notas sobre varias variables reales liliana ghersi … · valores extremos de funciones sometidas a...

Notas Sobre Varias Variables Reales

Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

101

UNIDAD 4

VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES

CONTENIDOS:

Funciones dos veces diferenciables. Funciones Clase C2 .Teorema de Young sobre la

permutabilidad del orden de las derivaciones.

Definición de extremos relativos (libres), puntos críticos. Prueba de la segunda

derivada.

Máximo o mínimo absoluto. Teorema del valor extremo para funciones de dos

variables.

Valores extremos de funciones sometidas a una restricción; multiplicadores de

Lagrange. Condiciones de Kuhn-Tucker.

Aplicaciones económicas, elasticidad de sustitución de Allen-Uzawa, elasticidad de

sustitución de Morishima.


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

102

DESARROLLO:

FUNCION CONTINUAMENTE DIFERENCIABLE:

Una clase diferenciable, es una clasificación de una función de acuerdo a las

propiedades de sus derivadas. Una función es de clase uno y su denotación es: C1, si sus

derivadas son continuas y se las denomina diferenciables continuas. Una función es de

clase n constante y 1n , Cn, si sus derivadas parciales de orden n, son continuas y se

las denomina diferenciables finitas. Una función es denominada continuamente

diferenciable, si es de clase n Cn para todo n o lo que es lo mismo es C∞

En este capítulo, en el cual se pretende abordar algunos temas de optimización de

funciones de varias variables, la funciones dos veces diferenciables, permiten la

discusión de la naturaleza de los extremos locales y el estudio de las funciones

convexas.

La noción de aplicación diferenciable dos veces se plantes sólo en el caso de funciones

de varias variables reales, tomando como base la diferenciabilidad de las derivadas

parciales.

El Teorema de Young afirma, que bajo condiciones generales, no importa el orden que

se realiza que se realiza la diferenciación parcial para evaluar las derivadas parciales de

segundo orden, y arribando a la conclusión que ambas son coincidentes.

Teorema de Young (Vera) Sea f Ω: → R definida en un abierto Ω ⊂ R2(caso particular

del teorema). Se supone que a ∈ posee un entorno Va ⊂ Ω, donde existen las derivadas

parciales Dif , Djf (i ≠ j) y ambas son diferenciables en a. Entonces se verifica

Dijf (a) = Djif (a).

La demostración se basa en el Teorema de Schwarz, desarrollado en el capítulo tres.

Extremos absolutos de funciones de dos variables:

Definición de Máximo Absoluto: Se dice que la función f de dos variables tiene un

valor máximo absoluto en su dominio D del plano xy si existe algún punto (x0;y0) en

D tal que Dyxyxfyxf ;;; 00 . En tal caso 00 ; yxf es el valor máximo

absoluto de f en D.

Definición de Mínimo Absoluto: Se dice que la función f de dos variables tiene un valor

mínimo absoluto en su dominio D del plano xy si existe algún punto (x0;y0) en D tal

que Dyxyxfyxf ;;; 00 . En tal caso 00 ; yxf es el valor mínimo absoluto

de f en D.

Extremos relativos/libres de funciones de dos variables:

Definición de Máximo Relativo: Se dice que la función f de dos variables tiene un valor

máximo relativo en el punto (x0;y0) si existe un disco abierto ryxB ;; 00 tal que

Byxyxfyxf ;;; 00 .


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

103

Definición de Mínimo Relativo: Se dice que la función f de dos variables tiene un valor

mínimo relativo en el punto (x0;y0) si existe un disco abierto ryxB ;; 00 tal que

Byxyxfyxf ;;; 00 .

Teorema: Si f(x;y) existe en todos los punto de algún disco abierto ryxB ;; 00 y si

tiene un extremo relativo en (x0;y0), entonces si 0000 ; ; yxfyyxf x existen,

0; 0; 0000 yxfyyxf x

Definición de Punto Crítico:

Si f(x;y) existe en todos los punto de algún disco abierto ryxB ;; 00 el punto (x0;y0)

es un punto crítico de f, si una de las siguientes condiciones se cumple:

a) 0; 0; 0000 yxfyyxf x

b) 0000 ; o ; yxfyxf x no existen

Un punto crítico de una función no necesariamente proporciona un extremo relativo de

la función, y en tal caso se dice que es un punto silla de la función f.

Condiciones Necesarias y Suficientes para la Existencia de Extremos Relativos o

Libres:

Condiciones Necesarias: Dada una función f, que admite derivadas parciales en (x0;y0)

interior a su dominio, para que la función admita máximo o mínimo relativo en f(x0;y0),

es necesario que:

0; 0; 0000 yxfyyxf yx

Si se toma la función de una sola variable:

)();( 0 xgyxf

Y si 0;; 00

´

0

´

0

´

0

yxfyxfxg xxx

x; la función sería creciente en (x0;y0) y por

consiguiente no podría tener allí ni máximo ni mínimo, pues en el entorno habría

valores mayores que f(x0;y0) a la derecha y menores que f(x0;y0) a la izquierda.

Igualmente si 0;; 00

´

0

´

0

´

0

yxfyxfxg xxx

x; la función sería decreciente en

(x0;y0) y por consiguiente no podría tener allí ni máximo ni mínimo, pues en el entorno

habría valores mayores que f(x0;y0) a la izquierda y menores que f(x0;y0) a la derecha.

Queda entonces como única alternativa que 0; 00 yxf x . Con razonamiento

análogo, interceptando la superficie funcional con un plano 0xx , se llega a que

0; 00 yxf y .

Condiciones Suficientes:

Para hallar las condiciones suficientes, se desarrolla la función en el entorno de un

punto crítico, por medio de Taylor, hasta las derivadas segundas inclusive:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

104

yxTyyxfyxyxfxyxf

yyxfxyxfyxfyxf

yyxyxx

yx

;;;2;2

1

; ;;;

3

2

0000

2

00

000000

Si el punto (x0;y0) es un punto crítico de f, en el que se cumple que:

0; 0; 0000 yxfyyxf x , se tiene entonces que:

yxTyyxfyxyxfxyxfyxfyxf yyxyxx ;;;2;2

1;; 3

2

0000

2

0000

Si la función f de dos variables tiene un valor máximo relativo en el punto (x0;y0)

entonces existe un disco abierto ryxB ;; 00 tal que

,; 0;; 00 Byxyxfyxf mientras que si tiene un valor mínimo relativo en

el punto (x0;y0) dicha diferencia será positiva o nula.

