NOCIONES GENERALES DE COMBINATORIA

ORDEN

m = nº de elementos que disponemos. n = nº de elementos que cogemos. SI NO

NO

m ≠≠≠≠ n VARIACIONES

��� ���� ��

factores_n

nm ).....2m).(1m.(mV −−=

m = n PERMUTACIONES

1).......2n).(1n.(n!nPn −−==

COMBINACIONES

)!nm!.(n

!m

n

mCn

m −=

=

RE

PE

TIR

SI

m ≠≠≠≠ n VARIACIONES CON REPETICIÓN

nnm mVR =

m = n PERMUTACIONES CON REPETICIÓN (Sabiendo como se repiten

!.....r!.r!.r

!mP

321

,...r,r,rm

321 =

COMBINACIONES CON REPETICIÓN

n1nm

nm CCR −+=

FACTORIAL DE UN NÚMERO n! Siendo n un número Natural 0! = 1 1! = 1 2! = 2.1 3! = 3.2.1 . . n! = n.(n-1).(n-2)......1

NÚMEROS COMBINATORIOS

)!nm!.(n

!m

n

mCn

m −=

= siendo m y n números naturales y m ≥ n

EJEMPLO 1 a) ¿Cuántos números de 2 cifras se pueden formar con las cifras impares? Modo 1 : Recuento directo 11 31 51 71 91 13 33 53 73 93 15 35 55 75 95 25 Números 17 37 57 77 97 19 39 59 79 99 Modo 2 : Técnicas de recuento Tengo: 1,3,5,7,9 Cojo: _ _ Orden: Si (13 ≠ 31) Repetir: Si (11) VR5,2 = 52 = 25 números b) ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras impares? Modo 1 : Recuento directo – Largísimo …… Modo 2 : Técnicas de recuento Tengo: 1,3,5,7,9 Cojo: _ _ _ _ Orden: Si (1333 ≠ 3133) Repetir: Si (1111) VR5,4 = 54 = 625 números c) ¿Cuántos números de 2 cifras diferentes se pueden formar con las cifras impares? Modo 1 : Recuento directo 13 31 51 71 91 15 35 53 73 93 20 Números 17 37 57 75 95 19 39 59 79 97 Modo 2 : Técnicas de recuento Tengo: 1,3,5,7,9 Cojo: _ _ Orden: Si (13 ≠ 31) Repetir: No (Cifras diferentes) V5,2 = 5.4 = 20 números d) ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se pueden formar con las cifras impares? Modo 1 : Recuento directo - Larguísmo Modo 2 : Técnicas de recuento Tengo: 1,3,5,7,9 Cojo: _ _ _ _ Orden: Si (1357 ≠ 3157) Repetir: No (Cifras diferentes) V5,4 = 5.4.3.2 = 120 números

e) ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con las cifras 1,2,3? Modo 1 : Recuento directo 123 213 312 132 231 321 6 Números Modo 2 : Técnicas de recuento Tengo: 1,2,3 Cojo: _ _ _ Orden: Si (123 ≠ 132) Repetir: No (Cifras diferentes) m = n ⇒ P3 = 3! = 6 e) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con las cifras 1,2,3? Modo 1 : Recuento directo 111 211 311 112 212 312 27 Números 113 213 313 121 221 321 122 222 322 123 223 323 131 231 331 132 232 332 133 233 333 Modo 2 : Técnicas de recuento Tengo: 1,2,3 Cojo: _ _ _ Orden: Si (123 ≠ 132) Repetir: Si (111) m = n (Pero no se como se repiten) VR3,3 = 33 = 27 Números f) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con las cifras 1,2 de forma que el 2 se repita dos veces? Modo 1 : Recuento directo 122 212 221 ⇒ 3 Números Modo 2 : Técnicas de recuento Tengo: 1,2,2 Cojo: _ _ _ Orden: Si (122 ≠ 212) Repetir: Si (122) m = n (Sé como se repiten(dos doses y un uno)

