NORMAL SUPERIOR LA HACIENDA

DPTO. DE CIENCIAS NATURALES

ASIGNATURA: FISICA

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MECANICA DE FLUIDOS

1. Solidos y Fluidos

La materia se clasifica, por lo general en uno de los tres estados o fases: solidos, lıquido o gaseoso. Debidoa que los lıquidos y gases fluyen con facilidad, reciben el nombre de fluidos. Un solido es una sustanciarıgida que conserva su forma frente a fuerzas externas de distorsion, mientras que un fluido es una sustanciano rıgida que no conserva su forma frente a tales fuerzas. El lıquido se va al fondo del recipiente que locontiene y el gas se expande para llenar todo el volumen accesible. Los atomos en un solido vibran en tornoa posiciones de equilibrio fijas, mientras que los atomos o moleculas en un lıquido se mueven con relativalibertad y colisionan frecuentemente unos con otros. Los atomos en un solido o en un lıquido estan apretadosen forma compacta, lo cual dificulta reducir su volumen; son casi incompresibles. Los atomos o moleculas deun gas estan separados, colisionan con mucha menos frecuencia que las de un lıquido. Los gases en generalson compresibles.

En este capıtulo estudiaremos las propiedades fundamentales de los fluidos en reposo (Hidrostatica) y enmovimiento (Hidrodinamica)

1.1. Densidad

Antes de estudiar la estatica y la dinamica de los fluidos, es importante entender algunos conceptos clavescomo es la densidad y la presion.

Una propiedad muy importante de cualquier material es su densidad, la cual es definida como la masa deuna sustancia contenida en la unidad de volumen. La densidad de un material homogeneo, como el agua oel hierro; tiene el mismo valor en todas partes. Decimos que la densidad es una propiedad caracterıstica dela materia homogenea pues nos ayuda a identificarla. La densidad es una magnitud fısica derivada porqueproviene de la combinacion entre la masa y el volumen. Se puede entender que la densidad es la magnitudfısica que nos indica como esta distribuida la masa de una sustancia en la unidad de volumen. Usamos laletra griega ρ(rho) para representar la densidad. La densidad se puede determinar mediante la relacion

ρ =m

v

Las unidades en que se expresa la medida de la densidad en el S.I es (Kgm3 ). Tambien se usa mucho la unidad

del sistema c.g.s es ( gcm3 ).

En la siguiente tabla se dan las densidades de varias sustancias comunes a temperaturas ordinarias.

Sustancia Densidad en(

kgm3

)Densidad en

(g

cm3

)Densidad de Peso ( N

m3 )

SolidosAluminio 2700 2,7 26460Laton 8700 8,7 85260Cobre 8900 8,9 87220Vidrio 2600 2,6 25480Oro 19300 19,3 189140Hielo 920 0,92 9016Hierro 7900 7,9 77420Plomo 11400 11,4 111720Plata 10500 10,5 102900Acero 7800 7,8 76440Madera 810 0,81 7938

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Sustancia Densidad en(

kgm3

)Densidad en

(g

cm3

)Densidad de Peso ( N

m3 )

LıquidosAlcohol 790 0,79 7742Benceno 880 0,88 8624Gasolina 680 0,68 6664Agua 1000 1Aceite 920 0,92Glicerol 1260 1,26 12348

Agua de mar 1030 1,03 10094Mercurio 13600 13,6GasesAire 1,29 0,00129 12,642Helio 0,18 0,00018Dioxido de carbono 0,76 0,00076Hidrogeno 0,09 0,00009Nitrogeno 1,25 0,00125Oxıgeno 1,43 0,00143

Observacion

La densidad de algunos materiales varıa de un punto a otro dentro del material; un ejemplo de ello es laatmosfera terrestre (que es menos densa a mayor altitud) y los oceanos (que son mas densos a grandesprofundidades). En el caso de estos materiales la ecuacion ρ = m

v describe la densidad media.En general, la densidad de un material depende de los factores ambientales como la temperatura y la presion

1.2. Densidad y peso especıfico

Para referirse al peso de un cuerpo o sustancia por unidad de volumen, es decir, la fuerza con que la tierraatrae a un volumen unidad, se introduce el concepto de peso especıfico (D) el cual se define como el cocienteentre el peso (W ) y su volumen (V ), es decir,

D =W

V

La relacion entre peso especıfico y densidad es la misma que la existente entre peso y masa.

