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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas

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Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984

Volumen 93, noviembre de 2016, página 2

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil

hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,

aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Director

Israel García Alonso

Comité editorial

Hugo Afonso, Alicia Bruno, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Fátima García, Mª Aurelia Noda e Inés Plasencia.

Consejo asesor

José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo,

Luis Rico y Xavier Vilella.

Portada. Autor: Haridian Suárez González Título: “¿Cilindro o cono?”. (Primer Premio en Concurso Fotografía y Matemáticas 2010)”.

Edita

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Apartado 329.

38200 La Laguna (Tenerife) España

Email: [email protected]

Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas

Luis Balbuena Castellano (Presidente), Mª Nila Pérez Francisco (Vicepresidenta), Mª Isabel Borges Pérez (Secretaria General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), Francisco Aguiar Clavijo

(Vicesecretario), Pilar Acosta Sosa (Secretaria de actas), Rosario Cano Pérez (Bibliotecaria). Coordinadores

insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Nieves Marcela Herrera Pérez (Gran Canaria), Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), Carmen San Gil López (La Palma), Carmen Mª Tavío Alemán

(Tenerife).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y

noviembre.

mailto:[email protected]

http://www.sinewton.org/





ISSN: 1887-1984

Volumen 93, noviembre de 2016, páginas 3-4

Índice

Editorial 5

Conferencia Inaugural de las XXXIV Jornadas de la Sociedad Canaria Isaac Newton de

Profesores de Matemáticas

Artículos

La actividad matemática en un aula con estudiantes sordos y oyentes 15

Y. Nairouz y N. Planas

Tratamiento de la Orientación Espacial en el Aula de Educación Infantil desde

la perspectiva de la Educación Matemática Realista 31

A. Berciano Alcaraz, C. Jiménez-Gestal y M. Salgado Somoza

¡Jugamos a detectives y piratas! Aplicación de un programa de aprendizaje

sobre resolución de problemas 45

M. M. Rodríguez-Hernández, O. Morote-Esquivel

Formalización progresiva en matemáticas: el caso de la adición en primer curso de

primaria 75

M. Ramírez y C. de Castro

La génesis histórica de la Geometría Analítica y la enseñanza de la Matemática en

la Escuela Secundaria 93

E. Colombo Rojas, V. Carolina Llanos y M. Rita Otero

Una semblanza de las primeras mujeres afroamericanas doctoras en

Matemáticas 111

J. Alcántara Romero, M. C. Camacho Núñez, J. Núñez Valdés

Secciones

Experiencias de aula

El Álgebra no puede esperar 131

J. Rodríguez González

Matemáticas en la Educación 7 A. Martinón

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 93 noviembre de 2016

5

Mundo Geogebra

Demostraciones geométricas automáticas en GeoGebra 141

C. Ueno Jacue

Problemas

Soluciones al por mayor y al detalle, y algunas propuestas más. (Problemas

Comentados XLIV) 151

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Juegos

BITS, BITSBITS, BITSBITSBITS y polígonos tácticos 169

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Leer Matemáticas

Las mates con cuentos me molan. Ascensión Díaz Revilla 177

Reseña: A. I. Salas López

Informaciones 179

Normas para los autores 183




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Israel García, Director de NNúúmmeerrooss

Cada clase es un reto para un docente. Más si cabe, en la actualidad, pues debemos preparar

ciudadanos para un futuro cambiante y diferente. En ese trabajo de investigación es fácil toparnos actualmente con mucha bibliografía acerca del aprendizaje basado en problemas y del aprendizaje

basado en proyectos.

Pero, ¿a qué hace referencia este modelo de aprendizaje y cómo lo puedo implementar en mis

clases? Analizando ambas metodologías podemos llegar a la conclusión de que son prácticamente equivalentes y se pueden considerar que presentan la misma raíz o núcleo. Se trata de un nuevo

paradigma de enseñanza en el que los roles del estudiante y del profesor cambian frente a otras

metodologías anteriores, y en el que el aprendizaje de conocimientos tiene la misma importancia que

el desarrollo de habilidades y actitudes. Esta metodología va en consonancia con lo que se describe en la normativa curricular actual: el profesor como guía o facilitador del conocimiento y el estudiante

protagonista de su aprendizaje. Así pues, si queremos implementar este modelo de enseñanza debemos

buscar problemas y proyectos que sean relevantes para el estudiante y, en torno a los cuales,

desarrollemos el conocimiento dando respuesta a para qué su aprendizaje y su necesidad en la vida.

Cuando llegamos a este punto la dificultad radica en responder a cómo lo puedo llevar al aula.

En ocasiones nos encontramos que la dificultad radica en la falta de modelos didácticos que nos

permitan desarrollarlo en el aula. Pero en esta ocasión podemos encontrar diferentes modelos si miramos a otros sistemas educativos, como son el británico o el norteamericano, donde existen

publicaciones de proyectos y problemas adaptados para diferentes niveles y con amplia experiencia.

Así que, les invito a que investiguen sobre esta metodología, que la pongan en marcha en las aulas de

Canarias y que luego escriban a nuestra Revista contando la experiencia. Nos comprometemos a publicarla y así difundirla para, de esta forma facilitar y animar a otros compañeros a trabajar en el

modelo de enseñanza basado en problemas o en proyectos.

En este número de Números

Es interés de este Comité Editorial, publicar las conferencias que se desarrollan en las Jornadas

de Profesores de Matemáticas de nuestra Sociedad. Es por ello que iniciamos este nuevo volumen con la conferencia de inauguración de las XXXIV Jornadas de la Sociedad Canaria Isaac Newton de

Profesores de Matemáticas que tuvieron lugar el pasado mes de abril en La Laguna. En esta

conferencia-homenaje de D. Antonio Martinón a su “amigo y compañero” José Manuel Linares, nos

plantea varios problemas matemáticos muy elegantes y a la vez con resultados sorprendentes.

Las autoras del primer artículo, Nairouz y Planas, nos ofrecen un trabajo sobre la experiencia de estudiantes sordos en el aula de matemáticas. En este trabajo se detallan aspectos relacionados con el

contexto, el razonamiento y la ambigüedad conceptual y léxica con el vocabulario técnico.

En el siguiente trabajo, realizado por las autoras Berciano, Jiménez y Salgado, nos ofrece un

estudio en un aula de Infantil de 5 años, en el que la orientación espacial es el contexto para desarrollar

investigación en el espacio tridimensional.


Editorial I. García


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El trabajo de Rodríguez y Morote nos permite acercarnos a un aula de 3º de Primaria donde se potencia el trabajo de resolución de problemas partiendo de una situación lúdica que desbloquea el

rechazo hacia este trabajo en los estudiantes.

En el siguiente trabajo seguimos en el aula de Primaria, en este caso en el Primer Curso, donde

Ramírez y De Castro proponen entornos de aprendizaje en los que los estudiantes buscan estrategias

de resolución a los problemas aritméticos verbales que se les proponen.

En el trabajo de las autoras Colombo, Llanos y Otero realizan un análisis de cómo comienza la

Geometría Analítica en la Edad Moderna y cómo este trabajo puede servir para la Enseñanza

Secundaria al destacar la necesidad de conocimiento de la Geometría Clásica y del Álgebra para su

desarrollo.

El último de los trabajos presentados perteneciente a Alcántara, Camacho y Núñez, realiza el estudio biográfico de cinco mujeres matemáticas, afroamericanas y doctoras nacidas a finales del siglo

XIX y principios del XX. Se cuentan las enormes dificultades que tuvieron que salvar para completar

su formación superior.

También contamos con las secciones fijas de nuestra revista:

Experiencias de aula nos muestra una propuesta de trabajo de resolución de ecuaciones que incluye el trabajo con diferentes herramientas tecnológicas y la presentación de las soluciones

encontradas al resto del grupo.

Mundo Geogebra

Seguidamente contamos con los desafíos propuestos para esta semana en las secciones de

Problemas y Juegos, para terminar con una lectura recomendada para el próximo cuatrimestre.

Esperamos disfruten este nuevo volumen.




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Matemáticas en la Educación1

Antonio Martinón (Universidad de La Laguna. España)

Dedicado a la memoria de Manuel Linares Linares,

amigo y compañero

Debo comenzar recordando que la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas nació como resultado de la intensa preocupación que un grupo de jóvenes profesores sentimos por la situación de las Matemáticas en la Educación, lo que va más allá

de la enseñanza y aprendizaje de nuestra disciplina.

Fue a finales de 1977 cuando Luis Balbuena, Ángel Isidoro, Manuel Linares y yo mismo, que nos habíamos conocido como profesores en los comienzos de los estudios de Matemáticas en la Universidad de La Laguna, decidimos constituir esta Sociedad, para aglutinar a los colegas más interesados y preocupados. Al hablar ahora de los tres amigos, rindo homenaje emocionado a Manuel Linares, recientemente fallecido 2.

Expondré en este texto algunas ideas sobre las Matemáticas en la Educación que me parecen muy importantes y que, a mi juicio, deberían ser tenidas en cuenta por quienes nos

dedicamos a su enseñanza.

Dos pequeñas investigaciones

El profesor debe convertirse en un investigador sobre el propio proceso de enseñanza y aprendizaje en el que está inmerso. Presentaré ahora los resultados de dos pequeñas

investigaciones.

La primera se refiere al significado de la división de dos enteros positivos. Supongamos que a y b son enteros positivos, siendo el primero múltiplo del segundo. La división a:b posee dos significados.

El primero se refiere al número de grupos que aparecen al repartir a objetos en grupos de tamaño b. Ejemplo. Cada caja de bombones cuesta 9 euros y he gastado 45 euros.

¿Cuántas cajas compré?

1 Conferencia pronunciada el 14 de abril de 2016 en la inauguración de las XXXIV Jornadas de la Sociedad

Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas, celebradas en La Laguna. 2 Manuel Linares Linares falleció el 4 de junio de 2016. En el momento de la conferencia estaba ingresado en el

Hospital Universitario de Canarias.


Matemáticas en la Educación A. Martinón

8 NÚMEROS Vol. 93 noviembre de 2016

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El segundo trata del tamaño de cada grupo al repartir a objetos en b grupos de igual tamaño. Ejemplo. He comprado 5 cajas de bombones por 45 euros. ¿Cuánto cuesta cada

caja?

Se preguntó a estudiantes de dos niveles diferentes mediante la resolución de

sencillos problemas y los resultados de éxito se indican en la Tabla 1.

Edad de los estudiantes Número de grupos Tamaño de grupos

9-10 años 57%-67% 72%-82%

10-11 años 28%-41% 24%-74%

Tabla1. Resultados sobre el doble significado de la división

Lo que aquí se obtiene forma parte de un fenómeno que hemos denominado la asimetría en el aprendizaje y que está presente en numerosos aspectos.

La segunda pequeña investigación se refiere al papel del cero en la suma. A los estudiantes se les plantearon cuestiones que pueden resumirse en llenar el espacio en

blanco en las siguientes igualdades:

a + _ = a ; _ + a = a ; _ + 0 = a ; 0 + _ = a

Los resultados que se recogen en la Tabla 2 ponen en evidencia una apreciable diferencia.

Edad de los estudiantes a + _ = a _ + a = a

_ + 0 = a 0 + _ = a

13-14 años 76% 96%

14-15 años 49% 77%

Tabla 2. Resultados sobre el papel del 0 en la suma

Estos datos llaman la atención sobre la singularidad de cero en la enseñanza de las

Matemáticas.

Ambas investigaciones fueron realizadas en un amplio proyecto desarrollado por el Grupo Anaga, que estuvo compuesto por Teresa Vázquez, Ana A. Pérez, Justo Fernández, Juan R. Rojas, José M. Álamo, Dolores Sauret, Catalina D. García, Francisca García, Emilio M. Hernández, Isabel Ledesma, M. Carmen Manrique, Juan M. Moreno, M. Mercedes Paniagua, Pedro Perestelo, M. Dolores Prieto, Ángeles Rodríguez, M. Teresa Sánchez, M. Luisa Torres y yo mismo. Un resumen de los resultados del proyecto puede encontrarse en la Revista de Educación (1993).

Problemas aditivos de cambio

Ahora consideramos situaciones numéricas de tipo aditivo y muy simples. Nos centramos en situaciones en las que tenemos un estado inicial, se produce un cambio y

obtenemos un estado final. Esquemáticamente:

Inicial + cambio = final


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Por ejemplo:

Luis tiene 5€ + cambio = Luis tiene 2 €

Hay varias formas de expresar el cambio que se ha producido en el dinero que tiene Luis. Por ejemplo, se puede comparar lo que tenía y lo que tiene usando las expresiones

“más que” y “menos que”:

Luis antes tenía 3€ más que ahora

Luis tiene ahora 3€ menos que antes

Esta situación y las dos formas señaladas de expresar el cambio dan lugar a seis diferentes problemas, que se recogen en la siguiente tabla, según el orden en el que se dan

los datos y según cuál sea la incógnita:

Dato 1 Dato 2 Incógnita

Inicial Final Cambio

Final Inicial Cambio

Inicial Cambio Final

Cambio Inicial Final

Final Cambio Inicial

Cambio Final Inicial

Tabla 3. Problemas aditivos de cambio según la incógnita y el orden de los datos

Pese a lo simple de la situación hay notables diferencias en el éxito de esos seis

problemas. Por ejemplo:

Luis tiene ahora 2€ y antes tenía 3€ más que ahora. ¿Cuántos euros tenía antes? [90%]

Características de este problema: datos en orden inverso a la evolución temporal, se usa una expresión consistente (se dice “más que” y se debe sumar), el referente es un dato conocido (lo que tenía antes), y lingüísticamente tiene la estructura “ahora…

antes… ahora… antes…”

Luis tiene ahora 2€ y ahora tiene 2€ menos que antes. ¿Cuántos euros tenía antes? [20%]

Características de este problema: datos en orden inverso a la evolución temporal, expresión inconsistente (se dice “menos que” y se debe sumar), el referente es la incógnita (lo que tenía antes), y lingüísticamente tiene la estructura “ahora… ahora…

antes… antes…”

Como se ve, la gran diferencia de éxito se debe a las distintas maneras de expresión y

pone de manifiesto que hay una dificultad en la comprensión lectora.



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Estos datos forman parte de una investigación sobre problemas aditivos que realicé con Alicia Bruno y Fidela Velázquez, publicada en la revista Suma (2001).

Debo mencionar otras investigaciones que he desarrollado en el ámbito de la

Educación Matemática que he realizado con Candelaria Espinel y Juan Antonio García Cruz.

Demostraciones

Los humanos decidimos de maneras muy diversas: recurrimos a un razonamiento, seguimos una corazonada o nuestros sentimientos, apelamos a una votación, o dispone la autoridad por todos nosotros... Así será fácil que nos equivoquemos. Sin embargo, en la Ciencia decidimos en base a una explicación. Buscamos la verdad y tenemos que convencernos unos a otros de cuál es la verdad.

En el sistema educativo de cualquier país encontramos que las Matemáticas, junto con el estudio de la Lengua, tienen un papel central. Hay una doble justificación para que sea así. Las Matemáticas resultan útiles en la vida cotidiana: las operaciones aritméticas son necesarias con frecuencia y ciertos rudimentos de Geometría y de las medidas de figuras simples también son imprescindibles. Además, el estudio de las Matemáticas contribuye a la

formación intelectual.

Que en la escuela razonemos las verdades matemáticas es parte fundamental de ese papel formativo que nuestra disciplina posee. Sin embargo, un grave problema está extendido en nuestros sistemas educativos: las demostraciones matemáticas en el aula están en retroceso, prácticamente ausentes. Pero para que las Matemáticas jueguen su papel de formación intelectual es necesario que haya razonamiento matemático y eso se alcanza si las demostraciones forman parte del currículo escolar.

Por supuesto, no hay que demostrarlo todo y hay que adaptar las demostraciones al nivel de los alumnos. Pero sí creo muy conveniente que se implante la costumbre de la demostración, de la justificación, de la explicación científica. Ante una propiedad matemática que no se demuestra caben varias justificaciones: “no tenemos tiempo para hacerla, pero se hace de modo similar a aquella otra”, e incluso cabe decir “es difícil y ya se estudiará en un curso posterior”, pero siempre se debe dar una explicación demostrativa. Debe quedar claro que en Matemáticas se demuestra todo, aunque al alumno, por una u otra razón, no se le ofrezca la correspondiente argumentación.

Quizás lo más difícil de una demostración es entender lo que una demostración significa. Como no se trabajan las demostraciones, o son muy pocas las que se presentan, la misma noción de demostración resulta extraña a los estudiantes de la Educación

Secundaria y se convierte en una auténtica novedad en los estudios universitarios.

Hemos de dejar claro que las verdades matemáticas no lo son por arte de magia, ni porque lo dice el profesor, ni porque está en el libro, ni porque siempre ha sido así...

Puesto que no es posible demostrarlo todo, se debe procurar elegir aquellas

demostraciones más claras, más simples y, también, las más elegantes y atractivas.

El teorema más conocido y más popular es el de Pitágoras. Una demostración sencilla

está contenida en los dos dibujos de la figura 1:




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Figura 1. Demostración visual del teorema de Pitágoras

Más difícil es demostrar que hay infinitos números primos. Recordemos que los primeros números primos son 2, 3, 5, 7... Supongamos que los números a, b, c,…, m son

primos. Los multiplicamos todos ellos, sumamos 1 y obtenemos el número:

p = abc…m + 1

el cual es diferente de a, b, c, …, m (¡es “bastante” más grande que todos ellos!) El número p no es múltiplo de a, ya que si lo fuera, entonces también 1 tendría que ser múltiplo de a, lo que no puede ser. Análogamente, p no es múltiplo de ninguno de los otros números primos: ni de b, ni de c, ..., ni de m. Por tanto, o bien el mismo p es primo o bien es múltiplo de algún otro primo, que es diferente de los primos iniciales a, b, c, …, m. En cualquier caso podemos decir que hay más primos además de los iniciales a, b, c, …, m.

Las ideas aquí expuestas se presentan con más detalle en mi artículo publicado en la revista Unión (2009).

Meridianos y paralelos

Estamos ahora interesados en un problema sobre la esfera terrestre que puede servir para que los alumnos puedan desarrollar una pequeña investigación.

Deseamos dar un paseo sobre la superficie terrestre que consista en recorrer 1 km hacia el sur (por un meridiano), 1 km hacia el este (por un paralelo) y 1 km hacia el norte (por un meridiano), pero de manera que volvamos al mismo punto de partida. Ver Figura 2 y Figura 3.



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Figura 2. Paseo por la esfera

Es fácil convencerse de que una solución es salir del polo norte.

Figura 3. La solución del polo norte

¿Hay más soluciones? No…, si nos limitamos al hemisferio norte. Pero en el hemisferio sur sí que hay más soluciones, bastantes más. Realmente hay infinitas familias de infinitas soluciones cada una: cualquier punto del paralelo que está a 1 km al norte del paralelo que mide 1 km de longitud, cualquier punto del paralelo que está a 1 km al norte del paralelo que mide 1/2 km de longitud…. cualquier punto del paralelo que está a 1 km al norte del paralelo que mide 1/n km de longitud…

La hormiga y el ecuador

Vamos finalmente con otro problema. Suponemos que el ecuador de la Tierra mide 40 millones de metros. Imaginemos una cinta ajustada al ecuador y la alargamos 1 metro. Ahora tenemos una nueva cinta que mide 40.000.001 metros. Estiramos la nueva cinta y la ponemos paralela al ecuador. ¿Puede pasar una hormiga entre la cinta y el ecuador?

La respuesta es simple, sólo hay que conocer que la longitud de la circunferencia es

igual al producto de 2π (= 6’28…) por el radio de la circunferencia.




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La longitud del ecuador es

E = 2πR = 40.000.000

siendo R el radio de la Tierra. La longitud de la cinta ampliada es

C = 2π(R + a) = 2πR + 2πa = 40.000.001

donde a es la distancia entre el ecuador y la cinta, la holgura que tiene la cinta por encima del ecuador. Por lo tanto

2πa = 1

Es decir,

a = 1

2π=

1

6′28 …= 0′16 …

Por tanto, la distancia entre el ecuador y la cinta tiene más de 16 centímetros. ¡Cabe

una hormiga y algún animalito bastante más grande!

Aquí se produce un choque entre lo que nos parece “más natural”, lo intuitivo, y el resultado del cálculo numérico. La conclusión es que en este asunto tenemos mal educada la intuición. Estamos tratando con una de las funciones más simples, la lineal, y no hemos asumido que no sólo los valores de la función son proporcionales a los de la variable, sino que también las variaciones de la función son proporcionales a las variaciones de la variable. Dicho de otro modo, si realizamos la misma operación sustituyendo el ecuador por el borde de una moneda de 1 euro, de modo que alargamos en 1 metro una cinta pegada al borde de la monera, el resultado sería el mismo: algo más de 16 centímetros separarían el

borde de la moneda de esa cinta alargada colocada de forma paralela.

Conocí este problema del ecuador y la hormiga en el delicioso libro La educación matemática del hombre de la calle, de Hug Gray y Lillian R. Lieber (Editorial Iberia – Joaquín

Gil, 1946).




ISSN: 1887-1984


La actividad matemática en un aula con estudiantes sordos y oyentes1

Yinzú Nairouz y Núria Planas (Universitat Autònoma de Barcelona)

Fecha de recepción: 05 de febrero de 2016

Fecha de aceptación: 01 de junio de 2016

Resumen Explicamos el desarrollo y algunos resultados de una investigación en un aula de

matemáticas de una escuela que acoge estudiantes sordos en Bogotá, Colombia.

Examinamos la actividad matemática en un grupo de estudiantes con distintos grados de

compromiso auditivo durante la resolución de una tarea aritmética. Con base en el

análisis del video de clase y de transcripciones de momentos de la actividad, generamos

tres temas que informan sobre aspectos comunicativos y matemáticos del trabajo en el

grupo, que son además aspectos constatados para otros grupos y sesiones de clase. Los

temas son: 1) referencia al contexto extra-matemático del enunciado; 2) uso tentativo de razonamientos inductivos y deductivos; y 3) ambigüedad conceptual y léxica con

vocabulario técnico. A raíz de la discusión de los temas, señalamos implicaciones para la

enseñanza de las matemáticas con estudiantes sordos y oyentes.

Palabras clave Actividad matemática en clase, comunicación, estudiantes sordos y oyentes, bilingüismo,

enfoque etnográfico, implicaciones para la enseñanza.

Title The mathematical activity in a classroom with deaf and hearing students

Abstract We explain the conduction and some results of an investigation in a mathematics class of

a school for deaf students in Bogotá, Colombia. We examine the mathematical activity

within a group of students, with different levels of auditory processing, during their

resolution of an arithmetic task. Drawing on the analysis of the video and transcripts of

some moments of the activity, we generate three themes regarding communicational and

mathematical issues of the work in the group, which in turn have been found for other

groups and lessons. The themes are: 1) reference to the extra-mathematical context of the

wording; 2) tentative use of inductive and deductive reasoning; and 3) conceptual and lexical ambiguity around technical vocabulary. From the discussion of the themes, we

come to implications for mathematics teaching to deaf and hearing students.

Keywords Mathematical activity in classroom, communication, deaf and hearing students,

bilingualism, ethnographic approach, teaching implications.

1 Este artículo reporta resultados del trabajo de tesis doctoral de Yinzú Nairouz, quien es doctoranda del

Programa de Recerca en Educació de la Universitat Autònoma de Barcelona bajo supervisión de Núria Planas.


La actividad matemática en un aula con estudiantes sordos y oyentes Y. Nairouz y N. Planas


1. Introducción

En este artículo tratamos la comprensión del aprendiz de matemáticas sordo y de los aspectos

sociales y culturales involucrados en su actividad matemática en interacción con otros participantes en

clase. Disponemos de datos tras haber finalizado un estudio sobre la actividad matemática en un aula con participantes sordos y oyentes. Desde una perspectiva capacitadora, la persona sorda es alguien sin

acceso al uso de algunos recursos comunicativos, que son dados por supuesto para el caso de la

persona oyente, por lo que en su actividad matemática aprende a elaborar y potenciar en direcciones

particulares los recursos a los que sí tiene acceso. Esta apreciación es extensible a personas con distintos grados de compromiso auditivo, para quienes el uso de la lengua ordinaria en combinación

con la lengua de señas representa una experiencia de bilingüismo y de biculturalidad. Bajo estas

circunstancias, los recursos sociales (e.g. interacción con otras personas y grupos), los culturales (e.g. interpretación de gestos y movimientos) y los lingüísticos (e.g. combinación de lenguas) influyen en el

desarrollo y la comunicación de la actividad matemática en los entornos de aula. Estas apreciaciones

también proporcionan un marco adecuado para entender la actividad de los alumnos oyentes,

especialmente cuando comparten la práctica de clase con alumnos sordos y, en consecuencia, están en

contacto directo con una lengua y una cultura distintas a las que están acostumbrados.

La pregunta que ha guiado la investigación queda formulada así: ¿Cómo se produce la actividad

matemática y su comunicación en entornos colaborativos de aula con estudiantes sordos y oyentes? A

fin de dar respuesta, hemos recogido y analizado datos en un aula de matemáticas de séptimo grado cuyos estudiantes tienen distintos grados de compromiso auditivo, y donde el español oral y el escrito

se combinan con la lengua de señas en el transcurso de la actividad. En lo que sigue, resumimos

consideraciones teóricas para la delimitación de nuestra perspectiva e indicamos los métodos que se inician con una experimentación de clase. Luego presentamos tres temas emergentes derivados del

análisis de la actividad matemática y su comunicación. Acabamos con implicaciones para la enseñanza

de las matemáticas en aulas con diversidad relativa al grado de compromiso auditivo.

2. Aproximación al aprendiz de matemáticas sordo

Hace más de una década, desde la psicología Nunes (2004) dio visibilidad a la complejidad

cultural de la educación matemática con estudiantes sordos en un trabajo dirigido a familias y

profesorado. Se combatía así el riesgo de la entrada de enfoques médicos en el área y se

problematizaban enfoques con énfasis exclusivo en la dimensión cognitiva del aprendiz (e.g. Chausard, 1976, referenciado en Austin y Howson, 1979). No obstante, el discurso en el trabajo de

Nunes seguía centrado en las dificultades del estudiante sordo durante su aprendizaje matemático y en

las posibles implicaciones de ubicar estudiantes “no sordos” y otros con “discapacidades auditivas” en una misma aula. Años más tarde, Healy y Powell (2013) afirman la necesidad de un giro en la

investigación de grupos de estudiantes que hasta entonces se venían conceptualizando, y a la práctica

considerando, con discapacidad. Healy y Powell distinguen entre discapacidad o deficiencia, diferencia y desventaja: junto con la diferencia que socialmente se le atribuye, el estudiante sordo está

sujeto a la desventaja producida por los modos en los que se construye una identidad de discapacidad

para quienes no se asemejan a un ideal establecido por una cultura, una lengua y un tiempo histórico.

Para la última década, Planas y Valero (2016) han indicado el auge de los enfoques sociales y

culturales en la investigación en educación matemática que examinan cuestiones de exclusión e inclusión de grupos de estudiantes según sus condiciones culturales, sociales, históricas y lingüísticas.

Para el grupo de estudiantes sordos, en nuestro estudio argumentamos que el giro hacia lo social

permite explicar aspectos involucrados en la creación de obstáculos a la participación en clase, y más en particular en la percepción de oportunidades reducidas de aprendizaje matemático. Planas y Valero

no mencionan el caso de la exclusión del alumnado sordo, pero sí dan cuenta del estudio de casos de




exclusión con respecto a una diversidad de dimensiones combinadas de la identidad del estudiante: lengua, edad, extracción social, género y etnicidad, entre otras. A pesar de que el grupo de estudiantes

sordos no ha sido todavía objeto prioritario de estudio en la literatura del área, hay trabajos como el

realizado en México y Brasil por Healy, Becerra, Fernandes y Botelho (2016) que están contribuyendo

a situar esta línea de interés en el mapa de investigación. En palabras de Healy et al. (2016, p. 142):

En el área de diversidad lingüística y aprendizaje matemático, la

investigación ha tendido a considerar la diversidad en relación con las

lenguas habladas por delante de las lenguas en general y de los recursos

lingüísticos expresados mediante otras modalidades, tales como las lenguas

de señas, los signos y los gestos. Este escenario está empezando a cambiar, al

menos respecto a aquellas expresiones visuales-gestuales-somáticas descritas

como gestos, con una atención en aumento durante los últimos años para con

las funciones cognitivas y comunicativas involucradas en las actividades

matemáticas… y con el correspondiente reconocimiento de la naturaleza

multimodal de la comprensión matemática… [Nuestra traducción]

De acuerdo con estas reflexiones, interpretamos el estudiante sordo como miembro de una

identidad lingüística minoritaria y minorizada en una sociedad dominada por la cultura oyente y la oralidad. Compartimos esta aproximación con Healy y sus colegas (2016), y con otros investigadores

que se han adentrado en esta línea de interés, algunos de cuyos trabajos pasamos a discutir.

3. Estudios sobre desempeño matemático de estudiantes sordos

Hemos hallado pocos trabajos donde el foco del análisis sea el alumno sordo en su interacción

con alumnos sordos y oyentes durante la resolución de tareas matemáticas en clase, o bien donde el

foco sea la percepción que el profesor de matemáticas tiene sobre su enseñanza en estos entornos de

aula. En esta sección nos referimos a tres estudios sobre la actividad matemática de alumnos sordos y a un cuarto estudio sobre la percepción de profesores del área acerca de la actividad matemática de

estos alumnos. Son estudios que comparten una perspectiva capacitadora del aprendiz sordo, aun

cuando se concluye sobre dificultades de escolarización, de aprendizaje y de enseñanza.

Empezamos con el estudio de Blatto-Vallee, Kelly, Gaustad, Porter y Fonzi (2007), que enlaza directamente con los resultados documentados por Nunes (2004). Estos autores tomaron datos durante

la resolución con papel y lápiz de problemas matemáticos en siete aulas de varios niveles educativos.

La población total fue de 305 estudiantes, siendo oyentes más de un centenar y el resto con distinto

grado de compromiso auditivo. Mediante el análisis de las respuestas escritas, se pretendía probar que las representaciones visuales y espaciales de unos y otros estudiantes eran de una complejidad similar.

Esto se probó y se contrastó con la diferencia de rendimiento en un cuestionario individual que se

había proporcionado a los mismos estudiantes, con problemas matemáticos verbales de aritmética. Una elevada cantidad de los estudiantes sordos con un rendimiento bajo en el cuestionario tuvo una

alta participación en las sesiones de clase e introdujo representaciones matemáticas decisivas en la

resolución de varios problemas. Esta diferencia no se documentó con la misma frecuencia ni medida para los estudiantes oyentes. Una conclusión de Blatto-Vallee y sus colegas es que el entorno

comunicativo donde se desarrolla la actividad matemática del estudiante sordo tiene un papel esencial

en su participación y rendimiento. Otra conclusión es que las tareas cuyos enunciados incorporan

representaciones gráficas son a priori más adecuadas para la actividad matemática del estudiante

sordo, en comparación con enunciados estrictamente verbales sin diagramas ni esquemas de soporte.

El segundo estudio que comentamos es el de Hyde, Zevenbergen y Power (2003), con 77

estudiantes sordos e hipoacúsicos de distintas edades escolares a quienes se solicitó que completaran



un cuestionario escrito con 24 tareas aritméticas de enunciado verbal. Se pretendía comparar el rendimiento de estos estudiantes con el del grupo de estudiantes oyentes, además de identificar

estrategias usadas por los primeros. Todas las tareas incluían estrategias aditivas o substractivas con

números cuya suma era menor que 10. Tras el análisis de las respuestas individuales a las tareas, se seleccionaron unos pocos estudiantes para indagar mediante entrevistas cómo se habían pensado los

problemas y su resolución. Se concluyó la existencia de dificultades lingüísticas relativas a la

complejidad sintáctica de los enunciados, al uso de las formas gramaticales pasivas y a la falta de familiarización con términos matemáticos y otros propios del lenguaje ordinario. Para las tareas con

un lenguaje formal sin evocación de contexto cotidiano, se detectaron dificultades en la comprensión

de términos como twice, que resultaron ser polisémicos y conceptualmente ambiguos para varios

estudiantes. Para las tareas con enunciados de contexto cotidiano, se examinaron términos como lost, para los cuales se detectó un fenómeno similar de polisemia y otro asociado de ambigüedad léxica. A

pesar de que la ambigüedad léxica quedó probada para ambos tipos de enunciados –formales y

cotidianos–, se documentó un ligero mejor desempeño de los estudiantes en la resolución de tareas aritméticas de contexto cotidiano. Una implicación del estudio fue la recomendación para la práctica

educativa de enunciados con contextos cotidianos y construcciones gramaticales sencillas.

El tercer estudio es el de Goldin-Meadow, Shield, Lenzen, Herzig y Padden (2012), quienes

examinaron la relación entre seña y gesto en la comunicación de la resolución de tareas aritméticas

con estudiantes sordos. A diferencia de los estudios anteriores, este trabajo explora la comunicación de las tareas por delante de la resolución. Goldin-Meadow y sus colegas consideraron señas a los

movimientos de la mano que eran reconocibles en la lengua de señas americana (ASL por sus siglas en

inglés), mientras que consideraron gestos los señalamientos en la pizarra y los movimientos de la mano que no son señas de ASL. Se propuso un cuestionario con tareas escritas del tipo 6+5+8 = __+8

a 40 estudiantes sordos usuarios de ASL, de entre 9 y 12 años, de cuatro escuelas para sordos, y se les

pidió que explicaran su solución en ASL en la pizarra. Más tarde, el investigador presente en la clase explicó la resolución en ASL a los estudiantes, a saber, encontrar la respuesta que encaja en el espacio

en blanco para que los dos lados de la igualdad coincidan. Se concluyó sobre la frecuencia de

determinadas parejas seña-gesto (e.g. colocar la mano en V para señalar y agrupar dos cantidades y

luego dar en señas el resultado) de los estudiantes sordos en su actividad matemática. Al respecto, se

documentaron abundantes prácticas de combinación y asociación de lengua y señas.

El cuarto estudio es el de Kelly, Lang y Pagliaro (2003), quienes examinaron prácticas relatadas

por profesores de matemáticas en la enseñanza de la resolución de tareas de contexto cotidiano y de

ejercicios rutinarios en clases con estudiantes sordos. A diferencia de los tres estudios anteriores donde el objeto del análisis fueron los estudiantes sordos en su actividad matemática, aquí se investigaron

percepciones de profesores de estudiantes sordos acerca de prácticas que manifestaran considerar

adecuadas en su enseñanza. Se realizó una encuesta con 133 profesores de distintos niveles escolares

y, del análisis de las respuestas, se concluyó que se priorizaban ejercicios rutinarios antes que tareas inspiradas en problemáticas cercanas. Esta opción se veía adecuada por conllevar menor exigencia de

lectura y comprensión de enunciados verbales. En concreto, varios profesores escribieron acerca de la

dificultad atribuida al alumnado sordo en la comprensión y manejo de enunciados verbales extensos en lengua inglesa. Estas percepciones limitadoras acerca del estudiante sordo en su desempeño

matemático contrastan con los resultados hallados ese mismo año por Hyde et al. (2003). Por otra

parte, cabe señalar que la mayoría de profesores del estudio no había recibido formación para la

enseñanza de las matemáticas a grupos de estudiantes con distintos grados de compromiso auditivo.

4. Diseño del estudio y métodos de análisis

La experimentación se realizó en un colegio privado de Bogotá, dirigido a la escolarización de

estudiantes sordos con inclusión de oyentes. Este colegio se define como una institución de educación




bilingüe –lengua de señas colombiana como primera lengua y castellano escrito y oral como segunda lengua– y bicultural –cultura sorda y cultura oyente en Colombia. Los datos se tomaron en un aula con

14 estudiantes de séptimo grado de secundaria, de entre 12 y 17 años, y se grabaron en audio y video.

En el aula estuvieron presentes el profesor de matemáticas, quien es sordo, una intérprete de lengua de señas colombiana y la primera autora en calidad de investigadora y observadora participante. La

intérprete es una educadora contratada por la escuela con conocimiento de la lengua de señas local y

del castellano, capaz de traducir informaciones de una lengua a la otra. En este punto es relevante señalar que la primera autora también tiene experiencia profesional como intérprete.

De las cuatro sesiones de clase que constituyen el cuerpo principal de datos, ilustramos datos de la sesión y del grupo donde aparecen más explícitos los temas que explicamos más adelante. Nos

centramos en el grupo de cuatro estudiantes (GA) cuyos pseudónimos son Óscar (sordo profundo),

Juan (implante Baha), Luis (implante coclear) y Gabriel (oyente). En las conversaciones que registramos, usamos ‘Otros’ para el resto de estudiantes. La selección de un grupo para ser discutido

en este artículo se corresponde con la selección de uno de los dos entornos colaborativos del aula que

se consideraron: puesta en común y grupo de trabajo. Tras el análisis preliminar de todos los grupos y sesiones, se observó que el de Óscar, Juan, Luis y Gabriel era el que mostraba mayores diferencias en

la frecuencia de la participación matemática de sus integrantes. Los datos y resultados para esta sesión

y grupo son representativos de regularidades documentadas para el conjunto de sesiones, ya sea en

momentos de puesta en común o del trabajo en otros grupos. Este hecho es importante porque permite asociar los dos entornos del aula desde la perspectiva de las regularidades halladas. Dado el enfoque

etnográfico al análisis cualitativo de la actividad en la interacción, el volumen de datos aportados por

el registro de la actividad de los grupos y las puestas en común en cuatro sesiones se piensa suficiente.

Figura 1. Reproducción del enunciado de la tarea matemática

La Figura 1 reproduce el enunciado del problema propuesto en la sesión de clase que

comentamos. Desde la investigación se diseñó el problema y se redactó en castellano a fin de ofrecer a profesor y estudiantes una situación cotidiana fácilmente imaginable, que admitiera respuestas

numéricas que fueran rastreables sin necesidad de una explicación verbal escrita. Se quiso además que

el enunciado tuviera carácter multimodal mediante la combinación de tres canales visuales a modo de soporte: un texto, un gráfico y una tabla. La información contenida en cada una de estas tipologías de

canal visual no aparece repetida en otra tipología; texto, gráfico y tabla son complementarios, pero no

sustituibles. Esto implica que el enunciado es multimodal y que también lo es la lectura que se necesita



para entender lo que se pide. Básicamente la información consiste en los horarios y precios, para la fecha, del billete en el sistema de transporte público masivo Transmilenio de Bogotá.

Para todas las sesiones y entornos examinados, las conversaciones se representaron en tablas de tres columnas. La primera columna indica el participante; la segunda columna aporta la transcripción

literal cuando se ha utilizado el castellano oral, la glosa cuando ha habido lengua de señas y ambas cuando se han simultaneado castellano oral y lengua de señas; si ha habido glosa, la tercera columna

contiene su traducción. La glosa se indica en mayúscula; se utiliza una línea superior seguida de un

superíndice int si hay un rasgo no manual para una interrogación, la terminación IX indica un adverbio de lugar sobre ubicación o dirección de la seña, mientras que las repeticiones del signo + reflejan la

cantidad de veces que una seña se utiliza. Esta es una opción verbalizada de representación de los

canales viso-gestuales de la lengua de señas y de los canales audio-vocales de la lengua oral (Tovar,

2003). Con esta opción limitamos el registro de la pluralidad de variedades locales de señas, gestos y expresiones orales dentro del aula. No obstante, la opción de glosas, con un nivel medio de

representación y un nivel alto de facilidad de lectura, reproducción y economía de símbolos, es

adecuada de acuerdo con el propósito de análisis cualitativo de acciones comunicativas y matemáticas.

Para empezar la reducción de datos, se creó un instrumento a modo de espiral para cada grupo y puesta en común. Dicha espiral incluye el resumen temporalmente ordenado sobre un plano cartesiano

de acciones comunicativas (e.g. señala sobre la hoja de trabajo un apunte anotado) y matemáticas (e.g.

realiza representación gráfica en sustitución de operación) identificadas en el análisis preliminar

durante el visionado de los datos. Este instrumento permitió fijar la mirada en aspectos de la comunicación relativa a la resolución de la tarea, informando de un modo descriptivo y general sobre

el escenario comunicativo y la actividad matemática. Para la descripción del escenario comunicativo

se tuvieron en cuenta los tipos de recursos utilizados en la interacción: lenguas, artefactos, gestos y movimientos (no asociables a la lengua de señas local) y participantes. Todos estos aspectos se

piensan como recursos porque se espera que contribuyan a iniciar o continuar procesos orientados a la

resolución de la tarea matemática. Para la descripción de la actividad matemática, se tuvieron en cuenta momentos en la aproximación a la tarea de naturaleza mayormente organizativa, heurística,

operacional o argumentativa. Estos tipos de actividad se fijaron para orientar el análisis de las acciones

matemáticas con especial atención a los cambios entre modos de razonamiento.

Tras el análisis descriptivo del escenario comunicativo y de la actividad matemática, por grupo y por puesta en común, se procedió a realizar el análisis principal, ya de carácter más relacional y explicativo, con foco en la construcción comunicativa de la actividad matemática de los estudiantes.

Dado un escenario comunicativo, puede considerarse su posible impacto en la generación de acciones

matemáticas y cambios en los modos de razonamiento. De ahí que el estudio de las acciones comunicativas se vincule con el estudio de las acciones matemáticas desarrolladas por los alumnos.

Aunque la vinculación entre unas y otras acciones no sea automática stricto sensu, ciertas acciones

comunicativas pueden hacer incrementar la calidad de la actividad matemática. Con base en este

supuesto, se aplicó un análisis inductivo que implicó la formulación de temas emergentes a partir de la discusión de relaciones entre secuencias de acciones comunicativas y matemáticas. La creación de

temas se anticipó con la creación de temas provisionales sobre aspectos de la actividad matemática,

que se generaron en un intento de sintetizar lo que pareció relevante respecto a la participación y al desempeño en varios momentos de al menos dos sesiones de clase. De acuerdo con nuestro enfoque

etnográfico, la relevancia de un tema no es realmente tanto un asunto de frecuencia numérica sino de

incidencia en el desarrollo de la actividad matemática. El procedimiento de indagación y tres de los temas se ilustran en la próxima sección mediante datos de GA.




5. Análisis y discusión de resultados

Habiendo realizado un análisis preliminar de acciones matemáticas y comunicativas fácilmente

identificables en los datos de video, para indagar más en profundidad la actividad matemática en el

seno de GA, primero caracterizamos los rasgos del escenario comunicativo en el que se produjo dicha actividad y, a continuación, caracterizamos momentos de la actividad matemática entre los estudiantes

de GA y entre ellos y otros participantes del aula tales como la primera autora.

5.1. Escenario comunicativo de la actividad matemática

En este apartado relatamos los resultados del análisis del uso de recursos para la comunicación

durante la actividad matemática desarrollada por GA en torno a la tarea de la Figura 1. Estos resultados informan sobre el escenario comunicativo en el cual los estudiantes interactúan. Conviene

dar cuenta de este escenario para entender uno de los contextos principales donde se produce la

participación y la actividad matemática. Los siguientes párrafos se organizan mediante la detección de aspectos relativos al uso de lenguas, de artefactos, de gestos y movimientos, y de intercambios.

El primer recurso que se examinó para dar cuenta del escenario comunicativo fue el uso de las lenguas de los estudiantes. Durante la identificación de datos del problema y de búsqueda de

estrategias de resolución, se observa un dominio del castellano oral. Todos los estudiantes de GA

conocen la lengua de señas colombiana, pero a excepción de Óscar, tienden a no introducirla en la discusión. Destaca apenas una conversación en castellano oral y lengua de señas donde se considera la

validez de razonamientos matemáticos esgrimidos para una opción de la tarea. En la comunicación a

toda la clase de algunos de estos razonamientos y durante la explicación de cálculos, se combinan castellano oral y lengua de señas a iniciativa de la investigadora presente. Hay, en síntesis, un

escenario oralizado con dominio del castellano y escasa presencia de la lengua de señas. Esto puede

deberse a motivos de distinta índole: desde la mayor asociación de la lengua oral con el trabajo

académico en el aula hasta la mayor frecuencia en la participación de estudiantes oyentes.

En cuanto al uso de gestos y movimientos, hay sonrisas y miradas de acuerdo que sugieren la implicación de los estudiantes en la resolución del problema. En varias ocasiones se señalan con el

dedo aspectos escritos en la hoja de trabajo, se utilizan los dedos para el conteo, o bien se simula una

tabla de multiplicar visual “en el aire”. Hacia el final del trabajo en grupo, dos estudiantes se levantan de su silla y buscan compartir su resolución con otros participantes, lo cual indica de nuevo un cierto

grado de implicación. Encontramos, sin embargo, evidencias de obstaculización a la participación en

los gestos de solicitud de silencio que interrumpen las señas de Óscar en tres ocasiones. Hay, en síntesis, un uso abundante de gestos, algunos de los cuales son decisivos para fijar matemáticamente la

atención, mientras que otros indican quién debe dejar de intervenir o bien quién debe ceder el turno.

La interrupción de la participación del alumno que solo utiliza señas puede ser debida a razones no

relativas al valor dado a la lengua de señas en el aula. Puede estar ocurriendo, por ejemplo, que otros estudiantes de GA interpreten que los contenidos que Óscar está enseñando no aportan avances

sustanciales a la resolución de la tarea, de modo que lo que se rechace sea la intervención en sí misma.

En cuanto al uso de artefactos, destaca el papel de la ficha material del problema, donde los estudiantes añaden marcas, anotan números y cálculos y elaboran dibujos y diagramas. Los contenidos de la ficha, que es una única a compartir entre los cuatro estudiantes de GA, se consultan a medida que

se identifican datos del problema y se consideran estrategias de resolución para la primera opción de la

tabla. Solo se recurre a consultar todas las opciones de la tabla durante la puesta en común. Hay, pues,

un uso de la ficha de la tarea que facilita la participación de quien físicamente la sostiene, Gabriel, y del segundo alumno que se halla más cerca, Juan. Los alumnos están dispuestos con sus pupitres en

círculo sin una mesa en medio que permita mostrar la ficha a todos con la misma facilidad. Estamos



ante un recurso de acceso limitado o al menos dificultado para Luis y Óscar. Una vez más, el hecho de que esto se dé así puede deberse a varias razones: puede ocurrir que se hagan cargo de la lectura del

problema unos alumnos porque se les suponga menos autonomía lectora a los otros.

En cuanto a los intercambios entre participantes, durante toda la sesión de clase, se observa que la interacción de proximidad dentro de GA domina por delante de la interacción fuera del grupo, con mayor participación de dos de los estudiantes, Gabriel y Juan, en ambos entornos. Hay interacción con

la investigadora y el profesor sobre todo durante la realización de cálculos de división, variable en

función de la disponibilidad y cercanía física al grupo. Por su lado, la interacción con la intérprete se centra en la identificación de datos del problema y en la comprensión del contexto del enunciado. En

estas situaciones se alternan, en distintos grados, la comunicación oral y la comunicación gestual

mediante señas y gestos, en procesos de comunicación donde debe darse por supuesta la selección de

unos u otros recursos según el código que se considera adecuado para el contenido que se narra.

El escenario comunicativo apunta a dos situaciones especialmente relevantes para el desarrollo de la actividad matemática. En primer lugar, se detectan formas de exclusión del estudiante sordo

profundo, Óscar, en el trabajo en grupo. La lengua dominante en la interacción dentro de GA es el

castellano en su modalidad oral. Además, hay una única ficha del problema, que está en manos de Gabriel y visualmente no orientada hacia Óscar. A esto se suma que tres veces se interrumpen las

señas iniciadas por Óscar con contenidos sobre la tarea. Se trata de una exclusión con matices ya que

al acercarse al grupo el profesor, que es sordo, se prima la lengua de señas y este estudiante consigue

intervenir sin ser interrumpido. En segundo lugar, se detecta la priorización del canal visual en sustitución del canal oral (algo también encontrado en Rosich, 1998). Esto acostumbra a suceder

durante la interacción en el grupo cuando se calcula y razona por escrito mediante el soporte de la

ficha. El canal visual se utiliza sobre todo para señalar contenidos y llamar la atención sobre partes de lo producido. Varios gestos van dirigidos a señalar contenidos representados en la ficha o bien escritos

en las hojas de trabajo, sin que estos contenidos sean hablados o bien comunicados en lengua de señas.

5.2. Momentos del desarrollo de la actividad matemática

Tras haber abordado el contexto comunicativo de la actividad matemática, ahora abordamos el

desarrollo de esta actividad mediante la explicación de momentos del desempeño de los estudiantes de GA. Entendemos que las condiciones de la comunicación y las de la actividad matemática son

inseparables por tratarse de procesos mutuamente constituyentes en cualquier situación de enseñanza y

aprendizaje de las matemáticas. Así pues, los estudiantes desarrollan su actividad matemática bajo influencia de las condiciones de la comunicación. La presentación primero del escenario comunicativo

y luego de la actividad matemática sirve meramente para organizar la discusión de resultados.

5.2.1. Referencia al contexto extra-matemático del enunciado

Se buscó intencionadamente una tarea matemática que se alejara de las situaciones académicas habituales en la escuela mediante la presentación de una situación de la vida diaria. En el análisis de la

actividad matemática de GA, destaca el papel que los estudiantes dan al contexto extra-matemático del

enunciado en varias acciones matemáticas. Se establecen relaciones basadas en el uso de este contexto

cuando se asignan unidades a datos numéricos que se están pensando como variables. Esto ocurre, para empezar, con la relación que se establece entre precio y hora. En general, hay un uso del contexto

extra-matemático en la detección de unidades de medida adecuadas para determinadas magnitudes.

Sin embargo y a diferencia de lo que se esperaba, no hay evidencias de una interpretación crítica de la situación. Los estudiantes no proyectan sus experiencias con el Transmilenio, ni opinan sobre precios

y horarios. La conversación en castellano oral de la Tabla 1 ilustra este uso limitado del contexto a




formas reconocibles de la matemática escolar. Se observa cómo se pasa de la mención de unidades y

magnitudes (e.g. “Esto son los pesos”) a la toma de decisión sobre operaciones (e.g. “Toca restar”).

Participante Conversación

Juan Este es el resultado, este es el número.

Gabriel Esto son los pesos.

Juan Exacto, el valor. Y acá nos dicen cuánto pagaron las personas que se montaron en cada opción.

Gabriel

En la primera. No, ya va. ¿En cuál estamos multiplicando? Bueno, entonces ahora falta

multiplicarla en valle. En dónde se subieron más personas. Son mil cuatrocientos, ¿cierto? Toca

restar, ¿cierto?

