinou em
termos de quantidade de pratos de doces ou quantidade de doces,
respectivamente;
• 82ou
41 , indicando que não foi levado em conta o fato de um dos pratos ter um
número diferente de doces.
Respostas consideradas corretas:
• 104ou
52 .
Grau de dificuldade:
A questão foi considerada de nível 2, pois, na forma em que foi apresentada,
introduziu uma variável nova, que é o número de pratos em que os doces foram
agrupados, fazendo com o que o conjunto a ser tomado como todo-referência não
esteja perfeitamente explicitado.
Item 17 – Duas Caixas de bolinhas de gude como esta deverão ser repartidas entre
Carlos e José. Para fazer a divisão, as bolinhas de cada caixa serão divididas em 7
partes iguais, cabendo 3 partes a Carlos e 4 partes a José. Complete com frações:
a) a parte de Carlos corresponde a _____________ de uma caixa de bolinhas.
b) a parte de José corresponde a _____________ de uma caixa de bolinhas.
96
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue, a partir da descrição de um problema e de uma
figura, identificar o número de partes em que o todo foi dividido, perceber que a
repartição se refere a duas unidades e responder a questão no referencial pedido,
usando uma fração imprópria. Espera-se que o número de sujeitos que respondam a
este item, com frações cujo denominador seja o dobro do número de elementos do
conjunto apresentado, seja menor que nos itens correspondentes, em que se
forneceu no enunciado o desenho de duas caixas, em vez de uma.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 2112ou
76 , indicando a compreensão do que foi solicitado no referencial
esperado;
• 216ou
4212 , indicando que o aluno apresentou as quantidades em frações de
duas caixas, e não de uma caixa, como foi solicitado;
• 219ou
73 , indicando que o aluno não levou em conta o fato de serem duas
caixas, por leitura incorreta do enunciado.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 2124ou
78 , indicando a compreensão do que foi solicitado no referencial
esperado;
• 74ou
2112
2224 , , indicando que o aluno apresentou as quantidades em frações de
duas caixas, e não de uma caixa, como foi solicitado.
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 2112ou
76
97
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 2124ou
78 .
Grau de dificuldade:
A questão foi considerada de nível 3 porque apresenta dois elementos a serem
levados em conta que precisam ser percebidos pelo sujeito: o referencial solicitado e
o uso da fração imprópria.
Grupo 6 – Questões tipo parte-todo, icônicas, envolvendo quantidades
discretas.
Estes itens foram incluídos no caderno 1, como questões 1, 2 e 3, conforme
descrito no tópico 3.2.1. Foram, portanto as primeiras questões resolvidas pelos
sujeitos de pesquisa.
Item 14 - Numa loja de presentes há 4 bonés vermelhos e 2 bonés azuis de mesmo
tamanho. Que fração representa a quantidade de bonés azuis em relação ao total de
bonés?
Objetivos:
Verificar se o aluno identifica o todo e as partes e utiliza a dupla contagem para
representar uma fração numa situação estática e se toma como referencial o conjunto
dos elementos ou a relação entre os elementos do conjunto.
98
Possíveis respostas:
• 62 , indicando que o aluno resolveu o problema por dupla contagem, a partir
do total de elementos do conjunto;
• 31 , indicando que o aluno identificou uma relação de equivalência entre
grupos de elementos do conjunto;
• 12ou
21
24
42 ,, , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Respostas consideradas corretas:
• 31ou
62 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 1, podendo ser resolvido de imediato por uma
operação de dupla contagem, pois o todo e as partes estão perfeitamente
explicitados. Espera-se um grande percentual de acertos no item.
Observações:
Este item também consta dos trabalhos de Merlini (2005) e Moutinho (2005),
aplicados em alunos de quarta, quinta, sexta e oitava séries.
Item 16 – Na parede há 5 porta-retratos, para fotos iguais, porém com capacidade
para um número diferente de fotos. Represente por uma fração a capacidade de fotos
do porta-retrato A em relação ao total de fotos que estão na parede.
A B
C D E
99
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue identificar o todo e as partes e utilizar a dupla
contagem para representar uma fração numa situação estática. Este item foi
elaborado procurando explorar os mesmos invariantes do item 3, adaptando a
proposta de Campos e Cols. (1995) para as quantidades discretas.
Possíveis respostas:
• 72 , indicando que o aluno identificou prontamente o todo e as partes e tomou
o número equivalente de porta-retratos menores como unidade;
• 144 , indicando que o aluno identificou prontamente o todo e as partes e tomou
o número total de fotos como unidade;
• 51 , indicando que o aluno estabeleceu a relação parte-todo, porém não
observou a conservação do número de elementos do conjunto tomado como
unidade;
• 41 , indicando que o aluno estabeleceu a relação parte-parte e não observou a
conservação do número de elementos do conjunto tomado como unidade;
• 104ou
52 , indicando a conservação da unidade, porém o estabelecimento da
relação parte-parte.
Respostas consideradas corretas:
• 144ou
72
Grau de dificuldade;
O item é considerado de nível 2, pois o todo e as partes não estão
perfeitamente explicitados, exigindo a compreensão da conservação da quantidade
100
de elementos do conjunto tomado como referência para obter uma fração. Espera-se
alguma redução na quantidade de acertos em relação às questões consideradas de
nível 1, em que parte e todo estão completamente explicitados.
Item 18 - Tomando como o todo-referência uma caixa de bolinhas,
a) represente por uma única fração o total de bolinhas pintadas nas 4 caixas.
b) represente por uma fração o dobro da quantidade das bolinhas pintadas na figura
abaixo.
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue expandir a idéia de fração, vendo-a como um
objeto matemático que vai além da idéia de divisão de um todo em partes e é capaz
de caracterizar uma situação em que a parte é maior que o próprio todo.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 2032 , indicando que o aluno identificou prontamente o todo e as partes, foi
capaz de adotar como referência uma caixa e foi capaz de expressar uma
quantidade maior que a própria unidade de referência.
• 58 , indicando que o aluno identificou prontamente o todo e as partes, foi capaz
de adotar como referência uma caixa e foi capaz de expressar uma quantidade
maior que a própria unidade de referência e estabeleceu uma relação de
101
equivalência entre um grupo de elementos do conjunto e o total de seus
elementos.
• 52ou
208
8032 , , indicando que estas respostas podem ser motivadas por uma
leitura incorreta do texto da situação-problema, em que fica bem determinada a
unidade a ser tomada, ou da dificuldade em transformar uma situação
fortemente contextualizada em um objeto essencialmente abstrato como a
fração imprópria, mostrando uma tendência a enxergar a fração na sua forma
mais primitiva;
• 23ou
46
3248
32
64
4832 ,,,, , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 58ou
2032 , indicando a percepção da equivalência entre as duas situações.
• 52ou
4016 , indicando a não manutenção do referencial nos dois subitens.
• 208ou
8032 , indicando a percepção da equivalência entre as duas situações,
tomando como todo-referência o total de bolinhas de uma caixa. Deverá ser
observado se o aluno manteve o mesmo referencial nos dois subitens.
Respostas consideradas corretas:
• 58ou
2032 para os dois subitens.
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 3, pois se espera a ruptura com a situação
contextual, que é muito simples (relacionar as bolinhas pintadas com o total de
bolinhas), e a expressão do resultado como algo que requer um pouco mais que a
simples noção de partição associada à idéia de fração.
102
Grupo 7 – Questões tipo parte-todo, não icônicas, envolvendo quantidades
discretas.
Estes itens foram incluídos no caderno 2, como questões 1, 2 e 3, conforme
descrito no tópico 3.2.1 (pág. 71).
Item 19 – Na vitrine de uma loja de brinquedos podem ser vistos 2 carrinhos azuis, 3
carrinhos vermelhos e 4 carrinhos verdes, todos do mesmo tipo. Um cliente comprou
para seus filhos 1 carrinho azul e outro verde. Represente por uma fração a
quantidade carrinhos que esse cliente comprou em relação ao total de carrinhos da
vitrine.
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue utilizar a fração, identificando o todo e as partes
a partir da interpretação de um texto, numa situação em que o todo deve ser tomado
como um conjunto de objetos e a parte, um de seus subconjuntos.
Possíveis respostas:
• 92 , indicando o estabelecimento de relação parte-todo;
• 72 , indicando o estabelecimento de relação parte-parte.
Resposta considerada correta:
• 92 .
Grau de dificuldade:
A questão é considerada de nível 1, pois a parte e o todo estão perfeitamente
explicitados e é possível resolvê-la simplesmente através de uma dupla contagem.
103
Item 21 – Num restaurante existem 2 mesas com 12 lugares cada e 3 mesas com 4
lugares cada. Que fração da capacidade do restaurante representa uma das mesas
de 4 lugares?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue, a partir de uma descrição, sem o auxílio de
figuras, identificar o número de elementos de um conjunto tomado como o todo-
referência e exprimir um de seus subconjuntos como uma fração desse todo
Possíveis respostas:
• 91ou
364 , indicando o estabelecimento correto da relação;
• 51 indicando a desconsideração da diferença de tamanho entre as mesas.
Respostas consideradas corretas:
• 91ou
364 .
Grau de dificuldade:
A questão é considerada de nível 2, pois é necessário um trabalho de
interpretação e alguns cálculos para se obter o total de lugares do restaurante ou o
total de mesas de 4 lugares que deveriam existir para manter essa capacidade. A
ausência de uma figura acrescenta, nesse caso, uma dificuldade ao problema.
Item 23 –Michele e Mirela ganharam dois pacotes com 30 balas para repartirem.
Cada um desses pacotes foi dividido em 6 partes iguais, e Michele ficou com 2 partes
enquanto que Mirela ficou com 4 partes.
Complete com frações:
a) A parte de Michele corresponde a ______________ de um pacote de balas.
b) A parte de Mirela corresponde a ______________de um pacote de balas.
104
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue, a partir da descrição de um problema e sem o
auxílio de uma figura, identificar o número de elementos do conjunto tomado como
referência, identificar quantas partes foram tomadas, levando em conta que são dois
os pacotes repartidos, e responder à questão no referencial pedido, usando uma
fração imprópria.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 32ou
64
3020 , , indicando a compreensão do que foi solicitado no referencial
esperado;
• 32ou
124
6020 , , indicando que o aluno apresentou as quantidades em frações de
dois pacotes, e não de um pacote, como foi solicitado;
• 61ou
305 , indicando que o aluno não levou em conta o fato de serem dois
pacotes, por leitura incorreta do enunciado.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 2124ou
78 , indicando a compreensão do que foi solicitado e a resposta
apresentada no referencial esperado;
• 74ou
2112
4224 , , indicando que o aluno apresentou as quantidades em frações de
dois pacotes, e não de um pacote, como foi solicitado, ou não levou em conta
o fato de serem duas caixas, por leitura incorreta do enunciado.
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 32ou
64
3020 , .
105
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 34ou
68
3040 , .
Grau de dificuldade:
A questão foi considerada de nível 3 porque apresenta dois elementos a serem
levados em conta que precisam ser percebidos pelo sujeito: o estabelecimento de um
referencial e o uso da fração imprópria.
Grupo 8 – Questões tipo parte-todo, não icônicas, envolvendo quantidades
discretas.
Estes itens foram incluídos no caderno 2, como questões 13, 14 e 15,
conforme descrito no tópico 3.2.1.
Item 20 – Um pacote com 36 balas foi repartido em 12 partes iguais, que foram
distribuídas para Juliane, Daniele e Gabriela. Juliane recebeu 5 partes, Daniele
recebeu 4 partes e Gabriela recebeu 3 partes.
a) Que fração do pacote de balas Juliane recebeu?
b) Que fração do pacote de balas Gabriela recebeu?
c) Que fração do pacote de balas Daniele recebeu?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue utilizar a fração, identificando o todo e as partes
a partir da interpretação de um texto, numa situação em que o todo deve ser tomado
como um conjunto de objetos e a parte, um de seus subconjuntos.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 3615ou
125 , indicando a compreensão correta do item;
106
• 2115
75 , , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 31ou
3612
124 , , indicando a compreensão correta do item;
• 21ou
2412
84 , , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Possíveis respostas para o subitem c):
• 41ou
369
123 , , indicando a compreensão correta do item;
• 31ou
279
95 , , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 3615
125 , .
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 31ou
3612
124 , .
Respostas consideradas corretas para o subitem c):
• 41ou
369
123 , .
Grau de dificuldade:
A questão é considerada de nível 1, pois a parte e o todo estão perfeitamente
explicitados e é possível resolvê-la simplesmente através de uma dupla contagem.
Item 22 – Três meninos e uma menina compraram uma caixa de bombons, que
foram repartidos, de modo que a menina recebeu o dobro da quantidade de bombons
107
que os meninos. Após repartirem os bombons resolveram comprar outra caixa igual,
e repartirem da mesma maneira.
a) Que fração de uma caixa de bombons representa o que a menina recebeu
após repartirem a primeira caixa?
b) Que fração de uma caixa de bombons representa o que a menina recebeu
após repartirem as duas caixas?
c) Se as duas caixas fossem repartidas ao mesmo tempo, que fração de uma
caixa representaria o total de bombons que a menina ganhou?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue, a partir de uma descrição, sem o auxílio de
figuras, identificar o número de elementos de um conjunto tomado como referência e
exprimir um de seus subconjuntos como uma fração desse todo.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 52 , mostrando que o aluno executou corretamente a repartição;
• 41 , sugerindo que não foi levada em conta a diferença entre os tamanhos das
partes dos meninos e da menina;
• 31ou
32 , indicando o estabelecimento de relações parte-parte.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 54 , mostrando que o aluno representou a nova quantidade mantendo o
referencial;
• 104 , indicando mudança do referencial.
108
Possíveis respostas para o subitem c):
• 54 , mostrando que o aluno representou a nova quantidade mantendo o
referencial e compreendeu a independência da ordem nessa operação;
• 104 , indicando mudança do referencial.
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 52 .
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 54 .
Respostas consideradas corretas para o subitem c):
• 54 .
Grau de dificuldade
O item é considerado de nível 2, pois o referencial não foi fornecido de
maneira explícita, sendo necessário um trabalho de interpretação para determiná-lo.
A ausência de uma figura acrescenta, nesse caso, uma dificuldade ao problema.
Item 24 – Flávia tinha 4 pacotes iguais de contas coloridas para fazer colares. Para
fazer um colar, separou as contas da seguinte maneira:
- dividiu o primeiro pacote em 5 partes, das quais usou 3;
- dividiu o segundo pacote em 5 partes, das quais usou uma.
- dividiu o terceiro pacote em 5 partes, das quais usou 3;
- dividiu o quarto pacote em 5 partes, das quais usou uma.
109
a) Que fração de um pacote de contas representa o que foi retirado dos 2
primeiros pacotes?
b) Que fração de um pacote de contas representa o que foi retirado dos 4
pacotes?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue, a partir da descrição de um problema e sem o
auxílio de uma figura, identificar o número de partes em que foi dividido o conjunto
tomado como referência, identificar quantas partes foram tomadas, levando em conta
que mais de um conjunto foi repartido e responder à questão no referencial pedido,
usando uma fração imprópria.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 54 , indicando a compreensão do que foi solicitado no referencial esperado;
• 52ou
104 , indicando que o aluno apresentou as quantidades em frações de dois
pacotes, e não de um, como foi solicitado.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 58 , indicando a compreensão do que foi solicitado no referencial esperado;
• 52ou
208
54
108 ,, , indicando que o aluno não utilizou o referencial proposto.
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 54 .
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 58 .
110
Grau de dificuldade:
A questão foi considerada de nível 3 porque apresenta dois elementos a serem
levados em conta que precisam ser percebidos pelo sujeito: o referencial solicitado e
o uso da fração imprópria.
Grupo 9 – Questões tipo quociente, icônicas, envolvendo quantidades
contínuas.
Estes itens foram incluídos no caderno 1, como questões 13, 14 e 15,
conforme descrito no tópico 3.2.1.
Item 25 – Foram divididas igualmente para 4 crianças, 3 barras de chocolate
a) Cada criança receberá um chocolate inteiro?
( ) Sim ( ) Não
b) Cada criança receberá pelo menos metade de um chocolate?
( ) Sim ( ) Não
c) Que fração do chocolate cada criança receberá?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue representar e comparar frações numa situação
quociente, utilizando-se de figuras e operando sobre grandezas contínuas.
111
Possíveis respostas para o subitem a):
• Não.
Possíveis respostas para o subitem b):
• Sim.
Possíveis respostas para o subitem c):
• 43 de uma barra;
• 41 de cada chocolate.
Resposta considerada correta no subitem a):
• Não.
Resposta considerada correta no subitem b):
• Sim.
Resposta considerada correta no subitem c):
• 43 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 1, pois retrata uma situação quociente em sua
forma mais simples e fornece, de maneira explícita, todos os elementos para a
resolução.
Item 26 – Duas barras de chocolate iguais foram repartidas entre 5 meninos e 3
barras iguais foram repartidas entre 5 meninas.
112
a) Que fração de uma barra de chocolate representa o que cada menino
recebeu?
b) Que fração de uma barra de chocolate representa o que cada menina
recebeu?
c) Quem recebeu um pedaço maior de chocolate?
d) Qual dessas frações é maior?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue representar e comparar frações numa situação
quociente, utilizando-se de figuras e operando sobre grandezas contínuas.
Possíveis respostas pra o subitem a):
• 52 , indicando a compreensão do pedido;
• 51 , indicando a não compreensão.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 53 , indicando a compreensão do pedido;
• 51 , indicando a não compreensão.
Possíveis respostas para o subitem c):
• As meninas.
Possíveis respostas para o subitem d):
• 53 .
Resposta considerada correta para o subitem a):
• 52 .
113
Resposta considerada correta para o subitem b):
• 53 .
Resposta considerada correta para o subitem c):
• As meninas.
Resposta considerada correta para o subitem d):
• 53 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 2, pois além de apresentar uma situação
quociente, acrescenta a idéia de comparação de frações, de maneira intuitiva e
formal.
Item 29 – Quatro barras de chocolate deverão ser divididas e colocadas em caixinhas
de modo a que em cada caixinha caibam 32 de uma barra de chocolate.
a) Quantas caixinhas serão necessárias para guardar todo o chocolate?
b) Represente a solução deste problema como uma operação com frações.
Objetivos:
Dada uma situação quociente em que o divisor é uma fração, verificar se o aluno
consegue:
• Encontrar a solução baseando-se na descrição do problema;
114
• Explicitar a resolução através de uma divisão de um número natural por uma
fração.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 6.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 6324 =: .
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 6.
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 6324 =: .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 3, pois os elementos necessários à sua
resolução não são fornecidos de maneira explícita, requerendo operações mentais
mais sofisticadas para sua resolução, mesmo no caso da resolução intuitiva. Em um
estágio mais avançado, no subitem b), procura-se avaliar se o sujeito já dispõe de
invariantes operatórios que possibilitem formalizar a solução em termos de divisão de
um número natural por uma fração. Para isso, a construção do conceito de número
racional para o sujeito deverá estar em tal estado que permita a visão desses
números como objetos matemáticos abstratos, reconhecendo suas propriedades e
sua interação com o conjunto dos números naturais. A questão procura avaliar
quantos dos sujeitos estão no primeiro estágio e quantos já atingiram o segundo.
Estas considerações também se aplicam aos itens 30, 35, 36, 41, 42, 47 e 48.
Grupo 10 – Questões tipo quociente, icônicas, envolvendo quantidades
contínuas.
Estes itens foram incluídos no caderno 2, como questões 7, 8 e 9, conforme
descrito no tópico 3.2.1
Item 27 – Um bolo foi dividido igualmente para três crianças e dois bolos do mesmo
tamanho foram divididos igualmente para 6 crianças.
a) As 9 cri
( ) Sim
b) Que fra
c) Que fra
Objetivos:
Verificar
quociente, utili
Possíveis res
• Sim.
Possíveis res
• 31 .
1
anças comeram a mesma qua
( ) Não
ção representa a divisão do bo
ção representa a divisão do bo
se o aluno consegue repres
zando-se de figuras e operand
postas para o subitem a):
postas para o subitem b)
2
115
ntidade de bolo?
lo da figura 1?
lo da figura 2?
entar e comparar frações numa situação
o sobre grandezas contínuas.
116
Possíveis respostas para o subitem c):
• 31ou
62 .
Resposta considerada correta para o subitem a):
• Sim.
Resposta considerada correta para o subitem b):
• 31 .
Resposta considerada correta para o subitem c):
• 31ou
62 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 1, pois retrata uma situação quociente em sua
forma mais simples, fornece, de maneira explícita, todos os elementos para a
resolução e procura verificar a noção de equivalência apenas por procedimentos
intuitivos.
Item 28 – Dois bolos foram divididos igualmente para 3 crianças e 3 bolos do mesmo
tamanho foram divididos igualmente para 4 crianças.
a) As crianças de qual grupo ganharam mais bolo?
b) Que fração representa a divisão do bolo da figura 1?
1 2
117
c) Que fração representa a divisão do bolo na figura 2?
d) Qual dessas frações é maior?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue representar e comparar frações numa situação
quociente, utilizando-se de figuras e operando sobre grandezas contínuas.
Possíveis respostas para o subitem a):
• Grupo 2.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 32 , indicando o uso do referencial esperado;
• 31 , sugerindo o uso de um bolo como referencial.
Possíveis respostas para o subitem c)
• 43 , indicando o uso do referencial esperado;
• 41 , sugerindo o uso de um bolo como referencial.
Possíveis respostas para o subitem d):
• 43 .
Resposta considerada correta para o subitem a):
• Grupo 2.