3!1!.2

!3PR 1,2

3 ==

EJEMPLO 2: Calcula de cuántas formas podemos ordenar 10 libros en una librer ía si…. a) Los libros son diferentes Modo 1 : Recuento directo ⇒ Imposible Modo 2 : Técnicas de recuento Tengo: A,B,C,D,E,F,G,H,I,J Cojo: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Orden: Si (AB….. ≠ BA……) Repetir: No (Los libros son diferentes) m = n ⇒ P10 = 10! = 3.628.800 formas b) Hay 3 libros iguales de mate, 5 iguales de lengua y 2 iguales de histor ia. Modo 1 : Recuento directo ⇒ Imposible Modo 2 : Técnicas de recuento Tengo: M,M,M,L,L,L,L,L,H,H Cojo: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Orden: Si (ML….. ≠ LM……) Repetir: Si (3M, 5L, 2H)

m = n ⇒ 2520!2!.5!.3

!10PR 2,5,3

10 == formas

EJEMPLO 3: En una clase de 26 alumnas a) Elegimos tres para la comisión de festejos m = 26 n = 3 Orden: No (Me importa que me elijan, me da igual la 1ª, que la 2ª, que la 3ª) Repetir: No (No puedo coger dos veces a la misma persona)

C26,3 = 26001.2.3

24.25.26

!23!.3

!26

3

26===

formas

b) Elegimos tres para la comisión de festejos (Una es la presidenta, otra la secretar ia y la tercera la vocal) m = 26 n = 3 Orden: Si (No me da igual ser presidenta, que secretaria que vocal) Repetir: No (No puedo coger dos veces a la misma persona) V26,3 = 26.25.24 = 15.600 formas

EJEMPLO 4: a) Tenemos 3 bicicletas iguales para sor tear entre las 26 alumnas de una clase. ¿De cuántas formas podemos hacer lo si cada alumna sólo se puede llevar una bicicleta? De las 26 alumnas, elijo 3 para darles bicicleta m = 26 n = 3 Orden: No(Todas las bicicletas son iguales) Repetir: No (Cada alumna solo se puede llevar una bicicleta)

C26,3 = 26001.2.3

24.25.26

!23!.3

!26

3

26===

formas

b) Tenemos 3 bicicletas (una de car retera, una de montaña y otra de tr ialsin) para sor tear entre las 26 alumnas de una clase. ¿De cuántas formas podemos hacer lo si cada alumna sólo se puede llevar una bicicleta? m = 26 n = 3 Orden: Si (No me da igual una bici de carretera, que una de montaña,…) Repetir: No (Cada alumna solo se puede llevar una bicicleta) V26,3 = 26.25.24 = 15.600 formas c) Contesta a las dos preguntas anter iores, suponiendo que se permite que una alumna pueda ganar más de una bicicleta. Bicicletas iguales: m = 26 n = 3 Orden: No(Todas las bicicletas son iguales) Repetir: Si (Una alumna se puede llevar más de una bicicleta)

CR26,3 = C26+3-1,3 = C28,3 = 32761.2.3

26.27.28

!23!.3

!28

3

28===

formas

Bicicletas distintas: m = 26 n = 3 Orden: Si (No me da igual ser presidenta, que secretaria que vocal) Repetir: : Si (Una alumna se puede llevar más de una bicicleta) VR26,3 = 263= 17.576 formas

EJERCICIO 1 : Con las cifras 1, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de cuatro cifras distintas se podrán formar de modo que acaben en cifra par? Solución: Los números han de acabar en 4 ó 6, luego hay 2 opciones: _ _ _ 4 _ _ _ 6 En cada uno de estos dos casos hay tres espacios que hemos de llenar con cuatro cifras. Por influir el orden y no poderse repetir las cifras, tendremos: 2 · V4, 3 2 · 4 · 3 · 2 48 Se pueden formar 48 números de cuatro cifras que acaben en cifra par. EJERCICIO 2 : Para formar un equipo de pádel se necesitan 4 jugadores y un entrenador, que se deben elegir de entre un grupo de 10 jugadores y 3 entrenadores. ¿Cuántos equipos distintos se pueden formar? Solución: El orden, a la hora de elegir 4 jugadores, no influye.

Formas de elegir a los jugadores: 10, 410, 4

4

10 9 8 7 210 elecciones4 3 2 1

VC

P

Formas de elegir a los entrenadores 3 formas

Por cada entrenador, tengo 210 maneras de elegir a los jugadores. Como hay 3 entrenadores, en total

tendré 3 · 210 630 equipos.

