números racionales y razonamiento proporcional introducción · para cada una de las siguientes...

Capítulo

Números Racionales

y Razonamiento

proporcional

Introducción

6

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Definición

Números Racionales

El conjunto de números Q, tal que

numerador

denominador


número de partes de

igual tamaño en que se

ha dividido el entero

número de partes

de igual tamaño

que hemos

seleccionado

Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

Significado de una fracción

¿Qué parte del círculo está coloreada?

Cuando cuantificamos cantidades menores que el todo, dividimos en partes equitativas.

3

8

Cantidad de partes coloreadas.

Cantidad total de partes iguales que forman el todo, este caso, el círculo.

se lee tres octavos. 3

8

Numerador y denominador


A m se le llama numerador y al número n se le llama denominador.

nm

numerador

denominador

Si tenemos dos números naturales m y n

nm se llama fracción de

naturales.

Fracciones en palabras Cantidad de partes

equitativas en que se

divide el todo

Nombre de las partes

Dos Mitades o medios

Tres Tercios

Cuatro Cuartos

Cinco Quintos

Seis Sextos

Siete Séptimos

Ocho Octavos

Nueve Novenos

Diez Décimos

Once Onceavos

A partir de once se añade el sufijo “avos” a la palabra

correspondiente a la cantidad total de partes en que se divide el todo.

Ejemplo


Para cada una de las siguientes figuras, escriba un número que represente la parte de la región que está coloreada y la que no está coloreada.

5

6

2

5

Área coloreada

Área no coloreada

1

6

3

5

Cinco sextos Un sexto

Dos quintos Tres quintos

Significados de los números racionales

• Para entender el concepto de la fracción, es

importante considerar diferentes

representaciones que se le pueden atribuir, así

como las relaciones entre éstas.

• El modelo cognitivo de Kieren, propone al menos

cinco de estas representaciones: • Parte de un todo

• Razón

• Cociente

• Medida

• Operador


Parte de un todo

La relación entre cierta cantidad de partes de

un todo divido equitativamente y el total de las

partes.

Ejemplos: Modelo continuo (área)


del círculo está pintado. del conjunto son manzanas verdes. 3

8

3

12

Modelo discreto (conjunto de objetos)

Razón

Una razón es una relación entre dos cantidades.

Ejemplos:

– Un nuevo automóvil tiene un rendimiento de

30 millas por galón.

– Tres de cada cinco dentistas prefieren la

pasta de dientes Sincaries.


30 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠: 1 𝑔𝑎𝑙ó𝑛 30

1

3 ∶ 5 3

5

Cociente

Representación de la operación de división.

El enunciado de división a ÷ b es

equivalente a

Ejemplo:

Si dividimos una manzana entre dos

personas en partes iguales, esto es 1 ÷ 2.

Cada una tendrá media manzana.

1 ÷ 2 = Dra. Yuitza T. Humarán Martínez

ab

1

2

Medida

Representación en la recta numérica y la

cuantificación de longitud.

Ejemplos:

La coordenada del punto A es .

La longitud entre -2 y A es .


1

3

5

3

Operador

Función o correspondencia que transforma

conjuntos o regiones.

Ejemplo:

– La operación de multiplicación con fracciones.

– ¿Cuánto es una tercera parte de 2 enteros?


1

23

2

3

12

3

Definición

Fracción propia

Una fracción, , en la cual

Ejemplos:

Fracción impropia

Una fracción, , en la cual

Ejemplos:


y

y

Considere las siguientes fracciones de enteros:

a) b)

24

8

12

4


3 3

5 c) d)

16

2 810

2

Enteros subconjunto de los

Racionales

Los enteros positivos y los negativos son números racionales.

Tomemos como numerador al 0. Por ejemplo, 0

4 0

No podemos usar a cero como denominador un número racional.

¿Por qué no podemos usar a cero como denominador? Por ejemplo,

12

0


Enteros subconjunto de los Racionales

También el cero es un número racional.

Como y la división entre 0 no está definida, 12

0= 12 ÷ 0,

𝑎

0 no está definida, , incluyendo a 0

0

Resumen

El conjunto de los números racionales

consiste de cocientes

donde a y b son enteros para b ≠ 0.

Por lo tanto, este conjunto consiste de:

Fracciones de naturales

Opuestos de las fracciones de

naturales

Enteros


ab

Modelo de la recta numérica

¿Cuáles números se han representado en la

siguiente recta numérica?


Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son numeros que representan el

mismo punto sobre una recta numérica.


Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son numeros que ocupan la

misma área de un entero.


Manipulativos tangibles

Bloques de patrones


Piezas de círculos Piezas de rectángulos

Franjas de fracciones

1 CM

Barras de cuisenaire

Ejemplos

1. Si la barra anaranjada es el todo, ¿qué

parte representa la barra amarilla?