Reemplazando el peso W = m× g se tiene

D =W

V=

m× g

V= (

m

V)× g = ρ× g

Siendo la unidad de medida Nm3

1.3. Densidad Relativa

La densidad relativa (ρr), de una sustancia es el cociente entre la densidad (ρ) y la densidad de otra sustancia(ρ′) , tomada como referencia y denominada patron, es decir,

ρr =ρ

ρ′

Siendo esta una cantidad adimensional. Para sustancias lıquidas se suele tomar como patron la densidad delagua a 4oC. Para gases la sustancia de referencia la constituye el aire que a la temperatura de 0oC y presionde una atmosfera, tiene una densidad de 1,293 Kg

m3

3

1.4. Calculo de la densidad en los lıquidos

En el laboratorio, vamos a coger agua en un recipiente y, utilizando una probeta y la balanza, vamos adeterminar las masas que tienen diferentes volumenes de agua; los vamos a anotar:

Masa de agua Volumen de agua

m1 = V1 =

m2 = V2 =

m3 = V3 =

Hacemos otras medidas similares con aceite:

Masa de aceite Volumen de aceite

m4 = V4 =

m5 = V5 =

m6 = V6 =

A continuacion, dividimos cada medida de la masa de agua por el volumen que ocupa y lo mismo hacemoscon las medidas obtenidas con el aceite.

MasaVolumen

MasaVolumen

m1V1

= m4V4

=m2V2

= m5V5

=m3V 3 = m6

V6=

¿Que observaremos?Que los cocientes obtenidos con las medidas del agua son iguales entre sı, lo mismo que ocurre con las delaceite; pero, comparadas las unas con las otras, veremos que son diferentes.

¿Que hemos calculado en esos cocientes?Hemos hallado la masa de la unidad de volumen de cada uno de estas sustancias, es decir, su densidad.

1.5. Calculo de la densidad en los solidos

Para hallar la densidad, utilizaremos la relacion:

densidad =masa

volumen

1. Lo primero que haremos es, determinar la masa del solido en la balanza.

m = g

2. Para hallar el volumen se tienen dos metodos

I Cuerpos regulares (Metodo geometrico):Aplicaremos la formula que nos permite su calculo. Si es necesario conocer alguna de sus dimen-siones las mediremos con el calibre, la regla o el instrumento de medida adecuado.

Si se trata de un paralelipıpedo, el volumen corresponde al producto:

V = a× b× c

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Donde a, b, c corresponden a las dimensiones (largo, ancho y alto).

Si el objeto es cilındrico, el volumen corresponde al producto:

V = π × r2 × h

siendo r el radio y h la altura

Si el objeto es esferico, el volumen corresponde al producto:

V = 43 × π × r3

siendo r el radio de la esfera

Utilizar la regla y el Vernier para tomar los datos de las dimensiones de cada solido.

Dimensiones

Cilindro Paralelepıpedo Esfera

Solido Masa(g) r(cm) h(cm) a(cm) b(cm) c(cm) r(cm) V(cm3)

Al

Fe

Cu

Madera

I Cuerpos irregulares (Metodo de inmersion)En un recipiente graduado (probeta) echaremos agua y anotaremos su nivel (Vi). Luego, sumer-giremos totalmente el objeto y volveremos a anotar el nuevo nivel (Vf ), La diferencia de nivelessera el volumen del solido.

Vs = Vf − Vi

Solido Masa(g) Vi(cm3) Vf (cm3) V(cm3)

Al

Fe

Cu

Madera

3. Por ultimo calculamos la densidad, aplicando la relacion escrita para la densidad.

densidad =masa

volumen

Ejemplo Peso de un cuarto lleno de aire

Calcule la masa y el peso del aire del salon de laboratorio cuyo piso mide 6.0 m de ancho por 8.0 m de largoy tiene una altura de 3.0 m. ¿Que masa y peso tiene un volumen igual de agua?

Solucion

Suponemos que el aire es homogeneo, ası que la densidad es la misma en todo el cuarto de laboratorio. (Esverdad que el aire es menos denso a gran altitud que cerca del nivel del mar, pero la variacion de la densidada lo largo de la altura de 3.0 m es despreciable).

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Usaremos la ecuacion que relaciona la masa (incognita) con el volumen (que se puede calcular a partir delas dimensiones) y la densidad (se busca en una tabla de valores)

El volumen (V) para un cuerpo geometrico como un cuarto se calcula

V = l × a× h == (6,0× 8,0× 3,0)m3 = 144m3

La masa del aire esta dada por la ecuacion

m = ρ× V = (1,2 kgm3 )(144m3) = 172,8kg

El peso del aire es w = m× g = (172,8kg)(9,8 ms3 ) = 1693,44N

Calcule usted la masa del agua y el peso para el mismo volumen

Conclusion.