EJERCICIO 3 : Los 13 alumnos de un grupo de 2º de Bachillerato desean que les hagan una foto a todos juntos, en fila, como recuerdo de su paso por el instituto. En dicha foto no deben aparecer ni dos chicas ni dos chicos juntos. Sabiendo que hay 7 chicas, ¿de cuántas formas distintas pueden colocarse? Solución: Para que no haya ni dos chicos ni dos chicas juntas, la fila ha de empezar y terminar con chica.

chicachico

AO

AOAOAOAOAOAOA

Formas de colocar a las chicas: P7 7 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 5 040 Formas de colocar a los chicos P6 6 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 720 Para una colocación fija de las chicas, tenemos 720 colocaciones de los chicos. Por tanto, en total habrá 5 040 · 720 3 628 800 colocaciones. EJERCICIO 4 : Halla el número de capicúas de seis cifras. Solución: El número será de la forma abccba; luego basta ver cuántas ordenaciones hay con la forma abc. El orden influye y los dígitos del 0 al 9 se pueden repetir: VR10, 3 103 1 000 Ahora bien, la décima parte de estos números empezarán por 0; luego no tendríamos un número de seis cifras sino de cinco cifras.

1Como 1000 100, el número de capicúas de seis cifras es 1000 100 900.10

EJERCICIO 5 : Disponemos de 8 colores para pintar un mural dividido en 3 columnas; cada una de ellas se ha de pintar de un color distinto. ¿Cuántos murales se pueden confeccionar incluyendo el color verde siempre? ¿Y si quisiéramos que apareciera el azul pero no el negro? Solución: En ambos casos, el orden de los colores influye. En el 1er caso, el verde puede estar en cualquiera de las tres columnas. Fijado en una de ellas,

disponemos de 7 colores para pintar dos columnas V7, 2 7 · 6 42 Como hay tres posiciones para el verde: 3 · V7, 2 3 · 42 126 murales

En el 2º caso, fijado el color azul en una columna y no queriendo incluir el negro, disponemos de 6 colores para pintar 2 columnas V6, 2 6 · 5 30 Como hay tres posiciones para el azul: 3 · V6, 2 3 · 30 90 murales

EJERCICIO 6 : Ocho ciclistas van por el carril bici en fila. ¿De cuántas formas pueden ir ordenados? Solución: El orden en la fila influye P8 8! 40 320 Se pueden colocar de 40 320 formas distintas. EJERCICIO 7 : A una familia de 6 personas les ha tocado un viaje para dos personas. ¿De cuántas formas se pueden repartir el viaje?

Solución: 6, 26, 2

2

6 5 30El orden en la selección no influye 152 2

VC

P

El viaje se puede repartir de 15 formas. EJERCICIO 8 : En un concurso de radio participan 7 personas, de las cuales, 2 pueden conseguir los premios, que son: una enciclopedia y una radio. Sabiendo que una persona no puede conseguir los dos premios, ¿cuántas posibles distribuciones hay? Solución: Influye el orden, los premios son distintos V7, 2 7 · 6 42 Hay 42 posibles formas de distribuir los premios. EJERCICIO 9 : Para hacer una transferencia bancaria, Marta tiene que teclear una clave de acceso que consta de 8 cifras con los dígitos 0 y 1. ¿Cuántas claves distintas puede formar? Solución: Para formar un código de ocho cifras con los dígitos 0 y 1, estos se han de repetir; además, el orden influye: VR2, 8 28 256 Marta puede formar 256 claves distintas. EJERCICIO 10 : Para desayunar, Mario elige 4 pastas distintas de las 12 clases que tiene. ¿Cuántas

posibles elecciones hay?

Solución: No influye el orden y las pastas no se pueden repetir: 12, 412, 4

4

12 11 10 9 4954 3 2 1

VC

P

Puede desayunar las pastas de 495 formas distintas.

EJERCICIO 11 : Con las cifras impares, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar pudiéndose repetir las cifras? Solución: Las cifras impares son 1, 3, 5, 7 y 9, y queremos agruparlas de tres en tres. Como el orden influye y las cifras se pueden repetir VR5, 3 53 125 Por tanto, hay 125 posibilidades. EJERCICIO 12 : Cierto equipo de baloncesto cuenta con 11 jugadores, pero solo se necesitan 5 para jugar un partido. ¿Cuántas alineaciones distintas se podrán formar?