2. Si la barra verde representa el todo,

¿qué parte representan dos barras

rojas?


1

2

2

3

Ejemplo

Si la siguiente figura representa el todo,

¿qué parte representa un trapecio?

Si el hexágono representa el todo, ¿qué

parte representa un rombo?


1

4

1

3

Ejemplo

Si representa del todo, dibuje una posible

representación del todo.


1

3

Con un modelo de área

Con un modelo de

conjuntos

Barras de fracciones


1

2=

3

6=

6

12

Ley fundamental de fracciones

Sea cualquier fracción y n natural, entonces


Hallar el valor para x tal que

Ejemplo

, por lo tanto x = 60

Simplificación de fracciones

Un número racional esta

• en su estado más simple

• en su forma mínima

• reducido completamente

si a y b no tienen un factor común mayor que 1.


Ejemplo

Escribir cada fracción en su forma más simple:

a.

b.

c.


10

55=

5 × 2

5 × 11=

2

11

−12

36= −

12 × 1

12 × 3= −

1

3

9

10 𝐸𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑚á𝑠.

d. 3𝑎

𝑎𝑏=

3

𝑏

d.

7𝑥 + 7

7=

7(𝑥 + 1)

7= 𝑥 + 1

Igualdad de Fracciones

Demostrar que

Método 1: Simplificar ambas fracciones a su

estado más simple. Si reducen a la

misma fracción, son iguales


12

42=

6 × 2

6 × 7=

2

7

10

35=

5 × 2

5 × 7=

2

7

Como las fracciones son

iguales, las originales son

equivalentes.


Método 2: Convertir ambas fracciones a fracciones

equivalentes con el mismo denominador usando el

mínimo común múltiplo.

Si las nuevas fracciones son iguales, las

originales eran equivalentes.


MCM(20, 50) = 100

𝟔 × 𝟓

𝟐𝟎 × 𝟓=

𝟑𝟎

𝟏𝟎𝟎

𝟏𝟓 × 𝟐

𝟓𝟎 × 𝟐=

𝟑𝟎

𝟏𝟎𝟎

Demostrar que 6

20=

15

50

Como las fracciones son iguales, las originales son

equivalentes.


Método 3: Escribir ambas fracciones con un denominador

común, aunque no sea el mínimo.

Un común múltiplo a dos números es el producto

de los dos.

Por lo tanto, un común múltiplo es 30 · 54 = 1620.


𝟓 × 𝟓𝟒

𝟑𝟎 × 𝟓𝟒=

𝟐𝟕𝟎

𝟏𝟔𝟐𝟎

𝟗 × 𝟑𝟎

𝟓𝟒 × 𝟑𝟎=

𝟐𝟕𝟎

𝟏𝟔𝟐𝟎

Demostrar que 5

30=

9

54

Como las fracciones son iguales, las originales son

equivalentes.


Dos fracciones y , d 0 son iguales si y

sólo si ad = bc.


Demostrar que

𝟗 × 𝟒𝟖 = 𝟒𝟑𝟐

𝟏𝟎𝟖 × 𝟒 = 𝟒𝟑𝟐

48

108=

4

9

Como los productos son iguales, las fracciones son

equivalentes.

Ordenamiento de Números Racionales

Si a, b, c, y d son enteros donde b > 0 y d > 0,

entonces si y solo si ad > bc.

𝟒

𝟓

𝟏𝟏

𝟏𝟐

Como 4 × 12 = 48 𝑦

5 × 11 = 55

Entonces,

𝟒

𝟓

𝟏𝟏

𝟏𝟐

< 𝟒

𝟓

𝟏𝟏

𝟏𝟐 >

Ejemplo:

ó

Densidad de los números racionales

Dado números racionales cualesquiera, 𝑎

𝑏 𝑦

𝑐

𝑑,

existe otro número racional entre estos dos

números.


Ejemplo

Hallar dos fracciones entre .

• Primero, determinamos dos fracciones

equivalentes a pero con denominadores

mayores.


5

12 𝑦

1

2

5

12 𝑦

1

2

𝟓

𝟏𝟐=

?

𝟒𝟖

𝟓

𝟏𝟐=

𝟐𝟎

𝟒𝟖

𝟏

𝟐=

?

𝟒𝟖

𝟏

𝟐=

𝟐𝟒

𝟒𝟖

𝟐𝟏

𝟒𝟖,𝟐𝟐

𝟒𝟖, 𝒚

𝟐𝟑

𝟒𝟖 𝒆𝒔𝒕á𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆

𝟓

𝟏𝟐 𝒚

𝟏

𝟐

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