Tabla 1. Transcripción con mención de unidades, magnitudes y operaciones

No se proyectan experiencias personales que contribuyan a aportar significados no académicos a la tarea, ni que contribuyan a vincular los usos cotidiano y académico del castellano oral y de la lengua

de señas. Ahora bien, sí hay un uso del contexto extra-matemático con potencial en la validación

matemática de la actividad durante el trabajo en grupo. Al menos en dos conversaciones se recurre a este contexto para refutar un resultado numérico y la operación de resta que ha llevado hasta él. No

solo se rechazan resultado y operación, sino que se aporta una idea sobre la capacidad de transportar

personas para explicar el rechazo. La conversación de la Tabla 2 ilustra este momento. Vuelven a ser

Juan y Gabriel, dos estudiantes con dominio del castellano oral, los que guían la discusión.

Participante Conversación/Glosa Traducción

Gabriel Allí se subieron más personas. En esta.

Juan En esta, sí. Entonces sería en valle [Llama a Yinzú].

Gabriel Ya. En valle [Llama a Yinzú].

Juan En valle.

Yinzú QUÉ HACER int

¿Qué hicieron?

¿Qué hicieron?

Juan En valle se subieron más personas.

Yinzú CUANTO int

¿Cuántas?

¿Cuántas?

Juan

[Señala sobre su hoja]

Yinzú SIETE MILLONES DE PERSONAS int

Okay. ¿Siete millones de personas?

¿Siete millones de personas?

Gabriel No, no puede ser.

Yinzú MUCHO

Son muchas.

Son muchas.

Gabriel No, no caben.

Tabla 2. Transcripción con mención al contexto extra-matemático en una validación



Lo que se diseñó para reforzar la participación matemática de los estudiantes (i.e. una tarea acerca de un transporte público que los ciudadanos de Bogotá utilizan con frecuencia para desplazarse), no

tuvo el efecto esperado. Hay referencias a aspectos del contexto cotidiano, pero las acciones

matemáticas que se requerirían para argumentar la validez de determinados razonamientos se ven subsumidas por la búsqueda de operaciones y la ejecución de cálculos en la ficha del problema. Por

otra parte, el escenario comunicativo con predominio de la oralidad da idea de por qué la participación

fue desigual entre los estudiantes de GA. En la Tabla 2, por ejemplo, se observa que Juan y Gabriel se

ciñen al castellano oral cuando la investigadora aúna la lengua de señas con la oralidad.

5.2.2. Uso tentativo de razonamientos inductivos y deductivos

Otro tema emergente del análisis de la actividad es el uso de razonamientos, mayormente

inductivos y deductivos, orientados a realizar cálculos, que no acaban completándose y que a menudo

se mezclan. Los estudiantes de GA ensayan distintas operaciones aritméticas; comienzan con un acercamiento inductivo donde multiplican, considerando un caso particular a fin de aproximarse al

total, pero descartan la estrategia tal como se lee en la Tabla 3. En este momento se observa un

acercamiento inductivo en cómo Juan y Gabriel formulan hipótesis numéricas para su contrastación con datos del enunciado. Se trata de acercamientos incompletos en la medida en que el proceso de

ensayo y error no converge hacia cantidades con sentido en el contexto de la tarea.

Participante Conversación

Gabriel Digamos diez personas a mil setecientas. ¿Cuánto es?

Juan ¿Diez personas?

Gabriel Por mil setecientas. Epa, son dos ceros. Con esto no podemos alcanzar la meta.

Juan ¿Ciento ochenta...?

Tabla 3. Transcripción con parte de un acercamiento inductivo

Así como abundan acercamientos inductivos a lo largo del trabajo en grupo, encontramos también acercamientos deductivos basados en señalar y verificar cantidades. En un segundo ensayo que sigue a

la conversación de la Tabla 3, los estudiantes piensan una cantidad y deciden empezar a restar para

llegar hasta ella. Acaban, sin embargo, descartando la estrategia. Al restar del total el equivalente al billete de una persona, obtienen un número que confunden con la cantidad de personas, sin asociarlo

con un valor en pesos menor del total inicial de dinero. La estrategia sugiere que se buscaba ir

reduciendo persona a persona de modo que la respuesta fuera el número de veces que cabría el precio

del billete hasta obtener cero (ver Tabla 2). Esto se piensa sin tener en cuenta que la operación se realiza con cantidades relativas a una misma magnitud; con base en esta confusión se explica que se

rechace la estrategia iniciada. Unos y otros ensayos, ya sean inductivos o deductivos, sirven para

comprender por qué no funcionan las sucesivas estrategias y para descartar ciertas operaciones.

En esta sesión y para GA, se observan varios momentos donde no solo se mezclan acercamientos inductivos y deductivos, sino que además se cambia el énfasis de operaciones a resultados numéricos y

de resultados numéricos a operaciones sin una conversación que prepare o explique el cambio. En este

sentido hablamos de razonamientos con carácter tentativo ya que durante su desarrollo no se avanza

hacia una conclusión final mediante una inferencia explícita. Este tipo de discontinuidad se observa en

la Tabla 4, con uno de los pocos momentos en los que participan los cuatros estudiantes.





Juan Me da cero, bajo el otro cero ¿O cómo?

Luis

MISMO AMBOS MIL SETECIENTOS +++ Es el mismo monto. En ambos.

Mil setecientos, mil setecientos,

mil setecientos.

Óscar

MIL SETECIENTOS +++++ Mil setecientos, mil setecientos, mil setecientos, mil setecientos, mil

setecientos.

Juan MIL SETECIENTOS Mil setecientos.

Gabriel Mil setecientos. Siete... ¡Ah! No, espera, once, diez,

nueve, ocho.

Juan ¿Cuántos?

Gabriel Ocho... No, espera, ¿cuántos es que le está quitando?

Juan Siete.

Gabriel ¡Ah! No, espera, once, diez, nueve, ocho, siete, seis, cinco,

cuatro.

Tabla 4. Transcripción con parte de un acercamiento inductivo-deductivo

5.2.3. Ambigüedad conceptual y léxica con vocabulario técnico

Durante el análisis de momentos destinados a cálculos, emergió el tercer tema que presentamos

y que fue detectado también en puestas en común. Se trata de un tema identificado en la literatura (e.g.

Hyde, Zevenbergen y Power, 2003) y que indica la necesidad de aprender a manipular vocabulario específico. El vocabulario técnico de la matemática escolar no siempre se enseña de un modo preciso

antes de que se requiera su uso en clase. A menudo hay términos cuyos significados académicos se

aprenden a medida que surgen sin haber sido objeto explícito de enseñanza. Esto es habitual con

términos que son palabras frecuentes fuera de la disciplina tales como “quitar” o “mitad”, cuya

interpretación técnica en clase de matemáticas no siempre se deriva de extender el significado común.

Nuestros datos apuntan a la compleja relación entre vocabulario común y técnico. Veamos, por

ejemplo, el momento en que varios de los cálculos involucran números menores a 20; se hace uso del

conteo con los dedos y se dibujan marcas sobre la hoja para contar hacia atrás de 14 a 7. En este momento se mencionan ciertos términos como si fueran por si solos explicativos de la actividad.

Cuando pretenden hallar la mitad de la cantidad total de pesos, Gabriel y Juan relacionan buscar la

mitad primero con “quitar” y luego con “restar”. Con esta relación se refieren a la operación de restar

sin precisar el significado de mitad. El significado matemático de mitad alude a un tipo destacado dentro de la clase de equivalencia parte-todo. Si se tiene clara la noción de mitad como tipo de clase de

equivalencia, entonces adquiere sentido la mitad como resultado de la división de una cantidad entre

dos. Interpretamos que la dificultad por conceptualizar la mitad tiene que ver con plantear una operación inadecuada: se propone “buscar la mitad” mediante la resta de una parte respecto de un

total. La cuestión es que no se identifica que la parte a restar es la misma cantidad desconocida que la

mitad a hallar. Si pensamos que el total es a y la parte a restar es b, tenemos que se busca la mitad de a mediante la resta a-b sin incorporar la condición a-b=b. En los intentos por identificar b, se proponen

dos cantidades obtenidas durante la resolución de las primeras dos opciones en la tabla del problema,

que son las últimas que se han escrito en la ficha y que están escritas en la pizarra. En la Tabla 5 no

hay evidencias de que se estén seleccionando candidatos para b de un modo argumentado.




Yinzú MITAD CUAL int

¿Cómo busco la mitad?

¿Cómo busco la mitad?

Juan Debe quitarle.

Yinzú QUITAR QUE int

¿Quitarle qué?

¿Quitarle qué?

Juan RESTAR

Restando.

Restando.

Gabriel RESTAR

Restando.

Restando.

Yinzú MITAD CUAL int

Pero, ¿Cómo sé cuál es la mitad?

¿Cómo sé cuál es la mitad?

Gabriel RESTAR

Se resta.

Se resta.

Yinzú RESTAR QUE int

¿Se resta qué?

¿Se resta qué?

Gabriel TOTAL

El total. ¿El total?

El total.

Juan Cuatro mil doscientos.

Yinzú TOTAL IX-izq HACER int

Con el total, ¿qué hago?

Con el total, ¿qué hago?

Gabriel ¿Se resta? Ese por...

Juan Cuatro mil doscientos.

Gabriel No, por cinco mil cien, bobo.

Tabla 5. Transcripción con referencias a “quitar” y “restar”

En la discusión Juan comenta que resolvió el problema restando, pero más tarde rectifica

diciendo que restó y dividió. Esto sugiere dos posibilidades. La primera posibilidad es que el

estudiante no haya considerado el algoritmo de la división como un todo, sino que perciba las restas

parciales como operaciones separadas. La segunda posibilidad es que Juan comprenda la división como una resta abreviada. Por otro lado, tal como se observa en la Tabla 6, Luis propone bajar dos

ceros que faltaban operar en el dividendo directos al cociente para agilizar la operación.


Luis Da cinco mil cien.

Yinzú FALTA int

¿Qué falta ahora?

¿Qué falta ahora?

Juan

Bajarle otro cero. CINCO MIL CIEN ++

¡Ah! Cinco mil cien, da cinco mil cien.

Cinco mil cien, da cinco mil cien.

Luis CINCO MIL CIEN Cinco mil cien.

Yinzú POR QUE int

¿Cómo saben? ¿Por qué?

¿Por qué?




Otros Da cinco mil cien, porque sobran los ceros. ¿Cómo sé cuál es la mitad?

Juan Si le bajas los ceros va a seguir lo mismo. Se resta.

Yinzú MONTAR PERSONAS CUANTO int

Entonces, ¿cuántas personas se montaron?

¿Cuántas personas se montaron?

Juan CINCO MIL CIEN Cinco mil cien.

Cuatro mil doscientos.

Gabriel Yo ya sabía.

Tabla 6. Transcripción con referencias a “mitad”

La operación realizada por Gabriel y Juan en la hoja de trabajo (ver Figura 2) muestra que no se

consideró el método propuesto por Luis en la discusión con la clase para agilizar la división ni para

operar con cantidades menores. Es así como una vez alcanzado el cero en el resto y quedando

pendientes por operar solo los ceros en el dividendo, Gabriel y Juan deciden continuar utilizando el algoritmo y realizar multiplicaciones y restas entre ceros con repetición.

Figura 2. Producción escrita de Gabriel con ayuda de Juan

6. Consideraciones finales e implicaciones para la enseñanza

Al inicio del artículo, explicábamos que el propósito de nuestra investigación es llegar a

construir conocimiento sobre cómo se produce la actividad matemática y su comunicación en entornos

colaborativos de aula con estudiantes sordos y oyentes. Hemos proporcionado datos para una sesión de clase y un grupo de estudiantes durante la resolución de una tarea. Con base en el análisis de estos

datos, hemos discutido cuatro resultados (un escenario y tres temas), que son representativos de

resultados encontrados para otras sesiones y grupos. Cuando se leen como un todo, estos resultados

proporcionan una idea del escenario comunicativo y de la cultura matemática del aula:

El escenario comunicativo en el cual se produce la actividad matemática se configura de un

modo que facilita la participación de quienes se expresan mediante la lengua oral y la

comunicación de quienes utilizan canales visuales de producción escrita en papel.

La referencia al contexto extra-matemático evocado en el enunciado de la tarea ofrece

elementos para dar sentido e iniciar la comprensión de la tarea, pero en general se recurre a

este contexto para validar cálculos y aspectos procedimentales de la resolución.

El uso de razonamientos inductivos y deductivos en el desarrollo de estrategias de resolución

se sucede a menudo de manera intercalada y tentativa, sin que se lleguen a completar

inferencias y confundiéndose las características propias de unos y otros razonamientos.

La ambigüedad conceptual y léxica con términos y expresiones matemáticas como ‘mitad’,

‘buscar la mitad’, ‘restar’, ‘quitar’ y ‘dividir’ no se resuelven durante el trabajo en grupo ni

se atienden explícitamente en la interacción con otros participantes del aula.



El desarrollo incompleto de razonamientos inductivos y deductivos, o bien la ambigüedad conceptual con los términos de resta y división, son cuestiones que podrían haber aparecido en una

investigación con solo estudiantes oyentes y en un aula sin lengua de señas. Sabemos que toda

actividad matemática está mediada por el escenario comunicativo (Morgan, Craig, Schuette y Wagner, 2014), pero no sabemos hasta qué punto y para qué aspectos en concreto esto es así, se amplifica o

disminuye en el caso de nuestra experimentación y de nuestra aula. Además de la introducción de

entrevistas, en una próxima investigación que dé continuidad a la actual, deberemos valorar otras opciones de experimentación didáctica y de distribución del trabajo en clase. Nuestra experimentación

puede no haber favorecido siempre la participación de todos los estudiantes ni el desarrollo de

razonamientos matemáticos mediante la lengua de señas.

Dada la actividad matemática que se privilegia en el escenario descrito, no podemos dejar de

mencionar a Óscar, el alumno sordo profundo de GA. Es probable que este estudiante experimente, junto a sus compañeros, las mismas dificultades de modelización de la tarea, de separación entre

razonamiento inductivo y deductivo, de búsqueda de la mitad de una cantidad…, pero tiene menos

oportunidades de participar en la discusión de grupo a raíz del dominio de la oralidad. Óscar sigue con atención lo que se explica cuando la investigadora se acerca al grupo e introduce la lengua de señas.

Apenas hemos iniciado el camino hacia una comprensión amplia de la actividad matemática en aulas

con estudiantes sordos y oyentes. No obstante, nos atrevemos a proponer unas pocas implicaciones

para la enseñanza que habrán de servir para que a estudiantes como Óscar se les ofrezcan más y mejores oportunidades de aprendizaje matemático. Las dos primeras implicaciones son generales y las

tres últimas específicas para la selección y organización de tareas en clase de matemáticas:

- En la medida de lo posible, el profesor de matemáticas en un aula con alumnos sordos y

oyentes debe conocer o estar familiarizado con la lengua de señas local, con una suficiencia que le permita interpretar y compartir lo que un alumno sordo le comunica en clase.

- Las dinámicas de agrupación en clase deben tratar de integrar en un mismo equipo estudiantes

con distintos grados de compromiso auditivo que posibiliten la participación mediante distintos grados de combinación de oralidad y lengua de señas.

- Las tareas matemáticas deben tratar de incorporar, en su modalidad escrita, distintas

submodalidades de expresión textual, gráfica, diagramática, etc., que de manera variable

aporten información complementaria, intercambiable o bien no sustituible. - La modalidad escrita con cuadernos, pizarras, libros de texto…, debe alternarse con la

modalidad digital mediante las tecnologías disponibles en un trabajo que facilite el acceso y la

construcción de representaciones visuales, así como la transformación entre representaciones. - Ambas modalidades, la escrita y la digital, deben incluir abundantes imágenes y dibujos

esquemáticos que pueden alternar información oral, habiendo de ser reconocidos estas

imágenes y dibujos como formas de definir y explicar conceptos e ideas matemáticas.

Nuestra visión de la educación matemática nos lleva a pensar que estas implicaciones para la

enseñanza de las matemáticas a estudiantes sordos son válidas y recomendables para todos los grupos de estudiantes. No hay duda sobre los aportes de potenciar la multimodalidad en la enseñanza dado

que toda comunicación es necesariamente multimodal y no solo lingüística; intervienen los gestos, los

movimientos del cuerpo, los sonidos… Tener estudiantes sordos que recurren a la lengua de señas en el aula de matemáticas es una ocasión valiosa para recordar esto y aprender, como profesores, a

representar de más maneras los conceptos y significados matemáticos del currículo que debemos

enseñar. Se trata en definitiva de desarrollar una mirada multimodal desde la enseñanza para favorecer el desarrollo de esta mirada en el aprendizaje, lo cual enlaza con las palabras de Healy et al. (2016, p.

142) sobre el “reconocimiento de la naturaleza multimodal de la comprensión matemática”.




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académicos. Lengua y Habla, 8 (1), 97-132.

Yinzú Nairouz es estudiante del Programa de Doctorado en Educación de la Universidad Autónoma de

Barcelona. Su línea de investigación es la actividad matemática en el aula de alumnos con distintos

grados de compromiso auditivo.

Núria Planas es profesora de la Universidad Autónoma de Barcelona. Se ha especializado en el estudio de aspectos culturales, sociales y políticos involucrados en la educación matemática, con interés en el

aprendizaje matemático en contextos multilingües.




ISSN: 1887-1984


Tratamiento de la Orientación en el Aula de Educación Infantil desde la

perspectiva de la Educación Matemática Realista

Ainhoa Berciano Alcaraz (Universidad del País Vasco. España)

Clara Jiménez-Gestal (Universidad de la Rioja. España) María Salgado Somoza (Centro de Educación Infantil y Primaria Sigüeiro,

Universidade de Santiago de Compostela. España)

Fecha de recepción: 01 de marzo de 2016


Resumen En este artículo analizamos la idoneidad de trabajar la Orientación Espacial en el aula 5

años de Educación Infantil desde una perspectiva de la Educación Matemática Realista.

Primeramente, mostramos el diseño de una actividad cuyo contexto es la búsqueda de un

tesoro escondido en algún lugar del colegio. Posteriormente, siguiendo las directrices del

currículo de Educación Infantil y los estándares de la National Council of Teachers of

Mathematics para esta etapa, analizamos qué contenidos y procesos matemáticos se trabajan en el diseño. Finalmente, examinamos en qué medida la implementación de

dicha actividad en un colegio ayuda a las niñas y niños a indagar acerca de las

propiedades del espacio, en concreto, de su 3-dimensionalidad.

Palabras clave Orientación Espacial, Educación Matemática Realista, Educación Infantil, 3-dimensionalidad,

contenidos y procesos matemáticos.

Title How to work the spatial orientation ability on Early Education from Mathematics

Realistic Education’s point of view

Abstract In this paper we analyse the suitability of work spatial orientation in a classroom of Early

Childhood Education with 5-year-old children from the perspective of the Realistic

Mathematics Education. First, we show the design of an activity whose context is the

search for a hidden treasure somewhere in the school. Later, following the guidelines of

the kindergarten curriculum and standards of the National Council of Teachers of

Mathematics to this stage, we analyse what content and mathematical processes are

involved in the design. Finally, we examine how the implementation of this activity in a

school can help children to investigate about the properties of space, in particular, its 3-

dimensionality.

Keywords Spatial Orientation, Realistic Mathematics Education, Early Education, 3- dimensionality,

mathematical contents and processes.

1. Introducción

La finalidad de la Educación Infantil (recogida en la Orden ECI/3960/2007, de 19 de diciembre,

por la que se establece el currículo y se regula la ordenación de la educación infantil), es contribuir al desarrollo físico, afectivo, social e intelectual de los niños y niñas. Para la consecución de tal fin se

marcan como objetivos: observar y explorar su entorno familiar, natural y social; adquirir autonomía


Tratamiento de la Orientación Espacial en el Aula de Educación Infantil desde la perspectiva de

la Educación Matemática Realista A. Berciano Alcaraz, C. Jiménez-Gestal y M. Salgado Somoza


en sus actividades habituales; desarrollar habilidades comunicativas en diferentes lenguajes y formas

de expresión; además de iniciarse en las habilidades lógico-matemáticas.

Cuando hablamos de habilidades lógico-matemáticas en educación infantil tendemos a pensar

exclusivamente en la capacidad de clasificar objetos o contar; como mucho en la realización de sumas y restas con números pequeños o el reconocimiento de figuras geométricas como círculos, cuadrados,

rectángulos o triángulos y, por supuesto, en posiciones estándar. Olvidamos, a menudo, que uno de los

aspectos de las matemáticas más importante para el desenvolvimiento de los infantes en su vida

cotidiana es la orientación espacial.

Necesitamos saber ubicarnos en el espacio que nos rodea y ser capaces de dar indicaciones a otros acerca de nuestra posición y de cómo llegar a ella, así como de la manera de alcanzar un

determinado punto desde una localización concreta. El desarrollo de estas capacidades es paulatino y

debe trabajarse desde las primeras edades.

Por tanto, el objetivo del presente trabajo es mostrar la posibilidad de trabajar esta capacidad en las primeras etapas educativas a través de actividades basadas en una matemática contextualizada y

realista.

2. Orientación Espacial en Educación Infantil

A la hora de abordar el tema de la orientación espacial en Educación Infantil, debemos tener en cuenta diversos aspectos: por un lado, la definición de orientación espacial por expertos del área de

Educación Matemática; posteriormente, las directrices nacionales e internacionales sobre el

tratamiento de la orientación espacial en el aula de Infantil; y, finalmente, los principios de la

Educación Matemática Realista.

2.1. ¿Qué entendemos por orientación espacial?

Tal y como hemos mencionado en la introducción del artículo, nuestro punto de partida es la

necesidad de saber ubicarnos en el espacio que nos rodea y de ser capaces de dar indicaciones acerca

de nuestra posición.

Esta capacidad de comprensión del espacio y de las relaciones entre diferentes posiciones forma parte de lo que Sarama y Clements (2009) denominan "orientación espacial", que constituye uno de

los aspectos fundamentales del "pensamiento espacial". En concreto, Clements y Sarama (2009, p.

161) definen la orientación espacial como:

la orientación espacial requiere entender y ser capaz de analizar y establecer

las relaciones existentes entre distintas posiciones en el espacio; en primer

lugar, con respecto a la posición de uno mismo y con respecto al movimiento,

para, finalmente, ser capaz de trabajar desde perspectivas más abstractas que

incluyen el tratamiento de mapas y uso de coordenadas con distintas escalas.

La otra competencia fundamental para desarrollar el pensamiento espacial es la "visualización espacial", consistente en la habilidad para procesar y producir creaciones y representaciones, mediante

dibujos o diagramas, con la finalidad de transmitir la información espacial.





Para trabajar ambos aspectos del pensamiento espacial, Gonzato, Fernández Blanco y Díaz

Godino (2011) plantean la clasificación de tareas a realizar en el aula dependiendo del estímulo inicial,

la acción inicial y el tipo de respuesta esperado, dando lugar a la siguiente tabla:

Tabla 1. Clasificación de las tareas de orientación del sujeto en espacios reales (Gonzato et al. 2011)

En nuestro caso, el diseño de nuestra tarea podría incluirse en la categoría de "tareas de

orientación del sujeto en espacios reales", entre aquellas en las que el estímulo inicial es el espacio

real, la acción inicial consiste en explorar el espacio (con movimiento) y la respuesta que esperamos

por parte del alumnado es una representación del espacio en la que se dibuje un mapa del trayecto

recorrido y una descripción oral del mismo.

2.2. La orientación espacial en el aula de Educación Infantil

Si analizamos los estándares de la National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000)

para la etapa Pre K-2 (de 4 a 7 años de edad), estos pueden ser agrupados en estándares de contenidos (Números y operaciones, Álgebra, Geometría, Medida y Análisis de datos y probabilidad) y

estándares de procesos (Resolución de problemas, Razonamiento y prueba, Conexiones,

Comunicación y Representación), siendo necesario trabajar todos ellos de modo coherente en la

Educación Infantil para fomentar una educación integral en las y los infantes.

En particular, si analizamos las directrices marcadas para la Geometría, ésta debe capacidar

para:

Analizar las características y propiedades de figuras geométricas de dos y tres dimensiones y

desarrollar razonamientos matemáticos sobre relaciones geométricas;

Localizar y describir relaciones espaciales mediante coordenadas geométricas y otros

sistemas de representación;




Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas;

Utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la modelización geométrica para

resolver problemas”.

Esto deja constancia clara de la importancia de la orientación espacial dentro de dicho bloque. Además, en la etapa Pre K-2, si nos centramos en la capacidad “localizar y describir relaciones

espaciales mediante coordenadas geométricas y otros sistemas de representación” (NCTM, 2000, p.

100), ésta debe capacitar al infante para que sea capaz de:

Describir, dar nombre e interpretar posiciones relativas en el espacio y

aplicar ideas sobre posición relativa (contenido 1);

Describir, dar nombre e interpretar la dirección y la distancia en los

desplazamientos en el espacio y aplicar estas nociones (contenido 2);

Encontrar y denominar “lugares” con relaciones simples como “cerca

de” y en sistemas de coordenadas tales como mapas (contenido 3).

Igualmente, dentro del apartado “utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la

modelización geométrica para resolver problemas”, destacamos:

Reconocer formas y estructuras geométricas en el entorno, y determinar

su situación (contenido 4).

Respecto a este tema, en el currículo de educación infantil (MEC, 2007, p. 1025) aparece como

contenido la “situación de sí mismo y de los objetos en el espacio. Posiciones relativas. Identificación

de formas planas y tridimensionales en elementos del entorno. Exploración de algunos cuerpos

geométricos elementales. Nociones topológicas básicas (abierto, cerrado, dentro, fuera, cerca, lejos,

interior, exterior…) y realización de desplazamientos”. Aunque no aparece mención expresa, en los

criterios de evaluación de la orden, a la situación en el espacio, si que dice que “se tendrán en cuenta

los conocimientos que niños y niñas muestren acerca de las nociones espaciales (arriba, abajo; dentro,

fuera; cerca, lejos…)” (MEC, 2007, p. 1025).

Finalmente, cabe destacar que, a la hora de plantear actividades didácticas en el aula que

fomenten la adquisición de los contenidos geométricos, diversos autores plantean la necesidad de

trabajar en tres tipos de espacios:

Denominan microespacio, al espacio de las interacciones ligadas a la

manipulación de los objetos pequeños; mesoespacio al espacio de los

desplazamientos del sujeto, es el espacio que contiene un inmueble, que

puede ser recorrido por un sujeto, tanto en el interior como en el exterior;

macroespacio al espacio para el que no puede el sujeto, con los medios normales, obtener una visión global simultánea (en él se consideran tres

categorías: urbano, rural y marítimo) (Brousseau,1983 citado en Ruíz-

Higueras, García y Lendínez, 2013, p. 103).

2.3. Enseñanza Matemática Realista

Como es sabido, cuando hablamos de la Educación Matemática Realista (EMR), debemos

mencionar a Hans Freudenthal (1905-1990), matemático que dedicó gran parte de su vida a la

investigación tanto de la topología algebraica como de la Educación Matemática, precursor de dicha teoría (Freudenthal, 1991), y que en 1971 fundó el Instituto Freudenthal de la Universidad de Utrecht,

centro de investigación cuyo objetivo principal es mejorar la enseñanza de la matemática y de las





ciencias en la Educación Básica. A modo de resumen, la Educación Matemática Realista se basa en

seis principios fundamentales (Alsina, 2009):

De actividad: Las matemáticas son una actividad humana cuya finalidad es matematizar el

mundo que nos rodea

De realidad: Las matemáticas se aprenden haciendo matemáticas en contextos reales,

entendiendo como reales tanto las situaciones de la vida real del sujeto como aquellas que son reales en su mente.

De niveles: Los alumnos pasan por distintos niveles de comprensión: situacional, en el

contexto; referencial, esquematización a través de modelos; general, exploración, reflexión y

generalización; y formal, que incluye el conocimiento de los procedimientos estándares y la notación convencional.

De reinvención guiada: El proceso de aprendizaje permite reconstruir el conocimiento

matemático formal.

De interacción: La interacción entre el alumnado y de éste con el docente provoca la

reflexión y propicia que se alcancen mayores niveles de comprensión.

De interconexión: Los bloques de contenido matemático no pueden ser tratados como

entidades separadas.

Para poder diseñar una situación de aprendizaje que se ajuste a estos principios fundamentales, Alsina (2011, 2014) indica cuatro fases a seguir: matematización del contexto, trabajo previo en el

aula, trabajo en contexto y trabajo posterior en el aula. En cada una de las fases el alumnado y el

profesorado tienen diferentes grados de intervención.

3. Metodología

A continuación, detallamos los objetivos que nos hemos marcado a la hora de realizar este

trabajo:

1. Diseñar una propuesta didáctica para trabajar la orientación en el aula de Educación

Infantil basada en una Enseñanza Matemática Realista que promueve la matemática contextualizada (o1).

2. Evaluar y analizar en qué actividades se trabajan los estándares de contenidos y de

procesos definidos según la NCTM (o2).

3.1. Herramienta de análisis de las conexiones establecidas entre los contenidos y los procesos

matemáticos trabajados en la experiencia

A la hora de evaluar la idoneidad de nuestra propuesta docente, planteamos analizar todos los

aspectos de la experiencia según la tabla siguiente, en la que relacionamos los procesos trabajados con

los contenidos específicos de la Geometría con respecto a la orientación (tabla adaptada de (Alsina,

2012, p. 11)).




Resolución

de problemas

Razonamiento y

demostración Comunicación Representación Conexiones

Contenido 1*

Contenido 2

Contenido 3

Contenido 4

Tabla 2. Relación entre los contenidos de la orientación y los procesos que deben trabajarse

* Los contenidos se corresponden con los detallados en el apartado referente a los estándares de

contenidos de la NCTM.

3.2. Diseño de la experiencia

A la hora de diseñar la actividad principal, a pesar que hay varios ejemplos sobre actividades

para trabajar distintos recorridos (ver, por ejemplo, Ruíz-Higueras et al., 2013), nosotras nos hemos basado en la conocida actividad “Búsqueda del Tesoro” cuya finalidad es que el alumnado encuentre

un objeto escondido (bien en el aula o en otra parte del colegio), del que se conoce su ubicación por

medio de un mapa o pergamino (en Giménez, Fortuny y Badillo (2009) adaptan la actividad para la enseñanza secundaria). En nuestro caso, la finalidad de dicha actividad es que el alumnado realice un

recorrido que le permita trabajar las capacidades espaciales, además de otras destrezas tanto

matemáticas como comunicativas y de conocimiento del entorno.

Dada la corta edad de las niñas y niños participantes en la experiencia, en el momento de describir el itinerario que se debía realizar hemos adaptado la actividad en dos aspectos: (1) la maestra

ha sido la encargada de realizar la lectura del mapa encontrado, (2) se han usado pictogramas como

puntos de referencia representando acciones en sitios estratégicos, de modo que estos valgan para que

las y los infantes sean capaces de orientarse por sí mismos en el macroespacio (Clements, 1998).

Detallamos a continuación el diseño de la experiencia:

Contexto: encontrar el tesoro perdido y escondido en el Colegio.

1. Matematización asociada:

a. Contenidos 1, 2, 3, 4 (detallados en el apartado de estándares de contenidos de la NCTM).

b. Competencia comunicativa.

c. El número.

d. Formas geométricas y sus propiedades. e. Clasificación y reconocimiento de significados de pictogramas como acciones

cotidianas.

2. Trabajo previo en el aula: se plantea la necesidad de trabajar las ideas previas relativas a los

piratas, su modo de vida, los mapas, representaciones gráficas, etc., a través de preguntas

abiertas en las que todas/os puedan participar. También se pretender consensuar con los niños/as cómo se va a desarrollar la búsqueda, con diseño de estrategias de búsqueda y

consenso de agrupaciones.





3. Trabajo en contexto: se lleva a cabo la búsqueda del tesoro.

4. Trabajo posterior en el aula: representación verbal, representación simbólica y abstracción:

individualmente deben hacer un plano del recorrido realizado y describir verbalmente el

significado de los símbolos usados en el mismo.

3.3. Implementación de la experiencia

A continuación, pasamos a detallar las características más notables de la implementación que

hemos llevado a cabo en el aula.

Tratamiento del concepto de 3-dimensionalidad en el espacio

Para poder trabajar el aspecto tridimensional del espacio, el itinerario que debe realizar el alumnado implica subir unas escaleras para acceder al piso superior del colegio, trabajando de modo

implícito el concepto de altura y eje vertical del sistema coordenado 3-dimensional.

Puntos de referencia usados

En la siguiente tabla mostramos algunos de los pictogramas que hemos usado como puntos de

referencia usados en la implementación, guiando al alumnado a través de acciones para orientarse por

sí mismo en el espacio.

Pictograma usado Acción realizada Contextualización de la acción

Seguir recto

Entrar en el aula

Mirar debajo de la mesa

Tabla 3. Pictogramas usados como puntos de referencia, acciones asociadas y contextualización de dichas acciones




Participantes

La experiencia se ha llevado a cabo en un aula de 5 años de Educación Infantil del CEIP

Sigüeiro durante el primer trimestre del curso académico 2014/2015, con un total de 20 estudiantes,

con 11 niñas y 9 niños.

La experimentación

Para empezar, presentamos a las niñas y niños la actividad del día a través de “la jornada pirata” contándoles una historia de Piratas. En la asamblea, tratamos de indagar qué saben y qué no saben

acerca de los piratas, de cómo se movían, qué características tenían, de los tesoros, de cómo indicaban

dónde estaban los tesoros, de qué entienden por planos…y que consensúen cómo van a realizar la

búsqueda del tesoro (*foto borrosa con el fin de salvaguardar la identidad de las niñas y niños).

Figura 1. Comienzo de la actividad y asamblea (izq. y derecha* respectivamente)

En pequeños grupos comienzan la búsqueda: en primer lugar salen del aula y siguen los puntos

de referencia marcados que les llevan a subir las escaleras y dirigirse a la segunda planta del edificio.

Figura 2. Comienzo de la búsqueda del tesoro, subiendo las escaleras

Según llegan a la segunda planta, encuentran un pictograma que les indica la dirección que

deben seguir (en este caso, recto a lo largo del pasillo)





Figura 3. Tras las escaleras, el pictograma les indica la dirección a seguir

Un siguiente pictograma les indica que deben adentrarse en una clase, para, finalmente,

encontrar el tesoro, que se encuentra escondido debajo de una mesa del aula.

Figura 4. Indagamos qué hay detrás de la puerta y encontramos la ubicación final del tesoro (izq. y derecha

respectivamente)

Tras encontrar el tesoro, cada niña/o debe representar el itinerario realizado en un “plano” y

describir verbalmente qué representa cada uno de los objetos que ha pintado y en qué ha consistido el

recorrido al igual que el tesoro encontrado.

Figura 5. Trabajo de representación




4. Análisis de resultados

Antes de adentrarnos en este apartado de resultados, queremos puntualizar que entendemos la

enseñanza-aprendizaje en el Aula de Educación Infantil como una enseñanza globalizada en la que todos los ámbitos deben ser trabajados de modo conjunto; pero debido al propósito de este artículo,

nos centraremos exclusivamente en el análisis relativo a las matemáticas y, más especialmente, a la

Orientación Espacial.

4.1. Grado de cumplimiento del diseño teórico de la experiencia con respecto a la EMR

En este apartado, nos centraremos en justificar por qué se cumplen los 6 principios de la EMR

en el diseño de actividad y, por ende, en la implementación.

De actividad: trabajamos los conceptos matemáticos relacionados con la orientación a través

de la actividad de las y los niños, vivenciándolos (arriba, izquierda, derecha, etc.).

De realidad: El contexto usado es la búsqueda de un tesoro escondido por un pirata en el

propio colegio, entorno conocido y cercano para las/os niñas/os.

De niveles: las niñas/os pasan por distintos niveles de comprensión: entienden la historia del

pirata y la ocultación del tesoro, buscan referencias vividas acerca de los mapas/planos a través de la asamblea; posteriormente exploran por el colegio, para finalmente formalizar la

búsqueda a través de descripción del itinerario bien oralmente bien gráficamente.

De reinvención guiada: a través de este proceso se les permite trabajar cómo describir

itinerarios de modo gráfico para que otras/os niñas/os entiendan qué quieren describir.

De interacción: la interacción entre el alumnado y con la maestra es clara a lo largo de todo

el diseño, desde la contextualización de la actividad con la asamblea, pasando por la búsqueda en pequeños grupos (teniendo que tomar decisiones y acuerdos de modo

independiente) para, finalmente, volver a explicar la tarea realizada a la maestra y a sus

compañeras/os.

De interconexión: La interacción con otros bloques tanto matemáticos como del medio están

presentes en todo el diseño, p. e., se trabajan los números, cuando deben contar en qué aula

del pasillo había que entrar para encontrar el tesoro, con la geometría, cuando describen la

forma del tesoro y del cofre, colores, tamaño, etc.

En resumen, se satisfacen los 6 principios de la EMR en el diseño de actividad.

4.2. Análisis de los estándares de contenidos y procesos trabajados por las y los infantes

Con el fin de poder detallar los distintos procesos trabajados a lo largo de la experimentación, hemos enumerado las acciones llevadas a cabo por los infantes en cada una de las fases dando lugar a la siguiente

lista (la numeración se corresponde con la numeración de las fases descritas en el apartado 3.2):

2. Asamblea:

2.1. Escucha de la historia del Pirata (A2.1). 2.2. Respuestas colectivas a las preguntas de la maestra (A2.2).

2.3. Propuestas de búsqueda del tesoro (A2.3).

2.4. Estructuración de los grupos (A2.4).

3. Búsqueda del tesoro: 3.1. Lectura e interpretación de los pictogramas (A3.1).

3.2. Diálogo sobre el significado de los pictogramas (A3.2).





3.3. Acciones derivadas de la interpretación de los pictogramas (A3.3).

3.4. Localización del tesoro (A3.4).

4. Posterior trabajo en clase: 4.1. Representación del itinerario en un plano (A4.1).

4.2. Comunicación verbal con la maestra (A4.2).

4.3. Comunicación verbal con las compañeras/os del grupo (A4.3).

Comenzamos analizando los estándares de procedimientos que se trabajan en las actividades:

Resolución de

problemas

Razonamiento y


Activ. 2.1 x

Activ. 2.2 x x

Activ. 2.3 x x x

Activ. 2.4 x x

Activ. 3.1 x x x x x

Activ. 3.2 x x x x x

Activ. 3.3 x x x

Activ. 3.4 x x x

Activ. 4.1 x x x

Activ. 4.2 x x x

Activ. 4.3 x x x

Tabla 4. Correlación entre procesos y actividades

A continuación, mostramos los contenidos que se trabajan en cada una de las actividades.

Describir, dar

nombre e interpretar

posiciones

relativas…

Describir, dar nombre

e interpretar la

dirección y la

distancia…

Encontrar y

denominar “lugares”

con relaciones

simples…

Reconocer

formas, … y

determinar su

situación

Activ. 2.1

Activ. 2.2

Activ. 2.3 x x

Activ. 2.4

Activ. 3.1 x x x x

Activ. 3.2 x x x

Activ. 3.3 x x x

Activ. 3.4 x

Activ. 4.1 x x x x

Activ. 4.2 x x x x

Activ. 4.3 x x x x

Tabla 5. Correlación entre contenidos y actividades




Es importante mencionar que en las actividades 2.1, 2.2 y 2.4 no se trabajan directamente

contenidos relacionados con la orientación espacial, sino que éstas son actividades de

contextualización y consenso, necesarias para el buen desarrollo de la actividad posterior; de hecho, la finalidad de las actividades 2.1 y 2.2. es trasmitir al alumnado una historia que justifique toda la

actividad matemática posterior y la del 2.4 es que el alumnado consensúe los grupos de trabajo.

Finalmente, mostramos la relación entre los contenidos y los procesos a través de las

actividades:

Resolución de

problemas

Razonamiento y


Describir,

dar nombre e

interpretar

posiciones

relativas…

A2.3 A3.1 A3.2

A3.3 A2.3 A3.1 A3.2

A2.3 A3.1

A3.2 A3.3

A4.1 A4.2 A4.3

A3.1 A3.2 A4.1

A4.2 A4.3

A3.1 A3.2

A3.3 A4.1

A4.2 A4.3

Describir,

dar nombre e

interpretar

la dirección y

la

distancia…

A3.1 A3.2 A3.3 A3.1 A3.2

A3.1 A3.2

A3.3 A4.1

A4.2 A4.3

A3.1 A3.2 A4.1 A4.2 A4.3

A3.1 A3.2

A3.3 A4.1

A4.2 A4.3

Encontrar y

denominar

“lugares”

con

relaciones

simples…

A3.1 A3.2 A3.3 A3.1 A3.2

A3.1 A3.2

A3.3 A4.1

A4.2 A4.3

A3.1 A3.2 A4.1

A4.2 A4.3

A3.1 A3.2

A3.3 A4.1

A4.2 A4.3

Reconocer

formas,…y

determinar

su situación.

A2.3 A3.1 A3.4 A2.3 A3.1 A3.4

A2.3 A3.1

A3.4 A4.1 A4.2 A4.3

A3.1 A4.1 A4.2

A4.3

A3.1 A4.1

A4.2 A4.3

Tabla 6. Correlación entre contenidos y procesos a través de las actividades

Como podemos apreciar en la tabla anterior, tanto los estándares de contenidos como de procesos marcados por la NCTM han sido trabajados a lo largo de la implementación, logrando

alcanzar uno de los objetivos propuestos (o2).





Conclusiones

Tal como hemos ido desgranando en el apartado de resultados, recordamos en qué medida se

han conseguido los objetivos detallados en el comienzo del artículo. Con respecto al objetivo 1, en el que nos marcábamos como finalidad diseñar una actividad basada en la EMR que trabajara la

Orientación Espacial, la actividad cumple sobradamente con los 6 principios.

Además, esta actividad ha sido diseñada para trabajar todos los estándares de contenidos y de

procesos establecidos por la NCTM y las directrices marcadas por el Real Decreto del MEC de

Educación Infantil; pudiendo comprobar que todas ellas se han trabajado a lo largo de la implementación dependiendo del tipo de actividad que se realizara en cada momento, por lo que el

objetivo 2 también se satisface.

Finalmente, a pesar de que no hemos utilizado ninguna herramienta de evaluación para valorar

de modo sistemático en qué medida la actividad ha ayudado a los niños y niñas a indagar acerca del espacio, sí debemos mencionar que éstos han sentido una gran curiosidad por saber qué contenía el

tesoro, qué podría ser y dónde podría estar ubicado; llevándoles a seguir con gran interés las

indicaciones gráficas encontradas a lo largo del camino y a trabajar la comunicación entre iguales con

el fin de hacerse entender a la hora de definir direcciones.

A modo de conclusión, creemos interesante seguir diseñando, implementando y evaluando experiencias docentes en el Aula de Educación Infantil que favorezcan el aprendizaje significativo de

la matemática, vivenciando la misma y favoreciendo en todo momento la actividad humana.

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Ainhoa Berciano Alcaraz. Profesora del Departamento de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias

Experimentales de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea.


Clara Jiménez Gestal. Profesora del Departamento de Matemáticas y Comutación de la Universidad de la Rioja.


María Salgado Somoza. Maestra de Educación Infantil del CEIP Sigüeiro e investigadora de la Universidade de Santiago de Compostela.



ISSN: 1887-1984




¡Jugamos a detectives y piratas! Aplicación de un programa de aprendizaje

sobre resolución de problemas

M. M Rodríguez-Hernández (Universidad de Castilla-La Mancha. España)

Olga Morote-Esquivel (Centro de Educación Infantil y Primaria Carlos Eraña. España)

Fecha de recepción: 28 de septiembre de 2015


Resumen La aplicación metodológica lúdica empleada para la mejora en la resolución de

problemas matemáticos, ayuda a mejorar: la motivación, la autoestima, autoconfianza y a

generar habilidades metacognitivas que pueden generalizarse a otras asignaturas y más

allá del ámbito escolar. Se ha desarrollado un programa basado en fases, donde se trabaja

de forma lúdica con alumnos de 3º de Educación Primaria. El trabajo en grupo, propicia

empatía entre los compañeros favoreciendo un ambiente adecuado para conseguir el

aprendizaje deseado. Se comparan los resultados obtenidos antes de comenzar el

programa de intervención y al finalizar éste. Los resultados indican la eficacia del

programa de entrenamiento en la resolución de problemas.

Palabras clave Resolución de problemas, metodología lúdica, fases metodológicas, dificultades de

aprendizaje en niños, análisis estadístico.

Title We play detectives and pirates! Application of a learning programmer on how solve

problems

Abstract The application of learning-through-play methodologies for the improvement of

mathematics problem solving helps to enhance the motivation, self-esteem and self-

confidence, and to generate metacognitive abilities that may spread out to other subjects and beyond the school environment. A phase-based working program involving learning-

through-play with students of third year of Primary Education has been developed.

Working in groups promotes empathy among group members, favoring an adequate

environment to achieve the desired learning. Results obtained before the interventional

program was started and once it was completed are comparatively presented. The results

demonstrate the efficacy of the training program in problem solving.

Keywords Problem solving, learning-through-play methodology, methodological phases, learning

difficulties in children, statistic analysis.

1. Introducción

Los procesos de resolución de problemas constituyen uno de los ejes principales de la actividad

matemática. Se requieren y se utilizan muchas de las capacidades básicas: leer, reflexionar, planificar

el proceso de resolución estableciendo estrategias y procedimientos. Se modificará el plan si es

necesario, para posteriormente comprobar la solución hallada.


¡Jugamos a detectives y piratas! Aplicación de un programa de aprendizaje sobre resolución de

problemas M. M. Rodríguez-Hernández, O. Morote-Esquivel


Según el Decreto 54/2014, de 10 de julio, por el que se establece el currículo de la Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha, la resolución de problemas se convierte

en el eje del aprendizaje significativo de las matemáticas, considerándose como un medio para la

adquisición y generación de conocimientos, habilidades, estrategias y procedimientos, por lo que debe estar articulada dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje de todos los bloques de contenido del

área. Además, la aplicación de los conocimientos matemáticos adquiridos en la resolución de

problemas, desarrollará en los alumnos la capacidad de transferir los conocimientos del aula a la vida

real, estableciendo las conexiones oportunas entre las matemáticas y la realidad, y no desvinculando el

aprendizaje de la vida real.

Este trabajo surge ante la necesidad de abordar la problemática, que tenían los alumnos de

tercero de Educación Primaria del colegio público CEIP Carlos Eraña de Ciudad Real, de 8 y 9 años

de edad, sobre la resolución de problemas. Unos, cuando se enfrentaban a esta tarea se bloqueaban incluso antes de empezarla, no creían ser capaces de resolverla. Como escribe Font (1994, p. 14) “su

nivel de ansiedad es tan grande que la única estrategia defensiva que pueden utilizar es no hacer nada”.

Otros, hacían una lectura superficial sin llegar al fondo de la información que se proporciona en los

enunciados y enseguida, pedían ayuda sin ni siquiera intentarlo. Cuando se les explica el proceso de resolución lo ven claro, pese a que siguen sin enfrentarse a la tarea de un modo positivo. Les supone

un gran esfuerzo, sin conseguir los resultados que desean, provocando que su motivación disminuya.

Un número importante de alumnos del aula, mostraban frustración cada vez que debían resolver problemas en la clase de matemáticas. Se plantea, por tanto, la necesidad de llevar a cabo un programa

de intervención en nuestro aula, con dos objetivos: por una parte, proporcionar a los alumnos las

herramientas que necesitan para aprender a resolver problemas a través de una metodología activa, de participación a través del juego, cuyo fin es el de motivar y captar la atención del alumnado para

potenciar el aprendizaje; por otra, ver si la metodología implantada resultó significativamente efectiva

en nuestro alumnado, para lo cual se lleva a cabo un análisis estadístico.

1.1. Antecedentes bibliográficos

La resolución de problemas matemáticos ha estado en boga en los últimos años y ha sido una actividad primordial en los matemáticos desde la más remota antigüedad. A continuación, describimos

cómo diferentes autores señalan las diferentes partes o componentes que presentan los problemas.

El modelo para la resolución de problemas, más relevante entre los primeros propuestos se debe

a Wallas (1926), consta de cuatro fases:

Preparación: se recoge la información y los intentos preliminares de solución.

Incubación: debe dejarse el problema de lado para realizar otras actividades o descansar.

Iluminación: cuando aparece la idea clave para la solución.

Verificación: se comprueba la solución.

El matemático húngaro Polya propuso una nueva doctrina, que hizo que tras la publicación de su libro “How to solve it”, traducido al español, “Cómo plantear y resolver problemas” (Polya, 1976),

comenzará a asentarse lo que a partir de ese momento se entendía por heurística: el estudio de operaciones mentales útiles en el proceso de resolución de problemas. Se consideraban cuestiones

como la emocional, cultural… que hasta entonces no se habían tenido en cuenta. Describe que el

sujeto avanza linealmente desde el enunciado hasta la solución. Cualquier persona debe lograr asimilar las técnicas de resolución hasta saber resolver correctamente los problemas. Las cuatro fases que

presenta son:





• Comprender el problema: implica entender el texto y la situación que se debe resolver. Se deben encontrar cuáles son los datos que conocemos y cuáles son las incógnitas que

buscamos.

• Concebir un plan: en él se determina la relación entre los datos y la incógnita. De no encontrarse una relación inmediata se pueden considerar problemas auxiliares y obtener

finalmente un plan de solución.

• Ejecución del plan: consiste en la puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la

fase anterior. • Examinar la solución obtenida: es preciso revisar el resultado para saber si efectivamente se da

una respuesta válida a la situación planteada.

Schoenfeld (1985), expone que el proceso de resolución de problemas no es lineal, como lo

planteaba Polya, se trata de un camino en zig-zag, que supone marchas hacia atrás y hacia adelante.

Propone cuatro fases en el mismo:

• Análisis: debe trazarse un diagrama cuando esto sea posible, examinar los casos particulares y

probar a simplificar el problema.

• Exploración: mediante el examen de problemas equivalentes, ligeramente modificados y

ampliamente modificados. • Ejecución: para resolver el problema se toma una estrategia y se usa para intentar solucionarlo.

• Comprobación de la solución obtenida: verificando si dicha solución utiliza todos los datos

pertinentes, si está acorde con estimaciones razonables, si es posible obtener la misma solución por otro método, si puede quedar concretada en casos particulares, si es posible

reducirla a resultados conocidos y utilizarla para generar algo ya conocido.

