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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas

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Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984

Volumen 96, noviembre de 2017, página 2

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil

hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de

interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,

aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,

Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Director

Israel García Alonso

Comité editorial

Hugo Afonso, Alicia Bruno, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Fátima García e Inés

Plasencia.

Consejo asesor

José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel

Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo,

Luis Rico y Xavier Vilella.

Portada. Fotografía premiada en el concurso Fotografía y Matemáticas.

Edita

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Apartado 329.

38200 La Laguna (Tenerife) España

Email: [email protected]

Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas

Juan Agustín Noda Gómez (Presidente), Ana Rosa Díaz Rodríguez (Vicepresidenta), Alfredo Monereo Muñoz

(Secretario General), Guacimara Pérez Cartaya (Tesorera), María Nila Pérez Francisco (Secretaria de actas),

Rosario Cano Pérez (Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Arístides Ramírez Martel (Gran Canaria), Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), José Felipe

Díaz Barrios (La Palma), Carmen Mª Tavío Alemán (Tenerife), Carmen Sonia Fernández Valdivia

(Lanzarote), Purificación Jurado Antúnez (El Hierro).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac

Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y

noviembre.

http://www.sinewton.org/


mailto:[email protected]




ISSN: 1887-1984

Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 3-4

Índice

Editorial 5

Artículos

La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en

Secundaria: los efectos de una intervención didáctica basada en estrategias de

comprensión textual. 7

R. Iglecias Antonio, L. A. Hernández Rebollar, J. Slisko Ignjatov

Abordaje de los significados de las ecuaciones: un taller para el diseño de

secuencias didácticas. 29

S. G. Baccelli, M. A. Aznar, M. L. Distéfano, S. M. Figueroa y E. Moler

Razonamientos guiados y actividades resueltas usando valores aleatorios con

Geogebra 45

O. J. Falcón Ganfornina

¿Más allá de las estrategias de enseñanza y evaluación? Cincos tesis sobre la

dificultad que la Matemática opone a los estudiantes. 55

O. Malet

Secciones

Experiencias de aula

Matemáticas en el Proyecto CLIL 69

R. Almeida García

Mundo Geogebra

Características de las prácticas matemáticas en la elaboración de simuladores

con GeoGebra 79

I. V. Sánchez N., J. L. Prieto G.

Problemas

Siguen los problemas pero resolvemos algunos. (Problemas Comentados

XLVII) 103

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 96 noviembre de 2017

5

Juegos

Dominós orientales y otras variantes didácticas 119

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Leer Matemáticas

La engañosa sencillez de los triángulos. Manuel de León y Ágata A. Timón 135

Reseña: María Elena Segade Pampín

Informaciones 139

Normas para los autores 143




ISSN: 1887-1984


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I T O

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Sergio Darias, Coordinador de la Sección Experiencias de Aula de NNúúmmeerrooss

Los profesores de matemáticas, como en el resto de disciplinas, estamos solos en el

aula, nuestro alumnado y nosotros. Desde que comienza nuestra carrera profesional hasta el

momento de la jubilación no existe una retroalimentación síncrona y directa que nos indique

que lo que hacemos está bien o mal.

¿Está bien lo que hacemos?

En los últimos años, ha aparecido la figura de la pareja pedagógica que ayuda a que

exista este intercambio real entre colegas, pero se produce lamentablemente de forma aislada.

¿Estamos tan seguros de lo que debemos hacer que no nos hace falta la interacción con los

compañeros/as?

Hace algunos años formamos el Club de la silla vacía. Sus miembros se comprometen a

dejar la puerta del aula abierta y una silla vacía, invitando así a compañeros y compañeras.

http://cort.as/--HHG (Club de la silla vacía)

Por otro lado, y en la línea de conocer lo que hace el resto de docentes, los encuentros,

seminarios y jornadas de nuestra Sociedad (SCPM Isaac Newton) fomentan de alguna manera

este flujo de experiencias que son más que necesarias para enriquecer nuestra labor.

La sección de Experiencias de aula de la revista Números que he tenido el honor de

coordinar durante los últimos tres años, con el apoyo incondicional de mi director Israel

García, ha pretendido ser una ventana al aula de los y las profesoras de matemáticas que no

solo siguen buscando nuevas aproximaciones al alumnado sino que además, en un acto de

generosidad, lo comparten en esta revista con lectores de toda Hispanoamérica.

Desde el convencimiento de que compartir y abrir la puerta del aula es crecer, les animo

a seguir participando en nuestra revista.

http://cort.as/--HHG


Editorial S. Darias

6 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 96 noviembre de 2017

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L

En este número de Números.

El presente volumen contiene una variada oferta de ideas para desarrollar en el aula en forma de

innovación educativa, partiendo de la investigación relacionada con la mejora de la enseñanza y el

aprendizaje de nuestros estudiantes:

Iglecias, Hernández y Slisko abren este volumen con la resolución de problemas trigonométricos y su relación con la comprensión verbal de estos problemas. Se presentan diferentes

estrategias para desarrollar en el aula que favorezcan un nivel de aprendizaje adecuado a su nivel de

formación.

Baccelli, Aznar, Distéfano, Figueroa y Moler presentan un taller para docentes denominado “diseño de secuencias didácticas de matemática en el contexto de la ecuaciones”. Y el objetivo del

taller es buscar la mejora del proceso de enseñanza partiendo del análisis, diseño y valoración de la

práctica docente.

A continuación, Falcón nos ofrece un trabajo con diversas Applets de GeoGebra con los que

trabajar diferentes contenidos matemáticos. Propondrá razonamientos guiados y actividades resueltas.

Cerramos esta parte de artículos con Malet, en el que nos ofrece un esquema-resumen que nos trata de explicar las cinco tesis sobre la dificultad que la Matemática ofrece a los estudiantes. Una vez

conocidas podemos actuar sobre ellas para mejorar este proceso.

También contamos con nuestras secciones fijas:

Experiencias de aula nos propone “Matemáticas en el Proyecto CLIL”. Son muchos los centros

que se embarcan en este proyecto de innovación, y no pocos los profesores que se ven que deben

realizar una enseñanza en lengua inglesa de las Matemáticas. Almeida nos ofrece algunas estrategias y

enlaces que, desde la experiencias, entiende que puede ayudar en el desarrollo de este proyecto.

Mediante Geogebra se elabora un mecanismo perteneciente a una máquina de vapor por parte de

un estudiante de secundaria, un estudiante para profesor y un profesor en ejercicio. Interesante trabajo

que le animamos a que lo lea.

Seguidamente contamos con los desafíos propuestos en las secciones de Problemas y Juegos,

para terminar con una lectura recomendadas para el próximo cuatrimestre.

Esperamos disfruten este nuevo volumen.


ISSN: 1887-1984




La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en

secundaria: Los efectos de una intervención didáctica basada en estrategias

de comprensión textual

Reynaldo Iglecias Antonio, Lidia Aurora Hernández Rebollar, Josip Slisko Ignjatov

(Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. México)

Fecha de recepción: 13 de marzo de 2017

Fecha de aceptación: 24 de septiembre de 2017

Resumen En este trabajo mostramos los resultados de una intervención didáctica diseñada para

favorecer la comprensión de problemas verbales de trigonometría, a través de la

construcción de un modelo situacional congruente con el texto de algunos problemas

seleccionados. La intervención se implementó con estudiantes de tercer grado de

secundaria de una escuela pública y consistió de tres sesiones. Para el diseño didáctico,

se usaron estrategias de Polya (1965), van Dijk y Kintsch (1983) y Elosúa y García

(1993). Los resultados obtenidos muestran que, después de realizar la intervención, la

mayoría de estos estudiantes lograron construir un modelo de la situación congruente.

Palabras clave Comprensión de problemas de trigonometría, estrategia, modelo situacional, texto base.

Title The construction of the situational model of mathematics problems in secondary

school: the effects of a didactic intervention based on strategies of textual

comprehension.

Abstract In this work, we show the results of a didactic intervention designed to improve

understanding of trigonometry word problems through an improvement in the

construction of a situation model congruent with the text of the problem. The three-

session intervention was implemented with third-grade students of a public junior high

school. For didactic design, strategies of Polya (1965), van Dijk and Kintsch (1983) and

Elosúa and García (1993) were used. The results show that, after intervention

implementation, most of these students were able to build a congruent model of the

situation.

Keywords Comprehension of trigonometry problems, strategy, situational model, base text.

1. Introducción

Desde hace mucho tiempo, se ha reportado que la comprensión textual es una dificultad

importante que el estudiante enfrenta antes de llegar a la solución correcta de un problema verbal de matemáticas. La comprensión de textos va más allá de ser una tarea lingüística de decodificación de

signos escritos (Ferro y Eduardo, 2007) y, en el caso de enunciados matemáticos, esta tarea se complica

aún más. El uso de estrategias de comprensión hace que los lectores sean autónomos, además de ser

capaces de enfrentarse a distintos tipos de textos (Solé, 1992).


La construcción del modelo situacional de problemas de matemáticas en secundaria: los efectos

de una intervención didáctica basada en estrategias de comprensión textual R. Iglecias Antonio, L. A. Hernández Rebollar, J. Slisko Ignjatov

8 NÚMEROS Vol. 96 noviembre de 2017

En la resolución de problemas verbales de matemáticas los estudiantes se enfrentan a la tarea de

comprensión textual, previa a la matematización y a la aplicación de algún algoritmo. Prediger y Krägeloh (2015) han presentado una revisión amplia de investigaciones sobre dificultades estudiantiles

con problemas matemáticos y diferentes estrategias didácticas de andamiaje diseñadas para ayudarles a

superarlas.

El modelo situacional de un texto es una construcción mental necesaria para la comprensión del mismo. En investigaciones previas se ha constatado que, en la resolución de problemas de matemáticas,

la construcción de un modelo situacional, congruente con la situación planteada, es una tarea necesaria

pero compleja para el estudiante (Juárez, Ignjatov, Hernández y Monroy, 2015).

En este trabajo se estudian los modelos situacionales que construyeron estudiantes de secundaria,

antes, durante y después de la implementación de algunas estrategias de comprensión textual para la resolución de unos problemas de trigonometría seleccionados. Se presenta tanto un análisis del

desempeño grupal, como los logros de algunos estudiantes particulares.

Para el análisis de los modelos situacionales, se observaron los dibujos que los estudiantes

realizaron inmediatamente después de leer el enunciado de un problema verbal de matemáticas

previamente seleccionado.

Los dibujos que realizaron los estudiantes, antes de la implementación de las estrategias de comprensión (sesión de diagnóstico), dejaron ver que la mayoría de ellos intentó resolver el problema

planteado sin comprender la situación del mismo. Lo anterior impidió que dichos estudiantes obtuvieran

la solución correcta. En la sesión de evaluación, después de haber trabajado con ellos las estrategias de comprensión textual, los resultados mostraron una mejora en aquellos alumnos que no pudieron

construir un dibujo congruente en la sesión de diagnóstico. Estos estudiantes también se desempeñaron

mejor en la resolución del problema.

2. Marco conceptual

Los problemas verbales de matemáticas presentan una doble dificultad, la comprensión textual y

la modelación. Polya (1965) planteó una estrategia general para la resolución problemas matemáticos,

la cual resume en cuatro pasos: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar

la solución obtenida.

En este trabajo se consideró como prioridad el primer paso, “comprender el problema”, dado que

nos concentramos en los problemas verbales de matemáticas. Polya (1965) menciona que “es tonto el

contestar a una pregunta que no se comprende. Es deplorable trabajar para un fin que no se desea”

(p.28). Él sostiene que el enunciado del problema debe ser comprendido, a pesar del nivel de dificultad o la falta de interés. Indica que la forma de verificar si el alumno ha comprendido el problema es que él

repita el enunciado sin titubeos, que separe las principales partes del problema, como la incógnita, los

datos y la condición.

En la resolución de un problema, este investigador recomienda que las partes principales deben ser consideradas atentamente por el alumno, varias veces y bajo diversos ángulos. En el caso que haya

alguna figura relacionada con el problema, el alumno debe dibujar la figura y destacar en ella la incógnita



9 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017

y los datos. Luego, es necesario dar nombres a dichos elementos, introducir una notación adecuada,

poniendo cuidado en la elección apropiada de los signos.

La etapa de nuestro interés, comprender el problema, Polya la divide en dos: (1) familiarizarse con el problema y (2) trabajar para una mejor comprensión. En la segunda etapa, considera tres preguntas

básicas: ¿Por dónde debo empezar?; ¿Qué puedo hacer?; ¿Qué gano haciendo esto?

La comprensión lectora es una compleja actividad cognitiva del procesamiento de información,

cuyo objetivo es la comprensión del mensaje escrito (Elosúa y García, 1993). En el desarrollo de la

habilidad de compresión intervienen herramientas cognitivas. Sin embargo, muchas veces los estudiantes carecen de estas herramientas. Según la psicología cognitiva, los mecanismos de

almacenamiento de la información y su recuperación de la memoria, el uso de estrategias que son

activadas ante la lectura y el dinamismo de las representaciones mentales son cuestiones centrales que

deben conocerse (Leon, 1996).

El lector debe ser capaz de interrogarse acerca de su propia comprensión, estableciendo relaciones

entre lo que lee y lo que forma parte de su acervo personal, cuestionando su conocimiento y

modificándolo, estableciendo generalizaciones que permitan transferir lo aprendido a otros contextos distintos (Solé, 1998). Para comprender un texto, se debe reconocer la realidad a la cual el texto se

refiera.

En una investigación realizada por Bustos (2010) se presentan algunas dificultades típicas de los

alumnos en el proceso de comprensión:

• No saben leer flexible ni estratégicamente, según los propósitos de la lectura.

• Carecen de conocimientos previos sobre el tema de que trata el texto, carencia reflejada

probablemente en un vocabulario pobre.

• Son incapaces de activar sus conocimientos previos.

• No captan el propósito o la intención predominante del autor.

• No diferencian la importancia de los enunciados del texto.

En la comprensión de un texto el lector es quien va construyendo el significado del texto, es quien

aporta sus conocimientos previos, sus capacidades de razonamiento, es quien debe definir sus objetivos de lectura, para así aplicar determinadas estrategias de comprensión y finalmente elaborar una

interpretación coherente del texto (Peronard, 1997; Echavarría, 2006).

La tarea del lector consiste en crear y reconstruir informaciones con el fin de recrear en la mente

el significado del texto. Cada vez que un lector se expone a dicho proceso, construye una representación

mental del contenido (Elosúa y García, 1993; Ferro y Eduardo, 2007; Abusamra, Cartoceti, Raiter y

Ferreres, 2008; Miranda-Casas, Fernández, Robledo y García-Castellar, 2010).

Kintsch (1986) refiere que el problema de comprensión no se encuentra específicamente en las

palabras y frases, ni siquiera en la estructura general del texto. El problema radica en la comprensión de

la situación descrita por el texto. De hecho, debemos saber distinguir entre dos tipos de representaciones

mentales que se forman durante la lectura de un texto: el texto base y un modelo de la situación (MS).

• Texto base: es la representación mental del texto que el lector o el oyente construye en el proceso de comprensión. Esta representación se construye a partir de proposiciones y expresa

el contenido semántico del texto, tanto a un nivel local y global.




• MS: es una representación mental de la situación descrita por el texto.

Este investigador afirma que el texto base refleja las relaciones de coherencia que existen entre

las proposiciones de un texto y su organización, mientras que el MS puede ser un mapa mental del país

descrito por el texto, una estructura aritmética derivada del texto, o un procedimiento operativo construido a partir de la información dada en el texto. La forma en que el texto sea representado tendrá

que ver con cómo es interpretada la situación.

El texto base y el MS son representaciones mentales que no son independientes entre sí, pero sí

cada una tiene sus propias características, y presentan diferentes factores importantes para su

construcción. En el texto base, los elementos son proposiciones que se organizan en una adecuada micro

y macro estructura.

Van Dijk y Kintsch (1983) consideran que los MS son esenciales para la comprensión y arguyen

que son la base para la interpretación textual. Tijero (2009) resume los argumentos que estos autores

ofrecen para asegurar que este constructo contiene todo el conocimiento que se deja implícito en el texto.

• Los MS reducen las posibilidades de distorsionar las relaciones de coherencia local

(microestructura) del texto.

• Permiten recordar y organizar la información generada a partir de un texto-base desorganizado.

• Los MS permiten que cada comprendedor genere una interpretación particular del texto, la

cual está sujeta a la experiencia de cada individuo.

• Los MS, además de integrar el texto base con el conocimiento previo del lector, constituyen

el fundamento para el aprendizaje.

Investigadores, como Elosúa y García (1993) y Solé (1998), refieren que el uso de estrategias en

la comprensión textual es de gran ayuda para que el lector tenga un mejor panorama de lo que el texto quiere dar a conocer. Los primeros afirman que la lectura es una actividad “estratégica”. Un buen lector

pone en juego procedimientos o estrategias para obtener un resultado. Los factores que condicionan la

comprensión son los procesos cognitivos y metacognitivos que el lector realiza al leer. Tales procesos requieren distinto grado de conciencia, atención, planificación y control por parte del sujeto. Las

siguientes estrategias, mencionadas por estos autores, son estrategias cognitivas que realiza la persona

que lee durante el procesamiento de información del texto escrito con el objetivo de comprender su

significado.

• De focalización. Mediante estas estrategias el lector concentra su atención en las informaciones del texto que estima más relevante.

• De organización. El lector puede reestructurar de forma distinta el texto a fin de hacerlo más

significativo y comprensible.

• De resolución de problemas. Procedimientos para resolver los problemas que encuentra

durante la lectura, por ejemplo, dificultad para comprender palabras, oraciones, relación entre

oraciones, esquema de texto.

• De elaboración. Permiten integrar la información del texto con los conocimientos previos del

lector, a fin de comprender con más profundidad el significado.





Solé (1998) menciona que es necesario enseñar estrategias de comprensión porque queremos

hacer lectores autónomos, capaces de enfrentarse de manera inteligente a textos de muy distinta índole,

la mayoría de las veces distintos de los que se usan cuando se instruye.

A todo ello cabría añadir que las estrategias deben ayudar al lector a escoger otros caminos cuando

se encuentre con problemas en la lectura. Las estrategias que se mencionan son algunas de las posibles,

ya que no todas resultan positivamente en todos los sujetos y en todas las circunstancias. Siempre hay que tener muy presente que entrenar al lector en estrategias cognitivas constituye un medio para lograr

mejores niveles de comprensión lectora y nunca es un fin en sí mismo.

van Dijk y Kintsch (1983) también proponen algunas estrategias para la comprensión de textos:

• De lenguaje. Si no sabemos el significado de una palabra, se puede aplicar esta estrategia pidiendo a alguien la consulta de un diccionario, o adivinar el significado de la palabra a partir

del contexto, y si una estructura de la oración es particularmente compleja, es posible

comenzar a leer de nuevo.

• Gramaticales. Utilizamos las estrategias gramaticales, o estrategias de oraciones, estrategias cognitivas que se utilizan para producir o entender las estructuras que están especificadas por

las reglas de la gramática.

• Culturales. Son aquellas estrategias que se refieren a la selección eficaz de información

cultural que es relevante para la comprensión del discurso. Estas estrategias pueden ser orador u oyente orientado.

• Sociales. Estas estrategias implican información sobre la estructura social general de un grupo,

sobre las instituciones, roles o funciones de los participantes, géneros del discurso de las

instituciones, las diferencias relacionadas con el estilo de la estructura social, ocasión, o

miembros sociales.

Del conjunto de estrategias que se han revisado para la comprensión textual, se han seleccionado

algunas de ellas que se consideraron útiles para la compresión de problemas verbales de matemáticas.

3. Metodología

Esta investigación constó de tres sesiones: diagnóstico (SD), intervención (SI) y evaluación (SE).

En la sesión SD se aplicó un problema de trigonometría en el que tenían que encontrar la altura

de un pino, con la intención de evaluar la comprensión de este tipo de problemas y la resolución de los mismos. Los dibujos elaborados por los alumnos, después de leer el problema, se clasificaron de acuerdo

al nivel de congruencia con la situación planteada y se consideró que dichos niveles de congruencia nos

reflejaban un cierto nivel de comprensión.

En la sesión SI se planteó una situación problemática en la que los alumnos tenían que decidir si una casa debía ser desalojada o no durante el incendio de una fábrica. El trabajo de los estudiantes en

esta sesión se dividió en tres momentos: trabajo individual, trabajo colaborativo en equipos pequeños y

trabajo grupal. Durante los tres momentos de esta sesión, el papel del instructor (el primer coautor de

este artículo) consistió en guiar el trabajo de los estudiantes hacia la construcción del MS del problema planteado, con la ayuda de las estrategias sugeridas por Polya (1965) y Elosúa y García (1993), dirigidas

a favorecer la comprensión textual y la resolución de problemas matemáticos verbales.




Debido a que la comprensión de textos requiere de la construcción de una imagen mental de la

situación (van Dijk y Kintsch, 1983), se decidió pedir a los estudiantes que, después de leer el problema, realizaran un dibujo. Dicho dibujo fue considerado como una representación del MS. Se utilizaron dos

tipos de estrategias, para el docente y para el alumno.

Estrategias para el Docente:

• De lenguaje. El docente debe seleccionar adecuadamente el texto del problema. En el caso de

que el texto contenga palabras que pudieran no ser familiares para los alumnos sustituirlas por

otras que si lo sean. Tener presente los conceptos involucrados, esto con la finalidad de poder

explicarlos en su momento. Revisar nivel, vocabulario y contexto.

• Gramaticales. Verificar que el texto no contenga errores de gramática, esto con la intención de ayudar al estudiante a entender el contexto adecuado y no uno diferente al que presenta el

texto.

• Culturales. Seleccionar problemas de acuerdo a la cultura de los estudiantes, con la finalidad

de que el texto les sea familiar. Esto podría ayudar a los estudiantes a activar sus conocimientos previos.

• Sociales. Este tipo de estrategia, el docente podría aplicarlas al momento de querer trabajar el

problema en equipos, pensando antes como organizarlos, de acuerdo a la capacidad de cada

uno de los estudiantes para trabajar.

Estrategias para el alumno:

• De focalización: Leer el problema; Identificar los datos, la incógnita, palabras importantes.

• De resolución de problemas: Identificar los conceptos que se presentan, de no conocer alguno

buscar y/o preguntar su definición.

• De organización: Releer el problema, en este caso relacionar los conceptos que no se tenían claros al momento de la primera lectura; Identificar el objetivo del problema; Reformular el

problema en caso de ser necesario; Identificar los datos y la incógnita

• De elaboración: Realizar una tercera lectura, verificando claramente cuál es el objetivo del

problema; Relacionar el problema con alguno ya visto anteriormente; ¿Puedo resolver el

problema con estos datos?

Luego de aplicar las estrategias de compresión textual, pasamos a las orientaciones propuestas por Polya (1965) dirigidas a la resolución de problemas de matemáticas. A continuación, se presentan

algunas de ellas:

• Hacer un dibujo del problema.

• Ubicar los datos y la incógnita en el dibujo.

• Verificar si el dibujo (MS) construido representa fielmente al problema.

• Extraer lo más esencial del problema, representándolo en un dibujo abstracto.

• Resolver el problema usando algún procedimiento matemático.

• Compartir con sus compañeros la solución justificando el procedimiento.

• Analizar las soluciones de sus compañeros.

• Compartir con el grupo las conclusiones tomadas en equipo.





La sesión SE se llevó a cabo un día después de la intervención y consistió en la aplicación de un

instrumento que contenía otro problema de trigonometría. En esta sesión, los estudiantes tenían que determinar la altura de un cierto poste y la longitud de un cable de tensión que estaba sostenido de la

parte superior al suelo. En la sección 4.3 se presenta un análisis del desempeño de los estudiantes en

esta sesión, tanto en la construcción del MS como en la resolución del problema.

3.1. Participantes

Participaron 22 alumnos de una escuela secundaria de la ciudad de Puebla (México) que cursaban

el tercer grado en el mes de mayo de 2015. El tema que se trabajó con ellos fue el de trigonometría, el cual ya habían visto con su profesor 2 semanas antes. Dado lo anterior, se esperaba que tuvieran los

conocimientos previos necesarios. Todas las sesiones se desarrollaron durante sus horas de clases de

matemáticas.

3.2. Instrumento de investigación

En cada de una de las sesiones mencionadas anteriormente se aplicó un problema contextualizado de trigonometría y se solicitó un dibujo de la situación, la resolución del problema y el resultado. En la

sesión de evaluación (SE) también se solicitó una representación matemática del problema. En la Tabla

1 se pueden ver los problemas utilizados y las consignas para los alumnos en cada una de las sesiones.

Sesión Problema Consignas para el

alumno

SD

P1: Un pino a cierta hora del día proyecta una sombra de 45 m.

Si el ángulo de elevación de la sombra es de 50°, ¿cuál será la

altura del pino? (Hernández, Solano y Jiménez, 2014, p. 204). • Dibujo

• Resolución

• Resultado

SI

P2: Debido a un incendio en una fábrica se tuvo que desalojar a

las personas que estaban cerca dentro de un radio de 500 m del

siniestro. Una familia tiene una casa a 400 m al este y a 350 m al sur de la fábrica. Se desea saber si será desalojada de su vivienda,

(Valiente, S. y Valiente, S. I, 2009, p. 178).

SE

P3: Un poste se sostiene con un cable sujeto en la parte superior

y en el piso a 12 m de la base. Si su ángulo de elevación es de 70°, ¿cuál es la medida del poste y del cable que lo sostiene?

(Hernández, Solano y Jiménez, 2014, p. 205).

• Dibujo de la situación

• Representación

Matemática

• Resolución

• Resultado

Tabla 1. Actividades aplicadas en cada sesión.

Para comodidad de la lectura, se ha estado usando las siglas MS para denotar al modelo de la situación. A partir de ahora, usaremos también RM para la representación matemática que se solicitó en

la sesión de evaluación, RP para la resolución del problema y la letra E seguida de un número (por

ejemplo, E8) para denotar a alguno de los estudiantes participantes.




A continuación, se presenta el análisis de los resultados de las tres sesiones. En todas se

clasificaron los dibujos en congruentes (DC) o no congruentes (DNC) con la situación planteada en el problema. Se consideró que un dibujo congruente con la situación es aquel que se corresponde fielmente

con la misma y que la representa adecuadamente. En la sección 4.1 se definen estas categorías. También

se revisó la resolución de los problemas de cada sesión y se definieron categorías. Además, en cada sesión se analizó si existía una relación entre la congruencia de los dibujos con la situación y las

respuestas correctas. En las secciones 4.2 y 4.3 se detalla la forma en la que se analizaron las

producciones de los alumnos de las sesiones correspondientes.

4. Resultados

4.1. Sesión de diagnóstico

En esta sesión se aplicó el problema P1 que se muestra en la Tabla 1: Un pino a cierta hora del

día proyecta una sombra de 45 m. Si el ángulo de elevación de la sombra es de 50°, ¿cuál será la altura

del pino?

A todos los estudiantes se les solicitó un dibujo que representara la situación del problema (MS),

así como la resolución del mismo. Al analizar cada una de las respuestas dadas por parte de los alumnos

se obtuvieron las siguientes observaciones.

En la primera consigna, que fue hacer un dibujo, se obtuvieron tres categorías, que corresponden

a niveles de congruencia entre el dibujo y la situación: dibujo congruente (DC, 10 alumnos), dibujo no

congruente (DNC, 10 alumnos) y representación del texto base (TB, 2 alumnos). Estos dibujos y sus categorías se consideran como representaciones del MS construido por cada estudiante y como

indicadores de niveles de comprensión.

Categoría DC: en esta categoría se encuentran aquellos dibujos que representan adecuadamente

la situación planteada en el problema. Es decir, tiene todos los elementos y todos los datos ubicados

correctamente (pino, sombra, ángulo y longitud de la sombra). Dos ejemplos de este tipo de dibujo se

pueden ver en las Figuras 1 y 2.

Figura 1. MS del E8 del problema P1. Figura 2. MS del E4 del problema P1.

Categoría DNC: en esta categoría tenemos dos subcategorías, DNC1 (7 alumnos) y DNC2 (3

alumnos). Ambas incluyen dibujos no congruentes con la situación.

• DNC1: los dibujos de esta subcategoría tienen las siguientes características, no aparecen todos

los elementos matemáticos (4 alumnos), ver Figura 3 (falta la longitud de la sombra), o tienen





algún dato ubicado incorrectamente (3 alumnos), ver Figura 4 (el ángulo de 500 está ubicado

sobre la hipotenusa).


• DNC2: Los dibujos de esta subcategoría tienen un elemento realista que no está representado

correctamente. Tres alumnos representaron la proyección de la sombra a la misma altura que

las ramas del pino, ver Figura 5.

Figura 5. MS del E5 del problema P1.

Categoría TB: En esta subcategoría se incluyen los dibujos de estudiantes que no concluyeron la

construcción del texto base, es decir, contienen los elementos realistas (pino y sombra) y los elementos matemáticos (ángulo y longitud de la sombra) pero no están relacionados correctamente entre sí. Estos

dibujos reflejan que estos alumnos construyeron la micro, pero no la macro estructura del texto base y,

por tanto, que lograron un nivel muy bajo de comprensión. Por ejemplo, un alumno dibujó el pino, su

sombra y un ángulo que no corresponde a la situación, ver Figura 6. Otro sólo dibujó un pino y colocó

los datos del problema, pero fuera de contexto, ver Figura 7.


La resolución del problema P1

Ningún estudiante resolvió correctamente el problema P1. Las respuestas erróneas que dieron los

estudiantes se clasificaron en tres categorías:




• Utilización de la razón trigonométrica tangente.

• Manipulación de los datos con operaciones básicas.

• Respuesta numérica sin procedimiento.

Al analizar los procedimientos que siguieron estos estudiantes, al intentar resolver el problema,

notamos que la mayoría de los que lograron un MS congruente con la situación (Categoría DC)

identificaron que debían usar la razón trigonométrica tangente (60% de ellos). Sin embargo, por errores algebraicos, generalmente un mal despeje, no llegaron a la solución. Sólo algunos de los estudiantes en

esta categoría recurrieron a sumas o productos de los datos para resolver el problema (20%) o dieron

una respuesta sin mostrar el procedimiento (20%).

En contraste con lo anterior, tenemos que la mayoría de los estudiantes que no lograron construir

un MS adecuado (80%), subcategorías DNC1, DNC2 y categoría TB, sólo tomaron los datos e hicieron operaciones básicas. Además, cuando se les preguntó qué dificultades tuvieron para resolver el

problema, algunos dijeron que no habían entendido o que les faltó recordar fórmulas.

4.2. Sesión de intervención

En esta sesión se aplicaron las estrategias que fueron tomadas de Polya (1965), van Dijk y Kintsch (1983) y Elosúa y García (1993), con el fin de guiar a los estudiantes hacia la construcción del MS. Se

planteó a los alumnos el problema P2 de la Tabla 1: Debido a un incendio en una fábrica se tuvo que

desalojar a las personas que estaban cerca dentro de un radio de 500 m del siniestro. Una familia tiene

una casa a 400 m al este y a 350 m al sur de la fábrica. Se desea saber si será desalojada de su vivienda.

En esta sesión el trabajo consistió de tres momentos: trabajo individual, trabajo colaborativo en

equipos pequeños y trabajo grupal.

Trabajo individual

En esta etapa se dieron las primeras orientaciones para que los estudiantes comprendieran el texto.

Se les invitó a leer detenidamente el problema y a que identificaran las palabras o conceptos que

desconocieran, con la intención de que construyeran mentalmente el texto base y luego pudieran relacionarlas sin ninguna dificultad para construir el MS. Así mismo, se les pidió que reconocieran todos

los datos que se les presentaba en el problema. La mayoría de ellos dijeron no tener ninguna duda con

lo que se les había pedido. Después, se les sugirió que identificaran cuál era la problemática que se les

presentaba y ellos contestaron que tenían que determinar si la vivienda tenía que ser desalojada o no.

Al momento de preguntarles si habían comprendido la situación del problema, la mayoría respondió que sí. Sin embargo, cuando se les solicitó que hicieran una representación de la situación se

observó que ninguno hizo un dibujo congruente con la misma. El hecho de que ningún estudiante lograra

la construcción de un MS congruente con el problema, dejó ver que faltó comprensión por parte de los alumnos. Incluso, hubo alumnos que solo representaron parte del texto base (ver más adelante, Figuras

12 y 13).





En esta parte de la sesión ninguno de los estudiantes logró la construcción del MS y, por tanto,

tampoco resolvieron el problema.

Los dibujos que hicieron los estudiantes de manera individual se analizaron posteriormente. En

seguida se muestran algunos ejemplos:

• Los que intercambiaron la ubicación de los puntos cardinales Este y Oeste (ver Figura 8).


• No midieron las coordenadas a partir del origen (Figuras 9 y 10).


• Estudiantes que dieron una ubicación de la casa, pero no se sabe si midieron correctamente los

metros como se indica en el problema (Figura 11).


• Los que dibujan algunos de los elementos que se mencionan en el texto (la casa, la fábrica, la

circunferencia, etc.) pero no la relación que hay entre ellos como lo indica el problema. Tales MS reflejan que estos alumnos construyeron la micro, pero no la macro estructura del texto

base (Figuras 12 y 13).





En la consigna sobre la resolución se les preguntó si con los datos que se les presentaban podían

resolverlo, y solo algunos respondieron que sí. Las respuestas que dieron los estudiantes no fueron

correctas y se clasificaron en tres categorías:

• Manipularon los datos con operaciones básicas.

• Argumentaron que la casa tenía que ser desalojada sin ningún procedimiento matemático.

• Escribieron algún dato sin operar o no escribieron nada.

Trabajo en equipo

En el segundo momento de esta sesión se pidió a los estudiantes que compartieran sus reflexiones

sobre este problema con sus compañeros, formando 4 equipos de 4 estudiantes y 2 de 3 estudiantes.

En esta actividad se pidió a los equipos que volvieran a leer el texto, pero ahora más

detalladamente. Al igual que en la primera sesión, se les dijo que identificaran todo aquello que no

conocieran o que les causara algún impedimento para comprender el problema. Uno de los equipos planteó la duda sobre la ubicación correcta de los puntos cardinales, la cual se aclaró. Lo anterior ayudó

a este equipo a tener una estructura más clara del texto. Después de esto, el equipo pudo hacer una

representación adecuada, lo cual indicó que estos estudiantes ya habían entendido el problema. Estos

estudiantes pudieron pasar de la micro a la macro estructura del texto base, para finalmente lograr un MS adecuado. Otro equipo tuvo el error de medir los 400 m hacia el oeste, los integrantes aún no tenían

clara la ubicación de los puntos cardinales, por lo que ellos no pudieron hacer una representación

correcta. A la mayoría de los equipos les faltó pasar de la micro a la macro estructura en el texto base,

para luego poder construir un MS adecuado.

Solo 2 de los 6 equipos lograron resolver correctamente el problema aplicando el teorema de

Pitágoras. El resto de los equipos procedió de la siguiente manera: dos equipos sumaron los datos (400

m y 350 m) y compararon esta suma con el área que cubría el siniestro. Uno comparó los datos con el

radio del siniestro y dijo, “la casa está cerca del incendio porque el radio mide 500 m y sí puede llegar a la casa”. El otro equipo intentó aplicar el teorema de Pitágoras. A pesar de que ellos escribieron: “no

quedó dentro del área de peligro”, es decir, la casa no tiene que ser desalojada, su procedimiento fue

incorrecto debido a un mal despeje.





Trabajo grupal

En el tercer y último momento de esta sesión, dos alumnos decidieron compartir con todo el grupo

el procedimiento acordado con su equipo. El primero procedió a leer el enunciado del problema, a pesar de que ya todos lo habían leído varias veces, él no omitió ninguna de las palabras o frases. Se le preguntó

una vez más al grupo si tenían dudas respecto a las palabras o frases del texto. Los integrantes de los

equipos que ya habían respondido correctamente dijeron que no, los demás equipos prefirieron quedarse callados a pesar de que se les decía que expresaran todas las dudas que tuvieran. Luego se les preguntó

a los alumnos si lo habían comprendido. De nuevo los integrantes de los equipos que pudieron resolverlo

dijeron que si, pero los alumnos, que no habían podido hacer su representación correcta, decidieron

hablar y preguntaron por qué seguían estando mal en su dibujo de la situación y en su respuesta. Uno de los errores que ellos seguían cometiendo era la ubicación de los puntos cardinales, habían invertido Este

y Oeste, por lo que se les corrigió.