Resposta considerada correta para o subitem b):
• 32 .
Resposta considerada correta para o subitem c):
• 43 .
118
Resposta considerada correta para o subitem d):
• 43 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 2, pois além de apresentar uma situação
quociente, acrescenta a idéia de comparação de frações, de maneira intuitiva e
formal. Espera-se um percentual de acertos menor que o do item 26, pois as frações
são de comparação mais difícil que as apresentadas naquele item.
Item 30 - Se tomarmos pedaços equivalentes a 43 de cada um dos chocolates
abaixo para distribuirmos a algumas crianças.
a) Quantas crianças poderão ganhar chocolate?
b) Represente esta repartição como uma operação com frações.
Objetivos:
Dada uma situação quociente em que o dividendo é uma grandeza contínua e o
divisor é uma fração, verificar se o aluno consegue:
• Encontrar a solução baseando-se na descrição do problema;
• Explicitar a resolução através de uma divisão de um número natural por uma
fração.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 4.
119
Possíveis respostas para o subitem b):
• 4433 =: .
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 4.
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 4433 =: .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 3. Cabem aqui as mesmas considerações feitas
em relação ao item 29 (página 114).
Grupo 11 – Questões tipo quociente, não icônicas, envolvendo quantidades
contínuas.
Estes itens foram incluídos no caderno 3, como questões 7, 8 e 9, conforme
descrito no tópico 3.2.1. Foram, portanto, as últimas questões resolvidas pelos
sujeitos de pesquisa.
Item 31 – Três barras de chocolate foram divididas em partes iguais entre 5 crianças.
a) Cada criança recebeu pelo menos a metade de uma barra de chocolate?
( ) Sim ( ) Não
b) Que fração de uma barra de chocolate cada criança recebeu?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue representar e comparar frações numa situação
quociente, a partir de uma descrição por um texto, sem a utilização de figuras e
operando sobre grandezas contínuas.
120
Possíveis respostas para o subitem a):
• Sim.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 53 , indicando a compreensão do pedido;
• 51 , indicando a não compreensão.
Resposta considerada correta para o subitem a):
• Sim.
Resposta considerada correta para o subitem b):
• 53 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 1, pois retrata uma situação quociente em sua
forma mais simples e fornece, de maneira explícita, todos os elementos para a
resolução.
Item 33 – Dez barras de chocolate de mesmo tamanho serão repartidas igualmente
entre 15 crianças. Sabe-se que 6 barras são de chocolate escuro e que 4 barras são
de chocolate branco. Sabe-se também que 9 crianças preferiram o chocolate escuro
e que 6 crianças preferiram o branco.
a) As crianças que preferiram o chocolate escuro ganharão um pedaço maior de
chocolate?
( ) Sim ( ) Não
b) Que fração representa a quantidade de chocolate escuro que cada criança
receberá?
121
c) Que fração representa a quantidade de chocolate branco que cada criança
receberá?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue representar e comparar frações numa situação
quociente, a partir de uma descrição por um texto, sem a utilização de figuras e
operando sobre grandezas contínuas.
Possíveis respostas para o subitem a):
• Não.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 32ou
96 , indicando o uso do referencial esperado;
• 61 , exprimindo a fração de cada barra, e não o total.
Possíveis respostas para o subitem c):
• 32ou
64 , indicando o uso do referencial esperado;
• 61 , exprimindo a fração de cada barra, e não o total.
Resposta considerada correta para o subitem a):
• Não.
Resposta considerada correta para o subitem b):
• 32ou
96 .
Resposta considerada correta para o subitem c):
• 32ou
64 .
122
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 2, pois apresenta, mesclando os dados, duas
situações de quociente que devem ser resolvidas com apoio apenas do texto, sem
auxílio de figuras, e acrescenta a idéia de ordem ao solicitar uma comparação entre
frações.
Item 35 – Para que se possa fazer a limpeza de dois grandes aquários iguais, a água
que está contida neles deverá ser transferida para alguns recipientes cuja capacidade
é 31 da capacidade dos aquários.
a) Quantos pequenos recipientes serão necessários para armazenar a água?
b) Represente a solução desse problema como uma operação com frações.
Objetivos:
Dada uma situação quociente, apresentada apenas através de um texto, em que
o dividendo é uma grandeza contínua e o divisor é uma fração, verificar se o aluno
consegue:
• Encontrar a solução baseando-se na descrição do problema;
• Explicitar a resolução através de uma divisão de um número natural por uma
fração.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 6.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 6312 =: .
Resposta considerada correta para o subitem a):
• 6.
123
Resposta considerada correta para o subitem b):
• 6312 =: .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 3. Cabem aqui as mesmas considerações feitas
em relação ao item 29 (página 114).
Grupo 12 – Questões tipo quociente, não icônicas, envolvendo quantidades
contínuas.
Estes itens foram incluídos no caderno 2, como questões 4, 5 e 6, conforme
descrito no tópico 3.2.1.
Item 32 – Numa certa lanchonete, 5 meninos sentaram-se para lanchar e pediram 4
garrafas de refrigerante e tomaram todos a mesma quantidade. Na mesa ao lado, 5
meninas que também lanchavam pediram 3 garrafas de refrigerante e também
tomaram a mesma quantidade.
a) Quem tomou mais refrigerante, os meninos ou as meninas?
b) Que fração de uma garrafa de refrigerante cada menino tomou?
c) Que fração de uma garrafa de refrigerante cada menina tomou?
d) Qual dessas frações é maior?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue representar e comparar frações em uma
situação quociente, utilizando-se dos dados fornecidos por um texto e operando
sobre grandezas contínuas.
Possíveis respostas para o subitem a):
• Os meninos.
124
Possíveis respostas para o subitem b):
• 54 , indicando a compreensão do pedido;
• 51 , indicando a não compreensão.
Possíveis respostas para o subitem c):
• 54 , indicando a compreensão do pedido;
• 51 , indicando a não compreensão.
Possíveis respostas para o subitem d):
• 54 .
Resposta considerada correta para o subitem a):
• Meninos.
Resposta considerada correta para o subitem b):
• 54 .
Resposta considerada correta para o subitem c):
• 53 .
Resposta considerada correta para o subitem d):
• 54 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 1, pois a situação quociente está definida de
maneira explícita e a comparação de frações, solicitada no subitem d), remete ao
caso mais simples, que é o de duas frações de mesmo denominador.
125
Observações:
Esta forma de comparar frações, inicialmente a partir do conhecimento intuitivo
e depois de maneira formal, reproduz, com adaptações, as questões propostas por
Mack (1990), descritas no tópico 2.4, e pretendem verificar se os resultados obtidos
por aquela autora permanecem válidos para os sujeitos de escolaridade mais elevada
que foram estudados nesta pesquisa.
Item 34 – Na hora do recreio, foram divididas 3 latas de refrigerante igualmente para
2 meninos e 5 latas de refrigerante, também foram divididas igualmente para 3
meninas.
a) Quem tomou mais refrigerante, os meninos ou as meninas?
b) Represente por uma fração de uma lata de refrigerante a quantidade que cada
menina tomou.
c) Represente por uma fração de uma lata de refrigerante a quantidade que cada
menino tomou.
d) Qual dessas frações é maior?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue representar e comparar frações numa situação
quociente, utilizando-se dos dados fornecidos por um texto e operando sobre
grandezas contínuas.
Possíveis respostas para o subitem a):
• As meninas.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 35 , indicando a compreensão do pedido;
126
• 31 , indicando a não compreensão.
Possíveis respostas para o subitem c):
• 23 , indicando a compreensão do pedido;
• 21 , indicando a não compreensão.
Possíveis respostas para o subitem d):
• 35 .
Resposta considerada correta para o subitem a):
• Meninas.
Resposta considerada correta para o subitem b):
• 35 .
Resposta considerada correta para o subitem c):
• 23 .
Resposta considerada correta para o subitem d):
• 35 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 2, pois além de apresentar uma situação
quociente, acrescenta a idéia de comparação de frações, de maneira intuitiva e
formal, apresentando frações cuja comparação não é imediata.
Observações:
Cabem aqui as mesmas observações feitas em relação à questão 32 no que
diz respeito as considerações de Mack(1990). A diferença fundamental entre as duas
127
questões está no fato de que, na questão 34, as frações são de difícil comparação,
mesmo por procedimentos intuitivos.
Item 36 – Quatro grandes navios de mesma capacidade de carga estão ancorados
num porto, carregados de grãos. Para que os grãos possam chegar a portos mais
rasos, o carregamento deverá ser transferido para navios menores, com 32 da
capacidade dos navios grandes.
a) Quantos navios menores serão necessários para transportar a carga que está
nos navios grandes?
b) Represente a solução desse problema por uma operação com frações.
Objetivos:
Dada uma situação quociente, apresentada apenas através de um texto, em que
o dividendo é uma grandeza contínua e o divisor é uma fração, verificar se o aluno
consegue:
• Encontrar a solução baseando-se na descrição do problema;
• Explicitar a resolução através de uma divisão de um número natural por uma
fração.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 6.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 6324 =: .
128
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 6.
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 6324 =: .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 3. Cabem aqui as mesmas considerações feitas
em relação ao item 29 (página 114).
Grupo 13 – Questões tipo quociente, icônicas, envolvendo quantidades
discretas.
Estes itens foram incluídos no caderno 2, como questões 10, 11 e 12,
conforme descrito no tópico 3.2.1.
Item 37 – As duas caixas de bolinhas de gude abaixo deverão ser repartidas entre 3
meninos .
a) Represente por uma fração de caixa o que cada menino irá ganhar.
b) Represente por uma fração a quantidade de bolinhas que cada menino deverá
ganhar.
Objetivos:
• Verificar se o aluno consegue utilizar-se do número racional, numa situação
quociente, envolvendo grandezas discretas, manipulando dois referenciais.
• Verificar se o aluno é capaz de aceitar o fato de que um problema envolvendo
frações pode ter como resultado um número natural.
129
Possíveis respostas para o subitem a):
• 32 , indicando a compreensão da proposição;
• 31 , indicando o uso de um referencial diferente do proposto.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 20ou360 , indicando a compreensão da proposição;
• 31ou
32 , indicando o uso de um referencial diferente do proposto.
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 32 .
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 20ou360 .
Grau de dificuldade:
A questão é considerada de nível 1, pois pode ser resolvida apenas a partir do
conceito de quociente. Um aspecto significativo, entretanto, é o fato de que a
situação pode ser resolvida usando-se ou não o número de elementos dos conjuntos
de bolinhas a serem repartidos, ficando por conta do aluno a decisão sobre qual linha
de ação tomar.
Item 39 – No pacote 1 existem 12 balas, que serão repartidas igualmente para 4
meninos. No pacote 2 existem 9 balas que serão repartidas igualmente para 3
meninas.
130
a) Cada um dos meninos ganhará mais balas que as meninas?
( ) Sim ( ) Não
b) Represente por meio de uma fração a quantidade de balas que cada menino
receberá.
c) Represente por meio de uma fração a quantidade de balas que cada menina
receberá.
Objetivos:
• Verificar se o aluno consegue utilizar-se do número racional, numa situação
quociente, envolvendo grandezas discretas, manipulando dois referenciais,
além de comparar frações.
• Verificar se o aluno é capaz de aceitar o fato de que um problema envolvendo
frações pode ter como resultado um número natural.
Possíveis respostas para o subitem a):
• Não.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 34
12 = .
131
Possíveis respostas para o subitem c):
• 339 = .
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• Não.
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 34
12 = .
Respostas consideradas corretas para o subitem c):
• 339 = .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 2, pois além do uso do conceito de quociente,
requer a comparação de duas frações.
Item 41 – Três pacotes de ovos serão redistribuídos em pacotes menores, de modo
que cada novo pacote contenha 43 dos ovos do pacote maior.
a) Quantos pacotes poderão ser obtidos através desse procedimento?
b) Represente a solução desse problema como uma operação com frações.
Objetivos
Dada uma situação quociente, apresentada apenas através de um texto e uma
figura, em que o dividendo é uma grandeza discreta e o divisor é uma fração, verificar
se o aluno consegue:
• Encontrar a solução baseando-se na descrição do problema;
132
• Explicitar a resolução através de uma divisão de um número natural por uma
fração.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 4.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 4433 =: .
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 4.
Respostas consideradas corretas para o subitem b)
• 4433 =: .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 3. Cabem aqui as mesmas considerações feitas
em relação ao item 29 (página 114).
Grupo 14 – Questões tipo quociente, icônicas, envolvendo quantidades
discretas.
Estes itens foram incluídos no caderno 3, como questões 10, 11 e 12,
conforme descrito no tópico 3.2.1.
133
Item 38 – Dois dos pacotes de balas deverão ser repartidos igualmente por 6
meninos e outros 3 pacotes iguais, por 6 meninas.
a) Represente por uma fração de um pacote de balas o que cada menino
receberá.
b) Represente por uma fração de um pacote de balas o que cada menina
receberá.
c) Qual dessas frações é maior?
d) Represente por uma fração a quantidade de balas que cada menino receberá.
e) Represente por uma fração a quantidade de balas que cada menina receberá.
Objetivos:
• Verificar se o aluno consegue utilizar-se do número racional, numa situação
quociente, envolvendo grandezas discretas, utilizando-se de dois referenciais,
além de comparar frações.
• Verificar se o aluno é capaz de aceitar o fato de que um problema envolvendo
frações pode ter como resultado um número natural.
134
Possíveis respostas para o subitem a):
• 31ou
62 , indicando a compreensão da proposição; (considerada correta).
• 61 , indicando o uso de um referencial diferente do proposto.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 21ou
63 , indicando a compreensão da proposição; (considerada correta);
• 61 , indicando o uso de um referencial diferente do proposto.
Possíveis respostas para o subitem c):
• 21ou
63 (considerada correta).
Possíveis respostas para o subitem d):
• 6ou3
186
36 , (considerada correta).
Possíveis respostas para o subitem e).
• 9ou2
186
54 , (considerada correta).
Grau de dificuldade
O item é considerado de nível 1, pois a situação quociente está definida de
maneira explícita e a comparação de frações, solicitada no subitem c) remete ao caso
mais simples, que é o de duas frações de mesmo denominador. Um aspecto
significativo, entretanto, é o fato de que a situação pode ser resolvida usando-se ou
não o número de elementos dos conjuntos de balas a serem repartidos, ficando por
conta do aluno a decisão sobre qual linha de ação tomar.
135
Item 40 – O primeiro conjunto de figurinhas será dividido entre 3 crianças e o
segundo conjunto entre quatro crianças.
a) As crianças de que grupo ganharão mais figurinhas?
b) Represente por meio de fração a quantidade de figurinhas que cada criança do
1° grupo receberá
c) Represente por meio de fração a quantidade de figurinhas que cada criança do
2° grupo receberá.
d) Qual dessas frações é maior?
Objetivos
• Verificar se o aluno consegue representar e comparar frações numa situação
quociente, utilizando-se dos dados fornecidos por um texto e de figuras,
operando sobre grandezas discretas.
• Verificar se o aluno é capaz de aceitar o fato de que um problema envolvendo
frações pode ter como resultado um número natural.
Possível resposta para o subitem a):
• Grupo 2 (considerada correta).
Possível resposta para o subitem b):
• 43
12 = (considerada correta).
21
136
Possível resposta para o subitem c):
• 54
20 = (considerada correta).
Possível resposta para o subitem d):
• 4
20 (considerada correta).
Grau de dificuldade
O item é considerado de nível 2, pois requer o estabelecimento do referencial
correto, que é o número de elementos de cada conjunto; a apresentação da resposta
como um número natural, entendendo que esse número também é um número
racional; e a comparação desses números, pelos mesmos critérios usados para
comparar números racionais.
.
Item 42 - A figura abaixo representa uma caixa de maçãs, que serão transferidas
para caixas menores, com 41 da capacidade desta caixa .
a) Quantas caixas serão necessárias para guardar todas as maçãs?
b) Represente a solução desse problema como uma operação com frações.
Objetivos:
Dada uma situação quociente, apresentada apenas através de um texto e de uma
figura, em que o dividendo é uma grandeza discreta e o divisor é uma fração, verificar
se o aluno consegue:
137
• Encontrar a solução baseando-se na descrição do problema;
• Explicitar a resolução através de uma divisão de um número natural por uma
fração.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 4.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 4411 =: .
Respostas consideradas corretas para o subitem a)
• 4.
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 4411 =: .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 3. Cabem aqui as mesmas considerações feitas
em relação ao item 29 (página 114).
Grupo 15 – Questões tipo quociente, não icônicas, envolvendo quantidades
discretas.
Estes itens foram incluídos no caderno 1, como questões 4, 5 e 6, conforme
descrito no tópico 3.2.1.
Item 43 – Duas cestas com 20 laranjas cada foram repartidas entre 5 pessoas.
a) Cada pessoa ganhará pelo menos meia cesta de laranjas?
( ) Sim ( ) Não
b) Que fração de uma cesta de laranjas representa o que cada pessoa receberá?
138
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue utilizar-se do número racional, numa situação
quociente, envolvendo grandezas discretas, sem o auxílio de figuras.
Possíveis respostas para o subitem a):
• Não.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 4016ou
208
52 , , indicando a compreensão da proposição;
• 205ou
31 , indicando o uso de um referencial diferente do proposto.
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• Não.
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 4016ou
208
52 , .
Grau de dificuldade:
A questão é considerada de nível 1, pois pode ser resolvida apenas a partir do
conceito de quociente. Um aspecto significativo, entretanto, é o fato de que a
situação pode ser resolvida usando-se ou não o número de elementos dos conjuntos
de laranjas a serem repartidos em partes iguais, ficando por conta do aluno a decisão
sobre qual linha de ação tomar.
Item 45 – Marina tem 36 fotografias e deverá colocá-las em 3 álbuns com a mesma
quantidade de fotos em cada um. Ana tem 60 fotografias e deseja colocá-las em 5
álbuns, também com a mesma quantidade de fotos em cada.
139
a) Represente por uma fração a quantidade de fotos dos álbuns de Marina em
relação ao total de suas fotos.
b) Represente por uma fração a quantidade de fotos dos álbuns de Ana em
relação ao total de suas fotos.
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue utilizar-se do número racional, numa situação
quociente, envolvendo grandezas discretas, sem auxílio de figuras, apresentando a
resposta no referencial solicitado.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 31ou
3612 , indicando o uso do referencial correto;
• 6
36 , indicando o uso de um referencial diferente do solicitado.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 51ou
6012 , indicando o uso do referencial correto;
• 560 , indicando o uso de um referencial diferente do solicitado.
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
31ou
3613 .
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
51ou
6012 12/60 ou 1/5.
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 2, pois os dados necessários à resolução não
são fornecidos de forma explícita, requerendo um maior número de operações
mentais para a obtenção da resposta. Outro fator significativo é o fato de que a
140
situação pode ser resolvida usando-se ou não o número de elementos dos conjuntos
de fotos a serem repartidos, ficando por conta do aluno a decisão sobre qual linha de
ação tomar.
Item 47 – Uma biblioteca, que tinha seus livros guardados em 6 estantes cheias,
trocou seus móveis, e as novas estantes têm 43 da capacidade das antigas.
a) Quantas estantes novas serão necessárias para acomodar todos os livros da
biblioteca?
b) Represente a solução deste problema por uma operação com frações.
Objetivos:
Dada uma situação quociente, apresentada apenas através de um texto, sem
auxílio de figuras, em que o dividendo é uma grandeza discreta e o divisor é uma
fração, verificar se o aluno consegue:
• Encontrar a solução baseando-se na descrição do problema;
• Explicitar a resolução através de uma divisão de um número natural por uma
fração.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 8.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 8436 =: .
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 8.
141
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 8436 =: .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 3. Cabem aqui as mesmas considerações feitas
em relação ao item 29 (página 114).
Grupo 16 – Questões tipo quociente, não icônicas, envolvendo quantidades
discretas.
Estes itens foram incluídos no caderno 1, como questões 16, 17 e 18,
conforme descrito no tópico 3.2.1.
Item 44 – Três pacotes com 30 figurinhas de esportes cada foram repartidos entre 6
meninos e outros 2 pacotes, com 30 figurinhas de super-heróis cada, foram
repartidos entre outros 6 meninos.
a) Que fração de um pacote representa a quantidade de figurinhas de esportes
que cada menino recebeu?
b) Que fração de um pacote representa a quantidade de figurinhas de super-
heróis que cada menino recebeu?
c) Qual dessas frações é maior?
Objetivos:
Verificar se o aluno consegue:
• Utilizar-se do número racional, numa situação quociente, envolvendo
grandezas discretas, sem auxílio de figuras, apresentando a resposta no
referencial solicitado.
• Comparar duas frações.
142
Possíveis respostas para o subitem a):
• 21ou
3015
9045 , , indicando o uso do referencial esperado;
• 61ou
305 , indicando o uso de outro referencial.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 31ou
3010
9030 , , indicando o uso do referencial esperado;
• 61ou
305 , indicando o uso de outro referencial.
Possíveis respostas para o subitem c):
• 21ou
3015
9045 , ;
• 31ou
3010
9030 , .
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 21ou
3015
9045 , .
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 31ou
3010
9030 , .
Respostas consideradas corretas para o subitem c):
• 21ou
3015
9045 , .
Grau de dificuldade:
A questão é considerada de nível 1, pois pode ser resolvida apenas a partir do
conceito de quociente. Um aspecto significativo, entretanto, é o fato de que a
situação pode ser resolvida usando-se ou não o número de elementos dos conjuntos
143
de figurinhas a serem repartidos, ficando por conta do aluno a decisão sobre qual
linha de ação tomar.
