notacion cientÍfica y cifras...
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GRM. Física I. Semestre 2013-1
1
Sistemas de unidades
NOTACION CIENTÍFICA y
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Referencias:
- Bauer, W. y West Fall G.D., Física para ingeniería y ciencias, Volumen 1, Mc. Graw Hill, 2011
- Ohanian, H. C. y Markert, J. T., Fisica para Ingeneiría y ciencias, Volumen 1, 3era. Edicion, Mc. Graw Hill, 2009
- Serway, R. A. y Jewett, J. W., Física para ciencias e ingeniería, Volumen 1, 7ª. Edición, Cengage Learning, 2008
- Tipler, P.A. y Mosca, G., Física para la ciencia y la tecnología, Volumen 1, 5ta. Edición, Edit. Reverté, 2005
Para un repaso más fundamental de matemáticas:
* Zill, D.G y Dewar, J. M., Precálculo con avances de cálculo, Mc Graw Hill, 4ta. Edición, 2007
GRM. Física I. Semestre 2012-1 2
La investigación avanzada en cualquier área de la ciencia requiere de las herramientas básicas de los cursos de Física I y II; así como de la curiosidad y la decisión del investigador.
La física es la ciencia sobre la cual se construyen todas las demás ciencias naturales y de ingeniería.
Todos los avances tecnológicos modernos – desde la cirugía láser hasta la televisión, desde las computadoras hasta los refrigeradores, desde los automóviles hasta los aviones – parten directamente de la física básica.
Un buen entendimiento de los conceptos esenciales de la física le darán un cimiento sólido sobre el cual puede construir un conocimiento avanzado en todas las ciencias.
¡ M O T I V A C I Ó N !
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FRONTERAS DE LA FÍSICA
MODERNA
Algunos avances recientes en la física
• Física cuántica
• Física de la materia condensada y electrónica
• Computación cuántica
• Física computacional
• Complejidad y caos
• Nanociencia y Nanotecnología
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FRONTERAS DE LA FÍSICA
MODERNA
• Biofísica
• Fusión nuclear
• Física de altas energías y partículas
• Teorías de cuerdas
• Astrofísica
Recordar: Simetría, sencillez y elegancia
F = m a E = m c2
GRM. Física I. Semestre 2012-1 5
El estudio de la física es útil para comprender las
escalas de distancia, masa y tiempo desde los
constituyentes más pequeños dentro de los
núcleos de los átomos hasta las galaxias que
forman nuestro universo.
Todos los sistemas naturales siguen las mismas
leyes básicas de física.
Por otra parte, la física está intimamente
conectada con las matemáticas, porque da vida
a los conceptos abstractos que se usan en la
trigonometría, el álgebra y el cálculo.
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REGLAS DE LOS EXPONENTES
Algunos ejemplos:
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Manera compacta de reportar un número muy
grande: ej. número de átomos en el cuerpo
humano
7 000 000 000 000 000 000 000 000 000
o un número muy pequeño: ej. masa del protón
0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 7 kg
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Se representa dicho número como el producto de un número
MAYOR QUE 1 Y MENOR QUE 10 (llamado mantisa) y una
potencia (expresada por un exponente) de 10:
número en notación científica = mantisa x 10 exponente
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Así, de manera compacta:
número de átomos en el cuerpo humano: 7x10 27
masa del protón: 1.67x10-27 kg
NOTACIÓN CIENTÍFICA
VENTAJA: ¡ Facilita la multiplicación y división!
REGLAS:
1) Para multiplicar dos números con notación científica,
multiplicamos sus mantisas y después sumamos sus
exponentes
Ej. (7x10 27)· (7x10 9)= (7x7)· 10 27+ 9 = 49 x1036 = 4.9 x1037
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NOTACIÓN CIENTÍFICA
REGLAS:
2) Para dividir dos números con notación científica, por
ejemplo, si deseamos calcular A / B, dividimos la
mantisa de A entre la de B, y restamos el exponente de
B del exponente de A.