El método IDEAL para resolver problemas de Bransford y Stein (1987), considera la resolución

de problemas como un proceso uniforme de cinco fases. Las siglas IDEAL significan:

• I: Identificación del problema.

• D: Definición y representación del problema con la mayor precisión, claridad y cuidado que sea posible (evitar errores en la manipulación de los datos).

• E: Exploración de análisis alternativos. Consiste en explorar distintas vías o métodos de

resolución de problemas. • A: Actuar conforme a un plan. Implica una toma de decisiones.

• L: Logros alcanzados. De no analizarse o saltarnos este último eslabón, no estaremos seguros

de haber elegido correctamente la estrategia hasta no haber actuado basándonos en ellos y

haber observado si se ha logrado hacerlos funcionar.

En el caso de Mason, Burton y Stacey (1988), presentan una propuesta que pretende acometer cualquier problema de manera eficaz. Entienden que analizar a posteriori el proceso permite

retroalimentar la experiencia. Se basan en los trabajos de Polya y Schoenfeld. Un aspecto a destacar en

su modelo es que tienen en cuenta los estados afectivos. Las fases que formulan son tres:

• Abordaje: partiendo de lo que el alumno sabe, lo que quiere saber y lo que puede usar. • Ataque: mediante conjeturas y la justificación de las mismas.

• Revisión o reflexión: para lo que es necesario comprobar, reflexionar y extender.

Guzmán (1991) se basa en los modelos de Polya y Schoenfeld introduciendo refuerzos afectivos

que ayuden a eliminar las dificultades que se van produciendo. Expone cuatro fases en la resolución de

problemas: familiarizarse con el problema, búsqueda de estrategias, desarrollo de la estrategia y




revisión del proceso. Guzmán (2001, pp. 12-13) considera que lo más importante en la resolución de problemas son los procesos de aprendizaje y añade que “se trata de considerar como lo más importante

que:

• el alumno manipule los objetos matemáticos;

• active su propia capacidad mental; • ejercite su creatividad;

• reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de

mejorarlo conscientemente;

• adquiera confianza en sí mismo;

• se divierta con su propia actividad mental;”

y plantea además cómo se debería proceder en la resolución de problemas:

• “propuesta de la situación problema de la que surge el tema

(basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos...)

• manipulación autónoma por los estudiantes • familiarización con la situación y sus dificultades

• elaboración de estrategias posibles

• ensayos diversos por los estudiantes

• herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados)

• elección de estrategias

• ataque y resolución de los problemas • recorrido crítico (reflexión sobre el proceso)

• afianzamiento formalizado (si conviene)

• generalización

• nuevos problemas

• posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas”…

Para Fernández (2010, p. 12) “la primera fase para resolver problemas no es “comprender el

problema”; la primera fase es QUERER resolverlo”. Añade que al principio lo importante es “producir

estrategias, reforzar la seguridad personal y el interés por la variedad de actividades”, Fernández (2010, p. 18). Enfatiza, al igual que Guzmán, la necesidad de transmitir estrategias que ayuden a los

alumnos en la resolución de problemas.

Sintetiza en seis las fases la resolución de problemas:

• Querer: si el alumno tiene voluntad de resolver un problema serán mayores las posibilidades

de éxito.

• Comprender: plantear a los alumnos situaciones problemáticas provocan en ellos la necesidad de comprenderlas.

• Formular ideas: se infieren de los datos y las condiciones del problema, permitiendo la

observación y la intuición del alumno. • Investigar: potenciar que sea el alumno el que genera las ideas. “Se desarrolla así la

creatividad, el razonamiento, la memoria, la flexibilidad y reversibilidad del pensamiento, su

iniciativa y la aplicación de conocimientos”.

• Comunicar: el diálogo sirve para contrastar el proceso, ayudando al desarrollo de la autonomía cuando explican sus decisiones





• Concluir: se trata de comunicar lo acontecido durante el proceso de resolución del problema que ha utilizado el alumno, de manera que ayude en las sucesivas resoluciones de situaciones

problemáticas.

Manifiesta que las estrategias de elaboración deben permitir crear reglas, no seguirlas. Apuesta

más por el aprendizaje por descubrimiento, igual que Guzmán, investigando, con un papel activo, para

poder encontrar las estrategias en función de la necesidad que las ha generado.

En definitiva, todos estos autores, aunque con distintas denominaciones, incluyen entre sus fases, una primera parte de identificación del problema, la fase de planificación, la de resolución y

finalmente la revisión del plan ejecutado.

2. Programa de intervención para la resolución de problemas matemáticos

Los factores afectivos, cognitivos, la personalidad, la clase social y cultural caracterizan y

definen la unicidad de cada alumno. Cada vez se toma más consciencia de que en las clases de

matemáticas existe una diversidad de alumnos y por lo tanto no debe prevalecer un único método

válido de enseñanza. Esto debe suscitar una búsqueda de modelos de enseñanza-aprendizaje con el objetivo de ofrecer formas alternativas que ayuden a los alumnos de nuestras aulas a conocer sus

capacidades, potenciarlas y crecer de forma individualizada. Los sentimientos, las emociones, la

reflexión, la visualización, la estética, el orden y el equilibrio son olvidados en la enseñanza. Debe tomarse conciencia de su gran importancia y de sus grandes beneficios, pero aún queda un largo

camino hasta que se considere la dimensión afectiva como una parte integrante en el currículo de

Educación Primaria.

Al abordar inicialmente la resolución de problemas, nos encontramos con alumnos con actitud

negativa a la hora de afrontarlos, aspecto que también destacan otros autores. Según Gómez (2000, p. 154): “La ansiedad, el miedo, el temor, la desesperación […] son estados afectivos esencialmente

indeseables. Es necesario proporcionar y favorecer experiencias productivas y constructivas en los

alumnos”. También dice: “El reto del educador o la educadora es irrumpir e interrumpir los sentimientos negativos, como paso previo a la necesaria reconstrucción afectiva/cognitiva que debe

tener lugar para el avance del estudiante, encontrando caminos didácticos que favorezcan estos

aspectos”.

Por otro lado Font (1994, pp. 13-14) cuando habla de la falta de motivación opina que no está

relacionada sólo con cuestiones cognitivas, porque en muchos casos, la falta de motivación tiene relación directa con cuestiones afectivas e inconscientes y añade: “Si un alumno tiene un patrón

motivacional positivo, frente a una dificultad reaccionará analizándola, buscará una nueva estrategia

[…] vivirá la dificultad sin demasiada ansiedad ni angustia y se centrará en la manera de resolver la

dificultad.

Guzmán (2001, p.10) argumenta:

“Cada vez va siendo más patente la enorme importancia que los elementos

afectivos que involucran a toda la persona pueden tener incluso en la vida de

la mente en su ocupación con la matemática. Es claro que una gran parte de

los fracasos matemáticos de muchos de nuestros estudiantes tienen su origen

en un posicionamiento inicial afectivo totalmente destructivo de sus propias

potencialidades en este campo”.




Por ello, la forma de llevar a cabo el método de aplicación, para la mejora de la resolución de

problemas, debía:

• Poder llevarse a cabo con un trabajo en grupo, lo que permitiría establecer empatía entre los

compañeros con el fin de que se produjera una libre comunicación en el aula.

• Crear un clima de aceptación que estimule la seguridad en sí mismos, les anime a experimentar,

descubrir permitiéndoles correr riesgos sin sentirse menos valorados.

• Reforzar la autoconfianza en el alumno. La ansiedad debía ir disminuyendo progresivamente a medida

que los alumnos fueran aplicando la técnica de resolución de problemas.

• Fortalecer la autoestima, el apego o consideración que tiene un alumno de sí. Se trata de un requisito

fundamental para que la actividad cognitiva y afectiva tenga éxito. La base del concepto que se tiene

de uno mismo se establece en la infancia por tanto debíamos incorporar creencias y actitudes

positivas. Los alumnos debían tener un autoconcepto sano.

• Motivar al alumnado. Debía venir impulsado por tres factores: El deseo de aprender, la actitud positiva

ante el aprendizaje y estar dispuesto a realizar un esfuerzo.

Para ello se crea un entorno propicio. Se cuentan historias que harán que los niños abran los ojos expectantes y un material que enmascarará un ambiente lúdico para hacer un disfrute continuo en

el aula. Cuya consecuencia trae consigo el deseo de aprender más y más, sin darse cuenta. Según

Rodríguez-Hernández, González y Rivilla (2015, p. 15):

“El juego es el recurso educativo por excelencia en la infancia. El niño se

siente profundamente atraído y motivado con él. Debemos aprovechar estos

deseos de jugar para plantear nuestra enseñanza en las aulas. Como

consecuencia ayudaría a tener una predisposición de agrado por la asignatura de Matemáticas, contribuyendo positivamente a que la adquisición de nuevos

conocimientos sea más sencilla.”

Se realiza una revisión exhaustiva de la literatura y aunque hay autores que dan unas pautas o fases con un orden establecido para llevar a cabo una mejora en la resolución de problemas, en general

no proponen una metodología para llevarlas a cabo. Se decide trabajar con la propuesta de Fernández

(2010), a través de las diferentes fases que expone en su libro. Se desea ver si se da un progreso en el aprendizaje y si éste es o no significativo, en el tiempo que se ha puesto en práctica. Consta de siete

fases que van desde la fase 0 a la fase 6. Toma el juego como punto de partida. De la variedad de

juegos que presenta en su libro, se trabaja con dos de ellos. Las fases y los juegos se explican en las

subsecciones que vienen a continuación.

2.1. Metodología

En nuestra clase teníamos alumnos con diversos problemas personales y familiares. Así que

para nosotros era importante, como acabamos de señalar, trabajar la dimensión afectiva y la cognitiva.

Cuestiones que también pone de manifiesto el autor de la metodología con la que trabajamos. En el proceso de resolución de problemas intervienen factores como las relaciones en el grupo-aula, la

claridad en el lenguaje, la memoria lógica y la creatividad. Según Fernández (2010, p. 20), la

enseñanza de la Matemática debe, “basar la educación en estrategias de falsación o contraejemplos,

evitando el “bien” o “mal” como autoridad que sustituye a la evidencia”.

En el primer juego que se utiliza en el aula, el profesor cuenta una historia breve sin números. Después formula una pregunta. Si se puede responder a partir de la historia, los alumnos sacan un

papel de color verde, si no se puede responder a partir de la historia, sacan un papel de color rojo

(véase la Figura 1). Sólo se saca el papel, no se responde la pregunta. Posteriormente el profesor saca el papel de color verde o rojo para que los niños formulen preguntas que se puedan resolver o no,





según corresponda. Durante el desarrollo del juego el profesor no hace correcciones, ni pide explicaciones. Sólo, si es necesario, repite la historia sin modificaciones. Este juego es el que

empleamos para trabajar la fase 1 y la fase 2, en esta última fase se utiliza el cálculo para demostrar la

validez del razonamiento.

Figura 1: Tarjeta verde y roja.

Una variante de este juego, es contar las historias con datos numéricos, operaciones aritméticas

y relaciones matemáticas y después formular la pregunta, siguiendo la misma dinámica anterior. Se

aplica para trabajar la fase 3.

Este juego propicia el desarrollo de la creatividad y la comunicación del proceso seguido por los

alumnos, para resolver las situaciones problemáticas que se les plantean.

Figura 2: Pergamino para rellenar, con una tabla de dos filas. Se trata de escribir las claves.

El segundo juego se lleva a cabo en equipos. Para ello, se seleccionan 10 problemas de al menos

dos cursos inferiores a la edad de los alumnos con los que se trabaja, tal como propone Fernández

(2010, p. 259). Se separan los enunciados y las preguntas de los problemas, ambos se numeran del 1 al

10 al azar. Los enunciados se colocan en un lugar de la clase y las preguntas en otro, alejados entre sí. El juego consiste en unir los números que relacionan enunciado y pregunta. Se acaba cuando un

equipo consigue escribir las diez parejas de números (véase la Figura 2). La regla del juego consiste en

que cada vez se levantan dos niños de cada uno de los grupos, uno va hacia las preguntas y otro hacia los enunciados. Disponen de treinta segundos, siendo el profesor el que da la señal de inicio y

finalización. No pueden llevar nada para escribir, sí pueden hacerlo en los grupos. No pueden salir los

mismos niños hasta que hayan salido todos. El profesor dejará tiempo de reflexión entre una señal y

otra. Se lleva a cabo para realizar la fase 4.

Enunciados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Preguntas

FASE 4: PREGUNTA SIN ENUNCIADO




Este juego presenta dos variantes: se seleccionan 8 problemas de al menos dos cursos inferiores a la edad de los alumnos con los que se trabaja, separando para la variante 1: los enunciados, las

preguntas y el proceso de resolución; y para la variante 2: los enunciados, las preguntas y la solución.

Se numeran al azar del uno al ocho y se colocan en diferentes lugares de la clase. El juego consiste

en escribir los números que relacionan los enunciados, las preguntas y el proceso de resolución (si se juega con la variante 1) o la solución (si se lleva a cabo el juego de la variante 2). La dinámica del juego

y las reglas son las mismas que en el segundo juego. Ahora, cada vez, se levantan tres niños. La variante

1 se emplea para trabajar la fase 5 y la variante 2 para la fase 6. Véase la Figura 3.

Figura 3:Pergaminos, con tablas para rellenar dos filas para trabajar las fases 5 y 6. Se trata de escribir las claves

La elección de este segundo juego viene motivada por la ayuda que proporciona a los

alumnos: conocer los diferentes elementos que forman parte del problema, las relaciones que se

establecen entre ellos y la posibilidad, de nuevo, de comunicar sus conclusiones al explicar cómo

resuelven las claves de las distintas fases.

2.2. Fases

Las fases de Fernández (2010) son siete numeradas del cero al seis. Cada fase representa una

parte fundamental del proceso de resolución de problemas.

Fase cero, a la que llama lógica; permite el desarrollo del pensamiento, al familiarizarse los

alumnos con las reglas de la lógica, a través de cinco tipos de actividades: transformar en condicionales expresiones cotidianas y expresiones de cuentos, expresar posibles consecuencias de

Enunciado 1 2 3 4 5 6 7 8

Pregunta

Resolución

Enunciado 1 2 3 4 5 6 7 8

Pregunta

Solución

FASE 6: RESPUESTAS A LA PREGUNTA DE UN PROBLEMA

FASE 5: PROCESO DE RESOLUCIÓN





acciones que sirvan como antecedentes, expresar enunciados falsos o verdaderos, afirmando o negando y, por último, a partir de una condición, completar la expresión de las cuatro formas de

inferir. Esta fase es importante, ya que, según el autor “Un pensamiento que no ha pasado por la fase

lógica, no puede llegar a la fase matemática”. Fernández (2010, p.47)

Fase uno: Problemas sin número. Plantea historias que los alumnos deben resolver sin datos numéricos, lo que posibilita a los alumnos centrarse en el proceso y desarrollar así la observación. El

autor expone que ésta debe ser una de las primeras situaciones a las que tiene que enfrentarse el

alumno.

Fase dos: Problemas incompletos. Ante un enunciado incompleto, se proponen preguntas que

darán lugar a diferentes soluciones, que van a depender de los diferentes datos que han sido utilizados al completar el enunciado. El cálculo se utiliza para demostrar la validez del razonamiento. “Las ideas

lógicas se considerarán lógico-matemáticas cuando su veracidad pueda ser demostrada mediante

procedimientos operativos propios de la matemática.” (Fernández, 2010, p.47)

Fase tres: Enunciados sin pregunta. Conducir a los alumnos para que observen que no se puede decidir sobre qué hacer ante un enunciado si no se conoce la pregunta. Se trata de establecer una

relación lógica entre la pregunta y el enunciado y entre demostrar, explicar o argumentar su verdad.

En cada una de estas fases Fernández, sugiere dejar que los niños hablen libremente, guiando su

aprendizaje mediante ejemplos y contraejemplos, sin corregirles con bien o mal las ideas que

expresan.

Fase cuatro: Pregunta sin enunciado. A partir de una pregunta sin enunciado, los alumnos serán conscientes de la necesidad de tener unos datos para poder responderla. Se orienta a los alumnos

para que identifiquen los datos que son necesarios para responder la pregunta, estableciendo una

relación lógica entre la pregunta y el enunciado. Por otra parte, se plantea romper estereotipos de

asociación falsa entre determinadas preguntas y el enunciado. Por ejemplo, cuando los maestros enseñamos el algoritmo de la resta solemos decir que restar es quitar. Después nuestros alumnos se

encuentran con enunciados del tipo: La mamá de Ana tiene un jarrón con flores. Ayer quitó dos flores

del jarrón que se habían secado, hoy ha quitado tres flores que también se han secado. ¿Cuántas flores

ha quitado la mamá de María? La mamá de María “quita” y para resolver sumamos.

Fase cinco: Proceso de resolución. Expresado un proceso de resolución, se observará la

necesidad de contar con un enunciado y una pregunta que den sentido al mismo, estableciendo una

relación lógica entre el proceso de resolución, el enunciado y la pregunta de un problema.

Fase seis: Respuesta a la pregunta de un problema. Se trata de establecer una relación lógica

entre la solución y el proceso de resolución, el enunciado y la pregunta de un problema, entendiendo

que resolver un problema es demostrar su solución o la ausencia de ésta.

A lo largo de todas las fases se ayuda al alumno a distinguir la información dada en los

problemas que es necesaria para resolverlos, de la que no lo es. Son los alumnos los que van

descubriendo en cada situación problemática, que puede haber información que no es necesaria para resolverla; expresando ellos mismos que esa información solo les puede conducir a error, por tanto, la

desechan.




3. Puesta en práctica

Los juegos explicados en la Sección 2 son llevados a la práctica a través de unas historias que se

preparan para ellos. Los vamos a convertir en ¡detectives! y ¡piratas! Ambas historias crean un

ambiente propicio para jugar en el aula. Los juegos están basados en los que propone el autor, el juego

de los detectives puede verse en Fernández (2010, p. 247) y el juego de los piratas, Fernández (2010,

pp. 259-260).

Pequeña historia para grandes detectives

Los habitantes de un país, no muy lejano, más bien cercano, pero que muy

cercano, vivían preocupados porque un malvado mago había raptado a su rey.

Un hombre sabio y justo muy amado por todos sus súbditos. (Ahora les

hablaremos en voz más bajita como cuando se cuenta un secreto) Para

liberarlo debían resolver los enigmas que el mago les planteaba.

Los habitantes de aquel reino, no muy lejano, más bien cercano, pero que

muy cercano, no podían resolver los enigmas. Uno de ellos propuso ir al país

vecino: Detectivilandia, ¿sabéis dónde está? (dejamos que respondan,

conseguimos que interactúen y captamos su atención), está por aquí cerca. Es

famoso por sus intrépidos detectives, que son capaces de resolver los casos

más complicados. ¿Sabéis quiénes son?, (dejamos que respondan,

conseguimos que interactúen y captamos su atención), sííííííí sois vosotros. A

continuación, os contaré los casos que tenéis que resolver, ¡intrépidos

detectives!, buscaréis las pistas para dar con las soluciones a los enigmas del malvado mago, para así, ayudar a los habitantes de su país vecino a liberar a

su sabio y justo rey. (Subimos el tono de voz), ¿Estáis preparados y listos y

nerviosos y deseosos para empezar a resolver los enigmas?

Tras la lectura de la pequeña historia de los detectives, comenzamos a desarrollar la fase lógica.

Se les plantea como un entrenamiento para ser detectives.

A cada alumno se le dan dos tarjetas como muestra la Figura 1.A continuación seguimos con la

historia.

Cada uno de vosotros tiene dos tarjetas una de color verde y una de color rojo. Yo, os leeré los

casos, debéis levantar la tarjeta verde, si se puede resolver con las pistas dadas o la tarjeta roja, en caso

de que no se pueda resolver con esas pistas.

Posteriormente los detectives explican cómo han resuelto los casos, o piden más pistas, para

poder resolver el caso. De esta forma se llevan a cabo las fases uno, dos y tres. Una variante, que

realizaremos después de este juego, es que el maestro saca la tarjeta de color verde o rojo para que los

niños formulen preguntas que se puedan resolver o no, según corresponda. Para trabajar la fase 3.

Pequeña historia para grandes piratas.

Hace muchos, pero que muchos años, los piratas navegaaaaaban por todos los

mares y océanos buscando preciados tesoros que los convertirían en hombres muy, pero que muy ricos. (Ahora les hablaremos en voz más bajita como

cuando se cuenta un secreto) “Sabían de buena tinta” que algunos de esos

tesoros se encontraban ocultos en oscuras y profundas cuevas en las islas

desiertas repartidas por todos los mares y océanos. Estas islas estaban





marcadas con una enorme cruz en el mapa del tesoro. A veces había que

cavar durante horas para dar con los tesoros, que estaban guardados en pesados y viejos baúles. (A continuación, hablamos en tono normal) En

nuestro mapa del tesoro tenemos marcadas las islas del mar “Tercero”, sí, sí,

habéis oído bien, “Tercero” es una de ellas, donde están las claves que nos

ayudarán a encontrar el tesoro. ¿Queréis saber cómo se buscan las claves?

(dejamos que respondan).

Figura 4: Pañuelo pirata.

Los alumnos son piratas buscadores de tesoros para lo que necesitan completar una clave.

Podemos ambientar el juego poniéndoles a los niños pañuelos en la cabeza como el de la Figura 4. La

dinámica y las reglas del juego son las expuestas en la Sección 2. Se juega en equipos. Cada equipo

tiene un lápiz y una hoja parecida a un pergamino, véase la Figura 2, en la que se va escribiendo la

clave.

Puesta en práctica de la fase cuatro: se formaron grupos cada uno de ellos con 4 o 5 niños. La

experiencia que se llevó a cabo en nuestra aula estaba formada por 6 grupos. Se seleccionan 10

problemas del nivel de primero de Primaria. Siguiendo la propuesta que hace Fernández (2010, p. 259), “seleccionamos 10 problemas de dos cursos inferiores a la edad de los niños con los que

estábamos trabajando”. Se separan los enunciados, y las preguntas. Ambos se numeran del 1 al 10 al

azar. Los enunciados se colocan sobre una mesa, para nosotros “isla”, en un lugar de la clase, y las preguntas en otra “isla” alejada de la primera. Dos piratas de cada equipo, deben ir uno a la “isla” de

los enunciados y otro a la “isla” de las preguntas. Buscan la información que les permita unir los

números que relacionan el enunciado con su pregunta. Durante treinta segundos, que cronometra el

maestro, los piratas observan la información que encuentran en cada “isla” y posteriormente, cuando vuelven a su equipo, la ponen en común con sus compañeros durante un tiempo aproximado de diez

segundos. (No necesitan más, porque están deseando salir de nuevo). No pueden llevar nada para

escribir, sí pueden hacerlo en los grupos. Cada vez salen dos piratas diferentes de cada equipo, para que participen todos. Se realizan tantas rondas y salidas como sean necesarias. Se acaba el juego

cuando un equipo completa la clave en el pergamino, véase la Figura 2, escribiendo las diez parejas de

números. Después comprobamos que la clave es correcta.

Para la fase cinco, se seleccionan 8 problemas de primero de Primaria, tal como indica

Fernández (2010, p. 263), separando los enunciados, las preguntas y el proceso de resolución. Se colocarán en tres “islas”. Se numeran al azar del uno al ocho, cada uno de ellos y se colocan en

diferentes “islas”, separadas unas de otras. Cada vez se levantan tres piratas de cada equipo,

dirigiéndose uno a la “isla” de los enunciados, otro a la “isla” de las preguntas y un tercero a la de los procesos de resolución. Los piratas deben encontrar la clave, escribiendo los números que relacionan

los enunciados, las preguntas y el proceso de resolución en un pergamino, que se le da al inicio de la




actividad a cada uno de los grupos, como el que se muestra en la Figura 3. Después comprobamos que

la clave es correcta. Las reglas del juego son las mismas que en la fase cuatro.

En la fase seis se seleccionan 8 problemas de primero de Primaria, como indica Fernández

(2010, p. 266), separando el enunciado, la pregunta y la solución de cada uno de los problemas. Se

numeran al azar del uno al ocho y se colocan en diferentes “islas”, separadas unas de otras. Cada vez se levantan tres piratas de cada equipo, dirigiéndose uno a la “isla” de los enunciados, otro a la “isla”

de las preguntas y un tercero a la “isla” de las soluciones. Deben encontrar la clave escribiendo los

números que relacionan los enunciados, las preguntas y la solución, en un pergamino como el que se

muestra en la Figura 3. Después comprobamos que la clave es correcta. Las reglas del juego son las

mismas que en la fase cuatro.

En nuestra aula, para aplicar las fases 5 y 6, se formaron 5 grupos de cinco o seis niños en cada

uno de ellos.

3.1. Fases

A continuación, presentamos las actividades realizadas en el aula con un ejemplo de cada una.

Para Fernández (2006, p. 36) “La clasificación que se hace de los problemas

que se define por problemas de Cambio, de Combinación, Comparación e

Igualación, no tiene, a nuestro juicio, incidencia alguna como aportación

didáctica, ni por su estructura, ni por su tipología. El alumno no debe distinguir un problema por su tipología porque estará memorizando una

forma de análisis que cuando no recuerde le hará fallar; su aprendizaje se

debe apoyar en la selección, distinción y discernimiento intelectual mediante

una dinámica de relaciones lógicas”.

Basándonos en esto, nos planteamos proponer una variedad de situaciones problemáticas que

permiten a nuestros alumnos enfrentarse a ellas. A continuación, se muestran algunos ejemplos.

Fase cero: Lógica. (3 sesiones de 40’)

Se han trabajado cinco tipos de actividades de forma oral.

1.1. Transformar en condicionales expresiones cotidianas:

Cuando termine la tarea jugaré al fútbol. … acabo la tarea jugaré al fútbol.

1.2. Transformar en condicionales expresiones de cuentos:

Cuando mientas te crecerá la nariz… mientes te crecerá la nariz.

1.3. Expresar posibles consecuencias de distintas acciones que sirvan como antecedentes.

De una hucha sacamos 25 € entonces…

1.4. Expresar enunciados falsos (F) o verdaderos (V), afirmando o negando: Expresar una verdad a partir de un enunciado afirmativo (E+); expresar una verdad a partir de un enunciado con

negación (E-); expresar una falsedad a partir de un enunciado afirmativo; expresar una falsedad a





partir de un enunciado con negación. Cada vez se presenta uno de los enunciados para que expresen

los demás.

• El gato es un animal mamífero (V con E+)

• El sol no es un planeta (V con E -)

• Una semana tiene ocho días (F con E +)

• Un cuadrado no es un cuadrilátero (F con E -)

1.5. A partir de una condición necesaria y suficiente, completar la expresión con las cuatro

formas de inferir.

• Si un animal se alimenta sólo de carne, entonces y sólo entonces es carnívoro

• Sí se alimenta sólo de carne, luego…

• No se alimenta sólo de carne, luego…

• Sí es carnívoro, luego…

• No es carnívoro, luego…

Fase 1: Problemas sin número (3 sesiones de 40’)

Esta fase se ha trabajado, de forma oral, con casos como éste:

Un granjero tenía cerdos y gallinas en su granja. Fue al mercado y vendió algunas gallinas.

¿Cuántos cerdos le quedan?

Juegan a los detectives. En un primer paso los detectives descubren si se puede o no resolver

con esas pistas. Después van completando las pistas que faltan para llegar a una solución. Descubren

que no siempre son necesarios datos numéricos para resolver los casos.

Cuando intentaron resolver el caso arriba mencionado, todos los alumnos, a excepción de una

niña, levantaron tarjeta roja porque consideraron que faltaban pistas para resolverlo. Al explicar cómo

había resuelto el caso, dijo: “Tiene los mismos cerdos que tenía al principio porque ha vendido

gallinas, no cerdos.”

Fase 2: Problemas incompletos (4 sesiones de 40’)

Juegan a los detectives con casos de este tipo:

La abuela de Raúl le ha dado ____ ¿Puede comprar el libro que le gusta?

Después de contar cada caso ellos los repiten para comprobar que lo han comprendido.

Primero deciden con las tarjetas roja o verde si se puede resolver o no con las pistas que tienen. En un segundo paso completan con las “pistas” que faltan de manera que la respuesta sea: Sí puede

comprar el libro; no puede comprar el libro.

Con el siguiente caso, llegaron a plantear hasta siete enunciados distintos.

Esta semana han puesto ofertas en el supermercado:

1 litro de leche…………………____céntimos




1 kg de naranjas……………….___€ y ___ céntimos

1 bolsa de magdalenas……………___€ y ___ céntimos

a) Almudena se ha gastado ___ € y ____ céntimos. ¿Qué ha comprado?

b) ¿Cuánto dinero necesita Luis para comprar ____ litros de leche y una

bolsa de magdalenas? ¿Cuánto le devuelven?

Propuesto el caso todos levantaron la tarjeta roja y fueron pidiendo los datos que faltaban, primero el precio de cada uno de los productos, pero esto no era suficiente, había que completar los

datos relacionados con el dinero que gastaban.

En esta fase dieron un paso más, cuando los alumnos explican sus ideas para resolver los casos

utilizan el cálculo para dar validez a sus razonamientos. Lo más destacado en esta fase es que el nivel de atención es elevado. Escuchan una vez los casos y sacan las tarjetas. Además, prestan gran

atención al razonamiento de otros compañeros, cuando explican cómo han resuelto el caso. Incluso

algún alumno, al exponer el suyo descubrió su error y cambió de tarjeta (autocorrección).

Fase 3: Enunciados sin pregunta (3 sesiones de 40’)

Partimos de un enunciado sin pregunta:

Raúl fue a la panadería de su barrio y compró dos barras de pan que costaban 45 céntimos

cada una y 3 chicles por 10 céntimos cada uno.

Después juegan a los detectives, inicialmente el docente comienza haciendo preguntas que sí tienen respuesta con las pistas recibidas y otras que no, para que saquen la tarjeta verde o roja según

corresponda.

Preguntas con respuesta: ¿Qué es más caro? ¿Qué es más barato? ¿Cuánto cuestan más las

barras de pan que los chicles? ¿Cuánto cuesta menos los chicles que las barras de pan? ¿Cuánto dinero

gastó? ¿Cuántas barras compró? ¿Cuántos chicles compró? ¿Cuántos chicles puede comprar con el

dinero que le cuestan las barras de pan?

Preguntas sin respuesta: ¿Cuánto dinero llevaba? ¿Cuánto dinero le devolvieron? ¿De qué

sabores eran los chicles? ¿Cuánto pesan las barras? ¿Cuántas barras de pan quedaron en la tienda?

¿Cuántas barras vendió ese día el panadero?

Finalmente, ahora es el maestro el que saca: la tarjeta verde y los “detectives” hacen una pregunta que se pueda responder con las pistas dadas o la tarjeta roja, entonces hacen una pregunta que

no se pueda resolver con las pistas dadas.

Fase 4: Pregunta sin enunciado (3 sesiones de 40`)

Juegan a “los piratas”. En primer lugar, se les muestra un ejemplo para explicar en qué consiste

el juego de esta sesión. Se plantea una pregunta del tipo:

¿Cuántos caramelos le quedan? que necesita un enunciado para poder resolverse. Empieza el

juego haciendo los grupos que van a unir la clave.





Participan activamente, con un alto grado de implicación. Nadie puede quedarse atrás porque son necesarias las aportaciones de todos los componentes del equipo para encontrar la clave. En grupo

planean cada actuación de los diferentes miembros del equipo, valorando aquellas que son más

eficaces. Así, según avanzan las rondas en el juego, descubren que es mejor que cada componente del equipo vaya cada vez a una de las “islas” que no habían visitado anteriormente. Esto les permitirá

tener más datos para buscar la relación entre enunciados y preguntas. Poco a poco todos los equipos

aplican esta estrategia y la siguen aplicando en cada sesión.

Enunciados

1. Carlos tiene cinco caramelos. Si se come tres caramelos.

2. David y Fernando juntan los cromos que tienen, si David tiene 4 cromos y Fernando 5.

3. En el lado izquierdo del jardín de mi abuela hay 2 macetas y en el derecho 3 macetas.

4. Si estaban jugando a la comba Andrea, Laura y Carmen y han venido dos amigas más.

5. Paco tiene 7 cuentos y le da 2 cuentos a su hermana Carolina.

6. El padre de Antonio le compró un balón que le costó 3 € y pagó con un billete de cinco €. 7. Susana ha ido al zoológico con sus abuelos. Han visto 3 leones, 4 monos y 2 avestruces.

8. Cristina tiene 7 pinturas y su amiga tiene 2 pinturas.

9. En el frigorífico había 4 plátanos. Mi hermano mayor compra 5 plátanos más.

10. Paula se come 3 gominolas de las 9 gominolas que su madre le compró.

Preguntas

1. ¿Cuántas pinturas tienen entre las dos amigas?

2. ¿Cuántas gominolas le quedan ahora a Paula?

3. ¿Cuántas amigas estaban jugando a la comba?

4. ¿Cuántos animales suman entre los leones y los avestruces?

5. ¿Cuánto le devuelven al padre de Antonio?

6. ¿Cuántas macetas hay en total en el jardín?

7. ¿Cuántos libros le quedan a Paco?

8. ¿Cuántos cromos tienen entre los dos?

9. ¿Cuántos caramelos le quedan?

10. ¿Cuántos plátanos hay ahora?

Enunciado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pregunta 9 8 6 3 7 5 4 1 10 2

Tabla 1: Muestra las claves de la fase 4

Cuando uno de los equipos escribe los números que unen los 10 enunciados con sus preguntas, se revisa, comprobando que, de un total de seis equipos, cuatro han encontrado la misma clave. Las

claves pueden verse en la Tabla 1.

Fase 5: Proceso de resolución (2 sesiones de 40`)

Se presenta, al comienzo de la clase, una operación como ésta, 8-3. Los alumnos sin

explicación, expresaron la necesidad de un enunciado y una pregunta para poder hacer algo con esos

datos. Como ya habían jugado a los detectives, lo primero que dijeron espontáneamente fue: “Éste es

de tarjeta roja”. Después mediante el diálogo llegaron a la conclusión de que necesitaban un enunciado y una pregunta para que esa operación tenga algún significado para los niños. Juegan de nuevo a los

piratas con los siguientes enunciados, preguntas y resoluciones para la primera sesión.




Enunciados

1. Ismael pierde 3 canicas y ahora le quedan 5 canicas.

2. Si Mónica tiene 8 naranjas y le regala 3 naranjas a su amiga Rocío,

3. Almudena tiene ahorrados 70 céntimos en la hucha. Para comprar unos caramelos ha sacado 20 céntimos,

4. Carmen viaja con su tía en el autobús. Si su tía ha pagado 50 céntimos por su billete y 25 céntimos

por el billete de Carmen,

5. En un olivo quedan 43 aceitunas. Si se han caído 12 aceitunas,

6. Esther, Felipe y Lidia han jugado un partido de baloncesto. Si Esther ha conseguido 24 puntos,

Felipe 20 y Lidia 32,

7. Hoy han ido a la piscina 12 hombres, 20 mujeres y 30 niños.

8. En el edificio donde viven mis primos, viven 15 personas en el primer piso, 12 en el segundo piso y 20

en el tercer piso.

Preguntas

1. ¿Cuántas personas viven en el edificio?

2. ¿cuánto le han costado los dos billetes de autobús?

3. ¿cuántas aceitunas había en el olivo antes de que se cayeran?

4. ¿cuánto dinero le queda en la hucha a Almudena?

5. ¿Cuántas personas han ido en total a la piscina?

6. ¿cuántas naranjas le quedan ahora a Mónica? 7. ¿Cuántas canicas tenía al principio?

8. ¿cuántos puntos han conseguido entre los tres en el partido de baloncesto?

Proceso de resolución

1. 8 – 3

2. 43 + 12

3. 12 + 20 +30 4. 50 + 25

5. 15 + 12 +20

6. 3+5

7. 24 + 20 + 32

8. 70 – 20

La Tabla 2 muestra las claves correctas. Esta clave fue encontrada por tres de los grupos de

piratas.

Enunciado 1 2 3 4 5 6 7 8

Pregunta 7 6 4 2 3 8 5 1

Resolución 6 1 8 4 2 7 3 5


Fase 6: Respuesta a la pregunta de un problema (2 sesiones de 40’)

El maestro presenta la respuesta de un problema, por ejemplo:

Hay 21 asientos vacíos en el autobús.





Comenta que resuelvan el problema. Los alumnos ponen de manifiesto que necesitan más datos para poder llegar a esa respuesta. Así empieza el juego de los piratas para encontrar la clave que une

cada enunciado con la pregunta y la respuesta del problema. Estos son los enunciados, preguntas y

soluciones de la primera sesión.

Enunciados

1. Un autobús tiene 54 asientos, si viajan 33 personas en el autobús.

2. Pepe tiene una pecera con 23 peces y hoy ha comprado 7 peces más.

3. En una panadería había 54 barras de pan, hoy al panadero le quedan por vender 32 barras de pan,

4. Eugenia tenía 14 cuentos. Después su tía Teresa le regaló algunos cuentos más. Ahora Eugenia tiene 20 cuentos.

5. En un autobús viajaban 28 personas. Si en la primera parada suben 7 personas y no baja ninguna,

6. El padre de Víctor compró una bufanda por 8 € y un gorro por 4 €.

7. Luisa ganó 7 canicas. Pedro ganó 4 canicas más que Luisa.

8. La madre de Raquel tenía 6 manzanas. Gastó 3 para hacer un pastel.

Preguntas

1. ¿Cuántos peces tiene ahora Pepe en la pecera?

2. ¿Cuánto pagó el padre de Víctor?

3. ¿cuántas personas viajan ahora en el autobús?

4. ¿Cuántas manzanas le sobran?

5. ¿Cuántas barras de pan ha vendido hoy el panadero?

6. ¿Cuántas canicas ganó Pedro?

7. ¿Cuántos cuentos le regaló su tía Teresa?

8. ¿Cuántos asientos vacíos hay en el autobús?

Soluciones

1. A la madre de Raquel le quedan 3 manzanas.

2. Hay 21 asientos vacíos en el autobús.

3. Su tía Teresa le regaló 6 cuentos.

4. El panadero ha vendido hoy 22 barras de pan.

5. Pedro ganó 11 canicas.

6. El padre de Víctor pagó 12 €.

7. Ahora viajan 35 personas en el autobús.

8. Pepe tiene 30 peces en la pecera.

En esta ocasión fue revisada la clave del grupo que acabó primero, los otros equipos fueron

confirmando haber obtenido la misma clave que se muestra en la Tabla 3.

Enunciado 1 2 3 4 5 6 7 8

Pregunta 8 1 5 7 3 2 6 4

Solución 2 8 4 3 7 6 5 1


3.2. Evaluación

Para evaluar la metodología descrita en las siete fases, el grupo de alumnos realizó una prueba inicial, antes de su aplicación y una final al acabar las sesiones con los juegos. Las pruebas se




componen de tres preguntas en cada una de las fases, aunque los cuestionarios utilizados en ambas pruebas son de elaboración propia. Las preguntas están adaptadas al nivel de 3º y abarcan los

diferentes tipos de actividades de evaluación propuestas por Fernández (2010) para cada una de las

fases. Las preguntas de cada fase están mezcladas entre sí. Son las mismas en las dos pruebas, cambiando algún dato de los enunciados como las cantidades y los nombres. Estas dos pruebas de

evaluación fueron realizadas a lo largo de dos sesiones de cuarenta minutos y se muestran en el Anexo

I.

La Figura 5 muestra las notas que se han obtenido por cada uno de los 26 alumnos. Cada una de

las fases se puntúa de 0 a 3 puntos. Hay un total de tres ejercicios por fase, cada ejercicio puntúa 1 punto si está correctamente realizado y 0 si está mal. La suma total de las puntuaciones de todas las

fases se muestra en la Figura 6 donde la puntuación irá desde 0 puntos a 21. Por cada alumno se

muestran dos barras correspondientes a la nota obtenida en la prueba inicial (i), cuya barra es de color verde y a la obtenida en la prueba final (f), cuya barra es de color azul. La ausencia de barra significa

que el alumno obtuvo 0 puntos en esa fase de la prueba.

Una mejoría clara tras aplicar la técnica, se observa en el aumento de las puntuaciones obtenidas

en la prueba final, como puede verse al comparar las barras verdes y azules. Nos preguntamos si, ¿se

trata de una mejoría significativa? La Tabla 4, muestra la nota media de las puntuaciones obtenidas en las fases iniciales (F0i, F1i, F2i, F3i, F4i, F5i y F6i) y en las fases finales (F0f, F1f, F2f, F3f, F4f, F5f

y F6f). También se ve un incremento en la media de la prueba global, suma de las notas de todas las

fases, realizado antes de la aplicación de la técnica (Total i) obteniendo 8,23 puntos y después (Total f)

obteniéndose 14,46 puntos de un total de 21 puntos.

A continuación, se comentan los alumnos cuyo número es el correspondiente al de los gráficos

de barras, de las Figuras 5 y 6. Son los que nos han parecido más significativos, por sus condiciones

personales, en cuanto a su evolución entre las puntuaciones que consiguieron en la prueba inicial y la

final:

• El número 2 es una alumna que antes de la aplicación de esta metodología se mostraba con mucha

inseguridad para enfrentarse a la resolución de problemas. Intentaba acertar con la solución, pero sin

aplicar relaciones lógicas. Después de trabajar con el programa, ha aumentado su seguridad y es capaz

de resolver con eficacia los problemas que se la plantean. • Los números 7 y 8 son alumnos que presentan un bajo rendimiento en general, en parte influido por la

problemática familiar.

• El número 17 es el caso de una niña que mostraba mucha ansiedad ante la resolución de problemas y no

era capaz de resolver ninguno de forma positiva cuando se enfrentaba sola a la tarea. Aunque no ha

superado la prueba final, ha doblado su puntuación y ha mejorado su actitud cuando tiene que resolver

problemas.

• Los números 24, 25 y 26 son alumnos que fracasaban en casi todas las asignaturas, pero la aplicación

de esta metodología ha hecho que aumente su motivación y que mejore mucho su rendimiento no solo

en matemáticas sino también en el resto de áreas.





Alumno

2625242322212019181716151413121110987654321

F0

3

2

1

0

f

i

Prueba

Alumno

2625242322212019181716151413121110987654321

F1

3

2

1

0

f

i

Prueba

Alumno

2625242322212019181716151413121110987654321

F2

3

2

1

0

f

i

Prueba

Alumno

2625242322212019181716151413121110987654321

F3

3

2

1

0

f

i

Prueba

Alumno

2625242322212019181716151413121110987654321

F4

3

2

1

0

f

i

Prueba

Alumno

2625242322212019181716151413121110987654321

F5

3

2

1

0

f

i

Prueba

Alumno

2625242322212019181716151413121110987654321

F6

3

2

1

0

f

i

Prueba




Figura 5: Puntuaciones obtenidas desde la fase 0 a la fase 6 (de 0 a 3 puntos) por cada uno de los 26 alumnos de

la clase en la prueba inicial (i) y en la final (f).

En general todos los alumnos han mejorado sus resultados en el trimestre del curso.

F0i F1i F2i F3i F4i F5i F6i Total i F0f F1f F2f F3f F4f F5f F6f Total f

Media 1,19 1,62 2,15 0,73 1,15 0,69 0,69 8,23 1,58 2,19 2,73 1,88 2,08 2,08 1,92 14,46

Desc. Típ. 0,801 0,804 1,084 0,724 0,881 0,788 0,97 3,798 1,027 0,895 0,452 0,864 0,845 0,891 0,796 3,679

Tabla 4: Media y desviación típica de las fases 0 a la 6 y del total de las puntuaciones. La i indica puntuación

obtenida en la prueba inicial y la f en la prueba final.

Alumno

2625242322212019181716151413121110987654321

To

tal

20

15

10

5

0

f

i

Prueba

Figura 6: Notas obtenidas (de 0 a 21 puntos) por cada uno de los 26 alumnos de la clase en la prueba inicial (i) y

en la final (f).

Se tienen dos muestras relacionadas, en la que realizamos una prueba no paramétrica, la prueba de los rangos de Wilcoxon, es una prueba potente, no sólo considera el sentido de las diferencias de las

puntuaciones, sino que también toma en cuenta la magnitud de las mismas. Deseamos saber si es

diferente la puntuación obtenida por los alumnos en la prueba inicial y final. Se trata de averiguar si la

aplicación de la metodología propicia una mejoría significativa.

Esta prueba se ha realizado para cada una de las fases (véase la Tabla 5), desde la fase 0 a la fase 6 y también para la suma de las puntuaciones totales de la prueba. Las hipótesis que se llevan a

cabo son,

H0: La puntuación obtenida es igual antes que después.

H1: La puntuación obtenida no es igual antes que después.

El contraste, z=1,659, cuyo p-valor o significación es de 0,097 indica que no existe diferencia

significativa en las puntuaciones obtenidas en los niños tras aplicar la técnica en la fase 0. Para el resto

de fases al realizar se obtiene significaciones menores al 0,05, por tanto se acepta la hipótesis alternativa, H1, de que sí hay diferencias al aplicar la técnica tanto de forma global, Totalf – Totali,

como para la diferencia entre las fase 1 hasta la 6, F1f - F1i, F2f - F2i, F3f - F3i, F4f - F4i, F5f - F5i y

F6f - F6i.

F0f - F0i F1f - F1i F2f - F2i F3f - F3i F4f -F4i F5f - F5i F6f - F6i Total f - Total i

Z 1,659a

2,619a

2,563a

3,961a

-3,449a

-3,997a

4,123a

-4,479a

Sig. (bilateral) 0,097 0,009 0,010 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000

a. Basado en los rangos negativos b. Prueba de los rangos con signo Wilconson





Tabla 5: Estadístico de contraste, z, y significación para la diferencia entre las fases y entre la prueba total (suma

de las notas de las fases).

4. Conclusiones

La aplicación de la metodología lúdica planteada en este documento ha supuesto un aumento

considerable de la motivación y la participación activa de los alumnos, incluso de los que

anteriormente no participaban espontáneamente en la resolución de problemas.

Los conocimientos adquiridos fueron instalados en la memoria del alumnado que repercute en

un dominio de los conceptos que aplican a largo plazo y en el resto de asignaturas.

El trabajo en equipo, en el que se analiza y se valoran por parte del docente las distintas

estrategias reflexivas del alumnado para la resolución de problemas, permitió aproximarse a los

conocimientos con otros alumnos y enriquecer el conocimiento en el aula.

El juego propició entre los alumnos que se dirigieran mensajes positivos, ayudándoles a sustituir

los sentimientos de limitación por los de capacidad. Se aprovechó el gusto natural de los alumnos por el juego y la diversión, estimulando su capacidad creativa en las fases empleadas para la resolución de

problemas:

• El juego de los detectives en el que se han planteado historias abiertas que podían dar lugar a diferentes

soluciones razonadas, guiando sus aportaciones con ejemplos, sin corregir con bien o mal, ha

contribuido: a mejorar la confianza en sí mismos; a aumentar su autoestima, con lo que han superado

sus miedos al error; a desarrollar la creatividad, estableciendo relaciones para generar ideas y

desarrollar el pensamiento matemático en la resolución de problemas. Con la dinámica de este juego

se deja pensar a los alumnos y explicar sus conclusiones. Esto ha posibilitado la autocorrección y

convertir el error en elemento de aprendizaje.

• El juego de los piratas les ha ayudado a planificar y desarrollar estrategias para resolver las claves que

relacionaban enunciados, preguntas, procesos de resolución y respuestas. Este juego potencia el

aprendizaje colaborativo. Todos aportan algo, porque las ideas y el trabajo de todos los miembros del

grupo son necesarios para lograr un objetivo común.

En este trabajo se le ha dado importancia a la conducta afectiva en el proceso de aprendizaje de

la resolución de problemas y se indica cómo incluirla en el aula a lo largo del documento. Nos

encontramos que:

• Se generaron emociones positivas en el aula de matemáticas. El prestar atención a lo que sucede no sólo

en la mente sino en el corazón de los alumnos hizo que tuviéramos más éxito en nuestra enseñanza e

impulsáramos el aprendizaje de la resolución de problemas de una manera más efectiva y con mayor

rapidez.

• No deben aislarse los aspectos físicos, emocionales y cognitivos del alumno. Con demasiada frecuencia

los maestros trabajan las asignaturas teniendo en cuenta sólo el aspecto cognitivo de los alumnos.

Considerando los tres aspectos, el intelecto, el cuerpo y el corazón se fomenta un aprendizaje en

matemáticas más eficiente.

• El entorno físico influye positiva o negativamente en el rendimiento del alumnado. Se le dio importancia a crear un aula agradable y un ambiente propicio para el estudio, donde fue posible

canalizar las emociones negativas que habían surgido en la clase de matemáticas.

Al crearse un entorno propicio en el alumnado, utilizando las actividades expuestas en este

trabajo, los procedimientos y trabajando la afectividad en el aula, se obtienen buenos resultados. La




prueba de evaluación final con respecto a los de la evaluación inicial, demuestran que existen diferencias significativas en la mejora de resolución de problemas tras aplicar el programa de

intervención planteado.

Bibliografía

Bansford J.D. y Stein, B. (1987) Solución ideal de problemas. Guía para mejor pensar, aprender y crear. Barcelona. Labor.

Decreto 54/2014, de 10 de julio, por el que se establece el currículo de la Educación Primaria en la

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Wallas, G. (1926). The art of thought. New York. Harcourt, Bruce and Company.

Mª de las Mercedes Rodríguez Hernández. Universidad de Castilla-La Mancha, Facultad de

Educación, Ronda de Calatrava, 3. 13071 Ciudad Real. Nació el 17 de octubre de 1972 en Gerona.

Diplomada en Profesorado de Educación General Básica, Licenciada en Matemáticas y Diplomada en Estadística, todos ellos por la Universidad de Salamanca. Trabajó en enseñanza privada de Educación

General Básica y de Universidad. En la actualidad trabaja como Profesora en el Departamento de

Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de Castilla-La Mancha. Sus investigaciones van

enfocadas; a la estadística destacando el artículo, Experimental designs for the Adair model (Chemometr.

Intell. Lab. Syst., 2014) y a la Didáctica de las Matemáticas destacando el artículo, Las tablas de

multiplicar con sabor a juego. Recursos didácticos (Números, 2015). También posee varios artículos de

libros sobre Didáctica.