Item 46 – Um pacote com 30 balas de morango foi dividido por 6 pessoas e um outro
pacote com 24 balas de hortelã foi repartido entre 4 pessoas.
a) todas as pessoas receberão a mesma quantidade de balas?
( ) Sim ( ) Não
b) Represente por uma fração o total de balas de morango que cada pessoa
recebeu.
c) Represente por uma fração o total de balas de hortelã que cada pessoa
recebeu.
Objetivos:
• Verificar se o aluno consegue representar e comparar frações numa situação
quociente, utilizando-se dos dados fornecidos por um texto, sem o auxílio de
figuras, operando sobre grandezas discretas.
• Verificar se o aluno é capaz de aceitar o fato de que um problema envolvendo
frações pode ter como resultado um número natural.
Possíveis respostas para o subitem a):
• Não.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 5ou6
30 , indicando o uso do referencial esperado;
• 61 , indicando o uso de outro referencial.
144
Possíveis respostas para o subitem c):
• 6ou4
24 , indicando o uso do referencial esperado;
• 41 , indicando o uso de outro referencial.
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• Não.
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 5ou6
30 .
Respostas consideradas corretas para o subitem c):
• 6ou4
24 .
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 2, pois requer o estabelecimento do referencial
correto, que é o número de elementos de cada conjunto, a apresentação da resposta
como um número natural, entendendo que esse número também é um número
racional.
Item 48 – Os cartões telefônicos da coleção de César estavam guardados em 6
álbuns. Ele pretende mudá-los para novos álbuns, cuja capacidade é 32 da
capacidade dos anteriores.
a) Quantos novos álbuns serão necessários para acomodar todos os seus
cartões?
b) Represente a solução deste problema por uma operação com frações.
145
Objetivos:
Dada uma situação quociente, apresentada apenas por meio de um texto e sem
o auxílio de figuras, em que o dividendo é uma grandeza discreta e o divisor é uma
fração, verificar se o aluno consegue:
• Encontrar a solução baseando-se na descrição do problema;
• Explicitar a resolução utilizando-se de uma divisão de um número natural por
uma fração.
Possíveis respostas para o subitem a):
• 9.
Possíveis respostas para o subitem b):
• 9326 =: .
Respostas consideradas corretas para o subitem a):
• 9.
Respostas consideradas corretas para o subitem b):
• 9326 =: :
Grau de dificuldade:
O item é considerado de nível 3. Cabem aqui as mesmas considerações feitas
em relação ao item 29 (página 114).
146
CAPÍTULO V
ANÁLISE QUANTITATIVA DOS
RESULTADOS
No presente capítulo será feita uma análise quantitativa dos dados obtidos
na pesquisa. Será apresentada uma tabulação dos resultados em termos de
porcentagens de acertos, organizados por grupos de questões, conforme descrito
em 3.1. Os resultados serão apresentados em forma de gráfico e serão feitas
algumas considerações qualitativas preliminares sobre os resultados obtidos. Esta
primeira observação deverá apontar os pontos críticos, que serão objeto de uma
análise qualitativa mais aprofundada, que será apresentada no capítulo 6. Os
itens que compõem o instrumento de pesquisa estão apresentados no anexo 2,
ao final desta dissertação, para facilitar a consulta durante a leitura.
147
5.1 ANÁLISE DO GRUPO 1 (Itens 1, 3 e 5)
5.1.1 Gráfico dos acertos
Grupo 1
0102030405060708090
100
1a 1b 3 5
itens
porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
5.1.2 Considerações sobre os resultados obtidos
A observação do gráfico mostra que a variação das porcentagens de
acertos das questões não é significativa entre os diferentes níveis de
escolaridade. Chama a atenção, porém, a pequena porcentagem de alunos, nos
três níveis de escolaridade, que manteve o mesmo referencial para responder aos
itens a) e b), correspondentes às figuras 1 e 2 abaixo:
A resposta mais comum foi 3/8 para o item a) e 5/16 para o item b). A
resposta 5/16 para o item b) parece indicar uma tendência a discretizar as partes,
tomando sempre como o todo-refêrencia o número total de partes, sem a
preocupação de manter um referencial único para todo o problema. Isso parece
caracterizar uma postura simplista diante da idéia de fração, uma vez que não
148
teria sentido exprimir a quantidade de pizza da mesa 2 como 165 sem deixar bem
claro que seriam 165 de duas pizzas. Esperava-se que o referencial uma pizza,
fosse tido como natural pelos sujeitos, pois o contexto trata de frações de pizza. O
referencial uma pizza, entretanto, foi ignorado pela maioria dos sujeitos no
subitem 1b) em que predominaram respostas com denominador 16. Essa
mudança de referencial sugere que boa parte dos alunos ainda trata a fração
como um simples indicador das partes de um todo, sem uma reflexão maior sobre
esse todo, desconsiderando o uso da fração como um objeto matemático que
permite comparar grandezas e executar operações.
O item 3 remete à idéia de conservação da área para a explicitação do
todo. Esse aspecto é bastante significativo para crianças em início de
escolarização, como apontam os estudos de Campos e Cols (1995), citados em
Nunes(1997), e os trabalhos de Merlini (2005) e Moutinho (2005). Nas faixas
etárias abrangidas por esta pesquisa, porém, esses aspectos não aparentam ser
importantes.
O problema do referencial volta a ser significativo no item 5, em que o texto do
problema enfatizava a idéia de tomar uma pizza como a referência:
“Se pudéssemos juntar todos esses pedaços de pizza e exprimir essa
quantidade como fração de uma pizza, qual a fração que representa a
quantidade de pizza que não foi consumida?”
149
O problema não foi apresentado com o trecho do texto sublinhado, aqui
acrescentado a fim de chamar a atenção para o que se esperava do sujeito em
termos de estabelecimento de um referencial para responder à questão. O
objetivo principal era verificar se o aluno teria facilidade em lançar mão da idéia
de fração imprópria, numa situação fortemente contextualizada, usando a fração
para representar uma parte maior que o próprio todo.
O problema da fração imprópria, porém, parece menos significativo que o
do referencial. Embora o texto do problema destacasse com mais ênfase que no
item 1 que se desejava tomar uma pizza como referência, a maioria dos sujeitos
pesquisados respondeu a questão como uma fração de duas pizzas, tomando
como todo-referência os 16 pedaços.
5.2 ANÁLISE DO GRUPO 2 (itens 2, 4 e 6)
5.2.1 Gráfico dos Acertos
Grupo 2
0102030405060708090
100
2a 2b 4 6a 6b 6c 6d 6e
Itens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
150
5.2.2 Considerações sobre os resultados obtidos
O item 2, embora ainda fosse considerado de nível 1, diferenciou-se do
item 1 pelo fato de que, naquele item, as partes em que as pizzas foram divididas
estavam perfeitamente representadas, enquanto, neste caso, embora todas as
divisões estivessem explícitas, as divisões do todo só poderiam ser obtidas a
partir de linhas de grade do gráfico, externas à representação. A necessidade de
fazer essa consideração, que está associada à noção de conservação de área,
parece ter exercido alguma influência sobre o resultado da oitava série.
Com relação ao item 4, mantêm-se as observações sobre o desempenho
já colocadas no item 2, tendo a quase totalidade dos alunos respondido
corretamente à questão colocada.
O enunciado da questão poderia proporcionar outra interpretação, uma vez
que se refere à pintura do prédio, querendo, na verdade, tratar apenas de sua
fachada. Felizmente, isso não influiu no resultado. A forma como a figura foi
apresentada, o fato de este item ter sido incluído no caderno 3, e de os alunos já
terem resolvido muitas questões antes dele, parece ter colaborado para que essa
imperfeição do enunciado não fosse significativa.
Na análise do item 6, merece destaque a queda de desempenho
apresentada na passagem do subitem a) para o subitem b). A solicitação para
que seja mantido o mesmo referencial para resolver todos os subitens é colocada
neste item de forma mais enfática que nos itens 1 e 5 já comentados. Isso,
entretanto, não impediu que muitos alunos respondessem cada subitem com
frações de denominadores diferentes.
151
No subitem 6e, foi considerada correta a resposta do aluno que acertou o
subitem 6a e repetiu a resposta no subitem 6b, sinalizando para a compreensão
de que se tratavam de frações equivalentes.
5.3 ANÁLISE DO GRUPO 3 (itens 7, 9 e 11)
5.3.1 Gráfico dos acertos
Grupo 3
0102030405060708090
100
7a 7b 7c 9 11a 11bItens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
5.3.2 Considerações sobre os resultados obtidos
Os resultados apresentados no item 7, se comparados com as questões de
nível 1 dos grupos anteriores, sugerem que a substituição de um desenho por um
texto não agregou dificuldade à resolução da questão, principalmente em relação
ao Ensino Fundamental.
No item 9, em que se propôs compor o todo através de partes com
tamanhos diferentes, a ausência do desenho parece ter sido significativa. Houve
uma grande redução da quantidade de acertos, principalmente no Ensino
Fundamental. As respostas incorretas apresentadas foram variadas e três alunos
deixaram a questão em branco. A resposta 52 , entretanto, apareceu apenas uma
vez, indicando que apenas um aluno ignorou as diferenças entre os tamanhos das
152
partes e respondeu como se as 5 partes fossem do mesmo tamanho. Essa
resposta, que caracteriza a não conservação da área, também foi dada por 2
alunos do Ensino Médio e 3 do Ensino Superior. Esse item foi incluído no caderno
3 como segunda questão. O fato de ser uma questão não icônica, requerendo
uma leitura atenta do texto para a compreensão, pode ter contribuído para que os
alunos da oitava série não mantivessem, nesse item, o mesmo percentual de
acertos que tiveram nos itens 3 e 4.
O item 11, de nível 3, apresentou uma queda significativa nos percentuais
de acertos, e as respostas erradas foram todas 52 e
54 , respectivamente, para os
subitens a) e b). A resposta 52 para o subitem a) parece ter sido motivada por um
dos seguintes raciocínios:
• Imaginar cada terreno dividido em 5 partes, perfazendo 10 partes; tomar 4
dessas 10 partes e simplificar a fração.
• Tomar um terreno, dividi-lo em 5 partes e apresentar a resposta
interpretando como se a parte de Antônio fosse 52 de cada terreno.
• Entender que se Antônio ganhou 52 de cada terreno, ele ganhou
52 da
herança toda e, portanto, 52 é a fração que representa a herança.
• Ignorar, na leitura do problema, o fato de que eram dois os terrenos.
• Não perceber que a mesma área de terreno, que pode ser representada
por 52 de toda a herança, pode também ser representada por
54 de um
terreno.
153
A resposta 54 , que predominou no subitem b), pode ser compreendida por
raciocínios análogos.
A queda na quantidade de acertos do item 11 em relação aos itens 7 e 9
deixa claro que o estabelecimento do referencial em que o problema deve ser
respondido se constitui em um fator significativo de dificuldade.
5.4 Análise do Grupo 4 (itens 8, 10 e 12)
5.4.1 Gráfico dos acertos
Grupo 4
0102030405060708090
100
8 10a 10b 12a 12bItens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
5.4.2 Considerações sobre os resultados obtidos
O item 8 tem a peculiaridade de apresentar o todo não como um objeto a
ser dividido em partes iguais, mas como um conjunto, de tal maneira que a fração
pedida deve representar um de seus subconjuntos em relação ao total de seus
elementos. Essa discretização pode ter feito com que alguns alunos dos Ensinos
Fundamental e Superior respondessem incorretamente à questão. As respostas
incorretas são bastante diversas e não permitem inferir sobre a predominância de
algum tipo de interpretação.
154
O item 10, em seu subitem a) é muito semelhante ao item 9 e teve índices
de acertos semelhantes aos daquele item, com um melhor desempenho dos
alunos do Ensino Fundamental. O Subitem 10 b) requereu mais operações ao
propor a repetição do procedimento – agora com dois novelos de fita. Houve uma
queda acentuada no número de acertos, principalmente dos alunos do Ensino
Médio, em que quase todas as respostas incorretas foram 104 ou
52 , indicando
que a quantidade de fita dos dois novelos foi representada por uma fração de dois
novelos, e não de um novelo, como o texto do problema solicitava.
O item 12 apresentou uma questão semelhante às questões 5 e 6, em que
se propunha juntar partes de vários objetos e representar essas partes
reagrupadas como fração de um objeto, no caso, de uma barra de chocolate. A
questão do estabelecimento do referencial volta a ser significativa, pois dentre as
respostas erradas predominam a resposta 85 no subitem a). No subitem b),
predominou também a resposta 85 , expressa, algumas vezes, na forma
1610. A
repetição da resposta 85 nos subitens a) e b) foi bastante freqüente. Levando-se
em conta que o enunciado do problema deixava claro que a quantidade de
chocolate correspondente à resposta do subitem b) é o dobro da quantidade do
subitem a), usar a mesma fração para representá-las sinaliza para o fato de que
não houve a preocupação de associar quantidades às frações dadas como
resposta. Outra possibilidade é a de que o sujeito tenha pensado em quantidades
diferentes, porém apresentado cada uma delas segundo referenciais diferentes,
sem entender a manutenção do referencial como algo significativo.
155
5.5 ANÁLISE DO GRUPO 5 (itens 13, 15 e 17)
5.5.1 Gráfico de acertos
Grupo 5
0102030405060708090
100
13 15 17a 17b
Itens
Porc
enta
gem
de
acer
tos Fund
Méd
Sup
5.5.2 Considerações sobre os resultados obtidos
No item 13, a proposta foi substituir o todo-referência por um conjunto, e a
fração deveria ser expressa por uma relação entre o número total de elementos
desse conjunto e o número de elementos de um de seus subconjuntos. Nesta
passagem das quantidades contínuas para as quantidades discretas, observou-se
uma diminuição do número de acertos entre os alunos do Ensino Fundamental,
mantendo-se as porcentagens elevadas em relação aos alunos dos Ensinos
Médio e Superior. Dos 4 alunos do Ensino Fundamental que não responderam
corretamente, dois deixaram em branco e dois responderam 43 , sugerindo o
estabelecimento de uma relação parte-parte, o que não apareceu quando
problemas semelhantes foram apresentados com grandezas contínuas.
O item 15 oferece duas possibilidades de raciocínio: ignorar a distribuição
dos doces pelos pratos e representar 4 de um total de 10 ou perceber que na
mesa há o equivalente a 5 pratos com dois doces e o prato 1 contém 52 dos
doces da mesa. Dos 3 alunos do Ensino Fundamental que não responderam
156
corretamente, dois deixaram em branco e um respondeu 64 . Isso sugere o
estabelecimento de uma relação parte-parte. O item teve um elevado número de
acertos, principalmente nos Ensinos Médio e Superior.
O item 17 apresentou uma porcentagem baixa de acertos, principalmente
nos Ensinos Fundamental e Superior. No Ensino Fundamental, apenas dois
alunos apresentaram a resposta correta na forma 2118 , indicando que a estratégia
de resolução foi discretizar o total dos elementos da caixa em vez de pensar em
frações de uma caixa. Dentre as respostas incorretas, dois alunos indicaram 219 e
5 alunos indicaram 73 . A resposta
219 aponta para a idéia de que foi levada em
conta apenas uma caixa de bolinhas na repartição. A resposta 73 dá margem a
duas possíveis interpretações: não foi levado em conta o fato de serem duas
caixas, ou houve a intenção de indicar que Carlos recebeu 73 do total das
bolinhas. Nesse caso a resposta não foi apresentada no referencial solicitado.
5.6 ANÁLISE DO GRUPO 6 (Itens 14, 16 e 18)
5.6.1 Gráfico de acertos
Grupo 6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
14 16 18a 18b
Itens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
Fund
Médio
Sup
157
5.6.2 Considerações sobre o resultado obtido
No item 14 houve acerto por quase todos os alunos, com exceção de dois
do ensino Médio, que responderam 42 e
21 , sinalizando para o estabelecimento de
relações parte-parte.
O item 16, da mesma forma que o item 15, teve grande quantidade
respostas corretas. No Ensino Fundamental, dentre os alunos que não acertaram,
3 não responderam e 2 responderam 52 . Essa resposta sugere a percepção da
necessidade da conservação da quantidade de elementos do conjunto tomado
como referência, sinalizada pela escolha do numerador 2. O denominador 5,
porém, sugere a tomada de uma relação parte-parte.
Com relação ao item 18, a observação do gráfico aponta para um resultado
inesperado entre os alunos do Ensino Médio.
Para tentar obter uma resposta à forte discrepância de resultados
apresentados no item 18 pelos alunos do Ensino Médio, duas providências foram
tomadas: 1) a montagem de uma questão alternativa que explora a idéia de
fração imprópria, com outra situação-problema e; 2) a elaboração de uma
entrevista semi-estruturada, com alguns alunos.
5.6.3 Questão alternativa
Foi apresentada a seguinte questão aos mesmos sujeitos pesquisados nos
Ensinos Fundamental e Médio e a 14 dos sujeitos pesquisados no Ensino
Superior:
A seguir estão representadas, em duas situações, algumas maçãs e uma
caixa com repartições. Sabe-se que é possível colocar apenas uma maçã em
158
cada repartição da caixa. Responda, para cada uma das situações, que fração
representa a quantidade de maçãs em relação à capacidade da caixa.
Situação 1
Situação 2
Resposta
Resposta
159
Todos os sujeitos responderam corretamente às duas situações, com
exceção de um, do nível superior, que em vez de 129 e
1215 , conforme esperado,
respondeu 9
12 e 1512 . Essa inversão, porém, não parece significativa para o objeto
da pesquisa.
Com relação à entrevista, foram escolhidos 5 alunos do Ensino Médio que
não acertaram a questão 18, respondendo para seu subitem a) 8032 , em vez de
2032 , como esperado. As entrevistas foram feitas individualmente, e o pesquisador
solicitou inicialmente que fosse resolvida novamente a questão, oferecendo ao
aluno a página completa do caderno de questões que contém o item 18. Dois
deles, nessa segunda vez, responderam corretamente. Foi-lhes perguntado a que
atribuíam o fato terem dado uma resposta diferente na primeira resolução, e os
dois disseram que não tinham lido com atenção o enunciado. Os outros três
alunos erraram também pela segunda vez. Foi perguntado a cada um deles o que
significava a expressão “Tomando como o todo-referência uma caixa de
bolinhas”. Nos três casos, a leitura da frase levou à reconsideração e à resposta
correta, indicando que a leitura pouco atenta, nesse caso, pode ter comprometido
a resolução do problema.
Merece destaque aqui o fato de que este grupo de itens compôs a primeira
página do caderno 1 de questões, e foram, portanto as primeiras questões
resolvidas. Essa primeira página do caderno foi impressa em cores, e o item 18
foi precedido pelos itens 14 e 16, que eram de resolução muito simples e podiam
ser resolvidos apenas pela observação da figura. A constatação de que a
resolução dispensava a leitura do texto, nos itens 14 e 16, pode ter induzido
160
muitos alunos a fazer o mesmo no item 18, e isso parece ter sido mais freqüente
em relação aos alunos do Ensino Médio.
5.7 ANÁLISE DO GRUPO 7 (Itens 19, 21 e 23)
5.7.1 Gráfico de acertos
Grupo 7
0102030405060708090
100
19 21 23a 23b
Itens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
5.7.2 Considerações sobre o resultado obtido
No item 19, mantiveram-se os índices de acertos das questões
correspondentes dos outros grupos, sinalizando que o auxílio de figuras, no caso
das questões de nível 1, foi pouco significativo. Manteve-se também a ligeira
queda apresentada pelos alunos do Ensino Fundamental nas questões que
envolvem quantidades discretas em relação às que envolvem quantidades
contínuas. As respostas incorretas apresentadas pelos alunos são dispersas e
não permitem inferir qual interpretação do problema foi feita pelos alunos que não
acertaram.
No item 21, a ausência da figura, que foi significativa nas questões que
envolviam quantidades contínuas, teve um menor impacto, possivelmente pela
161
possibilidade de resolver o problema imaginando o total de lugares sem levar em
conta as capacidades das mesas.
O item 23 apresentou uma surpreendente dificuldade aos alunos do Ensino
Fundamental, com ausência total de acertos. Da mesma forma que nas demais
questões do tipo parte-todo de nível 3, esperava-se que o aluno tomasse cada
pacote de 30 balas, repartisse esses pacotes em 6 partes iguais, usando ou não a
cardinalidade do conjunto (o valor 30) e reagrupasse essas partes como fração de
um pacote. Esse é o mecanismo que se procurou testar nesta pesquisa para
obter a fração imprópria a partir da lógica parte-todo.
Esse item foi colocado no caderno 2, e, ao se depararem com ele, os
alunos já haviam resolvido os itens 12 e 17, que apresentam características
semelhantes. O item 17, que também envolve grandezas discretas, assemelhou-
se ao 23 na pequena porcentagem de acertos. Uma possível explicação é o fato
de que a passagem das grandezas contínuas para as discretas acrescenta um
novo dado ao problema: a cardinalidade do conjunto a ser repartido, que, além de
introduzir novos dados, permite várias maneiras de resolução, cuja escolha dos
dados fornecidos ocorrerá em função da linha de ação tomada. Isso
aparentemente é um fator dificultador, e esse aspecto será explorado com mais
detalhes no capítulo 6.