Ej. (4x1010) / (5x1012) = (4/5) x (1010 / 1012) = 0.8 x10 10 - 12 = 0.8 x10 - 2 = 8 x10 - 3
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Ejercicio para clase: escriba los siguientes
números o el resultado de las operaciones,
usando Notación Científica:
NOTACIÓN CIENTÍFICA
1. 86 400 =
2. 9 816 762.5 =
3. 0.000 000 039 8 =
4. (4x108) • (9x109) =
5. (3x107) • (6x10 -12) =
6. .
7. .
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COMPAREN SUS RESPUESTAS Y DISCUTÁNLO EN GRUPO !
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PREFIJOS PARA POTENCIAS DE 10:
Multiplicadores para las unidades básicas en varias
potencias de 10
• Ejemplos :
1 mm = 10-3 m
1 mg = 10-3 g
= 10-6 kg
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Si por ejemplo, especificamos el número de átomos en el cuerpo
humano promedio es 7X1027, intentamos indicar que sabemos que es
por lo menos 6.5x1027 pero menor que 7.5x1027. Pero… ¿podemos ser
aun más precisos?
Como regla general, el número de dígitos que se escribe en la
mantisa indica que tan preciso declaramos conocerla.
Cuántos más dígitos se especifican, se implica mayor precisión.
El número de dígitos en la mantisa se llama número de cifras
significativas, y son los dígitos de un número que se conocen de
manera confiable (el último de estos dígitos a menudo no es
completamente confiable).
Ejemplos: 1.62 tiene 3 cifras significativas
1.6 tiene 2 cifras significativas
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
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1. Un número entero especifica una precisión infinita:
Ej. Tengo 78 alumnos en Física 1,
significa exactamente 78, ni más ni menos.
2. Los ceros precedentes no cuentan como cifras significativas
Ej. 1.62 tiene el mismo número de cifras significativas que 0.00162
Ambos números tienen 3 cifras significativas, ya que comenzamos a
contar cifras significativas desde la izquierda, con el primer dígito
que no sea cero.
3. Los ceros posteriores sí cuentan como cifras significativas
Ej. 1.620 tiene 4 cifras significativas
¡Escribir un cero posterior significa mayor precisión!
4. Los números en notación científica tienen tantas cifras significativas
como su mantisa.
Ej. 9.11x1031 tiene 3 cifras significativas (las de su mantisa)
Note que la magnitud del exponente tiene ninguna influencia.
Reglas sobre el uso de CIFRAS SIGNIFICATIVAS
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5. Nunca se pueden tener más cifras significativas en un resultado que
aquellas en las que comenzó en cualquiera de los factores de
multiplicación o división.
Ej. 1.23 / 3.4461 no es igual a 0.3569252
(aunque su calculadora le de esta respuesta, ésta no muestra de
manera automática el número correcto de cifras significativa)
El resultado correcto es: 1.23/3.4461 = 0.357
Hay que “redondear” el resultado hasta el número correcto de cifras
significativas, en este caso 3 , que es el número de cifras significativas
del numerador.
6. Se pueden sumar o restar sólo cuando hay cifras significativas para
una misma posición en cada número
Ej. 1.23 + 3.4461 = 4.68 y no 4.6761.
Reglas sobre el uso de CIFRAS SIGNIFICATIVAS
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Ejemplo: El cuerpo humano contiene casi 7x1027 átomos.
Si quisieramos estimar cuántos átomos contiene el cuerpo de todos los
habitantes de la Tierra (7 mil millones = 7x109)
podemos hacer este cálculo con relativa facilidad
(7x1027)· (7x109) = (7x7)·10 27+ 9 = 49 x1036 = 4.9 x1037
Pero el resultado de esta multiplicación se debe “redondear” a una sóla
cifra significativa, ya que comenzamos con cantidades que poseen una
sóla cifra significativa.
Por lo tanto el número combinado de átomos en todos los cuerpos
humanos se expresa de forma correcta como 5x1037.
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REDONDEO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Si se debe reducir el número de cifras significativas en el resultado de una operación:
- El último dígito retenido se aumenta en 1 si el último dígito eliminado es mayor que 5. 47 5
- Si el último dígito eliminado es menor que 5, el último dígito permanece como está 63 6
- Si el último digito eliminado es igual a 5, el dígito retenido se debe redondear al número par más cercano. 35 4
Una técnica para evitar acumulación de errores es no realizar el redondeo de números durante un cálculo, sino hasta que se tenga el resultado final.