Luego, el segundo alumno pasó a la pizarra a realizar un dibujo del problema, y, como ya había

entendido la problemática que se presentó, pudo hacer una representación correcta (este alumno en su dibujo supuso que la casa estaba fuera del radio del siniestro). Después, en la resolución del problema,

se les preguntó si ya habían entendido cual era el objetivo. Un alumno de otro equipo dijo que sí, por lo

que compartió su idea con sus compañeros. Él argumentó que, con los datos que se daban, se trazaba un

triángulo rectángulo y el lado que se desconocía era la hipotenusa. Aplicó adecuadamente el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la hipotenusa. Una vez que encontró el dato faltante lo comparó

con la longitud del radio del siniestro y dijo: la casa no tiene que ser desalojada.

4.3. Sesión de evaluación

En esta sesión se aplicó el problema P3 de la Tabla 1: Un poste se sostiene con un cable sujeto en

la parte superior y en el piso a 12 m de la base. Si su ángulo de elevación es de 70°, ¿cuál es la medida

del poste y del cable que lo sostiene?

Para esta sesión se agregó la solicitud de que los estudiantes, además de un dibujo de la situación, también hicieran una RM. La solicitud anterior se debe a que para realizar una RM se necesita de la

abstracción del MS lo cual puede resultar complejo para algunos estudiantes. Así la intención fue

observar si había un progreso en la abstracción de la situación. Esta sesión fue de evaluación, por lo que

el instructor no intervino.

En la primera consigna el 100% de los estudiantes realizó un dibujo para representar la situación

del problema.

Para el análisis de esta sesión, primero se observó cómo los estudiantes construyeron el MS y la

RM del problema planteado, luego se comparó el desempeño alcanzado en la construcción del MS de

esta sesión SE con el desempeño que mostraron en la sesión SD (de diagnóstico). Para ello, como antes,

se hicieron dos categorías, dibujo congruente (DCP3) y dibujo no congruente (DNCP3).

Categoría DCP3: es un dibujo que contiene todos los datos, ubicados correctamente y que

representa la situación de una manera adecuada, como podemos ver en las Figuras 14 y 15.




Figura 14. MS del E16 del problema P3. Figura 15. RM del E16 del problema P3.

Categoría DNCP3: es un dibujo que contiene un triángulo, pero con dos tipos de errores.

• Ubicación incorrecta de algún dato (ver Figura 16)

• Faltó ubicar algún dato (ver Figura 17)


Figura 17. RM del E11 del problema P3.

Al comparar el desempeño de los estudiantes en las sesiones SD y SE observamos que todos los de las categorías DC y DNC2, de la sesión SD, realizaron un dibujo congruente con la situación del

problema de la sesión SE, a unos pocos les faltó colocar alguna unidad de medida. La mayoría de los

estudiantes de la subcategoría DNC1 (71.4%), de la sesión SD, hizo un dibujo congruente con la situación de la sesión SE. También se observó que los alumnos que en la sesión SD sólo representaron

parte del texto base (categoría TB), en esta sesión SE lograron dar el paso a la construcción del MS.

Acerca de la RM, el 60% de los estudiantes de la categoría DC y de la DNC1 de la sesión SD

hicieron una representación congruente con la situación. Asimismo, hubo algunos alumnos a los que les faltó ubicar algunas unidades de medida. Un alumno de cada una de las categorías anteriores no hizo la

RM. El 71.4% de la categoría DNC2 también hizo una RM congruente con la situación de la sesión SE.





En este problema, la mayoría de los alumnos pudo responder correctamente a las preguntas

planteadas, y, a partir de eso, se hicieron las tres categorías siguientes:

• Los que responden correctamente a las dos preguntas.

• Los que responden correctamente a la primera pregunta.

• Aquellos que no responden.

Observando los procedimientos de los estudiantes para resolver el problema, se tiene que, en la

categoría DC, el 80% respondió a las dos preguntas. De la categoría TB los dos estudiantes también

respondieron a ambas preguntas.

En oposición con lo anterior, la mayoría de los estudiantes que no lograron construir un MS

adecuado en la sesión de evaluación, pero que en ésta sí pudieron hacer una representación congruente

con la situación, subcategorías DNC1 y DNC2, respondieron al menos a la primera pregunta.

Un solo estudiante de la subcategoría DNC1 no respondió al problema y su dibujo en esta sesión

también fue no congruente con la situación.

4.4. Casos particulares

En esta sección se presentan los casos de tres estudiantes que participaron en la investigación y que se seleccionaron para ilustrar el progreso que se logró con este grupo en la construcción del MS y

en la resolución de los problemas.

Estudiante 1

Problema P1. El dibujo que hizo este estudiante contiene casi todos los elementos del problema

(el pino y la distancia que proyecta), faltando la ubicación del ángulo de elevación. Esto se pudo deber

a que el estudiante no tiene claro qué es el ángulo de elevación o que lo omitió en la lectura del texto. Al ubicar la longitud de la sombra que proyecta el pino, cambió las unidades de medida de metros a

centímetros (ver Figura 18, parte izquierda). Su dibujo se clasificó como no congruente con la situación.

Al resolver el problema, solo multiplicó los dos datos, que son la longitud de la sombra y el ángulo

de elevación. Como resultado escribe 2250 y luego 11, lo cual es incorrecto.

Figura 18. MS y RP del E1 del problema P1.

Problema P2. En este segundo problema, el estudiante 1 dibujó la silueta de una fábrica, y a partir

de ella midió los 400 m al este y los 350 m al sur, sin dar una ubicación aproximada de la vivienda que se deseaba desalojar (ver Figura 19, parte izquierda). En la resolución del problema operó los datos

mediante una suma, dando un resultado incorrecto al problema, y sin concluir si la casa tenía que ser

desalojada o no, lo cual era lo que pedía el problema.





Problema P3. En este tercer problema, el estudiante 1 representó correctamente la situación del problema, tanto en el MS como en la RM (ver Figura 20). En ambas representaciones ubicó todos los

datos correctamente. Ambas fueron consideradas como congruentes con la situación. En la resolución

del problema, respondió correctamente la primera pregunta, para lo cual aplicó la razón trigonométrica

tangente (como se puede en la Figura 21) aunque con algunos errores de redacción. La segunda pregunta

no la respondió.

Figura 20. MS y RM del E1 del problema P3.

Figura 21. RP del E1 del problema P3.

Estudiante 3

Problema P1. El dibujo de este estudiante se consideró como un dibujo no congruente con la

situación. Esto se debe a que en su representación dibujó el pino, su sombra y un ángulo que no corresponde con la descripción del problema (ver Figura 22, parte izquierda). Se puede ver, además, que

no ubica ningún dato, solo representa los elementos que indica el texto. El estudiante no concluye la

construcción del texto base, es decir aparecen los elementos del texto, pero no puede hacer una relación correcta entre ellos. Como hemos dicho anteriormente, este tipo de MS refleja que el estudiante

construyó la micro, pero no la macro estructura del texto base.





Al resolver el problema, escribió dos ecuaciones de primer grado con los datos del problema

(45+x=50 y 50+45=x), luego sumó incorrectamente los datos, dando como respuesta la suma 1250 y como resultado 22.5. Como su representación de la situación no fue adecuada, se esperaba que su

respuesta tampoco lo fuera, lo cual sucedió.


Problema P2. En este problema, el estudiante 3 volvió hacer un dibujo no congruente con la situación. Representó una fábrica en llamas, los datos los ubicó a un lado de ella (ver Figura 23).

Nuevamente, como en el primer problema, el MS del estudiante refleja que construyó la micro, pero no

la macro estructura del texto base. En la resolución del problema decidió no escribir nada.


Problema P3. El estudiante 3, en este problema, representó adecuadamente la situación, tanto en

el dibujo de la situación como en la RM (ver Figura 24). En ambos esquemas, le faltó poner las unidades de medida a los datos. En la resolución del problema, a pesar de que respondió correctamente a las dos

preguntas, su segunda respuesta fue considerada nula porque el procedimiento fue incorrecto y su

respuesta pudo haberla copiado. Primero usó la razón trigonométrica tangente y luego intentó usar el teorema de Pitágoras (ver Figura 25). A pesar de lo anterior, este estudiante mejoró la representación de

la situación, y esto le pudo haber ayudado a responder al menos a la primera pregunta del problema.

Notamos que, en este problema, logró una abstracción tal que el dibujo del MS tiene una gran similitud

con la RM.






Estudiante 20

Problema P1. En su dibujo, este estudiante representó el pino y colocó los datos del problema, pero fuera de contexto (ver Figura 26, parte izquierda). Su dibujo se consideró no congruente con la

situación. Al igual que el estudiante 3, en el dibujo de este estudiante, se considera que su MS refleja la

micro, pero no la macro estructura del texto base. Confunde un ángulo de elevación con una distancia.

Al resolver el problema, escribió el producto 45𝑥50 y como resultado dice que la altura del pino mide

2250 m, lo cual es incorrecto.


Problema P2. En este problema, en el dibujo de la situación, el estudiante 20 hizo una

circunferencia, sin indicar el radio de 500 m. Fuera de la circunferencia dibujó un segmento de recta de

500 m, lo cual hace suponer que confundió el radio con el diámetro. Al igual que el estudiante 11, él empezó a medir los 400 y 350 metros al este y al sur respectivamente, pero a partir del contorno de la

circunferencia. En su esquema no indicó donde está la fábrica ni la casa (ver Figura 27). En la resolución

del problema decidió no escribir nada.






Problema P3. El estudiante 20 representó adecuadamente la situación del problema 3, tanto en el

MS como en la RM (ver Figura 28). En ambos ubicó los datos correctamente. En la resolución respondió

solo la primera pregunta, utilizando la razón trigonométrica tangente y dando una respuesta correcta (ver Figura 29). Comparando sus dibujos de la situación de las tres sesiones, se puede observar que

tuvo una mejora en esta última. En la sesión SD, él solo representó una parte del texto base, en la sesión

SI, intentó hacer una presentación, pero no logró un dibujo adecuado y en la sesión SE ya logró mejorar

su representación de la situación.



5. Conclusiones

Los resultados de la sesión SD (diagnóstico) mostraron que la mayoría de los estudiantes

intentaron resolver el problema sin comprenderlo. Lo anterior se deduce porque sus dibujos no eran

congruentes con la situación del problema. Incluso, hubo estudiantes que construyeron la micro, pero

no la macro estructura del texto base, lo cual refleja un nivel muy bajo en el proceso de comprensión textual. Además, ninguno pudo dar una respuesta correcta al problema. Es notable que los estudiantes

que no comprendieron la estructura matemática de los problemas, intentaron “resolverlos” usando solo

operaciones básicas (suma o multiplicación) de los datos que figuran en el texto. Este en un ejemplo de contrato didáctico; como comenta D´Amore (2009), los estudiantes “con tal de producir cálculos




escriben operaciones sin sentido, desligadas de los requerimientos del problema, pero que tienen como

operadores los datos numéricos presentes en el texto” (p.116).

La mayor parte de los estudiantes que sí hicieron un dibujo congruente con la situación obtuvieron el modelo matemático y se acercaron más a dar una respuesta correcta al problema. Sin embargo, no lo

resolvieron debido a errores algebraicos. De esta forma, concluimos que los estudiantes que

construyeron un MS congruente con la situación tuvieron más oportunidad de resolver correctamente el

problema que los que no.

En la sesión SE (evaluación), después de haber trabajado con ellos las estrategias de comprensión textual (Polya, 1965; van Dijk y Kintsch, 1983; Elosúa y García, 1993), los resultados mostraron una

mejora en aquellos alumnos que no pudieron construir un dibujo congruente en la sesión de diagnóstico.

Además, en la resolución del problema, estos estudiantes pudieron contestar correctamente al menos a

la primera pregunta, y solo un estudiante dejó el espacio en blanco.

Se observó, también, que los estudiantes, que se quedaban en la construcción de la micro y no

pasaban a la macro estructura del texto base, pudieron pasar ahora a la construcción del MS y

respondieron correctamente, al menos a la primera pregunta.

La mayoría de los estudiantes de la categoría DC, de la sesión SE, volvieron a hacer un dibujo

congruente (categoría DCP3). Posteriormente, respondieron a las dos preguntas que se les presentó en

ese problema.

Podemos decir que, en la sesión SE, con la ayuda de las estrategias de los autores mencionados

anteriormente, se orientaron a los estudiantes hacia una mejor comprensión, por lo que realizaron un

mejor MS del problema y, consecuentemente, llegaron a la solución correcta del problema.

En el análisis de los casos particulares, se pudo ver el progreso de algunos estudiantes durante las tres sesiones, mostrando un mejor desempeño en la sesión de evaluación, tanto en la construcción del

MS como en la resolución del problema.

Con los resultados de esta investigación piloto de corta duración (tres sesiones) se comprueba que

es posible implementar estrategias de comprensión textual (Polya, 1965; van Dijk y Kintsch, 1983;

Elosúa y García, 1993) que ayuden a los estudiantes a representar adecuadamente la situación de problemas matemáticos y a resolverlos correctamente, evitando así la búsqueda ciega de la solución

mediante operaciones básicas con los datos explícitos del problema. Además, los dibujos de los

estudiantes son una actividad de aprendizaje que el profesor debe diseñar, implementar y evaluar, tanto para introducir a los estudiantes al proceso mental de comprensión textual, como para observar cómo

ellos están comprendiendo y guiarlos en su mejora.

Especialmente es importante introducir características básicas de los MS y las representaciones

matemáticas y discutir sus diferencias, pues en muchos libros de texto de matemáticas estos dos modos

de comprensión de problema vienen mezclados. Los alumnos que son capaces de construir una adecuada representación matemática del problema llegan, con mayor probabilidad, a la solución correcta de los

problemas de aritmética (Hegarty y Kozhevnikov, 1999) o de modelación (Rellensmann, Schukajlow y

Leopold, 2016).





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Reynaldo Iglecias Antonio. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México. Licenciado

en Matemáticas Aplicadas. Actualmente estudiante de la Maestría en Educación Matemática, BUAP,

México.


Lidia Aurora Hernández Rebollar. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla, México.

Profesor-Investigador del Sistema Nacional de Investigadores, México, Nivel 1, en el área de Humanidades.

Doctora en Matemáticas y docente en la Maestría en Educación Matemática, BUAP, México.


Josip Slisko Ignjatov. Profesor-investigador en la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Puebla,

México. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores, México, Nivel 2, en el área de Humanidades.

Doctor en Ciencias Filosóficas. Docente en la Licenciatura en física y en la Maestría en Educación

Matemática






ISSN: 1887-1984




Abordaje de los significados de las ecuaciones: un taller para el diseño de

secuencias didácticas

Sandra Graciela Baccelli, María Andrea Aznar, María Laura Distéfano,

Stella Maris Figueroa y Emilce Moler

(Universidad Nacional de Mar del Plata, Argentina)

Fecha de recepción: 24 de septiembre de 2016

Fecha de aceptación: 10 de octubre de 2017

Resumen En este trabajo se presenta la descripción y los resultados de un taller situado en el

contexto de un proyecto de articulación entre escuela secundaria y universidad, en la

ciudad de Mar del Plata, Argentina. El mismo trató sobre el diseño y valoración de

secuencias didácticas en torno al tema ecuaciones y estuvo sustentado bajo el marco

teórico del Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática. Se

exponen los significados relativos a ecuaciones, acordados entre los docentes participantes en el taller, para el diseño de las secuencias y para la valoración de su

idoneidad epistémica. Se detallan pasos posibles en el diseño de secuencias didácticas,

los cuales incluyen el análisis de idoneidad que permite su mejora.

Palabras clave Significados de ecuaciones – secuencias didácticas – idoneidad didáctica – articulación

secundaria/universidad – enfoque ontosemiótico

Title Reaching of the meanings of the equations: a workshop for designing didactic

sequences

Abstract In this paper the description and results of a workshop are described. This workshop was

developed in the context of a joint project between secondary school and university, in

the city of Mar del Plata, Argentina. It was based on the design of didactic sequences and

its assessment, concerning to equations, and it was sustained under the theoretical

framework of the Ontosemiotic Approach of the Knowledge and the Mathematical

Instruction. Meanings relating to equations are exposed, which were agreed among the

participating teachers, for designing sequences and for assessing their epistemic

suitability. Possible steps are detailed in the design of didactic sequences, which include

the suitability analysis that allows its improvement.

Keywords equations meanings - didactic sequences - didactic suitability - joint project secondary school/university - ontosemiotic approach

1. Introducción

Las problemáticas de enseñanza de la matemática en el contexto de un mundo cambiante y la necesidad de articular abordajes didácticos entre la escuela secundaria y la universidad favorecen el

objetivo de generar espacios de aprendizaje compartido entre los docentes de ambos niveles.


Abordaje de los significados de las ecuaciones: un taller para el diseño de secuencias didácticas S. G. Baccelli, M. A. Aznar, M. L. Distéfano, S. M. Figueroa y E. Moler


Durante el año 2015 se desarrolló un taller, para docentes de nivel medio, denominado “Diseño

de secuencias didácticas de matemática en el contexto de las ecuaciones”, como parte de las

actividades del eje de acompañamiento pedagógico de un proyecto denominado Pro-articulación Ciencia y Tecnología: competencias y vocaciones. Universidad Nacional de Mar del Plata y Escuelas

Secundarias de la UNMdP1, que involucra la participación conjunta del nivel secundario y de la

universidad.

El taller fue gestionado por el Grupo de Investigación Enseñanza de la Matemática en carreras

de Ingeniería (GIEMI), radicado en el Departamento de Matemática, de la Facultad de Ingeniería.

La motivación del taller surgió a partir de la detección de dificultades, en alumnos ingresantes a la universidad, en lo referido a la resolución de ecuaciones, tanto algebraicas como trascendentes.

Dichas dificultades están relacionadas con diversos aspectos, tales como la manipulación algebraica, la

validación de soluciones, la interpretación de las mismas en distintos lenguajes y formas de representación, entre otros (Aznar, Baccelli, Prieto, Figueroa, Distéfano y Moler, 2012). Esta

situación, sumada a la importancia del tema debido a su transversalidad y cantidad de aplicaciones, lo

convierte en una temática de interés para abordar con los docentes. Esta transversalidad es tanto horizontal, en relación con asignaturas de otras ciencias, como vertical, por estar presente en los

contenidos curriculares de distintos años de la educación secundaria.

Buscando realizar un aporte a favor de la resolución de esta problemática, tanto en la escuela

como en la universidad, se propuso este taller como un espacio colaborativo de participación e

intercambio de los docentes de ambos niveles para valorar, diseñar y analizar sus propias prácticas.

Algunos de los resultados de la experiencia fueron presentados en eventos científicos. Tal es el caso del análisis y mejora sobre secuencias didácticas de ecuaciones trigonométricas (Agüero, Pennisi,

Moler y Baccelli, 2016), como también la utilización de los distintos criterios de idoneidad didáctica

para la valoración de las secuencias didácticas que se presentaron en el taller (Baccelli y Moler,

2017).

Existen investigaciones que dan cuenta de las diferentes concepciones del significado, un

elemento central en este artículo. En Serrano Gómez (2005) se caracteriza el significado de un objeto

en educación matemática, en particular, aquellos relacionados con la actividad matemática en el

contexto del aula, caracterizando los aspectos que influyen en dicha significación. Relativo a la significación de expresiones simbólicas en nivel superior las investigaciones realizadas por Distéfano,

Aznar y Pochulu (2016), muestran los conflictos de significado que derivan del uso de símbolos por

parte de los estudiantes.

El marco teórico de la Didáctica de la Matemática que sustentó lo trabajado en el taller fue el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS) de Godino, Batanero y

Font (Godino, Batanero, Font, 2009).

En este artículo se pretende dar difusión de los distintos aspectos de esta experiencia.

Resaltando en particular, los significados encontrados para la enseñanza de las ecuaciones y la

adaptación de los descriptores de la idoneidad epistémica, para evaluar secuencias didácticas asociadas

al objeto matemático ecuaciones

1 El proyecto forma parte del Proyecto de mejora de la formación en ciencias exactas y naturales en la escuela

secundaria impulsado por el Ministerio de Educación de la Nación, en el marco de los Proyectos de Desarrollo

Tecnológico y Social. PCTI – 121 http://pdts.mincyt.gob.ar/proyectos/




2. Marco teórico utilizado en el taller

El Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS), como línea de

investigación en Didáctica de la Matemática viene desarrollándose en España desde 1994 por Juan Díaz Godino y colaboradores. Desde este enfoque la Matemática es considerada en tres aspectos:

como actividad de resolución de problemas socialmente compartida, como lenguaje simbólico, y como

sistema conceptual lógicamente organizado. En este contexto se destacan dos conceptos

fundamentales: el de práctica matemática y el de significado.

El EOS entiende por práctica matemática a toda actuación o manifestación (lingüística o no) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución, validar la

solución y generalizarla a otros contextos y problemas (Godino, Batanero, Font, 2009). Siguiendo este

concepto llama significado de un objeto matemático al sistema de prácticas operativas y discursivas utilizadas resolver un cierto tipo de problemas. Si estas prácticas corresponden a un determinado

individuo se habla de significado personal de un objeto matemático, y si son compartidas en el interior

de una institución, se las concibe como conformando el significado institucional. En este contexto, el

aprendizaje entendido como el acoplamiento progresivo entre significados personales e institucionales

en una clase (Godino Batanero y Font, 2009).

El EOS considera que la Didáctica de la Matemática debe orientar y promover la mejora de los

procesos de enseñanza y aprendizaje de esta ciencia. Para ello desarrolló teorías de índole

instruccional. Define así la noción de idoneidad didáctica de un proceso de instrucción como la articulación coherente y sistémica de las seis componentes siguientes (Godino, Bencomo, Font,

Wilhelmi, 2007):

La idoneidad epistémica se refiere al grado de representatividad de los significados

institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia.

La idoneidad cognitiva expresa el grado en que los significados pretendidos/ implementados

están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados

personales logrados a los significados pretendidos/ implementados.

La idoneidad interaccional está vinculada a las formas de comunicación entre docentes y

alumnos a lo largo de una trayectoria didáctica. Un proceso de enseñanza-aprendizaje tendrá mayor

idoneidad desde el punto de vista interaccional si las formas de interacción entre los actores de la clase permiten tanto identificar como resolver los conflictos de significado que tuvieran lugar durante dicho

proceso. Es particularmente esencial a esta dimensión, la habilidad docente, tanto para anticipar

posibles errores de los alumnos ante determinadas actividades, como para conducir al estudiante a

potenciar su propio razonamiento para develar contradicciones o validar conjeturas.

La idoneidad mediacional representa el grado de disponibilidad y adecuación de los recursos

materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.

La idoneidad afectiva se vincula al grado de implicación (interés, motivación, …) del alumnado

en el proceso de estudio. La idoneidad afectiva está relacionada tanto con factores que dependen de la

institución como con factores que dependen básicamente del alumno y de su historia escolar previa.

La idoneidad ecológica se asocia al grado en que el proceso de estudio se ajusta al proyecto educativo del centro, la escuela y la sociedad y a los condicionamientos del entorno en que se

desarrolla.



La idoneidad didáctica, en las seis dimensiones mencionadas, se presenta al docente como una

herramienta de orientación, tanto para el diseño como para la evaluación y mejora de las trayectorias

didácticas, en la búsqueda de lograr un trabajo efectivo en el aula.

El EOS proporciona, para cada una de las idoneidades, una serie de indicadores a contemplar para su evaluación. Dichos indicadores, basados en los que propone Godino, Bencomo, Font y

WilHelmi (2007), permiten operativizar cada una de las mencionadas idoneidades, poniendo en detalle

cuáles son los aspectos que deben ser foco del análisis. A modo de ejemplo, se presentan, en la Tabla 1

los indicadores de la idoneidad epistémica

Componentes Indicadores

Situaciones-problemas

1-Selección de una muestra representativa y articulada de situaciones de

contextualización, ejercitación y aplicación.

2-Propuesta de situaciones de generación de problemas (problematización).

Lenguajes

3-Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,

simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismos.

4-Nivel del lenguaje adecuado a los niños a que se dirige.

5-Propuesta de situaciones de expresión matemática e interpretación.

Reglas

(Definiciones,

proposiciones,

procedimientos)

6-Definiciones y procedimientos clara y correctamente enunciados, adaptados

al nivel educativo al que se dirigen.

7-Presentación de los enunciados y procedimientos fundamentales del tema

según el significado de referencia y el nivel educativo

8-Propuesta de situaciones para la generación y negociación de definiciones, proposiciones o procedimientos.

Argumentos

9-Adecuación de las explicaciones, comprobaciones, demostraciones

adecuadas al nivel educativo a que se dirigen.

10-Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar.

Relaciones

11-Relación y articulación significativa de los objetos matemáticos puestos en

juego (problemas, definiciones, proposiciones, etc.) y las distintas

configuraciones en que organizan.

Tabla 1. Indicadores de la identidad epistémica.

3. Descripción de la experiencia

El taller se desarrolló a lo largo de siete encuentros de 3 horas cada uno, distribuidos

mensualmente durante el año 2015. Los docentes participantes del taller conformaron un grupo

heterogéneo con diferentes trayectos de formación académica. Por otra parte, en su gran mayoría, todos con alta carga horaria de trabajo en escuelas secundarias con distintas realidades

socioeconómicas.

3.1. Primer encuentro

Durante el primer encuentro se realizó una presentación del curso y entregó material de lectura consistente en un resumen del EOS (Pochulu, 2012) y un artículo sobre Idoneidad Didáctica desde el

mismo marco teórico (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007). Posteriormente se realizaron

actividades de diagnóstico. Las mismas se concretaron en dos etapas: en la primera los docentes participantes resolvieron problemas que involucran distintas prácticas matemáticas asociadas a

ecuaciones; en la segunda se realizó una puesta en común en la cual se registraron las dificultades que

sus estudiantes manifestarían, observadas por los docentes en su experiencia de aula, respecto de los

problemas propuestos. Estas observaciones fueron la base de trabajo de los encuentros posteriores.




3.2. Segundo encuentro

Se realizó una exposición introductoria de conceptos fundamentales del Enfoque Ontosemiótico

del Conocimiento y la Instrucción matemática (EOS) necesarios para las propuestas del taller. En

particular se hizo hincapié en la noción de significados de objetos matemáticos e idoneidad didáctica

matemática.

Posteriormente se propuso a los docentes explorar, mediante una lluvia de ideas, cuáles

significados asociados a ecuaciones, en el sentido que propone el EOS, son los utilizados en la

resolución de las actividades trabajadas desde el primer encuentro.

Surgieron cuatro significados fundamentales que se describen a continuación:

Significado 1.

El significado vinculado a las prácticas de manipulación algebraica para encontrar los valores

solución de una ecuación, como las necesarias para resolver la actividad de la Figura 2:

Figura 2: ejemplo de actividad sobre ecuaciones para señalar prácticas algorítmicas.

En general está asociado a la aplicación de ciertas reglas y algoritmos por lo que se lo llamó

significado de la ecuación como práctica algorítmica.

Significado 2.

Muchas situaciones problemas están modelizadas a partir de una relación expresada como una ecuación. Para encontrar solución a algunas preguntas del problema es necesario plantear y resolver

ecuaciones. Así, en el problema que se muestra en la Figura 3, la relación entre la cantidad de días (x)

y la altura del globo (h(x)) está expresada mediante la relación 60471216

18)( 23 xxxxh

y, por ejemplo, para resolver la pregunta del inciso c) se debe interpretar la relación expuesta, y

plantear y resolver la ecuación 60471216

188 23 xxx .

Figura 3: ejemplo de actividad con una ecuación que modeliza una situación problema.



En casos como el anterior, la ecuación expresa situaciones del problema y, el cambio en valores

de las variables, tiene significado en la misma; por eso se acordó que se trata de un significado de la

ecuación como un modelo matemático asociado a un problema intra o extra matemático.

Significado 3.

Si se quiere resolver la situación expresada en el siguiente enunciado “La altura de un triángulo es 2 cm menor que la base, su área es de 684 cm2. ¿Cuáles son las medidas de la base y de la altura de

dicho triángulo?”, es necesario hacer una operación cognitiva de traducción de expresiones del

lenguaje coloquial a expresiones simbólicas que formarán parte de una ecuación, como se muestra en

la Tabla 2:

Lenguaje coloquial Expresiones simbólicas

longitud de la base del triángulo x

longitud de la altura del triángulo es 2 cm menor que la base x-2

el área es de 684 cm2 x.(x-2)/2=684

Tabla 2. Representaciones en los registros coloquial y simbólico asociados a una situación problema.

Por otra parte, para resolver el problema de la Figura 4, es necesario traducir la relación gráfica de pertenecer tanto a la curva sinusoidal como a la recta horizontal a la relación algebraica de

satisfacer tanto la igualdad y=seno(x) como la igualdad y=0,5; por otra parte, del conjunto solución

hay que seleccionar sólo los valores entre 2 y 3.

Figura 4: Ejemplo de actividad con una situación representada en el registro gráfico que puede

representarse mediante ecuaciones.

En ambos ejemplos la ecuación traduce, en una igualdad de símbolos, una relación expresada en

lenguaje coloquial o representada en un registro gráfico. Al considerar el rol de la ecuación en este tipo de prácticas convenimos en llamarlo significado de la ecuación como expresión de una relación

entre variables representada en distintos registros (gráfico, coloquial o simbólico).

Significado 4.

Desde un punto de vista lógico, una ecuación puede ser considerada como la expresión de una

relación de igualdad que, de acuerdo al valor con el que se sustituya a la o las variables, puede resultar

una afirmación verdadera o falsa.




Así, para la ecuación 2x+5=y-3 si se sustiye x por 0 e y por 1 la expresión es falsa ya que

2.0+51-3. En cambio, si se sustituye x por 0 e y por 8 resulta verdadera ya que 2.0+5=8-3.

A este rol elemental y lógico de la ecuación es al que llamaremos significado proposicional de

la ecuación, esto es como una relación de igualdad entre expresiones que contienen una o más

incógnitas, que al ser reemplazadas por valores puedan resultar verdadera o falsa.

Como tarea final del encuentro presencial, se proporcionó un material con ejercicios de

ecuaciones de diferentes unidades temáticas para los cuales los cursantes debían identificar el

significado predominante y, de ser posible, los significados secundarios.

Se propuso una tarea domiciliaria para el tercer encuentro:

Elegir un tipo de ecuación de las que trabaja actualmente y luego:

a) Para cada uno de los significados definidos, diseñar una actividad en la que ese significado

sea predominante.

b) Describir las dificultades y/o errores más frecuentes de los estudiantes al abordar las

actividades planteadas en el inciso anterior.

3.3. Tercer encuentro

Se retomó, en una exposición dialógica, el concepto de idoneidad didáctica y sus distintas

dimensiones (epistémica, cognitiva, mediacional, interaccional, afectiva y ecológica).

Dado que uno de los objetivos del taller fue el de usar las idoneidades como instrumentos de

autoevaluación, se consideró apropiado realizar una adaptación en la descripción de cada una de ellas. Dicha adaptación consiste básicamente en expresar la idea a la que está orientada cada una de las

idoneidades, en forma de pregunta. De este modo, la formulación que se presentó es la siguiente:

Idoneidad epistémica: las prácticas que se implementan en clase, ¿forman una muestra

representativa de las prácticas consideradas fundamentales respecto de ese objeto matemático?

Idoneidad cognitiva: las prácticas que se pretende que los estudiantes hagan propias, ¿están en

la zona de desarrollo potencial de los alumnos? ¿Los aprendizajes logrados se acercan a lo que se

pretendía?

Idoneidad mediacional: los recursos materiales y temporales otorgados a esta secuencia

didáctica, ¿son adecuados?

Idoneidad interaccional: las formas de interacción, ¿permiten identificar y resolver conflictos de

significado?, ¿favorecen la autonomía en el aprendizaje y el desarrollo de competencias

comunicativas?

Idoneidad afectiva: ¿se favorece el interés y la motivación en los alumnos?

Idoneidad ecológica: en la secuencia didáctica, ¿se contemplan el proyecto educativo de la

escuela, las directrices curriculares, las condiciones del entorno social y profesional?



Bajo la idea de considerar un sistema de autoevaluación de las propias prácticas docentes se

propuso el estudio de los indicadores de cada dimensión, en particular los de la idoneidad epistémica.

Uno de los indicadores de dicha dimensión impone la necesidad de evaluar si una secuencia didáctica posee una muestra representativa y articulada de situaciones de contextualización, ejercitación,

aplicación y problematización. Para considerar ese indicador se formuló a los cursantes una pregunta

disparadora: las prácticas que se implementan en clase, ¿forman una muestra representativa de las prácticas consideradas fundamentales respecto de las ecuaciones? En un trayecto de búsqueda de

respuestas a ese interrogante, se hizo una puesta en común de lo realizado en la tarea domiciliaria

propuesta en la clase anterior. Para fomentar un debate enriquecedor se plantearon los siguientes

interrogantes a lo largo de la puesta: ¿Qué criterios utilizaron para elegir las actividades asociadas a cada significado? ¿Cuáles son los significados habitualmente más trabajados? ¿Qué significados

ofrecieron más dificultad para el diseño de actividades?

Posteriormente se destinó un tiempo de este encuentro a la reflexión sobre la tarea de búsqueda

de material para el diseño de actividades de una secuencia didáctica; específicamente se consideró el análisis de recursos ofrecidos en sitios educativos de Internet. Se mostró a los docentes cursantes una

serie de sitios educativos, en idioma español, cuyos materiales vinculados al tema ecuaciones

previamente habían sido evaluados de acuerdo a algunos criterios tales como: la existencia de

situaciones de ecuaciones aplicadas a dominio extra-matemático, la exposición de desarrollos teóricos, la presencia de ejercicios resueltos, el uso de tecnologías de información y comunicación

(presentaciones de diapositivas, videos, applets, etc.), el destinatario de los materiales (docente o

alumno), tipo de actividades propuestas en el material (contextualización, ejercitación, aplicación o problematización), momentos de la secuencia didáctica para los que serían apropiados los materiales

del sitio. La categorización fue expuesta a los docentes cursantes mediante presentación de

diapositivas y fue recibida y valorada positivamente.

Se proporcionó a los docentes material de lectura domiciliaria sobre los indicadores de

idoneidad epistémica (Godino, 2011).

3.4. Cuarto encuentro

Este encuentro se segmentó en dos momentos. Un primer momento destinado a profundizar en

el estudio de la idoneidad epistémica; un segundo momento para propiciar la metacognición respecto

de la tarea docente de diseño de secuencias didácticas.

Se inició la jornada retomando la noción de idoneidad didáctica. También se evocaron, de manera general, los indicadores que permiten evaluar la adecuación y pertinencia de cada una de las

dimensiones que componen la idoneidad didáctica.

Cada uno de los indicadores dio lugar al intercambio y discusión con los cursantes, en relación a

la forma de ponerlos en práctica a la hora de diseñar y construir materiales didácticos para trabajar con

los alumnos, y también para evaluar materiales ya elaborados. En particular se focalizó la atención sobre algunos de los indicadores de idoneidad epistémica (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007);

los mismos figuran a continuación:

• Selección de una muestra representativa y articulada de situaciones de contextualización,

ejercitación, aplicación y problematización.

• Uso de diferentes modos de expresión (verbal, gráfico, simbólico...), traducciones y

conversiones entre los mismos con el nivel del lenguaje adecuado para los estudiantes.

• Propuesta de situaciones de expresión e interpretación




• Definiciones, enunciados y procedimientos clara y correctamente expresados, según el significado de referencia, adaptados al nivel educativo al que se dirigen

• Propuesta de situaciones para la generación y negociación de las reglas.

• Adecuación de las explicaciones, comprobaciones, demostraciones al nivel educativo a que se

dirigen.

• Se promueven momentos de validación.

Posteriormente se realizó con los docentes una primera actividad de evaluación de idoneidad. Se

les proporcionó una guía de trabajos prácticos extraída de un sitio de Internet referida al tema ecuaciones exponenciales y logarítmicas; se les propuso a los cursantes que, por grupos, consideraran

los indicadores para evaluar la idoneidad epistémica de la guía proporcionada. Posteriormente se

realizó una puesta en común.

Al finalizar se destinó un tiempo para discutir en grupos cuáles serían los posibles pasos para

construir una secuencia didáctica buscando que tenga un buen nivel de idoneidad. Se hizo una puesta

en común.

3.5. Quinto encuentro

Este encuentro tuvo como objetivo el inicio del trabajo final enmarcado en los criterios de

idoneidad estudiados en encuentros anteriores, en particular de idoneidad epistémica. Dicho trabajo implicaba el diseño de una secuencia didáctica, a ser realizado por uno o dos docentes. La misma

abordaría un tema relativo a ecuaciones destinado a estudiantes de alguno de los docentes autores del

trabajo y debería reflejar los pasos acordados incluyendo objetivos, actividades, recursos y evaluación. Se les pidió enviar, en un mes, una primera versión digital del trabajo por correo electrónico. Sobre esa

versión se hicieron observaciones para ir mejorándolo.

