UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA ELEacuteTRICA E DE COMPUTACcedilAtildeO

EE754 ndash ONDAS GUIADAS

Guias de OndaFibras OacutepticasProf Lucas Heitzmann Gabrielli

Geometria

2119886

nuacutecleo

casca

Perfis de iacutendicesMonomodo degrau (125 microm)

119899

119903

11989911198992

asymp 8 microm

1198992 = 1198991(1 minus Δ)

1198991 asymp 146 Δ asymp 0005

Multimodo degrau (140 microm)

119899

119903

1198991

1198992

asymp 100 microm

1198992 = 1198991(1 minus Δ)

1198991 asymp 147 Δ asymp 001

Multimodo gradual (125 microm)

119899

119903

1198991

1198992

asymp 50 microm

1198992 = 1198991radic

1 minus 2Δ

1198991 asymp 147 Δ asymp 001

Mon

omod

oM

ultim

odo

bull Baixa distorccedilatildeo

bull Transmissatildeo por longas distacircncias

bull Altas taxas de transmissatildeo

bull Geraccedilatildeo de sinais via laser

bull Faacutecil acoplamento do sinal

bull Alinhamento de conexotildees menos criacutetico

bull Fibras plaacutesticas

bull Geraccedilatildeo de sinais via LED

984786

984786

Desempenho

Custo

Modelo em oacuteptica geomeacutetrica

120579119894 1205791199051205872 minus 120579119905 1198991

1198992

11989921198990

1205872

minus 120579119905 ge 120579crit = arcsin 98475311989921198991

984754 hArr sin 9847091205872

minus 120579119905984710 = cos 120579119905 ge 11989921198991

hArr

hArr 9849751 minus sin2 120579119905 ge 11989921198991

rArr 1 minus1198992

01198992

1sin2 120579119894 ge

11989922

11989921

hArr sin 120579119894 le9849751198992

1 minus 11989922

1198990

Abertura numeacuterica NA = 98497511989921 minus 1198992

2 Cone de aceitaccedilatildeo 120579119886 = arcsin 984687NA1198990

984688

Modelo eletromagneacutetico

Calculamos os modos completos do guia circular dieleacutetrico (com perfil degrau) utilizando osmesmos meacutetodos que para os guias jaacute estudados Escolhemos soluccedilotildees para as componenteslongitudinais da forma

119864119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198641J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

1198642K119898(1205721199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

119867119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198671J119898(1198961199051119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 le 119886

1198672K119898(1205721199052119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 ge 119886

A seguir aplicando as condiccedilotildees de contorno (campos tangenciais agrave fronteira entre meioscontiacutenuos) veriacuteamos a necessidade de utilizar ambos 119864119911 e 119867119911 para satisfazer as equaccedilotildeesconcluindo que as soluccedilotildees gerais desse guia satildeo modos hiacutebridos

Podemos contudo simplificar significativamente o problema assumindo que a diferenccedila de iacutendicesentre a casca e o nuacutecleo eacute muito pequena o que eacute verdade para a maior parte das fibras oacutepticas

Equaccedilatildeo de onda em meios natildeo homogecircneosDa lei de Gauss (eleacutetrica) em um meio sem fonte temos

nabla sdot 119811 = nabla sdot (120576119812) = nabla120576 sdot 119812 + 120576nabla sdot 119812 = 0 hArr nabla sdot 119812 = nabla120576120576

sdot 119812

Utilizando essa igualdade na derivaccedilatildeo convencional da equaccedilatildeo de onda

nabla times nabla times 119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla(nabla sdot 119812) minus nabla2119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla2119812 + 1205962120583120576119812 = nabla 984731nabla120576120576

sdot 119812984732

No lado esquerdo dessa igualdade as componentes vetoriais retangulares natildeo se misturam umasagraves outras o lado direito eacute responsaacutevel pelo acoplamento entre componentes

Caso nabla120576120576 asymp 0 o campo eleacutetrico tenderaacute a manter sua polarizaccedilatildeo O mesmo ocorre com o campo

magneacutetico em relaccedilatildeo a nabla120583120583

Aproximaccedilatildeo de guiamento fraco

Consideramos que 1198991minus11989921198991

≪ 1 Nesse caso os modos guiados pela fibra oacuteptica seratildeo (na nossaaproximaccedilatildeo) linearmente polarizados Considerando o campo eleacutetrico transversal polarizado em119854119910 (anaacutelogo para 119854119909)

119812119905 = 119864119910119854119910

Como vimos nos guias laminares um guia dieleacutetrico em condiccedilatildeo de guiamento fraco 1198991 ≳ 1198992suporta um modo similar a uma onda plana Neste caso

119815119905 asymp 1120578

119854119911 times 119812119905 = minus119864119910

120578119854119909 = 119867119909119854119909 rArr 119867119909 = minus

119864119910

120578

Por fim as componentes longitudinais seratildeo dadas pelas leis de Faraday e Ampegravere

119867119911 = 119895120596120583

part119864119910

part119909119864119911 = 119895

120596120576part119867119909part119910

= minus 119895120596120576120578

part119864119910

part119910

Equaccedilatildeo de ondaDevemos resolver ainda a equaccedilatildeo de onda (homogecircnea) para determinar 119864119910 em cada meio

nabla2119905 119812 + 1198962

119905 119812 = 0 rArr nabla2119905 119864119910 + 1198962

119905 119864119910 = 0

A soluccedilatildeo jaacute conhecida em coordenadas ciliacutendricas eacute escolhida na forma

119864119910 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

119860J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

119861K119898(1205721199052119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

(1205721199052 = 1198951198961199052)

O termo em Y119898(1198961199051119903) que apareceria na regiatildeo 119903 le 119886 diverge em 119903 = 0 sendo portantoeliminado da soluccedilatildeo Similarmente I119898(1205721199052119903) diverge em 119903 rarr infin natildeo representando soluccedilatildeofisicamente aceitaacutevel

Notamos aqui que assim como ocorreu para os guias metaacutelicos circulares haacute a existecircncia de 2famiacutelias de soluccedilotildees geradas pela escolha entre seno ou cosseno

Componentes longitudinais

119867119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

1198951205961205831

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 le 119886

1198951205961205832

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 ge 119886

119864119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

minus 11989512059612057611205781

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 le 119886

minus 11989512059612057621205782

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 ge 119886

Onde usamospart

part119909= d119903

d119909partpart119903

+ d120593d119909

partpart120593

= cos 120593 partpart119903

minus sin 1205931119903

partpart120593

partpart119910

= sin 120593 partpart119903

+ cos 1205931119903

partpart120593

Condiccedilotildees de contornoAplicamos as condiccedilotildees de contorno em 119903 = 119886 considerando que 1205761 asymp 1205762 1205831 asymp 1205832 e 1205781 asymp 1205782

9847571198601198961199051Jprime119898(1198961199051119886) = 1198611205721199052Kprime

119898(1205721199052119886)119860J119898(1198961199051119886) = 119861K119898(1205721199052119886)

rArr 119906J119898minus1(119906)J119898(119906)

= minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

onde usamos

Jprime119898(119911) = minus119898

119911J119898(119911) + J119898minus1(119911) Kprime

119898(119911) = minus119898119911

K119898(119911) minus K119898minus1(119911)

e as grandezas 119906 e 119908 satildeo definidas como

119906 = 1198961199051119886 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

119890

119908 = 1205721199052119886 = 11989601198869849751198992119890 minus 1198992

2

119907 = 9849741199062 + 1199082 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

2 (frequecircncia normalizada)

A 119899-eacutesima soluccedilatildeo da equaccedilatildeo transcendental para 119899119890 define o modo LPmn

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Geometria

2119886

nuacutecleo

casca

Perfis de iacutendicesMonomodo degrau (125 microm)

119899

119903

11989911198992

asymp 8 microm

1198992 = 1198991(1 minus Δ)

1198991 asymp 146 Δ asymp 0005

Multimodo degrau (140 microm)

119899

119903

1198991

1198992

asymp 100 microm

1198992 = 1198991(1 minus Δ)

1198991 asymp 147 Δ asymp 001

Multimodo gradual (125 microm)

119899

119903

1198991

1198992

asymp 50 microm

1198992 = 1198991radic

1 minus 2Δ

1198991 asymp 147 Δ asymp 001

Mon

omod

oM

ultim

odo

bull Baixa distorccedilatildeo

bull Transmissatildeo por longas distacircncias

bull Altas taxas de transmissatildeo

bull Geraccedilatildeo de sinais via laser

bull Faacutecil acoplamento do sinal

bull Alinhamento de conexotildees menos criacutetico

bull Fibras plaacutesticas

bull Geraccedilatildeo de sinais via LED

984786

984786

Desempenho

Custo

Modelo em oacuteptica geomeacutetrica

120579119894 1205791199051205872 minus 120579119905 1198991

1198992

11989921198990

1205872

minus 120579119905 ge 120579crit = arcsin 98475311989921198991

984754 hArr sin 9847091205872

minus 120579119905984710 = cos 120579119905 ge 11989921198991

hArr

hArr 9849751 minus sin2 120579119905 ge 11989921198991

rArr 1 minus1198992

01198992

1sin2 120579119894 ge

11989922

11989921

hArr sin 120579119894 le9849751198992

1 minus 11989922

1198990

Abertura numeacuterica NA = 98497511989921 minus 1198992

2 Cone de aceitaccedilatildeo 120579119886 = arcsin 984687NA1198990

984688

Modelo eletromagneacutetico

Calculamos os modos completos do guia circular dieleacutetrico (com perfil degrau) utilizando osmesmos meacutetodos que para os guias jaacute estudados Escolhemos soluccedilotildees para as componenteslongitudinais da forma