Com relação às respostas apresentadas pelos alunos do Ensino
Fundamental, doze dos treze sujeitos pesquisados responderam 62 ou
31 . A outra
resposta foi 301 . As respostas
62 ou
31 sugerem que, na tentativa de resolução, a
maioria dos alunos imaginou o todo-referência como um pacote, não como um
conjunto de 30 balas e respondeu à pergunta entendendo que a parte de Michele
162
foi 62 de todas as balas, não se preocupando com o quanto de um pacote essa
quantidade de balas significava. Outra possibilidade é que as respostas 62 ou
31
foram motivadas pela simples desconsideração, na leitura do enunciado do
problema, de que se tratavam de dois pacotes de balas, mas é pouco provável
que isso ocorresse com a totalidade dos alunos.
A ausência da palavra cada no enunciado, enfatizando que se tratava de
repartir dois pacotes com 30 balas cada, pode ter trazido alguma dificuldade para
os alunos que imaginaram pacotes com 15 balas. Nesse caso, dividir 15 balas em
6 partes iguais não seria possível, mas como se desejava tomar 62 de cada
pacote, se fosse observada a equivalência com 31 , isso seria possível e o
problema teria as respostas 1510 para o subitem a) e
1520 para o subitem b), que
também estão corretas. Essas respostas com denominador 15, entretanto, não
apareceram.
As respostas 3010 para o subitem a) e
3020 par o subitem b) parecem indicar
que o sujeito considerou dois pacotes de 15 balas, mas forneceu a resposta em
relação ao total de balas e não a um pacote, como foi pedido. Essas respostas
foram dadas por um sujeito do Ensino Médio e dois do Ensino Superior.
A inclusão da palavra “cada”, no enunciado, portanto, deixaria o problema
mais preciso, mas parece não ter sido a causadora do baixo índice de acertos,
pois a linha de ação esperada – fornecer a fração de um pacote – conduz a um
resultado que independe do número de balas por pacote.
163
5.8 ANÁLISE DO GRUPO 8 (Itens 20, 22 e 24)
5.8.1 Gráfico de acertos
Grupo 8
0102030405060708090
100
20a 20b 20c 22a 22b 22c 24a 24b
Itens
Porc
enag
em d
e ac
erto
s
FundMédSup
5.8.2 Considerações sobre os resultados obtidos
No item 20, manteve-se a tendência de grande porcentagem de acertos. A
questão fornece, de maneira bem definida, quem é o todo, em quantas partes ele
foi definido e quantas partes foram tomadas. Os resultados obtidos sugerem que
o tipo de grandeza (contínua ou discreta), ou a forma de apresentação da questão
(com ou sem ícones), têm pouca relevância para os sujeitos estudados.
Já no item 22, o desempenho comparado entre as questões de mesmo
nível, icônicas ou não icônicas, aponta para o fato de que a ausência do desenho
é significativa. Esse fato fica perceptível na comparação entre os gráficos de
acertos das questões icônicas com os gráficos das não icônicas, ambas as
questões de nível 2, para o significado parte-todo.
O item 24 teve desempenho significativamente maior que o item 23, seu
correspondente no grupo 7. Algumas considerações podem ser feitas para
compreender esse desempenho. Comparando os dois itens, pode-se observar
164
que o item 23 forneceu as informações de maneira sintética, com um dado que
poderia até não ser considerado na solução (o número de balas do pacote),
exigindo um trabalho mental mais intenso de reorganização das informações. O
item 24, por sua vez, apresentou as informações passo a passo, facilitando a
observação de que a resposta deveria ser dada em relação a um pacote de
contas.
A grande maioria das respostas incorretas foram do tipo 104 para o
subitem a) e 208 para o subitem b), apresentadas por cerca de 35% a 40% dos
alunos, com exceção do subitem a), em que a resposta 104 , dos alunos do Ensino
Fundamental, apareceu com uma freqüência de 25%. Essas respostas indicam
que a questão foi respondida num referencial diferente do solicitado e confirmam
as observações já feitas em relação às demais questões parte-todo de nível 3.
Para explicar o percentual de acertos maior no item 24, deve-se levar em
conta o fato de que, nesse item, não foi fornecido o número de contas de cada
pacote. A ausência dessa cardinalidade impõe que a questão seja resolvida
pensando-se apenas em frações de pacotes, num processo semelhante ao das
grandezas contínuas. Essa questão será tratada com mais detalhes na análise
qualitativa (capítulo 6).
165
5.9 ANÁLISE DO GRUPO 9 (Itens 25, 26 e 29)
5.9.1 Gráfico de acertos
Grupo 9
0102030405060708090
100
25a 25b 25c 27a 27b 27c 29a 29bItens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
Fund
Méd
Sup
5.9.2 Considerações sobre os resultados obtidos
No item 25, embora a quase totalidade dos sujeitos respondeu que a
quantidade de chocolate que caberia a cada criança era menor que uma barra
inteira, a comparação da parte de cada um com meia barra não manteve o
percentual de acertos, apresentando uma pequena queda nos três níveis. No
subitem c), duas respostas predominaram:
• 43 , que era a resposta esperada, obtida possivelmente pela
tentativa de dividir 3 por 4, que caracteriza o significado quociente.
A divisão indicada mostra a quantidade de chocolate que caberá a
cada pessoa.
• 41, indicando que o aluno ainda está lançando mão da lógica
parte-todo, dividindo cada um dos chocolates em 4 partes e
166
entendendo que cada pessoa deverá ganhar uma dessas partes
de cada chocolate.
A resposta 41 foi dada por cerca de 10% dos alunos do Ensino Médio, 20%
dos alunos do Ensino Superior e 40% do Ensino Fundamental. Essa resposta
sugere que esses alunos ainda apresentam resistência a associar a fração à idéia
de quociente.
No caso do item 26, a maioria das incorretas foi 51 tanto para o subitem a)
quanto para o b). Cabem aqui as mesmas considerações feitas para o item 25.
Alguns dos alunos que responderam 51 para os subitens a) e b), reconheceram
que as meninas ganharam mais chocolate mas, no subitem d), indicaram, de
maneira coerente com suas respostas, que as frações são iguais. Essa resposta
desconsidera a relação existente entre os quatro subitens do problema e não
reconhece, na fração, um elemento capaz de exprimir quantidades e permitir que
essas quantidades sejam comparadas ou que se realizem operações com elas.
O item 29 propõe uma situação de repartição em que o divisor é um
número fracionário e procura detectar, no subitem a), quantos alunos são capazes
de resolver a questão valendo-se de quaisquer procedimentos, sejam formais,
sejam intuitivos. O subitem b) procura identificar quantos, dentre os que
resolveram, são capazes de fazê-lo utilizando uma operação formal com números
racionais. A diferença de percentuais apresentada mostra que, embora muitos
consigam resolver a questão, predominam na resolução os métodos algébrico,
gráfico, a regra de três e raciocínios aditivos.
167
5.10 ANÁLISE DO GRUPO 10 (Itens 27, 28 e 30)
5.10.1 Gráfico de acertos
Grupo 10
0102030405060708090
100
27a 27b 27c 28a 28b 28c 28d 30a 30b
Itens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
5.10. 2 Considerações sobre os resultados obtidos
No item 27, chama a atenção o fato de que, embora a maioria dos alunos
demonstrou saber que as duas divisões propostas resultam em pedaços iguais de
bolo, há uma queda expressiva, principalmente no Ensino Fundamental, no
resultado dos que acertaram o subitem c) em relação aos que acertaram o
subitem b). Isso indica que uma parcela dos alunos não percebeu que pedaços
iguais de bolo deveriam ser representados pela mesma fração (ou por frações
equivalentes) e não repetiram em c) o resultado obtido em b).
No item 28 nota-se uma queda na quantidade de alunos do Ensino
Fundamental que conseguem comparar as duas frações, seja utilizando-se de
elementos contextuais, como a observação do desenho – em que se pode notar
que, na passagem do grupo 1 para o grupo 2, a quantidade de bolo aumenta mais
que a quantidade de meninos, portanto as crianças deste grupo ganharão mais
bolo – seja comparando as frações pelos processos estudados, considerando que
são frações com numeradores e denominadores diferentes.
No item 30, repetem-se as mesmas observações relativas ao item 29.
168
5.11 ANÁLISE DO GRUPO 11 (Itens 31,33 e 35)
5.11. 1 Gráfico de acertos
Grupo 11
0102030405060708090
100
31a 31b 33a 33b 33c 35a 35b
Itens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
5.11.2 Considerações sobre os resultados obtidos
No item 31, a maioria dos alunos conseguiu reconhecer que a quantidade
de chocolate que cada criança receberá é maior que meia barra, porém, um
grande número de alunos do Ensino Fundamental manteve a tendência de
responder à questão aparentemente pensando na fração de cada barra e não
exprimindo o total de chocolate recebido pela criança como uma fração de uma
barra. Essa tendência tem sido observada em todas as questões correlatas e é
sensivelmente mais acentuada nos alunos do Ensino Fundamental.
No item 33 houve uma ligeira queda na porcentagem de acertos em
relação ao item 28, causada possivelmente pela ausência das figuras e pela
maior quantidade de operações necessárias para resolver as duas questões
propostas. Dentre as respostas incorretas, houve algumas tentativas de resolver
mantendo o denominador 15, indicando uma tendência de não separar em dois
grupos.
169
No item 35 chama a atenção o desempenho atípico dos alunos do Ensino
Superior em uma questão que só diferiu das anteriores de mesmo nível pela
ausência da figura. Cabe aqui considerar que esta foi a última questão do caderno
3, portanto, a última questão resolvida do teste. Isso pode ter sido significativo,
pois para uma parte dos alunos do Ensino Superior o teste foi aplicado à noite.
5.12 ANÁLISE DO GRUPO 12 (Itens 32, 34 e 36)
5.12.1 Gráfico de acertos
Grupo 12
0102030405060708090
100
32a 32b 32c 32d 34a 34b 34c 34d 36a 36b
Itens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
5.12.2 Considerações sobre os resultados obtidos
O item 32, classificado como de nível 1, apresentou uma situação-
problema em que foram descritas duas repartições de refrigerante por um grupo
de meninos e outro de meninas. A grande porcentagem de acertos pelos sujeitos
dos três níveis de escolaridade no subitem a), que perguntava se os meninos ou
as meninas tomariam mais refrigerante, sinaliza para o fato de que a situação foi
bem compreendida pela quase totalidade dos alunos. Chama a atenção, porém, a
170
grande porcentagem de alunos do Ensino Fundamental que não responderam
corretamente aos subitens b), c) e d).
No caso do subitem b), o resultado 54 poderia ser obtido a partir do
significado quociente, em que a fração exprimiria de maneira direta a divisão de 4
garrafas de refrigerante por 5 meninos. Essa resposta também poderia ser obtida
mobilizando-se o significado parte-todo, imaginando-se a quantidade de
refrigerante de cada uma dessas garrafas dividida em 5 partes, cabendo 4 dessas
partes a cada menino.
Dentre os 7 alunos do Ensino Fundamental que não apresentaram a
resposta esperada para a questão, 5 responderam 51 , o que sugere que foi
mobilizado um raciocínio baseado no significado parte-todo, porém a resposta foi
expressa como a fração de uma garrafa que caberá a cada menino. Esse
raciocínio, portanto, exprimiu o resultado tomando como referencial uma garrafa,
e não o total de refrigerante consumido por criança. Nesse caso, a resposta foi 51
tanto para os meninos quanto para as meninas. Observa-se, com mais
intensidade nos alunos do Ensino Fundamental, essa tendência a não vincular a
fração a um referencial, mesmo numa situação contextualizada. Essa ausência de
preocupação com o referencial fez com que esses alunos representassem, pelo
mesmo número, duas quantidades que eles próprios reconhecem que são
diferentes.
No subitem c) pode-se observar exatamente o mesmo comportamento dos
alunos, já comentado em b). O subitem d) indica, nos três graus de escolaridade
praticamente a mesma quantidade de acertos. Chama a atenção, dentre os 5
171
alunos do Ensino Fundamental que responderam 51 nos itens a) e b), que quatro
deles responderam que as frações são iguais e um deixou em branco.
O item 34 repetia o item 32, apresentando uma situação em que a divisão
resultava em frações impróprias e de comparação não tão imediata. A
comparação dos resultados mostra um comportamento semelhante ao do item 32,
com uma pequena redução do percentual de acertos, sugerindo que as
considerações apresentadas sobre aquele item são aplicáveis também a este.
O item 36 mantém o mesmo comportamento observado nos demais itens
do significado quociente considerados de nível 3, sugerindo que a existência ou
não de uma figura tem pouco significado, mesmo no subitem a).
5.13 ANÁLISE DO GRUPO 13 (Itens 37, 39 e 41)
5.13.1 Gráfico de acertos
Grupo 13
0102030405060708090
100
37a 37b 39a 39b 39c 41a 41b
Itens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
5.13.2 Considerações sobre os resultados obtidos
No item 37, foi proposto que duas caixas de bolinhas, apresentadas sob a
forma de um desenho, fossem repartidas entre 3 meninos, No subitem a) foi
172
perguntado que fração de uma caixa de bolinhas cada menino ganhou. Essa
pergunta poderia ser respondida sem levar em conta a quantidade de bolinhas
existente na caixa, entendendo que, se duas caixas foram repartidas entre 3
meninos, cada menino deveria ganhar 32 de uma caixa de bolinhas. A passagem
das quantidades contínuas para as discretas, entretanto, com a conseqüente
inclusão da quantidade de bolinhas como uma nova variável a ser levada em
conta, pode ter provocado a redução na quantidade de acertos.
A idéia de quociente, quando estendida para conjuntos discretos,
apresenta a particularidade de produzir situações em que a fração obtida como
resposta é um número natural, como no caso do subitem 37 b). O mesmo
procedimento de dividir duas caixas por 3 meninos, que leva à fração 32 de caixa,
pode ser aplicado à cardinalidade dos conjuntos, levando à fração 360 ou 20. O
item procurou avaliar quantos alunos são capazes de considerar esse número
natural como um caso particular de fração.
No Ensino Fundamental, apenas um pequeno grupo de sujeitos fez essa
consideração. A maioria das respostas incorretas foi 6020, sugerindo que a
“quantidade” foi entendida como uma fração do total das bolinhas e não como o
número de bolinhas que cada um recebeu.
Uma possível explicação para esse resultado se encontra no fato de que a
noção de fração aparentemente está fortemente associada à idéia de tomar um
grande conjunto como todo e um de seus subconjuntos como parte. A idéia de
tomar como referência apenas um elemento de um conjunto (uma bolinha) para
representar uma quantidade como uma fração de um conjunto discreto,
173
entretanto, parece não ser de compreensão tão simples. O entendimento da
fração como quociente permite que essas frações impróprias, representadas por
números naturais, sejam compreendidas com mais facilidade.
O enunciado do item 37 pode ter trazido alguma dificuldade na
compreensão do que se queria avaliar, pois os textos são muito parecidos e se
requeria uma leitura atenta para diferenciar fração de caixa de quantidade,
entendendo-se este termo como um número de bolinhas. As respostas 3020ou
32 ,
repetidas para os subitens a) e b), podem significar que o aluno não conseguiu
diferenciar esses dois sentidos dados às frases na interpretação do texto. Essas
respostas foram dadas por 2 sujeitos do Ensino Fundamental, 2 do Ensino Médio
e 3 do Ensino Superior.
O item 39 apresentou um desempenho absolutamente análogo ao 37, e o
item 41 também mostrou o mesmo comportamento das questões
correspondentes dos demais grupos.
5.14 ANÁLISE DO GRUPO 14 (Itens 38, 40 e 42)
5.14.1 Gráfico de acertos
Grupo 14
0102030405060708090
100
38a 38b 38c 38d 38e 40a 40b 40c 40d 42a 42b
Itens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
174
5.14.2 Considerações sobre os resultados obtidos
O item 38 apresentou uma situação semelhante à do item 37, com o
acréscimo de duas questões. Nos dois primeiros subitens, pediu que as balas que
cada criança recebeu fossem representadas por uma fração de caixa de balas e,
posteriormente, que fossem representadas por frações as quantidades de balas.
Chama a atenção no gráfico o fato de que alguns alunos do Ensino
Fundamental e Superior não repetiram o mesmo procedimento nos subitens a) e
b). As respostas apresentadas foram diversificadas e não apontaram para uma
tendência de linha de raciocínio.
No subitem c), os percentuais de respostas coincidiram com os de b),
sinalizando para a idéia de que os alunos que resolveram corretamente as duas
primeiras proposições não tiveram dificuldade em comparar as frações que
representam cada uma das situações.
Nos subitens d) e e) repetiu-se a observação já descrita em ralação aos
itens 37 e 38, com destaque para o fato de que não houve nenhum acerto entre
os alunos do Ensino Fundamental.
O item 40 apresentou a questão da comparação de frações de duas
maneiras diferentes. No subitem a), a idéia de comparação foi apresentada de
maneira contextual, enquanto no subitem d), de maneira formal. O gráfico mostra
quantidades parecidas de acertos nos itens b), c) e d), sugerindo que os alunos
que souberam representar as frações também souberam compará-las. As
respostas incorretas são semelhantes às apresentadas nos itens 37, 38 e 39, que
procuravam avaliar se o aluno entende o número natural como caso particular da
fração.
175
No item 42, manteve-se a tendência já apontada nas questões
semelhantes, em que os alunos são capazes de responder, porém apenas uma
minoria lança mão do conceito de número racional para formalizar a resposta,
optando por métodos algébricos, gráficos, regra de três e raciocínios aditivos.
5.15 ANÁLISE DO GRUPO 15 (Itens 43, 45 e 47)
5.15.1 Gráfico de acertos
Grupo 15
0102030405060708090
100
43a 43b 45a 45b 47a 47b
Itens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
5.15.2 Considerações sobre os resultados obtidos
No subitem 43 a), a grande porcentagem de acertos sinaliza para o fato de
que a proposta da questão foi plenamente compreendida praticamente pela
totalidade dos alunos. Um número razoável de alunos, porém, notadamente nos
Ensinos Fundamental e Superior, não responderam corretamente ao item 43 b) e,
entre as respostas incorretas, predominou a resposta 51 , indicando o uso do
referencial duas cestas, em vez de uma cesta, como foi pedido. Esse
176
procedimento sugere que o aluno se utilizou da lógica parte-todo em lugar de
quociente.
O item 45, não ofereceu dificuldade e foi resolvido corretamente pela
maioria dos alunos. O número de fotos de cada álbum, que foi informado, não
precisava ser considerado na resolução, porém mais da metade dos alunos
respondeu 3612 no subitem a) e
6012 no subitem b), em vez de
31 e
51
respectivamente.
No item 47, manteve-se a tendência já apontada nas questões
semelhantes, em que os alunos são capazes de responder, porém apenas uma
minoria lança mão do conceito de número racional para formalizar a resposta,
optando por métodos algébricos, gráficos, regra de três e raciocínios aditivos.
5. 16 ANÁLISE DO GRUPO 16 (Itens 44, 46 e 48)
5.16.1 Gráfico de acertos
Grupo 16
0102030405060708090
100
44a 44b 44c 46a 46b 46c 48a 48b
Itens
Porc
enta
gem
de
acer
tos
FundMédSup
177
5.16.2 Considerações sobre os resultados obtidos
O subitem 44 a) apresentou uma situação em que se esperava que o
aluno aplicasse o conceito de quociente ao observar que, se 3 pacotes fossem
repartidos por 6 meninos, caberia 63 ou
21 pacote para cada menino, qualquer que
fosse o número de figurinhas do pacote. Dentre as respostas corretas,
predominou, porém, o valor 3015 , indicando que o problema foi resolvido por dupla
contagem. As respostas 9015 e
61 , que representam as quantidades que cada
menino receberia em relação ao total de figurinhas, não foram muito freqüentes
neste item, como em outros itens análogos.
O subitem 44b), análogo ao anterior, apresentou as mesmas quantidades
de acertos que o item 44a), com predomínio também para as respostas que
levam em conta a cardinalidade do conjunto.
Com relação ao subitem 44c), dois alunos do Ensino Fundamental
inverteram as respostas dos subitens 44a) e 44b), porém indicaram corretamente
qual fração era maior, por isso o gráfico indica um maior número de acertos para
o subitem c) em relação aos subitens a) e b).
O item 46, a exemplo de itens anteriores análogos, apontou a dificuldade
apresentada, sobretudo pelos alunos do Ensino fundamental, para mobilizar a
idéia de quociente e o conceito de fração para exprimir quantidades
representadas por números naturais
No item 48, manteve-se a tendência já apontada nas questões
semelhantes, em que os alunos são capazes de responder, porém apenas uma
minoria lança mão do conceito de número racional para formalizar a resposta,
optando por métodos algébricos, gráficos, regra de três e raciocínios aditivos.
178
Chamou a atenção, porém, a queda no percentual de acerto dos alunos do
Ensino Fundamental em relação ao subitem a), pois em outros tópicos bastante
semelhantes houve um percentual maior de acertos.
179
CAPÍTULO VI
UMA ANÁLISE QUALITATIVA DOS
RESULTADOS
Neste capítulo pretende-se elaborar uma análise dos pontos críticos
detectados na análise quantitativa, procurando examinar as diferentes linhas de
ação utilizadas pelos sujeitos na resolução das questões e, através delas,
procurar compreender, à luz da teoria estudada, qual o estado em que se
encontra o conceito. Merecerão destaque nesta análise as seguintes questões:
I. A questão da fração imprópria no significado parte-todo, que remete à
questão do papel da unidade, descrito por Kieren e Mack.
II. A questão da cardinalidade, apontada como significativa por Escolano e
Gairín, explorada por meio de situações de significado quociente.
III. A questão do quociente envolvendo grandezas discretas, que procura avaliar
até que ponto o conjunto dos racionais é entendido, ainda que de maneira
implícita, como um conjunto numérico que contém os naturais.
