notas.calculo.ag.11

NOTAS DE AULAS

CALCULO DIFERENCIAL

E

INTEGRAL

SEGUNDO PRECEITOS DA FILOSOFIA ZENONISTA

ZENAO DE ELEIA, Aprox. 450 a.CFilosofo e Matematico Grego

PROF. JOAO BATISTA DO NASCIMENTOUFPA/ICEN/ Fac. Matematica

http://lattes.cnpq.br/5423496151598527www.cultura.ufpa.br/matematica/?pagina=jbn

Email: [email protected]/ [email protected] - Junho de 2011 (Sem revisao tecnica)

Notas de Calculo Dif. e Integral, Nascimento J. B., [email protected], http://lattes.cnpq.br/5423496151598527 2

CONTEUDO PAG

INTRODUCAO 3

MISCELANEA 5FUNDAMENTOS DA TEORIA DE LIMITE 27

CONCEITUANDO LIMITE DE UMA FUNCAO NUM PONTO E FINITO 30

A NAO EXISTENCIA DE LIMITE 32

FUNCAO CONTINUA 32DERIVADA 33

DERIVADA DE FUNCOES ELEMENTARES 33REGRA DE LEIBNIZREGRA DA CADEIA 36

LIMITE INFINITO, NO INFINITO, LATERAIS 37Lista de Exercıcio 1 39Lista de Exercıcio 2 41Exemplo de Avaliacao 42Resolucao Basica da Avaliacao 43

LIMITACOES, REGIAO DE CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO,MAXIMOS E MINIMO VIA DERIVADA

44

TEOREMA DO VALOR MEDIO - TVM 45DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR 47

CONCAVIDADE DO GRAFICO & DERIVADA SEGUNDA 47

METODO BASICO PARA ESBOCO DE GRAFICO 49

FUNCAO INVERSA: DERIVACAO E GRAFICOS 53

EXPONENCIAL, LOGARITMO E OUTRAS FUNCOES ELEMENTARES 54REGRA DE L’HOSPITAL-BERNOULLI 58

FUNCOES TRIGONOMETRICAS HIPERBOLICAS 58

DERIVACAO IMPLICITA/TAXAS RELACIONADAS 59

SERIE DE TAYLOR-MACLAURIN 60Algumas Listas e Provas 62

PRIMITIVACAO 67

TECNICAS BASICAS DE PRIMITIVACAO 67Mudanca de Variavel 67Por Partes 68Casos Racionais 69

O PROBLEMA DO CALCULO DE AREA 70INTEGRAL DE RIEMANN 71

RELACAO ENTRE INTEGRAL E PRIMITIVA 72

APLICACOES DE INTEGRACAO 73

APENDICE 76

UM POUCO DA VIDA E OBRA DO MATEMATICO HIPPASUS 76

MATEMATICO FOI ASSASSINADO E OS CRIMINOSOS CONTI-NUAMIMPUNES

78

ZENAO DE ELEIA E A DIALETICA, Por Paulo Alcoforado 81

ZENAO DE ELEIA (≈ 450 a.C) - UM APARENTE LOUCO QUE SALVOU OSFUNDAMENTOS DA MATEMATICA E ANTECIPA EM MAIS DE 2.000ANOS A BASE DA TEORIA DE LIMITE

79

O LADO MARGINAL DE NEWTON LEVA LEIBNIZ A MORRER NAMISERIA - I

87

O LADO MARGINAL DE NEWTON LEVA LEIBNIZ A MORRER NAMISERIA - II

88

ASPECTOS DA MA QUALIDADE DO ENSINO DA MATEMATICA NOBRASIL E UM POUCO DE FILOSOFIA/METODOLOGIA DO ENSINO DAMATEMATICA COM BASE NA FILOSOFIA DE ZENAO DE ELEIA

89


INTRODUCAO

¨Pus caleidoscopios de estrelasentre cegos de ambas as vistas.Geometrias imprevistas,quem se inclinou para ve-las?¨Cecılia Meireles, Confissao

Haver tantos filosofos da matematica de tempos mais recentes torna aceitavel questionar danecessidade de recorrer a personagem tao antigo da historia, como e o caso de Zenao de Eleia(aprox. 450 a.C). Mais ainda quando o Calculo referido ganhou estruturacao e sistematizacao nosprimordios do sec. XVII da era crista. E tal assertiva se impoe mais ainda quando adianta-se aseguinte informacao: nenhum resultado matematico aqui deixa de ser encontravel em qualquer livrorazoavel no tema. Porem, o visado aqui tem haver com outra igualdade: o nıvel de reprovacaonessa disciplina por todo o Brasil. Portanto, a questao central nao tem no cerne pro-priamente os conteudos, mas a qualidade do ensino da matematica e, com mais vigor,da educacao como um todo.

Sendo factual que tais construcoes sao milenares, ficando mais visıvel ainda em matematica,qualquer estruturacao do ensino da desta nao deixa de ser uma reconstrucao, por mais bem at-ualizada que for, dessa evolucao. Isso implica reconhecer que pequenas diferencas afastadas nessetemporal podem produzir um diferencial de enorme repercussao. E quando se sabe que o maiscomumente preconizado na atualidade por desenvolvimento cientıfico e tecnologico e inovacao, semque adentremos na discussao da validade disto, tem por base racionalidades que se inserem naconstrucao dos preceitos matematicos, tal diferenca se mede economicamente pela capacidade dopaıs faturar ou nao quantias astronomicas.

Havendo um dado definitivo: o alfabetizador dos processos mais prementes em tudoisso e Calculo Diferencial e Integral, que denominamos de Newtoniano-Leibniziano, sem quecom isso desconhecamos contribuicoes fundamentais de Galileu Galilei (1564 - 1642), Pierrede Fermat (1601 - 1665), Sir Isaac Newton (1643 - 1727), Gottfried Wilhelm von Leibniz(1646 - 1716), Rene Descartes ( 1596 - 650), etc. Porquanto, nao se concebe formacao nas areasde Exatas e Tecnologicas de qualidade sem o domınio dos seus preceitos fundamentais. Lembrandoque formacao pode ser muito diferente de diplomacao. Posto que, formacao se guia por processo dequalidade, enquanto diplomacao pode ser predeterminada ate por interesses polıticos, no sentidomais pessimo que isso possa ter.

Quem personifica de forma mais expressiva a conexao entre Ciencia e Tecnologia e a Filosofiade Zenao de Eleia, que por sua vez, como sempre tem sido na historia do conhecimento, person-ifica diversos outros formuladores, e Arquimedes ( Siracusa, 287 a.C. - 212 a.C), como consta noseguinte trecho:

¨A maior inovacao de Arquimedes nesse ponto foi o uso da aproximac~ao no lugarda igualdade precisa. Euclides havia proposto isso como metodo, mas nao o aplicou ouverificou seriamente suas possibilidades. Arquimedes viu que com frequencia bastava fazerduas aproximacoes comparativamente faceis de uma resposta que propusesse um limiteinferior e um outro superior - entre os quais residiria a resposta. Quando maior a exatidaoexigida, mais estreitos os limites.¨ Arquimedes e a Alavanca, Paul Strathen, Ed . Zahar,RJ, 1998, Pag. 36

Portanto, uma vez inegavel do quanto foram valiosas as aplicacoes tecnologicas das con-cepcoes arquimedianas, o grande trunfo residiu na quebra de paradigma que coloca em evidencia ocalculo aproximado em lugares do preciso, lembrando que isso era quando o preciso estava inacessıvelpelas concepcoes anteriormente (co)validadas, como, por exemplo, constando nos Elementos de Eu-clides. E dado que ate mesmo por leitura simples da cultura Grega Antiga se sabe do quanto essaera arraigada a precisao, fica claro que tudo adveio de concepcoes filosoficas que adentrou o cultural,mesmo que se pense em tudo restrito ao fazer matematico.


Pelo exposto, vale tentar um esforco em revisitar Zenao de Eleia buscando em detalhesalgo que possa haver sido perdido e que esteja fora dos atuais processos de ensino da matematicae que promove tao desesperadora situacao do ensino de Calculo no Brasil. Obviamente, esse deses-perador ja e presente desde dos primeiros momentos escolares.

E a filosofia de Zenao impoe qualificar tudo antes, posto que, por essa cada acao docente aturma fica dividida em duas grandes partes: o que sabem e o que nao sabem; sendo que cadaaula e para acrescer a primeira parte trazendo o que estava dentro da segunda por um processo deconstrucao do conhecimento que estabeleca isso por meio de um movimento contınuo e firme.

Logo, o ensejado nao e apenas que a Filosofia de Zenao se reflita por dentro do ensinoda matematica, como deva prescindir em toda acao da educacao. Entretanto, esse vai muito alemquando preceitua o que precisa ser mais fundamental no fazer cientıfico: reconhecer e respeitar,no sentido de nao obstar, o desconhecido.

Fica implıcito, e estamos numa situacao educacionalmente tao tragica que ate fatores dosmais obvios precisam ser recordados, que acessar o que nao se sabe exige preparacao, metodos eparametros, porquanto, impoe qualificacao, nesse caso, do ensino basico. Por isso, os conteudos dotopico Miscelanea sao, em grande parte, mas nem tudo que e imprescindıvel, indicadores aligeiradosde tal preparacao, as vezes, denominada de pre-Calculo.

O esperado e que as abordagens em Calculo propriamente dito sejam suficientemente capazesde traduzir a fertilidade que a Filosofia de Zenao imprime, nao so nesse caso, como ao pensamentocientıfico em geral. Sem, entretanto, haver qualquer pretensao aqui de abranger tudo de Calculo enem esgotar alguns temas, ja que se tratam tao somente de visao alfabetizadora no tema, o quesignifica servir apenas como primeira leitura de um tema vasto e que deve ser apaixonante paratodo que queira dedicar-se nas areas de Ciencia e Tecnologia.

Finalizando, no apendice faremos outra miscelanea de carater mais historica, filosofica e deeducacao, visando satisfazer algumas curiosidades dos que tenham interesse em docencia.


MISCELANEALOGICA, CONJUNTO, RELACAO, OPERACAO, GRUPO, CORPO, ORDEM E FUNCAO

Sımbolos: ∀ - qualquer que seja, para todo, etc, ∃ - existe, ∃| - existe apenas um, @ - nao existe,=⇒ - implica, ⇐⇒ se, e somente se,

PRINCIPIOS DA LOGICA - Um fato perceptıvel na Matematica e a presenca de umaLogica1 que a delineia e chega ao ponto de muitos ate defenderem que ambas se fundem. A Logicaque vamos nos referir no que segue possui tres princıpios basicos. Quais sejam:

I: IDENTIDADE - Todo ente matematico e Igual a si proprio, isto e, a = a, ∀a.II: NAO-CONTRADICAO - Dois fatos quaisquer nao pode se contradizerem.

II: O TERCEIRO EXCLUIDO - Toda afirmacao matematica so tera dois possıveis ValoresLogicos: Verdadeira (V) ou Falsa (F), sem que haja uma terceira opcao.

Nota: A Negacao da Proposicao p e denotado por ∼ p e uma e Verdadeira se, somente se, aoutra e Falsa.

DEMONSTRACAO - E qualquer procedimento operacional de forma verdadeira com fatoscujo valor logico foi pre-estabelecido, cujo preceito fundamental e que uma operacao verdadeirasobre um fato matematico resultara um outro que seja verdadeiro so, e somente so, quando o inicialassim tambem o for. Ou seja, uma operacao verdadeira preserva o Valor Logico.

Apresentemos tres formas basicas de demonstracoes:

(1) DIRETA - Partindo-se de fato tido por verdadeiro (Hipotese), opera-se de forma ver-dadeira sobre estes e conclui-se o resultado desejado (Tese ).

(2) POR CONTRADICAO - E uma variante do metodo (1), onde supoe-se que a teseseja falsa, ou seja, que a sua negacao e verdadeira. Opera-se de forma verdadeira e conclui-se ocontrario da hipotese, produzindo uma contradicao. A origem desta contradicao encontra-se nasuposicao feita de que a tese e falsa e, portanto, esta deve ser verdadeira.

(3) REDUCAO AO ABSURDO - A partir da Negacao do fato e fazendo operacoes ver-dadeira gera-se alguma contradicao, donde conclui-se que o fato inicial e Verdadeiro.

PRINCIPIOS DA CONTAGEM:

I) Quando se diz aqui que ha n objetos, salvo mencao no contrario, estamos supondo nao haverprocesso de fusao e particao dos objetos alterando esse total.

II) Uma quantidade sera dita Infinita quando para toda subquantidade finita sua havera objetoda quantidade fora de tal subquantidade.

CONJUNTO - aqui e uma nocao intuitiva que designa qualquer colecao de objetos. Po-dendo ser vazia, a qual e representado pelo sımbolo ∅. Os demais por letra maiuscula e seus elementospor letras minusculas. E no geral fica A = {x; x tem tal propriedade} e #(A) ou Card(A) indicama quantidade de elementos do Conjunto A.

Sao relacoes basicas.

a) De Pertinencia ( ∈) - Indica se um determinado objeto e elemento do conjunto, i.e., a ∈ Aindica que a e elemento do conjunto A. E, a /∈ A indica o contrario.

b) De Inclusao (⊂) - Indica se todos os elementos de um conjunto A sao tambem de um outroB, caso em dizemos que A e subconjunto de B. Ou seja, A ⊂ B quando ∀a ∈ A =⇒ a ∈ B.

Nota: quando A ⊂ B e lido da direta para esquerda, B ⊃ A, fica: B contem A. E, por definicao,A = B quando A ⊂ B e B ⊂ A. Nota: A B significa A ⊂ B e A 6= B.

E as operacoes basicas com conjunto sao:

1Certamente se mudar a concepcao Logica, e existem outras [2], pode alterar o que estamos concebendo porMatematica, sem que necessariamente invalide ser outra.


i) Uniao (∪) - E o conjunto formado pelos elementos que sao de A ou B, i.e,, A∪B = {x; x ∈A ou x ∈ B}

ii) Intersecao (∩) - E o conjunto formado pelos elementos que sao de A e B, i.e. , A ∩ B ={x; x ∈ A e x ∈ B}

iii) Complementar ou Diferenca - Dados os conjuntos A e B, chama-se complementar de Aem B, CB

A ou B −A, ao conjunto formado pelos elementos de B e que nao Pertencem ao A. Isto e,CB

A = B −A = {x ∈ B e x /∈ A}.Nota: caso exista pre-fixado um Conjunto Universo (U), porquanto, todo citado ja e, de princıpio,

subconjunto deste, denotas-se CUA = U −A = A = Ac e dizemos apenas que esse e o Complementar

de A. Note que A ∩A = ∅ e A ∪A = U , caso em que dizemos que U e uniao disjunta desses.

iv) Produto Cartesiano (×) - E o conjunto formados pelos pares ordenados em que a coor-denada correspondente e do respectivo ordenado fator, i.e., A×B = {(a, b); a ∈ A e b ∈ B}.

Nota: A×A× · · · ×A︸︷︷︸n−vezes

= An.

Exercıcio

a) A ⊂ B e B ⊂ C =⇒ A ⊂ C b) #(A∪B) = #(A) + #(B)−#(A∩B) e obtenha formula

para #(A ∪B ∪ C). c) #(A×B) = #(A) × #(B). d) (A) = A e) #(∅) = ... Por que?f) (A ∩ B) ∩ C) = A ∩ (B ∩ C) g) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) h) [Regra de De Morgan](A ∪B)c = Ac ∩Bc i ) [Diferenca Simetrica] 4AB = (A−B) ∪ (B − A) = (A ∪B) − (A ∩B).

j∗) Se #(A) = n, entao esse tem 2n subconjuntos.

OPERACOES

Dado os conjuntos G,H,K, nao-vazios, consideramos Operacao com base em G × H pro-duzindo elemento de K como um processo pelos qual associa a todo par (g, h) ∈ G×H = {(x, y); x ∈G e y ∈ H} elemento de K. E temos as seguintes definicoes:

a) Operacao Multivalente ou Polivalente - Quando ha varios elementos de K determinados paracada par de G×H ;

b) Operacao Univalente ou Unıvoca - Quando o elemento de K e unicamente determinado paracada par de G×H;

c) Operacao Externa - Quando G 6= H d) Operacao Interna - Quando G = H

e) Operacao Aberta - Quando K e diferente de G e H

f) Operacao Fechada - Quando e interna e K e igual a G = H

No que segue, salvo mencao do contrario, trataremos de Operacoes como ja sendo Univalente.

GRUPO - Dado G, nao-vazio, e uma operacao Interna e Fechada nesse, • : G × G 7−→ G,(G, •) e dito ser Grupo quando:

g1) Existe e ∈ G, chamado de Elemento Neutro, tal que: g • e = e • g = g ∀g ∈ Gg2) Para todo g ∈ G, existe h ∈ G tal que g • h = e, caso em h e dito inverso a direita ou

h • g = e, caso em h e dito inverso a esquerda, caso em que denotamos h = g−1 ou h = −g.

E um Grupo e dito Associativo ou nao, conforme para todo g, h, j ∈ G, (g•h)•j = g•(h•j)ou, respectivamente, exista algum caso em que (g•h)•j 6= g•(h•j). E dito Comutativo (Abeliano)ou nao, conforme para todo g, h ∈ G, g • h = h • g ou, respectivamente, exista algum caso em queg • h 6= h • g

No que segue, se nada for dito, Grupo ja significa ser Associativo e Comutativo.


