Nordic-Baltic Physics Olympiad 2017

1. LOHIKÄÄRME (5 pistettä) — Aigar Vai-gu. Ohessa on kuva lohikäärmeestä veden alla(erilliseltä paperilta löydät isomman kuvan ti-lanteesta). Lohikäärmeen pituus on l = 8cm jakorkeus h = 3cm. Kulhon pohjan halkaisija ond = 10cm. Pöydän ja kulhon reunan välinen kul-ma on α= 60°. Veden taitekerroin on n = 1.33.Kuva on otettu siten, että kamera osoitti tarkal-leen veden pintaa myöten. Katsottaessa vedenpinnasta heijastuvaa kuvaa määrittelemme kul-maksi horisontin ylä- tai alapuolella kulman jo-ka muodostuu veden pinnan (tai minka tahan-sa vaakasuoran pinnan) ja kuvasta silmään piir-retyn suoran linjan välille.

i) (2 pistettä) Mikä on pienin kulma horisontinalapuolella josta lohikäärmeen heijastuksen ve-den pinnasta pystyy näkemään?ii) (3 pistettä)Mikä on suurin kulma horisontinyläpuolella josta tämän heijastuksen voi nähdä?2. KOMEETTA (8 pistettä) — Jaan Kalda.Erään komeetan rata leikkaa maapallon radan(voimme olettaa että maapallon rata on ympyräja että sen säde on R0 = 1,5×108 km) kulmas-sa α = 45°. Lisäksi tiedetään, että komeetan jamaapallon radat ovat samassa tasossa.i) (3 pistettä)Laske komeetan perihelin etäisyysRmin auringosta (toisin sanoen komeetan radanlyhin etäisyys aurinkoon). Komeetan aphelin Aetäisys auringosta (komeetan radan kauimmai-nen etäisyys auringosta) voidaan olettaa olevanpaljon suurempi kuin R0.ii) (5 pistettä)Kuinka monen päivän ajan t on ko-

meetan etäisyys auringosta vähemmän kuin R0?3. VASTUKSET JA KONDENSAATTORIT(5 pistettä) — Mihkel Heidelberg.

Kuvan mukainen sähköpiiri on koottu paristos-ta, kytkimestä, vastuksista ja kondensaattoreista.Vastuksien resistanssi on R, kondensaattorienkapasitanssi on C ja pariston jännite on U . Pis-te A on maadoitettu joten sen potentiaali on0V. Alussa sähköpiirin kytkin on auki sekäkondensaattoreissa ei ole varausta.i) (2 pistettä)Mikä pisteiden B ja C potentiaalienarvo sen jälkeen kun olemme sulkeneet sähköpii-rin kytkimen ja odottaneet, että potentiaalit ovatstabiloituneet?ii) (3 pistettä)Mikä on pisteen D potentiaali senjälkeen kun olemme sulkeneet sähköpiirin kyt-kimen ja odottaneet, että potentiaalit ovat stabi-loituneet?4. GRAVITAATIOAALLOT (7 pistettä) —Artūrs Bērziņš.

Kaksoistähtijärjestelmän muodostamiengravitaatioaaltojen säteilyteho saadaan lausek-keesta P(r,m1,m2) = 32

5G4

c5(m1m2)2(m1+m2)

r5 , jos-sa r on toisiaan kiertävien massojen m1 ja m2keskipisteiden etäisyys. Kaikkein suuritiheyk-sisin objekti on musta aukko. Mustan aukonkokoa voidaan kuvailla sen Scwarzschildin sä-

teellä rs = 2Gmc2 , missä m on mustan aukon

massa.i) (2 pistettä)Arvioi maksimiteho millä kaksois-tähtijärjestelma voi muodostaa gravitaatioaalto-ja.

