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Notas de aula – Capítulo 1 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1
Introdução
Existem situações na vida prática em que
ocorrem problemas que envolvem uma situação em
que a posição de um corpo é de equilíbrio; uma vez
deslocado dessa posição, ele sofre a atuação de uma
força restauradora, que o obriga a uma posição de vai
e vem em torno da posição de equilíbrio.
Exemplos dessas situações são:
O pêndulo: uma massa suspensa por uma
corda. Na posição de equilíbrio, a massa fica na
posição vertical do ponto de suspensão e quando
deslocada desta posição, ela retorna a ela oscilando de
um lado para outro de forma regular e repetitiva.
Uma massa conectada a uma mola.
Nesse caso, a massa, presa à mola, uma vez deslocada
da posição de equilíbrio (quando a mola está relaxada)
ela retorna a essa posição num movimento repetitivo.
Os pistões de um motor a gasolina.
As cordas de um instrumento musical.
O movimento das moléculas de um
sólido. Movimentam-se em torno de sua posição de
equilíbrio na rede cristalina do sólido.
As vibrações das moléculas de água
causadas pelas microondas num forno de microondas,
rompendo as ligações de hidrogênio nas moléculas,
causando o aquecimento da substância.
A batida do coração humano.
Circuitos elétricos: Num circuito elétrico
no qual há uma corrente elétrica alternada, podemos
descrevê-lo em termos de voltagens, correntes e
cargas elétricas que oscilam com o tempo.
Figura 1 – Exemplos de sistemas oscilantes
e vibratórios.
(a) Pêndulo de um relógio.
(b) Movimento dos pistões num motor de
automóvel.
(c) Movimento da suspensão de um carro.
(d) Funcionamento de um amortecedor e
mola da suspensão de um carro.
(e) Movimento de átomos e de moléculas
numa rede cristalina de uma substância.
(f) Sistemas oscilantes e massa-mola.
Assim, os estudos de movimentos
vibratórios e oscilantes servem de base para muitos
campos da Física.
Quando há a inclusão de forças dissipativas
nesse estudo, chamaremos de força de amortecimento,
importante para descrever o funcionamento da
suspensão de um automóvel.
Também quando há a necessidade de se
acoplar uma força periódica externa ao sistema, para
mantê-lo forçado, onde situações da chamada
ressonância aparecerão, de importante aplicação em
diferentes setores da física.
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Oscilações livres: O movimento Harmônico
simples - MHS
Quando submetemos um corpo a forças de tração,
compressão ou torção, ele sofre deformação.
Cessando a aplicação, o corpo pode ou não
retornar à sua forma original, retomando as suas
dimensões ou formas iniciais ou permanecer
deformado.
A propriedade que determina como um corpo
retorna às suas condições iniciais depois da aplicação
da força é denominada de elasticidade.
Tracionando-se ou comprimindo-se certa mola
helicoidal, esta irá se deformar em relação à seu
comprimento inicial L0, de uma deformação x e
apresentando-se um comprimento final L.
0 ( )L L x t
Figura 1 - Variação do comprimento de uma
mola em função da deformação x(t).
A intensidade da força aplicada na mola é
proporcional à deformação observada x(t), dentro de
um certo limite elástico. Essa propriedade é traduzida
pela equação:
F k x
Conhecida como Lei de Hooke.
A constante de proporcionalidade k é
chamada de constante elástica da mola e sua unidade
no sistema internacional é o N/m (Newton por metro).
O gráfico de F versus x é uma reta que passa
pela origem, com inclinação k.
No caso de um bloco de massa m suspenso
por uma mola, quando em equilíbrio, a força peso P é
igual à força elástica –kx, a uma deformação que
chamaremos de :
P k
Se houver uma pequena deformação xp da
mola em torno dessa posição de equilíbrio:
0L L
A nova deformação da mola oscilará entre um
máximo e um mínimo desse valor:
0 px t L L x
Ou seja, px t x
A segunda lei de Newton ficará: 2
2
d xm k x P k
dt
2
2
d xm k x
dt
2
20
d x kx
dt m
Situação similar ocorrerá quando tivermos
um bloco conectado à mola na posição horizontal,
desprezando o atrito entre o solo e o bloco.
Observa-se que, uma vez abandonado o
bloco de massa m a partir de uma amplitude xm, a
aceleração será máxima para a esquerda, a velocidade
nula. Quando passar pela posição de equilíbrio,
situada em x = 0, sua velocidade será máxima para a
esquerda e aceleração nula. Ao chegar em –xm, o
bloco comprimiu o máximo a mola, possuirá
velocidade 0 e aceleração máxima para a direita. Ao
passar novamente na posição de equilíbrio em x = 0,
sua velocidade será máxima para a direita e sua
aceleração nula. Assim o movimento se repete num
período T, com uma freqüência f e se relacionando
por:
1T
f
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Figura 2 – Variação da posição, velocidade
e aceleração num MHS.
Período: Intervalo de tempo de uma
oscilação ou um ciclo.
Unidade: Segundo (s).
Freqüência: Número de oscilações por
unidade de tempo: nf
t
Unidade: Hertz: 1 Hz= 1/s
Rotações por minuto: 1rpm =(1/60)Hz
A dimensão de k
m é de 1/s
2 e esse termo
aparece na equação de movimento do MHS: 2
20
d x kx
dt m
Para resolvermos essa equação, utilizamos a
teoria das equações diferenciais. Assim, podemos ter
como solução:
cosmx t x t
Ou
mx t x sen t
Aqui:
Fase: ,: Constante que depende das
condições iniciais do problema.
