notas de teoría de módulos

Teora de Modulos

Jose Luis Camarillo Nava

Febrero de 2015

Captulo 1

La Teora de Modulos

1.1. Definicion y propiedades

Supongase que (M,+) es un grupo abeliano. Recuerdese que el conjuntoEnd(M) definido por

End(M) = {f : M M, f(x+ y) = f(x) + f(y) para todo x, y M}se llama el anillo de endomorfismos de M y tiene una estructura naturalde anillo unitario. Concretamente, se tienen definidas las operaciones de suma

+ : End(M) End(M) End(M)y producto

: End(M) End(M) End(M),Para cada par g, f End(M), se definen de forma puntual, g+ f y g f ,

respectivamente, por

(g + f)(x) = g(x) + f(x), si x M(g f)(x) = g(f(x)), si x M

El elemento neutro para la suma es, obviamente, la el homomorfismonulo, el cual sera denotado por 0End(M). El elemento neutro para el producto(composicion de funciones) es, naturalmente, la funcion identidad de M , lacual sera denotada por 1M .

As, con estas operaciones se tiene el anillo unitario (End(M),+, , 0End(M), 1M)llamado usualmente el anillo de endormorfismos de M .

3

4 CAPITULO 1. LA TEORIA DE MODULOS

Teorema 1.1. Sea (M,+) un grupo abeliano y f End(M). Entonces, paracada r Z y x M , se tiene que

f(r x) = r f(x)Demostracion:

Ejemplos

Ejemplo 1: Considerese el grupo abeliano (Z,+). Sea f End(Z).Entonces, para cada r Z, se tiene que

f(r) = f(r 1) = r f(1)Es decir, f esta determinado por su imagen en 1: la accion de f es mul-

tiplicar a derecha por m0 = f(1). Recprocamente, si m Z y se define lafuncion fm : Z Z por

fm(r) = r m, para cada r Zentonces es claro que fm End(Z). Por tanto, se deduce que:

End(Z) = {fm : m Z}Notese que cada fm enva a 1 en m.Ademas, es facil demostrar que, para cada m1,m2 Z, se tiene que

fm1 + fm2 = fm1+m2

fm1 fm2 = fm1m2Por tanto, es natural definir la aplicacion : End(Z) Z por

(fm) = m, para cada fm End(Z)Es facil demostrar que es un isomosfismo de anillos. Por tanto:

End(Z) Z

Ejemplo 2: Considerese el grupo abeliano,(ZZ,+), donde la suma sedefine coordenada a coordenada. Es decir,

Z Z = {(m,n) : m,n Z}

1.1. DEFINICION Y PROPIEDADES 5

y la suma en Z Z esta definida por

(m,n) + (m, n) = (m+m, n+ n)

Notar ademas que cada (m,n) Z Z se escribe en la forma

(m,n) = m(1, 0) + n(0, 1)

Es decir, (1, 0) y (0, 1) son generadores de (ZZ,+). Luego, cada homo-morfismo de grupos, f End(Z Z), esta determinado por su imagen enestos elementos, pues:

f(m,n) = mf(1, 0) + nf(0, 1)

Al escribir f(1, 0) = (a, b) y f(0, 1) = (c, d) se tiene que

f(m,n) = m(a, b) + n(c, d)

= f(m,n) = (ma+ nc,mb+ nd)

= f(m,n) =(a cb d

)(mn

)Notese que la matriz

(a cb d

)sera, segun el Algebra Lineal, la matriz que

representa a f en la base canonica = {(1, 0); (0, 1)} y, se suele simbolizarpor (

a cb d

)= [ f ]

Es facil demostrar que, para cada g, f End(Z Z), se tiene que

[ g + f ] = [ g ] + [ f ]

y

[ g f ] = [ g ] [ f ]Por tanto, es natural definir la aplicacion : End(Z Z) M22(Z)

por

(f) =

(a cb d

)= [ f ]


As, se tiene que es un homomorfismo de anillos.Por tanto:

End(Z Z) M22(Z)

Ejemplo 3: Sea n N y considerese al grupo abeliano de los enteros

modulo n,(Zn,+). La clase del 1, 1, es obviamente un generador de este grupoabeliano. Luego, cada f End(Zn) esta determinado por su imagen en 1.Concretamente, para cada r Zn, se tiene que

f(r) = r f(1)As, analogamente al caso de End(Z), la estructura de End(Zn) esta de-

terminada por las multiplicaciones a derecha por un elementode Zn. Esdecir, es natural considerar, para cada m Zn, la aplicacion fm : Zn Zn,definida por:

fm(r) = r m, para cada r Zn

Es claro que fm End(Zn), para cada m Zn y que se tienen las leyes:

fm1 + fm2 = fm1+m2

y

fm1 fm2 = fm1m2Por tanto, se tiene que

End(Zn) = {fm : m Zn}Ademas, es natural definir la aplicacion : End(Zn) Zn por

(fm) = m

y se obtiene un isomorfismo de anillos unitarios. Luego:

End(Zn) ZnA continuacion, se demostrara para los anillos unitarios, una version del

Teorema de Cayley para grupos:


Todo grupo (G, ) es isomorfo a un subgrupo de cierto grupo de permu-taciones.

En realidad, el mencionado teorema demuestra que G H, siendo S(G)el conjunto de todas las permutaciones de G y H un subgrupo de S(G). Paralos anillos se tiene el siguiente

Teorema 1.2. (Teorema de Cayley para anillos) Sea (R,+, , 0, 1) un anillounitario. Entonces, R es isomorfo a un subanillo del anillo de endomorfismosde algun grupo abeliano. Es decir, existe un grupo abeliano (M,+) tal que

R End(M)Demostacion:

En efecto, se demostrara que

R End((R,+))Para cada r R, defnase la aplicacion fr : R R, por

fr(x) = r x, para cada x REs claro que fr End((R,+)), para cada r R, pues, si x1, x2 R,

entonces:

fr(x1 + x2) = r (x1 + x2) = r x1 + r x2 = fr(x1) + fr(x2)Ademas, para cada r1, r2 R, se tiene que:

fr1 + fr2 = fr1+r2

y

fr1 fr2 = fr1r2Luego, es natural definir la aplicacion : R End((R,+)) por

(r) = fr

As, se tiene que es un homomorfismo de anillos. Notese ahora que

Ker() = {r R : (r) = 0End((R,+))}


= Ker() = {r R : fr = 0End((R,+))}

= Ker() = {r R : fr(x) = 0R, para todo x R}

= Ker() = {r R : r x = 0R, para todo x R}En particular, tomando x = 1 se deduce que Ker() = {0R}, lo que

demuestra que es un monomorfismo. Por tanto, se tiene que

R (R) End((R,+))

Definicion 1.1. Supongase que (R,+, , 0, 1) es un anillo unitario y (M,+)un grupo abeliano. Se llama representacion de R en M a todo homomorfismode anillos

: R End(M)

As pues, notese que, en las condiciones de la definicion 1.1, a cada r Rle corresponde (por medio de ), un unico homomorfismo de grupos, (r),que sera denotado por r.

Ademas, por ser un homomorfismo de anillos, se tienen las siguientespropiedades para cada r1, r2 R:

(r1 + r2) = (r1) + (r2) (1.1)

(r1 r2) = (r1) (r2) (1.2)(1) = 1M (1.3)

Con la notacion acordada, se tiene que

r1+r2 = r1 + r2 (1.4)

r1r2 = r1 r2 (1.5)1 = 1M (1.6)


Teorema 1.3. Supongase que : R End(M) es una representacion deR en M . Entonces, induce una ley de operacion externa, : RM M ,definida por

(r, x) = r(x)

Ademas, si para cada par (r, x) RM , el elemento (r, x) se simbolizapor

(r, x) = r xentonces la operacion tiene, para cada r, r1, r2 R y x, x1, x2 M , lassiguientes propiedades:

1. r (x1 + x2) = r x1 + r x22. (r1 + r2) x = r1 x+ r2 x3. (r1 r2) x = r1 (r2 x)4. 1 x = x

Demostacion:

(1): En efecto, por la definicion, se tiene que

r (x1 + x2) = r(x1 + x2)

= r (x1 + x2) = r(x1) + r(x2)

= r (x1 + x2) = r x1 + r x2

(2): Por definicion, se tiene que

(r1 + r2) x = r1+r2(x)

= (r1 + r2) x = (r1 + r2)(x)

= (r1 + r2) x = r1(x) + r2(x) = r1 x+ r2 x


(3) : Por definicion, se tiene que:

(r1 r2) x = r1r2(x)

= (r1 r2) x = (r1 r2)(x)

= (r1 r2) x = r1(r2(x))

= (r1 r2) x = r1 (r2 x)(4) : Por definicion, se tine que

1 x = 1(x)

= 1 x = 1M(x)

= 1 x = x

As pues, en las condiciones del Teorema 1.1, se dice que R opera sobre el

grupo abeliano M . En cuanto a la ley de operacion externa, : RM M ,que se ha obtenido a partir de la representacion , se suele decir que es unaestructura de Rmodulo a izquierda sobre M .