119864119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198641J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

1198642K119898(1205721199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

119867119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198671J119898(1198961199051119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 le 119886

1198672K119898(1205721199052119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 ge 119886

A seguir aplicando as condiccedilotildees de contorno (campos tangenciais agrave fronteira entre meioscontiacutenuos) veriacuteamos a necessidade de utilizar ambos 119864119911 e 119867119911 para satisfazer as equaccedilotildeesconcluindo que as soluccedilotildees gerais desse guia satildeo modos hiacutebridos

Podemos contudo simplificar significativamente o problema assumindo que a diferenccedila de iacutendicesentre a casca e o nuacutecleo eacute muito pequena o que eacute verdade para a maior parte das fibras oacutepticas

Equaccedilatildeo de onda em meios natildeo homogecircneosDa lei de Gauss (eleacutetrica) em um meio sem fonte temos

nabla sdot 119811 = nabla sdot (120576119812) = nabla120576 sdot 119812 + 120576nabla sdot 119812 = 0 hArr nabla sdot 119812 = nabla120576120576

sdot 119812

Utilizando essa igualdade na derivaccedilatildeo convencional da equaccedilatildeo de onda

nabla times nabla times 119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla(nabla sdot 119812) minus nabla2119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla2119812 + 1205962120583120576119812 = nabla 984731nabla120576120576

sdot 119812984732

No lado esquerdo dessa igualdade as componentes vetoriais retangulares natildeo se misturam umasagraves outras o lado direito eacute responsaacutevel pelo acoplamento entre componentes

Caso nabla120576120576 asymp 0 o campo eleacutetrico tenderaacute a manter sua polarizaccedilatildeo O mesmo ocorre com o campo

magneacutetico em relaccedilatildeo a nabla120583120583

Aproximaccedilatildeo de guiamento fraco

Consideramos que 1198991minus11989921198991

≪ 1 Nesse caso os modos guiados pela fibra oacuteptica seratildeo (na nossaaproximaccedilatildeo) linearmente polarizados Considerando o campo eleacutetrico transversal polarizado em119854119910 (anaacutelogo para 119854119909)

119812119905 = 119864119910119854119910

Como vimos nos guias laminares um guia dieleacutetrico em condiccedilatildeo de guiamento fraco 1198991 ≳ 1198992suporta um modo similar a uma onda plana Neste caso

119815119905 asymp 1120578

119854119911 times 119812119905 = minus119864119910

120578119854119909 = 119867119909119854119909 rArr 119867119909 = minus

119864119910

120578

Por fim as componentes longitudinais seratildeo dadas pelas leis de Faraday e Ampegravere

119867119911 = 119895120596120583

part119864119910

part119909119864119911 = 119895

120596120576part119867119909part119910

= minus 119895120596120576120578

part119864119910

part119910

Equaccedilatildeo de ondaDevemos resolver ainda a equaccedilatildeo de onda (homogecircnea) para determinar 119864119910 em cada meio

nabla2119905 119812 + 1198962

119905 119812 = 0 rArr nabla2119905 119864119910 + 1198962

119905 119864119910 = 0

A soluccedilatildeo jaacute conhecida em coordenadas ciliacutendricas eacute escolhida na forma

119864119910 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

119860J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

119861K119898(1205721199052119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

(1205721199052 = 1198951198961199052)

O termo em Y119898(1198961199051119903) que apareceria na regiatildeo 119903 le 119886 diverge em 119903 = 0 sendo portantoeliminado da soluccedilatildeo Similarmente I119898(1205721199052119903) diverge em 119903 rarr infin natildeo representando soluccedilatildeofisicamente aceitaacutevel

Notamos aqui que assim como ocorreu para os guias metaacutelicos circulares haacute a existecircncia de 2famiacutelias de soluccedilotildees geradas pela escolha entre seno ou cosseno

Componentes longitudinais

119867119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

1198951205961205831

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 le 119886

1198951205961205832

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 ge 119886

119864119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

minus 11989512059612057611205781

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 le 119886

minus 11989512059612057621205782

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 ge 119886

Onde usamospart

part119909= d119903

d119909partpart119903

+ d120593d119909

partpart120593

= cos 120593 partpart119903

minus sin 1205931119903

partpart120593

partpart119910

= sin 120593 partpart119903

+ cos 1205931119903

partpart120593

Condiccedilotildees de contornoAplicamos as condiccedilotildees de contorno em 119903 = 119886 considerando que 1205761 asymp 1205762 1205831 asymp 1205832 e 1205781 asymp 1205782

9847571198601198961199051Jprime119898(1198961199051119886) = 1198611205721199052Kprime

119898(1205721199052119886)119860J119898(1198961199051119886) = 119861K119898(1205721199052119886)

rArr 119906J119898minus1(119906)J119898(119906)

= minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

onde usamos

Jprime119898(119911) = minus119898

119911J119898(119911) + J119898minus1(119911) Kprime

119898(119911) = minus119898119911

K119898(119911) minus K119898minus1(119911)

e as grandezas 119906 e 119908 satildeo definidas como

119906 = 1198961199051119886 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

119890

119908 = 1205721199052119886 = 11989601198869849751198992119890 minus 1198992

2

119907 = 9849741199062 + 1199082 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

2 (frequecircncia normalizada)

A 119899-eacutesima soluccedilatildeo da equaccedilatildeo transcendental para 119899119890 define o modo LPmn

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Perfis de iacutendicesMonomodo degrau (125 microm)

119899

119903

11989911198992

asymp 8 microm

1198992 = 1198991(1 minus Δ)

1198991 asymp 146 Δ asymp 0005

Multimodo degrau (140 microm)

119899

119903

1198991

1198992

asymp 100 microm

1198992 = 1198991(1 minus Δ)

1198991 asymp 147 Δ asymp 001

Multimodo gradual (125 microm)

119899

119903

1198991

1198992

asymp 50 microm

1198992 = 1198991radic

1 minus 2Δ

1198991 asymp 147 Δ asymp 001

Mon

omod

oM

ultim

odo

bull Baixa distorccedilatildeo

bull Transmissatildeo por longas distacircncias

bull Altas taxas de transmissatildeo

bull Geraccedilatildeo de sinais via laser

bull Faacutecil acoplamento do sinal

bull Alinhamento de conexotildees menos criacutetico

bull Fibras plaacutesticas

bull Geraccedilatildeo de sinais via LED

984786

984786

Desempenho

Custo

Modelo em oacuteptica geomeacutetrica

120579119894 1205791199051205872 minus 120579119905 1198991

1198992

11989921198990

1205872

minus 120579119905 ge 120579crit = arcsin 98475311989921198991

984754 hArr sin 9847091205872

minus 120579119905984710 = cos 120579119905 ge 11989921198991

hArr

hArr 9849751 minus sin2 120579119905 ge 11989921198991

rArr 1 minus1198992

01198992

1sin2 120579119894 ge

11989922

11989921

hArr sin 120579119894 le9849751198992

1 minus 11989922

1198990

Abertura numeacuterica NA = 98497511989921 minus 1198992

2 Cone de aceitaccedilatildeo 120579119886 = arcsin 984687NA1198990

984688

Modelo eletromagneacutetico

Calculamos os modos completos do guia circular dieleacutetrico (com perfil degrau) utilizando osmesmos meacutetodos que para os guias jaacute estudados Escolhemos soluccedilotildees para as componenteslongitudinais da forma

119864119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198641J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

1198642K119898(1205721199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

119867119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198671J119898(1198961199051119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 le 119886

1198672K119898(1205721199052119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 ge 119886

A seguir aplicando as condiccedilotildees de contorno (campos tangenciais agrave fronteira entre meioscontiacutenuos) veriacuteamos a necessidade de utilizar ambos 119864119911 e 119867119911 para satisfazer as equaccedilotildeesconcluindo que as soluccedilotildees gerais desse guia satildeo modos hiacutebridos

Podemos contudo simplificar significativamente o problema assumindo que a diferenccedila de iacutendicesentre a casca e o nuacutecleo eacute muito pequena o que eacute verdade para a maior parte das fibras oacutepticas

Equaccedilatildeo de onda em meios natildeo homogecircneosDa lei de Gauss (eleacutetrica) em um meio sem fonte temos

nabla sdot 119811 = nabla sdot (120576119812) = nabla120576 sdot 119812 + 120576nabla sdot 119812 = 0 hArr nabla sdot 119812 = nabla120576120576

sdot 119812

Utilizando essa igualdade na derivaccedilatildeo convencional da equaccedilatildeo de onda

nabla times nabla times 119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla(nabla sdot 119812) minus nabla2119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla2119812 + 1205962120583120576119812 = nabla 984731nabla120576120576

sdot 119812984732

No lado esquerdo dessa igualdade as componentes vetoriais retangulares natildeo se misturam umasagraves outras o lado direito eacute responsaacutevel pelo acoplamento entre componentes