Exemplos:

a) (N = {0, 1, 2, 3, ....},+), em que ¨+¨ e a soma usual, nao e Grupo. Pois, embora ∀m,n, p ∈ N,(m+ n) + p = m+ (n+ p), i,e., seja Associativo, m+ n = n+m, i,e, Comutativo e tenha 0( zero)como Elemento Neutro, ja que m+0 = 0+m = m, entretanto, dado m ∈ N a existencia do inverso,i.e., n ∈ N tal que m + n = 0, so fica assegurado no caso particular em que m = 0. Ou seja, param ∈ N− {0} a equacao x+m = 0 nao tem solucao no conjunto dos naturais.

b) De forma analoga, (N,×) e (N∗ = N − {0},×), em que ¨×¨ e a multiplicacao usual,m× n = m+m+ · · · +m︸︷︷︸

n−vezes

, nao sao grupos. E, ({1},×) e, trivialmente, Grupo

c) (Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0,+1,+2,+3, . . . },+), onde N ⊂ Z pela identificacao n = +n, eGrupo. Mas, (Z,×) e (Z∗,×), em que ¨×¨ e a multiplicacao usual, nao sao grupos. Entretanto,({−1,+1},×) e Grupo.

c) Os Racionais - As operacoes citadas dos Naturais ajudam na criacao dos Numeros Racionais,

Q = { a

b; a ∈ Z e b ∈ Z∗}, onde: i)

a

b,c

d∈ Q,

a

b=

c

d⇐⇒ a×d = b×c. ii) ∀ a

b,c

d∈ Q,

a

b± c

d=

a× d ± b× c

b× de

a

b× c

d=

a× c

b× de para

c

d∈ Q∗,

a

b÷ c

d=

a

b× d

c=

a× d

b× c

Com isso fica a seguinte Cadeia: N ⊂ Z ⊂ Q e (Q,+) e (Q∗,×) sao grupos.

Um pouco da historia dos nao-Racionais - Se nao o descobridor original, o que sempre euma incognita em qualquer tempo, mas seguramente o primeiro divulgador do fato dos racionaisnao ser suficiente para traduzir toda realidade, foi o matematico grego e pitagorico Hippasus deMetapontum ( Informe pag.76, [14] pag.107 e [15]) por volta do sec.IV a.C. Havendo indıciosirrefutaveis de que o mesmo foi assassinado por isso, no sentido literal ou, pior ainda, em termosde reputacao. E o exemplo, quica outro equivalente, era que o comprimento d da diagonal de umquadrado unitario, a qual, pelo Teorema de Pitagoras, satisfaz d2 = 2, nao era expressa por numeroracional. E a prova disto que aparece em Os Elementos de Euclides e:

A raiz quadrada de dois nao e racional.

- Suponha, por absurdo, que√

2 =a

b∈ Q, onde a, b ∈ N e

a

be Irredutıvel, i.e,

mdc(a, b) = 1. Neste caso, tambem e verdadeiro quea2

b2= 2 ⇔ a2 = 2b2 e nos indica que a2

e Par. Como o quadrado de um numero e Par somente quando este e, temos que a e Par, i.e.,a = 2k, k ∈ IN. Neste caso, por substituicao, ocorre entao: (2k)2 = 2b2 ⇔ 4k2 = 2b2 ⇔ b2 = 2k2 eda mesma forma b e Par. Logo, mdc(a, b) 6= 1, o que e uma contradicao e, portanto,

√2 nao

e Racional �.

Esse mesmo argumento e adaptavel no caso em que for qualquer Numero Primo. Isto e,√p e um Nao-Racional, para todo p primo. Juntando-se a isto o fato que de que existe infini-

tos Primos, concluımos pela existencia de uma infinidade de numeros Nao-Racionais. E diversasquestoes (exercıcio) foram e continuam sendo suscitadas pela existencia de numeros Nao-Racionais.Algumas delas sao:

- Seriam todos os Nao-Racionais da forma√p com p Primo?

- Verifique que 3√

2 e n√p com n = 2, 3, ... e n 6= p, para p Primo, nao sao Racionais .

- Exiba n,m ∈ IN que nao sao Numeros Primos e que n√m nao e Racional.

- Seria todo Nao-Racionais da forma n√m ?

- O matematico suıco Leonhard Euler (1707 -1783) provou em 1737 que e = (base neperiana)nao e Racional e o seu conterraneo Lambert, J.H (1728 - 1777) em 1761 provou a nao-racionalidade do mais famoso de todos, o π.

Representando por II o Conjunto dos Nao-Racionais e buscando estender o operatorioque temos nos Racionais para estes, obtemos fatos, tais como:


a) A soma de um Racional com um Nao-Racional resulta em um Nao-Racional, i.e. ∀x ∈ Q ea ∈ II, a+ x ∈ II.

Prova: Dado que x ∈ Q e a ∈ II, se ocorresse que a + x = b ∈ Q terıamos, supondovalida as operacoes, que a = b − x. Assim, ficarıamos com b, x ∈ Q, donde a = b − x ∈ Q,contradizendo o fato de que a ∈ II. Logo, a+ x ∈ II.

b) O produto de um Racional nao nulo por um Nao-Racional e um Nao-Racional, i.e, ∀x ∈ Q∗

e a ∈ II, a · x ∈ II.

Prova: Dado x ∈ Q∗ e a ∈ II, suponha que ocorresse de a · x = y ∈ Q. Neste caso,terıamos que a = y /x, pois x 6= 0. Como y, x ∈ Q, entao a = y/ x ∈ Q, contrario ao fatode que a ∈ II.

c) Para toda quantidade finita de Racional a soma e produto de todos eles ainda resulta em

Racionais, i.e., ∀ a1, a2, . . . , an ∈ Q, com n ∈ IN fixado,n∑

k=1

ak = a1 + a2 + . . .+ an ∈ Q, e

n∏

k=1

ak = a1 · a2 . . . an ∈ Q. (Prove)

Tendo em vista que a soma e o produto de uma quantidade finita qualquer de Racionais re-sulta em Racional, a possibilidade de se produzir Nao-Racional, somando e multiplicando apenas

Racionais, envolve uma quantidade infinita (∞). Isto e, deve ser Serie∞∑

k=0

ak. Fatos disto sao:

a) e (base neperiana) =∞∑

k=0

1

k!, onde 0! = 1 e para n > 1, n! = n× (n− 1)× (n− 2)× · · ·× 1

b) π = 4∞∑

n=0

(−1)n 1

2n+ 1(Leibniz,G.W., 1646 − 1716).

SUBGRUPO - Seja (G, •) Grupo e H ⊂ G, H 6= ∅. Caso (H, •) tambem seja Grupo, dizemosque e Subgrupo de (G, •) e que G e uma Extensao, de Grupo, de H. E, para todo Grupo G, H = {e}e o Subgrupo trivial. Assim, ({0},+) e Subgrupo trivial de (Z,+) e (Z,+) e Subgrupo de (IQ,+)

CORPO - E todo conjunto K nao-vazio munido de duas operacoes Internas e Fechadas, queusaremos sem nenhum perda de generalidade + e ×, tal que:

i) (K,+) e Grupo. ii) (K∗,×) e Grupo [ K∗ = K− {Elemento Neutro da Adicao} ] iii)[Propriedade Distributiva ] ∀ a, b, c ∈ K, vale: a× (b+ c) = a× b+ a× c

Assim, como ja exposto, apenas (Q,+,×) e Corpo.

NOTA: No que segue, ¨Numero¨ significa elemento de algum conjunto no qual estejam definidasduas operacoes que possamos chamar de adicao e multiplicacao. Assim, grau nao e numero, pois,embora, por exemplo, 20o + 10o tenha como ser significado, 20o × 10o desconheco como definir.

CORPO DOS NUMEROS REAIS (R) - A descoberta de fatos como√

2 nao ser racionaltem a seguinte implicacao: a reta euclidiana nao fica totalmente preenchida quando colocamos dealguma forma todos os pontos de coordenadas racionais. Assim, o Corpo dos Reais e com essapropriedade, i.e, todo numero real corresponde a um unico ponto da reta euclidiana de tal formaque na cadeia N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R o seguinte e extensao do anterior.

O CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS (C) - No R2 = {(x, y); x, y ∈ R} a seguinteAdicao de pares ordenados, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), torna (R2,+) Grupo Abeliano,onde e = (0, 0) e o Elemento Neutro e −(a, b) = (−a,−b) e o Inverso Aditivo ou simetrico de (a, b).

Ainda mais. Identificando x ∈ R com (x, 0) ∈ R2 a cadeia (N,+) ⊂ (Z, ,+) ⊂ (Q,+) ⊂(R,+) ⊂ (C,+) fica com todo o operacional coerente.


Ja a Multiplicacao mais esperada, (x1, y1) • (x2, y2) = (x1 × x2, y1 × y2) nao faz com que(R2 − {(0, 0)}, •) seja Grupo. Assim, fazer de R2 um Corpo, seguindo o anteriormente ja definido,exigia resolver o seguinte problema: (a, b)• (c, d) = (? , ?). Ou seja, qual e o par ordenado produzidopela multiplicacao de dois destes? Havendo um fato subjacente: supondo x ∈ R como o par (x, 0),tal multiplicacao de pares deve coincidir com o caso de numeros reais. Isto e, a seguinte igualdade:x× y = (x, 0) × (y, 0) = (x× y, 0) e, portanto, constitui-se numa Extensao Algebrica.

Quem se revelou ideal foi: (x1, y1) × (x2, y2) = (x1 × x2 − y1 × y2 , x1 × y2 + x2 × y1) . Sendo

que o R2 com a Adicao e esta Multiplicacao e o que chamamos de Corpo dos Numeros Complexos,(C,+,×), e fazendo i = (0, 1), temos, i2 = (0, 1) × (0, 1) = (0 − 1, 0 + 0) = (−1, 0), significandoque: i2 = −1 ou

√−1 = i.

Fazendo (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi, a Multiplicacao (x1, y1) × (x2, y2) correspondedesenvolver (x1 + iy1) × (x2 + iy2), como expressoes algebrica, na condicao de que i2 = −1 e

(a+ ib)−1 =a

a2 + b2− i

b

a2 + b2, ∀ a+ ib 6= 0.

ORDEM - Uma propriedade que fica das quantidades representadas por numeros naturaise a Lei da Tricotomia: dados m,n ∈ N, vale apenas um dos seguintes casos I : m = n ouII : m = n + 1 + · · · + 1 ou III : n = m + 1 + · · · + 1. Ou equivalentemente I ′ : m = n ou, paraalgum p ∈ N∗, II ′ : m = n+ p ou III ′ : n = m+ p

Usando os sımbolos < (menor do que) e > (maior do que), a Lei da Tricotomia fica, respec-tivamente: I ′′ : m = n, II ′′ : m < n(n > m) ou III ′′ : n < m(m > n).

Ante isso ficam sentencas abertas dos seguintes tipos: para um dado b ∈ N, temos:

a) x ∈ N;x > b. Significa: todo valor natural maior do que b e nenhum outro;

b) x ∈ N;x ≥ b. Significa: todo valor natural igual ou maior do que b e nenhum outro.

De forma analoga isso faz sentido para valores Inteiros Z, Racionais Q e Reais R. Esses,assim como todo conjunto no qual possa ser definido processo de comparacao entre seus elemen-tos, dizemos ser um Conjunto Ordenado. E o acima definido nao vale para Numeros ComplexosC, z = a + ib, onde a = parte real de z = Re(z) e b = parte imaginaria de z = Im(z). Isto e,se aparecer em algum texto um dos sımbolos, < ou >, entre dois numeros complexos com parteimaginaria nao-nula, o sentido deve ser um outro diferente deste.

Conjunto Limitado - SejaK um Conjunto Ordenado e A ⊂ K. A e dito Limitado Inferiormente(respect. Superiormente) em K quando existe x0 ∈ K (x1 ∈ K) tal que x0 ≤ x (x ≤ x1), ∀x ∈ A.Se existe ambos, x0 e x1, dizemos que A e Limitado em K. E caso ainda, x0 ∈ A (x1 ∈ A) dizemosque x0 e o Valor Mınimo de A (o Valor Maximo de A) e denotamos por MinA = x0 (MaxA = x1).

Lema - Todo subconjunto Limitado de Z possui Valor Mınimo e Maximo.

Princıpio de Inducao Finita - Seja P(k) uma proposicao que depende de k ∈ N. Suponha que:

a) P(k) e verdadeira b) Sempre que P(n) e verdadeira para n > k, implica que P(n+1)e verdadeira.

Entao P(n) e verdadeira para todo n ∈ N com n ≥ k.

Ex: Mostrar que P(n) : 1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n+ 1)

2, onde n ∈ N e n ≥ 1

i) P(1) : 1 =1(1 + 1)

2e verdadeira

ii) Suponha P(n) : 1+2+3+· · ·+n =n(n+ 1)

2verdadeira, e tomemos P(n+1) : 1+2+3+· · ·+n+

(n+1) = 1 + 2 + 3 + · · · + n︸︷︷︸P(n)

+(n+1) =n(n+ 1)

2+(n+1) =

n(n+ 1) + 2(n+ 1)

2=

(n+ 1)(n+ 2)

2

e, portanto, P(n+ 1) e verdadeira. Logo, o afirmado vale para todo n ∈ N e n ≥ 1.


Exercıcio.

a) Prove que 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) =n

∑

k=1

(2k − 1) = n2

b) Prove que 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =n

∑

k=1

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

c) Prove que 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

n∑

k=1

k3 =n2(n + 1)2

4

d) Prove que 1 + r + r2 + + · · · + rn =n

∑

k=0

rk =rn+1 − 1

r − 1, r 6= 1

PRODUTOS NOTAVEIS, FATORACAO, POLINOMIO E EXPRESSOES, etc

II) Fatoracao.

No que segue, supomos envolver dois valores a e b com b < a.

- O QUADRADO DA SOMA - E igual a somados quadrados de cada parcela e o dobro do produtodestas. Isto e,

( a + b )2 = a 2 + b 2 + 2a × b

- O QUADRADO DA DIFERENCA - E iguala soma dos quadrados de cada termo menos o dobrodo produto destes. Isto e,

( a − b ) 2 = a 2 + b 2− 2a × b

Temos o seguinte calculo, pela ilustracao acima: ( a − b ) 2 = a 2 − b × (a − b) − a × b =

a 2 − b × a − (−b 2) − a × b = a 2 + b 2 − 2a × b.

- A DIFERENCA DE QUADRADOS -E igual ao produto da soma dos termos peladiferenca destes. Isto e,

a 2− b 2 = (a + b) × (a − b)

- A SOMA DE QUADRADOS - E igual adiferenca entre o quadrado da soma dos termos e odobro do produto destes. Isto e,

a 2 + b 2 = (a + b) 2− 2a × b

Exercıcio: Fazer os casos analogos para cubo.

Binomio de Newton: (a+ b)n =n∑

k=0

(n

k

)an−kbk =

(n

0

)an +

(n

1

)an−1b+

(n

2

)an−2b2 + · · ·+

(n

n− 1

)abn−1 +

(n

n

)bn, onde

(nk

)=

n!

k!(n− k)!

Polinomio - Dados os polinomios p(x) =n∑

k=0

akxn = anx

n + an−1xn−1 + · · · + a0, de grau n,

i.e., an 6= 0, e q(x) de grau m, com m ≤ n, existem polinomios Q(x), com Gr(Q) = n−m, e r(x),com Gr(r) < m, tal que p(x) = Q(x)q(x) + r(x). Caso r(x) ≡ 0, dizemos que p(x) e divisıvel porq(x).

Exemplo. Dados p(x) = 6x5 − 3x4 + x3 + 4x2 − 5x + 11 e q(x) = 2x2 + 3x + 1, devemosdeterminar Q(x) = a3x

3 +a2x2 +a1x+a0 e r(x) = b1x+b0, tal que 6x5−3x4 +x3 +4x2−5x+11 =

(2x2 + 3x+ 1)(a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0) + b1x+ b0.


Ilustraremos isso com um metodo que sera util em outras situacoes.

i) Analisando os coeficientes dos termos com maior grau, temos que: a3 = 3 e fica, ao realizar o produto:6x5 − 3x4 + x3 + 4x2 − 5x + 11 = (2x2 + 3x + 1)(3x3 + ............)

= 6x5 + 9x4 + 3x3

ii) Determinar a2 que ajusta o termo de grau 4, i.e., 2a2 + 9 = −3 ⇐⇒ a2 = −6 e, portanto, ficando6x5 − 3x4 + x3 + 4x2 − 5x + 11 = (2x2 + 3x + 1)(3x3 − 6x2......)

= 6x5 + 9x4 + 3x3

−12x4 − 18x3 − 6x2

+

6x5 − 3x4 − 15x3 − 6x2

iii) Determinar a1 que ajusta o termo de grau 3, i.e., 2a1 − 15 = 1 ⇐⇒ a1 = 8 e, portanto, ficando:6x5 − 3x4 + x3 + 4x2 − 5x + 11 = (2x2 + 3x + 1)(3x3 − 6x2 + 8x......)

= 6x5 − 3x4 − 15x3 − 6x2

16x3 + 24x2 + 8x

+

6x5 − 3x4 + x3 + 18x2 + 8x

iv) Determinar a0 que ajusta o termo de grau 2, i.e., 2a0 + 18 = 4 ⇐⇒ a0 = −7 e, portanto, ficando:6x5 − 3x4 + x3 + 4x2 − 5x + 11 = (2x2 + 3x + 1)(3x3 − 6x2 + 8x − 7)

= 6x5 − 3x4 + x3 + 18x2 + 8x

−14x2 − 21x − 7

+

6x5 − 3x4 + x3 + 4x2 − 13x − 7

Notando que: 6x5 − 3x4 + x3 + 4x2 − 13x − 7 = 6x5 − 3x4 + x3 + 4x2 − 5x + 11 + (−8x − 18) ∴ 6x5 − 3x4 +

x3 + 4x2 − 5x + 11 = (2x2 + 3x + 1)(3x3 − 6x2 + 8x − 7) + 8x + 18, i.e, Q(x) = 3x3 − 6x2 + 8x − 7 e r(x) = 8x + 18

Raiz - λ e raiz do polinomio p(x) quando p(λ) = 0

Lembro que x depende da estrutura subjacente. No que segue, de princıpio, estamos con-siderando x ∈ R.

Lema: Para todo polinomio p(x) e λ ∈ R, p(λ) = r, onde r e o resto da divisao de p(x) porx− λ, o qual, pelo resultado anterior, e numerico. Em particular, λ e raiz de p(x) ⇐⇒ r = 0, i.e.,p(x) e divisıvel por x− λ.