Olga Morote Esquivel. Maestra de Primaria. Nació el 19 de julio de 1964 en Barcelona. Diplomada en

Profesorado de Educación General Básica por la Universidad Complutense de Madrid, Licenciada en Psicopedagogía por la UNED. En la actualidad trabaja como tutora de Primaria en el colegio público,

CEIP Carlos Eraña de Ciudad Real.








Anexo I

Las preguntas para cada fase en la prueba de evaluación inicial y final fueron las siguientes:

Prueba de evaluación inicial

Fase cero: Lógica

1. A partir de la siguiente condición, deduce y completa las expresiones.

Si un polígono tiene 4 lados, entonces y sólo entonces es un cuadrilátero

Sí es un polígono de 4 lados, luego…

No es un polígono de 4 lados luego…

Sí es un cuadrilátero, luego…

No es un cuadrilátero, luego…

2. Escribe enunciados falsos o verdaderos, afirmando o negando

a) A partir del siguiente enunciado verdadero: Una semana tiene 7 días.

Escribe un enunciado verdadero con una oración negativa

Escribe un enunciado falso con una oración afirmativa

Escribe un enunciado falso con una oración negativa

b) A partir del siguiente enunciado falso: El sol es un planeta.

Escribe un enunciado verdadero con una oración afirmativa



3. Transforma en condicionales estas expresiones

Cuando encestes en la canasta conseguirás 2 puntos…

Cuando bebas no conduzcas…

Cuando estudies aprobarás…

Fase 1: Problemas sin número

1. Completa el siguiente enunciado con números y resuelve el problema.




Julia ha comprado ____ cajas de botellas de agua con ____ botellas de un litro cada una.

¿Cuántos litros de agua ha comprado?


Estrella corre cada día ____ Km. Esta semana ha salido a correr ____ días. ¿Cuántos Km ha

corrido esta semana?


Carmen ha visto unos patines que cuestan ______ €. En su hucha tiene _____ €, ¿cuánto

dinero le falta para poder comprar los patines?

Fase 2: Problemas incompletos

1. a) Completa el problema correctamente para que la respuesta sea: Sí tiene bastante dinero.

Blanca tiene 10 € y quiere comprar 1kg de manzanas por _____, y dos botellas de leche por

____ € ¿Tiene bastante dinero para comprarlo todo?

b) Completa el problema correctamente para que la respuesta sea: No tiene bastante dinero.

Blanca tiene 10 € y quiere comprar 1kg de manzanas por _____, y dos botellas de leche por

____ € ¿Tiene bastante dinero para comprarlo todo?

2. a) Completa el problema correctamente para que la respuesta sea: Fueron más adultos.

Ayer fueron a la biblioteca _____ personas. _____ eran adultos y el resto niños. ¿Fueron

más adultos o niños?

b) Completa el problema correctamente para que la respuesta sea: Fueron más niños.



3. a) Completa el problema para que la respuesta sea: Sí tiene suficientes manzanas.

La madre de Raquel necesita ____ manzanas para hacer una tarta. Al abrir el frigorífico se

da cuenta de que hay ____ manzanas. ¿Tiene suficientes manzanas para hacer la tarta?

b) Completa el problema para que la respuesta sea: No tiene suficientes manzanas.

La madre de Raquel necesita ____ manzanas para hacer una tarta. Al abrir el frigorífico se

da cuenta de que hay ____ manzanas. ¿Tiene suficientes manzanas para hacer la tarta?

Fase 3: Enunciados sin pregunta

1. La madre de Pablo tiene 9 rosales en su jardín, cada uno tiene 5 rosas rojas y 6 rosas

blancas.





Escribe la pregunta a este enunciado para que al resolver el problema se utilicen todos los

datos que aparecen en el enunciado

2. Un aparcamiento para coches tiene 4 pisos. En cada piso hay 42 plazas. Hoy se han ocupado

un tercio de las plazas

Escribe la pregunta a este enunciado para que al resolver el problema no se utilicen todos

los datos

3. Adrián tiene una bolsa con 56 canicas. Se queda con 20 y el resto las reparte entre sus 3

amigos.

Escribe la pregunta a este enunciado para que al resolver el problema no pueda

responderse.

Fase 4: Pregunta sin enunciado

1. ¿Cuánto dinero me falta para comprar los tres juguetes?

Escribe un enunciado para esta pregunta de manera que al resolver el problema se

responda sin operación alguna

2. ¿Cuántos cromos tienen entre los tres?

Escribe un enunciado para esta pregunta de manera que al resolver el problema no se

utilicen todos los datos.

3. ¿Cuántas amigas estaban jugando a la comba?

Escribe un enunciado para esta pregunta de manera que al resolver el problema se

utilicen todos los datos que aparecen en el enunciado.

Fase 5: Proceso de resolución

1. Escribe el enunciado de un problema para que pueda resolverse siguiendo este proceso:

Primero sumo para saber lo que gasto y después resto para saber lo que me queda.


4 x 9 - 10


Reparto para saber las que necesito y las que sobran.

Fase 6: Respuesta a la pregunta de un problema

1. Marta ha leído 35 páginas menos que Elvira




Partiendo de esta solución, escribe el enunciado de un problema de modo que se resuelva

mediante una operación

2. Las cuatro cajas tienen en total 48 huevos.

Partiendo de esta solución, escribe el enunciado de un problema de modo que no se pueda

resolver.

3. Se han formado 5 grupos de ocho niños

Partiendo de esta solución, escribe el enunciado de un problema de modo que se resuelva

sin operación alguna.

Prueba de evaluación final

Fase cero: Lógica

1. A partir de la siguiente condición, deduce y completa las expresiones.

Si un polígono tiene 3 lados, entonces y sólo entonces es un triángulo

Sí es un polígono de 3 lados, luego…

No es un polígono de 3 lados luego…

Sí es un triángulo, luego…

No es un triángulo, luego…

2. Escribe enunciados falsos o verdaderos, afirmando o negando

a) A partir del siguiente enunciado verdadero: Los animales vertebrados tienen

esqueleto.


Escribe un enunciado falso con una oración afirmativa


b) A partir del siguiente enunciado falso: Una semana tiene 8 días.

Escribe un enunciado verdadero con una oración afirmativa



3. Transforma en condicionales estas expresiones





Cuando acabes la tarea jugarás…

Cuando encuentre la llave abriré la puerta…

Cuando estudies aprobarás…

Fase 1: Problemas sin número


Javier ha comprado ____ bolsas de caramelos con ____ caramelos cada una. ¿Cuántos

caramelos ha comprado?


David come cada día _____ piezas de fruta. ¿Cuántas piezas de fruta come en una semana?


Elvira ha visto un cuento que cuesta ______ €. En su hucha tiene _____ €, ¿cuánto dinero le

falta para poder comprar el libro?

Fase 2: Problemas incompletos

1. a) Completa el problema para que la respuesta sea: Sí tiene bastante dinero.

Blanca tiene 5 € y quiere comprar medio kg de manzanas por _______, y una botella de

leche por ____ € ¿Tiene bastante dinero para comprarlo todo?

b) Completa el problema para que la respuesta sea: No tiene bastante dinero.

Blanca tiene 5 € y quiere comprar medio kg de manzanas por _____, y una botella de leche

por ____ € ¿Tiene bastante dinero para comprarlo todo?

2. a) Completa el problema para que la respuesta sea: Fueron más adultos

Ayer fueron al zoo _____ personas. _____ eran adultos y el resto niños. ¿Fueron más

adultos o niños?

b) Completa el problema para que la respuesta sea: Fueron más niños



3. a) Completa el problema para que la respuesta sea: Sí tiene suficientes fresas.




La madre de Raquel necesita ____ g. de fresas para hacer una tarta. Al abrir el frigorífico se

da cuenta de que hay ____ g. de fresas. ¿Tiene suficientes fresas para hacer la tarta?

b) Completa el problema para que la respuesta sea: No tiene suficientes fresas.

La madre de Raquel necesita ____ g. de fresas para hacer una tarta. Al abrir el frigorífico se

da cuenta de que hay ____ g de fresas. ¿Tiene suficientes fresas para hacer la tarta?

Fase 3: Enunciados sin pregunta

1. Escribe la pregunta a este enunciado para que al resolver el problema se utilicen todos los

datos que aparecen en el enunciado

La madre de Tania tiene 5 macetas en su jardín, cada una tiene 5 geranios.

2. Escribe la pregunta a este enunciado para que al resolver el problema no se utilicen todos

los datos que aparecen en el enunciado.

Un aparcamiento para coches tiene 3 pisos. En cada piso hay 10 plazas. Hoy se han ocupado

un 15 de las plazas.

3. Escribe la pregunta a este enunciado para que al resolver el problema no pueda responderse.

Raúl tiene una bolsa con 20 canicas. Se queda con 5 y el resto las reparte entre sus 3

amigos.

Fase 4: Pregunta sin enunciado

1. ¿Quién tiene más juguetes?

Escribe un enunciado para esta pregunta de manera que al resolver el problema se responda

sin operación alguna.

2. ¿Cuántas canicas tienen entre los tres?

Escribe un enunciado para la pregunta de manera que al resolver el problema no se utilicen

todos los datos.

3. ¿Cuántas amigas estaban jugando al balonmano?

Escribe un enunciado para la pregunta de manera que al resolver el problema se utilicen

todos los datos que aparecen en el enunciado.

Fase 5: Proceso de resolución


15 10






6 + 5 – 3


30 + 15

Fase 6: Respuesta a la pregunta de un problema

1. Partiendo de la solución, escribe el enunciado de un problema de modo que se resuelva

mediante una operación.

Solución: Marta tiene 5 años menos que Raquel

2. Partiendo de la solución, escribe el enunciado de un problema de modo que no se pueda

resolver.

Solución: En la biblioteca hay 6 libros de aventuras.

3. Partiendo de la solución, escribe el enunciado de un problema de modo que se resuelva

mediante una operación

Solución: Isabel tiene 5 cromos más.




ISSN: 1887-1984


Formalización progresiva en matemáticas:

el caso de la adición en primer curso de primaria

Mónica Ramírez García (Universidad Complutense de Madrid. España)

Carlos de Castro Hernández (Universidad Autónoma de Madrid. España)

Fecha de recepción: 6 de enero de 2016

Fecha de aceptación: 9 de septiembre de 2016

Resumen Estudiamos el desarrollo de conocimientos matemáticos informales, de alumnos de

primer curso de primaria, a través de las estrategias que utilizan para resolver problemas aritméticos verbales. Hemos creado un entorno de aprendizaje, con formato de taller,

donde los alumnos elaboran estrategias propias y representaciones para la resolución de

los problemas. Esto permite observar el desarrollo de las estrategias informales y

representaciones concretas hacia conocimientos formales, más simbólicos y abstractos,

sobre contenidos matemáticos relacionados con el valor posicional del número, la decena

y la aritmética (adición). Este desarrollo del conocimiento matemático implica procesos

de formalización progresiva y matematización.

Palabras clave Abstracción, educación primaria, formalización progresiva, matematización, problemas

aritméticos verbales, representación, simbolización.

Title Progressive formalization in mathematics: the case of addition in first grade of

primary education

Abstract We study the development of students’ informal mathematical skills in first grade,

through the strategies they invent to solve arithmetic word problems. We have created a

learning environment, with a workshop format, where students produce their own

strategies and representations to solve the problems. This allows us to observe the

development of informal and concrete strategies toward more formal, symbolic and

abstract knowledge and representations on mathematical contents related to place value, tens and arithmetic (addition). This development of mathematical knowledge implies

processes of progressive formalization and mathematization.

Keywords Abstraction, primary education, progressive formalization, mathematization, verbal

arithmetic problems, representation, symbolization.

1. Introducción

Las matemáticas suelen considerarse una ciencia muy abstracta. En los documentos

curriculares, se trata como principio metodológico básico para las primeras edades el uso de materiales manipulativos para facilitar el aprendizaje de nuevos conceptos, dando importancia al trabajo práctico

y concreto antes de llegar a nociones simbólicas, abstractas y formales (MEC, 2014). Así, en la

iniciación del aprendizaje de contenidos matemáticos, nos movemos en una dialéctica entre lo concreto y lo abstracto. Muchas veces este paso se trata inadecuadamente, como si fuese algo


Formalización progresiva en matemáticas: el caso de la adición en primer curso de primaria M. Ramírez y C. de Castro


instantáneo, como si los niños aprendiesen los símbolos “de golpe”, pasando de una matemática

concreta a la matemática formal.

En este artículo proponemos una visión alternativa para las transiciones de lo concreto e

informal a lo abstracto y formal en el aprendizaje matemático, según la cual existe un proceso de

formalización progresiva, que se desarrolla a lo largo de un tiempo extenso que puede abarcar varios años, que implica a su vez el desarrollo de aspectos de la competencia matemática como la

comunicación, la representación y el uso de un lenguaje simbólico y formal, que evolucionarán a lo

largo de la escolaridad. A continuación, vamos a revisar las ideas relacionadas con estas transiciones presentes en documentos curriculares, para después centrarnos en los términos de matematización y

formalización progresiva.

2. Planteamiento del problema

El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) publica, en el año 2000, sus Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2003). El estándar de Comunicación

indica que los niños deben “usar el lenguaje de las matemáticas para expresar ideas con precisión”

(NCTM, 2003, p. 64). En las primeras edades, la comunicación se puede hacer de forma verbal, con

dibujos, objetos y símbolos, dando la oportunidad de desarrollar el lenguaje matemático. En este sentido, en el estándar de proceso de Razonamiento y Demostración se recomienda proporcionar a los

niños materiales físicos que puedan manipular para que, a partir de ejemplos concretos, tengan la

oportunidad de generalizar. En la misma línea, el estándar de Representación señala que los niños deben usar representaciones para modelizar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos

(NCTM, 2003). Como vemos, objetos y dibujos, con un carácter informal, tienen un estatus didáctico

en este documento como instrumentos que pueden favorecer el desarrollo de importantes procesos

matemáticos.

En la declaración conjunta del NCTM con la National Association for the Education of Young Children (NAEYC y NCTM, 2013) se indica que los niños en las primeras edades construyen

conocimientos matemáticos a partir de sus experiencias de la vida cotidiana. Estas primeras ideas

intuitivas y los conocimientos informales deben ser bien articulados en trayectorias de enseñanza-aprendizaje para el desarrollo de las grandes ideas matemáticas. Este documento refuerza la idea de

que el aprendizaje matemático es, en su inicio, intuitivo e informal.

Otros influyentes documentos curriculares posteriores han incorporado ideas para completar los

estándares de procesos, del NCTM, hasta llegar a definir unos estándares de prácticas matemáticas. Así, el National Research Council (NRC) enfatiza el desarrollo de la comprensión, o la fluidez

procedimental, que describen la calidad que debe tener el conocimiento de las grandes ideas

matemáticas, para conectar conceptos, procedimientos y problemas dentro del mismo contenido

(NRC, 2001 y 2009). En los Common Core State Standards for Mathematics (CBP y CCSSO, 2010) se completa esta panorámica al relacionar los estándares de procesos del NCTM con las habilidades

del NRC (2001 y 2009), presentando prácticas matemáticas como “modelizar con matemáticas” y

“favorecer la precisión para comunicar y representar ideas matemáticas, razonando de manera abstracta y cuantitativa” (CBP y CCSSO, 2010). Todas las consideraciones sobre la actividad

matemática, su potenciación y su desarrollo, incluidas en estos documentos, están alineadas con la

idea de que el conocimiento matemático se inicia en contextos familiares, a través de intuiciones y

conocimientos informales adquiridos pensando con ayuda de dibujos y objetos (incluyendo materiales

manipulativos).

En este trabajo nos centramos en el primer curso de educación primaria, en una etapa educativa

en la que se recomienda suministrar materiales manipulativos a los niños para construir sus primeras

La formalización progresiva en matemáticas: el caso de la adición en primer curso de primaria M. Ramírez y C. de Castro



ideas matemáticas, y donde se comienzan a incluir conceptos formales como el valor posicional de los números, y a enseñar procedimientos que implican el uso de un lenguaje simbólico y formal, como el

algoritmo de la suma. Pretendemos describir el proceso de formalización progresiva, que parte de las

manipulaciones realizadas con materiales concretos, y desemboca en procedimientos formales como los algoritmos. Comenzamos revisando y sintetizando varios marcos teóricos que describen este

proceso de formalización progresiva, así como el de matematización, muy vinculado a este.

3. Fundamentación teórica

3.1. Matematización

En las evaluaciones PISA se mide el contenido, o estructura de contenidos, que los alumnos

deben adquirir, los procesos o capacidades que han de aplicar, las situaciones en las que se encuentran

los problemas matemáticos y la actitud y disposición de los alumnos hacia las matemáticas. Es decir, no sólo se valoran los contenidos aprendidos, sino cómo se utilizan en situaciones de la vida cotidiana.

De hecho, las tareas de evaluación de PISA están basadas en procesos de modelización y resolución de

problemas, a lo que PISA denomina matematización. PISA describe el proceso de matematización

como la actividad que se desarrolla cuando una persona se ve ante un problema en una situación real, la organiza de acuerdo con conceptos matemáticos, se despega de la realidad generalizando y

formalizando, resuelve el problema y da sentido a la solución en la situación de partida (OCDE, 2013).

La matematización se puede descomponer en una primera fase de matematización horizontal, en

la que se traduce el problema del mundo real al matemático, una segunda fase, denominada matematización vertical, en la que se utilizan conceptos y destrezas matemáticas, y una última fase de

validación, en la que se reflexiona sobre todo el proceso desarrollado y sus resultados (Figura 1,

adaptada de Rico y Lupiáñez, 2008, p. 236 y OCDE, 2013, p. 11). De acuerdo con esto, en el Informe PISA 2012 (OCDE, 2013) se consideran para la competencia matemática los procesos de (a)

formulación matemática de situaciones, (b) empleo de conceptos, datos, procedimientos y

razonamientos matemáticos, y (c) interpretación, aplicación y valoración de los resultados

matemáticos al resolver un problema en el mundo real.

Figura 1. Fases del proceso de matematización



Al resolver un problema en su contexto, el alumno trata de identificar las matemáticas implicadas en la situación y la formula matemáticamente en función de los conceptos y las relaciones

identificadas. Al hacer esto, el alumno transforma el problema del mundo real en un problema

matemático. Dentro del mundo matemático, el alumno emplea conceptos y procedimientos matemáticos para obtener resultados matemáticos. En esta etapa se hacen necesarios los

razonamientos, manipulaciones, transformaciones y cálculos matemáticos. Por último, los resultados

matemáticos se interpretan en el mundo real. Estos procesos de formulación, empleo e interpretación de las matemáticas son componentes de la construcción de modelos matemáticos, y de la competencia

matemática (OCDE, 2013).

Las capacidades matemáticas fundamentales que subyacen a la competencia matemática, cada

vez que los alumnos se enfrentan a la resolución de problemas, son: razonamiento y argumentación,

comunicación, matematización, representación, utilización de herramientas matemáticas, utilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico, y diseño de estrategias para resolver

problemas. Estas capacidades son similares a las Prácticas Matemáticas de los Common Core State

Standards (CBP y CCSSO, 2010) y a los Estándares de Procesos del NCTM (2003), a los que hacíamos referencia en el apartado anterior. En este estudio nos centramos en el desarrollo de las

capacidades de representación, utilización de herramientas matemáticas, utilización de operaciones y

lenguaje simbólico, formal y técnico. Nos interesa estudiar la evolución de las primeras estrategias

intuitivas e informales de los niños hasta el uso del lenguaje y contenidos formales cuando resuelven

problemas aritméticos verbales.

3.2. Formalización progresiva

David Tall (2013) explica el desarrollo del pensamiento matemático, sintetizando los marcos

teóricos elaborados por Piaget, Bruner o Fischbein, a través de tres etapas de larga duración a las que denomina “tres mundos matemáticos”. En la primera etapa, el mundo encarnado, el pensamiento

matemático se basa en la reflexión sobre la percepción y la interacción con objetos del mundo real.

Este autor utiliza el término cognición corpórea (o encarnada) para describir la primera etapa intuitiva, basada en la percepción de las propiedades de los objetos y las operaciones con colecciones,

partiendo de la idea de que todo pensamiento tiene origen corpóreo en nuestra experiencia sensorio-

motora. Este pensamiento matemático evolucionará, con el tiempo, hacia el desarrollo del mundo

simbólico, que establece el nexo entre lo corpóreo y lo simbólico, en el que los símbolos pueden reconocerse a la vez como operaciones a realizar o como conceptos manipulables en la mente. Por

último, se puede alcanzar un mundo formal axiomático, que parte de axiomas, y mediante teoremas

demostrados formalmente con un lenguaje matemático formal y un razonamiento matemático

deductivo, construye teorías coherentes.

Figura 2. Evolución de las representaciones en el desarrollo del pensamiento matemático




La Educación Matemática Realista (RME) sigue un enfoque en el que se utilizan situaciones del mundo real, o problemas contextualizados, como inicio del aprendizaje de las matemáticas, y se

sigue un proceso de matematización para llegar a estructuras formales matemáticas (Van den Heuvel-

Panhuizen, 2003). Se apoya en modelos concretos que sirven de mediadores entre lo concreto y lo abstracto. En la RME es muy importante la reinvención guiada, que consiste en animar a los niños a

reinventar las matemáticas, con la guía del profesor, utilizando materiales instruccionales, permitiendo

así el desarrollo de la comprensión conceptual (Van Reeuwijf, 2001). Gradualmente, se debería dar la oportunidad a los niños de construir sus representaciones libremente y pasar de estrategias informales,

intuitivas con representaciones concretas a estrategias más formales y abstractas de resolución. Esto se

hace con una instrucción guiada, que permita una matematización progresiva, dando la oportunidad a

los niños de reinventar las matemáticas, ayudándoles a utilizar herramientas o modelos asociados a la actividad matemática. El punto de partida son las situaciones significativas realistas, entendidas como

realizables o que el niño pueda imaginar, planteadas en un grupo de trabajo heterogéneo (Van den

Heuvel-Panhuizen, 2003).

Como ejemplo de esta línea de trabajo, Van Reeuwijf (2001) comprobó, en el caso de resolución de ecuaciones, que empezando con métodos de resolución informales construidos por los

alumnos y a través de estrategias pre-formales, se les puede ayudar a llegar a la resolución formal de

las ecuaciones, desarrollando una comprensión conceptual sobre ellas. La formalización progresiva en

ambientes de aprendizaje en los que los niños reinventan las matemáticas guiados por sus profesores y siguiendo una instrucción con materiales, contribuye al aprendizaje con comprensión (Van Reeuwijf,

2001).

La formalización progresiva, en el ámbito de la representación matemática, consiste en el paso

de representaciones fundamentadas, que son representaciones concretas, perceptivas o de contextos reales con objetos u otros materiales, a representaciones formales, que pertenecen a sistemas de signos

con reglas explícitas como pueden ser los números naturales (Braithwaite y Goldstone, 2013). Una

instrucción basada en ambos tipos de representaciones, empezando con las representaciones concretas y realizando una transición gradual hacia representaciones formales, podría favorecer el aprendizaje

con comprensión de los niños.

En este trabajo nos centramos en la evolución de las representaciones y estrategias utilizadas

por los niños al resolver problemas aritméticos verbales de estructura aditiva de suma. Pretendemos

estudiar la evolución de las representaciones fundamentadas o concretas a representaciones formales,

intentando describir el proceso de formalización progresiva en este contenido en concreto.

3.2. Objetivos

En este trabajo nos planteamos los siguientes objetivos:

1. Analizar las estrategias utilizadas por los alumnos al resolver diferentes problemas de

estructura aditiva, de suma.

2. Analizar las representaciones de cantidades discretas presentes en los procedimientos de resolución de los alumnos.

3. Describir la evolución de las estrategias de problemas de suma a lo largo del taller.

4. Describir la evolución de las representaciones utilizadas a lo largo del taller. 5. Interpretar la evolución de estrategias y representaciones en términos de la formalización

progresiva.



4. Método

4.1. Participantes

Hemos desarrollado esta investigación en un colegio público de educación infantil y primaria de

Manzanares el Real (Madrid). Participan 54 alumnos de primer curso de educación primaria, 30 niños

y 24 niñas.

4.2. Intervención

La intervención realizada consiste en un taller de resolución de problemas aritméticos verbales,

con el que se pretende favorecer el desarrollo de conocimientos informales sobre el valor posicional y

con una metodología que permita desarrollar la competencia matemática de los niños (Ramírez, 2015). El taller consistió en 25 sesiones, una por semana, a lo largo de todo el curso escolar. El enfoque de

enseñanza de las matemáticas está dirigido al desarrollo de estrategias informales y representaciones

infantiles de las cantidades implicadas en los problemas, con el objetivo de construir significados y

comprensión de contenidos matemáticos (Carpenter, Fennema y otros, 1999).

Hemos utilizado una serie de problemas aritméticos verbales, tanto de estructura aditiva como

multiplicativa. Dentro del contexto general de la investigación, los alumnos han resuelto problemas de

los tipos siguientes:

Problemas de multiplicación y división con grupos de 10, que implican el concepto de

decena, en los que los alumnos tienen oportunidad de contar distintos órdenes de unidades,

como decenas y unidades, y de aprender aspectos importantes del sistema de numeración decimal (Ramírez y De Castro, 2014a).

Problemas de estructura aditiva, con números de dos cifras, para que los niños construyan

estrategias en las que la comprensión del valor posicional de los números facilite su

resolución. Además, podrán relacionar el algoritmo de la suma y resta, que van a aprender en las clases habituales, con las estrategias desarrolladas en el taller (Ramírez y De Castro,

2016).

Problemas de estructura multiplicativa, de multiplicación y división, para que construyan

sus primeros significados sobre estas operaciones (Ramírez y De Castro, 2014b).

En este trabajo nos centramos en las siete sesiones del taller (3, 9, 10, 13, 17, 18 y 20) en las que se han planteado problemas de estructura aditiva de suma. Los enunciados de los problemas planteados pueden verse en la Tabla 1. Se incluyen problemas de combinación con la cantidad total

desconocida con dos o más partes; problemas de cambio creciente con la cantidad final desconocida; y

un problema que consideramos de dos etapas, con una primera fase que consiste en un problema de estructura multiplicativa de grupos iguales con agrupamientos de 10, ya que en primer curso de

primaria el concepto de decena puede no haberse adquirido totalmente, y una segunda fase de

combinación con total desconocido. Esto supone que los alumnos resuelven problemas de diferentes categorías semánticas, que se corresponden con distintos significados asociados a la suma. Además,

los problemas basados en situaciones suma no se plantean de forma consecutiva, evitando que los

alumnos los resuelvan de forma mecánica.




Sesión Problema Categoría

semántica

3 Si el gato tragón se comió un hombre, un burro, 5 pajaritos y 7 niñas.

¿Cuántos se comió en total?

Combinación

con 4 partes

9 Finn Herman cenó un jamón, dos pollos, tres filetes y veintiséis deliciosas

salchichas. ¿Cuántas cosas tomó para cenar?

Combinación

con 4 partes

10 Si Finn Herman tiene 38 dientes en la mandíbula superior y 30 en la

inferior, ¿cuántos dientes tiene en total? Combinación

13 Si en enero llegaron 31 pingüinos y en febrero vinieron otros 28, ¿cuántos

pingüinos había al final de febrero?

Cambio

creciente

17 Al volver a casa, la princesa le llevó a su mamá 12 pasteles, una decena de flores, un balón y un gato. ¿Cuántas cosas le lleva en total de regalo?

Combinación con 4 partes

18

Si el papá de Mónica subió 4 decenas de escalones, luego hizo un

descanso, y después subió 38 escalones más, ¿Cuántos escalones había

subido en total?

2 etapas -esquema

jerárquico-

(Multiplicación y Cambio creciente)

20 Si consigues 32 euros por saltar entre ortigas, y 29 euros por tragarte una

rana muerta. ¿Cuántos euros has conseguido al final? Combinación

Tabla 1. Problemas de estructura aditiva de suma

Las sesiones de trabajo en las que se realizan los problemas siguen las siguientes etapas: (1)

Lectura de un cuento, que proporciona un contexto para el enunciado del problema; (2) Lectura de la carta, en la que una persona externa y familiar para los niños, pide ayuda para resolver el problema,

consiguiendo una situación de comunicación; (3) Trabajo individual, en el que los alumnos eligen

materiales y estrategias libremente para resolver el problema; (4) Puesta en común de las estrategias

utilizadas; y (5) Escritura de la carta, donde se explica el procedimiento realizado por escrito.

4.3. Recogida de información

La recogida de datos se ha llevado a cabo a través de entrevistas flexibles en el aula, según el

enfoque de Ginsburg, Jacobs y López (1996), recogiendo los procedimientos de los niños en hojas de

registro y grabaciones en vídeo en distintos momentos del taller como en el trabajo individual, la puesta en común, o la escritura de la carta. Además, se realizan fotografías y se recogen las hojas de

trabajo de los alumnos y las cartas con la explicación final de la estrategia tras la puesta en común

(Ramírez, 2015).

5. Resultados

5.1. Análisis de estrategias

Las estrategias observadas han sido analizadas y clasificadas empleando el esquema de

clasificación marcado por los estudios de la Instrucción Cognitivamente Guiada (CGI, en adelante) (Carpenter, Fennema y otros, 1999). La estrategia de modelización directa utilizada en estos

problemas es la estrategia de juntar todo, que consiste en representar las cantidades de los sumandos,

juntarlas en una única colección o considerarlas juntas, y realizar el conteo de todo. Las estrategias observadas en las sesiones de suma dejan un gran número de modalidades de aplicación de “juntar

todo” dependiendo de la elección de distintos materiales, la forma de combinar las colecciones



representadas, las posibles agrupaciones de 10 de las representaciones de las cantidades de números de

dos cifras, o el modo de contar las representaciones (contando de uno en uno, de diez en diez, etc.).

La modalidad de aplicación de “juntar todo” más utilizada consiste en representar las cantidades

de los sumandos sin mostrar agrupaciones en decenas y unidades, considerarlas todas juntas sin

desplazarlas y realizar el recuento de uno en uno de todos los elementos (Figura 3). Esta modalidad se ha realizado con cubos encajables, otros objetos, marcas o dibujos en el papel y con el rekenrek (ábaco

holandés para el aprendizaje del cálculo mental, ver De Castro, 2015). En los problemas con cuatro

sumandos, hay una variación además, en la que se ordenan las cantidades de mayor a menor antes de realizar el recuento final. Aparece incluso otra modalidad más, si además de ordenar de mayor a

menor, el recuento final se hace contando a partir del mayor sumando.

Figura 3. Juntar todo con cubos encajables considerando juntas las colecciones sin desplazarlas en la sesión 10

Otra modalidad consiste en representar las cantidades de los sumandos añadiéndolas a una única colección mientras se van representando, y realizar el recuento de todos los elementos. Esta modalidad

se ha realizado con cubos encajables, con marcas iguales para todos los sumandos (Figura 4), con

marcas diferentes para cada sumando, con dibujos, con los dedos y con el rekenrek.

Figura 4. Juntar todo añadiendo marcas a una única colección en la sesión 9

El uso de la Tabla 100 para representar los sumandos del problema supone otra modalidad de aplicación de la estrategia “juntar todo” que consiste en representar el primer sumando con todos los

numerales que hay hasta el numeral del primer sumando y a partir de ahí contar tantos numerales más como indica el segundo sumando. Hay niños que necesitan contar todas las etiquetas para el primer

sumando y el segundo sumando, y hay niños que señalan el numeral del primer sumando, y a partir de

ahí cuenta tantos numerales como indica el segundo sumando. Si el problema tuviese más de dos sumandos se hace de manera consecutiva. En la Figura 5, se puede observar como la niña busca el

número 38 en la tabla 100 y a partir de ahí, cuenta 30 numerales, llegando así a la solución del

problema, 68 (en la sesión 10).




Figura 5. Juntar todo con Tabla 100 en la sesión 10

Aunque con frecuencia menor, los niños también han representado las cantidades con bloques de base 10. Con este material se han podido observar también varias modalidades de aplicación de la

estrategia “juntar todo”. La primera modalidad consiste en representar los sumandos con bloques de

base 10, y hacer el recuento de todos los cubos de uno en uno, incluso contando de uno en uno las unidades que forman las decenas. Se ha observado también niños que identificaron la cantidad que

representan las barras de la primera cantidad, como una década concreta (por ejemplo, 3 barras, 30), y

el resto de material, ya fueran barras o unidades, se ha contado de uno en uno (ver Figura 6).

Figura 6. Estrategia de “Juntar todo” con bloques de base 10 en la sesión 10

Hay niños que han representado la primera cantidad con bloques de base 10 y el segundo sumando solo con unidades sueltas, realizando el conteo a partir del primer sumando, es decir,

contando solo las unidades. Cabría pensar que esta modalidad se diese en la sesión 18 donde una

cantidad se da en decenas y otra en unidades, pero no se utilizó solo en esa sesión (ver Figura 7).

Figura 7. Juntar todo con barras de base 10 y cubos encajables en la sesión 18

Los niños fueron utilizando de manera más avanzada los bloques de base 10, agrupando decenas tras representar todos los sumandos. Se dieron distintas modalidades según si el conteo se realizaba de

uno en uno, de 10 en 10, o simplemente se identifica el número de dos cifras representado con bloques

de base 10. En la Figura 8, los niños agrupan las decenas, teniendo así 7 decenas y 8 unidades sueltas. Concluyen que la solución es 78 por la posición de las cifras, 7 barras son decenas y 8 cubitos las

unidades.



Figura 8. Juntar todo agrupando barras de 10 en la sesión 18

Las cajas de decenas de huevos tienen grupos de diez, y han provocado la aparición de modalidades de aplicación de “juntar todo” en las que se colocan las cantidades en las cajas, quedando

así organizadas en decenas, aunque los niños que han utilizado este material han preferido el conteo de

uno en uno (Figura 9).

Figura 9. Juntar todo con cartones de decena de huevos en la sesión 13

Las estrategias de conteo, contar a partir del primero y contar a partir del mayor, suponen no representar las cantidades, sino enunciar la secuencia de numerales a partir de uno de los sumandos, ya

sea el primero o el mayor, llevando el rastro de numerales que se enuncian. El conteo termina cuando

se hayan enunciado tantos numerales como indica el segundo sumando o el menor, respectivamente.

Una modalidad de la estrategia de “contar a partir del primero” surge al utilizar la Tabla 100

para ayudarse a llevar el rastro de la cantidad de numerales que indica el segundo sumando. En la sesión 10, una alumna utilizó la Tabla 100 para contar 30 numerales a partir de 38, llevando el rastro

con las primeras filas de la Tabla 100.

En los problemas con cuatro sumandos se han podido observar estrategias combinadas. Dos de

ellas consisten en combinar la estrategia de juntar todo con dedos o marcas con tres de las cuatro cantidades del problema, y con el resultado se realiza un conteo a partir del mayor, llevando el rastro

con la colección de dedos o marcas previamente formada. Por ejemplo, en la sesión 9 donde hay que

sumar un jamón, dos pollos, tres filetes y 26 salchichas, hubo niños que representaban con marcas en papel o con los dedos de las manos, el jamón, los dos pollos y los tres filetes, y a continuación,

contaban a partir de 26, los elementos de la colección formada con las marcas o las manos. También se

han utilizado estrategias combinadas de contar a partir del primero y recuperación de hechos

numéricos, como por ejemplo, contar a partir del primero para los dos primeros sumandos, recuperar el hecho numérico que implica los otros dos sumandos y, finalmente, contar a partir del primer

resultado, la cantidad obtenida del hecho numérico.

En los problemas de suma se han utilizado cuatro estrategias inventadas diferentes. La más

frecuente es la estrategia de combinar por separado decenas y unidades, en la que finalmente se combina el resultado de ambos. Una variación de esta estrategia es combinar decenas y unidades en




problemas con cuatro sumandos en la que se ordenan las cantidades para ir combinando de la forma más sencilla las decenas y las unidades. Hemos registrado estrategias inventadas que combinan

conteos a saltos para averiguar la suma de las decenas, luego se combinan las unidades, y por último,

se combina el total del conteo a saltos y las unidades. Por último, se ha observado la estrategia inventada secuencial o incremento, en la que se parte de uno de los sumandos, se suma primero las

decenas del segundo sumando al primer sumando, y después se añaden las unidades del segundo

sumando.

Finalmente, en las últimas sesiones predominó el algoritmo de la suma. En la Tabla 2 se presenta la frecuencia acumulada de todas las sesiones de suma de las estrategias y modalidades

descritas.

Estrategia

Sesiones

3 9 10 13 17 18 20

Juntar todo, conteo 1-1 44 40 32 29 36 8 5

Juntar todo, conteo 1º 3

Conteo 6 2 2 4

Juntar todo grupos 10, conteo 1-1 2 2 2 2 3 2

Juntar todo grupos 10 conteo 10-10 1 1 2 2 2 1

Juntar todo grupos 10, conteo 1º 2 1

Juntar todo grupos 10, VP 2 2

Estrategias inventadas 1 2 3 6 7 2

Algoritmo 1 4 6 29

Tabla 2. Frecuencia del tipo de estrategia por sesión

La estrategia más utilizada en todo el taller ha sido la de modelización directa, juntar todo

representando las cantidades sin agrupamientos de 10 y contando de uno en uno todos los contadores

de la colección total. Se puede observar que en la última sesión que se plantea un problema de suma se

utiliza el algoritmo con más frecuencia que el resto de estrategias.

5.2. Análisis de representaciones

La categorización utilizada para las representaciones de las cantidades discretas consiste en un

par ordenado (representación del número, representación del tipo de objeto). Cada una de las componentes puede ser icónica y simbólica. Como resultado de esta combinación surgen 12 posibles

tipos de representaciones como se puede ver en la Tabla 3, donde por columnas de izquierda a derecha

la componente del número va de lo más icónico a lo más simbólico, y en las filas, la componente del

tipo de objeto puede estar ausente, o tener aspectos icónicos y simbólicos.

La Tabla 3 contiene ejemplos de las representaciones que han utilizado los niños en distintos momentos del taller, tanto en la resolución del problema, como en la escritura de la solución o la carta.

Las representaciones que no han aparecido en el taller son la B4, número con palabras e icónica de

tipo de objeto, y la C2, con aspectos icónicos y simbólicos de número y simbólica de tipo de objetos.



Tabla 3. Tabla de ejemplos de representaciones recogidas en el taller

Las representaciones utilizadas en el taller han sido recogidas en tres momentos diferentes de

las sesiones, teniendo en cada uno de ellos, un fin diferente. En la resolución del problema ayuda a

modelizar la situación, en la escritura de la solución se necesita dar por escrito una cantidad, y en la carta, las cantidades se incluyen dentro de un texto. Estas diferencias han provocado que en cada una

de ellas predominen representaciones diferentes. En la Tabla 4 se muestran las frecuencias acumuladas

de las representaciones utilizadas en todas las sesiones con problemas de suma.

Para el momento de la explicación del procedimiento de resolución, la representación icónica

de número, sin representación de tipo de objeto (A1) es la más habitual, seguida de la icónica de número e icónica de tipo de objeto (B1). Estas estrategias se utilizan en las modalidades de aplicación

de estrategias del tipo de modelización directa que, como muestran los resultados anteriores, son las

más elegidas por los niños, y se consideran informales, de hecho, estas representaciones son informales. La representación A2, el número con aspectos simbólicos e icónicos de número sin

representante de objeto, se ha utilizado sobre todo al elegir la Tabla 100 para resolver el problema.

Representación número Representación objeto Resolución Solución Carta

1 Icónica

A (Sin representación) 202 8

B (Icónica) 43 8

C (Simbólica) 5

2 Con aspectos icónicos y

simbólicos


B (Icónica) 1

C (Simbólica)

3 Simbólica (con cifras)

A (Sin representación) 60 192 105

B (Icónica) 1 3

C (Simbólica) 2 3 80

4 Simbólica (con palabras)


B (Icónica)

C (Simbólica) 1 11

Tabla 4. Tabla de las frecuencias acumuladas de las representaciones de los problemas de suma

La representación A3, número con cifras sin representante de objeto, corresponde en su mayoría, al uso del algoritmo de la suma. Para dar la solución en la hoja de trabajo, la representación




más utilizada es dar el número en cifras sin tipo de objeto (A3). Esta representación también se ha

utilizado con alta frecuencia en la carta, y acompañada también con el nombre del objeto (C3).

5.3. Evolución de las estrategias

El estudio de la evolución de las estrategias a lo largo de las sesiones permite describir el

desarrollo de los conocimientos informales. En la Figura 10, presentamos el porcentaje de la frecuencia de uso de cada estrategia a lo largo de las sesiones en las que aparecen problemas de suma.

En la sesión 3, se planteó un problema de 3 etapas de combinación con total desconocido en la que

todos los niños utilizaron la estrategia de modelización directa juntar todo sin agrupamientos de 10 y contando de uno en uno cada unidad representada, siendo uno de los casos con Tabla 100. El siguiente

diagrama de barras recoge toda la variedad de modalidades de aplicación de juntar todo con material

estructurado en grupos de 10, las formas de manipular estos agrupamientos de 10 y el recuento final.

En la siguiente sesión, se plantea un problema del mismo tipo y aumenta levemente el conteo con objetos, conteo sin objetos incluso una estrategia inventada. En la sesión 10, la tercera con problemas

de suma, aparece el primer uso del algoritmo de la suma de manera espontánea. En la sesión 13, sigue

bajando el uso de estrategias de modelización directa y aumentando levemente estrategias más avanzadas con las inventadas y el uso de algoritmo. En la sesión 17 aparece de nuevo un problema de

3 etapas en el que una cantidad es una decena, baja el uso del algoritmo y aumentan las estrategias

inventadas. En la sesión 18 se igualan en frecuencia de uso los distintos tipos de estrategias. En la

última sesión se ve un aumento hacia la estrategia formal del algoritmo de la suma.

Figura 10. Porcentaje de estrategias utilizadas en las sesiones

5.4. Evolución de las representaciones

Las representaciones utilizadas en el momento de la explicación del procedimiento de la

resolución, han sido A1, icónica de número y sin representante de tipo de objeto en su mayoría. Como

se puede ver a lo largo del taller van descendiendo, aunque manteniéndose como las más habituales (ver Figura 11). Las representaciones icónicas de número y tipo de objeto (B1) se utilizan con menos



frecuencia a lo largo del taller, presentándose en las once primeras sesiones. Más tarde son utilizadas en problemas donde el contexto de los cuentos resulta atractivo para los niños y sencillo de dibujar.

Tanto las representaciones A1 como B1 contienen los aspectos más icónicos y conjuntamente, son las

más utilizadas, descendiendo B1 en la segunda mitad del taller.

En las sesiones en las que las representaciones A1 y B1 tienen una frecuencia menor, se debe al aumento de la representación A3, que corresponde a cifras para el número sin representante de tipo de

objeto, aumentando en las sesiones cercanas al final del taller. Esta representación es la escritura de un

numeral, siendo una representación simbólica. Se utiliza en estrategias como el uso de un algoritmo que empieza a aumentar en las últimas sesiones del curso. La representación A2 con aspectos

simbólicos e icónicos del número sin representante del tipo de objeto, se utiliza levemente a lo largo

de todo el taller. Este tipo de representación se utiliza con la Tabla 100 o secuencias numéricas escritas

por los niños. El resto de representaciones han sido utilizadas de forma esporádica en la explicación

del proceso de resolución.

Figura 11. Frecuencia de representaciones en el momento de la resolución del problema

La representación utilizada para dar la solución y que ha predominado a lo largo de todo el taller es la A3, el numeral con cifras sin representante de tipo de objeto. No se ha observado gran variabilidad en el tipo de representación elegida para este momento, solo que se ha utilizado la

representación A4 que consiste en escribir el número con palabras sin representante del tipo de objeto.

Para dar por escrito una solución numérica los niños prefieren estos tipos de representación, ya de

carácter simbólico y por lo tanto formal.

Las representaciones utilizadas en la carta han variado desde escribir el numeral con cifras o con

palabras (14 o catorce). En las últimas sesiones del curso, aumenta la preferencia de las

representaciones C3 y C4 (14 niñas o catorce niñas). Este aumento es debido a la mejora de la

elaboración de la explicación escrita en la carta.

5.5. Interpretación en términos del proceso de formalización progresiva

Los alumnos de primero de primaria han preferido estrategias de modelización directa a lo largo

del taller para resolver problemas aritméticos verbales. Estas estrategias se consideran informales e

implican la representación de cantidades con objetos, de forma concreta. A lo largo del taller han ido incluyendo materiales como la Tabla 100 para representar las cantidades donde los numerales se

utilizan como contadores, que incorporan aspectos simbólicos matemáticos. También han ido




apareciendo estrategias de conteo, donde los numerales se mantienen representados mentalmente. Las estrategias inventadas sin utilizar material también suponen una abstracción de los numerales y

manipulación con cada una de las cifras que muestran indicios de ese proceso de abstracción

matemática. Por último, el uso del algoritmo de la suma es el procedimiento formal matemático para la

resolución de este tipo de problemas.

Figura 12. Evolución de las estrategias y representaciones hasta el conocimiento formal y simbólico

En la Figura 12 se puede observar como la evolución de las estrategias a lo largo del curso muestra una formalización progresiva de las representaciones de las cantidades. Los niños utilizan

primero contadores individuales o agrupados en estructuras de 10. Después se apoyan en la secuencia

numérica, escrita o mental para la resolución del problema. Más tarde, manipulan mentalmente los

numerales usando el valor posicional de las cifras, hasta llegar al algoritmo convencional de la suma.

6. Conclusiones

6.1. La formalización progresiva: evolución de estrategias y representaciones

Las estrategias de modelización directa (con diferentes modalidades de aplicación) han sido elegidas por los niños más frecuentemente, a pesar de que en el primer curso de educación primaria se

presta mucha atención al simbolismo aritmético y a la iniciación en los algoritmos de las operaciones

con números de dos cifras. Dentro de un ambiente regido por normas que permitan la libre elección de instrumentos y estrategias, los niños han utilizado estrategias de modelización directa prácticamente

en todas las resoluciones, y han ido incorporando en menor medida estrategias basadas en

conocimientos formales como el algoritmo, aprendidos en el resto de clases de la asignatura, siendo en

la última sesión la estrategia más usada. La propuesta de dejar a los niños que elijan procedimientos de resolución, permite la utilización de conceptos corpóreos (Tall, 2013), que tras procesos de

abstracción matemática se van convirtiendo en conceptos matemáticos abstractos.

En la fase de resolución del problema, donde los niños buscan estrategias de resolución, los

niños han presentado una preferencia a lo largo del taller por representaciones icónicas de número sin representante del tipo de objeto, para resolver el problema. En su mayoría han sido cantidades

representadas con objetos, cubos encajables, marcas y, en menor medida, dibujos. Estas

representaciones se utilizan en la mayoría de las estrategias de modelización directa que, como hemos

comentado antes, fueron las más utilizadas. Estas representaciones se pueden considerar representaciones concretas tal como lo hacen Braithwaite y Goldstone (2013). A lo largo del curso de

primero de educación primaria, se introducen conocimientos formales como la escritura de los



numerales y procedimientos de cálculo como los algoritmos. Los niños comienzan a utilizar progresivamente la representación simbólica de número en cifras, adaptándose a un lenguaje

simbólico matemático, tal como se hace en los procesos de formalización progresiva.

Los niños han establecido relaciones entre estrategias informales como la modelización directa

y los algoritmos, establecen conexiones entre los conocimientos informales que van adquiriendo en el taller y los conocimientos formales que paralelamente trabajan en el resto de clases de matemáticas

(Carpenter y Lehrer, 1999). Estas conexiones entre el conocimiento informal y formal son las referidas

por el NCTM (2003) en sus Estándares para la Educación Matemática como las fundamentales para el

aprendizaje de las matemáticas en los primeros años de escolaridad.

6.2. Implicaciones para la enseñanza

En la metodología seguida en el taller, los alumnos resuelven problemas inventando estrategias

propias y debatiéndolas con el resto de compañeros del aula; para cada problema, se admiten varias

estrategias cómo válidas; y los alumnos desarrollan su competencia matemática, ya que se ven inmersos en procesos de resolución de problemas, razonamiento, comunicación, establecimiento de

conexiones y representación (De Castro y otros, 2012). Un aspecto importante de esta metodología es

la libre elección del material para la construcción de estrategias. Los niños han mostrado una clara preferencia por las estrategias informales, antes que por las formales. Estas últimas no corresponden a

su forma natural de pensar, pero son las que aparecen explícitamente en el currículo.

Proponemos la inclusión de conocimientos informales en la planificación del aula, adelantando

experiencias en las que los niños puedan construir ideas sobre conceptos o procedimientos antes de su

enseñanza formal. La finalidad didáctica de la resolución de problemas, en este enfoque, es la construcción de significados y no de aplicación de contenidos. A través de la resolución de problemas

hemos conseguido que los niños razonen y modelicen las situaciones descritas en los enunciados,

articulen sus ideas para comunicarlas al resto de la clase, pudiendo establecer así relaciones entre los conocimientos propios y los de sus compañeros. Esto implicará un aprendizaje con comprensión de

estos contenidos matemáticos (Carpenter y Lehrer, 1999) y el desarrollo de la competencia

matemática.

A finales de curso, hemos constatado que los alumnos acaban empleando procedimientos

formales (algoritmos) y un lenguaje técnico y formal (ver Figura 10, sesión 20, en que el uso espontáneo -y correcto- del algoritmo alcanza un 74,4%). Esto muestra, a nuestro juicio, que los

objetivos que se plantean habitualmente para el primer curso de educación primaria en matemáticas

son compatibles con alternativas metodológicas constructivistas que pueden mejorar a la metodología

tradicional en comprensión y en desarrollo de capacidades matemáticas fundamentales (OCDE, 2013).

Como línea de investigación futura, se propone estudiar la articulación de los conocimientos

informales y formales, elaborando trayectorias de enseñanza-aprendizaje para contenidos concretos

que faciliten las conexiones entre ambos tipos de conocimiento. Las trayectorias describen cómo es la

progresión del aprendizaje de un contenido y contienen tareas para adquirirlo (Ramírez, 2015).

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Mónica Ramírez García. Profesora de Didáctica de las matemáticas en la Universidad Complutense de

Madrid. Licenciada en Ciencias Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid y doctora por la

Universidad Complutense de Madrid, en la Facultad de Educación, centrando su perfil investigador en la

didáctica de las matemáticas. Algunas de sus publicaciones pueden consultarse en http://eprints.ucm.es/ y

en https://www.researchgate.net/profile/Monica_Ramirez_Garcia.