Caso nabla120576120576 asymp 0 o campo eleacutetrico tenderaacute a manter sua polarizaccedilatildeo O mesmo ocorre com o campo

magneacutetico em relaccedilatildeo a nabla120583120583

Aproximaccedilatildeo de guiamento fraco

Consideramos que 1198991minus11989921198991

≪ 1 Nesse caso os modos guiados pela fibra oacuteptica seratildeo (na nossaaproximaccedilatildeo) linearmente polarizados Considerando o campo eleacutetrico transversal polarizado em119854119910 (anaacutelogo para 119854119909)

119812119905 = 119864119910119854119910

Como vimos nos guias laminares um guia dieleacutetrico em condiccedilatildeo de guiamento fraco 1198991 ≳ 1198992suporta um modo similar a uma onda plana Neste caso

119815119905 asymp 1120578

119854119911 times 119812119905 = minus119864119910

120578119854119909 = 119867119909119854119909 rArr 119867119909 = minus

119864119910

120578

Por fim as componentes longitudinais seratildeo dadas pelas leis de Faraday e Ampegravere

119867119911 = 119895120596120583

part119864119910

part119909119864119911 = 119895

120596120576part119867119909part119910

= minus 119895120596120576120578

part119864119910

part119910

Equaccedilatildeo de ondaDevemos resolver ainda a equaccedilatildeo de onda (homogecircnea) para determinar 119864119910 em cada meio

nabla2119905 119812 + 1198962

119905 119812 = 0 rArr nabla2119905 119864119910 + 1198962

119905 119864119910 = 0

A soluccedilatildeo jaacute conhecida em coordenadas ciliacutendricas eacute escolhida na forma

119864119910 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

119860J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

119861K119898(1205721199052119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

(1205721199052 = 1198951198961199052)

O termo em Y119898(1198961199051119903) que apareceria na regiatildeo 119903 le 119886 diverge em 119903 = 0 sendo portantoeliminado da soluccedilatildeo Similarmente I119898(1205721199052119903) diverge em 119903 rarr infin natildeo representando soluccedilatildeofisicamente aceitaacutevel

Notamos aqui que assim como ocorreu para os guias metaacutelicos circulares haacute a existecircncia de 2famiacutelias de soluccedilotildees geradas pela escolha entre seno ou cosseno

Componentes longitudinais

119867119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

1198951205961205831

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 le 119886

1198951205961205832

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 ge 119886

119864119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

minus 11989512059612057611205781

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 le 119886

minus 11989512059612057621205782

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 ge 119886

Onde usamospart

part119909= d119903

d119909partpart119903

+ d120593d119909

partpart120593

= cos 120593 partpart119903

minus sin 1205931119903

partpart120593

partpart119910

= sin 120593 partpart119903

+ cos 1205931119903

partpart120593

Condiccedilotildees de contornoAplicamos as condiccedilotildees de contorno em 119903 = 119886 considerando que 1205761 asymp 1205762 1205831 asymp 1205832 e 1205781 asymp 1205782

9847571198601198961199051Jprime119898(1198961199051119886) = 1198611205721199052Kprime

119898(1205721199052119886)119860J119898(1198961199051119886) = 119861K119898(1205721199052119886)

rArr 119906J119898minus1(119906)J119898(119906)

= minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

onde usamos

Jprime119898(119911) = minus119898

119911J119898(119911) + J119898minus1(119911) Kprime

119898(119911) = minus119898119911

K119898(119911) minus K119898minus1(119911)

e as grandezas 119906 e 119908 satildeo definidas como

119906 = 1198961199051119886 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

119890

119908 = 1205721199052119886 = 11989601198869849751198992119890 minus 1198992

2

119907 = 9849741199062 + 1199082 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

2 (frequecircncia normalizada)

A 119899-eacutesima soluccedilatildeo da equaccedilatildeo transcendental para 119899119890 define o modo LPmn

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Mon

omod

oM

ultim

odo

bull Baixa distorccedilatildeo

bull Transmissatildeo por longas distacircncias

bull Altas taxas de transmissatildeo

bull Geraccedilatildeo de sinais via laser

bull Faacutecil acoplamento do sinal

bull Alinhamento de conexotildees menos criacutetico

bull Fibras plaacutesticas

bull Geraccedilatildeo de sinais via LED

984786

984786

Desempenho

Custo

Modelo em oacuteptica geomeacutetrica

120579119894 1205791199051205872 minus 120579119905 1198991

1198992

11989921198990

1205872

minus 120579119905 ge 120579crit = arcsin 98475311989921198991

984754 hArr sin 9847091205872

minus 120579119905984710 = cos 120579119905 ge 11989921198991

hArr

hArr 9849751 minus sin2 120579119905 ge 11989921198991

rArr 1 minus1198992

01198992

1sin2 120579119894 ge

11989922

11989921

hArr sin 120579119894 le9849751198992

1 minus 11989922

1198990

Abertura numeacuterica NA = 98497511989921 minus 1198992

2 Cone de aceitaccedilatildeo 120579119886 = arcsin 984687NA1198990

984688

Modelo eletromagneacutetico

Calculamos os modos completos do guia circular dieleacutetrico (com perfil degrau) utilizando osmesmos meacutetodos que para os guias jaacute estudados Escolhemos soluccedilotildees para as componenteslongitudinais da forma

119864119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198641J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

1198642K119898(1205721199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

119867119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198671J119898(1198961199051119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 le 119886

1198672K119898(1205721199052119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 ge 119886

A seguir aplicando as condiccedilotildees de contorno (campos tangenciais agrave fronteira entre meioscontiacutenuos) veriacuteamos a necessidade de utilizar ambos 119864119911 e 119867119911 para satisfazer as equaccedilotildeesconcluindo que as soluccedilotildees gerais desse guia satildeo modos hiacutebridos

Podemos contudo simplificar significativamente o problema assumindo que a diferenccedila de iacutendicesentre a casca e o nuacutecleo eacute muito pequena o que eacute verdade para a maior parte das fibras oacutepticas

Equaccedilatildeo de onda em meios natildeo homogecircneosDa lei de Gauss (eleacutetrica) em um meio sem fonte temos

nabla sdot 119811 = nabla sdot (120576119812) = nabla120576 sdot 119812 + 120576nabla sdot 119812 = 0 hArr nabla sdot 119812 = nabla120576120576

sdot 119812

Utilizando essa igualdade na derivaccedilatildeo convencional da equaccedilatildeo de onda

nabla times nabla times 119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla(nabla sdot 119812) minus nabla2119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla2119812 + 1205962120583120576119812 = nabla 984731nabla120576120576

sdot 119812984732

No lado esquerdo dessa igualdade as componentes vetoriais retangulares natildeo se misturam umasagraves outras o lado direito eacute responsaacutevel pelo acoplamento entre componentes

Caso nabla120576120576 asymp 0 o campo eleacutetrico tenderaacute a manter sua polarizaccedilatildeo O mesmo ocorre com o campo

magneacutetico em relaccedilatildeo a nabla120583120583

Aproximaccedilatildeo de guiamento fraco

Consideramos que 1198991minus11989921198991

≪ 1 Nesse caso os modos guiados pela fibra oacuteptica seratildeo (na nossaaproximaccedilatildeo) linearmente polarizados Considerando o campo eleacutetrico transversal polarizado em119854119910 (anaacutelogo para 119854119909)

119812119905 = 119864119910119854119910

Como vimos nos guias laminares um guia dieleacutetrico em condiccedilatildeo de guiamento fraco 1198991 ≳ 1198992suporta um modo similar a uma onda plana Neste caso

119815119905 asymp 1120578

119854119911 times 119812119905 = minus119864119910

120578119854119909 = 119867119909119854119909 rArr 119867119909 = minus

119864119910

120578

Por fim as componentes longitudinais seratildeo dadas pelas leis de Faraday e Ampegravere

119867119911 = 119895120596120583

part119864119910

part119909119864119911 = 119895

120596120576part119867119909part119910

= minus 119895120596120576120578

part119864119910

part119910

Equaccedilatildeo de ondaDevemos resolver ainda a equaccedilatildeo de onda (homogecircnea) para determinar 119864119910 em cada meio

nabla2119905 119812 + 1198962

119905 119812 = 0 rArr nabla2119905 119864119910 + 1198962

119905 119864119910 = 0

A soluccedilatildeo jaacute conhecida em coordenadas ciliacutendricas eacute escolhida na forma

119864119910 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

119860J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

119861K119898(1205721199052119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

(1205721199052 = 1198951198961199052)

O termo em Y119898(1198961199051119903) que apareceria na regiatildeo 119903 le 119886 diverge em 119903 = 0 sendo portantoeliminado da soluccedilatildeo Similarmente I119898(1205721199052119903) diverge em 119903 rarr infin natildeo representando soluccedilatildeofisicamente aceitaacutevel

