nosece konstrukcije 1 - skripta

NOSEĆE KONSTRUKCIJE 1

-materijal za vežbe-

pripremili: dr Tatjana Kočetov-Mišulić, digMSc Vladimir Vukobratović, dig

Novi Sad, oktobar 2012. godine

Sadržaj

1. UVOD – MONOLITNO DRVO.............................................................................11.1 Opterećenja..................................................................................................11.2 Dopušteni naponi u monolitnom drvetu........................................................1

2. DIMENZIONISANJE ELEMENATA OPTEREĆENIH NA SAVIJANJE – proračun tavanice od monolitnog drveta..................................................................................4

3. DIMENZIONISANJE I NASTAVLJANJE AKSIJALNO ZATEGNUTIH ŠTAPOVA .................................................................................................................................11

3.1 Varijanta sa ekserima i drvenim podvezicama............................................113.2 Varijanta sa ekserima i čeličnim limom.......................................................15

4. DIMENZIONISANJE I NASTAVLJANJE AKSIJALNO PRITISNUTIH ŠTAPOVA .................................................................................................................................17

5. VEZE U ČVOROVIMA REŠETKASTIH NOSAČA............................................215.1 Slučaj pritisnute vertikale i zategnute dijagonale........................................215.2 Slučaj pritisnute i zategnute dijagonale – prost zasek................................25

6. DIMENZIONISANJE ROŽNJAČE.....................................................................29

7. POSTUPAK DIREKTNOG DIMENZIONISANJA AKSIJALNO PRITISNUTIH ŠTAPOVA................................................................................................................32

8. ANALIZA OPTEREĆENJA VETROM NA OBJEKTE MALIH KRUTIH ZGRADA.................................................................................................................................34

9. UVOD – LAMELIRANO LEPLJENO DRVO (LLD)...........................................389.1 Dopušteni naponi u LLD.............................................................................38

10. PRAVILA ZA DIMENZIONISANJE NOSAČA OD LLD .....................................4010.1 Pravi gredni nosači sa I=const..................................................................4010.2 Nosači sa nagnutim ivicama (sa promenljivom visinom H)......................41

11. DIMENZIONISANJE ROŽNJAČE ....................................................................44

12. DIMENZIONISANJE SIMETRIČNOG TRAPEZASTOG NOSAČA..................47

13. DIMENZIONISANJE NESIMETRIČNOG TRAPEZASTOG NOSAČA.............54

PRILOG 1 – Ispitni zadatak: klasičan krov..............................................................60

PRILOG 2 – VEZE NA ZASEK I VEZE PRITISNUTIH ŠTAPOVA POD UGLOM

PRILOG 3 – VEZE KOD REŠETKASTIH NOSAČA

PRILOG 4 – VEZE IZNAD OSLONCA – LEŽIŠTA

PRILOG 5 – MOGUĆI OBLICI REŠETKASTIH NOSAČA

LITERATURA

NAPOMENA VEZANA ZA MONOLITNO DRVO: Neki od zadataka su preuzeti iz zbirke zada-taka „Drvene konstrukcije“ čiji su autori Dr Milan Gojković, Dr Boško Stevanović, Dr Milorad Komnenović, Sreto Kuzmanović i Dr Dragoslav Stojić.

NAPOMENA VEZANA ZA LLD: Zadaci 11 – 13 su preuzeti iz zbirke zadataka „Drvene kon-strukcije“ čiji su autori Dr Milan Gojković, Dr Boško Stevanović, Dr Milorad Komnenović, Sreto Kuzmanović i Dr Dragoslav Stojić.

NAPOMENA VEZANA ZA PRILOGE 2 – 5: Prilozi su preuzeti iz knjige „Drvene konstrukcije“ čiji je autor Dr Milan Gojković i iz zbirke zadataka „Drvene konstrukcije“ čiji su autori Dr Mi-lan Gojković, Dr Boško Stevanović, Dr Milorad Komnenović, Sreto Kuzmanović i Dr Drago-slav Stojić.

1. UVOD – MONOLITNO DRVO

1.1 Opterećenja

1. grupa opterećenja – OSNOVNA

• stalno opterećenje „g“ „g“• korisno opterećenje „s“ (uključujući i sneg) „g+s“• opterećenje vetrom kao (samostalno) „w“ „g+w“

2. grupa opterećenja – DOPUNSKA

• vetar kada ne deluje kao samostalno opterećenje• opterećenje od skela i oplata za beton• opterećenje od privremenih konstrukcija• trenja na ležištima• sile kočenja „g+s+w“• temperaturna dejstva• skupljanje i bubrenje• pritisak na ogradu• horizontalna dejstva koja nisu obuhvaćena 1. grupom

3. grupa opterećenja – NAROČITA

• seizmičko dejstvo• razmicanje oslonaca• pritisak leda• požar do 30 minuta• udari vozila

O opterećenjima se detaljnije može pročitati u prilogu na stranama 415-416.

1.2 Dopušteni naponi u monolitnom drvetu

Razlikuju se prema:

(1) botaničkoj vrsti drveta• četinari (bor, jela, smrča)• lišćari (hrast, bukva)

(2) klasi kvaliteta – I, II i III klasa

(3) vrsti naprezanja – pregled dat u tabeli ispod

(4) procentu vlažnosti: >18% ili ≤18% u odnosu na suvu masu

1

pritisak paralelno vlaknima σcII

pritisak upravo na vlakna σc┴

zatezanje paralelno vlaknima σtII

ivični napon pri savijanju σm

smicanje paralelno vlaknima τII

smicanje pri savijanju τmII

pritisak pod uglom σcα

presecanje vlakana τ┴

Na strani 431 priloga se nalazi tabela osnovnih dopuštenih napona za opterećenja iz 1. grupe i za vlažnost drveta od 18%. Vrednosti su date u N/cm².

U nastavku su data pravila za redukciju osnovnih dopuštenih napona.

(a) u slučaju kombinacije opterećenja GRUPA 1+GRUPA 2 treba izvršiti povećanje osnovnih dopuštenih napona za 15%

(b) u slučaju kombinacije opterećenja GRUPA 1+GRUPA 2+GRUPA 3 treba izvršiti povećanje osnovnih dopuštenih napona za 50%

(c) u zavisnosti od dužine trajanja opterećenja merodavne dopuštene napone treba redukovati koeficijentom kd=0,9 ako su ispunjeni sledeći uslovi:

• puno računsko opterećenje deluje bez prestanka• korisna opterećenja ili sneg deluju duže od 3 meseca

(d) dopušteni naponi pritiska pri delovanju sile koso u odnosu na smer vlakana se računa kao: σcα,dop=σcII,dop-(σcII,dop-σc┴,dop)sinα; na strani 432 priloga pogledati dodatne uslove

(e) ako je vlažnost drveta ≠18% osnovne dopuštene napone redukujemo pomoću koeficijenata iz tabele 3 sa strane 433 priloga

(f) u zavisnosti od stepena održavanja tj. zaštite konstrukcije, osnovne dopuštene napone redukujemo koeficijentom kat prema sledećim pravilima:

(f1) glavni noseći elementi

(f1.1) potpuno otvoreni objekti, nezaštićeni i izloženi atmosferilijama ili izloženi visokoj trajnoj vlažnosti vazduha u zatvorenom prostoru

• nenadzirani i neodržavani kat=0,85• nadzirani i održavani kat=0,90

(f1.2) delimično otvoreni objekti sa najmanje jedne bočne strane, koji su nezaštićeni i delimično izloženi atmosferilijama


2

(f1) sekundarni noseći elementi

(f2.1) potpuno otvoreni objekti, nezaštićeni i izloženi atmosferilijama ili izloženi visokoj trajnoj vlažnosti vazduha u zatvorenom prostoru


(f1.2) delimično otvoreni objekti, sa najmanje jedne bočne strane, koji su nezaštićeni i delimično izloženi atmosferilijama


Ako izvršimo zaštitu glavnih nosećih elemenata od atmosferilija koeficijent kat može biti povećan za 10% ali njegova vrednost ni u kom slučaju ne sme biti veća od 1,00.

(g) za konstrukcije izložene delovanju hemijskih uticaja:• za pH koncentraciju u granicama od 3,5-8,5 nema smanjenja• za pH koncentraciju u granicama od 2-3,5 i 8,5-10 redukcija faktorom

kk=0,65

(h) u području srednjih oslonaca kontinualnih nosača vrednosti osnovnih dopuštenih napona za savijanje se mogu povećati za 10%, što se ne odnosi na rogove krovne konstrukcije

(i) u području srednjih oslonaca kontinualnih nosača vrednosti osnovnih dopuštenih smičućih napona se mogu povećati za 1/3 ako drvo nema pukotine, što se ne odnosi na rogove krovne konstrukcije

(j) za oblu građu koja nije slabljena u ivičnoj zoni poprečnog preseka dopušteno je povećanje osnovnih dopuštenih napona na savijanje i pritisak paralelno vlaknima za 20%

(k) u zavisnosti od širine oslonaca i položaja delovanja opterećenja – videti u tabeli 4 priloga na strani 435

(l) ako pri proračunu nastavaka zategnutih štapova upotrebljavamo eksere i koristimo bruto vrednosti površine poprečnog preseka, onda se osnovni dopušteni napon na zatezanje paralelno vlaknima mora redukovati za 20%, a ako računamo da je presek oslabljen i koristimo neto karakteristike tada se ova redukcija ne uzima u obzir

Ukupni korekcioni koeficijent dobijamo množenjem svih koeficijenata.

3

2. DIMENZIONISANJE ELEMENATA OPTEREĆENIH NA SAVIJANJE – proračun tavanice od monolitnog drveta

Na slici je prikazana konstrukcija međuspratne tavanice od monolitnog drveta, koja se sastoji iz glavnih greda (POS 3), sekundarnih greda (POS 2) i daski – planki poda (POS 1). Strelicama je prikazan pravac nošenja daski poda. Po osnovi tavanice deluje opterećenje intenziteta 2,0 kN/m², što uključuje i sopstvenu težinu drvenih elemenata. Dimenzionisati sve naznačene pozicije (uslovi napona i ugiba) prema merodavnim statičkim uticajima. Za građu koristiti četinare II klase (σmd=1000 N/cm²). Dopušteni ugib za sve elemente iznosi l/200.

Dimenzionisanje POS 1a i POS 1b

Daske poda POS 1a i POS 1b su statičkog sistema proste grede raspona 2,0 m i 3,0 m, respektivno. U slučaju da se predviđa hodanje po daskama, minimalna debljina daske iznosi 3,8 cm. Minimalna i maksimalna širina, debljina i raspon dasaka koje možemo naći na tržištu zavise od proizvođača. Dimenzije dasaka za četinarsku građu su definisane standardima JUS D.C1.040 i JUS D.C1.041 (strane 411 i 412 priloga). Za konstrukcije tavanica uobičajeno je da se usvajaju daske širine 20 cm.Statički sistem i opterećenja dasaka POS 1a i POS 1b su dati na slici ispod.

4

Pretpostavljamo daske širine b =20 cm.

Linijsko opterećenje jedne daske POS 1a i POS 1b računamo kao:

S obzirom da su opterećenja ista a da je raspon dasaka POS 1b veći nego raspon dasaka POS 1a za 1,0 m, jasno je da je za dimenzionisanje merodavna POS 1b.

Maksimalni moment savijanja koji se javlja u POS 1b je jednak:

Potrebnu visinu dasaka određujemo iz uslova dozvoljenog napona i dozvoljenog ugiba (u ovom slučaju l/200) i usvajamo merodavnu – veću vrednost. Za određivanje potrebne visine dasaka iz navedenih uslova možemo izvesti sledeće izraze:

Modul elastičnosti paralelno vlaknima za četinare i vlažnost drveta do 18% je jednak 1000 kN/cm²=106 N/cm² (tabela 19, strana 459 priloga).

Prilikom korišćenja gore navedenih izraza voditi računa o jedinicama. Potrebna visina preseka se dobija u centimetrima ako poštujemo način unosa prikazan u nastavku. Sada računamo potrebnu visinu dasaka kao:

• iz uslova dopuštenog napona

• iz uslova dopuštenog ugiba

Merodavan je uslov dopuštenog ugiba.

Usvajamo presek b / h =20/6 z a POS 1a i POS 1b

5

32,0 0,20 10 400 / 'a bq q N m= = ⋅ ⋅ =

2 2400 3,0max 450 8 8

q lM Nm⋅ ⋅= = =

2max max max 6 max 6m md

md md md

M M b h M MW hW b

σ σσ σ σ

⋅ ⋅= ≤ → ≥ → ≥ → ≥⋅

4 4 3 4 4

35 125 125 125

384 200 48 12 48 4q l l q l b h q l q lI hE I E l E l b E l

δ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ≤ → ≥ ⋅ → ≥ ⋅ → ≥ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅P P P P

2

2

6 450 10 3,67 20,0 1000 /

Ncmh cmcm N cm

⋅ ⋅≥ =⋅

4 4

36 2

125 4,0 / ' 300,0 5,53 4 20,0 10 / 300

N cm cmh cmcm N cm cm

⋅≥ ⋅ =⋅ ⋅

Geometrijske karakteristike usvojenog poprečnog preseka:

Računamo stvarne vrednosti napona i ugiba za daske POS 1b:


Sekundarne grede POS 2a i POS 2b su statičkog sistema proste grede raspona 2,0 m i 3,0 m, respektivno.