Carlos de Castro Hernández. Profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad Autónoma de

Madrid (UAM). Licenciado en Matemáticas por la UCM y doctor en Didáctica de la Matemática por la

Universidad de Granada, tiene como líneas de investigación la Educación Matemática Infantil y el

Pensamiento Numérico. Autor, junto con Elisa Hernández, del proyecto de Santillana “A contar.

Matemáticas para pensar”, para la enseñanza de las matemáticas de 4 a 6 años http://www.santillana.es/blog/acontar/. Algunas de sus publicaciones están disponibles en

https://www.researchgate.net/profile/Carlos_De_Castro_Hernandez


https://minerva-access.unimelb.edu.au/handle/11343/35000


https://minerva-access.unimelb.edu.au/handle/11343/35000

http://www.santillana.es/blog/acontar/

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https://www.researchgate.net/profile/Carlos_De_Castro_Hernandez

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ISSN: 1887-1984


La génesis histórica de la Geometría Analítica y la enseñanza en la Escuela Secundaria

Emmanuel Colombo Rojas, Viviana Carolina Llanos y María Rita Otero (Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires

1. Argentina)

Fecha de recepción: 1 de julio de 2015

Fecha de aceptación: 6 de julio de 2016

Resumen En este trabajo se presenta una síntesis del desarrollo de la Geometría Clásica en la

antigüedad y del Álgebra en la Edad Media y el Renacimiento, con el objetivo de

interpretar los motivos que habrían impulsado la gestación de la Geometría Analítica por parte de Descartes y Fermat en la Edad Moderna. Se analizan los resultados de

matemáticos representativos de cada momento; así como los problemas que enfrentaron y

las estrategias, representaciones y métodos que se emplearon para resolverlos. Esta

síntesis puede resultar un aporte significativo para la comunidad de Educadores en

Matemática, dado que permitiría interpretar que la geometría analítica no podría haberse

gestado separadamente de la Geometría Clásica y el Álgebra; y como consecuencia una

enseñanza disyunta podría carecer de sentido.

Palabras clave Geometría Clásica, Álgebra, Geometría Analítica, Historia de la Matemática, Enseñanza

de la Matemática

Title Historical genesis of Analytical Geometry and her relation with the Classical

Geometry and the Algebra: some contributions to the teaching of Mathematics

Abstract This paper presents a synthesis of the development of the Classical Geometry in the

antiquity and of the Algebra in the Middle Ages and the Renaissance, in order to interpret

the motives that have driven the gestation of analytic geometry by Descartes and Fermat

in the Modern Age. There are analyzed the results of representative mathematicians of

every moment; as well as the problems that faced and the strategies, representations and

methods that were used to solve them. This synthesis can turn out to be a significant contribution for the community of mathematics educators, provided that it would allow to

interpret that the analytical geometry might not have been separately of the Classic

Geometry and the Algebra; and as consequence a separated education might lack sense.

Keywords Classic geometry, Algebra, Analytical geometry, History of Mathematics, Teaching

Mathematics

1 Investigadores integrados en el Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECyT) así como al Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET)


La génesis histórica de la Geometría Analítica y la enseñanza de la Matemática en la Escuela Secundaria



1. Introducción

La Matemática se habría iniciado con el conteo y la geometría, en un contexto fuertemente ligado al entorno y para resolver problemas concretos, de índole práctico. Ni el Álgebra ni la

Geometría Analítica eran socialmente viables en el contexto en que se originó la Geometría Clásica,

pero progresivamente, sus inicios y razones de ser se fueron entrelazando, a tal punto que hoy no es posible pensar en los fundamentos conceptuales de la Matemática sin hacer referencia a la Geometría

Clásica, a la Geometría Analítica y al Álgebra.

La geometría es un área vasta dentro de la matemática contemporánea y se reconoce que sería la

que permite establecer vínculos más estrechos con el mundo que experimentamos. Dentro de ella es

posible clasificar un total de más de cincuenta geometrías diferentes (Jones 2000a) entre las que se destacan la Geometría Clásica y, como un lazo entre el carácter empírico-particular y el carácter

abstracto-general, la Geometría Analítica. Ésta última ha permitido la resolución de varios problemas

geométricos de una forma más sencilla en el plano algebraico; a la vez que, ha permitido resolver problemas del Álgebra dentro del marco geométrico. Con esta funcionalidad la Geometría Analítica

consigue, por ejemplo, eliminar la limitación euclidiana de la homogeneidad dimensional en

expresiones algebraicas, la necesidad de trabajar en la Geometría Clásica con una regla no marcada y un compás como únicos instrumentos, y la supuesta imposibilidad de asignar números a figuras

geométricas (González Urbaneja, 2007). Así, la Geometría Analítica se presenta como un instrumento

esencial para las Matemáticas.

Sin embargo, la escuela ha prescindido de hecho y promueve artificialmente, el estudio de estas

ramas de la Matemática en su conjunto, en particular la Geometría escolar en el Nivel Medio está en riesgo. En este contexto, el trabajo de Gascón (2003, 2004) da cuenta de la pérdida de sentido de la

Geometría Clásica, describiendo cómo el aislamiento temático en los programas de la escuela

secundaria, atenta contra la razón de ser de la Geometría Clásica para los alumnos y para la sociedad en general. La Geometría propuesta en los programas, en los libros y la que se enseña en las aulas, es

estudiada como si fuera “transparente” e incuestionable, dotada de sentido por sí y para sí misma; en

lugar de considerarla como transversal al programa de estudio y vinculada con las demás

organizaciones del programa. Incluso el porqué de muchas de las organizaciones matemáticas tienen respuesta en la Geometría y ésta se estudia como incuestionable en sí misma. La Historia de la

Matemática da cuenta de esto. En este sentido, Piaget y García (1982) han señalado la relevancia de la

Historia de las Ciencias para analizar el desarrollo de conceptos de un sujeto, a partir de la génesis

socio-histórica de los mismos.

Paralelamente al desarrollo de las geometrías, la Historia de la Matemática permite interpretar y

analizar modificaciones con relación a los niveles de abstracción y generalidad de los enunciados;

desde la matemática empírica de los babilonios hasta el desarrollo del Álgebra abstracta. Podría establecerse entonces una analogía a grandes rasgos entre el desarrollo del conocimiento matemático,

y el de un sujeto cuyo conocimiento se inicia en lo empírico-casuístico, y prosigue hasta los últimos

años de la Secundaria, con desarrollos analíticos totalmente independientes de la realidad y con un alto

grado de generalidad (Carson y Rowlands, 2007; Piaget y García, 1982).

Por otro lado, la investigación de Meavilla Seguí y Oller Marcén (2014) destaca el potencial de la Historia de la Matemática para comprender la relevancia de los conocimientos matemáticos que la

sociedad preserva y transmite principalmente dentro de la institución escolar. En consecuencia,

consideramos que el análisis histórico del desarrollo de la Geometría Analítica, y sus vínculos con el Álgebra y la Geometría Clásica es relevante para pensar organizaciones conceptuales apropiadas que

las involucren y vinculen. En este trabajo, nos propondremos realizar una revisión histórica de los

vínculos existentes entre estas disciplinas, utilizando entre otros, elementos de la Historia de la

Matemática como vía de acceso al uso de herramientas que grandes matemáticos nos han legado.

Génesis histórica de la Geometría Analítica, e implicancias para su enseñanza E. Colombo Rojas, V. Carolina Llanos y M. Rita Otero



El análisis histórico permite poner en discusión la supuesta dicotomía existente entre el Álgebra y la Geometría Clásica y como comprender los motivos que dieron origen a la Geometría Analítica

Este análisis cobra relevancia a la hora de dotar de sentido a la geometría escolar ya que por un lado,

el tomar en consideración los aspectos mencionados contribuye a la multidisciplinariedad dentro de la matemática y, por otro, se justifica la necesidad de emprender el estudio conjunto del Álgebra, la

Geometría Euclidiana y la Geometría Analítica. En la opinión de Gascón (2002) esta “separación” que

es un hecho, es fruto de un análisis epistemológico superficial, en el que la naturaleza de la geometría

analítica se da por sentada, es transparente y, por tanto, no se cuestiona.

A partir de este análisis histórico de la Geometría sintética, el Álgebra y el desarrollo de la

Geometría Analítica, se espera realizar un aporte a la comunidad en Educación Matemática, con el

objetivo de dar una posible respuesta parcial al problema de la desaparición de la razón de ser de la

geometría escolar en el Nivel Medio. A continuación, se presenta de manera sintética un análisis histórico de la Geometría Clásica y el Álgebra que permitiría establecer un aporte tendiente a vincular

a las ramas de la Matemática mencionadas y considerar los motivos que dieron origen a la Geometría

Analítica.

2. La Geometría Clásica y el Álgebra como bases para el desarrollo de la Geometría

Analítica

El medio siglo comprendido entre 1637 y 1687 es la fuente de la matemática de la Edad Moderna. La primera fecha señala la publicación de la Geometría de René Descartes, y la segunda la

de la publicación de los Principia de Isaac Newton. Es en este período histórico en el que se encuentra

la Geometría Analítica de Descartes (1637); el cálculo diferencial e integral de Newton (1666, 1684) y

Gottfried Leibniz (1673, 1675), el análisis combinatorio (1654) y, en particular, la teoría de las probabilidades de Pierre de Fermat y Blaise Pascal; y la aritmética superior (hacia 1630- 1665) de

Fermat (Bell, 1949). Hay que considerar que muchos de los desarrollos matemáticos posteriores a

Descartes hicieron uso de su Geometría Analítica, identificados como hechos fundamentales de la Matemática Moderna y Contemporánea. Esto da cuenta de la relevancia de ésta geometría para la

Matemática en su totalidad.

En este trabajo se analizan los resultados que justificarían los orígenes de la Geometría

Analítica que empezaron a gestar Fermat y Descartes en el siglo XVII (Bell, 1949; González

Urbaneja, 2007; Hernández, 2002; Klimovsky y Boido, 2005; Quintero Zazueta, 2001; Torre Gómez, 2006). En este contexto, se considera que fue de crucial importancia el desarrollo de una geometría

suficientemente rigurosa como la desarrollada Euclides en el siglo III a. C. En la Figura 1 se presentan

hitos en el desarrollo de la Geometría en la Antigüedad y, a su vez, se muestra un ejemplo (resaltado) dónde se intentan destacar las diferencias en el modo de trabajar en Geometría en cada una de las

etapas que se fueron sucediendo.




5000 a. C.

Hacia el siglo III a. C.

Euclides, en Los Elementos, enuncia la propiedad

según la cual el ángulo inscripto en un semicírculo es

recto junto a otras propiedades en la proposición 31

del libro III, y las demuestra a partir de las

proposiciones 5, 17, 32 y la definición 10 del libro I;

y de la proposición 22 del libro III.

Siglo VI a. C.

Thales tenía conocimiento de que, en general,

un ángulo inscripto dentro de un semicírculo era

recto. Enuncia explícitamente dicha propiedad y

se presume que pudo haber intentado realizar

algún tipo de demostración de la misma.

Hacia el 2600 a. C.

Se conocía que el ángulo

inscripto en un semicírculo era

recto. Esto les permitía tomar al

cuadrado de la hipotenusa como

la suma de los cuadrados de

catetos en el triángulo

conformado en el cálculo de la

medida de una cuerda en la

confección de arcos de caza.

Geometría pre-helénica Geometría griega

Siglo VI a. C.

Emerge dentro de

la secta de los

pitagóricos el

problema de los

inconmensurables.

Alrededor del siglo IV a. C.

Platón funda su Academia e instruye

a varios Matemáticos y pensadores

que influirían fuertemente en el

desarrollo de la Geometría.

Geometría alejandrina

Hacia el 200 a. C.

Apolonio escribe

su obra Las

Cónicas.

Hacia el 350 a. C.

Aristóteles funda las bases

para la conformación de

los primeros sistemas

axiomáticos de la Historia

de la Matemática.

Figura 1. Representación de sucesos representativos de la Geometría en la Antigüedad

Los desarrollos del Álgebra Simbólica también son esenciales en la gestación y avance de la Geometría Analítica a partir del siglo XVII. Se sintetizan los desarrollos del álgebra y su simbolismo;

a partir de Diofanto, en lo que se conoce como la Segunda Escuela Alejandrina, hasta la Edad

Moderna en Europa, dónde se destacarían las matemáticas de Viète, Fermat y Descartes. En la Figura 2 se presentan sintéticamente estos hitos en el desarrollo del Álgebra y, a su vez, se muestra un

ejemplo que intenta ilustrar cómo ha ido evolucionando el simbolismo en el tiempo:




Siglo XVII

Hacia el 350 d. C.

Diofanto escribe la

Aritmética, obra en

la cual desarrolla un

álgebra sincopada.

La ecuación

la escribe como

.

Hacia el 340 d.

C. Pappus escribe

su obra La

Colección

Matemática.

Hacia el 500 d. C. Se desarrolla el

sistema de

numeración

posicional hindú.

Hacia el siglo VII Los hindúes

desarrollaron una

álgebra cuasi-simbólica

que les permitía

expresar ecuaciones

como

de la forma

.

Hacia el 628 d. C. Se establecen

reglas para operar

con números

negativos.

825 d.C. Al-Khowarizmi escribe su obra al- jebr w’almuquabala. En ella

escribiría todo en lenguaje coloquial. A modo de ejemplo y, en

nuestro lenguaje, anotaría la de la forma como la

potencia cuarta de la incógnita mas el triple de su cuadrado menos el

doble de la incógnita mas una unidad son iguales a treinta y siete.

Hacia el 1100 d. C. Se traducen las

obras árabes e

hindúes al latín.

1591 Viète desarrolla su Arte Analítico. Su

notación le permitiría escribir ecuaciones

como de la forma

Álgebra

alejandrina Álgebra hindú Álgebra árabe Renacimiento Edad

Moderna

1637 Se empieza a gestar la Geometría

Analítica tal como la conocemos hoy. El

simbolismo es muy similar al actual.

Figura 2. Representación de sucesos representativos del álgebra medieval y renacentista

En un punto intermedio entre el desarrollo histórico del Álgebra y de la Geometría Clásica se

encuentra el Álgebra Geométrica desarrollada en la Antigüedad (principalmente en las civilizaciones babilónica y griega). Se reemplazan números por segmentos de recta y, las operaciones entre

segmentos se resuelven mediante construcciones geométricas. De esta manera eran capaces de dar

respuesta a problemas muy específicos que podrían considerarse algebraicos (Dávila Rascón, 2002). Sin embargo, por la forma de manipulación de las variables y la ausencia del simbolismo característico

del Álgebra, se decidió tomar al Álgebra Geométrica como un antecedente importante para el

desarrollo del Álgebra, más que como el origen de la misma y, por lo tant

“La Geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las propiedades de

las formas y el espacio, originalmente (como sugiere su nombre) de la Tierra.

Los griegos desde alrededor del 300 a. C. desarrollaron la Geometría sobre

una base lógica, y muchos de los primeros resultados están recogidos en los

Elementos de Euclides (Crystal, 1997)” (Bolt, 1998, p. 6)

Con Geometría Clásica (o Euclidiana) nos referiremos a aquella parte de la Geometría propuesta por Euclides. En esta sección se analizan los principales hitos en el desarrollo de la Geometría

Euclidiana que tuvieron influencia en la génesis de la geometría de Descartes y Fermat. Se inicia con

las primeras geometrías en las civilizaciones pre-helénicas (siglos LI a VI a. C.). Luego se presenta una suerte de “tematización” (Piaget y García, 1983) de las primeras geometrías, al transmitirse a

matemáticos de la Antigua Grecia (siglos VII a IV a. C.), momento donde surge un interés por la

naturaleza del conocimiento matemático y por argumentos que lo justifiquen. Por último, se desarrolla

la geometría alejandrina (siglos IV a II a. C.) en la cual, Euclides, y Apolonio entre otros grandes




geómetras agrupan de manera coherente y unitaria una gran cantidad de propiedades geométricas

desarrolladas hasta la época.

3.1. La geometría pre-helénica

La primer Geometría se habría gestado en el seno de las civilizaciones pre- helénicas (5000- 500

a. C.), como respuesta a problemas de la vida cotidiana de la época. Según Klimovsky y Boido (2005)

en sus inicios la Geometría estuvo fuertemente ligada a la realidad física, y su origen se remonta al nacimiento de la humanidad. Es en la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento

(informal e intuitivo) a la Geometría Clásica.

Dentro de las civilizaciones existentes en este período, se reconoce a los babilonios que fueron

capaces de emplear reglas exactas para calcular el área de cualquier rectángulo, triángulo rectángulo, triángulo isósceles, trapezoide con un lado perpendicular a la base, y de cualquier círculo; aunque en

este último c0aso empleaban el número tres como aproximación de pi. Sin embargo, uno de sus

mayores logros ha sido la solución del problema que consiste en el cálculo de la longitud de una

cuerda dado el diámetro y la longitud de la flecha en un problema para elaborar arcos (Crespo Crespo y Guasco, 1998). Además, se evidencia en su geometría el conocimiento de diversas propiedades

como el teorema de Pitágoras, propiedades de congruencia por simetría y propiedades angulares.

Los conocimientos de geometría que nos quedan de estas civilizaciones son concretos y de

aplicación. No había fórmulas generales ni demostraciones ya que los geómetras de éste período, antes que geómetras eran artesanos, sacerdotes, arquitectos, etc. Un ejemplo de ello es la aplicación de la

identidad pitagórica: los arquitectos del Antiguo Egipto sabían que para construir un ángulo recto

bastaba con tomar las medidas de tres, cuatro y cinco (o semejantes) para sus lados; sin embargo,

desconocían por completo la naturaleza de ese conocimiento y no se interesaron por justificar su validez (Klimovsky y Boido, 2005). Otro ejemplo se observa en el cálculo de la seket (medida de la

cotangente del ángulo) para conocer la inclinación de las caras de las pirámides y conseguir que se

uniesen en un único vértice (García Cruz, 1988).

En ese momento, la matemática fue un medio para estudiar y manipular el entorno. No había búsqueda de rigurosidad en los cálculos. Un resultado aproximado tenía el mismo valor que uno

exacto en la medida en que diera resultados suficientemente aceptables. La Matemática entonces daba

respuesta al problema de la organización, explicación y predicción de ciertos aspectos de la realidad; sin ingresar en la preocupación por aspectos formales relativos a la exactitud y validez de los

procedimientos empleados.

3.2. La geometría griega

Se podría afirmar que los griegos retomaron muchas de las propiedades y fórmulas empleadas

por las civilizaciones que los antecedieron (Bell, 1949, Rey Pastor, Babini, 1951). Sin embargo, se habrían diferenciado en su tratamiento: mientras que las civilizaciones pre-helénicas se preocuparon

por los cálculos y la utilidad de los mismos, los griegos se abocaron a estudiar la naturaleza de estos

conocimientos matemáticos y su razón de ser.

Muchos de los conocimientos de Geometría obtenidos por civilizaciones de la antigüedad fueron recopilados y estudiados por Thales de Mileto (640– 535 a. C.), considerado como uno de los

eslabones más importantes para la transmisión del conocimiento de los babilonios y egipcios a la

cultura griega. Aunque no se destacaron sus aportes en cuanto a la resolución de problemas, se

reconoce en su obra el tratamiento deductivo y racional alcanzado (Díaz Gómez, 2002). A diferencia de la Matemática pre-helénica, la griega busca procedimientos y resultados generales. Dentro de la




Grecia Antigua el enfoque sobre la geometría empieza a cambiar: con los primeros matemáticos griegos ya emergía la necesidad de independizar los objetos matemáticos del mundo concreto. De esta

manera, demostraciones y generalizaciones empezarían a abundar en la matemática helena.

En este contexto, un grupo de matemáticos que conformaban la denominada secta de los

pitagóricos (siglo VI a. C.), concibieron la posibilidad de que el mundo pudiese ser representado mediante los números enteros, una entidad abstracta independiente de la realidad. Buscaron demostrar

la propiedad de la conmensurabilidad según la cual dados dos segmentos arbitrarios es posible

dividirlos en una cantidad entera n de secciones. . Por ejemplo, entre un segmento de medida 21 y uno de medida 49 la alícuota común es 7. La alícuota común a todos los segmentos es conocida como

punto extenso (Klimovsky y Boido, 2005). y esta idea indica que todo segmento estaría conformado

por una cantidad finita de secciones o puntos.

Otro problema crucial al que debieron hacer frente los pitagóricos fue el de los

inconmensurables. Al estudiar triángulos rectángulos y aplicar la relación pitagórica entre sus lados, descubrieron que ciertas magnitudes no podían expresarse como cociente de dos números enteros. A

partir de este problema, los helenos decidieron evitar asociar números a lados, áreas y volúmenes,

dando lugar al Álgebra Geométrica (González Urbaneja, 2008). Esta imposibilidad de asociar números a figuras geométricas es afirmada con las paradojas de Zenón de Elea (490 -430 a. C.) quien

argumentó sobre la existencia de infinitos puntos entre dos puntos dados. Así, la geometría griega que

estudia figuras en un espacio determinado, se ve afectada por los cuestionamientos de Zenón y como

consecuencia, todo trabajo matemático que incluyera algún tipo de procedimiento asociado a la infinitud carecía de rigor y veracidad. Sin embargo, las críticas no disuaden fácilmente a los

proselitistas: Platón (427- 347 a. C.) adopta y transmite muchas de las ideas de los pitagóricos a sus

discípulos en el seno de la Academia, entre los que se destacan tres grandes pensadores y matemáticos:

Eudoxo, Menecmo y Aristóteles. Entre las principales contribuciones se mencionan:

Eudoxo (408-355 a.C.), logró resolver parcialmente el problema de los inconmensurables

estableciendo un estilo sintético que oculta la vía heurística del descubrimiento. Esto, limitó

la introducción de nuevas curvas a su construcción. Es decir, el estudio de las curvas se

llevaría a cabo mediante la intersección de superficies o lugares geométricos definidos a

través de relaciones de áreas o longitudes en forma de proporciones, y no por medio de ecuaciones (González Urbaneja, 2007).

A Menecmo (380 a. C.- 320 a. C.), discípulo de Platón y de Eudoxo, se le atribuye el

descubrimiento de las curvas cónicas, entendidas como cortes de un plano con conos. En

palabras de González Urbaneja (2007): “hay una gran similitud entre los desarrollos de Menecmo en relación a expresiones equivalentes a ecuaciones y la utilización de

coordenadas […] De hecho ignorando el lenguaje de ésta (la Geometría Analítica) se hace

difícil interpretar el hallazgo de Menecmo”. Dicho parentesco también lo heredará Apolonio de Perga (262- 190 a. C.), su sucesor en la temática de las curvas cónicas y de quien se

realizará un análisis más adelante.

Aristóteles (384– 322 a. C.) tuvo un papel fundamental en la organización y justificación de

los conocimientos científicos y, en particular, geométricos de la época; pues fue el primero

en concebir a la ciencia como un sistema. Para Aristóteles existen, para cada rama del conocimiento, un conjunto de términos primitivos (que se comprenden per se) y términos

definidos que se comprenden a partir de relaciones establecidas entre términos primitivos y/o

otros términos definidos. Además, existen un conjunto finito de verdades auto-evidentes (axiomas) a partir de las cuales se pueden construir conocimientos seguros (teoremas)

mediante el uso de la lógica que permite la transmisión de la verdad desde las premisas a las

conclusiones. Esta forma de organizar y comprender el conocimiento matemático se conoce




como Tradición Axiomática (Klimovsky y Boido, 2005) y considera a la Matemática como conformada por Sistemas Axiomáticos Formales, de aquí en adelante SAF.

Es en la Grecia Antigua donde se sientan las bases para desarrollos posteriores en Geometría

Clásica y, en Geometría Analítica. Ejemplos de esto son:

Las obras de Pitágoras y Zenón que se problematizan sobre la existencia de números que no

pueden ser expresados como cociente de enteros positivos, problema que sería resuelto por

Descartes luego de varios siglos.

Los aportes de Thales y Platón, quienes contribuyen a la distinción entre entidades del mundo

matemático y el mundo concreto.

La lógica aristotélica que contiene las bases para la constitución de SAF, ideas que serían

adoptadas posteriormente por Euclides en su obra.

La obra de Menecmo, quien avanza en el estudio de las cónicas, que posteriormente serían

retomadas por Apolonio siendo éste uno de los grandes precursores en el uso de ejes de

coordenadas.

Según Rey Pastor y Babini (1951) la geometría griega se ha caracterizado, a diferencia de sus antecesoras, por un marcado interés en la fundamentación de las propiedades de las figuras, siendo

éstas despojadas de todo tipo de asociación numérica. Se ha establecido una separación clara entre la

Aritmética (base del Álgebra) y la Geometría. Se desarrolla así un Álgebra Geométrica que no

contribuye en el desarrollo de una Geometría Analítica para el estudio de las figuras.

3.3. La geometría alejandrina

En este período se avanzaría con base en los conocimientos alcanzados por los helenos, con

énfasis en las demostraciones y en la rigurosidad procedimental. Proporcionalidad, propiedades

triangulares, propiedades angulares, cuerpos geométricos, álgebra geométrica, teoría de los números, un gran cúmulo de conocimientos atraviesan toda la obra de Los Elementos de manera organizada bajo

un SAF siendo ésta revisada y continuada por sus sucesores (Klimovsky y Boido, 2005; Rey Pastor y

Babini, 1951).

El espíritu demostrativo y generalizador de los griegos en la antigüedad fue crucial para la

formación de una geometría lógica, sistemática y abstracta, como la de los alejandrinos. La geometría alejandrina tiene como representantes más destacados a Euclides (siglo IV a. C.) y Apolonio (siglo III

a. C.). Estos geómetras se habrían preocupado por la naturaleza del conocimiento matemático, su

método y su universalidad.

Klimovsky y Boido (2005), sostienen que la obra Los Elementos de Euclides y la de sus sucesores alejandrinos se distinguió de la matemática helena en el sentido de que se trataba de una

“obra de especialistas”, esto es, los tratados de geometría no se presentaban mezclados con contenidos

de política, filosofía, religión, etc. Tal es el caso que en la obra ni siquiera se hace referencia a

aplicaciones de la geometría que ahí se desarrolla. Podría decirse que Euclides busca una aproximación a un “mundo ideal”, sin abocarse a casos particulares del mundo concreto. Por otro lado,

Los Elementos guarda un cierto parentesco con la concepción aristotélica de la Matemática, en el

sentido que se recopila una gran cantidad de conocimientos de la geometría griega, así como contenidos previos desarrollados por los egipcios y babilonios entre otras civilizaciones; y los organiza

dentro de un SAF, semejante al que concibió Aristóteles en su época. Tan sistemática y detallada es la

obra de Euclides que su influencia se extendería hasta varios siglos luego de la muerte de su creador.




Euclides no fue el único gran geómetra de este período. Apolonio de Perga (262- 190 a. C.) es también reconocido por su obra Sobre las secciones Cónicas, de gran relevancia si se desea estudiar

los orígenes de la Geometría Analítica. Según Nápoles Valdes (2004), este matemático continuó con

los estudios sobre cónicas realizados por Menecmo. Allí explicita el descubrimiento de que, a partir de un cono único, pueden obtenerse los tres tipos de secciones: elipse, parábola e hipérbola variando la

inclinación del plano que corta al cono. Esto constituyó un resultado clave en el proceso de unificar el

estudio de los tres tipos de curvas. El lenguaje de Apolonio es sintético y retórico, utilizando la técnica pitagórica de la “aplicación de las áreas”, pero sus métodos de coordenadas ya guardan cierta

similitud con los de la Geometría Analítica. Se le atribuye a Apolonio el primer hito en la Historia de

la Matemática por la aplicación de coordenadas, al estudio de las propiedades de las curvas aunque sin

simbolización (Nápoles Valdes, 2004).

Las diferencias más notables del sistema de ejes de Apolonio con el sistema cartesiano actual son:

1) No se consideraron las magnitudes negativas.

2) Nunca se fija un sistema de coordenadas de referencia a priori. Según Apolonio, las curvas no venían determinadas por las ecuaciones que verifican las coordenadas de sus puntos, esto

es, se pasa de construcciones geométricas a una escritura algebraica y no viceversa.

La segunda diferencia muestra claramente un punto de vista platónico: lo que importa es la esencia de las entidades matemáticas, no como se representen. Esta filosofía contuvo a Apolonio y no

permitió que su obra llegase más lejos. Además, podemos decir que Apolonio no contó con el álgebra con la que contaron los matemáticos durante el siglo XVII (Hernández, 2002). Fue un pionero y ha

sido tal la magnitud de su obra, que influenció fuertemente en los geómetras y algebristas que lo

sucedieron.

En un intento por recuperar la parte perdida de la obra de Apolonio, se desarrolla la Geometría Analítica (González Urbanea, 2007). Si bien ha habido avances posteriores en Geometría Clásica,

consideramos que ya en este punto se empieza a evidenciar la necesidad del Álgebra en la formación

de la Matemática Moderna y, en particular, de la Geometría Analítica. Por otro lado, consideramos

que estos avances posteriores sobre la Geometría Clásica no serían indispensables si se quiere poner

en consideración la génesis de la Geometría Analítica.

4. El Álgebra y los orígenes de la Geometría Analítica

Desde los inicios de la Geometría Analítica, se evidencia una fuerte influencia del Álgebra sobre ésta. De hecho, el nombre Geometría Analítica alude al Álgebra. Si bien la palabra Álgebra

viene del árabe, con Viète ésta área de la Matemática empieza a ser conocida como Arte Analítica

haciendo referencia al Método Analítico Griego. Éste método consiste en empezar de las conclusiones

y arribar, por deducciones lógicas, a las hipótesis iniciales; y, en este sentido, tiene cierta similitud con los procedimientos algebraicos que parten de trabajar con la solución del problema (De la Torre

Gómez, 2006). De ahí el “Analítica” de la Geometría Analítica. Por lo tanto, si estamos interesados en

conocer la génesis y desarrollo de la Geometría Analítica, nos vemos en la necesidad de clarificar lo

que se entiende por Álgebra.

A diferencia de la Aritmética, que estudia los números y las operaciones elementales, en el

Álgebra se introducirá el uso generalizado de símbolos (usualmente letras) para representar cantidades

desconocidas (llamadas incógnitas) y cantidades conocidas (llamadas parámetros). Las expresiones así

formadas junto a símbolos operatorios y de orden, se conocen como “fórmulas algebraicas” y expresarían una regla o principio general (Baldor, 1980). Haremos referencia a un Álgebra

“aritmetizada” cuando se haga alusión a variables desconocidas habiendo, a su vez, una ausencia del




simbolismo algebraico que facilite los cálculos, y de procedimientos resolutivos que permitan obtener

una solución exacta y única para el problema algebraico tratado.

Respecto al tratamiento del desarrollo histórico del Álgebra, de la misma manera en que

concluimos el análisis de la Historia de la Geometría Clásica con Apolonio, en este trabajo iniciaremos

la Historia del Álgebra con los últimos griegos, más específicamente, con Diofanto y con los aportes

del álgebra hindú. Sin embargo, esto no implica que no haya habido avances en la Geometría Clásica luego de Apolonio ni que los inicios del Álgebra no fueran previos a Diofanto. Por el contrario, se

sabe que antes de Diofanto se desarrollaron álgebras aritméticas (Egipto y Babilonia) y álgebras

geométricas (Grecia) en las que no llegó a explicitarse el conocimiento algebraico (Dávila Rascón, 2002). A su vez, los desarrollos en Geometría Clásica posteriores a la Época de Euclides tampoco se

detuvieron, como es el caso de los trabajos con cuadriláteros de Brahmagupta y la fórmula de Herón

para calcular el área de un rectángulo.

Por otro lado, si nos detenemos a pensar en la diferencia entre la Geometría Analítica y la

geometría que empleó Euclides nos daremos cuenta en principio, que hay un simbolismo y una “suerte de correspondencia” entre una figura geométrica y su expresión algebraica; aspectos de crucial

importancia para el desarrollo de la Matemática. En particular, el simbolismo del Álgebra cumple un

papel fundamental en la síntesis de problemas para facilitar su tratamiento (González Urbaneja, 2007). Interesa analizar cómo se habría desarrollado el simbolismo dentro del Álgebra, y el vínculo que esta

rama de la Matemática va estableciendo con la Geometría Clásica, describiendo cómo estos aspectos

gravitaron en la génesis de la Geometría de Descartes y Fermat en el siglo XVII.

En la Historia de la Matemática se identifican distintas formas de representar un problema, que

va desde el uso del lenguaje cotidiano hasta complejas formas de notación simbólica. En este trabajo

se distinguirán tres formas de plantear y resolver problemas algebraicos (Quintero Zazueta, 2001):

1. Álgebra retórica. No existen abreviaturas, ni símbolos especiales. Se usa el lenguaje verbal

escrito. Ejemplo: época babilónica entre 2000 y 1600 a. C.

2. Álgebra sincopada. Se usan ya algunos términos técnicos y abreviaturas. Ejemplo: la Aritmética de Diofanto. Siglo III.

3. Álgebra simbólica. Es un álgebra más parecida a la que usamos hoy, con símbolos

especiales, incógnitas, parámetros, etc. Ejemplo: Siglos XVI y XVII, Viète.

Se analiza cómo estas tres formas se sucedieron en el tiempo, hasta el establecimiento del

Álgebra Simbólica, próxima a la que hoy usamos, que sería la más adecuada para lograr avances en esta rama de la Matemática. Cabe señalar, asegún Bell (1949) que la sucesión de estos tres tipos de

álgebras no fue lineal, se identifican avances y retrocesos en el uso del simbolismo propio de cada

álgebra. Sin embargo, sí puede considerarse que la sucesión histórica de estas álgebras fue influenciada por contextos sociales y culturales, y que su papel fue crucial para el desarrollo de la

Geometría Analítica. Entre los resultados destacados, se seleccionan los que evidencian con mayor

claridad las características del desarrollo histórico del simbolismo en el Álgebra: su no linealidad, su

vínculo con la forma de abordar los problemas y su variación.

Él álgebra hindú se desarrolló principalmente entre los siglos V y XII d. C. Ellos consiguieron

avances importantísimos en lo referente a la aritmética y el conteo, y a los sistemas de representación.

En lo referente a los aportes a la aritmética, se pueden nombrar el desarrollo de un sistema de

numeración posicional análogo al actual y una serie de propiedades para los números negativos y el cero. Además, se les reconoce una gran habilidad en la resolución de ecuaciones indeterminadas,

como es el caso de las ecuaciones cuadráticas del tipo x2-Ny2=1, donde N es un entero de raíz cuadrada

irracional, aunque lo hacían de una manera más mecánica que general listando todas las soluciones,




por engorroso que fuese, hasta cifras exorbitantes. Con respecto a la simbolización, esta civilización

desarrolló un nivel de abreviación para las operaciones que facilitó mucho el cálculo.

Los hindúes, de quienes se cree construyeron su matemática entorno a la Aritmética de Diofanto

y al álgebra china, adoptaron un simbolismo parcial, esto es, hicieron uso de un álgebra sincopada. En

este sentido se puede destacar que:

la resta fue indicada poniendo un punto encima del sustraendo;

la suma fue usualmente indicada por yuxtaposición;

la multiplicación escribiendo bha (la primera sílaba de la palabra bhavita “el producto”), y

después los factores;

la división escribiendo el divisor debajo del dividendo, casi de la manera actual, pero sin la

barra (por ejemplo: 34);

la raíz cuadrada escribiendo ka (de la palabra karana, “irracional”) antes de la cantidad.

Además de las operaciones, Brahmagupta indicaba la incógnita por yā (de yāvattāvat, “tanto

como”). Algunos enteros conocidos fueron también prefijados, por ejemplo, por rū (de rūpa, “el número absoluto”). Incógnitas adicionales fueron indicadas por las sílabas iniciales de palabras de

diferentes colores. Así una segunda incógnita podía ser denotada por kā (de kalaka, “negro”). De esta

manera, 7108 xy en la notación actual, podía aparecer como yā kā 8 bha ka 10 rū 7 en la

notación del álgebra sincopada; y del mismo modo, 813223 yxxy , sería en hindú antiguo

yā kā 3 bha yā 2 bha kā 2 bha ka 13 rū 8 (Carrillo Navarro, 2003).

Los árabes tomaron de los hindúes su gusto por las matemáticas y las llevaron a Europa nuevamente. Sin embargo, los algebristas árabes que sucedieron a los hindúes y que adoptaron buena

parte de los logros matemáticos de éstos y de los griegos, escribieron todo, hasta los números, en

palabras en su álgebra retórica. Pero no todo en este período fue un retroceso. En la numeración de las páginas del libro y dibujos figuraba el sistema de numeración hindú que luego sería adoptado por los

algebristas europeos de la Edad Media (ibíd., 1949).

Se destaca la importancia del Álgebra Simbólica para el desarrollo del Álgebra y de la

Matemática en general. Su brevedad sintáctica facilita la “operacionalidad” y la obtención de nuevos resultados; tarea que resulta en una misión casi imposible con el uso del lenguaje usual (ibíd., 1949).

Pero cometeríamos una falta grave al considerar como Álgebra Simbólica sólo al simbolismo del

Álgebra actual. A este respecto podemos tomar una serie de ejemplos (Bosch, 1994, p.123):

Buteo (1559): 243[961 PPIPP . Forma actual: 24396 23 xxxx .

Grosselin (1577): QLPMaequaliaLMIQP 224144 4812 . Forma actual:

22 2241444812 xxxx .

Viète (c. 1590): 120aequantur 27422585151 NQCQQQC . Forma actual:

1202742258515 2346 xxxxx .

Descartes (1637): acayyb

cxcyyy . Forma actual: acayy

b

cxcyy 2

.

Wallis (1693): 034 edxcxxbxx . Forma actual: 0234 edxcxbxx

Como se puede observar, todos estos avances distan mucho del simbolismo actual y, sin embargo, pertenecen a lo que se conoce como Álgebra Simbólica. Incluso Viète, quien es el más

cercano temporalmente, tiene una escritura bastante distinta a la que actualmente utilizamos. Pero a él

se le atribuye el empleo de letras para los parámetros, dado que distinguió a las variables con vocales




(A, E, I, O, U) y a los parámetros con consonantes (B, C, D, F, G). Fue recién con Descartes que aparecen las primeras letras del alfabeto para designar parámetros y las últimas para las variables

mostrando un simbolismo mucho más análogo al que se emplea actualmente (ibíd., 1994).

4.1. La geometría en la Historia del Álgebra y la génesis de la Geometría Analítica

En las secciones del trabajo hemos planteado inicialmente una “separación” entre la Geometría

Clásica y el Álgebra que no es tal, ni tiene sentido sostener, dado que desde los orígenes del Álgebra se puede observar un vínculo estrecho con la Geometría Clásica de Euclides. Pero esto no es en un

marco de aplicación del Álgebra a la Geometría sino en un marco justificativo. Ello se debe a que, en

los inicios del Álgebra, no se tenía plena confianza en la capacidad de esta nueva rama de la Matemática para afrontar y resolver problemas, como sí se confiaba en la geometría desarrollada por

Euclides (Dávila Rascón, 2002). Con el transcurso de los siglos, más precisamente, para la época de

Fermat y Descartes, empezó a evidenciarse la capacidad de cada uno de estos marcos resolutivos para

enfrentar y resolver distintos tipos de problemas como es el caso del “problema de Pappus”, irresoluble en su versión general desde un marco exclusivamente geométrico (González Urbaneja,

2007).

Según González Urbaneja (2007), los orígenes del Álgebra se le atribuyen a Diofanto (325- 409

d. C.) porque su obra es clave en la gestación de la Geometría Analítica; y el Álgebra Simbólica es el instrumento algorítmico básico de su desarrollo. Con su obra La Aritmética, Diofanto da lugar a un

Álgebra Sincopada y se registran antecedentes muy importantes con relación a la notación algebraica.

Con los cimientos construidos a partir de letras o expresiones como abreviaturas para las cantidades

indeterminadas, las potencias y operaciones; se fundan las primeras notaciones algebraicas.

Diofanto da inicio al Álgebra con problemas de búsqueda de números que cumplen con determinadas condiciones iniciales. En su obra hizo uso de distintos métodos, aunque no buscó todas

las soluciones para sistemas indeterminados. Esta problemática sobre las múltiples soluciones será

abordada tiempo más tarde por la civilización hindú.

El Álgebra de Diofanto y más tarde los aportes de los hindúes, contribuyen, en buena medida, a la gestación de un Álgebra Simbólica y, en consecuencia, constituyen un aporte indirecto al

nacimiento de la Geometría Analítica. Sin embargo, los árabes (siglos VII a XII d. C.), que heredaron

el espíritu por el cálculo de los hindúes y el demostrativo de los griegos; desarrollaron una matemática

vinculada a lo práctico en base a una lógica clara y precisa (Bell, 1949; Mora Meneses 2001). .

Los árabes combinaron los aportes de los hindúes y los griegos dando a conocer a la Europa medieval grandes avances matemáticos, entre los que se destaca un potente sistema de numeración,

varios textos hindúes y griegos traducidos al árabe (y años más tarde al latín), problemas particulares

relativos a la inscripción de un cuadrado en un triángulo isósceles, reglas para descubrir pares de “números amigos”, desarrollos en trigonometría y un método general y geométrico para la resolución

de ecuaciones de segundo grado; con lo que se inicia el desarrollo del Álgebra en Europa (Mora

Meneses, 2001). Además, dentro del contexto de problemas de comercio, los algebristas árabes plantean soluciones a problemas relacionados con ecuaciones de tercer y cuarto grado, generando la

necesidad de encontrar un método general para resolver dichas ecuaciones (Dávila Rascón, 2002). Sin

embargo, es muy fuerte la influencia de la Geometría Clásica y, en particular, del Álgebra Geométrica

griega en el álgebra medieval. Esto se debe al reconocido status que tenía la Geometría desarrollada por Euclides en Los Elementos. Así, en la obra Al- jebr w’almuquabala de Al- Khowarizmi, principal

representante de los algebristas árabes de este período, se omiten resultados negativos de ecuaciones

cuadráticas y, además, se recurre a construcciones geométricas para justificar su álgebra. Un ejemplo

de “cuadrados y raíces iguales a números” del álgebra árabe es tomado de la obra de Al-Khowarizmi:




“un cuadrado y diez raíces son iguales a treinta y nueve unidades […] ¿Cuál es el cuadrado que combinado con diez de sus raíces dará una suma total de

treinta y nueve? (Dávila Rascón, 2002, p. 8)

La manera de resolver este tipo de ecuación es tomar la mitad de las raíces mencionadas. Ahora, las raíces del problema son diez. Por lo tanto, toma cinco, que multiplicado consigo mismo da

veinticinco, una cantidad que agregas a treinta y nueve, y lo cual da sesenta y cuatro. Habiendo

tomado entonces la raíz cuadrada de esto la cual es ocho, resta de esto la mitad de las raíces, cinco, lo que deja tres. El número tres representa por tanto una raíz de este cuadrado, mismo que es, por

supuesto, nueve. Nueve por lo tanto da ese cuadrado.” (Dávila Rascón, 2002, p. 8). En el álgebra

simbólica actual el problema se plantea y resuelve de la siguiente manera:

39102 xx 22

2 10.2

13910.

2

110

xx

6425102 xx 22 8)5( x

85x 58x

3x

y, por lo tanto, x2 = 9 (ibíd., 2002). Es con este problema que Al –Khowarizmi nos otorga su primera

demostración geométrica, recuperando resultados de la matemática clásica griega.

El análisis hasta aquí realizado nos permite inferir a grandes rasgos que, la Geometría se

ocuparía del estudio de las figuras y el Álgebra de una generalización de propiedades aritméticas a partir de un simbolismo. Pero el desarrollo de ambas ciencias no fue aislado, sino que, muy por el

contrario, se evidenciaron múltiples interrelaciones como es el caso de los árabes y el estudio las

ecuaciones de segundo grado, y por otro lado, Apolonio y el estudio de las secciones cónicas. Estos problemas no se habrían resuelto de manera aislada, ni tampoco se hubieran planteado otros. Son

ejemplos de esto la resolución general del problema de Pappus y el desarrollo del Cálculo Diferencial

e Integral a partir de la Geometría Analítica.

Por otro lado, desde el punto de vista didáctico, se podría afirmar que el ámbito de desarrollo de la Geometría Analítica es un ámbito de investigación y de cuestionamiento de todo lo preexistente. Si

se hubiese aceptado todo como fue propuesto en los orígenes, no hubiese existido el Álgebra, ni

estaríamos en condiciones de desarrollar una Geometría que la integre. Con esto no tenemos intención

de mostrar a la Matemática como una ciencia en la que se derriban teorías, sino por el contrario, como una ciencia en la que van emergiendo nuevos descubrimientos que engloban a los anteriores dándonos

un punto de vista diferente (Boido, 2007). Éste es el caso de la geometría de Descartes y Fermat.

Descartes y Fermat fueron dos de los más grandes matemáticos, físicos y filósofos de su época.

A ellos se debe la interpretación algebraica de la Geometría y, en consecuencia, muchos de los conocimientos que derivaron de esta nueva forma de hacer matemáticas (cálculo de rectas tangentes y

normales a una curva, cálculo de áreas encerradas por curvas, máximos y mínimos, entre otros

problemas infinitesimales; soluciones al problema de la consistencia de la geometría; etc.). Dicha

interpretación geométrica terminaría de validar al Álgebra como vía para resolver problemas y

alentaría a realizar estudios posteriores en esta Área.




Descartes y Fermat desarrollaron en el siglo XVII un análisis geométrico muy semejante, y a pesar de ser contemporáneos, se suele atribuir el descubrimiento de la Geometría Analítica a Descartes

y no a Fermat, por el año de publicación de sus obras. Descartes publica en 1637 el Discurso del

método; mientras que la de Fermat se publica póstumamente. Además de esta ventaja temporal en lo

relativo a las publicaciones, los matemáticos posteriores se guiaron principalmente por la obra de

Descartes, sobre todo con relación a la notación (Bell, 1949).

Respecto a la herencia de la Geometría Clásica y del Álgebra en la Geometría Analítica se

puede decir que, por ejemplo, Menecmo, Apolonio y Pappus utilizaron el equivalente de un sistema de

coordenadas, pero carecieron del Álgebra Simbólica para su evolución, mientras que Viète dispuso del instrumento algorítmico del Álgebra Simbólica pero no llegó a utilizar coordenadas. El

descubrimiento de la Geometría Analítica tendrá lugar al aunar ambos aspectos en el estudio de las

curvas: la introducción de coordenadas y la mecánica operatoria del Álgebra simbólica en la

aplicación a los lugares definidos por una ecuación de dos incógnitas.

Fermat y Descartes se basaron en obras griegas, como las de Diofanto, Euclides y Apolonio; obras más recientes como la de Viète; hicieron uso de un sistema de numeración posicional similar al

desarrollado por los hindúes; y también, en mayor o menor medida, de un simbolismo que empezaba a

predominar en el Álgebra de su época (Quintero Zazueta, 2001). Tanto el trabajo matemático de Fermat como el de Descartes giran en torno al problema de Pappus (290- 350 d. C.), que se enuncia

como sigue:

“Dadas tres (respectivamente cuatro) rectas en un plano, encuéntrese el lugar

geométrico de un punto que se mueve de forma que el cuadrado de la

distancia a una de las tres rectas es proporcional al producto de las distancias

a las otras dos (respectivamente el producto de las distancias a dos de ellas es

proporcional al producto de las distancias a las otras dos), si las distancias se

miden en direcciones tales que formen ángulos dados con las líneas

correspondientes” (González Urbaneja, 2007, p. 210).

Como respuesta al problema de Pappus, Descartes introduce la construcción del producto, el

cociente y la extracción de raíces de segmentos dados sobre la base del segmento unidad, evitando de este modo, la restricción griega de no asignar números a determinados segmentos y la regla de

homogeneidad planteada por Viète (ibíd., 2001, p. 54). Fermat, por su parte, utiliza el concepto de

“propiedad específica”, esto es, concibió el modo de construir las curvas mediante ecuaciones representativas (Hernández, 2002). Así, mientras que Descartes parte de la Geometría Clásica para

arribar al Álgebra; Fermat parte de ecuaciones del Álgebra Simbólica de Viète para arribar a las curvas

geométricas que representan. Es en este sentido que se considera que Descartes y Fermat realizan, un

trabajo inverso y complementario.

Fermat empleó en su obra el álgebra de Viète para sus estudios y, en sus intentos de recuperar la

obra perdida titulada Las Cónicas de Apolonio, desarrolla la Geometría Analítica (González Urbaneja,

2007). Descartes, en cambio, concibe una notación propia, rica en símbolos; capaz de permitir

desarrollos propios del Álgebra Simbólica. Por ejemplo, transgrede la regla de homogeneidad de Viète afirmando que se puede expresar el producto x2 sobre una misma línea y, de esta manera, se reduce

todo a dimensión uno. De hecho, fue él el que ideó la notación actual para potencias: xx, x3, x4, x5, etc.

Esta notación se hizo necesaria con el descubrimiento de Descartes, y de este modo las potencias

superiores al cubo empezaron a cobrar sentido.

Otro logro importante de Descartes es el de definir una curva en el plano mediante una

propiedad determinada, que sea válida para todos sus puntos. Así, se establece una correspondencia

inequívoca entre las propiedades algebraicas y analíticas de la ecuación f(x, y)=0, y las propiedades




geométricas de la curva (Bell, 1949). De esta manera, el Álgebra Simbólica se empieza a adaptar con la geometría desarrollada en la antigüedad, en un proceso que tendría como producto final a la

Geometría Analítica.

Los desarrollos de Descartes y Fermat permitirían interpretar cómo se vinculan los cálculos

aritméticos con las operaciones geométricas y, en un nivel mayor de abstracción, cómo se vinculan las ecuaciones algebraicas de dos variables con determinadas curvas geométricas. Esta forma de analizar

la matemática permite plantear y resolver nuevos problemas. Así, en general, el Álgebra contribuiría a

completar la Geometría Clásica; y la Geometría Clásica permitiría nuevos desarrollos algebraicos.

A modo de síntesis se puede decir que el análisis realizado comprende obras matemáticas abordadas

tanto por geómetras y por algebristas, cuyos productos decantarían en la Geometría Analítica. Los resultados de este estudio analítico nos permitirían interpretar que la Matemática se habría iniciado con la

Geometría, con el estudio de las formas y que, casi en simultáneo, se desarrollan técnicas de conteo. Así, se

gestaría una Aritmética (con diversos sistemas de numeración) hasta llegar a las generalizaciones, y obtener como consecuencia resultados absolutos, originándose una Geometría Clásica y, más tarde, un Álgebra

sincopada o retórica. Con el desarrollo de un sistema de numeración decimal y posicional (el hindú), y un

simbolismo en el Álgebra; se generan las condiciones para la génesis de la Geometría Analítica, que

establece un fuerte vínculo entre el Álgebra y la Geometría Clásica.

