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SIMILI………MA

NON UGUALI

SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO

“ANGELO MARIA RICCI”

UNITA’ DI APPRENDIMENTO SULLE

SIMILITUDINI

DOCENTI: Sara Mostocotto e Loretta Brachini

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SIMILI …….. MA NON UGUALI

Obiettivi di apprendimento

Acquisire il concetto di figure simili da un punto di vista

prima operativo e poi formalizzato.

• Saper riconoscere figure simili tra loro.

• Saper calcolare uno o più elementi di una figura

attraverso dati di una figura ad essa simile, anche in

contesti reali.

• Saper individuare i criteri di similitudine dei triangoli.

Materiali utilizzato:

• schede di osservazione

• schede di lavoro

• Strumenti di disegno geometrico

• Spago, cannucce colorate, forbici

• LIM

Tempo impiegato

• Progettazione dell’unità di apprendimento: 12 ore

• Svolgimento dell’attività in classe e relativa: 10 ore

Descrizione del percorso didattico

Fase 1:

- Si propone ai ragazzi una serie di schede preparate dall’insegnante, in cui si evidenziano le

isometrie, l’ingrandimento e la riduzione per arrivare alla similitudine.

- Si chiede, attraverso una discussione guidata, di individuare somiglianze e diversità fino ad

arrivare al concetto di ingrandimento e di deformazione e ad una definizione condivisa di

figure simili.

Fase 2:

- Si propone agli alunni di visionare una serie di immagini planimetriche relative alla loro

scuola per individuare, tra le proposte fornite, le eventuali similitudini.

Fase 3:

- Si fornisce nella figura n. 1 un’immagine su carta millimetrata prima ridotta in scala e poi

deformata in vario modo.

- Si fornisce nella figura n. 2 una serie di rettangoli di cui alcuni sono simili e altri no.

- L'obiettivo di questo esercizio è portare i ragazzi a lavorare per gruppi in modo da

constatare che due rettangoli non sono simili se ad entrambe le dimensioni viene aggiunta

la stessa quantità, ma lo sono solo se entrambe le dimensioni vengono moltiplicate o divise

per lo stesso numero.

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Fase 4

- Presentando delle figure geometriche, attraverso la misurazione diretta dei lati si richiede,

dove le figure siano simili, l’individuazione del rapporto di similitudine.

Fasi 5

- Si propone un lavoro sul rombo per introdurre la necessità, affinché due figure siano simili,

di avere, oltre ai lati omologhi in proporzione, anche angoli corrispondenti uguali.

- Si arriverà così alla definizione rigorosa del concetto di similitudine (si chiede quindi ai

ragazzi di verbalizzare quali possano essere le condizioni per le quali 2 rombi siano simili

tra loro).

- Dalla discussione collettiva e dalla sintesi finale operata dall'insegnante, dovrebbe

emergere la definizione di figure simili tra loro.

Fase 6

- Similitudine dei triangoli: si forniscono ai ragazzi delle cannucce colorate di tre colori e dello

spago; con l’uso di righello e goniometro si arriverà alla formalizzazione dei criteri di

similitudine.

Fase 7

- Verifica

Fase 8

- Analisi dei risultati, punti di forza e punti di debolezza.

Obiettivi essenziali di apprendimento

Elementi salienti dell’approccio metodologico

La metodologia applicata si basa su alcuni elementi fondamentali:

1. Didattica laboratoriale: il lavoro è stato progettato per essere «realizzato» essenzialmente dagli

studenti, utilizzando materiale predisposto dagli insegnanti.

2. Alla fase di stimolo iniziale e di osservazione segue un lavoro di verbalizzazione scritta, nel

quale gli studenti devono cercare di scrivere le loro osservazioni e deduzioni.

3. Dalla lettura delle verbalizzazioni, segue una discussione collettiva che consente il confronto tra

le diverse ipotesi e fa prendere coscienza di una visione più completa del fenomeno osservato.

4. Normalmente dalla discussione collettiva emergono degli elementi che portano i ragazzi a

rivedere le proprie deduzioni, che devono in questa fase essere corrette o ampliate.

5. L’insegnante, infine, effettua una sintesi finale nella quale può anche utilizzare le migliori

produzioni degli alunni.

• I momenti di esercizio sono di gruppo, a seconda degli obiettivi che si intendono perseguire:

1. Nella fase di costruzione della conoscenza i ragazzi, specialmente quando si affrontano

argomenti complessi, lavorano a piccoli gruppi (2- 3 ragazzi).

2. La fase di lavoro individuale (verifica finale), ha l’obiettivo di mettere l’alunno da solo

difronte ad una situazione problematica affinché sia possibile valutare, sia da parte

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dell’insegnante che dell’alunno stesso, l’effettiva acquisizione di conoscenze e

competenze.