El aire contenido en un cuarto esta pesando lo mismo que 3 jovenes de 57.3 kg cada uno. El agua es casi milveces mas densa que el aire su masa y su peso son mayores en la misma proporcion. De hecho, el peso de uncuarto lleno de agua seguramente hundirıa el piso de una casa comun.

1.6. Presion

Al aplicar una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca dependen no solo de su intensidad,sino tambien como esta repartida sobre la superficie del cuerpo. Ası un golpe de martillo sobre un clavo bienafilado hace que penetre mas en la pared de lo que harıa otro clavo sin punta que recibiera el mismo impacto.Una persona situada de puntillas sobre una capa de nieve blanda se hunde, en tanto que otra de igual pesoque calce raquetas, al repartir la fuerza de su peso en un superficie mayor, puede caminar sin dificultad.

Un solido al entrar en contacto con otro ejerce una fuerza en su superficie tratando de penetrarlo. El efectodeformador de esa fuerza o la capacidad de penetracion depende de la intensidad de la fuerza y del area decontacto. La presion es la magnitud que mide esa capacidad.

El cociente entre la intensidad de la fuerza F aplicada perpendicularmente sobre una superficie dada y elarea S de dicha superficie se denomina presion.

P =F

S

La presion representa la intensidad de la fuerza que se ejerce sobre cada unidad de area de la superficieconsiderada. Cuanto mayor sea la fuerza actua sobre la superficie dada, mayor es la presion, y cuanto menorsea la superficie para una fuerza dada, mayor sera entonces la presion resultante.

Si la fuerza no es perpendicular a la superficie sobre la cual actua, es decir, forma un angulo teta con aquella,se considera entonces la componente perpendicular, es decir, F senθ y la presion entonces se puede calculara partir de

P =F sen(θ)

S

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Note que la componente F cos(θ) tiende a producir una traslacion o movimiento.

Unidades de PresionEn el sistema S.I la unidad de presion es el Pascal se representa por (Pa) y se define como la presion ejercidapor una fuerza de 1 N actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de 1 m2. Por lo tanto

1Pa = 1( Nm2 )

Existen otras unidades de presion que sin corresponder a ningun sistema de unidades en particular han sidoconsagradas por el uso y se siguen usando en la actualidad junto con el Pascal. Entre ellas se encuentran laatmosfera y el bar.

La atmosfera (atm), se define como la presion que a 0oC ejercerıa el peso de una columna de mercurio de0.76 m de altura y 1 cm2 de seccion transversal sobre su base.

El bar corresponde a un multiplo del Pascal y equivale a 105Pa. Por otro lado en meteorologıa se empleacon frecuencia el milibar (mbar) donde 1mbar= 100Pa

1.7. La presion en los fluidos

El concepto de presion es muy general y por ello puede emplearse siempre que exista una fuerza actuandosobre una superficie. Sin embargo, su empleo resulta especialmente util cuando el cuerpo o sistema sobre elque se ejercen las fuerzas es deformable. Los fluidos no tienen forma propia y constituyen el principal ejemplode aquellos casos en los que es mas adecuado utilizar el concepto de presion que el de fuerza.

Cuando un fluido esta contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto, puedehablarse tambien de presion. Si el fluido esta en equilibrio las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares acada porcion de superficie del recipiente, ya que de no serlo existirıan componentes paralelas que provocarıanel desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipotesis de equilibrio. La orientacion de la superficiedetermina la direccion de la fuerza de presion, por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la presion,resulta independiente de la direccion; se trata entonces de una magnitud escalar.

P =F

S

La fuerza que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene siempre actua perpendicular-mente a dichas paredes

Los fluidos ejercen presion en todas las direcciones

1.7.1. La presion hidrostatica

Todos los lıquidos pesan, por ello cuando estan contenidos en un recipiente las capas superiores oprimena las inferiores, generandose una presion debida al peso. La presion en un punto determinado del lıquidodebera depender entonces de la altura de la columna de lıquido que tenga por encima de el.

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Considerese un punto cualquiera del lıquido que diste una altura h de la superficie libre de dicho lıquido. Lafuerza del peso debido a una columna cilındrica de lıquido de base S situada sobre el puede expresarse en laforma

Fpeso = m× g = ρ× V × g = ρ× g × h× S

Siendo V el volumen de la columna y ρ la densidad del lıquido.Luego la presion debida al peso vendra dada por:

Ph =Fpeso

S=

ρ× g × h× S

S= ρ× g × h

O bien

Ph = ρ× g × h = D × h

Donde D × h es la densidad de peso. Por consiguiente, la presion en el interior de un fluido es directamenteproporcional a la profundidad h. La ecuacion anterior generalmente recibe el nombre ecuacion de presion- profundidad.

