no newtonianos
DESCRIPTION
Fluidos no NewtonianosTRANSCRIPT
1
Fluidos no newtonianos
Los fluidos newtonianos tienen como característica que mantienen constante su viscosidad al
modificar la velocidad de corte sobre el fluido. Los que no muestran esa propiedad se consideran
no newtonianos.
Los fluidos no newtonianos se pueden clasificar en tres categorías:
1.- Comportamiento independiente del tiempo.
2.- Comportamiento dependiente del tiempo.
3.- Viscoelásticos.
1.- Para el primer caso de fluidos que muestran un comportamiento constante con el tiemp0, el
esfuerzo cortante sólo depende de la velocidad de corte. Estos fluidos se muestran en la figura
siguiente.
2
Las expresiones comunes para representar el comportamiento de estos fluidos son:
Modelo de Ostwald de Waele o ley de la potencia:
�
��
�
�
�
�
�
� �
�
� �
�
�
� �
�
� �
�
�
�� �
�
�
� �
�
�
�� �
�
�
� �
K, el indice de consistencia, y n el indice de comportamiento de flujo, son parámetros
determinados empiricamente. El término ap , conocido como viscosidad aparente,cambia con la
velocidad de corte.
El valor de n determina la forma del comportamiento de estos flujos: si n<1 el fluido se denomina
pseudoplastico, y significa que fluye más fácilmente al incrementar la velocidad de corte. Cuando
n>1 se incrementa la resistencia a fluir al aumentar la velocidad de corte y el fluido se denomina
dilatante.
La mayoría de los fluidos no newtonianos son pseudoplasticos: jugos y pure de frutas,
salsas,polimeros fundidos (poliestireno, acrilonitrilo, propileno, etc.), cosmeticos,latex, tinta de
imprenta, etc.
Los fluidos dilatantes son más raros, ejemplo el cemento y suspensiones concentradas de almidón
de maíz, entre otras. Su comportamiento se explica porque a medida que la velocidad de corte
aumenta, el material se expande y comienzan a aparecer esfuerzos de interacción sólido-sólido
que se traducen en un aumento de la viscosidad aparente.
El modelo de la ley de la potencia tiene limitantes, tales como, ser aplicable a un rango de
velocidades de corte y que el valor de K depende del valor de n. Hay fluidos como el PVC que
muestran en comportamiento de pseudoplastico a cierto valor de la velocidad de corte y como
dilatante a otra velocidad de corte. El modelo de Carreau y el de Ellis son correciones a la ley de la
potencia a valores extremos de la viscosisdad aparente o de la velocidad de corte.
Dentro de los fluidos que muestran un comportamiento constante con el tiempo de hallan los
denominados viscoplásticos, que muestran un comportamiento de sólidos mientras el esfuerzo
cortante no supere el valor de fluencia 0, una vez superado este valor adoptan un
comportamiento de newtoniano: Bingham o ley de la potencia( Herchel-Bulkley).
Estas caracteristicas pueden ser deseables en ciertos fluidos como la pasta dental que se pretende
que permanezca en reposo cuando está aplicada sobre el cepillo y que fluya sólo con el cepillado.
Plástico de Bingham: pasta dental, pure de tomate, extracto de carne, etc.
�
�
���
� �
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
��
��
�
�
���
�
�
��
�
��
��
�
!
3
Modelo de Herschel- Bulkley: dulce de leche, chocolate fundido, etc.
�
�
���
� �
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
��
��
"
�
�
���
�
�
��
�
��
��
�
!
Casson: aplicable a materiales biologicos (sangre)
�
�
���
� �
�
��
� #�
�
���$
�
%
&
� #�
�
��$
�
%
&
� '
�
(#
��
��$)
�
%
&
�
�
���
�
�
��
�
��
��
�
!
2.- Comportamiento que depende del tiempo en que se aplica la velocidad de corte, dicho
comportamiento se divide en:
a) Tixotropía. La viscosidad aparente disminuye con el tiempo, tal como ocurre en suspensiones
de arcilla, ciertas suspenciones concentradas, suspensiones de proteinas y ciertos alimentos.
b)La reopexia es el fenomeno inverso a la tixotropía, que se manifiesta en un aumento de la
viscosidad aparente con el aumento de la velocidad de corte. Ejemplo: poliéster.