Portanto, se λ e raiz de p(x), entao p(x) = (x−λ)Q(x), com Gr(Q) = Gr(p)−1 e, portanto,as demais raızes de p(x) sao tambem de Q(x). Ou seja, determinada uma raiz λ de p(x), divideesse por x− λ e estuda-se a determinacao das raızes do quociente e assim recursivamente. E desdeque pode haver repeticao, p(x) = (x − λ)kQ(x), com Gr(Q) = Gr(p) − k e Q(λ) 6= 0, quando λ edita ser raiz de p(x) com multiplicidade k.

Observe que em N, polinomios do primeiro grau, como p(x) = x+a, com a ∈ N, so tem raiznos Naturais no caso particular em que a = 0. Ja em Z, p(x) = ax+ b, com a, b ∈ Z, a 6= 0, so temraiz nos Inteiros no caso em que b e multiplo de a. Note que em Q todo polinomio p(x) = ax+b, coma, b ∈ Q e a 6= 0, tem raiz Racional. Entretanto, polinomio do segundo grau, como p(x) = x2 − 2,nao possui raiz racional. Assim como, em R, p(x) = x2 + a nao tem raiz real para todo a > 0.

E o caso do polinomio do segundo grau com coeficientes reais p(x) = ax2 + bx + c, coma 6= 0, ilustra bem o que acontece na cadeia algebrica aqui definida N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, na qual

um polinomio de grau n tem, no maximo, n raızes. Pois, p(x) = ax2 + bx+ c = a[x2 +

b

ax+

c

a

]=

a[(x +

b

2a

)2 − b2

4a2+c

a

]= a

[(x +

b

2a

)2 − 44a2

], onde 4 = b2 − 4ac e chamado de Discriminante.

Portanto, p(x) = 0 ⇐⇒(x+

b

2a

)2=

44a2

⇐⇒ x =−b±√4

2ae fica:

a) 4 > 0, duas raızes reais e diferentes, x1,2 =−b±√4

2a, e p(x) = a(x− x1)(x− x2)

b) 4 = 0, duas raızes reais e iguais, x1,2 =−b2a

, e p(x) = a(x− x1)2

c) 4 < 0, duas raızes complexas e diferentes, x1,2 =−b± i

√−42a

, e p(x) = a(x− x1)(x− x2)


E o resultado geral devido ao majestoso matematico Alemao Carl Friedrich Gauss (1777-1855), e o seguinte:

Teorema Fundamental da Algebra - Todo polinomio com coeficientes em C de grau n possuiexatamente n raızes, nao necessariamente distintas.2

Caso λ ∈ Z seja raiz de p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0, onde ai ∈ Z, temos:anλ

n +an−1λn−1 + · · ·+a1λ+a0 = 0 ⇐⇒ λ(anλ

n−1 +an−1λn−2 + · · ·+a1) = −a0 e, portanto, λ di-

vide a0. Isso e base da seguinte classificacao: Seja p(x) = anxn+an−1x

n−1+· · ·+a1x+a0, onde ai ∈ Zum polinomio de grau n, entao as suas raızes sao inteiras, irracionais ou complexas. E i) as raızesinteiras, se houver, estao entre os divisores de a0 ii) as raızes complexas e em quantidade par. Pois,caso z = a+ ib seja uma raiz complexa de um tal polinomio e z = a− ib o seu conjugado, temos queakzn = akz

n para todo ak ∈ R e z1 + z2 = z1+z2. Logo, sendo anzn +an−1z

n−1+ · · ·+a1z+a0 = 0,conjugando tudo fica: 0 = 0 = anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 = anz

n+an−1zn−1+· · ·+a1z+a0,

o que faz z tambem raiz. E neste caso temos: se n for ımpar havera pelo menos uma raız real

Determinar as raızes:

a) p(x) = x4 − 1 = (x2)2 − 12 = (x2 − 1)(x2 + 1) = (x + 1)(x − 1)(x2 + 1), portanto, as raızessao ±1 e ±i

b) p(x) = x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1) = (x− 1)(x2 + x+ 1)(x+ 1)(x2 − x+ 1), portanto, as raızes

sao ±1 e1 ± i

√3

2e−1 ± i

√3

2

c) p(x) = x3 + 5x2 + x− 6

Sol. Temos que os divisores inteiros de 6, D(6), sao: ±1, ±2, ±3 e ± 6.

Calcule p(±1), p(±2), p(±3) e p(±6) e conclua que as raızes sao -2, -3 e 1, i.e, p(x) =x3 + 5x2 + x− 6 = (x+ 3)(x+ 2)(x− 1).

d) p(x) = ax4+bx2+c e dito biquadrado em que a mudanca de variavel y = x2 o faz equivalentep(y) = ay2+by+c. Depois de determinadas as raızes deste, y1,2, as raızes do inicial sao x1,2 = ±√

y1

e x3,4 = ±√y2

e) p(x) = x5 − 2x4 + x3 − 2x2 − x+ 2. D(2) = {±1,±2} e verifique qual e raiz. Depois dividaesse por x menos essa e obtenha um biquadrado e revolva-o.

Expressao Conjugada - Dada uma expressao qualquer E(x) a sua conjugada e outra ex-pressao E(x) tal que E(x) × E(x) resulta com uma determinada propriedade. O mais usual distoe para eliminar radicais. Por isto, a conjugada de

√x − 2 e

√x + 2, e vice-versa, dado que,

(√x − 2) × (

√x + 2) = x− 4

Exemplo - Encontrar a expressao conjugada de 3√x− 2.

Resolucao: i) Por propriedade de radical, o primeiro termo de E(x) precisa ser3√x2, pois,

3√x× 3

√x2 = x e ao realizar o produto, fica: ( 3

√x− 2) × (

3√x2 + ...) = x− 2

3√x2

ii) O proximo termo de E(x) quando multiplicado por 3√x deve eliminar −2

3√x2 e, portanto, pre-

cisa ser 2 3√x. Assim ficamos com: ( 3

√x−2)×(

3√x2+2 3

√x+...) = x−2

3√x2+2

3√x2−4 3

√x = x−4 3

√x

iii) O proximo termo de E(x), para eliminar −4 3√x deve ser 4, o que fica: ( 3

√x− 2) × (

3√x2 +

2 3√x+ 4) = x− 4 3

√x+ 4 3

√x− 8 = x− 8.

Logo, desde que ( 3√x− 2) × (

3√x2 + 2 3

√x+ 4) = x− 8 e, portanto, resulta numa expressao

sem radical, uma e a conjugada da outra.

Exercıcio - Determine, se houver, a expressao conjugada nos seguinte casos:

a )√x+ 8 − 1 b)

√x2 + 1 + 3 c) 3

√x− 3 + 5 d) 4

√x− 1 d)

3√x2 −√

x

2Para uma demonstracao, Serg Lang, Algebra Linear, Ed. Edgard Blucher Ltda, 1977, pag. 265


TRIGONOMETRIA DO TRIANGULO RETANGULO

Uma consequencia da Teoria das Proporcoes de Tales-Eudoxo e a existencia de razoes indi-cando certas invariancas e quando aplicadas a triangulo retangulo indicam algumas que dependemapenas do angulo e nao das dimensoes deste. Assim, pela semelhanca dos triangulos, temos:

OB1

OA1=

OB2

OA2=

OB3

OA3, . . .,

A1B1

OA1=

A2B2

OA2=

A3B3

OA3, . . . e

A1B1

OB1=

A2B2

OB2=A3B3

OB3, . . .

E tais razoes so dependem do angulo β:

Do exposto, ficam bem definidas as seguintes funcoes trigonometricas de um angulo agudode um triangulo retangulo.

Definicao 0.1. Seja ABC, figura abaixo, um triangulo retangulo de hipotenusa AC. Chamamosde Seno do angulo A como sendo o quociente entre o seu lado oposto e a hipotenusa, deCosseno como o quociente entre o seu lado adjacente e a hipotenusa e de Tangente o quociente

entre os seus lados oposto e o adjacente. E que denotamos respectivamente, por: sen( A ) =BC

AC,

cos( A ) =AB

ACe tg( A ) =

BC

AB.

Com as indicacoes da figura ao lado, os valores das funcoestrigonometricas do angulo e do seu complementar, sao:

sen(α ) =b

a, cos(α ) =

c

a, tg(α ) =

b

c, sen(β ) =

c

a

cos(β ) =b

ae tg(β ) =

c

b.

Uma simples observacao de como sao calculadas as funcoes do angulo e do seu complementarindicam o seguinte

Lema 0.1 (do Angulo Complementar). Num triangulo retangulo, os angulos complementarestem o valor do seno de um igual ao cosseno do outro e os valores das tangentes sao inversos mul-tiplicativos. Isto e, seja ABC um triangulo retangulo de angulos complementares α e β.Entao, sen(α ) = cos (β ) = cos ( 90o − α ), cos (α ) = sen (β ) = sen ( 90o − α ) etg (α ) = (tg (β )) −1.

Teorema 0.1 ( FUNDAMENTAL ). Num triangulo retangulo, a soma dos quadrados doseno com o do cosseno de um mesmo angulo e 1. Isto e, ( sen (α )) 2 + (cos (α) ) 2 = sen 2(α ) +cos 2(α ) = 1, para todo angulo agudo α.

Prova - Como o triangulo e retangulo, uma versao do teorema de Pitagoras, nos diz que

a 2 = b 2 + c 2. Dividindo toda a equacao por a 2, obtemos: 1 =b 2 + c 2

a 2=

b 2

a 2+

c 2

a 2=

(b

a) 2 + (

c

a) 2 = ( sen (α ) ) 2 + (cos (α) ) 2.

O proximo resultado nos dira que ha conexoes entre as funcoes trigonometricas, sendo umadelas exposta no seguinte


Lema 0.2. Num triangulo retangulo a tangente de um angulo agudo e o quociente entre o seno

e o cosseno deste. Isto e, tg(α ) =sen (α)

cos (α), para todo α agudo.

Prova - Temos, no triangulo retangulo acima, que: tg(α ) =b

c=

b

ac

a

=sen (α)

cos (α).

Aplicacoes - Dadas a medidade algum lado e das funcoestrigonometrica de um angulo,determina-se as demais.

Calcular e tabular os valores das funcoes trigonometricas de cada angulo e uma atividade comregistros nos primordios da historia da matematica. O lema do angulo complementar mostra, nocaso de angulo agudo, que sabendo-se tais valores dos menores que 45o acessamos dos que estaoentre 45o e 90o, atraves de troca e inversao de valores. No que segue, iremos apresentar formasde calculos de alguns destes e que por sua vez torna relevante a busca de formulas que relacione osdados de dois angulos com os da sua soma e diferenca, que tambem abordaremos.

0.0.1 CASO DOS ANGULOS DE 30o

Dado um triangulo retangulo ABC em que tenha m (A) =30o e m (C) = 60o. Tome D na hipotenusa AC, tal quem(DBA) = 30o, donde implica que m(DBC ) = 60o e pela somados angulos interno de um triangulo, acontece que m(BDC) = 60o.Isto justifica as indicacoes no triangulo ao lado.

Assim, pela construcao feita, BDC e um triangulo equilatero, donde x = BC = BD = DC.Tambem, ABD e isosceles com base AB, nos indicando que AD = DB = x e ainda queAC = AD + DC = 2x, i.e, num triangulo retangulo o lado oposto ao angulo de 30o e a metade

da hipotenusa. Logo, sen ( 30o) =BC

AC=

x

2x=

1

2.

Pela identidade fundamental, 1 = sen 2( 30o ) + cos 2( 30o ) = (1

2)2 + cos 2( 30o ) =⇒

cos ( 30o ) =

√1 − 1

4=

√3

2. Logo, tg ( 30o ) =

sen( 30o)

cos ( 30o )=

1

2√3

2

=1√3

=

√3

3.

Pelo lema do angulo complementar, obtemos: sen ( 60o) = cos ( 30o) =

√3

2, cos ( 60o) =

sen ( 30o) =1

2e tg ( 60o ) = (tg ( 30o ) )−1 = (

√3

3)−1 =

√3 .


0.0.2 CASO DO ANGULO DE 45o

Lembrando que os valores trigonometricos nao dependemdo triangulo retangulo escolhido, seja DEF reto em E,com hipotenusa, DF, unitaria e angulo D medindo 45o.Pela soma dos angulos interno de um triangulo, acontece quem(F ) = 45o. Assim, DEF e isosceles com base DF, dondeDE = EF.

Pelo teorema de Pitagoras, temos: 1 2 = DE 2 + EF 2 = x 2 + x 2 = 2x 2 ∴ x =√1

2=

√2

2. Donde, sen ( 45o) = x =

√2

2= cos ( 45o) e tg ( 45o) = 1.

0.0.3 COMENTARIOS

1) A tabela ao lado se constitui de um conjunto desaberes essencial nas resolucoes de diversos problemas,donde o nosso reforco para que as etapas anteriormentefeitas sejam cuidadosamente construıdas.

2) A reducao que nos indicou ser necessario saber-mos apenas os valores trigonometricos dos angulosmenores que 45o, impoe refletirmos se ha outro menorque este com tal propriedade e na existencia de ummınimo global.

Angulo Seno Cosseno Tangente

30o 1

2

√3

2

√3

3

45o

√2

2

√2

21

60o

√3

2

1

2

√3

3) A linearidade, que e um pensamento natural, deve ser confrontado didaticamente com fatos como

2×sen( 30o ) 6= sen( 60o ) = sen ( 2×30o ) e sen ( 60o)−sen ( 30o ) 6= sen (60o−30o), para que percebam

a ausencia desta nas funcoes trigonometricas que ja definimos.

Uma outra forma de apresentar a generalizacao do teorema de Pitagoras e

0.0.4 A LEI DOS COSSENOS - Sejam a, b e c os tamanhos dos lados de um trianguloem que os de medidas b e c fazem um angulo agudo ϕ. Entao,

a 2 = b 2 + c 2− 2c b cos( ϕ ) .

Prova - Aplicando, figura ao lado, o que ja sabe-mos de trigonometria ao triangulo retangulo HCBtemos que: BH = c sen(ϕ ) e HC = c cos(ϕ ).Disto, tem-se que AH = b − HC = b − c cos(ϕ ).

Pelo teorema de Pitagoras, visto que o trianguloAHB e retangulo, obtemos: a 2 = ( b − c cos(ϕ ) ) 2 +( c sen(ϕ ) ) 2, cujo desenvolvimento e:

a 2 = b 2 − 2 b c cos(ϕ ) + c 2 cos 2(ϕ ) + c 2sen 2(ϕ ) = b 2 + c 2 [ cos 2(ϕ ) + sen 2(ϕ ) ] −2 b c cos(ϕ ) = b 2 + c 2 − 2c b cos(ϕ ) , CDQ.

Vamos apresentar uma abordagens de calculo do seno e cosseno da diferencas entre dois angulosagudos, as quais sao adaptacoes das constatacoes feitas por Sidney H. Kung, [22], permitindoexpor mais facilmente este topico no ensino fundamental.


0.0.5 SENO DA DIFERENCA DE ANGULOS AGUDOS - Sejam α e β angulos agu-

dos com β < α 3. Entao sen ( α − β ) = sen ( α ) cos ( β ) − sen ( β ) cos ( α ) .

Prova - Consideremos ABC umtriangulo retangulo com m ( B ) = 90o

e m ( A ) = α e tome D ∈ BC talque m (DAB ) = β. Assim, ABDe retangulo e o triangulo ACD ficacom m(DAC ) = α − β. Em seguidatracamos DE, a altura do trianguloACD relativa do lado AC. Para com-pletarmos as indicacoes que vamos ne-cessitar, denotemos os tamanhos dos la-dos AC e AD por a e b, res-pectivamente, e os lados AB e BCpor expressoes em funcao destes e valorestrigonometricos dos angulos α e β.

Como o triangulo original, ABC, foi subdividido em outros, temos que:

Area4ABC = Area4ABD + Area4ADC e, com as indicacoes que fize-mos, obtemos:

i) Area4ADC =AC × ED

2=

a b sen (α − β )

2.

ii) Area4ABD =AB × BD

2, tem duas possibilidades de calculo:

a cos (α ) b sen (β )

2ou

b cos (β ) b sen (β )

2.

iii) Area4ABC =AB ×BC

2, tambem pode ser calculada de duas formas:

a cos (α) a sen (α )

2ou

b cos (β ) a sen (α )

2.

Como existem, em cada um dos itens ii) e iii) acima, duas possibilidades para expressar-mos as areas, estudamos as possıveis substituicoes e fazemos:

Area4ABC = Area4ABD + area4ADC =b cos (β ) a sen (α )

2=

a cos (α ) b sen (β )

2+

a b sen (α − β )

2que, apos eliminarmos os denominadores e fator

comum, ficamos com: cos (β ) sen (α ) = cos (α ) sen (β ) + sen (α − β ), donde con-cluımos que

sen ( α − β ) = sen ( α ) cos ( β ) − sen ( β ) cos ( α ).

Exercıcio 0.1.

1) Calcule sen ( 15o ) = sen ( 45o − 30o ) e cos ( 15o ) =√

1 − sen 2( 15o ) .

2) Faca α = 2β na formula acima para determinar relacoes como tg (β ) =sen ( 2β )

1 + cos ( 2β )e use este resultado para calcular os valores trigonometricos de 7, 5o e 22, 5o.

3) Considere um triangulo retangulo de hipotenusa unitaria e angulos agudos 2β e β. tracea bissetriz do angulo 2β e apresente conclusoes.

3Na trigonometria do triangulo retangulo todos os valores sao positivos. Por isto, nao consideramos em algunscalculos o fato do numero ser negativo, embora estes precisam ser detectados e discutidos na sala de aula.


4) Para todo angulo agudo α temos: 0 < sen (α ) < 1. E, dado λ > 0, ∃ψ ∈(0o, 90o); tg (ψ ) ≥ λ.

5) Desenvolva a equivalencia sen 2(α − β ) + cos 2(α − β ) = 1 ⇐⇒ ( sen (α ) cos (β ) −sen (β ) cos (α ) ) 2 + cos 2(α − β ) = 1 e tente uma expressao para cos (α − β ).

6) Faca α = (n+ 1)β para n ∈ IN∗ na formula acima e tire conclusoes.

0.0.6 COSSENO DA DIFERENCA DE ANGULOS AGUDOS - Sejam x e y angulos

agudos com y < x, entao cos (x − y ) = cos (x ) cos ( y ) + sen (x ) sen ( y ) .