Se supone que la densidad es constante. Se trata de una suposicion razonable en el caso de los lıquidos yde volumenes relativamente pequenos en gases. En la atmosfera la densidad del aire no es constante con laaltura, porque el peso de la atmosfera de capas superiores comprime el aire cercano a la superficie terrestre.

1.7.2. Propiedades de la presion en un medio fluido

1. La presion en un punto de un fluido en reposo es igual en todas las direcciones .

2. La presion en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo(y situado en un campo gravitatorio constante) es la misma.

3. En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior del fluido una parte de este sobrela otra es normal a la superficie de contacto (Corolario: en un fluido en reposo la fuerza de contactoque ejerce el fluido sobre la superficie solida que lo contiene es normal a esta).

4. La fuerza asociada a la presion en un fluido ordinario en reposo se dirige siempre hacia el exteriordel fluido, por lo que debido al principio de accion reaccion, resulta en una compresion para el fluido,jamas una traccion.

5. La superficie libre de un lıquido en reposo (y situado en un campo gravitatorio constante) es siemprehorizontal. Eso es cierto solo en la superficie de la Tierra y a simple vista, debido a la accion de lagravedad que es constante. Si no hay acciones gravitatorias, la superficie de un fluido es esferica y, portanto, no horizontal.

6. En los fluidos en reposo, un punto cualquiera de una masa lıquida esta sometida a una presion quees funcion unicamente de la profundidad a la que se encuentra el punto. Otro punto a la mismaprofundidad, tendra la misma presion. A la superficie imaginaria que pasa por ambos puntos se llamasuperficie equipotencial de presion o superficie isobarica.

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Ejemplo 1 Presion hidrostatica en el fondo marino

Un laboratorio cilındrico marino, cuyo diametro mide 3 m y cuya altura es de 2.5 m, se sumerge en el oceanode modo que su parte suprior se encuentra a 60 m debajo el nivel del mar. ¿Cuales sona) la presion y la fuerza sobre la parte superior del laboratorio yb) la presion sobre el fondo del laboratorio debida al agua del mar?

Solucion

a) Segun la tabla de datos la densidad del agua de mar es de 1025 kgm3 . Entonces a una profundidad de h

= 60 m, se tiene

P = ρ× g × h = 1025Kgm3 × 9,8 m

s2 × 60m = 602700 Nm2 = 6,02× 105Pa

El area de la parte superior circular del laboratorio es

A = π × r2 = (3,14)(1,5m)2 = 7,065m2

Como presion es P = FS , entonces la fuerza F viene dada por

F = P × S = (602700 Nm2 )(7,065m2) = 4258075,5N

b) en el fondo del laboratorio marino se halla a una profundidad h = 62,5m debajo el nivel del mar, ypor tanto la presion a esta profundidad es

P = ρ× g × h = 1025Kgm3 × 9,8 m

s2 × 62,5m = 627812,5 Nm2 = 6,278× 105Pa

1.8. Teorema fundamental de la hidrostatica

Hemos demostrado que la presion que ejerce un lıquido en reposo depende del peso especıfico (D = ρ × g)del lıquido y de la distancia (h) a la superficie libre de este.

Si ahora consideramos dos puntos A y B a diferentes profundidades de una columna de lıquido en equilibrio,el mismo razonamiento nos permite afirmar que la diferencia de presion sera:

PB − PA = ρ× g × (hB − hA) = ρ× g × h = D × h

Este resultado constituye el llamado teorema fundamental de la hidrostatica:

La diferencia de presion entre dos puntos dentro de una misma masa lıquida es el producto del peso especıficodel lıquido por la distancia vertical que los separa.

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Esta es la razon por la cual dos puntos de un fluido a igual profundidad estaran a igual presion. Por elcontrario, si la presion en ambos puntos no fuera la misma, existirıa una fuerza horizontal desequilibrada yel lıquido fluirıa hasta hacer que la presion se igualara, alcanzando una situacion de equilibrio.

Ejemplo Aplicacion de la ecuacion fundamental de la hidrostatica

Una arteria de diametro mayor que 0,3cm ofrece poca resistencia al flujo de la sangre, de modo que la presionen ella solo depende de la distancia vertical a la aorta.

La distancia promedio para un adulto de la aorta a los pies, cuando estamos de pie erguidos es 1,35maproximadamente. Si la densidad de la sangre es de 1,050 g

ml y la presion media a nivel del corazon es de 100mmHg. Determinese

a) la presion a nivel de los pies.

b) la presion a nivel de la cabeza, si la distancia promedio del corazon a la cabeza es de 35 cm.