Unidade: Radiano: rad.
Freqüência angular : Constante que
dependerá da constante elástica da mola e da massa do
oscilador.
Observamos que para x(t) ser solução da equação
diferencial que representa o movimento do MHS,
deve satisfazê-la.
Assim, precisamos encontrar as derivadas
primeira e segunda de x(t). Escolhendo:
cosmx t x t
m
dx t x sen t
dt
2
2
2cosm
dx t x t
dt
ou
2
2
2
dx t x t
dt
Assim: 2
2
20 0
d x k kx x x
dt m m
k
m
22 f
T
Posição do oscilador:
cosmx t x t
Unidade: metro (m).
xm: máxima amplitude.
Velocidade instantânea:
m
dxv t v t x sen t
dt
Velocidade máxima:
m mv x
Unidade: metro por segundo: (m/s).
aceleração instantânea:
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4
2
2
2( ) ( ) cosm
dv d xa t a t x t
dt dt
Aceleração máxima: 2
m m m ma x a v
Unidade: metro por segundo ao
quadrado: (m/s2).
Condições iniciais: As condições iniciais do problema de oscilação
são fundamentais para se conhecer a solução do
problema. São dadas por:
Posição inicial:
00x t x
Velocidade inicial:
00v t v
Assim, se aplicarmos as condições iniciais na
equação:
cosmx t x t
Teremos:
0
0
cosm
m
x x
x sen v
Resolvendo o sistema, acharemos:
2
2 00m
vx x
(Amplitude máxima)
0
0
varctg
x
(Constante de fase)
Se aplicarmos as condições iniciais na
equação:
mx t x sen t
Teremos:
cosm
dxv t v t x t
dt
2
2
2 m
d xa t a t x sen t
dt
0
0cos
m
m
x sen x
x v
Resolvendo o sistema, acharemos:
2
2 00m
vx x
(Amplitude máxima)
0
0
xarctg
v
(Constante de fase)
Gráficos (t, x(t)); (t, v(t)) e (t, a(t))
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Oscilador Harmônico e Movimento
circular uniforme:
Podemos associar o Movimento Harmônico
Simples ao movimento de uma partícula de massa m
sobre uma circunferência com velocidade constante
(em módulo). Observe que a projeção da posição x da
partícula sobre o eixo x é a posição x(t) do MHS e:
t
cosmx t x
my t x sen
Figura 3 – Relação entre movimento circular
uniforme e MHS.
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6
A Energia no Movimento Harmônico
Simples
Conforme ocorre o movimento Harmônico
Simples, há uma transformação constante da energia
potencial elástica da mola (U) em energia cinética da
massa (K). Lembrando que: 2
2
k xU
2
2
m vK
A energia mecânica (E) é dada por: 2 2
2 2
k x m vE U K E
Se substituirmos: cosmx t x t
e mv t x sen t
2 2
cos
2 2
m mk x t m x sen tE
Lembrando que: 2kk m
m
Teremos: 2
2
mk xE
ou
2 2
2
mm xE
Figura 4 – Relação entre as energias no MHS,
energias em função do tempo e da posição.
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Associação de molas Pode-se encontrar as molas associadas da
seguinte maneira:
Série (a).
Paralelo (b).
Figura 5 – Associação de molas em série (a)
e paralelo (b).
(a) (b)
1 2x x x
1 2x x
1 2
F F F
k k k
1 2k k k
1 2
1 1 1 1
s nk k k k
1 2p nk k k k
Períodos
1 2
1 2 1 2
2 ; 2A A
s p
k k m mT T
k k k k
Exemplo: (a) O sistema abaixo começa a
oscilar a 40 mm de sua posição de equilíbrio.
Determine o período de oscilação. (b) No sistema, a
oscilação é 2 in a partir da posição de equilíbrio. Em
cada caso, determine o período de oscilação, a
freqüência, a máxima velocidade e a máxima
aceleração.
(a) (b)
Pêndulo simples
Pêndulo simples é um instrumento ou uma
montagem que consiste em um objeto oscilando em
torno de um ponto fixo. O braço executa movimentos
alternados em torno da posição central, chamada
posição de equilíbrio. É muito utilizado em estudos da
força peso e do movimento oscilatório.
A descoberta da periodicidade do movimento
pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de
um pêndulo simples envolve basicamente uma
grandeza chamada período (simbolizada por T): é o
intervalo de tempo que o objeto leva para percorrer
toda a trajetória (ou seja, retornar a sua posição
original de lançamento, uma vez que o movimento
pendular é periódico).
Figura 5 – Parâmetros necessários para medir a
gravidade g utilizando um pêndulo simples de massa
m: ângulo inicial de lançamento, (t): ângulo num
instante t; l: comprimento do pêndulo.
l
(t)
Pcos
h
s
Psen
2
2
d sF ma Psen m mgsen
dt
2 2
2 2
d l dm mgsen l gsen
dt dt
2
2
d gsen
dt l
2
20
d gsen
dt l
3 5
3! 5!sen
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8
2
20,1 0
d gsen
dt l
22
20
g d
l dt
0 cost t
2 g
T l
2l
Tg
Velocidade do ponto mais baixo:
cosmt t
cosm
dt
dt
m m m mv l v l
Exemplo: Um pequeno corpo de massa m
está preso a um fio de comprimento l = 1.2 m quando
é solto a partir do repouso a um ângulo 05A .