3.6. Sexto encuentro

Se desarrolló una charla sobre el tema: “Analizando nuestras secuencias didácticas: ¿Cómo

prevenimos y abordamos los errores de los estudiantes?”. La misma estuvo a cargo del Doctor Marcel Pochulu, investigador de renombre nacional e internacional de la Universidad Nacional de Villa

María. El Doctor Pochulu desarrolló la charla abordando el tema de diferentes estilos de

intervenciones docentes cuando los estudiantes formulan conjeturas erróneas en la clase. En ese aspecto, se centró en la valoración de algunas cuestiones de la idoneidad interaccional pues hay

diferentes maneras de "resolver un conflicto", en el sentido de asignación de diferentes significados de

objetos matemáticos, en una clase.

3.7. Séptimo encuentro

Para este encuentro se les solicitó a los docentes participantes traer una versión impresa y una

digital del trabajo final mejorado. Las actividades se dividieron en dos etapas.

En la etapa inicial, cada uno de los grupos presentó su trabajo mediante un cañón de

proyección. La consigna fue mostrar una actividad asociada a cada uno de los significados de

ecuaciones y la evaluación final de la secuencia. Esta puesta en común permitió, no solamente que cada grupo conociera el trabajo de sus compañeros, sino también el intercambio enriquecedor entre los

docentes.



En la segunda etapa, se repartieron versiones impresas de los trabajos de manera tal, que cada

equipo pudiera evaluar la idoneidad didáctica de la secuencia diseñada por otro mediante una grilla de

co-evaluación (Figura 3). En dicha grilla, se proponen tres niveles de valoración: muy satisfactorio, satisfactorio y poco satisfactorio, con la finalidad de evaluar el grado de cumplimiento de los distintos

indicadores de cada idoneidad. Así también se anexó una columna destinada a sugerencias y pareceres.

Idoneidad Indicador

Mu

y

sati

sfacto

rio

Sati

sfacto

rio

P

oco

sati

sfacto

rio

Su

geren

cia

s

epistémica

Utiliza una muestra representativa y articulada de situaciones de

contextualización, ejercitación, aplicación y problematización,

En las tareas y actividades, aparecen los distintos significados de

ecuaciones.

Utiliza diferentes modos de expresión (verbal, gráfico, simbólico...),

traducciones y conversiones entre los mismos, con el nivel del

lenguaje adecuado para los estudiantes.

Las definiciones, los enunciados y los procedimientos están clara y

correctamente expresados, de acuerdo al nivel educativo al que se

dirigen

Se planifican momentos de validación.

cognitiva

Se prevén instancias de evaluación de los conocimientos previos

necesarios para el estudio del tema

Los significados pretendidos se pueden alcanzar (tienen una

dificultad manejable).

afectiva

Se proponen tareas de interés o situaciones que permitan valorar la

utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional.

mediacional

Se prevé el uso de materiales manipulativos y/o informáticos que

permitan introducir situaciones, lenguajes, procedimientos,

argumentaciones adaptadas al significado pretendido.

El número y la distribución de los alumnos permiten llevar a cabo la

secuencia planteada.

Las actividades son acordes a los horarios de la clase y a los espacios

disponibles.

Los significados pretendidos /implementados son acordes al tiempo

previsto (presencial y no presencial)

La distribución del tiempo prioriza los contenidos más importantes o

nucleares del tema o los que presentan más dificultad de

comprensión.

ecológica

Los significados, su implementación y evaluación se corresponden

con las directrices curriculares.

Se integran nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.)

en la secuencia propuesta.

Los significados contribuyen a la formación socio-profesional de los

estudiantes.

Los significados se relacionan con otros contenidos intra e

interdisciplinares.

interaccional Se describen actividades docentes y discentes en las que se propicia

el diálogo y comunicación.

Tabla 3. Planilla de evaluación de las secuencias didácticas. Fuente: Baccelli et al, 2017.




En el cierre de este último encuentro, con el objetivo de que los docentes participantes

evaluaran el curso, se les entregó una tabla para completar con observaciones de aspectos que

consideraran positivos, negativos y/o interesantes.

El proceso de evaluación y mejora de los trabajos continuó, vía mail, con el aporte de los

docentes que impartieron el curso y la co-evaluación realizada por los pares.

3.8. Ejemplo de uno de los trabajos presentados por los participantes del taller

En este apartado se pretende mostrar, a modo de ejemplo, uno de los trabajos presentados en el

que se aplicaron los significados que emergieron del taller y la aplicación de los descriptores de la

idoneidad epistémica, para el análisis de una actividad didáctica, y su posterior mejora. Dicha actividad corresponde al tema ecuaciones trigonométricas, para ser implementadas en el último año de

la Escuela Media.

Se exponen dos versiones de la misma actividad. La primera versión (Figura 5) fue entregada,

por los docentes en el séptimo encuentro y tuvo la co-evaluación de todo el grupo, buscando analizar el cumplimiento de los descriptores de la idoneidad epistémica (Tabla 1), procurando con ello abordar

la mayor cantidad de significados acordados. La segunda de las versiones (Figura 6) es la mejorada

con las modificaciones realizadas.

Figura 5. Primera versión de la actividad

Al analizar los descriptores de idoneidad epistémica (Tabla 1), los docentes, pudieron apreciar que se proponen situaciones de interpretación y se utilizan diferentes modos de expresión (descriptores

3 y 5). Sin embargo, observaron ciertas falencias que evidencian el no cumplimiento de algunos

descriptores, que se describen a continuación:

• Los incisos a) y e) no están contextualizados. La actividad no está correctamente articulada

(descriptor 1).

• Cuenta con escasas propuestas de situaciones para analizar frente a un problema del que se

puede sacar más provecho (descriptor 7).

• Al ejercicio le faltan datos a tener en cuenta (descriptor 6).

• No tiene propuestas para la generación y negociación de las reglas (descriptor 8).

• No se promueven momentos de validación (descriptor 10).



De acuerdo a las observaciones realizadas, los docentes, efectuaron las modificaciones

pertinentes para mejorar la idoneidad epistémica de la actividad (Figura 6). Las mejoras presentadas se

argumentaron de la siguiente manera:

• Se modificaron los incisos a) y e) (este último pasó a ser el c) en la última versión) para

contextualizar los mismos en relación al problema planteado.

• Se modificó el orden de los incisos para lograr correcta secuenciación de la actividad.

• Se adicionó el f) y se completaron los incisos a) y d) (que pasó a ser el e) en la versión modificada) para lograr el significado de la ecuación como práctica algorítmica, como un

modelo matemático y como una expresión de una relación entre variables representada en

distintos registros.

• Se incluyeron los ítems e) y f) para encontrar las infinitas soluciones a partir de una forma

general.

Figura 6. Versión mejorada de la actividad

4. Resultados

La posibilidad que brindó el taller de compartir las experiencias docentes en torno a la

enseñanza de ecuaciones en el aula representó uno de los principales logros vivenciados.

Además, emergieron acuerdos importantes a partir del análisis conjunto realizado durante los

encuentros. Tal es el caso de la categorización de significados asociados a ecuaciones. Como se

detalló en la descripción de la experiencia, surgieron cuatro significados fundamentales:

• Como práctica algorítmica

• Como expresión de un modelo matemático asociado a un problema intra o extra matemático

• Como expresión de una relación entre variables representada en distintos registros (gráfico, coloquial o simbólico)

• Como relación de igualdad entre expresiones que contienen una o más incógnitas

(proposicional)




Otro resultado, derivado del trabajo conjunto con los docentes, fue la enumeración de los

posibles pasos para construir una secuencia didáctica buscando que tenga un buen nivel de idoneidad.

De la puesta en común se consensuó e institucionalizó el siguiente listado de pasos:

• Responder a la pregunta: ¿Qué se quiere enseñar?

• Diagnosticar conocimientos previos

• Definir recursos materiales y temporales disponibles

• Plantear objetivos dentro del eje que se está tratando

• Diseñar actividades

• Evaluar las idoneidades a priori y a posteriori de la implementación de la secuencia en el

aula como retroalimentación para su mejora.

El último paso señalado en el párrafo anterior, manifiesta otro resultado importante: haber puesto en práctica una herramienta teórico-metodológica como es el conjunto de indicadores de

idoneidad didáctica para evaluar, al menos parcialmente, una secuencia didáctica diseñada. En los

últimos encuentros se utilizaron estos indicadores tanto para evaluar la propia secuencia diseñada

como para evaluar la secuencia elaborada por colegas en las instancias de co-evaluación.

La mejora de la actividad que se muestra en esta publicación, representa un ejemplo y un resultado de lo trabajado con los participantes del taller. Asímismo, el uso que ellos realizaron, tanto

de los significados asignados a ecuaciones, como de los descriptores de la idoneidad didáctica,

constituyen un aporte orientado a la mejora en el proceso de enseñanza y aprendizaje de ecuaciones.

Finalmente, los docentes participantes del taller expresaron sus opiniones, en forma individual y escrita, sobre los aspectos Positivos, Negativos e Interesantes (PNI) con el objetivo de realizar una

evaluación sintética del curso que también sirvió de devolución para quienes diseñaron, impartieron y

evaluaron el taller.

Los aspectos señalados como Positivos se pueden sintetizar en las siguientes frases expresadas

por los docentes participantes del taller: los temas innovadores, las “buenas enseñanzas”, la interacción con los pares, los diferentes aspectos para el abordaje de las ecuaciones (significados), el

compromiso de quienes asumieron el dictado del taller, el enfoque (EOS) como

novedoso/ameno/didácticamente presentado, la posibilidad de realizar una mirada sobre las propias

prácticas a partir de las idoneidades, el taller dictado por el especialista Pochulu.

Los aspectos Negativos se refirieron a cuestiones operativas tales como: tardanza en entrega de

certificados, el no reconocimiento de la inasistencia a los colegios de parte de algunas autoridades, el

poco interés de algunos docentes que abandonaron el curso.

Los aspectos Interesantes giraron en torno a la posibilidad de participar del Taller brindado por

el Dr. Marcel Pochulu y al buen material entregado durante el curso.

5. Reflexiones finales

La dinámica cambiante de la sociedad y la educación como fenómeno inherente a ella plantea

constatemente problemáticas. Las instituciones educativas en los distintos niveles deben adaptarse a esa dinámica y coordinar saberes, puntos de vista y abordajes. Por otra parte, desde el campo de la

investigación educativa surgen elementos y herramientas cuya aplicación en las aulas no se traslada

fácilmente.



La idea del taller surgió como primer intento de articulación entre escuela secundaria y nivel

universitario para abordar distintas problemáticas de los estudiantes en relación a las ecuaciones. Su

implementación brindó la enriquecedora oportunidad de compartir experiencias docentes de los dos

niveles antes mencionados.

Al mismo tiempo el taller fue un escenario de difusión y aplicación de algunas herramientas

didácticas proporcionadas por el EOS para trabajar en dicho abordaje. El taller se focalizó en los

conceptos de significado de objetos matemáticos e idoneidad didáctica. La determinación de los significados, de los objetos matemáticos que se pretenden abordar en una secuencia didáctica, es el

paso inicial imprescindible para su diseño. En este sentido es de destacar el surgimiento, a partir del

acuerdo entre los docentes participantes del taller, de cuatro significados fundamentales asociados a

ecuaciones.

Por otra parte, los indicadores de idoneidad didáctica aplicados, orientaron tanto la evaluación como la co-evaluación de las secuencias diseñadas, al mismo tiempo que guiaron su mejora. Esto

brindó un espacio de reflexión sobre la propia práctica docente a fin de tener una actitud crítica y

valorar esta evaluación como una instancia de producción de nuevos conocimientos didácticos.

Queda pendiente la propuesta de completar esta experiencia abarcando el análisis de otras dimensiones de la idoneidad didáctica que sólo podrían abordarse a partir de secuencias

implementadas en el aula.

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97922005000100006&lng=es&tlng=es

Sandra Graciela Baccelli. Universidad Nacional de Mar del Plata (UNMDP), Argentina. Juan B.

Justo 4302 (CP 7600), Mar del Plata, Buenos Aires, Argentina. Prof. Universitaria en Matemática,

Especialista en Investigación Educativa por la Universidad Nacional de Tucumán (UNT). Docente-

investigadora en la Facultad de Ingeniería y profesora en el nivel medio, miembro del Grupo de

Investigación en Enseñanza de la Matemática en Ingeniería (GIEMI). E-mail: [email protected]

María Andrea Aznar. Universidad Nacional de Mar del Plata (UNMDP), Argentina. Juan B.

Justo 4302 (CP 7600), Mar del Plata, Buenos Aires, Argentina. Profesora Universitaria en Matemática,

Especialista en Investigación Educativa y Magister en Enseñanza de la Matemática en el nivel superior por la Universidad Nacional de Tucumán (UNT). Docente-investigadora en la Facultad de Ingeniería y en

el nivel medio, miembro del Grupo de Investigación en Enseñanza de la Matemática en Ingeniería

(GIEMI). E-mail: [email protected]

María Laura Distéfano. Universidad Nacional de Mar del Plata (UNMDP), Argentina. Juan B.

Justo 4302 (CP 7600), Mar del Plata, Buenos Aires, Argentina. Profesora en Matemática, Magíster en

Enseñanza de la Matemática en el Nivel Superior por la Universidad Nacional de Tucumán (UNT).

Docente-investigadora en la Facultad de Ingeniería de la UNMDP. Integrante del Grupo de Investigación

en Enseñanza de la Matemática en carreras de Ingeniería (GIEMI). E-mail: [email protected]

Stella Maris Figueroa. Universidad Nacional de Mar del Plata (UNMDP), Argentina. Dirección Postal:

Juan B. Justo 4302 (CP 7600), Mar del Plata, Buenos Aires, Argentina. Profesora en Matemática,

Magíster en Enseñanza de la Matemática en el Nivel Superior por la Universidad Nacional de Tucumán

(UNT). Profesora Adjunta con dedicación exclusiva en la asignatura Estadística Básica de la Facultad de

Ingeniería de la UNMDP. Integrante del Grupo de Investigación en Enseñanza de la Matemática en

carreras de Ingeniería (GIEMI). E-mail: [email protected]

Emilce Moler. Universidad Nacional de Mar del Plata (UNMDP), Argentina. Dirección Postal: Juan B.

Justo 4302 (CP 7600), Mar del Plata, Buenos Aires, Argentina. Doctora en Bioingeniería, especialista en

Procesamiento Digital de Imágenes, Mg en Epistemología y Metodología de la Ciencia y Profesora

Universitaria en Matemática. Docente-investigadora de la UNMdP, Directora del grupo de

investigación Grupo de Investigación de Enseñanza de la Matemática en Carreras de Ingeniería (GIEMI).






ISSN: 1887-1984




Razonamientos guiados y actividades resueltas usando valores

aleatorios con GeoGebra

Óscar Jesús Falcón Ganfornina (Instituto de Enseñanza Secundaria San Pablo. España)

Fecha de recepción: 14 de junio de 2017


Resumen La web Matematicaula nos ofrece una serie de applets de GeoGebra con los que trabajar,

desde el aula, diferentes contenidos matemáticos mediante razonamientos guiados o

actividades resueltas. Estas dos dinámicas permiten que el alumnado estructure sus

razonamientos y saque conclusiones. Los valores aleatorios que se generan con

GeoGebra proporcionan infinidad de ejemplos y actividades.

Palabras clave Razonamientos, guiados, actividades, resueltas, valores, aleatorios, GeoGebra.

Title Guided reasoning and resolved activities using random values with GeoGebra

Abstract Matematicaula website offers some GeoGebra applets with different mathematical

contents through guided reasoning or solved activities. These two dynamics allow

students to structure their minds. Random values that can be generated with GeoGebra

provide us infinite examples and activities.

Keywords Reasoning, Guided, Activities, Resolved, Values, Random, GeoGebra

1. Introducción

En el año 2008, cuando aún no había finalizado mi licenciatura de Matemáticas, empecé a diseñar

la web Matematicaula (http://matematicaula.com.es). Mi objetivo era empezar a recopilar material didáctico que pudiese ser utilizado en mis futuras clases. Con el paso de los años, se han ido añadiendo

poco a poco todo tipo de contenidos para trabajar en el aula, en su mayoría de creación propia. A día de

hoy, Matematicaula es un portal que dispone de applets de GeoGebra para Educación Primaria,

Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato. Algunas secciones de la web incluyen contenidos que no requieren el uso de GeoGebra: hojas de trabajo, juegos matemáticos (Falcón, 2012), material de

papiroflexia, decoraciones para el aula, así como webquests, videos, galerías de imágenes matemáticas,

etc.

Las posibilidades del programa GeoGebra me han permitido generar distintas dinámicas de trabajo, de modo que, en este artículo, voy a destacar dos de ellas: los razonamientos guiados y las

actividades resueltas. Estas dos dinámicas buscan avanzar en el modelo tradicional de la enseñanza

matemática, que se centra en tres pasos: se enfrenta al alumnado con los conceptos, se pasa a realizar algunos ejemplos resueltos, y se inicia la resolución de un listado repetitivo de ejercicios similares. Este

modelo ha sido cuestionado por distintas teorías pedagógicas (Godino, 1991), las cuales observan cómo


http://matematicaula.com.es/

Razonamientos guiados y actividades resueltas usando valores aleatorios con GeoGebra O. J. Falcón Ganfornina


parte del alumnado se bloquea, cómo no se favorece el aprendizaje matemático o cómo se aleja los

contenidos de la realidad cotidiana.

Las dos dinámicas mencionadas intentan que los alumnos estructuren sus pensamientos, así como

que saquen sus propias conclusiones. Una clave para ello estará en el uso de valores aleatorios (Falcón y Ríos, 2014) que se utilizan para generar las actividades. Con un único clic podemos generar en el

momento un nuevo ejemplo resuelto que nos permita aclarar dudas, informar de casos particulares, o

evitar crear falsas propiedades fruto del azar numérico. Es más, estos applets facilitan al alumnado infinidad de ejemplos y actividades para trabajar desde casa, todos resueltos e incluso explicados en su

mayoría.

2. Razonamientos guiados

Una tarea que tenemos los docentes, y no solo en la asignatura de Matemáticas, es conseguir que el alumnado exprese con palabras escritas qué está haciendo o qué pasos está dando. Salvo excepciones

puntuales, todos mis alumnos que no estaban habituados a explicar sus razonamientos, poseían

cuadernos ineficaces y elaboraban exámenes caóticos.

• Sus cuadernos se componían de un cúmulo de números y operaciones, sin un orden adecuado.

Con suerte y si hemos insistido, el alumno tendrá copiados los enunciados de las actividades

y podrá saber el origen de los mismos. El problema principal es que toda esa información del cuaderno será difícil de descifrar pasadas unas horas. Tendrá que invertir tiempo cada vez

que decidiese repasar el trabajo realizado, para recordar en qué consiste lo escrito en él.

• Los exámenes son extensiones de sus cuadernos. Para muchos alumnos, el objetivo es el de

rellenar el espacio en blanco del folio con números y operaciones, hasta que se tenga la sensación de haber finalizado la actividad. A la hora de corregirles los exámenes, somos

nosotros los que intentamos buscar el guion seguido por el alumno. Pero deben ser ellos los

que comprendan que esa no es tarea nuestra, sino que es su obligación el demostrar que saben

qué han hecho y por qué.

Estas situaciones no son exclusivas de mi alumnado. La dificultad de los estudiantes a la hora de explicar los razonamientos ha sido objeto de estudio en multitud de textos especializados de Didáctica

de las Matemáticas (Goizueta y Planas, 2011; Orrantia, 2006).

El objetivo de los razonamientos guiados es marcar al alumnado unas pautas a seguir, y mostrarles

una posible forma de detallar con palabras los razonamientos seguidos. No se deben tratar los razonamientos guiados como una imposición memorística en el modo de resolver un problema, ni una

automatización de ninguno de los procedimientos matemáticos. En tal caso, los alumnos estudiarán de

memoria los textos que aparecen en los applets de GeoGebra, sin entenderlos y sin saber aplicarlos. Se deben entender estos razonamientos como el punto de partida de los argumentos a seguir, la forma en

que pueden aparecer escritos en sus cuadernos, e inspiración para futuros textos explicativos que ellos

deberán expresar con sus propias palabras y que necesiten a lo largo del curso.

Una vez que podemos confirmar que los conceptos básicos han sido comprendidos, uno de los

beneficios de los razonamientos guiados es que permite dar respuesta a una de las preguntas que los estudiantes suelen formular: ¿qué tengo que hacer? En el momento en que el alumno afirme no saber

cómo continuar, la referencia a los razonamientos guiados hará que él mismo sea consciente de no haber

trabajado o estudiado lo suficiente. Si no fuese el caso, habría que analizar la razón de dicho bloqueo y conseguir que el alumno sea capaz de expresar qué paso exactamente. Al evitar la frase hecha “no he


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entendido nada” y señalar el paso exacto, conseguimos ahorrar tiempo y animar al alumno en la

comprensión de los pasos anteriores.

En la estructura de los applets de GeoGebra nos encontraremos, al menos, con un deslizador

(vertical u horizontal). Este deslizador permitirá al alumno descubrir los sucesivos pasos que debe llevar a cabo. Cada uno de los pasos debe tener una etiqueta que los identifique. Además, según se avance con

el deslizador, es conveniente que aparezca un pequeño texto que aclare en qué consiste dicho paso.

A continuación, veremos algunos ejemplos de razonamientos guiados:

2.1. Regla de tres directa (para 1º de ESO)

Nos podemos encontrar distintos problemas de reglas de tres, con datos aleatorios, en la página:

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=regladetresdirecta

Los pasos del razonamiento guiado en este applet son: indicar las magnitudes, colocar los datos,

pasar a fracciones y resolver el problema.

Cada vez que se actualiza el applet, no sólo variarán los datos numéricos, sino que hay una

pequeña base de problemas de texto que irán apareciendo poco a poco.

Figura 1. Ejemplo de problema en applet de GeoGebra

2.2. Identidades notables (para 2º de ESO)

Las identidades notables las podemos trabajar entrando en la página:

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=identidadesnotables

En este applet aparecerán tres pasos de desarrollo: identificar las variables, sustituir y desarrollar. Al actualizar el applet, los sumandos de la identidad notable cambiarán aleatoriamente. Esto nos

permitirá identificar mejor cómo obtener el desarrollo de dicha identidad. Finalmente, para poder

trabajar los tres tipos de identidades notables, aparece un segundo deslizador en la parte superior.

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=regladetresdirecta

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=identidadesnotables



Figura 2. Ejemplo de identidad notable desarrollada en applet de GeoGebra.

2.3. Extracción de factores en los radicales (para 3º de ESO)

Para entender cómo se extraen factores en un radical entramos en:

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=extraccionfactoresradical

Tras cuatro pasos explicados con texto y con ejemplos numéricos, el alumno puede mover el

deslizador superior, y trabajar con un listado de actividades generadas con valores aleatorios.

Figura 3. Ejemplo de razonamiento guiado con radicales en applet de GeoGebra

2.4. Simplificación de fracciones algebraicas (para 4º de ESO)

Una mezcla de razonamiento guiado con actividad resuelta (que se tratará en el siguiente

apartado) la podemos encontrar en la simplificación de fracciones algebraicas:

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=simpfracalgebraicas4

Los pasos del desarrollo son: factorizar y simplificar.

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=simpfracalgebraicas4

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=extraccionfactoresradical


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Hay que tener en cuenta que, al trabajar con GeoGebra en modo HTML, puede que ciertas

operaciones tarden en cargar (especialmente si se utilizan ordenadores con unos años de antigüedad).

Figura 4. Ejemplo de simplificación siguiendo los dos pasos (factoriza-simplifica) en applet de GeoGebra

2.5. Intervalos de confianza (para 2º de Bachillerato)

Las actividades con razonamientos guiados no solo son útiles en cursos de la ESO. En este applet:

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=bac-intervalosconfianzamedias

Figura 5. Ejemplo de resolución de problema de Selectividad en applet de GeoGebra

podemos ver desarrollado la resolución de un problema de intervalos de confianza para la media. Esta

actividad está destinada para alumnos de 2º de Bachillerato que cursan la opción de Matemáticas

Aplicadas a las Ciencias Sociales. El applet tiene un banco de problemas y los valores que aparecen son

aleatorios. Este applet nos permite a nosotros proyectar en la clase la resolución de una actividad que aparece en las pruebas de acceso a la Universidad, únicamente moviendo un deslizador. Y a nuestro

alumnado le permite comprender que dicha resolución sigue siempre los mismos pasos. La única

dificultad de cada problema es distinguir los datos proporcionados.

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=bac-intervalosconfianzamedias&cargar=1&tprefer=1



3. Actividades resueltas

La segunda categoría de applets de GeoGebra de las que haremos referencia son las actividades

resueltas. A diferencia de los razonamientos guiados, en ellos aparecen baterías de ejercicios para resolver. No suelen traer explicaciones ni pasos intermedios. Encontraremos las operaciones o

enunciados a resolver y sus soluciones ocultas. Estas se harán visibles cuando cliquemos en la casilla de

control.

Resultan interesantes por distintos motivos:

• Permiten al alumnado sacar conclusiones a partir de distintos ejemplos. Tal como se

comentó en el apartado introductorio, el hecho de que al pulsar el botón se generen nuevos ejemplos conlleva aclarar dudas que un único ejemplo no aparecerían, informar

de casos particulares que a nosotros no se nos hubiese ocurrido, o evitar crear falsas

propiedades fruto del azar numérico.

• Consiguen que pierdan el miedo a equivocarse. El alumno pierde la excusa de no poder trabajar por no saber el resultado y no saber si lo está haciendo bien. Si se ha equivocado,

no pasará nada, lo corregirá, buscará el fallo y aprenderá de los errores.

Algunos ejemplos que nos podemos encontrar en la web son:

3.1. Operaciones con decimales (para 1º de ESO)

Para generar operaciones con números decimales, tanto sumas, restas, productos o divisiones,

podemos utilizar el siguiente applet:

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=operacionesdecimales1

Figura 6. Ejemplo de operaciones con decimales resueltas en applet de GeoGebra.

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=operacionesdecimales1


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3.2. Operaciones con fracciones (para 3º de ESO)

Podemos conseguir generar infinidad de operaciones con fracciones. Este applet tiene como

inconveniente que la estructura de estas operaciones son siempre las mismas. Es decir, únicamente

cambian los números que aparecen, pero no el orden de las operaciones. El regenerarlas permite que nuestros alumnos asimilen la jerarquía de operaciones y observen el comportamiento de estas si

repetimos su resolución en clase hasta obtener el resultado indicado. La dirección del applet es:

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=operacionesfracciones3

Figura 7. Ejemplo de operaciones con fracciones resueltas en applet de GeoGebra

3.3. Razones trigonométricas respecto a una dada (para 4º de ESO)

Finalizamos esta sección con un applet de GeoGebra que genera ángulos en la circunferencia

goniométrica, de forma que, visualmente, podemos obtener las razones trigonométricas de distintos

ángulos. Lo encontraremos en la siguiente dirección:

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=razonestrigonometricasrespectounadada

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=operacionesfracciones3

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=razonestrigonometricasrespectounadada



Figura 8. Ejemplo de obtención de razones en applet de GeoGebra

4. Ejemplos de exámenes resueltos por alumnos

Esta forma de proceder en nuestra aula se ve reflejada tanto en los cuadernos de los alumnos como

en los exámenes. Una vez superada la fase inicial de rechazo ante el trabajo extra, cuando un alumno se

da cuenta que realmente le resulta más sencilla la resolución de actividades, y que esto se refleja en la

nota, este te empieza a exigir que les detallemos el razonamiento.

Se van a mostrar ejemplos visuales de parte de exámenes resueltos por alumnos con los que se ha trabajado ambas dinámicas. Comenzamos con la resolución de una ecuación lineal con denominadores.

Observamos en la imagen la resolución de forma vertical en el lado izquierdo, y la descripción de los

pasos que sigue el alumno, en este caso de 2º de ESO, en el lado derecho.

Figura 9. Ecuación resuelta por alumna de 2º de ESO

Del mismo modo, una de mis alumnas de 4º de ESO, de la opción de Matemáticas Aplicadas (el

curso anterior cursó el Programa de Mejora del Aprendizaje y Rendimiento, PMAR, y llegó a este curso

con dificultades con las matemáticas), resuelve también una de estas ecuaciones siguiendo el mismo

procedimiento.


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Figura 10. Ecuación resuelta por alumna de 4º de ESO

Finalizamos con un ejercicio de programación lineal resuelto por una alumna de 2º de

Bachillerato. Es interesante observar como al disponer toda la información ordenada, es más fácil para nosotros realizar la corrección, y nos permite comprobar que el alumnado está entendiendo los pasos

que ha seguido.

Figura 11. Problema resuelto por alumna de 2º de Bachillerato

5. Conclusiones

Cuando se han llevado estos applets al aula, la dinámica de clase ha permitido descubrir nuevas

dudas en el alumnado, así como nuevas formas de presentar y ordenar los pasos para una mejor comprensión. Como se ha comentado a lo largo del artículo, he notado en mis alumnos mayor facilidad

para entender muchos de los conceptos, han trabajado desde casa contenidos que de otra manera no lo

hubiesen hecho, y han mejorado la presentación y la argumentación en el cuaderno y en exámenes.



Todos los applets que podremos encontrar son siempre mejorables, pero siempre serán un buen

punto de partida para llevar GeoGebra al aula de una forma distinta.

No cabe duda de que el uso de los applets de razonamientos guiados o actividades resueltas va a

facilitar el trabajo del alumnado a la hora de hacerles enfrentarse a los contenidos matemáticos.

Bibliografía

Falcón, O.J. (2012). Juegos con la web Matematicaula. Números, 80. pp. 169-175.

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/80/Enlared_01.pdf

Falcón, R. M., Ríos, R. (2014). AleatorioEntre[m,M]. I Encuentro en Andalucía de GeoGebra en el Aula. https://www.researchgate.net/publication/260157618_AleatorioEntremM

Goizueta, M., Planas, N. (2011). Interpretaciones sobre la argumentación en el aula de matemáticas de

secundaria por parte de un grupo de profesores. Departamento de didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Experimentales. Universidad autónoma de Barcelona.

Godino, J. (1991). Hacia una teoría de la Didáctica de la Matemática. Ed. A Gutiérrez.

http://www.cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/eudoxus/article/viewFile/426/424

Orrantia, J (2006). Dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas: una perspectiva evolutiva. Rev. Psicopedagogia; 23(71): 158-80.

Óscar Jesús Falcón Ganfornina. Nací en Sevilla el 20 de diciembre de 1986. Licenciado en Matemáticas

por la Universidad de Sevilla y Doctorado en la misma universidad. Profesor de Educación Secundaria en

el IES San Pablo en el curso 2016-17. Autor de la web Matematicaula.


https://www.researchgate.net/publication/260157618_AleatorioEntremM


http://www.cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/eudoxus/article/viewFile/426/424

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/80/Enlared_01.pdf


ISSN: 1887-1984




¿Más allá de las estrategias de enseñanza y evaluación? Cinco tesis sobre la

dificultad que la Matemática opone a los estudiantes

Omar Malet (Universidad Nacional de Tres de Febrero. Argentina)

Fecha de recepción: 30 de mayo de 2017


Resumen ¿Por qué la Matemática suele oponerles a los estudiantes una dificultad mayor que otras

materias? ¿Por qué esa dificultad persiste aun en experiencias que se construyen a partir de revisar críticamente las estrategias de enseñanza y evaluación, y de ensayar estrategias

alternativas? En este trabajo proponemos cinco tesis que pueden contribuir a explicar el

fenómeno, atendiendo a otras tantas dimensiones: el componente afectivo, la lengua

matemática, el tipo de conocimiento implicado al enseñar y aprender Matemática, el

proceso de estudio y los errores en pruebas y exámenes.

Palabras clave Dificultades en Matemática, Afectividad, Lengua, Conocimiento, Proceso de estudio,

Errores

Title Beyond teaching and assessment strategies? Five theses on the difficulty that

Mathematics opposes students

Abstract Why Mathematics often opposes students a greater difficulty than other subjects? Why

does this difficulty persist even in experiences that are constructed from critically

reviewing teaching and assessment strategies and testing alternative strategies? In this

paper we propose five theses that can contribute to explain the phenomenon, taking into

account so many dimensions: the affective component, the mathematical language, the

type of knowledge involved when teaching and learning Mathematics, the study process

and the errors in tests and exams.

Keywords Difficulties in Mathematics, Affectivity, Language, Knowledge, Study process, Errors

Se puede definir una red de dos maneras, según sea el punto de vista que se

adopte. Normalmente, cualquier persona diría que es un instrumento de malla

que sirve para atrapar peces. Pero, sin perjudicar excesivamente la lógica,

también podría invertirse la imagen y definir la red como hizo en una ocasión un

jocoso lexicógrafo: dijo que era una colección de agujeros atados con un hilo.

Julian Barnes. El loro de Flaubert

1. Introducción: el origen de una preocupación

Desde 2010, en la cátedra de Matemática y Metodología para su Estudio, del Ingreso a los

Estudios Universitarios de una universidad del área metropolitana de la Ciudad de Buenos Aires, República Argentina, intentamos ofrecerles a quienes aspiran a ingresar a la Universidad una


¿Más allá de las estrategias de enseñanza y evaluación? Cinco tesis sobre la dificultad que la

Matemática opone a los estudiantes O. Malet


experiencia alternativa para el estudio de la Matemática.

Algunas de las marcas de identidad de esa experiencia son:

1. El modo de entender las relaciones entre la Matemática y la “realidad”: en el marco de la

experiencia a la que nos referimos, los entes matemáticos no son presentados como entes abstractos, descontextualizados, sino como modelos matemáticos de situaciones de contexto

real. Esta opción de índole epistemológica supone reconocer a la realidad, y a los

fenómenos y procesos que en ella tienen lugar, como la fuente de la cual emergen aquellos

entes. Desde esta perspectiva, la génesis de los entes matemáticos hunde sus raíces en la realidad misma, y expresa el intento humano de describir, comprender, explicar y

transformar la realidad, resolviendo los problemas que ella plantea (en este sentido, la

génesis explica la ulterior aplicabilidad de dichos entes en el abordaje de problemas reales). 2. La redefinición de prioridades en el campo ontológico, es decir, en el campo de los objetos

matemáticos a movilizar, a enseñar, a evaluar: se resigna el tradicional predominio de los

objetos procedimentales, y, en particular, de los procedimientos estandarizados o algorítmicos, para incluir también como objetos de enseñanza, aprendizaje y evaluación a

las situaciones problemáticas (especialmente, a las situaciones contextualizadas, o de

contexto real), al lenguaje (en sus distintos códigos y registros, revalorizando, por ejemplo,

el lenguaje coloquial y el lenguaje gráfico o visual), a los argumentos, a los conceptos, a las propiedades y a los procedimientos de carácter heurístico o no algorítmico.

3. La modificación de la dinámica usual de las clases; en un registro didáctico, el cambio

propugna el trabajo autónomo de los estudiantes, sostenido por un material de estudio diseñado ad hoc, y acompañado por el docente. Esta dinámica supone renunciar al orden

explicador (Rancière, 2003), en el marco del cual el docente transmite el saber por la vía de

la explicación, en la creencia de que enseñar es narrar (Finkel, 2008), y de que los alumnos aprenden bebiendo la palabra profesoral (Perrenoud, 2012). Ahora bien: cuando los

alumnos trabajan en grupo, los de nivel más alto/ritmo más rápido tienden a liderar el

proceso de aprendizaje, asumiendo, ellos, el rol de explicadores del cual fue desplazado el

docente. Para minimizar ese riesgo, el criterio por el cual se les agrupa es el de una relativa

homogeneidad en cuanto a saberes previos y ritmos de aprendizaje de la materia.

La propuesta procura incidir en algunos de los rasgos estructurales más duros y cuestionados

de entre aquellos sobre los cuales descansan las clases tradicionales, y hasta procura “subvertirlos” en

clave de mejora. Por ello, es valorada positivamente por el equipo docente a cargo de su desarrollo (conformado por unos 30 profesores), por las autoridades de la Universidad y por muy buena parte de

los estudiantes.

Aun así, cuando se la evalúa en función del porcentaje de alumnos aprobados, su efectividad

puede quedar en entredicho, ya que ese porcentaje no difiere en la medida que quisiéramos del que se

obtiene por caminos más ortodoxos1.