Solución: 11, 511, 5

5

11 10 9 8 7El orden no influye 462 5 4 3 2 1

VC

P

Se podrán formar 462 alineaciones distintas. EJERCICIO 13 : Con todas las letras de la palabra TIJERA, ¿cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden formar sin repetir las letras? Solución: El orden influye y las letras no se pueden repetir P6 6 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 720 Por tanto, se pueden formar 720 palabras. EJERCICIO 14 : En un campeonato de motos hay 15 participantes y tres premios a repartir. ¿De cuántas formas se pueden repartir? Solución: Influye el orden en que lleguen las motos a la meta y, lógicamente, un mismo participante no puede conseguir más de un premio. Así:V15, 3 15 · 14 · 13 2 730 Así, hay 2 730 maneras de repartir los premios.

EJERCICIO 15 : Belén necesita seleccionar 4 personas, entre los 20 candidatos que tiene, para formar su equipo de trabajo. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección?

Solución: El orden en que se haga la selección no influye: 20, 420, 4

4

20 19 18 17 48454 3 2 1

VC

P

Tiene 4 845 formas distintas de hacer la selección. EJERCICIO 16 : ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas podemos formar con los dígitos 2, 4, 6, 8 y 9? Solución: Como influye el orden, y las cifras del número han de ser distintas V5, 4 5 · 4 · 3 · 2 120 Por tanto, hay 120 números de cuatro cifras distintas. EJERCICIO 17 : Con las letras de la palabra JUNIO, ¿cuántas palabras, con o sin significado, podemos formar con 4 letras, pudiendo estas repetirse? Solución: Como influye el orden, y las letras se pueden repetir VR5, 4 54 625 Por tanto, se pueden formar 625 palabras. EJERCICIO 18 : En un torneo de balonmano hay 8 equipos participantes y solo 3 trofeos, ¿de cuántas maneras distintas se pueden repartir los premios 1º, 2º y 3º? Solución: Es de suponer que un mismo equipo no va a recibir dos trofeos; además, el orden influye V8, 3 8 · 7 · 6 336 Por tanto, se pueden repartir de 336 formas distintas. EJERCICIO 19 : Tenemos que formar un código de 6 cifras con los dígitos 0 y 1. ¿Cuántas posibilidades hay? Solución: Como influye el orden, los dígitos han de repetirse VR2, 6 26 64 Por tanto, hay 64 posibilidades distintas. EJERCICIO 20 : Sabiendo que los puestos de delegado y de subdelegado no pueden ser cubiertos por la misma persona, calcula cuántas posibilidades hay para cubrir ambos cargos en una clase de 22 alumnos. Solución: Como influye el orden, y una misma persona no puede ocupar ambos puestos V22, 2 22 · 21 462 Por tanto, hay 462 posibilidades distintas. EJERCICIO 21 : Con las letras de la palabra CUADERNO, ¿cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden formar? Solución: P8 8! 40 320 Se pueden formar 40 320 palabras. EJERCICIO 22 : En una carrera organizada en un centro escolar participan los 6 finalistas de 4º ESO. ¿De cuántas formas distintas pueden llegar a la meta? Solución: P6 6! 720 Pueden llegar de 720 formas distintas. EJERCICIO 23 : Con los dígitos impares, ¿cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar? Solución: Como los dígitos impares son 1, 3, 5, 7 y 9, y con ellos se quieren formar números de cinco cifras distintas P5 5! 120 Por tanto, se pueden formar 120 números de cinco cifras distintas. EJERCICIO 24 : ¿De cuántas formas se pueden repartir 4 bocadillos distintos entre 4 amigos, si cada uno debe recibir solo uno? Solución: P4 4! 24 Se pueden repartir los bocadillos de 24 formas.

EJERCICIO 25 : Ana, Pilar y Susana tienen que elegir una optativa entre 3 posibilidades para el próximo curso. Si entre ellas no quieren coincidir en la misma optativa, ¿de cuántas formas se podrían llegar a repartir las optativas? Solución: P3 3! 6 Tienen 6 posibilidades para repartirse las tres optativas. EJERCICIO 26 : Marcos tiene 8 sabores distintos de helado para preparar copas de 3 sabores. ¿Cuántas copas distintas puede preparar?

Solución: 8, 38, 3

3

8 7 6 563 2 1

VC

P

Podrá preparar 56 copas diferentes.

EJERCICIO 27 : En una empresa se quieren contratar 5 agentes de seguridad. Si al proceso de selección se presentan 10 personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden ocupar las cinco plazas?