Ambos tipos( tixotropía y reopexia) presentan el fenómeno de histeresis cuando se realiza la curva
vs
�� .
4
3.- Viscoelasticos. Tienen la caracteristica de recuperar parcialmente su estado inicial (memoria)
de manera semejante a un resorte. Su comportamiento se puede modelar mediante analogías
mecánicas compuestas de resortes y amortiguadores. El modelo más comun es el de Maxwell.
Se aplica a ciertos materiales biologicos.
Debido a que la mayoría de los fluidos no newtonianos se describen con modelos independientes
del tiempo, enseguida se muestra el comportamiento de ellos.
Fluidos que siguen la ley de la potencia:
De la materia de Fenómenos de transporte se conoce que para un conducto cilíndrico, la
distribución de velocidades en régimen laminar se expresa por:
*
�
� �
�
+
,
-
./ �
�
"0
1
"
2
�
"0
"
2
�
" �
�
�3
�
45�
6
7
8
60
Válida para perfiles de fluidos pseudoplásticos y dilatantes. La siguiente figura muestra su
comportamiento.
5
En la figura anterior cuando el índice de comportamiento n es igual a 1, el fluido es newtoniano.
Procedimiento de Levenspiel para el cálculo del factor de fricción con fluidos pseudoplásticos simples (τy= 0, n < 1)
La ecuación reológica para los fluidos pseudoplásticos simples (n < 1), según el
modelo de Herschel–Bulkley es:
�
�
93
�
:;
:<0 5
"
El método de cálculo puede describirse en la siguiente forma:
1º Calcular el número de Reynolds generalizado, que se define con la siguiente
expresión:
1=
>?"
�
@
6
A
B
C
6
D
E
F
6
C
8
G 3
H
"
I
"
2
�5
"
2° Con Regen y n obtener el factor de fricción de Fanning fF con la gráfica obtenida por Dodge y Metzner adaptada por Levenspiel, que se presenta en la figura siguiente. Recuérdese que fF = f/4, siendo f el factor de fricción de la fórmula de Darcy.
6
Fluidos que se interpretan como plásticos de Bingham.
En un conducto cilíndrico, la distribución de velocidades en régimen laminar para un fluido que
desciende se expresa por:
� 3
J
K
�
J
L
H
M
N
O 5
P
& Q
R
� '
�
P0 )
&S
�
T
U
K
V
M
N '
R
�
�
P0 ) para r>r0
Y
� 3
J
K
�
J
L
H
M
N
O 5
P
&'
R
�
�
P0 )
& para r < r0
Cuando r>ro el fluido fluye, mientras que para r<r0 se mueve como un sólido, ya que el esfuerzo cortante en esa zona no rebasa el valor de fluencia o. En las ecuaciones anteriores, que se obtienen otra materia, se define P=p-gz, donde R es el radio del tubo,y r el valor que mide a partir del centro del tubo.
Procedimiento de cálculo de Levenspiel (1986), para la determinación del factor de fricción con lodos residuales (Bingham pseudoplásticos)
Este investigador señala que aún no se ha resuelto el problema específico del cálculo de la caída de presión en una tubería que transporta un fluido Bingham pseudoplástico, pero sí plantea un procedimiento para calcular el Bingham plástico (τy > 0 y n = 1) y el pseudoplástico simple (τy = 0 y n < 1). La solución que propone Levenspiel consiste en descomponer el Bingham pseudoplástico en dos, a saber: un Bingham plástico, haciendo n = 1 en la expresión de Herschel–Bulkley y un pseudoplástico simple, haciendo τy = 0 en la misma ecuación. Posteriormente, calcular ambos líquidos e interpolar los resultados en alguna forma, dice el investigador, ya que el valor correcto del Bingham pseudoplástico tendrá necesariamente que encontrarse entre el Bingham plástico y el pseudoplástico simple, que son los dos fluidos en los que se ha descompuesto el original. La propuesta para el fluido pseudoplástico se presentó antes.