Estudiar el signo de la diferencia que figura en el primer miembro de la expresión,

equivale a estudiar el signo de la expresión que figura entre corchetes en el segundo

miembro puesto que yxT ;3 un valor despreciable para valores próximos a (x0;y0).

A los efectos de simplificar las notaciones, se define una nueva denotación, como a

continuación se detalla:

00

00

00

2

0000

2

00

;

;

;

;;2;

yxfC

yxfB

yxfA

yyxfyxyxfxyxfR

yy

xy

xx

yyxyxx

Por lo tanto:

22 2 yCyxBxAR

A

yACyxABxARASi

222 20

Si se completa el trinomio cuadrado perfecto en el numerador sumando y restando 22 yB , se arriba a una nueva expresión de R:

A

BACyyBxAR

A

yBACyyBxAR

222

2222


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

105

El factor AC-B2

que se denotará por H(x0;y0), recibe el nombre de hessiano de f(x;y) en

f(x0;y0), y puede expresarse por medio del determinante que surge de la matriz

conformada por la derivadas parciales segundas de la función especializada en (x0;y0) :

00

´

00

´

00

´

00

´

00;;

;;;

yxfyxf

yxfyxf

CB

BAyxH

yyyx

xyxx

Téngase presente que se conserva el signo de H(x0;y0) en un entorno de (x0;y0) si las

derivadas segundas con continuas en (x0;y0) y si H(x0;y0) es distinto de cero; puesto que

H(x0;y0) es continua.

Debe tenerse presente que el signo de R sólo depende de A y de H; y pueden

presentarse las siguientes alternativas:

A1)

lativoMínimoyxfRSiA

lativoMáximoyxfRSiA

yBACyyBxAyxSiH

Re ;00

Re ;00

00;

00

00

222

00

A2)

Si H(x0;y0)<0; el signo de R depende de Δx y de Δy, por lo tanto no existe entorno de

(x0;y0) en el cual se conserve el signo de R (y por lo tanto el signo del término que

proviene de las terceras derivadas parciales). Estas variaciones de signo para los

diversos valores de los incrementos, indican que si H(x0;y0)<0, en (x0;y0) no hay

máximo relativo ni mínimo relativo; se dice que existe punto de silla o de ensilladura.

A3) Si H(x0;y0)=0; se está ante un caso dudoso, y para estudiar la existencia de

extremos habría que remitirse a los otros términos del desarrollo de Taylor, analizando

las derivadas parciales de orden superior, o bien estudiar el comportamiento de la

función en un entorno del punto.

En los ejercicios 1°) a 3°) determine los valores extremos relativos de f, si existen, y su

naturaleza.

1°) 822424, 223 yxyxyxf

Solución:

Para obtener los extremos, si existen, debemos encontrar los posibles puntos de

2 críticos; para ello debemos ver en dónde se anulan las derivadas parciales de

orden uno.

4x0x

04xx12

0x48x12y,xf 2

x


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

106

2

1y

02y4y,xfy

Por lo tanto los pares ordenados críticos posibles son:

2

1;0P

2

1,4P 21

Ahora bien, para analizar qué tipo de situación se presenta realmente; debemos recurrir

a las derivadas de orden dos. Por lo tanto:

448x24y,xfy,xfy,xf

0y,xfy,xf

4y,xf

48x24y,xf

2

xyyyxx

yxxy

yy

xx

Analicemos qué sucede en el par

2

1,4P1 :

04484242

1,4f

2

1,4f

2

1,4f

2

xyyyxx

. Luego, en

2

1,4P1

existe un mínimo o máximo relativo. Pero si analizamos qué sucede con el signo de

yxf xx , en este par, determinaremos la naturaleza del extremo.

0y,xf2

1,4xx

Mínimo relativo en dicho par.

Y el valor que toma en dicho par es:

5,1202

1,4f

Analicemos qué sucede en el par

2

1,0P2


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

107

04480242

1,0f

2

1,0f

2

1,0f

2

xyyyxx

. Luego, en

21,02 P

existe un punto de silla. Analizar los valores para pares cercanos a los pares críticos.

La gráfica correspondiente es:

2°)

2

,2xye

yxf

Solución:

0x0xey,xf

0y0yey,xf

xy2

y

xy2

x

Por lo tanto, el par crítico posible es 0,01 P .

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

-1 -59,5 -20 1,5 8 2,5 -12 -32,5 -56 -79,5 -100 -114,5 -120 -113,5 -92 -52,5 8 92,5

-0,75 -59,875 -20,375 1,125 7,625 2,125 -12,375 -32,875 -56,375 -79,875 -100,375 -114,875 -120,375 -113,875 -92,375 -52,875 7,625 92,125

-0,5 -60 -20,5 1 7,5 2 -12,5 -33 -56,5 -80 -100,5 -115 -120,5 -114 -92,5 -53 7,5 92

-0,25 -59,875 -20,375 1,125 7,625 2,125 -12,375 -32,875 -56,375 -79,875 -100,375 -114,875 -120,375 -113,875 -92,375 -52,875 7,625 92,125

0 -59,5 -20 1,5 8 2,5 -12 -32,5 -56 -79,5 -100 -114,5 -120 -113,5 -92 -52,5 8 92,5

0,25 -58,875 -19,375 2,125 8,625 3,125 -11,375 -31,875 -55,375 -78,875 -99,375 -113,875 -119,375 -112,875 -91,375 -51,875 8,625 93,125

0,5 -58 -18,5 3 9,5 4 -10,5 -31 -54,5 -78 -98,5 -113 -118,5 -112 -90,5 -51 9,5 94

0,75 -56,875 -17,375 4,125 10,625 5,125 -9,375 -29,875 -53,375 -76,875 -97,375 -111,875 -117,375 -110,875 -89,375 -49,875 10,625 95,125

1 -55,5 -16 5,5 12 6,5 -8 -28,5 -52 -75,5 -96 -110,5 -116 -109,5 -88 -48,5 12 96,5

Series1

-150

-100

-50

0

50

100

-1,5 -1

-0,5 0

0,5 1

1,5 2

2,5 3

3,5 4

4,5 5

5,5 6

6,5

50-100

0-50

-50-0

-100--50

-150--100


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

108

2xy2xy2xy4222

xyyyxx

xy2xy2

yxxy

xy22

yy

xy22

xx

)xye2e(eyx4y,xfy,xfy,xf

xye2ey,xfy,xf

ex2y,xf

ey2y,xf

Con lo cual 1)0,0(f)0,0(f).0,0(f2

xyyyxx

Es decir, que en )0,0(P1 existe un punto silla Analizar los valores para pares

cercanos a los pares críticos.