Solución: 10, 510, 5

5

10 9 8 7 6 2525 4 3 2 1

VC

P

Se pueden ocupar las plazas de 252 formas diferentes.

EJERCICIO 28 : Un club de tenis dispone de 15 jugadores profesionales de los cuales debe seleccionar 8 para jugar un torneo. ¿Cuántos grupos se pueden formar?

Solución: 15, 815, 8

8

15 14 13 12 11 10 9 8 6 4358 7 6 5 4 3 2 1

VC

P

Se pueden formar 6 435 grupos distintos.

EJERCICIO 29 : En un centro de trabajo se tienen que elegir a cuatro de sus 18 empleados para representar a la empresa en una reunión del sector. ¿Cuántas elecciones diferentes pueden darse?

Solución: 18, 418, 4

4

18 17 16 15 30604 3 2 1

VC

P

Se pueden elegir a los cuatro trabajadores de 3 060

formas distintas. EJERCICIO 30 : De una lista de 12 discos, Rosa tiene que seleccionar 5 diferentes para regalar. ¿Cuántas selecciones distintas puede hacer?

Solución: 12, 512, 5

5

12 11 10 9 8 7925 4 3 2 1

VC

P

Puede elegir los discos de 792 formas distintas.

EJERCICIO 31 : Con 0, 1, 2, 3 y 4, ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar, sin repetir ningún dígito? Solución: Como influye el orden, y los dígitos no se pueden repetir P5 5! 5 · 4 · 3 · 2 · 1 120 Pero la quinta parte de estos números empezarán por 0, y por tanto serán números de cuatro cifras, no de

cinco. 1Luego: 120 24 120 24 965

Hay 96 números de cinco cifras que se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4. EJERCICIO 32 : ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse con las letras de la palabra PINCEL de modo que comiencen y terminen por consonante? Solución :Influye el orden y las letras son distintas. Formas de colocar las consonantes al comienzo y al final de la palabra:

consonante _ _ _ _ consonante V4, 2 4 3 12 formas Formas de colocar las cuatro letras centrales: P4 4! 24 formas Así, como por cada palabra que empieza y termina en consonante, hay 24 formas de colocar las letras centrales, en total habrá 12 · 24 288 ordenaciones.

EJERCICIO 33 : Para formar la tripulación de un avión se eligen 3 comandantes y 4 azafatas entre un grupo de 11 personas, 5 de las cuales son comandantes y el resto, azafatas. ¿Cuántas tripulaciones distintas se pueden formar? Solución:

Formas de elegir a los comandantes: 5, 35, 3

3

5 4 3 10 eleciones distintas3 2

VC

P

Formas de elegir a las azafatas: 6, 46, 4

4

6 5 4 3 15 elecciones distintas4 3 2 1

VC

P

Por cada elección de comandantes, hay 15 elecciones posibles de azafatas. En total habrá 10 · 15 150 tripulaciones distintas. EJERCICIO 34 : El sistema actual de matrículas combina 4 cifras con 3 letras, que se eligen entre 10 cifras y 26 letras. ¿Cuántas matrículas distintas se pueden hacer? Solución: Tanto a la hora de agrupar las 4 cifras como las 3 letras, se ha de tener en cuenta que el orden influye y que se pueden repetir. Así: Agrupaciones de las 4 cifras VR10, 4 104 10 000 Agrupaciones de las 3 letras VR26, 3 263 17 576 En total habrá: VR10, 4 VR26, 3 175 760 000 matrículas distintas EJERCICIO 35 : ¿De cuántas formas pueden sentarse 4 hombres y 4 mujeres en una fila de un cine si quieren estar alternados? Solución: Tenemos las siguientes posibilidades: H1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 M4 M2 H3 M1 H2 M4 H1 M3 H4 En cada uno de los dos casos anteriores ocurre: Formas de colocar a los hombres: P4 4! 4 · 3 · 2 · 1 24 formas distintas Formas de colocar a las mujeres: P4 24 formas distintas En total, existirán 2 · 24 · 24 1 152 maneras distintas de sentarse. EJERCICIO 36 : Dos amigos juegan al futbolín y acuerdan que será vencedor el que gane dos partidas seguidas o tres alternativas no hay empate. ¿De cuántas formas puede desarrollarse el juego? Solución: A: gana el jugador A B: gana el jugador B

