nonsolomatematica - sei editrice · m6 nonsolomatematica È tutto chiaro?… controlla! svolgi ora...

1 Schede di matematica, M2

1.1 Grandezze direttamente proporzionali, M2

1.2 Grandezze con proporzionalità quadratica, M7

1.3 Grandezze inversamente proporzionali, M11

1.4 Arrotondamento, M16

1.5 Potenze e notazione scientifica, M18

1.6 Equivalenze, M25

1.7 Risoluzione di equazioni, M30

1.8 Geometria piana, M34

2 Fare amicizia con la calcolatrice, M38

2.1 Una questione di atteggiamento, M38

2.2 L’approccio iniziale, M39

2.3 Calcolo aritmetico, M40

2.4 Calcolo con numeri in notazione esponenziale, M42

2.5 Formule più complesse, M43

2.6 Funzioni trigonometriche, M45

2.7 La funzione esponenziale yx, M47

3 Come affrontare gli esercizi e i problemi, M48

3.1 Indicazioni metodologiche, M483.2 Due esempi, M49

NonsoloMatematicaTutto quello che ti serve

per eseguire i calcoli di Fisica

Indice

S. F

abbr

i – M

. Mas

ini,

Pho

enom

ena,

SE

I ©20

10

M2 1 Schede di matematica

1.1 Grandezze direttamente proporzionali

Devi sapere…

Se una maglia costa 25 Euro, due maglie dello stesso tipo costano 50 Euro, men-tre per tre si devono pagare 75 Euro e così via.

Non crediamo che quanto appena detto ti sorprenda più di tanto… Ma possiamodire che vi sia una relazione tra il numero delle maglie e il costo complessivo? Primadi rispondere, organizziamo i dati in questione tramite uno schema. Il numero dellemaglie è arbitrario, nel senso che l’acquirente è libero in teoria di comprare quantemaglie vuole. Per questo motivo la quantità di maglie è detta variabile indipendente e si indicacon il simbolo X; invece, il costo complessivo corrispondente è una conseguenza diquante maglie sono state comprate, per cui è detto variabile dipendente e si indicacon il simbolo Y.

Come puoi osservare, nella terza colonna della tabella 1 risulta che il rapporto trail costo complessivo delle maglie e il loro numero è costante:

= 25 = costantecosto

numero maglie

XY Y/X

numero magliecosto costo(Euro) numero maglie

1 25 25/1 = 25

2 50 50/2 = 25

3 75 75/3 = 25

4 100 100/4 = 25

... ... ...

Tabella 1

S. F

abbr

i – M

. Mas

ini,

Pho

enom

ena,

SE

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10

M3NonsoloMatematica

In generale, quando due grandezze X e Y possiedono questa proprietà, si dice chesono direttamente proporzionali. Conseguentemente, possiamo affermare che ilnumero delle maglie e il costo totale sono due quantità tra loro direttamente pro-porzionali.

1a proprietà

Il rapporto tra due grandezze direttamente proporzionali X e Y è costante:

= K = costante

2a proprietà

Due grandezze direttamente proporzionali X e Y sono legate mediante un’equazionedel tipo:

Y = K ⋅ X

(A partire da moltiplicando per X a sinistra e a destra del segno uguale, si

YX

= K ,

YX

S. F

abbr

i – M

. Mas

ini,

Pho

enom

ena,

SE

I ©20

10

ottiene e, semplificando la X al primo membro, si trova l’equazione

cercata).

Sempre con riguardo alla tabella 1, indichiamo ogni singola maglia con un cer-chietto ❍ e il prezzo unitario di 25 Euro con un quadratino ❑. I dati possono esse-re schematizzati secondo quanto riportato in tabella 2.

Osservando questa seconda tabella, è facile rilevare visivamente che:

• se il numero delle maglie raddoppia, anche il costo totale raddoppia; • se il numero delle maglie triplica, allora il costo totale triplica.E così via…

Questa è una caratteristica molto importante delle grandezze direttamente pro-porzionali.

3a proprietà

Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se aumentano o diminui-scono allo stesso modo: raddoppiando, triplicando ecc. una grandezza, anchel’altra raddoppia, triplica ecc.; se una diventa la metà, un terzo…, a sua vol-ta l’altra diventa la metà, un terzo…

X Ynumero maglie costo (Euro)

❍ ❑

❍❍ ❑❑

❍❍❍ ❑❑❑

❍❍❍❍ ❑❑❑❑

... ...

Tabella 2

X Y

X⋅ ⋅= K X

Completiamo la trattazione parlando del grafico.

M4 NonsoloMatematica

S. F

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. Mas

ini,

Pho

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ena,

SE

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10

La matematica ci fornisce uno strumento efficace per rappresentare la tabella 1: ilgrafico in un sistema di assi cartesiani ortogonali. Si tratta di due rette perpen-dicolari e orientate, il cui punto di intersezione è detto origine O.Sulla retta orizzontale (detta asse delle ascisse o asse X) vengono riportati di soli-to i valori della variabile indipendente, che nel nostro caso è il numero dellemaglie.Sulla retta verticale (detta asse delle ordinate o asse Y) vengono riportati i valo-ri dell’altra variabile, quella dipendente, cioè il costo totale.Congiungendo i punti rappresentativi di ogni coppia di valori relativi al numerodelle maglie e al costo corrispondente, si ottiene una retta.

1

Y (Euro)

2 X (numero maglie)

O 3 4 5

50

100

4a proprietà

La rappresentazione grafica di due grandezze direttamente proporzionali è costi-tuita da una retta.

Provaci tu…

Per cominciare a verificare la tua comprensione di questo argomento, segui il per-corso guidato, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.

Se un triangolo equilatero ha il lato che vale 3 cm, il suo perimetro vale 9 cm. Seil lato è 6 cm, il perimetro diventa 18 cm. Se il lato vale 9 cm, il perimetro crescea 27 cm…

2p = 9 cm

2p = 18 cm

2p = 27 cm

3 cm 6 cm 9 cm

Organizza questi dati, completando la tabella 3. Nella terza colonna calcola, incorrispondenza di ogni riga, il rapporto Y/X e inserisci i risultati.

Qual è la variabile indipendente? ……..................……….…… Con quale simbolo è indi-

cata?……..................……….................……

Qual è la variabile dipendente? ……..................……….…… Con quale simbolo è indica-

ta?……..................……….….....................…

1a proprietà

Il rapporto Y/X è ……………….......................………….. Il suo valore è ……………….....…………..

2a proprietà

Le due grandezze sono legate dall’equazione: Y = ……… X

3a proprietà

Se la X raddoppia e passa da 3 a 6, la Y ……………............…… e passa da 9 a ……………...

Se la X triplica e passa da 3 a 9, la Y ……………..................…… e passa da 9 a ……………....

4a proprietà

Esegui la rappresentazione grafica nello spazio qui sotto.

Il grafico è una ………………………………………………………

Al valore 6 cm sull’asse X corrisponde il valore ………….. cm sull’asse Y.

Al valore 18 cm sull’asse Y corrisponde il valore ………… cm sull’asse X.

Al valore 27 cm sull’asse Y corrisponde il valore ………… cm sull’asse X.

3

Y (cm)

6 X (cm)O 9 12 15

18

36

X Y Y/Xlato perimetro perimetro(cm) (cm) lato

3 9 9/3 = 3

6 ... ...

9 ... ...

12 ... ...

... ... ...

Tabella 3

M5NonsoloMatematica

S. F

abbr

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. Mas

ini,

Pho

enom

ena,

SE

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10


È tutto chiaro?… Controlla!

Svolgi ora da solo gli esercizi proposti qui di seguito.

Cerca di riconoscere quali delle seguenti tabelle rappresentano grandezzedirettamente proporzionali e quali no. In caso di risposta affermativa, verifica le proprietà 1, 2, 3 in modo analogoa quanto visto nell’esempio e nel percorso guidato e poi esegui la corri-spondente rappresentazione grafica.

1

Tabella A

X Y

5 3

10 6

15 9

20 12

... ...

Tabella B

X Y

12 1,5

24 3,0

36 4,5

48 6,0

... ...

Tabella C

X Y

3 1

9 2

27 3

81 4

... ...

Tabella D

X Y

4 1/2

8 1

16 3/2

32 4

... ...

Tabella E

X Y

2 3

4 9

8 18

16 27

... ...

Tabella F

X Y

25 20

50 40

75 60

100 80

... ...

Tabella G

X Y

0,2 0,25

0,4 0,50

0,6 0,75

0,8 1,00

... ...

Tabella H

X Y

0,6 0,5

1,2 1,0

1,8 2,0

2,4 4,0

... ...

Completa le seguenti tabelle in modo che X e Y risultino grandezze diretta-mente proporzionali:

2

Tabella A

X Y

0,4 40

... ...

... ...

1,6 ...

... ...

Tabella B

X Y

5 1/3

... ...

... ...

... 4/3

... ...

Tabella C

X Y

0,8 0,2

... ...

... ...

... 0,8

... ...

Tabella D

X Y

200 ...

... 16

... ...

... ...

40 ...

S. F

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. Mas

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Pho

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ena,

SE

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M7NonsoloMatematica

1.2 Grandezze con proporzionalità quadratica

Devi sapere…

S. F

abbr

i – M

. Mas

ini,

Pho

enom

ena,

SE

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10

Se un cubo ha lo spigolo di 1 m, l’area della superficie è data dal prodotto del nume-ro delle sue facce (6) e l’area del quadrato di base di lato 1 m, cioè 6 ⋅ 12 = 6 m2. Se lospigolo è invece di 2 m, allora l’area vale 6 ⋅ 22 = 24 m2. Continuando, se è di 3 m, l’areadiventa 6 ⋅ 32 = 54 m2 e così via…

1 m 2 m

C’è una relazione tra lunghezza dello spigolo e area della superficie del cubo? Pro-viamo a cercarla organizzando i dati in una semplice tabella.Dato che lo spigolo può essere scelto arbitrariamente, lo assumiamo come varia-bile indipendente (X), mentre l’area in questione, essendo una conseguenza dellalunghezza dello spigolo, la consideriamo come variabile dipendente (Y).

X X2 Y Y/X2

lato spigolo al quadrato area totale area(m) (m2) (m2) spigolo al quadrato

1 1 6 6 /1 = 6

2 4 24 24/4 = 6

3 9 54 54/9 = 6

4 16 96 96/16 = 6

... ... ... ...

Tabella 1

Come puoi osservare, nella quarta colonna si ha che il rapporto tra l’area dellasuperficie del cubo e il suo spigolo al quadrato è costante:

= 6 = costante

In generale, quando due grandezze X e Y possiedono questa proprietà, si dice chetra di loro vi è una relazione di proporzionalità quadratica. Perciò, nel nostrocaso, possiamo dire che tra il lato del cubo e la sua area superficiale esiste unarelazione di proporzionalità quadratica.

1a proprietà

Due grandezze sono legate da una proporzionalità quadratica quando il rapportotra una grandezza e il quadrato dell’altra è costante (oppure, con lo stesso significa-to: quando una grandezza e il quadrato dell’altra sono direttamente proporzionali):

YX 2

= =K costante

areaspigolo al quadrato


si ha Semplificando la X 2 al primo membro, si trova l’equazione

scritta prima.)

Ritornando alla tabella 1, indichiamo lo spigolo di 1 m con un cerchietto ❍ el’area di 6 m2 della superifice del cubo che ha tale spigolo con un quadratino ❑.Possiamo riassumere i risultati nella maniera seguente:

Dalla tabella 2 si deduce chiaramente che:• se la lunghezza dello spigolo raddoppia, l’area superficiale del cubo quadruplica; • se lo spigolo triplica, allora l’area risulta moltiplicata per 9. E così via…Questa è la proprietà che caratterizza le grandezze che si trovano tra loro in unarelazione di proporzionalità quadratica.

3a proprietà

Si dice che due grandezze X e Y sono legate da una relazione di proporzionalitàquadratica se, moltiplicando la X per 2, 3, 4 ecc., la Y viene moltiplicata per 22, 32, 42

ecc. Invece, se la prima diventa la metà, un terzo ecc., la seconda diventa 1/4, 1/9, …Vediamo le conseguenze a livello grafico della proporzionalità quadratica.