El retorno a la asociación de números a figuras en el plano, con el análisis en el primer

cuadrante del eje cartesiano, es el ejemplo más ilustrativo de la reconciliación de la geometría en el

plano, la Aritmética y, en las generalizaciones, el Álgebra; resultados alcanzados por Descartes y

Fermat con la Geometría Analítica. En este punto podría considerarse que con esta Geometría se da una especie de vuelta a lo primitivo, a las figuras y formas de la geometría empírica y a la aritmética,

pero con un grado de abstracción y generalidad muy superior.

5. Consideraciones acerca de la Geometría escolar

El desarrollo histórico propuesto en este trabajo, tiene por objetivo establecer un posible marco de referencia para la enseñanza conjunta del Álgebra, la Geometría Clásica y Analítica en el Nivel

Medio. Esta síntesis puede resultar un aporte significativo para la comunidad de Educadores en

Matemática, dado que permitiría interpretar que la geometría analítica no podría haberse gestado separadamente de la Geometría Clásica y el Álgebra; y como consecuencia, una enseñanza disyunta

podría carecer de sentido.

La enseñanza de la geometría en la escuela secundaria, no escapa del problema del “autismo

temático” (Gascón, 2003) o del encierro de los temas; y ha generado y genera mucha preocupación y

una variedad de estudios como consecuencia. Por un lado, se identifican investigaciones que manifiestan la necesidad de revalorizar la enseñanza de la geometría en la escuela secundaria (Gascón,

2002; de Lorenzo, 1980; Sgreccia, Massa, 2012) que es un hecho que ha desaparecido, y que se

manifiesta en la disminución de contenidos que se proponen para enseñar. Por medio del diseño de materiales didácticos también se procura reivindicar el estudio de la Geometría escolar, como es el

caso de las investigaciones de Llanos y Otero (2013) y Ferrari y Farfán (2008) que lo hacen para el

estudio de funciones. Otras desarrollan una discusión acerca de qué geometría hay que enseñar (Galván, 2005; Sgreccia, et. al, 2009; Arrieta, Illarramendi, 1992); entre las que se identifican las que

abordan el problema de la separación entre la enseñanza de la Geometría y el Álgebra (Lluis, 1982) y

entre la enseñanza de geometría sintética versus la geometría analítica (Gascón 2002, 2003). Según

Jones (2000) todo lo anterior podría encuadrarse en el problema de que no hay una delimitación clara del currículum de geometría escolar, problema que no es nuevo y que se ve agudizado por la cantidad

de contenidos de geometría que sería deseable incluir en un programa.




Gascón (2003, 2004) por otro lado, sostiene que la imposibilidad de delimitar un currículum es consecuencia de la desaparición de la razón de ser de la geometría escolar. Describe cómo el

“encierro en los temas” en los programas de la escuela secundaria atenta contra la razón de ser de la

Geometría Clásica para los alumnos y para la sociedad en general, que se pone en evidencia en la

separación artificial entre la enseñanza de la Geometría Sintética, el Álgebra y la Geometría Analítica. Es en este sentido, que este trabajo puede resultar una contribución para los Educadores en

Matemática, dado que permite poner en conocimiento la continuidad y complementariedad que de

hecho existe entre estas áreas de la Matemática, y en consecuencia procurar una delimitación unificada

del currículum escolar y de los contenidos a enseñar en el nivel medio.

6. Conclusiones

La síntesis colocada en este trabajo permite dar cuenta de la estrecha relación entre la Geometría

Clásica y el Álgebra, y la posterior aparición de la Geometría Analítica. Desde los inicios, dentro de la civilización griega, se buscó despojar a la geometría de toda asociación con los números, pero

permanecía la idea de medida. Esto llevó a desarrollar un Álgebra Geométrica plasmada en parte en la

obra de Euclides, y a algo muy semejante a un eje de coordenadas que permitió a Apolonio estudiar las curvas cónicas. Más adelante, con el desarrollo del simbolismo algebraico y los sistemas de

numeración, la relación Geometría Clásica - Álgebra procuró varios desarrollos, aunque sin mucho

reconocimiento. Los matemáticos árabes se gestaron en el ámbito de lo práctico, haciendo uso de una

retórica para resolver problemas algebraicos, y donde la Geometría de Euclides serviría para confirmar los mismos, lo que permitiría dar indicios de la relación entre Álgebra y Geometría a la que se ha

hecho referencia. Se empieza a reconocer como consecuencia, una semejanza entre el mundo

algebraico y el mundo geométrico. Con el desarrollo de la Geometría Analítica en el siglo XVII esta

relación queda plasmada.

Consideramos en el marco de este trabajo que es preciso tomar en cuenta las razones de ser de estos

conocimientos en la cultura, las rupturas y continuidades y las etapas intermedias e iniciales, para proponer

una enseñanza con sentido en el siglo XXI, funcional a las necesidades de los ciudadanos.

Como hemos destacado la relación Geometría Clásica, Álgebra, Geometría Analítica es

estrecha. Sus orígenes y razones de ser se fueron entrelazando, a tal punto que hoy es importante que los ciudadanos posean nociones básicas de geometría clásica, analítica y de álgebra. Pero en la

actualidad la escuela ha escindido artificialmente estas obras matemáticas, y les ha quitado su razón de

ser y sentido, sobre todo, abriendo mano de la Geometría escolar. Pero la solución no consistiría en proponer ejercicios descuidando su sentido y su relación con otros conocimientos escolares. Es decir,

se requiere tomar en cuenta el sentido intra y extra- matemático de las obras a enseñar. Esto podría dar

lugar a nuevos interrogantes tales como ¿Cuál es la Geometría que resultaría funcional y viable para estudiar en la escuela actual? ¿Qué contenidos de Geometría Clásica y Analítica son importantes para

vivir en la sociedad actual y continuar estudiando? Queda abierta la necesidad de investigar las

razones de la pérdida de sentido de la Geometría en la Escuela Secundaria, lo que involucraría un

estudio de los diseños curriculares y un análisis de libros de texto de Secundaria, pertenecientes a distintos períodos históricos. La posibilidad de conocer cómo es que se ha planteado en las referencias

la enseñanza de la geometría en diferentes momentos, permitiría dar respuesta a los motivos de la

pérdida de sentido de la geometría escolar en la actualidad.

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Emmanuel Colombo Rojas. Lugar de residencia: Tandil. Lugar y fecha de nacimiento: Azul,

15/07/1987. Dirección para correspondencia: NIECyT, Departamento de Formación Docente, Facultad de

Ciencias Exactas, UNCPBA. Pinto 399, (7000) Tandil, Buenos Aires, Argentina.

[email protected]. Centro de trabajo: Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y

Tecnología (NIECyT). Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNCPBA). Tandil, Buenos Aires, Argentina. Títulos: Licenciado en Educación Matemática. Profesor en Matemática.

Facultad de Ciencias Exactas.

Viviana Carolina Llanos. Lugar de residencia: Tandil. Lugar y fecha de nacimiento: Tandil, 10/01/1984. Dirección para correspondencia: NIECyT, Departamento de Formación Docente, Facultad de Ciencias

Exactas, UNCPBA. Pinto 399, (7000) Tandil, Buenos Aires, Argentina. [email protected],

https://www.researchgate.net/profile/Viviana_Llanos. Centro de trabajo: Núcleo de Investigación en

Educación en Ciencia y Tecnología (NIECyT). Universidad Nacional del Centro de la Provincia de

Buenos Aires (UNCPBA). Tandil, Buenos Aires, Argentina. Títulos: Doctor en Enseñanza de las

Ciencias, Mención Matemática. Licenciada en Educación Matemática. Profesor en Matemática. Facultad

de Ciencias Exactas. Investigador Asistente del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y

Técnicas (CONICET).

María Rita Otero. Lugar de residencia: Tandil. Lugar y fecha de nacimiento: Tandil, 03/03/1961.

Dirección para correspondencia: NIECyT, Departamento de Formación Docente, Facultad de Ciencias

Exactas, UNCPBA. Pinto 399, (7000) Tandil, Buenos Aires, Argentina.

http://rotero.sites.exa.unicen.edu.ar/, [email protected]. Centro de trabajo: Núcleo de

Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECyT). Universidad Nacional del Centro de la

Provincia de Buenos Aires (UNCPBA). Tandil, Buenos Aires, Argentina. Títulos: Doctor en Enseñanza

de las Ciencias. Magister en Educación con Orientación en Psicología de la Educación. Profesor en

Matemática y Física. Facultad de Ciencias Exactas. Investigador Principal del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET). Director del Núcleo de Investigación en Enseñanza

de las Ciencias. Facultad de Ciencias Exactas (NIECyT). Coordinador del Programa de Posgrado en

Enseñanza de las Ciencias de la Facultad de Ciencias Exactas de la UNCPBA.



http://rotero.sites.exa.unicen.edu.ar/


https://www.researchgate.net/profile/Viviana_Llanos

http://revistaerm.univalle.edu.co/otros/adtorre.pdf


ISSN: 1887-1984




Una semblanza de las primeras mujeres afroamericanas doctoras en Matemáticas

Julia Alcántara Romero, María del Carmen Camacho Núñez, Juan Núñez Valdés (Universidad de Sevilla. España)

Fecha de recepción: 20 de noviembre de 2015

Fecha de aceptación: 21 de agosto de 2016

Resumen Se presentan las biografías de cinco mujeres matemáticas nacidas entre finales del siglo

XIX y primeros del siglo pasado, caracterizadas por haber sido las primeras mujeres

afroamericanas doctoras en Matemáticas, tras superar con grandes esfuerzos las enormes

dificultades de género impuestas por la sociedad en la que vivían. Se pretende con ello

reconocer el trabajo de estas mujeres y ponerlas como ejemplos de superación y lucha de

la mujer por conseguir unos objetivos similares a los del varón.

Palabras clave Mujeres matemáticas; Primeras doctoras afroamericanas en Matemáticas; Euphemia

Lofton Haynes; Marjorie Lee Browne; Evelyn Boyd Granville; Gloria Hewitt; Vivienne

Malone-Mayes.

Title A biographical sketch of the first African-American woman to earn a Ph.D. in

Mathematics

Abstract The biographies of five mathematician women characterized for having been the first

African American Women Ph. D. in Mathematics are shown, focusing the great efforts

and enormous gender difficulties, imposed by society in which they lived, that they had

to overcome. The aim is to recognize their work and put them as examples of overcoming and struggle of women to achieve similar objectives to those of the male.

Keywords Mathematician women; African American first women Ph. D. in Mathematics; Euphemia

Lofton Haynes; Marjorie Lee Browne; Evelyn Boyd Granville; Gloria Hewitt; Vivienne

Malone-Mayes.

1. Introducción

En este artículo, y como homenaje a la lucha de la mujer de raza negra para conseguir sus

derechos, presentamos unas breves biografías de cinco mujeres matemáticas contemporáneas que se caracterizan por haber sido las primeras mujeres afroamericanas en recibir un doctorado, lo que las ha

hecho distinguirse del resto y merecedoras de un doble reconocimiento por la sociedad: el que se les

debe por tal característica y el que se les debe por el hecho de haber alcanzado ese éxito siendo mujeres y por tanto habiendo padecido las enormes discriminaciones de género existentes en la

sociedad durante las tres cuartas partes del siglo pasado.

Estas cinco mujeres son Euphemia Lofton Haynes, Marjorie Lee Browne, Evelyn Boyd

Granville, Gloria Hewitt y Vivienne Malone-Mayes, las cinco primeras mujeres afroamericanas


Una semblanza de las primeras mujeres afroamericanas doctoras en Matemáticas J. Alcántara Romero, M. C. Camacho Núñez, J. Núñez Valdés


doctoras en Matemáticas (en este orden), si bien sus biografías se muestran en el artículo por orden

cronológico de nacimiento.

No obstante, es conveniente indicar que existe actualmente en la literatura una gran controversia

en lo que se refiere al orden que se indica en la obtención del doctorado en Matemáticas de muchas de

estas mujeres. Así, para algunas fuentes (web5, por ejemplo) Marjorie Lee Browne y Evelyn Boyd Granville fueron las dos primeras mujeres afroamericanas en obtener esta distinción, mientras que para

otras (web2), fue Euphemia Lofton, a quien ni siquiera citan las anteriores fuentes, la primera mujer en

obtener tal distinción. Como resultado de nuestras investigaciones, los autores nos decantamos

claramente por esta segunda opción.

Para una mejor comprensión de este artículo, indicaremos que, en Estados Unidos, las dos denominaciones “College” y “University” son utilizadas indistintamente. Referente a las graduaciones,

éstas se dividen en dos tipos: “Undergraduate” (Associate y Bachelor) y “Graduate” (Master, Doctor,

Professional). El “Bachelor’s Degree” (Bachiller o Título de Secundaria en nuestro país) dura unos 4 años y existen más de 300 variantes, siendo el “Bachelor of Arts (B.A.) y el “Bachelor of Science

(B.Sc)” los más conocidos. Tras el Bachelor, un estudiante puede obtener un “Master’s Degree”, o un

“Professional’s Degree”, culminando ambos con el Doctorado, generalmente denominado allí “Ph. D.”

Asimismo, en este artículo aparecerán algunos acrónimos con bastante frecuencia. Uno de ellos es A.M.S., por el que denotaremos a la “American Mathematical Society”, fundada en 1888, que es

una asociación de matemáticos profesionales dedicados a los intereses de la investigación matemática

y la erudición, que sirve a la comunidad nacional e internacional a través de sus publicaciones,

reuniones, actividades de promoción y otros programas.

Otro, W.W.M. designará a “The Association for Women in Mathematics”, una organización sin ánimo de lucro, fundada en 1971, cuyos objetivos son animar y alentar a las mujeres y a las jóvenes a

estudiar los diferentes grados de Matemáticas y promover la igualdad de oportunidades y de trato de

las mujeres y de los varones en todas las disciplinas matemáticas.

El artículo está estructurado en cinco secciones, dedicadas respectivamente a la vida y obra científica de cada una de las cinco mujeres indicadas anteriormente, citadas cronológicamente por

fecha de nacimiento.

2. Euphemia Lofton Haynes

A Euphemia Lofton Haynes nacida Martha Euphemia Lofton para algunas fuentes (web1) y Euphemia Rosalie, para otras (web2), el 11 de

septiembre de 1890, en Washington, D.C., le cabe el inmenso honor de ser

la primera mujer afroamericana doctora en Matemáticas, distinción

que obtuvo en 1943.

Las características familiares influyeron mucho a lo largo de toda su vida. Criada en su ciudad natal, su padre era un reputado dentista de

raza negra, muy conocido en el entorno afroamericano de negocios en el

área de Washington D.C., y su madre era una persona muy activa en la Iglesia católica de la época, rasgo que marcó mucho a Euphemia. Ella fue

la cuarta hija del matrimonio, de ascendencia africana, si bien ella ya

pertenecía a la cuarta generación washingtoniana. Figura 1. La doctora Euphemia Lofton




Tras graduarse en la Escuela Secundaria “M Street High School” en 1907 y en la Escuela Normal Miner dos años después, Euphemia obtuvo su licenciatura en Matemáticas en la Universidad

de Smith.

Figura 2. La Universidad Smith en la actualidad

Después de su licenciatura, en 1917, Euphemia se casó con un amigo de la infancia, Harold Appo Haynes, quien más tarde, al igual que ella, se convertiría en un líder influyente en el sistema

escolar afroamericano de Washington. El matrimonio no tuvo hijos.

En 1930, obtuvo el grado en Matemáticas y el de Educación, ambos en la Universidad de Chicago y ese mismo año, fundó el Departamento de Matemáticas en el Miner Teachers College (más

tarde rebautizado como Universidad del Distrito de Columbia), especializado en la formación de

profesores afroamericanos. En ese College, Euphemia empezó de profesora en 1930 y fue Jefa del

Departamento de Matemáticas durante casi 30 años.

Además de sus funciones educativas durante ese tiempo, Euphemia continuó sus estudios en Matemáticas, consiguiendo en 1943 su Doctorado en Matemáticas en la Universidad Católica de

América, convirtiéndose así en la primera mujer afroamericana doctora en Matemáticas de la historia

(véase, no obstante, la controversia existente en la literatura al respecto, ya comentada en la introducción). Su Tesis doctoral fue dirigida por Aubrey Edward Landry y se titulaba (en inglés):

“Determination of Sets of Independent Conditions Characterizing Certain Special Cases of Symmetric

Correspondences”.

Con su doctorado, Euphemia comenzó lo que sería su actividad académica y formativa de más

de 47 años en el mundo de la enseñanza, en su propia ciudad, influyendo de manera decisiva en

muchas de las acciones escolares que se tomarían por aquel tiempo.

Figura 3. La doctora Euphemia Lofton

Así, enseñó Matemáticas en el Armstrong High School, fue profesora de inglés en la Escuela

Normal Miner y además de impartir Matemáticas, fue Jefa del Departamento de esa disciplina en



Dunbar High School, la primera Escuela de Secundaria afroamericana de Washington, D.C. También fue profesora de Matemáticas en el Teachers College, en el Distrito de Columbia siendo responsable

de la División de Matemáticas y Educación Comercial.

Continuando con sus esfuerzos de promoción después de retirarse en 1959, Euphemia se dedicó

a muchas causas y organizaciones, entre ellas el Consejo Archidiocesano de Mujeres Católicas, Comité de Bienestar Social Internacional y el Comité Ejecutivo de la Asamblea Nacional de Bienestar

Social. Ella también cofundó el Consejo Interracial Católico del Distrito de Columbia. En atención a

todos los esfuerzos y desvelos que Euphemia siempre había tenido para con la Iglesia Católica, el Papa

Juan XXIII le concedió la medalla papal, el Pro Ecclesia et Pontifice, en 1959.

Al año siguiente, Euphemia pasó a formar parte de la Junta de Educación del Distrito de Columbia, llegando a presidirlo en 1966, promoviendo desde ese puesto una fuerte lucha contra la

segregación racial.

Figura 4. Euphemia Lofton

La muerte le llegó el 25 de julio de 1980, a la edad de 89 años, en Washington, D.C. A su muerte, la Universidad Católica de América recibió un legado de 700.000 dólares, con el que pudo

establecer un fondo de préstamos estudiantiles en su Departamento de Educación.

3. Marjorie Lee Browne

A la estadounidense Marjorie Lee Browne le cabe el honor de ser la tercera mujer

afroamericana en conseguir un doctorado en Matemáticas (1950), así como también el de ser una

de las primeras mujeres de raza negra doctora en los Estados Unidos.

Figura 5. Marjorie Lee Browne

Marjorie nació el 9 de septiembre de 1914, en Menphis, Tennessee. Desafortunadamente, su madre, Mary Taylor Lee, murió cuando ella tenía sólo dos años, por lo que tuvo que ser criada por su

madrastra, Lottie Lee, profesora de colegio y por su padre, Lawrence Johnson Lee, quien, a pesar de

ser un oficinista postal de ferrocarril, había cursado dos años de estudios, lo cual para un hombre




negro era bastante inusual en aquellos tiempos. Lawrence tenía grandes habilidades para el cálculo mental y sentía una gran pasión por las Matemáticas, pasión que siempre compartió con sus hijos, lo

que explica que Marjorie quisiera estudiar Matemáticas, alentada a su vez por su madrastra.

Su padre, que deseaba para todos sus hijos la mejor educación posible, hizo lo posible por

enviarlos a las mejores escuelas. Así, Marjorie asistió a la Escuela de Secundaria Le Moyne, que era un centro privado creado por los Metodistas y las Iglesias Congregacionales después de la Guerra de

Secesión Americana, especializado en ofrecer educación a las personas de raza negra (la Guerra de

Secesión fue conflicto bélico significativo en la historia de los Estados Unidos de América, que tuvo lugar entre los años 1861 y 1865, que enfrentó a los Estados del Norte (la Unión) contra los recién

formados Estados Confederados de América, integrados por once estados del Sur que habían

proclamado su independencia).

Figura 6. Gilbert Academy

Durante su estancia en esa escuela, Majorie no sólo destacó por su inteligencia para las Matemáticas, sino que también fue una notable deportista, llegando a ganar el campeonato de tenis

individual de la ciudad de Memphis mientras estaba en esa escuela.

Al finalizar sus estudios de secundaria en la escuela, Marjorie deseó entrar en la universidad,

aunque para ello tuviese que salvar primero las dificultades económicas que sufría, debido a que el

país estaba sumido en una gran depresión económica surgida tras la guerra. Sin embargo, gracias a una serie de trabajos ocasionales que desempeñó y a unos préstamos y becas que consiguió, pudo

conseguir algún dinero y entrar a estudiar en la Universidad de Howard, en Washington D.C., donde

recibió su B.S. en 1935, graduándose cum laude.

Después de graduarse en Howard, Marjorie fue profesora durante un año de Matemáticas y Física en la Gilbert Academia de Nueva Orleans, Louisiana, una escuela de secundaria privada para

estudiantes negros, matriculándose después en la Universidad de Michigan, en Ann Arbor, donde

obtuvo el grado de Máster en Matemáticas en 1939, dos años después de haber empezado esos

estudios, convirtiéndose así en una de las primeras mujeres en recibir este grado.

Figura 7. Straight University (New Orleáns)



Después de este hito en su vida, Marjorie pasó a ser profesora a tiempo completo del Wiley College, en Marshall, Texas, entre 1942 y 1945, empezando por aquella época, durante las vacaciones

de verano, sus estudios de doctorado en la Universidad de Michigan (es conveniente indicar que esta

universidad aceptaba como alumnos a estudiantes afroamericanos, cosa que no hacían muchas otras

universidades estadounidenses en aquel tiempo).

Como se indicó en la introducción, existe bastante controversia en la actualidad en lo que se

refiere a la fecha en la que Marjorie obtuvo su Ph.D. en la Universidad de Michigan. En (web7) se

indica que ella llegó a ser profesora de esa universidad en 1947. Los requisitos que se le pedían para su Ph.D. se completaron en 1949, pero la primera de las ceremonias de graduación fue en febrero de

1950. Por otra parte, en un congreso dedicado especialmente a glosar la figura de Majorie (web6), que

se celebra cada año durante las actividades del Día de Martin Luther King en la Universidad de

Míchigan, se afirmó que ella había obtenido su doctorado en 1949, aunque en 1999 algunas referencias cambiaron la fecha a 1950. Marjorie es considerada desde esa fecha la tercera mujer de

raza negra en obtener un doctorado, siendo Evelyn Boyd Granville la segunda (en 1949).

Independientemente, por tanto, de cuál de las dos sea la fecha correcta, lo que es innegable es que Marjorie es una de las dos primeras mujeres afroamericanas doctoras en Matemáticas. Su tesis se tituló

“On the One Parameter Subgroups in Certain Topological and Matrix Groups” (sobre subgrupos

uniparamétricos de ciertos grupos matriciales topológicos) y fue escrita bajo la dirección de George

Yuri Rainich (ver Nota 1).

Figura 8. George Yuri Rainich

Después de su doctorado y aparte de centrarse a trabajar especialmente en el fomento de la

educación matemáticas para las minorías y las mujeres, Marjorie fue contratada en 1949 como profesora de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de North Carolina Central, ahora conocida

como North Carolina College, donde permaneció hasta su jubilación en 1979. Durante 25 años fue la

única persona del departamento de Matemáticas con el título de doctor, llegando a ser Jefa del mismo en 1951, cargo que conservó hasta 1970. Además de impartir cursos de pre y postgrado, Marjorie llegó

a dirigir 10 Masters de Matemáticas y desempeñó otras obligaciones diferentes a la de Jefa de

departamento, como Investigadora Principal, Coordinadora de la sección de Matemáticas y profesora y

conferenciante del Instituto de Verano para profesores de Ciencias y Matemáticas de la Escuela Secundaria.

Figura 9. Marjorie Lie Browne, doctora en Matemáticas




Por lo que respecta a su trabajo como investigadora, Marjorie se dedicó al estudio de los grupos, demostrando en un trabajo titulado “A Note on the Classical Groups”, de 1955, algunas propiedades

topológicas importantes y obteniendo distintas relaciones entre ciertos grupos básicos. Su trabajo en

general se centró en el álgebra lineal y matricial.

Entre 1952 y 1953, Marjorie ganó una de las becas que ofrece la Fundación Ford a personas e instituciones innovadoras de todo el mundo. Esa beca le permitió viajar a la Universidad de

Cambridge, en Inglaterra, para estudiar Topología Combinatoria y también le brindó la oportunidad de

viajar por Europa occidental. Marjorie fue también elegida miembro de la Fundación Nacional de Ciencias y pudo estudiar Computación y Análisis Numérico en la Universidad de California en Los

Ángeles. También ganó otra beca para estudiar Topología Diferencial en la Universidad de Columbia,

Nueva York, durante 1965-1966.

Consciente de la importancia que la Informática iba a tener en el futuro más inmediato, Marjorie

lideró en 1960 la solicitud a propuesta de la Universidad de North Carolina Central de una beca dotada con 60,000$ que ofrecía IBM. Una vez ganada esta beca, este dinero le permitió a la universidad

comprar su primer ordenador para su uso en cálculos académicos (y probablemente también el primero

en una universidad que admitía a personas de raza negra), siendo ella una de las supervisoras de su instalación. También obtuvo en 1969, para su departamento, la primera Beca Shell para reconocer a

estudiantes excepcionales de Matemáticas y ofrecerles apoyo financiero que les permitiese continuar

la enseñanza superior.

Durante los veranos, Marjorie se ocupaba de instruir a los profesores de secundaria y debido a

su liderazgo en este aspecto, la Universidad de North Carolina Central se convirtió en la primera institución americana principalmente para personas de raza negra dotada de fondos aportados por el

Instituto para la Fundación de la Ciencia Nacional para profesores de Matemáticas de Secundaria.

Durante los 13 años en los que ella desempeñó la dirección de la Sección de Matemáticas de

estos Institutos, Marjorie escribió cuatro publicaciones destinadas a estos profesores, titulas respectivamente, “Conjuntos, Lógica y Pensamiento Matemático” (1957), “Introducción al Álgebra

Lineal” (1959), Álgebra Matricial Elemental” (1969), y “Estructuras Algebraicas” (1974). Eso la llevó

a convertirse en la primera persona en recibir, en 1975, el Premio a la Memoria de W. W. Rankin a la

Excelencia en la Educación Matemática, concedido por el Consejo de Profesores de Carolina del

Norte.

Figura 10. Marjorie Lie Browne

Marjorie murió en su casa en Durham, Carolina del Norte, de un ataque al corazón, el 19 de octubre de 1979, a los 65 años de edad, siendo recordada para siempre como una mujer que durante



toda su vida se dedicó a ayudar a los estudiantes de Matemáticas a continuar su educación y que incluso gastó al final de ella gran parte de su propio dinero para continuar con esta actividad,

ayudando y animando a hacer lo que ella misma había logrado a todo estudiante que se acercara a ella

con el objetivo de preparar y completar su doctorado. Varios de los datos que se indican en esta

biografía han sido tomados de (web3, web4 y web5).

4. Evelyn Boyd Granville

De acuerdo con la controversia indicada en la sección anterior, la estadounidense Evelyn Boyd

Granville está actualmente considerada como la segunda mujer afroamericana en conseguir un

doctorado en Matemáticas (en 1949),

Evelyn Boyd Granville, nacida el 1 de Mayo de 1924 en Washington, D.C., fue criada junto con

su hermana de un año y medio mayor Doris, por su madre y su tía Louise Walker, las dos trabajadoras

de la Oficina de Grabado e Impresión, ya que su padre, William, se había separado de su madre cuando Evelyn aún era muy joven. Ella y su hermana pasaron en aquel tiempo gran parte de sus vidas

en una granja de un amigo de la familia, en Linden, Virginia.

Figura 11. Evelyn Boyd Granville

Evelyn realizó sus primeros estudios en la escuela secundaria Dunbar, que en aquel momento era una escuela muy competitiva para estudiantes negros en Washington. Más tarde, con el apoyo

económico de su madre y de su tía, y también gracias a una modesta beca de la entidad Phi Delta

Kappa, entró en el Smith College en otoño de 1941, especializándose en Matemáticas y Física,

mostrando además un gran interés por la Astronomía.

De hecho, Evelyn empezó a sentirse fascinada por la Astronomía debido a las clases que recibió de Marjorie Williams (ver Nota 2). Así, pensó llegar a ser una astrónoma, si bien lo descartó al no

desear comprometerse a vivir en el aislamiento de un observatorio, lo cual era necesario que los

astrónomos de la época. Por eso, a pesar de que había entrado en la universidad con la intención de convertirse en profesora, comenzó a considerar la posibilidad de trabajar en la Física o las

Matemáticas.

Con el soporte y la ayuda de la sociedad Phi Beta Kappa y Sigma Xi (ver Nota 3), Evelyn se

graduó cum laude en 1945 y gracias a otra beca de postgrado de la Sociedad de Ayuda al Estudiante

del Smith Collage solicitó matricularse en un Programa de Posgrado en Matemáticas, siendo aceptada por las universidades de Yale y de Michigan, eligiendo ella la primera por la ayuda financiera que

ofrecían. Allí estudió análisis funcional bajo la supervisión de Einar Hille (1894 – 1980, matemático

muy destacado en el campo del Análisis Funcional), terminando su doctorado en Yale, en 1949, con una Tesis titulada (en español) “Sobre las series de Laguerre en el campo complejo”. De esa forma,

Evelyn se convirtió en una de las primeras mujeres afroamericanas doctoras en Matemáticas. Dos de

sus estudiantes, Vivienne Malone-Mayes y Etta Zuber Falconer defendieron sus respectivas Tesis

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doctorales bajo su dirección, en un corto período de tres años (ver (web7)). Ellas serían, respectivamente, la quinta y la undécima mujeres afroamericanas doctoras en Matemáticas (ver

Nota 4).

En 1950, Evelyn fue contratada como profesora en la Universidad de Fisk, un colegio para

estudiantes negros en Nashville, Tennessee (uno de los empleos más prestigiosos que, sin embargo, no

estaba disponible para mujeres negras). Allí estuvo dos años.

Sin embargo, Evelyn pronto abandonó la docencia para emprender una carrera de empleos en

diferentes entidades. Así, en 1952, tras dejar colegio, regresó a Washington, empezando a trabajar en

los Diamond Ordenance Fuze Laboratories, en donde estuvo 4 años, pasando después, como

programadora de ordenadores, a la empresa IBM.

Figura 12. Evelyn Boyd Granville

Tras pasar por IBM, Evelyn se mudó de Washington a Nueva York en 1957, en donde se casó

con el reverendo Gamaliel Mansfield Collins en 1960. El matrimonio se mudó a Los Ángeles , donde

ella empezó a trabajar primero para los U.S. Space Technology Laboratories, y después, en 1962, para la the North American Aviation Space and Information Systems Division, y de nuevo para IBM,

divorciándose de su esposo en 1967 (web8).

El hecho de que hubiese una reestructuración de personal en la empresa IBM hizo que Evelyn

ocupara en 1967 una plaza de profesora a tiempo completo en la Universidad Estatal de California, en Los Ángeles, casándose de nuevo en aquella época, en 1970, con el agente inmobiliario Edward V.

Granville.

Tras dejar de trabajar en la Universidad Estatal de California en 1984, Evelyn fue contratada

primeramente en el Texas Collage, in Tyler (Texas), donde estuvo cuatro años y posteriormente, como

profesora Sam A. Lindsey de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Texas, también en Tyler, en 1990. Entre sus tareas más notables en aquella universidad destacan los programas de

Refuerzo de Matemáticas de la escuela primaria.

Figura 13. Evelyn Boyd Granville en 1997 (foto debida a Margaret Murray)

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Evelyn recibió numerosos premios y galardones. En 1999, la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos la incluyó en su Colección de Retratos de personas afroamericanas en la Ciencia.

En 1989, fue investida doctora Honoris Causa por el Smith Collage, siendo este doctorado el primero

que una institución americana concede a una mujer matemática afroamericana. No obstante, y a pesar de la relevancia de esta distinción, no fue Evelyn, como ya se ha visto, la primera mujer matemática

afroamericana en recibir honores, ya que ese honor le corresponde a Euphemia Haynes.

5. Vivienne Malone-Mayes

Vivienne Malone-Mayes, cuyo nombre familiar antes de casada era el de Vivienne Malone, nacida en Waco, Texas, el 10 de febrero de 1932, está considerada como la quinta mujer

afroamericana doctora en Matemáticas (en 1966).

Sus padres, afroamericanos, Ray Malone, maestro de varias escuelas de Waco durante muchos años

y Vera Estelle Allen, también profesora, siempre desearon que ella tuviera la mejor educación posible, por

lo que la llevaron a la escuela a la edad de cinco años, un año antes del que debería haber ido.

Vivienne fue una excelente estudiante durante toda su vida. Con solo 16 años de edad, en 1948,

se graduó en la AJ Moore High School en Waco (una escuela segregada racialmente), y después dejó

su ciudad natal para pasar a la Universidad de Fisk, en Nashville, donde obtuvo su B.A. en 1952 y el

M.A. en 1954. Curiosamente, ella entró en Fisk con la intención de obtener un grado en Medicina, en

lugar de uno en Matemáticas.

En Fisk, universidad en la que Vivienne hizo grandes amigos, entre ellos Charles G. Costley, L.

Joyce Venable Gould, Gloria Conyers Hewitt, Etta Falconer y Lee Lorch (Falconer y Lorch, 1995),

también hizo mucha amistad al principio con un compañero de estudios James Jeffries Mayes que estudiaba Odontología. Pronto decidieron casarse, pero James convenció a su futura esposa para que

abandonara la Medicina, ya que pensaba que dos médicos en una familia no iban a proporcionar una

buena vida familiar. Ésta es la razón por la que Vivienne decidió cambiar la Medicina por las

Matemáticas.

Figura 14. Universidad de Fisk (Nashville)

Una de sus profesoras en Fisk fue la ya tratada en este artículo, doctora Evelyn Boyd Granville,

quien como se indicó, fue la segunda mujer afroamericana doctora en Matemáticas. Vivienne

consideraba a Evelyn una profesora inspiradora y exigente, y de ella escribió lo siguiente:

Yo creo que fue su presencia e influencia lo que motivó mi búsqueda de

títulos avanzados en matemáticas.

Sin embargo, no fue Evelyn B. Granville la única en la Universidad de Fisk que tuvo una gran

influencia sobre Vivienne. Ésta siempre le guardó un especial tributo a Lee Lorch, el Jefe del

Departamento de Matemáticas de esa universidad desde 1950 a 1955 (ver Nota 5).




Figura 15. Profesor Lee Lorch

En 1976, Evelyn le escribió un panegírico a Lee en el American Mathematical Monthly, en el que describía la profunda influencia que él tuvo sobre ella y sobre sus compañeros de estudios a través de su interés y su enfoque de la enseñanza. Ella enfatiza cómo Lee Lorch influyó en su decisión de

hacer una carrera de Matemáticas en (web13).

Como ya se indicó, Vivienne se graduó de Fisk con un B.A. en 1952 y, poco después, el 1 de

septiembre de ese año se casó con James. Ella continuó estudiando para su maestría en Fisk y en 1954

fue galardonada con un M.A.

Desoyendo el consejo de Evelyn B. Granville, que la animaba para empezar los estudios de

doctorado, Vivienne regresó a Waco, tras terminar su Máster, y allí fue Presidenta del Departamento

de Matemáticas de la Universidad Paul Quinn, patrocinada por la Iglesia Metodista Episcopal

Africana, desde 1954 a 1961. Mientras, su marido abrió una clínica dental en el mismo Waco. En 1961, Vivienne pasó un año en el Bishop College en Dallas, donde fue Presidenta del Departamento

de Matemáticas (web13).

Figura 16. Vivienne Malone

Por aquel tiempo, en su afán de ampliar sus conocimientos matemáticos, ella solicitó poder matricularse en algunos cursos de la Universidad de Baylor, en Waco, aunque fue rechazada su

solicitud por motivos de raza, explícitamente, por ser ella afroamericana (3).



En todo caso, ella escribió después (web13) que, aunque al principio ella se sintió apenada y amargada, bastante después celebró este rechazo puesto que la Universidad de Baylor no se impartían

cursos de doctorado:

Fue una bendición, de verdad. Si a mí me hubiesen aceptado en Baylor, yo

hubiera seguido algunos cursos, pero no hubiera pensado en el doctorado.

Sin embargo, tampoco al principio esos rechazos la desanimaron y así, una vez vigente la ley

federal para eliminar la segregación por razas, solicitó su inscripción en la Universidad de Texas, en

Austin, que tuvo que admitirla entre sus alumnos, si bien aquélla fue una época muy solitaria y estresante para ella. Vivienne se refirió a esta etapa en uno de los Boletines de la A.W.M. en 1988,

indicando que (3):

El primer verano me dio el valor para seguir a tiempo completo,

especialmente después del éxito que tuve...

Sin embargo, no fue fácil para ella seguir aquellos estudios al ser la única negra. Ella misma

afirma que (web13):

Cuando sacaba calificaciones bajas, sentía que había defraudado a 11

millones de personas. Eso es una pesada carga. Cada profesor estereotipaba a

los negros por mi actuación. Te sientes como si no tuvieras más remedio que

sobresalir.

Por todo ello, Vivienne, después de sacar buenas calificaciones en los cursos de verano se

decidió a estudiar para su doctorado. Ella afirmó que:

Tuve una fe y una constancia casi sin medida para soportar el estrés de

obtener un doctorado siendo una estudiante graduada negra.

Y así, gracias tanto a su coraje y determinación, como a sus indudables capacidades, Vivienne consiguió su Doctorado en Matemáticas en 1966, convirtiéndose de esta manera en la quinta mujer

afroamericana doctora en Matemáticas. Su Tesis Doctoral, dirigida por Don Edmonson, se titulaba (en

español) “Un problema estructural en análisis asintótico” y parte de ella fue publicada en 1969 en los

Proceedings de la A.M.S. aunque con diferente título.

Figura 17. La doctora Vivienne Malone




No obstante, hay que indicar que, durante sus estudios de doctorado, Vivienne lo pasó muy mal, estando siempre muy sola. En su primera clase, ella era la única mujer y la única persona de raza

negra. Sus compañeros de clase la ignoraban por completo, e incluso se callaban cuando ella se

acercaba. Le fue denegada una beca de docencia, a pesar de que ella era una profesora excelente y con

mucha experiencia. Sobre todo, esto, ella misma escribió (3):

Yo no podía reunirme con mi director y con otros compañeros de clase para

hablar de Matemáticas en la cafetería del Hilsberg, ya que allí no se servía a

los negros. Ocasionalmente, podía enterarme de retazos de sus

conversaciones cuando ellos pasaban cerca de mí, fuera de la cafetería.

Además, a algunas clases no le estaba permitido asistir, a pesar de que la Universidad de Texas

estuviese obligada, por ley federal, a admitir alumnos de raza negra. Por ejemplo, el profesor R. L.

Moore se negaba a admitir estudiantes negros en sus clases. Al respecto, Vivienne afirmaba que:

Yo no pude inscribirme en la clase de un determinado profesor. Él no

enseñaba a los negros. Todo ello me hizo perder muchas oportunidades que

habrían acelerado mi madurez matemática.

Asimismo, uno de sus profesores, quejándose de las manifestaciones por los derechos civiles, le

dijo en una ocasión: "Si todos los que se quejan fueran como tú, trabajadores y estudiosos, no habría ningún problema”, a lo que ella le respondió."Si no fuera por todos esos, usted ni siquiera me hubiera

conocido”.

Su enorme coraje y determinación, además de su indudable talento matemático, fueron los que

le permitieron convertirse en la segunda persona de raza negra y en la primera mujer de esta raza que

consiguió un doctorado en Matemáticas en Universidad de Texas.

También llegó a ser en 1966, y gracias a esa fortaleza, la primera persona de raza negra

miembro de la Universidad de Baylor, la institución que la había rechazado como estudiante sólo

cinco años antes. Ella pasó allí el resto de su carrera docente, jubilándose en 1994 por problemas de

salud.

Figura 18. Vivienne Malone

En aquellos años, su vida fue más tranquila. En 1975, ella se refiere a aquella etapa según:



Yo nunca he tenido ninguna queja sobre el salario o promociones. He recibido apoyo financiero de la administración para proyectos innovadores y

experimentales... Una garantía adicional de mi bienestar han sido las visitas

anuales de representantes del gobierno federal. Ellos veían si yo estaba

siendo sometida a ningún tipo de discriminación y sus informes fueron

siempre alentadores para mí.

No obstante, ella pasó de nuevo a tener dificultades a partir de la década de 1980, especialmente

en su propio Departamento. Las visitas de los inspectores federales se cancelaron y en los años de los

mandatos de Reagan y Bush los presupuestos de las agencias de derechos civiles se redujeron drásticamente. Vivienne consideró que esas medidas debilitaban su posición y se quejó de ello

oficialmente en varias ocasiones.

A lo largo de los años, buenos y malos, Vivienne mantuvo una gran actividad en varios frentes:

en la Matemática, en servicios a la comunidad y en organizaciones religiosas. Fue la primera persona

de raza negra elegida miembro del Comité Ejecutivo de la A.W.M. y perteneció a la Junta de Directores de la Asociación Nacional de Matemáticos (orientado hacia la comunidad negro en el

mundo matemático). Fue miembro de la A.M.S., del National Council of Teachers of Mathematics y

de A.M.S., en la que fue elegida Directora para sección de Texas, participando en las celebraciones del centenario de la Asociación en 1988. Además, fue Directora del “High School Lecture Program for the

Texas MAA.”

Su dedicación a la comunidad fue asimismo también muy grande. Además de participar en

piquetes contra el racismo; sus artículos sitúan sus luchas académicas dentro del movimiento

antirracista más amplio. Perteneció a la Junta de Directores de Goodwill Industries, al Consejo de Administración de la Consejería Familiar y de Infancia, al Consejo Consultivo Estatal de Texas para la

Construcción de Centros Comunitarios de Salud Mental, y al Consejo de Administración de la

parálisis cerebral. Asimismo, por lo que se refiere a sus actividades religiosas, fue Directora entre 1960 y 1975 del Coro Juvenil y organista de la New Hope Baptist Church y también participó en la

creación del Coro de muchachos en la New Hope Baptist Church, en 1983.

Etta Falconer y Lee Lorch, dos de sus mejores amigos, en un escrito en su memoria (Falconer y

Lorch (1995) señalan que Vivienne, ya jubilada, disfrutaba de sus amigos y se mantenía en contacto

telefónico frecuente con muchos de ellos, dado que su estado de salud, ya precario (padecía una enfermedad inflamatoria crónica que fue la que la obligó a jubilarse en 1994), no le permitía asistir a

las reuniones de invierno de Matemáticas que muchos de ellos organizaban conjuntamente. Su última

reunión de este tipo fue en 1993 en San Antonio. Esa fue una reunión particularmente alegre, a la que asistieron, además de ella, Gloria Hewitt y Evelyn Boyd Granville, a quien Vivienne no había visto en

muchos años, pero cuya inspiración ella nunca olvidó.

Finalmente, Vivienne murió el 9 de junio de 1995, dejando a una hija, Patsyanne Mayes

Wheeler y a otros miembros de la familia. Ella luchó contra el racismo y el sexismo durante toda su vida, empleando para ello toda su habilidad, integridad, firmeza y amor, no cediendo a las presiones o

problemas que encontraba en su camino. Por ello, la influencia que ha dejado es especialmente

duradera.

6. Gloria Hewitt

Aunque cronológicamente es la más joven de las cinco mujeres biografiadas, Gloria Conyers

Hewitt, pasó a ser con 27 años la cuarta mujer afroamericana doctora en Matemáticas, en 1962




(aunque durante un tiempo se pensó que era la tercera, de acuerdo con las controversias ya

mencionadas).

Gloria nació y pasó su infancia en Sumter, Carolina del Sur, el 26 de octubre de 1935. Fue la

menor de los hermanos y la única hija del matrimonio formado por Emmett y Crenella Conyers. Sus

tres hermanos mayores fueron a una escuela privada al poder costear su madre esa enseñanza gracias a su trabajo como profesora (su padre era impresor), llegando a ser, respectivamente, físico, profesor de

sociología y analista de datos. Sin embargo, sus padres quisieron para Gloria una escuela publica, por

lo que la enviaron a la Mother Academy, una escuela para niños y niñas negros en Camden (Carolina

del Sur).

Más tarde, Gloria recibió su título de B.A. en Matemáticas por la Universidad de Fisk, en

Nashville, Tennessee, en 1956, recibiendo su M.S. en 1960.

Figuras 19 y 20. Logo y dependencias de la Universidad de Fisk

En una entrevista personal que le hicieron, en la que le preguntaron en qué momento ella había

empezado a mostrar interés por las Matemáticas, ella, recordando con mucho cariño sus años

universitarios en la Universidad de Fisk, respondió (web12):

Recuerdo que cuando estudiaba cálculo en la universidad el único libro que

me llevé a casa durante las vacaciones de Navidad fue mi libro de cálculo.

Yo quería hacer todos aquellos problemas. Yo trabajé en un problema

durante dos semanas enteras antes de resolverlo. No es que fuera difícil, sino

que, simplemente, yo no entendía el proceso de resolución. ¡Cuando se hizo

la luz, yo fui tan feliz! No creo que alguna vez sintiera tanto placer. Yo fui

muy feliz y me quedé enganchada con aquel problema. Después de eso y ante

el asombro de mis compañeros de estudios, me recuerdo sentada en el

campus haciendo problemas de cálculo solo por satisfacción personal.

Durante sus dos primeros años de estudios en Fisk, Gloria estuvo bajo la dirección de Lee

Lorch. Lorch tenía tanta confianza en las capacidades matemáticas de Gloria que envió dos cartas de recomendación avalándola, sin que ella lo supiera, una de ellas a la Universidad de Washington. Así,

esa universidad le ofreció una Beca, en su año de senior, incluso sin que ella la hubiera solicitado.

Sobre la influencia que Lorch tuvo en la vida de Gloria, puede leerse, afirmado por ella misma, que

(Kenschaft, 1981, y web12):

... la idea de entrar en la escuela de posgrado en matemáticas nunca se me

pasó por la mente. Nunca supe que Lorch lo había considerado hasta que me

enteré de lo de sus cartas de recomendación.



Figura 21. Gloria Hewitt

Gloria defendió su Tesis Doctoral en la Universidad de Washington en 1962, titulada “Límites directos e inversos en álgebras abstractas, realizada bajo la dirección de Richard Scott Pierce (cuya fe en mí, llegó a afirmar Gloria, siempre estaba allí, incluso cuando la mía propia fallaba), aunque un

año antes de esa fecha, en 1961, justo antes de la finalización de sus estudios de doctorado, había

empezado a trabajar en la facultad de Matemáticas de la Universidad de Montana, primero como profesor adjunto (otoño de 1961), después como Profesor Asociado (1966) y luego como ya como

Catedrática (1973). Desde 1995 a 1999 fue Jefa del Departamento de Ciencias Matemáticas de esa

universidad, jubilándose ya posteriormente en mayo de 1999, con el título de Profesora Emérita

(véanse web10 y web11).

Durante el tiempo que Gloria fue Jefa del Departamento de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Montana consiguió aumentar la visibilidad del departamento, recaudó más de 500.000

dólares en ayudas para dotar de nuevos programas innovadores que apoyasen a los estudiantes tanto de

pregrado como de postgrado de matemáticas, y supervisó la modernización del edificio de la Facultad

de Matemáticas.

Figura 22. Universidad de Montana

De 1964 a 1972, Gloria fue profesora visitante de la A. M. S. y desde 1972 a 1975 estuvo en el Consejo Ejecutivo de la sociedad matemática Phi Mu Epsilon (ver Nota 6), habiendo sido miembro

también del comité encargado de elaborar las preguntas de la sección de matemáticas del Graduate

Record Exam, siendo Presidenta del mismo desde 1984 hasta 1986.

También estuvo durante cuatro años en el Comité de Desarrollo de Cálculo, ayudando a

desarrollar programas de estudio para los cursos de cálculo avanzado y a escribir los exámenes del Certificado ETS de Apreciación. Asimismo, formó parte de la Fundación Nacional de Ciencia, de la




Agencia Nacional de Seguridad y de la Academia Nacional de las Ciencias. Actualmente, sigue siendo

miembro de la Junta de Gobierno de la A. M. S.

Figura 23. Gloria Hewitt

En el ámbito social podría pensarse que Gloria, por ser la cuarta mujer afroamericana en recibir su doctorado en matemáticas, se habría tenido que enfrentar con muchos obstáculos raciales y de

género. Sin embargo, ella afirmó en una entrevista personal que no sentía que hubiese habido incidencias raciales en su carrera que la hubieran podido perjudicar. Así, en una entrevista personal

que le hicieron el 4 de noviembre de 1995, ella afirma al respecto que:

Algunos de mis compañeros graduados hicieron todo lo posible para

ayudarme y animarme. Ellos me incluyeron en la mayoría de sus actividades.

Sé que esta situación no era igual para muchos otros estudiantes negros de

Matemáticas, pero yo tuve la suerte de estar en el lugar correcto en el

momento adecuado.

De hecho, ella también afirmó en la misma entrevista que siempre tuvo éxito, no sólo en las

Matemáticas sino en cualquiera de las facetas de su vida:

En pocas palabras, mi vida en matemáticas ha estado, y sigue estando en gran

medida, recubierta de puertas abiertas. Yo siempre he aprovechado eso.

Hace algunos años, a finales del pasado siglo, Gloria Hewitt fue reconocida por su trabajo como profesora universitaria durante 38 años con el premio UM Academic Administrador en 1999 y fue

nominada para ser incluida como coautora en el libro Women in Mathematics en 1998. Este libro llegó

a ser presentado en el Instituto de Matemáticas de Pekín.

Figura 24. Portada del libro Women in Mathematics



Notas

1.- George Yuri Rainich, notable físico-matemático en los primeros años del siglo veinte, nacido en 1886, en

Odessa, dedicado fundamentalmente al estudio de la relatividad general.

2.- Marjorie Williams, profesora asociada de Astronomía de 33 años por aquel entonces, que trabajaba en

Collage Smith desde 1925.

3.- Phi Beta Kappa y Sigma Xi es una sociedad social y literaria, fundada en 1776 en el Colegio de William y

Mary y más tarde organizada como una sociedad honorífica en 1898, tras el establecimiento de estas

sociedades, la Tau Beta Phi para Ingeniería (1885), la Sigma Xi, de investigación científica (1886), y la Phi

Kappa Phi para todas las disciplinas (1897).