Son 10 las formas en que puede desarrollarse el juego: A A B A A A B A A B A B A A A B A B A B A B A B A B A B B B A B B A B B B B EJERCICIO 37 : Tengo dos monedas de 1 €, dos de 2 € y dos de 50 cent. Tomando tres de las seis monedas, ¿cuántas sumas distintas puedo hacer? Solución:

Son 7 las sumas que podemos hacer: 1 1 2 1 1 0,5 1 2 2 1 2 0,5 1 0,5 0,5 2 2 0,5 2 0,5 0,5

EJERCICIO 38 : ¿Cuántos productos de tres cifras iguales o distintas podemos hacer con los números 1, 2 y 3? Solución:

Son 10 productos diferentes: 111 1-12 113 122 123 133 222 223 233 333 EJERCICIO 39 : En el descanso de un partido de fútbol el marcador señalaba 0 1. ¿De cuántas formas pudo ir variando el marcador hasta llegar al resultado final de empate a 3 goles? Solución:

Son 10 formas posibles: 01 11 21 31 32 33 01 11 21 22 32 33 01 11 21 22 23 33 01 11 12 22 32 33 01 11 12 22 23 33 01 11 12 13 23 33 01 02 12 22 32 33 01 02 12 22 23 33 01 02 12 13 23 33 01 02 03 13 23 33

EJERCICIO 40 : Con las letras de la palabra ALBA, ¿cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden hacer? Solución:

Son 12 palabras: AALB BAAL AABL BALA ALAB BLAA ALBA LAAB ABAL LABA ABLA LBAA EJERCICIO 41 : Pablo tiene 5 pantalones y 15 camisas distintas, ¿de cuántas formas diferentes se puede vestir? Solución: Por cada pantalón podemos usar 15 camisas; como hay 5 pantalones, en total hay 15 · 5 75 formas de combinar pantalón y camisa. EJERCICIO 42 : En cierto instituto se ofrecen 2 áreas optativas para 1º ESO, 3 para 2º ESO, 4 para 3º ESO y 5 para 4º ESO. ¿Entre cuántos itinerarios distintos puede elegir un alumno? Solución: Elegida la optativa de 1º ESO, hay 3 posibilidades para la de 2º ESO 2 · 3 6 Elegidas las optativas de 1º ESO y de 2º ESO, hay 4 opciones para elegir la de 3º ESO 6 · 4 24 Elegidas las optativas de 1º ESO, de 2º ESO y de 3º ESO, hay 5 posibilidades para la de 4º ESO:24·5120 Por tanto, en total habrá 120 2 · 3 · 4 · 5 120 itinerarios distintos. EJERCICIO 43 : Si lanzamos 3 dados y una moneda, ¿cuántos resultados posibles podemos obtener? Solución: Al lanzar un dado tenemos 6 posibilidades; al lanzar dos, obtenemos 6 · 6 36 posibilidades; y al lanzar tres, habrá 36 · 6 216 opciones. Como los posibles resultados del lanzamiento de una moneda son 2, en total habrá 2 · 216 432 resultados. EJERCICIO 44 : Un restaurante dispone de 10 primeros platos, 8 segundos y 5 postres. ¿Cuántos menús diferentes se pueden confeccionar? Solución: Por cada primer plato, puedo elegir 8 segundos; como hay 10 primeros, tendremos 10 · 8 80 posibilidades para elegir el primer y segundo platos. Elegidos los dos primeros platos, se pueden escoger 5 postres distintos; luego en total habrá 80 · 5 400 menús distintos. EJERCICIO 45 : Queremos crear un código que conste, en primer lugar, de una vocal, y a continuación de dos cifras distintas elegidas entre el 1 y el 9 ambos incluidos. ¿Cuántos elementos distintos podemos conseguir con este código? Solución: Para cada vocal, hay 9 posibilidades de elegir la primera cifra y 8 posibilidades para la segunda cifra. Como hay 5 vocales, en total tendremos 5 · 8 · 9 360 elementos.