Statički sistem i opterećenja sekundarnih greda POS 2a i POS 2b su dati na slici ispod.

Linijsko opterećenje koje deluje na gredu POS 2a računamo kao:

Vertikalne reakcije oslonaca POS 2a iznose:

Linijsko opterećenje koje deluje na gredu POS 2b računamo kao:

6

2 33 420 6 20 6120,0 , 360,0

6 12W cm I cm⋅ ⋅= = = =

22 2max 450 10 375 / 1000 /

120,0m mdM N cm N cm

Wσ σ⋅= = = < =

4 4 4

6 2 4

5 5 4,0 / ' 300,0 1,17 1,50 384 384 10 / 360,0 200

q l N cm cm lcm cmE I N cm cm

δ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = < =⋅ ⋅P

2 2,0 2,0 / 2,0 / ' 2000 / '2amq kN m kN m N m= ⋅ = =

2,0 2,0 2,0 2000 2 2a

aq lR kN N⋅ ⋅= = = =

Vertikalne reakcije oslonaca POS 2b iznose:

S obzirom da su opterećenje i raspon veći u slučaju POS 2b, jasno je da je ona merodavna za dimenzionisanje.

Maksimalni moment savijanja koji se javlja u POS 2b iznosi:

Pretpostavljamo presek širine b =12 cm.

Potrebnu visinu dasaka određujemo iz uslova dozvoljenog napona i dozvoljenog ugiba (u ovom slučaju l/200) i usvajamo merodavnu – veću vrednost. Za određivanje potrebne visine dasaka koristimo gore navedene izraze.

Računamo potrebnu visinu dasaka kao:

• iz uslova dopuštenog napona

• iz uslova dopuštenog ugiba

Merodavan je uslov dopuštenog napona.

Usvajamo presek b / h =12/14 za POS 2a i POS 2b


Kontrola napona:

7

2 33 412 14 12 14392,0 , 2744,0

6 12W cm I cm⋅ ⋅= = = =

22 2max 3375 10 861 / 1000 /


Wσ σ⋅= = = < =

2 3,0 2,0 / 3,0 / ' 3000 / '2bmq kN m kN m N m= ⋅ = =

3,0 3,0 4,50 4500 2 2bq lR kN N⋅ ⋅= = = =

2 23000 3,0max 3375 8 8

q lM Nm⋅ ⋅= = =

2

2

6 3375 10 12,99 12,0 1000 /

Ncmh cmcm N cm

⋅ ⋅≥ =⋅

4 4

36 2

125 30,0 / ' 300,0 12,82 4 12,0 10 / 300

N cm cmh cmcm N cm cm

⋅≥ ⋅ =⋅ ⋅

Kontrola ugiba:


Glavne greda POS 3a i POS 3b su statičkog sistema proste grede, raspona 5,0 m.

Statički sistem i opterećenje glavnih greda POS 3a i POS 3b su dati na slici ispod.

Sa slike je jasno da je opterećenija greda POS 3b pa je ona istovremeno merodavna za dimenzionisanje.

Na gredu deluju linijska opterećenja koja se prenose preko POS 1a i POS 1b, kao i vertikalne reakcije greda POS 2a i POS 2b (koncentrisane sile).

Linijska opterećenja koja deluju na gredu računamo kao:

Tačkasto opterećenje koje deluje na gredu je jednako sumi vertikalnih reakcija greda POS 2a i POS 2b i iznosi:

8

4 4 4

6 2 4

5 5 30,0 / ' 300,0 1,15 1,50 384 384 10 / 2744,0 200

q l N cm cm lcm cmE I N cm cm

δ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = < =⋅ ⋅P

2

2

2,0 2,0 / 2,0 / ' 2000 / '2

3,0 2,0 / 3,0 / ' 3000 / '2

a

b

mq kN m kN m N m

mq kN m kN m N m

= ⋅ = =

= ⋅ = =

2 2 2,0 4,5 6,5 6500 a bR R R kN N= + = + = =

Maksimalni moment savijanja se javlja na mestu delovanja koncentrisane sile i iznosi

Pretpostavljamo presek dimenzija b / h =18/24 cm .

Geometrijske karakteristike poprečnog preseka:

Kontrola napona:

Maksimalan ugib se javlja u sredini raspona. Za proračun ugiba koristimo izraze koji su dati u tabeli 79, na 650. strani priloga.

Za slučaj kada koncentrisana sila deluje u proizvoljnom preseku nosača u pomenutoj tabeli postoji izraz za ugib.

Kada je u pitanju kontinualno opterećenje koje deluje na delu nosača ne postoji izvedeni izraz. Iz tog razloga ćemo deo kontinualnog opterećenja takođe predstaviti kao koncentrisanu silu.

Ukupan ugib određujemo superpozicijom ugiba izračunatih za sva opterećenja, i to za:

• jednakopodeljeno opterećenje koje deluje duž celog nosača (intenzitet 2,0 kN/m)

• za jednakopodeljeno opterećenje koje deluje na dužini od 2,0 m (intenzitet 1,0 kN/m) i koje predstavljamo kao koncentrisanu silu i

• koncentrisanu silu R=6,5 kN=6500 N

Tačna vrednost ugiba u sredini raspona iznosi 1,68 cm tako da je jasno da prikazani postupak daje rezultat dovoljne tačnosti.

Usvajamo presek b / h =18/24 za POS 3a i POS 3b

9

max 15,0 15000 M kNm Nm= =

22 2max 15000 10 868 / 1000 /


Wσ σ⋅= = = < =

2 33 418 24 18 241728,0 , 20736,0

6 12W cm I cm⋅ ⋅= = = =

( )rezultanta

2 24

6

jednakopodeljeno opterećenje 2,0 kN/m' jednakopodeljeno opterećenje 1,0 kN/m' koje deluje na dužini od

1000 2,0 1,0 3 5,0 4 1,05 20,0 500,0 0,02083384 10 20736,0 20736,0

mδ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅≈ ⋅ + ⋅⋅

64748

144424443

( )2,0 m

2 2

koncentrisana sila R=6500 N

6500 2,0 3 5,0 4 2,00,02083 1,70 2,50

20736,0 200lcm cm

+

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅ = < =

1444444442444444443

1444442444443

DODATAK – spojevi i veze

Glavne i sekundarne grede se vezuju čeličnim limovima – papučama. Kao spojno sredstvo mogu biti korišćeni zavrtnji ili ekseri.

Dužina oslanjanja grede na noseći zid je po pravilu jednaka njenoj visini. Grede se oslanjaju na AB serklaž i učvršćuju anker zavrtnjima ili na drugi način. Na slici ispod je dato jedno od mogućih rešenja oslanjanja drvene grede na zid od opeke.

10

3. DIMENZIONISANJE I NASTAVLJANJE AKSIJALNO ZATEGNUTIH ŠTAPOVA

Za sve predstojeće primere važe sledeći podaci:• građa: četinari II klase (σtIId=850 N/cm²)• osnovni slučaj opterećenja → nema redukcije dopuštenih napona• sila zatezanja Z=65 kN

3.1 Varijanta sa ekserima i drvenim podvezicamaS obzirom da će poprečni presek biti oslabljen, dopušteni napon moramo redukovati za 20% ili u proračunu moramo izračunati neto karakteristike preseka.

Potrebne dimenzije poprečnog preseka:

Moguće dimenzije greda za četinare su:• jela i smrča b=8-22 cm (za po 1 cm); h=8-30 cm (za po 1 cm)• bor b=10-22 cm (za po 2 cm); h=10-30 cm (za po 2 cm)

→ pretpostavlja se presek b / h =10/12 ( A =120 cm²)

SAVET: Visinu podvezica u slučaju nastavka sa ekserima usvojiti 2-4 cm veću od visine osnovnog preseka (sa obe strane). Na taj način dobijamo manju debljinu podvezice, a samim tim i tanje eksere.

→ usvaja se podvezica visine 18 cm

→ PRILOG, str. 566, član 9.4 NASTAVCI ZATEGNUTIH ŠTAPOVA:• u slučaju podvezica sa spoljnje strane, napone u podvezicama kontrolisati sa

50% povećanom stvarnom silom

Potrebna širina jedne podvezice:

→ usvajaju se podvezice a / h p=2x4/18 cm ( A p=144 cm²)

11

3265 10 95,6

0,8 0,8 850tIId

ZpotrA cmσ

⋅= = =⋅ ⋅

3265 101,5 1,5 143, 4

0,8 0,8 850ptIId

ZpotrA cmσ

⋅= ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅

143,4 4,0 2 18,0

a cm= ≅⋅

Usvojena debljina podvezice od 4 cm odgovara ekserima: E38, E42, E46, E55 (videti tabelu 54 na str. 545).

→ pretpostavljamo eksere E42/100

Vitkost eksera mora biti u granicama 6,0 < λ < 11,5:

Potrebna dubina zabijanja za jednosečne eksere iznosi s≥12·d (za punu nosivost).

• potrebna dubina zabijanja s≥12·0,42=5,04 cm• stvarna dubina zabijanja sstv=l-a=10,0-4,0=6,0 cm > 5,04cm (uslov ispunjen)

Eksere ćemo zabijati sa obe strane i u tom slučaju moramo poštovati uslove standarda (član 8.4.14, slika 51, str. 547):

• as – debljina srednjeg drveta koja je u našem slučaju jednaka debljini grede koju nastavljamo (as=b=10,0 cm)

• uslov naspramnog zabijanja: as ≥ sstv+8·d → 10,0 ≥ 6,0+8·0,42=9,36 cm → uslov je ispunjen tako da se ekseri mogu zabijati jedni naspram drugih na rastojanju 12·d

Napomena: Rastojanje važi za eksere ≥E42 (bušene eksere), u suprotnom važi rastojanje 10·d.

→ usvajamo jednosečne eksere E42/100, nosivost jednog eksera N 1=775 N

Napomena: Računska nosivost bušenih eksera i eksera u kombinaciji sa tankim limom se računa sa 25% povećanom punom nosivošću (što je ovde već uzeto u obzir). Nosivost eksera se može naći u tabeli 54 na str. 545, ili se može izračunati (izraz u članu 8.4.9 na str. 546), što će biti pokazano u sledećoj varijanti. Ovde je vrednost očitana iz tabele.

Potreban broj eksera sa jedne strane veze, za jednu podvezicu:

12

4,0 9,52 (uslov zadovoljen)0,42

ad

λ = = =

3

1 1

65 102 41,9 komada2 2 775

ZZn

N N⋅= = = =

⋅ ⋅

Na visini h grede, može da stane:

Usvaja se R=4 reda, po vertikali.

Broj eksera u horizontalanim redovima:

član 8.4.9, str. 546: nosivost veze u kojoj ima više od 10 eksera u redu, mora se smanjiti za 10%, a u slučaju za više od 20 eksera u redu nosivost se mora smanjiti za 20%. Računamo novi potreban broj eksera, pri čemu redukujemo nosivost jednog eksera za 10%:

Broj eksera u horizontalnim redovima sada iznosi:

→ usvaja se ukupan broj eksera sa jedne strane nastavka 2x4 ·12=96 E42/100 (detalj za izvršenje dat na sledećoj strani)

Kontrola napona1. Osnovni presek

Napon u preseku:

2. Podvezice

Napon u podvezicama:

13

121 1 4,71 redova5 5 0,42hRd

= − = − =⋅ ⋅

41,9 10,5 10 komada4

nSR

= = = > ⇒

3

1 1

65 102 46,6 komada0,9 2 0,9 2 0,9 775

ZZn

N N⋅= = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

46,6 11,7 komada 12 komada4 usv

nS SR

= = = → =

32 265 10 752,3 / 850 /

86, 4tII tIIdneto

Z N cm N cmA

σ σ⋅= = = < =

22 10 12 2 4 0,42 10 86, 4 netoA b h R d b cm= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

2, 2 2 2 4 18 2 4 0,42 4 130,6 p neto pA a h R d a cm= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

32 2

,

65 101,5 1,5 746,6 / 850 /130,6tII tIId

p neto

Z N cm N cmA

σ σ⋅= ⋅ = ⋅ = < =

3.2 Varijanta sa ekserima i čeličnim limomZadržavamo isti presek (b/h=10/12).

Za limove debljine veće od 2 mm, ne treba vršiti poseban dokaz nosivosti. Usvajamo debljinu lima t=3,5 mm i visinu lima hlima=11 cm (za po 5 mm manje sa svake strane grede). Prema članu 8.4.4 (str. 544), za spojeve sa tankim limom debljine veće od 2 mm, važi uslov da je minimalna dubina zabijanja eksera 15·d.

