normalspÄnning i bÖjda balkar
DESCRIPTION
Byggnadsmekanik gk 5.1. NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR. snitt :. INTRODUKTION. xy är symmetrisk plan för balken och lasten. y är symmetrisk axel för tvärsnittet. Med dessa förutsättningar har man ett plan problem, böjningen äger rum i planen xy. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/1.jpg)
NORMALSPÄNNING
I BÖJDA BALKAR
INTRODUKTION
x
y
P
x
y
Py
• xy är symmetrisk plan för balken och lasten.• y är symmetrisk axel för tvärsnittet.
Med dessa förutsättningar har man ett plan problem, böjningen äger rum i planen xy.
snitt : PV
M
Den vertikala lasten P ger upphov till en tvärkraft V och ett böjande moment M i balken.
Tvärkraften V ger upphov till små skjuvdeformationer som ofta kan försummas, och till skjuvspänningar som kommer att studeras vid nästa föreläsningen.
Böjande momentet M ger upphov till töjningar
och normalspänningar som studeras i denna kapitel.
Byggnadsmekanik gk 5.1
![Page 2: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/2.jpg)
REN BÖJNING
Vi förutsätter först att belastningen ger upphov till ett konstant böjande momentet M i balken. Detta innebär att tvärkraften V är noll (V = dM/dx).
Exempel
Mo
Mo
0
M
- Mo
0
M
MoMo
( Ren böjning mellan de två krafter )
a a
P P
M
0
P a
Byggnadsmekanik gk 5.2
![Page 3: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/3.jpg)
Mo Mo
dragnings sida
trycknings sidamedellinje
KRÖKNINGBalken brevid utsätts för ett konstant böjande moment M = - Mo
Dragning råder i överkanten av balken. Tryckning råder i underkanten av balken.
1
: krökningen
: krökningsradien
I detta fall är M < 0 och > 0
Det böjande momentet ritas på dragnings sida(om x-axeln representerar medellinjen)
Moment diagram
x
y Mo Mo
x
y
Byggnadsmekanik gk 5.3
M = - Mo
![Page 4: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/4.jpg)
TÖJNING
Balken a b c d utsätts för ett konstant böjande moment M = - Mo
Dragning råder i delen a e f c. Tryckning råder i delen e b d f.
Medellinjen ef behåller sin längd dx under deformationen och
blir en cirkelbåge med radie . Medellinjen tas som x-axeln.
Snitten ab och cd är fortfarande plana och vinkelrätta till medellinjen efter deformationen.
dd x längd för mn efter deformationen :
ddd)(mn yx y L
töjning för mn :x
y x
x L
dd
ddmn
y y
a
b
c
d
e fm n
y
d
Byggnadsmekanik gk 5.4
Mo
M = - Mo
x
y
e f
dx
y
a
b
c
d
m n
y
z
Mo
![Page 5: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/5.jpg)
NORMALSPÄNNING
Materialet är linjärt och elastikt :
y E E
Normalkraften N är noll
A A
A y A N 00 dd
x
y
tryckning 0
dragning 0
0
y
zO
O är tvärsnittets tyngdpunkt. Medellinjen går genom tvärsnittets tyngdpunkt
A
A y E A y MA
dd 2
A
A y E M d2II
Samband mellan M och
I : Yttröghetsmoment kring z-axeln
yM
I
Byggnadsmekanik gk 5.5
![Page 6: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/6.jpg)
ICKE KONSTANT BÖJANDE MOMENT
Analysen som har gjorts gäller balkar som utsätts för ett konstant böjande moment M. Om balken utsätts för ett icke konstant moment, närvarandet av tvärkraften V ger upphov till skjuvspänningar och skjuv-deformationer.
Man kan visa att inflytandet av dessa effekter på normalspänningen är försumbart och att resultaten i sidorna 6.4 och 6.5 kan användas även om balken utsätts för ett icke konstant böjande moment.
Exempel 150 kN
3 m 2 m
x
y
2
46
00440
105875
m.
m.
A
I
II2
46
00440
106673
m.
m.
R
R
A
I
100
80
20
20
20
y
z 100
44
y
z
Maximala dragspänning och tryckspänning
i balken med I eller R tvärsnitt ?