La gráfica correspondiente es:

1,798319863 1,532427 1,305848 1,11277 0,94824 0,808037 0,688564 0,586755 0,5 0,426072 0,363075 0,309392 0,263646 0,224664 0,191446 0,16314 0,139019

1,532427102 1,332228 1,158183 1,006876 0,875336 0,760981 0,661565 0,575137 0,5 0,434679 0,377892 0,328523 0,285605 0,248293 0,215855 0,187656 0,16314

1,305848237 1,158183 1,027217 0,911059 0,808037 0,716665 0,635625 0,563748 0,5 0,44346 0,393314 0,348838 0,309392 0,274406 0,243376 0,215855 0,191446

1,112770464 1,006876 0,911059 0,824361 0,745912 0,674929 0,610701 0,552585 0,5 0,452419 0,409365 0,370409 0,33516 0,303265 0,274406 0,248293 0,224664

0,94824044 0,875336 0,808037 0,745912 0,688564 0,635625 0,586755 0,541644 0,5 0,461558 0,426072 0,393314 0,363075 0,33516 0,309392 0,285605 0,263646

0,808037201 0,760981 0,716665 0,674929 0,635625 0,598609 0,563748 0,530918 0,5 0,470882 0,44346 0,417635 0,393314 0,370409 0,348838 0,328523 0,309392

0,688563882 0,661565 0,635625 0,610701 0,586755 0,563748 0,541644 0,520405 0,5 0,480395 0,461558 0,44346 0,426072 0,409365 0,393314 0,377892 0,363075

0,586755435 0,575137 0,563748 0,552585 0,541644 0,530918 0,520405 0,510101 0,5 0,490099 0,480395 0,470882 0,461558 0,452419 0,44346 0,434679 0,426072

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

0,426071894 0,434679 0,44346 0,452419 0,461558 0,470882 0,480395 0,490099 0,5 0,510101 0,520405 0,530918 0,541644 0,552585 0,563748 0,575137 0,586755

0,363074519 0,377892 0,393314 0,409365 0,426072 0,44346 0,461558 0,480395 0,5 0,520405 0,541644 0,563748 0,586755 0,610701 0,635625 0,661565 0,688564

0,309391696 0,328523 0,348838 0,370409 0,393314 0,417635 0,44346 0,470882 0,5 0,530918 0,563748 0,598609 0,635625 0,674929 0,716665 0,760981 0,808037

0,263646212 0,285605 0,309392 0,33516 0,363075 0,393314 0,426072 0,461558 0,5 0,541644 0,586755 0,635625 0,688564 0,745912 0,808037 0,875336 0,94824

0,224664482 0,248293 0,274406 0,303265 0,33516 0,370409 0,409365 0,452419 0,5 0,552585 0,610701 0,674929 0,745912 0,824361 0,911059 1,006876 1,11277

0,191446443 0,215855 0,243376 0,274406 0,309392 0,348838 0,393314 0,44346 0,5 0,563748 0,635625 0,716665 0,808037 0,911059 1,027217 1,158183 1,305848

0,163139897 0,187656 0,215855 0,248293 0,285605 0,328523 0,377892 0,434679 0,5 0,575137 0,661565 0,760981 0,875336 1,006876 1,158183 1,332228 1,532427

0,13901865 0,16314 0,191446 0,224664 0,263646 0,309392 0,363075 0,426072 0,5 0,586755 0,688564 0,808037 0,94824 1,11277 1,305848 1,532427 1,79832

Series1

Series6

Series11

Series16

0

0,5

1

1,5

2

1,5-2

1-1,5

0,5-1

0-0,5


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

109

3°) xyx2xy4)y,x(f 22

Solución:

Puntos críticos:

2

1,0P1

y

2

1,0P1

No son ni máximos ni mínimos.

Se adjuntan gráfica con distintas visiones y tabla valores cercanos a los puntos críticos:

Series1

Series4

Series7

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

25-30

20-25

15-20

10-15

5-10

0-5

-5-0

-10--5


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

110

4°) Determinar el punto del plano 523 zyx que esté más cerca del punto

3,2,1 y calcule la mínima distancia.

Solución:

El punto del plano 523 zyx que está más próximo al punto 3,2,1 es el que,

también, pertenece a la recta normal.

Para determinar la recta normal al plano debemos resolver las derivadas de primer

orden, o sea:

1

2

3

z

y

x

F

F

F

La ecuación de la recta normal está dada por:

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-1,5

0,5

2,5

25-30

20-25

15-20

10-15

5-10

0-5

-5-0

-10--5

0 -1 -1 0 2 5 9 14 20 27

1,5 0,25 -0,25 0 1 2,75 5,25 8,5 12,5 17,25

2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9

2,25 1,25 0,5 0 -0,25 -0,25 0 0,5 1,25 2,25

1,5 1 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3

0 0,25 0,25 0 -0,5 -1,25 -2,25 -3,5 -5 -6,75

-2,25 -1 -0,25 0 -0,25 -1 -2,25 -4 -6,25 -9

-5,25 -2,75 -1 0 0,25 -0,25 -1,5 -3,5 -6,25 -9,75

-9 -5 -2 0 1 1 0 -2 -5 -9


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

111

123

000

zzyyxx

Por lo tanto:

000000

000000

z3xz3xz3z3xx1

zz

3

xx

y3x2y3x2y3y3x2x22

yy

3

xx

Con lo cual al ser 3z2y1x 000

De la primera relación surge que:

3

82832

xyyx

Y de la segunda:

3

10103

xzzx

Por lo tanto el punto de intersección de la recta normal con el plano, deberá satisfacer la

siguiente igualdad:

53

10x

3

8x22x3

De donde resulta que 14

41x , por lo que

14

33z

7

5y

Por lo tanto, la distancia mínima entre el plano y el punto 3,2,1 es la distancia

existente entre

14

33,

7

5,

14

410P y 3,2,1P .


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

112

14

1493

14

332

7

51

14

41,

222

0

PPD

5°) Hallar la mínima distancia del punto (1;2;3) al plano 2x – y + z =5

Solución:

3

6D

APLICACIONES ECONÓMICAS

6°) Un fabricante monopolista vende dos tipos de esencias. Ha analizado sus anteriores

operaciones y ha decidido que si produce x litros de esencia A e y litros de esencia B, se

pueden vender respectivamente a x4200 y a y6250 dólares cada litro. El costo

total de la fabricación de las esencias está dado por xyyxyxC 82224, dólares.

¿Cuántos litros de cada esencia debe fabricar a fin de obtener una utilidad máxima?