Sabendo que d = 0.6 m, determine:
(a) o tempo requerido para a bola retornar ao
ponto A.
(b) a amplitude máxima C .
(a) 2 24 4
BCABABCBA
TTT
1.22 2 2.1975
9.81
ABAB AB AB
lT T T s
g
0.62 2 1.5539
9.81
BCBC BC BC
lT T T s
g
1.8757ABCBAT s
(b) A Am AB mv l
A Am m AB
A Am AB m ABv l
A C Cm m BC m BCv v l
A A C Cm AB m AB BC m BC mv l l v
C A
AB ABm m
BC BC
l
l
Como: AB
AB
g
l e BC
BC
g
l :
BCAB
BC AB
l
l
C A
BCABm m
BC AB
ll
l l
C A
ABm m
BC
l
l
0125 7.07
6C Cm m
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Apêndice
Discussão - Pêndulo simples: Caso de qualquer
ângulo inicial
Analisando com a conservação da energia
mecânica:
21
2m c pE E E mv mgh
(para os pontos = 0 e = 0°)
Como:
0cos cosh l l e ( )ds d l d
v ldt dt dt
Substituindo, teremos:
2
0
1cos cos
2
dm l mgl
dt
2
2
0
2
0
1cos cos
2
2 cos cos
dml mgl
dt
d g
dt l
02 cos cosd g
dt l
{1}
0( ) 2 cos cosg
t dl
Se invertermos a relação {1}, teremos:
0
1 1
2 cos cos
dt l
d g
0
1 1
2 cos cos
lt d
g
O período será dado, portanto, por: 4
Tt
0
0 0
4 1
2 cos cos
lT d
g
Como 2 2
22 2 12 2
1 cos 2cos 1
2 2
sensen
0210 2 2
cos 1 sen
0
02 21 10
2 2 2 2
4 1
2 1 1
lT d
g sen sen
0
02 20
2 2
4 1
2 1
2
lT d
gsen sen
0
02 20 2 2
14
lT d
g sen sen
Fazendo a mudança de variável:
0 01 12 2 2 2 2 2
cos cossen sen sen d sen d
0
2
2
coscos
send d
Observe que:
0
2
2
arcs nsen
esen
. Assim, quando
0 20 0
Substituindo, teremos:
0 0
0 0
2
2 2 220 2 2
14 cos
cos
senlT d
g sen sen sen
0 0
0
2
220 2
14 cos
cos1
senlT d
g sen sen
0 0
0
2
220
14 cos
coscos
senlT d
g sen
0
20
14
cos
lT d
g
0
20 2
14
1
lT d
g sen
0
02 20 2
41
l dT
g sen sen
2
02 20 2
41
l dT
g sen sen
Como:
2
2 20 1
dK k
k sen
2
0
0
2
22 2
0 21
dK k sen
sen sen
2
2 2 20
( , )1
dK k F k
k sen
Série:
2 2 2
2 4 61 1 3 1 3 51
2 2 2 4 2 4 6K k k k k
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10
0 0 0 0
2 2 2
2 4 6
2 2 2 2
1 1 3 1 3 51
2 2 2 4 2 4 6K sen sen sen sen
Abramowitz & Stegun – Handbook of
Mathematical functions – 9a Ed..17, pg. 589.
02
24
lT K k sen
g
A expansão em série para a integral elíptica de
primeira espécie K(z) fica:
2 3 49 25 1225( ) 1
2 4 64 256 16384
k k k kK k
0 0 0 0
2 2 2
2 4 6
2 2 2 2
1 1 3 1 3 51
2 2 2 4 2 4 6K sen sen sen sen
2 20
( , )1
dF
sen sen
( , ) ( )2
F k K k
Assim:
0 0 0
2 2 2
2 4 6
2 2 2
1 1 3 1 3 52 1
2 2 4 2 4 6
lT sen sen sen
g
Pêndulo físico
Pêndulo físico é chamado de pêndulo real,
pois não tem uma distribuição uniforme de massa.
Para pequenas amplitudes, o cálculo do
período é :
2I
Tm g h
, onde:
I: momento de inércia,
m: massa do pêndulo,
g: é o valor da aceleração da gravidade e
h: é a distância do ponto de pivô onde o
pêndulo está fixo até seu centro de massa.
Se o ponto de apoio O (de pivô) estiver em
seu centro de massa C, não haverá oscilação.
O pêndulo de Foucault
Adaptado de:
http://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo_de_Foucault
Um pêndulo de Foucault (pronunciado "fu-cô"),
assim chamado em referência ao físico francês Jean
Bernard Léon Foucault, é uma experiência concebida
para demonstrar a rotação da Terra em relação a um
referencial, bem como a existência da força de
Coriolis. A primeira demonstração data de 1851,
quando um pêndulo foi fixado ao teto do Panthéon de
Paris. A originalidade do pêndulo reside no fato de ter
liberdade de oscilação em qualquer direção, ou seja, o
plano pendular não é fixo. A rotação do plano
pendular é devida (e prova) à rotação da Terra. A
velocidade e a direção de rotação do plano pendular
permitem igualmente determinar a latitude do local da
experiência sem nenhuma observação astronômica
exterior.
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Oscilações Forçadas
As vibrações mais importantes do ponto de vista
da engenharia são as vibrações forçadas de um
sistema, que ocorrem quando o sistema é submetido à
uma força periódica ou quando está elasticamente
ligado a um suporte que tem um movimento
alternado.