X Ylunghezza spigolo area

(m) (m2)

❍ ❑

❍❍ ❑❑❑❑

❍❍❍ ❑❑❑❑❑❑❑❑❑

❍❍❍❍ ❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑

... ...

Tabella 2

X Y

X2

2⋅ ⋅= K X 2.

2a proprietà

L’equazione che rappresenta due grandezze con proporzionalità quadratica è:

Y = K ⋅ X 2

(Moltiplicando per X 2 a sinistra e a destra del segno uguale la relazione

YX2

= K ,

Riportiamo sull’asse delle ascisse (X),come si fa solitamente, i valori della varia-bile indipendente, che nel nostro caso è lalunghezza dello spigolo del cubo. Sull’assedelle ordinate (Y) riportiamo i valoridell’altra variabile, quella dipendente, cioèl’area della superficie del cubo. Congiungendo i punti rappresentativi diogni coppia di valori relativi al lato eall’area corrispondente, otteniamo unaparabola.

1

Y (m2)

2 X (m)O 3 4

90

60

30

4a proprietà

La rappresentazione grafica di due grandezze tra cui vi è una proporzionalità qua-dratica è un tratto di parabola.S

. Fab

bri –

M. M

asin

i, P

hoen

omen

a, S

EI ©

2010

M9NonsoloMatematica

Provaci tu…

Per consolidare quanto hai or ora letto, svolgi il percorso guidato che segue, inse-rendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.

S. F

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. Mas

ini,

Pho

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ena,

SE

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10

Organizza i dati nella tabella 3, inserendo i valori corretti negli spazi lasciati liberi.

Mentre una palla rotola senza attrito lungo una discesa, vengono scattate dellefotografie ogni secondo. Misurando in ognuno di tali intervalli di tempo lo spaziopercorso, si trova che la palla ha compiuto 1,25 m dopo 1 s, quindi 5,00 m dopo 2 s, poi 11,25 m dopo 3 s e, infine, dopo 4 s il percorso totale risulta di 20,00 m.

1,25 m

5,00 m

11,25 m

ss

ss

ss

X X 2 Y Y/X2

tempo tempo al quadrato spazio spazio(s) (s2) (m) tempo al quadrato

1 1 1,25 1,25/(1)2 = 1,25

2 4 ... ...

3 9 ... ...

4 16 ... ...

... ... ... ...

Tabella 3

Dopo aver completato la terza colonna in base al testo, calcola relativamente aogni riga il rapporto Y/X 2 e inserisci i risultati nella quarta colonna.

Qual è la variabile indipendente? ………...….....................……. Con quale simbolo è indi-

cata?………...….....................…….

Qual è la variabile dipendente? ………...….....................……. Con quale simbolo è indi-

cata?………...….....................…….

1a proprietà Il rapporto Y/X2 è …………………………. Il suo valore è …………………………..............………….

Questa stessa proprietà può essere enunciata dicendo che …........… e …........… sonodirettamente proporzionali.

2a proprietà Le due grandezze sono legate dall’equazione: Y = ……… ⋅ X…

3a proprietà Se la X raddoppia e passa da 1 a 2, la Y ……………..........…………………… e passa da 1,25

a ……......……....

Se la X triplica e passa da 1 a 3, la Y ……………..........……....……………… e passa da 1,25

a ……......……....

4a proprietà Esegui la rappresentazione grafica qui sotto.

Il grafico è una ………………………………………………………

Al valore 4 s sull’asse X corrisponde il valore ….....… m sull’asse Y.

Al valore 11,25 m sull’asse Y corrisponde il valore ….....… s sull’asse X.

Al valore 20,00 m sull’asse Y corrisponde il valore ….....… s sull’asse X.

1

Y (m)

2 X (s)O 3 4


S. F

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i – M

. Mas

ini,

Pho

enom

ena,

SE

I ©20

10

Tabella D

X Y X2 Y/X2

5 10 ... ...

10 40 ... ...

15 90 ... ...

20 160 ... ...

... ... ... ...

Tabella E

X Y X2 Y/X2

3 9 ... ...

6 81 ... ...

9 729 ... ...

12 6561 ... ...

... ... ... ...

Tabella F

X Y X2 Y/X2

1/2 0,1 ... ...

1 0,4 ... ...

3/2 0,9 ... ...

2 1,6 ... ...

... ... ... ...

Tabella A

X Y X2 Y/X2

1 2 ... ...

2 8 ... ...

3 18 ... ...

4 32 ... ...

... ... ... ...

Tabella B

X Y X2 Y/X2

3 3 ... ...

6 12 ... ...

9 27 ... ...

12 48 ... ...

... ... ... ...

Tabella C

X Y X2 Y/X2

0,5 0,8 ... ...

1,0 1,6 ... ...

1,5 2,4 ... ...

2,0 3,2 ... ...

... ... ... ...


Se hai capito bene le caratteristiche della proporzionalità quadratica, puoi tenta-re di svolgere gli esercizi.

Individua quali tra le seguenti tabelle rappresentano grandezze X e Y legate fraloro da una relazione di proporzionalità quadratica e quali no. In caso di rispo-sta affermativa, verifica le proprietà 1, 2 e 3 in modo analogo a quanto vistonell’esempio e nel percorso guidato e poi esegui la rappresentazione grafica.

1

Completa le seguenti tabelle, nell’ipotesi che X e Y siano grandezze che hannofra loro una relazione di proporzionalità quadratica.

2

M11NonsoloMatematica

S. F

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. Mas

ini,

Pho

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ena,

SE

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10

Tabella A

X Y

2 1

... ...

6 ...

... 16

... ...

Tabella B

X Y

3 6

3/2 ...

... 2/3

3/4 ...

... ...

Tabella C

X Y

1/2 10

... ...

... 90

2 ...

... ...

Tabella D

X Y

120 72

60 ...

... 8

30 ...

... ...

Un rettangolo ha un’area fissa di 48 cm2. Se la sua base misura 4 cm, l’altezza è di12 cm; se la base è di 8 cm, allora l’altezza deve essere di 6 cm; se vale 16 cm, allo-ra l’altezza diventa 3 cm…

4 × 12 = 48 8 × 6 = 48 16 × 3 = 48

Riesci a intuire quale relazione lega la base delrettangolo all’altezza, nel caso in cui l’arearimanga comunque costante? Riordiniamo idati secondo una tabella. La scelta della base èarbitraria (variabile indipendente X), mentrel’altezza viene determinata di conseguenza(variabile dipendente Y).Come puoi osservare, nella terza colonna si hache il prodotto tra la base e l’altezza non cam-bia mai:

base ⋅ altezza = 48 = costante

X Y Y ◊ Xbase altezza base ◊ altezza(cm) (cm) (cm2)

1 48 1 ⋅ 48 = 48

2 24 2 ⋅ 24 = 48

3 16 3 ⋅ 16 = 48

4 12 4 ⋅ 12 = 48

... ... ...

Tabella 1

1.3 Grandezze inversamente proporzionali

Devi sapere…


In generale, quando due grandezze X e Y possiedono questa proprietà, vengonodette inversamente proporzionali. Dunque, la base e l’altezza dell’esempio da noi proposto sono inversamente pro-porzionali.

1a proprietà

Il prodotto tra due grandezze inversamente proporzionali è costante:

X ⋅ Y = K = costante

2a proprietà

La rappresentazione matematica di due grandezze inversamente proporzionali hacome equazione:

(Si può ricavare l’equazione così scritta da X ⋅ Y = K, dividendo per X a sinistra e a

destra dell’uguale: Semplificando poi la X al primo membro, si ottiene

l’equazione voluta).

Rielaboriamo la tabella 1, indicando la lunghezza da 1 cm della base con un cer-chietto ❍ e la lunghezza da 4 cm con un quadratino ❑. Otteniamo in questamaniera la tabella 2.

Puoi constatare visivamente in modo immediato che:

• se la lunghezza della base raddoppia, l’altezza diventa la metà;

• se la lunghezza della base triplica, allora l’altezza diventa un terzo.

E così via.

Questa è la caratteristica fondamentale delle grandezze inversamente propor-zionali.

3a proprietà

Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, tripli-cando… una, l’altra diventa la metà, un terzo… E se una diventa la metà, unterzo…, a sua volta l’altra diventa il doppio, il triplo…

X Ybase altezza(cm) (cm)

❍ ❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑

❍❍ ❑❑❑❑❑❑

❍❍❍ ❑❑❑❑

❍❍❍❍ ❑❑❑

... ...

Tabella 2

X YX

KX

⋅ = .

Y KX

=

S. F

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. Mas

ini,

Pho

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ena,

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10

Esaminiamo le conseguenze grafiche di questo tipo di proporzionalità.


Sulla retta orizzontale (detta asse delle ascisse o delle X) riportiamo di solito i valo-ri della variabile indipendente, che in questo caso è la lunghezza della base.Sulla retta verticale (detta asse delle ordinate o delle Y) disponiamo i valoridell’altra variabile, quella dipendente, vale a dire la lunghezza dell’altezza.Congiungendo i punti rappresentativi di ogni coppia di valori relativi alla base eall’altezza, tracciamo una curva che viene denominata ramo di iperbole.

1

Y (cm)

2 X (cm)O 3 4

20

40

16

12

8

4

36

32

28

24

56

52

48

44

S. F

abbr

i – M

. Mas

ini,

Pho

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ena,

SE

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10

In un negozio specializzato ci sono numerose confezioni di caramelle. Abbiamo adisposizione complessivamente 30 Euro. Se scegliamo la confezione più piccola,che costa 2,50 Euro, possiamo comprare 12 confezioni. Se ci orientiamo su quel-la da 5 Euro, riusciamo a comprarne 6. Ma se ci facciamo tentare da quella il cuiprezzo è 7,50 Euro, scendiamo a 4 confezioni, e solo a 3 se desideriamo la confe-zione da 10 Euro…

4a proprietà

La rappresentazione grafica di due grandezze inversamente proporzionali è unramo di iperbole.

Provaci tu…

Completa il percorso guidato nella pagina seguente inserendo gli elementi man-canti dove compaiono i puntini.

Completa la tabella 3, che serve per riassumere le varie possibili combinazioni oraespresse.

Nella terza colonna calcola, in corrispondenza di ogni riga, il prodotto X ⋅ Y e inse-risci i risultati.

Qual è la variabile indipendente? ………..................………. Con quale simbolo è indica-

ta?……............………

Qual è la variabile dipendente? ………..................………. Con quale simbolo è indica-

ta?………............……

1a proprietàIl prodotto X ⋅ Y è …………………………... Il suo valore è ……………………………………..

2a proprietàLe due grandezze sono legate dall’equazione:

3a proprietàSe la X raddoppia e passa da 2,50 a 5 Euro, la Y ………………............…… e passa da 12

a ……............…...

Se la X triplica e passa da 2,50 a 7,50 Euro, la Y ………………............…… e passa da 12

a ……............…...

4a proprietà Esegui la rappresentazione grafica nello spazio fornito sotto.

Il grafico è una …………………………………………………...

Al valore 5 Euro sull’asse X corrisponde il valore …....… sull’asse Y.

Al valore 4 sull’asse Y corrisponde il valore …....… Euro sull’asse X.

Al valore 3 sull’asse Y corrisponde il valore …....… Euro sull’asse X.

X (Euro/confezione)

5

Y (numero diconfezioni)

10O 15 20

Y

X= .....

....

X Y Y ◊ Xcosto numero di costo ◊ numero

(Euro/confezione) confezioni (Euro)

2,50 12 2,50 ⋅ 12 = 30

5 ... ...

7,50 ... ...

10 ... ...

... ... ...

Tabella 3


S. F

abbr

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. Mas

ini,

Pho

enom

ena,

SE

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10



Ti proponiamo di mettere alla prova la tua comprensione sulla proporzionalitàinversa con i seguenti esercizi.

Individua quali tra le tabelle riportate qui sotto rappresentano grandezzeinversamente proporzionali e quali no. In caso di risposta affermativa verificale proprietà 1, 2, 3 in modo analogo a quanto visto nel percorso guidato e poiesegui la corrispondente rappresentazione grafica.