¿Cuál es dicha utilidad?

Solución:

Definamos las funciones que se necesitan para realizar el estudio en cuestión:

xyyxyyxxyxCyxIyxU

yyxxyxI

8222462504200,,,

62504200,

Como x es la producción de esencia A e y la producción de esencia B: 0y ,0x

Además las expresiones ( 200 – 4x ) y ( 250 – 6y) representan dinero, por lo tanto

6

250y0y6250

50x0x4200


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

113

Por lo tanto, si definimos el dominio de yxU , se tiene que:

6

2500500/,, 2 yxyxyxDomU

Esta función es continua, por lo tanto se puede aplicar el teorema del valor extremo.

Si resolvemos ambas ecuaciones, es posible encontrar el par que cumple conjuntamente

con las mismas. Siendo dicho par 13;9 .

Ahora debemos analizar las derivadas parciales de orden dos:

8)y;x(Uy;xU

12y;xU

8y;xU

yxxy

yy

xx

Resultando 032)13;9(U)13;9(U)13;9(U2

xyyyxx

Por lo tanto, en el par en cuestión puede haber un mínimo o un máximo relativo. Pero

como 0)13;9(Uxx podemos afirmar que en el par (9:13) la función alcanza un

máximo relativo.

Para poder afirmar que efectivamente es un máximo, debemos ver qué sucede con los

valores funcionales en los bordes del dominio y comparar con el valor funcional en

13,9 .

227413,9 U

Analicemos qué sucede en los “bordes” del dominio de la función:

a- 241760, xxxU . Analicemos cómo es esta función.

máximounalcanzafunciónlapuntodichoEn080,xU

22x0x81760,xU


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

114

19360,22 U . Pero 22741936

b- 26228,0 yyyU . Analicemos cómo es esta función.

máximounalcanzafunciónlapuntodichoEn0y12y,0U

19y0y12228y,0U

19y

216619,0 U . Pero 22742166

c- Para

6

250,xU con 50,0x y para U(50;y) con y

6

250;0 , los puntos

críticos no se encuentran en los dominios respectivos.

Por lo que concluimos que U 13;9 es máximo absoluto.

A continuación se presenta una tabla de pares funcionales y la gráfica correspondiente a

tres vistas distintas de la función a maximizar en el dominio consignado al inicio del

problema

Series1

Series8Series15

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

-3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

2000-2500

1500-2000

1000-1500

500-1000

0-500

-500-0

-1000--500

-1500--1000


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

115

7°) Suponga que cuando la producción de una mercancía requiere x horas-máquina y

de y horas-persona, el costo de producción está dado por

50062, 23 yxyxyxC . Determine el número de horas máquina y de horas-

persona necesarios para producir la mercancía a un costo mínimo.

Determinemos, primero, si existen pares críticos. Para ello recurramos a obtener las

derivadas parciales y ver si existen valores para los cuales éstas toman valor nulo –

Seri

es1

Seri

es4

Seri

es7

Seri

es1

0

Seri

es1

3

Seri

es1

6

Seri

es1

9

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

-3

6

15

2000-2500

1500-2000

1000-1500

500-1000

0-500

-500-0

-1000--500

-1500--1000

Seri

es1

Seri

es3

Seri

es5

Seri

es7

Seri

es9

Seri

es1

1

Seri

es1

3

Seri

es1

5

Seri

es1

7

Seri

es1

9

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

-3

6

15

2000-2500

1500-2000

1000-1500

500-1000

0-500

-500-0

-1000--500

-1500--1000


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

116

recuerde que estamos hablando de valores funcionales para los cuales la pendiente de la

recta tangente a la gráfica es nula; o sea, es paralela al eje correspondiente -.

2

y

)1(

2

2

x

x3y

0y2x6y,xC

0yx

0y6x6y,xC

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

3x0x

0x3x2

Por lo tanto:

90 yy

Luego, los pares ordenados son 9,30,0 21 PP y el dominio de la función es

0,0/,, 2 yxyxyxdomC .

Pasando al análisis de las derivadas de segundo orden, se tiene:

6

2

12

xy

yy

xx

C

C

xC

Aplicamos, ahora, el Hessiano a los pares hallados:

a-

06CCC0,0

2

xyyyxx punto de silla; descartamos este caso para

nuestro objetivo.

b-

09,3

2

xyyyxx CCC en este par puede haber máximo o mínimo relativo.

Analicemos:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

117

036

9,3xxC Se trata de un mínimo relativo

4739,3C

Por lo tanto, si la cantidad de horas-máquina es 3 y la cantidad de horas-persona es 9, se

producirá la mercancía al costo de 473 u.m. y será el costo menor de todos los posibles

valores de costos; en el entorno de dicho par.

Tabla de pares funcionales:

Gráficamente:

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2 464 490 504 518 544 594 680 814 1008

-1 473 493 501 509 529 573 653 781 969

0 484 498 500 502 516 554 628 750 932

1 497 505 501 497 505 537 605 721 897

2 512 514 504 494 496 522 584 694 864

3 529 525 509 493 489 509 565 669 833

4 548 538 516 494 484 498 548 646 804

5 569 553 525 497 481 489 533 625 777

6 592 570 536 502 480 482 520 606 752

7 617 589 549 509 481 477 509 589 729

8 644 610 564 518 484 474 500 574 708

9 673 633 581 529 489 473 493 561 689

10 704 658 600 542 496 474 488 550 672

11 737 685 621 557 505 477 485 541 657

12 772 714 644 574 516 482 484 534 644

Series1

Series60

200

400

600

800

1000

1200

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1000-1200

800-1000

600-800

400-600

200-400

0-200


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

118

8-1 Desarrollar un número positivo a en tres sumandos de manera tal que el

producto de éstos tenga el valor máximo.

8-2 Suponga a=21; obtenga 0P y el valor máximo que alcanza el producto.

8-3 Suponga a=1; obtenga 0P y el valor máximo que alcanza el producto.

Respuesta:

1-

3,

3,

30

aaaP máximo relativo y el resultado del producto es

3

3

a.

2-

3

21,

3

21,

3

210P máximo relativo y el resultado del producto es 343 .

3-

3

1,

3

1,

3

10P máximo relativo y el resultado del producto es

3

3

1

9- Si las funciones de demanda para x e y son y540qx336p y la

función de costo conjunto es 22 32, yxyxyxC , determinar las cantidades y

precios que maximicen las utilidades para el monopolista. Evaluar la utilidad

empresarial máxima.