ATTIVITA’ PROPOSTE

ATTIVITA’ FASE 1

FIGURA 1: Si comincia con rotazioni e traslazioni. Cosa cambia in queste

immagini?

OSSERVAZIONE: la figura è la stessa. Cambia solo la

posizione.

FIGURA 2

OSSERVAZIONE: La seconda figura è un ingrandimento della prima. La terza ne è un

rimpicciolimento.

FIGURA 3

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OSSERVAZIONE: la seconda figura è un ingrandimento della prima.

SI FORNISCE UNA PRIMA INGENUA DEFINIZIONE DI SIMILITUDINE: Due figure sono

simili se sono ottenute una dall’altra con uno “zoom” indipendente dalla loro posizione nello spazio.

ATTIVITA’ FASE 2

Ora la situazione è più complicata.

FIGURA 1

Si propone di osservare due immagini della pianta del piano terra della scuola.

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Si richiede di colorare in modo diverso le stanze corrispondenti.

FIGURA 2

Si propone di osservare le seguenti immagini della pianta del primo piano della scuola e si chiede

quali delle seguenti figure sono simili.

ULTERIORE ESEMPIO, questa volta però CON UNA STANZA DIVERSA.

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Seconda scoperta: se due figure sono simili ad ogni parte della figura corrisponde una ed una sola

parte dell’altra figura.

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ATTIVITA’ FASE 3

FIGURA 1

Per avviare la discussione si propone ai ragazzi una serie di immagini preparate dall’insegnante: una originale e la sua riduzione in scala 2:1, altre due in cui invece sia stata effettuata una deformazione cambiando solo una delle due dimensioni. • Si chiede di confrontare la stessa immagine in queste 4 diverse situazioni e di scrivere le proprie osservazioni. • Attraverso la discussione si cerca di far emergere le somiglianze e le differenze, fino ad arrivare al concetto di ingrandimento e di deformazione e ad una definizione condivisa di figure simili.

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FIGURA 2

Si ripropone ai ragazzi una serie di coppie di rettangoli di cui solo alcune simili. I ragazzi, con l’ausilio della quadrettatura, dovranno individuare le coppie di rettangoli simili.

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ATTIVITA’ FASE 4

FIGURA 1a

Si propongono ora immagini simili. Viene chiesto agli allievi di individuare, con l’uso del righello,

perché sono simili. Si cercherà di guidare le risposte dei ragazzi.

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FIGURA 1b

Tale rappresentazione viene fornita in seguito per aiutare la dove con la prima figura l’alunno non

sia riuscito ad individuare i quadrati corrispondenti.

Ad ogni quadrato corrisponde un quadrato e con un righello far osservare che i lati dei quadrati

della seconda figura sono tutti raddoppiati.

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FIGURA 2: Si propone di osservare le seguenti immagini e vedere se sono simili o meno,

motivando le risposte.

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Il rettangolo è stato rimpicciolito ma il quadrato no. Tutti i pezzi devono essere rimpiccioliti allo

stesso modo.

ATTIVITA’ FASE 5

• Si consegna ai ragazzi una fotocopia con 3 rombi: uno di lato 5 cm, uno di lato 10 cm

ottenuto per ingrandimento del precedente, e quindi simile ad esso, l'ultimo con il lato di 10

cm ma non simile.

• Si chiede di individuare quali sono i rombi simili e di motivare, anche attraverso numeri o

calcoli, la risposta. Dalla lettura delle verbalizzazioni scritte dovrebbe emergere che anche

se il rapporto tra i lati del rombo al centro con quelli degli altri due rombi è in entrambi i casi

1/2, solo il primo e il secondo rombo sono simili tra loro.

• Dalla discussione collettiva dovrebbe scaturire che la differenza tra le due situazioni

analizzate risiede nell’ampiezza degli angoli.

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• Dalla discussione collettiva e dalla sintesi finale operata dall'insegnante, dovrebbe

emergere la definizione di figure simili tra loro, cioè figure nelle quali gli angoli

corrispondenti sono congruenti e i lati omologhi sono in proporzione.

ATTIVITA’ FASE 6

I criterio di similitudine • Si richiede agli alunni di tagliare le cannucce di colore blu una di 4 cm e una di 2 cm; allo

stesso modo si taglieranno le cannucce gialle una di 8 cm e una di 4 cm e quelle di colore

rosso una di 10 cm e una di 5 cm. A questo punto, gli alunni faranno passare lo spago

all’interno delle tre cannucce di colore diverso al fine di formare due triangoli,

rispettivamente di lati 4 cm, 8 cm, 10 cm e di lati 2 cm, 4 cm, 5 cm.