Hemos dialogado con colegas de equipos docentes que promueven y sostienen proyectos de enseñanza de la Matemática que, desde el punto de vista de su condición de alternativas al statu quo

que suele prevalecer en las aulas (y que desde hace años viene recibiendo cuestionamientos

epistémicos, ontológicos y didácticos), son afines al que describimos. El diálogo pone de manifiesto

1 Aunque la legitimidad de la comparación es técnicamente problemática, ya que le subyace una lectura lineal de

resultados, que no toma en consideración ni qué se evalúa en un caso y en el otro, ni a través de qué

instrumentos.





una preocupación compartida: aunque se la enseñe intentando atender a los cuestionamientos

mencionados, y aun haciéndonos cargo de las seguras limitaciones de tales intentos, la Matemática parece oponer al estudiantado una dificultad que no oponen otras materias, y que cabe sospechar que

le es consustancial.

En lo que sigue enunciamos cinco tesis que a nuestro criterio pueden contribuir a explicar ese

plus irreductible de dificultad de la Matemática, o, al menos, a abrir la discusión en torno a un fenómeno que a veces nos desanima a quienes defendemos el derecho de todos a aprender Matemática

y estamos genuinamente convencidos de que pueden hacerlo.

Primera tesis: el componente afectivo

A lo largo de sus trayectorias educativas, muchos estudiantes desarrollan creencias, actitudes y

emociones poco favorables hacia la Matemática y su aprendizaje: una visión meramente algorítmica de la Matemática, poca confianza en las propias posibilidades para aprenderla, miedo o aversión

hacia la materia. Esas formaciones afectivas se potencian, además, y paradójicamente, por la

importancia que social y académicamente se le concede a la Matemática. Si bien tales formaciones

suelen tener origen en modalidades de enseñanza y evaluación inadecuadas, una vez instaladas se presentan como muy resistentes, aun ante modalidades alternativas orientadas a no provocarlas, o a

desactivarlas, y hasta se manifiestan bajo la forma de cuestionamientos a estas modalidades.

Hace ya más de dos décadas que los trabajos pioneros de McLeod (1992) llamaron la atención

sobre el hecho de que las variables afectivas y emocionales juegan un papel sustantivo en la enseñanza

y el aprendizaje de la Matemática.

En aquellos trabajos, McLeod se refiere al dominio afectivo como ese ancho rango de creencias,

sentimientos y estados de ánimo que, como generalmente se admite, va más allá del dominio de la

cognición. Para McLeod, los componentes o descriptores básicos de aquel dominio son las creencias,

las actitudes y las emociones.

Los tres componentes difieren en la estabilidad de las respuestas afectivas que representan, en la intensidad de los afectos que describen, en el grado en que la cognición está implicada en la respuesta

afectiva y en el tiempo que demanda su aparición y desarrollo: creencias, actitudes y emociones, en

ese orden, presentan grados decrecientes de estabilidad de la respuesta, niveles crecientes de implicación afectiva y de intensidad de la respuesta, niveles decrecientes de implicación cognitiva, y

períodos de aparición y desarrollo de duración decreciente.

Las creencias y las actitudes tienden a ser más estables que las emociones, que pueden cambiar

muy rápidamente (es lo que sucede cuando a la frustración que experimentamos al intentar resolver un

problema que se resiste le sigue la alegría de haberlo podido resolver); la intensidad afectiva de una creencia sobre la Matemática (“la Matemática es una colección de fórmulas y reglas”, por ejemplo)

suele ser menor que la de una actitud (afición o aversión hacia la materia, por ejemplo), que a su vez

es menor que la de una reacción emocional (ante un problema que no podemos resolver, por ejemplo); las creencias son en buena medida de naturaleza cognitiva, y en las actitudes se reconoce, también, un

factor cognitivo, mientras que en una emoción la carga cognitiva es más reducida; una creencia o una

actitud requieren para su desarrollo de un lapso relativamente largo, en tanto que las emociones

pueden aparecer y desaparecer repentinamente.

Weiner (1985) propone un punto de vista atributivo sobre los procesos afectivos, a partir de indagar en las atribuciones de causalidad por medio de las cuales intentamos explicarnos nuestros




éxitos o nuestros fracasos.

Según el autor, tras el resultado de un evento experimentamos una emoción primitiva, una

reacción general de tono positivo (felicidad) o negativo (frustración), basada en una evaluación primaria: la percepción de éxito o fracaso de ese resultado, respectivamente. Esa emoción depende del

resultado, pero no, de la atribución causal.

Ahora bien, la evaluación primaria y la inmediata reacción afectiva concomitante, dan paso a la

búsqueda de una atribución causal, esto es, a una auto interrogación respecto de las causas del

resultado alcanzado.

Según que el resultado sea positivo o no, y que dichas causas sean percibidas como internas o externas a uno mismo (dimensión locus), como controlables o no (dimensión controlabilidad), como

estables o no (dimensión estabilidad), se generarán afectos o emociones diferentes, dependientes, esta

vez, de la atribución causal. Weiner identifica siete estados afectivos frecuentes: la ira (cuando un resultado negativo es atribuido a causas no controlables por parte de uno mismo y a una conducta

arbitraria del otro); la culpa (cuando un resultado negativo es atribuido a causas controlables y a la

falta de esfuerzo propio); la vergüenza (cuando un resultado negativo es atribuido a causas incontrolables y a una falta de capacidad); la desesperanza (cuando un resultado negativo es atribuido

a causas estables o persistentes); el orgullo y la autoestima (autoestima positiva, cuando un resultado

positivo es atribuido a causas internas, al mérito propio; autoestima negativa, cuando un resultado

negativo es atribuido a causas internas); la compasión (cuando un resultado negativo es atribuido a causas no controlables); la gratitud (cuando un resultado positivo es atribuido a la voluntad de alguien

que con su accionar quiso beneficiarnos).

Sin duda, como señala Blanco (2012), entre el aprendizaje de la Matemática y los afectos se

establece una relación cíclica: las experiencias por las que transitan los alumnos en las aulas de Matemática les provocan reacciones afectivas y emocionales que van sedimentando progresivamente

en creencias y actitudes, las que, recursivamente, imprimen cierta tonalidad emocional a las nuevas

experiencias de aprendizaje, y condicionan la performance de los estudiantes en estas nuevas

situaciones.

Cuando las creencias, las actitudes y las emociones relativas a la Matemática son prevalentemente negativas, y se estabilizan conforme el alumno recorre los distintos tramos del

sistema educativo formal, se producen tres fenómenos paradójicos. Por un lado, esa negatividad parece

potenciarse en contraste con la valoración positiva que de la Matemática hacen la sociedad y el propio sistema educativo, en la medida en que el alumno se siente ajeno a unos dominios en los que quisiera

habitar, o en los que sabe por sí y por los demás que es importante habitar. Por otro lado, aunque se le

ofrezcan encuadres de estudio de la Matemática más favorables para el desarrollo de un sistema de

creencias, actitudes y emociones de otro signo, se hace muy difícil desplazar al sistema anterior, que muchas veces, como un fantasma, invade el nuevo escenario e impide reconocerlo en lo que tiene de

más amigable. Pero además hasta suele suceder que en una suerte de compulsión a la repetición el

estudiante evalúa el encuadre alternativo, potencialmente capaz de mejorar sus posibilidades de aprendizaje, con nostalgia de aquellos encuadres que justamente lo condujeron a la posición

vulnerable en la que se encuentra, y demanda, en consecuencia, el retorno a dichos encuadres (el

encuadre que se le propone es percibido como deficitario respecto de los anteriores, porque en él están

ausentes muchos de los rasgos definitorios de aquellos encuadres).

No es descabellado hipotetizar que esas formaciones afectivas poco favorables para/hacia el

estudio de la Matemática participan en grados variables de la matriz explicativa de las dificultades de





los estudiantes con y en la Matemática, particularmente en los cursos y niveles más avanzados del

sistema educativo.

Segunda tesis: la lengua matemática

Al igual que otras lenguas disciplinares (las de las ciencias naturales, por ejemplo), la lengua matemática, tanto en su vertiente coloquial o natural, como en su vertiente simbólica, es una lengua

estandarizada, económica en el modo de condensar información y de alta densidad conceptual; pero

la lengua simbólica, que es central en los quehaceres matemáticos, tiene una opacidad mayor que las lenguas simbólicas de otras disciplinas. La enseñanza de la Matemática puede y debe asumir la

responsabilidad de enseñar a leer y escribir en esa lengua específica, diseñando secuencias por las

que progresivamente los estudiantes se aproximen a su complejidad. Aun así, más temprano que tarde, el uso de la lengua matemática en las aulas es insoslayable, a riesgo de renunciar a enseñar y

aprender Matemática, o de sustituirla por una versión “desmatematizada” de sí misma.

Detengámonos en esa lengua simbólica, por lo que tiene de necesaria en el trabajo matemático.

En efecto, en términos de Duval (2007), esa lengua es uno de los registros de representación

semiótica que nos permiten exteriorizar nuestras representaciones mentales de los objetos de estudio, hacerlas visibles y accesibles para nosotros mismos y para los demás, y efectuar tratamientos

(cálculos, operaciones, razonamientos, transformaciones) sobre los objetos representados, que, a

diferencia de lo que ocurre en otros dominios, no son accesibles ni perceptiva ni instrumentalmente.

Cauty (2001), quien ha dicho que el matemático es un especialista que hace malabares con las

representaciones, proporciona una caracterización de la lengua matemática, en estos términos:

1. Los matemáticos utilizan una lengua específica, un sistema de palabras y símbolos,

incomprensible (e impronunciable) para el profano, como se pone de manifiesto en la

siguiente expresión:

sen x = k 2k 1

k 0

( 1) . x

(2k 1)!

2. Esa lengua es fundamentalmente una escritura, es decir, un sistema visual de representación simbólica, susceptible de ser leído idénticamente por todos, y sujeto a reglas formales

estrictas.

3. El núcleo de la escritura matemática es un sistema semiótico de tipo ideográfico

específicamente construido para la representación de términos (1, f, etc.), expresiones (a + 2, f(x), etc.), jerarquías (como las que indican los juegos de paréntesis, corchetes y

llaves: {[()]}), relaciones (<, =, , etc.), etc.

4. Como cualquier lengua, la escritura matemática se distribuye en numerosos registros que

corresponden a prácticas especializadas: la aritmética, el álgebra, la geometría, el cálculo de

probabilidades, etc.; al igual que cualquier otra comunidad lingüística, los matemáticos han creado un cierto número de géneros: el teorema, la definición, la demostración, la

enunciación de problemas.

5. La lengua matemática se presenta siempre como una mezcla; en un mismo enunciado

pueden estar presentes los recursos de todos los registros disponibles, pero también los recursos más generales, como los de la tipografía, la representación gráfica y la lengua

natural, de los que ningún texto matemático puede prescindir; por ejemplo, para escribir

simbólicamente la secuencia de cálculos “multiplicar 3 por 5 y sumarle 2 al producto”, y sus




resultados, se hace indispensable recurrir a un separador que evite el uso abusivo y erróneo

del signo igual en el que incurriríamos si escribiéramos 3 x 5 = 15 + 2 = 17; una opción es

escribir 3 x 5 = 15 ; 15 + 2 = 17; otra opción es distribuir la escritura en dos renglones:

3 x 5 = 15

15 + 2 = 17

En ambos casos estamos apelando a recursos externos a la lengua matemática: el punto y

coma en el primer caso, la distribución espacial en el segundo.

6. De lo anterior resulta que el dialecto de los matemáticos está siempre ligado a una lengua

natural, que generalmente es la lengua materna del matemático; las constricciones que

impone ese uso hacen evolucionar la lengua natural hacia una jerga más o menos especializada.

7. El desarrollo de la escritura matemática y el de la Matemática como ciencia son solidarios,

se catalizan mutua y dialécticamente. 8. En el aprendizaje, al igual que toda lengua, la lengua matemática cumple la función de

acompañar y ayudar al pensamiento en el trabajo de identificación de los objetos y sus

relaciones, de clasificación, tratamiento y transformación de informaciones, y de

programación y control de las acciones.

La apropiación de esta lengua tan compleja y sofisticada por parte de los estudiantes implica en la práctica un proceso de alfabetización en una segunda lengua, que, además, y a diferencia de nuestra

lengua natural, no es alfabética o fonética sino ideográfica (sus símbolos no representan sonidos, sino

ideas).

Cierto es que cuando se enseña Matemática ese proceso tiende a ignorarse, borrando las dificultades que supone, como si la adquisición de la lengua matemática fuera de suyo. Pero aun

cuando como docentes estemos dispuestos a hacernos cargo de enseñarles a nuestros alumnos a

escribir en lengua matemática, y a leerla, aun cuando diseñemos progresiones y secuencias para

materializar esa voluntad, hemos de ser conscientes de que esa lengua es per se un factor de dificultad, y que lo es en mayor medida porque –por las razones antedichas– para manipular los entes

matemáticos no se puede prescindir de ella. Esto es, no hay posibilidades de hacer Matemática por

fuera de la lengua matemática.

Tercera tesis: el tipo de conocimiento

Desde el punto de vista de la distinción piagetiana entre conocimiento físico (o conocimiento de las propiedades de los objetos de la realidad externa), conocimiento lógico-matemático (o

construcción de relaciones) y conocimiento social (o conocimiento de las convenciones), aprender

Matemática supone principalmente –aunque no, exclusivamente– actos de conocimiento lógico-matemático, es decir, construcción de relaciones, construcción en la que no hay modo de sustituir el

protagonismo del estudiante por prácticas explicativas, narrativas, transmisivas, a cargo del docente.

Tomándonos, tal vez, ciertas libertades interpretativas, identifiquemos las nociones piagetianas

de conocimiento físico, conocimiento lógico-matemático y conocimiento social (Kamii, 1988) en una

situación del orden de lo real cotidiano.

Acompáñenos el lector en la suposición de que queremos tratar la superficie de una pared que





tenemos a la vista con una base importada, de origen sajón; la base se vende a granel, y se fracciona en

latas de 1/2 litro; según el folleto que nos dieron en la tienda de pinturas, son necesarias 25 onzas

líquidas cada 100 pies cuadrados. ¿Cuántas latas deberíamos comprar?

Parece claro que, por un lado, necesitamos calcular el área de la superficie a tratar; ese cálculo

requiere de un trabajo empírico sobre la propia pared, ya que el área es una propiedad física de la

pared (como lo son, también, su textura, el material del que está hecha, etc.). Conocer el área de la pared, “arrancarle” a la pared esa información acerca de sí misma, supone un acto de conocimiento

físico.

En términos piagetianos, el conocimiento físico es el conocimiento de las cualidades o

propiedades de los objetos de la realidad externa, y el proceso por el cual se adquiere es el de

abstracción simple o empírica; este proceso consiste en centrar empíricamente nuestra atención en una propiedad del objeto de que se trate, poniendo entre paréntesis las demás propiedades: en el ejemplo,

nos centramos en el área, y prescindimos (al menos por un momento) de la textura de la pared, del

material con el que fue construida, etc.

En Matemática, a las nociones de perímetro, área y volumen, en tanto propiedades de objetos físicos, se accede por la vía del conocimiento físico. Por la propia índole de la disciplina, que tiende a

abandonar tempranamente los referentes físicos tangibles, el lugar del conocimiento físico en las

clases de Matemática es muy modesto.

Volvamos al tratamiento de la pared: para poder decidir cuántas latas de base deberíamos

comprar, casi seguramente se hará necesario traducir la información que nos brinda el folleto, de unidades del sistema imperial a unidades del sistema métrico decimal, más usual por estas latitudes, ya

que muy probablemente habremos medido las dimensiones lineales de la pared en centímetros o en

metros, y obtenido su área en centímetros cuadrados o metros cuadrados, y porque el contenido de cada lata nos viene dado en litros. Para hacer la traducción requeriremos de un agente informante (una

persona que conozca las equivalencias entre las unidades de ambos sistemas, una tabla de

conversiones en soporte papel, o, más frecuentemente, una página de internet). Ese agente informante

funciona como transmisor de unas equivalencias que descansan simultáneamente sobre la arbitrariedad de la definición del pie, o el metro, o la onza, o el litro, y sobre los consensos o las convenciones que

llevaron a optar por una de las definiciones posibles para cada unidad, y a atenerse a ella.

El conocimiento de los aspectos de la realidad que –como la definición de una unidad de

medida– son arbitrarios y convencionales es conocimiento social, y se adquiere mediante la

transmisión.

En las aulas de Matemática, la ya mencionada adopción de una unidad de medida por parte de

una comunidad, las nomenclaturas (¿Cómo se llama el polígono de cinco lados?, por ejemplo), las

notaciones (“logaritmo natural” se nota “ln”, por ejemplo), se conocen a través de actos de

conocimiento social.

Si retornamos a la situación propuesta, una vez conocidas el área de la pared y las equivalencias entre los dos sistemas de unidades de medida involucrados, para determinar la cantidad de latas de

base necesarias se requiere establecer un entramado de relaciones de proporcionalidad. Ese entramado

relacional es de índole lógico-matemática, y así como en el caso del conocimiento físico y el conocimiento social la fuente que provee la información es exterior al sujeto, en este caso es interna:

es el sujeto mismo, somos cada uno de nosotros, quienes establecemos las relaciones de

proporcionalidad mencionadas.




El conocimiento lógico-matemático consiste, justamente, en construir, crear, establecer, fabricar

relaciones. Y el proceso constructivo por el cual se obtiene el conocimiento lógico-matemático es la

abstracción reflexiva o constructiva.

Si por la naturaleza de la Matemática el conocimiento físico no tiene mayor presencia, y si el

conocimiento social solo interviene cuando se trata de enseñar y aprender convenciones, queda clara la

centralidad del conocimiento lógico-matemático en el estudio de la Matemática.

Queda clara, también, otra raíz de la dificultad que encuentran los alumnos cuando estudian

Matemática: lo sustancial del saber matemático es inaccesible por la vía de la manipulación de objetos, y también lo es por la vía de la transmisión, ya que esas vías son propias del conocimiento físico y el

conocimiento social, respectivamente.

Aprender Matemática implica construir relaciones, y en esa construcción no hay modo de

sustituir el rol constructivo del propio aprendiz: un par o un profesor que explique, aunque lo haga con meridiana claridad, no hace sino describir las relaciones que ha conseguido establecer; escuchar esa

descripción no le garantiza a quien la escucha el poder reestablecerla; para que esto último suceda, es

condición sine qua non que se ponga en marcha el proceso de abstracción reflexiva.

Pero hay algo más: si las primeras relaciones matemáticas son relaciones entre objetos (por

ejemplo: un rectángulo tiene un lado más que un triángulo), las relaciones subsiguientes son relaciones entre relaciones (por ejemplo, lo es la transitividad: relacionando la relación a > b con la relación b >

c, se concluye que a > c). De ahí, cierto carácter acumulativo del aprendizaje de la Matemática, en el

sentido de que en cada plano o nivel son demandadas las relaciones entabladas en los planos o niveles precedentes; cuando estas relaciones no están disponibles, las posibilidades de aprendizaje se ven

obturadas, de la misma manera que cuando hay un diente fuera de lugar en la cremallera de un cierre,

el cierre no puede subir, o lo hace forzadamente, sesgadamente. Es por ello que las dificultades de los estudiantes para aprender Matemática (y las de los profesores para enseñarla) se agravan y potencian a

medida que se avanza en el sistema educativo, a menos que se logre reponer las relaciones faltantes o

deficitariamente establecidas.

Cuarta tesis: el proceso de estudio

El proceso de estudio que la Matemática requiere se parece más al que requiere, por ejemplo, aprender a tocar un instrumento musical que al que requieren otras materias de corte más

“discursivo”, que se pueden aprender (hasta cierto y limitado punto, al menos) leyendo y recordando.

Para aprender Matemática, para aprender a tocar la guitarra, se necesita de un tiempo más o menos

dilatado de haceres y quehaceres que la enseñanza puede promover y acompañar, pero que están ineludiblemente a cargo del estudiante, cuya disposición a someterse a esa disciplina2 es, entonces,

determinante.

Esta tesis tiene relación directa con la tesis anterior: el componente lógico-matemático del

conocimiento matemático, su prevalencia sobre los otros componentes y, en particular, sobre el componente social, torna inadecuadas, o insuficientes, las estrategias de lectura y memorización para

aprender Matemática.

2 Usamos aquí el sustantivo disciplina en el sentido de conjunto de normas o reglas cuya observancia de manera

constante conduce a cierto resultado, y no en el sentido de campo o rama del saber.





Por otra parte, como afirma Chevallard (1997), en el caso de las asignaturas escolares existe

cierta propensión a confundir la actividad de estudio con la enseñanza o, al menos, a considerar únicamente como importantes aquellos momentos del estudio en los que el alumno está en clase con

un profesor.

Se olvida entonces que el aprendizaje, entendido como el efecto perseguido por el estudio, no se

produce solo cuando hay enseñanza, ni se produce únicamente durante la enseñanza, y que esta no es

sino un medio para el estudio.

El mismo Chevallard dice:

La situación parece más clara si, en lugar de las matemáticas, pensamos en

otro objeto de estudio como, por ejemplo, la música. Una persona que estudia

un instrumento (el piano, la guitarra o el saxo) suele ir a clase cada semana

con un profesor, pero la mayor parte del tiempo practica sola con su instrumento, además de escuchar discos, tocar con más gente e ir a

conciertos. Todas estas acciones son medios para el estudio, aunque sólo en

el primer caso podemos hablar, propiamente, de enseñanza. (Chevallard,

1997, p. 58).

Estudiar un instrumento implica ir a clase, sí, pero también implica, irrenunciablemente, esas

otras acciones que Chevallard enumera. Sin ellas, quien pretenda aprender a tocar el instrumento no lo

logrará.

En otras palabras, estudiar un instrumento implica la aceptación de una disciplina:

Entrar en una obra3 es someterse a su disciplina. Cuando hacemos

matemáticas o música rock o cuando jugamos a fútbol, la obra en la que

entramos se manifiesta al imponernos una serie de exigencias disciplinarias.

Si no aceptamos esta disciplina, por poco que sea, entonces nos quedaremos

en la superficie de la obra. Por ejemplo, nos limitaremos a escuchar pasivamente la clase de matemáticas o a oír (ni siquiera a escuchar) la música

rock, o a mirar a los futbolistas. (Chevallard, 1997, p. 112).

Seguramente no es azaroso el paralelismo que el texto de Chevallard traza entre el estudio de la

Matemática y el de la música (o la práctica del fútbol).

Salvo que la propuesta de enseñanza demande sustancialmente reproducir o repetir definiciones,

propiedades, procedimientos, demostraciones, etc., es imposible aprender Matemática solo leyendo un

texto, u observando cómo otros actores han resuelto o resuelven ejercicios y problemas, del mismo modo que lo es aprender a tocar la guitarra solo leyendo libros de técnica musical y mirando a un

ejecutante, por caso.

Entrar en una obra, como la Matemática, o la música, supone reconocer la disciplina propia de

la obra y someterse a ella. Chevallard advierte que se observa actualmente una fuerte resistencia de muchos jóvenes a entrar en la mayoría de las obras propuestas por la escuela. Es como si la vida

escolar, a partir de cierto nivel educativo, se caracterizara por una marcada tendencia de los alumnos a

3 Para Chevallard, una obra es una construcción humana que surge como respuesta a una pregunta o cuestión

problemática, o a un conjunto de ellas.




ser solo espectadores de dichas obras y a no llegar nunca a ser actores de las mismas.

Lejos de responsabilizar al alumno, Chevallard propone dos explicaciones para ese fenómeno;

una primera explicación se basa en que en la escuela los jóvenes se encuentran de golpe con lo más duro de la disciplina de una obra, y que es esa dureza la que les impide entrar en la obra; pero una

segunda explicación, que el autor considera más verosímil, hace pie en la hipótesis contraria: la

resistencia de los jóvenes podría ser consecuencia del laxismo de la escuela que, al intentar mitigar por todos los medios el rigor de las disciplinas de las distintas obras (entre ellas, Matemática), impediría

que los alumnos pudiesen conocerlas y asumirlas.

Sea cual fuere su causa, en Matemática esa resistencia adquiere un status verdaderamente

dramático por la particular naturaleza de la materia, y si el estudiante no acepta las exigencias que su

estudio presenta, sus dificultades serán cada vez mayores, porque desafortunadamente se condenará a

sí mismo a permanecer en la superficie de los saberes matemáticos.

Quinta tesis: los errores en las evaluaciones

Los errores que cometen los estudiantes en las evaluaciones de Matemática suelen tener un

carácter más categórico, menos relativo por parte de quien las valora, que en otras disciplinas.

Suelen ser menos interpretables, o, en algún sentido, más objetivos.

Cuando los profesores de Matemática valoramos pruebas o exámenes, a menudo nos encontramos con errores cometidos por nuestros alumnos que no dejan margen para mejorar sus

calificaciones, aun cuando esté en juego, por pocas décimas de punto, la aprobación de la materia.

Ciertos errores parecen tener una contundencia que no podemos relativizar, y terminan por

arrastrar las calificaciones hacia abajo, como si de lastres se tratara.

La conversación con colegas de otras áreas sugiere que el fenómeno no se presenta en todas

ellas con la misma intensidad.

Se hace difícil hundir el estilete de la reflexión en un asunto en el que convergen, sin ninguna duda, desde tradiciones disciplinares hasta estilos, deformaciones y vicios profesionales, y también

prejuicios de unos campos disciplinares respecto de otros.

Intentaremos hacerlo con mucha prudencia, y con vacilaciones. Sospechamos (apenas

sospechamos) que en esa percepción diferenciada acerca de los errores en unas materias y en otras, en esa distinta valoración, hay algo más que tradiciones, estilos y prejuicios: hay, también, y en un grado

que no alcanzamos a precisar porque no es sencillo hacerlo, una especificidad disciplinar, una

particularidad de la Matemática, que condiciona objetivamente el juicio.

Procuremos captar esa especificidad por medio de algunos ejemplos, a riesgo de que sean

caricaturescos, y con la certeza de que son polémicos.

Tal vez en ciertos niveles de enseñanza de la Geografía, se pueda admitir que un alumno confunda un golfo con una bahía o con una ensenada, sin considerarlo de una gravedad excesiva: más

allá de sus diferencias, los tres accidentes tienen características comunes. La admisión, desde ya, no va

en desmedro del rigor científico de la Geografía, ni lo compromete.

En cambio, en Matemática, si un alumno afirma que el producto de matrices es conmutativo, es





inadmisible relativizar el error a partir de considerar que el alumno proveyó numerosos ejemplos en

los que se verifica esa condición; del mismo modo, si un alumno afirma que 23

17 es un número

irracional porque al efectuar la división con una calculadora que muestra hasta 16 decimales no se

advierte su periodicidad, habrá cometido un error que el hecho de que el número en cuestión tenga un

período de 16 cifras no atenúa.

Es decir, algunos errores en Matemática inhabilitan la posibilidad de abrir el juego

hermenéutico que sí permiten ciertos errores en otras áreas, como en el ejemplo (quizá torpe) que

tomamos de la Geografía.

Ciertos errores matemáticos se recortan en negro sobre blanco, adquieren relieve, y salvo por

una operación del orden del autoengaño, sus aristas no se pueden difuminar.

Si nuestra hipótesis fuera acertada, si lo que creemos ver en cuanto a los errores en Matemática expresara un rasgo constitutivo del área, estaríamos ante una variable más que si no explica por qué a

los alumnos les cuesta aprender Matemática, sí explica –parcialmente, desde ya– por qué les cuesta

aprobar exámenes y pruebas, en mayor medida que en otras materias.

A modo de cierre

Afectos de tono negativo hacia la Matemática, una lengua hermética, el predominio de un tipo

de conocimiento al que solo se accede construyendo tramas relacionales, la disciplina y el compromiso

personal que exige el proceso de estudio, la crudeza con que se presentan los errores que cometen los

estudiantes en las evaluaciones…

Cinco razones que pueden explicar las dificultades de los alumnos en Matemática, cinco

factores cuya incidencia negativa pueden promover y agravar las malas estrategias de enseñanza y

evaluación, cinco variables sobre las que no siempre las buenas estrategias pueden operar; al menos,

no sobre todas ellas, o no en plazos cortos.

Tal vez sea ingenuo creer que la mejora de las estrategias puede reducir, hasta anularla, cierta

dificultad que a la Matemática parece serle constitutiva. Metafóricamente, la provocación de Barnes

en la cita inicial nos invita, en todo caso, a desplazar la mirada desde los hilos de la malla (las

estrategias; su reformulación; la posibilidad de que a fuerza de buenas estrategias lo difícil, lo consustancialmente difícil, se vuelva fácil) a los agujeros (esa dificultad irreductible ante la cual las

estrategias, las buenas estrategias, las más nobles, operan como manos tendidas, como gestos

hospitalarios).

Para no perder la brújula en la búsqueda y la construcción de alternativas en educación matemática, tan necesarias como urgentes, para no evaluarlas despiadadamente –que es como decir

injustamente–, quizás haya que torcer el rumbo de la discusión: no se trata de conseguir que lo que es

difícil deje de serlo, sino de que los estudiantes no queden solos ante la dificultad, y que esta tenga

sentido y valga la pena.

Es que, a condición de acompañar y sostener al alumno para que las venza, algunas de las

dificultades que identificamos son las contracaras de logros de altísimo valor académico y vital.

Veamos…




Quien acceda a la lengua matemática se habrá hecho de una herramienta poderosa para

interpretar el mundo, o, como dice Paulo Freire, para leerlo. Pero ese acceso debe ser inscripto en un proceso más amplio de alfabetización académica que reconozca que no se lee ni se escribe igual en

todas las disciplinas, ni en todos los niveles del sistema educativo, y que sea asumido como una

responsabilidad (pedagógica, pero también ética y política) por cada colectivo de enseñantes. Así entendida, la alfabetización académica es la mediación a través de la cual los estudiantes, que son

forasteros, extranjeros, inmigrantes en relación con la cultura disciplinar y su lengua, pueden

establecerse o instalarse en ella (Graziano, 2012).

Quien acepte el reto que construir relaciones por sí mismo supone, será más creativo. Pero para

que nuestros estudiantes acepten ese reto, es necesario que nosotros los desafiamos, y que les demos ocasión de hacer suyo el desafío, y tiempo para desplegar sus construcciones personales. Por otra

parte, advirtamos que sería un error reducir el calificativo de creativo a sus dimensiones de

imaginativo, o ingenioso, o novedoso. Saturnino de la Torre (s.f.) reivindica la creatividad como bien social, esto es, reivindica el carácter alocéntrico (su orientación a la mejora en beneficio de los

demás), ético y constructivo de la creatividad; reivindica, también, su carácter poliédrico o

interdisciplinar, su carácter problemático (“Dadme un problema y os daré un motivo para crear”, dice)

y su carácter incómodo y paradójico (la creatividad se justifica en la necesidad de buscar nuevos

caminos cuando se pierden los conocidos, esto es, cuando se sale de las zonas de confort).

Quien se avenga a la disciplina del proceso de estudio de la Matemática, comprenderá mejor en

qué consiste el oficio de estudiante, y estará en mejor posición para ejercerlo. Sin embargo, como

señala Casco (2009, p. 257), “La metáfora oficio de estudiante resalta el carácter no natural ni espontáneo del nuevo estatus que deberá alcanzar el ingresante. El aprendizaje de ese métier se realiza

en el terreno y es progresivo en el tiempo …”. No se trata, por tanto, de dejar al estudiante librado a su

propio esfuerzo, sino de intervenir mediante acciones específicas, enseñando las reglas del oficio. Una de esas reglas, que la disciplina del estudio de la Matemática puede contribuir particularmente a

enseñar, es la de alcanzar y demostrar autonomía, o sea, aprender a aprender, a hacer funcionar los

conocimientos propios, a hacerlos evolucionar y a adquirir otros, sin necesidad de ser andamiado o

asistido a perpetuidad. Reparemos en la imagen del andamio, que tanto da cuenta de su necesariedad en ciertos estadios de la construcción de una obra, como de su destino, que es el de ser paulatinamente

retirado.

Quien advierta la irrebatibilidad de ciertos errores podrá alejar de sí las tentaciones de la

autocompasión, del relativismo a ultranza y de la demagogia. Como sostiene Brousseau (1991), el de la Matemática es el primer dominio en el que podemos aprender los rudimentos de la gestión

individual y social de la verdad, las reglas sociales del debate y de la toma de buenas decisiones: cómo

convencer respetando a nuestro interlocutor; cómo dejarnos convencer contra nuestro deseo o interés;

cómo renunciar a la autoridad, a la seducción, a la retórica, a la forma, para compartir lo que será una verdad común. “La enseñanza de las matemáticas no tiene el monopolio ni del pensamiento racional ni

de la lógica ni de ninguna verdad intelectual, pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz.”

(Brousseau, 1991, p. 20).

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Omar Malet. Universidad Nacional de Tres de Febrero, Caseros, República Argentina.

Profesor Nacional en Matemáticas, Física y Cosmografía por la Escuela Nacional Normal Superior de

Pergamino; Magíster en Enseñanza de la Matemática por la Universidad Nacional de Cuyo. Coordinador

de la cátedra de Matemática y Metodología para su Estudio, en el Ingreso a los Estudios Universitarios de

la Universidad Nacional de Tres de Febrero.



ISSN: 1887-1984




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Matemáticas en el Proyecto CLIL

Rayco Almeida García (Instituto de Enseñanza Secundaria Playa de Arinaga, España)

Resumen Las materias enmarcadas en el Proyecto CLIL deben suponer un complemento más para

que el alumnado pierda el miedo a hablar en inglés, propiciando contextos donde se

genere la comunicación de forma natural en este idioma. En este artículo se comenta de

forma muy práctica cómo llevar a cabo diferentes experiencias de aula en la enseñanza

de las Matemáticas, de manera bilingüe, experiencias que han sido probadas con éxito en

los últimos cursos. Se enumeran diferentes actividades donde el principal fin es que el

alumnado se comunique en inglés, actividades que, si bien están enfocadas a las

Matemáticas, son perfectamente extrapolables en su mayoría a cualquier otra materia de

Ciencias.

Palabras clave AICLE, Ciencias, Secundaria, comunicación oral, en parejas, de manera bilingüe.

Abstract Subjects following a CLIL approach should serve as a complement for students to

overcome their fear of speaking English, promoting contexts in which communication in

the target language is naturally triggered. This article provides a practical focus on how

to carry out different learning experiences in the teaching of Mathematics in a bilingual context, experiences which have been successfully put into practice in the past years. It

also presents activities whose primary goal is to get students communicate using the

English language. Even though such activities are designed for Mathematics, most of

them can be easily adapted to any scientific subject.

Keywords CLIL, Science, Secondary, speaking communication, in pairs, bilingually.

1. Introducción

Las siglas CLIL en inglés, “Content and Language Integrated Learning” o AICLE, en español,

“Aprendizaje Integrado de Contenidos y Lenguas Extranjeras”, quieren decir que se aprende el

contenido de una materia que no es lengua extranjera, utilizando la lengua extranjera como medio de comunicación. En el caso que nos ocupa en este artículo el inglés será el medio en el que se comuniquen

profesorado y alumnado aprendiendo y afianzando conocimientos de la materia de Matemáticas.

El Proyecto CLIL/AICLE desde sus inicios ha estado rodeado de un debate relativo a la selección

del alumnado que en algunos casos era puramente académica. En mi opinión, ello va en contradicción

al desarrollo del primer objetivo de la Educación Secundaria Obligatoria en la LOMCE, “… ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos y la igualdad de trato y de oportunidades entre hombres

y mujeres, como valores comunes de una sociedad plural…” (extracto del BOE-A-2015-37 Artículo 11,

apartado a).

Además, la Dirección General de Ordenación, Innovación y Promoción Educativa, a través del PILE (Plan de Impulso a las Lenguas Extranjeras), dicta en las orientaciones metodológicas de la


Matemáticas en el Proyecto CLIL R. Almeida García


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resolución de dicho plan que, “los centros adecuarán su actuación a sus circunstancias concretas y a las

características de su alumnado con el objetivo de conseguir el mayor éxito escolar desde una perspectiva

inclusiva”.