Respuesta:

1002,4U2,4P0 : máximo absoluto. No olvide evaluar qué sucede en el

contorno del dominio para poder afirmar que es un extremo absoluto.

10- Suponiendo que la función de producción es 2244526516 yxz , que

los precios unitarios de los insumos yx, (en una situación de competencia pura) son 16

y 8 respectivamente; y que el precio unitario del satisfactor producido es 64, determinar

la utilidad máxima.

Respuesta:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

119

1574

15,4;

4

15,40

UP

En los ejercicios 11 a 14, localizar los puntos críticos – si existen – y determinar su

naturaleza en caso de su existencia.

11- zzxzyxyxzyxf 24222,, 222

Obtengamos las tríadas donde las derivadas de orden uno se anulan:

0282,,

042,,

0222,,

zxzyxf

yxzyxf

zyxzyxf

z

y

x

Resolviendo el sistema se llega a

2

1,

2

1,10P .

Obtengamos las segundas derivadas:

2,,

0,,

2,,

8,,

4,,

2,,

zyxf

zyxf

zyxf

zyxf

zyxf

zyxf

xz

zy

yx

zz

yy

xx

Se tiene, entonces, el Hessiano:

802

042

222

H

Ahora bien, si calculamos los determinantes de las siguientes matrices:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

120

16

802

042

222

442

22

22

3

2

1

H

H

H

Vemos que todos ellos son mayores a cero, condición que implica la presencia de un

mínimo. En el caso de que alguno de ellos fuera nulo, estaríamos ante una situación de

carencia de información y por lo tanto se debería recurrir al estudio en la vecindad del

punto crítico. En el caso de que alguno de ellos fuera negativo, estaríamos ante el caso

de un máximo.

El valor mínimo que se obtiene, entonces, es:

2

1

2

1,

2

1,1

f

12- 22 524,, zxzyxyxzyxf

Respuesta:

20

1;

4

1;

2

30P . No se puede sacar una conclusión respecto al punto crítico, se debe

realizar un análisis en la vecindad. 152H,16H,0H 321 .

13- 1042,, 222 zxzyxyxzyxf

Respuesta:

0;0;00 P es un mínimo relativo. 54,31,4 321 HHH .


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

121

14- 222 22216,, zyxzyxf

Respuesta:

0;0;00 P es un máximo relativo. 64,16,4 321 HHH .

15- Una empresa fabrica tres productos rivales. Las funciones de demanda de cada

uno de los productos son

3213

3212

3211

p2pp5000q

pp3p6000q

ppp24000q

,

donde iq es la cantidad demandada del producto i , en un año, y ip su precio.

Determine si es posible, los precios que producen el ingreso máximo (asegúrese que se

trate de un máximo). ¿Qué cantidades deberían producirse a dichos precios? En tal caso,

¿cuál es el ingreso máximo total?

Respuesta:

3

22500;

3

299990P , 2500,3000,2000Q , 690.166.65

MÁXI

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Dentro de la problemática de optimización, uno de los métodos que abarca, es el de

los multiplicadores de Lagrange, el cual es un procedimiento para encontrar los

máximos y/o mínimos de funciones de varias variables sujetas a condiciones específicas

o restricciones. Las restricciones son relaciones de igualdad; con las mismas el método

reformula el problema sobre n variables que está restringido por las k restricciones, a

uno sin restricciones de n + k variables. Estas k nuevas variables escalares

desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. De

acuerdo al método, los puntos donde la función tiene un extremo condicionado por las k

restricciones, se encuentran entre los puntos de una nueva función sin restricciones y


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

122

para los cuales todas las derivadas parciales de primer orden se anulan (puntos

estacionarios).

Supóngase que se va a optimizar la función:

nxxxf ,....,, 21

y que la misma está sometida a las siguientes restricciones:

nknn xxxgxxxgxxxg ,....,,.;.........,....,,;,....,, 21212211

Se genera la función lagrangiana nxxxF ,....,, 21 , como una combinación lineal a

partir de todas aquéllas:

k

j

njjnn xxgxxxfxxxF1

12121 ,....,....,,,....,,

Donde los kii 1, son los multiplicadores de Lagrange, incógnitas independientes,

cada uno de ellos, de las n variables.

Para determinar todas las incógnitas, se procede a derivar parcialmente la función

lagrangiana, con respecto a todas las incógnitas, e igualarlas a cero:

kjxxggfF

nix

g

x

f

x

F

nj

k

m j

mm

jj

k

j i

j

j

ii

1,0,....,

1,0

1

1

1

Y se resuelve el sistema obtenido. Obsérvese, que

kjxxgF

nj

j

1,0,....,1

En algunas situaciones, los valores de los multiplicadores de Lagrange, no son de

interés y no se determinan, o sea son multiplicadores indeterminados; el método analiza

entre los posibles valores máximos o mínimos, con el objetivo de elegir sólo aquellos

que satisfacen las restricciones.

Cuando el hessiano es menor o igual a cero, la prueba falla.

16- yxyxyxf 63, 2 sujeta a 42 yx .

Si armamos la función Lagrangiana correspondiente, nuestro problema se convertirá en

una situación operativa conocida.


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

123

4263,, 2 yxyxyxyxL donde es el multiplicador de Lagrange

indeterminado; si aseguramos que 42 yx cualquier valor de dará

yxfyxL ,,, .

Si obtenemos las derivadas parciales se tiene:

042,,

063,,

032,,

yxyxL

xyxL

yxyxL

y

x

Automáticamente garantiza el cumplimiento de la condición subsidiaria.

El problema de optimizar una función sujeta a una restricción, desde el punto de vista

matemático, produce el efecto de reducir el dominio y por consiguiente, el rango de la

función objetivo.

Con este sistema que hemos generado, debemos encontrar si es que existen, las

soluciones. Si tomamos la primera ecuación y restamos la segunda se obtiene:

Si reemplazamos en la tercera condición tendremos:

9y042y6y3

Si volvemos a (1):

33x

Y para obtener el valor de podemos tomar la segunda ecuación del sistema inicial:

163063 yxyx


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

124

93063336x3

Ahora bien, debemos analizar si estamos ante un máximo o ante un mínimo relativo.