→ pretpostavljamo eksere E42/90

Potrebna dužina eksera:

Nosivost eksera:

Stvarna dubina zabijanja: sstv=l-a=90,0-3,5=86,5 mm=8,65 cm > 15·d=6,30 cm

• uslov naspramnog zabijanja: as ≥ sstv+8·d → 10,0 ≥ 8,65+8·0,42=12,01 cm → uslov nije ispunjen tako da se ekseri ne mogu zabijati jedni naspram drugih

• uslov naizmeničnog zabijanja eksera: sstv < as < sstv+8·d → 8,65 cm < 10 cm < 12,01 cm → vertikalni redovi eksera su smaknuti jedni u odnosu na druge, prema slici 51 na str. 547. Minimalno rastojanje vertikalnih redova iznosi 6·d=6·0,42=2,52 cm (usvaja se 3,0 cm)

Potreban broj eksera sa jedne strane veze, za jednu podvezicu:

Na visini h grede, može da stane:

Usvaja se R=4 reda, po vertikali.

Broj eksera u horizontalanim redovima:

član 8.4.9, str. 546: Nosivost veze u kojoj ima više od 10 eksera u redu, mora se smanjiti za 10%, a u slučaju za više od 20 eksera u redu nosivost se mora smanjiti za 20%.

Računamo novi potreban broj eksera, pri čemu redukujemo nosivost jednog eksera za 10%:

15

min 15 3,5 15 4,2 66,5 pretp. 90 l t d mm mm= + ⋅ = + ⋅ = <

3

1 1

65 102 41,9 komada2 2 775

ZZn

N N⋅= = = =

⋅ ⋅

121 1 4,71 redova5 5 0,42hRd

= − = − =⋅ ⋅

41,9 10,5 10 komada4

nSR

= = = > ⇒

2 2

15000 5000 0,421,25 1, 25 775

1 1 0,42dN Nd⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ =

+ +

Broj eksera u horizontalnim redovima sada iznosi:

→ usvaja se ukupan broj eksera sa jedne strane nastavka 2x4 ·12=96 E42/90

Kontrola napona

1. Osnovni presek

Napon u preseku:

2. Podvezice

Koristi se 90% vrednosti dozvoljenog napona za čelik iz razloga mogućih nesigurnosti pri izvršenju. Pretpostavljamo čelik Č0361 koji ima dopušteni napon σd=16,0 kN/cm² (tabela 82, str.660).

Napon u podvezivama:

3. Pritisak po omotaču rupe

16

3

1 1

65 102 46,6 komada0,9 2 0,9 2 0,9 775

ZZn

N N⋅= = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

46,6 11,7 komada 12 komada4 usv

nS SR

= = = → =

210 12 4 0,42 10 103,2 netoA b h R d b cm= ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ =

32 265 10 629,84 / 850 /

103,2tII tIIdneto

Z N cm N cmA

σ σ⋅= = = < =

2, 2 2 0,35 11 4 0,42 0,35 7,11 p neto limaA t h R d t cm= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

32 2

,

65 10 9142,1 / 0,9 16000 14400 /7,11z

p neto

Z N cm N cmA

σ ⋅= = = < ⋅ =

32 265 10 4606 / 0,9 24000 21600 /

2 2 48 0, 42 0,35Z N cm N cmn d t

σ ⋅= = = < ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4. DIMENZIONISANJE I NASTAVLJANJE AKSIJALNO PRITISNUTIH ŠTAPOVA

Nastaviti aksijalno pritisnut štap gornjeg pojasa rešetke opterećen silom F=90 kN. Dimenzije štapa b/h=12/20 cm. Za spojna sredstva koristiti zavrtnjeve, a za građu četinare II klase. Iz tabele 2 sa 431. strane priloga čitamo vrednost osnovnog dopuštenog napona → σcIId=850 N/cm².

Nastavci pritisnutih štapova – član 9.6, strana 567 priloga.

Nastavak treba postavljati neposredno uz čvor. Ukoliko je osiguran kontakni prenos sile pritiska podvezice su konstruktivne.

→ usvajamo podvezice 2x8/20

Pretpostavljamo zavrtnjeve u dva reda. Pri tome moramo uvažiti ograničenja koja su definisana na slici ispod.

202 3 5 20,0 1,8211

d d d cm⋅ + = → = =

→ usvajamo zavrtnjeve M18

17

Član 9.6, strana 567 priloga: ako je osiguran kontakt između nastavljenih elemenata, broj spojnih sredstava računamo za ½ sile.

Iz tabele 53 čitamo vrednosti za σd i k (četinari II klase i dvosečna veza) i računamo nosivost u odnosu na srednje i bočno drvo:

• srednje drvo: σd=850 N/cm² i k=3800 N/cm²

• bočno drvo: σd=550 N/cm² i k=2600 N/cm²

Usvaja se N min= N 2=12312 N.

3

min

/ 2 45 10 3,65 komada12312

FnN

⋅= = =

→ usvojeno 4M18

Prilikom kontrole napona imati u vidu član 7.2.1.2 sa strane 463 priloga koji kaže da sa neto površinom treba računati samo u slučaju kada nije obezbeđen besprekoran kontakt između spojnih sredstava i osnovnog materijala → bruto presek.

Pre kontrole napona moramo proveriti vitkost štapa jer od nje zavisi koji ćemo izraz koristiti. Vitkost je definisana kao:

gde je sa Li obeležena dužina izvijanja štapa, a sa i poluprečnik inercije:

Moment inercije i površinu poprečnog preseka određujemo za bruto presek (kao što je već napomenuto).

Članom 7.2.2.1.4 sa strane 465 priloga se zahteva da vitkost mora biti određena za najmanje dva ortogonalna pravca. U daljem proračunu je manja vitkost merodavna.

Članom 7.2.2.1.3 sa strane 465 priloga ograničava vitkost na sledeće vrednosti:

• λ≤150 u slučaju glavnih nosećih elemenata za koje se sa dovoljnom sigurnošću može odrediti dužina izvijanja

• λ≤120 u slučaju glavnih nosećih elemenata koji su deo konstrukcijskog

18

1 3

2 22

850 12 1,8 18360

3800 1,8 12312

dN a d NN k d N

σ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

3 1

2 24

2 2 550 8 1,8 15840

2 2 2600 1,8 16848

dN a d NN k d N

σ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= iLi

λ

IiA

=

sistema koji ne omogućuje pouzdanu tačnost proračuna• λ≤175 u slučaju sekundarnih elemenata čija stabilnost nije od posebnog

značaja

U slučaju da je vitkost štapa ≤10 napon kontrolišemo prema sledećem izrazu:

Vitkost elemenata je gotovo uvek veća od 10 pa se uticaji izvijanja moraju uzeti u obzir. To radimo tako što osnovni dopušteni napon redukujemo koeficijentom izvijanja ω (član 7.2.2.1.1, strana 464 priloga).

Koeficijent izvijanja zavisi od vitkosti štapa i to na sledeći način:

• za λ≤75

• za λ>75

Štapovi rešetke su u statičkom smislu prosti štapovi. Za dužinu izvijanja se usvaja dužina samog štapa.

34

34

12 20 80008000 5,77 12 12 20

20 12 28802880 3,46 12 12 20

289,40 83,64 1503,46

x x

y y

i

y

I cm i cm

I cm i cm

Li

λ

⋅= = → = =⋅

⋅= = → = =⋅

= = = <

Koeficijent izvijanja iznosi:

19

cII cIIdFA

σ σ= ≤

cIIdcII cII cIId

F FA A

σσ σ ω σω

= ≤ → = ≤

21

1 0,8100

ωλ

= −

2

3100λω =

285 289,40 cos cos10ilL cm

α= = =o

2 283,64 2, 263100 3100

λω = = =

Kontrola napona u osnovnom preseku

Detalj za izvršenje je dat na slici ispod.

20

32 290 102,26 847,5 / 850 /

12 20cII cIIdF N cm N cmA

σ ω σ⋅= = ⋅ = < =⋅

5. VEZE U ČVOROVIMA REŠETKASTIH NOSAČA

5.1 Slučaj pritisnute vertikale i zategnute dijagonale

Za slučaj čvora rešetke prikazanog na slici ispod izvršiti dimenzionisanje štapova i oblikovanje čvora. Za spojna sredstva koristiti eksere, a za građu četinare II klase.

Iz tabele 2 sa 431. strane priloga čitamo vrednost osnovnih dopuštenih napona → σcIId=σtIId=850 N/cm² i σc┴d=200 N/cm².

(1) Dimenzionisanje pritisnute vertikale (dužina štapa je 62,5 cm)

• prema sili pritiska i dužini izvijanja

S obzirom da je donji pojas širine 14 cm usvajamo vertikalu 10/14.

Dužina izvijanja je jednaka dužini štapa, Li=62,5 cm.

Minimalni momenat inercije i odgovarajući minimalni poluprečnik inercije računamo kao:

Vitkost iznosi:

Koeficijent izvijanja računamo kao:

Napon pritiska paralelno vlaknima iznosi:

21

34 min

min min14 10 1166,6 2,89

12II cm i cmA

⋅= = → = =g

62,5 21,63 752,89

λ = = <

2 2

1 1 1,0421,631 0,8 1 0,8

100 100

ωλ

= = = − −

• prema površini oslanjanja u čvoru, načinu vezivanja i sili u štapu

(2) Dimenzionisanje zategnute dijagonale

Pretpostavljamo da se dijagonala sastoji iz dve daske.

→ usvajamo 2x2,4/10 ( A =48,0 cm ² )

Važeći propisi za drvene konstrukcije preporučuju da minimalna debljina drveta za zabijane eksere i četinarsku građu iznosi 2,4 cm, dok za daščane nosače minimalna širina iznosi 10 cm. Usvojeni presek dijagonale zadovoljava ove uslove.

Odgovaraju nam ekseri: E22, E25, E28, E31 i E38.

→ usvajamo E28/65, N 1=300 N

• potrebna dubina zabijanja za punu nosivost: s≥12·d=12·0,28=3,36 cm• stvarna dubina zabijanja: sstv=l-a=6,5-2,4=4,1 cm > 12·d=3,36 cm• uslov naspramnog zabijanja: as ≥ sstv+8·d → 14,0 ≥ 4,1+8·0,28=6,34 cm →

uslov ispunjen pa se ekseri mogu zabijati jedni naspram drugih na rastojanju od 10d


Potreban broj eksera sa jedne strane veze:

Na slici ispod su data minimalna rastojanja na kojima treba rasporediti eksere za slučaj kada štapovi koje spajamo nisu vezani pod pravim uglom. Slika se nalazi na 547. strani priloga. Za broj redova eksera po visini možemo izvesti sledeći izraz:

22

32 2

.

10,4 10 74,29 / 200 /10 14c c d

vert

V N cm N cmA

σ σ⊥ ⊥⋅= = = < =

⋅

32 210, 4 101,04 77,26 / 850 /

10 14cII cIIdV N cm N cmA

σ ω σ⋅= = ⋅ = < =⋅

3223, 2 10 34,12

0,8 0,8 850tIId

DpotrA cmσ

⋅= = =⋅

3

1

23, 2 10 38,7 komada2 2 300DnN

⋅= = =⋅

min 12 2,4 12 0, 28 5,76 6,5 ekseral a d cm l cm= + = + ⋅ = < =

11, 2 110 sinhSd α

= − +

Gornji izraz važi za eksere prečnika manjeg od 42 mm. U suprotnom treba umesto 10d treba koristiti 12d, što je naznačeno i na slici.

Moguć broj redova po visini iznosi:

Potreban broj redova po širini dijagonale iznosi:

Iz slike vidimo da za usvojeni broj redova po širini mora biti usvojen uslov za širinu daske:

Po širini dijagonale može da stane sledeći broj redova:

Konačno usvajamo:

Ukupan usvojen broj eksera je 40 komada, što je veće od potrebnih 38,7 komada.

23

18,0 11, 2 1 12,7 usvojeno 12 1010 0, 28 sin 26,56

S S = − + = → = > ⋅ o

38,7 3,212

nRS

= = =

( ) ( )5 1 5 0,28 4 1 7,0 usvojenih 10 b d R cm cm= + = ⋅ ⋅ + = <

10,01 1 6,15 5 0,28bRd

= − = − =⋅

38,75 7,7 85

R S S= → = = → =

Kontrola napona

Napon u preseku:


24

22 2,4 10,0 2 5 0,28 2,4 41,28 netoA cm= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

32 223, 2 10 562 / 850 /

41,28tII tIIdneto

D N cm N cmA

σ σ⋅= = = < =

5.2 Slučaj pritisnute i zategnute dijagonale – prost zasek

Za slučaj čvora rešetke prikazanog na slici ispod izvršiti dimenzionisanje štapova i oblikovanje čvora. Za spojna sredstva koristiti eksere, a za građu četinare II klase.

Iz tabele 2 sa 431. strane priloga čitamo vrednost osnovnih dopuštenih napona → σcIId=σtIId=850 N/cm² i σc┴d=200 N/cm².