Notamos aqui que assim como ocorreu para os guias metaacutelicos circulares haacute a existecircncia de 2famiacutelias de soluccedilotildees geradas pela escolha entre seno ou cosseno

Componentes longitudinais

119867119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

1198951205961205831

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 le 119886

1198951205961205832

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 ge 119886

119864119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

minus 11989512059612057611205781

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 le 119886

minus 11989512059612057621205782

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 ge 119886

Onde usamospart

part119909= d119903

d119909partpart119903

+ d120593d119909

partpart120593

= cos 120593 partpart119903

minus sin 1205931119903

partpart120593

partpart119910

= sin 120593 partpart119903

+ cos 1205931119903

partpart120593

Condiccedilotildees de contornoAplicamos as condiccedilotildees de contorno em 119903 = 119886 considerando que 1205761 asymp 1205762 1205831 asymp 1205832 e 1205781 asymp 1205782

9847571198601198961199051Jprime119898(1198961199051119886) = 1198611205721199052Kprime

119898(1205721199052119886)119860J119898(1198961199051119886) = 119861K119898(1205721199052119886)

rArr 119906J119898minus1(119906)J119898(119906)

= minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

onde usamos

Jprime119898(119911) = minus119898

119911J119898(119911) + J119898minus1(119911) Kprime

119898(119911) = minus119898119911

K119898(119911) minus K119898minus1(119911)

e as grandezas 119906 e 119908 satildeo definidas como

119906 = 1198961199051119886 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

119890

119908 = 1205721199052119886 = 11989601198869849751198992119890 minus 1198992

2

119907 = 9849741199062 + 1199082 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

2 (frequecircncia normalizada)

A 119899-eacutesima soluccedilatildeo da equaccedilatildeo transcendental para 119899119890 define o modo LPmn

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Modelo em oacuteptica geomeacutetrica

120579119894 1205791199051205872 minus 120579119905 1198991

1198992

11989921198990

1205872

minus 120579119905 ge 120579crit = arcsin 98475311989921198991

984754 hArr sin 9847091205872

minus 120579119905984710 = cos 120579119905 ge 11989921198991

hArr

hArr 9849751 minus sin2 120579119905 ge 11989921198991

rArr 1 minus1198992

01198992

1sin2 120579119894 ge

11989922

11989921

hArr sin 120579119894 le9849751198992

1 minus 11989922

1198990

Abertura numeacuterica NA = 98497511989921 minus 1198992

2 Cone de aceitaccedilatildeo 120579119886 = arcsin 984687NA1198990

984688

Modelo eletromagneacutetico

Calculamos os modos completos do guia circular dieleacutetrico (com perfil degrau) utilizando osmesmos meacutetodos que para os guias jaacute estudados Escolhemos soluccedilotildees para as componenteslongitudinais da forma

119864119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198641J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

1198642K119898(1205721199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

119867119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198671J119898(1198961199051119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 le 119886

1198672K119898(1205721199052119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 ge 119886

A seguir aplicando as condiccedilotildees de contorno (campos tangenciais agrave fronteira entre meioscontiacutenuos) veriacuteamos a necessidade de utilizar ambos 119864119911 e 119867119911 para satisfazer as equaccedilotildeesconcluindo que as soluccedilotildees gerais desse guia satildeo modos hiacutebridos

Podemos contudo simplificar significativamente o problema assumindo que a diferenccedila de iacutendicesentre a casca e o nuacutecleo eacute muito pequena o que eacute verdade para a maior parte das fibras oacutepticas

Equaccedilatildeo de onda em meios natildeo homogecircneosDa lei de Gauss (eleacutetrica) em um meio sem fonte temos

nabla sdot 119811 = nabla sdot (120576119812) = nabla120576 sdot 119812 + 120576nabla sdot 119812 = 0 hArr nabla sdot 119812 = nabla120576120576

sdot 119812

Utilizando essa igualdade na derivaccedilatildeo convencional da equaccedilatildeo de onda

nabla times nabla times 119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla(nabla sdot 119812) minus nabla2119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla2119812 + 1205962120583120576119812 = nabla 984731nabla120576120576

sdot 119812984732

No lado esquerdo dessa igualdade as componentes vetoriais retangulares natildeo se misturam umasagraves outras o lado direito eacute responsaacutevel pelo acoplamento entre componentes

Caso nabla120576120576 asymp 0 o campo eleacutetrico tenderaacute a manter sua polarizaccedilatildeo O mesmo ocorre com o campo

magneacutetico em relaccedilatildeo a nabla120583120583

Aproximaccedilatildeo de guiamento fraco

Consideramos que 1198991minus11989921198991

≪ 1 Nesse caso os modos guiados pela fibra oacuteptica seratildeo (na nossaaproximaccedilatildeo) linearmente polarizados Considerando o campo eleacutetrico transversal polarizado em119854119910 (anaacutelogo para 119854119909)

119812119905 = 119864119910119854119910

Como vimos nos guias laminares um guia dieleacutetrico em condiccedilatildeo de guiamento fraco 1198991 ≳ 1198992suporta um modo similar a uma onda plana Neste caso

119815119905 asymp 1120578

119854119911 times 119812119905 = minus119864119910

120578119854119909 = 119867119909119854119909 rArr 119867119909 = minus

119864119910

120578

Por fim as componentes longitudinais seratildeo dadas pelas leis de Faraday e Ampegravere

119867119911 = 119895120596120583

part119864119910

part119909119864119911 = 119895

120596120576part119867119909part119910

= minus 119895120596120576120578

part119864119910

part119910

Equaccedilatildeo de ondaDevemos resolver ainda a equaccedilatildeo de onda (homogecircnea) para determinar 119864119910 em cada meio

nabla2119905 119812 + 1198962

119905 119812 = 0 rArr nabla2119905 119864119910 + 1198962

119905 119864119910 = 0

A soluccedilatildeo jaacute conhecida em coordenadas ciliacutendricas eacute escolhida na forma

119864119910 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

119860J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

119861K119898(1205721199052119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

(1205721199052 = 1198951198961199052)

O termo em Y119898(1198961199051119903) que apareceria na regiatildeo 119903 le 119886 diverge em 119903 = 0 sendo portantoeliminado da soluccedilatildeo Similarmente I119898(1205721199052119903) diverge em 119903 rarr infin natildeo representando soluccedilatildeofisicamente aceitaacutevel

Notamos aqui que assim como ocorreu para os guias metaacutelicos circulares haacute a existecircncia de 2famiacutelias de soluccedilotildees geradas pela escolha entre seno ou cosseno

Componentes longitudinais

119867119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

1198951205961205831

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 le 119886

1198951205961205832

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 ge 119886

119864119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

minus 11989512059612057611205781

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 le 119886

minus 11989512059612057621205782

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 ge 119886

Onde usamospart

part119909= d119903

d119909partpart119903

+ d120593d119909

partpart120593

= cos 120593 partpart119903

minus sin 1205931119903

partpart120593

partpart119910

= sin 120593 partpart119903

+ cos 1205931119903

partpart120593

Condiccedilotildees de contornoAplicamos as condiccedilotildees de contorno em 119903 = 119886 considerando que 1205761 asymp 1205762 1205831 asymp 1205832 e 1205781 asymp 1205782

9847571198601198961199051Jprime119898(1198961199051119886) = 1198611205721199052Kprime

119898(1205721199052119886)119860J119898(1198961199051119886) = 119861K119898(1205721199052119886)

rArr 119906J119898minus1(119906)J119898(119906)

= minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

onde usamos

Jprime119898(119911) = minus119898

119911J119898(119911) + J119898minus1(119911) Kprime

119898(119911) = minus119898119911

K119898(119911) minus K119898minus1(119911)

e as grandezas 119906 e 119908 satildeo definidas como

119906 = 1198961199051119886 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

119890

119908 = 1205721199052119886 = 11989601198869849751198992119890 minus 1198992

2

119907 = 9849741199062 + 1199082 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

2 (frequecircncia normalizada)

A 119899-eacutesima soluccedilatildeo da equaccedilatildeo transcendental para 119899119890 define o modo LPmn

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Modelo eletromagneacutetico

Calculamos os modos completos do guia circular dieleacutetrico (com perfil degrau) utilizando osmesmos meacutetodos que para os guias jaacute estudados Escolhemos soluccedilotildees para as componenteslongitudinais da forma

119864119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198641J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

1198642K119898(1205721199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

119867119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

1198671J119898(1198961199051119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 le 119886

1198672K119898(1205721199052119903)984757sin(119898120593)cos(119898120593)984758 119903 ge 119886

A seguir aplicando as condiccedilotildees de contorno (campos tangenciais agrave fronteira entre meioscontiacutenuos) veriacuteamos a necessidade de utilizar ambos 119864119911 e 119867119911 para satisfazer as equaccedilotildeesconcluindo que as soluccedilotildees gerais desse guia satildeo modos hiacutebridos

Podemos contudo simplificar significativamente o problema assumindo que a diferenccedila de iacutendicesentre a casca e o nuacutecleo eacute muito pequena o que eacute verdade para a maior parte das fibras oacutepticas