Por tanto, lo que se ha demostrado es que toda representacion de Rsobre M induce una estructura algebraica nueva. Recprocamente, se tieneel siguiente:

Teorema 1.4. Sea (R,+, , 0, 1) un anillo unitario y (M,+) un grupo abe-liano. Supongase que se tiene definida una ley de operacion externa entreelementos de R y los elementos de M , : R M M . Para cada par(r, x) RM denotese (r, x) por

(r, x) = r xSupongase ademas que esta operacion satisface las siguientes propiedades

para cada r, r1, r2 R y x, x1, x2 M :1. r (x1 + x2) = r x1 + r x2


2. (r1 + r2) x = r1 x+ r2 x3. (r1 r2) x = r1 (r2 x)4. 1 x = xEntonces, esta operacion induce una representacion : R End(M).Demostacion:

En efecto, la propiedad 1 establece que los elementos de R actuan li-nealmente sobre los elementos de M . As, para cada r R la aplicacionhr : M M definida por:

hr(x) = r x, para cada x M,es un homomorfismo de grupos: pues, por 1, se tiene que

hr(x1 + x2) = r (x1 + x2) = r x1 + r x2 = hr(x1) + hr(x2)Ademas, por 2, 3 y 4, se tiene que

hr1+r2 = hr1 + hr2 (1.7)

hr1r2 = hr1 hr2 (1.8)h1R = 1M (1.9)

Es natural entonces definir la aplicacion : R End(M), por

(r) = hr, para cada r RLas propiedades (1.7),(1.8) y (1.9), garantizan que es un homomorfismo

de anillos unitario.

As pues, se tiene la siguiente

Definicion 1.2. Sea (R,+, , 0, 1) un anillo unitario y (M,+) un grupo abe-liano. Entonces, se dice que M tiene una estructura de Rmodulo a iaquierdasi, y solo, si existe una aplicacion : R M M tal que si se hace lanotacion

(r, x) = r xpara cada r R y x M , entonces se tienen, para cada r, r1, r2 R y

x, x1, x2 M , las siguientes propiedades:


1. r (x1 + x2) = r (x1) + r (x2)2. (r1 + r2) x = r1 x+ r2 x3. (r1 r2) x = r1 (r2 x)4. 1 x = x

Ejemplos

Ejemplo 1 (Algebra Lineal): Evientemente, si (V, F, ) es un espacio vec-torial, entonces V tiene una estructura de Fmodulo a izquierda.

Ejemplo 2 (Teora de Grupos Abelianos): Supongase que (M,+) es ungrupo abeliano. Entonces, puede definirse sobre M una estructura de modulosobre Z. En efecto, para cada r Z y x M , se puede definir de maneranatural el smbolo r x de forma inductiva. Mas precisamente, defnase laoperacion : ZM M de la siguiente manera:

1 x = x,y

(h+ 1) x = h x+ x, si h NPor otro lado, si r Z y r < 0, se define

r x = ((r) x)Finalmente, se define

0 x = 0MAs, se tiene que la terna (Z,M, ) es un Z-modulo.

Ejemplo 3 (Teora de Anillos): Si (R,+, , 0, 1) es un anillo unitario, en-tonces obviamente, R tiene una estructura natural de R-modulo. En efecto,es claro que (R,+) es un grupo abeliano y que el producto definido en Rcumple con los axiomas de R-modulo.

Ejemplo 4 (Accion de matrices): Sea F un cuerpo, n N y considereseel F -espacio vectorial F n. Sea A una matriz n n sobre F . Se puede definiruna estructura de F [X]-modulo sobre F n de la siguiente manera:

Se define la operacion : F [X] F n F n, para cada f(X) F [X] yv F n por

1.2. SUBMODULOS 13

f(X) v = f(A) vEjemplo 5 (Teora de Numeros): Sea L un cuerpo de numeros algebrai-

cos. Motivados por resolver ecuaciones diofanticas, los algebristas estudianla aritmetica de L y la de su anillo de enteros algebraicos, OL/Z. Esteconjunto se define:

OL/Z = { L : es raz de algun polinomio f(X) Z[X]}

Resulta que OL/Z es un anillo que es, al mismo tiempo, un Z-modulofinitamente generado.

1.2. Submodulos

Definicion 1.3. Sea M un Rmodulo a izquierda. Se dice que un subcon-junto N de M es un sub-R-modulo de M si, y solo , si

1. Si x, y N = x y N .2. Si r R y x N = r x N .

Es decir, que N es un subgrupo de M bajo la suma y , ademas, es unconjunto estable por la multiplicacion de escalares de R.

Ejemplos

Ejemplo 1: Si M es un Rmodulo, entonces {0M} y M son, obviamente,sub-Rmodulos de M . Se les llama los sub-modulos triviales de M .

Ejemplo 2 (Teora de Anillos): Sea (R,+, , 0, 1) un anillo. Entonces,considerando a R con su estructura natural de Rmodulo, es claro que lossub-Rmodulos de R son sus ideales.

Ejemplo 3: Sea M un Rmodulo y x M . Entonces, el conjunto

R x = {r x : r R}es obviamente un sub-R-modulo de M . Usualmente, se denota por:

R x = < x >


y se le suele llamar el modulo cclico de M generado por x.Mas generalmente, si X es un conjunto finito de elementos de M , X =

{x1, x2, ..., xn}, entonces se define el conjunto < X > por:

< X > = {r1x1 + r2x2 + ...+ rnxn : ri R para todo, i}Es facil demostrar que < X > es un sub-Rmodulo de M . Usualemente

se le llama el conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementosde X .

Ejemplo 4: Sean M un Rmodulo y supongase que N1 y N2 son sub-R-modulos de M . Entonces, se define la suma M1 +M2 por:

M1 +M2 = {x1 + x2 : x1 M1, x2 M2}Es muy facil demostrar que M1 +M2 es tambien un sub-R-modulo de M

al que , obviamente , se le llama la suma entre M1 y M2.Mas generalmente, si se tiene un numero finito de sub-R-modulos de M ,

M1,M2, ...,Mn, entonces se define la suma M1 +M2 + ...+Mn por:

M1 +M2 + ...+Mn = {x1 + x2 + ...+ xn : xi Mi para todo i}

Este conjunto es tambien un sub-R-modulo de M , llamado la suma delos Mi.Notese que si X = {x1, x2, ..., xn}, entonces

< X > = R x1 +R x2 + ...+R xnEjemplo 5: Sean M un Rmodulo y supongase que N1 y N2 son sub-

R-modulos de M . Entonces, se define la interseccion M1 M2 por:

M1 M2 = {x M : x1 M1, x2 M2}Es facil demostrar que M1 M2 es un sub-R-modulo de M .Mas generalmente, si se tiene un numero finito de sub-R-modulos de M ,

M1,M2, ...,Mn, entonces se define la interseccion M1 M2 ... Mn por:

M1 M2 ... Mn = {x M : x Mi para todo i}Tambien es facil demostrar que M1 M2 ... Mn es un sub-R-modulo

de M .

1.2. SUBMODULOS 15

Ejemplo 6: Considerese al grupo abeliano (Z,+) con su estructura na-tural de Zmodulo, es decir, su estructura de anillo. Tal y como ya se dijo,los sub-Zmodulos de Z son sus ideales. Ahora bien, se sabe que todo idealde Z es principal. Es decir, si I es un ideal de Z, entonces existe un m Ztal que I = < m > = Z m. Puede demostarse que, para cada m,n Z, setiene que

< m > + < n > = < m.c.d(m,n) >

< m > < n > = < m.c.m[m,n] >

< m > + < n > = Z m.c.d(m,n) = 1

Ejemplo 7: Sea M un Rmodulo. Entonces, el anulador de M en Res el conjunto, AnnR(M), definido por

AnnR(M) = {r R : r x = 0M , para todo x M}Es facil demostrar que AnnR(M) es un ideal de R.

Teorema 1.5. Sea M un Rmodulo, I un ideal de R. Las siguientes con-diciones son equivalentes:

1. I AnnR(M).

2. La aplicacion : RIM M definida, para cada par de elementos

(r, x) RIM , por

r x = r x

es una estructura deR

Imodulo sobre M .