(1) Dimenzionisanje dijagonale D2 (pritisnuta dijagonala, dužina štapa je 246 cm)

Pretpostavljamo presek dijagonale 15/15 cm.

Dužina izvijanja je jednaka dužini štapa, Li=246 cm.

Minimalni momenat inercije i odgovarajući poluprečnik inercije računamo kao:

Vitkost iznosi:

Koeficijent izvijanja računamo kao:

Napon pritiska paralelno vlaknima iznosi:

Pretpostavljamo da se veza između pritisnute dijagonale i donjeg pojasa ostvaruje preko zaseka u simetrali ugla (za detaljno objašnjenje pogledati PRILOG 2).

25

4415 4218,75 4,33

12II cm i cmA

= = → = =

246 56,81 754,33

λ = = <

2 21 1 1,35

56,811 0,8 1 0,8100 100

ωλ

= = = − −

32 22

2

43,2 101,35 259,2 / 850 /15cII cIId

D N cm N cmA

σ ω σ⋅= = ⋅ = < =

Dozvoljeni napon u čelu ravni zaseka:

Minimalna potrebna dubina zasecanja iznosi:

Maksimalne dubine zasecanja su zavisne od ugla između dva štapa, i to kao:

Međuvrednosti treba izračunati linearnom interpolacijom. Za naš slučaj maksimalna dubina zasecanja iznosi:

Usvojena dubina zasecanja je manja od maksimalne dozvoljene.

Kontrola napona na spoju dva štapa:

(2) Dimenzionisanje dijagonale D1 (zategnuta dijagonala)

Pretpostavljamo da se dijagonala sastoji iz dve daske.

→ usvajamo 2x2,4/20 ( A =96,0 cm ² )

Važeći propisi za drvene konstrukcije preporučuju da minimalna debljina drveta za zabijane eksere i četinarsku građu iznosi 2,4 cm, dok za daščane nosače minimalna širina iznosi 10 cm. Usvojeni presek dijagonale zadovoljava ove uslove.

Odgovaraju nam ekseri: E22, E25, E28, E31 i E38.

26

( ) ( ) ( )2

22/2

52,43sin 850 850 200 sin 563 /2 2cIId cIId c dc d N cmα

ασ σ σ σ ⊥= − − = − − =

( )2

2 3 222

/2

52,43cos 43,2 10 cos2 2 4,12 usvojeno 4,20

15,0 563v vc d

Dt cm t cm

b α

α

σ

⋅= = = → =

⋅ ⋅

max , ako je 504

max , ako je 606

v

v

ht

ht

α

α

≤ ≤

≤ >

o

o

2 50max 4,59 4 6 4 60 50vh h ht cmα − = + − = −

o

o o

( ) ( )2 2

2 3 222

2 2/2 /2

52,43cos 43,2 10 cos2 2 551,9 / 563 /

15,0 4,20c c dv

DN cm N cm

b tα α

α

σ σ⋅

= = = < =⋅ ⋅

321 43,0 10 63,24

0,8 0,8 850tIId

DpotrA cmσ

⋅= = =⋅

→ usvajamo E31/65, N 1=375 N

• potrebna dubina zabijanja za punu nosivost: s≥12·d=12·0,31=3,72 cm• stvarna dubina zabijanja: sstv=l-a=6,5-2,4=4,1 cm > 12·d=3,72 cm• uslov naspramnog zabijanja: as ≥ sstv+8·d → 15,0 ≥ 4,1+8·0,31=6,58 cm →

uslov ispunjen pa se ekseri mogu zabijati jedni naspram drugih na rastojanju od 10d


Potreban broj eksera sa jedne strane veze:

Za broj redova eksera po visini možemo izvesti sledeći izraz:

Razlika koja se javlja u odnosu na izraz iz primera 4.1 je u tome što moramo oduzeti dubinu zasecanja od ukupne visine donjeg pojasa.

Gornji izraz važi za eksere prečnika manjeg od 42 mm. U suprotnom treba umesto 10d treba koristiti 12d, što je naznačeno i na slici.

Moguć broj redova po visini iznosi:

Potreban broj redova po širini dijagonale iznosi:

Potrebna širina daske za R=12 redova iznosi:

Zadržavamo usvojeni presek dijagonale 2x2,4/20.

27

min 12 2, 4 12 0,31 6,12 6,5 ekseral a d cm l cm= + = + ⋅ = < =

31

1

43,0 10 57,3 komada2 2 375DnN

⋅= = =⋅

1

11,2 110 sin

vh tSd α

− = − +

20,0 4, 20 11, 2 1 5,79 usvojeno 510 0,31 sin 54, 46

S S− = − + = → = ⋅ o

57,3 11,46 usvojeno 125

nR RS

= = = → =

( ) ( )5 1 5 0,31 12 1 20,15 usvojenih 20 b d R cm cm= + = ⋅ ⋅ + = ≈

Kontrola napona

Napon u preseku:


28

( ) 22 2,4 20,0 12 0,31 78,14 netoA cm= ⋅ ⋅ − ⋅ =

32 21 43,0 10 550,29 / 850 /

78,14tII tIIdneto

D N cm N cmA

σ σ⋅= = = < =

6. DIMENZIONISANJE ROŽNJAČE

Dimenzionisati rožnjaču koja je deo krovne konstrukcije prikazane na slici ispod. Za građu koristiti četinare II klase. Maksimalno opterećenje koje se predviđa na krovnom pokrivaču iznosi 2,0 kN/m². Za opterećenje snegom usvojiti 1,0 kN/m². Površinsko opterećenje vetrom je sišuće i iznosi 1,65 kN/m².

U odnosu na nagib krovne ravni i maksimalno predviđeno opterećenje, kao krovni pokrivač biramo trapezasti lim LTP45 („Lindab Coverline“) koji ide preko dva polja dužine L=2,70 m → Usvojeno LTP 180/43/0,7, prolaznost 4,5 m. Sopstvena težina pokrivača sa preklopom (po osnovi krova) iznosi 0,07 kN/m².

Analiza opterećenja:

(1) stalno opterećenje

• krovni pokrivač.....................................2,27×0,07=0,1589 kN/m'=158,9 N/m'• sopstvena težina (pretp. 14/18 cm).b×h×γdrv.=14×18×5000×10-4=126,0 N/m'(zapreminska težina drveta se može očitati u tabeli 1.5 priloga na strani 410)

------------------------------------------ g=284,9 N/m'

(2) sneg..............................................................s=2,27×1,0=2,27 kN/m'=2270 N/m'

(3) vetar.......................................w=-1,65×2,27/cosα=-3,8776 kN/m'=-3877,6 N/m'

Imajući u vidu da je rožnjača opterećenja kosim savijanjem, komponente opterećenja moramo razložiti na dva ortogonalna pravca, što je prikazano na slici ispod.

29

cos 284,9 cos15 275,2 / '

sin 284,9 sin15 73,7 / '

cos 2270 cos15 2192,7 / '

x

y

x

g g N mg g N m

s s N m

α

α

α

= = ⋅ =

= = ⋅ =

= = ⋅ =

o

o

o

sin 2270 sin15 587,5 / '

3877,6 / 'y

x

s s N mw w N m

α= = ⋅ =

= = −

o

1. kombinacija opterećenja: SOPSTVENA TEŽINA KONSTRUKCIJE + SNEG

Maksimalni momenti savijanja oko obe ose:

2. kombinacija opterećenja: SOPSTVENA TEŽINA KONSTRUKCIJE + VETAR

Maksimalni momenti savijanja oko obe ose:

Odnos otpornih momenata oko obe ose možemo izraziti kao:

30

275,2 2192,7 2467,9 / '73,7 587,5 661,2 / '

x x x

y y y

q g s N mq g s N m

= + = + == + = + =

2 2

2 2

2467,9 4,0max 4935,8 8 8

661,2 4,0max 1322, 4 8 8

xx

yy

q lM Nm

q lM Nm

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅= = =

275,2 3877,6 3602,4 / '73,7 / '

x x x

y y

q g w N mq g N m

= + = − = −= =

2 2

2 2

3602,4 4,0max 7204,8 8 8

73,7 4,0max 147,4 8 8

xx

yy

q lM Nm

q lM Nm

⋅ − ⋅= = = −

⋅ ⋅= = =

2 2 2

2, 6 6

x xx y y

y

W Wbh hb bh hW W c WW hb b c

= = → = = = → =

Ivični napon pri savijanju kontrolišemo kao:

Koristeći vezu između otpornih momenata dobijamo sledeći izraz:

Za pretpostavljeni presek 14/18 cm odnos visine i širine iznosi c=18/14=1,29.

Merodavna je 2. kombinacija opterećenja i s obzirom na činjenicu da vetar deluje kao samostalno opterećenje, nema redukcije osnovnog dopuštenog napona. Za četinare II klase važi da je σmd=1000 N/cm².

Potrebna vrednost otpornog momenta za x osu iznosi:

Stvarni otporni momenat za x osu iznosi:

Uslov da je stvarni otporni momenat veći od potrebnog je ispunjen.

Kontrola napona

Kontrola ugiba

Dopušteni računski ugibi se nalaze u tabeli 18 na 455. strani priloga. Za naš slučaj važi:

Momenti inercije preseka oko obe ose iznose:

31

yxm md

x y

MMW W

σ σ= + ≤

x ym md

x

M c MW

σ σ+ ⋅

= ≤

2 37204,8 1,29 147,4 10 739,5 1000

x yx

md

M c MpotrW cm

σ+ ⋅ + ⋅≥ = ⋅ =

2314 18 756

6xstvW cm⋅= =

2 2 27204,8 1,29 147,4 10 978,2 / 1000 /756m mdN cm N cmσ σ+ ⋅= ⋅ = ≤ =

200lδ ≤

3 34 5 4

3 34 5 4

14 18 6804 6,804 1012 12

18 14 4116 4,116 1012 12

x

y

bhI cm m

hbI cm m

−

−

⋅= = = = ⋅

⋅= = = = ⋅

Vrednost modula elastičnosti za četinare II klase čitamo iz tabele 19 sa 459. strane priloga: EII=1000 kN/cm²=106 N/cm²=1010 N/m², za vlažnost drveta od 18%.

• Računski ugib za 1. kombinaciju opterećenja

Ukupan ugib iznosi:

• Računski ugib za 2. kombinaciju opterećenja

Ukupan ugib iznosi:

7. POSTUPAK DIREKTNOG DIMENZIONISANJA AKSIJALNO PRITISNUTIH ŠTAPOVA

Postupak je pogodan za određivanje preliminarnih dimenzija elemenata. U tabeli 75 na 642. strani priloga su date skice i izrazi neophodni za primenu. U nastavku ćemo kao primere iskoristiti već dimenzionisane elemente.

(a) Pritisnuta vertikala iz primera 5.1

Dužina izvijanja iznosi Li=62,5 cm.

Za odnos visine i širine poprečnog preseka vertikale pretpostavljamo:

32

4 4

10 5

4 4

10 5

5 5 2467,9 4,0 0,0121 1,21 384 384 10 6,804 10

5 5 661,2 4,0 0,0054 0,54 384 384 10 4,116 10

xx

II x

yy

II y

q l m cmE Iq l

m cmE I

δ

δ

−

−

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = =⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = =⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 4001,21 0,54 1,33 2,0 200x y dopcm cmδ δ δ δ= + = + = < = =

4 4

10 5

4 4

10 5

5 5 3602,4 4,0 0,0176 1,76 384 384 10 6,804 10

5 5 73,7 4,0 0,0006 0,06 384 384 10 4,116 10

xx

II x

yy

II y

q l m cmE Iq l

m cmE I

δ

δ

−

−

⋅ − ⋅= ⋅ = ⋅ = − = −⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = =⋅ ⋅ ⋅

( ) 22 2 2 4001,76 0,06 1,76 2,0 200x y dopcm cmδ δ δ δ= + = − + = < = =

1,4hcb

= =

Pretpostavljamo da je vitkost štapa ≤75.

Potrebnu površinu poprečnog preseka računamo iz izraza datog u gore pomenutoj tabeli, i to kao:

Širinu poprečnog preseka dobijamo kao:

Takođe mora biti ispunjen uslov koji dokazuje da je pretpostavljena vrednost vitkosti prava:

Bez obzira na izračunate vrednosti, u svakom trenutku moramo poštovati sledeće odredbe propisa koje se tiču minimalnih dimenzija elemenata (strana 457 priloga):

• minimalna površina poprečnog preseka dasaka, složenih preseka i konstrukcija spojenih ekserima i zavrtnjima iznosi 14 cm², a minimalna dimenzija poprečnog preseka iznosi 2,4 cm

• minimalna površina poprečnog preseka jednodelnih štapova iznosi 40 cm², a minimalna dimenzija poprečnog preseka iznosi 4,0 cm

(b) Pritisnuta dijagonala iz primera 5.2

Dužina izvijanja iznosi Li=246 cm.

Za odnos visine i širine poprečnog preseka vertikale pretpostavljamo:

Pretpostavljamo da je vitkost štapa ≤75.