Gravitaatioaaltojen mittaamiseen maa-pallolla käytetyt laitteistot toimivat mittaa-malla niin sanottua gravitaatioaalto venymääε(t) aikayksikköä kohden. Tämä kuvaa aika-avaruuden deformaatiota eli suhteellista veny-mää (pituuden muutos pituusyksikköä kohden).Dataa analysoimalla voimme määrittää maksi-mivenymän ε ja sitä vastaavan aallontaajuudenf . Teoreettisen avaruusaika mallin avulla aal-lon energiatiheys u voidaan siten määrittää.Käytämme tässä analogiaa lineaariseen elasti-suusteoriaan tutkiaksemme tätä mallia.ii) (1,5 pistettä)Määritä tasaisesti venytetyn ku-minauhan energiatiheys u = u(ε,E) suhteellisenvenymän ε ja kimmokertoimen (Youngin vakio;Young’s modulus) E funktiona.iii) (1,5 pistettä)Dimensioanalyysiä käyttäen ar-vioi taajuudesta riippuva avaruusajan kimmoker-roin E( f ) gravitaatiovakion G, valonnopeuden cja gravitaatioaaltojen aallontaajuuden f funktio-na.iv) (2 pistettä)Arvioi etäisyys z = z(ε, f ) maapal-lolta gravitaatioaaltojen lähteeseen suhteellisenvenymän ε ja aallontaajuuden f funktiona. Kÿtatehtävässä aiemmin johdettuja malleja.5. VIRTUAALINEN MASSA (10 pistettä) —Jaan Kalda. Kun kappale liikkuu nesteessa senefektiivinen inertiaalimassa on suurempi kuinkappaleen massa. Tämä johtuu siitä että kappa-leen kiihtyessä se kiihdyttää osaa nestettä mu-kanaan. Tätä massan kasvua kutsutaan nimellävirtuaalinen massa tai lisätty massa. Mittaa vir-tuaalinen massa mv (eli inertiaalimassan lisäys)kun pallo liikkuu vedessä. Pallon halkaisija ond = 72,0mm.

Laitteisto: Jouseen kiinnitetty pallo, jalusta,sekuntikello, viivoitin, vesiastia.

6. SILMUKKA (6 pistettä) — Lasse Franti.Avaruuden painottomassa tyhjiössä leijuu

xy-tason suuntainen johdinsilmukka. Osa sil-mukasta on puoliavaruudessa x < 0 olevassa ho-mogeenisessa z-suuntaisessa magneettikenttäs-sä. Jäykän suorakulmaisen silmukan leveys onl = 10cm ja pituus h = 30cm. Silmukka on val-mistettu kuparilangasta, jonka ympyränmuotoi-sen poikkileikkauksen säde on r = 1,0mm. Het-kellä t = 0s magneettikenttä alkaa pienentyä no-peudella 0,025 T/s.i) (3 pistettä) Laske silmukan kiihtyvyys välittö-mästi hetken t = 0s jälkeen. Alussa B = 2,0T jasilmukan kentässä olevan osan pituus d = 12cm.Silmukan lyhyempi sivu on y-akselin suuntai-nen.ii) (3 pistettä)Silmukan kiihtyvyyttä voidaan yrit-tää kasvattaa eri tavoin. Miten i)-kohdan kiihty-vyys muuttuu, jos

a) silmukka tehdään kaksi kertaa paksum-masta kuparilangasta (r = 2,0mm)?

b) alkuperäistä kuparilankaa kierretään yh-den sijaan kolme kierrosta, jolloin muodostuuoikosuljettu käämi (jonka x- ja y-dimensiot pys-vät samana)?

c) käämin massa pidetään vakiona käyttä-mällä poikkipinnaltaan puolet pienempää lan-kaa, jota kierretään kaksi kierrostai (jonka x- jay-dimensiot pysvät samana)?

d) silmukka valmistetaan eri metallista? Mi-kä annetuista metalleista olisi paras vaihtoehto?Metalli Resistiivisyys

10−8 mTiheys103 kg/m3

Rauta 9,71 7,87Kupari 1,67 8,96Alumiini 2,65 2,70Litium 8,55 0,53

e) Entä jos silmukan mitat ja kentässä ole-va osan pituus kaksinkertaistetaan (r = 2,0mm,l = 20cm, h = 60cm, d = 24cm)?7. ZENER (7 pistettä) — Jaan Kalda. Zener

diodi on kytketty vaihtovirta lähteeseen ohei-sen kuvaajan mukaisesti. Virta on sinimuotoi-nen I = I0 cosωt vakio amplitudilla. Kelan in-duktanssille L pätee LωI0 ≫ V1,V2 missä V1ja V2 ovat läpilyönti jännitteitä (V2 > V1). Tä-män Zener diodin virta-jännite käyttäytyminenon kuten oheisessa kuvaajassa. Voimme olettaa,että virran päälle kytkennästä on kulunut erit-täin pitkä aika.i) (5 pistettä) Laske kelan läpi kulkevan virran⟨I⟩ keskiarvo.ii) (2 pistettä)Laske kelan virran muutoksien ∆I(virran huipusta virran huippuun) amplitudi.