Prova - Iniciamos pela colagem dedois triangulos, AGC e BGC, com oangulo do vertice G reto em ambos, oslados GC congruentes e angulos agudosnos vertice A e B, na condicao deque o triangulo assim obtido, ABC, sejaacutangulo.Facamos a seguinte notacao:m( A ) = x, m(G CB ) = y, AC = be CB = a.

Aplicando razoes trigonometricas, obtemos:

a) No triangulo retangulo ACG: m(A CG ) = 90o − x, AG = b cos(x ) e GC =b sen(x ).

b) No triangulo retangulo GCB : GB = a sen( y ) e CG = a cos( y )

c) No triangulo retangulo HCB, obtido ao tracamos no triangulo ABC a altura relativa dovertice B: m (HCB ) = ( 90o −x ) + y = 90o − (x− y ) e HB = a sen( 90o − (x − y ) ).E, como sen(β ) = cos ( 90o − β ), ocorre que HB = a cos (x− y ).

Facamos agora os seguintes calculos de areas :

(I) Area(4ABC ) =AC ×HB

2=

b a cos (x− y )

2;

(II) Area(4AGC ) =AG × GC

2=

b cos (x ) b sen(x )

2, pelo calculo de GC no

item a) acima e tambem eb cos (x) a cos( y)

2, pelo item b); e

(III) Analogamente, Area(4GBC ) =GB × GC

2=

a sen ( y ) b sen(x )

2e tambem e

dada pora sen ( y) a cos( y )

2.

Por I), II) e III) acima, temos: Area(4ABC ) = Area(4AGC ) + Area(4GBC)

=b a cos (x− y )

2=

b a cos (x ) cos( y )

2+

a b sen ( y ) sen(x )

2. Apos eliminarmos os

denominadores e fator comum, concluımos que:

cos (x − y ) = cos (x ) cos ( y ) + sen (x ) sen ( y )

Exercıcio 0.2.

1) Existem valores trigonometricos novos para se calcular com a ultima formula? Quais?

2) Se fosse permitido um unico valor de cos ( 0o ) qual voce defende ser. Justifique. E, parasen ( 0o )?


3) Construa materiais concretos para compor uma abordagem didaticas para apresentar as duasformulas deste topico.

As duas apresentacoes acima recorrem ao conceito de area sendo esta um elemento geometricobidimensional. No que segue, vamos usar medidas unidimensionais para exibir formulas trigonometrica.

0.0.7 SENO E COSSENO DA SOMA DE ANGULOS AGUDOS

Sejam α e β angulos agudos com α+ β < 90o. Entao

(I) sen (α + β ) = sen (α ) cos (β ) + sen (β ) cos (α ) e

(II) cos (α + β ) = cos (α ) cos (β ) − sen (β ) sen (α )

Prova - Como os valores trigonometricos nao dependem do triangulo retangulo, mas so-mente do angulo, facamos α e β ambos angulos agudos de triangulos de hipotenusa unitariaquando os seus catetos oposto e adjacentes sao, respectivamente, numericamente iguais aos val-ores de seno e cosseno. Em seguida, construımos uma configuracao colando o cateto adjacente doangulo α com a hipotenusa do triangulo de angulo β e de tal forma que que apareca um angulocongruente a soma destes dois, figuras abaixo.

Fazendo um recorte na colagem ao longo do segmento DE, a parte contendo o anguloα + β, que supomos ser agudo, figura abaixo, nos permite as seguintes indicacoes e calculos:

a)CD = sen (α ) e AD = cos (α ).

b) Como o triangulo retangulo ABC ede hipotenusa unitaria e de angulo agudoα + β, entao AB = cos (α + β ) eCB = sen (α + β ).

c) Argumente que m(FCD ) = β.

d) Como o triangulo retangulo CFD tem hipotenusa CD, com CD = sen(α) e porangulo agudo β, entao CF = CD × cos (β ) = sen (α ) cos (β ) e FD = CD × sen (β ) =sen (α ) sen (β ).

e) Ja no triangulo retangulo ADE tem hipotenusa AD, com AD = cos(α) e por anguloagudo β, entao DE = AD × sen(β ) = cos (α ) sen (β ) e AE = AD × cos(β ) =cos (α ) cos (β ).

Usando o que determinamos acima, obtemos:


(I) sen (α + β ) = CB = CF + DE = sen (α ) cos (β ) + cos (α ) sen (β ) e

(II) cos (α + β ) = AE − BE = AE − FD = cos (α ) cos (β ) − sen (α ) sen (β ).

UMA VARIANTE DA PROVA DO SENO E COSSENO DA SOMA

Nas mesmas condicoes supostas anteriormente e com uma pequena variacao, vamos apresentaruma outra abordagem para as formulas que expressam o seno e o cosseno da soma de dois angulosem funcao de tais valores dos angulos e que e composta dos fatos que seguem, com a notacao dafigura abaixo em que CK = x, KD = y,AD = cos (α ) e CD = sen (α ):

a) Do triangulo retangulo CDK cujahipotenusa e CK e um dos angulosagudo e β, fatos trigonometricos impoe:CD = CK × cos (β ) = x cos(β ).

As indicacoes de construcao da figuraapontam: CD = sen (α ), donde

[ 1 ] sen (α ) = x cos(β ) e

KD = y = CK sen (β ) = x sen (β ) i.e,

[ 2 ] y = x sen (β ) .

b) Do triangulo retangulo KLD cuja hipotenusa e KD e um dos angulos agudo e β, de

forma analoga, temos: [ 3 ] KL = y cos (β ) . Assim,

(I) sen (α + β ) = CB = CK + KB = x + AK × sen (β ) =x + (AD − KD) × sen (β ) = x + ( cos (α ) − y ) sen (β ) =

x + cos (α ) sen (β ) − y sen (β )[ 2 ]= x + cos (α ) sen (β ) − x sen (β ) sen (β ) =

x − x sen 2(β ) + cos (α ) sen (β ) = x ( 1 − sen 2(β )) + cos (α ) sen (β ) =

x cos 2(β ) + cos (α ) sen (β ) = (x cos (β )) cos (β ) + cos (α ) sen (β )[ 1 ]=

sen (α ) cos (β ) + cos (α ) sen (β ) .

(II) cos (α + β ) = AB = AK × cos (β ) = (AD − KD ) × cos (β ) =

( cos (α ) − y ) cos (β ) = cos (α ) cos (β ) − y cos (β )[ 2 ]=

cos (α ) cos (β ) − xsen (β ) cos (β ) = cos (α ) cos (β ) − (x cos (β )) sen (β )[ 1 ]=

cos (α ) cos (β ) − sen (α ) sen (β ) .


0.0.8 CASO DO ANGULO DE 18o

Comecamos com um triangulo isosceles ABCde base AB i.e. AC = BC [ 1 ], no qualm( A ) = m( B ) = 72o, e pelo fato de que asoma dos angulos internos de qualquer triangulo euclidianoser 180o, temos que m( C ) = 36o.

Ao tracarmos a bissetriz, DB, do angulo B fi-camos com m(ABD ) = 36o e, novamente pela soma dosangulos internos no triangulo ADB, m(ADB ) = 72o.Assim, os triangulos ABC e DAB sao ambos isosceles,bases AB e DA respectivamente e com os angulos in-ternos de um congruentes aos do outro, o que sabemos,pelo caso AA de semelhanca, ser garantido que 4ABC ∼4DAB. Em particular:

AB

DA=

AC

DB[ 2 ].

Ja o estudo do triangulo BDC nos indica que: m (DBC ) = m (DCB ) = 36o, mostrandoque BCD e isosceles de base BC com DB = DC [ 3 ] e m (BDC ) = 108o. Neste caso, ja edo nosso conhecimento que a altura relativa do vertice D, DH, e bissetriz do angulo BDC,donde m (BDH ) = 54o, e tambem e mediana deste vertice, i.e, H e ponto medio do ladoBC donde BH = HC [ 4 ]. Seguindo, marcamos E ∈ HC com m(EDH) = 18o, o quetorna m (BDE) = 72o, verificamos, pelo caso ALA de congruencia, que 4BDA ∼= 4BDE.quando podemos indicar que DE = AD e AB = BE [ 5 ]. Observando que os angulos CDEe DCE ficam congruentes, o que torna o triangulo DEC isosceles com base DC e implicaem DE = EC [ 6 ].

Pelo que expomos acima, concluımos que: DE = AD = EC < CH =BC

2[ 7 ].

Como os valores trigonometricos nao depende das

dimensoes do triangulo, facamos 1 = AC[ 1 ]= BC,

AB = z e AD = x, pelas consideracoes anteriores temos:

[ 4 ]BH = HC =1

2, x = AD = DE

[ 5 ]= EC [ 7 ],

DC = AC − CD = 1 − x[ 3 ]= DB, EH =

1

2− x > 0,

e BE = BC − EC = 1 − x[ 7 ]= AB = z.

Por [ 2 ] temos:z

x=

1

1 − x=

1

z, donde z =

√x

e junto com o fato de que AB = BD = DC = 1 − x,chegamos ao fato de que x 2 − 3x + 1 = 0, cuja solucao

positiva e menor que 1 e x =3 −

√5

2.

Finalmente, aplicamos o teorema de Pitagoras no triangulo BDH para determinar queDH = y e calcularmos sen ( 72o), cos ( 72o), sen ( 36o), cos ( 36o), sen ( 18o) e cos ( 18o). E,comparamos estes com os valores obtidos usando a formula do seno da diferenca.


Exercıcio 0.3.

1) Obter os valores trigonometricos para 9o, 6o, 3o, 15o, 54o, 72o, 75o, e 12o.

2) Defina as funcoes trigonometrica cotangente por cotg (α) = (tg (α) )−1 =cos (α)

sen (α),

secante por sec (α) =1

cos (α)e cosecante por cosec (α) =

1

sen (α). Prove que cot (α) =

tg (90o − α) e sec 2 (α) = 1 + tg 2(α)

3) Considere ABC um triangulo retangulo com m ( B) = 90o, m ( A) = α e AC = 1.

Marque D e F ∈ −−→AB tal que AD = 1 e m (ACF ) = 90o. E ainda, trace DE ⊥ −−→

AB com

E ∈ −−→AC . Mostre: DE = tg (α) =

√CE (2 + CE ) e AF = sec (α).

4) justifique se cada afirmativa e verdadeira para todo α ∈ ( 0o, 90o), para valores especıficosou nenhum:

a) sen (α) + cos (α) > 1.

b) sen (α) + cos (α) e uma constante.

c)sen (α)

1 − cos (α)=

1 + cos (α)

sen (α).

d) cos (α) − tg (α) = 0.

e) 1 − 2sen 2(α) =1 − tg 2(α)

1 + tg 2(α).

f) sec (α) − cos (α) = tg (α) · sen (α).

g) sen2(α) − tg (α) ≤ −cos2(α) e h) sen ( 3α) = 3sen (α) − 4sen 3(α).

5) Se fosse permitido um unico valor de sen ( 90o) qual voce defende ser. Justifique. E, paracos ( 90o)?

6) Mostre que a area de um triangulo isosceles e dada por l2 × sen (α) × cos (α), onde l e

a medida dos lados congruentes e α do angulo da base. E, ainda: esta pode ser expressa por

( l × cos (α) ) 2 × tg (α) e l2 × (tg (α) − sen 3(α)

cos (α))

Modulo e Desigualdade - Dado a ∈ R, o modulo de a = |a| =

{a, se a ≥ 0−a, se a < 0

.

∀ a, b ∈ R valem:

a) | − a| = |a| b) |ab| = |a||b| c) |a| =√a2 d) |a

b| =

|a||b| , b 6= 0 e) a ≤ |a|

f) |a| < ε⇐⇒ −ε < a < ε g) |a− b| < ε⇐⇒ b− ε < a < b+ ε h) |a+ b| ≤ |a| + |b|

i) |a| − |b| ≤ |a− b| ≤ |a| + |b| j) |a| ≤ λ e |b| ≤ β =⇒ |ab| ≤ λ β k) | |a| | = |a|

l) |a| = max{a,−a}.


FUNCAO

Dados os conjuntos nao-vazios A e B e alguma lei f pela qual, para cada elemento de A, ficadeterminado um unico elemento de B, a terna (f,A,B) ( not. f : A 7−→ B) e dita uma Funcao Univa-lente, e no seque apenas Funcao. Sendo que: A e chamado de Domınio da Funcao (Dom(f) ou Df )e B de Contra-Domınio (CD(f) ou CDf). Ja o subconjunto de B dado por {f(x); x ∈ A} e chamadode Imagem da Funcao (Im(f) ou Imf ). Tambem {(x, f(x) ) ∈ A×B} e o Grafico da Funcao, ondeA× B = {( a, b ); a ∈ A e b ∈ B}.

Disto fica determinado que qualquer mudanca no Domınio, no Contradomınio ou na cor-respondencia, trata-se de uma outra Funcao. Por exemplo, dadas f, g : {0, 1} 7−→ {0, 1}, comf(x) = x2 e g(x) = x4, tendo em vista que f(0) = 0 = g(0) e f(1) = 1 = g(1), alem da igualdadeentre os Domınios e dos Contra-Domınios, estas sao Funcoes Iguais ou Identicas.

Restricao e Extensao de Funcao - Dada uma funcao (f,A,B) e C ⊂ A, C 6= ∅, a terna(f, C,B) e chamada de Funcao Restrita de f ao Subconjunto C ( f = f |C : C 7−→ B) ou simples-

mente f : C 7−→ B. nesse caso, f e dita uma Extensao de f. No que segue, caso nada seja dito, f seraconsiderada no maior domınio possıvel.

Funcao Identidade - Para do conjunto A, a Funcao IA : A 7−→ A, tal que ∀a ∈ A, IA(a) = a,e chamada de Funcao Identidade do Conjunto A.

Funcao Injetora, Sobrejetora e Bijetora - Uma Funcao f : A 7−→ B e dito Injetora quandosempre que f(x1) 6= f(x2) ocorre que x1 6= x2. Caso Im(f) = B = CD(f), i.e., ∀ y0 ∈ B existex0 ∈ A com f(x0) = y0, f e dita sobrejetora. Sendo simultaneamente Injetora e Sobrejetora dizemosque f e Bijetora ou uma Bijecao de A em B.

Funcao Inversa - Seja f : A 7−→ B uma Bijecao e considere g : B 7−→ A tal que g(y) = x⇐⇒f(x) = y. Nesse caso, g e f sao ditas uma Inversa da outra e denotamos, isso por g = f−1 ou f = g−1.

Composicao de Funcoes - Sejam f : A 7−→ B e g : B 7−→ C. Nesse caso fica definidag ◦ f : A 7−→ C dada por g ◦ f(x) = g(f(x)), ∀x ∈ A, chamada de Funcao Composta de f com g.

Lema - f : A 7−→ B e g : B 7−→ A sao Inversas uma da outra se, e somente se, g◦f = IA e f◦g = IB.

FUNCAO DE UMA VARIAVEL REAL COM VALORES REAIS

Nocoes basicas da topologia da reta - Um conjunto I e dito um Intervalo da reta realquando para quaisquer x1, x2 ∈ I e todo x ∈ R tal que x1 < x < x2, temos que x ∈ I. E os principaisfinitos, portanto, com a, b ∈ R ( chamados extremos do intervalos), sao:

a) Aberto - I = (a, b) = {x ∈ R; a < x < b} b) Fechado - I = [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}c) Semi-Aberto ou Semi-Fechado - I = (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b} (Aberto a Esquerda e

Fechado a Direita), I = [a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b} (Aberto a Direita e Fechado a Esquerda)

Vizinhanca Aberta - Dados a, δ ∈ R, onde δ > 0, o intervalo (a − δ, a + δ) e dito uma Vizi-nhanca Aberta, ou apenas Vizinhanca, de a com raio δ e denotaremos por Va(δ) ou V δ

a .

Ponto Interior e de Fronteira - Dado um intervalo I, temos que: a ∈ I e dito Ponto Interiordeste intervalo quando existe vizinhanca deste ponto totalmente contida no intervalo, i.e., existeδ > 0 tal quer Va(δ) ⊂ I e Ponto de Fronteira quando toda vizinhanca deste tem ponto do intervaloe do complementar (exterior) deste, i.e., para todo δ > 0, Va(δ) ∩ I 6= ∅ e Va(δ) ∩ Ic 6= ∅.

Ex. Para os intervalos citados, os extremos sao pontos de Fronteiras e os demais sao PontosInteriores.

Exercıcio∗ - Existe uma bijecao entre quaisquer dois intervalos Abertos (respect. Fechados) dareta.


Sejam f : Df ⊂ R 7−→ R e g : Dg ⊂ R 7−→ R. Podemos definir ainda:

a) f + g : Df ∩ Dg ⊂ R 7−→ R por [f + g](x) = f(x) + g(x).

b) f × g : Df ∩ Dg ⊂ R 7−→ R por [f × g](x) = f(x) × g(x).

c)f

g: Df ∩ Dg ⊂ R 7−→ R por [

f

g](x) =

f(x)

g(x), desde que g(x) 6= 0.

CUIDADO: para n ∈ Z∗, temos:

i) Para n > 0, f(x)n =(f(x)

)n= f(x) × f(x) × · · · × f(x)︸︷︷︸

n−vezes

e fn(x) = f ◦ (f ◦ (· · · ◦ f))︸︷︷︸n−vezes

(x);

ii) para n < 0, f(x)n =(f(x)

)n=

1(f(x)

)−n e fn(x) = f−1 ◦ (f−1 ◦ (· · · ◦ f−1))︸︷︷︸n−vezes

(x), onde f−1

e a Inversa de f

Regiao de Crescimento, Decrescimento, Maximos e Mınimos - Dada f : Df ⊂ R 7−→ R,temos:

i) f e dita Crescente ou Estritamente Crescente em I ⊂ Df quando para todo x1 < x2 de I,ocorre que f(x1) < f(x2) e dita nao-Decrescente se apenas ocorre que f(x1) ≤ f(x2). Se I = Df

diz apenas que f e Crescente, Estritamente Crescente ou nao-Decrescente

ii) f e dita Decrescente ou Estritamente Decrescente em I ⊂ Df quando para todo x1 < x2 deI, ocorre que f(x1) > f(x2) e dita Nao-Crescente se apenas ocorre que f(x1) ≥ f(x2). Se I = Df

diz apenas que f e Decrescente, Estritamente Decrescente ou Nao-Crescente.

iii) Um ponto x0 ∈ Df e dito Maximo Local se existe Vx0(δ) ⊂ Df tal que f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈Vx0(δ). Nesse caso, f(x0) e dito Valor Maximo Local da f. E ainda: f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ Df , dize-mos que f(x0) e Valor Maximo Global ou simplesmente de Valor Maximo da f e denotado porMaxx∈Df

f(x) = f(x0).