Potrebnu površinu poprečnog preseka računamo iz izraza datog u gore pomenutoj tabeli, i to kao:


33

32 2 210, 4 100,001 0,001 62,5 1, 4 17,70

850icIId

NpotrA L c cmσ

⋅= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ =

17,70 3,56 1,4

Ab cmc

= = =

62,5 2,88 uslov ispunjen21,7 21,7

iLb cm≥ = = →

1,4hcb

= =

32 2 243, 2 100,001 0,001 246 1, 4 135,6

850icIId

NpotrA L c cmσ

⋅= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ =

135,6 9,84 1,4

Ab cmc

= = =


S obzirom da uslov nije ispunjen moramo pretpostaviti da je vitkost štapa >75.

Potreban momenat inercije poprečnog preseka računamo iz izraza datog u gore pomenutoj tabeli, i to kao:



8. ANALIZA OPTEREĆENJA VETROM NA OBJEKTE MALIH KRUTIH ZGRADA

- osnovna brzina vetra za Novi Sad (na terenu hrapavosti B, osrednjena, povratnog perioda T=50 god i na visini z=10 m):

- faktor vremenskog osrednjavanja (t=3600s): kt=1,0 (JUS U.C7.110, str. 385)

- faktor povratnog perioda: kT=1,0 za T=50 god (JUS U.C7.110, str. 386)

- projektna osnovna brzina vetra (JUS U.C7.110, str. 392):

- osnovni pritisak vetra (JUS U.C7.110, str. 381):

ρ=1,2250 kg/m³ (gustina vazduha)

34

246 11,34 uslov nije ispunjen21,7 21,7

iLb cm≥ = = →

2 3 2443,2 10 246 992,14

3100 850 3100i

cIId

LNpotrI cmσ

⋅= ⋅ = ⋅ =

4 4992,141,86 1,86 9,60

1,4Ib cmc

= ⋅ = ⋅ =

246 11,34 uslov ispunjen21,7 21,7

iLb cm< = = →

,50,10 35,0 / (JUS U.C7.110, tabela 8, str. 394)BmV m s=

,50,10 ,50,10 1,0 1,0 35,0 35,0 /Bm t T mV k k V m s= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

- osrednjeni aerodinamički pritisak vetra (JUS U.C7.110, str. 380):

Sz=1,0 (faktor topografije terena za ravan teren)

- faktor ekspozicije terena:

za klasu hrapavosti terena B → b=1,0, α=0,14 (JUS U.C7.110, str. 384 tab. 5)

z=10 m (visina posmatrane tačke iznad terena)

→ pri proračunu se smatra da je zgrada mala i kruta (važi za zgrade visine manje od 15,0 m)

Slika 1 – Oznake izloženih zona spoljašnjeg pritiska vetra za proračun glavnog nosećeg sistema male krute zgrade

35

( ) 2 3 2 3 2, ,10 ,50,10

1 110 1,2250 35,0 10 0,75 /2 2m T m t Tq V k k kN mρ − −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

10zzK b

α = ⋅

0,1410,01,0 1,010zK

= ⋅ =

2 2 2, , , ,10 0,75 1,0 1,0 0,75 /m T z m T z zq q S K kN m= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Slika 2 – Oznake izloženih zona spoljašnjeg pritiska vetra za proračun obloga i odgovarajuće sekundarne noseće konstrukcije male krute zgrade

Slika 3 – Kombinovani koeficijenti GCpe spoljašnjeg pritiska vetra na obloge i odgovarajuće noseće sekundarne konstrukcije male krute zgrade

36

0,10 (minimalna horiznotalna dimenzija zgrade)min

0,40 (visina na kojoj počinje krovna konstrukcija)

0,04 minimalna horizontalna dimenzija zgrade1

6 max

Bz

H

zm

my

z

⋅ = ⋅ ⋅ ≥

=

Pritisak vetra na male krute zgrade izračunava se kao:

• pritisak za proračun glavnih nosećih konstrukcionih delova: krovnih vezača, stubova, ramova, spregova:

• pritisak vetra za proračun delova obloge: zidova, sendvič panela, prozora i vrata, odnosno proračun konstrukcionih delova koji ih nose (rožnjača, fasadnih greda i stubova):

Dinamički koeficijent se u slučaju male krute zgrade izražava kao kombinovani koeficijent, u proizvodu sa odgovarajućim koeficijentom pritiska:

Pretpostavljamo da je zgrada sa manje od 1% površine svih zidova u otvorima; otvori neravnomerno raspoređeni (JUS U.C7.112, tabela 1, str. 421).

pravac vetra deo konstrukcije izložena

zona kombinovani dinamički

koeficijent GCp=GCpe- GCpiqw [kN/m²]

paralelno ili

upravno na sleme

krovna obloga i rožnjače na preovlađujućem delu krova

A=(0,5B-2z)·(L-2z)/cosα

r

GCpi= ±0,7GCpe= zavisi od α i površine A-------------------------------------------GCp= prva vrednostGCp= druga vrednost

izračunati za obe

vrednosti GCp

upravno na sleme

glavni nosač 2 GCpe= -1,3 (za ugao α=0º-5º)GCpe= -1,3 (za ugao α=20º)

naći vrednost za

GCpe

glavni nosač 3 GCpe= -0,7 (za ugao α=0º-5º)GCpe= -0,9 (za ugao α=20º)

naći vrednost za

GCpe

Površina A je ona koja odgovara izloženoj zoni r sa slike 2.

37

2, , , [ / ]w pe m T z z peq q G C kN m= ⋅ ⋅

2, , , [ / ]w p m T z z p

p pe pi

q q G C kN mC C C

= ⋅ ⋅

= −

dinamički koeficijent, koeficijenti spoljašnjeg i unutrašnjeg pritiska

z

pe pi

GC C

−−

, pe piG C G C⋅ ⋅

9. UVOD – LAMELIRANO LEPLJENO DRVO (LLD)

9.1 Dopušteni naponi u LLD

Razlikuju se prema:

(1) botaničkoj vrsti drveta• četinari (bor, jela, smrča)• lišćari (hrast, bukva)

(2) klasi kvaliteta – I i II klasa

(3) vrsti naprezanja – pregled dat u tabeli ispod

(4) procentu vlažnosti: >15% ili ≤15% u odnosu na suvu masu

savijanje σm

zatezanje σtII

pritisak σcII

pritisak upravno na vlakna σc┴

smicanje τII

smicanje od poprečne sile τmII

Na strani 437 priloga se nalazi tabela osnovnih dopuštenih napona za opterećenja iz 1. grupe i za vlažnost drveta od 15%. Vrednosti su date u N/cm².

U nastavku su data pravila za redukciju osnovnih dopuštenih napona.

(a) u slučaju kombinacije opterećenja GRUPA 1+GRUPA 2 treba izvršiti povećanje osnovnih dopuštenih napona za 15%

(b) u slučaju kombinacije opterećenja GRUPA 1+GRUPA 2+GRUPA 3 treba izvršiti povećanje osnovnih dopuštenih napona za 50%

(c) u zavisnosti od dužine trajanja opterećenja merodavne dopuštene napone treba redukovati koeficijentom kd=0,9 ako su ispunjeni sledeći uslovi:

• puno računsko opterećenje deluje bez prestanka• korisna opterećenja ili sneg deluju duže od 3 meseca

(d) ako je vlažnost drveta ≠15% osnovni dopušteni napon redukujemo koeficijentima iz tabele 6 sa 438. strane priloga.

Pod vlažnošću u odnosu na ambijent se smatra onaj procenat vlažnosti drveta koji je zavisan od relativne vlažnosti i temperature prostora u kojem se konstrukcija nalazi (slika 2, strana 433 priloga).

38

Primer: vlažnosti drveta od 12% odgovara temperatura vazduha od 20º i relativna vlažnost vazduha od 65%.

(e) za nosače složenog poprečnog preseka (slika 6, strana 439 priloga) osnovne vrednosti dopuštenih napona redukujemo koeficijentom ks, opisanim na pomenutoj strani priloga.

(f) za slobodno položene nosače na dva kraja raspona l, koji imaju pravougaoni poprečni presek i visinu veću od 30,0 cm, osnovni dopušteni napon se redukuje uz pomoć koeficijenta kh čije su vrednosti date u tabelama 7, 8, i 9 na stranama 440 – 445 priloga.

(g) uticaj položaja površine lepljenja u odnosu na silu u nosaču i smer vlakana treba uzeti u obzir u skladu sa članovima 3.2.10 (439. strana priloga) i 3.2.11 (446. strana priloga).

(h) kod zakrivljenih nosača sa radijusima zakrivljenosti dopuštene napone moramo redukovati na sledeći način:

• ako je radijus zakrivljenosti manji od 150×debljina lamele, a veći od 130× debljina lamele, osnovne dopuštene napone redukujemo prema tabeli 11 (446. strana priloga)

• radijusi manji od 130×debljina lamele nisu dopušteni

(i) koeficijenti redukcije usled stepena održavanja kat su dati na stranama 433 i 434 priloga.

Ukupni korekcioni koeficijent dobijamo množenjem svih koeficijenata.

Efikasnost poprečnog preseka je onaj deo preseka koji se može uvesti u proračun, tj. onaj koji je sposoban da primi određena naprezanja.

U slučaju nosača konstantne visine računski presek je jednak punom poprečnom preseku ako je nosač izveden u svemu prema važećim propisima (opširnije na 494. strani priloga).

39

10. PRAVILA ZA DIMENZIONISANJE NOSAČA OD LAMELIRANOG LEPLJENOG DRVETA (LLD)

10.1 Pravi gredni nosači sa I=const.

Izrazi koje koristimo pri kontroli napona:

Maksimalan ugib nosača statičkog sistema proste grede opterećenog kontinualnim jednakopodeljenim opterećenjem računamo kao:

i njegova vrednost mora biti manja od dopuštene vrednosti ugiba.

40

max

1,5

yxm md

x y

t dt t d

neto md neto

c dc c d

md

m m d

MM složeno savijanjeW W

N M momenat i zatežuća silaA W

N M momenat i sila pritiskaA WTb h

σ σ

σσ σ

σσ

σ ω σσ

τ τ

= + ≤ −

= + ⋅ ≤ −

= ⋅ + ⋅ ≤ −

= ⋅ ≤⋅

PP P

PP P

P P

( ) ( )4

maxmax

5 1,20384

Mq lf f fEI G b h

σ τ ⋅= + = ⋅ +⋅ ⋅

10.2 Nosači sa nagnutim ivicama (sa promenljivom visinom H)

NOSAČ SA DVOSTRANIM NAGIBOM

Mesto pojave najvećeg normalnog napona usled savijanja se ne poklapa sa mestom pojave maksimalnog momenta savijanja. Mesto i visinu poprečnog preseka na kome dolazi do pojave maksimalne vrednosti napona računamo kao:

41

1, 2

2 1 1 2

m m

m Ax A

m m m m

A A

H ll H lx H HH l H l

H l H l

− += =

+ − − +

U preseku sa maksimalnom visinom (Hm) – slemeni presek, normalne napone usled savijanja nalazimo iz sledećih izraza:

,

,

M mm md

m neto

Mt t d

m neto

MKWMK

W

σ σ

σ σ⊥ ⊥ ⊥

= ⋅ ≤

= ⋅ ≤

P

Koeficijente KIIM i K┴

M nalazimo u tabelama 31 i 32 na stranama 496 – 499 priloga.

U svim ostalim presecima za kontrolu normalnog napona usled savijanja koristimo sledeći izraz:

gde je k koeficijent umanjenja kojim dodatno redukujemo dozvoljeni napon zbog zakošenosti ivica. Koeficijent k se računa iz sledećih izraza, u zavisnosti od toga koja je ivica u nagibu:

• pritisnuta ivica

• zategnuta ivica

Veličinu ugiba dobijamo iz sledećeg opšteg izraza:

U slučaju proste grede pravougaonog poprečnog preseka, linearne promene visine i jednakopodeljenog opterećenja maksimalan ugib dobijamo iz sledećih izraza:

42

md t di redukovani korektivnim faktorima prema zahtevima propisaσ σ ⊥ −

m mdM kW

σ σ= ≤ ⋅

22 22

1

1 tan tan2

c

omd o o o

md c d m d

kγ γσ

σ σ τ⊥

=

+ + P

22 22

1

1 tan tant

omd o o o

md t d m d

kγ γσ

σ σ τ⊥

=

+ + P

( ) ( )maxf f fσ τ= +

K i K korekcioni faktori koji obuhvataju promenljivost preseka duž rasponaσ τ −

( )

3

2 3max , ,

9,6 120,15 0,85

A

m AA

AA

m

HHM l b Hf K K IHE I

H

σ σσ

⋅ ⋅ = ⋅ = =

⋅ ⋅ +P

( ) max2/3

21,20 ,

1A m

A

Mf K KG H b H

H

τ ττ = ⋅ =⋅ ⋅

+

gde je HA visina nosača iznad oslonca od kojeg merimo rastojanje x.