IV. A questão da extensão do conceito de quociente, que procura avaliar até que
ponto os alunos percebem que os procedimentos empregados para resolver
situações de quociente entre números naturais permanecem válidos também
180
para números racionais e se são capazes de formalizá-los em termos de
operações com frações.
Essas quatro questões procuram partir de aspectos intuitivos da
construção do conceito de fração e progredir em direção a aspectos formais,
entendidos pelo pesquisador como adequados aos níveis de escolaridade dos
sujeitos pesquisados.
6.1 A FRAÇÃO IMPRÓPRIA NO SIGNIFICADO PARTE-TODO E O PAPEL DA
UNIDADE
Da análise quantitativa apresentada no Capítulo anterior, chamam a
atenção em um primeiro momento, os resultados dos itens 5, 6, 11, 12, 17, 18, 23
e 24, que apresentaram em geral uma pequena porcentagem de acertos. Esse
conjunto de itens apresenta em comum a proposta de partir do modelo parte-todo
para construir uma situação que conduza a uma fração imprópria. Essa
característica agregou a esses itens uma dificuldade adicional e, por isso, eles
foram classificados como de nível 3, conforme apresentado no quadro 1, no
tópico 3.2.1.
É razoável supor que, na fase de escolaridade em que se encontram os
sujeitos desta pesquisa, a dificuldade apontada por Escolano e Gairín (2005)
referente à restrição provocada pelo modelo parte-todo à construção da idéia de
fração imprópria já esteja superada. Essa constatação, no entanto, não é objeto
desta pesquisa. As questões apresentadas tiveram como objetivo avaliar se os
procedimentos assimilados via modelo parte-todo permitem um completo domínio
da fração imprópria em todos os seus aspectos.
181
A estratégia utilizada para contornar a condição intrínseca ao modelo
parte-todo – de que a parte deve ser sempre menor que o todo – foi a de
apresentar duas ou mais unidades de um determinado objeto, repartidas segundo
uma dada condição, cujas partes selecionadas devessem ser reagrupadas e
expressas como fração de uma única unidade. Foram apresentadas questões
com essa estrutura nas formas icônica e não icônica, envolvendo quantidades
contínuas e discretas. Em todos os casos, entretanto, as soluções dos itens
resumem-se a quatro etapas bem definidas:
• dividir dois ou mais “todos” no mesmo número de partes iguais;
• tomar algumas partes de cada um desses “todos”;
• reagrupar essas partes tomadas sobre um único “todo”;
• exprimir esse resultado como uma fração imprópria.
Chamou a atenção do pesquisador, desde o primeiro momento, que a
inserção de mais de um “todo”, na medida em que acrescenta ao problema mais
de uma possibilidade de escolher o referencial a ser tomado, ou seja, a unidade,
foi a causadora das principais dificuldades encontradas pelos alunos, por isso
optou-se por direcionar o foco da análise para esse aspecto. Com a finalidade de
atingir esse objetivo, as respostas foram agrupadas em três grandes categorias:
• respostas apresentadas conforme o referencial solicitado, mesmo
que incorretas por outro motivo, como erro de contagem;
• respostas apresentadas num referencial diferente do solicitado;
182
• respostas em branco ou com soluções inconsistentes, que não
permitem identificar a linha de raciocínio tomada pelo sujeito.
A título de exemplo será transcrito o texto do item 5 e algumas das
respostas obtidas serão classificadas.
Item 5 – Se pudéssemos juntar todos esses pedaços de pizza e exprimir essa
quantidade como fração de uma pizza, qual a fração que representa a quantidade
de pizza que não foi consumida?
Respostas Obtidas:
• 8
10ou45 - Resposta correta, de acordo com o referencial esperado.
• 1610ou
85 - Referencial diferente do esperado. Foram considerados como o
todo os 16 pedaços de pizza.
• 86ou
43 - Confundiu parte consumida com parte não consumida, porém
respondeu de acordo com o referencial solicitado (1 pizza)
• 56ou
61 - Respostas consideradas inconsistentes.
183
As respostas foram tabuladas segundo o critério descrito e o resultado
apresentado nas tabelas do anexo 1. A partir dessas tabelas foi elaborado o
gráfico a seguir, que aponta, para cada um dos itens, o percentual de alunos que
se utilizou de um referencial diferente do esperado para responder à questão.
0
20
40
60
80
100
5 6a 6b 6c 6d 6e 11a 11b 12a 12b 17a 17b 18a 18b 23a 23b 24a 24b
Icônico Contínuo Não iconico Cont. Icônico Discreto Não IcônicoDiscreto
Fundamental Médio Superior
Quadro 6.1 – Porcentagem de respostas com referencial incorreto nas questões parte-todo nível 3.
No item 5, a informação acerca do referencial a ser tomado estava na
frase: “Se pudéssemos juntar todos esses pedaços de pizza e exprimir essa
quantidade como fração de uma pizza”. A frase taxativa não impediu que cerca
de 40% dos alunos do Ensino Fundamental e 50% dos alunos dos Ensinos Médio
e Superior fornecessem como respostas frações com denominador 16.
O texto do item 6, distribuído em 5 subitens, informava no cabeçalho que
uma barra deveria ser tomada como o todo-referência para todos os subitens.
184
Essa informação foi utilizada pelos alunos do Ensino Fundamental, porém, um
número significativo de alunos dos Ensinos Médio e Superior apresentou suas
respostas em termos do número total de partes de duas, três ou quatro barras.
A questão apresentava um desenho de quatro retângulos sob um fundo
quadriculado, tendo cada um desses retângulos algumas partes pintadas.
Solicitava-se somar as partes pintadas das barras e representar o resultado em
termos de fração de uma barra. O subitem a) possuía resolução imediata, obtida
pela dupla contagem das partes de uma barra, e foi respondido corretamente por
todos os sujeitos. O subitem b) apresentava como resposta uma fração própria e
os demais subitens, frações impróprias. Não houve diferenças significativas entre
o percentual de respostas com referencial diferente do esperado entre o subitem
b) e os demais subitens.
O uso do termo “barra” para identificar os retângulos apresentados no
desenho, talvez inadequado, parece não ter prejudicado a compreensão do
problema, uma vez que essa associação entre retângulos (figuras planas) e
barras (figuras tridimensionais) é usada com uma certa freqüência nos gráficos.
Os itens 11 e 12 procuraram reproduzir situações semelhantes às dos itens
5 e 6, porém sem o apoio de figuras. O grande número de respostas diferentes
das esperadas no item 11 fez com que esse item fosse, nesta fase de análise,
objeto de um estudo mais detalhado.
A tentativa de elaborar hipóteses para compreender as causas daquele
resultado levou o pesquisador a examinar a forma como o texto foi redigido,
constatando que, embora correto, exigia uma leitura muito atenta para sua
compreensão. Essa observação, associada ao fato de que o item foi incluído no
185
caderno 3, sendo, portanto, resolvido pelos alunos de níveis Médio e Superior
mais de uma hora após o início dos trabalhos, pode ter contribuído para o
resultado obtido.
Na impossibilidade de retornar aos sujeitos de pesquisa para tentar validar
essa hipótese, o problema foi apresentado a um novo grupo de alunos da mesma
escola de Ensino Médio nas seguintes condições:
• 35 alunos resolveram o problema com a redação original:
Dois irmãos, Roberto e Antônio, receberam como herança dois terrenos
de mesma área. Cada um desses terrenos foi dividido em 5 partes iguais,
cabendo duas partes a Antônio e três a Roberto.
Complete com frações:
a) A parte de Antônio na herança corresponde a ______________ da área
de um terreno.
b) A parte de Roberto na herança corresponde a ______________da área de
um terreno.
• 34 alunos responderam ao problema com uma nova redação, considerada
de compreensão mais fácil.
Dois irmãos, Roberto e Antônio, receberão como herança dois
terrenos de mesma área. Cada um dos terrenos será dividido em 5
partes iguais, cabendo a Antônio duas partes de cada terreno e a
Roberto, três partes de cada terreno.
Complete com frações:
186
a) A parte de Antônio na herança corresponde a ______________ da
área de um terreno.
b) A parte de Roberto na herança corresponde a ______________da
área de um terreno.
A tabela a seguir apresenta os resultados obtidos:
Tabela 6.1.1 – Respostas ao item 11com texto modificado.
Com a mudança do texto, as respostas apresentadas no referencial
incorreto caíram de 48,6% para 39,4% nos dois subitens. O resultado acima
sugere, portanto, que a forma como foi redigido o enunciado do exercício 11 é
responsável em parte pelo elevado número de respostas incorretas, porém, o
texto mais explícito não foi capaz de eliminar completamente as respostas que
tomam referenciais diferentes do solicitado.
Item 11a Item 11 b
Respostas Quantidade Respostas Quantidade
54 15 (42,9%)
56
15 (42,9%)
52 (Referencial
Incorreto)
17 (48,6%)53 (Referencial
Incorreto)17 (48,6%)Text
oor
igin
al
Outras 3 (8,6%) Outras 3 (8,6%)
54 19 (55,9%)
56
19 (55,9%)
52 (Referencial
Incorreto)
10 (39,4%)53 (Referencial
Incorreto)10 (39,4%)Te
xto
Mod
ifica
do
Outras 5 (14,7 %) Outras 5 (14,7 %)
187
O gráfico mostra que os itens de 5 a 12 tiveram porcentagens de respostas
inesperadas menores que os itens de 17 a 24, com exceção do item 11,
provavelmente pela influência da redação do enunciado, já comentada.
A diferença fundamental entre esses dois conjuntos de itens é que o
primeiro deles, itens de 5 a 12, propõe questões envolvendo grandezas
contínuas, enquanto o segundo, itens de 17 a 24, se refere a grandezas discretas.
A introdução da cardinalidade de um conjunto como uma nova variável a ser
levada em conta pelo sujeito na resolução do problema parece ser significativa.
Essa constatação reforça a proposta de Escolano e Gairín (2005) em relação à
atenção especial que deve ser dada às quantidades discretas na introdução do
conceito de fração e deverá ser objeto de tópico à parte nesta análise.
A aparente discrepância de resultados apresentados pelos alunos do
Ensino Médio no item 18 foi também objeto de estudo à parte, abordado no item
4.6 desta dissertação, motivada possivelmente pelo fato de se tratar de uma
questão constante da primeira página do primeiro caderno, numa situação em que
as figuras se destacavam fortemente em relação ao texto. Uma entrevista com 5
dos sujeitos de pesquisa que erraram a questão indicou que a facilidade das duas
primeiras questões induziu os alunos a responder à terceira, que apresentava
uma dificuldade adicional, sem uma leitura mais atenta do texto.
Também chama a atenção no gráfico a sensível diminuição do número de
respostas inesperadas ao item 24. A diferença fundamental entre esses itens é
que, no caso dos itens 17, 18 e 23, foi fornecida a cardinalidade do conjunto de
objetos a ser repartido. O item 24, no entanto, criou uma situação envolvendo
quantidades discretas sem informar essa cardinalidade, que, no contexto, se
188
traduzia no número de contas em cada pacote, permitindo que os procedimentos
de resolução fossem os mesmos adotados para quantidades contínuas.
A questão mais significativa observada, portanto, na presente análise é o
fato de que há uma tendência do aluno em tomar como referencial o maior
conjunto de objetos ou de partes de objetos disponível. As diferentes formas de
apresentar a questão, por mais enfáticas que sejam ao definir o referencial, não
impedem que um número considerável de sujeitos mantenha essa tendência. A
observação do gráfico também sugere que é irrelevante o fato de se tratar de
fração imprópria ou não.
A aparente predisposição em tomar como referencial o maior conjunto
disponível ficou mais clara ainda na resposta do item 1b), em que a figura a
seguir foi apresentada aos sujeitos, solicitando-lhes representar por uma fração a
quantidade de pizzas existente na mesa 2.
A tabela a seguir mostra, em porcentagem, as respostas obtidas:
Respostas Fundamental Médio Superior
5/8 32,1 29,0 20,7
5/16 69,2 67,7 65,5
Outras 3,2 3,2 13,8
Tabela 6.2.2 – Respostas para o item 1-b
189
A diferença mais significativa entre o subitem 1b) e os demais itens
analisados nesta seção é o fato de que, nos exercícios anteriores, havia sempre
no texto uma indicação de qual deveria ser o referencial tomado, enquanto que,
neste caso, esperava-se que o aluno percebesse, a partir do próprio contexto, que
a resposta deveria ser fornecida em função de uma pizza. O resultado foi um
número elevado de respostas (mais que 65% em todos os casos) que
apresentaram-se com uma fração de denominador 16.
A observação desse resultado, em conjunto com a observação dos itens
tabulados no início desta seção, fornece fortes indícios para que se venha a inferir
que existe uma tendência por parte dos alunos a tomar como referência o maior
conjunto de objetos disponível, sem uma maior reflexão. Isso se constitui em um
obstáculo importante à construção plena do conceito de fração, que não se
reverte com facilidade ao longo do tempo.
6.2 – A CARDINALIDADE
Os subitens 37a, 38a, 38b, 43b, 44a, 44b, 45c e 45d apresentam em
comum a particularidade de propor uma situação de quociente envolvendo
grandezas discretas em que são fornecidas as quantidades de objetos a serem
repartidos, porém as perguntas referem-se a frações de conjuntos, permitindo que
a resposta seja obtida manipulando essas quantidades de objetos, fazendo uso
da discretização, ou simplesmente entendendo os conjuntos como unidades
divisíveis e manipulando-os em um processo semelhante à divisão de grandezas
contínuas.
A título de exemplo será transcrito e comentado o subitem 43b:
Duas cestas com 20 laranjas cada, foram repartidas entre 5 pessoas.
190
Que fração de uma cesta de laranjas representa o que cada pessoa
receberá?
A resposta 52 sugere que o aluno entendeu que, se havia duas cestas de
laranjas para serem divididas entre 5 pessoas, cada pessoa receberia 52 do
conteúdo de uma cesta, e essa resposta independe desse conteúdo. Essa forma
de pensar remete à idéia de quociente com grandezas contínuas.
As respostas 4016 ou
208 , por sua vez, sugerem que as laranjas da cesta
foram agrupadas e representadas tomando como referência respectivamente a
cardinalidade do conjunto de laranjas de uma cesta ou mesmo o total de laranjas
a ser repartido, sem levar em conta o fato de elas estarem agrupadas em cestas,
num processo mental mais próximo do modelo parte-todo que do modelo
quociente.
A observação dessas duas formas de abordar o problema, em questões
que apresentaram uma porcentagem relativamente pequena de acertos, motivou,
nesta análise, a tentativa de responder às seguintes questões:
• Qual das duas abordagens é predominante?
• Qual das duas remete a uma maior porcentagem de acertos?
Para obter uma resposta à primeira dessas questões, foram elaboradas as
tabelas de 6.2.1 a 6.2.3, em que todas as respostas foram classificadas em dois
grandes grupos: respostas apresentadas sem o uso da cardinalidade e respostas
em que foi usada a cardinalidade. As respostas em branco não foram
computadas.
191
Item 37a 38a 38b 43b 44a 44b 45a 45bQuant. 8 6 7 7 5 5 6 6Sem
Cardinalidade % 61,5 46,2 53,8 53,8 38,5 38,5 46,2 46,2Quant. 3 6 5 6 6 6 7 7Com
Cardinalidade % 23,1 46,2 38,5 46,2 46,2 46,2 53,8 53,8 Tabela 6.2.1 - Opção pelo uso da cardinalidade – Ensino Fundamental
Item 37a 38a 38b 43b 44a 44b 45a 45bQuant. 17 21 20 6 12 13 8 9Sem
Cardinalidade % 54,8 67,7 64,5 19,4 38,7 41,9 25,8 29,0Quant. 14 10 11 25 19 18 23 22Com
Cardinalidade % 45,2 32,3 35,5 80,6 61,3 58,1 74,2 71,0Tabela 6.2.2 - Opção pelo uso da cardinalidade – Ensino Médio
Item 37a 38a 38b 43b 44a 44b 45a 45bQuant. 19 20 22 5 9 10 2 4Sem
Cardinalidade % 65,5 69,0 75,9 17,2 31,0 34,5 6,9 13,8Quant. 10 9 7 23 20 19 27 25Com
Cardinalidade % 34,5 31,0 24,1 79,3 69,0 65,5 93,1 86,2Tabela 6.2.3 - Opção pelo uso da cardinalidade – Ensino Superior
As tabelas apontam, para cada item, as quantidades e as porcentagens de
alunos que tomaram cada uma das linhas de ação. Estão destacadas, em
porcentagem, as opções predominantes para cada item. Da observação das
tabelas conclui-se que, nas questões 37a, 38a e 38b, a maioria dos alunos
preferiu considerar o conjunto como um todo para responder, não levando em
conta sua cardinalidade, enquanto nos itens 43b, 44a, 44b, 45c e 45d, a maioria
dos alunos optou por usar a quantidade de elementos fornecida, ou seja, a
cardinalidade do conjunto.
A diferença fundamental entre os dois grupos de itens apontados, que
pode ter motivado essa diferença entre as linhas de ação adotadas pelos sujeitos,
é o fato de que, no primeiro caso, trata-se de questões icônicas em que a
cardinalidade do conjunto deveria ser obtida pela contagem dos elementos no
interior de um retângulo (bolinhas ou balas) e, no segundo caso, questões não
192
icônicas, em que a cardinalidade do conjunto era fornecida como um dado
numérico no texto do problema.
As constatações citadas sugerem, portanto, que há uma tendência do
aluno a tomar a cardinalidade do conjunto como o referencial para a resolução,
sempre que esse dado for apresentado numericamente. A análise também sugere
que essa tendência é maior entre os alunos dos Ensinos Médio e Superior.
Uma segunda questão a ser colocada trata dos resultados obtidos em
cada caso: qual das duas linhas de ação conduz mais facilmente à solução
correta do problema?
Na tentativa de responder a essa questão, foram elaboradas as tabelas de
6.2.4 a 6.2.6, que quantificaram, dentre os sujeitos que tomaram cada uma das
linhas de ação, quais obtiveram um maior percentual de respostas corretas. As
tabelas indicam, por item, quantos alunos tomaram cada uma das linhas de ação,
e, dentre esses alunos, quantos obtiveram a resposta correta. Esse segundo dado
é fornecido em quantidade e em porcentagem. Estão destacadas na tabela as
maiores porcentagens obtidas, quando a diferença entre uma ou outra linha de
ação foi significativa.
Tabela 6.2.4 – Uso da cardinalidade: porcentagens de acertos por opção - Ensino Fundamental
Item 37a 38a 38b 43b 44a 44b 45a 45bOptaram Quant. 8 6 7 7 5 5 6 6
Quant. 3 4 2 2 1 1 6 6Sem CardinalidadeAcertaram % 37,5 66,7 38,6 38,6 20 20 100 100Optaram Quant. 3 6 5 6 6 6 7 7
Quant. 3 5 5 4 2 2 4 4Com CardinalidadeAcertaram % 100 88,3 100 66,7 33,3 33,3 57,1 57,1
Em branco 1 1 1 2 2
193
Tabela 6.2.5 – Uso da cardinalidade: porcentagens de acertos por opção - Ensino Médio
Tabela 6.2.6 – Uso da cardinalidade: porcentagens de acertos por opção - Ensino Superior
As tabelas mostram, com bastante nitidez, que, nos Ensinos Médio e
Superior, o grupo de sujeitos que opta por usar a cardinalidade na resolução dos
problemas apresenta um percentual de acertos significativamente menor que o
grupo que responde sem usar a cardinalidade. Se for considerado que há uma
tendência dos alunos a usar os dados numéricos sempre que fornecidos, pode-se
concluir que a cardinalidade constitui-se em um fator dificultador para a maioria
dos alunos.
Os alunos do Ensino Fundamental apresentaram um resultado diferente,
principalmente nas questões icônicas. Uma possível inferência sobre a causa
desse resultado pode estar no fato de que, nessa fase da escolarização, ainda é
comum o trabalho com materiais manipulativos, principalmente em escolas do tipo
da pesquisada, de postura construtivista. O tamanho da amostra, porém, não é
suficiente para se obter uma conclusão segura.
Item 37a 38a 38b 43b 44a 44b 45a 45bOptaram Quant. 17 21 20 6 12 13 8 9
Quant. 13 18 17 5 8 10 8 9Sem CardinalidadeAcertaram % 76,5 85,7 85 83,3 66,7 76,9 100 100Optaram Quant. 14 10 11 25 19 18 23 22
Quant. 3 5 5 17 11 10 16 15Com CardinalidadeAcertaram % 21,4 50 45,5 68 57,9 55,6 69,6 68,2
Em branco
Item 37a 38a 38b 43b 44a 44b 45a 45bOptaram Quant. 19 20 22 5 9 10 2 4
Quant. 13 16 13 5 7 8 2 4Sem CardinalidadeAcertaram % 68,4 80 59,1 100 77,8 80 100 100Optaram Quant. 10 9 7 23 20 19 27 25
Quant. 2 4 2 10 3 3 19 18Com CardinalidadeAcertaram % 20 44,4 28,6 43,5 15 15,8 70,4 72
Em branco
194
A observação desses fatos, no entender deste pesquisador, é um indício
suficiente para que se conclua que as questões relativas à cardinalidade e às
grandezas discretas, a exemplo de outras já exploradas neste trabalho,
permanecem incompreendidas por uma parcela significativa dos sujeitos ao longo
do processo de escolarização, não se resolvendo de maneira espontânea. Essas
questões devem, portanto, receber uma atenção especial ao longo de todo o
processo de construção do conceito de fração.