Demostacion:

(1) = (2):

En primer lugar, dado que la definicion de depende en principiodel representante de la clase de modulo I, entonces debe demostrarse que,


en realidad, tal dependencia no existe. En efecto, pues si r1 = r2, se tieneque r1 r2 I lo que implica, como I AnnR(M) por hipotesis, que(r1r2)x = 0M , para todo x M , lo que obviamente implica que r1x = r2x,para todo x M . Por tanto, r1 x = r2 x, para todo x M . As pues, esta bien definida, es decir, su definicion no depende del representante de laclase modulo I por la que se vaya a multiplicar.

Por otro lado, es facil demostrar que tiene las propiedades de una es-tructura de

R

Imodulo sobre M : pues, si r, r1, r2 R

Iy x1, x2 M entonces

se tiene que:r (x1 + x2) = r (x1 + x2) = r x1 + r x2 = r x1 + r x2

(r1 + r2) x = (r1 + r2) x = (r1 + r2) x = r1 x+ r2 x = r1 x+ r2 x

(r1 r2) x = (r1 r2) x = (r1 r2) x = r1 (r2 x) = r1 (r2 x)

1 x = 1 x = x

(2) = (1): En efecto, sea r I y x M . Entonces, como x I, se tieneque r = 0 y as, como r x = r x por la hipotesis, se tiene que

r x = r x = 0 x = 0MPor tanto I AnnR(M).

Ejemplo 10: Considerese al grupo abeliano (Z,+) y, para cada n N,al anillo de enteros modulo n, Zn. Al definir (de forma natural) la aplicacion : Zn Z Z, para cada par de elementos (r, x) Zn Z, por

r x = r xse tiene que es una estructura de Znmodulo sobre Z < n >

AnnZ(Z) < n > Z = {0} n Z = {0}, lo cual obviamente no escierto. Por tanto, Esta operacion no tiene es una estructura de Znmodulosobre Z.

Ejemplo 9: Sean m,n N. Considerese al grupo abliano (Zm,+) y alanillo (Zn,+, ). Entonces, segun el teorema anterior, se tiene que la operacion : Zn Zm Zm definida por:

1.3. HOMOMORFISMOS DE MODULOS. CALCULOS DEHOMR(M,N).17

r x = rxes una estructura de Znmodulo sobre Zm < n > AnnZ(Zm)

< n > Zm = {0} n 1 = 0 n = 0 n < m > mdivide a n.

1.3. Homomorfismos de modulos. Calculos de

HomR(M,N).

Definicion 1.4. Sean M y N dos Rmodulos. Se dice que una aplicacion,f : M N , es un R-homomorfismo de modulos si, y solo si

f(r x+ y) = r f(x) + f(y),para todo r R y x, y M .Usualmente, tambien se dice que f es un homomorfismo de Rmodulos.En tal caso, el nucleo de f es el conjunto , Ker(f), definido por

Ker(f) = {x M : f(x) = 0N}Por otro lado, la imagen de f es el conjunto , f(M), definido por:

f(M) = {f(x) : x M}Al igual que sucede con el nucleo y la imagen de una transformacion lineal

entre espacios vectoriales, tanto el nucleo como la imagen de un homomor-fismo de modulos tambien respetan la propiedad de subestructura. Es decir,se tiene el siguiente:

Teorema 1.6. Sean M,N dos Rmodulos y f : M N un homomorfismode Rmodulos. Entonces:

1. f(0M) = 0N .

2. Ker(f) es un sub-R-modulo de M .

3. f(M) es un sub-R-modulo de N .

4. f es inyectivo Ker(f) = {0M}.Demostacion:


Definicion 1.5. Sean M,N dos Rmodulos. Entonces, el conjunto

HomR(M,N) = {f : M N : f(rx+y) = rf(x)+f(y), para todo r R y x, y M}

es , obviamente, el conjunto de todos los Rhomomorfismos de modulosde M en N .

En particular,

HomR(M,M) = {f : M M : f(rx+y) = rf(x)+f(y), para todo r R y x, y M}

se llama el conjunto de todos los endomorfismos de Rmodulos de M .

Sean M,N dos Rmodulos. En el conjunto HomR(M,N) se pueden de-finir de forma natural las siguientes operaciones:

La adicion,

+ : HomR(M,N)HomR(M,N) HomR(M,N)definida para cada par g, f HomR(M,N), por:

(g + f)(x) = g(x) + f(x), x MSi R es conmutativo, la multiplicacion por un escalar,

: RHomR(M,N) HomR(M,N)definida para cada par r R y f HomR(M,N), por:

(r f)(x) = r f(x), x MA continuacion, se justificara que estas operaciones estan bien definidas.

Es decir, se tiene el siguiente teorema:

Teorema 1.7. Sean M,N dos Rmodulos. Entonces

1. Si g, f HomR(M,N) = g + f HomR(M,N)

2. Si R es conmutativo : r R y f HomR(M,N) = rf HomR(M,N)


Demostacion:

En efecto, pues si s R y x, y M , entonces:

(g + f)(s x+ y) = g(s x+ y) + f(s x+ y)

= (g + f)(s x+ y) = s g(x) + g(y) + s f(x) + f(y)

= (g + f)(s x+ y) = s (g(x) + f(x)) + (g(y) + f(y))

= (g + f)(s x+ y) = s ((g + f)(x)) + (g + f)(y)Luego, g + f HomR(M,N).

Por otro lado, se tiene que:

(r f)(s x+ y) = r (f(s x+ y))

= (r f)(s x+ y) = r (s f(x) + f(y))

= (r f)(s x+ y) = r ((s f(x)) + r (f(y))

= (r f)(s x+ y) = (r s)(f(x)) + r (f(y))

= (r f)(s x+ y) = (s r)(f(x)) + r (f(y))

= (r f)(s x+ y) = (s (r f(x))) + r (f(y))

= (r f)(s x+ y) = (s (r f)(x)) + r (f(y))

= r f HomR(M,N)

Supongase ahora que f : M N y g : N P son homomorfismos

de Rmodulos. Entonces, la composicion entre g y f , g f , es la funciong f : M P , definida por


(g f)(x) = g(f(x)), x MEsta operacion respeta el caracter de los homomorfismos de Rmodulos.

Mas precisamente:

Teorema 1.8. Supongase ahora que f : M N y g : N P sonhomomorfismos de Rmodulos. Entonces, la composicion entre g y f , g f ,tambien es un homomorfismo de Rmodulos.

Demostacion:

En efecto, pues si r R y x, y M , entonces:

(g f)(r x+ y) = g(f(r x+ y))

= (g f)(r x+ y) = g(r f(x) + f(y))

= (g f)(r x+ y) = r g(f(x)) + g(f(y))

= (g f)(r x+ y) = r (g f)(x) + (g f)(y)

Teorema 1.9. Sean M,N, Rmodulos. Entonces, se tiene que:

1. HomR(M,N) es un grupo abeliano bajo la suma natural de funciones, + .

2. Si R es conmutativo, entonces el grupo abeliano, HomR(M,N), tieneuna estructura de Rmodulo bajo la multiplicacion por escalares, .

3. La terna (HomR(M,M),+, ) es un anillo unitario.

Demostacion:

Ejemplos


Ejemplo 1: Supongase que R es un anillo unitario. Considerese a R consu estructura natural de Rmodulo. En este ejemplo se calculara el conjuntode todos los endomorfismos de R como Rmodulo, HomR(R,R).

Notese que si f HomR(R,R), entonces f esta determinado por suimagen en 1 ya que, si x R, entonces

f(x) = f(x 1) = x f(1)Por otro lado, cualquier multiplicacion a derecha por elementos de R es

tambien un homomorfismo de Rmodulos. En efecto, si m R, defnase laaplicacion fm : R R, por

fm(x) = x m,x RQue cada fm es un Rhomomorfismo es inmediato: pues si r R y

x, y R entonces:

fm(rx+y) = (rx+y)m = (rx)m+ym = r(xm)+ym = rfm(x)+fm(y)

= fm HomR(R,R)Por tanto, se tiene que

HomR(R,R) = {fm : m R}Se establecion ya que HomR(R,R) es un grupo abeliano bajo la suma

usual de funciones. Observese que si fm, fm HomR(R,R), entonces paracada x R se tiene que

(fm + fm)(x) = fm(x) + fm(x) = x m+ x m = x (m+m) = fm+m(x)Luego:

fm + fm = fm+m

Por otro lado, se establecio tambien que si R es conmutativo, entonces elgrupo abeliano HomR(R,R) es un Rmodulo bajo la multiplicacion naturalpor escalares de R. Ahora bien, para cada r R y fm HomR(R,R), laaplicacion r fm actua sobre cada x R de la siguiente manera

(r fm)(x) = r fm(x) = r (xm) = (r x)m = (xr)m = x(r m) = frm(x)