• Alla richiesta di definire se i due triangoli sono o meno simili e di motivare la risposta da un

punto di vista matematico, i ragazzi dovrebbero calcolare il rapporto tra i lati corrispondenti,

che risulterà uguale. Si richiede infine, di misurare con il goniometro anche l’ampiezza

degli angoli corrispondenti, che risulterà uguale.

• Dalla discussione collettiva dovrebbe quindi emergere che due triangoli che hanno gli

angoli corrispondenti congruenti hanno anche i lati omologhi in proporzione e sono quindi

simili tra loro.

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II criterio di similitudine

• Si ripete il lavoro facendo costruire direttamente due triangoli. Con cannucce dello

stesso colore, della lunghezza rispettivamente di 5 cm e 10 cm, e dopo aver misurato

gli angoli adiacenti ai due segmenti dell’ampiezza di 37° e 53°, si richiede di costruire

due triangoli. In questo modo, senza saperlo, i ragazzi costruiscono 2 triangoli rettangoli

i cui lati appartengono a terne pitagoriche, in modo da facilitare la successiva

misurazione dei lati e il loro confronto.

• Dalla discussione collettiva dovrebbe quindi emergere che due triangoli con un lato in

proporzione e i due angoli adiacenti ad esso congruenti sono simili tra loro.

III criterio di similitudine

• Una volta costruiti i due triangoli si richiede di determinare, prescindendo dagli angoli, se i

lati sono in proporzione.

• Dalla discussione collettiva dovrebbe quindi emergere che due triangoli sono simili,

motivando la risposta anche da un punto di vista matematico (i ragazzi dovrebbero

misurare i lati con il righello e calcolare il rapporto tra i lati corrispondenti).

• Dalla discussione collettiva dovrebbe quindi emergere che due triangoli i cui lati

corrispondenti sono in proporzione, sono simili.

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FASE 7

VERIFICA

COGNOME E NOME: …………………………….

CLASSE: …………………… DATA: ………..

1) VERO O FALSO?

Due figure sono simili se hanno stessa forma V F

I quadrati sono tutti simili V F

I rettangoli sono tutti simili V F

I rombi sono tutti simili V F

Figure congruenti sono anche simili V F

Figure simili sono anche congruenti V F

2) Per ciascuna coppia di rettangoli indica se si tratta di figure simili, giustifica la tua

risposta:

a.

b.

c.

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3) Le figure sono simili? (Prova a scomporle in quadrilateri e triangoli). Giustifica la tua

risposta.

4) Un triangolo ha i lati che misurano 4cm, 5cm,7cm. Un altro simile al primo ha il lato

maggiore della misura 21cm. Determina la misura dei lati del secondo triangolo.

a. 12cm, 25cm, 21cm

b. 20cm, 15cm, 21cm

c. 12cm, 15cm, 21cm

d. 12cm, 12cm, 21cm

5) Un rombo ha un angolo che misura 105° e il lato 24cm. Un secondo rombo simile al

primo ha un lato che misura16 cm. Determina la misura degli angoli del secondo

rombo ed il rapporto di similitudine.

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6) Aiutandoti con la quadrettatura cerca di individuare il valore del rapporto tra le aree

tra questi due rettangoli simili. Prova poi a generalizzare e ad individuare a cosa è

uguale il rapporto tra le aree di due figure simili. Giustifica le tue risposte.

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7) Aiutandoti con la figura prova a determinare l’altezza dell’OROLOGIO DI FLORA.

Spiega il procedimento seguito.

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FASE 8

ANALISI DEI RISULTATI:

Il lavoro è stato proposto in una classe terza come recupero e ripasso di concetti già affrontati all’inizio

dell’anno in corso ed in una classe seconda come argomento nuovo.

In entrambe le situazioni è emerso direttamente dagli allievi che si è trattato di lezioni divertenti e stimolanti.

Lavorare in gruppo ed in particolare operare manualmente li ha coinvolti tutti e la loro partecipazione è stata

totale. Alcuni ragazzi di terza hanno affermato inoltre di aver capito ciò che nelle precedenti lezioni frontali

era stato recepito in modo confuso.

Nel primo caso i ragazzi sia nelle esercitazioni in classe che nella verifica finale hanno lavorato con

disinvoltura e anche la verifica nel complesso è risultata priva di particolari difficoltà.

Sono risultate semplici le domande 1-2-4-5-7.

Riguardo la domanda 3, nonostante fosse stato consigliato di scomporre la figura in triangoli e quadrilateri,

qualcuno ha misurato con il righello i lati e verificato attraverso il calcolo.

Nella domanda 6 invece molti allievi, avendo ricordato il valore del rapporto di similitudine tra le aree si sono

limitati ad applicare la formula; altri invece hanno contato il numero di quadratini conseguendo quasi sempre

il risultato corretto.