Para ello, obtenemos las derivadas de segundo orden de la función, las derivadas

parciales de la función de restricción y armamos el hessiano:

3,,

0,,

2,,

yxL

yxL

yxL

xy

yy

xx

Nótese que las derivadas parciales de cyxg , son constantes e igual a uno en ambos

casos. Entonces:

04

031

321

110

LLL

LLL

LLL

H

yyyxy

xyxxx

yx

Lo que nos indica que existe un máximo relativo restringido en el par 9,33 y que

dicho valor está dado por:

19269,33 f

La primera ventaja del método es que nos proporciona el valor del multiplicador. Además,

en estos casos, es una medida de sensibilidad de la función L respecto a un cambio en la

restricción: c

L

Es, entonces, la medida del efecto de una variación del parámetro c de la restricción sobre

el valor óptimo de la función objetivo: cyxgyxfyxL ,,,,

Además, es el equivalente a un peso sombra en programación lineal. Es decir, es el

grado en que cambiará el valor óptimo de la función objetivo si el miembro derecho de la

restricción aumentara en una unidad. Representa, entonces, el valor económico de contar

con una unidad más.


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

125

17- 22 2203, yxyxyxf sujeta a 100 yx .

Sea 1002023,, 22 yxxyyxyxL donde es el multiplicador de

Lagrange indeterminado si aseguramos que 100 yx .

Si obtenemos las derivadas parciales se tiene:

0100,,

0204,,

0206,,

yxyxL

xyyxL

yxyxL

y

x

Automáticamente garantiza el cumplimiento de la condición subsidiaria.

De las dos primeras condiciones – restando la primera a la segunda – obtenemos que:

y13

12x0y24x26

Si esta condición la expresamos en la tercera ecuación:

52y100yy13

120

Por lo tanto, 48x .

Queda, entonces, el punto crítico 52,48P .

Si obtenemos el hessiando de acuerdo a las pautas ya señaladas:

050

4201

2061

110

yyyxy

xyxxx

yx

LLL

LLL

LLL

H

Se tiene un máximo relativo restringido en 52,48P y 3760052,48 f es el valor

máximo que toma la función con la restricción 100yx


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

126

APLICACIONES ECONÓMICAS:

18- Una compañía ha recibido una orden de 200 unidades para uno de sus productos.

El pedido será efectivizado con la producción combinada de sus dos plantas. La función

conjunta de costo de fabricación de este producto es 5002, 2

221

2

121 qqqqqqC

donde 21, qq son las cantidades producidas por las plantas 1 y 2 respectivamente. Si el

objetivo es minimizar los costos totales sujeto a la condición de suministrar las 200

unidades de la orden, ¿qué cantidades deberá producir cada planta?

Se quiere minimizar la función de costo dada sujeta a la condición de suministrar 200

unidades de su producto en total. Por lo tanto, la relación a plantear es: 20021 qq .

La función Lagrangiana será : 2005002,, 21

2

221

2

121 qqqqqqqqL .

Entonces:

0200

02

04

21

21

21

2

1

qqL

qqL

qqL

q

q


1221 q3q0qq3

Si esta condición la expresamos en la tercera ecuación:

50q200q3q 121

Por lo tanto, 1502 q , y 350 . Este valor es la medida del efecto de una variación

del parámetro c de la restricción sobre el valor óptimo de la función objetivo. Es decir,

si la cantidad de unidades pedidas variara en una unidad, el valor óptimo de la función

de costo se modificaría en 350 unidades monetarias.


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

127

Por lo tanto el punto crítico es 150,50P .

Para analizar si éste es un valor mínimo, debemos armar el hessiano correspondiente:

04

211

141

110

LLL

LLL

LLL

H

yyyxy

xyxxx

yx

.

Efectivamente, en 150,50 el costo alcanza un mínimo y es de 35500150,50C

Entonces, para producir las 200 unidades conjuntamente en condiciones que el costo sea

mínimo – en el entorno correspondiente – la planta 1 deberá producir 50 unidades y la

planta 2, 150 unidades y el costo de la operación sería el mínimo e implicará 35500 u.m.

19- Una fábrica elabora dos clases de productos. La función conjunta del costo es

xyyxyxC 22 2,

donde C es el costo de producción semanal en miles de pesos, yx e son las cantidades

producidas por semana de cada producto. Si la producción combinada es de 16 unidades

por semana, hallar las cantidades semanales de cada producto que dan por resultado el

costo total mínimo.

Generamos las función Lagrangiana: 162,, 22 yxxyyxyxL . Luego:

016,,

04,,

02,,

yxyxL

xyyxL

yxyxL

y

x


x5

3y0y5x3

Si esta condición la reemplazamos en la tercera ecuación:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

128

10x16xx5

3

Por lo tanto, 146y .

Queda, entonces, el punto crítico 6,10P .

Si obtenemos el hessiano;

08

411

121

110

LLL

LLL

LLL

H

yyyxy

xyxxx

yx

Entonces 6,10P genera un valor mínimo relativo de la función costo en cuestión,

sujeta a la restricción de producir 16 unidades semanales en forma combinada. El costo

de dicha producción es:

1126,10 C

Además hemos visto que si se aumentara a 17 unidades la producción semanal

combinada, el costo aumentaría aproximadamente en 14 u.m.

20- Una empresa necesita de 2 insumos básicos en su línea de producción de

zapatos. Para ser competitiva en el mercado debe asegurarse de minimizar los

desperdicios de los insumos. Si su función de producción en la línea de productos es

229, yxyxyxfPe

Y la de su principal competidor es xxy3x9y,xgPc

Bajo la restricción en el uso de los insumos 90 yx ¿cuál de las dos empresas

resulta ser más competitiva?


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

129

Si armamos la función lagrangiana para la empresa propia, se tiene

909,, 22 yxxyyxyxL .

Luego:

090,,

02,,

018,,

yxyxL

yxyxL

yxyxL

y

x

Si resolvemos el sistema convenientemente llegamos a 85;5Pe con 175

Si obtenemos el hessiano:

mínP

LLL

LLL

LLL

H e

yyyxy

xyxxx

yx

:018

Analicemos, qué sucede para la empresa de la competencia.

90yxyxy3x9,y,xL

Luego:

090yx,y,xL

01x3,y,xL

0y39,y,xL

y

x

Si resolvemos el sistema convenientemente llegamos a

3

131;

3

139Pc con 140

Si obtenemos el hessiano:

06

LLL

LLL

LLL

H

yyyxy

xyxxx

yx

Por lo tanto en el punto en cuestión obtenemos un máximo. Resulta, entonces, más

competitiva la empresa de la competencia.


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

130

21- Obtener los máximos y mínimos (si los hubiera) de la función

22312, xyxyyxf sujeta a 16 yx . Explique qué mide el valor del

coeficiente .

Respuesta:

7,90 P es un máximo restringido con 66 y 5287,9 f

22- Bajo cierta combinación de tierra y capital, un país construye su isocuanta. Si la

forma funcional de la misma es 22 162, kttkktf con una restricción

presupuestaria o isocoste de 10 tk . ¿Cuál es la combinación de tierra y capital que

permite al país llegar a su mayor curva de indiferencia social?