Procedimiento de Levenspiel para el cálculo del factor de fricción con fluidos tipo Bingham plástico (τy> 0, n = 1)
En este caso el método para realizar el cálculo puede describirse en la siguiente forma:
1. Determinar experimentalmente los parámetros: τy, γ, ρ y Κ
2. Calcular el número de Reynolds de la mezcla:
(D, diámetro de la tubería) 3. Calcular el número de Hedstrom:
7
4. Determinar el factor de fricción de Fanning fF, con los parámetros Re y He en la gráfica de Hedstrom adaptada por Levenspiel y a partir de este valor, obtener el factor f de Darcy (f=4fF).
8
Situaciones comunes en fluidos no-newtonianos
A-Se desconoce: la caída de presión o la diferencia de niveles o la potencia del sistema
motor-bomba o la longitud de la tubería.
Fluido que sigue la ley de la potencia
En lugar de conocer la viscosidad del fluido, ahora se conoce el coeficiente de consistencia del
fluido m y el índice de comportamiento del flujo o exponente n. Se considera que la rugosidad del
tubo tiene un efecto despreciable en el comportamiento del fluido, por lo que el número de
variables totales es el mismo que en el caso del fluido Newtoniano.
Planteamiento del problema:
Conocidos: Q,d,ρ,m,n,ef Encontrar P o z o hp o L
Procedimiento:
1- Calcular el número de Reynolds
W
4?
X
YZ
�
F
@
6
A
B
C
6
D
[\
&#
I
"
2
�$
%
"]
6
2- Calcular el coeficiente de fricción en el rango entero de número de Reynolds (laminar,
transición y turbulento) utilizando el diagrama o las siguientes expresiones.
9
fL=16/N Re,pl, se aplica para NRe,pl < NRe, plc
^
_
�
�
`
�aF&
"
C
8
%
B
b
cd
X
ef
8 #
8
`
gh
7
B
`
ij
6$0 para 4000 < NRe,pl<105
^
_�
k
�
`
����lm
?
C
n
`
Bo
6
b
cd
X
ef
K
`
o8o
7
K
`
hnh
6 para NRe,plc < NRE,pl < 4000
NRe,plc es el número de Reynolds critico al cual el comportamiento como flujo laminar cesa
NRe,plc=2100+875(1-n)
3- Evaluar las pérdidas por fricción mediante
4 -De aquí sigue evaluar la variable desconocida de la misma forma realizada para fluidos
Newtonianos.
Del balance de energía despejar la variable desconocida
4a-Caída de presión
4b- Diferencia de nivel
4c- Potencia del motor
4d- Longitud de la tubería
D
fLVF
22
))/(
)746(*)(*
2(
2
Fskgw
EfhpZg
VP
gFskgw
EfhpVPZ /)
)/(
)746(*)(*
2(
2
Ef
wFZg
VPhp
*746)
2(
2
2
2 2)
)/(
)746(*)(*
2(
fV
d
skgw
EfhpVPL
0)/(
)746(*)(*
2
2
Fskgw
EfhpZg
VP
10
Fluido que se comporta como un plástico de Bingham.
Planteamiento del problema:
Conocidos: Q,d,ρ,τo,,ef Encontrar P o z o hp o L
El número de variables es igual al de los casos anteriores
Procedimiento:
1- El factor de fricción para un plástico de Bingham puede ser calculado para un número de
Reynolds de laminar a turbulento usando el diagrama correspondiente o mediante la las
expresiones escritas enseguida.
El número de Hedstom se escribe en las expresiones siguientes
1-a Ecuación
^
� #
^
p
[
�
^
_
[$
�
[0
donde m = 1.7 +40,000/NRe
11
Para el plástico de Bingham no existe la abrupta transición de laminar a turbulento como
se observa en los fluidos Newtonianos, en su lugar, se presenta una gradual desviación del
flujo puramente laminar al flujo totalmente turbulento. Para flujo turbulento
^
_
�
��
q
b
cd
K
`
8ji
donde
r
�
T
�
R
`
stu
R
�
!
`
Rsv
=
�
&
`
m
w
��
C
n
b
xd y y
W
z?
�
{
&
|
�
�
�
}
&~ es el número de
Hedstrom. Para flujo laminar
^
p
�
�a
b
cd �
R
�
�
a 3
b
xd
b
cd 5
�
�
I �
b
xd
o
�
�
i
b
cd
h �� donde el número de
Reynolds se manifiesta por NRe= DVρ/
2- Del balance de energía despejar la
variable desconocida, donde
3- De aquí sigue evaluar la variable desconocida de la misma forma expresada desde 4-a
hasta 4-d del caso anterior.