Siguiendo esta premisa, bajo mi punto de vista, el Proyecto CLIL/AICLE funciona mejor si todo el alumnado del centro es CLIL. Lógicamente habrá alumnos que tendrán más materias clil que otros,

dependiendo de los profesores que les toque, pero ello no es tan importante. De este modo se “apellida”

a las materias y no a los grupos. En cualquier caso, dada la diversidad de alumnado que nos encontramos en las aulas, las explicaciones de un contenido que se trabaja por primera vez normalmente las hago en

castellano, de forma que a continuación realizo sesiones puramente en inglés, con actividades muy

comunicativas y lúdicas, con el fin de refrescar, revisar o afianzar los contenidos. Creo que esta es

una buena manera de llegar con eficacia al mayor número de alumnado posible evitando que algunos se

pierdan por el camino a causa del idioma.

Lo verdaderamente importante es que todo el alumnado reciba un complemento en inglés, fuera

de la propia materia de lengua extranjera, y si se hace de forma comunicativa, eminentemente hablada,

pues este será muy efectivo. Precisamente lo que más le cuesta a los adolescentes es el “Speaking”, y si desde otras materias se contribuye a que el alumnado pierda ese miedo o vergüenza a hablarlo, el

proyecto será bienvenido y bien aceptado por parte de alumnado y familias.

El profesor D. Salvador Vidal, propone un sistema lúdico para enseñar Matemáticas, esta materia

con fama de ser un hueso para los estudiantes, y afirma que “deben enseñarse a través de las emociones”.

En este artículo se muestran diferentes experiencias de aula que han tenido éxito con la aceptación del alumnado en estos últimos cursos académicos. En algunas de ellas el alumnado se emociona al completar

la actividad o durante el desarrollo de la misma, ya que tienen un carácter lúdico.

En el artículo se muestran diversas estrategias metodológicas, que si bien pueden resultar

conocidas entre los profesores de idiomas, no son tan conocidas ni utilizadas por profesores de otras materias, por ejemplo, de Ciencias. Estas experiencias potencian la comunicación, la mayoría de ellas

en pareja, pero todas han sido planteadas con el fin de que el alumnado se comunique en inglés, y ese

es el principal fin de todas ellas.

La intención de esta lectura es facilitar al profesorado de Ciencias CLIL/AICLE, tanto a los que

ya han trabajado en el proyecto, como a los que se incorporan este curso por primera vez al mismo, experiencias que han funcionado en la enseñanza de las Matemáticas en Secundaria y que son, en su

mayoría, extrapolables a cualquier otra materia y temática.

2. Experiencias de aula

2.1. Doing a survey (Realización de una encuesta)

Una de las experiencias más útiles a la hora de trabajar en Estadística es la realización de una

encuesta. Si bien se suelen hacer dentro de los propios centros escolares, es tremendamente productivo

realizar alguna encuesta fuera del centro, en una primera fase de este trabajo. Es recomendable elegir una zona turística no muy lejana, para que el alumnado realice la encuesta en inglés. La temática es lo

de menos, lo importante es que la encuesta esté bien diseñada, para que no dé lugar a demasiadas

Las Matemáticas en el Proyecto CLIL. Experiencias de aula. R. Almeida García.



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confusiones con los encuestados. Éstos serán extranjeros que van a pasar sus vacaciones a estas zonas

turísticas, así que la encuesta debe ser breve para molestar al turista el menor tiempo posible.

Una vez realizado el trabajo de campo, el alumnado trabajará en el centro la segunda fase. Ésta

consta de la organización de la información recabada y el estudio de los datos. Es importante que tenga tanto variables cualitativas como cuantitativas, para poder calcular los principales parámetros

estadísticos. Se debe contar con la hoja de cálculo para la realización de esta segunda fase, donde tras

haber organizado y estudiado los datos podrán extraer algunas conclusiones.

Finalmente el alumnado debería exponer sus datos y conclusiones al resto de la clase en una

presentación oral en inglés, ayudándose de cualquier herramienta para presentaciones.

Lo más importante al comienzo de esta actividad es que el alumnado interactúe con los encuestados en inglés, haciéndose entender. No es tan importante que el alumnado hable un inglés

perfecto, puesto que en cualquier país de habla inglesa se cometen errores gramaticales en el idioma

informal, “slang language”1, de hecho esto ocurre en cualquier idioma. Por tanto durante esta situación, lo que evaluará el profesor es la parte matemática de la misma, tanto los cálculos como el correcto uso

del vocabulario estadístico. Como idea extra, se puede realizar un video de las presentaciones en inglés

para que el profesor o profesora de inglés las evalúe.

Figura 1. Alumno de 1º ESO exponiendo su trabajo de Estadística en inglés. Curso 2015-2016.

2.2. What do you call…? (¿Cómo llamas tú a…?)

Esta actividad y la que sigue, potenciarán que el alumnado se comunique por parejas. Esto se

consigue aportando al alumnado unas fichas de trabajo en las que, en cada pareja de estudiantes, el

“Estudiante A” necesita completar su información con la información que posee el “Estudiante B” y

viceversa. Ello hará que tengan que comunicarse forzosamente para realizar la actividad. En esta las

preguntas empiezan siempre con un “What do you call…something?” (¿Cómo llamas tú a tal cosa?).

Habrá que describir el objeto utilizando el inglés como vía de comunicación. A medida que un

estudiante vaya describiendo ese objeto, el compañero adivinará la palabra de la que está hablando, ya

que él la tiene en su ficha de trabajo. De este modo se completan las fichas de trabajo: el “Estudiante A” adivina las palabras que le faltan y que tiene el “Estudiante B” y al contrario. La actividad finaliza

cuando ambos estudiantes completan su ficha de trabajo.

1 Slang language: lenguaje bastante informal usado más normalmente en el lenguaje hablado que en el escrito.



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Antes de que el alumnado comience a interactuar es importante dotarlo de cierto vocabulario para

completar la actividad, el vocabulario necesario para comunicarse en el contexto propio de la

actividad que se haya planificado. Por ejemplo, si se van a trabajar los tipos de ángulos, el alumnado

tendrá que tener en la recámara vocabulario del tipo more/less than, 90 degrees, etc.

2.3. Communicative crossword (Crucigrama comunicativo)

En esta actividad la metodología es muy similar a la de la actividad anterior, ya que un estudiante necesita la información que tiene el otro estudiante. Se puede realizar un crucigrama con cualquier

temática, por ejemplo sobre vocabulario relacionado con Funciones y Gráficas, o con Geometría plana

o del espacio.

Verdaderamente es una actividad que ayuda a consolidar conocimientos y es muy motivadora,

puesto que completar el crucigrama supondrá un reto para cada pareja de estudiantes. Por ello, es importante que se haya realizado otra actividad previamente donde se haya visto y puesto en uso el

vocabulario necesario para completar el crucigrama.

Se puede facilitar el crucigrama a medio hacer, es decir incompleto, de tal manera que las palabras

que ya tiene el Estudiante A son las que le faltan al Estudiante B, y las que tiene B son las que le faltan

a A. De este modo la comunicación será fundamental para completar el crucigrama.

El proceder en esta actividad sería el siguiente:

• Por turnos, cada estudiante pregunta por la definición de una palabra que le falta: por ejemplo,

“number 3 across”, o “number 4 down” (siendo “across” horizontal y “down” vertical).

• El Estudiante B tiene definición y palabra, y deberá hacer todo lo posible para que el Estudiante A la adivine, excepto leerle la propia palabra. Podrá definirla con sus propias

palabras y si fuera necesario ayudarse mediante la realización de un dibujo.

• En el siguiente turno se intercambian los roles: B pregunta para adivinar una palabra y A define

la palabra buscada por B.

• El roll del docente en este tipo de actividades está en guiar al alumnado para que no se estanque

y comprobar que ninguno hace trampas.

También se puede hacer la actividad de tal manera que todas las palabras horizontales las tenga

un estudiante y todas las verticales el otro estudiante, procurando que tengan el mismo número de

palabras cada uno, y sin darles la definición de las palabras. Dependerá del nivel de dificultad que se

desee y del vocabulario que se vaya a utilizar.

Una página recomendable para la elaboración de crucigramas es https://www.educima.com/crosswordgenerator/spa/, y una aplicación de escritorio es

“EclipseCrossword”, aunque existen numerosas aplicaciones para hacer crucigramas en internet.

https://www.educima.com/crosswordgenerator/spa/




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Figura 2. Ejemplo de crucigrama elaborado en:


2.4. Find someone who knows… (Encuentra a alguien que sepa…)

Esta es una actividad para hacer una revisión del vocabulario adquirido durante sesiones previas

o para activar conocimientos previos de cursos anteriores. Cada estudiante tiene una tarjeta con diferentes preguntas, que pueden ser sobre temas cubiertos recientemente en clase o vistos en cursos

anteriores. El estudiante debe encontrar a diferentes personas en el aula que sepan responderle a sus

preguntas. Pero debe encontrar a una persona diferente por cada pregunta y anotar el nombre de ese

compañero o compañera en la tarjeta. Por ejemplo, si su tarjeta tiene cinco preguntas, debe encontrar a

cinco estudiantes, uno por pregunta.

Esta dinámica genera cierto “jaleo” en el aula, ya que todos los estudiantes estarán de pie y

caminando por el aula, hasta conseguir encontrar a quiénes respondan a sus preguntas.

Al final de la dinámica, cuando estén todos sentados, se puede hacer una puesta en común de

varias formas: por ejemplo, pasamos una ronda de preguntas por toda la clase, una por estudiante, para que cada uno vaya diciendo quién le respondió a esa pregunta y qué fue lo que le contestó, así

comprobaremos si es correcta esa respuesta o no. Se puede hacer la ronda intentando cubrir la totalidad

de preguntas que hay en las tarjetas. El alumnado debe recordar qué le contestó cada compañero y si no

lo recuerda se lo preguntará al mismo.

Es una dinámica que da mucho juego y se produce mucha interacción entre los estudiantes, por lo que es ideal además para principios de curso, donde quizá haya estudiantes que aún no conocen al

resto y puede servir para ayudar a su integración en el grupo, sobre todo si ya viene cohesionado de años

anteriores.

Esta actividad suele ser llamada “Find someone who knows…” o “Find someone who can…”.




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2.5. Our geometric picture (Nuestro cuadro geométrico)

Esta actividad se puede realizar por grupos, 2 o 3 estudiantes, más de 3 no sería muy eficiente, ya

que debemos evitar el “escaqueo”. Consiste en la realización de un cuadro con elementos geométricos.

El alumnado puede previamente hacer un boceto, uno cada miembro del grupo, y luego o bien decidir

con qué boceto se queda el grupo o si hacen un mix de varios con ideas que haya tenido cada uno.

El cuadro final de cada grupo puede hacerse a mano o a ordenador, con ayuda del GeoGebra, este

aspecto debe ser decidido por el docente. Una vez realizado el cuadro la parte CLIL será su exposición:

el grupo deberá exponer al grupo clase el cuadro que ha elaborado, indicando qué elementos geométricos

contiene. También se puede grabar un vídeo con dicha explicación, señalando los elementos en el

cuadro.

El vocabulario necesario para la exposición de este trabajo puede ser visto previamente mediante

la realización de actividades tipo “What do you call…”, “Communicative crosswords”, “Find someone

who knows…” o cualquier otra. Lo importante es ver este vocabulario antes de llegar al momento de la

exposición.

Figura 3. Ejemplos de cuadros geométricos. El de la izquierda elaborado a mano

y el de la derecha en GeoGebra por alumnado de 1º y 2º de ESO, respectivamente.

2.6. Contests Kahoot! (Concursos en Kahoot!)

La realización de concursos en el aula, suele ser una gran actividad por su carácter lúdico, al

alumnado le encanta ir viendo en qué posición se encuentra su grupo. Con Kahoot! esto es posible, ya

que cada vez que pasamos una pregunta, se ve cómo va la clasificación de todos los grupos con sus

puntuaciones.

La descripción tomada de Wikipedia de Kahoot! es: “aplicación móvil gratuita que permite la

creación de cuestionarios de evaluación. Es una herramienta por la que el profesor crea concursos en el

aula donde los alumnos son los concursantes. Los alumnos se crean su avatar y contestan a una serie de

preguntas por medio de un dispositivo móvil. Finalmente gana quien obtiene más puntuación”.

https://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_m%C3%B3vil




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Como miembro de la web, además de poder crear sus propios kahoots, podrá compartirlos

haciéndolos públicos, y podrá acceder a miles de kahoots que son públicos. Incluso se puede acceder a

un Kahoot! público y modificar sus preguntas, creando así otro a su gusto, que encaje más con el perfil de alumnado que tiene. A continuación muestro dos enlaces en los que se puede acceder a Kahoots que

he elaborado el curso pasado para revisar conceptos de Geometría en los primeros cursos de secundaria:

• https://play.kahoot.it/#/?quizId=760a1248-6175-4252-acfc-abdbcc0e2384

• https://play.kahoot.it/#/?quizId=1178e639-b37a-4aa8-85ff-144e558dc089

Crear un cuestionario en Kahoot! es muy sencillo, podrá ver cómo registrarse en la web y cómo

crear un cuestionario en Kahoot! en cualquiera de los siguientes enlaces:

• http://www.educaciontrespuntocero.com/recursos/tutorial-crear-un-kahoot-para-

clase/40146.html

• http://www.educaciontrespuntocero.com/recursos/kahoot-primeros-pasos-tutorial/37533.html

• https://www.youtube.com/watch?v=cP60LQpAYCM

¿Cómo jugar? Se proyecta el Kahoot!, el programa facilitará un código numérico de acceso a

dicho Kahoot! en ese momento. El alumnado puede acceder desde su móvil a través de la web

www.kahoot.it poniendo el código numérico proyectado, y el programa le pedirá un “nick name”. Cuando todos los alumnos (o grupos de alumnos) estén dentro comenzará el juego. El creador del

Kahoot decide cuántas preguntas poner, cuánto tiempo dar para responder a cada pregunta, cuál es la

respuesta correcta, etc.

Si se encuentra con dificultades de acceso por parte del alumnado al Kahoot! a través de sus teléfonos móviles (problemas de conectividad), otra posibilidad es hacer esa sesión en el aula de

informática. De este modo se evita el hecho de que el alumnado no tenga acceso a internet en su

dispositivo móvil en ese momento.

Figura 4. Ejemplos de preguntas en un Kahoot! de Geometría.

2.7. Describing graphs (describiendo gráficas)

Describiendo gráficas es otra actividad que se realiza también por parejas. La dinámica es

parecida al “What do you call…” o al “Communicative crosswords”, ya que un estudiante tiene la

información que al otro estudiante le falta.

http://www.educaciontrespuntocero.com/recursos/kahoot-primeros-pasos-tutorial/37533.htmlhttp:/www.theflippedclassroom.es/tutorial-como-preparar-un-kahoot/

http://www.educaciontrespuntocero.com/recursos/tutorial-crear-un-kahoot-para-clase/40146.html

https://play.kahoot.it/#/?quizId=760a1248-6175-4252-acfc-abdbcc0e2384

https://www.youtube.com/watch?v=cP60LQpAYCM

https://play.kahoot.it/#/?quizId=1178e639-b37a-4aa8-85ff-144e558dc089

http://www.educaciontrespuntocero.com/recursos/tutorial-crear-un-kahoot-para-clase/40146.html

http://www.kahoot.it/



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En este caso, el Estudiante A posee en su ficha de trabajo los dibujos de unas gráficas y el

Estudiante B los de otras, de tal manera que B ha de dictarle sus gráficas al compañero A para que éste

las dibuje y luego al contrario. Al final de la actividad ambos han de acabar con todas las gráficas

dibujadas en sus fichas de trabajo.

No es tan importante que las gráficas que ha obtenido cada estudiante se parezcan con más o

menos exactitud a las gráficas de su pareja. Lo más importante es que durante la sesión el alumnado

haya utilizado el vocabulario adecuado de gráficas en inglés. Este vocabulario hay que proporcionarlo al alumnado antes de realizar la dinámica. Ejemplo de vocabulario necesario: “increase, rise, go up,

decrease, fall, go down, drop, peak, reach a maximum or minimum, the highest point, lowest point,

remain stable, constant, to stay at the same level, fluctuate, stabilise, expand, decline, grow, etc”.

Además de conocer adverbios como: “gradually, slowly, deeply, rapidly, suddenly, exponentially,

sharply, etc”.

Figura 5. Ficha de trabajo “Describing graphs: information gap. Student B”.

Tomado de CLIL Maths and Science Materials. Graham Workman (2014)

3. Conclusión

Como hemos visto no es complicado llevar a cabo la enseñanza de las Matemáticas en el

Proyecto CLIL, sólo hay que tener un poco de ingenio para diseñar tareas que resulten más o menos

atractivas. Lógicamente no todas las actividades le van a gustar a todo el alumnado, pero si conseguimos que la mayoría de ellos se enganchen a este tipo de tareas, el resto acabará interesándose también. Poco

a poco más alumnado querrá participar activamente porque, además de aprender, se divertirá durante su

desarrollo.

Espero que las ideas comentadas en este artículo le sirvan de ayuda e inspiración al lector para desarrollar sus propias actividades, ya sean CLIL o no, y que consiga aumentar el carácter lúdico en la




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enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas logrando enganchar así al mayor número de alumnos y

alumnas posible.

Bibliografía

Definición de Kahoot. Recuperado el 15 de agosto de 2017, de: https://es.wikipedia.org/wiki/Kahoot

Resolución de la Dirección General de Ordenación, Innovación y Promoción Educativa por la que se

dictan instrucciones para el desarrollo del Plan de Impulso de Lenguas Extranjeras (PILE) y de la

modalidad de Aprendizaje Integrado de Contenidos y Lenguas Extranjeras (AICLE) en centros públicos

que imparten enseñanza de régimen general en la Comunidad Autónoma de Canarias para el curso 2017-2018. Anexo I, de http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/web/programas-redes-

educativas/programas-educativos/hablar-otra-lengua/programa-aicle/instrucciones-programa-

pile_aicle.html

Vidal, S. (2017). Las matemáticas se enseñan a través de las emociones. ElPeriódico [en línea], 69. Actualizado el 19 de julio de 2017, de http://www.elperiodico.com/es/entre-todos/20170717/las-

matematicas-se-ensenan-a-traves-de-las-emociones-

6174343?utm_source=facebook&utm_medium=social&utm_campaign=cm

Workman, G. (2014). CLIL Maths and Science Materials. England: Gem Publishing.

Rayco Almeida García. IES Playa de Arinaga, natural de Telde, aunque vive actualmente en el municipio

de Ingenio, nacido el 15 de febrero de 1983 en Las Palmas de Gran Canaria, Licenciado en Economía por

la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria desde 2007, Profesor de Matemáticas de Secundaria y

Bachillerato desde 2011, Máster en Educación y TIC (e-learning) por la Universitat Oberta de Catalunya

desde 2014 y Nivel C1 de Inglés por la Escuela Oficial de Idiomas desde 2014. Ha realizado varias estancias

en el extranjero, la última para la realización del curso: “CLIL Methodology and Language for Teachers

who teach Science or Maths or Technical subjects “bilingually” in English at secondary level”.

https://es.wikipedia.org/wiki/Kahoot

http://www.elperiodico.com/es/entre-todos/20170717/las-matematicas-se-ensenan-a-traves-de-las-emociones-6174343?utm_source=facebook&utm_medium=social&utm_campaign=cm

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/web/programas-redes-educativas/programas-educativos/hablar-otra-lengua/programa-aicle/instrucciones-programa-pile_aicle.html






ISSN: 1887-1984


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Características de las prácticas matemáticas

en la elaboración de simuladores con GeoGebra

Irene V. Sánchez N. (E.T.C. Hermágoras Chávez, Grupo TEM, Venezuela)

Juan Luis Prieto G. (Universidad del Zulia, Grupo TEM, Venezuela)

Fecha de recepción: 9 de Abril de 2017

Fecha de aceptación: 4 de Julio de 2017

Resumen Este trabajo describe las prácticas matemáticas que han ocurrido durante la elaboración

de un simulador con GeoGebra de una locomotora a vapor, en la que participan una

alumna de enseñanza secundaria (16 años), un estudiante para profesor de Matemática y

Física, y una profesora de Matemática. La experiencia se desarrolló en torno a un

proyecto de servicio comunitario, denominado Club GeoGebra para la Diversidad. Para

la descripción de las prácticas, se analizan los discursos orales y escritos de los tres

sujetos antes mencionados, asumiendo una perspectiva antropológica y didáctica de las prácticas matemáticas. Los resultados dan cuenta de aspectos inherentes a la declaración

de las tareas, las técnicas y las justificaciones tecnológicas que subyacen en los discursos;

todo esto en relación al conocimiento matemático e instrumental del que se hace uso.

Palabras clave Práctica matemática, geometría, simulación computacional, GeoGebra, Club GeoGebra.

Title Characteristics of mathematical practices in the construction of simulators with

GeoGebra

Abstract This paper describes the mathematical practices that have taken place in a simulation

experience with GeoGebra of a steam engine, which involved a high school student (16

years old), a prospective mathematics and physics teacher and a mathematics professor.

The experience was developed in the framework of a community project, called Club

GeoGebra for the Diversity. To describe these practices, oral and written discourses of

the individuals mentioned above were analyzed, supporting the ideas from an

anthropological and didactic perspective, specifically the notion of mathematical praxeology. The results show aspects inherent in the statement of the task, the techniques

used and the technological justifications underlying the discourses; all this in relation to

the mathematical and instrumental knowledge which is used.

Keywords Mathematical practice, geometry, computational simulation, GeoGebra, GeoGebra Club

1. Introducción

A pesar del creciente número de estudios que se emprenden en el campo de la Educación Matemática,

los procesos de enseñanza y aprendizaje de contenidos matemáticos siguen viéndose afectados por múltiples problemas, tales como, el fomento de vínculos “artificiales” entre el mundo real y la

matemática, la ausencia de tecnologías digitales como medios para el aprendizaje matemático y la

poca autonomía de los alumnos en el desarrollo de las actividades dentro y fuera del aula (Artigue,

Características de las prácticas matemáticas en la elaboración de simuladores con GeoGebra I. V. Sánchez N. y J. L. Prieto G.


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2014; 2012). Estos problemas se ponen de manifiesto en el desarrollo de las prácticas matemáticas que

los profesores promueven en sus clases y que suelen caracterizarse por un tratamiento del contenido

bajo un enfoque de transmisión de información (teorías como objetos acabados, técnicas algorítmicas

y notaciones) que luego debe ser reproducida por los alumnos, generalmente en entornos de lápiz y papel (Álvarez, 2005; Gascón, 1998). En muchos casos, este tipo de prácticas produce resistencia,

desinterés, rechazo, apatía y poco compromiso de los alumnos con su propio aprendizaje (Chevallard,

Bosch y Gascón, 1997; Clark, Nelson, Sengupta & D'Angelo, 2009).

Frente a esta realidad, una alternativa es la apertura y apoyo de las instituciones educativas al

emprendimiento de actividades de aprendizaje no convencionales, con un carácter creativo, innovador

y no rutinario, que posibiliten el establecimiento de conexiones entre la matemática y la realidad, y

tengan implicaciones directas sobre las prácticas matemáticas escolares. Hoy en día las tecnologías digitales constituyen medios propicios para apoyar el desarrollo de actividades con estas

características, de manera que los alumnos puedan sentirse confiados de sus propios aportes y asuman

el compromiso de aprender desde su experiencia. Sin embargo, la integración de las tecnologías digitales en la enseñanza de la matemática ha sido por demás lenta y compleja, en especial, debido a la

resistencia a reconocerlas como herramientas “legítimas” para hacer matemáticas (Acosta, 2005). A

pesar de ello, en la actualidad muchos investigadores siguen confiando en las bondades de las tecnologías digitales, al punto de sugerir el uso de simuladores y juegos de video como nuevos

escenarios de aprendizaje de la matemática y las ciencias naturales (González, Molina y Sánchez,

2014; Hilton & Honey, 2011).

Las investigaciones situadas en estos escenarios se han dedicado al análisis de las implicaciones del

uso de simuladores y juegos de video en el aula, dejando a un lado las experiencias de elaboración de

estos recursos como contextos potenciales en los que emergen prácticas matemáticas interesantes.

Desde un punto de vista investigativo, la elaboración de simuladores puede favorecer la legitimación de las nuevas tareas, procedimientos y discursos matemáticos que emergen en este contexto. La

experiencia acumulada por el Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática en la elaboración

de simuladores computacionales, con el fin de promover aprendizaje matemático en alumnos, futuros profesores y profesores en servicio, da cuenta de las bondades de GeoGebra como un entorno

dinámico práctico y versátil para la construcción de una diversidad de modelos representativos de

fenómenos de la realidad, como se ha reseñado en trabajos anteriores (Cervantes, Rubio y Prieto,

2015; Prieto y Gutiérrez, 2015, 2016; Reyes y Prieto, 2016; Rubio, Prieto y Ortiz, 2016).

Aunque la elaboración de simuladores con GeoGebra es un campo fértil para la emergencia de nuevas

prácticas matemáticas, su integración al currículo escolar requiere de una reflexión profunda sobre las

condiciones de la actividad que se produce en su seno, lo que implica conocer en qué términos se manifiestan estas prácticas, qué aspectos la constituyen y de qué manera ocurren cuando los sujetos

interaccionan con el medio tecnológico y la teoría matemática subyacente. Con este fin describimos en

el presente trabajo las prácticas matemáticas que tienen lugar en una experiencia de simulación con

GeoGebra que involucra dos partes del mecanismo de una máquina de vapor, en la que participan una alumna de 5to año de Educación Media, un estudiante para profesor de Matemática y Física y una

profesora de Matemática en servicio.

2. Elaboración de simuladores con GeoGebra y prácticas matemáticas

En el ámbito educativo, un simulador computacional es el producto de la representación de un

proceso o fenómeno (natural o artificial), por medio de modelos computacionales elaborado con la




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ayuda de determinadas herramientas tecnológicas (Rodríguez y Roggero, 2014). Al usar el simulador, los sujetos interaccionan con el proceso o fenómeno estudiado a través del control de los parámetros

representados en el modelo computacional, propiciando cierta comprensión del sistema (Clark,

Nelson, Sengupta & D´Angelo, 2009; Hilton & Honey, 2011). Desde esta perspectiva, la elaboración

de simuladores con GeoGebra es un simulador computacional cuyo modelo asociado se elabora en la vista gráfica del software, mediante las herramientas y funcionalidades dinámicas que esta tecnología

ofrece a los usuarios (Rubio, Prieto y Ortiz, 2016). Es importante destacar que la elaboración del

modelo de un simulador con GeoGebra, como cualquier actividad humana, es realizada por unos sujetos en el seno de una institución que hemos denominado “Club GeoGebra”. Por institución se

entiende a toda organización social estable en la que unos sujetos realizan determinadas actividades,

empleando para ello los recursos materiales e intelectuales que la propia organización pone a su disposición, bajo ciertas restricciones (Romo, 2014; Castela, 2009). En el caso de un Club GeoGebra,

la actividad principal es la elaboración de simuladores que los alumnos realizan en la vista gráfica del

GeoGebra, bajo la dirección de un profesor o estudiante para profesor de Matemática, quien actúa

como promotor de los aprendizajes.

En relación a esta actividad, es importante precisar qué se entiende por fenómeno y modelo

computacional asociado. En cuanto al fenómeno, en la elaboración de simuladores con GeoGebra, los

alumnos suelen construir modelos de mecanismos, vistos como sistemas “no matemáticos”, que son seleccionados en base a la propia experiencia con el funcionamiento real de éstos o a través de un

conocimiento más experto. Un ejemplo de esta clase de fenómenos lo constituye un motor de cuatro

tiempos, cuyo movimiento del pistón puede ser interpretado como un cambio de posición de la sujeción de la biela y la sujeción al émbolo en el tiempo. Otros ejemplos de esta clase de fenómenos

pueden ser consultados en Prieto y Gutiérrez (2015; 2016). La selección de un fenómeno se acompaña

de la consulta de información sobre éste en diversas fuentes (especialmente de Internet), y de la

recolección de imágenes con movimiento que se convierten en las principales referencias que se tienen al momento de emprender la actividad. De la recolección se obtiene una imagen estática que muestra

una perspectiva del fenómeno, de sus partes o elementos.

En cuanto al modelo computacional, este se elabora a partir de las partes o elementos que

componen al fenómeno, según el punto de vista de los sujetos pertenecientes a la institución, dando

paso a una serie de tareas de simulación que organizan la actividad en una secuencia (Rubio, Prieto y

Ortiz, 2016). Es importante destacar que las tareas de simulación son el producto de una toma de

decisiones condicionada por el conocimiento del fenómeno que poseen los sujetos. Por lo tanto, son resueltas tantas tareas de simulación como partes del fenómeno sean capaces de identificar los

alumnos. Resolver cada tarea de simulación implica construir dibujos dinámicos, es decir, dibujos

creados en un entorno de Geometría Dinámica (en nuestro caso el GeoGebra) y que conservan las

relaciones geométricas declaradas en su construcción (Acosta, 2010; Laborde, 1997).

Con relación a los dibujos dinámicos, vale la pena destacar tres cuestiones. En primer lugar,

cada dibujo dinámico está compuesto de uno o varios objetos geométricos que le otorgan sentido. El número de objetos depende de las capacidades de visualización geométrica de los sujetos involucrados

en la actividad. En segundo lugar, cada objeto geométrico que compone a un dibujo dinámico es

construido con el GeoGebra sobre la base de las propiedades espaciales del dibujo, reconocidas en un

boceto de elaboración previa (creado en un medio de lápiz y papel) o en alguna otra imagen de referencia, que luego son traducidas en propiedades geométricas (Laborde, 1997). En tercer lugar, un

dibujo dinámico es una respuesta parcial a la actividad de elaborar el simulador, por ende, el conjunto

de dibujos dinámicos que responden a las tareas de una misma simulación constituye el modelo

computacional del mecanismo seleccionado.



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La elaboración de un dibujo dinámico con GeoGebra demanda la construcción de cada objeto

geométrico que lo compone, dando lugar a una nueva serie de tareas más puntuales, que denominamos

tareas de construcción. Estas tareas tienen una naturaleza geométrica, ya que son resueltas a través de

procedimientos de construcción mediados por herramientas del software que encapsulan conocimiento geométrico (contenidos y forma de proceder) (Acosta, 2007). Estos procedimientos son el resultado de

decisiones comunicadas al programa y validadas tanto por el grado de fidelidad del dibujo obtenido

con respecto al funcionamiento real del fenómeno, como por la consistencia de la construcción. La consistencia de una construcción realizada en la vista gráfica del GeoGebra es hecha por medio de la

prueba del arrastre, una acción que consiste en desplazar el dibujo por alguno de sus elementos libres

con el fin de detectar posibles inconsistencias en la construcción (Acosta, 2007; Arzarello, Olivero,

Paola, & Robutti, 2002; Laborde, 2007). Las razones que justifican las formas de proceder ante una tarea de construcción se ponen de manifiesto en los discursos (orales o escritos) que los alumnos y

promotores elaboran durante las reuniones de trabajo. Estos discursos revelan las conexiones que los

sujetos son capaces de establecer entre los procedimientos y los saberes subyacentes, en especial, los

saberes matemáticos y los derivados del uso del GeoGebra al construir cada figura geométrica.

Desde una perspectiva antropológica, estos aspectos de la elaboración de simuladores con

GeoGebra ponen de manifiesto prácticas mediadas por tecnologías digitales muy particulares, que nos enfrentan a formas no convencionales de modelación de la realidad y que pueden ser caracterizadas a

través de la noción de praxeología. A pesar de la emergencia de diferentes praxeologías (ligadas al

fenómeno real o al modelo geométrico que lo representa) durante la actividad. En este trabajo

interesan especialmente las praxeologías matemáticas, por considerar su análisis como el paso previo

para la comprensión de esta actividad institucionalizada a mayor profundidad.

3. Prácticas matemáticas en la elaboración de simuladores como praxeologías

Según Chevallard (1999), toda actividad humana regularmente realizada puede describirse en términos de praxeologías. La noción de praxeología ha resultado ser una herramienta eficaz para el

análisis de prácticas matemáticas poco exploradas, como es el caso de aquellas que involucran el uso

de algún software de geometría dinámica (Acosta, 2007). Esta noción tiene su origen en la Teoría

Antropológica de lo Didáctico (TAD), un marco teórico de la Didáctica de las Matemáticas que asume como su objeto primario de investigación a la actividad matemática y los saberes que de ella emergen,

en el conjunto de las actividades humanas que se dan en determinadas instituciones sociales (Bosch,

2003; Chevallard, 1999). En la noción de praxeología se considera que:

(…) en última instancia, toda actividad humana consiste en resolver una tarea

(t) de un cierto tipo (T), por medio de alguna técnica (τ), justificada por una

tecnología (θ), que permite tanto pensarla como producirla, y que a su vez es

justificable por una teoría (Θ). En resumen, toda actividad humana pone en

obra una organización que se denota [T, τ, θ, Θ] y se denomina praxeología u

organización praxeológica. La palabra praxeología hace hincapié en la estructura de la organización [T, τ, θ, Θ]: la praxis, que significa “práctica”,

se refiere al bloque práctico-técnico (o praxis) [T, τ], y el logos, que significa

“razón”, “discurso razonado”, remite al bloque tecnológico-teórico [θ, Θ].

(Chevallard, 2002, p. 1).

A continuación, se describe más detalladamente el funcionamiento de esta herramienta como

referente teórico que permite caracterizar las prácticas matemáticas que ocurren en la actividad de

elaboración de simuladores con GeoGebra.




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O G

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G E

B R

A

El tipo de tarea (T) se refiere a cada clase de tareas problemáticas que enfrentan los miembros de una determinada institución. En el caso de las instituciones escolares, por lo general, las tareas a las

que nos referimos son de naturaleza matemática. En la elaboración de simuladores con GeoGebra, las

tareas t de un tipo T son las conocidas tareas de construcción y, por lo tanto, se refieren a la

construcción de las formas que componen a un dibujo dinámico. Estas tareas de construcción se caracterizan por responder a ciertas condiciones geométricas y pertenecer a clases de tareas más

amplias, tales como, construir un triángulo, una circunferencia u otra forma geométrica. En la figura

1a, se muestra un boceto de la biela que compone a un motor de cuatro tiempos (trazo en color negro). Para su representación en la interfaz del GeoGebra, esta biela puede ser interpretada geométricamente

como un “segmento”, el cual se construye a partir de objetos geométricos existentes en la vista gráfica

del programa. La tarea de construcción correspondiente a esta situación sería: construir un segmento a partir de un punto exterior. Esta tarea pertenece a un tipo de tarea T que incluye todos los casos de

construcción de segmentos posibles.

Figura 1. Imagen estática de un motor a cuatro tiempos y construcciones geométricas asociadas. Tomado, de

Montiel y Castillo (2015)

El siguiente elemento de la praxeología es la técnica (τ), referida al conjunto de procedimientos

que permiten tratar algunas tareas del tipo T con la mediación de ciertas herramientas. En particular,

para la simulación con GeoGebra, una técnica τ corresponde al proceso seguido para atender a una tarea de construcción en el software. Continuando con el ejemplo anterior, en la tabla 1 se resume el

proceso de construcción seguido por un alumno de Educación Media (16-17 años) y su promotor (un

estudiante para profesor de Matemática y Física) para resolver la tarea antes descrita (ver Figura 1b).

(Nota: La unidad mencionada en la tabla se conoce como medida patrón, esto es, una medida de distancia o longitud seleccionada por los alumnos y asociada a algún objeto geométrico sobre la

imagen estática.)



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G

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O

G

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B

R

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No.

paso Descripción del paso

Herramienta del

GeoGebra

Observaciones del

investigador

1 Trazar una circunferencia 𝑒 de centro en el

punto 𝐴 (extremo del segmento 𝑑) y de radio 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑

2,02

Circunferencia

(centro, punto)

Estos pasos se realizan

para localizar el primer

extremo del segmento

(una de las condiciones

necesarias para dibujar el

segmento requerido por la

tarea)

2 Determinar el punto de intersección 𝐶 entre

la circunferencia 𝑒 y el segmento 𝑑

Intersección

3 Trazar por el punto 𝐶 una recta

perpendicular 𝑏 al segmento 𝑑

Perpendicular

4 Trazar una circunferencia 𝑓 de centro en el

punto 𝐶 y radio unidad

2,15

Circunferencia

(centro, radio)

5 Determinar el punto de intersección 𝐷 entre

la circunferencia 𝑓 y la recta 𝑏

Intersección

6 Trazar una circunferencia 𝑔 de centro en

punto 𝐷 y radio unidad

6,69

Circunferencia

(centro, radio)

7 Marcar un punto 𝐸 sobre la circunferencia 𝑔 Punto

8 Crear un deslizador de tipo ángulo 𝛼 con

intervalo [0,360]

Deslizador

9 Rotar al Punto 𝐸, con respecto al punto 𝐷 y

valor del ángulo 𝛼, para obtener el punto 𝐸’ Rotación

10 Trazar una circunferencia ℎ de centro 𝐸´ y

radio unidad

2,1

Circunferencia

(centro, radio)

Estos pasos se realizan

para localizar el segundo

extremo del segmento

(otra de las condiciones

para representar el

segmento)

11 Determinar el punto de intersección 𝑓 entre

la circunferencia ℎ y la recta 𝑏

Intersección

12 Trazar el segmento 𝐹 𝐸´̅̅ ̅̅ ̅̅ Segmento Este paso se realiza para

dibujar el segmento

demandado en la tarea

Tabla 1. Técnica de construcción un segmento a partir de un punto externo. Fuente: Adaptación realizada por

los autores a partir del trabajo de Montiel y Castillo (2015)

La tecnología (θ) se refiere al discurso elaborado para justificar y hacer inteligible una técnica τ.