Lema: Seja Vx0(δ) ⊂ Df uma vizinhanca de x0 tal que e Crescente em (x0− δ, x0) e Decrescenteem (x0, x0 + δ). Entao x0 e ponto de Maximo Local.

Exercıcio: Definir tudo acima no caso decrescente.

Funcoes Reais Elementares

a) Funcao Afim: f : R 7−→ R tal que f(x) = ax+ b, cujo grafico(x, f(x)

)∈ R2 seja uma reta

nao vertical. Ou seja, para todo x1 6= x2 ∈ R os pontos(x1, f(x1)

)e

(x2, f(x2)

)entao alinhados,

i.e.,f(x2) − f(x1)

x2 − x1e um valor constante e, nesse caso igual ao a.

a’) Caso a = 0, portanto, f(x) = b, f e uma Funcao Constante cujo grafico e uma retaparalela ao eixo-x do sistema cartesiano ortogonal.

a”) Caso a 6= 0 o seu grafico e inclinado em relacao ao eixo-x, cuja tangente do angulo θque essa faz com este, chamado de Coeficiente Angular, e a. Logo, a > 0 se θ e agudo e a < 0 seobtuso, pois θ = π/2+α, com 0 < α < π/2, ficando que a e o oposto da tangente do complementarde α. Em todo caso, a reta corta o eixo-y no ponto (0, b).

a”’) Caso a > 0 essa e Crescente e Decrescente se a < 0 (prove). Disto, para todo c < d ∈ Re f : [c, d] 7−→ R tal que f(x) = ax+ b, com a > 0, temos: c e ponto de Mınimo e, portanto, f(c) eValor Mınimo. Bem como, d e ponto de Maximo e, portanto, f(d) e Valor Maximo. Isso fica trocadocaso a < 0.

Nota: Caso b = 0, portanto, f(x) = ax, essa e dita Linear por satisfazer que ∀x1, x2, λ, β ∈ R,f(λx1 + βx2) = λax1 + βax2 = λf(x1) + βf(x2) e o seu grafico passa pela origem do sistemacartesiano.


b) Funcao Quadratica: f : R 7−→ R tal que f(x) = ax2 + bx + c, com a 6= 0, cujo grafico euma parabola com eixo de simetria paralelo ao eixo-y, tal que:

b’) O sinal de a determina o tipo de concavidade: a > 0 e Concava para Cima e a < 0Concava para Baixo.

b”) As coordenadas do Vertice (maximo, se a < 0 e mınimo, se a > 0) sao(−b2a,−∆)

4a

),

onde ∆ = b2 − 4ac.

b”’) ∆ = 0 essa so toca o eixo-x num unico ponto (raiz dupla). ∆ = b2 − 4ac > 0 em dois,

nas raızes que sao x1,2 =−b±

√∆

2a, e em nenhum se ∆ < 0

Exercıcio: a) Esboce o grafico de f(x) = x2 − x − 2, determine Im(f), regiao de Cresci-

mento e Decrescimento e mostre quef(x2) − f(x1)

x2 − x1nao e constante. Faca x2 = x1 + h e calcule

f(x2) − f(x1)

x2 − x1=f(x1 + h) − f(x1)

h.

b) Estude a sua restricao ao intervalo [−2, 3] indicando regiao de Crescimento/Decrescimentoe maximo/mınimo. O mesmo para [−2, 0], [−2, 0), e [2, 5].

c) Funcoes Elementares Trigonometricas

Radiano (rd) - e uma medida de angulo cuja unidade e o angulo central que domina um arcocongruente ao raio.

Como o comprimento da circunferencia de raio r e 2πr, ao subdividi-la igualmente em arcosde tamanhos r obtemos 2π. Assim, 360o corresponde a 2π rd e, por proporcao direta, podemosfazer a equivalencia entre as medidas em graus e radianos de qualquer angulo.

O que vamos chamar de Cırculo Trigonometrico e um cırculo de raio unitario com doisdiametros ortogonais, sendo um vertical, o eixo dos cossenos e o outro e eixo dos senos, sendoambos numerados de forma convencional cujo o centro do cırculo e o zero de ambos. O ponto decoordenada 1 no eixo dos cossenos convencionamos ser a origem dos arcos trigonometricos, .i.e,0 grau ou 0 rd ou o zero de qualquer outra medida. No sentido anti-horario as medidas saopositivas e pelo contrario sao negativas.

Assim, todo ponto no arco do cırculotrigonometrico,Q, e pensado como o final de ummovimento que comecou na origem deste e, ligando estepor um segmento ao centro do cırculo, OQ, os valorestrigonometricos, que definiremos no que segue, do anguloformado por este e o eixo positivamente numerado doscossenos, θ, permitem caracterizar o movimento, a menosde voltas ( figura ao lado).

Tambem chamamos o subconjunto do cırculo trigonometrico dado por { (x, y ); x > 0 e y > 0}de 1o Quadrante, { (x, y ); x < 0} e y > 0} de 2o Quadrante, { (x, y ); x < 0 e y < 0} de3o Quadrante e { (x, y ); x > 0 e y < 0} de 4o Quadrante.

Pelo que ja vimos, para todo 0 < θ <π

2podemos tomar

o triangulo retangulo de hipotenusa unitaria e calcular os seusvalores trigonometricos. Isto significa que para todo ponto Qno arco do primeiro quadrante os valores trigonometricos de θficam determinados pelo triangulo retangulo OQM , figura aolado. Assim, cos ( θ ) = OM = PQ e sen ( θ ) = OP = MQ.


E, a medida que o ponto Q se desloca-se sobre o arco para proximo do ponto do eixo verti-cal de ordenada 1, origem dos arcos, OM tende para 1 e MQ tende para 0, donde definimos:cos ( 0 ) = 1 e sen ( 0 ) = 0

Vale conferir que com tal definicao, formulas trigonometricas, como cos 2( 0 ) + sen 2( 0 ) = 1,continuam validas.

De forma analoga, quando o ponto Q tende para o ponto da vertical de ordenada 1, extremo

do arco de 90o ouπ

2rd, MQ tende para 1 e OM para 0, donde definimos4: sen (

π

2) = 1

e cos (π

2) = 0.

ANGULOS SUPLEMENTARES

Sejam R no arco trigonometrico tal que, figura ao lado,

m (MOR ) = θ comπ

2< θ < π e RQ a corda com Q no

arco no primeiro quadrante, construıda ortogonal ao eixo vertical.

Sabemos, pelo fato da corda RQ ser ortogonal ao raio no pontoP , que este ultimo e ponto medio, i.e RP = PQ. Neste caso OP emediana do triangulo isosceles em que OR = OQ = 1 e portantoOP tambem e bissetriz de ROQ, indicando que ROP ∼= POQ.

Sendo ambos complementares de angulos congruentes, temos que: m (RON ) = m (QOM ) =α. Donde, pela soma dos angulos internos, ja que ambos, RNO e QMO sao triangulos retangulos,acontece que ORN ∼= MQO. Agora, juntamente com fato de que OR = OQ = 1, concluımosque 4ONR ∼= 4OMQ, pelo caso ALA. Em particular, OM = ON e NR = MQ. Podemosentao afirmar que: sen ( θ ) = RN = OP = MQ = sen (α ) e cos ( θ ) = −ON = −OM =− cos (α ).

Como ainda θ = π − α, ficamos com: sen ( θ ) = sen (π − α ) = sen (α ) e

cos ( θ ) = cos (π − α ) = − cos (α ) . Isto significa que angulos suplementares possuemsenos congruentes e cossenos apenas com sinais opostos.

O caso θ = π, analoga ao que ja argumentamos antes, e definido por: sen (π ) = 0 ecos (π ) = −1.

ANGULOS EXPLEMENTARESSejam R no arco trigonometrico tal que, figura ao lado,

m (MOR ) = θ com π < θ <3π

2e RQ diametro, donde Q

fica no arco no primeiro quadrante.

Temos que m (QOM ) = m (NOR ) = α, pois estes angulossao opostos pelo vertice O. Novamente pela soma dos angulos in-ternos dos triangulos retangulos NOR e MOQ, retiramos queNRO ∼= MQO, donde, por tambem ocorrer que OR = OQ = 1,temos, caso ALA novamente, o seguinte fato: 4ONR ∼= 4OMQ.

De forma similar, 4OPQ ∼= 4OSR. Em particular OM = ON e NR = OS =OP = MQ. Neste caso, sen ( θ ) = −NR = −OS = −OP = −MQ = − sen (α ) ecos ( θ ) = −ON = −OM = − cos (α ). E, como ainda θ = π + α, ficamos com:

sen ( θ ) = sen (π + α ) = − sen (α ) e cos ( θ ) = cos (π + α ) = − cos (α ) .

Note que β e o Complemento de α, α + β =π

2, donde sen (α ) = cos (β ) e

cos (α ) = sen (β ), e ainda o Explemento de θ, i.e, θ + β =3π

2.

4A definicao atende requisitos de limite e continuidade


As formulas anteriores ficam: sen ( θ ) = sen (3π

2− β ) = − sen (α ) = −cos (β ) e

cos ( θ ) = cos (3π

2− β ) = − cos (α ) = −sen (β ) .

Isto significa que angulos Explementares possuem senos e cossenos com valores e sinaistrocados.

O caso θ =3π

2e analoga aos anteriores e definimos: sen (

3π

2) = − 1 e cos (

3π

2) = 0.

ANGULOS REPLEMENTARES

Sejam R no arco trigonometrico tal que, figura ao lado,

m (MOR ) = θ, com3π

2< θ < 2π, e RQ corda orto-

gonal ao eixo horizontal, donde Q fica no arco no primeiro qua-drante. Similar ao que ja vimos, 4QOM ∼= 4ROM dondem (MOR ) = α = m (MOQ ) e QM = MR = OP = ON .Neste caso, sen ( θ ) = −ON = −OP = − sen (α ) e cos ( θ ) =OM = cos (α ).

Como ainda θ = 2π − α, ficamos com:

sen ( θ ) = sen ( 2π − α ) = − sen (α ) e cos ( θ ) = cos (π − α ) = cos (α ) .

Como α e o Replemento de θ, i.e., θ + α = 2π, concluımos que angulos replementarespossuem valores dos cossenos iguais e dos senos com sinais opostos.

Note que no caso acima, MOR = −α, donde sen (−α ) = − sen (α ) e cos (−α ) =cos (α ). E, completamos o cırculo trigonometrico ao definirmos para θ = 2π, sen ( 2π) = 0e cos ( 2π ) = 1.

Abordaremos no que segue como as demais formula trigonometricas derivam de apenas umadelas. Escolhemos para tanto a formula do seno da diferenca, pag. 16. Assim, sejam α e β ambosagudos, com α < β. Vale a formula: sen (α − β ) = sen (α ) cos (β ) − sen (β ) cos (α ).

i) Seno da Soma: sen (α + β ) = sen (α − (−β ) ) = sen (α ) cos (−β ) − sen (−β ) cos (α ) =

sen (α ) cos (β ) − (− sen (β )) cos (α ) ∴ sen (α + β ) = sen (α ) cos(β) + sen(β) cos (α) .

ii) Cosseno da Diferenca: cos (α − β ) = sen (π

2− (α − β) ) = sen ( (

π

2− α) + β) =

sen (π

2−α) cos (β ) + sen (β ) cos (

π

2−α) ∴ cos (α − β ) = cos (α) cos (β) + sen (β) sen (α) .

iii) Cosseno da Soma: cos (α+ β) = cos (α− (−β) = cos (α) cos (−β) + sen (−β) sen (α) =

cos (α) cos (β) + (− sen (β )) sen (α) ∴ cos (α + β ) = cos (α) cos (β) − sen (β) sen (α) .

Exercıcio

1) Mostre que a definicao de radiano independe do raio do cırculo escolhido.

2) Sejam α e β angulos de um triangulo isosceles, digamos, α + 2 β = π rd. Mostre que cotg ( α ) =1

2[ tg ( β ) − cotg ( β )].

3) Mostre as seguintes identidades trigonometricas:

a) sen(α + β) + sen(α − β) = 2sen(α)cos(β) b) sen(α + β) − sen(α − β) = 2sen(β)cos(α)

c) cos(α + β) + cos(α − β) = 2cos(α)cos(β) d) cos(α + β) − cos(α − β) = 2sen(α)sen(β)

a’) sen(p) + sen(q) = 2sen(p + q

2)cos(

p − q

2) b’) sen(p) − sen(q) = 2sen(

p + q

2)cos(

p − q

2)

c’) cos(p) + cos(q) = 2cos(p + q

2)cos(

p − q

2d’) cos(p) − cos(q) = 2sen(

p + q

2)sen(

p − q

2)

e) tg(p) + tg(q) =sen(p + q)

cos(p)cos(q)f) tg(p) − tg(q) =

sen(p − q)

cos(p)cos(q)

g) cotg(p) + cotg(q) =sen(p + q)

sen(p)sen(q)h) cotg(p) − cotg(q) =

sen(p − q)

sen(p)sen(q)


FUNDAMENTOS DA TEORIA DE LIMITE

Na concepcao primordial de Numero Natural N = {0, 1, 2, 3, ...}, fatos como öito objetos

repartidos igualmente entre 4 pessoas determina dois objetos para cada uma dessas¨,

ou equivalente, tem por simbolizacao 8÷ 4 =8

4= 2 e que possui diversas equivalencias, tais como:

8 ÷ 2 =8

2= 4 ou 4 × 2 = 8. Note que o conceito matematico sobrevive em todas as culturas

que tenha definido o que e öbjeto¨, ¨repartir¨, ïgualmente¨ e o que toma por ¨pessoa¨, podendomudar o operacional. E o dito do ser pessoa, nao deve chocar ninguem, posto que, o Brasil ja viveusituacao em que o arcabouco jurıdico destinado a quem o regime tinha por pessoa nao servia denada ao acusado, precisando apelar para leis de defesa dos animais.

Sao fatos como nao haver sentido no arcabouco das concepcoes equivalentes formados por

essas anteriores paran

0e

0

0, por exemplo, os componentes da historia do zero e do longo tempo

que levou para esse ser introduzido como Numero Natural. Ja a trivialidade que sempre houve em0

n, para todo n ∈ N∗, forcava tornar tudo sem graca. E, em toda serie N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, o que

e muito da historia, tais indeterminacoes permanecem imutaveis.

Isso posto, e do que acontece, digamos assim, numa ¨ponta¨ dos Naturais. Falta do queacontece para o lado da reticencia. Ou seja, a questao do Infinito, no qual se envolve o nao contaveltanto por uma impossibilidade de concepcao cultural [quando todo membro de uma comunidadeso sabe contar ate dez, toda quantidade maior e incontavel, porquanto, ha varios ïnfinitos¨, emb-ora algumas ainda sejam rearranjavel em subquantidades contaveis], quanto pelo nao-realizavel nosentido lato.

Como cultura grega antiga e a base essencial aqui, o culminante no tema infinito e Os Ele-mentos de Euclides (≈ 300 a.C), no qual ja constava, portanto, referenciava o ensino formal, queuma quantidade era nao-finita quando para dada qualquer quantidade finita dessa ainda deixariaalgum componente fora dessa contagem. E aparecia em tres questoes cruciais:

a) a reta como segmento extendıvel indefinidamente em ambas as direcoes;

b) duas retas de um mesmo plano sao paralelas quando nao se intersectam. Isso significa quepartindo de dois segmentos e fazendo-os extender indefinidamente nao aparece interseccao, mesmoquando deixam de ser finito. Mas, quando deixam de ser finito?

c) ser nao-finita a quantidade de numeros primos (p ∈ N e primo quando os seus unicos divisoressao 1 e p).

E aqui ensino formal denota o que pode ser tratado em sala de aula e determinar o processoavaliativo. Jamais o unicamente a ser trabalhado por uma razao muito simples: tudo isso compoeo que ja se sabe, faltando desenvolver o que nao e conhecido (inovacao). Porquanto, essesfatos citados sao baseados na formalizacao do finito e nao no que viesse ser uma quantidade infinita.Ou seja, prova-se que a quantidade de numero primos, por exemplo, nao pode ser finita.

Tanto era assim que um dos axiomas euclidiano e o todo sempre ser maior do que qual-quer parte sua, quando se sabia que os Pares, por exemplo, embora fosse uma parte propria (hanatural que nao e Par), era uma quantidade nao-finita tanto quando os Naturais. Bem como, todoconhecimento matematico da epoca estava centrado e focado na finitude e, no maximo, tocandono nao-finito apenas por uma questao pratica de nao conseguirem reduzirem ao finito, jamais porconcepcao do que viesse ser formalmente uma quantidade infinita.

E, voltando a cultura cuja contagem seja limitada a dez objetos, surge um problema paraquem concebeu ser possıvel contar alem disto e que, esclareco mais uma vez, nao acho ser nadaassim aplicavel ao avaliativo comum. Como explicar isso aos demais? Que estrategias podem leva-los refletir nisso? Como incorporar isso na cultura, porquanto, desenvolver metodo de ensino eaprendizagem?