Solucion parte a)De acuerdo con la ecuacion fundamental de la hidrostatica

PB − PA = ρ× g × h

Considerando que la presion media del corazon es PA = 100mmHg y h la distancia promedio del corazon alos pies. Sustituyendo datos

PB − 100mmHg = (1050Kgm3 × 9,8 m

s2 × 1,35m) = 13891,5 Nm2

Como las cantidades se encuentran en diferentes sistemas de unidades aplicamos la equivalencia760mmHg = 101300 N

m2 , con lo cual nos queda

PB − 100mmHg = 13891,5 Nm2 = 104,22mmHg

Estando en la misma unidad de medida podemos operar las cantidades, por tanto

PB = 100mmHg + 104,22mmHg = 204,22mmHg

Este resultado nos muestra que la presion arterial es mayor a nivel de los pies, lo que conlleva a un mayordesarrollo de las venas en los pies.

Queda como ejercicio la parte b)

1.9. El principio de Pascal y sus aplicaciones

La presion aplicada en un punto de un lıquido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor acada una de las partes del mismo.

Este enunciado, obtenido a partir de observaciones y experimentos por el fısico y matematico frances BlasPascal (1623-1662), se conoce como principio de Pascal.

El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuacion fundamental de lahidrostatica y del caracter incompresible de los lıquidos. En esta clase de fluidos la densidad es constante,de modo que de acuerdo con la ecuacion p = po+ρ×g×h si se aumenta la presion en la superficie libre, porejemplo, la presion en el fondo ha de aumentar en la misma medida, ya que ρ× g× h no varıa al no hacerloh.

La prensa hidraulica constituye la aplicacion fundamental del principio de Pascal y tambien un dispositivo quepermite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente seccion comunicados

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entre sı, y cuyo interior esta completamente lleno de un lıquido que puede ser agua o aceite. Dos embolosde secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que esten encontacto con el lıquido. Cuando sobre el embolo de menor seccion S1 se ejerce una fuerza F1 la presion p1

que se origina en el lıquido en contacto con el se transmite ıntegramente y de forma instantanea a todo elresto del lıquido; por tanto, sera igual a la presion p2 que ejerce el lıquido sobre el embolo de mayor seccionS2, es decir:

Presion de entrada = Presion de salida

P1 = P2

Por tantoF1

S1=

F2

S2

Si la seccion S2 es veinte veces mayor que la S1, la fuerza 1 aplicada sobre el embolo pequeno se ve multiplicadapor veinte en el embolo grande.

La prensa hidraulica es una maquina simple semejante a la palanca de Arquımedes, que permite amplificar laintensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivoshidraulicos de maquinaria industrial.

Ejemplo 1 Aplicacion del principio de pascal

El elevador hidraulico de un garaje funciona mediante una prensa hidraulica conectada a una toma de aguade la red urbana que llega a la maquina con una presion de 5 ×105 N

m2 . Si el radio del embolo es de 20 cm yel rendimiento es de un 90%, determinar cual es el valor en toneladas de la carga que como maximo puedelevantar el elevador.

Solucion

De acuerdo con el principio de Pascal:

P1 = P2

que para una prensa hidraulica se transforma en:

F1

S1=

F2

S2

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En este caso el dato que corresponderıa al embolo pequeno de la prensa se facilita en forma de presion, demodo que combinando las ecuaciones anteriores se tiene:

F1 = P1 × S1

F1 = (5× 105 Nm2 )(π(0,20m)2)

F1 = 62800N

Como el rendimiento es del 90 % el valor efectivo de la carga maxima expresado en Newton sera

F2 = 90%F1

F2 = 0,9(62800N)F2 = 56520N

F2 = 56520N × 1Kgf9,8N

F2 = 5767,34Kgf

Una tonelada metrica equivale al peso de un cuerpo de 1 000 kg de masa, por tanto

F2 = 5767,34Kgf = 5767,34Kgf × 1Ton1000Kgf = 5,76Ton

1.10. El principio de los vasos comunicantes

Si se tienen dos recipientes comunicados y se vierte un lıquido en uno de ellos en este se distribuira entreambos de tal modo que, independientemente de sus capacidades, el nivel de lıquido en uno y otro recipientesea el mismo. Este es el llamado principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la ecuacionfundamental de la hidrostatica.

Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus presiones hidrostaticas han de ser las mismas,es decir:

PB = P0 + ρ× g × hB y PA = P0 + ρ× g × hA

luego si PA = PB necesariamente las alturas hA y hB de las respectivas superficies libres han de ser identicashA = hB .