6.3 QUOCIENTE E GRANDEZAS DISCRETAS
As questões envolvendo o significado quociente envolvem sempre duas
variáveis, por exemplo: uma quantidade de objetos a ser repartida em partes
iguais e o número de pessoas que ganharão essas partes. Quando os objetos a
serem repartidos em partes iguais forem divisíveis, ou seja, contínuos, as frações
surgem de maneira natural, como o resultado de uma divisão indicada sempre
que essa divisão não for possível no conjunto dos números naturais. A título de
exemplo, a situação de dividir 3 chocolates para 5 pessoas conduz de forma
imediata à idéia de que cada pessoa ganhará 53 de um chocolate.
Quando se trata de repartir em partes iguais um conjunto de objetos
indivisíveis, como bolinhas de gude, por exemplo, caracteriza-se um novo tipo de
problema, pois se uma bolinha for dividida em pedaços, esses pedaços deixarão
de ser bolinhas, diferentemente do que acontece com os chocolates. Esses
problemas, que configuram as quantidades denominadas discretas, têm
peculiaridades próprias e receberão atenção especial.
195
A primeira característica desses conjuntos, que merece destaque, é a de
que não é possível construir uma situação de quociente envolvendo grandezas
discretas que tenham como resultado uma fração própria. Ao contrário da divisão
de chocolates acima mencionada – em que qualquer quantidade de chocolate
pode ser dividida por qualquer número de pessoas – o que ocorre com as
grandezas discretas é que só é possível dividir um conjunto em partes iguais, se o
número de partes considerado for um divisor do número de elementos desse
conjunto, e essa divisão terá sempre por resposta um número natural. Devido a
essas peculiaridades, os problemas que envolvem grandezas discretas requerem
algumas operações de pensamento mais elaboradas para serem entendidos no
âmbito das frações.
Assim, tomar um conjunto de 15 bolinhas que não podem ser divididas,
pois nesse caso deixarão de ser bolinhas, e repartir igualmente entre 3 crianças,
implicará uma operação em tudo semelhante à divisão de chocolates já descrita,
que resulta na fração 3
15 , que também pode ser expressa pelo número natural 5.
Formular a resposta dessa maneira pressupõe que o sujeito já disponha, pelo
menos como invariantes operatórios, dos esquemas de pensamento que
caracterizam o que Caraça (1952) denominou “princípio da extensão”, que se
manifesta na compreensão de que as mesmas operações que conduzem a
números racionais podem conduzir, em casos particulares, a números naturais,
caracterizando o fato de que o conjunto dos números racionais contém o dos
naturais.
Nesse sentido, foram elaborados os itens 37b, 38d, 38e, 39b, 39c, 40b,
40c, 46b e 46c, que têm em comum a proposta de apresentar uma situação de
significado quociente, em que o referencial solicitado passa a ser o número de
196
elementos do conjunto a ser repartido, e se solicita que o sujeito utilize a idéia de
quociente para representar uma quantidade por uma fração, que sempre poderá
ser reduzida a um número natural. Essa operação, se executada como uma
simples divisão, remete ao significado quociente. Se executada como o produto
de uma fração por um número natural, remete ao significado operador
multiplicativo. Não foi objeto deste trabalho diferenciar as estratégias de resolução
usadas pelos sujeitos. O trabalho se limitou a analisar o tratamento dado pelos
sujeitos ao resultado obtido.
O pequeno número de acertos dessas questões, apontado na análise
quantitativa, motivou que se desse a elas uma atenção especial e se tentasse
classificar as linhas de ação empregadas pelos sujeitos para respondê-las. A
análise mostrou que as respostas podem ser classificadas segundo as categorias
a seguir:
I. respostas apresentadas sob a forma de um número natural, sugerindo o
entendimento da questão analisada.
II. a quantidade procurada apresentada como o numerador de uma fração e o
total de elementos no denominador da fração. Neste caso os alunos deram
a entender que sabiam o valor pedido, mas não foram capazes de
representá-lo como uma fração.
III. respostas que tomam como unidade o conjunto, e não a sua cardinalidade.
IV. respostas em branco ou que não permitiram ao pesquisador identificar a
linha de pensamento do sujeito.
A título de exemplo, serão descritas as respostas obtidas no item 37b:
As duas caixas de bolinhas de gude abaixo deverão ser repartidas entre 3
meninos .
197
a) Represente por uma fração de caixa o que cada menino irá ganhar.
b) Represente por uma fração a quantidade de bolinhas que cada menino
deverá ganhar
Respostas classificadas como de categoria I:
• 3
60 ou 20, que eram as respostas esperadas;
• 3
30 ou 10, indicando que a resposta foi dada em termos de
quantidade de bolinhas, embora se referindo ao total de cada caixa e
não ao total de bolinhas.
Respostas classificadas como de categoria II:
• 6020 , sugerindo que cada menino ganhará 20 das 60 bolinhas a
serem distribuídas, sinalizando a compreensão do pedido, porém a
dificuldade em representar a resposta como uma fração.
• 3020 , sugerindo que cada menino ganhará 20 das 30 bolinhas de
cada caixa.
Respostas classificadas como de categoria III:
• 32 , sugerindo que cada menino ganhará o conteúdo de uma caixa,
sem levar em conta o total de bolinhas. Nesse caso não há diferença
entre as respostas dos subitens a) e b).
198
• 31 , sugerindo que cada menino ganhará a terça parte do conteúdo
de cada caixa.
Respostas consideradas como de categoria IV:
• 6060 ,
310 .
Os itens tiveram suas respostas classificadas segundo as quatro
categorias descritas e os resultados foram resumidos nas tabelas de
6.3.1 a 6.3.3, em quantidade e porcentagem, respectivamente para os
Ensinos Fundamental, Médio e Superior.
Categorias 37b 38d 38e 39b 39c 40b 40c 46b 46cQuant. 3 0 1 1 1 3 3 2 2I % 23,1 0 7,7 7,7 7,7 23,1 23,1 15,4 15,4Quant. 5 5 5 5 5 6 6 4 4II % 38,5 38,5 38,5 38,5 38,5 46,2 46,2 30,8 30,8Quant. 4 4 4 3 6 3 3 5 5III % 30,8 30,8 30,8 23,1 46,2 23,1 23,1 38,5 38,5Quant. 1 4 3 4 1 1 1 2 2IV % 7,7 30,8 23,1 30,8 7,7 7,7 7,7 15,4 15,4
Tabela 6.3.1 – Quociente em grandezas discretas – Ensino Fundamental
Categorias 37b 38d 38e 39b 39c 40b 40c 46b 46cQuant. 19 19 18 22 22 19 19 18 17I % 61,3 61,3 58,1 71,0 71,0 61,3 61,3 58,1 54,8Quant. 4 3 2 4 6 3 3 7 8II % 12,9 9,7 6,5 12,9 19,4 9,7 9,7 22,6 25,8Quant. 7 8 8 2 3 8 8 5 6III % 22,6 25,8 25,8 6,5 9,7 25,8 25,8 16,1 19,4Quant. 1 1 3 3 0 1 1 1 0IV % 3,2 3,2 9,7 9,7 0 3,2 3,2 3,2 0
Tabela 6.3.2 – Quociente em grandezas discretas – Ensino Médio
199
Categorias 37b 38d 38e 39b 39c 40b 40c 46b 46cQuant. 12 17 17 15 15 16 16 12 12I % 41,4 58,6 58,6 51,7 51,7 55,2 55,2 41,4 41,4Quant. 6 3 2 5 4 4 5 12 12II % 20,7 10,3 6,9 17,2 13,8 13,8 17,2 41,4 41,4Quant. 8 8 5 3 10 9 8 5 4III % 27,6 27,6 17,2 10,3 34,5 31,0 27,6 17,2 13,8Quant. 3 1 5 6 0 0 0 0 1IV % 10,3 3,4 17,2 20,7 0 0 0 0 3,4
Tabela 6.3.3 – Quociente em grandezas discretas – Ensino Superior
As tabelas apresentam em destaque os percentuais de alunos que tiveram
suas respostas enquadradas nas categorias II e III. Chama a atenção o fato de
que um percentual significativo dos alunos adotem essas linhas de ação,
principalmente no caso da categoria 3, em que fica caracterizada a rejeição à
grandeza discreta e não se diferenciam procedimentos referentes a grandezas
discretas ou contínuas, mesmo quando as duas formas de representação são
pedidas no mesmo item, como no caso do item 37.
Estes resultados sinalizam, no entender deste pesquisador, que as
situações envolvendo quociente com grandezas discretas apresentam maiores
dificuldades que as que envolvem quantidades contínuas, e que a passagem das
grandezas contínuas para as discretas não deve ser considerada como natural no
processo de construção do conceito. Sinalizam também para o fato de que essas
dificuldades não são plenamente superadas ao longo do processo de
escolarização e acompanham os alunos por longo tempo, devendo, portanto, ser
objeto de atenção especial nas fases iniciais da escolarização.
200
6.4 – A CAPACIDADE DE FORMALIZAR
Como último dos tópicos a ser abordado pela presente pesquisa, as
questões classificadas como nível 3 do significado quociente procuraram avaliar
até que ponto o conceito de número racional, em seus aspectos mais formais,
está presente nas soluções dos sujeitos pesquisados, considerando tratar-se de
alunos de níveis elevados de escolarização. Os itens 29, 30, 35, 36, 41, 42, 47 e
48 tentaram obter essa resposta, apresentando uma situação simples em que um
dado objeto ou conjunto deve ser dividido em partes correspondentes a uma
fração de seu tamanho. Pergunta-se quantas partes serão obtidas por intermédio
dessa operação, esperando que o sujeito execute uma divisão em que o
dividendo é um número natural, e o divisor é uma fração.
Todos os itens têm a mesma estrutura. No subitem a) pede-se o número
obtido; e no subitem b), a formalização da operação que conduziu ao resultado,
em termos de uma operação com frações. A diferença fundamental entre os itens
é o fato de envolverem grandezas contínuas ou discretas em questões
apresentadas com auxílio de desenhos (icônicas) ou apenas de texto.
A análise quantitativa revelou que, em todos os casos, o percentual de alunos
que respondeu corretamente ao subitem a) foi elevado, havendo uma
considerável queda no número de alunos que respondeu corretamente ao
subitem b), indicando que um grande número de alunos, embora soubesse
responder à questão a partir de conhecimentos intuitivos, não foi capaz de
formalizá-la em termos de quociente.
A título de exemplo será transcrito o item 47.
201
Uma biblioteca que tinha seus livros guardados em 6 estantes cheias, trocou
seus móveis e as novas estantes têm 43 da capacidade das antigas.
a) Quantas estantes novas serão necessárias para acomodar todos os livros
da biblioteca?
b) Represente a solução deste problema por uma operação com frações.
Resposta esperada para o subitem a): 8.
Resposta esperada para o subitem b): 843:6 = .
Os itens procuraram verificar se o aluno compreende que a solução do
problema é obtida por um quociente, que pode ser entendido como uma extensão
da idéia de quociente entre números naturais. Essa compreensão, no entender
deste pesquisador, é suficiente para indicar que o aluno reconhece os racionais
como um conjunto numérico que inclui os naturais e que as operações para
resolver os problemas nesse novo conjunto numérico são as mesmas dos
naturais, respeitadas as peculiaridades do novo conjunto.
As respostas apresentadas foram classificadas em três grandes grupos:
alunos que não conseguiram obter a resposta; alunos que obtiveram a resposta
solicitada no subitem a), porém, não foram capazes de formalizar; e alunos que
chegaram à resposta e souberam formalizar. As tabelas de 6.4.1 a 6.4.3
apresentam a tabulação dos resultados obtidos.
202
Itens 29 30 35 36 41 42 47 48Quant. 3 2 4 2 6 1 5 11Não resolveram % 23,1 15,4 30,8 15,4 46,2 7,7 38,5 84,6Quant. 8 10 6 10 5 9 8 1Resolveram sem
formalizar % 61,5 76,9 46,2 76,9 38,5 69,2 61,5 7,7Quant. 2 1 3 1 2 3 0 1Formalizaram
% 15,4 7,7 23,1 7,7 15,4 23,1 0 7,7Tabela 6.4.1 – Questão da formalização – Ensino Fundamental
Itens 29 30 35 36 41 42 47 48Quant. 2 7 3 1 3 5 6 3Não resolveram % 6,5 22,6 9,7 3,2 9,7 16,1 19,4 9,7Quant. 21 16 21 25 21 20 23 22Resolveram sem
formalizar % 67,7 51,6 67,7 80,6 67,7 64,5 74,2 71,0Quant. 8 8 7 5 7 6 2 6Formalizaram
% 25,8 25,8 22,6 16,1 22,6 19,4 6,5 19,4Tabela 6.4.2 – Questão da formalização – Ensino Médio
Itens 29 30 35 36 41 42 47 48Quant. 4 6 15 8 8 1 10 12Não resolveram % 13,8 20,7 51,7 27,6 27,6 3,4 34,5 41,4Quant. 18 13 10 13 16 22 14 12Resolveram sem
formalizar % 62,1 44,8 34,5 44,8 55,2 75,9 48,3 41,4Quant. 7 10 4 8 5 6 5 5Formalizaram
% 24,1 34,5 13,8 16,1 17,2 20,7 17,2 17,2 Tabela 6.4.3 – Questão da formalização – Ensino Superior
Da observação das tabelas, constata-se que em geral um número
significativo de sujeitos consegue resolver a questão a partir de conhecimentos
intuitivos, porém não consegue formalizar a solução.
Esse padrão de respostas só não apareceu nos itens 47 e 48, em relação
ao Ensino Fundamental. No primeiro caso, nenhum aluno conseguiu formalizar e,
no segundo, a maioria dos alunos não obteve a resposta, mesmo por
procedimentos intuitivos. Esse resultado pode ter sido motivado pelo fato de que
essas questões encontram-se no grupo das questões não icônicas, envolvendo
grandezas discretas, em que os alunos do Ensino Fundamental demonstraram ter
203
mais dificuldades. No caso do item 48, pode ter influenciado também o fato de se
tratar da última questão do caderno 1 e, portanto, a última questão resolvida na
sessão pelos alunos do Ensino Fundamental. O tamanho reduzido da amostra
também contribuiu para que as oscilações dos resultados tivessem maior
amplitude entre os alunos do Ensino Fundamental.
Nos três níveis, porém, a maioria dos alunos soube responder à situação
sem, contudo, formalizar sua solução. Uma questão natural decorrente desse fato
é tentar compreender que linhas de ação foram tomadas pelos sujeitos, buscando
verificar que teoremas em ação esses sujeitos mobilizam com mais facilidade que
a noção de número racional em seus aspectos mais abstratos. Para isso, as
respostas corretas apresentadas no subitem a), porém não formalizadas em
termos de quociente, foram classificadas segundo as seguintes categorias:
• Regra de três ou estrutura multiplicativa
• Solução algébrica;
• Resposta baseada em estruturas aditivas;
• Solução gráfica ou descrição dos procedimentos;
• Respostas em branco ou inconsistentes.
Os parágrafos a seguir descrevem, a título de exemplo, possíveis
respostas para o item 47b, com a respectiva classificação.
Soluções do tipo x4/3
61 = , logo x=8 ou (6.4)/3 foram consideradas numa única
categoria, entendendo que, no primeiro caso, o aluno explicitou a regra de três e,
204
no segundo caso, escreveu apenas a operação decorrente desse raciocínio. As
respostas desse tipo formaram a categoria “regra de três ou estruturas
multiplicativas”.
As respostas do tipo 643 =x , logo x=8 foram enquadradas na categoria
“soluções algébricas”.
As respostas do tipo 643
43
43
43
43
43
43
43 =+++++++ , logo serão 8 estantes
pois a soma tem 8 parcelas, ainda que não detalhadas com tanta precisão, foram
classificadas como “soluções aditivas”.
Soluções obtidas por divisão de 6 retângulos em 4 partes iguais cada um e
contagem do número de pedaços correspondentes a 43 de um retângulo que se
pode obter, feitas através de desenhos ou da descrição desse processo, foram
classificadas como “soluções gráficas ou descritivas”.
Por fim, as respostas em branco ou as tentativas de resolução que não
chegaram ao valor correto foram tabuladas à parte. O resultado dessa tabulação
encontra-se nas tabelas de 6.4.4 a 6.4.6.
Itens 29 30 35 36 41 42 47 48Quant. 1 1 0 0 0 1 1 0Regra de três/
multiplicativo % 12,5 10,0 0 0 0 11,1 12,5 0Quant. 0 0 0 1 0 0 2 0Algébrico % 0 0 0 10,0 0 0 25,0 0Quant. 3 0 1 3 2 2 2 1Aditivo % 37,7 0 16,7 30,0 40,0 22,2 25,0 50,0Quant. 0 0 0 1 0 0 0 0Gráfico/
descritivo % 0 0 0 10,0 0 0 0 0Quant. 4 9 5 5 3 6 3 1Branco/ outros % 50,0 90,0 83,3 50,0 60,0 66,7 37,5 50,0
Total de respostas 8 10 6 10 5 9 8 2Tabela 6.4.4 – Respostas corretas e não formalizadas – Ensino Fundamental
205
Itens 29 30 35 36 41 42 47 48Quant. 6 3 5 4 5 6 4 4Regra de três/
multiplicativo % 28,6 18,8 23,8 16,0 23,8 30,0 17,4 18,2Quant. 7 6 12 13 12 9 12 13Algébrico % 33,3 37,5 57,1 52,0 57,1 45,0 52,2 59,1Quant. 4 3 1 3 2 0 3 1Aditivo
% 19,0 18,8 4,8 12,0 9,5 0 13,0 4,5Quant. 2 2 0 0 0 0 3 3Gráfico/
descritivo % 9,5 12,5 0 0 0 0 13,0 13,6Quant. 2 2 3 5 2 5 1 1Branco/ outros % 9,5 12,5 14,3 20,0 9,5 25,0 4,3 4,5
Total de respostas 21 16 21 25 21 20 23 22
Tabela 6.4.5 – Respostas corretas e não formalizadas – Ensino Médio
tens 29 30 35 36 41 42 47 48Quant. 4 5 2 3 4 11 5 5Regra de três/
multiplicativo % 22,2 38,5 20,0 23,1 25,0 50,0 35,7 41,7Quant. 5 2 5 3 5 4 4 4Algébrico % 27,8 15,4 50,0 23,1 31,3 18,2 28,6 33,3Quant. 2 4 0 1 1 1 3 1Aditivo % 11,1 30,8 0 7,7 6,3 4,5 21,4 8,3Quant. 2 0 0 1 0 0 1 0Gráfico/
descritivo % 11,1 0 0 7,7 0 0 7,1 0Quant. 5 2 3 5 6 6 1 2Branco/ outros % 27,8 15,4 30,0 38,5 37,5 27,3 7,1 16,7
Total de respostas 18 13 10 13 16 22 14 12
Tabela 6.4.6 – Respostas corretas e não formalizadas – Ensino Superior
Da observação das tabelas pode-se inferir que, no caso dos alunos de
Ensino Fundamental, a maior parte, que obteve a resposta esperada no subitem
a), não conseguiu chegar a uma resposta consistente ou deixou de tentar
explicitá-la por qualquer recurso matemático disponível. Essa observação sinaliza
para o fato de que o conceito se encontra para esses alunos ainda no nível de
invariantes operatórios. Vergnaud entende que a capacidade de explicitar os
invariantes operatórios caracteriza a construção do saber científico. A observação
da tabela 6.4.4 sugere, portanto, que os alunos do Ensino Fundamental se
206
encontram a uma distância maior dessa meta que os dos Ensinos Superior e
Médio.
No caso do Ensino Médio, houve uma sensível predominância dos
procedimentos algébricos, que pode ser entendida por se tratar de um grupo mais
homogêneo que o do Ensino Superior e, além disso, o currículo da Escola à qual
pertence privilegia o trabalho algébrico.
Em relação aos alunos do Ensino Superior, entretanto, em três situações
predominaram os procedimentos multiplicativos ou regra de três; em duas, as
respostas inconsistentes ou em branco; e em uma questão, as respostas
algébricas e as estruturas aditivas.
Pode-se constatar que, em um grupo homogêneo de alunos, como o do
Ensino Médio, houve predominância de um único tipo de solução e, em um grupo
heterogêneo, como o do Ensino Superior, houve soluções de diversos tipos. Esse
fato permite inferir que os mecanismos mobilizados pelos sujeitos para resolver as
situações estão associados principalmente às experiências individuais desses
sujeitos, possivelmente as mais recentes. Seria razoável pressupor que, nos dois
grupos, viessem a predominar os procedimentos algébricos, o que, entretanto,
não ocorreu.
Esse grupo de questões, portanto, leva à conclusão de que, mesmo nesses
níveis de escolaridade, cerca de um quarto dos alunos, apenas, foi capaz de
assumir os racionais como um conjunto numérico, sugerindo que as atividades
desenvolvidas na escolarização inicial podem não estar sendo suficientemente
abrangentes para que se construa esse conceito em todos os seus aspectos, que
é uma das hipóteses iniciais desta pesquisa, e que a experiência escolar posterior
207
também não dá conta de fazer com que esses conceitos se consolidem,
permanecendo, portanto, como dificuldades ao longo do processo de
escolarização.
Não foram objeto de aprofundamento nesta análise as situações de
significado parte-todo classificadas como de nível 1 e 2, que procuravam analisar
a capacidade de obter uma fração a partir da dupla contagem ou analisar a
capacidade de perceber a necessidade da conservação, seja de áreas, seja de
quantidades, proposta por Campos e Cols (1995). A análise quantitativa revelou
que a quase totalidade dos sujeitos foi capaz de resolvê-las corretamente. Essas
questões, aparentemente mais ligadas à maturação que às praticas pedagógicas,
parecem não ser mais significativas para essa fase da escolarização. Por outro
lado, nos trabalhos de Merlini (2005) e Moutinho (2005), direcionados para
universos de pesquisa de terceira, quarta e oitava séries do Ensino Fundamental,
essas questões foram significativas.