Respecto a la tecnología, Castela (2009) afirma que un discurso tecnológico θ permite que una técnica

τ emerja, se trasmita y legitime como una forma válida de resolver tareas del tipo T. En la simulación con GeoGebra, una tecnología θ incluye los diversos registros verbales, escritos o gestuales de los que

se valen los sujetos para hacer que otros comprendan la técnica τ empleada. En la figura 2 se muestra

parte de un discurso escrito que responde a la tarea mencionada en el ejemplo anterior,

específicamente para explicar los pasos 1, 2 y 3 de la técnica resumida en la tabla 1.




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Figura 2. Ejemplo de un discurso tecnológico en la simulación con GeoGebra. Tomado, de Montiel y Castillo

(2015)

Por último, la teoría (Θ) hace mención al discurso racional que apoya o valida a una tecnología θ, el cual está soportado en saberes provenientes de una teoría sólidamente constituida o de la

experiencia socialmente aceptada y compartida por los miembros de la institución (Covián y Romo,

2014). En la elaboración de simuladores con GeoGebra, un discurso teórico Θ, vinculado a una praxeología matemática de construcción de modelos geométricos, abarca todo conocimiento de

propiedades, definiciones, teoremas, postulados y demás elementos de la geometría euclidiana, que es

usado para validar una cierta tecnología θ asociada. Este punto de vista no niega la posibilidad de que

la teoría se apoye en otros saberes más pragmáticos, ya que la misma actividad de simulación implica la modelación de situaciones no matemáticas. Sobre esta componente, vale destacar que la

intervención del promotor es clave en el momento de producirse un discurso teórico que valide un

discurso tecnológico, ya que este sujeto cuenta con los referentes geométricos antes señalados, a diferencia de los alumnos quienes pueden conocerlos parcialmente o desconocerlos totalmente al

momento de la simulación. Para ilustrar estas ideas, en la figura 3 se muestra un discurso teórico

(dentro del recuadro rojo) que puede justificar una forma de proceder asociada al paso 11 de la técnica

de la tabla 1.

Figura 3. Ejemplo del discurso teórico en la simulación con GeoGebra. Tomado, de Montiel y Castillo (2015)

Considerando los referentes teóricos anteriores y la necesidad que se tiene de comprender la

praxis y logos asociados a la elaboración de los modelos geométricos en la elaboración de simuladores

con GeoGebra, nos planteamos la siguiente pregunta de investigación: ¿Qué características tienen las praxeologías matemáticas que emergen en la construcción de modelos geométricos que responden a

tareas de simulación con GeoGebra? Para tratar de responder a esta pregunta, seguidamente se analiza

una experiencia concreta de elaboración de un simulador con GeoGebra, con el fin de identificar y describir las componentes de las praxeologías matemáticas que han tenido lugar al momento de

responder a dos de las tareas de la simulación de una locomotora a vapor.



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4. Metodología

4.1. Contexto y participantes

La experiencia analizada en este trabajo tuvo lugar en una institución oficial de Educación

Media Técnica de la ciudad de Cabimas, en Venezuela, durante el año escolar 2014-2015. En esta institución funciona un Club GeoGebra, bajo la responsabilidad del Grupo TEM: Tecnologías en la

Educación Matemática con la aprobación de la directiva del plantel. Para el periodo antes

mencionado, en el club participaban nueve alumnos de 5to año (16-18 años) de las especialidades de

Contabilidad, Informática y Mercadeo, quienes de forma libre y voluntaria asistían a reuniones de trabajo los miércoles, por un tiempo de dos horas bajo la dirección de un estudiante para profesor de

Matemática y Física de la Universidad del Zulia, el cual toma parte en la experiencia como el

promotor de aprendizajes y responsable de este club. Ocasionalmente, la profesora de matemática (coautora de este trabajo) se involucraba en las actividades de simulación de este club, brindando

asesoría a aquellos alumnos que lo requerían.

Este Club GeoGebra contaba con cinco proyectos de simulación, cuyos fenómenos estaban

asociados al funcionamiento de una trompeta, máquinas de vapor, bomba reciprocante y locomotora a vapor. Ninguno de los participantes se consideraba conocedor de la mecánica concreta de estos

fenómenos al momento de iniciar la construcción de su simulador. En cada reunión de trabajo se

trataba alguno de los proyectos, procurando una discusión con todos los presentes sobre las formas de

proceder para atender a las tareas de construcción del momento. Quienes tenían alguna responsabilidad sobre el proyecto abordado, tomaban apuntes sobre el trabajo llevado a cabo con el fin

de sistematizar la experiencia y socializarla con los integrantes de los otros clubes de la región en un

evento regional realizado anualmente (Prieto y Gutiérrez, 2015; 2016).

En la investigación se describen las prácticas matemáticas que emergen en el desarrollo del proyecto “Locomotora a vapor”, particularmente en lo que respecta a las dos primeras tareas de la

simulación, referidas a la representación de la manivela y la rueda conductora de este mecanismo. A

manera de soporte, la imagen que se muestra en la figura 4 fue insertada en la vista grafica del

GeoGebra como una referencia al momento de realizar las construcciones.

Las tareas fueron atendidas por los tres participantes (la alumna, el estudiante para profesor de Matemática y Física, y la profesora de Matemática de la alumna) durante siete reuniones. La figura 4

muestra la imagen estática del mecanismo correspondiente a este proyecto.

Figura 4. Locomotora a vapor y sus partes. Tomado, de Benitez y Sánchez (2015)




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4.2. Datos de la investigación

Durante la resolución de las tareas de simulación, la alumna tomó apuntes sobre la dinámica de resolución de cada tarea de construcción realizada. Estos apuntes sirvieron de soporte para la

sistematización de la experiencia por parte de los participantes en el proyecto. El producto de la

sistematización asociada a la primera tarea de simulación (representar la manivela) se expone en el

trabajo de Benítez y Sánchez (2015). Antes de su publicación, este trabajo fue sometido a un proceso de arbitraje llevado por un especialista en Didáctica de las Matemáticas de nivel universitario, quien

hizo sugerencias para mejorar el discurso que luego fueron incorporadas al texto. Este proceso,

conllevo a perfeccionar el discurso de la alumna en reiteradas ocasiones, hasta lograr un producto aceptable para las exigencias del arbitraje. En cuanto a la segunda tarea de la simulación (representar

la rueda conductora), para el momento de la investigación la alumna solo disponía de algunos apuntes

escritos sobre la resolución de las tareas de construcción asociadas.

Los datos de esta investigación provienen tanto del trabajo de sistematización de la primera

tarea de simulación, como de los apuntes de la segunda. Para complementar esta información, el discurso escrito es contrastado con el protocolo de construcción de cada pieza, incorporado al archivo

GeoGebra correspondiente. El protocolo es una tabla interactiva que ofrece el software, en la que se

exponen todos los pasos de construcción.

4.3. Análisis de los datos

Para responder a la pregunta de investigación, el análisis de los datos se centró en la descripción

de las tareas, técnicas, tecnologías y teorías que tuvieron lugar en la resolución de las tareas de

simulación antes mencionadas. Dicho análisis fue llevado a cabo por etapas. En la primera etapa se identificaron la(s) tarea(s) de construcción asociada(s) a cada tarea de simulación. En la segunda etapa

se organizaron las técnicas correspondientes a las tareas de construcción, estableciendo para cada

técnica: (i) la secuencia de pasos, (ii) la descripción de cada paso, y (iii) la herramienta del GeoGebra

utilizada. Para la tercera etapa, se extrajeron aquellos fragmentos del discurso tecnológico que dan cuenta de las razones por las cuales se han realizado determinados pasos de construcción. Además,

partiendo de una adaptación de las funciones del discurso tecnológico de Covián y Romo (2014), en

esta etapa se identificaron evidencias que mostraban el tipo de función práctica que la tecnología

cumple en el discurso tecnológico de los participantes (ver tabla 2).

Función del discurso Descripción

Describir la técnica Un discurso tecnológico asociado a una tarea de construcción tiene una

función descriptiva si este detalla cada paso de la construcción, acompañado

o no de la herramienta del GeoGebra utilizadas para acometer la tarea

Validar la técnica Un discurso tecnológico asociado a una tarea de construcción tiene una

función de validación cuando en los pasos de construcción realizados total o

parcialmente son justificados mediante referentes geométricos

Motivar la técnica Un discurso tecnológico asociado a una tarea de construcción se considera

que motiva la técnica, si uno o un conjunto de pasos, son justificados por los fines esperados, es decir, por el conocimiento/funcionamiento del fenómeno

en la realidad

Explicar la técnica Un discurso tecnológico asociado a una tarea de construcción cumple con una

función explicativa si éste detalla cómo los diferentes pasos que la componen

permiten alcanzar los resultados esperados

Tabla 2. Funciones de discurso tecnológico al resolver tareas de construcción con GeoGebra. Adaptación

hecha por los autores a partir de la propuesta de Covián y Romo (2014)



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En la cuarta etapa se identificaron los fragmentos del discurso tecnológico (seleccionados en la

etapa anterior) que hacen mención de algún referente teórico de la geometría que permita justificar la

técnica. Para organizar la información del análisis se elaboró una tabla que permitiera establecer una

secuencia de los registros en cada etapa (ver tabla 3).

Tarea:

Técnica

Tecnología Función de la

tecnología Paso Descripción del paso Herramienta del

GeoGebra

Tabla 3. Instrumento de análisis de los datos

Una vez organizada la información, los investigadores se reunieron para analizar la información

de la tabla 3, discutir las características de cada componente de la actividad matemática presente en la

resolución de las tareas de construcción y establecer acuerdos sobre la manera de presentar los

resultados.

5. Resultados

Los resultados de esta investigación se presentan en dos apartados que se corresponden con las

tareas de simulación atendidas. En cada apartado se describen las praxeologías matemáticas asociadas

a las tareas de construcción que han emergido durante la simulación.

5.1. Simulación de la manivela

La construcción de la manivela que forma parte de la locomotora comenzó por la identificación

de los objetos geométricos que, a criterio de los involucrados, representaban mejor la forma de esta

pieza en la vista gráfica del GeoGebra. En este sentido, los datos muestran que el segmento constituyó para los participantes un objeto geométrico “idóneo” para iniciar la simulación, como se señala en el

siguiente diálogo, extraído de la sistematización del proceso de representación de la manivela. En este

caso se considera al segmento como un modelo singular para la situación.

Para construir la manivela, lo primero que se hizo fue reconocer en la imagen de fondo un

objeto geométrico que mejor represente la pieza. Posterior a una observación de la escena, se

identifica al segmento como el objeto idóneo para representar la manivela.

El establecimiento del modelo geométrico dio lugar a la declaración de una tarea de

construcción en los siguientes términos: determinar los extremos del segmento. Vale destacar que la

ausencia de ciertos elementos en la declaración de la tarea (p.e., los elementos con los que se cuenta para construir el segmento) hace de ésta una descripción típica de un tipo de tarea y no de una tarea de

determinado tipo. Esto no impide la resolución de la situación por parte de la alumna y el promotor,

quienes de forma implícita asumen a los extremos como los elementos fundamentales para la

construcción del segmento. Posteriormente, estos sujetos realizan la construcción de la figura empleando una técnica compuesta por seis pasos, la cual se detalla en la tabla 4. Los pasos que

componen a la técnica fueron elaborados con los siguientes propósitos: el paso 1 corresponde al

establecimiento de un extremo; los pasos del 2 al 5 se realizaron para ubicar el otro extremo; el paso 6

se empleó para construir el segmento.




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Paso Descripción del paso Herramienta del GeoGebra

1 Situar un punto libre denominado C Punto

2 Trazar una circunferencia 𝑐 con centro en 𝐶 y de radio 2

3. 𝑝 Circunferencia (centro, radio)

3 Colocar un punto 𝐷 sobre la circunferencia 𝑐 Punto

4 Crear un deslizador de tipo ángulo 𝛼 con intervalo [0°,360°]

(repetición creciente)

Deslizador

5 Rotar a 𝐷, con respecto a 𝐶 y ángulo 𝛼, para obtener D’ Rotación

6 Trazar el segmento 𝐶𝐷´̅̅ ̅̅ ̅ Segmento

Tabla 4. Técnica de construcción del segmento. Fuente: Benítez y Sánchez (2015).

(Nota: 𝑝 representa la medida patrón seleccionada por la alumna.)

En la figura 5 se muestra las construcciones geométricas que se exponen en la tabla 4 (ver

Figura 5a) asociadas a la primera tarea de simulación y su resultado (ver Figura 5b).

Figura 5. Representación de la manivela

Así mismo, los datos muestran las justificaciones tecnológicas de la construcción realizada y ponen de manifiesto su naturaleza práctica. Tales justificaciones provienen de un conocimiento del

fenómeno, esto es, de las características del movimiento de la pieza que fueron identificadas en la

imagen GIF (animada) correspondiente. Por ejemplo, la justificación dada por los sujetos al identificar

los movimientos asociados a los extremos del segmento (un extremo permanece fijo y el otro describe una trayectoria circular) revela que esta cualidad del objeto fue determinada por las propiedades

espaciales presentes del mecanismo en la imagen de referencia, como se muestra a continuación:

Para construir la manivela, lo primero que se hizo fue reconocer en la imagen de fondo un

objeto geométrico que mejor represente la pieza. […]. Ya conocido el objeto, se tiene en cuenta el movimiento que describe la pieza –movimiento circular– […]. Atendiendo a las

características de este movimiento, se precisa que uno de los extremos del segmento debe

permanecer fijo (estático) y el otro en movimiento (dinámico).



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Como consecuencia de lo anterior, la función motivación tiene una presencia que predomina en

las justificaciones, ya que éstas se basan más en el conocimiento del fenómeno que en la matemática

misma. Otra función presente es la descriptiva, ya que los involucrados tienden a describir cada paso

de la técnica realizada, como se observa en dos de los pasos en los que se señala la herramienta del

GeoGebra empleada. El siguiente discurso escrito es evidencia de esto último:

Para el extremo fijo, se observa en la imagen de referencia que éste se encuentra en el centro

de la rueda, por lo tanto, para representarlo se utiliza la herramienta Punto y se construye esta

figura en el lugar antes descrito, estableciéndose así un punto 𝐶 que representa al extremo[...]

Con respecto a la teoría, vale resaltar que en los datos correspondientes a esta tarea de

simulación no se encuentran evidencias de este nivel de justificación durante el proceso de

construcción.

5.2. Simulación de la rueda conductora

Para construir la rueda conductora, la alumna y su profesora inician el trabajo de simulación

reconociendo que esta pieza está compuesta por el cubo y la corona (ver Figura 6a). Estas partes de la

rueda conductora organizan el accionar de las participantes, dando lugar a dos sub-tareas de simulación. A continuación, se describen las praxeologías que emergen en la resolución de cada una

de estas sub-tareas.

Figura 6. Partes de la rueda conductora.

Construcción del Cubo

Los datos muestran que, para representar el cubo, las participantes (alumna y profesora) comienzan identificando ciertas estructuras que componen al cubo: una rueda gris claro maciza “con

hendiduras” y una rueda gris oscuro, más pequeña que la anterior (ver Figura 6b). Aunque las formas

antes mencionadas no se corresponden directamente con algunos objetos geométricos definidos por la

teoría, éstas constituyen una manera de traducir la situación en propiedades espaciales que luego

pasarían a ser interpretadas en términos geométricos.

Luego de establecer las formas que componen al cubo, las involucradas inician la

representación de esta parte por lo que han denominado “rueda con hendiduras” (rueda gris claro con

hendiduras). Para ello, las participantes se disponen a construir por separado la rueda y las hendiduras, lo que indica que su representación responde a un modelo compuesto. En relación a la rueda, se

comienza reconociendo la circunferencia como el objeto geométrico adecuado para su representación

con el GeoGebra, sin hacer mención a la región interna. Seguidamente, realizan un análisis de este

objeto con el fin de reconocer los elementos necesarios para su construcción (centro y radio).




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Posteriormente se hace mención del elemento presente en la vista gráfica del GeoGebra (centro) para luego atender al desconocido (radio). Los datos no muestran evidencias explicitas de la declaración de

la tarea de construcción por parte de la alumna y su profesora; ellas solo hacen referencia a ciertos

elementos que permiten la construcción del objeto, como se muestra en el siguiente discurso:

[…] lo primero que se hizo fue determinar la circunferencia como objeto que permite

representarla, para construir esta circunferencia es necesario conocer la ubicación del centro y la longitud de su radio […] se considera su extremo fijo como el centro de la circunferencia

(punto C), y para el radio posterior a una estimación […]

Para realizar la construcción de la circunferencia, las participantes emplean una técnica

compuesta de dos pasos (ver tabla v), con las siguientes finalidades: el primer paso se realiza para construir la circunferencia y el segundo paso corresponde a la asignación de la opacidad de este

objeto. Con este último se pone de manifiesto la emergencia de la noción de círculo para la

construcción.


1 Trazar una circunferencia 𝑒 de centro 𝐶 y radio 11


2 Asignar el valor 100 a la opacidad Propiedad del objeto

Tabla 5. Técnica de construcción de una circunferencia

Similar a la tarea de construcción anterior, las justificaciones tecnológicas presentes en el discurso escrito de las participantes tienen una naturaleza más práctica, esto es, basada en el

conocimiento del fenómeno. Prueba de ello se tiene cuando las participantes relacionan el centro de la

circunferencia con la parte del mecanismo que conecta la manivela y la rueda conductora. Sumado a

esto, el uso de las propiedades del dibujo dinámico que le otorga el programa les permite dar un

aspecto a la figura más semejante con lo mostrado en la imagen de referencia.

[…] como la rueda está conectada a la manivela, se considera su extremo fijo como el centro

de la circunferencia (punto C) [...] una vez construido se le asigna opacidad 100 para generar

esa apariencia maciza.

Con respecto a la naturaleza de las justificaciones, la motivación de la técnica en el fenómeno tiene mayor presencia en la representación de la rueda que las propias cuestiones matemáticas. A su

vez, el discurso tiene una función descriptiva ya que se detalla cada paso de la técnica, como se puede

ver en los diálogos anteriores. Con respecto a los referentes teóricos, no se tiene evidencia de su

presencia a lo largo del discurso escrito.

Luego de atender a la representación de la rueda, se procedió a hacer lo propio con las hendiduras. Esta construcción se inició con la identificación de ciertas características espaciales de la

forma de las hendiduras que facilitaron la emergencia de un modelo geométrico apropiado para estas.

Tales características fueron enunciadas en los siguientes términos: “las hendiduras están formadas por dos lados rectos y dos arqueados” (ver Figura 7). Es así como las participantes deciden representar las

hendiduras en el GeoGebra por medio de un modelo compuesto por un cuadrilátero y dos arcos de

circunferencia, logrando con ello la apariencia deseada. Luego, se procede a declarar la tarea de

construcción: determinar los vértices del cuadrilátero que a su vez serán vértices de los arcos de circunferencia. Esta forma de declarar la tarea tiene en cuenta los elementos comunes de ambos

objetos, obviando alguna referencia hacia un análisis más independiente, aunque no jerárquico.



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Adicionalmente, en la declaración no se menciona la existencia de algún elemento en la vista grafica

para la construcción del cuadrilátero y arcos de circunferencia, lo que hace de la tarea una forma

discursiva propia de un tipo de tarea.

Figura 7. Hendidura de una parte de la rueda conductora

Para la construcción de estos objetos se empleó una técnica compuesta por 24 pasos, la cual se detalla en la tabla 6. Estos pasos tuvieron los siguientes propósitos: determinar los vértices/extremos

(pasos del 1 al 9); construir el cuadrilátero (paso 10); construir los arcos de circunferencia (pasos 11 y

12); rotar la figura formada por el cuadrilátero y los arcos de circunferencia (pasos 13 al 24). Vale precisar que la asignación de la propiedad opacidad a las figuras no se evidencia en los registros a

pesar de ser empleada, como se pudo observar en el archivo de la construcción. Cabe mencionar aquí

que las construcciones geométricas realizadas en cada nueva etapa se apoyan en construcciones

correspondientes a tareas previas.


1 Colocar un punto 𝐸 sobre la circunferencia 𝑒 Punto

2 Crear un deslizador de tipo ángulo de rotulo 𝛽 con intervalo

[0°,360°] (repetición creciente) Deslizador

3 Rotar a 𝐸, con respecto a 𝐶 y ángulo 𝛽 (homologo 𝐸´) Rotación

4 Trazar una recta 𝑓, que pase 𝐶 y 𝐸´ Recta

5 Determinar el punto de intersección entre 𝑐 y 𝑓 (punto 𝐹) Intersección

6 Rotar a 𝐹, con respecto 𝐶 y ángulo 43° (antihorario)

(homologo 𝐹´) Rotación

7 Trazar una circunferencia 𝑔 de centro en 𝐹 y radio 8


8 Determinar el punto de intersección entre 𝑔 y 𝑓 (punto 𝐺) Intersección

9 Rotar a 𝐺, con respecto 𝐶 y ángulo 43° (antihorario)

(homologo 𝐺´) Rotación

10 Trazar el polígono 𝐹´, 𝐺´, 𝐹 y 𝐺 (polígono 1) Polígono

11 Trazar el arco de circunferencia 𝐶, 𝐹´, 𝐹 Arco de Circunferencia

12 Trazar el arco de circunferencia 𝐶, 𝐺´, 𝐺 Arco de Circunferencia

13 Rotar el polígono 1, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación




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14 Rotar el polígono 1´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación

15 Rotar el polígono 1´´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación

16 Rotar el polígono 1´´´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación

17 Rotar el arco k, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación

18 Rotar el arco k´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación

19 Rotar el arco k´´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación

20 Rotar el arco k´´´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación

21 Rotar el arco h, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación

22 Rotar el arco h´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación

23 Rotar el arco h1´´, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación

24 Rotar el arco r, con respecto a 𝐶 y ángulo 72° Rotación

Tabla 6. Técnica de construcción de un cuadrilátero y dos arcos de circunferencia

Las justificaciones tecnológicas presentes en el discurso escrito, relacionadas con la

construcción de los objetos geométricos antes mencionados, tienden hacia razones más matemáticas

para algunos de los pasos de la técnica. Para ilustrar este resultado, cuando las participantes se plantean “determinar el centro de rotación para rotar las figuras”, sus acciones son producidas por las

propiedades y/o relaciones geométricas entre los objetos construidos en la interfaz del software, como

se evidencia a continuación:

Como centro de rotación, se determina el punto C ya que los objetos a rotar están determinados

por una circunferencia de centro C […]

Al mismo tiempo, el discurso cumple una función descriptiva, ya que se describen la mayoría

de los pasos de la técnica. En los primeros nueve pasos, orientados hacia la localización de los

vértices/extremos, solo se describe el objeto a construir y su resultado. Por su parte, los siguientes

pasos, además de cumplir con lo anterior, se incluye una mención a la herramienta de construcción y a

los elementos requeridos para su uso.

Seguidamente se realiza una circunferencia g con centro F y radio estimado 8/20p con la cual

se obtiene el punto G […] determinado los vértices del cuadrilátero a través de la herramienta

polígono se realiza la construcción de éste seleccionando los puntos F´, G´, F y G; […] para hacer uso de la herramienta se debe seleccionar el objeto a rotar, el centro de rotación y

asignar el valor del ángulo

A pesar de que en el discurso escrito se intenta justificar desde un punto de vista matemático, no

se presentan sustento teórico en las construcciones.

Para culminar la representación del cubo, las participantes representaron la “rueda gris oscuro

más pequeña” (ver Figura 6b). Para ello las involucradas consideran al círculo como un objeto geométrico acorde para la situación, remitiéndose a un modelo singular. A pesar que se designa al

círculo como modelo de la situación, en los datos no se manifiesta tarea de construcción alguna

relacionada con éste objeto. Para su construcción, solo se reconoce a uno de los elementos requeridos



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(centro) de entre los objetos presentes en la vista gráfica del software. Luego se “fija” un valor para el

radio, sin hacer mención de cómo ha sido establecido.

[…] se precisa al círculo para su representación, al igual que en los casos anteriores el punto

C representa el centro y su radio queda fijado por un valor de 1/6p.

Para la construcción del círculo se empleó una técnica conformada por dos pasos (ver tabla 7).

Cada paso se elaboró con los siguientes propósitos: el paso 1 se realiza para construir la circunferencia

y el paso 2 para asignar la opacidad.


1 Trazar una circunferencia 𝑡 de centro en 𝐶 y radio 1

6. 𝑝 Circunferencia (centro, punto)

2 Asignar el valor 100 a la opacidad Propiedades del objeto

Tabla 7. Técnica de construcción de un círculo

Para la representación del cubo, la alumna junto a su promotora realizaron varias construcciones

que les permitieron encontrar la representación deseada. Los procesos utilizados por las involucradas

se presentan en las tablas 5, 6, y 7. En la figura 8a muestras tales construcciones y el resultado se

puede visualizar en la figura 8b

Figura 8. Representación del cubo

En el registro escrito es escasa la información que justifique esta técnica. Sin embargo, desde un

punto de vista práctico, se presenta la intención de mantener cierta similitud entre la apariencia del

círculo y el cubo, especialmente cuando se proponen “generar esa apariencia maciza”. Esto a su vez motiva la técnica, ya que se hace alusión al fenómeno. Otro aspecto que vale la pena mencionar es la

determinación del centro del círculo a partir de un reconocimiento de este objeto en la vista gráfica del

software, como se muestra en el diálogo anterior. Con respecto a los referentes teóricos, no hay

evidencias de una presencia de éstos en el discurso.

Construcción de la Corona

La simulación de la corona se inicia con la identificación en la imagen de referencia de cierta

“uniformidad” en esta parte de la pieza, lo cual condujo a la definición de los “dientes” como esas




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partes uniformes (ver Figura 5a). Mediante una observación directa a estos dientes se concluyó que tales partes eran iguales en tamaño y forma. Además, una indagación sobre la pieza llevó al

reconocimiento de un valor mínimo en el número de dientes (8 dientes), aunque al final se optó por

considerar la representación de 10 dientes.

[…] observando la imagen referencial es posible determinar que los dientes no tienen

uniformidad en el tamaño; indagando un poco sobre este tipo de superficie, encontré que estos deben tener tamaño y forma uniforme y como mínimo en una rueda debe poseer ocho dientes,

por lo cual determinan 10 dientes.

Una vez establecido el número de dientes, las participantes declaran las formas geométricas que,

a su criterio, mejor representan la corona en los términos siguientes: “se identifican, para los dientes, triángulos y un círculo que rellene el espacio”, dejando de manifiesto un modelo geométrico

compuesto. Posteriormente, se dio paso a la formulación de la tarea de construcción: determinar el

radio de la circunferencia y los vértices del triángulo. Es importante resaltar que esta forma de

enunciar la tarea abarca a dos figuras geométricas, las cuales no se vinculan en la declaración y cuyos análisis asociados se hacen de forma incompleta. Tal es el caso de la circunferencia, de la cual solo se

menciona la determinación del radio sin hacen referencia a su centro. En este caso, la tarea declarada

es propia de un tipo de tarea.

Además, los datos reflejan poca claridad en cuanto al manejo de la noción de círculo en la construcción, ya que al inicio se declara a este objeto geométrico en la tarea, pero luego la atención se

centra en la circunferencia que le bordea, sin evidencias de vinculación entre estas figuras. Otro

aspecto a resaltar es la cantidad de triángulos a ser construidos, cuyo número fijado (10 unidades) no se considera a lo largo de la simulación. A pesar que se establecen las tareas de forma simultánea, las

construcciones son realizadas por separado, atendiendo primero a la circunferencia y luego a los

triángulos.

La técnica para construir la circunferencia es similar a las empleadas en otras tareas previas,

referidas al mismo objeto geométrico. Esta se compone de dos pasos (ver tabla 8), con los siguientes propósitos: el primer paso corresponde a la elaboración de la circunferencia y el segundo paso a la

asignación de la opacidad.


1 Trazar una circunferencia 𝑡 de centro en punto 𝐶 y radio 5

4. 𝑝 Circunferencia (centro, punto

radio)

2 Asignar el valor 100 a la opacidad Propiedades del objeto

Tabla 8. Técnica de construcción de la circunferencia

La justificación tecnológica para este objeto, al igual que en otros casos, responde al interés por “dar ese acabado macizo de la pieza”, motivando la técnica en este sentido. También se presenta la

función descriptiva ya que señala cómo fue realizada la construcción, como se muestra en el siguiente

dialogo.

Para la circunferencia […]en relación al centro se toma al punto C y el radio luego de algunas

estimaciones se define como 5/4p, una vez […]

En las justificaciones de la tarea de construcción no se describen referentes teóricos asociados.



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Para construir los triángulos, las involucradas emplean una técnica que se compone de 18 pasos

(ver tabla 9). Estos pasos tienen como propósito: ubicar los vértices de un triángulo (1 al 7), elaborar el

triángulo (paso 8), asignar opacidad al triángulo (paso 9), rotar el triángulo (10 al 16).


1 Trazar una circunferencia 𝑡 de centro en punto 𝐶 y radio 6

4.p Circunferencia (centro, radio)

2 Determinar el punto de intersección entre la 𝑡 y 𝑓 (Punto 𝑁) Intersección

3 Rotar 𝑁, con respecto a 𝐶, y ángulo 18° (antihorario) Rotación

4 Trazar una recta 𝑚, que pasa por 𝑁´ y 𝐶 Recta

6 Determinar el punto de intersección entre la circunferencia

𝑐1 y 𝑚 (punto 𝑞) Intersección

7 Rotar a 𝑁´, con respecto a 𝐶, y ángulo 18° (antihorario) Rotación

8 Trazar el triángulo polígono 𝑁, 𝑄, 𝑁´´ (polígono 3) Polígono

9 Asignar la opacidad a 100 al triangulo polígono 3 Propiedades del objeto

10 Rotar el polígono 3, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo 36° Rotación

11 Rotar el polígono 3´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo 36° Rotación

12 Rotar el polígono 3´´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo

36° Rotación

13 Rotar el polígono 3´´´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo

36° Rotación


15 Rotar el polígono 4´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo 36° Rotación

16 Rotar el polígono 4´´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo

36° Rotación

17 Rotar el polígono 4´´´, con respecto a 𝐶 y valor del ángulo

36° Rotación


Tabla 9. Técnica de construcción de los triángulos

Para culminar la representación de la rueda la participante y su promotora emplean las construcciones geométricas que se presentan en las tablas 8 y 9. Una ilustración de éstas se muestra en

la figura 9a y el resultado obtenido tras haber finalizado las representaciones se puede observar en la

figura 9b.




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Figura 9. Representación de la corona

Los datos muestran que las justificaciones tecnológicas tienen una naturaleza más práctica, es decir, relacionada con el conocimiento del fenómeno. En este orden de ideas, previo a la construcción,

la alumna y su profesora deciden el número de triángulos que representarán la corona según la

información consultada con respecto al fenómeno, cuestión que motiva la técnica. Otra función

presente es la descriptiva ya que en el discurso escrito se detallan las construcciones realizadas, en particular para el paso 8 (en donde se enfatiza la herramienta empleada) y otros los pasos del 3 al 7 (en

donde se deja claro cómo fueron deducidas ciertas medidas). Un ejemplo de lo anterior, es el caso de

la determinación de dos vértices del triángulo sobre una circunferencia.

[…] el borde de la corona debe contener la cantidad de triángulos establecidas (diez); una circunferencia tiene 360° quiere decir que el lado del triángulo que está sobre la corona debe

tener una amplitud angular de 36°.

Al igual que en los casos anteriores, esta construcción no presenta referentes teóricos en el

discurso. Al término de las construcciones, los involucrados afirman que “se concluye la construcción

de la rueda conductora”.

6. Discusión y conclusiones

La investigación realizada permitió reconocer algunas características de las prácticas

matemáticas que tienen lugar en la actividad de elaboración de simuladores con GeoGebra.

Para esto se analizaron los discursos escritos por una alumna, su promotor (un estudiante para

profesor de Matemática y Física) y profesora de Matemática, que dan cuenta del proceso de

elaboración y resolución de un conjunto de tareas de construcción de modelos geométricos,

relacionadas con representación de dos piezas que forman parte del mecanismo de una

máquina de vapor. A partir de la noción de praxeología de Chevallard (1999), en los

resultados de este trabajo se ponen de manifiesto tres de los cuatro elementos que componen a

esta organización, a saber, el tipo de tarea (T), la técnica (τ) y la tecnología (θ).

En relación al tipo de tarea (T), los resultados muestran que la formulación de cada

tarea de construcción es un proceso basado en las formas geométricas y movimientos

identificados en el boceto de la pieza que se intenta simular, dando cabida a la emergencia de

un modelo geométrico que sirve de soporte para la toma de decisiones sobre qué hacer y



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cómo proceder. Los modelos generados en el estudio fueron de dos tipos: singular (referido a

la construcción de un mismo tipo de objeto geométrico) y compuesto (asociado a la

representación de objetos geométricos distintos). En lo que respecta a la forma de enunciar las

tareas, por lo general, los participantes se apoyaron en los elementos requeridos por cada

herramienta del GeoGebra empleada en la construcción del modelo computacional. A pesar

de esta ayuda, en la mayoría de los casos, sólo se declaró el tipo de tarea, y no la tarea

concreta de este tipo. De acuerdo con el estudio realizado por Bosh, Fonseca y Gascón

(2004), este tipo de situaciones problemáticas pueden considerarse como “tareas matemáticas

abiertas” en el sentido de no ser prescritas por la actividad, siendo los participantes los

responsables de decidir la pertinencia de los datos de la situación, para formularlas y

resolverlas.

Sobre esta componente consideramos que una forma que pudiera permitir que los

participantes lleguen a enunciar el tipo de tarea (t) y no solo la Tarea (T), es mediante una

secuencia en la cual, atenderían primero a la Tarea y luego al tipo de tarea. En el caso de la

Tarea identificar el objeto geométrico a construir p.,e. “construir un triángulo” y luego

realizar una evaluación y descarte tanto de las herramientas del software que posibilitan la

construcción del objeto geométrico como de los elementos disponibles en la interfaz del

GeoGebra que servirán de apoyo para su elaboración, puntualizando con una tarea (t) con una

estructura similar a “construir un triángulo a partir de uno de sus lados”

Con respecto a la técnica (τ), éstas son producidas en relación a las propiedades

geométricas de los objetos matemáticos que intentan ser dibujados con el software, de tal

manera que las construcciones alcancen la consistencia matemática requerida, según lo

sugiere Laborde (1997). Este tipo de técnicas, apoyadas en el uso de un Software de

Geometría Dinámica, no son únicas, como bien lo señala Acosta, Mejía y Rodríguez (2013),

en una investigación previa, es decir, el software GeoGebra pone a disposición de los usuarios

una variedad de herramientas de construcción, de las cuales algunas coinciden en el objeto

geométrico. Una de estas, es la que posibilita la construcción de circunferencia designando

tres herramientas para ello, a saber, circunferencia (centro, radio); circunferencia (centro,

punto) y circunferencia tres puntos. Además, otros factores que intervienen en la

determinación de la técnica son, por un lado, la correspondencia entre las construcciones

obtenidas y las propiedades espaciales de fenómeno que tales construcciones intentan

modelar, y por otro lado, tiene que ver con los elementos necesarios para representar un

objeto geométrico en el software y las herramientas del GeoGebra que faciliten su

construcción. Por ejemplo, los elementos disponibles al momento de construir los

cuadriláteros y arcos de circunferencia (ver Tabla vi), dejaban entrever que la transformación

en el plano, específicamente la rotación, era una opción viable debido que ya se contaba con

el centro de rotación y los objetos debían elaborarse en el interior de un círculo.