1

S. F

abbr

i – M

. Mas

ini,

Pho

enom

ena,

SE

I ©20

10

Tabella A

X Y

5 24

10 12

15 8

20 6

... ...

Tabella B

X Y

10 1

9 2

8 3

7 4

... ...

Tabella C

X Y

6 1/2

8 3/8

10 3/10

12 1/4

... ...

Tabella D

X Y

5 1,6

10 0,8

15 0,4

20 0,2

... ...

Tabella E

X Y

0,1 1/4

0,2 1/8

0,4 1/16

0,8 1/32

... ...

Tabella F

X Y

3 15

6 7,5

9 5

12 3,75

... ...

Tabella G

X Y

25 40

50 20

75 10

100 5

... ...

Tabella H

X Y

0,3 4

0,6 8

0,9 12

1,2 16

... ...

Completa le seguenti tabelle in modo che X, Y risultino grandezze inversa-mente proporzionali:

2

Tabella A

X Y

0,2 15

... ...

... ...

0,8 ...

... ...

Tabella B

X Y

5 4/5

... ...

... ...

... 1/5

... ...

Tabella C

X Y

0,8 96

... ...

... ...

... 24

... ...

Tabella D

X Y

210 ...

... ...

... 3

... ...

42 ...


ARROTONDAMENTOMATEMATICO

1.4 Arrotondamento

Devi sapere…

Non sempre – anzi, quasi mai! – i risultati finali o intermedi dei calcoli dannovalori numerici con un numero di cifre limitato. Al contrario, capita con una certafrequenza di avere a che fare con numeri con molte o, in teoria, infinite cifre(prendi per esempio il valore di π) e di ritrovarsi quindi con la necessità di arro-tondarli. Prendiamo il caso della divisione:

0,2/22,8 = 0,00877192825

È evidente che non ci servono tutte le cifre, per cui ricorriamo all’arrotondamen-to matematico.

Per tagliare un numero in corrispondenza di una determinata cifra, si osserva lacifra immediatamente successiva (cioè alla sua destra): se quest’ultima cifra va da0 a 4, allora si arrotonda il numero per difetto, vale a dire che il numero vienescritto immutato fino alla cifra scelta, eliminando semplicemente quelle successi-ve; se, invece, la cifra alla quale si vuole interrompere la scrittura del numero èseguita da una cifra che va da 5 a 9, in tal caso l’arrotondamento viene fatto pereccesso, per cui si incrementa di 1 la cifra alla quale si vuole interrompere ilnumero e, come prima, si taglia la parte restante.

Arrotondamento per difettoEsempio 1

Supponi di volere riportare il numero 0,00877192825 solamente con cinque cifredecimali. Devi scrivere il numero fino alla cifra che ora indichiamo in grassetto (ilsecondo 7 dopo la virgola):

0 , 0 0 8 7 7 1 9 2 8 2 5

Dunque, va eliminata la parte alla destra del 7. La prima cifra a destra del 7 è quel-la che riportiamo in rosso:

0 , 0 0 8 7 7 1 9 2 8 2 5

Dato che tale cifra è compresa tra 0 e 4, l’arrotondamento va eseguito per difetto.Trovi in conclusione:

Arrotondamento per eccessoEsempio 2

Supponi di volere riportare il numero 0,00877192825 solamente con quattro cifredecimali.Il numero va scritto fino alla cifra indicata in grassetto (il primo 7 dopo la virgola):

0 , 0 0 8 7 7 1 9 2 8 2 5

Devi eliminare la parte alla destra del 7. La cifra successiva rispetto al primo 7dopo la virgola la indichiamo in rosso:

0 , 0 0 8 7 7 1 9 2 8 2 5

Dato che tale cifra in questione si trova tra il 5 e il 9, è necessario arrotondare pereccesso, aumentando il 7 di 1 e portandolo a 8. Alla fine hai:

0 , 0 0 8 7 7 1 9 2 8 2 5 → 0 , 0 0 8 8

0 , 0 0 8 7 7 1 9 2 8 2 5 → 0 , 0 0 8 7 7

Dopo averlo arrotondato, ilnumero non deve cambiareordine di grandezza. Se cioèarrotondi 0,006658, nonpuoi trovare 0,67 o 67.Così come, se arrotondi34589, non puoi avere allafine 346 (bensì 34 600!).

Ricorda!...

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. Mas

ini,

Pho

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ena,

SE

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10


Provaci tu…

Verifica se hai capito come arrotondare i numeri, svolgendo il percorso degliesempi sottostanti, completando le parti in cui compaiono i puntini.

Arrotonda il numero 0,00877192825 scrivendolo con sei cifre decimali.Sulla base di quanto visto, puoi evidenziare la cifra interessata:

0 , 0 0 8 7 7 ..................

Dopodiché, evidenzi la cifra immediatamente alla sua destra, che è:

0 , 0 0 8 7 7 ..................

Dato che quest’ultima cifra è compresa fra .................. e .................., si deve arro-tondare per .................................... Il risultato finale è perciò:

0 , 0 0 8 7 7 ...

Arrotonda il numero 0,00877192825 scrivendolo con sette cifre decimali.Come prima cosa, evidenzi la cifra in questione:

0 , 0 0 8 7 7 1 ..................

Dopodiché, evidenzi la cifra successiva, vale a dire:

0 , 0 0 8 7 7 1 ..................

Poiché quest’ultima cifra è compresa fra ........................ e ......................., l’arrotonda-

mento va eseguito per .................................... Il numero arrotondato è quindi:

0 , 0 0 8 7 7 1 ...


Arrotonda per eccesso o per difetto, a seconda dei casi, i seguenti numeri, scri-vendoli fino alla cifra (compresa!) riportata in grassetto.

0,97531 0,00045083

6,12068 93,087

43,9487 0,004415

79322 125,525

0,0022642 954

0,083691 7891

0,59701 33488

2785 133330168

157

146

135

124

113

102

91

2

1

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1.5 Potenze e notazione scientifica

Potenze

Devi sapere…

Nella tabella 1 riassumiamo, con i rispettivi esempi, le proprietà sulle potenze chedevi ripassare.

Provaci tu…

Completa il percorso guidato che segue (tabella 2), inserendo i risultati al posto deipuntini.


Applicando le proprietà delle potenze risolvi i seguenti esercizi:

102 ⋅ 103 : 104 [101 = 10]

(24)3 ⋅ 2−6 : (22 ⋅ 22) [22 = 4]

[(53 ⋅ 55 : 54)3 : (52)5]−1

5 2− = =1

51252

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

3

2

1

passaggi proprietà da applicare

[(27 ⋅ 23 : 26)2 : 25]−2 = (1)

= [(2.....: 26)2 : 25]−2 = (2)

= [(2.....)2 : 25]−2 = (3)

= [2.....: 25]−2 = (2)

= [2.....]−2 = (3)

= 2− ..... = (4)

È il risultato cercato.

Tabella 2

= 1

21

64...=

proprietà delle potenze esempio di applicazione

am ⋅ an = am + n (1) 53 ⋅ 57 = 53 + 7 = 510

am : an = am − n (2) 78 : 72 = 78 − 2 = 76

(am)n = am ⋅ n (3) (94)3 = 94 ⋅ 3 = 912

(4)

Tabella 1

a

an

n− = 1

2 1

25

5− �

S. F

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10

Notazione scientificaPREMESSA

Non è raro avere a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli.


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10

L’hard disk di un computer può avereuna memoria di 80 000 000 000 di byte.

La traccia dei compact disk hauna larghezza all’incirca di0,000001 m.

Scriviamo, usando la notazione scientifica, il numero 1 250 000 000.

1 250000000 Isoliamo la prima cifra (1) dal resto del numero.

1 250000000 Contiamo quante sono le cifre rimanenti dopo di essa (9).

1, 250000000Mettiamo la virgola dopo la prima cifra. Infine, moltipli-chiamo 1,25 per 10 elevato 9.

1,25 ◊ 109 È il risultato cercato.

Scrivere dei numeri con molti zeri è scomodo e non facilita la comprensione. Perovviare a questo inconveniente, si utilizza la notazione scientifica, che è unascrittura impostata nel modo seguente:

A,bcd… ◊ 10n

dove A è un numero intero compreso fra 1 e 9, bcd… sono le cifre decimali e 10n rap-presenta una potenza con base 10 ed esponente intero n. Vediamo come si procede.

NUMERI MAGGIORI DI 1

Devi sapere…

Supponiamo di avere un numero scritto normalmente, cioè nella notazione deci-male, e di doverlo riscrivere ricorrendo alla notazione scientifica:

notazione decimale → notazione scientifica

Esempio 1

Ma può capitare di avere il problema inverso e di dover passare da un numeroin notazione scientifica al numero scritto secondo la consueta notazione deci-male:

notazione scientifica → notazione decimale

Vediamo concretamente come è necessario procedere.

Esempio 2


S. F

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Scriviamo, ricorrendo alla notazione decimale, il numero 8,92175 ⋅ 102.

In questo esempio possiamo constatare come il risultato in effetti non porti ad altroche a spostare la virgola verso destra di un numero di posizioni pari all’esponentedel 10:

8,92175 ⋅ 102 → 892,175

Provaci tu…

Consolida quanto appreso con il percorso guidato, inserendo gli elementi man-canti dove compaiono i puntini.

Scrivi in notazione scientifica 7 594 000 000 000.1

892175 Scriviamo il numero (8,92175) che moltiplica la potenza del10, togliendo la virgola.

8,92175 ⋅ 102 Dall’esponente del dieci (2) sottraiamo il numero di cifredecimali, cioè dopo la virgola (5) ⇒ 2 − 5 = − 3.

892,175Questa differenza (− 3), avendo segno negativo, esprime ilfatto che le ultime 3 cifre (175) rimangono a destra dellavirgola.

892,175 È il risultato cercato.

... 594000000000Isola la prima cifra (...) dal resto del nu-mero.

7 .......................Conta quante sono le cifre rimanenti dopodi essa (..........).

...,.......................Metti la virgola dopo la prima cifra. Infine,moltiplica ............... per 10 elevato.....

7,594 ⋅ 1012 È il risultato cercato.

Scrivi in notazione decimale 5,416 ⋅ 107.2


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10

5 ..........Scrivi il numero (............) che moltiplica lapotenza del 10, togliendo la virgola.

5,416 ...Dall’esponente del dieci (...) sottrai il nume-ro di cifre decimali, cioè dopo la virgola (...)⇒ ... − ... = 4.

5416.........Aggiungi, dopo il numero riportato senzavirgola, tanti zeri quanti indicati dalla diffe-renza appena trovata (...).

54 160 000 È il risultato cercato.


Prova ora ad allenarti senza nessun aiuto tramite gli esercizi che seguono.

• Scrivi in notazione scientifica:

700 = ............................................................

3150 = ..........................................................

42 000 = ......................................................

50 000 000 000 = ......................................

100 000 = ....................................................

7193 = ..........................................................

57 572 = ......................................................

900 000 000 000 = ....................................

• Scrivi in notazione decimale:

3 ⋅ 102 = ........................................................

7,12 ⋅ 104 = ..................................................

6 ⋅ 103 = ........................................................

9,543 ⋅ 102 = ................................................

3,34185 ⋅ 103 = ..........................................

78 ⋅ 105 = ......................................................

1 ⋅ 107 = ........................................................

2,6934 ⋅ 102 = ..............................................16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1


Scrivi in notazione scientifica 0,0002.

0,0002Conta le cifre decimali (4), cioè a destra della virgola, finoalla prima cifra diversa da zero (in questo esempio c’è soloil 2), che va contata.

2 Scrivi da sola, eliminando tutti gli zeri che la precedono, lacifra in questione.

10− 4Prendi la potenza di 10 con esponente pari al numero dicifre decimali (4) contate in precedenza, con il segno perònegativo (− 4).

2 ⋅ 10- 4 È il risultato cercato.

Riporta in notazione scientifica il numero 0,0000839.

Esempio 2

0, 00008 39 Conta il numero delle cifre decimali (5), cioè a destra dellavirgola, fino alla prima cifra (8) diversa da zero.

839Scrivi il numero eliminando tutti gli zeri che precedono laprima cifra non nulla (8).