Esse dado, de que a matematica na Grecia Antiga tentava tangenciar-se ao maximo daquestao do infinito, deixa claro haver ate uma profunda ojeriza cultural nesse tema. De fato, a fini-tude tornara-se ate obsessao entre os pitagoricos, os quais representavam, diria que dominavam, ofazer matematico. E de todos que trataram a questao do infinito foi o filosofo-matematico, emboranessa epoca nao havia tal distincao, Zenao de Eleia ( ≈ 450a.c). E o metodo mais eloquenteque usou para propagar a questao foi anunciar que Aquiles, entao sımbolo da ligeireza humana,perderia uma corrida para uma tartaruga. Embora, como quase tudo deste tempo, detalhadamenteo que de fato ele queria se perdeu, o inacreditavel e que tenha feito isso para combater as ideias deinfinitude. Posto que, isso estaria de conformidade com a cultura da epoca e a quem assim procedenao passa para humanidade como um louco varrido, como foi o seu caso. Alem disso, o formalismode Calculo que surgiu cerca de 2000 depois lhes deu toda razao (leia informe pag.??).

Uma (re)leitura de questionamento de Zenao e a seguinte: Considere um ponto imaterialchamado Aquiles e um outro chamado de tartaruga, ambos numa mesma reta e separados por umcerto espaco, sendo que estes andam no mesmo sentido. O ponto Aquiles, antes de andar todo opercurso que o separa do ponto tartaruga, tem que primeiro percorrer a metade deste, assim comoantes de andar a metade restante, tem que percorrer a metade desta e assim sucessivamente. SendoAquiles um ponto imaterial, este devera percorrer infinitas metades. Porem, se tudo for dentro deum quantitativo finito, como defendiam os pitagoricos que se opunham a esse, Aquiles nao conseguevencer nem todas essas metades do que o separa do ponto tartaruga, quanto mais ultrapassar este.

Vejamos um formalismo matematico que isso produz. Considere o segmento de reta AB comAB = 1unidade. Um ponto se deslocando de A sobre este na direcao de B, percorrendo metade

do que falta em cada vez, o total percorrido e: ∆ =1

2+

1

4+

1

8+ · · ·

A B| || | |

12

14

18

O primeiro fato obvio e que ∆ ≤ 1. Supor que ∆ < 1 tambem nao e possıvel, posto que,em algum momento, pela forma na qual o ponto desloca e a imaterialidade deste, o total vai

superar este valor. Portanto, uma conclusao possıvel e que ∆ =1

2+

1

4+

1

8+ · · · = 1. Ou seja:

nao foi calculado no sentido classico ate entao ser precisamente 1, mas que nao sendomaior e nem menor do que 1, fica admitido como verdadeiro ser 1. Portanto, inseridotal processo como metodo matematico.

Algumas consequencias desta concepcao de Calculo:

a) E possıvel que a soma de uma quantidade nao-finita seja um valor finito;

b) Simbolizando, como ja fizemos aqui, uma quantidade infinita por ∞, temos: ∆ =1

2+

1

4+

1

8+ · · · =

∞∑

n=1

1

2n= 1.

c) Concebido o que alguns chamam de naturais extendido, N = {0, 1, 2, 3, . . . ,∞}. Tudo avancapara Z = {−∞, · · · ,−2,−1, 0,+1,+2, · · · ,+∞} = Z

⋃{−∞,+∞}, Q = Q⋃{−∞,+∞}, R =

R⋃{−∞,+∞}. E o operatorio basico fica o seguinte: (+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) =

−∞, (+∞) × (+∞) = (−∞) × (−∞) = +∞, (+∞) × (−∞) = (−∞) × (+∞) = −∞. E casoscomo (±∞) − (±∞), (±∞) ÷ (±∞), (0) × (±∞)? De princıpio, sao indefinidos. E ha um porem:o infinito que acompanha R, nao e necessariamente da mesma natureza dos demais subconjuntosseus. Pesquise Teoria dos Transfinitos de Georg Cantor (Informes pag. ??,??).

Alguns exemplos desse novo metodo de Calculo

a)Via Produto Notaveis/Fatoracao- Considere f(x) =x2 − 1

x− 1, com Df = R − {1}. Note

que em x = 1 surge a indeterminacao0

0. O ideario de Zenao diz que se houver algo de interessante,

deve aparecer quando se estuda essa para valores de x ∈ R proximo de 1 e diferente deste, i.e.,x ≈ 1 e x 6= 1. Nesse caso x− 1 6= 0 e portanto, a seguinte algebra e legıtima:


x2 − 1

x− 1=

(x− 1)(x+ 1)

x− 1= x+ 1 e x ≈ 1 ⇐⇒ x+ 1 ≈ 2.

Ficando duas certezas: Para x ≈ 1 e x > 1, f(x) > 2 e para x ≈ 1 e x < 1, f(x) < 2. Logo,para valores de x proximo de 1, f(x) nao e maior ou menor do que 2. Portanto, pelo defendido por

Zenao, o limite de f(x) quando x tende a 1 e 2 e denota-se isso por: limx→1

f(x) = 2 .

Portanto, o Limite nao resulta necessariamente por calcular o valor da funcao no ponto, masde um processo de calculo que acontece numa vizinhanca desde. Embora, dependendo da situacao,possa resultar no mesmo. Posto que, para g(x) = x2 + 1, por exemplo, g(2) = 5 e x ≈ 2 ⇐⇒

x2 + 1 ≈ 5 o que resulta limx→2

g(x) = 5 = g(2). Porem, fazendo h(x) =

x2 − 1

x− 1, se x 6= 1

10, se x = 1,

temos que h(1) = 10, por definicao, enquanto limx→1

h(x) = 2, pelo o feito anteriormente.

Exercıcio - a) limx→−1

x2 − 1

x + 1b) lim

x→1

x3 − 1

x − 1c) lim

x→−1

x3 + 1

x + 1d) lim

x→1

x4 − 1

x − 1e) lim

x→1

x3 + 3x − 4

x − 1

f) limx→1

x2 + 3x − 4

2x2 − x − 1g) lim

x→2

x3 − 8

x2 + x − 6h) lim

x→1

x3 − x2 − x + 1

x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + 4

UESPI/2009/ Questao 28 - Qual o valor do limite limx→2

x3 − 8

x2 + x − 6A) 0 B) 1 C) 2 D) 12/5 E) 3Fonte: http://nucepe.uespi.br/downloads/ProvaIII Matematica Fisica.pdf, acesso jan/10

b) Via o Fator Conjugado - Seja calcular limx→1

√x− 1

x− 1, cujo valor da expressao em x = 1 re-

sulta na indeterminacao0

0. Para x ≈ 1 e x 6= 1, vale

√x− 1

x− 1×√x+ 1√x+ 1

=x− 1

(x− 1)(√x+ 1)

=1√x+ 1

Assim, x ≈ 1 ⇐⇒ 1√x+ 1

≈ 1

2, i.e., lim

x→1

√x− 1

x− 1=

1

2

Exercıcio - a ) limx→1

√x + 2 −

√3

x − 1b) lim

x→1

3√

x − 1

x − 1c) lim

x→1

√x − 1

3√

x − 1d) lim

x→0

3√

x + 1 − 1

x

UESPI/2010- Questao 29 - Qual o valor do seguinte limite limx→0

√1 + 8x − 1

x?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0Fonte: http://nucepe.uespi.br/downloads/provaiii matematica fisica 2010.pdf, acesso jan/10

UFPI - PSIU 2006 (3a Serie Pag. 10 de 20) - Questao 24 - Seja f : R+ − {2} 7−→ R definida por f(x) =

3√

x − 3√

2√x −

√2

. Entao, sobre o limite limx→2

f(x) e correto afirmar:

A) e igual a 1 B) nao existe C) e igual a -1 D) e igual a2√

2

3 3√

4E) e igual a

3 3√

4

2√

2Fonte: www.ufpi.br/copese/prova032006.pdf, acesso fev/10

UFS/2004/(UNFSE-04-3S)3a Serie - Questao 10 - Analise as proposicoes que seguem:

0 0 - O valor de limx→4

x − 4√x − 2

e 4.

1 1 - Se limx→2

(mx + t) = −3 e limx→−3

(tx + m) = 2, entao m + t = −2

2 2 - O valor de limx→1

(3x − 4)201 e 1. 3 3 - Calculando limx→π

sec x, obtem-se 1.

4 4 - O valor de limx→+∞

x + 2

3x − 4e

1

3Fonte: www.ccv.ufs.br/ccv/concursos/pss2004/provas/prova32004.pdf, acesso fev/10

UFS/2008 - Questao 08 - Use o polinomio f = (a2 − b2)x4 + (a− b)x3 + (a + b)x2 + (a− b)x + ab, em quea e b sao coeficiente reais, para analisar a veracidade das afirmacoes abaixo:[...]4 4 - Considerando que a e b sao tais que a + b = 0, a.b = −4 e a > b, entao se f(x) e o valor da funcaopolinomial associada a f , tem-se que lim

x→−1f(x) = −4.

Fonte: www.ccv.ufs.br/ccv/concursos/resultado2008/Estatisticas/estat2008/Provas/Prova-

PSS-3S.pdf, acesso fev/10


CONCEITUANDO LIMITE DE UMA FUNCAO NUM PONTO E FINITO

No caso em se tenha uma funcao de domınio real com valores reais, f : Df ⊂ R 7−→ R, oarcabouco anterior pode ser lido da seguinte forma: tentar determinar atraves da f um valor quedependa dos valores x ∈ Df proximos de um fixado p, o qual, conforme definido na pag. 22, e pontoInterior ou de Fronteira de Df . Isso significa que f(p) nao precisa necessariamente ser definidaneste e nem quando ocorrer seja esse o valor procurado. Quando o domınio da f for [a, b], (a, b),[a, b) ou (a, b], os pontos p ∈ [a, b] sao os que dizemos ser proximo do domınio de f .

E se for provado que os valores de f(x) estao todos proximosde um determinado valor L ∈ R quando x ∈ Df fica proximode p, chamamos L de Limite da funcao no ponto p. Como se fazformalmente para dizer que um valor real x e proximo, dado queisso depende de interpretacoes pessoais? Considerando que |x −p| < δ, para δ > 0 especificado. Logo, o dito pode ser formalizadoassim: Dizemos que o limite da funcao f em um ponto p e L quandopara todo δ > 0 e sempre que |x− p| < δ, fica determinado ε > 0,que pode depender de δ, tal que |f(x)−L| < ε. Isso e simbolizadopor lim

x→pf(x) = L. E mais: uma vez satisfeito, esse valor e

unico.

Todos os pontos do grafico(x, f(x)) estao no retangulo aberto(p − δ, p + δ) × (L − ε, L + ε)

Ou seja, o que isso formaliza e que quando para todo ε > 0 e possıvel mostrar queL − ε < f(x) < L + ε, admite-se que o valor do limite da funcao e L. No ¨e possıvel mostrar¨ hauma serie de fatores e um dos resultados mais fundamentais e o seguinte:

Lema - limx→a

f(x) = L⇐⇒ limx→a

|f(x) − L| = 0

Operacoes com Limites - Suponha que limx→a

f(x) = L1, limx→a

g(x) = L2, λ e β ∈ R.

a) limx→a

[λ× f ± β × g](x) = λ× limx→a

f(x) ± β × limx→a

g(x) = λ× L1 ± β × L2

b) limx→a

[f × g](x) = limx→a

f(x) × limx→a

g(x) = L1 × L2.

c) limx→a

[fg

](x) =

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)=L1

L2, desde que L2 6= 0.

d) Suponha que limx→L2

f(x) = L. Entao limx→a

[f ◦ g](x) = limx→a

f(g((x)

)= L

Teorema do Confronto - Sejam f, g, h funcoes tais g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), para valores de xproximos de a, com lim

x→ah(x) = lim

x→ag(x) = L. Entao, lim

x→af(x) = L.

Limite Trigonometrico Fundamental 1 - limx→0

sen(x)

x= 1 ou lim

f(x)→0

sen(f(x)

)

f(x)= 1

Considere x em radianos, positivo e suficientemente pequeno. Portrigonometria sabe-se que AD = sen(x), a medida do arco BD = x eBC = tg(x). Por inspecao, temos: sen(x) < x < tg(x) ⇐⇒ tg(x) <1

x<

1

sen(x). Como essas hipoteses indicam sen(x) > 0, a multiplicacao

de toda expressao por esse resulta em cos(x) <sen(x)

x< 1. Desde que

limx→0

cos(x) = 1, o resultado segue pelo Teorema do Confronto.

Limite Trigonometrico Fundamental 2 - limx→0

cos(x) − 1

x= 0 ou lim

f(x)→0

cos(f(x)

)− 1

f(x)= 0

Sol.cos(x) − 1

x×cos(x) + 1

cos(x) + 1=

(cos(x) − 1) × (cos(x) + 1)

x(cos(x) + 1)=

cos2(x) − 1

x(cos(x) + 1)= − sen2(x)

x(cos(x) + 1)=

−sen(x)

x× sen(x)

cos(x) + 1. E temos que: lim

x→0

sen(x)

x= 1 lim

x→0sen(x) = 0 e lim

x→0cos(x)+1 = 2, indicando

o resultado.


Lema - Suponha que limx→a

f(x) = 0 e g(x) limitada. Entao limx→0

f(x) × g(x) = 0

Exemplo. limx→0

x2 sen(1

x) = 0. Pois, |sen(

1

x)| ≤ 1 e lim

x→0x2 = 0

Exemplo: limx→0

sen(1

x) nao existe. Pois, a existencia do limite significa que, independente da forma

com que os valores de x se aproximam do 0, o resultado e o mesmo valor. E fazendo xn =1

nπ,

temos xn −→ 0, quando n = 1, 2, 3, ..., e sen(xn) = 0. Entretanto, para xm =1

π2 +mπ

−→ 0,

quando n = 1, 2, 3, ..., ocorre que sen(xm) = ±1.

Calculo de Limite por Mudanca de Variavel - Aplicacao da regra d) anterior.

Ex1 - Calcular limx→π

sen(x− π)

x− π. Fazendo u = x− π, temos que x → π ⇐⇒ u → 0 e, portanto,

limx→π

sen(x− π)

x− π= lim

u→0

sen(u)

u= 1.

Ex2 - Calcular limx→0

sen(3x)

x. Fazendo u = 3x ∴ x =

u

3, temos que x→ 0 ⇐⇒ u→ 0 e, portanto,

limx→0

sen(3x)

x= lim

u→0

sen(u)u

3

= limu→0

3sen(u)

u= 3

Ex3 - Calcular limx→1

√x− 1

x− 1. Fazendo u2 = x, temos que x → 1 ⇐⇒ u → 1 e, portanto,

limx→1

√x− 1

x− 1= lim

u→1

√u2 − 1

u2 − 1= lim

u→1

u− 1

(u− 1)(u+ 1)= lim

u→1

1

u+ 1=

1

2.

Ex4 Calcular limx→0

√1 + 8x − 1

xfazendo u2 = 1 + 8x

Provar que limx→2

x2 = 4.

O requerido e que, dado ε > 0, determinar δ > 0 tal que: |x−2| < δ garanta que |x2−4| < ε.Para tanto note que |x2 − 4| = |x− 2||x+ 2| e, por exemplo, fazendo δ = 1, |x− 2| < 1 ⇐⇒ 2− 1 <

x < 2 + 1 = 3 ⇐⇒ 3 < x + 2 < 5 =⇒ |x + 2| < 5 (*). Por isso, tomando-se δ < min{1, ε5} fica

garantido que δ <ε

5e tambem δ < 1, assegurando ocorrer (*).

Logo, Sempre que |x− 2| < δ ocorre que |x2 − 4| = |x− 2||x+ 2| < ε

55 = ε, como esperado.

Lema - limx→a

f(x) = L⇐⇒ limx→a

[f(x) − L] = 0 ⇐⇒ limx→a

|f(x) − L| = 0

Lema - Suponha que f(x) > 0, ∀x ∈ (a− δ, a) ∪ (a, a+ δ). Entao, se existir, limx→a

f(x) ≥ 0

Unicidade do Limite - Quando existe, limx→a

f(x) = L e unico.

Prova: Suponha que limx→a

f(x) = L1 e limx→a

f(x) = L2 com L1 6= L2. Tome ε =|L2 − L1|

2. Nesse

caso existem δ1 e δ2 ∈ R+ tal que |x − a| < δ1, implica |f(x) − L1| < ε e |x − a| < δ2, implica|f(x) − L1| < ε.

Fazendo δ = Min{δ1, δ2}, |x − a| < δ, temos: |L2 − L1| = |L2 − f(x) + f(x) − L1| ≤|L2 − f(x)| + |f(x) − L1| < ε + ε =

|L2 − L1|2

+|L2 − L1|

2= |L2 − L1|, o que e uma contradicao.

Logo, o limite e unico.


A NAO EXISTENCIA DE LIMITE

E uma formulacao para mostrar que a funcao f nao tem limiteL ∈ R num ponto p ∈ R e verificar que: dado ε > 0, supondoε ≤ ε0, existe δ > 0, tambem supondo δ ≤ δ0, tal que para algumx ∈ (p− δ, p+ δ) ocorre que f(x) /∈ (L− ε, L+ ε). E possıvel haver pontos do grafico

(x, f(x)) fora do retangulo aberto (p −δ, p + δ) × (L − ε, L + ε)

Ex. Mostrar que a f(x) =

{1, se x ∈ Q0, se x ∈ R/Q nao tem limite em ponto algum p ∈ R.

Um conceito fundamental nisso e a densidade em R tanto dos racionais quanto dos irra-cionais. Essa diz que para todo x0 ∈ R e δ > 0 no intervalo (x0−δ, x0+δ) ha pontos de coordenadasracionais e irracionais. Ou seja, existe x1 ∈ Q ∩ (x0 − δ, x0 + δ) e x2 ∈ R/Q ∩ (x0 − δ, x0 + δ). Defato, ha em todo intervalo uma infinidade de ambos os tipos.

Assim, fixado p ∈ R, se tal L existisse deveria ser: L > 1 ou L = 1 ou 0 < L < 1 ou L = 0ou L < 0. Vamos provar que nenhum desses e possıvel.

a) Suponha L > 1. Tome, por exemplo, ε =L− 1

2. Neste caso, L− ε = L− L− 1

2=L+ 1

2> 1.