LI0cos

I

V

V2

V1t -ω

8. PALKKEJA (6 pistettä) — Andres Põlda-ru. Kahden absoluuttisen jäykän levyn välissä onkolme palkkia. Levyjen ja palkkien paino voi-daan jättää huomioimatta. Palkkien lämpölaa-

jenemiskerroin on α = 1,0×10−5 K−1. Suurinvenymä (suhteellinen muutos tilanteeseen jossaei ole kuormaa) ennen palkin materiaalin pysy-viä epäelastisia epämuodostumia on β= 0,40%.Palkit pystyvät kannattelemaan jonkin maksimi-määrän painoa jonka jälkeen pysyviä epämuo-dostumia alkaa muodostumaan palkkeihin.i) (2 pistettä) Aluksi kaikki palkit ovat samas-sa lämpötilassa. Tämän jälkeen keskimmäisenpalkin lämpötilaa nostetaan ∆T = 100K verran.Verraten tilanteeseen jossa palkit olivat samassalämpötilassa, minkä osan maksimi painosta pal-kit pystyvät nyt kannattelemaan? Voimme olet-taa, että palkkien materiaalin ominaisuudet (eri-tyisesti maksimi venymä sekä elastinen kerroin)eivät muutu lämmityksen aikana.

ii) (4 pistettä) Palkit ovat aluksi lämpötilassaT0 = 0◦C. Päällimmäisen levyn päälle asetetaan

paino joka on 20% maksimi painosta jonka le-vyt kestävät ennen epämuodostumia. Kun tä-män painon annetaan olla päällimmäisen levynpäällä, kuinka korkeaan lämpötilaan keskimmäi-nen palkki voidaan lämmittää ennen kuin pysy-viä epämuodostumia alkaa muodostumaan? Täl-lä kertaa palkin materiaalin elastinen kerroinmuuttuu alla olevan kuvaajan mukaisesti (suu-rempi kuvaaja on jaettu myös erillisellä paperil-la).

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

40

80

120

160

200

T/◦C

E/G

Pa

9. AVARUUSALUKSEN PAINE (6 pistettä) —Johan Runeson. Tarkastellaan avaruusalusta jo-ka on muodoltaan homogeeninen, molemmis-ta päistä suljettu putki. Pyörimisakseli on kohti-suorassa putkeen. Avaruusalukseen simuloidaanpainovoima pyörittämällä sitä kulmanopeudellaω putkea kohtisuoraan olevan akselin ympäri, jo-ka kulkee massakeskipisteen läpi. Avaruusalus

on täynnä ilmaa jolla on moolimassa µ sekä pai-ne p0 pyörimisakselilla. Avaruusaluksen halkai-sija on paljon pienempi kuin sen pituus.i) (4 pistettä) Laske paine p etäisyyden r funk-tiona missä r on siis etäisyys pyörimisakselista.ii) (2 pistettä)Tarkastellaan sitten vertailun vuok-si (ei pyörivää) tornia vakioarvoisessa gravitaa-tiokentässä jonka voimakkuus on g. Torni ontäynnä samaa kaasua kuin edellä. Jos maan ta-salla paine on p0, laske nyt paine p korkeudenh funktiona?10. MUSTA LAATIKKO (10 pistettä) — JaanKalda, Siim Ainsaar. Mustassa laatikossa, jossaon kolme päätettä (A, B ja C), on vastus (resis-tanssi R1) , kondensaattori (kapasitanssi C), jasarjaan kytketty paristo (sähkömotorinen voimaE ) ja toinen vastus (resistanssi R2).i) (3 pistettä)Määritä mustan laatikon sähköpiirikaavio.ii) (7 pistettä) Mittaa pariston sähkömotorinenvoima, vastusten resistanssi ja kondensaattorinkapasitanssi. Arvioi mittauksiesi tarkkuus. Näy-tä aina virtapiiri kytkentä ja yleismittarin asetusjota käytit mittauksissasi!

Laitteisto: Musta laatikko, yleismittari, se-kuntikello, sähköjohtoja, millimetripaperia.