8,39Metti la virgola subito a destra della prima cifra (che è sem-pre 8).

10− 5Prendi la potenza di 10 con esponente pari al numero dicifre decimali (5) contate in precedenza, con il segno perònegativo (− 5).

8,39 ⋅ 10- 5 È il risultato cercato.

NUMERI MINORI DI 1

Devi sapere…

Ipotizziamo di avere un numero molto piccolo in notazione decimale e di volerloriportare facendo uso della più comoda notazione scientifica:

notazione decimale → notazione scientifica

Come prima, vediamo che cosa è necessario fare, esaminando degli esempi.

Esempio 1

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10

Anche nel caso di numeri molto piccoli può succedere di volere passare da un nume-ro in notazione scientifica al suo corrispondente riportato in notazione decimale:

notazione scientifica → notazione decimale

Ecco che cosa è necessario fare.

Esempio 3


S. F

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10

Scrivi in notazione decimale il numero 4 ⋅ 10−5.In sostanza la conversione consiste nell’esecuzione di una moltiplicazione. Infatti,moltiplicare per 10−5 equivale a dividere per 105, vale a dire dividere per 100 000.

4 Scriviamo il numero (4) che moltiplica la potenza del 10.

10− 5 Considera l’esponente della base 10, non tenendo conto delsegno (5).

00000 4A sinistra del numero scritto prima (4), inseriamo tanti zeri (5)fino a raggiungere il valore senza segno dell’esponente di 10.

0,00004 Inserisci la virgola subito a destra del primo zero.


Ti facciamo rilevare che, come nel risultato finale della conversione, la prima cifradiversa da zero (4) occupa la quinta (5) posizione dopo la virgola, così tale cifracoincide con il valore dell’esponente di 10 (segno a parte).

Esempio 4

Scrivi in notazione decimale il numero dato in notazione scientifica 7,92 ⋅ 10−4.

792Scrivi il numero che moltiplica la potenza di 10, senza lavirgola (792).

10− 4 Considera l’esponente della base 10, non tenendo conto delsegno (4).

0000 792A sinistra del numero scritto prima (792), inseriamo tantizeri (4) fino a raggiungere il valore senza segno dell’espo-nente di 10.

0,000792 Inserisci la virgola subito a destra del primo zero.


M24

0,....................3Conta il numero delle cifre decimali (...),cioè a destra della virgola, fino alla primacifra (...) diversa da ……

0,000000 .......... Scrivi il numero eliminando tutti gli zeriche precedono la prima cifra non nulla (...).

... , ... Metti la virgola subito a destra della primacifra (che è ...).

10− ...Prendi la potenza di 10 con esponente parial numero di cifre decimali (...) contate inprecedenza, con il segno però negativo (–...).

9,3 ⋅ 10- 7 È il risultato cercato.

Scrivi in notazione decimale il numero scritto in notazione scientifica5,812 ⋅ 10−5.

Devi fondamentalmente effettuare una moltiplicazione. Moltiplicare per 10−5 equi-vale a dividere per 10…, ovvero dividere per 1………

2

Provaci tu…

Segui adesso il percorso guidato, costituito da due esercizi, inserendo gli elemen-ti mancanti dove compaiono i puntini.

Scrivi in notazione scientifica il numero 0,00000093.1


Seguono gli esercizi necessari a verificare la tua padronanza su questo argomento.

• Scrivi in notazione scientifica: • Scrivi in notazione decimale:

0,5 = …………..............…..................…... 2 ⋅ 10−2 = ………….............................…….

0,0021 = …………........................……... 4,39 ⋅ 10−5 = ………….......................……

0,0000573 = …………................……... 5 ⋅ 10−3 = ………….............................…….

0,00000009 = …………..............……... 7,4388 ⋅ 10−2 = ………….................…….

0,00002 = ………….....................……... 2,53172 ⋅10−3 = …………...............…….

0,8126 = …………........................……... 37 ⋅ 10−5 = …………..........................…….126

115

104

93

82

71

.............Scrivi il numero che moltiplica la potenza di10, senza la virgola (………).

10− ... Considera l’esponente della base 10, non te-nendo conto del segno (...).

0 ........... ..........

A sinistra del numero scritto prima(………), inserisci tanti zeri (...) fino a rag-giungere il valore senza segno dell’espo-nente di 10.

0, ....................Inserisci la virgola subito a destra del primozero.


NonsoloMatematica

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1.6 EquivalenzeIn Fisica, così come in altre discipline scientifiche, ti capiterà spesso di doverriportare i dati in una differente unità rispetto a quella con cui vengono forniti.


È più comodo esprimere la massa trasportata da questo grosso TIR in kilogrammioppure utilizzando un suo multiplo come la tonnellata (che equivale a 1000 kg)?

multipli

prefisso simbolo operazione potenza di 10

tera T ◊ 1 000 000 000 000 ◊ 1012

giga G ◊ 1 000 000 000 ◊ 109

mega M ◊ 1 000 000 ◊ 106

kilo k ◊ 1 000 ◊ 103

etto h ◊ 100 ◊ 102

deca da ◊ 10 ◊ 101

Tabella 1

Vediamo alcuni esempi. (Non preoccuparti se non conosci tutte le unità di misu-ra: concentrati piuttosto sui loro prefissi).

Multipli

Devi sapere…

I multipli e i sottomultipli delle unità di misura vengono indicati facendo precedereil nome dell’unità considerata da un particolare prefisso, al quale corrisponde un sim-bolo letterale che a sua volta viene abbinato a quello che rappresenta l’unità stessa.Nella tabella 1 riportiamo i prefissi dei multipli, il simbolo con cui viene rappre-sentato, l’operazione che bisogna effettuare rispetto all’unità di base e la potenzadel 10 corrispondente. In colore rosso sono segnalati quelli di maggiore uso e chedevi imparare: vi riconoscerai una terminologia familiare, in parte a causa dellapratica quotidiana (il kilometro, per esempio) e in parte grazie all’informatica, incui è normale parlare di megabyte.(Se sulle potenze hai delle difficoltà, puoi consultare la precedente scheda dimatematica Potenze e notazione scientifica).

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Quando passi da un mul-tiplo all’unità di base, ilnumero che ottieni al ter-mine dell’equivalenzadeve essere più grande:5,379 → 5379.

Ricorda!...

Quando passi da un’unitàdi base a un suo multiplo,il numero che ottieni altermine dell’equivalenzadeve essere più piccolo:145 → 1,45.

Ricorda!...

OPERAZIONI DIRETTE

Esempio 1

Quanti metri (m) corrispondono a 5,379 kilometri (km)?Come vedi dalla tabella 1, il prefisso «kilo» significa che devi moltiplicare per1000:

5,379 km = 5,379 ⋅ 1000 = 5379 m

OPERAZIONI INVERSE

Esempio 2

Quanti ettogrammi (hg) corrispondono a 145 grammi (g)?Dato che per trasformare gli ettogrammi in grammi è necessario moltiplicare per100 (vedi tabella 1), allora per passare dai grammi agli ettogrammi devi dividereper 100:

Provaci tu…

Effettua adesso i due seguenti percorsi guidati per verificare quanto hai appreso,inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.

Trasforma 33 megawatt (MW) in watt (W).Facendo riferimento alla tabella 1, puoi constatare che il prefisso «mega» vuoldire moltiplicare per ………………:

33 MW = 33 ⋅ ……………… = ……………… W

Quando compaiono tanti zeri, ovviamente conviene utilizzare i multipli. Oppure,si fa ricorso alle potenze del 10, scrivendo semplicemente:

33 MW = 33 ⋅ 106 W

Trasforma 48 200 000 byte (b) in gigabyte (Gb).Dal momento che «giga» vuol dire moltiplicare per …………………, dovendo effet-tuare il passaggio inverso, devi dividere per tale numero:

……………… Gb

Per una scrittura più compatta, talvolta è opportuno utilizzare le potenze del 10con esponente negativo:

……………… Gb = 4,82 ⋅ 10− 2 Gb

Sottomultipli

Devi sapere…

Nella tabella 2 sono indicati i prefissi dei sottomultipli, il loro simbolo, l’operazio-ne che è necessario effettuare per passare all’unità di base e la potenza del 10 rela-tiva. In rosso sono segnalati quelli di maggiore uso e che devi ricordare: anche quiritroverai dei termini conosciuti (come il centimetro), mentre altri ti capiterà diincontrarli proprio nello studio della Fisica.

4

48200000b

8200000= =................

2

1

145 145

1001 45g hg= = ,

S. F

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10

(Se con le potenze hai qualche problema, prima di continuare leggi la scheda dimatematica Potenze e notazione scientifica).


S. F

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10

sottomultipli

prefisso simbolo operazione potenza di 10

deci d : 10 ◊ 10-1

centi c : 100 ◊ 10-2

milli m : 1000 ◊ 10-3

micro m : 1 000 000 ◊ 10-6

nano n : 1 000 000 000 ◊ 10-9

pico p : 1 000 000 000 000 ◊ 10-12

Tabella 2

Non cadere nella trappoladi pensare che deci, centi,milli... vogliano dire “perdieci”, “per cento”, “permille”... perché al contra-rio significano “divisodieci, cento, mille”...

Ricorda!...

Quando passi da un sotto-multiplo all’unità di base, ilnumero che ottieni, unavolta effettuata l’equivalen-za, deve essere più picco-lo: 125 → 0,125.

Ricorda!...

Quando passi dall’unità dibase a un sottomultiplo, ilnumero trovato a conclu-sione dell’equivalenzadeve essere più grande:9,273 → 9 723 000 000.

Ricorda!...

OPERAZIONI DIRETTE

Esempio 3

Quanti grammi (g) corrispondono a 125 milligrammi (mg)?Come vedi dalla tabella 2, il prefisso «milli» significa che devi dividere per 1000:

125 mg = 125 : 1000 = 0,125 g

OPERAZIONI INVERSE

Esempio 4

Quanti nanosecondi (ns) corrispondono a 9,723 secondi (s)?Dato che per trasformare i secondi in nanosecondi bisogna dividere per1 000 000 000 (vedi tabella 2 in corrispondenza del prefisso «nano»), ne segue cheper il passaggio inverso devi moltiplicare per 1 000 000 000:

9,723 s = 9,723 ⋅ 1 000 000 000 = 9 723 000 000 ns

Provaci tu…

Completa ora i seguenti percorsi guidati per controllare ciò che hai imparato,inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.

Trasforma 75 milliampere (mA) in ampere (A).Facendo riferimento alla tabella 2, puoi notare che il prefisso «milli» vuol diredividere per …………...........:

75 mA = 75 : ….....……… = ……….....… A

Se preferisci utilizzare le potenze del 10 con esponente negativo, puoi anche scri-vere: 75 mA = 75 ⋅ 10−3 A.

Trasforma 0,000169 farad (F) in microfarad (mF).Dato che «micro» vuol dire dividere per ………….................., dovendo effettuare il pas-saggio inverso, è sufficiente che moltiplichi per ……….....…......:

0,000169 F = 0,000169 ⋅ …….....…...... = …………................ μF

Facendo uso della notazione scientifica, avresti:

0,000169 F = 1,69 ⋅ 10−4 F = 1,69 ⋅ 102 μF

4

3


Equivalenze miste

Devi sapere…

Può risultare necessario dover passare da un multiplo dell’unità di base a un sot-tomultiplo (dai kilometri ai centimetri), oppure da un sottomultiplo dell’unità dibase a un suo multiplo (per esempio, dai decigrammi agli etti). Per fare questo,non serve nessuna conoscenza ulteriore rispetto a quanto già visto, ma basta com-binare i passaggi dal multiplo all’unità di base e quindi da quest’ultima al sotto-multiplo; o viceversa… Passiamo perciò direttamente agli esempi pratici.