Ou seja, o intervalo (L− ε, L+ ε) ⊂ (1,+∞) e, portanto, qualquer seja δ e todo x ∈ (p− δ, p+ δ),uma vez que f(x) = 0 ou 1, f(x) /∈ (L−ε, L+ε). Ou seja, nenhum tal L pode ser limite da f em tal p

b) Suponha L = 1. Tome, por exemplo, ε = 1. Neste caso, L−ε = 1−1 = 0. Ou seja, o intervalo(L− ε, L+ ε) ⊂ (0,+∞) e, portanto, qualquer seja δ e todo x ∈ (p− δ, p+ δ) ∩R/Q, uma vez quef(x) = 0, f(x) /∈ (L− ε, L+ ε). Ou seja, nenhum tal L pode ser limite da f em tal p

c) Suponha 0 < L < 1. Tome, por exemplo, ε = Min{L, 1 − L}. Neste caso o intervalo(L−ε, L+ε) ⊂ (0, 1) e, portanto, qualquer seja δ e todo x ∈ (p−δ, p+δ), uma vez que f(x) = 0 ou 1,f(x) /∈ (L− ε, L+ ε). Ou seja, nenhum tal L pode ser limite da f em tal p

Os demais casos sao analogos, ficando para o leitor.

FUNCAO CONTINUA - Uma funcao f e dita ser Continua num ponto a ∈ Df quandolimx→a

f(x) = f(p). E Contınua quando for em todo ponto do seu domınio. Isto significa que o grafico

de uma funcao contınua nao apresenta salto em ponto algum.Exercıcio - Esbocar o grafico das seguintes funcoes descontınuas

a) Funcao maior inteiro: f(x) = [x] = n ∈ Z tal que n− 1 < x ≤ n.

b) f(x) =

{x+ 3, se x > 2x2 − x, sex ≤ 2

c) f(x) =

−x+ 1, se x > 2x+ 2, se 0 < x ≤ 2x2 − 9, se x ≤ 0

d) [Funcao Sinal] f(x) =

1, se x > 00, se x = 0

−1, se x < 0

Operacoes basicas com Funcoes contınuas - Sejam f e g contınuas em a e λ e β ∈ R.

a) [λ f ± β g] e contınua em a. b) [f × g] e contınua em a.

c)[fg

]e contınua em a, desde que g(a) 6= 0.

d) Se h e contınua em b = f(a), entao h ◦ f e contınua em a.

NOTA: Em algumas situacoes, como no caso da funcao sen, por exemplo, nao ques-tionaremos continuidade quando isso ja ficou definido na sua construcao. Assim comoem outras ¨omissoes¨, deixamos para o leitor provar.


DERIVADA

Desde da Grecia Antiga que se sabia que da infinidade de retas quepassam po um ponto de uma circunferencia ha apenas uma que contaapenas nesse, que foi denominada de Reta Tangente, e as demais de RetaSecante. E ainda havia um metodo simples para de determina-la. Bas-tava tracar a reta que passa por esse ponto e o centro da circunferenciae tracar, pelo ponto dado, a reta ortogonal desta.

E o mesmo os matematicos antigos buscaram para outras figuras. E a formulacao atualnasce do seguinte: dado um ponto

(p, f(p)

)do grafico de uma funcao f por esse passam infinitas

retas. E se o grafico proximo desse for suave, tal como um pedaco de parabola, por exemplo, umadessas se destaca por passar tangenciando ao grafico, que e chamada de Reta Tangente.

A Geometria Euclidiana diz que uma reta precisa de dois dos seus pontos para ser deter-minada. E Analıtica indica que dados dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) de uma reta, nao-paralela ao

eixo-y, todo ponto (x, y) dessa satisfaz a equacao:y − y1

x− x1=y2 − y1

x2 − x1= tg θ = m, onde θ e o angulo

que a reta faz com o eixo-x e a sua tangente, m, e o Coeficiente Angular. Ante isso, temos que aequacao da reta e y − y1 = m(x − x1) ∴ y = m(x − x1) + y1. Ou seja, precisa de um ponto e docoeficiente angular.

Foi neste ponto que entrou pessoas geniais, tais como Galileu Galilei (1564 - 1642), Pierrede Fermat (1601 - 1665), Sir Isaac Newton (1643 - 1727), Gottfried Wilhelm von Leibniz(1646 - 1716), Rene Descartes ( 1596 - 650), assim como tantos outros, e todos ampliando o queestavam preceituados na Filosofia de Zenao. E o que foi sistematizado e o seguinte: Como so edado um ponto do grafico, tome, para h ' 0, outro ponto deste

(p + h, f(p + h)

). Agora a reta

que possa por esses dois ponto e Secante ao grafico, tendof(p+ h) − f(p)

hpor Coeficiente angular,

tambem conhecido por Quociente de Newton. O qual em h = 0 e a indeterminacao0

0.

E caso limh→0

f(p+ h) − f(p)

hexista, esse valor

sera, concordando com a ideia geometrica de movera reta secante para posicao tangente mantendo-afixa em

(p, f(p)

), atribuıdo ao coeficiente angular

da reta tangente em(p, f(p)

). Esse limite especial

recebe o nome de Derivada da funcao no ponto

p e algumas das duas notacoes sao: f ′(p),df

dx(p) e

df

dx

∣∣x=p

.

Nota: fazendo h = x− p, entao limh→0

f(p+ h) − f(p)

h= lim

x→p

f(x) − f(p)

x− pe ainda, caso exista

a derivada no ponto p, a equacao da reta tangente e y − f(p) = f ′(p)(x− p)

Derivada de Funcoes Elementares

a) Funcao Constante: f(x) = c ∈ R para todo x ∈ Df . limh→0

f(p+ h) − f(p)

h= lim

h→0

c− c

h= 0.

Entao f ′(p) = 0, ∀p ∈ Df .

b) Funcao Afim: f(x) = ax+b. limh→0

f(p+ h) − f(p)

h= lim

h→0

a(p+ h) + b− (ap+ b)

h= lim

h→0

ah

h=

a. Entao f ′(p) = a, ∀p ∈ Df . E dado que o grafico da f e uma reta de coeficiente angular a, emtodo ponto a sua reta tangente coincide com esta e, portanto, tem o mesmo coeficiente angulardesta.


c) f(x) = x2,f(p+ h) − f(p)

h=

(p+ h)2 − p2

h=p2 + 2hp+ h2 − p2

h=

2hp+ h2

h= 2p + h. E

limh→0

f(p+ h) − f(p)

h= lim

h→0[2p+ h] = 2p. Entao, f ′(p) = 2p, ∀p ∈ Df .

d) f(x) = x3,f(p+ h) − f(p)

h=

(p+ h)3 − p3

h=p3 + 3hp2 + h(3hp+ h2) − p3

h=

3hp2 + h(3hp+ h2)

h= 3p2 + 3hp + h2. Assim, lim

h→0

f(p+ h) − f(p)

h= lim

h→0[3p2 + 3hp + h2] = 3p2.

Entao, f ′(p) = 3p2, ∀p ∈ Df .

Os exemplos anteriores ilustram o caso geral: Para cada n ∈ N a derivada da funcao

f(x) = xn, ∀p ∈ Df e f ′(p) = npn−1 . Pois, ∀n > 0 :

f(p+ h) − f(p)

h=

(p+ h)n − pn

h=pn + nhpn−1 + h(

(n2

)hpn−2 + · · · + hn−1) − pn

h= npn−1 +

(n2

)hpn−2 + · · · + hn−1 e, portanto, lim

h→0[npn−1 +

(n

2

)hpn−2 + · · · + hn−1] = npn−1

e) f(x) = sen(x),sen(p+ h) − sen(p)

h=sen(p)cos(h) + sen(h)cos(p) − sen(p)

h=sen(h)

hcos(p)+

sen(p)cos(h) − 1

h.

Pelos os limites trigonometricos fundamentais, limh→0

sen(h)

hcos(p)+sen(p)

cos(h) − 1

h= cos(p).

Isto e, sen′(p) = cos(p) . Um calculo analogo (faca) mostra que cos′(p) = −sen(p)

Nota: Seja Df ′ = {x ∈ Df ; f ′(x) existe} o conjunto dos ponto em que uma funcao f e derivavel.

Fica definida entao a funcaof ′ : Df ′ −→ R

x 7−→ f ′(x)

Exercıcio:

1) Calcule pela definicao a derivada das funcoes nos pontos indicados e a equacao da reta tan-gente nesse ponto:

a) f(x) = x2 − 3x e x = 1 b) f(x) =1

xe x = 3 c) f(x) = tg(x) e x =

π

4d) f(x) = sec(x) e x =

π

6e) f(x) =

√x e x = 2 f) f(x) =

x+ 1

x+ 3e x = −2

2) Determine a e b sabendo que y = 2x+1 e a reta tangente de f(x) = ax2+bx+4 em (1, f(1)).

Operacoes com funcoes derivaveis - Suponha f(x) e g(x) derivaveis. Entao, no domınioapropriado, valem:

P1 :(λ f ± β g

)′(x) = λ f ′(x) ± β g′(x), ∀ λ, β ∈ R.

Pois,[λ f ± β g](p+ h) − [λ f ± β g](p)

h=λ [f(p+ h) − f(p)] ± β [(g(p+ h) − g(p))]

h=

λf(p+ h) − f(p)

h± β

g(p+ h) − g(p)

h.

Logo, limh→0

[λ f ± β g](p+ h) − [λ f ± β g](p)

h= λ lim

h→0

f(p+ h) − f(p)

h±β lim

h→0

g(p+ h) − g(p)

h=

λ f ′(p) ± β g′(p).

P2 : Em particular(λ× f

)′(x) = λ× f ′(x), para todo λ ∈ R.

Assim:(an x

n + an−1 xn−1 +· · ·+ a1 x + a0

)′= n×an x

n−1 + (n−1)×an−1 xn−2 +· · ·+ a1


Exercıcio - Calcule a derivada das seguinte funcoes:

a) f(x) = −5x4 + 3x3 + x2 b) f(x) = sen(x) + cos(x) c) f(x) = −5x3 −√

5 x2 + 5

d) f(x) = −6x4 + x3 − 3x2 e) f(x) = 4√

3 x2 + 1/6 x3

P3 - Regra de Leibniz - Esse e um dos pontos cruciais do Calculo Diferencial e uma dasHistoria da Ciencia das mais determinantes no que envolveu os matematicos Newton e Leibniz.Pois, isso desde os pioneiros que estudaram o tema, o mais esperado, digamos que natural ate, quea derivada de um produto fosse o produto das derivadas dos fatores, revelou-se falsa. Posto que, porexemplo, x2 = x.x e enquanto a derivada da potencia e 2x a de cada fato e 1, sendo que 2x 6= 1.1.Ocorrendo com isso ficar de um lado quem tem meios outros de derivar um produto e de outroquem nao acha ser isso tao legıtimo e prescindir ou nao de outras formulacoes.

Antes isso Leibniz concebeu a seguinte algebra para o quociente de Newton de produto defuncoes:

f(p + h) × g(p + h) − f(p) × g(p)

h=

f(p + h) × g(p + h) − f(p) × g(p + h) + f(p) × g(p + h) − f(p) × g(p)

h=

f(p + h) − f(p)

h×g(p+h)+

g(p + h) − g(p)

h×f(p). A qual, depois de aplicado o limite com h→ 0, produz:

(

f × g)′

(x) = f ′(x) × g(x) + f(x) × g′(x)

Ante isso, por exemplo,(x2

)′= 2x e

(x.x

)′= x′.x + x.x′ = x + x = 2x, portanto, e nada

surpreendente como tudo fica depois que se sabe, coincidem.

Note que a Regra de Leibniz vale para qualquer quantidade finita. Isto e:

( n∏

i=1

fi(x))′

= f ′1(x)f2(x) . . . fn(x) + · · · + f1(x)f2(x) . . . f′n(x) =

n∑

k=1

f ′k(x)n∏

i=1,i6=k

fi(x)

Exemplos:

a) x3 = x2.x = x.x.x e(x3

)′= 3x2. Verifique isso pela regra de Leibniz nos dois produtos. Idem

para x4 = x3.x = x2.x2 = x.x.x.x

b)(x2sen(x)

)′=

(x2

)′sen(x) + x2

(sen(x)

)′= 2x sen(x) + x2 cos(x)

c)(x sen(x)cos(x)

)′= x′ sen(x) cos(x) +x sen′(x) cos(x) +x sen(x) cos′(x) = sen(x) cos(x) +

x cos2(x) − x sen2(x).

A regra de Leibniz diz novamente que(xn

)′= nxn−1 e que vale tambem para n ∈ Z. Posto

que, temos xn.x−n = 1 e derivando essa igualdade, supondo n > 0 obtemos: 0 =(xn.x−n

)′=

nxn−1x−n + xn(x−n

)′= nx−1 + xn

(x−n

)′∴

(x−n

)′= −nx−n−1.

P4 :(fg

)′(x) =

f ′(x) × g(x) − f(x) × g′(x)[g(x)]2

, onde g(x) 6= 0. E um caso particular da anterior

e, portanto, usa a mesma algebra (faca.)

Note que para n ∈ N,(x−n

)′=

( 1

xn

)′=

1′.xn − nxn−1

(xn)2=

−nxn−1

x2n= −nx−n−1

Vamos usar essa para obtemos as derivadas nos seguintes casos:

a) f(x) = tg(x). tg′(x) =(sen(x)

cos(x)

)′=sen′(x)cos(x) − sen(x)cos′(x)

cos2(x)=cos2(x) + sen2(x)

cos2(x)=

sec2(x).


b) f(x) = sec(x). sec′(x) =( 1

cos(x)

)′=

1′ cos(x) − cos′(x)cos2(x)

=sen(x)

cos2(x)=

1

cos(x)

sen(x)

cos(x)=

sec(x) tg(x).

Exercıcio - Calcular a derivada das seguintes funcoes

a) f(x) = cotg(x) b) f(x) = cossec(x) c) f(x) =x2

sen(x)d) f(x) =

x2 sen(x)

x2 + 1

Lema - Toda funcao derivavel num ponto P e contınua em ponto

Prova: Suponha f derivavel em p, i.e., limh→0

f(p+ h) − f(p)

h= lim

x→p

f(x) − f(p)

x− p= f ′(p), por-

tanto, f ′(p) e um valor determinado. Antes isso, limx→p

f(x)− f(p) = limx→p

f(x) − f(p)

x− p× (x− p) = 0,

dado que limx→p

(x−p) = 0. Logo, limx→p

f(x) = f(p) e, portanto, f e continua em x = p. Disto, se f nao

e contınua em p, entao f ′(p) nao existe. Depois veremos caso em que f e continua mais nao derivavel.

P5 REGRA DA CADEIA - De uma feita que a derivada do produto nao e necessariamente oproduto das derivadas, coloca-se o problema de haver situacao cuja derivacao resulte em produto dederivadas. Quem revelou assim acontecer foi a derivada da composta. E, Sejam f : A ⊂ R 7−→ B ⊂ Re g : B ⊂ R 7−→ C ⊂ R, tal que f e derivavel em x = p e g derivavel em y = q = f(p), entao

[g ◦ f ]′(p) = limh→0

g(f(p + h)) − g(f(p))

h=

limh→0

g(f(p + h)) − g(f(p))

f(p + h) − f(p)× f(p + h) − f(p)

h.

Fazendo w = f(p+h)−f(p) ∴ f(p+h) = f(p)+w.Pela continuidade de f em p, w → 0 quando h → 0,

temos: [g ◦ f ]′(p) = limh→0

g(f(p) + w)) − g(f(p))

w×

f(p + h) − f(p)

h= g′(f(p)) × f ′(p)

Af(p)

f ′(p)// B

g(q)

g′(y)// C

p // q = f(p) // g(q) = g(f(p)

)

A(g◦f)′(p))=f ′(p)×g′(f(p))

// C

Exemplo - Calcular h′(1) onde h(x) = (x2 +1)3. Note que h(x) = (x2 +1)3 = x6 +3x4 +3x2 +1,onde h′(x) = 6x5 + 12x3 + 6x e, portanto, h′(1) = 24. Agora, fazendo f(x) = x2 + 1 e g(y) = y3,temos que h(x) = g

(f(x)

)e f(1) = 2. Sendo que f ′(x) = 2x ∴ f ′(1) = 2 e g′(y) = 3y2 [y vista

como uma variavel independe] ∴ g′(2) = 12. Logo: g′(2) × f ′(1) = 12 × 2 = 24 = h′(1).

E num ponto generico, sabendo-se que y = f(x), temos: g′(y) × f ′(x) = 3y2 × 2x =3(x2 + 1)2 × 2x = 3(x4 + 2x2 + 1) × 2x = 6x5 + 12x3 + 6x = h′(x).

Notacao: Supondo h(x) = g(f(x)) e fazendo u = f(x),dh

dx

∣∣x=x0

=dg

du

∣∣u=f(x0)

du

dx

∣∣x=x0

Ante essa as derivacoes basicas ficam:

a) [f(x)n]′ = n(f(x)

)n−1.f ′(x)] b) sen′(λx) = (λx)′ × cos(λx) = λcos(λx), ∀λ ∈ R

c) [sen(f(x))]′ = f ′(x).cos(f(x)) d ) cos′(λx) = −(λx)′ × sen(λx) = −λsen(λx), ∀λ ∈ Re) [cos(f(x))]′ = −f ′(x).sen(f(x))

Note que ∀n ∈ N,(f1 ◦ f2 ◦ · · · ◦ fn

)′(x) =

n∏

i=1

f ′i((fi+1 · · · fn(x)

), onde fn+1(x) = x

Ex: [(sen(x2)

)3]′ = 3.

(sen(x2)

)2.cos(x2).2x = 6x.

(sen(x2)

)2.cos(x2)


LIMITE INFINITO, NO INFINITO, LATERAIS.

Precisamos extender tudo antes para R = R ∪ {−∞,+∞}. E o modelo base e o seguinte

calculo: limx→0

1

x. Posto que, nao e possıvel tal limite ser finito, uma vez que, supondo que esse fosse

um certo λ ∈ R, pelo fato de N ser um subconjunto ilimitado de R, existe n0 ∈ N tal que ∀ n ∈ N,

com n > n0, temos que1

n→ 0 enquanto

11n

= n > λ. Ou seja, para valores de x proximo de zero

1

xtorna-se extremamente grande, cuja simbolizacao disto e: lim

x→0

1

x= ∞. E ainda pode ser mais

especıfico, mas nao somente, nos seguinte casos:

a) para valores aproximando-se de zero e positivo,1

xtorna-se extremamente grande e positivo,

cuja simbolizacao disto e: limx→0+

1

x= +∞;

b) para valores aproximando-se de zero e negativo,1

xtorna-se extremamente grande e negativo,

cuja simbolizacao disto e: limx→0−

1

x= −∞.

