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NOCIONES DE CALCULO VECTORIAL
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ANÁLISIS VECTORIAL
o ÁLGEBRA VECTORIAL: Suma, resta y multiplicación de vectores.
o CÁLCULO VECTORIAL: Gradiente, divergencia y rotacional.
Teorema de la Divergencia. Teorema de Stokes.
o SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONALES: Coordenadas
cartesianas, cilíndricas y esféricas.
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CAMPOS ESCALARES Y
VECTORIALES
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Campo ESCALAR
• Función de la posición que a cada punto del espacio le
asigna una magnitud escalar
• Puede o no ser función del tiempo
– Campo de temperaturas: T(t,x,y,z)
– Altitud geográfica: h(x,y)
– Potencial eléctrico en una región: V(x,y,z)
• Representación: superficies equiescalares
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2-3
-2
-1
0
1
2
3
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
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Campo ESCALAR
Ejemplo: campo de presiones
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Campo VECTORIAL
• Función de la posición que a cada punto del espacio le
asigna una magnitud vectorial
• Puede o no ser función del tiempo
– Campo de gravedad terrestre.
– Campo de velocidad de un fluido.
– Campo eléctrico y campo magnético.
• Representación: líneas de campo Curvas tangentes al
campo en todo punto
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Campo VECTORIAL
Ejemplo: Viento
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Campo VECTORIAL
• Ejemplo: Campo creado por una carga puntual positiva.
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Campo VECTORIAL
• Ejemplo: Campo creado por dos cargas puntuales.
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OPERADORES
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ANÁLISIS VECTORIAL
GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR:
zyxtV ,,,
Describimos la razón de cambio espacial de un campo escalar en un
instante determinado.
z
V
y
V
x
VV ,,
Razón de cambio diferente dependiendo de la dirección Necesitamos un
vector
CARTESIANAS:
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ANÁLISIS VECTORIAL
GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR:
o Es un campo vectorial.
o Su módulo en cada punto nos da el valor de la derivada
direccional máxima.
o Su dirección en cada punto nos indica la dirección de
máxima variación de la función.
o Es perpendicular en todo punto a las superficies
equiescalares del campo.
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ANÁLISIS VECTORIAL
DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL:
La fuerza de un campo vectorial se mide con el FLUJO: número de líneas de
campo que atraviesan una superficie
v
dSAAAdiv s
vlím
0
Flujo neto de salida del campo vectorial por unidad de volumen conforme el
volumen alrededor del punto tiende a cero.
s: Toda la superficie que encierra el volumen
nudSdS ˆ , con apuntando hacia fuera del volumen encerrado nu
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ANÁLISIS VECTORIAL
DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL:
Idea de la pérdida o ganancia del campo vectorial al atravesar el volumen,
informándonos de la presencia de FUENTES o SUMIDEROS en dicho
volumen.
z
A
y
A
x
AAAdiv zyx
CARTESIANAS:
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ANÁLISIS VECTORIAL
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA:
EJEMPLO: Dado
sv
dSAdvA
zyx uyzuxyuxA ˆˆˆ2
Verificar el teorema de la divergencia para un cubo de lado unidad. El
cubo está situado en el primer octante del sistema de coordenadas
cartesianas, con un vértice en el origen.
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ANÁLISIS VECTORIAL
C
dlAC
ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL:
máxc
nAs
dlAus
límAArot
ˆ
1
0
FUENTE DE FLUJO
FUENTE DE VÓRTICE: Ocasiona la circulación de un campo vectorial
a su alrededor
zyx
zyx
AAA
zyx
uuu
A
ˆˆˆ
(CARTESIANAS)
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ANÁLISIS VECTORIAL
VgradAA
0
ROTACIONAL DE UN CAMPO
VECTORIAL:
Medida de la fuerza de ese vórtice
o MÓDULO: Circulación máxima por unidad de área
o DIRECCIÓN: Perpendicular al plano
o SENTIDO: Regla de la mano derecha
CAMPO CONSERVATIVO o IRROTACIONAL:
Ejemplo: Campo eléctrico:
VgradEE
0
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ANÁLISIS VECTORIAL
S C
dlAdSA
TEOREMA DE STOKES:
IDENTIDADES IMPORTANTES:
0
0
F
V
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LAPLACIANO DE UN ESCALAR
El laplaciano de un campo escalar V, se escribe como V2
Y es la divergencia del gradiente de V VV 2
Cartesianas
Cilíndricas
Esféricas
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LAPLACIANO. Igualdad importante
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Operadores --- Coordenadas
Rotacional
aDivergenci
Gradiente ,,
zyx
zyx
BBB
zyx
kji
B
z
B
y
B
x
BB
z
T
y
T
x
TT
Suponiendo que
trabajamos en
coordenadas
cartesianas
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Sistemas de COORDENADAS
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Coordenadas Cartesianas
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Coordenadas Cilindricas
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Coordenadas Esféricas
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OPERADORES EN COORDENADAS…
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GRADIENTE EN COORDENADAS…
CARTESIANAS
CILINDRICAS
ESFÉRICAS
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DIVERGENCIA EN COORDENADAS…
CARTESIANAS
CILINDRICAS
ESFÉRICAS
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ROTACIONAL EN COORDENADAS…
CARTESIANAS
CILINDRICAS
ESFÉRICAS