OPERAZIONI DIRETTE

Esempio 5

Quanti centimetri (cm) corrispondono a 0,24 kilometri (km)?Per passare dai kilometri ai metri bisogna moltiplicare per 1000, ovvero per 103;mentre per passare dai metri ai centimetri si deve moltiplicare per 100, ovvero per102. Dunque:

0,24 km = 0,24 ⋅ 1000 m = 0,24 ⋅ 1000 · 100 cm = 0,24 ⋅ 100 000 cm = 24 000 cm

Oppure, usando le potenze del 10:

0,24 km = 0,24 ⋅ 103 m = 0,24 · 103 ⋅ 102 cm =

= 0,24 ⋅ 103 + 2 cm = 0,24 ⋅ 105 cm = 24 000 cm

In definitiva, è sufficiente moltiplicare per una potenza di 10 pari ai passaggi pre-senti dai kilometri ai centimetri:

km → hm → dam → m → dm → cm

1 2 3 4 5

OPERAZIONI INVERSE

Esempio 6

Quanti megahertz (MHz) corrispondono a 133 300 000 000 millihertz (mHz)?Per trasformare i millihertz in hertz devi dividere per 1000, o in altri termini mol-tiplicare per 10− 3; dopodiché, per avere i megahertz, devi dividere ancora per1 000 000, vale a dire moltiplicare per 10− 6:

133 300 000 000 mHz = 133 300 000 000 : 1000 Hz =

= (133 300 000 000 : 1000) : 1 000 000 MHz =

= 133 300 000 000 : 1 000 000 000 MHz = 133,3 MHz

Altrimenti:

133 300 000 000 mHz = 133 300 000 000 ⋅ 10- 3 Hz =

= 133 300 000 000 · 10− 3 ⋅ 10- 6 MHz =

= 133 300 000 000 ⋅ 10- 3- 6 MHz =

= 133 300 000 000 ⋅ 10- 9 MHz = 133,3 MHz

In sostanza, quello che è necessario fare è moltiplicare per una potenza di 10 conesponente negativo pari ai passaggi presenti dai millihertz ai megahertz, che sononove (tre dai millihertz agli hertz e sei dagli hertz ai megahertz).S

. Fab

bri –

M. M

asin

i, P

hoen

omen

a, S

EI ©

2010


Provaci tu…

Per verificare di avere compreso correttamente quanto esposto, affronta i dueesempi guidati che seguono, completando i percorsi risolutivi là dove compaionoi puntini.

Converti 0,963 kilovolt (kV) in millivolt (mV).Basandoti sui casi esaminati prima, puoi procedere così:

0,963 kV = 0,963 ⋅ .......... V = 0,963 ⋅ .......... ⋅ .......... mV = 0,963 ⋅ .......... mV = .......... mV

Ovviamente, se non vuoi riportare tanti zeri, puoi scrivere:

0,963 kV = 963 ⋅ 103 mV

o usare anche la notazione scientifica:

0,963 kV = 9,63 ⋅ 105 mV

Converti 348,5 centigrammi (cg) in ettogrammi (hg).Se vuoi dividere, ti basta fare questi passaggi:

348,5 cg = 348,5 : .......... g = (348,5 : ..........): .......... hg = 348,5 : .......... hg = .......... hg

Nel caso tu voglia fare ricorso alle potenze di 10 con esponente negativo, dovraimoltiplicare:

348,5 cg = 348,5 ⋅ .......... g = 348,5 ⋅ .......... ⋅ .......... hg = 348,5 ⋅ .......... hg = .......... hg

Con la notazione scientifica, avresti:

348,5 cg = 3,485 ⋅ 10− 2 hg


Risolvi le seguenti equivalenze:

28 kilowatt → ………............. watt

3,60 ettolitri → ………............. litri

94 400 000 hertz → ………............. megahertz

465 metri → ………............. decametri

950 centivolt → ………............. volt

84,2 centimetri → ………............. metri

0,005 861 farad → ………............. millifarad

0,000 777 secondi → ………............. microsecondi

0,443 kilometri → ………............. millimetri

136 500 centigrammi → ………............. kilogrammi

25 ettogrammi → ………............. decigrammi

0,043 kilowatt → ………............. milliwatt

784 decimetri → ………............. kilometri

300 centilitri → ………............. decalitri14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

6

5

S. F

abbr

i – M

. Mas

ini,

Pho

enom

ena,

SE

I ©20

10

Nel Sistema Internaziona-le la massa è l’unicagrandezza che ha unaunità di misura fonda-mentale con un prefisso:il kilogrammo, appunto,anziché semplicemente ilgrammo. Questo è dovu-to a motivi storici. Cercadi non fare confusione,perché qui abbiamo fattoi diversi passaggi in rela-zione al grammo, datoche ci interessava l’aspet-to delle equivalenze daun punto di vista esclusi-vamente matematico.

Ricorda!...


1.7 Risoluzione di equazioni

Devi sapere…

Le equazioni sono delle uguaglianze tra due espressioni algebriche del tipo:

6 ⋅ X + 2 = X − 101° membro 2° membro

A seconda del numero che sostituisci al posto della X, l’uguaglianza può risultarevera o falsa.

Per esempio, se al posto di X metti 5, avrai:

6 ⋅ X + 2 = X − 106 ⋅ 5 + 2 = 5 − 10

30 + 2 = 5 − 1032 = −5

Ma 32 = −5 non è vero, per cui sostituire 5 alla X rende falsa l’uguaglianza.Dato che non è per niente comodo cercare mediante tentativi il valore che soddi-sfa l’uguaglianza, per trovare una soluzione è preferibile seguire una particolaretecnica. Esaminiamo i casi di maggiore utilità per noi.

Incognita in un solo membroRisolviamo, per iniziare, un tipo molto semplice di equazione:

5 ⋅ X + 4 = 24

S. F

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Pho

enom

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SE

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10

Risolvere un’equazionesignifica trovare un valoreda attribuire all’incogni-ta (X) in modo tale chel’uguaglianza risulti vera.

Ricorda!...

1° membro 2° membro che cosa fare

5 ⋅ X + 4 24Porta al 2° membro tutti i termini senza incognita, ricor-dando di cambiare segno.

5 ⋅ X 24 − 4Esegui le operazioni di somma o di sottrazione al 2°membro.

5 ⋅ X 20Dividi ambo i membri per il coefficiente dell’incognita X: in questo caso 5.

Semplifica opportunamente...

X = 4 È il risultato cercato.

205

55 ⋅ X

Tieni presente che scrivere 5 ⋅ X + 4 = 24 oppure 24 = 5 ⋅ X + 4 è la stessa cosa, percui puoi scambiare fra loro i due membri, se ciò ti facilita la risoluzione dell’equa-zione.

Incognita in entrambi i membriVogliamo trovare la soluzione dell’equazione:

2 ⋅ X + 4 = 7 ⋅ (5 ⋅ X − 1)


S. F

abbr

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ini,

Pho

enom

ena,

SE

I ©20

10


2 ⋅ X + 4 7 ⋅ (5 ⋅ X − 1)

2 ⋅ X + 4 35 ⋅ X − 7

2 ⋅ X + 4 − 35 ⋅ X − 7

2 ⋅ X − 35 ⋅ X − 4 − 7 Somma i termini simili in ciascun membro.

− 33 ⋅ X − 11 Dividi ambo i membri per il coefficiente dell’incognita X:in questo caso − 33.

Esegui le operazioni che si possono eventualmentesvolgere (potenze, prodotti e divisioni, somme e sottra-zioni), sia al 1° sia al 2° membro.

Porta tutti i termini con l’incognita al 1° membro, ricor-dando di cambiare segno a quelli che si trovavano al 2° membro.

Porta tutti i termini senza incognita al 2° membro, ricor-dando di cambiare segno a quelli che si trovavano al 1° membro.

−−

3333

⋅ X

X = 1

3

−−

1133 Semplifica opportunamente...


Formule inverseAnche le formule possono essere pensate come equazioni. Osserva la formula percalcolare l’area A di un rettangolo di base b e altezza h:

A = b ⋅ h

Supponi di dover calcolare la base b, noti A e h. Ora la b prende il posto dell’inco-gnita X vista negli esempi precedenti.


A b ⋅ h

b Dopodiché scambia l’ordine dei due membri...

Dividi sia al 1° sia al 2° membro per il termine (in que-sto caso h) che moltiplica la variabile da determinare(cioè la b).

Semplifica la h al 2° membro.

Ah

Ah

b hh⋅

b Ah

= È il risultato cercato.

Formule inverse con termini quadraticiData la formula:

intendiamo ricavare D.

A = B

CD⋅ 2


S. F

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Pho

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ena,

SE

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10


Semplifica al 2° membro.

Poi scambia l’ordine dei due membri.

Infine, estraendo la radice quadrata...

A

D2

BC

D⋅ 2

D2

A C

B⋅

D A CB

= ± ⋅ È il risultato cercato.

moltiplica D2 (il quadrato di D che dobbiamo ricavare).

Sia al 1° sia al 2° membro dividi per B e contempora-neamente moltiplica per C: in altre parole moltiplicaper che è in sostanza il reciproco del termine che

CB

,

A CB

⋅ CB

BC

D⋅ ⋅ 2

A CB

⋅


5 ⋅ (X − 2) 3 ⋅ (4 ⋅ X − 1) + 2

5 ⋅ X − 10 ..........................

5 ⋅ X − 10 − ........ ..........................

5 ⋅ X − 12 ⋅ X .......................... Somma i termini simili.

− 7 ⋅ X .......................... Dividi ambo i membri per il coefficiente dell’incognita X,cioè..........

Esegui le operazioni (potenze, prodotti e divisioni,somme e sottrazioni) che compaiono nei due membri.

Porta al 1° membro i termini con l’incognita che si tro-vano al 2° membro, ricordandoti di cambiare il segno.

Porta al 2° membro i termini senza incognita che si tro-vano al 1° membro, ricordandoti di cambiare il segno.

X = − 9

7

Semplificando opportunamente ricavi...


− ⋅7.......

X

..............−

Provaci tu…

Seguendo i suggerimenti via via forniti, risolvi le equazioni proposte nei due eser-cizi che seguono, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.

Ricava l’incognita X nell’equazione:

5 ⋅ (X − 2) = 3 ⋅ (4 ⋅ X − 1) + 2

1

Determina l’altezza h di un triangolo, conoscendo l’area A e la base b, sapendoche l’area del triangolo è data dalla formula:

Adesso è la h a svolgere il ruolo di incognita, mentre il 2 prende il posto di una lettera. A = b h⋅

2

2


S. F

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Pho

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10


Sia al 1° sia al 2° membro dividi per ......... e contempo-raneamente moltiplica per 2: in altre parole moltiplicaper che è in sostanza il reciproco del termine che

moltiplica h).

.......

.......

Semplifica al 2° membro.

Scambia quindi l’ordine dei due membri.

h A

b= 2� È il risultato cercato.

A ..........

A ⋅ .......

.......h

.......

.......⋅ ⋅b h

2 A ⋅ .......

.......


• Risolvi le seguenti equazioni:

7 − 4 · (X + 1) = 3 · X − 2 · (X − 3) [X = − 3/5]

6 · X − 2 + 3 · (X − 3) = 5 · X − 2 · (7 · X + 1) [X = 0,5]

2 · X · (X − 1) + 5 · X − 3 = X · (2 · X + 2) − 7 · X + 5 [X = 1]

2 · (X − 4) − 6 · (X + 1) − 3 = 7 · (X − 2) + 3 · (5 − X) [X = − 9/4]

X + 3 − 2 · (3 · X − 6) = − (− 2 · X + 9) + 5 · X [X = 2]

• Nelle seguenti formule ricava la/e lettere indicate tra parentesi:

(D) [2 ⋅A/d]

(L)

A = 4 ⋅ π ⋅ r2 (r)

(r)

(C1)

(I)

(B, C, D) [A ⋅ C/D;…;…]

(B, C, D) … …; ;B

A D⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

A = BD C⋅

13

A D= B

C⋅12

C1 ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Ch

2

h C

I= C1 ⋅ 211

± −⎡

⎣⎤⎦I C2

22

I C C212

22= +10

3 ⋅ V4 ⋅ π

3⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

V r= 43

⋅ ⋅π 39

± 1

2Aπ

8

d ⋅ 2 / 2[ ] d = L ⋅ 27

A = D d⋅

26

5

4

3

2

1

(B, C)

(A, B, C, D)

1.8 Geometria piana

Devi sapere…

Sintesi di geometria piana.