Suponha uma força periódica do tipo:
mF t F sen t
Onde: Fm é a amplitude de força e a frequência
angular da força externa.
A 2ª Lei de Newton para esse sistema será:
2
2 est m
d xm P k x F sen t
dt
Na ausência de força externa (no equilíbrio):
estP k
Assim:
2
2 m
d xm k x F sen t
dt
mm x k x F sen t
mFkx x sen t
m m
2
0mF
x x sen tm
Aqui chamaremos a frequência angular
natural do sistema como:
0
k
m
A solução da equação diferencial é dada por:
H px t x t x t
Onde: Hx t é a solução da equação
diferencial homogênea:
2
0 0x x
0
0
cosM
H
M
x tx t
x sen t
0 0cosHx t A t B sen t
px t é a solução particular da equação
diferencial:
2
0 1mFx x sen t
m
Podemos considerar como solução particular
a função:
p mx t x sen t
Assim, para satisfazer {1} teremos:
cosp mx t x t
2
p mx t x sen t
Substituindo em {1} teremos:
2 2
0m
m m
Fx sen t x sen t sen t
m
2 2
0m
m
Fx
m
2 2
0
m
m
F
mx
Notas de aula – Capítulo 1 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
12
2
m
m
F
mxk
m
2
mm
Fx
k m
2
1
m
m
F
kx
k
m
2
2
0
1
m
m
F
kx
Chamamos de:
mm
F
k
Assim:
2
0
1
mmx
A solução geral será, portanto:
H px t x t x t
0 0cos mx t A t B sen t x sen t
0 0 2
0
cos
1
mx t A t B sen t sen t
Assim, a vibração obtida consiste em duas
vibrações sobrepostas. Os dois primeiros termos
representam as vibrações livres do sistema, cuja
frequência é chamada de frequência natural do
sistema, que depende apenas da constante da mola k e
da massa m do sistema. Também chamamos de
vibração transitória, pois logo será dominada pelo
termo permanente xp(t) a seguir. As condições
iniciais para a posição inicial x0 e velocidade inicial v0
permitirão calcular os termos A e B.
Podemos ainda a amplitude máxima xm do
termo permanente da forma:
2
0
1
1
m
m
x
2
0
1
1
m m
m m
x x
F k
O fator de ampliação m m
m m
x x
F k versus a
razão das frequências angulares
0
está representado
graficamente, onde se observa uma singularidade em
0 . Nesse caso, a amplitude da vibração forçada
se torna infinita. Dizemos que a força excitadora ou o
movimento excitador do suporte está em ressonância
com o sistema dado. Na realidade essa amplitude
permanece finita devido às forças dissipativas
amortecedoras, que desconsideramos inicialmente;
porém, essa situação deve ser evitada e a frequência
forçada não deve ser escolhida muito próxima da
frequência natural do sistema.
Notamos que para 0 o coeficiente de
sen(.t) é positivo: a vibração forçada está em fase
com a força excitadora ou o movimento excitador do
suporte, enquanto que no caso 0 esse
coeficiente será negativo e ela estará 180° defasada.
Notas de aula – Capítulo 1 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
13
Exemplos
1. Imagine que você está numa
embarcação que oscila na água para cima e para
baixo. O deslocamento vertical y da embarcação é:
1,2 cos2 6
ty m
s
(a) Determinar a amplitude, a freqüência
angular, a constante de fase, a freqüência e o período
do movimento.
(b) Qual a posição da embarcação no instante
t = 1 s?
(c) Determinar a velocidade e a aceleração
iniciais da embarcação.
(d) Determinar a posição, a velocidade e a
aceleração iniciais da embarcação.
Solução:
(a)
1,2 cos cos2 6
m
ty m y t
s
ym = 1.2m;1
2rad
s ;
6rad
24T T s
(b)
1
1 1,2 cos2 6
y t ms
1 1,2 cos 1.024y t m
1 1.2 cos 1.024 0.624y t m m
(c)
0.62 6
y
dy tv sen
dt
0.3cos2 6
y
dv ta
dt
(d)
0
0 1,2 cos2 6
y t ms
0 1.04y m
0
0 0.62 6
yv t sens
00.3 m
y sv
0
0 0.3 cos2 6
ya ts
20
0.260 my s
a
2. Um corpo de 0.8 kg está preso a uma
certa mola de constante elástica k = 400 N/m.
Calcular a freqüência e o período do movimento do
corpo quando for ligeiramente deslocado da posição
de equilíbrio.
Solução:
40022.36
0.8rad
s
k
m
20.28T T s
1
3.56f f HzT
3. Um corpo oscila com freqüência
angular de 8 rad/s. No instante t = 0s, o corpo está na
posição x0 = 4 cm, com a velocidade inicial v0=-25
cm/s.
(a) Determinar a amplitude do movimento.
(b) Dar x em função do tempo.
Solução:
(a)
2
2 00m
vx x
(Amplitude máxima)
x0 = 4 cm =0.04m
v0 = -25 cm/s = 0.25 m/s
= 8 rad/s
2
2 0.250.04 0.0506
8mx m
0
0
0.66v
arctg radx
(b)
cosmx t x t
5.06 cos 8 0.66x t t cm
4. Um corpo de 2kg está preso a uma mola.
A constante de força da mola é de k = 196 N/m. O
corpo, inicialmente, está a 5 cm de distância da
posição de equilíbrio e é solto no instante t = 0.
(a) Calcular a freqüência angular , a
freqüência f e o período T do movimento.