B- Fluido de flujo desconocido
El flujo de fluido es determinado cuando se conocen las fuerzas que impulsan su movimiento. El
mismo número total de variables está involucrada. La diferencia, ahora, consiste en que algunos
parámetros requeridos en el procedimiento de encontrar el valor desconocido del flujo, dependen
del valor de la incógnita. Este planteamiento hace pensar en un proceso iterativo como forma de
solución.
Fluido que sigue la ley de la potencia
Planteamiento del problema:
Conocidos: P,z, V2,wo, d,ρ,m,n,L,ef Encontrar Q
Procedimiento: El coeficiente de fricción depende del caudal y éste depende del coeficiente de
fricción, por lo que una opción para resolver el problema es un método iterativo. El método
elegido es el de Newton que se va a aplicar mediante un programa de computadora. Los pasos son
los siguientes.
1- Para obtener el valor inicial de la velocidad del fluido, necesario para que inicie el método
de Newton, se propone un valor de f=0.005, además de despreciar los cambios de energía cinética,
y considerar que el sistema no tiene bomba, así
*
� �
�
w
#
+
�
D0
2
+
�>
$
&
w
�
`
���
w
p
0)/(
)746(*)(*
2
2
Fskgw
EfhpZg
VP
D
fLVF
22
12
2- Definir la función
3- Evaluar su derivada
�
T
�("
�A
�
�
#
+
A
B
$
�A
�
�
Y
w
��
w
lHa
�
B
��
�A
�
&
Z
A
B
�
��
�A
�
H
�ZA
A
donde f y su derivada se obtienen de:
fL=16/N Re,pl, se aplica para NRe,pl < NRe, plc
^
_
�
�
`
�aF&
"
C
8
%
B
b
cd
X
ef
8 #
8
`
gh
7
B
`
ij
6$0 para 4000 < NRe,pl<105
^
_�
k
�
`
����lm
?
C
n
`
Bo
6
b
cd
X
ef
K
`
o8o
7
K
`
hnh
6 para NRe,plc < NRE,pl < 4000
NRe,plc es el número de Reynolds critico al cual el comportamiento como flujo laminar cesa
NRe,plc=2100+875(1-n)
La derivada de f, según el caso, se evalúa numéricamente mediante
��
�A
�
�
�
�
�
7
K
`
KK8
�
�
�
�
�
�
`
���
4 Encontrar Vn = V – Fcn/Fcn’ . Si abs(Vn-V) < error asignado( criterio de convergencia) el
valor de V es la solución, en caso contrario V=Vn y se repite el procedimiento desde el
paso 2 hasta que se satisfaga el criterio de convergencia.
Fluido que se comporta como un plástico de Bingham.
Planteamiento del problema:
Conocidos: P,z, V2,wo, τo,,d,ρ,L,ef Encontrar Q
De manera semejante a los dos casos anteriores en que se desconoce el caudal, se propone el
método de Newton como procedimiento de solución.
Procedimiento:
1- Para obtener el valor inicial de la velocidad del fluido, necesario para que inicie el método
de Newton, se propone un valor de f=0.02, además de despreciar los cambios de energía cinética,
y considerar que el sistema no tiene bomba, así
*
� �
�
w
#
+
�
D0
2
+
�>
$
&
w
�
`
���
w
p
2- Definir la función
d
flV
skgw
EfhpZg
VPFcn
22
)/(
)746(*)(*
2
2
d
flV
skgw
EfhpZg
VPFcn
22
)/(
)746(*)(*
2
2
13
3- Evaluar su derivada
�
T
�("
�A
�
�
#
+
A
B
$
�A
�
�
Y
w
��
w
lHa
�
B
��
�A
�
&
Z
A
B
�
��
�A
�
H
�ZA
A
donde f y su derivada se obtienen de:
^
� #
^
p
[
�
^
_
[$
�
[0
donde m = 1.7 +40,000/NRe ,
^
_
�
��
q
b
cd
K
`
8ji donde
r
�
T
�
R
`
stu
R
�
!