… … …; ; ; C

A B⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

A B CD

⋅ =15

…, /±⎡

⎣⎤⎦B A

A = B

C214


figura area proprietà

A B90°

D C

d

b

hAB = bBC = hAC = d

90°45°

45°

A B

D C

d

l

AB = lAC = d

rO

A B

C

90°H

h

b

AB = bCH = h

A B

C

90°H

90°AC = c1CB = c2

c2c1

60°

60° 60°90°

h

A B

C

H l/2

l

CB = lHB = l/2

area4

3

area4

3

=

=

l

CB

2

2

�

�

area = b h�

area = AB BC�

area 2= l

area 2= AB

area 2= π � r

area

2 2= =b h AB CH� �

area

2 21 2= =c c AC CB� �

AB AC CB

AC AB BC

= +

= −

2 2

2 2

teorema di Pitagora

AC AB BC= +2 2

diagonale

triangolo HBC(30° – 60° – 90°)

h l

l h

=

=

23

2

3

�

�

triangolo ABC(45° – 90° – 45°)

d l

l d=

=

� 2

2

lunghezza della circonferenza(contorno del cerchio)

L r= 2� �π

triangolo scaleno

triangolo rettangolo

triangolo equilatero

rettangolo

quadrato

cerchio

Tabella 1

S. F

abbr

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ini,

Pho

enom

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SE

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10


figura dati trova svolgimento

A B90°

D C

d

b

hAB = bBC = hAC = d

90°45°

45°

A B

D C

d

l

AB = lAC = d

rO

A B

C

90°H

h

b

AB = bCH = h

A B

C

90°H

90°AC = c1CB = c2

c2c1

triangolo scaleno


rettangolo

quadrato

cerchio

Tabella 2

area ...

2= =AB�

= =.....

240cm2

AB AC= + =2 ...

= + =..... .....

= 25 cm

a CH) ...

23= =�

= =...

23 6 3 cm� �

b)area = =...2

43

= =...2 3

4�

= 36 3 2� cm

AC BC= + =

= + =

...

..... .....

2

17cm

AC = =

=

...

...

�

�

2

2 cm

a L

b

)

)area

= == =

= ==

2

2 32� �

� � �

�

�

ππ π

ππ

...

......

.... = 256 2� π cm

AB = 10 cmCH = 8 cm l’area

AC = 15 cmBC = 20 cm

l’ipotenusa

AB = 15 cmBC = 8 cm

la diagonale

la diagonale

a) la lunghezza dellacirconferenza

b) l’area del cerchio

AB = 12 cm a) l’altezzab) l’area

AB = 7 cm

r = 16 cm


60°

60° 60°90°

h

A B

C

H l/2

l

CB = lHB = l/2

Provaci tu…

Dopo avere ripassato le principali regole di geometria piana, ti proponiamo duepercorsi guidati. Completali, inserendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.

Formule dirette. Completa la tabella 2.1

S. F

abbr

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Formule inverse. Completa la tabella 3.2


figura dati trova svolgimento

A B90°

D C

d

b

hAB = bBC = hAC = d

90°45°

45°

A B

D C

d

l

AB = lAC = d

rO

A B

C

90°H

h

b

AB = bCH = h

A B

C

90°H

90°AC = c1CB = c2

c2c1

60°

60° 60°90°

h

A B

C

H l/2

l

CB = lHB = l/2

triangolo scaleno



rettangolo

quadrato

cerchio

Tabella 3

CH = =

=

2 area

cm

�

��

......

...2 14

CB AB= − =

= − =

2

12

...

..... ..... cm

CB

AB

2

2

4

3

4 3

31296

36

= =

= =

=

= =

�

� �

...

.....

.....

cm

cmm

bh

= =

= =

...

57618

32cm

l = =

= =

...

..... 45cm

r = =

= =

...

.....

ππ

π� 28cm

area = 175 cm2

AB = 25 cml’altezza CH

AB = 15 cmAC = 9 cm

il cateto CB

area = 576 cm2

h = 18 cmla base

area = 2025 cm2 il lato

il raggio

il lato area cm= 324 3 2�

area cm= 784 2π

S. F

abbr

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Svolgi senza guida i seguenti esercizi.

Formule dirette

In un triangolo scaleno la base è 25 dm e l’altezza 32 dm. Calcola l’area.[400 dm2]

In un triangolo rettangolo un cateto misura 16 m e l’altro 30 m. Calcola lamisura dell’ipotenusa.

[34 m]

Il lato di un triangolo equilatero misura 14 cm. Calcola l’area.

Un rettangolo ha dimensioni 24 cm e 45 cm. Calcola la misura della diagonale.[51 cm]

Il lato di un quadrato misura 22 m. Calcola la misura della diagonale.

In una circonferenza il raggio è 36 cm. Calcola la lunghezza della circonferen-za e l’area del cerchio.

[72 ⋅ π cm; 1296 ⋅ π cm2]

Formule inverse

L’area di un triangolo scaleno è 900 cm2 e la base 75 cm. Calcola l’altezza.[24 cm]

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 25 m e un cateto 15 m. Calcola lamisura dell’altro cateto.

[20 m]

In un triangolo equilatero l’area è Calcola la misura del lato.[12 dm]

L’area di un rettangolo è 1881 dm2 e la base misura 57 dm. Calcola la misuradell’altezza.

[33 dm]

L’area di un quadrato è 3844 mm2. Calcola la misura del lato.[62 mm]

L’area di uno scavo archeologico circolare è 441 ⋅ π m2. Calcola la misura delraggio e poi determina la lunghezza della circonferenza.

[21 m; 42 ⋅ π m]

12

11

10

36 ⋅ 3 dm2 .9

8

7

6

22 2⋅⎡

⎣⎤⎦m

5

4

49 3 2⋅⎡

⎣⎤⎦cm

3

2

1

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Pho

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10

2 Fare amicizia...con la calcolatrice

2.1 Una questione di atteggiamentoCapita spesso che nell’effettuare i conti con l’indispensabile (per lo meno a scuola)calcolatrice, tu sia animato da una fiducia cieca in questo prezioso strumento.Salvo pensare a chissà quale spirito malintenzionato che si nasconde al suo inter-no, quando ti accorgi che un compito in classe è andato male a causa dei calcolierrati. Così finisci per attribuire alla calcolatrice la colpa di tutti i tuoi sbagli!Ovviamente si tratta di una reazione irrazionale…Non bisogna farsi prendere da una euforia incondizionata nei confronti di questadeliziosa macchinetta. È assai più proficuo convincersi che:

• La calcolatrice fa solamente quello che tu le fai fare!

Naturalmente c’è calcolatrice e calcolatrice, alcune funzionano in un modo e altre inmodi differenti, alcune hanno molte possibilità (funzioni) mentre altre si limitanoalle quattro operazioni e nulla più… In ogni caso, l’importante è capirne per benecaratteristiche e potenzialità.

• È buona norma leggere attentamente il libretto delle istruzioni o, perlo-meno, non buttarlo via subito!

Qui ti diamo alcuni suggerimenti per usare la calcolatrice, al fine di perveniresempre al risultato corretto, indipendentemente dal tipo e dalla marca.

M38S

. Fab

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M. M

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EI ©

2010

accensione dellacalcolatrice

funzionitrigonometriche

tastodi esecuzione

virgola

le quattrooperazionialgebriche

display

scelta delle modalità(per esempio, tra lanotazione decimalee quella scientifica)

attivazione delle funzioni alternativeriportate in generesubito sopra i tasti

radice quadrata,quadrato ed elevazione a potenza

parentesi(necessarie per fare eseguire le operazioni di un’espressione nell’ordine voluto)

scrittura esponenziale

2.2 L’approccio inizialeLa prima verifica da fare è vedere qual è lo stile della tua calcolatrice nella scrittu-ra dei numeri. Infatti, ci sono modalità diverse con le quali si può scrivere uno stes-so numero, di solito chiamate Norm, Fix e Sci, alla cui attivazione è spesso predi-

sposto il tasto .

Eseguiamo la divisione 7:1230. Sul display il risultato può apparire con scritturetra loro differenti.

MODE


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Pho

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10

funzione descrizione esempio

Questa modalità (detta normale) consiste nella scrit-tura del numero così com’è, con tutte le cifre che ildisplay mette a disposizione.

La seconda modalità (detta fissa) permette di scrivere undato valore numerico con solo una parte delle cifre deci-mali (dopo la virgola), per esempio cinque, scelta da te.

La terza (detta scientifica) consente di utilizzare lanotazione scientifica, per la quale si scrive sempre unasola cifra significativa a sinistra della virgola e si molti-plica il numero per una appropriata potenza del 10, incui la base 10 viene in realtà sottintesa, scrivendo uni-camente l’esponente (per cui 5,691056911−03 equiva-le in realtà a 5,691056911◊ 10−03)

0,005691057Norm

Fix

Sci

0,00569

5,691056911−03

(Può capitare che la tua calcolatrice di sua iniziativa, cioè per default, scelga lamodalità scientifica, procurandoti problemi nella comprensione del numero daleggere. Fai allora una prova e imposta sulla tua calcolatrice, dopo avere premuto

il tasto , se ancora non l’hai fatto, la divisione proposta prima:

Se, una volta premuto il tasto , sul tuo display compare proprio 0,005691057

allora puoi stare tranquillo, perché i numeri saranno sempre scritti in modalitànormale.Se invece appare qualcosa del tipo 5,691056911− 03, eventualmente con più o meno

cifre decimali, e che non sai ben interpretare, attiva subito , premendo il

tasto relativo, e scegli Norm tra le varie opzioni. Il numero verrà subito riportatocome 0,005691057.

(Nell’eventualità in cui la tua calcolatrice non abbia tale funzione, vai a leggerepazientemente le istruzioni là dove si parla, per quanto riguarda i numeri, di for-mato o cifre significative o notazione esponenziale).

MODE

=

=0321∏7

ON


2.3 Calcolo aritmetico

Devi sapere…

Purtroppo le calcolatrici in commercio non operano in maniera omogenea per quan-to riguarda l’effettuazione dei calcoli. Cerchiamo di chiarire con un esempio checosa intendiamo dire.Immagina di dover calcolare la velocità di un corpo tramite la formula (che tidiventerà familiare in seguito…):

Non è il caso ora di soffermarci sul significato delle varie lettere (che rappresen-tano delle grandezze fisiche). Qui ci interessano semplicemente come numeri pertrovare quanto vale v, sapendo che:

s = 15 dm s0 = 5 dm t = 2,5 s

A questo punto può capitare, a seconda della calcolatrice di cui si dispone (tiricordiamo che la virgola per rappresentare i numeri decimali corrisponde alpunto), che digitando la sequenza:

si ottengano due risultati completamente diversi:

13 oppure 4

Evidentemente, solo uno di questi due valori, se espresso nella giusta unità dimisura (dm/s), può essere quello corretto. Non è quindi un particolare di pococonto… Fai la prova con la tua calcolatrice. Che cosa ottieni, 13 o 4? Verifica ora«manualmente» qual è il risultato corretto; dovresti scoprire che è 4.

Cerchiamo di capire la ragione per cui certe calcolatrici all’apparenza fornisconorisultati “sbagliati”. Modifica la sequenza precedente in questo modo:

o, meglio ancora, se il tuo strumento prevede l’uso delle parentesi:

In entrambi i casi trovi il valore corretto, che è 4 (dm/s).Che cosa succede allora quando la calcolatrice fornisce invece 13 (dm/s)? Avendouna certa possibilità di conservare dei dati provvisori in memoria, e quindi cre-dendo di aiutarti, al termine della digitazione del simbolo di divisione:

non effettua subito la sottrazione (come fanno al contrario le calcolatrici di qua-lità inferiore, che immediatamente riportano 10), ma attende la conclusione

∏5-51

=5◊2∏)5-51(

=5◊2∏=5-51

t� ��

s0

� s� ��

=5◊2∏5-51

v

st

= − s0

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L’uso di uno strumentoche ti aiuti nei calcoli,non deve indurti a mette-re da parte le capacitàintellettive di cui disponi:spetta pur sempre a te lavalutazione della plausibi-lità di un certo risultato!