(b) Dar a equação de x em função do tempo t.
Solução:
(a) 196
9.902
rads
k
m
20.633T T s
1
1.58f f HzT
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14
(b) x0 = 5 cm =0.05m
v0 = 0 m/s
= 9.90 rad/s
2
2 00.05 0.05
9.90mx m
0
0
0v
arctg radx
5 cos 9.90x t t cm
5. Seja um corpo preso a uma mola com o
movimento descrito pela equação:
5 cos 9.90x t t cm
(a) Qual a velocidade máxima do corpo?
(b) Em que instante o corpo tem esta
velocidade máxima?
(c) Qual a aceleração máxima do corpo?
(d) Em que instante o corpo tem essa
aceleração máxima?
Solução:
(a) 5 cos 9.90dx d
v tdt dt
mv t x sen t
m mv x
9.9 0.05 495 cmm s
v
(b)
3 5
1 , ,2 2 2
sen t t
0.1592 2 2 9.90
t t s
(c)
m
dv da x sen t
dt dt
2 cosma t x t 2
m ma x
2
29.9 0.05 490 cmm s
a (d) t = 0s.
6. Um corpo preso a uma mola, de massa
3kg, oscila com amplitude 4 cm e período 2s.
(a) Qual a energia mecânica total do sistema?
(b) Que velocidade máxima tem o corpo?
(c) Em que posição x1 a velocidade é metade
da velocidade máxima?
Solução:
(a) 2
T
2m
Tk
2
24
mk
T
2
2
34
2k
29.6 Nm
k
2
2
mk xE
229.6 0.04
2E
22.37 10E J
(b)
22
0.1262
m mm s
m v EE v
m
(c)
2 2
2 2
m v k xE K U
max2
22
2 2
vm k x
E
x = 3.46 cm.
7. Um corpo de 3 kg, pendurado numa certa
mola, provoca o esticamento de 16 cm. O corpo é
deslocado ligeiramente dessa posição de equilíbrio e
solto para que oscile preso à mola.
(a) Determinar a freqüência do movimento.
(b) Determinar a freqüência se o corpo de 3 kg
for substituído por um de 6 kg.
Solução:
(a)
0
0
184 Nm
m gm g k y k
y
2f
1
11.25
2
kf Hz
m
Notas de aula – Capítulo 1 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
15
(b)
2
10.884
2
kf Hz
m
8. Calcular no exemplo anterior e determinar
vmax.
Resposta
= 3.14 rad/s; vmax=0.126 m/s.
9. Um corpo de 2 kg e massa oscila preso a
uma mola de k = 40 N/m. Sua velocidade é 25 cm/s
quando está na posição de equilíbrio.
(a) Qual a energia total do sistema oscilante?
(b) Qual a amplitude do movimento?
Resposta (a) 0.0625J.
(b) 5.59 cm.
10. Um corpo de 4 kg, pendurado numa
mola, provoca o esticamento de 16 cm. O corpo é
deslocado ligeiramente dessa posição de equilíbrio e
solto para que oscile preso à mola.
(a) Determine a freqüência do movimento.
(b) Determine a freqüência se o corpo for
substituído por outro de 8 kg.
11. Uma plataforma oscila com freqüência de
4 Hz e amplitude 7 cm, presa a uma mola vertical.
Uma pequena conta é pousada na plataforma no exato
momento em que ela se encontra na posição mais
baixa. Admita que a conta seja leve de forma que não
altere a oscilação.
(a) A que distância da posição de equilíbrio
da plataforma sobre a mola a conta perde contato com
a plataforma?
(b) Qual a velocidade da conta no instante
em que abandona a plataforma?
Resposta (a) 1.55cm.
(b) 1.72 m/s.
12. O corpo de 3 kg do exemplo
anterior estica 16 cm a mola quando pendurado na
vertical e em equilíbrio. A mola é então alongada
outros 5 cm em relação à posição de equilíbrio e o
sistema é solto para oscilar livremente. Calcular a
energia total e a energia potencial da mola quando o
corpo está na posição de deslocamento máximo.
Resposta E = 0.23 J.
1.70 J.
13. Calcular o período de oscilação de
um pêndulo simples com 1 m de comprimento.
Resposta T = 2.01 s.
14. Um pêndulo simples com o
comprimento de 1 m está num vagão que se desloca
com aceleração a0 = 3m/s2. Calcular a aceleração g´ e
o período T.
Resposta g´= 10.3 m/s
2 e T = 1.96s.
15. Um relógio de pêndulo é calibrado para
manter o período exato de oscilação com um ângulo
= 100. Se a amplitude das oscilações diminuir e ficar
muito pequena, o relógio irá adiantar ou atrasar? Qual
o valor do atraso ou do adiantamento em um dia?
Resposta Adianta. 2.74 min por dia.
16. Uma barra homogênea de massa M
e comprimento L está suspensa por uma das
extremidades.
(a) Calcular o período da oscilação quando
os deslocamentos angulares forem pequenos.
(b) Calcular o período de oscilação se o
ponto de suspensão P estiver à distância x do centro
de massa.
Resposta
(a) 2
23
lT
g
(b)
2 21
122
l x
Tx g
17. Qual o período de oscilação, com
deslocamentos angulares pequenos, de uma barra de
um metro suspensa por uma de suas extremidades?
Notas de aula – Capítulo 1 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
16
Resposta T = 1.64 s.
18. Mostrar que, quando x = l/6, o período é
igual ao da oscilação quando x = l/2.