Specijalni slučajevi nosača sa nagnutim ivicama su:

• SIMTRIČAN TRAPEZASTI NOSAČ

Mesto i visinu poprečnog preseka na kome dolazi do pojave maksimalne vrednosti napona računamo kao:

• NESIMETRIČAN TRAPEZASTI NOSAČ

2, 1 1

mx

m m

A A

Hlx HH HH H

= =+ +

Mesto i visinu poprečnog preseka na kome dolazi do pojave maksimalne vrednosti napona računamo iz izraza koji se nalazi pored slike iznad.

43

, 22

A Ax A

m m

H Hlx H HH H

= ⋅ = ⋅ −

11. DIMENZIONISANJE ROŽNJAČE

Dimenzionisati rožnjaču od LLD koja je deo krovne konstrukcije hale čiji se glavni nosači nalaze na međusobnom rastojanju od 6,0 m. Nagib krovne ravni iznos 4º. Rožnjače su statičkog sistema proste grede i nalaze se na međusobnom rastojanju (horizonatlnom) od 2,50 m. Čeličnom zategom koja se nalazi u sredini polja između dva glavna nosača i koja im je paralelna je smanjen raspon rožnjače za rad u krovnoj ravni (rade kao kontinualni nosači). Za građu koristiti četinare I klase vlažnosti 12%.

Od opterećenja razmatrati (data po osnovi krova):

• sopstvenu težinu krovne konstrukcije 0,45 kN/m²• opterećenje snegom 0,75 kN/m²

Linijska opterećenja koja deluju na rožnjači:

• sopstvena težina krovne konstrukcije g'=0,45×2,50=1,125 kN/m'• opterećenje snegom s'=0,75×2,50=1,875 kN/m'

---------------------------------------------------------------ukupno linijsko opterećenje q =3,0 kN/m '

Ukupno linijsko opterećenje predstavljamo preko dve komponente:

– qx=q×cosα=3,0×cos 4º=2,99 kN/m'– qy=q×sinα=3,0×sin 4º=0,21 kN/m'

44

Reakcije oslonaca i momenat savijanja u polju za slučaj opterećenja qx iznose:

Reakcije oslonaca i momenat savijanja nad osloncem B za slučaj opterećenja qy

iznose:

Osnovne dopuštene napone za slučaj četinara I klase čitamo iz tabele 5, sa strane 437 priloga.

Modul elastičnosti paralelno vlaknima i modul smicanja čitamo iz tabele 23, sa strane 461 priloga i oni za slučaj četinara iznose EII=1100 kN/cm² i G=50 kN/cm².

Dopušteni napon smicanja po površini lepka je za rezorcinski lepak ograničen na τIId=120 N/cm²=0,12 kN/cm².

U nastavku vršimo redukciju osnovnih dopuštenih napona prema svim odredbama datim na početku ovog materijala:

• za vlažnost drveta od 12% iz tabele 6 na strani 438 priloga interpolacijom dobijamo sledeće koeficijenta redukcije osnovnih dopuštenih napona:

◦ za normalne napone kφσ=1,06

◦ za smičuće napone kφτ=1,12

• pretpostavlja se trajanje snega duže od 3 meseca → kd=0,9• pretpostavlja se normalna zaštita i održavanje → kat=1,0• pretpostavlja se presek visine manje od 30,0 cm → kh=1,0 (strana 438 priloga)

Ukupna redukcija osnovnih dopuštenih napona iznosi:

Pretpostavićemo presek čiji odnos visine i širine iznosi c=h/b=2,0, a širina jedne

45

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1400 / 1,40 /

1050 / 1,05 /

1100 / 1,10 /

200 / 0,20 /

120 / 0,12 /

omdot d

oc d

oc dom d

N cm kN cmN cm kN cm

N cm kN cm


σ

σ

σ

σ

τ⊥

= =

= =

= =

= =

= =

P

P

P

2

2

1,06 0,9 1,0 1,0 1,40 1,34 /

1,12 0,9 1,0 0,12 0,12 /

omd d at h md

om d d at m d

k k k k kN cm

k k k kN cm

σϕ

τϕ

σ σ

τ τ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =P P

2 2

2,99 6,0 8,97 2 22,99 6,0 13,46

8 8

xAx Bx

xx

q lR R kN

q lM kNm

⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅= = =

2 2

0,375 0,375 0,21 3,0 0,24

1,25 1,25 0,21 3,0 0,79

0,125 0,125 0,21 3,0 0, 24

Ay Cy y

By y

By y

R R q l kNR q l kN

M q l kNm

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −

lamele 3,0 cm.

Za koso savijanje iz uslova dopuštenog napona važi:

Pretpostavimo širinu preseka b =12,0 cm . Iz izraza za otporni moment dobijamo potrebnu visinu poprečnog preseka:

Treba proveriti kolika je visina poprečnog preseka potrebna iz uslova dopuštenog ugiba (fdop=L/200=3,0 cm). Pri ovome zanemarujemo ugib usled qy.

usvajamo presek b / h =12/27 (debljina lamele 3,0 cm)


4 3 319683,0 , 1458,0 , 648,0 x x yI cm W cm W cm= = =

Kontrola napona:

Kontrola ugiba:

46

2 313,46 2,0 0,24 10 1040,30 1,34

x yx

md

M c MpotrW cm

σ+ ⋅ + ⋅= = ⋅ =

2 6 6 1040,30 22,8 6 12,0

xx

Wb hW h cmb

⋅⋅ ⋅= → = = =

4 2 445 5 2,99 10 600 15290

384 384 3,0 1100x

xdop

q lpotrI cmf E

−⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅P

33 3

12 12 15290 24,8 12 12,0

xx

Ib hI h cmb⋅⋅ ⋅= → = = =

2 22 213,46 10 0,24 10 0,96 / 1,34 /

1458,0 648,0yx

m mdx y

MM kN cm kN cmW W

σ σ⋅ ⋅= + = + = < =

( ) ( )4

maxmax

5 1,20384

x

x

q l Mf f fE I G b h

σ τ ⋅= + = ⋅ + ⋅⋅ ⋅P

2 4 2

max5 2,99 10 600 13,46 101,20 2,33 0,10 2,43 3,0

384 1100 19683,0 50 12,0 27,0 dopf cm f cm−⋅ ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ = + = < =

⋅ ⋅ ⋅

12. DIMENZIONISANJE SIMETRIČNOG TRAPEZASTOG NOSAČA

Izvršiti dimenzionisanje simetričnog trapezastog nosača od LLD statičkog sistema proste grede raspona 20,0 m. Nagib krovne ravni iznosi 4º. Linijsko opterećenje usled sopstvene težine i snega koje deluje na nosač iznosi q=8,40 kN/m'. Za građu koristiti četinare I klase vlažnosti 12%.

Reakcije oslonaca i maksimalni moment savijanja u sredini raspona iznose:


Dodatno, pored ovih napona trebaće nam i osnovna vrednost dopuštenog napona na poprečno zatezanje (član 3.2.5, strana 438 priloga):



47

2 2

8,40 20,0 84,0 2 2

8,40 20,0max 420,0 8 8

q lQ kN

q lM kNm

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅= = =

225 /ot d N cmσ ⊥ =

2 2

2 2

2 2

1400 / 1,40 /

120 / 0,12 /

200 / 0,20 /

omdom d

oc d


N cm kN cm

σ

τ

σ ⊥

= =

= =

= =P



• pretpostavlja se trajanje snega duže od 3 meseca → kd=0,9• pretpostavlja se normalna zaštita i održavanje → kat=1,0• koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog

preseka će biti računat za svaki razmatrani presek posebno, jer nosač ima pad od 4º → kh=?

Za redukciju normalnih napona koristimo sledeće izraze:

• u slemenom preseku :

• u svim ostalim presecima :

Koeficijent umanjenja kojim dodatno redukujemo dozvoljeni napon zbog zakošenosti ivica u svim presecima osim u slemenom u ovom slučaju odgovara koeficijentu kc – pritisnuta ivica u nagibu:

Za redukciju smičućih napona koristimo sledeći izraz:

S obzirom da redukcija smičućeg napona ne zavisi od visine poprečnog preseka odmah računamo vrednost redukovanog smičućeg napona sa kojom nastavljamo proračun:

Prilikom proračuna grednih nosača od LLD se na početku uvek pretpostavi širina poprečnog preseka. Treba imati u vidu da maksimalna širina na koju se moramo ograničiti ako nećemo da vršimo bočno lepljenje lamela iznosi 20,0 cm.

48

omd d at h c mdk k k k kσ

ϕσ σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

om d d at m dk k kτ

ϕτ τ= ⋅ ⋅ ⋅P P

2 2 222 2 22

1 1 0,9251 tan 4 tan 41 tan tan 1,40

1,40 0,20 2 0,122

c

omd o o o

md c d m d

kγ γσ

σ σ τ⊥

= = = ⋅ + ++ + ⋅

o o

P

21,12 0,9 1,0 0,12 0,12 /m d kN cmτ = ⋅ ⋅ ⋅ =P

omd d at h md

ot d d at t d

k k k k

k k k

σϕ

σϕ

σ σ

σ σ⊥ ⊥

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

Širina nosača zavisi pre svega od njegovog raspona. Ako bismo usvojili malu širinu nosača u slučaju velikog raspona to može da rezultira njegovom velikom visinom (pogotovo u slemenu), i obrnuto. Preporuka je da širina poprečnog preseka iznosi b≈L/100.

usvajamo pravougaoni presek širine b =20,0 cm

U nastavku određujemo potrebnu visinu poprečnog preseka nosača iz merodavnih naponskih uslova uz pretpostavku da je debljina lamele jednaka 3,0 cm.

(1) Određivanje potrebne visine nosača u oslonačkom preseku

Iz usvojene visine nosača u oslonačkom preseku i uslova nagiba gornje ivice nosača (geometrijski uslov) možemo izračunati visinu nosača u slemenu kao:

(2) Određivanje potrebne visine nosača u slemenu

Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hm=124,0 cm i odnos L/hm≈16 čitamo iz tabele 7 na strani 441 (linearna interpolacija).

Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona iznosi (ne koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc):

S obzirom da se radi o slemenom preseku, ne koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc, ali koristimo koeficijent definisan od strane Mohlera i Blumera KII

M, koji čitamo iz tabele 31 sa strane 496 priloga (za slučaj kada je hm/Rm=0 i α=4º).

Sada možemo odrediti potreban otporni moment iz izraza datog u teorijskom delu ovog materijala, a iz njega potrebnu visinu poprečnog preseka u sredini raspona:

49

0,868hk =

21,06 0,9 1,0 0,868 1,40 1,16 /md kN cmσ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1,124MK =P

23

,

,

max 420,0 101,124 40696,6 1,16

6 40696,6 110,5 . 124,0 20,0

Mm potr

md

m potr m

MW K cm

h cm pretp h cm

σ⋅= ⋅ = ⋅ =

⋅→ = = < =

P

,84,01,5 1,5 52,5 54,0

20 0,12A potr Am d

Qh cm usvaja se h cmb τ

= ⋅ = ⋅ = → =⋅ ⋅P

tan 4 124,0 / 2

m Am

h h usvaja se h cml

− = → =o

(3) Određivanje potrebne visine nosača na mestu pojave maksimalnog normalnog napona (presek x )

Položaj preseka x u kome dolazi do pojave maksimalne vrednosti normalnog napona računamo kao (izraz dat u teorijskom delu):

Moment savijanja u preseku x računamo kao:

Visinu u preseku x računamo iz geometrije kao (izraz dat u teorijskom delu):

Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hx=84,5 cm i odnos L/hx≈24,0 čitamo iz tabele 7 na strani 440 (linearna interpolacija):

Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona iznosi (koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc):

Sada možemo odrediti potreban otporni moment iz izraza datog u teorijskom delu ovog materijala, a iz njega potrebnu visinu poprečnog preseka u preseku x:

Iz uslova potrebne visine poprečnog u preseku x iz geometrije određujemo potrebnu visinu nosača u sredini raspona kao:

Zaključujemo da se visina nosača mora povećati kako u oslonačkom preseku, tako i u slemenu.

50

2 28,40 4,3584,0 4,35 285,93 2 2x

q xM Q x kNm⋅ ⋅= ⋅ − = ⋅ − =

0,886hk =

{21,06 0,9 1,0 0,886 0,925 1,40 1,09 /

c

mdk

kN cmσ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

54,02 54,0 2 84,5 124,0

Ax A

m

hh h cmh

= ⋅ − = ⋅ − =

23

,

,

285,93 10 26232,1 1,09

6 26232,1 88,7 . 84,5 20,0

xx potr

md

x potr x

MW cm

h cm pretp h cm

σ⋅= = =

⋅→ = = > =

20,0 54,0 4,35 2 2 124,0

A

m

hlx mh

= ⋅ = ⋅ =

,2000tan 88,7 435 tan 4 128,2 . 124,0

2 2m x potr mlh h x cm pretp h cmγ = + − ⋅ = + − ⋅ = > =

o

SAVET: Veoma često se u slučajevima ovakvih nosača na kraju proračuna pokaže da je za određivanje visine preseka merodavan uslov dopuštenog ugiba. Iz tog razloga, iako do sada izračunate visine zadovoljavaju uslove dopuštenih napona može da se desi da iste ne zadovolje uslov dopuštenog ugiba. Zbog toga konačne visine poprečnih preseka nosača treba usvojiti nešto veće od do sada dobijenih proračunom. Konačno usvajamo:

• debljina lamele 3,0 cm• visina nosača u slemenu 44×3,0=132,0 cm• visina nosača nad osloncem

Kontrola napona

(1) smičući napon u oslonačkom preseku

(2) normalni naponi u slemenu

Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hm=132,0 cm i odnos L/hm≈15 čitamo iz tabele 7 na strani 441 (linearna interpolacija).

Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona usled savijanja iznosi (ne koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc):

Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona zatezanja upravno na vlakna iznosi:

S obzirom da se radi o slemenom preseku, ne koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc, ali koristimo koeficijente definisane od strane Mohlera i Blumera KII

M i K┴M), koje čitamo iz tabela 31 i 32 sa strane 496 i 498 priloga (za slučaj kada je

hm/Rm=0 i α=4º).

Normalni napon usled savijanja računamo kao:

51

2000tan 132,0 tan 4 62,0 2 2A mlh h cmγ= − ⋅ = − ⋅ ≅o

0,865hk =

21,06 0,9 1,0 0,865 1,40 1,16 /md kN cmσ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1,124, 0,014M MK K⊥= =P

21,06 0,9 1,0 25,0 23,9 /t d N cmσ ⊥ = ⋅ ⋅ ⋅ =

2 284,01,5 1,5 0,10 / 0,12 /20,0 62,0m m d

A

Q kN cm kN cmb h

τ τ= ⋅ = ⋅ = < =⋅ ⋅P P

Normalni napon zatezanja upravno na vlakna računamo kao:

(3) normalni napon u preseku x (mesto maksimalnog normalnog napona)




Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hx=94,9 cm i odnos L/hx≈21,0 čitamo iz tabele 7 na strani 440 (linearna interpolacija):

Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona iznosi (koristimo koeficijent umanjenja usled zakošenosti ivice kc):

Normalni napon računamo kao:

52

2

22 2

2

max 6 max1,124

6 420,0 101,124 0,81 / 1,16 /20,0 132,0

Mm

m m

md

M MKW b h

kN cm kN cm

σ

σ

⋅= ⋅ = ⋅ =⋅

⋅ ⋅= ⋅ = < =⋅

P

2

52 2

2

max 6 max0,014

6 420,0 100,014 10,1 / 23,9 /20,0 132,0

Mt

m m

t d

M MKW b h

N cm N cm

σ

σ

⊥ ⊥

⊥

⋅= ⋅ = ⋅ =⋅

⋅ ⋅= ⋅ = < =⋅

20,0 62,0 4,70 2 2 132,0

A

m

hlx mh

= ⋅ = ⋅ =

2 28,40 4,7084,0 4,70 302,02 2 2x

q xM Q x kNm⋅ ⋅= ⋅ − = ⋅ − =

62,02 62,0 2 94,9 132,0

Ax A

m

hh h cmh

= ⋅ − = ⋅ − =

0,881hk =

{21,06 0,9 1,0 0,881 0,925 1, 40 1,09 /

c

mdk

kN cmσ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

22 2

2 2

6 6 302,02 10 1,01 / 1,09 /20,0 94,9

x xm md

x x

M M kN cm kN cmW b h

σ σ⋅ ⋅ ⋅= = = = < =⋅ ⋅

Kontrola ugiba

Predviđa se nadvišenje nosača → dopušteni ugib L/250=8,0 cm.

• ugib usled normalnih napona

Moduli elastičnosti i klizanja iznose EII=1100 kN/cm² i G=50 kN/cm².

Ugib usled normalnih napona iznosi:

• ugib usled smičućih napona

• ukupan ugib

Greška je manja od 3% pa se ne sprovodi korekcija usvojenih dimenzija.

53

( )2

max

9,6 A

M lf KE I σσ ⋅= ⋅

⋅ ⋅P

3

3 3420,0 62,0 397213,3 , 0,189

12 12 0,15 0,85

A

mAA

A

m

hhb hI cm K h

h

σ

⋅ ⋅ = = = = =

+

( )2 2420,0 10 2000 0,189 7,57

9,6 1100 397213,3f cmσ ⋅ ⋅= ⋅ =

⋅ ⋅

( ) max2/3

21,20 , 0,753

1A m

A

Mf K KG h b h

h

τ ττ = ⋅ = =⋅ ⋅

+

( )2420,0 101,20 0,753 0,61

50 62,0 20,0f cmτ ⋅= ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅

( ) ( )max 7,57 0,61 8,18 8,0 dopf f f cm f cmσ τ= + = + = ≈ =

13. DIMENZIONISANJE NESIMETRIČNOG TRAPEZASTOG NOSAČA

Izvršiti dimenzionisanje nesimetričnog trapezastog nosača od LLD statičkog sistema proste grede raspona 20,0 m. Nagib krovne ravni iznosi 2º. Linijsko opterećenje usled sopstvene težine i snega koje deluje na nosač iznosi q=8,19 kN/m'. Za građu koristiti četinare I klase vlažnosti 12%.

Reakcije oslonaca i maksimalni moment savijanja u sredini raspona iznose:






• pretpostavlja se trajanje snega duže od 3 meseca → kd=0,9• pretpostavlja se normalna zaštita i održavanje → kat=1,0

54

2 2

8,19 20,0 81,90 2 2

8,19 20,0max 409,50 8 8

q lQ kN

q lM kNm

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅= = =

2 2

2 2

2 2

1400 / 1,40 /

120 / 0,12 /

200 / 0,20 /

omdom d

oc d


N cm kN cm

σ

τ

σ ⊥

= =

= =

= =P

• koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka će biti računat za svaki razmatrani presek posebno, jer nosač ima pad od 2º → kh=?

Za redukciju normalnih i smičućih napona koristimo sledeće izraze:

Koeficijent umanjenja kojim dodatno redukujemo dozvoljeni napon zbog zakošenosti ivica u svim presecima u ovom slučaju odgovara koeficijentu kc – pritisnuta ivica u nagibu:

S obzirom da redukcija smičućeg napona ne zavisi od visine poprečnog preseka odmah računamo vrednost redukovanog smičućeg napona sa kojom nastavljamo proračun:

Prilikom proračuna grednih nosača od LLD se na početku uvek pretpostavi širina poprečnog preseka. Treba imati u vidu da maksimalna širina na koju se moramo ograničiti ako nećemo da vršimo bočno lepljenje lamela iznosi 20,0 cm. Širina nosača zavisi pre svega od njegovog raspona. Ako bismo usvojili malu širinu nosača u slučaju velikog raspona to može da rezultira njegovom velikom visinom (pogotovo u slemenu), i obrnuto. Preporuka je da širina poprečnog preseka iznosi b≈L/100.

usvajamo pravougaoni presek širine b =20,0 cm

U nastavku određujemo potrebnu visinu poprečnog preseka nosača iz merodavnih naponskih uslova uz pretpostavku da je debljina lamele jednaka 3,0 cm.

(1) Određivanje potrebne visine nosača u preseku iznad levog oslonca

Iz usvojene visine nosača u oslonačkom preseku i uslova nagiba gornje ivice nosača (geometrijski uslov) možemo izračunati visinu nosača u sredini raspona kao:

55

omd d at h c md

om d d at m d

k k k k k

k k k

σϕ

τϕ

σ σ

τ τ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅P P

21,12 0,9 1,0 0,12 0,12 /m d kN cmτ = ⋅ ⋅ ⋅ =P

2 2 222 2 22

1 1 0,9801 tan 2 tan 21 tan tan 1, 40

1, 40 0, 20 2 0,122

c

omd o o o

md c d m d

kα ασ

σ σ τ⊥

= = = ⋅ + ++ + ⋅

o o

P

,81,901,5 1,5 51,2 54,0

20 0,12A potr Am d

Qh cm pretpostavlja se h cmb τ

= ⋅ = ⋅ = → =⋅ ⋅P

tan 2 88,9 / 2

sr Asr

h h h cml

− = → =o

(2) Određivanje potrebne visine nosača u sredini raspona

2.1) prema dopuštenom naponu

Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hsr≈89 cm i odnos L/hsr≈22,5 čitamo iz tabele 7 na strani 440 (linearna interpolacija).

Redukovana vrednost osnovnog dopuštenog napona iznosi:

Sada možemo odrediti potreban otporni moment iz izraza datog u teorijskom delu ovog materijala, a iz njega potrebnu visinu poprečnog preseka u sredini raspona:

2.2) prema dopuštenom ugibu

Dopušteni ugib iznosi L /300=6,67 cm.

Moduli elastičnosti i klizanja iznose EII=1100 kN/cm² i G=50 kN/cm².

Sada iz potrebne visine nosača u sredini raspona i uslova nagiba gornje ivice nosača (geometrijski uslov) možemo izračunati potrebnu visinu nosača u preseku iznad levog oslonca:

Izračunatu potrebnu visinu iznad levog oslonca treba povećati za približno 10% kako bismo obezbedili da bude zadovoljen uslov dopuštenog napona u preseku x (presek sa maksimalnim normalnim naponom), kao i uslov dopuštenog ugiba.

56

0,883hk =

21,06 0,9 1,0 0,883 0,980 1,40 1,16 /md kN cmσ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

23

,

,

max 409,50 10 35301,7 1,16

6 35301,7 102,9 20,0

sr potrmd

sr potr

MW cm

h cm

σ⋅= = =

⋅→ = =

45 max 31,25384 300 potr

potr

q l l M lf IE I E

⋅ ⋅= ⋅ ≤ → = ⋅⋅P P

24max 409,50 10 200031,25 31,25 2326704,5

1100potrM lI cmE

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ =P

3 3,

12 12 2326704,5 111,8 20,0

potrsr potr

Ih cm

b⋅ ⋅→ = = =

, , tan 2 111,8 1000 tan 2 76,9 . 54,0 2A potr sr potr Alh h cm pretp h cm= − ⋅ = − ⋅ = > =o o

Konačno usvajamo:• debljina lamele 3,0 cm• visina nosača iznad levog oslonca hA=87,0 cm• visina nosača iznad desnog oslonca (iz geometrije)

• visina nosača u sredini raspona (iz geometrije)

Kontrola napona

(1) smičući napon u preseku iznad levog oslonca

(2) normalni naponi u preseku u sredini raspona

Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hsr=122 cm i odnos L/hsr≈16,4 čitamo iz tabele 7 na strani 441 (linearna interpolacija).


Normalni napon usled savijanja računamo kao:

(3) normalni napon u preseku x (mesto maksimalnog normalnog napona)


57

tan 87,0 2000 tan 2 156,8 157 B A Bh h l cm usvaja se h cmα= + ⋅ = + ⋅ = → =o

2000tan 87,0 tan 2 122,0 2 2sr Alh h cmα= + ⋅ = + ⋅ ≈o

0,869hk =

21,06 0,9 1,0 0,869 0,980 1,40 1,14 /md kN cmσ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2000 713 7,13 157 1187

B

A

lx cm mhh

= = = =++

22 2

2 2

max 6 max 6 409,50 10 0,83 / 1,14 /20,0 122,0m md

sr sr


σ σ⋅ ⋅ ⋅= = = = < =⋅ ⋅

2 281,901,5 1,5 0,07 / 0,12 /20,0 87,0m m d

A

Q kN cm kN cmb h

τ τ= ⋅ = ⋅ = < =⋅ ⋅P P



Koeficijent redukcije osnovog dopuštenog napona zbog visine poprečnog preseka za visinu nosača hx=112 cm i odnos L/hx≈18,0 čitamo iz tabele 7 na strani 440 (linearna interpolacija):


Normalni napon računamo kao:

Kontrola ugiba

• ugib usled normalnih napona

• ugib usled smičućih napona

58

2 28,19 7,1381,90 7,13 375,80 2 2x

q xM Q x kNm⋅ ⋅= ⋅ − = ⋅ − =

2 2 157,0 112 157,0 1187,0

Bx

B

A

hh cmhh

⋅ ⋅= = =++

0,872hk =

21,06 0,9 1,0 0,872 0,980 1,40 1,14 /md kN cmσ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

22 2

2 2

6 6 375,80 10 0,90 / 1,14 /20,0 112,0

x xm md

x x


σ σ⋅ ⋅ ⋅= = = = < =⋅ ⋅

( )2

max

9,6 A

M lf KE I σσ ⋅= ⋅

⋅ ⋅P

3

3 3420,0 87,0 1097505 , 0, 274

12 12 0,15 0,85

A

BAA

A

B

hhb hI cm K h

h

σ

⋅ ⋅ = = = = =

+

( )2 2409,50 10 2000 0,274 3,87

9,6 1100 1097505f cmσ ⋅ ⋅= ⋅ =

⋅ ⋅

• ukupan ugib

59

( ) max2/3

21,20 , 0,806

1A B

A

Mf K KG h b h

h

τ ττ = ⋅ = =⋅ ⋅

+

( )2409,50 101,20 0,806 0,46

50 87,0 20,0f cmτ ⋅= ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅

( ) ( )max 3,87 0,46 4,33 6,67 dopf f f cm f cmσ τ= + = + = < =

PRILOG 1 - Ispitni zadatak: klasičan krovNa slici je prikazana krovna konstrukcija koja se sastoji od: krovnih gredica (POS KG), rogova (POS R), slemenjače (POS S), talpi poda (POS TP) i tavanjača (POS T). Opterećenje krova se sastoji od: sopstvene težine krovnog pokrivača (što obuhvata i težinu letvi) u iznosu od g=0,20 kN/m² kose krovne površine, snega u iznosu od s=0,80 kN/m² osnove krova i korisnog opterećenja tavana u iznosu od p=2,0 kN/m². Stubovi krovne konstrukcije su na rastojanju od 2,40 m. Odrediti potrebne dimenzije svih navedenih elemenata. Dužinu prepusta odrediti iz uslova da su razmaci krovnih gredica jednaki. Za građu koristiti monolitno drvo, četinare II klase (σmd=1000 N/cm² i σcIId=850 N/cm²).