Ricorda!...

dell’immissione dei dati, cioè la digitazione dell’ . Di conseguenza, poiché

tiene conto della corretta priorità delle operazioni (cosa che tu invece non hai fatto!),la calcolatrice svolge prima la divisione e poi la sottrazione, calcolando in definitiva:

che è tutt’altra cosa rispetto a v.Vediamo un altro caso analogo e piuttosto frequente come tipologia. Consideratala legge:

F = K ⋅ (L − L0)

si vuole trovare quanto vale F, sapendo che i dati sono:

K = 50 N/m L = 32,7 cm L0 = 30,2 cm

Se puoi fare ricorso alle parentesi, non c’è problema, in quanto puoi riscrivere laformula così com’è, mettendo i dati al posto dei simboli. Se però non hai questapossibilità, per evitare errori ti conviene impostare prima la sottrazione e quindieffettuare la moltiplicazione, secondo la seguente sequenza:

In questa maniera ottieni il risultato corretto, che è 125 (N).

Provaci tu…

Per cominciare a prendere maggiore confidenza con la tua calcolatrice, provaadesso a seguire il percorso guidato che ti proponiamo.

• Calcola il valore medio tra 50 e 120.

La formula da usare è, come sai, Inserisci gli elementi mancantidove compaiono i puntini.Con la calcolatrice devi digitare:

Il risultato corretto è 85 e non 110!


Dopo quello che ti abbiamo detto, determina tramite la calcolatrice il risultatodelle seguenti espressioni:

[1,8]

[4]

[2,5]

(10 + 34) ⋅ 5 [220]

6,2 ⋅ (47 − 32) [93]5

4

70 4518 8

−−

3

125 2−

2

95 1445

−1

...2...=021...05

XM = 50 120+

2.

K� ��

L0

� �� L� ��

=05¥=2◊03-7◊23

s

st

− 0

=


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2.4 Calcolo con numeri in notazione esponenziale

Devi sapere…

Generalmente si incontra qualche difficoltà quando si devono manipolare nume-ri scritti in notazione esponenziale o scientifica. Immagina di avere

A = 5,4 ⋅ 10− 6 m2 h = 0,9 ⋅ 10−3 m

e di dovere determinare il volume V dato da:

V = A ⋅ h = (5,4 ⋅ 10− 6) ⋅ (0,9 ⋅ 10− 3)

Non ti conviene far fare alla calcolatrice quello che tu puoi trovare con maggiore inven-tiva. Infatti, se ti venisse l’idea, apparentemente innocente, di calcolare il prodotto:

0,0000054 ⋅ 0,0009

(essendo 5,4 ⋅ 10−6 = 0,0000054 e 0,9 ⋅ 10–3 = 0,0009), ti ritroveresti a dovere decifraresul display, in relazione al numero massimo di cifre che è in grado di visualizzare,qualcosa come:

0,000000005 oppure 4,68- 09

di non immediata leggibilità. Ma in virtù delle proprietà sulle potenze (vedi Poten-ze e notazione scientifica), sai che:

10−6 ⋅ 10−3 = 10−9

Allora, puoi tranquillamente limitarti a calcolare il prodotto tra 5,4 e 0,9:

(Ti ricordiamo che non è necessario digitare lo zero prima della virgola: .9 equiva-le a 0.9). Ottieni così 4,86, che poi moltiplichi per la potenza opportuna di 10, cioè:

V = 4,86 · 10−9 m3

Per la divisione il criterio da seguire è lo stesso: trovi il rapporto tra i numeri equindi applichi alle potenze del 10 la regola corrispondente (vedi sempre la schedasegnalata sopra).

Provaci tu…

Ecco un percorso guidato per iniziare a verificare la comprensione di quantoesposto.

• Calcola l’area del rettangolo che ha lati 6,5⋅10−3 m e 13⋅10−4 m.

Inserisci gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.Con la calcolatrice calcola semplicemente il prodotto:

E il risultato (84,5) lo moltiplichi per:

10−3 ⋅ 10−4 = 10−3……= 10……

trovando:

84,5 ⋅ 10−7 m2 → 8,45 ⋅ 10…… m2 → 8,45 mm2

...31...5...6

=9◊¥4◊5


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Adesso prova da solo, determinando il risultato delle espressioni che seguono:

(3,5 ⋅ 106) ⋅ (7,1 ⋅ 103) [24,85 ⋅ 109 → 2,485 ⋅ 1010]

[6 ⋅ 103]

[30 ⋅ 10−3 → 3 ⋅ 10−2]

2.5 Formule più complesse

Devi sapere…

Esaminiamo qui, fra i numerosissimi esempi che si potrebbero ancora mostrare,un tipo di calcolo che probabilmente incontrerai spesso durante lo studio dellaTermologia e dell’Elettricità. Esso riassume, in pratica, entrambe le situazioniappena affrontate. Senza preoccuparti al momento di comprendere la formula o le unità di misuraadoperate e piuttosto concentrandoti esclusivamente sugli aspetti di puro calcolo,immagina di dover determinare la pressione p tramite la legge:

p = p0 ⋅ (1 + α ⋅ t)

I valori da immettere nella formula siano, a titolo esemplificativo:

Continuando a supporre che tu possieda una calcolatrice dalle scarse potenzialità, edopo averti rapidamente ricordato la proprietà commutativa della somma e del pro-dotto (A + B = B + A e A ⋅ B = B ⋅ A), ecco la sequenza che ti conviene seguire.

a) Concentrati sulle operazioni all’interno della parentesi tonda 1 + α ⋅ t. Dato che

calcola prima questa divisione e somma quindi 1:

(Dopo aver introdotto il valore 273, non è in questo caso suggerito l’ in

quanto è una procedura corretta che venga calcolata istantaneamente la divi-

sione, quando si digita il ).

b) Fatto ciò, devi eseguire il prodotto tra il risultato appena ottenuto e p0. Molti-

plica 1,476190476 (comparso nel display dopo l’ ) per il numero 1,20 che asua volta moltiplica la potenza105:

=2◊1¥

=

+

=

=1+372∏031

1273

130 130273

⋅ = ,

t = 130 °C α = 1

273C° −1

p051 20 10= , ⋅ Pa

( ) ( ),

5 10 9 101 5 10

5 4

12

⋅ ⋅ ⋅⋅

3

7 5 101 25 10

5

2

,,

⋅⋅

2

1


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c) Scrivi il risultato finale 1,771428571 e moltiplicalo per la potenza 105:

1,771428571 · 105

Arrotondandolo opportunamente, ottieni alla fine:

p = 1,77 · 105 Pa

Provaci tu…

Procedi seguendo il percorso guidato, inserendo gli elementi mancanti dove com-paiono i puntini.

• Determina il valore di 3,5 · 10−5 · (1 − 0,0005 · 1250).

Dopo avere azzerato il display con il tasto , digita:

Quindi continua sommando ............. e moltiplicando il tutto per .........................:

(Nota che dopo avere premuto il compare, giustamente, il numero negati-vo − 0,625.)

Moltiplica quest’ultimo numero per la potenza 10……. Il risultato è:

1,3125 · 10−5


Trova il risultato delle seguenti espressioni.

[1,16 · 104]

[1,83 · 10−8]

In quest’ultimo caso è necessario ricorrere alle parentesi oppure alla funzione

oppure presente in una normale calcolatrice scientifica.

Infatti, dopo aver calcolato nel modo consueto il denominatore 1 + 0,00366 ⋅ 100,

premendo il tasto si ottiene il valore della frazione che

basta poi moltiplicare per il numeratore 2,50 ⋅ 10−8…Altrimenti, ti scrivi su un foglio il risultato 1,366 dell’operazione 1 + 0,00366 ⋅ 100,effettui la divisione 2,50/1,366 e poi moltiplichi quanto ottenuto per 10−8.

11 0 00366 100+ ⋅,

,1/x

x-11/x

2 50 101 0 00366 100

8,,

⋅+ ⋅

−

2

0 1 1

27390,87 104⋅ ⋅ + ⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1

+

......◊...¥=...+

0.........¥...000◊-

ON/C


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2.6 Funzioni trigonometriche

Devi sapere…

Esaminiamo ora un argomento che potrà esserti utile quando studierai la rifra-zione (un fenomeno fisico che riguarda le onde) oppure quando approfondiraicon il tuo insegnante alcune definizioni come quella di lavoro o di flusso delcampo magnetico. In ogni caso, a questo punto è indispensabile che tu dispongadi una calcolatrice più completa, con le principali funzioni matematiche tra lequali quelle chiamate trigonometriche, che trovi indicate sui tasti con le scritte:

I nomi per esteso di queste funzioni sono rispettivamente: seno, coseno e tangen-te. Da un punto di vista puramente numerico si tratta di qualche cosa che dipen-de dall’ampiezza assunta da un certo angolo, per cui sin di 30° (che si scrivesin 30°) ha un determinato valore, cos di 45° (che si scrive cos 45°) un altro e cosìvia. Di solito, si inserisce il valore dell’angolo tramite la tastiera, si preme il tastodesiderato e si perviene al risultato.Però, prima di fare questo, devi controllare in quale modalità si trova l’imposta-zione degli angoli nella tua calcolatrice. Ce ne sono infatti tre, che ti vengono

anch’esse mostrate quando usi il tasto oppure che puoi scegliere diretta-

mente con il tasto .

Per quanto ci riguarda, ti devi accertare che nel display da qualche parte in picco-lo sia riportata la scritta DEG (o D), la quale ti informa che per gli angoli è in vigo-re la convenzione di considerare quello giro di 360°, ovvero quello retto di 90°. Se

così non fosse, attiva la funzione e premi il tasto che si trova sotto ilMODE

DRG

MODE

TANCOSSIN

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display in corrispondenza dell’indicazione DEG, oppure premi più volte finoa quando con vedi apparire la scritta DEG.(Forse questa puntualizzazione ti sembra inutile, ritenendo ovvio che l’angoloretto valga 90°. Eppure, sappi che con la modalità RAD l’angolo retto vale π/2, men-tre con quella GRAD è suddiviso in 100 parti!)Per verificare di essere effettivamente nella modalità voluta, fai la seguente provadigitando:

Nel caso in cui il risultato che compare nel tuo display sia 1, allora è tutto a postoe puoi procedere; altrimenti, ripeti la ricerca della modalità DEG.Le calcolatrici di nuova concezione consentono di scrivere ren-dendo più semplice la digitazione e la ricerca del risultato. Fatto questo, non ci sono altri problemi di rilievo. Per calcolare sin 60° segui lasequenza:

Il risultato dell’operazione è 0,866025404…Anche se ti appare strano, tieni presente che la funzione sin, analogamente a cos,può variare soltanto tra − 1 e 1, estremi inclusi.Se, invece, devi determinare 2 ⋅ cos 15°, essendo questo tipo di funzioni calcolatenon appena si preme il tasto corrispondente, indipendentemente dalle operazioniin corso, non dovresti incontrare difficoltà digitando:

=COS51¥2

SIN06

09SIN

SIN09

DRG

Quando premi compare il valore di cos 15°, vale a dire 0,965925826, eCOS


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quindi dopo l’ il risultato finale 1,931851653. Se per caso hai trovato un

numero diverso, allora prova a invertire l’ordine del prodotto:

Infine, se hai bisogno di sapere quanto vale (come appunto può capitarti

nello studio della rifrazione), allora procedi come segue:

Ciò che dovresti ottenere in questa maniera è 1,120665998… Ribaltando la questione, nella eventualità che tu voglia cioè sapere per quale ango-lo il sin valga 0,5 (che con il linguaggio della matematica si indica con sin-1 0,5),è necessario ricorrere alla funzione indicata con SIN–1, per prassi riportata subito

sopra il tasto del e che si attiva premendo dapprima il tasto (o talvol-

ta ):

Il valore 30 che trovi equivale a 30° ed è l’angolo cercato.

Provaci tu…

Segui il breve percorso guidato relativo alle funzioni trigonometriche, inserendogli elementi mancanti dove compaiono i puntini.

• Determina il valore di sin 10°.

Dopo aver verificato di essere in modalità DEG, devi digitare:

Hai ottenuto 0,173648178…? Se la risposta è positiva, puoi andare avanti da solocon gli esercizi, altrimenti è meglio che riveda i passaggi precedenti.