`
Rsv
=
�
&
`
m
w
��
C
n
b
xdy
T
Ty
W
z?
�
{
&
|
�
�
�
}
&~ es el número de Hedstrom. Para flujo laminar
^
p
�
�a
b
cd �
R
�
�
a 3
b
xd
b
cd 5
�
�
I �
b
xd
o
�
�
i
b
cd
h �� donde el número de Reynolds se manifiesta por NRe= DVρ/
La derivada se evalúa numéricamente mediante
��
�A
�
�
�
�
�
7
K
`
KK8
�
�
�
�
�
�
`
��� .
4- Encontrar Vn = V – Fcn/Fcn’ . Si abs(Vn-V) < error asignado( criterio de convergencia) el
valor de V es la solución, en caso contrario V=Vn y se repite el procedimiento desde el
paso 2 hasta que se satisfaga el criterio de convergencia.
5-
C- Se desconoce el diámetro de la tubería
Cuando se determina el caudal que debe fluir a través de cierta tubería y el objetivo es determinar
el diámetro de la misma, el problema es semejante al caso en que se desconoce el caudal, ya que
solo se cambia de variable y la solución del problema depende de la variable desconocida. Por lo
que el procedimiento que se va a proponer es iterativo. Se va a utilizar el método de Newton
Fluido que sigue la ley de la potencia
Conocidos: P,z, V2,wo, d,ρ,m,n,L,ef Encontrar Q
Procedimiento: El coeficiente de fricción de Fanning depende del caudal y éste depende del
coeficiente de fricción de Fanning, por lo que una opción para resolver el problema es un método
iterativo. El método elegido es el de Newton que se va a aplicar mediante un programa de
computadora. Los pasos son los siguientes.
1- Para obtener el valor inicial de la velocidad del fluido, necesario para que inicie el método
de Newton, se propone un valor de f=0.005, además de despreciar los cambios de energía cinética,
y considerar que el sistema no tiene bomba, así
*
� �
�
w
#
+
�
D0
2
+
�>
$
&
w
�
`
���
w
p
4- Definir la función
d
flV
skgw
EfhpZg
VPFcn
22
)/(
)746(*)(*
2
2
14
5- Evaluar su derivada
�
T
�("
�A
�
�
#
+
A
B
$
�A
�
�
Y
w
��
w
lHa
�
B
��
�A
�
&
Z
A
B
�
��
�A
�
H
�ZA
A
donde f y su derivada se obtienen de:
fL=16/N Re,pl, se aplica para NRe,pl < NRe, plc
^
_
�
�
`
�aF&
"
C
8
%
B
b
cd
X
ef
8 #
8
`
gh
7
B
`
ij
6$0 para 4000 < NRe,pl<105
^
_�
k
�
`
����lm
?
C
n
`
Bo
6
b
cd
X
ef
K
`
o8o
7
K
`
hnh
6 para NRe,plc < NRE,pl < 4000
NRe,plc es el número de Reynolds critico al cual el comportamiento como flujo laminar cesa
NRe,plc=2100+875(1-n)
La derivada de f, según el caso, se evalúa numéricamente mediante
��
�A
�
�
�
�
�
7
K
`
KK8
�
�
�
�
�
�
`
���
5 Encontrar Vn = V – Fcn/Fcn’ . Si abs(Vn-V) < error asignado( criterio de convergencia) el
valor de V es la solución, en caso contrario V=Vn y se repite el procedimiento desde el
paso 2 hasta que se satisfaga el criterio de convergencia.
Fluido que se comporta como un plástico de Bingham.
Planteamiento del problema:
Conocidos: P,z, V2,wo, τo,,d,ρ,L,ef Encontrar Q
De manera semejante a los dos casos anteriores en que se desconoce el caudal, se propone el
método de Newton como procedimiento de solución.