4.- Etta Falconer, nacida Etta Zuber Falconer en Tupelo (Mississippi) en 1931, de origen afroamericano, fue

alumna de Doctorado de Evelyn Boyd Granville en Fisk y obtuvo su doctorado en Matemáticas en esa universidad en 1965.

5.- Lee Lorch, 1915 - 2014) fue un matemático judío nacido en Nueva York, ciudad donde creció y se graduó,

gran activista en favor de los derechos civiles y comunista. Junto con su esposa, Grace Lonergan, se

involucró totalmente en la lucha por los derechos civiles mientras enseñaba en varias universidades para

personas negras, alentando a sus estudiantes a realizar estudios en Matemáticas. Fue director de las Tesis de

muchas personas de raza negra, hombres y mujeres, antes de mudarse a Toronto (Canadá), donde terminó su

carrera como Profesor Emérito de Matemáticas en la Universidad de York. Concretamente, en la Universidad

de Fisk fue el director de cuatro de las 5 primeras Tesis leídas en Matemáticas.

6.- Phi Mu Epsilon es una sociedad matemática de Estados Unidos, fundada en la Universidad de Syracuse el 25

de mayo de 1914, por el profesor Edward Drake Roe, Jr.

Bibliografía

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Monthly, 88(8) (October, 1981), 592-604.

[2] Kenschaft, Patricia, Mathematician of the African Diaspora. Ver en

http://www.csam.montclair.edu/~kenschaft [3] Notable Women in Mathematics, a Biographical Dictionary, edited by Charlene Morrow and Teri

Perl, Greenwood Press, 1998. pp 133–137.

[4] Falconer, Etta and Lorch, Lee, Vivienne Malone-Mayes: In Memoriam, AWM Newsletter, November-December, 1995, Volume 25, #6 (Recuperado de http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/mayes2.htm).

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(sobre Vivienne Malone). Recuperado el 10/11/2015.

Julia Alcántara Romero: nacida el 25 de septiembre de 1995 en Tomares (Sevilla). Actualmente es

alumna de tercer curso del Grado de Matemáticas en la Universidad de Sevilla. Colabora con el profesor

Núñez en trabajos de divulgación matemática y biografías de matemáticos.

E-mail: [email protected]

Juan Núñez Valdés: nacido en Sevilla en 1952, es Licenciado y Doctor en Matemáticas por la

Universidad de Sevilla, en la que trabaja actualmente como Profesor Titular del Dpto. de Geometría y

Topología, con sede en la Facultad de Matemáticas. Su principal línea de investigación son los grupos y álgebras de Lie, habiendo publicado varios artículos de investigación sobre los mismos en diferentes

revistas de impacto. Pertenece como vocal a la Junta Directiva de la Delegación Provincial de Sevilla de

la S.A.E.M. THALES, siendo autor de varias publicaciones sobre Matemáticas Recreativas y

Divulgativas, así como también sobre Historia de las Matemáticas. Dirección: Dpto de Geometría y

Topología. Facultad de Matemáticas. Universidad de Sevilla. Calle Tarfia s/n. 41012-Sevilla (España).


María del Carmen Camacho Núñez: nacida el 5 de febrero de 1995 en Bujalance (Córdoba).

Actualmente es alumna de tercer curso del Grado de Matemáticas en la Universidad de Sevilla. Colabora

con el profesor Núñez en trabajos de divulgación matemática y biografías de matemáticos.


http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Malone-Mayes.html


http://www.math.buffalo.edu/mad/PEEPS/hewitt_gloriac.html


http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/hewitt.htm


ISSN: 1887-1984




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El Álgebra no puede esperar

Javier Rodríguez González (Instituto de Enseñanza Secundaria de Ingenio. España)

Resumen Se trata de una experiencia realizada con alumnado de 15 años al que se le presenta el

bloque de álgebra con problemas de contexto próximo donde se resuelven ecuaciones de grado 1, de grado 2, algunas de grado 3 con todas las situaciones posibles en las que

pueden aparecer. El alumnado tendrá que preparar, además de dos pruebas escritas, una

exposición de problemas resueltos ante el grupo. También se introducen programas de

representación gráfica que agilizan la resolución gráfica de las ecuaciones.

Palabras clave Ecuaciones, álgebra, Geogebra, resolución de problemas, gráficas

Abstract This is an experience carried out with 15 years old students. The topic of algebra is

presented with problems in a real context, with 1st, 2nd and 3th degree equations

involved in it. Students will have to do two written tests and a exposition, in pair, where

some problems are solved in front of the group. Graphing programs will be used by

students trying to search the graphic resolution of the equations.

Keywords Equations, Algebra, Geogebra, solving problems, graph

1. Introducción y justificación

"El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se le pide."

D'Alembert

Esta experiencia se ha realizado en la opción A de las matemáticas de 4º ESO (15 años), a lo

largo de los cursos 2013-2014 y 2014-2015. Se intenta abordar la resolución de ecuaciones y su

aplicación en problemas de contexto real y por lo tanto más cercano al alumnado. Ya en el BOC de 7

de junio 2007 se sugiere:

“Estudiar el álgebra en situaciones significativas variadas (reconocimiento de

pautas numéricas, asociadas a elementos geométricos, en las que intervengan

magnitudes físicas, mediante métodos gráficos, de ensayo y error, con ayuda

de medios tecnológicos, etc.) para que el alumnado se dé cuenta de su

alcance, más allá de las típicas operaciones con polinomios”

En concreto, se trata de la realización de diferentes enunciados de problemas con ecuaciones

algebraicas. Aparecen ecuaciones de grado 1, de grado 2, algunas de grado 3 con todas las situaciones

posibles en las que pueden aparecer (ecuaciones completas, incompletas, con identidades notables, restringidas a determinados valores, ecuaciones por partes…). Se trata que el alumnado se familiarice

con los enunciados de problemas y que apliquen lo que saben, para ello trabajaremos individualmente,

por parejas y en gran grupo donde se realizarán las exposiciones del alumnado en la que tendrán que

explicar a sus compañeros las distintas resoluciones.


El Álgebra no puede esperar J. Rodríguez González


E

X

P

E

R

I

E N

C

I

A

S

D

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A

U

L

A

2. Objetivos

Los objetivos principales de esta experiencia están relacionados con el bloque de Álgebra y la

resolución de problemas en 4º ESO y se pueden resumir en estos cuatro apartados:

1. Obtener el valor numérico en fórmulas y ecuaciones presentadas en contextos diversos. 2. Resolver diferentes ecuaciones de forma gráfica y algebraica.

3. Resolver problemas cotidianos que además se relacionan con otras materias utilizando

ecuaciones de primer grado, de segundo grado. 4. Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo y error o a partir de métodos

gráficos con ayuda de los medios tecnológicos.

3. Características de la Experiencia. Fases

El material que sustenta la experiencia consiste en una selección de problemas que gira en torno a la resolución de ecuaciones y otros aspectos del bloque de contenidos de Álgebra. El proceso a

seguir se puede describir en cuatro fases que pasamos a detallar:

La PRIMERA fase es expositiva por parte del profesor, en dos o tres sesiones de trabajo se introducen

los contenidos necesarios partiendo de los conocimientos previos del alumnado. Se presentan ejemplos, se marca un guion de trabajo y los problemas que deberán realizar y posteriormente

exponer.

La SEGUNDA fase es la resolución de los problemas, por parte del alumnado, donde se aprovecha

para resolver dudas entre iguales y con el profesor. Con el alumnado distribuido en parejas deberán abordar los problemas que se le han asignado. El alumnado deberá trabajar con los problemas,

analizarlos, sacar los datos que sean más relevantes, aplicarlos a la ecuación correspondiente y

resolver esas ecuaciones, mayoritariamente de 1er y 2º grado. Además, tendrán que verificar las soluciones y presentárselas a sus compañeros.

La TERCERA fase es la exposición de los problemas que han resuelto en parejas. El alumnado

presentará, ante el grupo-clase, dichos problemas prestando atención a los contenidos del problema, la exposición, la explicación de las dudas que tengan los compañeros y el tiempo de resolución.

La CUARTA fase es la relacionada con las TIC y la resolución gráfica de diferentes ecuaciones

utilizando diversos programas informáticos.

Tabla 1




E X

P E

R I E

N C

I A S

D E

A U

L A

3.1. Primera y segunda sesión

Se explica con detenimiento en qué consiste la resolución de problemas y las partes de las que consta. Una vez terminada se hace un repaso de los contenidos y se empieza a resolver ecuaciones de

1º y 2º grado con todas las situaciones teóricas con las que se pueden encontrar. Algunos ejemplos de

ecuaciones con las que se pueden trabajar las mostramos en el ANEXO 1.

Las soluciones de las ecuaciones se calculan tanto de forma algebraica como utilizando programas tecnológicos como Winfun, GeoGebra, Wiris, etc… Incluso haciendo uso de programas

que no necesitan instalación y que se encuentran fácilmente en la red como el enlace que mostramos a

continuación:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/grafico-funciones.php

Dificultades encontradas: Algunos aspectos relevantes que debemos hacer constar respecto a estas dos sesiones son las dificultades que encontramos a la hora de resolver diferentes ecuaciones,

sobre todo de primer grado. Pasamos a describirlas.

- Quitar denominadores y continuar trabajando sólo con los numeradores.

- Sumar fracciones con diferentes denominadores sin sacar el mínimo común múltiplo. - No tener en cuenta el signo negativo delante de una expresión racional.

- El trabajo con los números racionales.

- Mal uso de las Identidades notables.

En algunos de estos casos se presenta un buen momento para hablarles de la relación que existe entre los números decimales y fraccionarios. También es fundamental la utilización de la aproximación, en casos determinados, para la resolución y la comprobación. Por ejemplo, si estamos

trabajando con la ecuación de la Figura 1, y ponemos la ecuación de la forma siguiente 0.5x+1–1=6

esto facilita enormemente su resolución.

Figura 1

3.2. Sesiones de tercera a cuarta

El alumnado se dispondrá en parejas y abordarán cinco de los problemas planteados que les

asignará el profesor. Esto garantiza que cada pareja trabaje con problemas de todos los tipos, con identidades notables, incompletas, etc… De esta manera, hay que observar que los grupos tienen

problemas que se repiten. Para la resolución de estos, tendrán dos sesiones de clase como máximo

(podrán realizar todas las preguntas oportunas en esas dos sesiones y se resolverán todas las dudas

planteadas).

En el ANEXO 2 se muestran la base de problemas con la que se trabaja y de los que cada pareja debe abordar 5. Es importante hacer notar que cada alumno tendrá que defender, en la exposición, un

problema de estos 5 y que le será asignado por el profesor.

Dificultades encontradas:

- Bloqueo inicial ante el problema: “No sé por dónde empezar”. En general, no están

acostumbrados a abordar problemas de este tipo con cierta autonomía.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/grafico-funciones.php



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- No identificar la ecuación con la que hay que trabajar.

- Sustituir la variable correcta por el valor correspondiente. - Dificultades a la hora de despejar ecuaciones de 1º grado.

- Aplicación de las soluciones de la ecuación de 2º grado.

3.3. Sesiones de quinta a novena

Cada pareja expone el problema que se le ha asignado ante el grupo-clase y responde a todas las preguntas y dudas que surjan. Para ello dispone de 10 minutos a 15 minutos (según dificultad) y debe

realizar la explicación sin ningún recurso escrito.

Imagen 1


- El alumnado que por timidez o falta de trabajo se niega a exponer el problema.

- La falta de estrategias propias de la exposición oral: tono de voz, lenguaje corporal, control del

tiempo, etc. Realmente también tenemos que decir en este aparatado, que la experiencia a lo

largo de las sesiones hace que vayan mejorando considerablemente las exposiciones.

Imagen 2




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3.4. Décima sesión

Resolución de diferentes ecuaciones por el método gráfico y con la ayuda de diversos

programas informáticos como Winfun, GeoGebra, etc...

Desde el aula medusa de informática empezamos a estudiar cómo resolver las ecuaciones

mediante determinados programas informáticos, Instalamos el programa winfun y explicamos su

funcionamiento (además nos servirá para representación de funciones). Mostremos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Queremos calcular las soluciones de la ecuación x2+2x+1=4.

En la ventana Entrada de datos escribimos los dos miembros de la ecuación y obtenemos gráficamente las soluciones x=-3 ; x=1 de la ecuación.

Figura 2

Ejemplo 2: Otros ejemplos utilizando la web http://www.disfrutalasmatematicas.com y resolviendo la

siguientes ecuaciones:

Figura 3

http://www.disfrutalasmatematicas.com/



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3.5. Decimoprimera y decimosegunda sesión

Después de explicar el funcionamiento de los diferentes programas y las explicaciones

correspondientes de cuáles son las soluciones empezamos a trabajar con las ecuaciones que se encuentran en el ANEXO 5. Utilizando el aula de informática tenemos que verificar si las soluciones

de las diferentes ecuaciones que aparecen son verdaderas. En la gráfica no salen las soluciones

numéricas, para ello nosotros tendremos que calcular las raíces y realizar las diferentes operaciones para contrastar con la gráfica mostrada. También hay que tener en cuenta que el programa no da la

solución como raíz sino como un nº decimal aproximado, es por ello que el alumnado debe calcular y

resolver estas operaciones dadas en la solución para saber si son ciertas. Por ejemplo en la ecuación 6

de la Figura 4.

Figura 4


La mayor dificultad es a la hora de expresar la solución.

- Algunos alumnos, después de encontrar el punto de corte, es decir, la solución visual, no son

capaces de buscar su coordenada de abscisas (eje OX).

- Otros eligen el valor del eje de ordenadas (eje OY) como solución.

Realmente estas dificultades no se presentan en la mayoría del alumnado y creemos que se

deben a falta de concentración. Las dos últimas sesiones están relacionadas con las pruebas escritas,

una de resolución de problemas escritos y otra en resolución de problemas gráficos.

Imagen 3




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4. Evaluación

Antes de hablar de la calificación de la actividad recordemos el criterio de evaluación sobre el

que estamos incidiendo. Criterio de evaluación 3 de 4º ESO Opción A. (BOC de 7 de junio 2007)

Resolver problemas de la vida cotidiana utilizando métodos numéricos,

gráficos o algebraicos, cuando se basen en la utilización de fórmulas conocidas

o en el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer o de segundo

grado, o de sistemas sencillos de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Se trata de confirmar si el alumnado ha desarrollado la capacidad de comprender la

situación planteada en un problema, descubriendo regularidades, pautas y relaciones, aplicar las técnicas de manipulación de expresiones literales, utilizar

algún método para encontrar la solución y contrastar el resultado obtenido con la

situación de partida. El método algebraico no se plantea como el único método de resolución y se combina también con otros métodos numéricos y gráficos y

mediante el uso adecuado de las tecnologías de la información.

Para la evaluación, tenemos en cuenta la exposición con un 30% de la nota, la resolución de forma gráfica de las ecuaciones con un 20% (Anexo 4) y una prueba escrita e individual de resolución

de problemas con un 50% (Anexo 3).

Tabla 2

En el caso de la exposición, mostramos a continuación una idea de los ítems que podemos valorar. Esta puntuación se va realizando mientras el alumnado está exponiendo el problema. Hay que

tener en cuenta que hay casillas que no son puntuadas siempre, la puntuación final será la media (hay

que tener en cuenta que, [0,1) insuficiente, [1,2) (suficiente, bien) [2,3] (notable, sobresaliente])

Tabla 3



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5. Conclusiones

Es indudable que tener que explicar verbalmente un problema ayuda en el proceso de aprendizaje de esta materia, es decir, ayuda a entender. En el caso de la resolución de problemas, es

primordial verbalizar el proceso seguido y compartir este con los compañeros y compañeras. Para que

todo esto se produzca es necesario incluir la realización de exposiciones orales como instrumento de

evaluación que complementen las pruebas escritas.

Figura 5

Lo que ha quedado patente en esta experiencia es que el alumnado se ha sentido involucrado en

el proceso de resolución de problemas, compartiendo sus ideas, asumiendo el error como parte del

aprendizaje y generando en él la confianza necesaria para abordar esta parte del temario.

En cualquier caso, para que se produzca este aprendizaje hay que trabajar mucho las dinámicas de aula ya que el alumnado normalmente no está acostumbrado a realizar exposiciones y compartir sus

reflexiones. Sin embargo, hemos observado que, aunque al principio les cuesta entender que deben

hacer, con el paso de los minutos y las sesiones van perdiendo el miedo a hablar, a equivocarse y

superan, en la mayoría de los casos, esta primera fase de bloqueo.

Para terminar, volvemos al currículo (BOC de 7 de junio 2007) que nos recuerda:

“Las estrategias generales y técnicas simples de resolución de problemas, la

perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a estos, la confianza

en las propias capacidades para afrontarlos, y en las propias capacidades para

resolverlos, el reconocimiento de lo aprendido y de lo que falta por aprender,

contenidos íntimamente ligados a la construcción del pensamiento

matemático”

Bibliografía

Proyecto Azarquiel, (2000). Matemáticas 4º ESO. Ediciones de la Torre Problemas PAU Gobieno de Canarias. Recuperado el 15 de diciembre de 2015, de

www.gobcan.es/educación/general/pwv/scripts/materias.asp

http://www.gobcan.es/educación/general/pwv/scripts/materias.asp




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Anexos

Anexo 1:

https://www.dropbox.com/s/awxlc2ofthz5vrd/Ecuaciones%20de%201er%20y%202%C2%B

A%20grado%20iniciales1.pdf?dl=0

Anexo 2:

https://www.dropbox.com/s/1qk4hi28g0cakrr/problemas%20propuestos.pdf?dl=0 Anexo 3:

https://www.dropbox.com/s/zmsofn0pfpleo2k/prueba%20de%20problemas%20de%20%C3%

A1lgebra1.pdf?dl=0 Anexo 4:

https://www.dropbox.com/s/c2dr2rnrt7ayy06/prueba%20de%20resoluci%C3%B3n%20gr%C3%A1fica.pdf?dl=0

Anexo 5:

https://www.dropbox.com/s/tkbpif3amrn53ec/Resoluci%C3%B3n%20de%20ecuaciones%20en%20geogebra.pdf?dl=0

En estos enlaces mostramos materiales usados en la experiencia.

http://www.disfrutalasmatematicas.com

http://www.geogebra.org/

Javier Rodríguez González, IES Ingenio, Las Palmas. Profesor de Enseñanza Secundaria

(Matemáticas)


https://www.dropbox.com/s/zmsofn0pfpleo2k/prueba%20de%20problemas%20de%20%C3%A1lgebra1.pdf?dl=0


https://www.dropbox.com/s/1qk4hi28g0cakrr/problemas%20propuestos.pdf?dl=0


https://www.dropbox.com/s/awxlc2ofthz5vrd/Ecuaciones%20de%201er%20y%202%C2%BA%20grado%20iniciales1.pdf?dl=0


http://www.disfrutalasmatematicas.com/

https://www.dropbox.com/s/awxlc2ofthz5vrd/Ecuaciones%20de%201er%20y%202%C2%BA%20grado%20iniciales1.pdf?dl=0

https://www.dropbox.com/s/zmsofn0pfpleo2k/prueba%20de%20problemas%20de%20%C3%A1lgebra1.pdf?dl=0


ISSN: 1887-1984




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Demostraciones geométricas automáticas en GeoGebra

Carlos Ueno Jacue (Kodály Zoltán Gimnázium, Pécs, Hungría)

Fecha de recepción: 12/10/2016

Fecha de aceptación: 25/10/2016

Resumen En este artículo describimos algunos fundamentos sobre los que se basa la capacidad que

tienen muchos programas actuales de software matemático para demostrar enunciados

geométricos, y explicamos cómo hacer uso de este recurso en las últimas versiones de

GeoGebra.

Palabras clave Geometría plana, GeoGebra, Demostración geométrica, Demostración automática,

Método de Recio.

Title Automatic geometric proofs in GeoGebra.

Abstract In this article we describe some basic facts concerning the ability that many mathematical

software packages currently have to prove automatically geometric statements. We also

explain how to use this feature in the new versions of GeoGebra.

Keywords Plane Geometry, GeoGebra, Geometric proof, Automatic proof, Recio’s method.

“¿Qué bien buscamos? Ciertamente no se trata de introducir a los estudiantes una colección de más o menos ingeniosos teoremas sobre bisectrices de ángulos de un

triángulo o sobre la secuencia de los números primos, sino más bien de enseñarles a

ordenar y a enlazar sus pensamientos de acuerdo con los métodos que los matemáticos habitualmente usan, porque reconocemos en este ejercicio un modo de

desarrollar una mente clara y un juicio excelente. Es el método matemático el que

debería ser el objetivo de nuestra enseñanza, siendo los temas a tratar tan sólo

ilustraciones bien escogidas del mismo.”

Jean Dieudonne

1. Introducción

Hasta hace no mucho tiempo entre los matemáticos existía la opinión generalizada de que los

ordenadores podían servir de herramienta para realizar con mayor rapidez y exactitud los cálculos que

necesitaban a la hora de desarrollar su trabajo, pero que, en lo que a demostraciones matemáticas se

refiere, el papel fundamental seguiría recayendo siempre en el ser humano, nunca en la máquina.

Sin embargo, desde finales del siglo XX el papel de los ordenadores ha ido cobrando una mayor

presencia en el proceso de completar demostraciones matemáticas. No quiere decir esto que hayan ya


Demostraciones geométricas automáticas en GeoGebra C. Ueno Jacue


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sustituido la labor del matemático profesional, pero se han convertido en parte indispensable del proceso demostrativo. Como ejemplos muy conocidos, podemos citar la demostración del Teorema de

los 4 colores o la Conjetura de Kepler, esta última recientemente confirmada gracias a los

denominados “formal proof assistants”. En (Recio 2001) se ofrecen interesantes reflexiones sobre el papel que la demostración matemática tiene a distintos niveles (escolar, social, universitario), y sobre

cómo ha evolucionado a lo largo del tiempo, incluyendo el nuevo papel que las máquinas ya están

jugando en el presente y cómo pueden alterar nuestra perspectiva de cara al futuro.

Si nos centramos en el campo de la demostración geométrica, uno de los avances fundamentales en el diseño de demostradores geométricos automáticos se debe a Wu Wen Tsun, que en 1978 publica

un método para mecanizar las demostraciones que aparecen en la Geometría Elemental. Este método

es de carácter fundamentalmente algebraico, y posteriormente ha dado pie a nuevas técnicas que han

comenzado a implementarse en diversos paquetes de software matemático que existen hoy en el

mercado.

A esta posibilidad de hacer demostraciones automáticas no escapa el software GeoGebra

(Botana et al. 2015), que en sus últimas versiones incluye comandos para comprobar si una afirmación

geométrica es verdadera o falsa. En este artículo haremos una presentación elemental de los fundamentos algebraicos en los que se basan las demostraciones geométricas automáticas, para a

continuación mostrar la capacidad que tiene GeoGebra de comprobar la veracidad de proposiciones

geométricas.

2. Métodos algebraicos de demostración geométrica

Debemos a Descartes la identificación del plano con pares de números reales que representan

las coordenadas de cada punto del mismo. Este método de la Geometría Analítica permitió el

tratamiento aritmético y algebraico de los problemas que aparecían en la Geometría Euclídea,

aportando una fructífera relación entre Aritmética, Álgebra y Geometría. La demostración algebraica de teoremas geométricos se fundamenta en esta ya vieja idea, si bien aderezada con las aportaciones

posteriores del Álgebra Conmutativa y de la Geometría Algebraica, así como con la aparición de los

ordenadores y los algoritmos computacionales. En este apartado damos las ideas básicas que están

detrás del procedimiento algebraico para automatizar la demostración de un teorema geométrico.

Para ello, lo mejor que podemos hacer es utilizar un ejemplo que nos permita seguir mejor los

argumentos. Pero antes de nada recordemos un par de ideas matemáticas básicas que necesitaremos en

nuestro desarrollo:

1) La ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃(𝑎1, 𝑏1), 𝑄(𝑎2, 𝑏2) puede expresarse de la

siguiente manera:

𝑦−𝑏1

𝑥−𝑎1=

𝑏2−𝑏1

𝑎2−𝑎1 ⇒ (𝑎2 − 𝑎1)(𝑦 − 𝑏1) − (𝑏2 − 𝑏1)(𝑥 − 𝑎1) = 0.

2) Las coordenadas del punto de intersección de las rectas (asumimos que no son paralelas) de

ecuaciones

𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 = 𝐶1

𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 = 𝐶2




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A

se pueden expresar así:

𝑥 =𝐶1𝐵2 − 𝐶2𝐵1𝐴1𝐵2 − 𝐴2𝐵1

𝑦 =−𝐶1𝐴2 + 𝐶2𝐴1𝐴1𝐵2 − 𝐴2𝐵1

Procedemos a enunciar ahora el Teorema que nos servirá de ejemplo para ver cómo un

enunciado geométrico se puede describir de forma puramente algebraica.

Teorema: Las medianas de un triángulo 𝐴𝐵𝐶 se intersecan en un mismo punto 𝐺.

Imagen 1. Un triángulo y sus medianas.

En la imagen 1 se describe la situación, para la que hemos elegido coordenadas adecuadas para

minimizar la cantidad de variables libres que va a tener nuestra construcción (en particular,

aprovechamos implícitamente la invarianza de la construcción por semejanza). Consideramos así que

hemos situado el triángulo 𝐴𝐵𝐶 de modo que las coordenadas respectivas de los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶son (𝑢1, 0), (𝑢2, 0) y (0,1). Las variables 𝑢1 , 𝑢2 pueden tomar cualquier valor real; decimos que son

nuestras variables independientes. Los puntos y elementos geométricos que vamos a construir a partir

de ellos dependen de 𝐴, 𝐵, 𝐶, y las coordenadas que iremos introduciendo, y que representaremos

mediante las variables 𝑥1, 𝑥2, . .. se podrán expresar en términos de 𝑢1 y 𝑢2.

Empezaremos considerando los puntos medios de los segmentos 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 y 𝐴𝐵, que llamaremos

respectivamente 𝐷(𝑥1, 𝑥2), 𝐸(𝑥3, 𝑥4) y 𝐹(𝑥5, 𝑥6). Es fácil comprobar que las coordenadas de estos

puntos deben satisfacer las siguientes relaciones:

𝑝1(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = −𝑢22+ 𝑥1 = 0

𝑝2(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = −1

2+ 𝑥2 = 0



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O

G

E

O

G

E

B

R

A

𝑝3(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = −𝑢12+ 𝑥3 = 0

𝑝4(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = −1

2+ 𝑥4 = 0

𝑝5(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = −𝑢1 + 𝑢2

2+ 𝑥5 = 0

𝑝6(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = 𝑥6 = 0

Estas ecuaciones se pueden considerar las hipótesis de nuestro teorema. Ahora nos preocupamos

por obtener las ecuaciones de las medianas 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹:

𝐴𝐷: (𝑥1 − 𝑢1)𝑦 = 𝑥2(𝑥 − 𝑢1)

𝐵𝐸: (𝑥3 − 𝑢2)𝑦 = 𝑥4(𝑥 − 𝑢2)

𝐶𝐹: 𝑥5(𝑦 − 1) = (𝑥6 − 1)𝑥

Una forma de demostrar que las tres medianas se cortan en un punto se puede obtener

comprobando que el punto de intersección 𝑀 de las rectas 𝐴𝐷 y 𝐵𝐸 está contenido en la recta 𝐶𝐹. Si

calculamos las coordenadas de 𝑀 obtenemos

(−𝑢1𝑥2𝑥3+𝑢2𝑥1𝑥4+𝑢1𝑢2(𝑥2−𝑥4)

−𝑢1𝑥4+𝑢2𝑥2+𝑥1𝑥4−𝑥2𝑥3,

−𝑢1𝑥2𝑥4+𝑢2𝑥2𝑥4

−𝑢1𝑥4+𝑢2𝑥2+𝑥1𝑥4−𝑥2𝑥3) ≡ (

𝑚𝑥(𝑢𝑖,𝑥𝑗)

𝑛(𝑢𝑖,𝑥𝑗),𝑚𝑦(𝑢𝑖,𝑥𝑗)

𝑛(𝑢𝑖,𝑥𝑗))

Ahora queremos que las coordenadas del punto 𝑀 satisfagan la ecuación de la recta 𝐶𝐹, de

donde obtenemos la relación polinómica

𝑞(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) ≡ 𝑥₅ (𝑚𝑦(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) − 𝑛(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗)) − (𝑥₆ − 1)𝑚𝑥(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = 0

En otras palabras: A partir de las condiciones dadas por las ecuaciones de las hipótesis debemos

deducir que el polinomio conclusión 𝑞(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) se anula. Simbólicamente podemos escribir que lo que

queremos demostrar es:

Si 𝑝1(𝑢𝑖, 𝑥𝑗) = 𝑝2(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) =. . . = 𝑝6(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = 0, entonces 𝑞(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = 0.

Como puede observar el lector, siguiendo una argumentación de tipo cartesiano hemos

convertido un teorema de geometría en una afirmación completamente algebraica. Sin embargo, hemos olvidado tener en cuenta algunas condiciones para que nuestro nuevo planteamiento algebraico

sea completamente correcto. Al inicio hemos considerado 𝑢1, 𝑢2 como variables libres que nos

permitían construir un triángulo arbitrario 𝐴𝐵𝐶. Pero para que este triángulo pueda considerarse como

tal debemos evitar que coincidan los vértices 𝐴 y 𝐵. Y esto se puede conseguir si consideramos 𝑢1 ≠𝑢2 (condición de no-degeneración). Por tanto, nuestro teorema en realidad lo que afirma es lo

siguiente:

Si 𝑢1 − 𝑢2 ≠ 0 y 𝑝1(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) =. . . = 𝑝6(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = 0, entonces 𝑞(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = 0.




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Dicho de otro modo: asumiendo que 𝑢1 ≠ 𝑢2, siempre que los polinomios 𝑝𝑘(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) que

aparecen en las hipótesis se anulen debe deducirse que el polinomio conclusión 𝑞(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) también se

anula. Ahora entran en juego las potentes herramientas del álgebra, que nos permiten afirmar que esto

sucede si podemos encontrar un polinomio 𝑑(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) que no se anula cuando 𝑢1 ≠ 𝑢2, y polinomios

ℎ𝑘(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) que satisfagan la igualdad

𝑑(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗)𝑞(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = ℎ1(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗)𝑝1(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) + ⋯+ ℎ6(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗)𝑝6(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗).

Nótese que, efectivamente, si los polinomios 𝑝𝑖 se anulan y se cumple la condición de no-

degeneración 𝑢₁ ≠ 𝑢₂, entonces necesariamente 𝑞 debe anularse. Las condiciones de no-degeneración

están relacionadas con el polinomio 𝑑, y suponen una de las dificultades inherentes a los métodos

automáticos de demostración geométrica. Evidentemente, resulta difícil para un ser humano trabajar

con tantas variables y polinomios para poder establecer si es posible o no encontrar estas expresiones;

y aquí entra en juego la potencia computacional de los ordenadores actuales, que mediante los algoritmos algebraicos adecuados pueden decidir en poco tiempo si, efectivamente, la conclusión que

demostrar “a mano” (Wu 1994). No entraremos aquí en los detalles técnicos del método de Wu, pero

en la literatura pueden encontrarse artículos (Elias 2006, Shang-Ching 1988) que ofrecen una introducción razonablemente accesible a las matemáticas que hay detrás del mismo. Para el lector

curioso, a continuación detallamos los polinomios 𝑑(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) y ℎ𝑘(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) que satisfacen la igualdad

anterior en nuestro ejemplo de estudio sobre el triángulo y sus medianas:

𝑑(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = 1

ℎ1(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = −1

4𝑢1 +

1

4𝑢2

ℎ2(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = −1

2𝑢12 −

1

4𝑢22 +

3

4𝑢1𝑢2

ℎ3(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = −1

2𝑢1𝑥2 +

1

2𝑢2𝑥2

ℎ4(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = −1

2𝑢12𝑥2 +

1

2𝑢22𝑥2 +

1

2𝑢12 −

1

2𝑢1𝑢2 −

1

2𝑢1𝑥1 +

1

2𝑢2𝑥1

ℎ5(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = −𝑢1𝑥2𝑥4 + 𝑢2𝑥2𝑥4 + 𝑢1𝑥4 − 𝑢2𝑥2 − 𝑥1𝑥4 + 𝑥2𝑥3

ℎ6(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = −𝑢1𝑢2𝑥2 + 𝑢1𝑢2𝑥4 + 𝑢1𝑥2𝑥3 − 𝑢2𝑥1𝑥4

En la siguiente sección veremos una aproximación algo diferente a la demostración automática en Geometría, interesante entre otras razones porque se ha implementado eficazmente en las últimas

versiones de GeoGebra.

3. El método de Recio

El método de Recio se caracteriza por su rapidez de ejecución, y es uno de los que GeoGebra utiliza a la hora de establecer la veracidad de una afirmación geométrica (Kovács et al. 2012). Se basa



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G

E

O

G

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A

fundamentalmente en el Teorema de Bezout (para curvas algebraicas reales), que describimos

someramente a continuación.

Un resultado bien conocido al hablar de funciones polinómicas con coeficientes reales es el

siguiente:

Teorema: Si 𝑝(𝑥) es un polinomio no nulo de grado 𝑛, entonces la función 𝑦 = 𝑝(𝑥) puede

tener a lo sumo 𝑛 raíces reales.

Este teorema podría enunciarse también de la siguiente forma:

Teorema: Si 𝑝(𝑥) es un polinomio no nulo de grado 𝑛, entonces la intersección del eje 𝑋 y la

curva 𝑦 = 𝑝(𝑥) tiene como mucho 𝑛 puntos de intersección distintos.

Y el lector puede demostrar que esta afirmación se mantiene cierta si pensamos en la

intersección de 𝑦 = 𝑝(𝑥) con cualquier otra recta (¡que no coincida con la curva!) del plano, cuya

ecuación siempre viene dada por una ecuación de grado 1. Si ahora consideramos la intersección de

dos cónicas distintas, es decir, de dos curvas dadas por ecuaciones polinómicas de grado dos, tras estudiar las diversas posiciones que pueden ocupar en el plano llegamos a la conclusión de que el

número de sus puntos de intersección nunca puede exceder de 4 = 2 × 2. Así, tenemos que:

Una recta de grado 1 y una curva de grado n se intersecan como mucho en 1 × 𝑛 = 𝑛 puntos.

Dos curvas de grado 2 se cortan como mucho en 2 × 2 = 4 puntos.

Estas afirmaciones que pueden demostrarse de manera elemental corresponden en realidad a

casos concretos del Teorema de Bezout. Primero establezcamos algunas definiciones básicas. Una

curva algebraica real es el conjunto de soluciones reales de una ecuación polinómica 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0. Si

esta curva no se puede expresar como unión de dos curvas algebraicas del plano distintas entre si

decimos que es irreducible. Es un resultado importante en geometría algebraica que toda curva

algebraica se puede expresar de modo único como una unión finita de curvas irreducibles, que podemos denominar sus componentes. Podemos ahora enunciar el Teorema de Bezout de la siguiente

forma:

Teorema de Bezout: Dos curvas algebraicas reales de grados m y n sin componentes

irreducibles comunes se cortan como mucho en 𝑚× 𝑛 puntos distintos.

En particular, si una de las curvas es una recta tendremos entonces que una curva algebraica de

grado 𝑚 y una recta no contenida en ella pueden intersecarse como mucho en 𝑚 puntos distintos.

La astucia del método de Recio para demostrar un teorema geométrico consiste ahora en lo siguiente: Supongamos que hemos expresado de forma algebraica el teorema geométrico que

queremos demostrar, y que requiere de dos variables independientes 𝑢₁, 𝑢₂ y de variables dependientes

𝑥₁, … , 𝑥𝑘, Como ya hemos visto en la sección anterior, este teorema tendrá la forma

Si 𝑑(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) ≠ 0 y 𝑝1(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) =. . . = 𝑝𝑛(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = 0, entonces 𝑞(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) = 0.

Consideremos ahora el espacio de todos los valores (𝑢1, 𝑢2) de las variables independientes del

teorema geométrico que queremos demostrar. Como las variables 𝑥𝑗 son dependientes de las variables

independientes 𝑢𝑖, el polinomio conclusión 𝑞(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) puede en principio expresarse exclusivamente

mediante estas variables independientes, y si lo hiciéramos así lo que nos gustaría demostrar es que, al




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B R

A

simplificarlo completamente, dicho polinomio es en realidad 0. Dicho en otras palabras: La conclusión

siempre se satisface para cualesquiera valores iniciales fijados de las variables (𝑢1 , 𝑢2) (aquí debemos descartar los puntos que pertenecen a condiciones de degeneración del teorema). El problema es que el

proceso de simplificación del polinomio conclusión para determinar si efectivamente es nulo puede ser

costoso desde el punto de vista del tiempo necesario para efectuar algorítmicamente las

comprobaciones necesarias. Más costoso que, por ejemplo, sustituir los 𝑢𝑖 por valores concretos,

calcular después los valores de las variables dependientes asociadas, y comprobar si para estos valores

concretos de todas las variables en juego el polinomio conclusión se anula. Y Recio hace la siguiente

observación, que se deduce del Teorema de Bezout:

Si elegimos adecuadamente un número finito de puntos (𝑢1 , 𝑢2) en el espacio de variables

independientes y al evaluar el polinomio 𝑞(𝑢𝑖 , 𝑥𝑗) obtenemos 0, entonces necesariamente el polinomio

debe ser el polinomio nulo.

El número de puntos necesario depende del grado del polinomio conclusión. Sigamos con un

poco más de detalle el razonamiento que hay detrás de la idea de Recio. El polinomio conclusión 𝑞, si

no es idénticamente nulo, puede asociarse a una curva algebraica de grado 𝑚. Si elegimos 𝑚+ 1

puntos distintos (no degenerados), todos sobre una recta de ecuación 𝑙1(𝑢1, 𝑢2) = 0, y el polinomio se

anula en todos ellos, entonces por el Teorema de Bezout la curva debe contener a toda la recta 𝑙1, que

pasa a ser una de sus componentes, y esto quiere decir que 𝑞 se puede factorizar de modo que 𝑞 =𝑙1𝑞1, donde el grado de 𝑞1 será menor que el de 𝑞 en una unidad. Si realizamos este proceso sobre

𝑚+ 1 rectas diferentes y siempre obtenemos que la evaluación de 𝑞 sobre cada una de ellas es cero,

deberíamos concluir que las ecuaciones de las 𝑚+ 1 rectas dividen a 𝑞, que tan sólo tiene grado 𝑚.

Entramos así en contradicción y el polinomio inicial 𝑚 es en realidad el polinomio nulo, y esto

equivale a afirmar que la conclusión se deduce de las hipótesis del teorema, con lo que podemos

concluir su validez. El método de Recio puede generalizarse a problemas que requieran de un número

de variables independientes (𝑢1, 𝑢2 , … , 𝑢𝑛) mayor a 2.

4. Demostraciones automáticas en GeoGebra

El método de Recio es tan sólo uno de los métodos (Recio, Botana, Puresymbolic,

OpenGeoProver, GeoProver) de demostración automática que las nuevas versiones de GeoGebra incorporan entre sus nuevas funcionalidades, y que son implementaciones que se basan en los métodos

algebraicos ya comentados anteriormente o en algunas de sus variantes.

Los comandos principales que permiten interactuar con estos demostradores automáticos

incluidos en GeoGebra son los siguientes:

Comprueba[<proposición>]

Cuando se utiliza este comando, la respuesta de GeoGebra puede ser “true” (verdadero), “false”

(falso) o “indefinido” (GeoGebra no es capaz de asegurar la veracidad o falsedad de la expresión). Esta respuesta no incorpora los posibles casos de degeneración que pueden darse al realizar la

construcción, y viene a indicar si, salvo casos muy específicos en la configuración geométrica con la

que se está trabajando, la afirmación geométrica se puede considerar verdadera.

CompruebaDetallles[<proposición>]

El comando CompruebaDetalles es más preciso que el anterior. Cuando se utiliza, el comando

responde con una lista cuyo primer término indica si puede considerarse verdadera o falsa la



M

U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

afirmación geométrica en términos generales, para a continuación listar las condiciones de degeneración que provocan que la veracidad del teorema falle. Si el comando tan sólo devuelve la

expresión {} es que no ha podido extraer ninguna conclusión y la respuesta es equivalente a

“indefinido”. Estas condiciones de degeneración tienen un interés intrínseco, porque ayudan a comprender mejor, cuando se enfrenta a GeoGebra con una conjetura geométrica, cuáles son las

condiciones que se deben satisfacer para que dicha conjetura sea verdadera, y se pueden convertir

incluso en asistentes para el establecimiento de nuevos teoremas geométricos.

La <proposición> a demostrar puede expresarse, entre otras, de las siguientes formas:

SonIguales[] (A==B)

SonParalelos[] (A║B)

SonPerpendiculares[] (A ┴ B)

EstánAlineados[]

SonCocíclicos[]

SonConcurrentes[]

Igualdades entre expresiones numéricas

Debemos sin embargo hacer notar aquí que para que GeoGebra pueda aplicar sus métodos de

demostración las construcciones deben realizarse con cierto cuidado, y los teoremas que pueden ser demostrados deben poder traducirse al lenguaje de los polinomios (cosa que no siempre es posible). Es

difícil describir exactamente en este contexto a qué nos referimos al decir “con cierto cuidado”. Para

ver un sencillo ejemplo de cómo las respuestas de GeoGebra pueden diferir en función de las construcciones que se emplean, el lector puede comprobar que si utilizamos la herramienta “Polígono

Regular” para construir un cuadrado, GeoGebra es incapaz de demostrar que las rectas que contienen

dos de sus lados opuestos son paralelas, mientras que si realizamos una construcción a partir de las

herramientas más básicas como “Crear segmento”, “Recta”, “Recta perpendicular”, “Circunferencia (centro, punto)” e “Intersección” entonces el comando “Comprueba” sí puede conseguir su objetivo

(ver imágenes 2 y 3).

Imagen 2. Cuadrado construido con “Polígono regular”




M U

N D

O G

E O

G E

B R

A

Imagen 3. Cuadrado construido con herramientas básicas

En general, la regla de oro a seguir consistiría en realizar construcciones que utilicen las

herramientas más básicas de la manera más económica posible, entendiendo por básicas las que se corresponden con el tipo de construcciones elementales que pueden realizarse con una regla y un

compás. Entre ellas, podemos citar las siguientes:

Unir dos puntos mediante una recta o segmento.

Trazar la recta paralela a otra que pasa por un punto.

Trazar la recta perpendicular a otra que pasa por un punto.

Hallar la intersección entre dos rectas, dos circunferencias o una recta y una circunferencia.

Trazar la circunferencia con centro en un punto que pasa por otro.

5. Propuestas

A continuación, proponemos las siguientes actividades para que el lector interesado pueda

comprobar si los comandos Comprueba y CompruebaDetalles de GeoGebra pueden afrontar con éxito la demostración automática de algunos teoremas y problemas habituales en la geometría euclídea del

plano.

Propuesta 1: Demostrar que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera

ABCD forman un paralelogramo.

Propuesta 2: Una circunferencia está inscrita en un trapecio 𝐴𝐵𝐶𝐷 de lados paralelos 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶.

La circunferencia es tangente a los lados 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 en 𝐾 y 𝐿 respectivamente, y a las bases 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶 en

𝑀 y 𝑁 respectivamente. Si 𝑄 es el punto de intersección de los segmentos 𝐵𝑀 y 𝐴𝑁, demuestra que

𝐾𝑄 es paralelo a 𝐴𝐷.

Propuesta 3: En el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 se trazan dos rectas 𝑙1 y 𝑙2 que pasan por el vértice 𝐴. Estas

rectas intersecan los lados del cuadrado. Se trazan ahora rectas perpendiculares 𝐵𝐵1, 𝐵𝐵2, 𝐶𝐶1 y 𝐶𝐶2 a

estas rectas. Demostrar que los segmentos 𝐵1𝐵2 y 𝐶1𝐶2 son perpendiculares.

Propuesta 4: Demostrar que el ortocentro, el baricentro y el circunscentro de un triángulo 𝐴𝐵𝐶

siempre están lineados.



M

U

N

D

O

G

E

O

G

E

B

R

A

6. Reflexiones finales

La posibilidad de demostrar teoremas automáticamente, sin la necesidad de que el ser humano

deba ser partícipe del proceso demostrativo, nos invita a plantearnos cuestiones interesantes sobre el

papel que las demostraciones matemáticas deben jugar en la formación básica de nuestros jóvenes. Empezamos ahora a encontrarnos en una situación semejante al momento en el que la aparición y

popularización de las calculadoras hicieron cuestionarnos la necesidad de la enseñanza de los

algoritmos tradicionales de cálculo en las escuelas. El debate sobre la necesidad de dominar estas

destrezas básicas sigue siendo intenso y sin acuerdo definitivo. Ahora, con el progreso de las tecnologías digitales y la capacidad demostrativa que las máquinas empiezan a tener, hay cabida para

la siguiente pregunta: ¿Hasta qué punto, con qué profundidad y con qué intensidad los métodos de

demostración matemáticos deben estar presentes en los currículos de Matemáticas de nuestro sistema educativo? Es posible que esta pregunta abra un nuevo debate en el panorama de la educación

matemática del que, previsiblemente, no será fácil extraer puntos comunes de acuerdo.

Bibliografía

Botana, F., Hohenwarter, M. et al. (2015). Automated Theorem Proving in GeoGebra: Current Achievements. Journal of Automated Reasoning 55, 39–59.

Elias, J. (2006). Automated Geometric Theorem Proving: Wu’s Method. The Montana Mathematics

Enthusiast, 3(1), 3-50. Kovács Z, Recio, T. & Weitzhofer, S. (2012). Implementing theorem proving in GeoGebra by exact

check of a statement in a bounded number of test cases. Libro de Resúmenes del XIII Encuentro de

Álgebra Computacional y Aplicaciones: EACA2012, 123-126.

Recio, T (2001). La mecánica de la demostración y la demostración mecánica. Presentación en X

JAEM (Zaragoza, 7-9 de septiembre de 2001).

Shang-Ching C. (1988). An Introduction to Wu's Method for Mechanical Theorem Proving in

Geometry, Journal of Automated Reasoning 4, 237-267. Wu, W.T. (1994). Mechanical Theorem Proving in Geometries. Texts ans Monographs in Symbolic

Computation, Springer-Verlag, Wien.

Carlos Ueno Jacue.. Profesor de Matemáticas en el Kodály Zoltán Gimnázium de Pécs (Hungría)

durante el curso escolar 2016/17. Es Doctor en Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid y

su campo de investigación principal está relacionado con el estudio de las imágenes de aplicaciones

polinómicas entre espacios euclídeos.


Marcador





ISSN: 1887-1984


P R

O B

L E

M A

S

Soluciones al por mayor y al detalle, y algunas propuestas más (Problemas Comentados XLIV)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Recordamos “La ley de las amazonas”, planteado hace tiempo y exponemos las

soluciones detalladas y comentadas, aunque de forma breve, de los problemas propuestos

en la última edición del Torneo de Matemáticas para alumnos de 2º de la ESO.

Comentamos la prueba práctica planteada a los finalistas del Torneo. Asimismo, pueden

ver las soluciones del resto de ejercicios propuestos en el anterior artículo. Planteamos

un problema de pesadas con balanza electrónica.

Palabras clave Problema de las amazonas. Metodología de la resolución de problemas. Torneo de 2º de

la ESO. Soluciones de problemas planteados en anteriores artículos. Problema de balanza

electrónica.

Abstract Remember "The law of the Amazons" posed long and detailed and commented expose

solutions, albeit briefly, of the problems proposed in the latest edition of the Tournament

of Mathematics for students of 2nd ESO. We discuss the practical test posed the finalists

of the tournament. They may also see solutions other exercises in the previous article.

We pose a problem with heavy electronic balance.

Keywords Problem of the Amazons. Methodology of problem solving. Tournament 2nd ESO.

Solutions of problems in previous articles. Electronic weighing problem.

Un mirar atrás sin ira (pero sí con humor)

En el NÚMEROS 90 publicamos el problema “La ley de las amazonas” y comentábamos:

“creíamos recordar que fue publicado en la añorada revista CACUMEN, hace ya unos años, pero

hemos cotejado nuestro índice de dicha revista y no nos aparece, al menos con ese título. ¿Alguien

tiene idea de dónde pudo aparecer?”

La ley de las amazonas

Las amazonas tienen una ley para cuando capturan un macho reproductor, dictada con el

objetivo de evitar la muerte por agotamiento del mismo y el lograr el mayor número de embarazos posibles. Cada semana, tres mujeres conviven con el agraciado, pero solo dos

serán objeto de sus caricias. La ley dice que nunca debe estar una misma pareja de

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]




Problemas Comentados XLIV J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


P

R

O

B

L

E

M

A

S

amazonas dos semanas (*). Si hay siete amazonas en edad fértil, ¿Cuántas semanas podrá

disfrutar el desdichado reproductor?

(*) y cuando esto no sea posible, el donante será convertido en eunuco.

Pues bien, no han sido los lectores con su aluvión de correspondencia, sino un paciente repaso de las revistas, el que nos llevó a encontrar el perdido problema. Está en modo de viñeta gráfica, por

lo que los buscadores no daban con él. Reproducimos las historietas y la solución donde se pedía información sobre el mismo. Han pasado tantos años que seguro que ya, al igual que nos ha pasado a

nosotros, los autores habrán encontrado las soluciones. Pedimos disculpas si las imágenes llegan a

herir la sensibilidad de alguno de los lectores.

Como podemos ver en la ilustración, los dibujos están firmados por Dany Duel, nombre artístico de Ricardo Daniel Douelle, dibujante argentino

de larga proyección y que ilustró muchos trabajos de la revista Cacumen, cosa bastante explicable si tenemos en cuenta que estaba en la plantilla de la

editorial argentina De Mente, equivalente a la Zugarto editora en España de

Cacumen, ambas bajo la dirección de Jaime Poniachik, el responsable de

Cacumen.

Seguimos:

En el anterior artículo (XLIII) dejamos algunos problemas para ser resueltos por nuestros

lectores. Pasamos ahora, tras el verano, a dar nuestras soluciones. Para ganar espacio lo haremos de forma abreviada, aunque siguiendo el proceso. Al final haremos uno completo para recordar a

nuestros lectores la necesidad de ofrecer a los chicos un método seguro de trabajo.