Equaccedilatildeo de onda em meios natildeo homogecircneosDa lei de Gauss (eleacutetrica) em um meio sem fonte temos

nabla sdot 119811 = nabla sdot (120576119812) = nabla120576 sdot 119812 + 120576nabla sdot 119812 = 0 hArr nabla sdot 119812 = nabla120576120576

sdot 119812

Utilizando essa igualdade na derivaccedilatildeo convencional da equaccedilatildeo de onda

nabla times nabla times 119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla(nabla sdot 119812) minus nabla2119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla2119812 + 1205962120583120576119812 = nabla 984731nabla120576120576

sdot 119812984732

No lado esquerdo dessa igualdade as componentes vetoriais retangulares natildeo se misturam umasagraves outras o lado direito eacute responsaacutevel pelo acoplamento entre componentes

Caso nabla120576120576 asymp 0 o campo eleacutetrico tenderaacute a manter sua polarizaccedilatildeo O mesmo ocorre com o campo

magneacutetico em relaccedilatildeo a nabla120583120583

Aproximaccedilatildeo de guiamento fraco

Consideramos que 1198991minus11989921198991

≪ 1 Nesse caso os modos guiados pela fibra oacuteptica seratildeo (na nossaaproximaccedilatildeo) linearmente polarizados Considerando o campo eleacutetrico transversal polarizado em119854119910 (anaacutelogo para 119854119909)

119812119905 = 119864119910119854119910

Como vimos nos guias laminares um guia dieleacutetrico em condiccedilatildeo de guiamento fraco 1198991 ≳ 1198992suporta um modo similar a uma onda plana Neste caso

119815119905 asymp 1120578

119854119911 times 119812119905 = minus119864119910

120578119854119909 = 119867119909119854119909 rArr 119867119909 = minus

119864119910

120578

Por fim as componentes longitudinais seratildeo dadas pelas leis de Faraday e Ampegravere

119867119911 = 119895120596120583

part119864119910

part119909119864119911 = 119895

120596120576part119867119909part119910

= minus 119895120596120576120578

part119864119910

part119910

Equaccedilatildeo de ondaDevemos resolver ainda a equaccedilatildeo de onda (homogecircnea) para determinar 119864119910 em cada meio

nabla2119905 119812 + 1198962

119905 119812 = 0 rArr nabla2119905 119864119910 + 1198962

119905 119864119910 = 0

A soluccedilatildeo jaacute conhecida em coordenadas ciliacutendricas eacute escolhida na forma

119864119910 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

119860J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

119861K119898(1205721199052119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

(1205721199052 = 1198951198961199052)

O termo em Y119898(1198961199051119903) que apareceria na regiatildeo 119903 le 119886 diverge em 119903 = 0 sendo portantoeliminado da soluccedilatildeo Similarmente I119898(1205721199052119903) diverge em 119903 rarr infin natildeo representando soluccedilatildeofisicamente aceitaacutevel

Notamos aqui que assim como ocorreu para os guias metaacutelicos circulares haacute a existecircncia de 2famiacutelias de soluccedilotildees geradas pela escolha entre seno ou cosseno

Componentes longitudinais

119867119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

1198951205961205831

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 le 119886

1198951205961205832

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 ge 119886

119864119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

minus 11989512059612057611205781

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 le 119886

minus 11989512059612057621205782

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 ge 119886

Onde usamospart

part119909= d119903

d119909partpart119903

+ d120593d119909

partpart120593

= cos 120593 partpart119903

minus sin 1205931119903

partpart120593

partpart119910

= sin 120593 partpart119903

+ cos 1205931119903

partpart120593

Condiccedilotildees de contornoAplicamos as condiccedilotildees de contorno em 119903 = 119886 considerando que 1205761 asymp 1205762 1205831 asymp 1205832 e 1205781 asymp 1205782

9847571198601198961199051Jprime119898(1198961199051119886) = 1198611205721199052Kprime

119898(1205721199052119886)119860J119898(1198961199051119886) = 119861K119898(1205721199052119886)

rArr 119906J119898minus1(119906)J119898(119906)

= minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

onde usamos

Jprime119898(119911) = minus119898

119911J119898(119911) + J119898minus1(119911) Kprime

119898(119911) = minus119898119911

K119898(119911) minus K119898minus1(119911)

e as grandezas 119906 e 119908 satildeo definidas como

119906 = 1198961199051119886 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

119890

119908 = 1205721199052119886 = 11989601198869849751198992119890 minus 1198992

2

119907 = 9849741199062 + 1199082 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

2 (frequecircncia normalizada)

A 119899-eacutesima soluccedilatildeo da equaccedilatildeo transcendental para 119899119890 define o modo LPmn

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Equaccedilatildeo de onda em meios natildeo homogecircneosDa lei de Gauss (eleacutetrica) em um meio sem fonte temos

nabla sdot 119811 = nabla sdot (120576119812) = nabla120576 sdot 119812 + 120576nabla sdot 119812 = 0 hArr nabla sdot 119812 = nabla120576120576

sdot 119812

Utilizando essa igualdade na derivaccedilatildeo convencional da equaccedilatildeo de onda

nabla times nabla times 119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla(nabla sdot 119812) minus nabla2119812 = 1205962120583120576119812 hArr

hArr nabla2119812 + 1205962120583120576119812 = nabla 984731nabla120576120576

sdot 119812984732

No lado esquerdo dessa igualdade as componentes vetoriais retangulares natildeo se misturam umasagraves outras o lado direito eacute responsaacutevel pelo acoplamento entre componentes

Caso nabla120576120576 asymp 0 o campo eleacutetrico tenderaacute a manter sua polarizaccedilatildeo O mesmo ocorre com o campo

magneacutetico em relaccedilatildeo a nabla120583120583

Aproximaccedilatildeo de guiamento fraco

Consideramos que 1198991minus11989921198991

≪ 1 Nesse caso os modos guiados pela fibra oacuteptica seratildeo (na nossaaproximaccedilatildeo) linearmente polarizados Considerando o campo eleacutetrico transversal polarizado em119854119910 (anaacutelogo para 119854119909)

119812119905 = 119864119910119854119910

Como vimos nos guias laminares um guia dieleacutetrico em condiccedilatildeo de guiamento fraco 1198991 ≳ 1198992suporta um modo similar a uma onda plana Neste caso

119815119905 asymp 1120578

119854119911 times 119812119905 = minus119864119910

120578119854119909 = 119867119909119854119909 rArr 119867119909 = minus

119864119910

120578

Por fim as componentes longitudinais seratildeo dadas pelas leis de Faraday e Ampegravere

119867119911 = 119895120596120583

part119864119910

part119909119864119911 = 119895

120596120576part119867119909part119910

= minus 119895120596120576120578

part119864119910

part119910

Equaccedilatildeo de ondaDevemos resolver ainda a equaccedilatildeo de onda (homogecircnea) para determinar 119864119910 em cada meio

nabla2119905 119812 + 1198962

119905 119812 = 0 rArr nabla2119905 119864119910 + 1198962

119905 119864119910 = 0

A soluccedilatildeo jaacute conhecida em coordenadas ciliacutendricas eacute escolhida na forma

119864119910 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

119860J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

119861K119898(1205721199052119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

(1205721199052 = 1198951198961199052)

O termo em Y119898(1198961199051119903) que apareceria na regiatildeo 119903 le 119886 diverge em 119903 = 0 sendo portantoeliminado da soluccedilatildeo Similarmente I119898(1205721199052119903) diverge em 119903 rarr infin natildeo representando soluccedilatildeofisicamente aceitaacutevel

Notamos aqui que assim como ocorreu para os guias metaacutelicos circulares haacute a existecircncia de 2famiacutelias de soluccedilotildees geradas pela escolha entre seno ou cosseno

Componentes longitudinais

119867119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

1198951205961205831

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 le 119886

1198951205961205832

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 ge 119886

119864119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

minus 11989512059612057611205781

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 le 119886

minus 11989512059612057621205782

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 ge 119886

Onde usamospart

part119909= d119903

d119909partpart119903

+ d120593d119909

partpart120593

= cos 120593 partpart119903

minus sin 1205931119903

partpart120593

partpart119910

= sin 120593 partpart119903

+ cos 1205931119903

partpart120593

Condiccedilotildees de contornoAplicamos as condiccedilotildees de contorno em 119903 = 119886 considerando que 1205761 asymp 1205762 1205831 asymp 1205832 e 1205781 asymp 1205782

9847571198601198961199051Jprime119898(1198961199051119886) = 1198611205721199052Kprime

119898(1205721199052119886)119860J119898(1198961199051119886) = 119861K119898(1205721199052119886)

rArr 119906J119898minus1(119906)J119898(119906)

= minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

onde usamos

Jprime119898(119911) = minus119898

119911J119898(119911) + J119898minus1(119911) Kprime

119898(119911) = minus119898119911

K119898(119911) minus K119898minus1(119911)

e as grandezas 119906 e 119908 satildeo definidas como

119906 = 1198961199051119886 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

119890

119908 = 1205721199052119886 = 11989601198869849751198992119890 minus 1198992

2

119907 = 9849741199062 + 1199082 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