EJERCICIO 46 : ¿Cuántas diagonales tiene un heptágono? Solución:

De cada vértice salen 4 diagonales, pero cada diagonal es común a dos vértices. Luego un heptágono que

tiene 7 vértices tendrá: 7 4 14 diagonales2

EJERCICIO 47 : Juan tiene 20 € y decide participar en un juego que consiste en lanzar una moneda 4 veces. En cada tirada debe apostar 20 €, que pierde si sale cruz. Si sale cara, gana 20 € más. Escribe todos los resultados que pueden darse sabiendo que si se queda sin dinero concluye el juego. Solución:

Por tanto, hay 8 posibles resultados: X CXCX CCXX CCCX CXX CXCC CCXC CCCC EJERCICIO 48 : Los 25 municipios de una ciudad están unidos a los demás por distintas líneas de tren. ¿Cuántas líneas habrá en total? Solución: De cada municipio salen 24 líneas; como hay 25 municipios, en principio habría 24 · 25 600 líneas, pero tenemos que considerar que las hemos contado dos veces la línea que une el municipio A con el B es la misma que la que une B con A.

Así, el número total de líneas será: 600 300 líneas

2

EJERCICIO 49 : A una fiesta acuden 6 parejas. Cada persona saluda con un abrazo al resto, menos a su compañero/a. ¿Cuántos abrazos se han dado en total en la fiesta? Solución: Cada persona saluda a todas las demás excepto a su pareja, esto es, da 10 abrazos. Como hay 12 personas 6 parejas 12 personas, habrá 12 · 10 120 abrazos; pero tenemos que pensar que así los hemos contado dos veces.

Por tanto, el número total de abrazos será: 120 60 abrazos

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EJERCICIO 50 : Dadas las letras A, B, C, E, indica cuántas ordenaciones se pueden hacer sabiendo que nunca pueden ir juntas ni dos vocales ni dos consonantes. Solución: Las vocales se pueden organizar de 4 formas: A _ E_ _A _ E E _ A_ _E _ A En cada caso hay 2 posibilidades de poner las consonantes. Por tanto, en total habrá 2 · 4 8 ordenaciones.

EJERCICIO 1 : ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con los nueve primeros números, sin que se repitan las cifras? EJERCICIO 2 : ¿Cuántas pesadas diferentes podrán hacerse con ocho pesas distintas, tomándolas de tres en tres? EJERCICIO 3 : ¿De cuántas formas pueden colocarse los cinco delanteros de un equipo de fútbol, si los extremos permanecen invariables? EJERCICIO 4 : Con 1, 2, 3, 4, 6, ¿cuántos números de cinco cifras, no repetidas, pueden formarse que sean múltiplos de 2? EJERCICIO 5 : Una línea de autobuses consta de 15 puntos de parada, ¿cuántos billetes tendrán que imprimir, si cada uno lleva las estaciones de origen y llegada y sirviendo el billete para un sentido o para el otro? EJERCICIO 6 : Para jugar al dominó siete fichas hacen un juego. Sabiendo que son 28 fichas, hallar cuántos juegos diferentes podrán obtenerse. EJERCICIO 7 : ¿De cuántas maneras podrán distribuirse ocho premios iguales entre 12 aspirantes? ¿Y si los premios fueran diferentes? EJERCICIO 8 : En un plano tenemos nueve puntos, que no están tres en línea recta, ¿cuántas rectas distintas podemos trazar? EJERCICIO 9 : ¿De cuántas maneras puede ser perseguidos cinco ratones por cinco gatos, teniendo en cuenta que al gato más pequeño le dejan el menor ratón? EJERCICIO 10 : Una persona tiene dos sortijas diferentes. ¿De cuántas maneras puede ponérselas, ya en la mano derecha, ya en la izquierda, colocando una sola sortija en cada dedo y exceptuando el pulgar de cada mano? EJERCICIO 11 : ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 5 alumnos en un banco? ¿Y alrededor de una mesa circular? EJERCICIO 12 : Con tres vocales y tres consonantes, ¿cuántas palabras de seis letras pueden formarse con la condición de que no figuren dos consonantes seguidas ni tres vocales seguidas? EJERCICIO 13 : Calcular el número de ordenaciones que pueden hacerse, conteniendo sin repetición, todas las letras de la palabra NOVELA, en las que no hay dos vocales ni dos consonantes juntas. EJERCICIO 14 : ¿Cuántos números de seis cifras sin repetir, pueden formarse con las seis primeras cifras significativas (1, 2, 3, 4, 5, 6) y que sean menores que 650.000? EJERCICIO 15 : ¿Cuántos números de cuatro cifras, no repetidas, pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿En cuántos entrará la cifra 5? EJERCICIO 16 : ¿Cuántos números podríamos formar con las nueve cifras significativas (1...9), de manera que en cada número entren todas y no se repita ninguna? ¿Cuántos empiezan por 123? EJERCICIO 17 : Un destacamento de 26 hombres debe guarnecer una posición con 4 hombres, ¿Cuántas guardias diferentes, pueden formar? ¿Cuántas veces entra en servicio cada hombre? EJERCICIO 18 : En un cuartel hay cinco capitanes y 200 soldados. Cada día hacen guardia 1 capitán y 10 soldados. ¿Cuántas guardias diferentes se pueden formar? EJERCICIO 19 : Hallar cuántos números hay mayores que 1.000 y menores que 4.000 que estén formados por cuatro cifras, sin repetir entre la ocho primeras cifras significativas.