Es decir,

r fm = frmEstas observaciones sugieren, en este caso en el que R es conmutativo,

definir la aplicacion : HomR(R,R) R, por

(fm) = m

Es claro que es un epimomorfismo de Rmodulos. Ademas, se tieneque

Ker() = {fm HomR(R,R) : (fm) = 0R}

= Ker() = {fm HomR(R,R) : m = 0R}

= Ker() = {f0R} = 0HomR(R,R)lo que demuestra que es un monomorfismo. En consecuencia:

HomR(R,R) = R, si R es conmutativoEjemplo 2: Sea M un Rmodulo. En este ejemplo se demostrara que si

R es conmutativo, entonces HomR(R,M) es isomorfo a M como Rmodulo,considerando a HomR(R,M) con su estructura natural de Rmodulo. Enefecto, si f HomR(R,M), entonces para cada r R se tiene que

f(r) = f(r 1) = r f(1)de modo que f esta determinado por su imagen en 1, f(1). Notar que

f(1) M . Ahora bien, analogamente a lo que sucede en el ejemplo anterior,si para cada x M se define la aplicacion fx : R M por

fx(r) = r x, r Rse tendra que fx HomR(R,M). En efecto, pues si s R y r1, r2 R,

entonces

fx(sr1+r2) = (sr1+r2)x = (sr1)x+r2x = s(r1x)+r2x = sfx(r1)+fx(r2)Por tanto, se tiene que:

HomR(R,M) = {fx : x M}


Notese ahora que si x1, x2 M entonces para cada r R se tiene que

(fx1 + fx2)(r) = fx1(r) + fx2(r) = r x1 + r x2 = r (x1 + x2) = fx1+x2(r)

Por tanto,

fx1 + fx2 = fx1+x2

Por otro lado, si s R y x M , se tiene para cada r R que

(s fx)(r) = s fx(r) = s (r x) = (s r) x = (r s) x = r (s x) = fsx(r)

Es decir,

s fx = fsxEn virtud de estas observaciones es natural definir entonces la aplicacion

: HomR(R,M) M , por:

(fx) = x

Es claro que es un epimorfismo de Rmodulos. Su nucleo se calculafacilmente:

Ker() = {fx HomR(R,M) : (fx) = 0M}

= Ker() = {fx HomR(R,M) : x = 0M}

= Ker() = {f0M} = {0HomR(R,M)}As pues, se ha demostrado el isomorfismo natural de Rmodulos:

HomR(R,M) = M, si R es conmutativoEn general, aunque R no sea conmutativo, se le debe dar a HomR(R,M)

otra estructura de Rmodulo y obtener el mismo resultado. Eso se demuestraen el siguiente:


1.4. Modulos cociente.

Sea M un Rmodulo y supongase que N es un sub-R-modulo de M .Entonces, se define una relacion entre los elementos de M :

x y x y NEn tal caso, se escribe: x y (mod N).Resulta que, para cada sub-R-modulo de M , N , la relacion as definida

es una relacion de equivalencia que, ademas, es compatible con la estructurade Rmodulo. Mas precisamente, se tiene el siguiente teorema:Teorema 1.10. Sea M un Rmodulo y supongase que N es un sub-R-modulo de M . Entonces, para cada x, x, y, y, z M y r R, se tiene que:

1. x x (mod N).2. x y (mod N) = y x (mod N).3. x y (mod N), y z (mod N) = x z (mod N).4. x y (mod N), x y (mod N) = x+ x y + y (mod N).5. x y (mod N) = r x r y (mod N).

Demostacion:

Para cada x M , la clase de equivalencia de x modulo N es, por defini-

cion, el conjunto:

x = {y M : y x (mod N)}

= x = {y M : y x N}

= x = {y M : y x = n, n N}

= x = {y M : y = x+ n, n N}

= x = x+N

1.4. MODULOS COCIENTE. 25

Por otro lado, el conjunto de todas las clases de equivalencia es entoncesel conjunto:

M

N= {x : x M}

M

N= {x+N : x M}

Este conjunto cociente tiene una estructura natural de Rmodulo. Con-cretamente, se tiene el siguiente

Teorema 1.11. Sean M un Rmodulo y N un sub-R-modulo de M . Sedefinen las siguientes operaciones:

La suma de clases,

+ :M

N MN M

N

para cada x, y MN

, por

x+ y = x+ y

La multiplicacion por escalares,

: R MN M

N

para cada r R y x MN

, por

r x = r xEntonces, con estas operaciones,

M

Ntiene una estructura de Rmodulo.

Demostacion:

Ejemplos

Recuerdese ahora que si f : M M es un homomorfismo de Rmodu-los, entonces Ker(f) es un sub-R-modulo de N . Recprocamente, cualquiersub-R-modulo de M es el nucleo de algun homomorfismo de Rmodulos quetiene a M como dominio. Concretamente, se tiene el siguiente:


Teorema 1.12. Sean M un Rmodulo y N un sub-R-modulo de M . Sea : M M

Nla aplicacion definida por:

(x) = x, x MEntonces, es un epimorfismo de Rmodulos y Ker() = N .

Demostacion:

En efecto, si r R y x, y M , se tiene que

(r x+ y) = r x+ y = r x+ y = r x+ y = r (x) + (y),de manera que es un homomorfismo de Rmodulos. Que es epimor-

fismo (es decir, sobreyectivo) es claro dado que cada elemento deM

Nes de la

forma x para algun x M .Finalmente, observese que

Ker() = {x M : (x) = 0M/N} = {x M : x = 0M} = {x M : x0M N}

= Ker() = {x M : x N} = M N = N

1.5. Teoremas de Isomorfismos de Noether.

Teorema 1.13. (Teorema del homomorfismo inducido): Supongase que M esun Rmodulo, N un sub-R-modulo de M y f : M M un homomorfismode Rmodulos tal que N Ker(f). Considerese la aplicacion f : M

NM

definida por

f(x) = f(x)

Entonces, f es un homomorfismo de Rmodulos tal que:

1. Ker(f) = {x M/N : x Ker(f)}.2. Si Ker(f) = N = f es monomorfismo.

1.5. TEOREMAS DE ISOMORFISMOS DE NOETHER. 27

3. Si f es epimorfismo = f es epimorfismo.4. Si Ker(f) = N y f es epimorfismo = f es un isomorfismo.

Demostacion:

En primer lugar, debe demostrarse que f esta bien definida. En efecto, six, y M y si x = y, entonces x y N lo que implica, como N Ker(f)por hipotesis, que f(x y) = 0M lo que implica (por ser f homomorfismo)que f(x) f(y) = 0M , de modo que f(x) = f(y); luego f(x) = f(y).

Que f es un homomorfismo de Rmodulos es claro ya que si r R yx, y M

N, entonces:

f(r x+ y) = f(r x+ y) = f(r x+ y) = r f(x) + f(y) = r f(x) + f(y)

Por otro lado, se tiene que

Ker(f) = {x M/N : f(x) = 0M }

= Ker(f) = {x M/N : f(x) = 0M }

= Ker(f) = {x M/N : x Ker(f)}lo que demuestra (1).Ahora bien, en caso de ser Ker(f) = N , resultara entonces que:

Ker(f) = {x M/N : x N}

= Ker(f) = {x M/N : x = 0M} = {0M} = 0M/N

= f es monomorfismolo que demuestra la parte (2).Supongase ahora que f es un epimorfismo. Sea x M . Entonces, por

definicion de epimorfismo, existira un x M tal que f(x) = x, de donderesulta que f(x) = x. Como x fue arbitrariamente elegido, este razonamientodemuestra que f es un epimorfismo lo que demuestra (3).

Finalmente, es claro que la parte (4) es consecuencia inmediata de laspartes (2) y (3).


La ultima parte del teorema anterior es una pieza importantsima del

Algebra. Se conoce como el famoso

Teorema 1.14. (Primer Teorema de Isomorfismo): Sea f : M M un epimorfismo de Rmodulos. Entonces, el homomorfismo inducido por f ,f :

M

Ker(f)M , es un isomorfismo.