Los primeros: aquellos que quedaron pendientes del último Torneo de Secundaria.




P R

O B

L E

M A

S

Elaborando el calendario

En el mes de enero de un determinado año hay exactamente 4

viernes y 4 lunes.

¿Qué día de la semana podría ser el 20 de enero? Explica detalladamente tus razonamientos.

Por modelización: Pueden fabricarse hojas de almanaque comenzando, por ejemplo, en una que tenga el día 1 un lunes, luego que tenga el día 1 un martes, y, sucesivamente, un miércoles, un jueves,

un viernes, un sábado y un domingo.

Comprobar en cuál o cuáles de ellas se cumplen las condiciones del problema.

Por ensayo y error: dibujar una hoja de almanaque de manera que se tengan cuatro lunes y

cuatro viernes. Mover los días para conseguir tal cosa. Verificar después en qué día de la semana

queda el día 20.

Por razonamiento lógico: el mes de enero tiene 31 días, es decir, cuatro semanas completas y

tres días más; normalmente eso significa que habrá cinco lunes y cuatro viernes o cuatro lunes y cinco

viernes. Para que no sea así habrá que colocar el día 1 adecuadamente para que el 31 retroceda y no

sea lunes ni viernes, o sea, sólo haya cuatro lunes y cuatro viernes.

Si el 1 es domingo el 30 es lunes; si el 1 es sábado el 31 es lunes; si el 1 es viernes ya hay un viernes más 31 es domingo); lo mismo pasa para el 1 jueves (31 es sábado); y también para 1

miércoles (31 viernes). La única posibilidad válida es que el día 1 del mes de enero sea el martes. De

esta manera, el día 31 es jueves (desaparece un viernes).

El 1 no puede ser lunes, pues añadiríamos un quinto lunes.

Cuando el 1 es martes, el 6 es domingo, el 13 también y asimismo el día 20.

La solución es, pues, el 20 de enero de ese año es domingo.

Se comprueba al constatar que hay, efectivamente, cuatro lunes (7, 14, 21 y 28) y cuatro viernes

(4, 11, 18 y 25), que el 31 es jueves y que el día 20 es domingo. Y es solución única.

La respuesta: El 20 de enero de ese año es domingo.

El cuadrado dividido

Si cada uno de los 5 rectángulos internos en los que está dividido el

cuadrado de la figura posee un perímetro de 72 cm,

¿cuál es el área total del cuadrado? Explica detalladamente tus razonamientos.



P

R

O

B

L

E

M

A

S

Mediante aritmética:

Si sumamos los perímetros de los cinco rectángulos obtenemos lo mismo que si sumásemos doce veces el lado del cuadrado: cada rectángulo suma dos veces el lado largo (lado del cuadrado) y

dos veces el lado pequeño (quinta parte del lado del cuadrado.

5 x 72 = 360 cm 360 : 12 = 30 cm es el lado del cuadrado.

Mediante álgebra:

Si llamamos a al lado menor de cada rectángulo y b al lado mayor, conocemos estas dos

relaciones:

I. Como se forma un cuadrado: 5a = b

II. El perímetro de cada rectángulo es 72 cm: 2a + 2b = 72

La segunda relación podemos escribirla como 2a + 2 (5a) = 2a + 10a = 72, de donde deducimos

que a = 6.

Por tanto, el lado del cuadrado es 5 x 6 = 30 cm.

Y, en ambos casos, su área es S = 302 = 30 x 30 = 900 cm2.

La solución: el lado del cuadrado mide 30 cm y su área 900 cm2.

La comprobación: cada rectángulo tiene de área a x b = 6 x 30 = 180 cm2. Como hay cinco

rectángulos iguales 5 x 180 = 900 cm2. Es solución única.

La respuesta: El lado del cuadrado mide 30 cm y su área total de 900 cm2.

En el siguiente problema hemos de pedir perdón pues se nos olvidó señalar el ángulo x. Se trata

del ángulo inferior derecho del triángulo gris. Aunque dada la inteligencia de nuestros lectores

estamos totalmente seguros que intuyeron que ése el ángulo por el que preguntaba el problema.

Un triángulo especial

Uno de los lados de un triángulo equilátero coincide con el lado de un

cuadrado. Se construye un triángulo de la forma sombreada que se muestra en la figura adjunta.

1. Calcula la medida del ángulo inferior derecho del triángulo gris.

2. Sabiendo que el lado del cuadrado mide a centímetros, averigua

el área del triángulo sombreado.

El triángulo ABC (A: vértice superior del triángulo; B: vértice superior derecho del cuadrado; C: vértice inferior derecho del cuadrado) es isósceles porque AB y BC miden lo

mismo. Ambos lados son iguales por construcción.

Su ángulo B está formado como suma del ángulo recto del cuadrado y el ángulo del triángulo

equilátero, por tanto, mide 90° + 60° = 150°.




P R

O B

L E

M A

S

Si llamamos α al ángulo agudo, teniendo en cuenta que al ser isósceles ambos son iguales,

tenemos que 2 α + 150° = 180° 2 α = 180o – 150o α = 30o : 2 = 15°.

El ángulo buscado es complementario de α y mide x = 90°–15° = 75°.

Para calcular el área del triángulo sombreado necesitamos conocer su altura ya que la base es el

lado a del cuadrado. Dicha altura es la suma del lado del cuadrado y la altura del triángulo equilátero

de lado a.

Dicha altura es h = a + a √3 / 2.

Por tanto, el área es S = a (a + a √3 / 2) / 2.

Simplificada: S = a2 (1 + √3 / 2) / 2 = a2 (2 + √3) / 4.

La solución es: El ángulo mide 75°. El área es a2 (2 + √3) / 4 cm2.

Para comprobarla probamos a sumar todos los ángulos para comprobar la validez de los

cálculos. Utilizar el teorema de Pitágoras para comprobar la corrección en el cálculo del área. Es

solución única.

Las respuestas son: El ángulo inferior derecho del triángulo gris mide 75°. El área del

triángulo sombreado es a2 (2 + √3) / 4 cm

2.

El camión de savonex

El lunes la empresa Savonex ha producido 279 cajas de pastillas de jabón. Para transportarlas el camión de la fábrica realiza varios viajes, en

todos ellos va completamente cargado, quedando 3 cajas para ser

transportadas el martes. El martes la fábrica produce 216 cajas y el camión realiza 2

viajes menos que el día anterior, todos ellos con el camión

completamente cargado, salvo el último viaje en el que quedaba

sitio para 11 cajas.

a) ¿Cuántos viajes hizo el martes?

b) ¿Cuántas cajas transporta el camión cuando va totalmente cargado?

Explica detalladamente tus razonamientos.

Organizando con razonamiento aritmético:

El primer día, lunes, el camión ha transportado 279 – 3 = 276 cajas.

Al día siguiente, martes, habría transportado si hubiese ido lleno 216 + 3 + 11 = 230 cajas.

La diferencia, 276 – 230 = 46 cajas se corresponde con lo que transporta en los dos viajes más

del lunes. O sea, 46 : 2 = 23 cajas por viaje.

Averiguar cuántos viajes hizo el lunes o el martes es simplemente dividir:



P

R

O

B

L

E

M

A

S

279 : 23 = 12 (resto 3)

219 : 23 = 9 (resto 12) = 10 (resto por exceso 23 – 12 = 11)

El lunes realiza 12 viajes y el martes 10 (dos menos).

Organizando con razonamiento algebraico:

Resolver el sistema de ecuaciones, donde n representa el número de viajes del primer día y c el

número de cajas por camión:

n c + 3 = 279

(n – 2) c – 11 = 219

Restando miembro a miembro

n c + 3 – (n – 2) c + 11 = 279 – 219 n c + 3 – n c + 2c + 11 = 279 – 219 2c + 14

= 60 2c = 60 – 14 2c = 46 c = 23

Determinar el número de viajes del primer día:

23n + 3 = 279 23n = 276 n = 276: 23 = 12.

Y del segundo día: 12 – 2 = 10.

Mediante ensayos sucesivos organizados:

Utilizaríamos, por ejemplo, la siguiente tabla:

Día Cajas/Viaje Nº Viajes Total Comentario

Lunes 10 276 : 10 27,6 No exacto

Martes 10 230 : 10 23 Dif > 2


Martes 20 230 : 20 11,5 Dif > 2


Martes 30 230 : 30 7,6 Dif < 2

Lunes 23 276 : 23 12 Valores exactos

Martes 23 230 : 23 10 Dif = 2

Con lo cual volvemos a tener las soluciones ya encontradas para el número de cajas

transportadas en cada viaje y al número de viajes de cada día.

La solución es: El primer día hizo 12 viajes y el segundo día 10 viajes. En cada viaje cargó 23

cajas.

La comprobamos así:




P R

O B

L E

M A

S

279 : 23 = 12 (resto 3) hace 12 viajes de 23 y sobran 3 cajas para el día siguiente

219 : 23 = 9 (resto 12) = 10 (resto por exceso 23 – 12 = 11) hace 10 viajes y en el último

viaje sobra sitio para 11 cajas

El lunes realiza 12 viajes y el martes 10 (dos menos). Es solución única.

La respuesta: El martes hizo 10 viajes. Cuando va totalmente cargado el camión lleva 23

cajas en cada viaje.

Prueba práctica: desafío del juego de los “barquitos” o “batalla naval”

Todos hemos jugado alguna vez a este juego. Es esta cuadrícula de 10x10 casillas se han de colocar diez barcos: 4 submarinos (1x1), 3 destructores (2x1), 2 cruceros de

guerra (3x1) y un portaviones (4x1). Los barcos deben colocarse en el tablero sin que

contacten entre si, ni siquiera en las esquinas. El desafío consiste en colocar todos los barcos menos el portaviones, de tal manera

que este barco se quede sin sitio donde ser colocado. Es decir, debes colocar todos los 9

barcos más pequeños de manera tal que sea imposible colocar el portaviones cumpliendo

con la regla del primer párrafo. No valen las soluciones obtenidas por giros o simetrías de otras.

Tienes varios tableros reproducidos a menor tamaño para que dibujes las

soluciones que encuentres. Cada solución correcta es un punto al que se le podrá aplicar

un coeficiente para sumar en el resultado al resto de la Prueba Final.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J



P

R

O

B

L

E

M

A

S

Alguna de las soluciones (no olvidar que los barcos pueden estar en contacto con los bordes del

tablero y en posición vertical u horizontal):

Etc.

Ahora presentamos las soluciones de los problemas extraídos del blog “Mates y Más”.

Hacemos la lista de diez números:

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

5 13

El 2º número es el promedio del 1º y el 3º, por tanto (5 + 13) : 2 = 18 : 2 = 9.

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

5 9 13

4 SUBMARINOS:

3 DESTRUCTORES:

2 CRUCEROS:

1 PORTAVIONES:

1 2 3 4 5 6 7 9 10

A

A

B

C

D

E

F

G

H

I

I

J

J

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

A

B

C

D

E

F

G

H

I

I

J

J

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

A

B

C

D

E

F

G

H

I

I

J

J




P R

O B

L E

M A

S

Cada número siguiente en la lista se obtendrá así:

(an + an+2) : 2 = an+1 De donde: an+2 = 2 an+1 – an

Es decir: a4 = 2 x 13 – 9 = 26 – 9 = 17

Y así sucesivamente:

a5 = 2 x 17 – 13 = 34 – 13 = 21

a6 = 2 x 21 – 17 = 42 – 17 = 25

a7 = 2 x 25 – 21 = 50 – 21 = 29

a8 = 2 x 29 – 25 = 58 – 25 = 33

a9 = 2 x 33 – 29 = 66 – 29 = 37

a10 = 2 x 37 – 33 = 74 – 33 = 41

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

5 9 13 17 21 25 29 33 37 41

También podríamos haber descubierto el patrón de formación a partir del tercero (sumar 4 al

anterior).

La lista completa es: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41. La solución es única.

Comprobar un par de números de la lista como promedio de los dos que le rodean para verificar

la corrección de los cálculos.

25 = (29 + 21) : 2 = 50 : 2 = 25

El último número de la lista, el décimo, es 41.

Para el primer cuadrado:

Es evidente que al ser los cuatro iguales 28 : 4 = 7. Cada cuadrado blanco vale 7.

Para el segundo cuadrado:

Como hay dos cuadrados blancos 2 x 7 = 14; 30 – 14 = 16; 16 : 2 = 8.



P

R

O

B

L

E

M

A

S

Cada cuadrado negro vale 8.

Para el tercer cuadrado:

Como hay uno negro y uno blanco 20 – (7 + 8) = 20 – 15 = 5

Tenemos cuatro posibilidades para azul y rojo: 3 y 2 o 4 y 1, o viceversa.

Para averiguar cuál de ellas es la correcta probamos en la siguiente figura.

Para el cuarto cuadrado:

1 negro 1 rojo 2 azules total Valoración

8 3 2 x 2 = 4 8 + 3 + 4 = 15 NO da 16

8 2 3 x 2 = 6 8 + 2 + 6 = 16 SÍ da 16

8 4 1 x 2 = 2 8 + 4 + 2 = 14 NO da 16

8 1 4 x 2 = 8 8 + 1 + 8 = 17 NO da 16

Por tanto, el rojo vale 2 y el azul vale 3.

Para el quinto y último cuadrado:

Aplicando los valores obtenidos con anterioridad, tenemos 3 x 3 + 2 = 9 + 2 = 11

Vale 11. El cálculo realizado es equivalente a 3 + 3 + 3 + 2 = 11. La solución es única.

La última figura tiene un valor de 11.

Se pueden utilizar cuatro fichas blancas del juego de damas y pintar en cada cara de las fichas,

por un lado y por otro, las dos caras (feliz-triste). Jugar con ellas hasta encontrar la solución al

problema.

Mejor es trabajar de manera organizada, mediante una tabla como la que aparece aquí abajo.

Empezaremos por la jugada “tocar B”.




P R

O B

L E

M A

S

Jugada Acción A B C D

1ª

2ª Tocar B

3ª Tocar A

4ª Tocar C

5ª

Esta es una solución: B–A–C.

Esta solución parece mínima. Para asegurarse de ello trabajaremos por ensayo y error, empezando a tocar cada vez por una pieza distinta. Lo haremos de manera organizada, teniendo en

cuenta que la formación es simétrica y lo que hagamos desde la izquierda se puede repetir igualmente

por la derecha.

Ya hemos empezado por B, ahora conviene repetir la acción y cambiar la segunda jugada,

primero por “tocar C” y después por “tocar D”.


1ª

2ª Tocar B

3ª Tocar C

4ª Tocar A

5ª

Una segunda solución diferente a la primera: B–C–A.


1ª

2ª Tocar B

3ª Tocar D

4ª Tocar C

5ª

Solución: B–D–C.



P

R

O

B

L

E

M

A

S

Ahora repetiremos la acción haciendo como primera jugada “tocar A” y, a continuación “tocar B”


1ª

2ª Tocar A

3ª Tocar B

4ª Tocar C

5ª

Una segunda solución diferente a la primera y a la segunda: A–B–C.

Ahora repetiremos la acción haciendo como primera jugada “tocar A” y, a continuación “tocar C”.


1ª

2ª Tocar A

3ª Tocar C

4ª Tocar B

5ª

Nueva solución: A–C–B.

Y, finalmente, repetiremos la acción haciendo como primera jugada “tocar A” y, a continuación,

“tocar D”.


1ª

2ª Tocar A

3ª Tocar D

4ª Tocar C

5ª Tocar A

Tres toques. Tocar las fichas en el orden indicado: B–A–C; B–C–A; B–D–C; A–B–C; A–C–B,

y sus respectivas simétricas (izquierda por derecha y viceversa).




P R

O B

L E

M A

S

Realizar las cinco soluciones presentadas (por ejemplo, sobre el modelo indicado más arriba) y

verificar que todas ellas conducen en tres toques a la situación final con todas las caras felices.

Solución múltiple para tres toques. Hay más soluciones con más toques, pero ya no cumplen la

condición de ser mínimas.

El menor número de veces que se tiene que tocar alguna cara para lograr que todas sean

carita feliz es de tres toques. Hay diez posibilidades, cinco de ellas las siguientes: tocar las fichas

en el orden indicado: B-A-C; B-C-A; B-D-C; A-B-C; A-C-B, y las otras cinco sus respectivas

simétricas (izquierda por derecha y viceversa, cambiar A por D, B por C, C por B y D por A).

Se puede recortar uno de los dibujos y tener así las cinco piezas. Formar con ellas los dos dibujos. Ver cómo cambia el perímetro al cambiar la posición de las piezas y comparar ambas figuras.

Deducir dónde está la diferencia entre las dos configuraciones.

Se puede organizar la información por razonamiento directo.

Ver que los cuatro arcos siguen presentes en las dos configuraciones. Los tramos rectos

constituyen la diferencia. En el primer dibujo aparece dos veces el largo del rectángulo y otras dos

veces el ancho del mismo. En el segundo dibujo aparece una sola vez el largo del rectángulo.

Por tanto, el primer dibujo tiene un perímetro mayor que el segundo. Y la diferencia entre

ambos es exactamente de dos anchos y un largo; es decir, 2 x 5 + 10 = 20 cm.

También se puede organizar aritméticamente la información.

Comprender que los círculos tienen como radios respectivos el largo y el ancho del rectángulo.

El perímetro del mayor es 2 π ·10 = 20 π cm. El perímetro del menor es 2 π · 5 = 10 π cm. En cada

dibujo están presentes dos cuartos de cada círculo, es decir, un semicírculo de cada tipo, o sea, 10 π

cm y 5 π cm. En total, 15 π cm.

Además, en el primer dibujo aparece dos veces el largo del rectángulo y otras dos veces el

ancho del mismo. El perímetro total de la figura es 15 π + 2 (10 + 5) = 15 π + 30 cm.

En el segundo dibujo aparece una sola vez el largo del rectángulo. El perímetro total de esta

figura es, pues, 15 π + 10 cm.



P

R

O

B

L

E

M

A

S

La diferencia entre ambas: (15 π + 30) – (15 π + 10) = 20 cm.

Cuando se realiza el problema de una de las maneras expresadas, la comprobación se puede

hacer de la otra. La solución es única.

La diferencia entre los perímetros de las dos figuras es de 20 cm.

Ahora le toca al que obtuvimos de la revista “Educaçao e Matematica”, nº 132, de la sección

Problemas de Prof-Mat (2015).

Mármol en la plaza

El municipio de Évora tiene la intención de construir en la plaza Sertório un área rectangular (no cuadrada) pavimentada con mármol, en torno a la cual luego se colocarán

varios bancos de jardín y algunos árboles para hacer sombra.

Para ello, encargó placas cuadradas de mármol que midan un metro de lado. Cierto número

de placas de mármol de color rosa formarían un

rectángulo más pequeño y un número diferente de

placas de mármol verde crearían una banda de ancho constante alrededor de la zona rosa.

La orden ya había sido dada cuando el alcalde

pensó que sería más bonito un rectángulo central verde con un borde de color rosa.

- No importa - dijo el técnico responsable

después de hacer algunos cálculos. - Casualmente, sin tener que cortar ninguna placa, se puede hacer una banda rosa, un poco más grande de lo previsto, alrededor de un

rectángulo verde central. Por otra parte, se trata de una zona pavimentada con un área más

pequeña a la que podría haberse realizado.

¿Cuál es el área de la zona rectangular a pavimentar y cuántas placas de cada

color se usarán?

La solución está tomada directamente de la revista y es la que presentó la concursante María

Isabel Viana

Confeccionamos un dibujo geométrico que represente la plaza.

Primero vamos a ver lo que sucede si, en el proyecto inicial, el friso de placas de mármol verde

tuviese 1 metro de ancho, y si, en la versión final, la banda rosa quedase con 2 metros de ancho.

Sean x e y las dimensiones, en metros, del rectángulo central verde que se va a construir, como

se ejemplifica en esta figura.

Estos valores deben ser números naturales, ya que no se corta ninguna placa.

La faja verde (con un metro de ancho), que inicialmente iría alrededor del rectángulo rosa, debe tener la misma área que el rectángulo central verde que será construido finalmente, ya que utilizan el

mismo número de placas verdes. O sea,

x · y = (x + 4) + (x + 4) + (y + 2) + (y + 2)




P R

O B

L E

M A

S

Esta ecuación, resuelta con respecto a y, toma el aspecto

y = (2x + 12)/(x – 2)

Suponiendo que x es mayor que y (no pueden ser iguales ya que la zona no es cuadrada), las

únicas soluciones posibles para x e y (números naturales) son:

a) x = 18 e y = 3, correspondientes a un área central con 54 cuadrados de mármol verde, y un

contorno con 100 cuadrados de mármol rosa, totalizando 154 placas, o

b) x = 10 e y = 4, correspondientes a un área central con 40 cuadrados de mármol verde, y un

contorno con 72 cuadrados de mármol rosa, totalizando 112 placas.

Por lo tanto, si en el proyecto inicial el friso de placas de mármol verde tuvieran 1 metro de ancho y si el borde rosa de la versión final quedara con 2 metros de ancho, como tenemos que elegir el

área menor posible, deberá ser x = 10 e y = 4 (solución probable).

Cuanto mayor sea la anchura del borde previsto inicialmente, mayor tendrá que ser el área total

a pavimentar. De hecho, haciendo algunos cálculos, podemos deducir que, para un friso previsto de placas de mármol verde con n metros de ancho, y el borde final en rosa con n+1 metros, la relación

entre x e y es

y = (2nx + 4n2 + 8n)/(x – 2n)

O sea, cuanto mayor sea el valor de n, mayores tendrán que ser los valores de x y de y.

Veamos, por ejemplo, la posibilidad de que, en el plano inicial, el friso de placas de mármol

verde tenga 2 metros de ancho y el borde rosa, en el plano final, tenga 3 metros de ancho.

La ecuación ahora sería:

x · y = 4(x + 6) + 4(y + 2), o sea y = (4x + 32)/(x – 4)

Sus soluciones son los pares (12, 10), (16, 8), (20, 7), (28, 6) y (52, 5).

La de menor área es x = 12 e y = 10. Pero en este caso el área total es 288 m2 (muy superior a

112 m2).

El área es 112 m2, con 40 placas verdes y 72 placas de color rosa.

Verificar que se cumplen las condiciones.

Solución única.

El área de la zona rectangular a pavimentar es 112 m2, y serán usadas 40 placas verdes y

72 placas de color rosa.

Y, finalmente, también el que se tomó de “El gran libro de juegos para la mente” de Ivan

Moscovich, problema 88.



P

R

O

B

L

E

M

A

S

9

1

3

8 5 7

6

2

4

Visitando el yacimiento arqueológico

En un yacimiento arqueológico hay 9 cavernas conectadas por pasadizos, todos de

sentido único menos uno. Unos pasadizos están marcados en color rojo y otros en negro.

Las cavernas las hemos numerado de 1 a 9 y

están unidas por los pasillos

según estos esquemas que

hizo el guía con el que se visita el yacimiento. Las

flechas indican el sentido en

que se puede ir de una a otra caverna, los pasillos no se

cruzan y al menos 3

pasadizos llegan o salen de

cada cueva.

Resuelve las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué dos cavernas están unidas por un pasillo de doble sentido? b) Dibuja un esquema con las cuevas y los pasadizos que las unen, indicando con

flechas negras y rojas el sentido en que se pueden recorrer y su color.

c) Finalizada la visita, el guía quiere reunir en una de las cavernas a todos los asistentes, que se hallan dispersos por las cuevas, dando una única instrucción a todos

(por el sistema de megafonía), diciéndoles qué pasillos (color) y en qué orden, deben

hacer el recorrido. Por ejemplo: salir por el negro, luego otros dos negros y por último

uno rojo. c1) ¿Qué instrucción sería para que el número de pasillos recorridos sea mínimo?

c2) ¿En cuál de las cavernas acabarán todos reunidos?

c3) ¿Cuál es la única cueva desde la que tienes dos itinerarios distintos para ir al punto de reunión?

d) Si quisiera un recorrido más corto de solo dos pasillos, ¿cuál podría ser la

instrucción? ¿Desde qué cavernas no se podría cumplir?

SOLUCIÓN.

a) La 6 y la 9 (rojo)

c1) RRN

c2) En la 1

c3) La 5

Veamos este problema que tiene 13 cavernas y los pasillos se cruzan. Los grafos de los

recorridos son los siguientes:

1 2

5

9 4

7

6 6

8

5 3

4

8 1

9

6 7




P R

O B

L E

M A

S

¿Pueden dibujar el yacimiento? ¿Podemos resolver las mismas cuestiones planteadas en el

problema anterior? Esperamos sus comentarios.

Y, como era de esperar, una nueva propuesta para dar que pensar a nuestros lectores. Proviene

del número 102 de Educação e Matemática. La sección de problemas (“El problema de este número”)

tiene como coordinador al profesor José Paulo Viana.

La moneda falsa

Tenemos 12 monedas de oro, aparentemente iguales, solo que una es falsa y pesa

menos que las otras. Desconocemos el peso de las monedas. A nuestra disposición hay

una balanza, de las que nos indican el peso de lo que colocamos en su plato. ¿Qué

método debemos seguir para garantizar que siempre descubrimos la moneda falsa

en cuatro pesadas?

Problema adicional: Si tuviéramos derecho a seis pesadas, ¿cuál es el mayor

conjunto de monedas para el que conseguimos siempre encontrar la moneda falsa?

Y tenemos que seguir insistiendo a fuerza de ser pesados: resuelvan los problemas, singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la

revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el

transcurso de la clase en que probaron el problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen

uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Vamos, anímense…

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista

Un saludo afectuoso del Club Matemático.

N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas

8

1

7 9 6

3

11

12

13 10

5

2

4

12

2

11

10

13

9

6

7

8

1

2 3

4




ISSN: 1887-1984


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BITS, BITSBITS, BITSBITSBITS y polígonos tácticos

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Presentamos un juego de tablero denominado BITSBITSBITS de ignorada procedencia y

describimos sus reglas y posibilidades didácticas y pedagógicas que tiene; también el

juego TRI3 diseñado por nosotros y basado en el anterior que se relaciona con los

triángulos de Sierpinsky. Estos juegos los encontramos en obras de los autores Josep M.

Albaigès y Agustín Fonseca.

Palabras clave Juegos de mesa. BITSBITSBITS. TRI3; Uso didáctico y pedagógico de los juegos;

Triángulos de Sierpinsky. Cuadrados y triángulos tácticos.

Abstract We present a board game called BITSBITSBITS of ignored origin and describe their

rules and didactic and pedagogical possibilities that; TRI3 game also designed by us and

based on the above that relates to Sierpinsky triangles. These games are found in works

of authors Josep M. Albaigès and Augustine Fonseca.

Keywords Table games. BITS BITS BITS. TRI3; educational and pedagogical use of games; Triangles Sierpinsky. Squares and triangles tactical.

Hace ya muchos años -más de treinta-, en el ángulo oscuro, silencioso y

cubierto de polvo -tal vez olvidado- de una estantería y envuelto en un

plástico sin más caja ni referencia, encontramos este juego denominado BITSBITSBITS (lo llamaremos BITS3 para abreviar) de Or Da Ind. Ltd.

(Figuras 1 y 2). Consta de 16 piezas cuadradas divididas en cuatro regiones

cuadradas y combinando dos colores, dibujan las “tablillas” que vemos.

También traen un tablero cuadrado donde colocarlas al jugar con ellas.

El establecimiento ya no existe. Como le ha

ocurrido a tantas pequeñas jugueterías, las

grandes cadenas comerciales las han condenado

al cierre, sin relevo generacional que valga. Las instrucciones que vienen con el juego, la tabla de

puntuación para cada uno de los cuadrados y el

tablero de juego son las imágenes mostradas en

las figuras de la 3 a la 5.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]

Figura 1

Figura 2

Figura 3




BITS, BITSBITS, BITSBITSBITS y polígonos tácticos J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


J

U

E

G

O

S

Describe las tablillas (las piezas cuadradas) y las clasifica en cuatro tipos según el número de posiciones en las que se las puede poner. Y propone un

juego competitivo en el que cada jugador coge la

misma cantidad de tablillas después de mezclarlas cara abajo, si sobra una tablilla, esta se coloca en la

esquina superior del tablero de tal manera que

pueda recibir la mayor cantidad de puntos y luego cada jugador coloca una tablilla de las que posee

adosándola a las ya colocadas y haciendo coincidir

los colores (o en otra versión, haciendo que el color

se alterne). También se puede jugar en solitario tratando de colocar todas las tablillas de acuerdo

con la regla de coincidencia de colores.

Y, casualmente, unos días atrás al releer uno de los muchos libros que

sobre matemáticas recreativas y juegos poseemos, hemos encontrado en uno de ellos una propuesta de Josep María Albaigés Olivart, publicado en 1981, “¿Se

atreve Vd. con ellos? 101 apasionantes problemas”i.

Josep Maria Albaigès Olivart, (Juneda,1940-2014) fue autor de más de un

centenar de libros, sobre temas tan variados como las matemáticas, el ajedrez, la

patafísica, la ecología, la economía, los palíndromos, la onomástica, la historia o la literatura de viajes: en su vida profesional ingeniero y economista, trabajó en el sector

constructor e inmobiliario. Como ingeniero, diseñó y publicó el primer mapa geotécnico

de Barcelona, como matemático, ¿Se atreve Vd. con ellos?, o El número pi, entre otras monografías matemáticas. Como novelista, La senda del cardamomo, Alcibíades, el

primer griego y Sila, el último republicano. Como lingüista, Diccionario de palabras afines y diversos

libros sobre onomástica, entre los que destacan Diccionario de nombres de persona, El gran libro de los apellidos, Enciclopedia de los nombres propios y Enciclopedia de los topónimos españoles, entre

otros e indistintamente en catalán o castellano. Fundó Carrollia, revista dedicada a la matemática

recreativa y la lingüística, además del Bofci (Boletín de la Facultad de Ciencias Inútiles), una versión

española de la Academia de Patafísica francesa fundada por Alfred Jarry.

Habla del estudio de los “cuadros tácticos” que define así:

“Partiendo, como unidad fundamental de nuestras futuras construcciones, de un cuadrado de lado 2 unidades, cada uno de los cuatro cuadrados menores

de que consta puede ser considerado en dos “situaciones”, que llamaremos

“blanco” y “negro”. Fácil es hallar los dieciséis cuadrados distintos posibles…”

Estos cuadrados conectan con materiales anteriormente tratados en esta

sección de números, tal es el caso de tetraminos y las sesángulos. En los primeros por tratarse de uno de ellos (el tetramino Q u O) y en el segundo caso

por la manera de colorear subáreas de los mismos.

Figura 5

Figura 4

Figura 6




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Además nos ha llegado una muestra de un juego que consideramos pertenece a la misma familia: ART-

hex, diseñado por el arquitecto Agustín Fonsecaii y que

expusimos en la muestra que con motivo de certamen acontecido en Las Palmas de Gran Canaria, tuvo lugar.

Es autor de varias producciones relacionadas con los

juegos y las matemáticas recreativas. Quizá las de mayor difusión hayan sido “El juego más difícil del verano”, que publicó El País hace unos años y su Brain Trainer

para la revista Muy Interesante. Entre sus publicaciones, la reciente “El legado de seven month” en

colaboración con el también arquitecto Joaquín Aranda, donde presentan una serie de enigmas

encadenados que transcurren en distintos escenarios de todo el mundo poniendo en evidencia, además de los conocimientos relacionados con diversos aspectos matemáticos de los autores, los vinculados

más directamente a su profesión y a sus intereses artísticos e históricos. Su último libro publicado es

“El desafío DaVinci” con cerca de doscientos enigmas. Sus páginas con juegos on-line y publicaciones se encuentran fácilmente con los buscadores. Tanto Albaigès como Fonseca,

colaboraron en la varias veces mencionada CACUMEN.

Volvamos al BITS3 y veamos cómo nombrar cada uno de los 16 cuadrados básicos con su

correspondiente binario:

El profesor Albaigés los denomina con las letras mayúsculas desde la A hasta la P, comenzando

por el totalmente blanco (0000) y terminando con el totalmente negro (1111), según la siguiente equivalencia con los códigos binarios que nosotros hemos asignado. En el BITS3 aparecen los cuadros

valorados de 0 a 15 (fig. 3).

A B C D E F G H I J K L M N O P

0000 1000 0100 0001 0010 1100 0101 0011 1010 1001 0110 1101 0111 1011 1110 1111

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Así, considerando los cuadrados elementales que constituyen cada cuadrado como una de las cifras del cuadrado básico 1234, leídas en ese

orden, y siendo 0 si hay un blanco y 1 si hay un negro, para el cuadrado

de la figura, su binario será 1000.

Para facilitar la comunicación vamos a llamar cuadritos a los cuadrados elementales unitarios,

cuadrados a los formados por cuatro cuadritos (“tablillas” de orden 2x2) y cuadros nxn a los

cuadrados de otros órdenes.

Para este segundo

cuadrado su binario es 0101.

Por tanto los cuadrados

básicos van desde el 0000 (blanco total) hasta

el 1111 (negro total): dieciséis modelos.

También podemos establecer una

relación de complementariedad entre los 16

cuadrados, emparejándolos como vemos en la

siguiente figura:

1 2

3 4

Figura 7

A B C D

E F G H

I J K L

M N O P



J

U

E

G

O

S

Así el cuadrado B es complementario del

M, el C lo es del N, etc.

Una plantilla de 3x3 unidades permite

colocar un cuadro en cuatro posiciones diferentes,

superponiendo cuatro de los cuadros y suponiéndolos transparentes, aparecen en la

plantilla una distribución de cuadros blancos y

negros que depende de los cuadros que hagamos intervenir y del orden en que los coloquemos. El

orden que consideraremos será siempre el mismo:

de izquierda a derecha, primero la fila superior y

luego la inferior. Por tanto, habrá una columna central y una fila central donde se superponen los

cuadros.

Pues bien, diremos que el

cuadrado plantilla de 3x3 es “táctico” si todos los cuatro subcuadrados son

diferentes.

Surgen ahora varias cuestiones a estudiar y resolver. La primera es calcular

cuántos cuadrados tácticos de lado tres son posibles. La segunda: dado un cuadrado

de lado tres, cuántos arreglos de subcuadrados darían lugar a esa distribución.

Pongamos unos…

Ejemplos

La figura 8 representa los cuadros CFED, colocados en el orden explicado anteriormente. Y es

un ejemplo de cuadrado táctico 3x3. ¿Puede ser construido con otros cuadros elementales de 2x2?

El cuadrado 3x3 de la figura no es táctico ya que repite el cuadro N en las posiciones 3 y 4.

De los 16·15·14·13 = 43 680 posibles ordenaciones de los cuadros en el cuadrado de 3x3,

solamente en 312 los cuadrados son tácticos. El estudio puede hacerse comenzando por colocar un

único cuadrito elemental negro en una de las 9 ubicaciones posibles y ver si cuatro de los cuadros se pueden colocar en el cuadrado. Cambiar a otra posición el cuadrito negro y repetir la situación, sólo es

posible una cuaterna de cuadros: DECB, con el cuadrito negro en el centro. Para facilitar el estudio se

pueden imprimir en una transparencia los cuadrados para luego colocarlos, recortados, en el cuadro de 3x3, dejándonos ver cada

uno lo que hay debajo. Si desean una copia de las plantillas para

imprimir, pónganse en contacto con nosotros. Gustosamente se

las facilitamos.

Luego con dos cuadritos negros, que da lugar a 18 posiciones con 4 grupo de cuadros básicas: HEFB, CBDE, JECB y CBEA. Luego con tres cuadritos negros en todas sus posiciones, con cuatro da

lugar a 81 ordenaciones diferentes de cuatro de los cuadrados distintos. Con cinco cuadritos negros es

lo mismo que con cuatro, pero considerándolos como sus negativos.

B C D E

M N O L

J F I A

K H G P

CUADRADOS Y SUS COMPLEMENTARIOS O "NEGATIVOS"

FCNN

Figura 9

Figura 8

Figura 10




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Figura 11

Al estudiar los cuadros de 3x3, podemos graduar el orden de dificultad de este estudio para cada nivel de alumnos. Así para los primeros niveles podemos reducirlos a 1 y 2 cuadritos negros; luego

podrán, los niveles superiores analizar los casos más complicados.

El estudio de simetrías y rotaciones en cada pieza, hallando sus ejes y centros de rotación, ver que cuadrados se pueden considerar simétricos de otros, cuáles son complementarios, todos estos

aspectos son conceptos geométricos que los alumnos pueden buscar en este material.

Otra actividad consiste en dado un cuadro de 3x3 encontrar con qué cuadrados se puede

construir de tal manera que en los cuadros negros intervengan el mínimo (o el máximo) de cuadrados posibles, por ejemplo, si tenemos en cuadro táctico FDAC, lo obtenemos también con FJAC, BJAC y

FBAC. Solo FJAC presenta en dos de los cuadritos la superposición de F con J y de J con C. Las otras

soluciones solo tienen un cuadrito con una superposición.

Un cuadrado de lado cinco contiene los 16 cuadros básicos de 2x2. Albaigés lo bautiza como

“pantáctico” si contiene a todos los cuadrados básicos.

Desde otros puntos de vista podemos utilizar los cuadros para tratar los números binarios,

clasificaciones, modelos, simetrías y rotaciones, etc.

Así los cuadros C, D y E se obtienen por rotaciones del B; lo mismo que el G, H e I del F, pero

además el G y el I tienen simetrías central y axial. Los alumnos pueden hacer un estudio de los

movimientos de las figuras, considerando como punto de partida los cuadros B, F, K y L.

Asimismo, podemos contemplar que B y M son imagen “negativa” el uno del otro.

DECB HEFB CBDE JECB CBEA

LICB JKCB FDAC MIFB BCEA

FBDE HKFB BCDE FBAD



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E

G

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S

Tri, tri, tri: Tri3

Es equivalente al BITS3, pero con

triángulos en lugar de cuadrados.

También los triángulos básicos pueden

numerarse en código binario, leyendo los

elementos en sentido antihorario, empezando por el triángulito de la cúspide y en el orden

que están dibujados serían:

0000, 1000,

0100, 0010,

0001, 1100, 1010, 1001,

0110, 0101,

0011, 1110,

1101, 1011, 0111 y 1111.

Un ejemplo de triángulo táctico es el mostrado en la figura 14, formado por tres triángulos básicos que se ven en la

figura redondeada separados entre sí, impresos en una

transparencia y luego recortados.

El triángulo 1101 es origen de los conocidos triángulos de Sierpinsky, lo que nos abre otro

camino a investigar con los alumnos, pues hay ejemplos de triángulos y pirámides construidos con

elementos reciclados, tales como latas de refresco o botellas de plástico, y que se pueden encontrar en

la WEB. Unas direcciones posibles son (septiembre 2016):

http://arablogs.catedu.es/blog.php?id_blog=1064&id_articulo=175593 http://ieslafoia.edu.gva.es/web2/index.php/es/2-uncategorised/147-triangulo-de-sierpinski-fractalatas

En el Museo Elder, de Las Palmas de Gran Canaria, se puede contemplar este gran

triángulo de Sierpinsky colgando del techo

de la primera planta:

Figura 15

Figura 12

Figura 13

Figura 14

http://arablogs.catedu.es/blog.php?id_blog=1064&id_articulo=175593

http://ieslafoia.edu.gva.es/web2/index.php/es/2-uncategorised/147-triangulo-de-sierpinski-fractalatas




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Otros juegos similares

Existen muchos otros juegos similares, o que tienen alguna de las características de los

expuestos en este artículo. Nos limitamos a nombrar un par de ellos.

PENTAGON

Este juego comercializado ha sido premiado en varios certámenes y tanto por las estrategias necesarias como por su

diseño.

SESÁNGULOS

Ya ha sido descrito en un artículo anterior de esta revista y su descripción completa se puede encontrar en la

dirección de la Sociedad Isaac Newton.

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/69/

Y elegir Almacén de Recursos/Los sesángulos

OTROS

En febrero de 2001 se celebraron las XXI Jornadas de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de

Profesores de Matemáticas. Fue en Los Berrazales, Agaete, Gran Canaria durante los días 15, 16 y 17. Allí presentamos una exposición de juegos dedicada exclusivamente al DOMINÓ, acompañada de una

comunicación donde dábamos un repaso amplio a este popular juego, a sus variantes y a sus

posibilidades didácticas.

Seguimos considerando que el dominó tiene mucho uso didáctico, junto a una gran facilidad

material para disponer de juegos que no necesitan tablero (sólo fichas) y que podemos utilizar de muy

diferentes maneras.

El más conocido de todos es el juego de 28 fichas que componen el Dominó que llega hasta la

ficha 6-6, a partir de la 0-0. Pero también existen variantes que aumentan el número de fichas,

llegando hasta el doble 9 o, incluso, hasta el doble 12 y doble 15. Pero luego está la modalidad del Dominó chino, parecida al 6-6 pero con algunas fichas menos y otras que se repiten. No confundir con

el Mah-Jong, que presenta fichas numéricas junto a fichas ideográficas y unas reglas de juego muy

diferentes. Por otra parte, están los juegos de dominós que no tienen forma rectangular, sino triangular,

hexagonal…

También están los dominós didácticos, en los que se reemplazan los valores numéricos por imágenes muy variadas. Pero sobre todo nos gusta cuando las fichas de dominó se utilizan para

plantear puzles o problemas que proporcionan ratos de investigación muy placenteros.

Nos hemos propuesto resucitar aquella comunicación, ponerla al día y darle un formato de

artículo para nuestro placer y el de nuestros lectores. Dedicaremos un artículo monográfico (o dos) a presentar todo aquello que hemos recopilado e investigado sobre este juego tan popular que no hay

nadie que no haya jugado alguna vez a una de sus modalidades.

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/69/



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Para abrir boca adelantamos la presentación de un puzle muy interesante para realizar con las fichas de dominó. Recuerde, lo podemos resolver dibujando sobre un papel y escribiendo o coloreando

sobre el mismo, pero resulta más divertido si lo modelizamos mediante las fichas de dominó. ¿Quién

no tiene un dominó en casa? ¿Usted? ¡Y qué hace que no acude

corriendo a comprar uno!

TABLERO DOMINÓ

En este tablero están contenidas las 28 fichas de dominó

(el 0 equivale al espacio en blanco y hay tantas fichas como

combinaciones de números más las 7 "dobles"), unas en

horizontal y otras en vertical. Se trata de definir los contornos de todas las piezas (como la marcada del 00) de manera que estén

todas y encajen perfectamente.

Como siempre: estamos a su disposición y agradecemos

enormemente sus comentarios y aportaciones.

Otro ruego a nuestros lectores, sobre todo de Argentina y Uruguay: estamos indagando sobre un juego fabricado en Montevideo que se llama BLOQUEO. Nos satisfaría mucho que nos dieran noticias

sobre él: autores, reglas, materiales, etc.

Hasta el próximo

pues. Un saludo.

Club Matemático

i Albaigès Olivart, Josep María; ¿Se atreve Vd. con ellos? 101 apasionantes problema; Ed. Marcombo

Boixareu Editores (1981). ii Fonseca García, Agustín; http://www.imaginartejuegos.org/

N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas

http://www.imaginartejuegos.org/

https://2.bp.blogspot.com/-CVr2j0o1beI/V2Fbv1I1MPI/AAAAAAAAT7Q/kPAOoKbtSzETUE1tr-oiCET4LAT01wsagCLcB/s1600/domin%C3%B3.jpg


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Las mates con cuentos me molan

Ascensión Díaz Revilla

EDITORIAL CCS

Serie alumnos 15

ISBN: 978-84-9023-358-0

88 páginas

Año 2016

Generar la motivación en el alumnado de Educación Primaria y revolucionar el área de Matemáticas a través de veinte divertidos cuentos es el reto de la autora de este libro, Ascensión Díaz

Revilla. La autora, profesora y pedagoga, con una experiencia docente de veinticinco años, tiene

además publicado en la misma línea: “Aprendo matemáticas con cuentos”. Probablemente, “Las mates con cuentos me molan” sea uno de los libros más atractivos y útiles para repasar y reforzar

contenidos matemáticos desarrollando la competencia lectora. La comprensión lectora facilitará el

placer de la lectura revirtiendo en el aprendizaje de los contenidos matemáticos. A lo largo de esta

reseña, se mostrará la intención de algunos cuentos y los contenidos matemáticos sugeridos para tal

fin.

El primer cuento, “Miguel quiere aprender las horas”, muestra la curiosidad de un niño de 6

años por aprender las horas. Este cuento muestra los minutos que contiene una hora, la separación de

los números del reloj respecto a los minutos (de 5 en 5), los cuatro cuartos de una hora, la hora en

punto…etc., mediante la comunicación que Miguel establece con sus amigas las manecillas del reloj.


Las mates con cuentos me molan. Ascensión Díaz Revilla

Reseña: A. I. Salas López


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El segundo cuento, “Los gemelos Mayor que > y Menor que <”, narra como en la ciudad de las Matemáticas se ha presentado un pequeño conflicto. Algunos números han rechazado a los signos

“mayor que > y menor que <”, porque desconocen su verdadera función. Gracias a la orientación de

los signos de sumar +, restar - y multiplicar x, buscarán en un libro de Matemáticas su verdadera

misión. Este cuento también transmite valores como la tolerancia, el respeto y la integración.

El tercer cuento, “Poligonito y Voluminosa” es una divertida historia en la que se presentan dos

personajes totalmente diferentes. Por un lado, Poligonito, una figura humana compuesta por figuras

planas, los polígonos (cuadrados, rectángulos, triángulos, hexágonos, pentágonos…) y, por otro lado, Voluminosa, una figura humana compuesta por cuerpos geométricos (prismas, pirámides, esferas,

conos y cilindros). Finalmente, ambos personajes se conocen y se aceptan tal cómo son, tanto que se

enamoran y son felices para siempre. La autora refleja las características de ambas figuras y transmite

el valor de aceptación a los demás.

El cuarto cuento, “Susi y Suma”, invita a conocer los elementos de la suma, para qué sirve, y un

algoritmo.

El quinto cuento, “Rafa y sus tablas”, parte de la ilusión del protagonista por construir una

casita de madera. Rafa no tiene tablas de madera para construirla, por lo que decide colocar un cartel

indicando “Necesito tablas” y su dirección para que alguien acuda en su ayuda. Afortunadamente, acuden a su casa las tablas de multiplicar, no siendo lo esperado por Rafa, pero sí sorprendido de la

utilidad de las mismas en tareas cotidianas.

El sexto cuento, “Tres redondos”, está protagonizado por tres hermanos, Círculo, Circunferencia

y Esfera y muestra con ejemplos de objetos cercanos al alumnado, dónde podemos encontrar estas

figuras, así como sus características principales.

El séptimo cuento, “La empresa de doña Resta”, muestra una señora muy emprendedora y

además explica un algoritmo de la resta.

El octavo cuento, “La invasión de los romanos”, presenta los números romanos de manera muy

original. En la ciudad de Matemáticas ha estallado la guerra y los números naturales y romanos buscan

una solución a la batalla de manera pacífica.

El noveno cuento, “Las amigas divisiones”, establece la diferencia entre la división exacta y la

división entera, ambas reparten, pero les diferencia su resto.

El décimo cuento, “¡¡Números decimales!!”, se centra en la composición de los números

decimales. También introduce la aceptación de un nuevo número, el negativo.

Siguiendo la misma estructura, la autora continúa narrando cuentos: “Los Supersegmentos”,

“Aventura con las fracciones”, “Paralelas y Secantes”, “¡¡Soy un Ángulo!!” ... hasta completar una

veintena de narraciones donde abordará contenidos como las líneas poligonales, las fracciones, las nociones de paralelismo y perpendicularidad, los tipos de ángulos, múltiplos y submúltiplos de las

unidades de medida, los cuadriláteros, circunferencia, círculo y esfera, etc.

El libro es muy recomendable para el alumnado de 7 a 12 años ya que aborda conceptos

matemáticos básicos a través de divertidos y sencillos cuentos.

Anselma Isabel Salas López (Centro de Profesores Norte de Tenerife, España)




ISSN: 1887-1984


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Congresos

Fecha: 4 y 5 de noviembre de 2016.

Lugar: Tomar. Portugal. Convoca: Asociación de profesores de matemáticas de Portugal.

Información: www.apm.pt

Fecha: Del 15 al 18 de noviembre del 2016

Lugar: Barquisimeto. Venezuela.

Convoca: Asociación Venezolana de Educación Matemática.

Información: www.asovemat.org.ve

http://www.asovemat.org.ve/


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Fecha: Del 30 de noviembre hasta el 2 de diciembre de 2016.

Lugar: Medellín. Colombia.

Convoca: Instituto Tecnológico Metropolitano. Información: http://geogebra.itm.edu.co/page/inicio.html

XX JORNADAS

NACIONALES DE

EDUCACIÓN

MATEMÁTICA

Fecha: 13 y 14 de diciembre de 2016.

Lugar: Valparaiso. Chile.

Convoca: Sociedad Chilena de Educación Matemática.

Información: http://www.sochiem.cl/

http://www.sochiem.cl/



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Fecha: 10 al 14 de Julio de 2017.

Lugar: Madrid. España.

Convoca: Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemática.

Organiza: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas.

Información: http://www.cibem.org/

Fecha: Del 15 al 19 de julio del 2019.

Lugar:Valencia. España. Convoca: La Sociedad Española de Matemáticas Aplicadas (SEMA)

Informaicón: http://iciam2019.com/

Fecha: 24-28 de julio de 2017.

Lugar: Universidad Mc Gill. Montreal. Canada.

Convoca: Mathematical Council of the America.

Información: https://mca2017.org/es

Fecha: Del 29 de octubre al 1 de noviembre del 2017.

Lugar: Cali. Colombia.

Convoca: Red de Educación Matemática de América Central y el Caribe.

Información: http://ii.cemacyc.org

http://ii.cemacyc.org/

http://iciam2019.com/

http://www.cibem.org/

https://mca2017.org/es




ISSN: 1887-1984

Volumen 93, noviembre de 2016, página 183

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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité

editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected]

3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de revisión o publicación en ninguna otra revista.

4. Se presentarán dos versiones del artículo. Una versión con toda la información y otra “versión

ciega”, en la que se hayan eliminado todas las referencias a los autores del trabajo. Tanto en el cuerpo como en la bibliografía.

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Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista.

Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía.

Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección

electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.

Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno

de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha

de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.

Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave;

también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.

Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos.

Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar

el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.

Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones.

Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de

texto (no enviarlas por separado).

Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el

autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).

Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:

o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y

científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole

number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics

Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008).

Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

6. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de

colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

7. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial.

Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor

con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en

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que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.


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