Rastojanje krovnih gredica iznosi:

Iz toga sledi da dužina prepusta iznosi:

(1) Dimenzionisanje krovne gredice POS KG

linijsko opterećenje od sopstvene težine...................g×λKG=0,20×1,0=0,20 kN/m' linijsko opterećenje od snega..........s×λKG×cos20º=0,80×1,0×cos20º=0,75 kN/m'

---------------------------------------------- ukupno opterećenje po osi gredice q=0,95 kN/m'

Imajući u vidu da su krovne gredice izložene složenom savijanju, u nastavku ukupno opterećenje predstavljamo preko komponenti u izabranom koordinatnom sistemu, što je prikazano na slici ispod.

60

5,64 / cos 20 1,0 6KG mλ = =

o

2 1,0 2,0 Lp m= ⋅ =

Usvajamo da se rogovi nalaze na rastojanju od 0,80 m, što odgovara rastojanju stubova od 2,40 m. Krovne gredice su statičkog sistema proste grede raspona lKG=0,80 m.

Komponente ukupnog opterećenja glase:

Momenti savijanja oko glavnih osa glase:

Ako odnos visine i širine poprečnog preseka gredice označimo sa c i pretpostavimo poprečni presek gredice b/h=3,8/4,8 za koji je c=1,263 i Wx=14,59 cm³ tada važi:

usvajamo krovne gredice b / h =3,8/4,8

Kontrola ugiba:

Dopušteni ugib iznosi δdop=lKG/200, modul elastičnosti EII=106 N/cm², a momenti inercije za obe ose iznose:

61

3

3

cos 0,95 cos 20 10 892,7 / '

sin 0,95 sin 20 10 324,9 / 'x

y

q q N mq q N m

α

α

= ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ = ⋅ ⋅ =

o

o

2 3 3, , .

71,42 1,263 25,99 10 10,42 14,59 1000

x yx potr x pretp

md

M c MW cm W cm

σ+ ⋅ + ⋅= = ⋅ = < =

3 34 43,8 4,8 4,8 3,835,02 21,95

12 12x yI cm i I cm⋅ ⋅= = = =

2 2

2 2

892,7 0,80 71,42 8 8

324,9 0,80 25,99 8 8

x KGx

y KGy

q lM Nm

q lM Nm

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅= = =

4 4

2 2 2 26

4 4

6

5 5 8,927 80 0,14 0,14 0,08 0,16 384 384 10 35,0280,05 5 3,249 80 0, 40 0,08 200384 384 10 21,95

x KGx

x yx

y KG dopy

y

q l cm cmE I

q l cmcmE I

δ δ δ δ

δδ

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = = + = + = <⋅ ⋅ →⋅ ⋅ < = == ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

P

P

(2) Dimenzionisanje roga POS R

Statički sistem i opterećenja rogova su prikazani na slici ispod.

Opterećenja koja deluju na rogove po njihovoj osi:

linijsko opterećenje od težine pokrivača................g×lKG=0,20×0,80×10³=160,0 N/m'linijsko opterećenje od sopstvene težine roga (pretpostavljamo presek b/h=12/16) .............................................b×h×γDR/cos20º=12×16×5000×10-4/cos20º=102,2 N/m'linijsko opterećenje od snega......s×lKG×cos20º=0,80×0,80×cos20º×10³=601,4 N/m'

---------------------------------------------- ukupno opterećenje po osi roga q=863,6 N/m'

Normalna i tangencijalna komponenta ukupnog opterećenja glase:

Iz tabele 79 na 653. strani priloga možemo odrediti statičke uticaje.

62

cos 863,6 cos 20 811,5 / '

sin 863,6 sin 20 295,4 / 'n

t

q q N mq q N m

α

α

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

o

o

( ) ( )811,5 6,0 2,0 6492 6,0 2,06492 4328

2 2 6,06,0 2,06492 2164

2 2 6,0

Q q l c Nl cA Q N

ll cB Q N

l

= ⋅ + = ⋅ + =+ += ⋅ = ⋅ =

⋅ ⋅− −= ⋅ = ⋅ =

⋅ ⋅

Položaj preseka u kome se javlja maksimalni moment savijanja računamo kao:

Pretpostavljeni presek b/h=12/16 ima sledeće geometrijske karakteristike:

Pri kontroli napona moramo u obzir uzeti i aksijalnu silu.

Vršimo kontrolu napona u preseku sa maksimalnim momentom (presek x):

S obzirom da je napon u merodavnom preseku daleko ispod dopuštenog napona, nakon kontrole ugiba ćemo znati da li možemo usvojiti slabiji presek. Uticaj normalne sile pritiska na ugib se zanemaruje. Ugib u sredini raspona računamo prema izrazu datom u tabeli 79 na 653. strani priloga, ali moramo ga podeliti sa kosinusom ugla koji rogovi zaklapaju sa horizontalom da bismo dobili realan ugib:

2 2,60 3,0 200doplf cm f cm= < = =

usvajamo rogove b / h =12/16

63

2 2

2 2

811,5 2,0min 1623 2 2

2164max 2885,3 2 2 811,5

q cM Nm

BM Nmq

⋅ ⋅= − = − = −

= = =⋅ ⋅

21640 2,67 811,5n

n

BB q x x mq

− ⋅ = → = = =

( ) ( )2 2

2 2 2 22

1 811,5 6,0 10,00260 5 12 0,00260 5 6,0 12 2,0cos 20 4096 cos 20

q lf l cI⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅o o

4 3 24096 , 512 , 192 , 4,62 , 129,9, 5, 44I cm W cm A cm i cm λ ω= = = = = =

c dc c d

md

N MA W

σσ ω σ

σ= ⋅ + ⋅ ≤PP P

22 2788,7 850 2885,3 105,44 501,4 / 850 /

192 1000 512c c dN cm N cmσ σ⋅= ⋅ + ⋅ = < =P P

(3) Dimenzionisanje slemenjače POS S

Slemenjača je statičkog sistema proste grede, raspona jednakom rastojanju stubova – l=2,40 m (zanemaruje se uticaj kosnika na raspon).

Opterećenja koja deluju na slemenjaču:

linijsko opterećenje od težine pokrivača.........g×3×λKG=0,20×3×1,0×10³=600,0 N/m'linijsko opterećenje od sopstvene težine slemenjače (pretpostavljamo poprečni

presek b/h=14/16) ......................................b×h×γDR=14×16×5000×10-4=112,0 N/m'linijsko opterećenje od snega........................s×5,64/2=0,80×2,82×10³=2256,0 N/m'

reakcije od sopstvene težine rogova (koncentrisane sile) zanemarujemo ----------------------------------------------

ukupno opterećenje po osi slemenjače q=2968,0 N/m'

Moment savijanja u sredini raspona iznosi:


Normalni napon usled savijanja iznosi:

Ugib iznosi:

Iako su vrednosti i napona i ugiba daleko od dopuštenih vrednosti definisanih propisom, zadržaćemo pretpostavljeni poprečni presek slemenjače. Razlog za to je činjenica da je poprečni presek rogova veliki, što je posledica njihovog velikog raspona. S obzirom da se rogovi oslanjaju na slemenjaču, prirodno je da njen poprečni presek bude veći nego poprečni presek rogova.

usvajamo slemenjaču b / h =14/16

64

2 22968,0 2,40max 2137,0 8 8

q lM Nm⋅ ⋅= = =

4 3 24778,7 , 597,3 , 224 I cm W cm A cm= = =

4 4

6

5 5 29,68 240 240,00, 27 1,20 384 384 10 4778,7 200dop

q l cm cmE I

δ δ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = < = =⋅ ⋅P

22 2max 2137,0 10 357,8 / 1000 /


Wσ σ⋅= = = < =

(4) Dimenzionisanje talpi poda POS TP

U slučaju da se predviđa hodanje po daskama, minimalna debljina daske iznosi 3,8 cm. Minimalna i maksimalna širina, debljina i raspon dasaka koje možemo naći na tržištu najčešće zavise od proizvođača. Dimenzije dasaka za četinarsku građu su definisane u standardima JUS D.C1.040 i JUS D.C1.041 (strane 411 i 412 priloga). Za konstrukcije tavanica uobičajeno je da se usvajaju daske širine 20 cm.

Pretpostavljamo daske dimenzija b / h =20/3,8 .

Opterećenja koja deluju na jednu dasku:

linijsko opterećenje od težine daske..........b×h×γDR=20,0×3,8×5000×10-4=38,0 N/m'linijsko opterećenje od korisnog tereta......................p×b=2,0×0,20×10³=400,0 N/m'

---------------------------------------------- ukupno opterećenje po osi daske q=438,0 N/m'

Daske se pružaju preko tavanjača koje se nalaze na rastojanju na kojem se nalaze i rogovi - lKG=0,80 m. Dakle, daske su sistema proste grede raspona l=0,80 m.


Pretpostavljeni presek b/h=20/3,8 ima sledeće geometrijske karakteristike:


Ugib iznosi:

usvajamo daske b / h =20/3,8

65

2 2438,0 0,80max 35,0 8 8

q lM Nm⋅ ⋅= = =

4 3 291,5 , 48,1 , 76,0 I cm W cm A cm= = =

22 2max 35,0 10 72,8 / 1000 /

48,1m mdM N cm N cm

Wσ σ⋅= = = < =

4 4

6

5 5 4,38 80 80,00,03 0,40 384 384 10 91,5 200dop

q l cm cmE I

δ δ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = < = =⋅ ⋅P

(5) Dimenzionisanje tavanjače POS T

Tavanjače se nalaze na međurastojanjima od 0,80 m jer prate međurastojanja rogova, kao što je i ranije rečeno. Statičkog su sistema proste grede raspona 5,64 m.

Opterećenja koja deluju po osi tavanjače:

linijsko opterećenje od sopstvene težine tavanjače (pretpostavljamo presek b/h=16/20) ......................................................b×h×γDR=16×20×5000×10-4=160,0 N/m'linijsko opterećenje od težine talpi. . . .γDR×htalpe×lKG=5000×3,8×10-2×0,80=152,0 N/m'linijsko opterećenje od korisnog tereta..................p×lKG=2,0×0,80×10³=1600,0 N/m'

---------------------------------------------- ukupno opterećenje po osi tavanjače q=1912,0 N/m'




Ugib iznosi:

usvajamo tavanjače b / h =16/20

66

2 21912,0 5,64max 7602,5 8 8

q lM Nm⋅ ⋅= = =

4 3 210666,7 , 1066,7 , 320,0 I cm W cm A cm= = =

22 2max 7602,5 10 712,7 / 1000 /


Wσ σ⋅= = = < =

4 4

6

5 5 19,12 564 564,02,36 2,82 384 384 10 10666,7 200dop

q l cm cmE I

δ δ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = < = =⋅ ⋅P

LITERATURA

Đorđević, R. (2003). Noseće konstrukcije I, Fakultet tehničkih nauka u Novom Sadu, Novi Sad.

Gojković, M. (1985). Drvene konstrukcije, Građevinski fakultet u Beogradu i Naučna knjiga, Beograd.

Gojković, M. i saradnici (2007). Drvene konstrukcije – rešeni primeri iz teorije i prakse, Građevinski fakultet u Beogradu, Beograd.

Gojković, M. i Stojić, S. (1996). Drvene konstrukcije, Građevinski fakultet u Beogradu i Grosknjiga, Beograd.

Ilić, S. (1989). Klasični drveni krovovi, Građevinska knjiga, Beograd.

Kočetov-Mišulić, T. (2008). Predavanja, ppt prezentacija na CD-u, Novi Sad.

Kujundžić, V. (1989). Savremene drvene konstrukcije, Građevinska knjiga, Beograd.

nosece konstrukcije 1 - skripta

Documents