Si se emplean dos lıquidos de diferentes densidades y no miscibles, entonces las alturas seran inversamenteproporcionales a las respectivas densidades. En efecto, si PA = PB , se tendra:

ρA × g × hA = ρB × g × hB

simplificando g, entonces se tiene queρA × hA = ρB × hB

Esta ecuacion permite, a partir de la medida de las alturas, la determinacion experimental de la densidadrelativa de un lıquido respecto de otro y constituye, por tanto, un modo de medir densidades de lıquidos nomiscibles si la de uno de ellos es conocida.

2. Empuje hidrostatico: Principio de Arquımedes

Los cuerpos solidos sumergidos en un lıquido experimentan un empuje hacia arriba. Este fenomeno, que esel fundamento de la flotacion de los barcos, era conocido desde la mas remota antiguedad, pero fue el griegoArquımedes (287-212 a. de C.) quien indico cual es la magnitud de dicho empuje. De acuerdo con el principioque lleva su nombre, todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un lıquido experimenta unempuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de lıquido desalojado.

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Aun cuando para llegar a esta conclusion Arquımedes se apoyo en la medida y experimentacion, su famosoprincipio puede ser obtenido como una consecuencia de la ecuacion fundamental de la hidrostatica.

Demostracion

Considerese un cuerpo en forma cilindrica, con area de seccion transversal A , h representa la altura delcilindro el cual esta completamente sumergido en un fluido como se muestra en la figura. Dado que lasfuerzas laterales se compensan mutuamente, solo se consideraran las fuerzas sobre las caras horizontales.

La fuerza F1 sobre la cara superior estara dirigida hacia abajo y de acuerdo con la ecuacion fundamental dela hidrostatica su magnitud se podra escribir como:

F1 = P1 ×A = ρ× g × h1 ×A

siendo A la superficie de la cara superior y h1 su altura respecto de la superficie libre del lıquido.

La fuerza F2 sobre la cara inferior estara dirigida hacia arriba y, como en el caso anterior, su magnitudvendra dada por

F2 = P2 ×A = ρ× g × h2 ×A

La resultante de ambas representara la fuerza de empuje hidrostatico E.

E = F2 − F1

E = (ρ× g × h2 ×A)− (ρ× g × h1 ×A)

pero, dado que A es comun y h2 = h1 + h, resulta:

E = ρ× g ×A(h2 − h1)E = ρ× g × h×A

E = ρ× g × V

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que es precisamente el valor del empuje predicho por Arquımedes en su principio, ya que V = h × A es elvolumen del cuerpo, ρ la densidad del lıquido, m = ρ× V la masa del liquido desalojado y finalmente m× ges el peso de un volumen de lıquido igual al del cuerpo sumergido.

E = m× g

2.1. Equilibrio de los cuerpos sumergidos

De acuerdo con el principio de Arquımedes, para que un cuerpo sumergido en un lıquido este en equilibrio,la fuerza de empuje E y el peso P han de ser iguales en magnitudes y, ademas, han de aplicarse en el mismopunto. En tal caso la fuerza resultante R es cero y tambien lo es el momento de torsion τ , con lo cual se danlas dos condiciones de equilibrio. La condicion E = P equivale de hecho a que las densidades del cuerpo ydel lıquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del cuerpo sumergido es indiferente.

Si el cuerpo no es homogeneo, el centro de gravedad no coincide con el centro geometrico, que es el punto endonde puede considerarse aplicada la fuerza de empuje. Ello significa que las fuerzas E y P forman un parque hara girar el cuerpo hasta que ambas esten alineadas.

2.2. Equilibrio de los cuerpos flotantes

Si un cuerpo sumergido sale a flote es porque el empuje predomina sobre el peso (E > P). En el equilibrioambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estaran alineadas; tal es el caso de las embarcaciones enaguas tranquilas, por ejemplo. Si por efecto de una fuerza lateral, como la producida por un golpe de mar,el eje vertical del navıo se inclinara hacia un lado, aparecera un par de fuerzas que haran oscilar el barco deun lado a otro. Cuanto mayor sea el momento de torsion τ del par, mayor sera la estabilidad del navıo, esdecir, la capacidad para recuperar la verticalidad. Ello se consigue disenando convenientemente el casco yrepartiendo la carga de modo que rebaje la posicion del centro de gravedad, con lo que se consigue aumentarel brazo del par.

Ejemplo 1 Aplicacion del principio de Arquımedes

Un globo de goma tiene 8g de masa cuando esta vacıo. Para conseguir que se eleve se infla con gas ciudad.Sabiendo que la densidad del aire es de 1,29 kg

m3 y la del gas ciudad 0,53 kgm3 determinar el volumen que,

como mınimo, ha de alcanzar el globo para que comience a elevarse.