Es decir, se tiene el isomorfismo de Rmodulos:M

Ker(f)= f(M)

Demostacion:

Ejemplos

Ejemplo 1: Supongase que M es un Rmodulo cclico, es decir, queexiste un x M tal que M = R x. Entonces, la aplicacion fx : R M ,definida por

fx(r) = r x, r R,es un epimorfismo de Rmodulos. Observese que

Ker(fx) = {r R : fx(r) = 0M} = {r R : r x = 0M} = AnnR(x)

Luego, por el Primer Teorema de Isomorfismo, se tiene el isomorfismode Rmodulos:

M = RAnnR(x)

Teorema 1.15. (Segundo Teorema de Isomorfismo) Sea M un Rmodulo yN,H sub-R-modulos de M . Entonces, se tiene el isomorfismo de Rmodulos:

N

N H= N +H

H


Demostacion:

En primer lugar, notese que

N +H

H= {x+H : x N +H}

= N +HH

= {(n+ h) +H : n N, h H}

= N +HH

= {(n+H) + (h+H) : n N, h H}

= N +HH

= {(n+H) : n N}

Luego, es natural definir la aplicacion f : N N +HH

, por:

f(n) = n+H,n NEs claro que f es un homomorfismo de Rmodulos: pues si r R y

n, n N entonces:

f(rn+n) = (rn+n)+H = (rn+H)+(n+H) = r(n+H)+(n+H) = rf(n)+f(n)

Ademas, en virtud de la descripcion dada paraN +H

H, es claro que f

es sobreyectiva. Luego, por el Primer Teorema de Isomorfismo, se tiene elisomorfismo:

N

Ker(f)= N +H

H

Ahora bien, notese que

Ker(f) = {n N : f(n) = 0N+H/H}

= Ker(f) = {n N : n+H = 0M +H}

= Ker(f) = {n N : n 0M H}

= Ker(f) = {n N : n H}


= Ker(f) = N HLuego, resulta que

N

N H= N +H

H

Teorema 1.16. Sean M un Rmodulo y N un sub-R-modulo de M . En-tonces:

1. Si K es un sub-R-modulo de M y N K, el conjunto cociente

K

N= {x+N : x K}

es un sub-R-modulo deM

N.

2. Si K,K son sub-R-modulos de M tales que N K,N K , entonces:

K

N=K

N K = K

3. Si M es un sub-R-modulo deM

N, entonces existe un sub-R-modulo de

M , KM, tal que N KM y M = KMN

Demostacion:

(1) : En efecto, es claro queK

N= (K), siendo : M M

Nel epimor-

fismo canonico. Luego,K

Nes un sun-R-modulo de

M

N.

(2) : (=) : Sea, en primer lugar, x K. Entonces, x + N KN

lo que

implica por serK

N=

K

Npor hipotesis, que x + N = x + N para algun

x K ; luego x x N de modo que x x = n, con n N de dondese sigue que x = n + x lo que obviamente implica (dado que N K ) quex K . En consecuencia, K K . Analogamente se demuesrta que K K,


de modo que K = K .

(=) : Esta implicacion es obvia.

(3) : Considerese el conjunto

KM = {x M : x+N M}Es claro que KM es un sub-Rmodulo de M , pues KM = 1(M). Tam-

bien es claro que N KM: pues si x N entonces x+N = 0M = 0M/N M.

Finalmente, notese que

KMN

= {x+N : x KM} = {x+N : x+N M} =M

Una vez caracterizados los sub-R-modulos de un Rmodulo cociente,MN

,

se tiene ahora el siguiente teorema conocido como el Tercer Teorema deIsomorfismo.o la Ley de Cancelacion:

Teorema 1.17. (Tercer Teorema de Isomorfismo) Sea H N M unacadena de Rmodulos. Entonces N

Hes un sub-R-modulo de

M

Hy se tiene el

isomorfismo de Rmodulos:M

HN

H

= MN

Demostacion:

En efecto, defnase la aplicacion f :M

H M

N, por:

f(x+H) = x+N, x+H MH

Observese que f es una aplicacion bien definida: pues si x, x M yx+H = x+H, entonces xx H lo que implica, comoH N por hipotesis,que x x N de modo que x+N = x +N ; luego f(x+H) = f(x +H),demostrandose as que f no depende del representante elegido.


Por otro lado, f es un homomorfismo de Rmodulos: pues si r R yx+H, y +H M

H, entonces:

f(r (x+H) + (y +H)) = f((r x+ y) +H)

= f(r (x+H) + (y +H)) = (r x+ y) +N

= f(r (x+H) + (y +H)) = r (x+N) + (y +N)

= f(r (x+H) + (y +H)) = r f(x+H) + f(y +H)Es claro tambien que f es un epimorfismo. Observese ahora que

Ker(f) = {x+H MH

: f(x+H) = 0M/N}

= Ker(f) = {x+H MH

: x+N = 0M}

= Ker(f) = {x+H MH

: x N}

= Ker(f) = NH

Por tanto, se sigue del Primer Teorema de Isomorfismo que

M

N=M

HN

H

El siguiente teorema es una generalizacion del Teorema 1.16.

Teorema 1.18. (Teorema de correspondencia) Sea f : M M un epi-morfismo de Rmodulos. Entonces, se tiene que:

1. Si N es un sub-R-modulo de M y Ker(f) N , entonces:

f1(f(N)) = N


2. Si P es un sub-R-modulo de M entonces:

f(f1(P )) = P

3. Sea F la familia de todos los sub-R-modulos de M que contienen aKer(f) y F la familia de todos los sub-R-modulos de M . Entonces,las aplicaciones

f : F F

f : F F

definidas respectivamente por

f (N) = f(N), N F

f(P ) = f1(P ), P F

son aplicaciones inversas entre s.

Demostacion:

(1) : En primer lugar, notese que, en virtud de la definicion misma depre-imagen de un sub-R-modulo, la inclusion N f1(f(N)) es obvia.

Sea ahora x f1(f(N)). Entonces, x M y f(x) f(N), de modo quef(x) = f(y) para algun y N lo que obviamente implica que xy Ker(f).As, como Ker(f) N por hipotesis, resulta que x y N . Luego, comox = (x y) + y, se deduce que x N . Por tanto, f1(f(N)) N .

(2): Notese que, por la definicion de imagen, es claro que f(f1(P )) P .Por otro lado, si z P entonces, como f es sobreyectiva (por hipotesis),existe un x M tal que f(x) = z. Luego, por la definicion de pre-imagen,x f1(P ) de modo que z = f(x) f(f1(P )). En consecuencia, se tieneque P f(f1(P )).


Ejemplos

Ejemplo 1: Considerese el grupo abeliano (Z,+) con su estructura na-tural de Zmodulo. Recuerdese que cada sub-Zmodulo de Z es de la formaI = < n >, para algun n Z. Ahora bien, por los teoremas anteriores, lossub-Zmodulos del modulo cociente Z

Ison los cocientes de la forma

J

I

siendo J un sub-Zmodulo de Z que contiene a I. Para J existe un m Ztal que J = < m >. As, como I J , es claro que m|n.

Se demostrara ahora el isomorfismo de Zmodulos:

Si m|n < m >< n >

= Z< n

m>

En efecto, sea la composicion de homomorfismos:

Z fm < m > < m >< n >

siendo fm(x) = m x, para cada x Z, y el epimorfismo canonico. Esobvio que fm y son epimorfismos de Zmodulos. Por tanto, fm tambienlo es. Notese que

Ker( fm) = {x Z : ( fm)(x) = 0}

Ker( fm) = {x Z : (fm(x)) = 0}

Ker( fm) = {x Z : (m x) = 0}

Ker( fm) = {x Z : m x = 0}

Ker( fm) = {x Z : m x 0 < n >}

Ker( fm) = {x Z : m x < n >}

Ker( fm) = {x Z : m x = r n, para algun r Z}

Ker( fm) = {x Z : m x = r n, para algun r Z}


Ker( fm) = {x Z : x = r nm

para algun r Z}

Ker( fm) = < n/m >Por tanto, por el Primer Teorema de Isomorfismo, resulta el isomorfismo

afirmado.Ejemplo 2: Sea R un anillo conmutativo con identidad 1 6= 0. Supongase

que I, J son ideales de R. Recuerde que considerar a R como modulo sobres mismo es equivalente a considerarlo con su estructura de anilo. En este

ejemplo, se determinara la estructura del Rmodulo HomR(R

I,R

J

).