208
CAPÍTULO VII
CONCLUSÃO
7.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A título de encerramento do presente trabalho, este capítulo pretende retornar
aos seus objetivos, descrever de maneira sumária as etapas percorridas para atingi-
los, sintetizar as conclusões obtidas e, com base nesses elementos, responder à
questão a que a pesquisa se propôs.
O objetivo do trabalho foi identificar aspectos do conceito de número racional
cuja construção não tem se revelado eficaz no período da educação básica, quando
são trabalhados em sala de aula, e que permanecem sem ser apropriados pelos
alunos por longo tempo, durante o processo de escolarização.
Dois pressupostos teóricos foram fundamentais na concepção da pesquisa: a
visão de Vygotsky a respeito da construção do conceito, detalhada no Capítulo 1, e a
Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, que entende o conceito como algo
que se constrói ao longo do tempo, enriquecendo-se na medida em que o sujeito,
exposto a novas situações, mobiliza um conjunto de invariantes operatórios e
209
manipula seu repertório de representações em um processo contínuo que se
prolonga no tempo. As idéias de Vergnaud também são comentadas no Capítulo 1.
Essa postura dos dois autores diante da construção do conceito – vendo-a
como algo dinâmico, cujo processo se inicia com a exposição do sujeito a uma
situação – fundamenta a idéia de pesquisar, em alunos de escolaridade avançada, o
estado em que se encontra um conceito que foi estudado formalmente numa etapa
escolar anterior. Também se fundamentam nessas idéias: 1) a proposta de
apresentar as questões do instrumento diagnóstico sob a forma de situações-
problema, entendidas por Vergnaud como a porta de entrada de um campo
conceitual; e 2) a proposta de escaloná-las em níveis de dificuldade, considerando
esse caráter progressivo da construção do conceito.
Também foram importantes, nesta pesquisa, as idéias de Caraça,
apresentadas no tópico 1.1, que descrevem a trajetória do pensamento humano em
busca da compreensão dos números racionais. Essa descrição permitiu identificar
quais das abordagens atuais dadas ao ensino desses números mais se aproximam
desse caminho natural e, também, apontar obstáculos didáticos produzidos por
linhas de ação que se afastam dessas idéias.
Com relação aos autores que produziram trabalhos específicos sobre o
conceito de número racional, esta pesquisa foi buscar subsídios nas idéias de
Kieren, Nunes, Behr e Cols. e Mack, detalhados no capítulo 2, cujos trabalhos
abordaram a questão das diferentes maneiras em que o número racional pode ser
interpretado. Essas interpretações são denominadas “subconstrutos” por Kieren e
Behr, e “significados” por Nunes e Bryant, denominação esta adotada neste trabalho.
210
A pesquisa também considerou os resultados do trabalho de Escolano e
Gairín (2005), que propõem abordagens alternativas para o trabalho com frações,
bem como os trabalhos de Silva (1997), Bezerra (2002) e Santos (2005), que
realizaram diagnósticos acerca do conceito de número racional em escolas
brasileiras, estudando concepções de alunos e de professores, procurando, como
neste trabalho, associar as dificuldades apontadas a aspectos da prática pedagógica.
Com apoio nessas idéias, foi elaborado um instrumento de pesquisa com 48
itens explorando situações envolvendo o conceito de fração nos significados parte-
todo e quociente, em três níveis de dificuldade. Esse instrumento foi aplicado a um
grupo de 73 alunos, sendo 13 da oitava série do Ensino Fundamental, de uma escola
particular, 31 da terceira série do Ensino Médio e 29 do Ensino Superior, na área de
exatas, nas condições descritas no tópico 3.2.2.
As respostas foram analisadas, inicialmente, do ponto de vista quantitativo,
em termos de percentuais de acertos. Os itens com baixos percentuais de acertos
foram considerados pontos críticos e submetidos a uma análise qualitativa dos
diferentes tipos de respostas apresentadas pelos sujeitos, visando a identificar
respostas típicas e compará-las, quando possível, às descritas pelos autores
tomados como referência e associar suas prováveis causas às práticas pedagógicas
mais comuns. Os resultados obtidos serão sintetizados a seguir.
7.2 SÍNTESE DOS RESULTADOS OBTIDOS
A análise quantitativa aponta, em um primeiro momento, que as questões de
significado parte-todo, classificadas como de nível 1 – que tinham a característica de
211
deixar a parte e o todo perfeitamente explícitos no enunciado – foram respondidas
corretamente pela quase totalidade dos sujeitos, não havendo diferenças
significativas de resultados relativas ao tipo de questão, com exceção do subitem
1b), já discutido no tópico 6.1. Esse subitem, embora classificado como de nível 1,
apresenta características relativas ao referencial que o tornam diferenciado, próximo
dos itens de nível 3 e foi muito importante na análise, pois forneceu elementos para
se inferir que a dificuldade apresentada pelos alunos não está na fração imprópria,
mas na definição do referencial em que a resposta deve ser apresentada.
Ainda em relação à análise quantitativa, os itens de significado parte-todo
classificados como de nível 2, procuraram reproduzir as idéias de Campos e Cols
(1995) em relação à questão da conservação da área, no caso das grandezas
contínuas. Para as grandezas discretas, procurou-se adaptar essa idéia, com a
criação de situações em que seria necessária a conservação do número de
elementos do conjunto usado como unidade.
Essa questão, que foi apontada como significativa pelas autoras, quando
aplicada a crianças de 12 anos, e que foi também significativa nos trabalhos de
Merlini (2005) e Moutinho (2005), parece já superada para o público alvo desta
pesquisa, sugerindo ser mais dependente da maturação que das práticas
pedagógicas.
Os itens classificados como de significado parte-todo de nível 3, por sua vez,
configuraram-se como pontos críticos e foram objeto de estudo mais aprofundado na
análise qualitativa. Esse estudo levou à elaboração da primeira das quatro questões
tratadas naquela análise, que procurou focar a idéia de fração imprópria no
212
significado parte-todo e associou essa questão ao papel desempenhado pela
unidade, descrito por Kieren e Mack.
Esses itens procuraram avaliar se o sujeito é capaz de manusear a fração
imprópria lançando mão da lógica parte-todo. Para isso foi-lhes solicitado tomar
partes de dois objetos iguais e reagrupar essas partes relacionando-as a um único
objeto, obtendo assim uma fração imprópria.
A questão central presente neste grupo de itens é a da identificação da
unidade, apontada por Kieren e descrita minuciosamente por Mack. As colocações
desses autores são comentadas, respectivamente, nos tópicos 2.1 e 2.4.
Mack aponta uma forte tendência de seus sujeitos de pesquisa a tratar uma
coleção de objetos como se essa coleção fosse uma nova unidade e a buscar
sempre um todo maior que a parte em questão (Mack, 1990 p.21). Essas
observações, referentes a pesquisas com crianças de quinta e sexta séries do
currículo americano, também se repetiram nos sujeitos desta pesquisa, revelando-se,
portanto, persistentes até estágios bem mais avançados da escolarização.
Os resultados dessa observação encontram-se no gráfico 6.1, em que se pode
observar que os percentuais de alunos que usaram referencial diferente do esperado
para responder às questões envolvendo grandezas contínuas ultrapassaram em
muitos casos a 30%. Já para responder às questões envolvendo grandezas
discretas, esses percentuais chegaram a ultrapassar 60%. Estas observações estão
detalhadas no tópico 6.1 desta dissertação.
Com relação ao significado quociente, houve pouca diferença entre os itens
classificados como de nível 2 ou 3. Os pontos críticos se concentraram nas questões
que envolvem quantidades discretas e foram objeto de análise qualitativa com
213
objetivo de detectar até que ponto as peculiaridades dessas grandezas influenciam
na capacidade do aluno de resolver situações-problema.
A motivação para dar atenção especial à questão das quantidades discretas
está nas considerações de Escolano e Gairín, comentadas no tópico 2.5. Os autores
chamam a atenção para o fato de que devem ser construídos modelos diferenciados
para o trabalho, envolvendo quantidades contínuas e discretas, face às
particularidades apresentadas por essas últimas, com destaque para o fato de que a
divisão só pode ser feita considerando os divisores do cardinal da unidade. As
colocações dos autores vêm também ao encontro da convicção deste pesquisador a
respeito da importância que se deve dar a essas grandezas. Os autores argumentam
ainda que o trabalho com grandezas discretas fornece uma nova perspectiva ao
significado de fração, por ser um conhecimento útil e por sua ampla presença no
mundo real. (Escolano e Gairín, 2005, p.29).
Os pontos críticos levantados e as considerações dos autores remeteram à
segunda e à terceira questões tratadas na análise qualitativa, que exploraram,
respectivamente, a questão da cardinalidade, apontada como significativa por
Escolano e Gairín, e a questão do quociente envolvendo grandezas discretas, que
procura avaliar até que ponto o conjunto dos racionais é entendido, ainda que de
maneira implícita, como um conjunto numérico que contém o conjunto dos números
naturais. A busca da compreensão dessas questões está detalhada nos tópicos 6.2 e
6.3 e pode ser sintetizada na busca de respostas às seguintes perguntas:
1. A opção por resolver uma questão usando a cardinalidade do conjunto
a ser repartido, mesmo quando isso não é necessário, é um fator
facilitador?
214
2. Os alunos aceitam naturalmente o fato de que a idéia de quociente,
quando aplicada a conjuntos discretos, produz como resposta um
número natural? Esse número natural é entendido como um caso
particular de fração?”
Com relação à primeira dessas perguntas, a tabulação das respostas
fornecidas mostra que, nos itens icônicos, a maioria dos alunos opta por resolver
sem usar a cardinalidade, enquanto nos não icônicos, predomina a tendência de
lançar mão da cardinalidade do conjunto, conforme as tabelas 6.2.1 a 6.2.4..
Nos dois casos, entretanto, o percentual de acertos é maior entre os alunos
que optam por não usar a cardinalidade, principalmente nos níveis Médio e Superior,
conforme as tabelas 6.2.5 a 6.2.6.
A segunda pergunta busca investigar até que ponto os sujeitos de pesquisa
incorporam à idéia de número racional o princípio a que Caraça denomina princípio
da extensão, que, no caso, pode ser entendido como fornecer um número natural
como uma resposta a uma questão envolvendo frações, demonstrando a aceitação
do fato de que o conjunto dos números naturais está contido no dos racionais.
Vale ressaltar que se busca a mobilização desse princípio de acordo com o
que Vergnaud denomina invariante operatório, ou seja, sem a necessidade de
explicitá-lo, mas apenas como um elemento de que o sujeito lança mão para
responder à questão. Essa é uma etapa da construção do conceito do número
racional pela qual os sujeitos devem passar e foi considerada apropriada para ser
investigada neste trabalho, considerando se tratar de um universo de pesquisa em
fase final do processo de escolarização.
215
Essa questão foi discutida no tópico 6.3 e as tabelas 6.3.1 a 6.3.4 detalham os
resultados obtidos. As tabelas mostram que as porcentagens de sujeitos que
demonstraram mobilizar o princípio da extensão variaram entre, 7,7% e 23,1% para o
Ensino Fundamental, 54,8% e 71,0% para o Ensino Médio e 41,4% e 58,6% para o
Ensino Superior.
O último aspecto avaliado na pesquisa refere-se aos itens de significado
quociente classificados como de nível 3, que remete à quarta questão abordada na
análise qualitativa. Essa análise tratou da extensão do conceito de quociente e
procurou avaliar: 1) até que ponto os alunos percebem que os procedimentos usados
para resolver situações de quociente, no âmbito dos números naturais permanecem
válidos também para os números racionais; e 2) se os alunos são capazes de
formalizar esses procedimentos em termos de operações com frações.
Complementando as observações da terceira questão, procurou-se agora
verificar se os sujeitos já mobilizam, na construção do número racional, o que Caraça
denomina princípio da economia, que consiste em resolver, por meio das mesmas
operações, problemas análogos envolvendo números naturais ou números racionais.
Foram apresentadas, de diversas formas diferentes, questões que conduziam a um
quociente em que o dividendo é um número natural e o divisor, uma fração. Foram
feitos dois pedidos: primeiro, simplesmente fornecer o resultado e, em um segundo
momento, formalizar esse resultado em termos de operações com frações.
Essa questão foi analisada no tópico 6.4 e os resultados, apresentados nas
tabelas 6.4.1 a 6.4.3, indicam que, em geral, um percentual elevado dos sujeitos foi
capaz de resolver a questão, porém os percentuais de alunos que, além de resolver,
216
souberam formalizar foram, no máximo, de 23,1% no Ensino Fundamental, 25,8% no
Ensino Médio e 34,5% no Ensino superior.
Dentre os que acertaram, mas não formalizaram corretamente, constatou-se
que, em vez da divisão, esses alunos lançaram mão de estruturas algébricas,
estruturas aditivas, estruturas multiplicativas e até mesmo recursos gráficos ou
descritivos. As tabelas 6.4.4 a 6.4.6 discriminam as quantidades de respostas de
cada tipo. Houve predominância de procedimentos algébricos entre os alunos do
Ensino Médio. Para os alunos do Ensino Superior não houve linha de ação
predominante.
Chamou a atenção, nessa análise, entretanto, a grande quantidade de alunos
do Ensino Fundamental que, mesmo obtendo a resposta correta, não conseguiu
explicitá-la por nenhum recurso matemático, sinalizando, para aquele grupo de
alunos, um estado da construção do conceito restrito apenas aos invariantes
operatórios, ainda distante da capacidade de explicitar, que caracteriza, para
Vergnaud, o surgimento do conhecimento científico.
7.3 RESPONDENDO À QUESTÃO DE PESQUISA
A motivação para desenvolver esta pesquisa deve-se à constatação de que o
conceito de fração constitui-se num dos mais difíceis conceitos a serem construídos
pelos alunos ao longo da escolarização e de que os modelos tradicionalmente
usados no trabalho com esses objetos matemáticos não têm sido eficazes em prover
seu pleno domínio pelos alunos. Essas observações, associadas ao fato de que, nos
níveis mais elevados de escolarização, muitas dessas dificuldades ainda se
217
encontram presentes e prejudicam o estudo de conceitos matemáticos mais
avançados, forneceram subsídios para que se elaborasse esta questão de pesquisa:
Que aspectos do conceito de fração nos significados parte-todo e
quociente permanecem sem ser apropriados por alunos de oitava série
do Ensino Fundamental, terceira série do Ensino Médio e Ensino
Superior na área de exatas?
Conforme já citado na introdução deste trabalho, esta questão conduz
naturalmente a uma outra:
Que ligações existem entre essas dificuldades e as deficiências da
prática pedagógica, já apontadas por outras pesquisas?
Na busca de respostas a essas duas perguntas, os trabalhos de coleta e análise de
dados se focaram na direção de dois objetivos:
• identificar aspectos do conceito de fração relativos aos significados parte-todo
e quociente, que se constituem em dificuldades ao longo da escolarização e
não são revertidos facilmente com o avançar dessa escolarização para os
sujeitos em estudo;
• associar essas dificuldades a deficiências da prática pedagógica já apontadas
por outras pesquisas.
Com relação ao primeiro desses objetivos, os dados obtidos da análise
qualitativa permitem destacar alguns comportamentos predominantes nos sujeitos de
218
pesquisa estudados, que podem ser resumidos nas quatro considerações que se
seguem:
1. Diante de situações em que fica a cargo do aluno estabelecer o referencial em
que a questão deve ser respondida, em geral a resposta é fornecida tomando
como referencial a maior coleção disponível, com pequena preocupação em
relação à fixação desse referencial e uma tendência a evitar a fração
imprópria, por mais enfáticas que sejam as indicações acerca do referencial
desejado;
2. Nas situações de quociente envolvendo quantidades discretas, há uma
tendência da maioria dos alunos a usar, na resolução, a cardinalidade do
conjunto a ser repartido, mesmo quando essa cardinalidade é dispensável.
Essa linha de ação levou a uma maior porcentagem de erros na amostra
considerada.
3. Ainda nas situações de quociente envolvendo quantidades discretas, há uma
resistência a assumir um número natural como uma fração, predominando
respostas em que o sujeito sinaliza que percebe o que se pede, mas não
explicita corretamente ou mesmo ignora a cardinalidade, em um processo
semelhante à divisão de grandezas contínuas.
4. Finalmente, nas situações de quociente, resolvidas por uma divisão entre um
número natural e uma fração, um grande número de alunos que soube
resolvê-la por procedimentos intuitivos, ou mesmo por outras estratégias, não
foi capaz de explicitá-la em termos de operações com números racionais.
219
Os parágrafos seguintes procurarão retomar cada uma dessas quatro
observações e identificar elementos que remetem ao segundo objetivo, ou seja,
associar essas observações a aspectos da prática pedagógica.
Para a primeira observação, pode-se procurar uma explicação na própria
gênese do número racional, que pressupõe que toda fração se refere a uma dada
grandeza, tomada como referencial (Caraça, 1952).
Os modelos parte-todo e quociente, que usualmente são empregados para
introduzir o conceito de fração, dão pouca ênfase a esse referencial, ora propondo a
fração como uma relação entre dois números naturais, ora como um quociente
indicado.
As observações de Silva (1997) e Santos (2005) indicam que os professores
tendem a privilegiar o modelo parte-todo, nas fases iniciais do estudo, e a partir
rapidamente para atividades algorítmicas, envolvendo operações com frações.
Nessa fase, as frações adquirem o status de número, e se costuma dar pouca ênfase
ao fato de que elas continuam a se referir a uma unidade, que no caso é o elemento
neutro da multiplicação. A passagem para essa fase pressupõe um grande salto em
termos de abstração, aparentemente não conseguido pela maioria dos alunos,
configurando-se exatamente aí, no entender deste pesquisador, a origem dos falsos
conceitos que os alunos carregam ao longo da escolarização, e que esta pesquisa
mostra serem surpreendentemente duradouros.
Uma proposta para a redução dessa dificuldade, reiterando as idéias de Silva
(1997), passa pela necessidade de utilizar todos os significados na construção inicial
do conceito de fração, principalmente os significados parte-todo, quociente e medida,
220
que parecem mais apropriados a preparar o caminho para as abstrações necessárias
à compreensão da fração como um novo tipo de número.
A respeito do significado medida, que não foi objeto deste trabalho, é
interessante destacar as idéias de Escolano e Gairín (2005), que chamam a atenção
para o fato de que esse modelo tem, como característica principal, manter o
referencial associado à fração de maneira mais efetiva. As observações de Santos
(2005), entretanto, destacam que esse é um dos significados que os professores
menos consideram na elaboração de suas atividades.
Embora a identificação das dificuldades que envolvem a compreensão do
papel da unidade no conjunto dos números racionais não seja uma questão nova –
pois já foi apontada por Kieren (1981, 1993) e Mack (1990), em estudos com
crianças em fase inicial de escolarização – espera-se que as constatações desta
pesquisa possam ressaltar sua importância ao apontar a persistência dessas
dificuldades.
A segunda observação, que aponta para a tendência do aluno a considerar a
cardinalidade do conjunto para resolver a questão, mesmo quando isso é
dispensável, remete à idéia de Brousseau (1990), que aponta como uma
característica significativa, embora não desejável, do contrato didático, a crença por
parte do aluno de que todos os dados numéricos fornecidos no enunciado de um
problema devem ser usados em sua resolução.
A constatação de que a tentativa de usar a cardinalidade na resolução dos
exercícios conduz a um percentual maior de erros sugere que o trato com as
grandezas discretas não se configura como uma simples extensão do trato das
221
grandezas contínuas, apresentando peculiaridades próprias que devem merecer
atenção especial nas fases iniciais da escolarização.
A proposta de Bezerra (2002) parece apresentar uma forma de contornar esse
problema. O autor propõe tomar o conceito de divisão, conforme abordado nos
números naturais, como ponto de partida para construir o conceito de fração,
partindo inicialmente da idéia de fração imprópria. Isso seria obtido a partir de
situações-problema em que os alunos pudessem manipular materiais significativos.
Esse modelo, entretanto, apresenta dificuldades na obtenção de frações próprias em
situações com grandezas discretas, o que sugere que deva ser trabalhado em
combinação com outros modelos, conforme destaca o próprio autor.
As duas últimas observações sinalizam para o fato de que as frações ainda
não são vistas por grande parte dos sujeitos como entes numéricos em sua
plenitude. Isso se evidencia na dificuldade em aceitar que o conjunto dos naturais se
incorpora ao dos racionais, segundo o que Caraça (1952) denominou princípio da
extensão, e fica caracterizado quando o sujeito não reconhece que a resposta de
uma situação de quociente envolvendo grandezas discretas pode ser representada
por um número natural, obtido por uma operação idêntica à realizada com grandezas
contínuas, e que essa resposta também pode ser chamada de fração. No entender
deste pesquisador, esse caminho, que traduz a gênese do número racional, deve ser
percorrido pelo sujeito em termos de conhecimentos implícitos, para que o conceito
se construa plenamente.