SolucionPara que el globo inicie el ascenso, la fuerza del empuje ha de ser superior a la del peso: E ≥ P

En virtud del principio de Arquımedes:

E = ρaire × g × V

ya que en este caso el fluido desalojado es el aire.

Por otra parte, el peso P sera la suma del peso del globo mas el peso del gas ciudad que corresponde alvolumen V, es decir:

P = mglobo × g + mgas × g

P = (mglobo + mgas)× g

P = (mglobo + ρgas × V )× g

Como E ≥ P, entonces

ρaire × g × V ≥ (mglobo + ρgas × V )× g

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Simplificando g, y ordenando la ecuacion

V ≥ mglobo

ρaire − ρgas

Reemplazando datos se obtiene que el volumen mınimo sera, de 10,5 litros.

Ejemplo 2 Aplicacion del principio de Arquımedes

Un cilindro metalico cuya area es A = 10 cm2 y altura de H = 8 cm, flota en mercurio, como se muestra enla figura. La parte del cilindro sumergida es de h = 6 cm.

a) ¿Que valor tiene el Empuje hidrostatico sobre el cilindro (g = 9.8 ms2 )?

b) ¿Cual es el valor del peso del cilindro metalico?

c) ¿Cual es la densidad del cilindro?

Solucion

Parte a)Por definicion sabemos que el Empuje hidrostatico es igual al peso del lıquido desalojado

E = m(liq−des) × g = ρ(liq) × V(d) × g

El volumen desalojado corresponde al volumen del cilindro sumergido V(cil−sum)

V(d) = V(cil−sum)

V(d) = A× h

V(d) = 10cm2 × 6cm = 60cm3 por tanto

E = ρ(liq) × V(d) × g

E = 13,6 gcm3 × 60cm3 × 9,8 m

s2

E = 8160(g × ms2 )

transformando los gramos a Kilogramos

E = 8160g × ms2 × 1Kg

1000g = 8,16N

Parte b)Observamos que el sistema se encuentra en equilibrio, por tanto ΣF = 0.

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Notamos que el empuje actua hacia arriba y el peso hacia abajo, luego

E − w = 0

despejando se obtieneE = w = 8,16N

Por lo tanto el peso del cilindro es de 8.16 N

Parte c)Por definicion tenemos que la densidad es masa por unidad de volumen, para hallar la densidad se requiereconocer la masa y el volumen del cuerpo.

Para la masa la determinamos a partir del peso, ya que w = m× g, luego

m = wg = 8,16N

9,8(ms2 )

= 0,816Kg = 816g

Para el volumen aplicamos la formula del volumen del cilindro V = A×H = 10cm2 × 8cm = 80cm3.La densidad sera entonces

ρ = mV = 816g

80cm3 = 10,2( gcm3 )

2.3. Manometros y barometros

Un manometro es un aparato que sirve para medir la presion de los gases contenidos en recipientes cerrados.Existen, basicamente, dos tipos de manometros: los de lıquidos y los metalicos.

Los manometros de lıquidos emplean, por lo general, mercurio que llena un tubo en forma de U. El tubopuede estar o abierto por ambas ramas o abierto por una sola. En ambos casos la presion se mide conectandoal recipiente que contiene el gas el tubo por su rama inferior y abierta y determinando el desnivel h de lacolumna de mercurio entre ambas ramas. Si el manometro es de tubo abierto entonces es necesario tomaren cuenta la presion atmosferica P0 en la ecuacion P = P0 ± (ρ × g × h). Si es de tubo cerrado, la presionvendra dada directamente por P = (ρ × g × h). Los manometros de este segundo tipo permiten, por suscaracterısticas, la medida de presiones elevadas.

En los manometros metalicos la presion del gas da lugar a deformaciones en una cavidad o tubo metalico.Estas deformaciones se transmiten a traves de un sistema mecanico a una aguja que marca directamente lapresion del gas sobre una escala graduada.

El barometro es el aparato con el que se mide la presion atmosferica. Como en el caso de los manometros,los hay tambien de mercurio y metalicos. Los primeros se basan en el dispositivo utilizado por Torricellien sus experimentos. El llamado barometro de fortın es, de hecho, una reproduccion mejorada del aparato

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de Torricelli. Su cubeta posee un fondo compuesto de un material flexible, por lo que puede ser alteradomediante un tornillo auxiliar con el fin de conseguir ajustar el nivel del mercurio de la cubeta al cero de laescala graduada cada vez que se efectua una medida. Los barometros de sifon son simples manometros detubo cerrado en los cuales la rama corta del tubo en U hace las veces de cubeta y la rama larga de tubo deTorricelli.