Durante l’attività n. 5, i ragazzi sono arrivati a focalizzare e/o a ricordare il concetto di similitudine e il relativo

rapporto; a questo punto abbiamo proposto di verificare il rapporto di similitudine trovato nelle figure per

perimetri, diagonali ed altezze e uno dei punti dolenti e stato il tracciare le altezze relative ad alcune figure.

Inoltre, tale lavoro ha permesso di ripassare e puntualizzare alcuni concetti come la congruenza,

l’isoperimetria e l’equivalenza tra le figure che sono emerse dalla discussione in classe relativa alla

correzione della verifica inerente al quesito numero 1.

Del tutto differenti, come era prevedibile, sono state le reazioni degli allievi di seconda alle diverse attività

proposte. Lo stesso percorso è stato affrontato con tempi più lunghi e maggior numero di interventi da parte

dell’insegnante. Anche in questo caso però i ragazzi hanno risposto senza particolari problemi ai quesiti in

fase valutativa fatta unica eccezione della domanda n°6 nella quale molti hanno calcolato il valore del

rapporto tra le aree e solo 5 ragazzi su 24 hanno saputo generalizzare il valore del rapporto tra le aree di

figure simili noto il rapporto di similitudine. Va precisato però che nel corso delle lezioni precedenti non è

stato mai fatto alcun riferimento alle aree di figure simili.

PUNTI DI FORZA

L’attività pratica ed il lavoro in gruppo ha coinvolto tutti i ragazzi, anche quelli con maggiori difficoltà.

Le schede di lavoro, ed in particolare le prime sei attività, sono risultate molto utili per

l’individuazione del rapporto di similitudine.

PUNTI DI DEBOLEZZA

Ci siamo rese conto che nell’attività proposta per la fase 5 sarebbe stato più efficace aggiungere un

quarto rombo con i lati in proporzione ed angoli differenti ed integrare le lezioni con più esercizi

applicativi.

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Gli allievi della classe seconda hanno trovato maggiori difficoltà nello svolgimento dell’attività fase 6

sia con l’uso del goniometro per il calcolo dell’angolo formato dalle cannucce che nell’interpretare la

consegna dell’ultima attività proposta.

SCHEDE ATTIVITA’ PER GLI ALUNNI

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ATTIVITA’ FASE 1

FIGURA 1: Cosa cambia in queste immagini?

FIGURA 2: Cosa cambia in queste immagini?

FIGURA 3: Cosa cambia in queste immagini?

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ATTIVITA’ FASE 2

FIGURA 1: Osserva le due immagini relative alla pianta del piano terra della scuola,

colora in modo diverso le stanze corrispondenti.

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FIGURA 2: Osserva, quali delle seguenti figure sono simili? E spiega il perché.

ATTIVITA’ FASE 3

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FIGURA 1: Osserva le seguenti immagini e verbalizza le somiglianze e le differenze.

FIGURA 2: Osserva e trova l'immagine simile contando i quadretti, cosa puoi dedurre?

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ATTIVITA’ FASE 4

FIGURA 1a: Le seguenti immagini sono simili, aiutandoti con il righello prova ad ipotizzare

perché lo sono.

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FIGURA 1b

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ATTIVITA’ FASE 5

Individua quali sono i rombi simili e motiva la risposta (misura lati e angoli), anche attraverso

numeri o calcoli.

ATTIVITA’ FASE 6

- Taglia le cannucce di colore blu una di 4 cm e una di 2 cm; allo stesso modo taglia le

cannucce gialle una di 8 cm e una di 4 cm e quelle di colore rosso una di 10 cm e una di 5

cm. A questo punto, fai passare lo spago all’interno delle tre cannucce di colore diverso al

fine di formare due triangoli, rispettivamente di lati 4 cm, 8 cm, 10 cm e di lati 2 cm, 4 cm, 5

cm.

- Definisci se i due triangoli sono o meno simili e motiva la risposta da un punto di vista

matematico. Misura con il goniometro anche l’ampiezza degli angoli corrispondenti, che

cosa deduci?

- Con cannucce dello stesso colore, della lunghezza rispettivamente di 5 cm e 10 cm, e dopo

aver misurato gli angoli adiacenti, a ciascuno dei due segmenti, dell’ampiezza di 37° e 53°,

costruisci due triangoli, misura i lati e confrontali. Che cosa ne deduci?

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- Prendi i due triangoli costruiti nella prima attività e determina, prescindendo dagli angoli,

come sono i lati omologhi, motiva la risposta anche da un punto di vista matematico.

- Formalizziamo ciò che abbiamo dedotto dalle seguenti attività.