Procedimiento:
1- Para obtener el valor inicial de la velocidad del fluido, necesario para que inicie el método
de Newton, se propone un valor de f=0.02, además de despreciar los cambios de energía cinética,
y considerar que el sistema no tiene bomba, así
*
� �
�
w
#
+
�
D0
2
+
�>
$
&
w
�
`
���
w
p
6- Definir la función
7- Evaluar su derivada
�
T
�("
�A
�
�
#
+
A
B
$
�A
�
�
Y
w
��
w
lHa
�
B
��
�A
�
&
Z
A
B
�
��
�A
�
H
�ZA
A
donde f y su derivada se obtienen de:
^
� #
^
p
[
�
^
_
[$
�
[0
d
flV
skgw
EfhpZg
VPFcn
22
)/(
)746(*)(*
2
2
15
donde m = 1.7 +40,000/NRe ,
^
_
�
��
q
b
cd
K
`
8ji donde
r
�
T
�
R
`
stu
R
�
!
`
Rsv
=
�
&
`
m
w
��
C
n
b
xdy
T
Ty
W
z?
�
{
&
|
�
�
�
}
&~ es el número de Hedstrom. Para flujo laminar
^
p
�
�a
b
cd �
R
�
�
a 3
b
xd
b
cd 5
�
�
I �
b
xd
o
�
�
i
b
cd
h �� donde el número de Reynolds se manifiesta por NRe= DVρ/
La derivada se evalúa numéricamente mediante
��
�
A
�
�
�
�
�
7
K
`
KK8
�
�
�
�
�
�
`
��� .
8- Encontrar Vn = V – Fcn/Fcn’ . Si abs(Vn-V) < error asignado( criterio de convergencia) el
valor de V es la solución, en caso contrario V=Vn y se repite el procedimiento desde el
paso 2 hasta que se satisfaga el criterio de convergencia.
Ejemplo de un fluido que sigue la ley de la potencia.
Para bombear un puré de manzana una bomba produce una caída de presión de 488 Pa/m en un
tubo liso de 15.24 cm de diámetro interno. El puré se conoce que se comporta como un
seudoplastico con un índice de consistencia K=0.66 Kg/m s2-n
y un índice de flujo n=0.41.
Considerar una densidad de 1000kg/m3. Determinar el caudal de puré en las condiciones descritas.
Si en lugar de puré se hace fluir agua, ¿cuál sería el caudal?
Respuesta: El balance de energía en estado estacionario se expresa mediante
En el tubo no existe cambio de diámetro, además, no se manifiesta en el enunciado diferencia de
nivel entre los puntos en que se mide la caída de presión y no existe bomba. Así el balance de
energía se reduce a
�
8
�
�
B
D
�
&
�Z
A
B
� . La solución se obtiene usando un método iterativo.
Proponiendo una velocidad de 3.04 m/s se evalúa el Reg
1=
>
�
�
6
D
A
B
C
6
F
6
C
8
G3
i
6
7
8
o
6 5
6
�
�
`
��&
K
`
o8
#
����
$
I
`
�H
B
C
K
`
o8
F
K
`
o8
C
8
#
�
`
aa
$3
i
w
K
`
o8
7
8
o
w
K
`
o8 5
6
�
R-�t�.
En el siguiente grafico se observa que el valor correspondiente a n=0.4 es f=0.004
0)/(
)746(*)(*
2
2
Fskgw
EfhpZg
VP
16
Sustituyendo en el balance de energía:
HFF
����
�
&
w
�
`
��H
w
A
B
�
`
��& , de aquí despejando V se obtiene
V=3.04 m/s lo que significa que la propuesta fue correcta y representa la solución. Por último Q=
AV = π*(.152)2*3.04/4 =0.055 m
3/s.
Resolviendo el mismo problema usando el método de Newton.
Programa:
v=5;% valor inicial propuesto
ro=1000;
d=0.152;
m=0.66;
n=0.41;
>> e=1;
>> while e>0.0001
[f,df]=flp(d,v,ro,m,n);
p=0.488-2*f*v*v/(d);
dp=-df*v*v*2/(d)-4*f*v/d;
vn=v-p/dp;
e=abs(vn-v);
v=vn;
end
function [f,df]=p(d,v,ro,m,n) Re=(8*(d^n)*(v^(2-n))*ro)/(m*(2*(3*n+1)/n)^n); v1=v+0.0001; Re1=(8*(d^n)*(v1^(2-n))*ro)/(m*(2*(3*n+1)/n)^n); fl=16/Re; fl1=16/Re1; de=1/(1.87+2.39*n);
17
ft=0.0682*(n^(-0.5))/(Re^de); ft1=0.0682*(n^(-0.5))/(Re1^de); ftr=0.000179*exp(-5.24*n)*(Re^(0.414+0.757*n)); ftr1=0.000179*exp(-5.24*n)*(Re1^(0.414+0.757*n)); Rec=2100+875*(1-n); if Re<Rec f=fl; df=(fl1-f1)/0.0001; end if Re>4000 && Re< 100000 f=ft; df=(ft1-ft)/0.0001; end if Rec<Re && Re< 4000 f=ftr; df=(ftr1-ftr)/0.0001; end
La respuesta es V=3.09 m/s
Para el caso en que fluye agua el problema se resuelve mediante el programa ya comentado en
clase.