Para cada r R sea r = r + I, es decir, la clase de r modulo I. Sear = r + J , la clase de r modulo J. As, observese que si f HomR

(R

I,R

J

)entonces para cada r R

I, se tiene que:

f(r) = f(r 1) = r f(1) = f(1) rEs decir, f esta determinado por su imagen en 1, f(1). Ahora bien, no toda

multiplicacion a izquierda por un elemento deR

Jes un homomorfismo de

Rmodulos: en efecto, para poder definir un homomorfismo de Rmodulosentre

R

IyR

J, la formula no puede depender del representante de una clase

enR

I. Hablando mas precisamente, aunque se tenga que r = r, no se sigue

necesariamente que s r = s r para cualquier s R.El problema se resuelve considerando el conjunto:

(J : I) = {s R : s I J}A este conjunto se le llama el cociente de J sobre I y es un ideal de

R y es claro que J (J : I).Notese que si r = r entonces r r I de modo que, si s (J : I),

entonces s (r r) J , es decir, s r s r J de donde resulta ques r = s r. As pues, para cada s (J : I) se puede considerar la aplicacionfs :

R

I R

Jdefinida por:

fs(r) = s r, r RI

El razonamiento anterior demuestra que cada fs es un homomorfismo deRmodulos. Ademas, se tienen las siguientes identidades:


fs1 + fs2 = fs1+s2 ; s1, s2 (J : I)y

m fs = fms;m R, s (J : I)

Por tanto, es natural definir la aplicacion : (J : I) HomR(R

I,R

J

),

por

(s) = fs

Esta aplicacion es pues un homomorfismo de Rmodulos y se tiene que :

Ker() = {s (J : I) : (s) = 0HomR(R/I,R/J)}

Ker() = {s (J : I) : fs(r) = 0, para todo r R/I}

Ker() = {s (J : I) : s r = 0, para todo r R/I}

Ker() = {s (J : I) : s r J, para todo r R}En particular, tomando r = 1, se deduce que Ker() J . Es claro

que, recprocamente, J Ker(). Luego, Ker() = J lo que implica porel Primer Teorema de Isomorfismos que se tiene el siguiente isomorfismo deRmodulos:

HomR

(R

I,R

J

)= (J : I)

J

Ejemplo 3: Si se toma en el ejemplo anterior R = Z, los ideales I y Json de la forma I = < n > y J = < m >, para ciertos n,m Z. Se tieneentonces que

HomZ

(Z

< n >,

Z< m >

)= (< m >:< n >)

< m >

Se demostrara ahora que

(< m >:< n >) = < m/d >, con d = m.c.d(m,n)

En efecto, por definicion, se tiene que

(< m >:< n >) = {r Z : r < n > < m >}

1.6. EL GRUPO DE PRUFER: Z(P). 37

Por la identidad de Bezout, se tiene que existen s, t Z tales que

d = sn+ tm

Luego, es claro que

r d = rsn+ rtm < m >, para todo r (< m >:< n >)

r m < m >, para todo r (< m >:< n >)

m < m/d >, para todo r (< m >:< n >)Por tanto, (< m >:< n >) < m/d >. La inclusion recproca es obvia-

mente cierta.As pues, se tiene que

HomZ

(Z

< n >,

Z< m >

)= < m/d >

< m >

HomZ(

Z< n >

,Z

< m >

)= Z

HomZ(

Z< n >

,Z

< m >

)= Z< d >

1.6. El grupo de Prufer: Z(p).Considerese al grupo abeliano (Q,+) dotado con su estructura natural

de Zmodulo. En esta seccion se presentara un grupo abeliano o Zmodulomuy importante, a saber, el famoso grupo de Prufer o Z(p).

El cocienteQZ

es conocido como el de los numeros racionales modulo 1.

Recuerdese que

QZ

= {x : x Q}Aqu, x simboliza la clase de x modulo Z, x = x+ Z. Notar que

x y x y ZLuego:


x 0 x ZPor tanto:

x = 0 x ZAs, por ejemplo,

3

4+

2

3=

3

4+

2

3=

17

12=

12 + 5

12=

12

12+

5

12= 1 +

5

12= 1+

5

12= 0+

5

12=

5

12

El calculo anterior justifica un poco el nombre racionales modulo 1.

Definicion 1.6. Sea (M,+) un grupo abeliano. Entonces, la torsion de Mes el conjunto t(M) definido por:

t(M) = {x M : n x = 0M , para algun n N}Es decir, t(M) es el conjunto de todos los elementos de M que tienen

orden finito. Es facil demostrar que t(M) es un subgrupo de M .

Definicion 1.7. Sea (M,+) un grupo abeliano. Entonces:

1. Se dice que M es de torsion si, y solo, si t(M) = M .

2. Se dice que M es libre de torsion si, y solo, si t(M) = {0M}.

Ejemplos

Ejemplo 1: Es facil observar que

t((Z,+)) = {0}, t((Q,+)) = {0}, t((R,+)) = {0}, t((C,+)) = {0},t((Q, )) = {1,1}, t((R, )) = {1,1},

t((C, )) = W (C) = {w C : wn = 1, para algun n N} = races de la unidad en CObservese ahora que:

t

(RZ

)=

{x R

Z: n x = 0, para algun n N

}

t(RZ

)=

{x R

Z: n x Z, para algun n N

}

1.6. EL GRUPO DE PRUFER: Z(P). 39

t(RZ

)=

{x R

Z: x Q,

}

t(RZ

)=QZ

Analogamente, notese que:

t(QZ

)=

{x Q

Z: n x Z, para algun n N

}

t(QZ

)=

{x Q

Z: x Q,

}

t(QZ

)=QZ

(QZ

)es de torsion

Definicion 1.8. Sea (M,+) un grupo abeliano de torsion. Para cada numeroprimo p N se define el conjunto Mp por:

Mp = {x M : pk x = 0M para algun k N}

Es decir, Mp es el conjunto de los elementos de M que tienen como ordenalguna potencia de p. Se le llama la componente pprimaria de M . Es muysencillo demostrar que Mp es un subgrupo de M .

Ejemplo 2: Para cada numero primo natural p se tiene que:(QZ

)p

=

{x Q

Z: pk x = 0, para algun k N

}

(QZ

)p

=

{x Q

Z: pk x Z, para algun k N

}

(QZ

)p

=

{x Q

Z: x 1

pk Z, para algun k N

}

(QZ

)p

=

{x Q

Z: x Z

[1

p

]}


(QZ

)p

=

Z[

1

p

]Z

El cociente

Z[

1

p

]Z

se le llama el p-grupo de Prufer y se le suele denotarpor

Z[

1

p

]Z

= Z(p)

Este grupo abeliano o Zmodulo, Z(p), tiene importantes propiedadesy aparece en ciertos resultados sobre grupos abelianos infinitos.

Observese que si para cada n N {0} se define el conjunto:

Z(pn) ={m

pn: m Z

}entonces es claro que Z(pn) es un subgrupo de Z(p). Ademas, se tiene

que:

{0} Z(p) Z(p2) Z(p3)... Z(pr) Z(pr+1)...y

Z(p) = j=1Z(pj)Observese tambien que:

Z(pn) =

1

pn ZZ= Zpn Z = Zpn

Por tanto, Z(pn) es un grupo cclico y finito de orden pn y sus unicossubgrupos son de la forma Z(pj) con j {0, 1, 2, ..., n}.Teorema 1.19. Los unicos subgrupos de Z(p) son los Z(pn) y Z(p).

Demostacion: En efecto, sea H un subgrupo de Z(p). Notese que siZ(pn) H para todo n N, se sigue entonces (por ser Z(p) = i=1Z(pn))que H = Z(p).

Ahora bien, en caso contario al anterior, es claro que debe existir un n Ntal que

1.7. EJERCICIOS. 41

Z(pn) H,Z(pn) * HComo Z(pn) H y Z(pn) Z(pn+1), se tiene que

Z(pn) H Z(pn+1) Z(pn+1)Por tanto, se tiene que:

H Z(pn+1) = Z(pn)En general, se tiene que: H Z(pn+j) = Z(pn), para todo j N. En

efecto, al considerar las inclusiones:

Z(pn) H Z(pn+j) Z(pn+j)se deduce que

H Z(pn+j) = Z(pn) o H Z(pn+j) = Z(pn+k) con k {1, 2, ..., j}

Claramente, es imposible que HZ(pn+j) = Z(pn+k) (pues se tendra queZ(pn+1) Z(pn+k) = H Z(pn+j) H lo cual no es cierto) de modo queH Z(pn+j) = Z(pn)

En consecuencia, se puede, finalmente, escribir que

H = H Z(p) = H (j=1Z(pj)) = j=1(H Z(pj)) = Z(pn)

1.7. Ejercicios.

Ejercicio: Sea M un Rmodulo unitario a la izquierda. Demuestre que:

1. 0 x = 0M , para todo x M .2. r 0M = 0M , para todo r R.3. (r) x = r (x) = (r x), si r R, x M .

Ejercicio: Sea Q considerado como Zmodulo unitario a la izquierda.Demuestre que:


1. Todo sub-Zmodulo de Q, finitamente generado, es cclico.2. Si f : Q Q es un homomorfismo de Zmodulos, entonces f es el

homomorfismo nulo o f es un automorfismo. Deducir que Q no poseesub-Zmodulo propio alguno que sea isomorfo a Q.

3. Dar un ejemplo de un sub-Z-modulo de Q, distinto de Q, que no seafinitamente generado.

Ejercicio: Sea R un anillo unitario e I un ideal de R. Se define elconjuntoI M por

I M = {a1x1 + a2x2 + ...+ anxn : n N, ai R, xi M}Demuestre que I M es un sub-R-modulo de M .