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EJEMPLO: En una habitación de 12.71 m de longitud y 3.46
m de ancho se instalará una alfombra. Encuentre el área
de la habitación.
Solución:
Si se multiplica 12.71 m por 3.46 m en la calculadora, el
resultado es 43.976 6 m2. ¿Cuántos de estos números
debe reportar?
Regla empírica para la multiplicación: reportar sólo el
número de cifras significativas que estén presentes en la
cantidad medida que tenga el número más bajo de cifras
significativas.
En este ejemplo, es número más bajo de cifras
significativas es 3 en 3.46 m, así que debe expresar la
respuesta final como 44.0 m2
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INTRODUCCIÓN a los sistemas de
unidades Los cuerpos macroscópicos están hechos de átomos.
Los tamaños de los átomos son extremadamente pequeños en comparación con las dimensiones de los cuerpos macroscópicos, por lo que pueden considerarse a los átomos como masas casi puntuales, para la mayoría de los fines prácticos. Una masa puntual sin tamaño y estructura interna discernible se llama partícula ideal.
La posición, el tiempo y la masa dan una descripción completa del
comportamiento y de los atributos de una partícula ideal.
Como cada cuerpo macroscópico consiste de partículas, es posible describir su comportamiento y sus atributos describiendo las partículas que los conforman.
Así las mediciones de posición, tiempo y masa son de importancia fundamental en física.
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SISTEMAS DE UNIDADES
ESTANDARES DE LONGITUD, MASA Y TIEMPO
• Para describir los fenómenos naturales, es
necesario hacer mediciones. Cada medición
se asocia con una cantidad física.
• Resulta necesario definir un estándar:
– Debe ser accesible
– poseer alguna propiedad que se pueda medir
confiablemente
– no deben cambiar con el tiempo, y
– “en cualquier lugar del universo” deben producir el
mismo resultado.
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CANTIDADES FÍSICAS
LONGITUD: se define como la medida de
distancia entre dos puntos en el espacio.
MASA: es la cantidad de materia de un
objeto.
TIEMPO: es la duración entre dos eventos
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SISTEMA INTERNACIONAL DE
UNIDADES, SI
UNIDADES FUNDAMENTALES
• Longitud: Definida en términos del metro
(m) – distancia que viaja la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299 792 458 segundos.
• Masa: Definida en términos del kilogramo (kg) - basada en un cilindro específico de una aleación de platino-iridio, resguadado en la Oficina Internacional de pesos y medidas.
Copia exacta del kilogramo estándar
Láser estabilizado que permite
la determinación de la rapidez
de la luz con gran precisión.
GRM. Física I. Semestre 2012-1 23
UNIDADES FUNDAMENTALES
• Tiempo: Definido en términos del
segundo (s) – que es el tiempo
necesario para que se realicen
9 192 631 770 vibraciones del
átomo de cesio 133. Se emplea el
reloj atómico de enorme precisión.
Reloj atómico con fuente de cesio: no
ganará ni perderá 1 segundo en 20 millones
de años.
SISTEMA INTERNACIONAL DE
UNIDADES, SI
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Otros estandares que completan las unidades
fundamentales del SI:
• Temperatura: kelvin (K)
• Corriente eléctrica: ampere (A)
• Intensidad luminosa: candela
• Cantidad de sustancia: mol
SISTEMA INTERNACIONAL DE
UNIDADES, SI
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UNIDADES DERIVADAS : unidades construídas mediante alguna
combinación de las unidades básicas de longitud, tiempo y masa.
• Un metro cuadrado
• Un metro cúbico
La densidad (ro) es un ejemplo de cantidad derivada. Se define como
masa por unidad de volumen, y sus unidades son kg/m3
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, SI
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COHERENCIA (CONSISTENCIA) DE LAS UNIDADES
En cualquier ecuación, las dimensiones (las potencias de
la longitud, el tiempo y la masa) a cada lado de la
ecuación, deben ser las mismas.