2 (frequecircncia normalizada)

A 119899-eacutesima soluccedilatildeo da equaccedilatildeo transcendental para 119899119890 define o modo LPmn

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Aproximaccedilatildeo de guiamento fraco

Consideramos que 1198991minus11989921198991

≪ 1 Nesse caso os modos guiados pela fibra oacuteptica seratildeo (na nossaaproximaccedilatildeo) linearmente polarizados Considerando o campo eleacutetrico transversal polarizado em119854119910 (anaacutelogo para 119854119909)

119812119905 = 119864119910119854119910

Como vimos nos guias laminares um guia dieleacutetrico em condiccedilatildeo de guiamento fraco 1198991 ≳ 1198992suporta um modo similar a uma onda plana Neste caso

119815119905 asymp 1120578

119854119911 times 119812119905 = minus119864119910

120578119854119909 = 119867119909119854119909 rArr 119867119909 = minus

119864119910

120578

Por fim as componentes longitudinais seratildeo dadas pelas leis de Faraday e Ampegravere

119867119911 = 119895120596120583

part119864119910

part119909119864119911 = 119895

120596120576part119867119909part119910

= minus 119895120596120576120578

part119864119910

part119910

Equaccedilatildeo de ondaDevemos resolver ainda a equaccedilatildeo de onda (homogecircnea) para determinar 119864119910 em cada meio

nabla2119905 119812 + 1198962

119905 119812 = 0 rArr nabla2119905 119864119910 + 1198962

119905 119864119910 = 0

A soluccedilatildeo jaacute conhecida em coordenadas ciliacutendricas eacute escolhida na forma

119864119910 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

119860J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

119861K119898(1205721199052119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

(1205721199052 = 1198951198961199052)

O termo em Y119898(1198961199051119903) que apareceria na regiatildeo 119903 le 119886 diverge em 119903 = 0 sendo portantoeliminado da soluccedilatildeo Similarmente I119898(1205721199052119903) diverge em 119903 rarr infin natildeo representando soluccedilatildeofisicamente aceitaacutevel

Notamos aqui que assim como ocorreu para os guias metaacutelicos circulares haacute a existecircncia de 2famiacutelias de soluccedilotildees geradas pela escolha entre seno ou cosseno

Componentes longitudinais

119867119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

1198951205961205831

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 le 119886

1198951205961205832

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 ge 119886

119864119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

minus 11989512059612057611205781

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 le 119886

minus 11989512059612057621205782

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 ge 119886

Onde usamospart

part119909= d119903

d119909partpart119903

+ d120593d119909

partpart120593

= cos 120593 partpart119903

minus sin 1205931119903

partpart120593

partpart119910

= sin 120593 partpart119903

+ cos 1205931119903

partpart120593

Condiccedilotildees de contornoAplicamos as condiccedilotildees de contorno em 119903 = 119886 considerando que 1205761 asymp 1205762 1205831 asymp 1205832 e 1205781 asymp 1205782

9847571198601198961199051Jprime119898(1198961199051119886) = 1198611205721199052Kprime

119898(1205721199052119886)119860J119898(1198961199051119886) = 119861K119898(1205721199052119886)

rArr 119906J119898minus1(119906)J119898(119906)

= minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

onde usamos

Jprime119898(119911) = minus119898

119911J119898(119911) + J119898minus1(119911) Kprime

119898(119911) = minus119898119911

K119898(119911) minus K119898minus1(119911)

e as grandezas 119906 e 119908 satildeo definidas como

119906 = 1198961199051119886 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

119890

119908 = 1205721199052119886 = 11989601198869849751198992119890 minus 1198992

2

119907 = 9849741199062 + 1199082 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

2 (frequecircncia normalizada)

A 119899-eacutesima soluccedilatildeo da equaccedilatildeo transcendental para 119899119890 define o modo LPmn

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Equaccedilatildeo de ondaDevemos resolver ainda a equaccedilatildeo de onda (homogecircnea) para determinar 119864119910 em cada meio

nabla2119905 119812 + 1198962

119905 119812 = 0 rArr nabla2119905 119864119910 + 1198962

119905 119864119910 = 0

A soluccedilatildeo jaacute conhecida em coordenadas ciliacutendricas eacute escolhida na forma

119864119910 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

119860J119898(1198961199051119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 le 119886

119861K119898(1205721199052119903)984757cos(119898120593)sin(119898120593)984758 119903 ge 119886

(1205721199052 = 1198951198961199052)

O termo em Y119898(1198961199051119903) que apareceria na regiatildeo 119903 le 119886 diverge em 119903 = 0 sendo portantoeliminado da soluccedilatildeo Similarmente I119898(1205721199052119903) diverge em 119903 rarr infin natildeo representando soluccedilatildeofisicamente aceitaacutevel

Notamos aqui que assim como ocorreu para os guias metaacutelicos circulares haacute a existecircncia de 2famiacutelias de soluccedilotildees geradas pela escolha entre seno ou cosseno

Componentes longitudinais

119867119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

1198951205961205831

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 le 119886

1198951205961205832

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 ge 119886

119864119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

minus 11989512059612057611205781

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 le 119886

minus 11989512059612057621205782

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 ge 119886

Onde usamospart

part119909= d119903

d119909partpart119903

+ d120593d119909

partpart120593

= cos 120593 partpart119903

minus sin 1205931119903

partpart120593

partpart119910

= sin 120593 partpart119903

+ cos 1205931119903

partpart120593

Condiccedilotildees de contornoAplicamos as condiccedilotildees de contorno em 119903 = 119886 considerando que 1205761 asymp 1205762 1205831 asymp 1205832 e 1205781 asymp 1205782

9847571198601198961199051Jprime119898(1198961199051119886) = 1198611205721199052Kprime

119898(1205721199052119886)119860J119898(1198961199051119886) = 119861K119898(1205721199052119886)

rArr 119906J119898minus1(119906)J119898(119906)

= minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

onde usamos

Jprime119898(119911) = minus119898

119911J119898(119911) + J119898minus1(119911) Kprime

119898(119911) = minus119898119911

K119898(119911) minus K119898minus1(119911)

e as grandezas 119906 e 119908 satildeo definidas como

119906 = 1198961199051119886 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

119890

119908 = 1205721199052119886 = 11989601198869849751198992119890 minus 1198992

2

119907 = 9849741199062 + 1199082 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

2 (frequecircncia normalizada)

A 119899-eacutesima soluccedilatildeo da equaccedilatildeo transcendental para 119899119890 define o modo LPmn

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Componentes longitudinais

119867119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

1198951205961205831

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 le 119886

1198951205961205832

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 cos 120593 minus 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 sin 120593984790 119903 ge 119886

119864119911 =

⎧984787984787984787⎨984787984787984787⎩

minus 11989512059612057611205781

119860 9847891198961199051Jprime119898(1198961199051119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 J119898(1198961199051119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 le 119886

minus 11989512059612057621205782

119861 9847891205721199052Kprime119898(1205721199052119903)984785

cos(119898120593)

sin(119898120593)984786 sin 120593 + 119898

119903 K119898(1205721199052119903)984785minus sin(119898120593)

cos(119898120593)984786 cos 120593984790 119903 ge 119886

Onde usamospart

part119909= d119903

d119909partpart119903

+ d120593d119909

partpart120593

= cos 120593 partpart119903

minus sin 1205931119903

partpart120593

partpart119910

= sin 120593 partpart119903

+ cos 1205931119903

partpart120593

Condiccedilotildees de contornoAplicamos as condiccedilotildees de contorno em 119903 = 119886 considerando que 1205761 asymp 1205762 1205831 asymp 1205832 e 1205781 asymp 1205782

9847571198601198961199051Jprime119898(1198961199051119886) = 1198611205721199052Kprime

119898(1205721199052119886)119860J119898(1198961199051119886) = 119861K119898(1205721199052119886)

rArr 119906J119898minus1(119906)J119898(119906)

= minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

onde usamos

Jprime119898(119911) = minus119898

119911J119898(119911) + J119898minus1(119911) Kprime

119898(119911) = minus119898119911

K119898(119911) minus K119898minus1(119911)

e as grandezas 119906 e 119908 satildeo definidas como

119906 = 1198961199051119886 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

119890

119908 = 1205721199052119886 = 11989601198869849751198992119890 minus 1198992

2

119907 = 9849741199062 + 1199082 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

2 (frequecircncia normalizada)

A 119899-eacutesima soluccedilatildeo da equaccedilatildeo transcendental para 119899119890 define o modo LPmn

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Condiccedilotildees de contornoAplicamos as condiccedilotildees de contorno em 119903 = 119886 considerando que 1205761 asymp 1205762 1205831 asymp 1205832 e 1205781 asymp 1205782

9847571198601198961199051Jprime119898(1198961199051119886) = 1198611205721199052Kprime

119898(1205721199052119886)119860J119898(1198961199051119886) = 119861K119898(1205721199052119886)

rArr 119906J119898minus1(119906)J119898(119906)

= minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

onde usamos

Jprime119898(119911) = minus119898

119911J119898(119911) + J119898minus1(119911) Kprime

119898(119911) = minus119898119911

K119898(119911) minus K119898minus1(119911)

e as grandezas 119906 e 119908 satildeo definidas como

119906 = 1198961199051119886 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

119890

119908 = 1205721199052119886 = 11989601198869849751198992119890 minus 1198992

2

119907 = 9849741199062 + 1199082 = 119896011988698497511989921 minus 1198992

2 (frequecircncia normalizada)

A 119899-eacutesima soluccedilatildeo da equaccedilatildeo transcendental para 119899119890 define o modo LPmn

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Degenerescecircncias

Quando 119898 ne 0 a existecircncia das famiacutelias de soluccedilotildees com seno e cosseno resulta em modos dedupla degenerescecircncia em 120593

Aleacutem disso a escolha da polarizaccedilatildeo do campo eleacutetrico transversal eacute livre Apesar de termospartido do campo polarizado em 119854119910 uma rotaccedilatildeo de 90deg resultaria em um campo polarizadoem 119854119909 para qualquer um dos modos encontrados

Dessa forma os modos LPmn com 119898 ne 0 apresentam degenerescecircncia quaacutedrupla (senocossenoe 2 polarizaccedilotildees) enquanto os modos LP0n tem degenerescecircncia dupla (2 polarizaccedilotildees)

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

CorteA situaccedilatildeo de corte ocorreraacute quando 1205721199052 rarr 0 ie 119906 rarr 119907 Utilizando a equaccedilatildeo transcendentalobtemos as frequecircncias normalizadas de corte

119907119888119898119899J119898minus1(119907119888119898119899)J119898(119907119888119898119899)

= lim119908rarr0

minus119908K119898minus1(119908)K119898(119908)

= 0 rArr J119898minus1(119907119888119898119899) = 0

No caso 119898 = 0 as frequecircncias de corte seratildeo dadas pelas raiacutezes de Jminus1 que satildeo as mesmas deJ1 Ainda neste caso observa-se que a equaccedilatildeo transcendental tem soluccedilatildeo para qualquer 119907 gt 0de maneira que natildeo haacute corte para o modo LP01 (11990711988801 = 0)

Assim usando 120594119898119899 para representar a 119899-eacutesima raiacutez de J119898 excluindo o zero (como fizemos paraos guias metaacutelicos circulares) teremos

119907119888119898119899 =⎧984787⎨984787⎩

0 119898 = 0 119899 = 11205941(119899minus1) 119898 = 0 119899 gt 1120594(119898minus1)119899 119898 ge 1

Note que os modos LP0(n+1) e LP2n teratildeo frequecircncias de corte iguais

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Curvas universais

119907

119887=

1198992 119890minus

1198992 2

1198992 1minus

1198992 2

0

02

04

06

08

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

LP01

02

03

11

12

21

22

31

41

51

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

PotecircnciaDas condiccedilotildees de contorno podemos determinar o valor da constante 119861

119861 = J119898(1198961199051119886)K119898(1205721199052119886)

119860

Substituindo esse valor na expressatildeo para 119864119910 e trocando 119860 por 1198640 obtemos a seguinteexpressatildeo para a componente 119854119911 do vetor de Poynting

120034 sdot 119854119911 = 12

real 119812 times 119815lowast sdot 119854119911 =

⎧984787984787⎨984787984787⎩

|1198640|221205781

J2119898(1198961199051119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 le 119886

|1198640|221205782

J2119898(1198961199051119886)

K2119898(1205721199052119886)K

2119898(1205721199052119903)984757cos2(119898120593)

sin2(119898120593)984758 119903 ge 119886

Conhecer o perfil da densidade de potecircncia dos modos da fibra pode ser uacutetil na identificaccedilatildeo dosmesmos em laboratoacuterio

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Modo LP01

119886 119886

119907 = 10 119907 = 70

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Modo LP02

119886 119886

119907 = 43 119907 = 80

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Modo LP11

119886 119886

119864119910 prop cos(120593) 119864119910 prop sin(120593)

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Modo LP21

119886 119886

119864119910 prop cos(2120593) 119864119910 prop sin(2120593)

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Modo LP

119886 119886

119864119910 prop cos(119898120593) 119864119910 prop sin(119898120593)

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Perdas

bull 1965 primeira demonstraccedilatildeo de transmissatildeo de dados (perdas de 1 dBm)

bull 1966 Charles K Kao propocircs o uso de siacutelica de alta pureza para diminuir as perdas (Nobelem 2009)

bull 1970 demonstraccedilatildeo de apenas 17 dBkm (Corning)

bull Atualmente 017 dBkm (Corning)

bull Quando a atenuaccedilatildeo natildeo eacute fator criacutetico fibras plaacutesticas

bull A atenuaccedilatildeo determina a distacircncia maacutexima entre repetidores

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Fontes de atenuaccedilatildeo

bull Absorccedilatildeo pelo material (crescerapidamente na siacutelica acima de 17 microme devido agrave presenccedila de ligaccedilotildees O-Hapresenta picos em torno de 139 microm124 microm e 950 nm)

bull Espalhamento Rayleigh provocado porflutuaccedilotildees microscoacutepicas de densidade dafibra e outras imperfeiccedilotildees (prop 120582minus4)

bull Espalhamentos inelaacutesticos Ramane Brillouin espontacircneos (pequenacontribuiccedilatildeo) e estimulados(problemaacuteticos para altas intensidades)

bull Perdas por curvatura

1ordfja

nela Bandas O E S CL U

Iniacutecio de1980

Fim de1980

Atual

Comprimento de onda [microm]Ab

sorccedil

atildeom

ater

ial[

dBk

m]

0

2

4

6

8

07 1 13 16 19

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

DispersatildeoA velocidade de propagaccedilatildeo da onda depende de sua frequecircncia assim um pulso quenecessariamente conteacutem componentes em uma banda de frequecircncias acabaraacute distorcido peloguia (alargamento e achatamento)

A principal consequecircncia desse processo eacute a limitaccedilatildeo da taxa de transmissatildeo de informaccedilatildeo

As principais causas de dispersatildeo em guias em geral satildeo

bull Dispersatildeo intermodal sinal transportado em diferentes modos de propagaccedilatildeo incluindomodos degenerados

bull Dispersatildeo intramodal ou cromaacutetica resultante de

minus Dispersatildeo material o iacutendice de refraccedilatildeo do dieleacutetrico varia com o comprimento de onda

minus Dispersatildeo de guia de onda a constante de propagaccedilatildeo depende das dimensotildees do guiaem relaccedilatildeo ao comprimento de onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Pulso gaussianoUtilizamos o comportamento modal da fibra para descrever a propagaccedilatildeo de um pulso dedistribuiccedilatildeo espectral 119865(120596) Considerando apenas 1 modo propagante podemos escrever

119812(119909 119910 119911 120596) = 1198120(119909 119910)119865(120596)119890minus119895120573119911

Se considerarmos o sinal de portadora 1205960 modulado por um pulso gaussiano no tempo comlargura 120591 obtemos

119891(119905) = exp 984759minus12

984731 119905120591

9847322

+ 1198951205960119905984760 rArr 119865(120596) =infin

984958minusinfin

119891(119905)119890minus119895120596119905 d119905 = 120591radic

2120587 exp 984737minus12

120591 2(120596 minus 1205960)2984738

119905

real 119891(119905)

120596

119865(120596)

1205960

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

PropagaccedilatildeoApoacutes a propagaccedilatildeo ateacute um ponto 119911 o pulso no tempo seraacute dado por

119892(119905 119911) = 12120587

infin

984958minusinfin

119865(120596)119890minus119895120573119911119890119895120596119905 d120596

Introduzimos aqui a dependecircncia entre 120573 e 120596 considerando apenas os 3 primeiros termos da seacuteriede Taylor em torno de 1205960

120573(120596) asymp 120573(1205960) + (120596 minus 1205960)d120573d120596

9849091205960

+ (120596 minus 1205960)2

2d2120573d1205962 984909

1205960

= 1205730 + (120596 minus 1205960)1205731 + (120596 minus 1205960)2

21205732

Fazendo as substituiccedilotildees necessaacuterias

119892(119905 119911) = 120591120591 prime 119890minus119895(1205730119911minus12057311205960119911) exp 984789minus1

2984753 119905prime

120591 prime 9847542

+ 1198951205960119905prime984790 984757120591 prime = 984974120591 2 + 1198951205732119911119905prime = 119905 minus 1205731119911

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

PropagaccedilatildeoSeparando as partes real e imaginaacuteria de 120591 primeminus1 obtemos

119892(119905 119911) = 984976 120591120591 Prime exp 984789minus1

2984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322984790 119890119895(1205960119905minus1205730119911+120579)

120591 Prime = 984977120591 2 + 9847311205732119911120591

9847322

120579 = 12057321199112120591 2 984731119905 minus 1205731119911

120591 Prime 9847322

minus 12

arctan 9847311205732119911120591 2 984732

Essa derivaccedilatildeo resulta em 3 importantes conclusotildees

bull O pico do pulso move-se segundo 119911 = 1199051205731

resultando na definiccedilatildeo da velocidade de grupo

119907119892 = 984687 d120573d120596984688

minus1= 1

1205731

bull Ocorre um achatamento do pulso de um fator 984974 120591120591 Prime

bull Haacute tambeacutem um alargamento Δ120591 do pulso 120591 Prime2 = 120591 2 + Δ120591 2 com Δ120591 = 1205732119911120591