En cuanto a las tecnologías (θ), los resultados muestran que las justificaciones asociadas

a las técnicas de construcción se basan más en los aspectos del fenómeno que en la propia

matemática empleada, muy a pesar de que en algunos momentos la tecnología deja entrever

algunos elementos teóricos. Esta tendencia hacia la explicación de los procedimientos en

función de los fenómenos concuerda con la investigación de Covián y Romo (2014), en la

cual las justificaciones prácticas cumplen un rol fundamental en las praxeologías, de acuerdo

al contexto de la actividad analizada. Por otro lado, se observó que la mayoría de los discursos




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tecnológicos cumplen una función descriptiva, la cual puede ser atribuida a la cultura escolar.

Esto, en concordancia con Sierra, Bosch y Gascón (2013), puede ser atribuido a que el

discurso argumentativo y/o explicativo no suele formar parte de las prácticas matemáticas

escolares, lo que puede ser indicio de la falta de una presencia de la componente teórica en la

actividad. Finalmente, a diferencia del planteamiento de Bosch, Fonseca y Gascón (2004),

este tipo de actividad alcanza el nivel tecnológico en la institución de referencia, pero no el

nivel teórico ya que esta componente no es abordada.

Aun cuando las justificaciones por la naturaleza de la actividad tiendan a sustentarse en

el funcionamiento del fenómeno de interés, debe involucrarse al discurso justificativo

aspectos matemáticos debido a que la construcción de dibujos dinámicos involucra

conocimiento teórico, el cual respalda las propiedades geométricas que este debe cumplir. De

tal manera que las técnicas empleadas puedan vislumbrar la relación entre la matemática

abordada y la realidad modelada.

A partir del análisis de los datos ha sido posible evidenciar la emergencia de prácticas

matemáticas mediadas por el GeoGebra, que ponen de relieve formas de construcción del

conocimiento matemático en el seno de una actividad no convencional, caracterizada por la

resolución de tareas de construcción cuyas técnicas son justificadas y validadas

institucionalmente. A pesar de los avances, es necesario seguir desarrollando estudios

centrados en este tipo de prácticas, de manera que nos permita comprender otros aspectos de

la actividad de simulación con GeoGebra, tales como la naturaleza social de la formulación de

una tarea de construcción, las técnicas empleadas, el cuestionamiento de los discursos

tecnológicos y el uso de componentes teóricos (Θ) para explicar las tecnologías surgidas. La

intención es seguir haciendo aportes a este proyecto, en miras de su integración plena al

currículo escolar.

Reconocimiento

Este trabajo se ha realizado al amparo del proyecto de investigación No. CH-0510-15,

adscrito al Centro de Estudios Matemáticos y Físicos (CEMAFI) y financiado por el Consejo

de Desarrollo Científico, Humanístico y Tecnológico (CONDES) de la Universidad del Zulia,

Venezuela.

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Irene V. Sánchez N. E. T. C. Hermágoras Chávez, Cabimas, Venezuela. Licenciada en Educación

Mención Matemática y Física (LUZ, Venezuela). Magister en Matemática Mención Docencia (LUZ, Venezuela). Investigadora PEII Nivel A-1. Coordinadora de Investigación de la A. C. Aprender en Red y

miembro del Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática. Facilitadora del P.N.F. de

Profesores de Educación Media - Micromisión Simón Rodríguez. Delegada Región Zuliana de la

Asociación Venezolana de Educación Matemática (ASOVEMAT). E-mail: [email protected]

Juan Luis Prieto G. Universidad del Zulia, Maracaibo, Venezuela. Licenciado en Educación Mención

Matemáticas y Física (LUZ). Máster en Nuevas Tecnologías Aplicadas a la Educación (IUP, España).

DEA en Didáctica de la Matemática (UA, España). Investigador PEII Nivel B. Coordinador General de la

A. C. Aprender en Red y del Grupo TEM: Tecnologías en la Educación Matemática. Facilitador del

P.N.F. de Profesores de Educación Media - Micromisión Simón Rodríguez. Tesorero de la Asociación

Venezolana de Educación Matemática (ASOVEMAT). E-mail: [email protected]






ISSN: 1887-1984


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S

Siguen los problemas, pero resolvemos algunos. (Problemas Comentados XLVII)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Enunciados y soluciones de problemas propuestos en los Torneos para Primaria y

Secundaria organizados por la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de

Matemáticas, siguiendo las fases de comprender, pensar, ejecutar y responder

(analizando, comprobando y respondiendo) y usando distintos métodos de resolución:

organizando la información en tablas de doble entrada, por modelización, usando ensayo

y error, algebraicamente o geométricamente. Planteamos nuevos ejercicios en la misma

línea.

Palabras clave Resolución de problemas. Fases en la resolución de problemas. Métodos de resolución de

problemas. Torneos (Olimpiadas) para Primaria y Secundaria.

Abstract Statements and solutions to problems proposed in the Primary and Secondary

Tournaments organized by the Canary Island Society "Isaac Newton" of Mathematics

Teachers, following the phases of understanding, thinking, executing and responding

(analyzing, checking and responding) and using different methods of resolution:

organizing the information in double entry tables, by modeling, using trial and error,

algebraically or geometrically. We propose new exercises in the same line.

Keywords Problem resolution. Phases in problem solving. Methods of solving problems.

Tournaments (Olympics) for Primary and Secondary.

Como siempre, comenzamos nuestro artículo resolviendo los problemas

propuestos en el anterior. Recordarán que los primeros procedían de los Torneos

de Resolución de Problemas que organiza la Sociedad Canaria “Isaac Newton”

de Profesores de Matemáticas. El primero se corresponde con el Torneo de

Primaria y los dos siguientes con el Torneo de Secundaria.

Estos son nuestros comentarios sobre los mismos.

VIAJE POR ITALIA

Aldo y Bruno organizan un viaje por Italia en bicicleta. Bruno ha planeado recorrer 50

kilómetros por día. Aldo está planeando viajar 50 km en el primer día y aumentar la distancia recorrida

1 km cada día. En otras palabras, recorrerá 50 km en el primer día, 51 el segundo, 52 el tercero, y así

sucesivamente. Bruno parte el 1 de abril, Aldo parte el 3 de abril. ¿En qué día Aldo alcanzará a

Bruno? (En la respuesta indica la fecha del día)

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de

Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]




Problemas Comentados XLVII

J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


P

R

O

B

L

E

M

A

S

RESOLUCIÓN.

Fase I. Comprender

Datos: A y B organizan un viaje; B recorre 50 km por día; A recorre 50 km en el primer día y aumenta 1 km cada día (es decir, recorrerá 50 km en el primer día, 51 el segundo, 52 el tercero,

y así sucesivamente); Bruno parte el 1 de abril, Alfredo parte el 3 de abril.

Objetivo: ¿En qué día Alfredo alcanzará a Bruno? (En la respuesta indica la fecha del día)

Relación: A viaja más rápido que Bruno y lo alcanzará.

Diagrama: Una tabla o dos diagramas rectilíneos paralelos.

Fase II. Pensar

Estrategia: ORGANIZAR LA INFORMACIÓN

Fase III. Ejecutar

Podemos hacer una búsqueda exhaustiva. Para ello diseñamos la tabla.

kilómetros

A Total de A B Total de B Día

0 0 50 50 1 de abril

0 0 50 100 2 de abril

50 50 50 150 3 de abril

51 101 50 200 4 de abril

52 152 … … …

Y la completamos.

kilómetros

A Total de A B Total de B Día

0 0 50 50 1 de abril

0 0 50 100 2 de abril

50 50 50 150 3 de abril

51 101 50 200 4 de abril

52 152 50 250 5 de abril

53 205 50 300 6 de abril

54 259 50 350 7 de abril

55 314 50 400 8 de abril

56 370 50 450 9 de abril

57 427 50 500 10 de abril

58 485 50 550 11 de abril

59 544 50 600 12 de abril

60 604 50 650 13 de abril

61 665 50 700 14 de abril

62 727 50 750 15 de abril

Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz



P R

O B

L E

M A

S

63 790 50 800 16 de abril

64 854 50 850 17 de abril

En este momento la distancia recorrida por Alfredo, que al principio del día era inferior, resulta

mayor que la de Bruno. Lo habrá alcanzado en algún momento del día 17 de abril.

Otra manera es la de representar los valores de los kilómetros recorridos por cada uno, día a día,

y comprobar cuando se cruzan los caminos.

También podemos realizar un cálculo aritmético y usar la prueba y error.

Cuando parte A, B ha recorrido ya 100 km, el equivalente a dos días. A partir de este momento A va avanzando cada vez más rápido, sumando kilómetros de la manera indicada en el problema. O

sea:

1 + 2 + 3 + 4 +… = 100

Faltará por determinar cuántos sumando son necesarios para igualar o superar esos 100 km de

diferencia. Para averiguar ese número podemos proceder mediante un cálculo exhaustivo o por Ensayo

y Error.

Supongamos que elegimos 10 para ese número.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 +10) x 5 = 11 x 5 = 55

Nos quedamos cortos. Podemos hacer una segunda prueba para 16.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = (1 +16) x 8 = 17 x 8 = 136

Nos pasamos. Haremos un tercer ensayo para 15.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = (1 +15) x 7 + 8 = 16 x 7 + 8 = 112 + 8 = 120

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1 d

e ab

ril

2 d

e ab

ril

3 d

e ab

ril

4 d

e ab

ril

5 d

e ab

ril

6 d

e ab

ril

7 d

e ab

ril

8 d

e ab

ril

9 d

e ab

ril

10 d

e ab

ril

11 d

e ab

ril

12 d

e ab

ril

13 d

e ab

ril

14 d

e ab

ril

15 d

e ab

ril

16 d

e ab

ril

17 d

e ab

ril

18 d

e ab

ril

19 d

e ab

ril

kiló

me

tro

s

Viaje por Italia

A

Total de A

B

Total de B




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Seguimos pasando. Ensayamos para el 14.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = (1 +14) x 7 = 15 x 7 = 105

En este momento lo acaba de pasar. Si probáramos con 13 la distancia recorrida no sería

suficiente.

(1 + 13) x 6 + 7 = 14 x 6 + 7 = 84 + 7 = 91.

Así que después de 14 días de salir Alfredo habrá alcanzado a Bruno. Es decir, el día 17 de

abril.

O podemos realizar un cálculo algebraico. Para ello habremos de basarnos en una pequeña

investigación sobre la suma de los términos de la sucesión 1 + 2 + 3 + 4 + …

Para un número par de términos: 1 + 2 + 3 + 4 +… + n = (n + 1) n / 2

Como ese resultado ha de ser igual o superior a 100, y el primer valor de n es 0, planteamos la

desigualdad:

(n - 1) n / 2 ≥ 100 n2 – n ≥ 200 n ≥ 14.65,

que al sumar los dos primeros días ya recorridos por Bruno, nos conduce al 17 de abril, en un

momento de ese día que equivale a 0.65 de las 24 horas, o sea, sobre las tres y diez de la tarde del 17

de abril.

También podemos plantear un sistema de ecuaciones:

Llamamos Ka a los kilómetros recorridos por Aldo en n días desde el 1 de abril y Kb a los

recorridos por Bruno. Entonces:

Ka = 50n + (n-1)n/2, y Kb = 100 + 50n, e igualando:

50n + n2/2 – n/2 = 100 + 50 n n2 – n = 200, y resolviendo la ecuación de 2º grado,

obtenemos n = 14.65.

Evidentemente, estamos en unas maneras de resolver el problema adecuadas a los alumnos de 3º

o 4º de E.S.O. para diferentes momentos del currículo. Así que es un problema con posibilidades.

Solución: Lo alcanzará el 17 de abril.

Fase IV. Responder

Comprobación: El trabajo cuidadoso con la tabla o la gráfica, nos permite comprobar la

corrección de la respuesta.

Análisis: Solución única. Es interesante hacer observar a los alumnos que, en la mayoría de los problemas de este tipo en la vida real, el alcance no se realiza de manera exacta sino que se produce en

algún momento de un intervalo determinado.




P R

O B

L E

M A

S

Respuesta: Alfredo alcanzará a Bruno el 17 de abril.

JARDÍN MATEMÁTICO

En el dibujo aparece el plano del jardín cuadrado que se va a construir en la entrada de la Casa Museo de las Matemáticas.

La zona coloreada, que está encerrada en uno de los cuatro

cuadrados en los que está dividido, y tiene un lado que es la diagonal y otro que es la mitad del lado de ese cuadrado, mide 5 m2 y es la zona

que está plantada ya de rosales.

El triángulo ABC, limitado por el vértice superior izquierdo, y la mitad de los dos lados opuestos del jardín, será la superficie que ocuparán todos los rosales cuando

esté acabado el jardín.

Calcula la superficie del jardín completo y también la superficie de la zona donde irán los

rosales.

Razona tu respuesta.

COMENTARIO:

Los datos no son solamente las medidas (5 m2 del triángulo coloreado) sino también los

elementos de las figuras mencionadas. Cuadrado dividido en cuatro cuadrados más pequeños mediante

las líneas paralelas a los lados que unen sus puntos medios. Triángulo isósceles ABC formado por un vértice y los dos puntos medios de los lados no incidentes en ese vértice. El triángulo coloreado de

rojo, parte del ABC, con vértices en el superior de ese triángulo, vértice opuesto del cuadrado pequeño

y punto medio del lado opuesto.

Para que los alumnos trabajen adecuadamente y sean capaces de apreciar todas las propiedades

que tienen cada figura y cada uno de sus elementos, se deberá trabajar mediante una modelización adecuada: representación sobre un geoplano y construcción en papel (para poder recortar los

triángulos más pequeños) de las figuras.

Están claros los dos objetivos: superficie del cuadrado original y del triángulo ABC.

Las relaciones vendrán dadas en función del cálculo de esas áreas, es decir, figuras que están en

el diagrama y las medidas de sus superficies en función de las relaciones entre sus lados.

La estrategia serán la MODELIZACIÓN y ORGANIZAR LA INFORMACIÓN de manera

conjunta.

El alumno deberá darse cuenta que los cuatro triángulos que se forman en el cuadrado pequeño de la parte superior izquierda tienen un

vértice común, el A, y sus bases son la mitad de la medida de los lados de

ese cuadrado; además puede apreciar que las alturas de los cuatro triángulos son los lados del mismo cuadrado pequeño. Eso nos indica que los cuatro

triángulos tienen la misma área, 5 m2 cada uno de ellos. También se puede

hacer un cálculo directo del área del triángulo coloreado en función de los lados del cuadrado pequeño; se puede ver así que, como es un triángulo que

tiene la altura total del cuadrado y de base la mitad del lado, su área es

S = 1/2 (lado) x (1/2 lado) = 1/4 (lado)2, o sea, una cuarta parte del área del cuadrado pequeño.




P

R

O

B

L

E

M

A

S

El área del cuadrado pequeño es cuatro veces 5 m2, es decir, 20 m2. Y el área del cuadrado

grande es cuatro veces la del cuadrado pequeño, es decir, 4 x 20 = 80 m2.

Para trabajar con el triángulo ABC, convendría ahora

prolongar el lado del triángulo rojo situado sobre la diagonal. Así,

cuando llegue al lado desigual del isósceles ABC, tendremos abajo dos triángulos iguales, siendo seis los triángulos pequeños

en que está dividido el ABC.

Esos seis triángulos tienen la misma área que el rojo,

aunque tengan formas diferentes. Se puede llegar a esa conclusión de diversas formas, basadas siempre en la manera de

calcular sus áreas en función de la base y la altura de cada uno, o

bien, de su relación con respecto al área de un cuadrado pequeño.

En conclusión, a partir de esa constatación de que los seis

triángulos tienen la misma área, siendo uno de ellos el rojo, podremos concluir que el área que

ocuparán al final los rosales (triángulo ABC) es de 5 x 6 = 30 m2.

Otra manera posible de ver el valor de la superficie del triángulo ABC consiste en apreciar en la

figura que si quitamos dicho triángulo del cuadrado grande, nos quedan tres triángulos, dos de ellos

(situados a los lados) iguales entre sí y con área igual (cada uno de ellos) a la de un cuadrado pequeño. Mientras que el tercer triángulo, situado bajo la base del triángulo, mide la mitad del área de un

cuadrado pequeño. Es decir, su superficie es 2,5 x 20 = 50 m2. Y restando del valor total del cuadrado

grande: 80 – 50 = 30 m2, que coincide con lo calculado anteriormente.

NUMB3RS

Cuando paseaban por la ciudad tres amigos, observaron que el conductor de un automóvil

infringió el reglamento de tráfico. Ninguno de los tres recordaba el número (de cuatro cifras) de la matrícula, pero como al menos uno de los tres era matemático, cada uno de ellos advirtió alguna

particularidad de dicho número.

Larry advirtió que las dos primeras cifras eran iguales. Amita se dio cuenta de que también coincidían las dos últimas cifras.

Y, por último, Charlie aseguraba que todo el número de cuatro cifras era un cuadrado exacto.

¿Puede determinarse el número de la matrícula del automóvil valiéndose tan sólo de estos

datos?

Explica detalladamente tu razonamiento.

COMENTARIO:

Los alumnos llegan rápidamente a la conclusión de que el número ha de ser del tipo aabb.

A partir de ahí, la tercera condición o relación la utilizan para encontrar por ENSAYO Y

ERROR el valor de la matrícula. No es un método eficaz ni rápido pero, si se dispone de tiempo y

comienzan de mayor a menor, son capaces de encontrar la solución. Algunos utilizan un ENSAYO Y ERROR DIRIGIDO, mediante el uso de propiedades de las potencias que recuerdan o deducen. Eso

les da la solución con más rapidez que en el caso anterior.

Pocos son los que razonan utilizando la divisibilidad.




P R

O B

L E

M A

S

Si expresamos como descomposición decimal el número aabb, tendremos:

1000 a + 100 a + 10 b + b = 1100 a + 11 b = 11 (100 a + b)

Como consecuencia observamos que este número es divisible por 11.

Aplicando criterios de divisibilidad por 11, ya tenemos más datos del número aabb. El más importante consiste en darse cuenta de que al ser un cuadrado exacto y contener el factor 11, deberá

contener también el factor 112. Es decir, si el número es 11 (100 a + b), también el factor (100 a + b)

es divisible por 11.

Como a y b son valores de una cifra (inferiores a 10), deducimos que a + b = 11, para que se

cumpla el criterio de divisibilidad por 11.

Buscamos cifras que sumadas den 11. Con el 0 y el 1 no podemos encontrar un valor menor que

10 para la segunda. Obtenemos pues,

2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 6 + 5 = 7 + 4 = 8 + 3 = 9 + 2 = 11

Los números cuadrados sólo pueden tener como última cifra los valores 0, 1, 4, 5, 6, 9, únicos

posibles al elevar al cuadrado la última cifra del número de partida:

(02 = 0; 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; 42 = 16; 52 = 25; 62 = 36; 72 = 49; 82 = 64; 92 = 81).

Como ya hemos descartado los valores de 0 y 1, quedan estos posibles valores:

a = 7 b = 4 7744 │a = 6 b = 5 6655 │a = 5 b = 6 5566 a = 2 b = 9 2299

Hemos reducido las posibilidades a sólo cuatro. Cuatro multiplicaciones que nos darán

rápidamente la solución del problema.

O razonar, a partir de sus descomposiciones en factores primos, si contienen los mismos

elevados al cuadrado en su totalidad.

El número 6655 es divisible por 5, pero no por segunda vez (6655 : 5 = 1331).

El número 5566 es divisible por 2, pero no por segunda vez (5566 : 2 = 2783).

El número 2299 = 12 x 19 = 22 x 3 x 19 no se puede dividir de nuevo ni por 3 ni por 19.

Solamente nos queda 7744 = 26 x 112 = 82 x 112 = 882 , que es la solución del problema.

Habíamos propuesto también dos problemas del Rally Matemático Transalpino (ya saben lo que nos gustan sus problemas) y les pedíamos que pensaran, de manera especial, en una forma de

resolverlos por MODELIZACIÓN.

CAMELLOS Y DROMEDARIOS

Cleopatra ha dibujado camellos y dromedarios, en total ha

hecho 23 jorobas y 68 patas. Cleopatra sabe que los camellos




P

R

O

B

L

E

M

A

S

tienen dos jorobas y que los dromedarios tienen sólo una. Luego dibujó un hombre en la grupa de

cada camello.

¿Cuántos hombres ha dibujado Cleopatra en total?

Explica cómo encontraste tu respuesta.

Datos

Cleopatra ha dibujado camellos y dromedarios, en total ha

hecho 23 jorobas y 68 patas.

Un hombre en la grupa de cada camello.

Objetivo

Cuántos hombres ha dibujado Cleopatra en

total.

Relación

Camellos y dromedarios son animales de cuatro patas.

Cleopatra sabe que los camellos tienen dos jorobas y que los dromedarios tienen sólo una.

Luego dibujó un hombre en la grupa de cada camello.

Diagrama

Modelo. Tabla. Partes/Todo.

Estrategia

MODELIZACIÓN; ENSAYO Y ERROR; ORGANIZAR LA INFORMACIÓN

Por modelización:

Utilizaremos un modelo consistente en representar los animales con tarjetas de visita (más de

30) o cartas de baraja, las patas con pinzas de tender (68) y las jorobas con peones de juego (23).

Colocaremos las trabas de 4 en 4 sujetas a las tarjetas hasta agotar las trabas. Esos son los

animales que hay: 17.

Tomaremos las 23 jorobas y colocaremos 1 en cada animal (todos tienen, al menos, una joroba).

Nos sobran 6 jorobas que corresponderán a los 6 camellos existentes. El resto se queda con una sola,

son los 11 dromedarios que hay.

Por ensayo y error:

¿Dromedary o Camel?

Viñeta de Alberto Montt, que

une puzles con camelus




P R

O B

L E

M A

S

Daremos como dato oculto el que al saber el número de patas podremos saber la cantidad de

animales. 68/4 = 17 animales.

Utilizaremos la siguiente tabla:

Camellos Animales Dromedarios Jorobas Conclusión

Haremos un ensayo para los camellos:


10 17 17 – 10 = 7 10 x 2 + 7 x 1 = 27 27 > 23 error

Y continuaremos haciendo ensayos, disminuyendo el número de camellos:


10 17 17 – 10 = 7 10 x 2 + 7 x 1 = 27 27 > 23 error

8 17 17 – 8 = 9 8 x 2 + 9 x 1 = 25 25 > 23 error

6 17 17 – 6 = 11 6 x 2 + 11 x 1 = 23 23 = 23 acierto

La solución es, pues, 6 camellos y 11 dromedarios.

Mediante organización de la información:

Representaremos mediante álgebra la situación. Llamamos x al número de camellos e y al

número de dromedarios.

Planteamos las ecuaciones siguientes:

2 x + y = 23

4 x + 4 y = 68

Y resolvemos el sistema que es equivalente al siguiente:

2 x + y = 23

x + y = 17

De donde: x = 23 – 17 = 6; y = 17 – 6 = 11.

Solución

6 camellos y 11 dromedarios

Comprobación




P

R

O

B

L

E

M

A

S

6 + 11 = 17; 17 x 4 = 68; 6 x 2 = 12; 11 x 1 = 11; 12 + 11 = 23

Análisis

Solución única. Los hombres se dibujan sobre los camellos. Por tanto, hay tantos hombres como

camellos.

Respuesta

Cleopatra ha dibujado 6 hombres

CONCURSO DE PESCA

Alfredo, Carlos y Blas participan en un concurso de pesca. Al terminar el concurso descubren

que: Blas ha pescado 7 truchas más que Alfredo; Carlos ha pescado el doble de las truchas pescadas

por Blas y que es también el triple de las pescadas por Alfredo.

¿Cuántas truchas ha pescado cada uno de los tres amigos?

Explica tu razonamiento.

Datos

Tres pescadores: Alfredo, Carlos y Blas.

Objetivo

Cuántas truchas ha pescado cada uno de los tres amigos.

Relación

Blas ha pescado 7 truchas más que Alfredo.

Carlos ha pescado el doble de las truchas pescadas por Blas.

Carlos ha pescado el triple de las pescadas por Alfredo.

Diagrama

Modelo. Tabla Partes/Todo

Estrategia

MODELIZACIÓN. ENSAYO Y ERROR. ORGANIZAR LA INFORMACIÓN (mediante

aritmética o mediante álgebra)

Mediante modelización

Tomamos como modelo tres cartulinas que representarán a cada uno de los tres pescadores. Para

Carlos necesitaremos una más. Varias tarjetas iguales que representarán cada una de ellas la cantidad




P R

O B

L E

M A

S

(desconocida) de peces pescados por Alfredo. Fichas en cantidad indeterminada para representar con

cada una de ellas una trucha.

En la primera cartulina (Alfredo) colocaremos una tarjeta que representa la cantidad de truchas

que pesca.

En la segunda cartulina (Blas) colocaremos una tarjeta igual y siete fichas.

A Carlos lo representaremos dos veces, con dos cartulinas, ya que tenemos dos relaciones

diferentes que lo conectan con Blas y con Alfredo.

En la tercera cartulina colocaremos el doble de lo que tiene Blas, es decir, dos tarjetas y 14

fichas.

En la cuarta cartulina colocaremos el triple de lo que tiene Alfredo, es decir, tres tarjetas.

Como ambas representaciones deben ser equivalentes, cancelaremos lo que tienen de igual (dos

tarjetas) y compararemos lo que nos queda: una tarjeta y 14 fichas. Esto quiere decir que esa tarjeta

vale 14 fichas. O sea, Alfredo pescó 14 truchas.

A partir de esa solución averiguamos las truchas pescadas por Blas (21) y por Carlos (42).

Mediante ensayo y error

Elaboramos una tabla simple que represente la situación de los tres pescadores:

Alfredo Blas (A + 7) Carlos (2 x B) Carlos (3 x A) comparación Conclusión

Hacemos un ensayo a partir de los peces pescados por Alfredo. Por ejemplo:


10 10+ 7 = 17 2 x 17 = 34 3 x 10 = 30 34 > 30 error

Continuamos haciendo ensayos hasta encontrar la solución, el momento en que ambas

expresiones para Carlos sean iguales.


10 17 + 7 = 17 2 x 17 = 34 3 x 10 = 30 34 > 30 error

20 20 + 7 = 27 2 x 27 = 54 3 x 20 = 60 54 < 60 error

15 15 + 7 = 22 2 x 22 = 44 3 x 15 = 45 44 < 45 error

14 14 + 7 = 21 2 x 21 = 42 3 x 14 = 42 42 = 42 acierto

Tendremos así que la solución es: 14, 21 y 42 truchas, respectivamente.

Mediante organizar la información




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Utilizando razonamiento aritmético

Observamos que las relaciones de Carlos con Blas y con Alfredo indican la existencia de dobles

y triples.

Solución de un alumno

Lo que hice fue coger múltiplos (comunes) de 3 y de 2.

6 – 12 – 18 – 24 – 30 – 36 – 42 – 48 – 54 – 60 – 66 – 72 - …

A continuación, los dividí entre 2 y 3 hasta ver si la diferencia de ambos números es 7.

30/2 = 15; 30/3 = 10; 15 – 10 = 5.

Hasta este valor, la diferencia entre los cocientes es inferior a 7.

Sigo probando:

36/2 = 18; 36/3 = 12; 18 – 12 = 6; 42/2 = 21; 42/3 = 14; 21 – 14 = 7.

42 es la solución y corresponde a lo pescado por Carlos; 21 y 14 son la pesca de Blas y

Alfredo, respectivamente.

Utilizando codificación algebraica

Representaremos con x la cantidad de truchas pescadas por Alfredo.

Entonces la cantidad pescada por Blas es x + 7.

Y la cantidad de truchas pescadas por Carlos será, según cada una de las dos relaciones que

tenemos:

2 (x +7) y 3 x

Como ambas expresiones han de representar la misma cantidad, igualamos: 2 (x + 7) = 3 x

Obtenemos así la ecuación, que resuelta nos da: 2 x + 14 = 3x x = 14

A partir de este resultado podemos obtener los tres valores de la solución:

14; 14 + 7 = 21; 3 x 14 = 42

Solución

14, 21 y 42 truchas, respectivamente

Comprobación

14 + 7 = 21; 14 x 3 = 42; 21 x 2 = 42




P R

O B

L E

M A

S

Análisis

Solución única.

Respuesta

Alfredo ha pescado 14 truchas, Blas ha pescado 21 truchas y Carlos ha pescado 42 truchas.

Finalmente añadíamos un par de problemas más, uno geométrico (tomado de García Ardura, M.; Problemas gráficos y numéricos de Geometría; Madrid 1964) y el otro basado en un problema

publicado por Adrián Paeza en su obra Matemagia.

ÁREA DE UN ROMBO

La diagonal mayor de un rombo mide 20 cm y el

radio de la circunferencia inscrita 6 cm. Calcular la

superficie del rombo.

Consideraremos dos maneras de abordar el problema: algebraico y geométrico, aunque en ambos

casos necesitamos conocimientos geométricos básicos.

Extraemos de la figura del enunciado el triángulo

ABC de la imagen, en azul. El área total del rombo es:

At = 20·2𝑦

2 = 20 y usando la fórmula de A =

D·d

2 , siendo D la diagonal mayor y d la diagonal

menor.

En el triangulo azul de la figura, la longitud del segmento AC, aplicando Pitágoras es de 8 cm. Siendo el área del triángulo ABD

AABD = 1

4 At

El área del triángulo ABC es: AABC= 8·6

2 = 24 cm2

Mientras que el área de ABD la podemos calcular como:

AABD = (8+X)·6

2 = 3(8 + x)

En el triángulo BCD: y2 = 62 + x2, luego x = √𝑦2 − 62 = √𝑦2 − 36

Sustituyendo en AABD = 3(8 + x) = 3(8 + √𝑦2 + 36 ) y como At = 4 AABD, entonces:

4 · 3 (8 + √𝑦2 + 36 ) = 12 · 8 + 12√𝑦2 + 36 = 20𝑦




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Operando y simplificando: 3√𝑦2 + 36 = 5𝑦 − 24 y elevando al cuadrado ambos miembros

de la ecuación: (3√𝑦2 + 36)2

= (5𝑦 − 24)2 y tras algunas operaciones nos queda la ecuación de

segundo grado 4y2 – 60y + 225 = 0, que una vez resuelta nos da un único valor: y = 7.5 cm, con lo que

la diagonal d es de 15 cm. Así pues el área del rombo es At = 10·15 = 150 cm2.

Veamos cómo resolverlo usando la semejanza de triángulos.

Podemos ve en la figura que los ángulos y

son complementarios, luego el ángulo CDB es igual a

Al ser los triángulos ABC y BCD semejantes

por tener sus tres ángulos iguales y el lado BC común,

establecemos las relaciones:

6

y=

8

6=

10

x

De donde obtenemos x = 7.5 cm e y = 4.5 cm.

Podemos aplicar la misma fórmula de antes

para hallar el área del rombo o utilizar la expresión At = 2lr, donde l es el lado del rombo (8 + y), y r el

radio de la circunferencia inscrita. At = 2· (8 + 4.5)·6 = 150 cm2.

Es este un tipo de problema que puede plantearse para ser resuelto en dos momentos del

currículo para unos mismos alumnos, haciéndoles ver -recordando cómo se resolvió la vez anterior-,

que las matemáticas son un instrumento que permite resolver situaciones problemáticas de distintas

maneras. De ahí que hablemos de belleza de la solución de un problema, de economía en los medios

usados, de visualización del planteamiento y de las soluciones, etc.

Afrontemos ahora el otro ejercicio planteado en el artículo anterior.

SUMA DE PAREJAS

En una bolsa opaca se introducen 15 bolas numeradas con los números pares 2, 4, 6, …, 28 y

30. Se extraen n bolas. ¿Qué valor mínimo debe tener n para asegurarnos de que al menos hay un par

de bolas que suman 36? ¿Y para que sumen 28?

Podemos dividir el conjunto de 15 bolas en tres subgrupos: A = {2,

4,… 16}, B = {20, 22,… 30} y C = {18}.

¿Por qué de esta manera?

De las C15,2 = 15·14/2 = 105 parejas posibles, las que suman 36 son (6, 30), (8, 28), (10, 26), (12, 24), (14, 22) y (16, 20). Como podemos comprobar, el primero número

de cada pareja pertenece a A y el segundo pertenece a B. Por ello, la extracción debe garantizar que se

extraigan todos los elementos de uno de los subconjunto y al menos uno del otro. Puesto que card (A) = 8, mientras que card (B) = 6, debemos extraer de la bolsa al menos 9 bolas… ¡craso error! Nos

olvidamos de la bola con el 18, la que forma el conjunto C. Tendríamos que extraer al menos 10




P R

O B

L E

M A

S

bolas, pues en el peor de los casos serían las 8 de A más la de C, y como la décima ya ha de ser de B

tendremos dos bolas que sumen 36.

Para que dos de las bolas extraídas sumen 28, el razonamiento es parecido. Dejamos que

nuestros lectores encuentren la solución y nos comenten, al llevar el ejercicio al aula, los resultados.

Terminada la labor de resolver y comentar queremos ofrecerles un tiempo entretenido hasta

nuestro próximo artículo, así que aquí van dos nuevas propuestas.

El primero es una variante de un problema clásico, “El cubo de las caras pintadas”. Aquí hemos añadido algunas dificultades: un ortoedro en lugar de un cubo, en lugar de dimensiones el número de

cortes, una cara sin pintar.

EL CARPINTERO

El padre de Ramiro, que es carpintero, hizo un ortoedro de madera y lo pintó totalmente de

verde con un spray sobre la mesa en la que estaba apoyado, sin levantarlo en ningún momento.

Al cabo de unos días, como le parecía que era muy grande para utilizarlo, decidió cortarlo en cubitos pequeños mediante cortes paralelos a las caras del ortoedro. Hizo 6 cortes a lo largo, 5 a lo alto

y 4 a lo ancho.

¿Cuántos cubitos salieron? Clasifícalos según el número de caras pintadas de verde que tengan. Justifica tus respuestas.

El segundo, aparecido en un antiguo ejemplar de la revista QUIZ.

De una placa circular de un material homogéneo de 18 cm de

radio y 360 g de peso, se cortan dos discos (en verde) como indica la

figura.

El material sobrante (en amarillo) pesa seis veces más que el disco pequeño. Calcular los radios y los pesos de los discos cortados.

Se nos ocurre que para próximos artículos vamos a deslizar

alguna errata y desafiaremos a nuestros lectores a encontrarla; igual

hasta tenemos un premio para ellos. Por ahora las erratas que aparecen son involuntarias, al menos por nuestra parte, pero todos conocemos la existencia de ciertos duendes

digitales y analógicos que les da por intervenir…

Y hasta aquí llegamos. Terminamos con nuestro mantra particular: resuelvan los problemas,

singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus

comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el problema. Queremos pensar que nuestras

propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Vamos,

anímense… ¡Si es divertido!

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista

.

Un saludo afectuoso del Club Matemático.

N Ú M E R O S

Revista de Didáctica de las

Matemáticas




ISSN: 1887-1984


J U

E G

O S

Dominós orientales y otras variantes didácticas. (Juegos XXXV)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Ampliando el artículo anterior, tratamos aquí el Mahjong de forma extensa, y de manera

más reducida los derivados del dominó con formas triangulares, cuadradas, de arcos

circulares, de hexágonos o dodecágonos. Y relacionamos los dominós de distinto tipo

con contenido didáctico, básicamente en el campo de las matemáticas, y cómo aplicarlos

en la clase. También aparece algún problema relacionado con las piezas de dominó.

Asimismo presentamos otros dominós y objetos realizados con fichas de dominó que podemos calificar de curiosidades.

Palabras clave Mahjong, dominós no rectangulares: triangulares, cuadrados, de arcos circulares, de

hexágonos o dodecágonos. Dominós didácticos en la clase de matemáticas. Curiosidades

con dominós. Problemas con fichas de dominó.

Abstract Extending the previous article, we deal here with Mahjong extensively, and in a reduced

way domino derivatives with triangular, square, circular arcs, hexagons or dodecagons.

And we relate dominoes of different types with didactic content, basically in the field of

mathematics, and how to apply them in class. Also appears some problem related to

domino pieces. Also we present other dominoes and objects made with dominoes that we

can describe as curiosities.

Keywords Mahjong, non-rectangular dominoes: triangular, square, circular arcs, hexagons or

dodecagons. Didactic dominoes in math class. Trivia with dominoes. Problems with

dominoes.

Como habíamos indicado al final del anterior artículo seguimos aquí con el dominó. Nos quedaban,

al menos, dos aspectos importantes. Hacer una

mención de los dominós orientales, los dominós no

rectangulares y las adaptaciones didácticas del juego del dominó. Naturalmente, sin extendernos demasiado;

solamente como información complementaria a lo

escrito en los dos artículos anteriores.