23- Maximizar 2225, xyyxf sujeta a yx 24 .

Respuesta:

5

4,

5

80P es un máximo relativo restringido con

5

8 y 8,210 Pf .

ELASTICIDAD DE SUSTITUCIÓN DE ALLEN-UZAWA:

Dada una función de utilidad nxxxU ;.....; 21 ; un ingreso M donde

n

i

ii xpM1

y el

problema es maximizar la utilidad sujeta al ingreso, que como se ha visto el método

correspondiente a tal objetivo es el de los multiplicadores de Lagrange.

La solución del sistema que genera el método de los multiplicadores viene dada por:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

131

);;....;

1 );;....;

21

21

MPPP

niMPPPXx

n

nii

Donde las n primeras ecuaciones denotan funciones de demanda. Cuando en la i-ésima

función de demanda se fijan todos los precios de las mercancías excluyendo al de la i-

ésima mercancía, y asimismo el ingreso del consumidor (M)), se obtiene la curva de

demanda de la i-ésima mercancía. En el caso de fijar todos los precios y sólo varía el

ingreso, se obtiene la curva de Engel.

Las elasticidades de la demanda, son medidas de la sensibilidad de la cantidad demanda

de una mercancía a las variaciones de los precios y del ingreso.

Se define la elasticidad-precio de la demanda del producto i-ésimo con respecto al

precio del producto j-ésimo (pj) como:

j

i

i

j

j

iij

p

X

x

p

p

X

ln

ln*

Cuando i es distitnto de j, se está definiendo la elasticidad precio cruzada, caso contrario

se está definiendo la elasticidad precio directa.

Se define la elasticidad-ingreso de la demanda del producto i-ésimo como:

M

X

x

M

M

X i

i

ii

ln

ln*

Un requisito para la consistencia de la teoría de la utilidad es que las funciones de

demanda sean todas ellas, homogéneas de grado cero.

Dividiendo ambos términos de la igualdad que resulta de aplicar el teorema de Euler a

cada una de las funciones de demanda por la demanda de la mercancía correspondiente,

se llega a:

nii

n

j

ij

1;01

La suma de todas las elasticidades precio con la elasticidad ingreso de un bien, debe ser

nula para cada bien.

La participación del bien i en el gasto total del consumidor, viene dada por:

niM

px iii 1


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

132

La denominada elasticidad de Hicks-Allen o elasticidad de la curva de demanda

compensada, se define como:

ijijij *

Las elasticidades de Hicks-Allen, son una buena medida de los efectos que producen los

cambios en los precios cuando el consumidor es compensado mediante un cambio en el

ingreso que lo devuelva al mismo nivel de utilidad anterior a la variación del precio.

La elasticidad de sustitución de Allen-Uzawa se define como:

j

ij

ij

*

La elasticidad de sustitución de Allen-Uzawa, es una medida de sustitución entre dos

bienes, que no sólo no depende de las unidades escogidas, propiedad que comparte con

cualquier otra elasticidad, sino que tampoco depende del orden en que sean

considerados los bienes, como ocurre con la elasticidad de Hicks-Allen. En el caso

bidimensional, es la que se conoce simplemente como elasticidad de sustitución.

Independencia Del Orden De Consideración De Los Bienes:

ji

i

ji

j

ij

ij

**

i

i

jij

i

i

i

jj

i

j

j

i

i

i

j

i

j

j

i

i

j

ij

j

ijij

j

ij

ij

x

M

M

X

xx

M

p

X

x

M

M

X

M

px

x

p

p

X

x

M

M

Xx

p

p

X

*

*

**

Se define derivada del producto i-ésimo compensado con respecto al precio del

producto j-ésimo, como:

M

Xx

p

X

p

X ij

j

i

j

C

i


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

133

Ahora bien:

ij

i

i

ijj

i

jji

jij

jji

j

j

i

jji

ji

j

j

i

jji

j

j

C

i

x

M

M

X

xx

M

p

X

px

M

x

p

M

Xx

px

M

x

p

p

X

px

M

x

p

M

Xx

p

X

px

M

x

p

p

X

******

****

Asímismo vale que:

i

C

j

j

C

i

p

X

p

X

Con lo cual resulta que:

ji

iij

i

i

C

j

iji

C

j

jji

j

i

C

j

jji

j

j

C

iij

px

M

x

p

p

X

xx

M

p

X

px

M

x

p

p

X

px

M

x

p

p

X

*******

ELASTICIDAD DE SUSTITUCIÓN DE MORISHIMA

Algunos autores plantean que la elasticidad de sustitución de Allen es una

generalización matemática de una medida de sustitución que es razonable para dos

inputs, pero que pierde su significado económico en un contexto de más de dos inputs;

en por ello que recomiendan el uso de la elasticidad de sustitución de Morishima, que se

puede definir como:

jiijn

k

kk

jj

ij

xf

xfM

1

Donde f es una función de producción.

La elasticidad de sustitución de Morishima, al contrario que la de Allen, no es simétrica,

es decir, Mij Mji. Asimismo, dos factores complementarios según la elasticidad de

Allen pueden ser sustitutivos según la de Morishima.

Se puede verificar que la elasticidad de sustitución de la función de producción de

Arrow (CES) es:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

134

1

1(1)

O sea es constante, cuya magnitud depende de ρ; y si se tiene presente que si este

parámetro tiende a cero la función coincide con la función de producción de Cobb-

Douglas, se puede entonces afirmar que la elasticidad de sustitución de la misma es

uno.

En el caso que ρ, crezca ilimitadamente; la función se transforma en una de

proporciones fijas, por lo que no hay posibilidad de sustitución entre los factores; se

puede concluir que se combinan como complementos perfectos y las isocuantas forman

ángulos rectos.

Para ρ positivo, situación no común, existe sustitución entre factores, y para el caso de

negatividad de ρ, situación más común, existe sustitución entre factores, siendo ésta

perfecta cuando ρ tiende a -1.

Para verificar la igualdad presentada anteriormente en (1), se analizará el problema de

hallar la combinación de inputs de mínimo costo para la producción de un nivel

específico de output 0Q , que represente, por ejemplo, un pedido especial de un cliente.