Los barometros metalicos o aneroides constan de una caja metalica de paredes relativamente elasticas, encuyo interior se ha efectuado el vacıo. Un resorte metalico hace que las paredes de la caja esten separadas. Ensu ausencia dichas paredes tenderıan a aproximarse por efecto de la presion exterior. Por igual procedimientovariaciones en la presion atmosferica producen cambios en la forma de la caja que se transmiten al resorte yeste los indica, a traves de un mecanismo de amplificacion, sobre una escala graduada en unidades de presion.Los barometros metalicos pueden mortificarse de forma que sus resultados queden registrados en un papel.De este modo se puede disponer de informacion sobre como varıa la presion atmosferica con el tiempo.

2.4. EJERCICIO PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

1. Un barco, cuyo peso es 80 kgf , navega rio abajo hasta llegar al mar.

a. Que valor tenıa el empuje cuando estaba en el rio?

b. Cuando navega en el mar. ¿Que valor tiene el empuje hidrostatico que recibe?

c. La parte sumergida del barco, ¿aumenta, disminuye o no se altera cuando pasa del rio al mar?

2. Un bloque de madera, cuyo volumen es de 10 litros, flota en el agua, teniendo la mitad de su volumensumergido.

a. ¿Cual es, en litros el volumen del agua desplazada por el cuerpo?

b. ¿Cual es, en kgf, el peso de esta agua desplazada?

c. De acuerdo con el principio de Arquımedes, ¿cual es el empuje hidrostatico que recibe el bloque?

d. ¿Cual es, en kgf, el peso del bloque?

3. Suponga que usted empuja el cuerpo del ejercicio anterior, hundiendolo completamente en el agua.

a. ¿Cual es en litros el volumen del agua desplazada?

b. ¿Cual serıa, en kgf, el empuje hidrostatico ascendente que actuarıa sobre el bloque?

c. ¿Cual es el valor de la fuerza que se tendrıa que hacer para mantener sumergido al bloque

4. La figura de este ejercicio muestra un cilindro, cuya area de la base es de A = 10cm2, flotando en unliquido con densidad ρ = 3,0( g

cm3 ).

a. ¿Cual es en litros, el volumen (Vd) del lıquido desplazado por el cilindro?

b. ¿Cual es, en Newton, el valor del empuje ascendente que el cilindro recibe?

c. ¿Cual es el valor del peso el cilindro?

d. ¿Cual es la masa en gramos del cilindro?

e. ¿Cual es la densidad del cilindro en ( gcm3 )

5. Arquımedes peso la corona del rey Hieron; primero en el aire peso 482.5 gramos y despues en el aguapeso 453.4 gramos. Con esto demostro que no era de oro puro cuya densidad es de 19.3 ( g

cm3 ). ¿Porque? R// encontro una densidad de 16.6 ( g

cm3 )

6. Un cuerpo que pesa 100 kg en el aire, pesa solamente 80 kg en el agua. Calcular el volumen y ladensidad del cuerpo. R// 20 000 cm3; 5 ( g

cm3 )

7. Un cuerpo pesa 10 kg en el aire, 9 kg en el agua y 8 kg en un lıquido. Determine el volumen del cuerpo,la densidad del cuerpo y la densidad del lıquido. R// 1000 cm3; 10 ( g

cm3 ); 2 ( gcm3 )

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8. Un corcho cubico de 10 cm de arista, de densidad 0.3 ( gcm3 ) flota sobre el agua. ¿Que altura del bloque

queda por encima de la superficie del agua? R // 7 cm

9. En un vaso con agua, 90 % del volumen de un bloque de hielo esta sumergido. ¿Cual es la densidad delhielo?. R// 0.9 ( g

cm3 )

10. Un cuerpo de 10 kgf y de densidad 5 ( gcm3 ) se suspende de un dinamometro y se sumerge en el agua.

¿Cual es la lectura del dinamometro? R// 8 kgf

11. Una canoa de 50 kgf puede desplazar al maximo un volumen de 0.9 m3 de agua. ¿Cuantas personas de85 kgf pueden subir a bordo? R// 10 personas

12. Un bloque cubico de hierro, de arista 10 cm y densidad 7.8 ( gcm3 ), flota sobre mercurio. Si se vierte

agua sobre la superficie del mercurio, ¿que altura debe tener la capa de agua para que su superficiealcance justamente la cara superior del bloque? R// 4.6 cm

13. Una pelota de ping - pong de 2.50 cm de diametro y 5 gramos de masa esta en el fondo de una cubetallena de agua sostenida por un hilo. ¿Cual es la tension en el hilo?

14. Un objeto flota en el agua con 20 % de su volumen sobre el nivel del agua. ¿Cual es la densidad mediadel objeto?

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