nós, tranças e números racionais

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Entre nsJorge PicadoDepartamento de MatemticaUniversidade de Coimbra

~ tranas e nmeros racionais ~

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 1

Ns de marinheiroLais de guia: o favorito dos velejadores.

Este n ideal para fazer um lacete numa ponta de corda, no escorrega e fcil de desfazer se no estiver sobre presso.Algumas pessoas gostam de o memorizar dizendo "o coelho sai da sua toca, d uma volta rvore e volta para a toca". N de oito:

N de travagem - evita que o cabo escape.

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 2O que um n matemticoO resultado um fio entrelaado, sem pontas.

Um n isto, pensando no fio como no tendo espessura, a sua seco sendo um ponto.

Formando um n (matemtico) com um bocado de fio:

3Em matemtica, um n no passa de uma corda em que juntamos as pontas.

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 2O que um n matemticoN: curva fechada no espao que nunca se auto-intersecta.N trivial (No-n)Trevo(N cego)N de Oito

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 3Como manipular (desatar) um n? Alexandre o Grande: espada

Matemticos: deformaes (transformaes) contnuas.N Grdio

7 para 3 cruzamentos

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 4

5 para 3 cruzamentosDisfarces do trevo

6Pode ser muito difcil identificar um determinado n: ele pode ser disfarado de muitas maneiras diferentes!

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 5

A verso de seis cruzamentos do lais de guia a representao mais simples possvel deste n. Diz-se que o lais de guia tem nmero de cruzamento 6.

8

6A verso mais simples de um n pode, em alguns casos, parecer muito diferente da sua aparncia usual.

7Exemplo: Se ligarmos as pontas de um lais de guia, podemos manipular o n, sem o alterar, at chegarmos ao diagrama mais simples deste n: 6 cruzamentos.

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 6Manipulao de ns:movimentos de Reidemeister Qualquer deformao de um n pode ser alcanada por uma sequncia de trs tipos de movimento:

8Em 1926, Reidemeister provou que todas as diferentes transformaes nos ns podem ser descritas em termos de trs movimentos simples. Com estes movimentos podemos remover, inserir ou mudar cruzamentos de trs modos diferentes. I Remover (ou inserir) uma pequena volta (loop)II Remover (ou inserir) cruzamentos gmeosIII Passar um terceiro pedao por cima de um cruzamento.Reduzimos assim um processo complicado a uma sequncia de passos simples.

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 7

Quando que dois ns so o mesmo?(envolve geralmente a transformao de um diagrama em outro diagrama)[O Monstro, L. Kauffman]

9

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 8

E quando que dois ns no so o mesmo?(Envolve a questo mais subtil de garantir quando que uma tal transformao no possvel)

Exemplos de invariantes:

Nmero de cruzamento Nmero de desatamento

Uma tal garantia envolve a noo de invariante

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 9Classificao

Lista dos ns primos at 9 cruzamentos.

N primo: n que no composio de ns mais simples.

11Pode ser muito difcil comparar dois diagramas de ns e ver se so equivalentes!Alguns (poucos) movimentos podem tornar um n irreconhecvel.Isto torna a classificao dos ns uma tarefa muito complicada (um problema ainda em aberto hoje em dia); mesmo os casos mais simples tm demorado a ser todos encontrados.

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 9013141526377821949

1016611552122 176139 9881446 97215253 293161 388 705178 053 249

TOTAL: 9 755 186Cruzamentos - Ns[J. Hoste, M. Thistlethwaite, J. Weeks]

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 9

Mais exemplos de invariantes:

Nmero de cruzamento Nmero de desatamento Nmero de colorao Nmero de ponte

Polinmios: Alexander, Conway, Jones Invariantes de Vassiliev.

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 10Polinmio de Conway

14Polinmio de Alexander, Invariantes de Vassiliev

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 10Polinmio de Conway

mas

15No suficientemente refinado para distinguir estes dois ns. NO um invariante COMPLETO.

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 11Polinmio de Jones

invariante COMPLETO ? : problema em ABERTO

16 muito mais sensvel que o polinmio de Conway

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 12TranasRegio no plano de projeco delimitada por um crculo de tal modo que o n atravessa esse crculo precisamente em quatro pontos.

01

17A notao de Conway.

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 13Tranas

18

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 14Tranas Racionais

33+--3,0

-3, 0-3Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 15Notao de Conway3,

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 15

Notao de Conway3

,3,-2

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 16Surpreendentemente, existe um modo muito simples de dizer quando que duas tranas so equivalentes-2,3,23,-2,3

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 17

Tranas

0

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais 18TEOREMA DE CONWAY:As tranas racionais so univocamente determinadas pelas correspondentes fraces contnuas. De facto:

F um invariante completo !

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais FIM Bibliografia D. Lopes e J. Picado, A lgebra das tranas, Outubro 2005, www.mat.uc.pt/~picado.

E ainda: C. Adams, The Knot Book, AMS, 2004. B. Cipra, From knot to unknot, em: Whats Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, 1994. J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) 300-332. J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first 1.701.936 knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), 33-48. R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, www.knotplot.com. A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, 2002. Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, www.bangor.ac.uk/ma/CPM/. (traduo portuguesa em: Exposio de Ns, Pgina do Atractor, www.atractor.pt).

Janeiro 2006 Ns, tranas e nmeros racionais FIMBibliografia

D. Lopes e J. Picado, A lgebra das tranas, Outubro 2005, www.mat.uc.pt/~picado.

E ainda: C. Adams, The Knot Book, AMS, 2004. B. Cipra, From knot to unknot, em: Whats Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, 1994. J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) 300-332. J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first 1.701.936 knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), 33-48. R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, www.knotplot.com. A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, 2002. Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, www.bangor.ac.uk/ma/CPM/. (traduo portuguesa em: Exposio de Ns, Pgina do Atractor, www.atractor.pt).

Knotplot.exeKnotplot.exe