19. Determinar o valor de x, no
exemplo 16, para o qual o período é um mínimo.
Resposta
12
lx
20. Um motor pesando 1750 N está
apoiado por 4 molas, cada uma com constante elástica
de 105 kN/m. O desbalanceamento do rotor é
equivalente a um peso de 0.3 N localizado a 0.15 m
do eixo de rotação. Sabendo que o motor é obrigado a
mover-se verticalmente, determine:
(a) a frequência em rpm que ocorrerá a
ressonância.
(b) a amplitude da vibração do motor na
frequência de 1200 rpm.
Solução:
(a) 4e
m
k k
m P g
34 150 1058
1750 9.81
rad
s
58
2 2f f
9.23 9.23 60f Hz f rpm
554f rpm
(b) Amplitude de força:
22 2d
m d m
PF m r F f r
g
2 24 dm
PF f r
g
2
2 0.3 12004 0.15
9.81 60mF
72.43mF N
2
0
1
1
m
m
x
3
72.43
4 150 10
mm m
e
F
k
41.207 10m m
2
0
1
1
m
m
x
f
f
2
1
12001
554
m
m
x
0.2708m
m
x
40.2708 1.207 10mx
53.2 10mx
21. Um pêndulo simples de massa m
funciona como um relógio.
(a) Encontre seu comprimento.
(b) Calcule o novo valor do período sem
considerar a aproximação de pequenos ângulos para
cada ângulo dado na tabela.
0 0 0
2 2 2
2 4 6
2 2 2
1 1 3 1 3 52 1
2 2 4 2 4 6
lT sen sen sen
g
0(°) 180
(rad)
T(s)
5 5
180
10 10
180
15 15
180
20 20
180
25 25
180
30 30
180
35 35
180
40 40
180
45 45
180 1.00193
50 50
180
Notas de aula – Capítulo 1 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
17
Solução:
(a) 2l
Tg
2 2
2 2
19.81
4 4
Tl g l
0.2485l m
Beer Johnston – Capítulo 19
19.1 Um ponto material desloca-se em
movimento harmônico simples com aceleração
máxima de 3,00 m/s2 e sua máxima velocidade, 150
mm/s. Determine a amplitude e a freqüência do
movimento.
19.2 Determine a máxima velocidade e a
máxima aceleração do um ponto material que se
move em movimento harmônico simples com
amplitude de 150 mm e período de 0.90s.
19.3 O cursor está preso à mola ilustrada na
figura e pode deslizar sem atrito na barra horizontal.
Se o cursor for afastado 0.102 m de sua posição de
equilíbrio e liberado, determinar o período, a
velocidade máxima e a aceleração máxima do
movimento resultante. A massa vale 2.27 kg e a
constante da mola, 525 N/m.
A
19.4 Um cursor de 1,36 kg está preso a uma
mola de constante 700 N/m e poda deslizar sem atrito
ao longo de uma haste horizontal. O cursor
inicialmente em repouso receba um golpe, adquirindo
uma velocidade de 1.27 m/s. Determine a amplitude e
a máxima aceleração do cursor durante o movimento
subseqüente.
19.5 Um motor de velocidade variável está
rigidamente preso à viga BC. O motor está
ligeiramente desbalanceado e faz a viga vibrar com
freqüência angular igual à velocidade do motor.
Quando a velocidade do motor é menor que
450 rpm ou mais que 900 rpm, observa-se que um
pequeno objeto colocado em A permanece em contato
com a viga. Para velocidades entra 450 e 900 rpm o
objeto "dança" e realmente perde o contato com a
barra. Determine a amplitude do movimento de A
quando a velocidade do motor é:
(a) 450 rpm, (b) 900 rpm.
A
19-6. Coloca-se um pacote B sobra uma
mesa oscilante, como indica a figura. A mesa se
move horizontalmente em movimento harmônico
simples com freqüência de 3 Hz. Sabendo que o
coeficiente de atrito estático pacote-mesa é = 0.40,
determine a máxima amplitude do pacote para que ele
não escorregue da mesma.
19.7 O cursor de 3.00 kg repousa sobre,
mas não está preso a, a mola Ilustrada. O cursor é
pressionado 0.050 m e liberado. Se o movimento que
se segue é harmônico, determine
(a) o valor máximo permissível da
constante k da mola
(b) a posição, a velocidade e a aceleração
do cursor 0.15 s após ele ter sido solto.
19.8 Um cursor de 4.00 kg está preso a uma
mola de constante k = 800N/m como ilustrado. Se a
ele é dado um deslocamento de 40 mm para baixo de
sua posição de equilíbrio, determine
(a) o tempo necessário para o cursor
mover-se 60 mm para cima e
(b) a sua aceleração correspondentes.
19.9 Um cursor de 1.36 kg está ligado a
uma mola da constante k = 876 N/m como ilustrado.
Se deslocarmos o cursor 63.5 mm para baixo da sua
posição de equilíbrio, determine
(a) o tempo gasto pelo cursor para ele se
mover 50.8 mm para cima
(b) suas correspondentes velocidade e
aceleração.
19.10 No Problema 19.9, determine a
posição, a velocidade e a aceleração do cursor, 0.20s
após sua liberação.
19.11 e 19.12 Sustenta-se um bloco por
meio de molas, como indicam as figuras. Se
movermos o bloco verticalmente para baixo de sua
posição de equilíbrio e então o soltarmos, determine:
(a) o período e a freqüência do movimento
e
(b) a velocidade e a aceleração máxima
atingidas pelo bloco para uma amplitude de 0,0318 m.