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Dispersatildeo cromaacuteticaVimos que o alargamento do pulso que se propaga no guia seraacute inversamente proporcional agrave sualargura inicial e diretamente proporcional agrave distacircncia de propagaccedilatildeo e agrave dispersatildeo do guia

Δ120591 = 1205732119911120591

O fator de dispersatildeo estaacute diretamente ligado agrave variaccedilatildeo da velocidade de grupo sendo assimconhecido como dispersatildeo de velocidade de grupo (GVD)

1205732 = d1205731d120596

= dd120596

(119907minus1119892 ) = minus 1

1199072119892

d119907119892

d120596

Em fibras eacute comum especificar-se o paracircmetro de dispersatildeo 119863 (em unidades de pskmnm) parasimplificar o caacutelculo do alargamento em funccedilatildeo da largura de banda inicial do pulso

119863 = d1205731d1205820

= minus212058711988801205822

01205732 = minus 1

1199072119892

d119907119892

d1205820

Δ120591 = Δ1205961205732119911 asymp 984753minus212058711988801205822

0Δ1205820984754 984775minus

12058220

21205871198880119863984776 119911 = Δ1205820119863119911

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Dispersatildeo cromaacutetica

Podemos fazer um caacutelculo da dispersatildeo cromaacutetica identificando separadamente as componentesde dispersatildeo provocadas pelo material e pelo guia

Δ120591 = Δ120591mat + Δ120591wg = Δ1205961199111205732984888mat

+ Δ1205961199111205732984888wg

Para a dispersatildeo material consideramos uma onda natildeo guiada (onda plana) propagando-se emum material de iacutendice de refraccedilatildeo homogecircneo que varia com o comprimento de onda

Qual eacute esse iacutendice e como determinar sua variaccedilatildeo com o comprimento de onda

No caso da dispersatildeo de guia de onda consideramos os materiais natildeo dispersivos (natildeo variamcom a frequecircncia) e calculamos o efeito do guia baseado nas curvas universais

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Dispersatildeo (material)

d2120573d1205962 = 1

11988809847532d119899

d120596+ 120596 d2119899

d1205962 984754 hArr

hArr 1205732 =1205822

01198880120596

d2119899d1205822

0

Dependendo da escolha de iacutendiceutilizado (119899119890 ou 11989911198992)

119863 = minus12058201198880

d2119899119890d1205822

0

119863mat = minus12058201198880

d2119899d1205822

0

Δ120591mat = Δ1205820119863mat119911 Comprimento de onda [microm]

Iacutendi

cede

refra

ccedilatildeo

(SiO

2)

Disp

ersatilde

om

ater

ial[

psk

mn

m]

1436 minus180

1442 minus120

1448 minus60

1454 0

146 60

07 1 13 16 19

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Dispersatildeo de guia de onda

119907

119907d2(119907

119887)d119907

2

LP01

0

04

08

12

16

0 1 2 3 4 5

Escrevemos a soluccedilatildeo 120573 em funccedilatildeo de 119887introduzindo a variaacutevel Δ119899 = 1198991 minus 1198992

120573 = 119896098497511989922 + 119887(1198992

1 minus 11989922) asymp 1198960(1198992 + 119887Δ119899)

Assim

d2120573d1205962 = 1

11988820

d2

d11989620

[1198960(1198992 + 119887Δ119899)] hArr

hArr 1205732 = Δ1198991198882

0

d119907d1198960

d2(119907119887)d1199072 = Δ119899

1198880120596119907d2(119907119887)

d1199072 rArr

rArr 119863wg = minus Δ11989911988801205820

119907d2(119907119887)d1199072

Temos entatildeo que Δ120591wg = Δ1205820119863wg119911

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Dispersatildeo intermodalA dispersatildeo intermodal eacute provocada pelas diferentes velocidade de grupo de cada modo

Uma aproximaccedilatildeo aceitaacutevel para a maacutexima dispersatildeo intermodal pode ser obtida considerando ocomportamento de onda plana dos modos fracamente guiados em um meio de iacutendice 119899119890

Como o valor de 119899119890 eacute limitado entre 1198991 para modos distantes do corte e 1198992 para modosproacuteximos do corte podemos utilizar esses valores para determinar o maacuteximo atraso possiacutevel entresinais propagando-se em modos distintos

984785Δ119905int = 119905max minus 119905min119905 asymp 119911

1198880119899119890

rArr Δ119905int asymp 1199111198880

Δ119899

Considerando ambos os processos de dispersatildeo (cromaacutetica e intermodal)

Δ120591 2tot = Δ1199052

int + Δ120591 2 = Δ1199052int + (Δ120591mat + Δ120591wg)2

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Perfil paraboacutelicoFibras multimodo de perfil paraboacutelico permitem uma equalizaccedilatildeo das velocidades de propagaccedilatildeopraticamente eliminando a dispersatildeo intermodal

119903minus

119886119886

119899

119899 2119899 1

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

Exerciacutecios1 Suponha que queremos projetar um enlace oacuteptico para a transmissatildeo de dados por umadistacircncia de 1 km Escolhemos uma fonte LED de 850 nm com 10 mW de potecircncia e larguraespectral tiacutepica de 50 nm Os dados seratildeo enviados por uma fibra multimodo de iacutendice degrauAssumiremos uma perda de fonte para a fibra de 12 dB Na extremidade detectora consideramosuma perda de 15 dB da fibra para o detector Finalmente adotamos conectores oacutepticos em cadaextremidade (07 dB cada) conectando a fibra agrave fonte e ao detector A margem de potecircnciadesejada para o sistema eacute de 8 dB Deseja-se utilizar um fotodiodo PIN com minus35 dBm desensibilidade como detector

Dados da fibrabull Tipo multimodo (iacutendice degrau)bull Diacircmetro do nuacutecleo 50 micrombull NA 024

bull Atenuaccedilatildeo 4 dBkmbull Dispersatildeo cromaacutetica 01 nsnmkmbull Dispersatildeo modal 15 nskm

a Verifique se o detector escolhido satisfaz a margem de seguranccedila desejada Qual seria amaacutexima distacircncia de transmissatildeo possiacutevel nas condiccedilotildees do projeto

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

b Considerando o criteacuterio de que o alargamento do pulso transmitido deva ser de ateacute a metadedo periacuteodo do sinal e os tempos de subida do transmissor e do receptor satildeo respectivamente10 ns e 03 ns determine se o sistema eacute capaz de operar a uma taxa de transmissatildeo de dadosde 20 Mbits Qual seria a distacircncia maacutexima de transmissatildeo suportada pelo sistema a essataxa

c Qual a nova distacircncia suportada pelo sistema caso substituiacutessemos a fibra de iacutendice degraupor uma de iacutendice gradual com caracteriacutesticas similares exceto a dispersatildeo intermodal deapenas 3 nskm

2 Uma fibra multimodo com nuacutecleo de 50 microm de diacircmetro eacute projetada para limitar suadispersatildeo intermodal em 10 nskm Qual eacute a abertura numeacuterica da fibra Qual eacute o limite detaxa de bits para transmissatildeo de 10 km em 880 nm Considere o iacutendice da casca 145 a larguraespectral da fonte 50 nm e a dispersatildeo cromaacutetica da fibra 01 nsnmkm

3 Uma fibra oacuteptica monomodo de iacutendice degrau eacute projetada para operar com corte em 11 micromO iacutendice de refraccedilatildeo da casca eacute 1445 e do nuacutecleo 1450 Determine o raio do nuacutecleo dessa fibrae seu iacutendice efetivo em 15 microm

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda

4 Uma fibra de perfil degrau com casca de siacutelica (SiO2) e nuacutecleo com iacutendice 1 acima da cascaeacute projetada para apresentar corte em 12 microm Quantos e quais modos propagantes suportaraacute essafibra em 900 nm Considere que apesar do iacutendice da siacutelica variar para cada frequecircncia o degraude 1 eacute constante (ie o iacutendice do nuacutecleo acompanha a variaccedilatildeo relativa da casca)

5 Uma medida feita em uma fibra monomodo resultou em um valor de 002 para o paracircmetro1205822

0d2119899d1205822

0em 08 microm Calcule o valor de 1205732 e da dispersatildeo 119863

6 Um pulso a 900 nm de largura espectral 25 nm eacute transmitido por uma fibra de SiO2Determine a dispersatildeo material desse sistema Qual deveraacute ser a largura do pulso apoacutes 1 km depropagaccedilatildeo

7 Uma fibra com nuacutecleo de 51 microm de diacircmetro e iacutendices 1447 na casca e 1454 no nuacutecleoeacute alimentada por um laser em 13 microm com pulsos de 3 nm de largura espectral Calcule oalargamento e a largura dos pulsos apoacutes 1 km de propagaccedilatildeo devido somente agrave dispersatildeo de guiade onda