EJERCICIO 20 : ¿Cuántas banderas tricolores se pueden formar con los siete colores del espectro, con la condición de que en todas ellas entre el color amarillo y en ninguna figure el violeta? EJERCICIO 21 : Un restaurante tiene tres clases de sopa, 4 clases de carne y 5 clases de postre. ¿De cuántas maneras diferentes puede elegir una persona un menú formado por sopa, carne y dos postres? EJERCICIO 22 : ¿De cuántos modos diferentes pueden alinearse los 11 jugadores de un equipo de fútbol, admitiendo que un defensa, el portero y el extremo izquierda juegan siempre en la misma posición? EJERCICIO 23 : ¿Cuántos números diferentes entre 1.000 y 10.000 pueden formarse con las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 si las cifras pueden ser iguales o distintas? ¿Y si ninguna de las cifras se puede repetir? EJERCICIO 24 : ¿Cuántas ordenaciones pueden hacerse con las letras, A, B, C, q, r de manera que: a) Comiencen por mayúscula b) Comiencen y terminen por mayúscula. EJERCICIO 25 : Hallar los distintos grupos que se pueden formar con cuatro cifras y cuatro letras, con la condición de que en todos, aparezcan dos cifras y tres letras. EJERCICIO 26 : ¿Cuántos números capicúas hay de cinco cifras? EJERCICIO 27 : ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 que sean mayores de 20.000 y menores que 50.000? EJERCICIO 28 : ¿Cuántas ordenaciones distintas pueden hacerse con las letras de la palabra MATEMATICAS? EJERCICIO 29 : Se tienen 7 libros grandes distintos, 5 medianos y 3 pequeños. ¿De cuántas formas diferentes se pueden alinear en un estante si han de colocarse juntos los del mismo tamaño? EJERCICIO 30 : A una reunión asisten veinte personas. a) ¿Cuántos grupos distintos de seis personas puedan formarse?. b) ¿En cuántos de esos grupos entre la persona A?. c) En cuántos entran las personas A, B y C?. d) ¿En cuántos de estos grupos no está la persona A? EJERCICIO 31 : Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de cinco cifras distintas se pueden hacer que sean múltiplos de 5? EJERCICIO 32 : En una carrera participan 5 coches, con las mismas posibilidades iniciales de ganar. ¿Cuántas clasificaciones distintas se pueden producir al final, si cada uno de los cinco emplea distinto tiempo? EJERCICIO 33 : Se tiene seis libros encuadernados en negro, cuatro en rojo y tres en azul. ¿De cuántas maneras pueden colocarse alineados en un estante, con tal de que estén juntos los del mismo color? ¿Y si los del mismo color fuesen iguales entre si? Contesta a las dos preguntas anteriores si no es necesario que estén juntos los del mismo color. EJERCICIO 34 : De las cuarenta preguntas de que consta un test, una persona debe de contestar a treinta. A) ¿De cuántos modos puede elegir? B) ¿De cuántas maneras, si las diez primeras son obligatorias?. EJERCICIO 35 : Se tienen dos conjuntos A = { 2, 4, 6, 8} y B = { 1, 3, 5} . ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes pueden formarse, tomando dos elementos de A y dos de B? EJERCICIO 36 : ¿Cuántos números distintos se pueden formar con las cifras del número 3.232.121? EJERCICIO 37 : Una fábrica de helados tiene dieciocho extractos diferentes para dar sabor. ¿Cuántos helados “al corte” , del tipo “ tres gustos” puede preparar? EJERCICIO 38 : En una reunión hay tres chicas y siete chicos. ¿Cuántos grupos distintos de cuatro personas pueden formarse? Si se quiere que en cada grupo formado haya una chica, ¿cuántos grupos hay en este caso?