Notas de aula – Capítulo 1 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
18
2.63 kN/m 2.63 kN/m
1.75 kN/m
19.13 e 19.14 O bloco mostrado na figura
foi deslocado verticalmente para cima da posição de
equilíbrio, e, então, liberado. Determine
(a) o período e a freqüência do movimento
adquirido pelo bloco e
(b) a velocidade e a aceleração máximas
para um movimento com amplitude de 25 mm.
19.15 O período de vibração do sistema
indicado na figura é de 0.40s. Com a remoção do
cilindro B, o período se torna igual a 0.30 s.
Determine:
(a) a massa do cilindro
(b) a constante elástica da mola.
19.16 O período de vibração do sistema
indicado na figura é 1.5º s. Se substituirmos o cilindro
B por outro de peso igual a 17.8 N, o período passará
a ser de 1.6 8. Determinar
(a) a massa do cilindro A e
(b) a constante da mola.
19.17 Uma bandeja de massa m, presa a três
molas tem o período de vibração igual a 0.50s.
Colocando-se um bloco de 1.50 kg sobre a bandeja, o
período se altera para 0.60 s. Sabendo que a amplitude
das vibrações é pequena, determine a massa m da
bandeja.
19.18 O período de vibração do sistema
bandeja-molas é 0.75s. Removendo-se a mola central
C, o período se altera para 0.90 s. Sabendo-se que a
constante da mola C vale 100N/m, determinar a
massa m da bandeja.
19.19 Um cursor de massa m desliza
sem atrito numa barra horizontal e está presa
uma mola AB de constante k.
(a) Se o comprimento da mola não
deformada é exatamente ic mostre que o cursor
não executa um movimento harmónico simples
mesmo quando as osc são de pequena amplitude,
(b) Se o comprimento da mola não
deformada é menor que /, mós;
o movimento é harmónico simples para pequenas
amplitudes.
19.20 A barra AB esta presa d uma
articulação A e a duas molas, cada uma de constante
elástica k. Quando h = 0,60 m, d = 0.25 m e m =
25kg, determine o valor de k para que o período de
pequenas oscilações seja
(a) 1.0 s.
(b) infinito.
Despreze o peso da barra e suponha que
cada mola pode atuar tanto na tração como na
compressão.
Notas de aula – Capítulo 1 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
19
s
P
Fe
h
d
R eF F P sen
2e
e
k
F k x
2RF k x m g sen
x d
2RF k d m g sen
2RF k d m g sen
2RF k d m g sen
2Rm a k d m g sen
2
22
d sm k d m g sen
dt
2
22
d hm k d m g sen
dt
2
2
2d k d m gsen
dt m h
2
2
20
d mg k dsen
dt m h
2
2
20
d mg k d
dt m h
22
20
d
dt
2 2 2mg k d mg k d
m h m h
2 2mg k d
T m h
22
m hT
mg k d
2 242
m hT
mg k d
2 242
m hT
mg k d
2 2 25 0.61 4
25 9.81 2 0.25k
245.25 0.5 592.17k
1
n
i
I
eP sen h F d I
22m g sen h k x d m h
22m g sen h k d d m h
22m g h k d d m h
22m g h k d d m h
2 22m h m g h k d
2
2
2m g h k d
m h
2
2
20
k d m g h
m h
2
2
2k d m g h
m h
22
2
2k d m g h
m h
2 2
2
2 2k d m g h
T m h
2 2
2 2 2
4
2 2
m h m g hk
T d d
2 2
2 2 2
2
2
m h m g hk
T d d
2 2
2 2 2
2 25 0.6 25 9.81 0.6
1 0.5 2 0.25k
Notas de aula – Capítulo 1 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
20
2 2
2 2 2
78.955 1177.2
2 25 0.6 25 9.81 0.6
1 0.5 2 0.25k
1256.16N
km
21256.2
2T T
m g h Nk k
d m
19.21 Se d = 0.40m, h = 0.60m e cada mola
tem uma constante elástica k = 700 N/m, determine a
massa m para a qual o período de oscilações pequenas
é
(a) 0.50s
(b) infinito.
19.22 Denotando por est a deflexão estática
de uma viga sob uma determinada carga, mostre que a
freqüência de vibração da carga é:
1
2 est
gf
21.23 Desenvolvendo o integrando de:
0
02 20 2 2
14
lT d
g sen sen
Numa série de potências pares de sen e integrando,
mostre que o período de um pêndulo simples de
comprimento l pode ser dado aproximadamente pela
fórmula:
212 1
4 2
mlT sen
g
Onde m é a amplitude das oscilações.
19.24 Utilizando a fórmula dada anterior,
determine a amplitude m para a qual o período de um
pêndulo simples é 1% maior que o período do mesmo
pêndulo para pequenas oscilações.
19.25 Utilizando os dados da tabela 19.1,
determine o período de um pêndulo simples de
750mm de comprimento
(a) para pequenas oscilações,
(b) para oscilações de amplitude m = 600 e
(c) para oscilações de amplitude m = 900.
19.26 Utilizando a tabela de integrais
elípticas, determine o período de um pêndulo simples
de comprimento l = 750 mm se a amplitude das
oscilações é de m = 500.