OBSERVE: El volumen tiene dimensiones de [longitud]3
La densidad tiene dimensiones de [masa] / [longitud]3
La aceleración tiene dimensiones de [longitud] / [tiempo]2
Ej. de consistencia de unidades
distancia = rapidez x tiempo
(m) = (m/s) x (s)
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Para convertir cantidades expresadas en
determinadas unidades a otras unidades,
se requiere del uso de sencillas
sustituciones de cantidades equivalentes
en los dos sistemas. OBSERVE:
cm1.38in1
cm54.2in0.15
cm?in0.15
CONVERSIÓN ( o transformación) DE UNIDADES
1 pulgada (inch) = 2.540x10-2 m = 2.54 cm = 1/12 pie = 1/36 yarda
En el ejemplo anterior se ilustró la conversión de unidades empleando
FACTORES DE CONVERSIÓN, que son relaciones idénticamente iguales a 1.
OBSERVE: 1 kg = 1000 g
1 m = 100 cm
De los cuales se obtienen las siguientes identidades
1 = 1000 g / 1 kg 1 = 1 m / 100 cm
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Entonces, cualquier cantidad puede multiplicarse por estas identidades sin
alterar su valor. OBSERVE:
CONVERSIÓN DE UNIDADES
La densidad de agua es de 1.000 x 103 kg/m3. Exprese esto en g/cm3
1.000x103 kg/m3 =
1.000x103 kg/m3 x (1000 g / 1 kg) x (1 m / 100 cm) x (1 m / 100 cm) x (1 m / 100 cm)
=1.000x103 x 1000 x (1/100) x (1/100) x (1/100) x (kg/m3) x (g/kg) x (m3/cm3)
Realizando las operaciones y cancelando el kg y el m3 queda:
1.000x103 kg/m3 = 1.000 g/cm3
Así, para cambiar las unidades de una cantidad, simplemente se multiplica la
cantidad por uno o varios factores de conversión que producirán la
cancelación deseada de las unidades anteriores.
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COORDENADAS Para obtener una descripción cuantitativa precisa de la posición de una
partícula, los físicos primero toman algún punto conveniente del espacio como origen O y luego especifican la posición de la partícula en relación con este origen O.
Las cordenadas más comunes son las coordenadas rectangulares x y y, que se basan en una cuadrícula rectangular.
Las lineas mutuamente perpendiculares que pasan por el origen O se llaman eje x y eje y.
GRM. Física I. Semestre 2012-1 30
COORDENADAS
La cuadrícula bidimensional es adecuada cuando se requiere describir el movimiento bidimensional (este-oeste, norte-sur).
Si se desea describir el movimiento tridimensional (este-oeste, norte-sur y arriba-abajo), entonces se necesita un sistema tridimensional de coordenadas, con ejes x, y y z.
Ademas es posible describir un movimiento unidimensional, a lo largo de una linea recta, por lo que se requiere sólo del uso de un eje.
Las coordenadas regulares x y y de
un punto P
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MOVIMIENTO EN 1, 2 Y 3
DIMENSIONES
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Cuadrículas de coordenadas rectangulares x-y y x’-y’ Tomado de Ohanian, Markert, 2009
COORDENADAS Y MARCOS DE
REFERENCIA
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Cuando se determina la posición de una partícula mediante una cuadrícula de coordenadas, construida alrededor de un origen O, se realiza una medición relativa: las coordenadas del punto en el que está ubicada la partícula dependen de la selección del origen, y de la selección de la escala de la partícula de coordenadas (es cuestión de conveniencia).
Para la descripción del movimiento de una partícula, debe especificarse tanto su posición, como el tiempo en que esta se mantiene.
Para determinar el tiempo se usa un sistema de relojes sicronizados, colocados mentalmente a intervalos regulares a lo largo de la cuadrícula de coordenadas.
Tal cuadrícula de coordenadas y relojes sincronizados se llama marco de referencia (cuya selección también es cuestión de conveniencia)
COORDENADAS Y MARCOS DE
REFERENCIA
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COORDENADAS Y MARCOS DE REFERENCIA
EL MOVIMIENTO Y LA RAPIDEZ SON RELATIVOS: Una ciclista y su marco de referencia.
Si tanto la ciclista como la corredora se mueven hacia la derecha a la misma rapidez, entonces la corredora está en reposo (rapidez cero) en relación con el marco de referencia de la ciclista.