Ejercicio: Sea M un Rmodulo unitario a izquierda y sean N,H sub-R-modulos de M . El conductor de H en N se define como el conjunto

(N : H) = {r R : r H N}Demuestre que:

1. (N : H) es un ideal bilatero de R.

2. Calcule (N : 0M), (N : N), (M : N), (0M : N) .

3. Si H N (N : H) = R.4. Si N1, N2, ..., Nr son sub-R-modulos de M , entonces:

(N1 N2 ... Nr : H) = (N1 : H) (N2 : H) ...(Nr : H)

5. Si I es un ideal de R, entonces (I : R) R y, ademas, es el ideal masgrande de R que esta contenido en I.

Ejercicio: Sea M un Zmodulo tal que cualesquiera dos sub-Z-modulosno nulos sean isomorfos. Demuesrte que M = Z.

Ejercicio: Considerese a Z y aQ con su estructura natural de Zmodulosunitarios. Demuesrte que no existe un epimorfismo de Zmodulos entre Z yQ.

Ejercicio: Sean p, q numeros primos naturales. Demuesrte que:

1.7. EJERCICIOS. 43

Z(p) = Z(q) p = q

Ejercicio: Demuesrte que todo sub-Z-modulo deQZ

, finitamente genera-

do, es cclico.

Ejercicio: Demuestre que no existe un monomorfismo de Zmodulos deZ en

QZ

.

Ejercicio: Considerese a Z y aQ con su estructura natural de Zmodulosunitarios. Demuesrte que:

1. Q no posee sub-Z-modulos maximales respecto a inclusion. Es decir, siN es un sub-Z-modulo de Q y N 6= Q, entonces existe un sub-Z-modulode Q tal que N $ N $ Q ( ambas son inclusiones estrictas).

2. El unico homomorfismo de Zmodulos de Q en Z es el homomorfismonulo. Es decir, HomZ(Q,Z) = {0}.

3. El unico homomorfismo de Zmodulos de Q en Zn es el homomorfismonulo. Es decir, HomZ(Q,Zn) = {0}.

4. El unico homomorfismo de Zmodulos de QZ

en Z es el homomorfismo

nulo. Es decir, HomZ

(QZ, Z

)= {0}.

Ejercicio: Demuestre que el unico homomorfismo de Zmodulos de QZ

en Q es el homomorfismo nulo.

Ejercicio: Demuestre que no existe un epimorfismo de Zmodulos de Qen R.

Ejercicio: Sea (M,+) un grupo abeliano tal que su retculo de subgrupossea totalmente ordenado. Es decir, M tiene la propiedad de que si H,N sonsubgrupos de M entonces H N o N H. Demuestre que M = Zpn paraalgun n N y p un primo natural.

Ejercicio: Calcular:

1. HomZ(Z5,Z10).


2. HomZ(Z4,Z).

3. HomZ(Z5,Z5).

4. HomZ(Z5,Q).

5. HomZ(Z2,Z4).

6. HomZ(Z,Zn).

7. HomZ(Z,Z(p)), con p un primo natural.

8. HomZ(Z(p),Z(q)), con p, q un primos naturales.

9. HomZ(Z(pn),Z(p)),, con p un primo natural.

Ejercicio: El conjunto Z[

2] = {m + n2 : m,n Z} es el menorsubanillo de R que contiene a Z y a

2. Por tanto, (Z[

2],+) es un gru-

po abeliano. Existe sobre este grupo abeliano una estructura de Zmodulounitario?

Ejercicio: Existe un n N tal que el grupo abeliano Z(p) tenga es-tructura de Znmodulo unitario?

Ejercicio: Sean m,n N y d = m.c.d(m,n). Recuerdese que

HomZ(Zn,Zm) = ZdSin utilizar esta identidad demuestre que:

d = 1 HomZ(Zn,Zm) = {0} = {homomorfismo nulo}

Ejercicio: Sea V un Qespacio vectorial y T : V V una transfor-macion aditiva, es decir, tal que T (x+ y) = T (x) + T (y) para todo x, y V .Demuestre que T es Qlineal.

Ejercicio: Sea M un Rmodulo unitario a izquierda. Se dice que M essimple si, y solo , si M es no nulo y sus unicos sub-R-modulos son {0M} yM . Demuestre que:

1. M es cclico. Mas precisamente, cualquier elemento no nulo x M esun generador de M como R modulo.

1.8. BIBLIOGRAFIA. 45

2. Si f : M N es un homomorfismo de Rmodulos y M es simple,entonces f es el homomorfismo nulo o f es un monomorfismo.

3. Si f : M N es un homomorfismo de Rmodulos y M y N sonsimples, entonces f es el homomorfismo nulo o f es un isomorfismo.

Ejercicio: Calcule todos los ideales de los siguientes anillos:

1.Q[X]

< X3 1 > .

2.R[X]

< X3 1 > .

3.C[X]

< X3 1 > .

4.Z3[X]

< X3 1 > .

5.Z5[X]

< X3 1 > .

6.R[X]

< (X2 + 1)(X4 + 2X + 2) >.

1.8. Bibliografa.

1. Lectures in abstrac algebra, Nathan Jacobson.

2. A survey of modern algebra, Garret Birkhoff y Saunders Mac Lane.

3. A first course in module theory, Michael Keating.

4. Estructuras algebraicas II, Enzo Gentile.

Captulo 2

Dominios de factorizacionunica. Cuerpos cuadraticos.

En Teora Algebraica de Numeros uno de los problemas centrales esla solucion de ecuaciones diofanticas. Este problema induce de maneranatural a las muy importantes nociones de: dominio de factorizacionunica, dominio euclideano y la de dominios de ideales principales.

Definicion 2.1. Sea (D,+, , 0, 1) un anillo conmutativo. Entonces sedice que D es un dominio entero si, y solo, si:

a, b D y a b = 0 a = 0 o b = 0Definicion 2.2. Sea (D,+, , 0, 1) un dominio entero y a, b D. En-tonces, se dice que a divide a b en D si, y solo, si b = a c para algunc D. En tal caso, se escribe a|b.Definicion 2.3. Sea (D,+, , 0, 1) un dominio entero y u D. Enton-ces, se dice que u es invertible en D o que u es una unidad en D si, ysolo, si existe un v D tal que u v = 1.El conjunto de todas las unidades del dominio D se simbolizara porU(D).

Teorema 2.1. Sea (D,+, , 0, 1) un dominio entero. Entre los elemen-tos de D, defnase la relacion por:

x y y = u x, para algun u U(D).

Entonces:

47

48CAPITULO 2. DOMINIOS DE FACTORIZACION UNICA. CUERPOS CUADRATICOS.

1. es una relacion de equivalencia.2. Para cada a, b D, se tiene que:

a b< a >=< b > a|b y b|a.3. Para cada a D la clase de equivalencia de a es el conjunto:

a = U(D) a

Demostracion:

Definicion 2.4. Sea (D,+, , 0, 1) un dominio entero y pi D. Enton-ces, se dice que pi es irreducible en D si, y solo, si los unicos divisoresde pi son pi y las unidades del dominio D. Equivalentemente, pi es irre-ducible en D si, y solo, si:

pi = a b, con a, b D a U(D) o b U(D)Definicion 2.5. Sea (D,+, , 0, 1) un dominio entero. Entonces, se diceque D es un dominio de factorizacion unica si, y solo, si:

1. Para cualquier elemento no nulo que no sea una unidad, x D,existe una unidad ,u D, y un numero finito de elementos irre-ducibles en D,pi1, pi2, ..., pir, tales que

x = u pie11 pie22 pierrcon e1, e2, ..., er N.

2. Si pi1, pi2, ..., pir y pi1, pi

2, ..., pi

s son dos suceciones de elementos irre-

ducibles en D tales que:

pie11 pie22 pierr = pi1f1 pi2f2 pisfs

con ei, fj N , entonces se tiene que r = s, cada pii es asociado aalgun pij y ei es igual al correspondiente fj.

Definicion 2.6. Sea (D,+, , 0, 1) un dominio entero e I un ideal de D. Entonces, se dice que I de es principal si, y solo, si I es un submodulocclico. Es decir, si y solo , si existe un a I tal que I =< a >.

49

Definicion 2.7. Sea (D,+, , 0, 1) un dominio entero e I un ideal de D. Entonces, se dice D es un dominio principal o un dominio de idealesprincipales si, y solo, todos sus ideales son principales.

Existe, en particular, una famila importante de dominios enteros queson de factorizacion unica: los dominios euclideanos. Recordemos sudefinicion:

Definicion 2.8. Se dice que un dominio D es euclideano si, y solo, siexiste una funcion : D {0} N tal que para cada a, b D setiene que

a) Si a|b = (a) 5 (b).b) Existen q, r D tales que a = bq + r, con r = 0 o (r) < (b).