Notas de aula – Capítulo 1 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
21
Atividade
1a Parte:
Utilizando o programa Interactive Physics
(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do
arquivo osh.ip
Fazer as simulações indicadas na tabela a
seguir, seguindo o procedimento:
i k
(N/m) m
(kg) v0
(m/s) L
(m) x0
(m) T (s)
f (Hz)
0 (rad/s)
xm (m)
(0)
vm (m/s)
am (m/s2)
1 50 1 0 1,75
2 50 1 0,50 1,75
3 100 2 0 1,75
4 100 2 1,00 1,50
5 500 5 0 1,80
6 10000 10 0,50 1,80
7
Trabalho PARTE 2 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Procedimento para simulações:
1. Escolha o botão do controle da constante
elástica k da mola e coloque o valor indicado na
simulação.
2. Escolha o botão do controle da massa do
bloco e coloque o valor indicado na simulação.
3. Clique duas vezes no bloco e altere o valor
da posição inicial x0 e da velocidade inicial v0 de
acordo com a simulação i.
4. Clique duas vezes com o botão esquerdo do
mouse sobre a mola e confira os valores de L e L0 da
mola.
5. Faça a simulação e observe os gráficos x(t),
v(t) e a(t).
6. Confira os valores indicados como mostra a
tabela que você completou em sala de aula.
7. Faça as simulações usando o programa
graphdpr, acessando oscilações mecânicas, e construa
os gráficos, para cada simulação:
x(t) versus t.
v(t) versus t.
a(t) versus t.
Ec(t) versus t.
Ep(t) versus t.
EM(t) versus t.
Faça o download em:
www.claudio.sartori.nom.br
8. Confira os dados calculados em classe com a
execução do programa graphdpr.
Formulário – Oscilador Harmônico
Posição x(t):
0( ) ( )mx t x sen t
Ou
0( ) cos( )mx t x t
Velocidade v(t):
( )dx
v tdt
Aceleração a(t):
( )dv
a tdt
Freqüência angular:
m
k0
Freqüência:
0
2f
Período:
0
2 1T
f
Máxima amplitude xm:
2
2 00
0
m
vx x
(se 0( ) ( )mx t x sen t )
Fase :
0
0
varctg
x
(se 0( ) ( )mx t x sen t )
2a Parte:
Utilizando o programa Interactive Physics
(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do
arquivo osh2.ip e osh3.ip.
Trabalho PARTE 2 – Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Problemas
1. Para cada caso:
(a) Encontre a freqüência angular 0 natural.
Encontre o período T e a freqüência f.
Complete a tabela. Caso
i
ke
(N/m)
m
(kg)
v0
(m/s) 0
(rad/s)
x0
(m)
T
(s)
f
(Hz)
1 0,75 0 0,25
2 0,75 0 0,25
3 0,75 0 0,25
(b) As equações x(t), v(t) e a(t) para cada caso,
onde x0 = 0.25 m e v0 = 0m/s.
Dados:
k = 50N/m; m = 0,75 kg
2. Dado o sistema da figura:
Dados:
k = 300N/m; m = 0,75 kg e Fm = 50 N.
(a) O valor da freqüência de ressonância:
m
k0
(b) O valor da amplitude de deformação para
cada valor da tabela dada:
2
0
1
mmx
(rad/s)
xm
(m)
0.2 0
0.4 0
0.6 0
0.8 0
1.2 0
1.8 0
2.0 0
4.0 0
(c) Faça um gráfico de m
m
x
versus 0
(d) Faça os gráficos de x(t), v(t) e a(t) usando
x0=0.25m e v0=0 para cada do item (c).
3. Dado o pêndulo simples com 0 = 20.
(a) Faça o cálculo do período para:
l = 0,2 m e l = 0,3 m.
(b) Encontre a freqüência angular para os valores
do comprimento do pendulo acima.
(c) Ache a função s(t) sabendo que em t = 0 v0=0.
MA - N1- Mecânica Aplicada – Oscilações Forçadas, Amortecidas e amortecidas forçadas 1
1
Procedimento para simulações:
9. Escolha o botão do controle da constante elástica k
da mola e coloque o valor indicado na simulação.
10. Escolha o botão do controle da massa do bloco e
coloque o valor indicado na simulação.
11. Clique duas vezes no bloco e altere o valor da
posição inicial x0 e da velocidade inicial v0 de acordo com a
simulação i.
12. Clique duas vezes com o botão esquerdo do mouse
sobre a mola e confira os valores de L e L0 da mola.
13. Faça a simulação e observe os gráficos x(t), v(t) e
a(t).
14. Confira os valores indicados como mostra a tabela
que você completou em sala de aula.
15. Faça as simulações usando o programa graphdpr,
acessando oscilações mecânicas, e construa os gráficos,
para cada simulação:
x(t) versus t.
v(t) versus t.
a(t) versus t.
Ec(t) versus t.
Ep(t) versus t.
EM(t) versus t.
Faça o download em:
www.claudio.sartori.nom.br
16. Confira os dados calculados em classe com a
execução do programa graphdpr.
17. Em oscilações livres forçadas há a possibilidade de
construir os gráficos com:
2
mF m r
Formulário – Oscilador Harmônico e
forçado
Posição x(t):
0 0( ) ( ) cos( )Hx t Asen t B t
( )P mx t x sen t
( ) ( ) ( )H Px t x t x t
0 0( ) ( ) cos( ) mx t Asen t B t x sen t
Velocidade v(t):
( )dx
v tdt
Aceleração a(t):
( )dv
a tdt
Freqüência angular:
m
k0
Freqüência:
0
2f
Período:
0
2 1T
f
Máxima amplitude xm:
2
0
1
mmx