Da mesma maneira, a operação de dividir uma certa grandeza em partes de
valor conhecido, que no caso de números naturais se obtém de imediato por um
quociente, parece não ser prontamente respondida por um quociente quando o valor
222
dessa parte é uma fração. A manutenção da divisão para resolver o problema no
conjunto dos naturais e dos racionais caracteriza o que Caraça (ibid.) denominou
princípio da economia. No caso do universo pesquisado, esse princípio parece ainda
não estar presente, mesmo na forma de conhecimento implícito, para um grande
número de sujeitos, sugerindo que há ainda um caminho a percorrer na construção
do conceito de número racional, e que os professores devem ter consciência dessas
dificuldades e tentar saná-las, na medida do possível, nos trabalhos de seus
respectivos conteúdos, considerando que esses falsos conceitos podem trazer
prejuízo ao estudo de tópicos mais avançados da Matemática.
Com relação a esse prejuízo, cabe ressaltar mais uma vez as idéias de Bher e
Cols. a respeito da importância da construção correta do conceito de número racional
como um fator de preparação para a apropriação de conceitos mais sofisticados,
sobretudo os algébricos. Os autores salientam que o estudo dos números racionais é
particularmente adequado a desenvolver estruturas de pensamento mais sofisticadas
na transição do pensamento concreto para o pensamento operatório formal. Um
trabalho pouco consistente com frações, no período em que esse estudo costuma
ser proposto nas grades curriculares, poderá ser um fator de perda de oportunidade
de desenvolver essas estruturas de pensamento no momento adequado, em termos
de maturação, e as conseqüências dessas falhas, conforme apontado nesta
pesquisa, não são de fácil reparação.
Essas considerações pretenderam, portanto, responder às questões a que o
pesquisador se propôs, buscando, com as observações obtidas, acrescentar novas
informações às já disponibilizadas por pesquisas anteriores. Embora se deva
considerar que as amostras tomadas nesta pesquisa não permitam generalizações
223
para universos diferentes do estudado, as evidências obtidas e seu confronto com os
referenciais teóricos usados fornecem elementos que permitem supor que seus
resultados podem ser úteis como indicadores de tendências. Espera-se, portanto,
que este trabalho possa acrescentar informações às já obtidas pelos demais
pesquisadores do grupo, fornecer subsídios a outros pesquisadores e ajudar a
inspirar novas pesquisas que proponham tanto trabalhos mais abrangentes – que
permitam ampliar este diagnóstico – quanto intervenções que visem a obter soluções
para os problemas apontados.
224
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Anexo 1a - Fração imprópria no significado parte-todo: análise das respostas dos sujeitos do Ensino Fundamental
Tipo Icônico Contínuo Não icônico Contínuo Icônico Discreto Não icônico Discreto
Item 5 6a 6b 6c 6d 6e 11a 11b 12a 12b 17a 17b 18a 18b 23a 23b 24a 24b
Referencialesperado 7 12 12 9 9 9 3 3 6 7 3 2 6 8 0 0 10 8
Outroreferencial 5 0 0 0 0 0 10 10 5 3 8 6 6 4 12 12 1 2
Branco ouInconsistente 1 1 1 4 4 4 0 0 2 3 2 5 1 1 1 1 2 3
Ordem9
caderno3
6caderno
3
3caderno
3
9 caderno
1
12caderno
1
3caderno
1
3caderno
2
15caderno
2
Anexo 1b -Fração imprópria no significado parte-todo: análise das respostas dos sujeitos do Ensino Médio
Tipo Icônico Contínuo Não icônico Contínuo Icônico Discreto Não icônico Discreto
Item 5 6a 6b 6c 6d 6e 11a 11b 12a 12b 17a 17b 18a 18b 23a 23b 24a 24b
Referencialesperado 4 31 22 22 20 20 15 14 19 17 10 10 2 2 11 11 22 21
Outroreferencial 16 0 9 8 9 9 16 17 11 11 20 20 27 28 20 18 7 6
Branco ouInconsistente 1 0 0 1 2 2 0 0 1 3 1 1 2 1 0 2 2 4
Ordem9
caderno3
6caderno
3
3caderno
3
9 caderno
1
12caderno
1
3caderno
1
3caderno
2
15caderno
2
Anexo 1c- Fração imprópria no significado parte-todo: análise das respostas dos sujeitos do Ensino Superior
Tipo Icônico Contínuo Não icônico Contínuo Icônico Discreto Não icônico Discreto
Item 5 6a 6b 6c 6d 6e 11a 11b 12a 12b 17a 17b 18a 18b 23a 23b 24a 24b
Referencialesperado 9 28 16 18 18 12 6 6 20 14 3 3 9 11 8 7 19 17
Outroreferencial 15 0 10 9 8 13 22 20 7 2 14 14 15 14 19 20 6 7
Branco ouInconsistente 5 1 3 2 3 4 1 3 2 3 12 12 5 4 2 2 4 5
Ordem9
caderno3
6caderno
3
3caderno
3
9 caderno
1
12caderno
1
3caderno
1
3caderno
2
15caderno
2
233
ANEXO II
O INSTRUMENTO DE PESQUISA
Item 1 – Observe as figuras abaixo:
a) Que fração representa a quantidade de pizza existente na mesa 1?b) Que fração representa a quantidade de pizza existente na mesa 2?
Item 2 – Nos gráficos abaixo, as barras representam as capacidades de dois tanquesde combustível, A e B e as partes escuras, a quantidade de combustível existente emcada um dos tanques.
a) Que fração representa a quantidade de combustível existente no tanque A emrelação a sua capacidade?
b) Que fração representa a quantidade de combustível existente no tanque B emrelação a sua capacidade?
Item 3 – Que fração representa a parte pintada da figura abaixo?
AB
234
Item 4 –Os prédios A e B são iguais e todos os andares têm a mesma altura. A áreasombreada representa uma parte do prédio B que está sendo pintada. Que fraçãorepresenta essa parte?
Item 5 – Se pudéssemos juntar todos esses pedaços de pizza e exprimir essaquantidade como fração de uma pizza, qual a fração que representa a quantidade depizza que não foi consumida?
Item 6 – Considerando sempre uma barra como o inteiro, responda
1
2
3
4
a) Que fração representa a parte pintada barra 1?b) Que fração representa a soma das partes pintadas das barras 1 e 2?c) Que fração representa a soma das partes pintadas das barras 1, 2 e 3?d) Que fração representa a soma das partes pintadas das barras 1, 2, 3 e 4?e) Que fração representa o dobro das partes pintadas das barras 1 e 2?
Item 7 – Um pedaço de corda foi dividido em 9 partes iguais, que foram distribuídaspara as crianças de uma escola brincarem no recreio. As crianças da pré-escola
A B
235
receberam 3 dessas partes, as da primeira série, 2 partes e as da segunda série 4partes.
a) Que fração da corda as crianças da pré-escola receberam?b) Que fração da corda as crianças da primeira série receberam?c) Que fração da corda as crianças da segunda série receberam?
Item 8 – – No balcão de uma padaria podem ser vistos dois bolos de chocolate, trêsbolos de coco e quatro de morango. Maria comprou um bolo de chocolate e outro demorango. Represente por uma fração a quantidade de bolos que Maria comprou emrelação ao total de bolos da padaria.
Item 9 – Um chocolate foi dividido em 5 partes, sendo 4 delas iguais e uma igual ao
dobro de cada uma das 4 anteriores. Que fração representa essa parte maior em
relação ao chocolate todo?
Item 10 – Para a confecção de uma fantasia, um novelo de fita vermelha foi cortado
em 4 partes, de modo que 3 dessas partes têm o mesmo tamanho, e a quarta parte
tem o dobro do tamanho de cada uma das 3 anteriores. Logo após, para confeccionar
outra fantasia, um novelo de fita azul, do mesmo tamanho da vermelha, foi cortado,
nas mesmas condições.
a) Que fração da fita vermelha representa o pedaço maior?
b) Considerando o inteiro como um novelo de fita, que fração de novelo representa
a soma dos pedaços maiores das duas fitas?
Item 11 – Dois irmãos, Roberto e Antonio, receberam como herança dois terrenos de
mesma área. Cada um desses terrenos foi dividido em 5 partes iguais, cabendo duas
partes a Antônio e três a Roberto.
Complete com frações:a) A parte de Antonio na herança corresponde a ______________ da área de um
terreno.
b) A parte de Roberto na herança corresponde a ______________da área de um
terreno.
Item 12 - André ganhou 4 chocolates do mesmo tamanho, cada um deles com marcas
para serem divididos em 4 pedaços iguais. Do primeiro chocolate comeu 3 pedaços e
deu 1 para seu irmão Pedro. Do segundo, comeu dois pedaços e deu os outros dois
para sua prima Daniela. Logo após, resolveu comer os outros dois chocolates e dividiu
com Pedro e Daniela da mesma maneira que os dois primeiros.
236
a) Que fração de uma barra de chocolate representa o que André comeu dos dois
primeiros chocolates?
b) Que fração de uma barra de chocolate representa o que André comeu dos 4
chocolates?
Item 13 – No balão, somente três bolas estão pintadas. Represente por uma fração a
quantidade de bolas pintadas em relação a todas as bolas que estão no balão.
Item 14 - Numa loja de presentes há 4 bonés vermelhos e 2 bonés azuis de mesmo
tamanho. Que fração representa a quantidade de bonés azuis em relação ao total de
bonés?
Item 15 – Na mesa encontram-se quatro pratos com docinhos iguais. Encontre uma
fração que exprima a quantidade de doces do prato 1 em relação ao total de doces
existente na mesa.
4
1 2
3
237
Item 16 – Na parede há 5 porta-retratos, para fotos iguais, porém com capacidade
para um número diferente de fotos. Represente por uma fração a capacidade de fotos
do porta-retrato A em relação ao total de fotos que estão na parede.
Item 17 – Duas Caixas de bolinhas de gude como esta deverão ser repartidas entre
Carlos e José. Para fazer a divisão, as bolinhas de cada caixa serão divididas em 7
partes iguais, cabendo 3 partes a Carlos e 4 partes a José. Complete com frações:
a) a parte de Carlos corresponde a _____________ de uma caixa de bolinhas.
b) a parte de José corresponde a _____________ de uma caixa de bolinhas.
Item 18 - Tomando como o todo-referência uma caixa de bolinhas,
a) represente por uma única fração o total de bolinhas pintadas nas 4 caixas.
b) represente por uma fração o dobro da quantidade das bolinhas pintadas na
figura abaixo?
A B
C D E
238
Item 19 – Na vitrine de uma loja de brinquedos podem ser vistos 2 carrinhos azuis, 3
carrinhos vermelhos e 4 carrinhos verdes, todos do mesmo tipo. Um cliente comprou
para seus filhos 1 carrinho azul e outro verde. Represente por uma fração a
quantidade carrinhos que esse cliente comprou em relação ao total de carrinhos da
vitrine.
Item 20 – Um pacote com 36 balas foi repartido em 12 partes iguais, que foramdistribuídas para Juliane, Daniele e Gabriela. Juliane recebeu 5 partes, Danielerecebeu 4 partes e Gabriela recebeu 3 partes.
a) Que fração do pacote de balas Juliane recebeu?b) Que fração do pacote de balas Gabriela recebeu?c) Que fração do pacote de balas Daniele recebeu?
Item 21 – Num restaurante existem 2 mesas com 12 lugares cada e 3 mesas com 4
lugares cada. Que fração da capacidade do restaurante representa uma das mesas de
4 lugares?
Item 22 – Três meninos e uma menina compraram uma caixa de bombons, que foram
repartidos, de modo que a menina recebeu o dobro da quantidade de bombons que os
meninos. Após repartirem os bombons resolveram comprar outra caixa igual, e
repartirem da mesma maneira.
a) Que fração de uma caixa de bombons representa o que a menina recebeu após
repartirem a primeira caixa?
b) Que fração de uma caixa de bombons representa o que a menina recebeu após
repartirem as duas caixas?
c) Se as duas caixas fossem repartidas ao mesmo tempo, que fração de uma caixa
representaria o total de bombons que a menina ganhou?
Item 23 –Michele e Mirela ganharam dois pacotes com 30 balas para repartirem. Cada
um desses pacotes foi dividido em 6 partes iguais, e Michele ficou com 2 partes
enquanto que Mirela ficou com 4 partes.
Complete com frações:a) A parte de Michele corresponde a ______________ de um pacote de balas.
b) A parte de Mirela corresponde a ______________de um pacote de balas.
239
Item 24 – Flávia tinha 4 pacotes iguais de contas coloridas para fazer colares. Para
fazer um colar, separou as contas da seguinte maneira:
- dividiu o primeiro pacote em 5 partes, das quais usou 3;
- dividiu o segundo pacote em 5 partes, das quais usou uma.
- dividiu o terceiro pacote em 5 partes, das quais usou 3;
- dividiu o quarto pacote em 5 partes, das quais usou uma.
a) Que fração de um pacote de contas representa o que foi retirado dos 2 primeiros
pacotes?
b) Que fração de um pacote de contas representa o que foi retirado dos 4 pacotes?
Item 25 – Foram divididas igualmente para 4 crianças, 3 barras de chocolate
a) Cada criança receberá um chocolate inteiro?( ) Sim ( ) Não
b) Cada criança receberá pelo menos metade de um chocolate? ( ) Sim ( ) Nãoc) Que fração do chocolate cada criança receberá?
Item 26 – Duas barras de chocolate iguais foram repartidas entre 5 meninos e 3 barrasiguais foram repartidas entre 5 meninas.
a) Que fração de uma barra de chocolate representa o que cada meninorecebeu?
b) Que fração de uma barra de chocolate representa o que cada meninarecebeu?
c) Quem recebeu um pedaço maior de chocolate?d) Qual dessas frações é maior?
Item 27 – Um bolo foi dividido igualmente para três crianças e dois bolos do mesmo
tamanho foram divididos igualmente para 6 crianças.
a) As 9 cri( ) Sim b) Que frac) Que fra
Item 28 – Dois
tamanho foram
a) As cria
b) Que fra
c) Que fra
d) Qual de
Item 29 – Qua
de modo a que
1
1
anças comeram a mesma qua ( ) Nãoção representa a divisão do boção representa a divisão do bo
bolos foram divididos igualm
divididos igualmente para 4 c
nças de qual grupo ganharam
ção representa a divisão do bo
ção representa a divisão do bo
ssas frações é maior?
tro barras de chocolate deverã
em cada caixinha caibam 32
2
2
240
ntidade de bolo?
lo da figura 1?lo da figura 2?
ente para 3 crianças e 3 bolos do mesmo
rianças.
mais bolo?
lo da figura 1?
lo na figura 2?
o ser divididas e colocadas em caixinhas
de uma barra de chocolate.
241
a) Quantas caixinhas serão necessárias para guardar todo o chocolate?
b) Represente a solução deste problema como uma operação com frações.
Item 30 - Se tomarmos pedaços equivalentes a 43 de cada um dos chocolates abaixo
para distribuirmos a algumas crianças.
a) Quantas crianças poderão ganhar chocolate?
b) Represente esta repartição como uma operação com frações.
Item 31 – Três barras de chocolate foram divididas em partes iguais entre 5 crianças.
a) Cada criança recebeu pelo menos a metade de uma barra de chocolate?( ) Sim ( ) Não
b) Que fração de uma barra de chocolate cada criança receberá?
Item 32 – Numa certa lanchonete, 5 meninos sentaram-se para lanchar e pediram 4
garrafas de refrigerante e tomaram todos a mesma quantidade. Na mesa ao lado, 5
meninas que também lanchavam pediram 3 garrafas de refrigerante e também
tomaram a mesma quantidade.
a) Quem tomou mais refrigerante, os meninos ou as meninas?
b) Que fração de uma garrafa de refrigerante cada menino tomou?
c) Que fração de uma garrafa de refrigerante cada menina tomou?
d) Qual dessas frações é maior?
Item 33 – Dez barras de chocolate de mesmo tamanho serão repartidas igualmente
entre 15 crianças. Sabe-se que 6 barras são de chocolate escuro e que 4 barras são de
chocolate branco. Sabe-se também que 9 crianças preferiram o chocolate escuro e que
6 crianças preferiram o branco.
a) As crianças que preferiram o chocolate escuro ganharão um pedaço maior de
chocolate?
( ) Sim ( ) Não
b) Que fração representa a quantidade de chocolate escuro que cada criança
receberá?
242
c) Que fração representa a quantidade de chocolate branco que cada criança
receberá?
Item 34 – Na hora do recreio, foram divididas 3 latas de refrigerante igualmente para 2
meninos e 5 latas de refrigerante, também foram divididas igualmente para 3 meninas.
a) Quem tomou mais refrigerante, os meninos ou as meninas?
b) Represente por uma fração de uma lata de refrigerante a quantidade que cada
menina tomou.
c) Represente por uma fração de uma lata de refrigerante a quantidade que cada
menino tomou.
d) Qual dessas frações é maior?
Item 35 – Para que se possa fazer a limpeza de dois grandes aquários iguais, a águaque está contida neles deverá ser transferida para alguns recipientes cuja capacidade é
31 da capacidade dos aquários.
a) Quantos pequenos recipientes serão necessários para armazenar a água?b) Represente a solução desse problema como uma operação com frações.
Item 36 – Quatro grandes navios de mesma capacidade de carga estão ancoradosnum porto, carregados de grãos. Para que os grãos possam chegar a portos mais
rasos, o carregamento deverá ser transferido para navios menores, com 32 da
capacidade dos navios grandes.
a) Quantos navios menores serão necessários para transportar a carga que estános navios grandes?
b) Represente a solução desse problema por uma operação com frações.
Item 37 – As duas caixas de bolinhas de gude abaixo deverão ser repartidas entre 3meninos .
a) Represente por uma fração de caixa o que cada menino irá ganhar.
243
b) Represente por uma fração a quantidade de bolinhas que cada menino deverá
ganhar
Item 38 – Dois dos pacotes de balas deverão ser repartidos igualmente por 6 meninos
e outros 3 pacotes iguais, por 6 meninas.
a) Represente por uma fração de um pacote de balas o que cada menino
receberá.
b) Represente por uma fração de um pacote de balas o que cada menina
receberá.
c) Qual dessas frações é maior?
d) Represente por uma fração a quantidade de balas que cada menino receberá.
e) Represente por uma fração a quantidade de balas que cada menina receberá.
Item 39 – No pacote 1 existem 12 balas, que serão repartidas igualmente para 4
meninos. No pacote 2 existem 9 balas que serão repartidas igualmente para 3
meninas.
244
a) Cada um dos meninos ganhará mais balas que as meninas?
( ) Sim ( ) Não
b) Represente por meio de uma fração a quantidade de balas que cada menino
receberá
c) Represente por meio de uma fração a quantidade de balas que cada menina
receberá
Item 40 – O primeiro conjunto de figurinhas será dividido entre 3 crianças e o segundo
conjunto entre quatro crianças.
a) As crianças de que grupo ganharão mais figurinhas?
b) Represente por meio de fração a quantidade de figurinhas que cada criança do
1° grupo receberá
c) Represente por meio de fração a quantidade de figurinhas que cada criança do
2° grupo receberá.
d) Qual dessas frações é maior?
Item 41 – Três pacotes de ovos serão redistribuídos em pacotes menores, de
modo que cada novo pacote contenha 43 dos ovos do pacote maior.
21
245
a) Quantos pacotes poderão ser obtidos através desse procedimento?
b) Represente a solução desse problema como uma operação com frações.
Item 42 - A figura abaixo representa uma caixa de maçãs, que serão transferidas para
caixas menores, com 41 da capacidade desta caixa .
a) Quantas caixas serão necessárias para guardar todas as maçãs?b) Represente a solução desse problema como uma operação com frações.
Item 43 – Duas cestas com 20 laranjas cada foram repartidas entre 5 pessoas
a) Cada pessoa ganhará pelo menos meia cesta de laranjas?
( ) Sim ( ) Não
b) Que fração de uma cesta de laranjas representa o que cada pessoa receberá?
Item 44 – Três pacotes com 30 figurinhas de esportes cada foi repartido entre 6
meninos e outros 2 pacotes, com 30 figurinhas de super-heróis cada foram repartidos
entre outros 6 meninos.
a) Que fração de um pacote representa a quantidade de figurinhas de esportes que
cada menino recebeu?
b) Que fração de um pacote representa a quantidade de figurinhas de super-heróis
que cada menino recebeu?
c) Qual dessas frações é maior?
Item 45 – Marina tem 36 fotografias, e deverá coloca-las em 3 álbuns com a mesma
quantidade de fotos em cada um. Ana tem 60 fotografias e deseja coloca-las em 5
álbuns, também com a mesma quantidade de fotos em cada.
246
a) Represente por uma fração a quantidade de fotos dos álbuns de Marina em
relação ao total de suas fotos.
b) Represente por uma fração a quantidade de fotos dos álbuns de Ana em relação
ao total de suas fotos.
Item 46 – Um pacote com 30 balas de morango foi dividido por 6 pessoas e um outropacote com 24 balas de hortelã foi repartido entre 4 pessoas.
a) todas as pessoas receberão a mesma quantidade de balas?( ) Sim ( ) Não
b) Represente por uma fração o total de balas de morango que cada pessoarecebeu.
c) Represente por uma fração o total de balas de hortelã que cada pessoarecebeu.
Item 47 – Uma biblioteca que tinha seus livros guardados em 6 estantes cheias, trocou
seus móveis e as novas estantes têm 43 da capacidade das antigas.
a) Quantas estantes novas serão necessárias para acomodar todos os livros dabiblioteca?
b) Represente a solução deste problema por uma operação com frações.
Item 48 – Os cartões telefônicos da coleção de César estavam guardados em 6 álbuns.
Ele pretende mudá-los para novos álbuns, cuja capacidade é 32 da capacidade dos
anteriores.a) Quantos novos álbuns serão necessários para acomodar todos os seus cartões?
b) Represente a solução deste problema por uma operação com frações.