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Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos I
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Características geométrica das superfícies planas
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Notas de Aula: Mecânica dos Sólidos I
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1. Momento estático – Centro de Gravidade (C.G.)
1.1 Momento estático de um elemento de superfície.
O momento estático de um elemento de superfície é definido através doproduto entre a área do elemento e a distância que o separa do eixo dereferência.referência.
Mx = y.dA
My = x.dA
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1.2. Momento Estático de uma Superfície Plana
Momento estático de uma superfície plana é definido através da integral de área dos momentos estáticos dos elementos de superfície que formam a superfície total.
Mx = ∫AydA
My = ∫AxdA
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1.3. Centro de Gravidade de uma Superfície Plana
É um ponto localizado na própria figura, ou fora desta, no qual se concentra a superfície. A localização do ponto dar-se-á através das coordenadas xG e YG' que serão obtidas através da relação entre o respectivo momento estático de superfície e a área total desta.
∫ xdA
∫
∫=
A
AG
dA
xdA
X
∫
∫=
A
AG
dA
ydA
Y
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• Para simplificar a determinação do centro de gravidade, divide-se a superfície plana em superfícies
geométricas cujo centro de gravidade é conhecido, tais como retângulos, triângulos, quadrados, etc.tais como retângulos, triângulos, quadrados, etc.
• Através da relação entre somatório dos momentos estáticos dessa superfície e a área total das mesmas, determinam-se coordenadas do centro de gravidade.
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n
nnG AA
XAXAX
...
....
1
11
++=
nnYAYAY
....11 +=n
nnG AA
YAYAY
...
....
1
11
++=
∑
∑=
=
=
== ni
ii
ni
iii
G
A
XAX
1
1
∑
∑=
=
=
== ni
ii
ni
iii
G
A
YAY
1
1
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1.4. Tabela do Centro de Gravidade de Superfícies Planas
Superfície Coordenadas do C.G
XG=b/2
YG=h/2
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Superfície Coordenadas do C.G
XG=YG=a/2
XG=b/3
YG=h/3
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Superfície Coordenadas do C.G
XG=YG=0
4rX =
π3
4rX G =
π3
4rYG =
0=GX
π3
4rYG =
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Exemplo 1 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade do topázio representada na figura a seguir.
Solução
Área XG YG
A1 = a2 X1 = a/2 Y1 = a/2A1 = a2 X1 = a/2 Y1 = a/2
A2 = a2/2 X2 = a+a/3 Y2 = a/3
aa
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
aaaa
AA
XAXAX G 777,0
9
7
9
7
23
6
7
236
43
22
64
2
2
34
.22
...2
3
2
3
2
3
22
33
22
22
21
2211 ====
+
=+
+=
+
+=
++=
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aaaa
aa
aaaa
AA
YAYAYG
44
2
3.
22...
3
33
22
2
21
2211
2
+
+
+=
++=
aa
a
a
aYG 444,0
9
4
9
4
23
622
3
2===
+=
XG = 0,777aYG = 0,444a
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Exemplo 2 - Determinar as coordenadas do CG da superfície hachuradarepresentada na figura.
Solução
Área XG YG
A1 = πR2/2 X1 = 0 Y1 = 4R/3π
A2 = πr2/2 X2 = 0 Y2 = 4r/3π
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• Como as coordenadas X1 e X2 são iguais a zero, XG = 0;
4422
34
.23
4.
2..
33
22
22
21
2211
rR
rR
rrRR
AA
YAYAYG
−
−=
−−=
πππ
ππ
π
)(
)(.
3
4
)(2
64
24
22
33
222
33
rR
rR
rRR
rR
YG −−=
−
+=
ππ
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Exercício 1 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade de cantoneira de abas desiguais representada na figura a seguir.
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Exercício 2 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil Urepresentado na figura a seguir.
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Exemplo 3 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade da áreahachurada da figura a seguir, utilizando a subtração das áreas.
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Para resolver este problema, dividiremos a figura em um triângulo retângulo ABC e
um ¼ de círculo
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Exercício 3 - Determinar as coordenadas do centro de gravidade da superfície hachadura representada na figura a seguir, considere o raio (r) igual a 8 cm.
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Exercício 4 - Determinar o centro de gravidade para o perfil T ilustrado naFigura. Neste caso, considera-se o perfil T como constituído dos retângulos 1 e 2mostrados na Figura.
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Exercício 5 - Determinar o centro de gravidade para o perfil T ilustrado naFigura.
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Exercício 6 - Determinar o centro de gravidade para o perfil C ilustrado naFigura.