Dada una función de producción diferenciable con dos inputs variables, Q = Q(x;y) ,

donde 0Q,Q yx y suponiendo que los precios de los dos inputs ( yx PP y ) son

exógenos, se desea minimizar el costo C(x;y)= yx yPxP sujeto a la restricción

)y;x(QQ0

Con lo cual la función Lagrangiana resulta :

L 0;;; QyxQyPxPyx yx

El par que minimiza el costo deberá satisfacer las siguientes igualdades:

0;;;

0;;

0;;

0

QyxQyxL

QPyxL

QPyxL

yyy

xxx

De las dos primeras ecuaciones se deduce que

y

y

x

x

Q

P

Q

P

O bien que


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

135

y

x

y

x

Q

Q

P

P

Obsérvese que la relacióny

x

P

P

representa el valor opuesto de la pendiente de una curva

de isocosto y que la relación y

x

Q

Q

representa el valor opuesto de la pendiente de la curva

isocuanta (Q=Q0)

Teniéndose en cuenta los ejercicios 20°c) y 28°) de la unidad 3; para satisfacer la

condición de mínimo costo:

K

L

P

P

K

KLQL

KLQ

;

;

PL: precio del trabajo; PK: precio del servicio capital.

1

111

11

1

K

L

K

L

K

L

P

P

L

K

P

P

L

K

P

P

L

K

Si se toma

L

Kcomo una función de

K

L

P

P, las funciones marginal y promedio asociadas

son:


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

136

11

1

1

1

11

11

1

1

1

1

K

L

K

L

K

L

K

L

P

P

P

PL

K

P

P

P

Pd

L

Kd

Por lo tanto la elasticidad de sustitución es:

1

1

1

1

1

11

1

1

1

11

11

1

K

L

K

L

K

L

K

L

P

P

P

P

P

PL

K

P

Pd

L

Kd

CONDICIONES DE KUHN-TUCKER

El método de los multiplicadores de Lagrange puede modifcarse para determinar

óptimos de una función de dos variables sujeta a un conjunto de restricciones de

desigualdad, algunas de las cuales pueden ser satisfechas como igualdades. Las

condiciones necesarias, para que una solución sea óptima en un problema sometido a

restricciones de desigualdad se conocen como las condiciones de Kuhn-Tucker.

Un punto 21, xx es máximo local de

21, xxf

cuando:

0, 21 xxg

Solamente si existe un valor no negativo de λ


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

137

0;

,0;

,21,0

/0

21

21

xxg

xxg

ix

g

x

f

Si

ii

Y son suficientes, si 21, xxf es cóncava hacia arriba (o sea en una región un segmento

de recta trazado por dos puntos cualesquiera de la superficie no queda por debajo de la

misma, se debe cumplir:

10 ;;11;1 221,2121 tconyxtfyxfttyyttxxtf ) y

211 , xxg es cóncava hacia arriba.

Como un punto máximo de 21, xxf es un punto mínimo de 21, xxf , este resultado

es asimismo aplicable para minimizar un función cóncava hacia arriba sujeta a una

restricción también cóncava hacia arriba. Si 0, 21 xxg , entonces dicha función debe

ser cóncava hacia abajo

Un polinomio de grado dos, de la forma:

FEyDxCyBxyAxyxf 22,

Es cóncavo hacia arriba si 4AC-B2>0 y A>0, C>0

, cóncavo hacia abajo si 4AC-B

2>0 y

A<0, y/o C<0 y no es cóncavo hacia arriba ni hacia abajo si 4AC-B

2<0

Las condiciones de Kuhn-Tucker, puede generalizarse para más de una restricción de

desigualdad.

En los ejercicios 24 a 25, emplear las condiciones de Kuhn-Tucker.

24- Determinar el mínimo de xyy6x5y,xf 22 sujeta a 242 yx .

En primer lugar se analiza por el método de los multiplicadores de Lagrange si la

función objetivo sujeta a la restricción de igualdad 242 yx se minimiza para algún

par yx, y para 0 . Pues, de ser así, este par es el mínimo para la restricción de la

desigualdad. Se deja al lector la aplicación del método de los multiplicadores de

Lagrange.

Luego, como efectivamente se dan las condiciones citadas es posible aplicar la

condiciones de Kuhn-Tucker para el análisis.


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

138

Sea 242, yxyxg :

024y2x0y,xg

02xy120y

g

y

f

0yx100x

g

x

f

Si 0 , de la primer ecuación: yx100yx10 . De la segunda ecuación

resulta 001012 xxx . Con lo cual si x = 0 e y = 0 , 0242 yx no se

satisface. Es decir, no cumple con las condiciones de Kuhn-Tucker.

Ahora bien,

si: y224x024y2x . Reemplazando en la primera condición:

y212400y212400yy22410

Reemplazando en la segunda ecuación, obtenemos:

9y0504y560y212402y224y12

Con lo cual resulta x = 6 y 51

Y como realmente 9,6 es un mínimo sujeto a la igualdad en la restricción y, además

como 0 , entonces yxf , se minimiza en el punto 9,6 .

25- Determinar el máximo de 22 312, yxxyyxf sujeta a 16 yx .

En primer lugar se analiza por el método de los multiplicadores de Lagrange si la

función objetivo sujeta a la restricción de igualdad se maximiza para algún par yx, y

para 0 . Pues, de ser así, este par es el máximo para la restricción de la desigualdad.

Como estas condiciones se cumplen, es posible aplicar la condiciones de Kuhn-Tucker

para el análisis.


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

139

Sea 016, yxyxg :

0160,

01260

01220

yxyxg

xyy

g

y

f

yxx

g

x

f

Si 0 :

Si yxyx 160162 , resolviendo el sistema, se llega a que 7y9x e

Veamos qué sucede, entonces, en los dos pares hallados con el valor de la función:

00,0

5287,9

f

f

Por lo tanto, yxf , se maximiza en el punto 7,9 .

26- Variante del ejercicio 18. Una compañía ha recibido una orden de 200 unidades

para uno de sus productos. El pedido será efectivizado con la producción combinada de

sus dos plantas. La función conjunta de costo de fabricación de este producto es

5002, 2

221

2

121 qqqqqqC

donde 21, qq son las cantidades producidas por las plantas 1 y 2 respectivamente. Si el

objetivo es minimizar los costos totales sujeto a la condición de suministrar por lo

menos las 200 unidades de la orden, ¿qué cantidades deberá producir cada planta?

Respuesta:

0y0x

0yy6120x12y6

y6x0y12x2

e


Liliana Ghersi

Ana Gerosi

Daniela Parada

140

El par 150,50 con 0350 es, efectivamente, el que satisface la condición a un

costo mínimo.

notas sobre varias variables reales liliana ghersi … · valores extremos de funciones sometidas a...

Documents