Dominós orientales

El Mahjong es un juego muy conocido debido a su vistosidad y, sobre todo, a que sus aspectos

materiales son muy utilizados en juegos solitarios de ordenador, móvil y tableta. Aunque esta

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de

Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]




Dominós orientales y otras variantes didácticas J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


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utilización no se deriva de sus características como juego. Simplemente se han tomado las piezas del Mahjong, se amontonan siguiendo unos esquemas variables y se utilizan para formar parejas hasta

agotar la totalidad de las fichas.

En realidad, el juego del

Mahjong es muy diferente de lo que ahí aparece. Lo que sí está claro es que

no es un juego como el dominó

occidental. Sus piezas, aunque

numéricas en su mayoría, tienen otras imágenes y no están divididas en dos

partes, sino que son piezas enteras y

únicas. Son más bien cartas pequeñas y sólidas y su manera de jugar con ellas se asemeja más a un

juego de cartas, como pueda ser el gin-rummy, o a un juego de mesa como el Rummikub.

Veamos, entonces, sus orígenes y sus antecedentes.

El dominó chino

No se conoce con exactitud su antigüedad, pero hay referencias a él en escritos del siglo XII.

Más tarde fue introducido en Europa dando origen al dominó occidental que conocemos.

Sus fichas son numéricas, señaladas con puntos, con o sin raya de división. Las fabricadas en la actualidad son rectangulares del mismo tamaño

que las de nuestro dominó, pero las tradicionales son más largas.

Contiene treinta y dos fichas, once de las cuales están duplicadas y se

llaman "series civiles". Las restantes diez fichas constituyen la llamada “serie

militar”. Se pueden practicar distintas modalidades de juego (Tsung Shap, Tjak-ma-tcho-ki, Dragones, Pai-gow o Tien-gow). En estas partidas pueden participar

de 2 a 4 jugadores. Algunas son parecidas a nuestro dominó clásico y otras con

muchas más normas y complejidad estratégica. Los objetivos de los diferentes juegos varían entre conseguir puntos agrupando fichas (en una fila como en

nuestro dominó) que sumen 10, en unos casos, formar tres parejas o,

simplemente, deshacerse de todas las fichas de la mano. En la mayoría de

modalidades se permite utilizar las fichas descartadas por el adversario.

El dominó coreano, también conocido como Gangpae, Apae y Hopae, tiene 32 fichas, que suman 227 puntos y podemos ver

en la figura. Se repiten valores en algunas fichas, otras están

repetidas, no hay fichas en blanco y

los puntos bajos se

dibujan más grandes que los puntos altos.

Dada la complejidad

de los juegos con

estas fichas, parece ser que se usan más en tareas adivinatorias que en partidas de dominó.

Tanto unos como otros podrían también considerarse antecesores del Mahjong.

http://www.jdejuegos.net/images/stories/clasicos/domino/12chino.jpg




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Cómo jugar al dominó chino:

El objetivo consiste en llegar a formar una mano completa antes que tus contrincantes.

Se forma un bloque con hileras de cinco fichas de alto y se coloca en el centro de la mesa. Para decidir

a quién le toca mover primero se echa a suertes con unos dados.

El primer jugador recoge las dos primeras pilas (con diez fichas), y los otros recogen las pilas restantes

(con nueve fichas).

Si el primer jugador no tiene una mano vencedora, comienza el juego descartando una de las fichas y

colocándola boca arriba sobre la mesa. Cuando a cada uno de los jugadores restantes les toque su

turno:

Para completar su mano podrán recoger cualquiera de las fichas descartadas por los anteriores y

cambiarlas por una de sus propias fichas, o

Recoger una ficha del extremo de la pila, que podrá descartar inmediatamente o cambiarla por otra que

tenga en la mano.

El juego termina cuando uno de los participantes completa su mano. Esto le dará derecho a llevarse el

total de las sumas apostadas.

Una mano completa está formada por: (a) cuatro pares, cada uno con un total de 10 puntos o un

múltiplo de 10; (b) un par de fichas idénticas.

El Mahjong. Distintas formas de jugar

Hace muchos, muchos años, en la sección de Juegos de “El pequeño país”, Caps i Mans nos hablaban de redescubrimiento y, en

una sola página como siempre, ofrecían una información sencilla y

muy completa sobre este juego (lo llamaban Mah-Jongg ≈ Juego de

los Gorriones). En China se conoce como MA JIANG o MA JIANG PAI pero también como MAQUE PAI (MAQUE gorrión y PAI

ficha) y parece ser que se inventó en la dinastía Tang.

Ponían por delante su origen chino y su parentesco con el

dominó chino. Sobre su antigüedad exponían dudas y dando a entender que no era tan antiguo. Todos sabemos que el origen chino da a las cosas un cierto matiz misterioso y antiguo. Algunos creadores de

juegos utilizan esa treta para darle más popularidad, como en el caso del Tangram o los Aros Chinos.

Le daban la bienvenida por su indiscutible calidad y la constante presencia en él de un gran

simbolismo, mucho ritual, poesía y, en una palabra, cultura.

“Qué son si no los sugerentes nombres de algunas jugadas: la paz del paraíso, las trece linternas maravillosas, las cuatro bendiciones de la casa o la gran serpiente. O sus propias fichas, divididas en

tres tipos –bambúes, discos y caracteres-, con los tres dragones, simbolizando la pureza el blanco; el

valor, el rojo, y el verde, la prosperidad.”

Las reglas de juego chinas originales son bastante complejas; por eso, en la mayoría de los

países donde se juega actualmente han adoptado unas reglas más sencillas.

El Mahjong es un juego bastante sencillo, cuya mayor complicación reside en el sistema de

puntuación. Su objetivo principal consiste en hacer combinaciones de tríos y escaleras.



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El Mahjong consta de 144 fichas que se dividen en dos grupos:

108 fichas que forman tres series del 1 al 9, cuadruplicadas: (3 x 9 x 4 = 108)

a)

a1) los bambús

a2) los discos (círculos o bolas)

a3) los caracteres

b) 36 fichas restantes:

b1) los honores (flores del 1 al 4 y estaciones del 1

al 4)

b2) los vientos (Norte, Sur, Este y Oeste, cuadruplicados)

b3) los dragones (rojos, verdes y blancos, también cuadruplicados)

En total: (4 x 2 + 4 x 4 + 3 x 4 = 36) (108 + 36 = 144)

Hay muchas maneras de jugar al Mahjong. Aconsejamos a los que quieran aprender y jugar

partidas con sus amigos que se pongan en contacto con la Federación o Asociación más cercana y

pidan el Reglamento de Juego correspondiente, o bien, buscar en Internet las reglas más sencillas

posibles.

Se comienza siempre tirando unos dados para echar a suertes quién inicia la partida, que será el

“mano” a quien corresponde el viento del Este.

A su izquierda se colocará el viento del Sur, luego el del Oeste y por último el del Norte.

Situados los jugadores en su lugar en la mesa se tomarán las 144 fichas boca abajo y se removerán.

Luego se procederá a la construcción de la muralla, lo que en un juego de cartas equivaldría a lo que se denomina montón. Las fichas se ordenarán formando un cuadro doble de 18 fichas de lado. El

jugador Este echará de nuevo los dados y el número que salga indicará por donde hay que abrir la

muralla para repartir las fichas.

El Este tomará 4 fichas del lado izquierdo de la brecha abierta, luego el Sur tomará también 4, luego el Oeste y el Norte y así sucesivamente hasta que cada jugador tenga 12 fichas en su poder.

Luego cogerán cada uno por turno otra ficha más y finalmente el Este tomará otra. De esta forma cada

jugador tendrá 13 fichas excepto el viento del Este que tendrá 14. El jugador Este, una vez haya

seleccionado las fichas según su conveniencia, deberá desprenderse de la ficha sobrante que podrá robar el jugador del Sur o cualquiera de los jugadores de la mesa, según veremos a continuación, en

busca de un objetivo determinado. Si esta ficha o las procedentes del descarte de cualquier jugador no

convinieran a nadie deberán tomarse las fichas de la muralla, por orden consecutivo al sentido de la

apertura.

Con las 13 fichas que cada jugador tiene en la mano deberá formar: cuatro grupos de tres fichas

y una pareja. Estos grupos pueden ser: Escaleras (tres fichas correlativas) o Tríos (tres fichas del




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mismo número y clase). Las escaleras solamente pueden formarse con fichas pertenecientes a las grandes series (p.e.: 2, 3, 4 de bambú; 5, 6, 7 de disco; 3, 4, 5 de carácter; etc.). Y los tríos pueden ser

o de grandes series (p.e.: 8, 8, 8 de carácter; 6,6,6 de bambú) o de honores (3 dragones rojos, 3 vientos

del Sur).

El jugador que se descarta debe anunciar qué ficha es. El jugador que le corresponde si la toma para hacer escalera deberá decir “chow” (acepto) y mostrar las otras dos fichas que completan la

escalera. Si otro jugador desea esta misma ficha para formar un trío deberá decir “pung” (tomo) y

mostrar las fichas que lo completan. El que pida ficha para hacer trío –siempre respetando el orden de

la mano- tiene preferencia sobre el que la solicita para hacer escalera. Si pasa el turno de juego ya no

puede reclamar la ficha.

Mediante robos y descartes sucesivos llegará el momento en que un jugador habrá obtenido los

grupos de fichas que se indicaron al comienzo. Así tendremos al finalista. Para finalizar hay que

hacerlo con 14 fichas combinadas. Ya tenemos el ganador.

Hay otros juegos posibles o combinaciones a efectuar en el Mahjong. Por ejemplo el kang, que se forma con cuatro fichas iguales. Las fichas de honores (las flores y las estaciones) no cuentan a la

hora de hacer Mahjong, tan sólo sirven para obtener puntuaciones adicionales con las que valorar más

el juego. Cuando un jugador roba de la muralla una de estas fichas de honores deberá mostrarla y

robar otra ficha que sea apta para las combinaciones deseadas.

Cuando se termina una partida los vientos cambian en rotación hacia la derecha, esto tiene una importancia capital pues quien posee el viento del Este llamado también mandarín, cobra y paga doble

sus puntuaciones.

La parte más difícil del Mahjong es la manera de puntuar las jugadas. Requiere una tabla que se

encuentra en los reglamentos o libros explicativos del juego. Esta que presentamos es muy sencilla:

Expuesto En mano

Pareja de vientos o dragones 0 2

Trío de gran serie (2 a 6) 2 4

Trío de gran serie (1 y 9) 4 8

Trío de vientos y dragones 4 8

Kang de gran serie (2 a 8) 8 16

Kang de gran serie (1 y 9) 16 32

Kang de vientos o dragones 16 32

Honores (cada uno) 4 0

Escala real del 1 al 9 de la misma serie 32 64

Estas instrucciones de juegos están tomadas (y algo resumidas) de un artículo de Jorge

Quintana.

Como complemento para los interesados indicaremos que hemos encontrado dos documentos

curiosos sobre el Mahjong. Uno de ellos es un artículo a doble página aparecido en la Revista

Cacumen, nº 30, sin autor. El otro es un librito hallado en librería de viejo titulado “MAH-JONGG

Juego chino” y cuyo autor es L. Asín Palacios. Las otras dos publicaciones, de la década de los 90,

son descripciones de las fichas y de las reglas del juego, la una londinense y la otra madrileña. En

libros genéricos sobre juegos también se encuentran explicaciones del Mahjong.



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El Mahjong como puzle informático

Los juegos de ordenador aparecen con fuerza casi inmediatamente después de aparecer los

primeros ordenadores. Muy rudimentarios al principio fueron cobrando fuerza y mejorando tanto su

estructura como sus soportes.

Uno de los primeros, junto a los solitarios de cartas, fueron las adaptaciones como solitario del

Mahjong. El más conocido, tal vez, el Shanghai en sus diferentes versiones. Aquí mencionamos

expresamente Shanghai II: Dragon’s Eye, (1990 Activision), a través de un resumen de sus

instrucciones.

En ellas hace una pequeña historia del juego y su llegada a occidente. Concretamente, indica que es en la primera mitad del siglo XX que Joseph P. Babcock, hombre de negocios norteamericano

que vivía en Shanghai, se interesa en uno de estos juegos. El mismo se llamaba Ma Chiang, Ma Cheuk

o Ma Ch’iau, expresiones dialécticas que significan todas “gorrión”, “el pájaro con 100 inteligencias”. En 1920, Joseph P. Babcock trae el juego a occidente bajo el nombre de Ma-jong. Este juego conoció

una inmensa popularidad en el mundo de habla inglesa, popularidad que ha conservado desde

entonces.

El Ma-jong, sin embargo, no es la única variación sobre este tema que se remonta al origen de

los tiempos: del Oriente también nos viene Shanghai y el Dragon’s Eye.

El juego Shanghai consiste en retirar, por pares cada vez, todas las fichas de una disposición. Para hacerlo, es necesario que

los dos elementos de un doble (es decir dos fichas del mismo tipo)

estén libres. Una ficha se considera “libre” cuando no está cubierta por otra y puede liberarse por la derecha o por la izquierda o por

ambos lados a la vez. Así, una ficha que sólo puede desplazarse

hacia arriba o hacia abajo no está libre.

Salvo excepción, cada ficha figura en cuatro ejemplares, que se deben retirar en forma de dos

dobles. En cambio, algunas fichas sólo figuran en un solo ejemplar, cada una forma un doble con las otras tres. Por ejemplo, en las fichas de leyenda, los triunfos comprenden un Rey, una Reina, una

Princesa y un Bufón y cada una de estas fichas constituye un doble cuando se aparea con una de las

otras tres.

Shanghai se juega con trece disposiciones y ocho series de fichas.

El juego, incluso, aporta algunas sugerencias estratégicas para ganar el juego:

1. Desplace con preferencia las fichas que bloquean más movimientos.




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2. Antes de comenzar una partida, examine cuidadosamente cada disposición para encontrar la mayor cantidad posible de dobles. Además, determine anticipadamente los dominós que serán

necesarios desbloquear lo más rápidamente posible. Con frecuencia, es más ventajoso

concentrar su atención sobre las hileras largas que sobre las pilas altas. 3. Busque siempre los triples. Si encuentra un doble a retirar, busque un tercer (o un cuarto)

dominó libre que corresponda. Si usted retira dos fichas de un triple, hágalo de forma tal que la

que deja bloquee lo menos posible las fichas importantes. Si no sabe muy bien qué decisión

tomar con un triple, más bien haga otra jugada. 4. Si sucede que cuatro fichas de un mismo tipo se liberan al mismo tiempo, retírelas para que

no obstaculicen su progresión.

5. Anticipe lo más posible sus jugadas siguientes.

Dominós con formas no rectangulares

Modernamente han aparecido variantes del juego del dominó clásico; no obstante, existen

juegos parecidos registrados a principios del siglo pasado, que luego dejaron de comercializarse. Las

más sencillas son aquellas que cambian el aspecto de la ficha, rompiendo la figura rectangular de cada pieza. Es así que se utilizan piezas de forma triangular, cuadrados con cuatro valores, hexagonales, e

incluso dodecagonales. También existen en tres dimensiones. Dos ejemplos comercializados de los

más sencillos son los Trio-minos y el Trioker, ambos triangulares.

Trio-minos

No es más que un dominó que se extiende en tres direcciones. Cada

ficha triangular tiene tres números, uno en cada vértice. Unas veces se representan con números, otras con puntos, otras con colores o figuras y en

menor medida, por combinaciones de éstas. Las fichas son ahora más

variadas al influir el orden de colocación de los valores: dextrógiro o levógiro. Y las se han de colocar de manera que dos de estos números

coincidan con dos de una ficha ya colocada. Con cualquiera de ellas.

Al colocarse fichas junto a cualquiera de las ya jugadas, la

construcción crece en diferentes formas. Lograr juntar extremos o realizar

figuras otorga una puntuación extra.

Para jugar se disponen boca abajo las fichas y se mezclan. Los jugadores

cogen sus fichas: 9 si son dos jugadores y 7 si son de tres a cuatro jugadores.

Se prepara papel y lápiz, ya que se ha de estar sumando puntos

constantemente. Inicia el juego el 5 triple y si no está en juego el 4, luego el

3… Y si no hay triples la que sume más puntos, empezando por la 5-5-4 y

disminuyendo.

La primera ficha puntúa la suma de sus dígitos más 10 puntos. El triple 0

vale 40 puntos de salida.

Por turno, los jugadores juntan una de sus fichas con cualquiera de las ya

colocadas. Puntuando la suma de los dígitos de la ficha colocada. Si al jugador

que le toca jugar no puede, por carecer de fichas apropiadas, o no quiere, por estrategia, deberá robar fichas del montón. Como mínimo una vez y como



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máximo tres. Se deducirá 5 puntos por ficha robada, más 10 adicionales si el jugador roba tres veces y no juega ficha. Si un jugador tiene necesidad de robar ficha y ya no quedan, se deducirá 10 puntos y

perderá turno.

Algunos lances de la partida dan puntos extra. Cerrar un puente, colocando una ficha en la que

coinciden los tres dígitos, otorga 40 puntos extra. Completar un hexágono otorga 50 puntos extra. 60

con dos hexágonos y 70 con tres.

El objetivo es ser el jugador que haya obtenido 400 puntos o más al acabar una partida parcial. Ganar la partida parcial colocando la última ficha otorga 25 puntos. Además, también se suman los

puntos de las fichas restantes de los otros jugadores.

Si ningún jugador puede jugar ficha el juego queda bloqueado. El jugador con menor número de

puntos en la mano será el ganador. Se restará sus puntos y se sumará los de los demás.

Trioker

El Trioker es un rompecabezas lógico. Tiene 24 piezas que son triángulos equiláteros que llevan

en los vértices puntos en diversas cantidades, a saber: 0, 1, 2 o 3.

Haciendo todas las

combinaciones (en preciso

lenguaje matemático habría que decir “variaciones

circulares con repetición”)

posibles de estos cuatro valores sobre los vértices

obtenemos las 24 piezas. A fin

de que podamos nombrar a

cada pieza individual con facilidad, se les ha asignado un

rótulo 000, 001, 002,…, cuyo

significado es evidente.

En el Trioker, como en cualquier rompecabezas de los que hay y ha habido, se trata

de poner unas piezas junto a otras para producir

ciertas formas. Pero aquí hay que seguir una

lógica. Las formas que se obtienen tienden a ser más bien duritas y abstractas; la gracia del juego

está en la regla de contacto entre las piezas. Es

como una regla del juego de dominós: Dos

vértices sólo pueden tocarse si llevan la misma cantidad de puntos.




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¿Qué conjuntos de piezas podemos conseguir si en vez de cuatro valores tomamos N? Aquí

mostramos los resultados para los primeros valores:

Número de valores posibles Cantidad de piezas diferentes

1 1

2 4

3 11

4 24

5 45

6 76

N N (N2 + 2)/3

Si desea usted continuar el cuadro, puede servirse de la fórmula de la última línea, que da la cantidad de piezas

diferentes (M) originadas por (N) valores distribuidos en los

vértices:

El profesor Marc Odier, médico y biofísico, fue un entusiasta de los juegos de ingenio. Hasta su temprana

muerte, ocurrida en 1979 cuando sólo contaba con 57 años,

condujo una sección de pasatiempos en la revista Sciences

et Techniques. El Trioker cuenta con una edición de piezas en plástico producida en Francia por Editions Robert

Laffont, y en España por D.C.P., de Gerona. En el libro

Surprenants triangles, escrito por Marc Odier y Y. Roussel

aparece un análisis exhaustivo del Trioker.

El juego incorpora, además de las fichas triangulares,

un tablero de juego hexagonal y una serie de figuras a

recubrir, como retos propuestos al jugador. También se

hicieron otras innovaciones dando forma de trozos iguales de corona circular, con el fin de hacer que al colocar las

fichas unas junto a las otras se formasen curvas. De este tipo

se destaca el Dominó circular.

Dominó circular

Son juegos donde las piezas tienen la forma de una parte de una corona circular. El dominó de cartón cuya imagen acompaña a este texto tiene la curiosidad de que las figuras que aparecen, al

adosar las fichas según los puntos, forman distintas escenas según los valores de los puntos no

adosados. Así, al colocar el [2:5] junto al [1:2], por ejemplo, se obtiene una escena diferente que si

colocásemos el [2:3]. Puesto que cada ficha es 1/28 de corona circular, al final del juego habremos

cerrado el círculo.

Esta otra versión, más acorde con el dominó clásico, se llama Bendomino y permite cambiar el

sentido del giro que van tomando las fichas, factor a tener en cuenta para evitar que la cadena se

vuelva sobre si misma i impida la continuación del juego.



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Como podemos ver, ambos juegos añaden nuevas

variables al sencillo (en

comparación) doble seis.

Dominó con cartas

Las conocidas piezas del dominó impresas en

cartas permiten, además de los juegos tradicionales, nuevas formas de jugar mezcla de ambos tipos de

materiales. En otro orden de cosas, también se

utilizaron cartas de baraja para representar las fichas

del dominó. Su finalidad es, por un lado, fácil transporte y poco peso y, por otro, evitar el ruido de

las fichas al golpear sobre los veladores de mármol.

Así, encontramos cartas para el:

Para el dominó normal:

Para el Mahjong:

Incluso para los Trio-minos:

Podemos llegar a pensar que es inagotable la creatividad humana. Como ejemplo, sin más, véase un

dominó improvisado hecho sobre “callaos” (cantos

rodados de playa).

https://www.aliexpress.com/item-img/Funny-Paper-Chinese-Board-Game-Mahjong-CARDS-Sets-Free-Waterproof-Plastic-Mahjong-tiles-with-2-dices/32652316861.html?spm=a219c.10010108.1000017.1.3bb8620f2ORL2c




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Aplicaciones didácticas del dominó y del Mahjong

Indicamos aquí, en forma resumida, algunas de las aplicaciones de los dominós didácticos ya que es mucho lo publicado, entre otros por Ana García Azcarate

(https://anagarciaazcarate.wordpress.com/) y por nuestros buenos amigos del Grupo Alquerque; y

contamos, en muchos centros, con los materiales fabricados y distribuidos por Proyecto SUR de

Ediciones.

La cuestión es: ¿cómo llevar al aula estas actividades? El alumnado puede encontrar novedosa la actividad cuando la realizamos por primera vez, pero luego hemos comprobado que caen en el

aburrimiento y en el “pasotismo”. Una manera de superar esto es acudir al espíritu competitivo.

Formamos equipos de dos alumnos, equilibrados en cuanto a sus conocimientos y actitudes, y realizamos una ”liguilla” entre equipos. Las partidas se hacen con una duración de 20 o 30 minutos, el

día de la semana o de la quincena más adecuado (al acabar un tema, un viernes a última hora) usando

el material que verse sobre lo que se ha explicado o se está explicando en esas fechas. Una tabla con las clasificaciones de los equipos, con nombres elegidos por ellos, en formato grande, estaría expuesta

en el aula. Los equipos obtienen 4 puntos por partida ganada, dos por partida empatada y uno por

perder. Evidentemente, si el número de alumnos es impar, el no emparejado hará de árbitro, suplente o

ayudante del profesor, por ejemplo.

Domino de puntos usados como material didáctico

Son variados los usos didácticos del dominó de puntos, que no ha sido diseñado como material didáctico específico,

que vemos más adelante.

Además de su uso “físico”, para construir torres, muros u

otras figuras, está el de seleccionar y agrupar por alguna de sus

características, como por puntos, por sumas de los dos valores que aparecen, de mayor a menor suma, etc. Todo el campo de la

combinatoria, calculando el número de puntos para los distintos

palos, cantidad de aperturas, primeras jugadas, etc.

Doble 6

Un par de ejercicios con las fichas del doble 6.

Ejercicio 1.-

Construye un cuadro con las 9

fichas de la figura, de tal manera que

las fichas de cada línea horizontal o

vertical sumen 28 puntos.

Ejercicio 2.-

Construye un cuadro con las 28 fichas de manera que en cada línea vertical la suma de las fichas

sea 24 y en cada línea horizontal la suma de las fichas

sea 42. Las cuatro fichas de las esquinas han de sumar

24.

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Ejercicio 3.-

Prescindiendo de las tres fichas de mayor valor, formar un cuadro de 5x5 fichas, de tal manera

que cada fila y columna sumen 27 puntos.

Otros juegos realizables con las fichas del dominó ya han sido mencionados en anteriores

artículos, pero los repasamos aquí, siguiendo a González Sanz2.

• Solitarios

• Cuadrillas

• Cuadrados mágicos

• Casilleros

• Dominó carril

Teniendo en cuenta el número máximo de puntos que se

utilizan (número de palos), tenemos, además del doble 6:

• Doble 9 (o cubano)

• Doble 12

• Doble 15

• Doble 18 (o mexicano)

Y por supuesto, también deberíamos hablar del tamaño y del material de las fichas, pues, aunque el estándar está

alrededor de 11x 20 x 45, el tamaño para competiciones

oficiales es de entre 11 x 22 x 44 y 12,50 x 25 x 50 mm (Artículo 5º del Reglamento del Juego y Competiciones de la

Federación Española de Dominó). Y su peso, entre 15 y 20 gr.

(+/- 1 gr.), pero las hay de todos los tamaños (en su momento se llamaban “De viaje” a las de 20x10 “cadetes” a las de 36x18;

“Chamelo” a las de 38x19; “Montaña” a las de 40x20 y

“Gigante” a las de 42x21aunque también pueden encontrarse de

44x22 y de 50x25 mm3), y distintos materiales. Respecto a este último,

el reglamento no indica el tipo de material de las

fichas, aunque sí lo hace de

los clavos, que han de ser

metálicos. Así que las fichas podrían ser -y lo son-

de cartón, plástico, marfil,

madera, cemento, cerámica, …

2González Sanz, José L.; El arte del dominó, teoría y práctica 3Ubeda Sánchez, José; Juegos de dominó: españoles y exóticos, normas y preceptos




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Dominós didácticos

Estos ejemplos de dominós didácticos siguen una misma tónica: unir las fichas asociando dos aspectos de lo

estudiado.

(Pueden ampliar las imágenes para ver los detalles)

Funciones

En este caso se unen gráficas y expresiones.

Ecuaciones

Aquí se trata de ver la equivalencia entre ecuaciones.

Geometría

Los más sencillos, para los primeros niveles, solo

buscan la familiarización con las figuras, pues se deben unir los lados con figuras iguales. Más se complica cuando se trata

de ver la equivalencia de ángulos en grados con radianes, o

número de aristas o vértices con figuras regulares o

irregulares planas o espaciales.

Operaciones

Se pretende ir uniendo operaciones con resultados, y

pueden ser de un solo tipo (sumas, restas, potencias…) o

combinadas.

Equivalencia de fracciones

Se presentan fracciones equivalentes, o fracciones

frente a representaciones gráficas como partes de un todo,

por ejemplo, un hexágono dividido en 6 triángulos de los que se señalan dos para emparejarlo con 1/3.

Etc.

Dominós de asociación de figuras

Se trata, simplemente, de eso: ir uniendo figuras iguales y que pueden

ser de cualquier tipo.

Animales, Plantas, Objetos o figuras geométricas, arquitectónicas, artísticas, etc.



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Hay una gran variedad, y para todas las edades, como podemos comprobar en las imágenes.

Math Majong Game

Math Mahjong Game es una variante del juego chino Mahjong y representa un modo divertido para los jóvenes estudiantes de hacer

prácticas con las cuatro operaciones básicas: adición, sustracción,

multiplicación y división. Es un juego interactivo.

El jugador elige las piezas con los números y utiliza los

operadores para resolver un problemita de matemáticas (es decir, 3 + 2 = 5 o bien 9 - 8 + 2 = 3), después hace clic sobre "Enviar" (Submit).

Cuanto mayor es el número de operadores utilizados y el de

problemitas resueltos, más alto es la puntuación alcanzada.

Para ganar la partida, se deben completar los problemitas hasta que todas las piezas del tablero

hayan sido utilizadas.

Y también, claro, más problemas y puzles relacionados con el dominó.

Y alguna curiosidad, ¡faltaría más!

Este reloj fácilmente realizable con fichas de dominó (1 € las

fichas, 3 € la maquinaria y una tabla con un viejo marco).

Estas imágenes de los registros de patente de distintos dominós

de la Oficina USA de registros.

En una de ellas, las fichas han de encajarse como piezas de un puzle jigsaw. En otra se trata de las fichas curvas de las que hemos

puesto también una imagen de su versión comercial y finalmente, un

dominó con piezas cuadradas, coloreadas, y que se han de jugar sobre

el tablero que las acompaña de tal manera que los lados en contacto

sean del mismo color.

https://4.bp.blogspot.com/-IooFIzhaMKA/VzIm2CfkfZI/AAAAAAABGWE/-BRdJpKMTKwUoB6fHzw67YOtxJkA3O5-gCLcB/s1600/MathMahjongGame.jpg




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Repetimos. Por si aún no se habían dado cuenta. Como siempre estamos a su disposición y

agradeceremos enormemente sus comentarios y aportaciones.

Hasta el próximo

pues. Un saludo.

Club Matemático

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N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas


ISSN: 1887-1984




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La engañosa sencillez de los triángulos

Manuel de León

Ágata A. Timón

EDITORIAL CATARATA

Colección: MIRADAS MATEMÁTICAS

ISBN: 9788490973448

96 páginas

Julio 2017

Los autores describen en este libro ejemplos relativos a diferentes áreas de conocimiento en general, no sólo científicas, donde la presencia de los triángulos es esencial para el progreso de los

distintos campos de estudio. Estos ejemplos vienen acompañados de una contextualización teórica y

están ilustrados con imágenes realizadas en GeoGebra que favorecen una mejor comprensión de la

implicación de este polígono en el desarrollo de numerosos avances teóricos y aplicaciones reales.


La engañosa sencillez de los triángulos Reseña: M.E. Segade Pampín


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La obra está dividida en ocho capítulos independientes, en los que se explicita la relación del

triángulo con otras disciplinas y se acompaña de actividades para proponer en las aulas de secundaria y

bachillerato con el fin de profundizar sobre los resultados descritos.

El libro comienza explicando las estrategias de triangulación y el papel indispensable que supone este proceso para conocer las propiedades de cualquier polígono. En este sentido, en el intento de dar

respuesta a la cuestión de si la noción de triángulo es extensible a cualquier superficie para que sea

posible aplicar la triangulación, se explican las distintas geometrías no euclídeas. En particular, se centran en los triángulos geodésicos y en la relevancia que tuvieron en el cálculo de la curvatura de una

superficie. Resulta interesante conocer también, cómo a raíz de la existencia de problemas históricos

para medir diferentes magnitudes, supuso el inicio del sistema métrico decimal que utilizamos en la

actualidad y cómo para establecerlo fue determinante la técnica de triangulación geodésica para calcular la longitud de cualquier meridiano, hito que además ayudó a poner fin a las dudas existentes durante

muchos siglos sobre la forma de la Tierra. Como se menciona en el libro, gracias a todos estos progresos

en Geometría, ha sido posible determinar cualquier posición sobre la superficie terrestre, problema resuelto a través del método de trilateración, consistente en determinar posiciones entre tres puntos que

determinan un triángulo y que, a diferencia de la triangulación, en este procedimiento se parte de

distancias para calcular los ángulos.

Por otro lado, varios capítulos están dedicados a detallar los triángulos que están presentes en la

construcción de poliedros, tanto los para los sólidos platónicos como para los de Arquímedes. En concreto, se hace alusión al resultado propuesto por Euler para los poliedros que indica la relación entre

el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo y que ha sido clave para obtener nuevos

resultados geométricos. ¿Sería posible extender este resultado a cualquier superficie? De nuevo, entra en juego este polígono de tres lados, pues a partir de triangulaciones definidas como redes dispuestas

sobre una superficie donde las caras sean triangulares, sería generalizable la fórmula de Euler.

Otro aspecto que abordan es la importancia que ha tenido la numerología a lo largo de la historia,

como proceso en el que se le ha atribuido un significado místico a los números, al margen de sus

cualidades matemáticas, y donde los números triangulares, que se pueden representar geométricamente como un triángulo equilátero de una forma muy visual e intuitiva, han sido símbolo de gran valor para

la escuela pitagórica así como objeto de estudio de reconocidos matemáticos.

Continúan haciendo una descripción de los triángulos más representativos y que cuentan con una

importancia notable como el caso del triángulo de Pascal, fundamental para la combinatoria y el cálculo de probabilidades y que además de su forma triangular, cuenta con propiedades destacables como la

simetría o que algunos de sus coeficientes son números triangulares. Sobresale también el triángulo de

Sierpinski, que se obtiene construyendo nuevos triángulos equiláteros a partir de uno cualquiera

siguiendo un patrón repetitivo que le sitúa como una estructura fractal.

Finalmente, muestran lo indispensable que resultan los triángulos en la vida cotidiana, como por ejemplo aquellos que se encuentran en las construcciones arquitectónicas al formar una estructura

resistente y estable que no se deforma al aplicarle fuerzas y que habitualmente suelen ser siempre

triángulos equiláteros o isósceles. En caso contrario, las restantes figuras geométricas suelen contar con

elementos triangulables que aporten la estabilidad de la que inicialmente carecen.

Se trata pues, de un libro divulgativo dirigido a lectores que tengan interés en conocer la relación

existente entre los triángulos y otras disciplinas científicas y además quieran ahondar en aquellas

La engañosa sencillez de los triángulos Reseña: M.E. Segade Pampín



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cuestiones que promueven el conocimiento de aspectos más desconocidos de este aparente sencillo

polígono de tres lados.

M.E. Segade Pampín (Universidad de A Coruña)

María Elena Segade Pampín. Universidad de A Coruña.

Licenciada en Matemáticas por la Universidad de Santiago de Compostela en el 2012. Realizando la tesis

doctoral en didáctica de la Matemática por la Universidad de A Coruña dentro la línea de investigación

análisis del uso de software de geometría dinámica en el estudio de figuras planas.






ISSN: 1887-1984


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Congresos

XXXVI JORNADAS DE

LA ENSEÑANZA Y

APRENDIZAJE DE LAS

MATEMÁTICAS

Fecha: 16, 17, 18 y 19 de Noviembre de 2017. Lugar: Palacio de Congresos. Fuerteventura.

Convoca: Sociedad Canarias de Profesores de Matemáticas Isaac Newton.

Información: http://www.sinewton.org

Seminario:

"Experiencias en

el Aula con

Geogebra"

Fecha: Del 17 al 19 de Diciembre de 2017.

Lugar: Castro-Urdiales, Cantabria.

Organizadores: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas e Instituto Geogebra de Cantabria.

Información: http://www.ciem.unican.es/experiencias-de-aula-con-geogebra



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Fecha: Del 11 al 15 de Diciembre de 2017.

Lugar: Buenos Aires. Argentina. Organiza: Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de

Buenos Aires.

Información: http://uma2017.dm.uba.ar/

11 Festival

Internacional de

Matemáticas 2018

Fecha: Del 14 al 16 de junio de 2018.

Lugar: San José. Costa Rica.

Convoca: Fundación Cientec.

Información: http://www.cientec.or.cr



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Congreso

Internacional

de

Matemáticos

ICM 2018

Fecha: Entre el 1 y el 9 de Agosto de 2018.

Lugar: Centro de Convenciones Riocentro. Río de Janerio. Brasil.

Información:http://www.icm2018.org/portal/abertura/

Fecha: Del 11 al 14 de diciembre de 2018.

Lugar: Universidad de Cádiz. Cádiz. España.

Información: http://spabrazmathcadiz18.uca.es/web/Congreso/

Fecha: Del 15 al 19 de Julio del 2019.

Lugar:Valencia. España.

Convoca: La Sociedad Española de Matemáticas Aplicadas (SEMA)

Informaicón: http://iciam2019.com/




ISSN: 1887-1984

Volumen 96, noviembre de 2017, página 143

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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité

editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected] 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de

revisión o publicación en ninguna otra revista.

4. Se presentarán dos versiones del artículo. Una versión con toda la información y otra “versión ciega”, en la que se hayan eliminado todas las referencias a los autores del trabajo. Tanto en el

cuerpo como en la bibliografía.

5. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:

• Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista.

• Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía.

• Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de

evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.

• Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno

de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha

de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.

• Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.

• Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos.

• Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar

el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.

• Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones.

• Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de

texto (no enviarlas por separado).

• Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).

• Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:

o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Madrid: Morata.

o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole

number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics

Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York. o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a

conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de

febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

6. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo

se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

7. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial.

Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios

propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en

un periodo no mayor de 6 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.


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