Byggnadsmekanik gk 5.6
![Page 7: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/7.jpg)
Det böjande momentet måste först ritas för att hitta snittet där de maximala spänningarna finns.
yM
I
50 kN
20 kN 30 kNB
60 kNm
M
Slutstas : de maximala spänningarna finns i snitt B.
MPa).(
MPa).(
MPa).(
MPa).(
tryckmax
dragmax
tryckmax
dragmax
M
M
M
M
818050
818050
537050
537050
RR
RR
II
II
I
I
I
I
MPa 188
MPa 188
R
y
z
y
z
MPa 375
MPa 537
I
Spänningsfördelning i snitt B
För samma area, ger I-tvärsnittet maximala spänningar som är 34% lägre en ett rektangulärt tvärsnitt.
Byggnadsmekanik gk 5.7
![Page 8: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/8.jpg)
KOMBINATION AV N OCH M
Om belastningen ger upphov till både en normalkraft N och ett böjande moment M i
balken, kan normalspänningen erhållas genom att superponera spänningen som kommer från N och spänningen som kommer från M.
yM
AN
I
Akta : detta samband förutsätter en viss konvention för M och y :
- M > 0 dragning på underkanten.
- y neråt.
Exempel 2
0.3
0.1
0.10.
3
y
0.15z
45
2
1085
060
m
m.
A
I
Maximala dragspänning och tryckspänning i balken ?
5 kN
2 m 2 m
P = 60 kNBA
C
Byggnadsmekanik gk 5.8
![Page 9: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/9.jpg)
N och M diagram
kN P 60
N
kNm 10
M
Slutsats :
kritiska snitt i del AB : omedelbart till vänster om B
kritiska snitt i del BC : omedelbart till höger om B
omedelbart till vänster om B ( N = 0 )
MPa.).(dragmax y M
7651150 I
MPa).(tryckmax . y M
250I
_
+
MPa.
MPa. 9412
5 kN
2 m 2 m
P = 60 kNBA
C
Byggnadsmekanik gk 5.9
![Page 10: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/10.jpg)
omedelbart till höger om B ( N = - P )
_
_
MPa A
P1
MPa. 7650
MPa. 9413
+ =_
+
MPa A
P1
_
+
MPa.
MPa. 9412
yM
AN
I
MPa.).(dragmax y M
AP
7650150 I
MPa).(tryckmax . y M
AP
250I
Slutsatser : Maximal dragspänning i balken : snitt omedelbart till vänster om B, överkanten.
Maximal tryckpänning i balken : snitt omedelbart till höger om B, underkanten.
MPa.dragmax 7651 MPatryckmax .
Byggnadsmekanik gk 5.10
![Page 11: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/11.jpg)
Exempel 3
L = 6 m
0.1
m
q = 5 kN/m
P = 600 kN
A
Betong balk
y
0.3 m
0.4
m z2
4
120
00160
m.
m.
A
I
Varför behövs det en tryckkraft P ?
Utan tryckkraften P
kNm qL
902
2
M
snitt A+
_
MPa. 2511
MPa. 2511
De maximala spänningarna finns i snitt A
Lasten q skapar dragspänningar i överkanten av balken. Dessa spänningar är maximala vid stödet. Eftersom betongen inte kan ta emot dragspänningar, behövs en tryckkraft P.
Byggnadsmekanik gk 5.11
![Page 12: NORMALSPÄNNING I BÖJDA BALKAR](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022052913/5681322c550346895d988f7d/html5/thumbnails/12.jpg)
Med tryckkraften P
Kraften P kommer från förspända kablar som placeras vid ett avstånd e = 0.1 m från tvärsnittets tyngdpunkt.
Kraften P ger upphov till en konstant normalkraft N = – P och ett konstant böjande moment M = P e i balken.
Med kraften P finns ingen dragspänning i balken och den maximala tryckspänningen minskar.
PP e=
P
e
MPa AP
P 5
MPa.max . e P
e 20I
MPa 5
MPa 5
_
_
+
_MPa .
MPa .
+ + =
MPa .
MPa .
_
_
last q tryckkraft P moment P e total
+
_
MPa. 2511
MPa. 2511
Byggnadsmekanik gk 5.12
snitt A