Determina il valore delle espressioni trigonometriche seguenti:

cos 75° [0,258819045…]

4,2 ⋅ sin 50° [3,217386661…]

cos−1 0,5 [60°]

[0,64379213]

[1]

sincos

4545

°°

5

sinsin

3873

°°

4

3

2

1

SIN......

SIN2nd5◊

SHIFT

2ndSIN

=SIN53∏SIN04

sinsin

4035

°°

=2¥COS51

=

2.7 La funzione esponenziale yx

Devi sapere…

Quando l’esponente x di una funzione del tipo yx non è un numero intero, nonpuoi pensare di cavartela senza una calcolatrice scientifica. Per fortuna, nella Fisi-ca che affronti nel biennio non sono molti i casi in cui ciò è necessario. Ecco, inogni caso, le indicazioni che ti possono risultare utili.

Il tasto corrispondente è solitamente , talvolta , più spesso .

In alcuni casi questa funzione viene attivata solo dopo avere premuto il tasto

o .

Supponi di dover trovare il valore di 42,6. I passaggi sono semplici. Ti basta digitare:

Il risultato è 36,75834736.Nell’eventualità che tu debba, invece, determinare considerato che ,

1y

yx

x= −

1101 5,

,

=6◊2yx4

2ndSHIFT

^xyyx


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grazie al tasto , che consente di cambiare il segno di un dato immesso da

tastiera, e tramite la funzione esponenziale puoi trovare direttamente:

In questo modo ottieni 0,031622777. Certe calcolatrici consentono di cambiare il

segno usando semplicemente . Quindi in tal caso il nostro calcolo diventa:

Provaci tu…

Segui il breve percorso guidato per consolidare l’uso del tasto o , inse-rendo gli elementi mancanti dove compaiono i puntini.• Determina il valore di 81,4.La successione dei tasti da digitare sulla calcolatrice è la seguente:

Se hai trovato 18,37917368 allora hai operato in modo corretto; se così non è, rive-di gli esempi precedenti.


Determina il valore delle seguenti espressioni, in cui è necessario il ricorso allafunzione esponenziale:

90,5 [3]

121,8 [87,60446523]

0,63,5 [0,167312881]

1/80,07 [0,864537231]

1/2,54,2 [0,021313362]

1 − 1/100,4 [0,601892829]6

5

4

3

2

1

=...◊......8

^yx

=5◊1-^01

-

=+/-5◊1yx01

+/-

3 Come affrontare gli esercizi e i problemi

3.1 Indicazioni metodologicheLe fasi in cui possiamo sintetizzare un percorso efficace per risolvere un eserciziorelativamente complesso sono quelle riportate qui di seguito.

Comprensione del testo

Cerca di capire esattamente la richiesta dell’esercizio.

Schematizzazione

Raccogli, esaminando attentamente il testo dell’esercizio, tutte le informazioni utiliper individuare correttamente l’ambito fisico nel quale si sviluppa il fenomenopreso in considerazione, cercando, se possibile, di rappresentarlo con uno schema.

Dati

Trascrivi i dati contenuti esplicitamente nel testo.

Unità di misura

Assicurati che i dati siano espressi nelle unità di misura del Sistema Internazio-nale di misura (SI) e, in caso contrario, effettua subito le opportune conversioni.Talvolta questa azione non sarà strettamente necessaria, ma in generale ti per-metterà di evitare numerosi errori legati alle non corrette unità di misura.

Formule utili

Sulla base di quanto analizzato prima, riporta ordinatamente tutte le formule dicui potresti avere bisogno, in modo da averle sotto gli occhi di continuo.

Dati nascosti

Metti in evidenza gli eventuali dati impliciti (per esempio, quando si parla di cadutalibera, è sottinteso che tutti i corpi in generale cadono in assenza di attrito conun’accelerazione costante che vale 9,81 m/s2).

Strategia risolutiva

Procedi passo-passo con i tentativi di risoluzione (vedi quanto suggerito più avanti).

Calcoli

Svolgi con attenzione i calcoli, ripetendoli almeno una seconda volta.

Analisi del risultato

Valuta criticamente i risultati raggiunti rispondendo, sia pure con un certo gradodi approssimazione, alla domanda se quei risultati sono plausibili (per esempio,nel caso in cui il calcolo di un errore relativo ti dovesse dare un valore maggiore di1, allora dovresti essere colto dal dubbio che qualcosa non è del tutto regolare…).

È ovvio che le fasi indicate non sono separate nettamente le une dalle altre. Si pos-sono verificare ripetizioni di momenti già affrontati, salti da un punto a un altro,e così via. In ogni caso, lo schema costituisce una traccia utile e una buona disci-plina metodologica.

M48S

. Fab

bri –

M. M

asin

i, P

hoen

omen

a, S

EI ©

2010

Qualunque formula utiliz-zerai, a partire dalle gran-dezze espresse nelleunità del SI, otterrai sem-pre la grandezza finaleespressa nella corrispon-dente unità del SI.

Ricorda!...

3.2 Due esempiAddentriamoci nel vivo della questione con un esempio concreto, ripercorrendo lefasi riportate nelle Indicazioni metodologiche.

Esempio 1


S. F

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Un’automobile, inizialmente ferma, grazie a un’accelerazione costante lungo unatraiettoria rettilinea raggiunge in 12,5 s la velocità di 135 km/h. Calcola lo spaziopercorso dall’automobile durante tale fase di accelerazione.

t = 12,5 s

s0 = 0v0 = 0 v = 135 km/h

s = ?


Devi trovare la distanza che percorre un’auto durante un certo intervallo ditempo: s.

Schematizzazione

Dal momento che si parla di accelerazione costante e di corpo inizialmente fermo, tirendi conto di avere a che fare con un moto rettilineo uniformemente accelerato conpartenza da fermo. Un disegno molto semplice che riassume la situazione fisi-ca, come quello sopra, può essere utile per visualizzare meglio la situazione concreta.

Dati

I dati non sono molti, ma comunque li raccogli in maniera chiara:

t = 12,5 s v = 135 km/h

Unità di misura

Mentre il tempo è espresso in secondi, la velocità è in km/h, per cui è opportunoriportarla in m/s, per avere la coerenza con il SI. Esegui subito la conversione:

t = 12,5 s

Formule utili

Indubbiamente, ti vengono in mente le due leggi orarie studiate per i moti rettili-nei, rispettivamente quello uniforme e quello uniformemente accelerato (perquest’ultimo abbiamo preso il caso più semplice con v0 = 0 ed s0 = 0):

s = v ⋅ t + s0 s a t= 1

2⋅ ⋅ 2

v = = =135 1000

3600m/s⋅ 135

3 637 5

,,

Dati nascosti

Nel caso in questione non ci sono dati impliciti; semmai puoi rilevare che nelleparole inizialmente ferma, è contenuta l’informazione v0 = 0, che è rilevante perl’individuazione della corretta legge oraria del moto rettilineo uniformementeaccelerato.


Scegli tra le due possibilità, considerato che si parla nel testo dell’esercizio di acce-lerazione costante, la seconda:

Il tempo è un dato, per cui non ti resta che determinare l’accelerazione, per laquale diciamo che hai a disposizione la sua definizione e la formula inversa,cioè:

La tua scelta ricade sulla prima per due motivi: 1) hai a disposizione sia l’inter-vallo di tempo sia la velocità finale; 2) la formula inversa l’hai ricavata dalla stes-sa legge oraria che ti serve per trovare s (e dunque non puoi riutilizzarla per tro-vare a!):

Il percorso risolutivo è così giunto al termine.

Calcoli

Utilizzando le grandezze espresse nelle unità del SI fai adesso i calcoli.


Cerca di capire se il valore di s trovato è plausibile: in quanto spazio immaginiche un’auto possa raggiungere la velocità di 135 km/h partendo da ferma? Inpochi metri? In svariati kilometri? Pensa magari a qualche prestazione automobi-listica alla quale hai assistito e valuta la soluzione trovata.

Infine, ecco come potresti riordinare il tuo operato.

a = v

t

a = 2 ⋅ s

t2 a = v

t

s a t= 1

2⋅ ⋅ 2


S. F

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dati risoluzione calcoli

t = 12,5 s

v = 37,5 m/s

s = ?

a = ?

s a t= 1

22� �

a v

t=

a

s

= =

=

37 512 5

3

12

3 12 5 234

2

2

,,

/

( , )

m s

m� � ≅

Esempio 2


S. F

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Una sfera di 350 g di massa percorre una traiettoria circolare con modulo dellavelocità tangenziale costante e pari a 18 km/h. La frequenza del moto è di 0,25 Hz. Calcola la forza centripeta che agisce sulla sfera.

f = 0,25 HzFc = ?

m = 350 g

v = 18 km/h


Dunque, puoi prendere atto che l’esercizio ti chiede di calcolare il valore di unadeterminata forza centripeta: Fc.

Schematizzazione

Dato che si parla di velocità tangenziale con modulo costante e di traiettoria cir-colare, comprendi automaticamente che il fenomeno studiato è un moto circolareuniforme. Un disegno vero e proprio (così come una ricostruzione mentale) tiaiuta a visualizzare la situazione fisica.

Dati

A questo punto, raccogli ordinatamente i dati:

m = 350 g v = 18 km/h f = 0,25 Hz

Unità di misura

Un campanello d’allarme dovrebbe avere già risuonato nella tua mente, in quan-to due delle tre grandezze, cioè la massa e la velocità, non sono espresse nelleunità di misura fondamentali e derivate del SI. Di conseguenza, effettua imme-diatamente la conversione:

f = 0,25 Hz

Formule utili

Per facilitare la ricerca della soluzione, puoi cominciare a scrivere in un angolodel foglio le formule che pensi ti potrebbero essere utili. Qui riproduciamo persemplicità solo quelle riguardanti la forza (le altre le prenderemo in considera-zione man mano). Ipotizzando una serie di argomenti standard affrontati daltuo insegnante una volta giunti al moto circolare uniforme, hai a disposizione leformule:

F = K ⋅ ΔL F = m ⋅ a F = M

b

v = =18

3,6m5 /s

m = =350

1000kg0 350,

Dati nascosti

Constata che, nella situazione esaminata, non ci sono valori di riferimento ocostanti (la densità dell’acqua, l’accelerazione di gravità ecc.) che possano essereincluse tra i dati. Quindi, procedi.


Sia analizzando i dati sia riflettendo sul fenomeno trattato, scegli di seguire lastrada indicata dal secondo principio della dinamica: F = m · a.Considerato che il valore della massa è disponibile, resta il problema di determi-nare l’accelerazione.Per quest’ultima grandezza hai a disposizione il seguente campionario di formule:

Ma anche adesso, i dati forniti, la circostanza di avere a che fare con un moto cir-colare uniforme, nonché l’inutilità di ricorrere a qualcosa che già stai usando pertrovare la forza (vale a dire a = F/m, che deriva dal secondo principio della dina-mica F = m · a), ti indirizzano inevitabilmente verso l’accelerazione centripeta ac,cioè la terza formula:

Quindi, poiché nell’espressione dell’accelerazione centripeta manca solo il periodoT, utilizza la relazione tra periodo (da determinare) e frequenza (che è un dato):

Calcoli

A partire dai dati riportati nelle unità di misura del SI, inizia a fare i calcoli.


Trovato il risultato, prova a valutare che non sia esageratemente piccolo o esage-ratamente grande.

In definitiva, la pagina finale nella quale riassumi ordinatamente il tuo operato sipotrebbe presentare così:

T

f= 1

a

Tc = π2 ⋅ ⋅ v

a

Tc = π2 ⋅ ⋅ v

a = F

m a = 2

2

⋅ st


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dati risoluzione calcoli

m = 0,350 kg

v = 5 m/s

f = 0,25 Hz

Fc = ?

Fc = m ⋅ ac

ac = ?

a v

Tc = 2� �π

T

f= 1

T = ?

T

a

F

C

C

= =

=

=

10 25

4

2 54

7 85

0 350 7 85 2

,

,

, ,

s

m/s2� �

�

π ≅

≅ ,,75N

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