v=1;% valor inicial propuesto
vi=0.001;
ru=0.00006;
ro=1000;
d=0.152;
>> e=1;
>> while e>0.0001
[f,df]=dfv(d,v,vi,ro,ru);
p=0.488-f*v*v/(2*d);
dp=-df*v*v/(2*d)-f*v/d;
vn=v-p/dp;
e=abs(vn-v);
v=vn;
end
function [f,df]=p(d,v,vi,ro,ru)% Función guardada como dfv re=d*v*ro/vi; rr=ru/d; a=rr/3.7; b=log10(a+14.5/re); c=a-5.02*b/re; da=-2*log10(c); f=1/(da*da); v1=v+0.001; re1=d*v1*ro/vi; b1=log10(a+14.5/re1); c1=a-5.02*b1/re1; d1=-2*log10(c1); f1=1/(d1*d1);
18
df=(f1-f)/0.001; end
Resultado
v= 2.94 m/s
Ejemplo de un fluido de Bingham
Una tubería de 2 pulgadas de acero comercial cedula 40 transporta un lodo desde un tanque
abierto con un caudal de 1000 litros por minuto en una longitud de 30m hacia otro tanque,
también abierto. Las propiedades del lodo pueden ser descritas mediante el modelo de un plástico
de Bingham con un esfuerzo de fluencia de 15 dinas/cm2, una viscosidad plástica de 20cp y una
gravedad específica relativa de 1.3. El nivel del lodo en cada tanque es el mismo.
a) ¿Cuál es la potencia de una bomba que tiene una eficiencia de 0.8 para satisfacer las
condiciones de operación del lodo?
b) ¿Cuál es la potencia de la bomba para transportar agua en lugar de lodo?
Respuesta: El balance de energía en estado estacionario se expresa mediante
Los tres primeros tres términos del modelo son cero. Así el balance de energía se reduce a
�
#
�
�
�
$
w
�^
w
tsv
�
�
-
w
^
w
�
w
*
&
:
El flujo de masa w = 1000(1.3)/60 = 21.66 kg/s y la velocidad del lodo es V = Q/A =
(1/60)/(π*(2.067*.0254)2/4) = 0.0166 (m
3/s) / 0.00216 m
2 = 7.66 m/s
Para encontrar f es necesario primero determinar el número de Reynolds. Re =
0.0525*7.66*1300 / 0.02 = 26140.6 y enseguida el número de Hedstrom
�
?
�
�
�
�
B
D
�
q
B
�#
��
w
�
`
�$
w#
�
`
��&�$
B
w
�I��
�
`
�&
B
�
R�s�v
`
t De la grafica mostrada enseguida se encuentra f=0.006
Sustituyendo en el balance de energía:
�
#
�
�
Y
$
w
�
`
F
w
lHa
&�
`
aa
�
&
w
�
`
��a
w
I�
w
l
`
aa
B
�
`
��&� . De aquí hp = 14.6
En el caso de que el fluido sea agua a un Re=26140 y /d = 0.00006/0.0525=0.00114 se encuentra
en el diagrama de Moody f= 0.028. Sustituyendo en el balance de energía y considerando la forma
en que se encuentran en este caso las pérdidas por fricción.
0)/(
)746(*)(*
2
2
Fskgw
EfhpZg
VP
19
�
#
�
�
Y
$
w
�
`
F
w
lHa
&�
`
aa
�
�
`
�&F
w
I�
w
l
`
aa
B
&
w
�
`
��&� . De aquí hp = 17
20