En particular, se tiene el siguiente:

Teorema 2.2. Si D es un dominio euclideano = D es un dominiode ideales principales.

Demostracion:

En efecto, sea : D{0} N una funcion que haga de D un dominioeuclideano. Supongase que I es un ideal no nulo de D. Entonces, comoN es bien ordenado, debe existir un x I tal que

(x) 5 (y), para todo y I

Se demostrara ahora que I = D x. En primer lugar, como x Des claro que D x j D. Por otro lado, si a I, entonces (por ser Deuclideano con respecto a por hipotesis) existen q, r D tales que

a = xq + r

con r = 0 o (r) < (x). Observese que , como a I y xq I, es claroentonces que r I (pues r = a xq). Luego, r no puede satisfacer que(r) < (x) (pues se contradira la propiedad que tiene x de miimizar en I). Por tanto, es r = 0 y entonces es a = xq, de modo que a Dx.Por tanto, I = D x


Teorema 2.3. Sea (D,) un dominio euclideano. Entonces, se tieneque:

a) Si u es una unidad en D, entonces (u) es el valor mnimo quealcanza la funcion .

b) Si a, b D {0} y a, b son asociados, entonces (a) = (b).c) Si a, b D{0}, a|b y (a) = (b), entonces a y b son asociados.d) Si a D {0}, entonces: a es una unidad (a) = 1

Demostracion:

Teorema 2.4. Sea D un dominio de ideales principales y pi D. Lassiguientes condiciones son equivalentes:

1) pi es irreducible.

2)D

< pi >es un dominio entero.

3) < pi > es un ideal primo.

4) < pi > es un ideal maximal.

5)D

< pi >es un cuerpo.

Demostracion:

(1) (2) :En este caso, basta demostar que vale la siguiente implicacion:

Si x, y D< pi >

, x y = 0 y y 6= 0 x = 0

Como x y = 0, se tiene entonces que:

x AnnD/(y)

Ahora bien, AnnD/(y) es un ideal deD

< pi >, de modo que (por el

Teorema de Correspondencia) existe un ideal J de D tal que:

51

< pi > J,AnnD/(y) = J< pi >

Como D es un dominio de ideales principales (por hipotesis), existetambien un a D tal que J =< a >. Luego, de < pi > J se deduceque pi = ab para algun b D. As, como pi es irreducible (por hipotesis)se sigue entonces que:

a es una unidad en D o a es asociado pi

Pero, observese que si a fuese una unidad en D, resultara que J = D

y, por tanto, que AnnD/(y) =D

< pi >, lo cual no es cierto pues

1 AnnD/(y) dado que 1 y = y 6= 0. Por tanto, debe cumplirseque a es asociado a pi lo que implica que J =< pi > de modo que

AnnD/(y) =< pi >

< pi >= 0 de modo que x = 0.

(2) (3) : En efecto, pues si a, b D y a b < pi >, se tiene entoncesque

a b = 0

a b = 0

a = 0 o b = 0 pues D< pi >

es un dominio entero por hipotesis

a < pi > o b < pi >

< pi > es ideal primo

(3) (4) : Sea J un ideal de D tal que < pi > J . Ahora bien, comoD es (por hipotesis) un dominio de ideales principales, existe un a Dtal que

J = < a >


Luego, se tiene que pi = a b, para algun b D, de donde se deduce quea b < pi >, de donde resulta (como pi es ideal primo por hipotesis)quea < pi > o que b < pi >; de modo que

a = pi x o b = pi y, con x, y D

pi = pi x b o pi = a pi y

b x = 1 o a y = 1

b es una unidad o a es una unidad

pi es asociado con a o J =< a >= D

J =< pi > o J = D

< pi > es ideal maximal

(4) (5) : Sea x D< pi >

, con x 6= 0. Entonces, x /< pi >. Ahorabien, observese que:

< pi >$< pi > + < x >

Luego, como < pi > es ideal maximal (por hipotesis), entonces se tieneque

D =< pi > + < x >

Luego, en particular, se tiene que 1 < pi > + < x >, de modo queexisten s, t D tales que

1 = s x+ t pi

1 = s x+ t pi

53

s x = 1

x es inversible

D< pi >

es un cuerpo

(5) (1) :Suponiendo que pi fuese reducible entonces existran a, b D tales que

pi = a b, con a, b D U(D) y a pi, b pi

Por tanto, se tendra que < pi >$< a >, lo que implicara que a 6= 0.As, como

D

< pi >es un cuerpo (por hipotesis), existe un c D tal que

a c = 1 de modo que a partir de esta igualdad y de pi = a b, se deduceque pic = b de donde:

b = 0

b < pi >

b = pi z, z D

pi = a pi z

a z = 1

a U(D)

lo cual es contradictorio.


Teorema 2.5. (Existencia de maximo commun divisor) Sea D un do-minio de ideales principales. Si a, b D entonces existe un elementod D tal que

1) d|a y d|b.2) Si c|a y c|b d|c.3) (Identidad de Bezout): Existen s, t D tales que:

d = sa+ tb

Demostracion:

Captulo 3

Modulos finitamentegenerados. Modulos y anillosnoetherianos.

Definicion 3.1. Sea M un Rmodulo a izquierda. Se dice que M es fini-tamente generado sobre R si, y solo, si existen elementos x1, x2, ..., xn Mtales que

M = R x1 +R x2 + ...+R xnEn tal caso, para cada x M , existen r1, r2, ..., rn R tales que:

x = r1 x1 + r2 x2 + ...+ rn xnEn particular, se tiene que:

Definicion 3.2. Sea R un anillo unitario considerado con su estructura na-tural de Rmodulo. Sea I un ideal a izquierda de R. Se dice que I es finita-mente generado si, y solo si, es finitamente generado como Rmodulo.

Ejemplos:

Ejemplo 1: Sea R[0,1] = {f : [0, 1] R | f es funcion}. Este conjunto,R[0,1], tiene estructura de anillo con la suma y el producto usual de funciones:

(g + f)(x) = g(x) + f(x), x [0, 1]y

55

56CAPITULO 3. MODULOS FINITAMENTE GENERADOS. MODULOS Y ANILLOS NOETHERIANOS.

(g f)(x) = g(x) f(x), x [0, 1]Es claro que R[0,1] es cclico ya que:

R[0,1] = < 1 >

Veremos que existen ideales de R[0,1] que no son finitamente generados.Por tanto, no siempre es cierto que si M es un Rmodulo finitamente gene-rado entonces cualquier sub-modulo de M tambien es finitamente generado.

En efecto, sea I el conjunto:

I = {f R[0,1] : f(x) = 0, para casi todo x [0, 1]}Este conjunto se puede describir de otra forma utilizando la nocion de

soporte de una funcion. Recuerdese que, en este caso, si f R[0,1] entoncesel soporte de f es el conjunto Supp(f) definido por:

Supp(f) = {x [0, 1] : f(x) 6= 0}Por tanto:

I = {f R[0,1] : Supp(f) es finito}Es facil demostrar que I es un ideal de R[0,1]. Mas aun, es facil demostrar

que Supp tiene las siguientes propiedades:

g, f R[0,1] Supp(g + f) Supp(g) Supp(f)

g R[0,1], f I Supp(g f) Supp(f)As, en virtud de estas propiedades, se deduce facilmente que I es un ideal

de R[0,1].En este ejemplo se demostrara que I no es finitamente generado. Enefecto,

supongase que I es finitamente generado, es decir, que existan funcionesf1, f2, ..., fn I tales que:

I = < f1, f2, ..., fn >

Sea S = Supp(f1) Supp(f2) ... Supp(fn). Es claro, por la definicionde I, que cada Supp(fj) es finito. Luego, tambien S es finito y entoncespuede tomarse un a [0, 1] tal que a / S. Considerese ahora la funcionfa : [0, 1] R definida por

57

fa(x) =

{1 si x = a0 si x 6= a

Es obvio que fa I (pues Supp(fa) = {a}). Luego, en virtud de lasuposicion de que I es finitamente generado, existiran g1, g2, ..., gn I talesque:

fa = g1 f1 + g2 f2 + ...+ gn fnEvaluando ambos miembros en x = a resulta que:

fa(a) = g1(a) f1(a) + g2(a) f2(a) + ...+ gn(a) fn(a)As, como a no esta en el soporte de cada fj, entonces:

1 = g1(a) 0 + g2(a) 0 + ...+ gn(a) gn(a) 0lo que implicara que 1 = 0 lo cual no es cierto. Esta contradiccion pro-

viene obviamente de suponer que I es finitamente generado. Por tanto, no loes.

notas de teoría de módulos

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