Nesse caso, pelo fato do inverso do inverso de x ser o proprio, ficamos com:

i) Para valores de x extremamente grande1

xtorna-se extremamente pequeno, cuja simbolizacao

disto e: limx→∞

1

x= 0;

ii) Para valores de x extremamente grande e positivo1

xtorna-se extremamente pequeno e po-

sitivo, cuja simbolizacao disto e: limx→+∞

1

x= 0+;

iii) Para valores de x extremamente grande e negativo1

xtorna-se extremamente pequeno e

negativo, cuja simbolizacao disto e: limx→−∞

1

x= 0−.

No que segue, estaremos formalizando tais fatos para incorporar-se ao anteriormente feito,portanto, produzindo com isto processos de Calculos. Nisto e relevante saber que para autores queconsideram apenas limite como sendo um valor real, tais situacoes sao tratadas como se o limitenao existisse. No contrario, como aqui, e como se ′∞′, ′ + ∞′ e ′ − ∞′, fossem pontos e, assim,tomando-se por estrutura R. Isto e, por exemplo, agora quando dizemos x→ a, pode acontecer dea ∈ R, a = ∞, no sentido de, pensando-se esse valor dinamico, em modulo torna-se maior do quequalquer real positivo, a = +∞ ou menor do que qualquer real negativo, a = −∞.

- As formalizacoes fundamentais sao:

1) x→ a⇐⇒ (x− a)n → 0 ⇐⇒ 1

(x− a)n→ ∞, ∀n ∈ N∗,

2) x→ ∞ ⇐⇒ x± λ→ ∞, ∀λ ∈ R.

3) ∀ n ∈ N∗, limx→0

1

xn= lim

x→0x−n = ∞. E, equivalentemente, ∀ n ∈ N, lim

x→∞1

xn= lim

x→∞x−n = 0.

4) ∀λ ∈ R e n ∈ N∗, limx→∞

λ

xn= 0.

5) Para funcoes polinomiais, o calculo de limite no infinito so depende do termo lıder, que e o de

maior grau. Pois, limx→∞

(anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0

)= lim

x→∞xn

(an + an−1

1

x+ · · ·+ a1

1

xn−1+

a01

xn

)= lim

x→∞anx

n, dado que, limx→∞

(an−1

1

x+ · · ·+a1

1

xn−1+a0

1

xn

)= 0, desde que trata-se de uma

quantidade finita pre-fixada.


Exemplos:

a) limx→∞

x4 − 5x3 + x+ 1

x2 + 3x+ 5= lim

x→∞

x4(1 − 5

x+

1

x3+

1

x4

)

x2(1 +

3

x+

5

x2

) = limx→∞

x2(1 − 5

x+

1

x3+

1

x4

)

1 +3

x+

5

x2

= ∞

b) limx→∞

5x3 − x2 + 7

−4x3 + x+ 2= lim

x→∞

x3(5 − 1

x+

7

x3

)

x3(− 4 +

1

x2+

2

x3

) = limx→∞

5 − 1

x+

7

x3

−4 +1

x2+

2

x3

= −5

4

c) limx→∞

4x2 − x+ 3

−7x5 + x3 + 1= lim

x→∞

x2(4 − 1

x+

3

x2

)

x5(− 7 +

1

x2+

1

x5

) = limx→∞

4 − 1

x+

3

x2

x3(− 7 +

1

x2+

1

x5

) = 0

Disto, temos limx→∞

anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x+ a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b1x+ b0=

∞, se n > man

bn, m = n

0, se n < m

, onde an, bm 6= 0.

LIMITES LATERAIS - No que se fez de limite ficou determinado que o calculo deste numponto so depende dos valores proximos e diferentes deste. Isto e, para calcular o limite de f em x0,basta considerar f : (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x − 0 + δ) 7−→ R. E com isso ficam definidas duas formasdistintas de aproximacao de x0

a) Por valores de x sempre menores do que x0, i.e, x < x0, dita aproximacao pela esquerda edenotada por x→ x−0

b) Por valores de x sempre maiores do que x0, i.e, x > x0, dita aproximacao pela direita edenotada por x→ x+

0

Com isso, temos duas notacoes:

limx→ x0

x > x0

f(x) = limx→x+

0

f(x) = f+(x0) = f(x0 + 0)

limx→ x0

x < x0

f(x) = limx→x−

0

f(x) = f−(x0) = f(x0 − 0) e

Lema - Seja f : (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x − 0 + δ) 7−→ R. Entao limx→x0

f(x) = L se, e somente se,

limx→x+

0

f(x) = limx→x−

0

f(x) = L.

Ex. Seja f(x) =

3x− 2, se x > 1x2 + 2, se x 0 ≤ x < 1x3 + 2, se x ≤ 0

. Quando o domınio que interessa para o calculo de

limite e (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (0,+∞), e fica:

a) Em (−∞, 0), limx→0−

f(x) = limx→0−

(x3 + 2) = 2 b) Em (0, 1), limx→0+

f(x) = limx→0+

(x2 + 2) = 2

e limx→1−

f(x) = limx→1−

(x2 + 2) = 3

c) Em (1,+∞), limx→1+

f(x) = limx→1+

(3x− 2) = 1. Isso indica:

i) Como limx→0−

f(x) = limx→0+

f(x) = 2, entao limx→0

f(x) = 2

ii) Como limx→1−

f(x) = 3 6= limx→1+

f(x) = 1, entao limx→1

f(x) nao existe

iii) Como o feito ate aqui nao autoriza dizer nada para x→ −∞−, e nao digo com isso serimpossıvel, porquanto, apenas x→ −∞+, entao lim

x→−∞+f(x) = lim

x→−∞f(x) = lim

x→−∞(x3+2) = −∞.

De modo analogo, limx→+∞−

f(x) = limx→+∞

f(x) = limx→+∞

(3x− 2) = +∞


Nota: sempre que o domınio da funcao so determina um dos limites laterais, esse e, pordefinicao, o limite da funcao no ponto.

Ex: Seja f(x) =√x. Como aqui lidando apenas com funcoes reais, o domınio dessa e [0,+∞),

portanto, agora nao faz sentido limx→0−

f(x), isto e, x ∈ (−δ, 0), δ > 0. Logo, limx→0+

f(x) = 0 e quem

determina o seu limite em 0, i.e, limx→0

f(x) = limx→0+

f(x) = 0

E o mesmo acima vale para derivada, como no caso de f(x) =

{x2 − x, se x < 2x3 − 9x+ 12 se x ≤ 2

.

Quando f(2) = 2 = limx→2−

(x3 − 9x + 12) = limx→2+

(x2 − x), portanto contınua. E f ′(x) = 2x − 1

em (2,+∞), da onde f ′+(2) = limx→2+

(2x − 1) = 3 e f ′(x) = 3x2 − 9 em (−∞, 2), da onde

f ′−(2) = limx→2−

(3x2 − 9) = 3. Assim, f ′−(2) = f ′+(2) = 3 e, portanto, f ′(2) = 3.

Ex: f(x) = |x − a| e continua em x = a, mas nao e derivavel nesse ponto. Pois, f(a) = 0 =

limx→a−

f(x) = limx→a+

f(x) ef(a+ h) − f(a)

h=

|(a+ h) − a| − 0

h=

|h|h

. Assim, para h > 0 temos

que |h| = h, o que faz f ′+(a) = limh→0+

h

h= 1, enquanto para h < 0 temos que |h| = −h, o que faz

f ′−(a) = limh→0−

−hh

= −1. Ou seja, f ′+(a) 6= f ′−(a), porquanto, f ′(a) nao existe. Verifique que f e

derivavel em (a,+∞) e que f ′(x) = 1 neste intervalo.

Lema - Suponha que para valores do |x| tendendo ao infinito, tenhamos que f(x) ≥ g(x) elim

x→∞g(x) = +∞. Entao, lim

x→∞f(x) = +∞.

Aplicacao: limn→+∞

an =

∞, se a > 11, a = 10, se |a| < 1Indefinido, se a = −1

, n ∈ N

Pois, a > 1 ⇐⇒ a = 1 + h, onde h > 0, e an = (1 + h)n =n∑

k=0

(n

k

)hk = 1 + nh +

termos positivo > 1 + nh [ Pelo desenvolvimento 1 + nh+n(n− 1)

2h2 + · · · , pode-se, nesse caso,

concluir diversas desigualdades, tais como: an > 1 + nh +n(n− 1)

2h2, an >

n(n− 1)

2h2, etc ].

Como limn→+∞

(1 + nh) = +∞ logo limn→+∞

an = +∞. Note entao, nesse caso, que limn→+∞

1

an= 0.

Se 0 < a < 1, temos que a =1

h, onde h > 1, portanto, lim

n→+∞an = lim

n→+∞1

hn= 0, pelo caso

anterior. E os demais ficam para o leitor.

Lista de Exercıcio:

PSIU/2007 (3a serie - pagina 13)25. Para todo numero real x , indiquemos por [x] o maior inteiro menor ou igual a x . Se a e b sao numeros

reais positivos, sobre o valor do limite limx→0+

b

x.[x

a

]

, e correto afirmar:

A) nao existe. B) e infinito. C) e zero. D) eb

a. E) e

a

b.

Fonte: http://www.ufpi.br/copese/downloads/psiu2007/prova 3a serie.pdf, acesso fev/10

UFS/2009 (UFES-09-PSS-3S) Questao 10 - Analise as afirmacoes seguinte:

0 0 - limt→1

−

t3 + 2t2 − 5t + 1

t2 − 1= +∞. 1 1 - lim

x→−∞

√x2 − 1

2x + 9=

1

9. 2 2 - lim

t→+∞

2t3 + 9t2

5t + 7= +∞.

[...]Fonte: www.ccv.ufs.br/ccv/concursos/pss2009/files/provas/pss2009serie3.pdf, acesso fev/10


UFS/2010 (UFES-10-PSS-3S)Questao 10 - Analise as afirmacoes seguinte:

0 0 - Se f e uma funcao de R − {π

2+ k π, em que k ∈ Z} em R, definida por f(x) = tg (x),

entao lim

x→π

2

+f(x) = +∞

1 1 - A figura abaixo apresenta um esboco grafico da funcao f : R+ 7−→ R+, definida por f(x) =√

x.

Observando a curva, conclui-se corretamente que limx→0+

f(x) = 0.

2 2 - Calculando-se o valor do limx→−2

(x + 2)(2x + 3)

(1 − 2x)(x + 2), obtem-se −1

5

3 3 - Se f e a funcao de R em R dada por f(x) =

x + 2, se x ≤ 02, se 0 < x < 3−2x + 8, se x ≥ 3

.

Entao limx→−1

f(x) + limx→1

f(x) + limx→4

f(x) = 3.

4 4 - Sejam fe g funcoes de R em R, tais que f(x) = kx− 2 e g(x) = 2x + 5, em que k e uma constante real.Se lim

x→1[f(x) + g(x)] = lim

x→1[f(x).g(x)], entao k > 5.

Fonte: www.ccv.ufs.br/ccv/concursos/pss2010/files/provas/pss2010 3serie.pdf, acesso fev/10

UFS/2003/3a Serie - Questao 10 - Analise as afirmacoes abaixo:

0 0 - O valor de lim

x→1

2

[

(4x2 + 1)(4x2 − 1)]

e um numero negativo.

1 1 - Se f e g sao funcoes definidas para todo real x, entao limx→a

[f(x) − g(x)] = f(a) − g(a).

2 2 - Se f e uma funcao de R∗ em R dada por f(x) =

1

x, entao lim

x→+∞f(x) = 0.

3 3 - Se f e uma funcao de R∗ em R dada por f(x) =

x

|x| , entao limx→0

f(x) = 1.

4 4 - Se x ∈] − π

2,π

2[, entao lim

x→0tg x = 0.

Fonte: www.ccv.ufs.br/ccv/concursos/pss2003/provas/prova3s.pdf, acesso fev/10

UFS/2002/(UFSE-PS-3A)3a Serie - Questao 10 - Analise as sentencas seguintes:0 0 - Calculando-se lim

x→2

[

(x3.(2x − 1)]

, obtem-se 24.

1 1 - limx→

π

4

(

cos(x) + sen(x))

=1

2.

2 2 - Se f e uma funcao real dada por f(x) =3x2 − 7x + 2

x − 2, para todo x 6= 2, entao lim

x→2f(x) = 5.

Atencao: para analise das proposicoes 3 3 e 4 4, considere a funcao f, de R em R, dada pelo grafico seguinte:

3 3 - limx→0

f(x) = 2.

4 4 - limx→3

f(x) = 2.

Fonte: www.ccv.ufs.br/ccv/concursos/pss2002/provas/Prova03ING.pdf, acesso fev/10

UFS/2005/3a Serie - Questao 10 - Analise as afirmacoes seguintes:

0 0 - limx→3

x2 − 5x + 6

x2 − 9= 1. 1 1 - lim

x→2+

3x

x − 2= +∞.

2 2 - limx→+∞

(

2x3 − 5x2 + x − 1)

= −∞ 3 3 - limx→

π

2

tg (x) = 0.

4 4 - Se limx→−1

(

x4 − 2x3 + mx2 − 5x + 1)

= 4, o valor da constante real m e 5

Fonte: www.ccv.ufs.br/ccv/concursos/pss2005/provas/UFSE-PSS-2005-3a-Serie.pdf, acesso fev/10


Exercıcio

1) Calcule os seguintes limites.

a) limx→2

x3 − 8

x2 − 4b) lim

x→ 1

x3 + x− 2

x2 + x− 2c) lim

x→ 1

1 − x2

x3 − 1d) lim

x→2

x5 − 3x2 − 20

x2 − 4

e) limx→−1

x3 − 3x− 2

x4 + 2x3 + 2x2 + 2x+ 1f) lim

x→4

√x− 2

x2 − 16g) lim

x→−1

x+ 13√x+ 1

h) limx→4

−√x2 − 7 + x− 1

x− 4i) lim

x→+∞x4 − 1

−3x4 − x2 + x− 1j) lim

x→−∞1 − x2

x3 − 1

k) limx→0

cos2(x) − 1

xl) lim

x→π

4

sen(x+π

4) − 1

x− π

4

m) limx→ 0

sen2(x)

x2n) lim

x→+∞cos(x)

2x

2) Determine b para que limx→3

x2 − bx− 4

x− 3seja finito e calcule este valor

3) Dadas f(x) = x4 − x+ 1 e g(x) =x

x2 − 1calcule:

a) limh→0

f(3 + 2h) − f(3 − h)

hb) lim

h→0

f(3 − h) − f(3 + h)

hc) lim

h→0

g(3 − h) − g(3h)

h

4) Determine a equacao da reta tangente da funcao no ponto determinado [ y − f(x0) =f ′(x0)(x− x0) ]:

a) f(x) = 4x3 − 3x+ 1, x0 = −1 b) f(x) = sen(x), x0 = π/3

c) f(x) = x5 − 3x2 − 2, x0 = 1 d) f(x) = sen(x) + cos(x), x0 = π/4

5) Use as regras de derivacao nos seguintes casos [quando possıvel, aplique todos os metodos jaexpostos para verificar, lembrado que a matematica so garante que a mesma funcao nao pode terderivadas, se tiver, matematicamente diferentes]:

a) f(x) = x6 − 8x3 + 16 =(x3 − 4

).(x3 − 4

)=

(x3 − 4

)2

b) f(x) = x3 sen(x) − x sen(x) =(x3 − x

)sen(x)

c) f(x) = x4 . cos(x) . sen(x) d) f(x) =x2

x3 − 3e) f(x) =

sen(x)

x2 + 1f) f(x) =

tg(x)

x2 − x

g) f(x) =x3 − 4x+ 1

x sen(x)h) f(x) = sen(x3) i) f(x) = sen3(x) j) f(x) = cos(x3−4x2+1)

6) Estude as seguintes funcoes [Domınio, limites/laterais, continuidade e derivadas/laterais ]

a) f(x) =

x2 + 2, se x > 12x+ 1, se 0 < x ≤ 1x2 + 1, se x ≤ 0

b) f(x) =

x2 − 3x+ 2

x− 2, se x > 2

x3 − 3x− 2, se 0 < x ≤ 2

sen(−2x)

x, se x < 0


AVALIACAO 1

Calcule um dos limites de cada grupo.

[1 P] I) limx→−2

x3 + 8

x2 − 4limx→0

3√x+ 1 − 1

x2 − 4xlim

x→√

2

x3 − 2x√x2 + 1 −

√3

[1P] II) limx→+∞

x3 − x2 + 1

5x3 − 1lim

x→−∞x−5 − 3x2 − 20

x2 − 4limx→0

1

1 +1

1 +1

x

[1P] III - limx→0

tg(x2)

x2limx→0

tg2(x)

x2lim

x→π

3

1 + cos(x+2π

3)

x2 − (π

3)2

[2,5P] 2 - Escolha conforme o caso, f(x) = x3 −x2 +1 ou g(x) = sen(2x), para calcular um doslimites:

a) limk→1

f(1 + 2k) − f(2 + k)

k − 1b) lim

4x→0

g(π + 4x) − g(π)

4x c) limh→0

f(h2) − 1 − g(h)

h

[2,5P] 3) Escolha uma das funcoes e duas coordenadas do domınio dessa. Depois determine areta tangente nos pontos correspondentes e a posicao relativa dessas [paralelas, concorrentes oucoincidentes]

Funcoes: f(x) = x3 − 4x2 + 1, f(x) =x2 + 1

x2 − 1f(x) = x2 sen(x)

Coordenados x = 1,−1, 3, π/3 e√

2

[2P] 4) Escolha uma das funcoes, escreva essa como composicao de pelo menos duas, deriveestas e use isso para exibir a derivada da composta.

Funcoes: f(x) = tg(x3 + x2) f(x) =( x

sen(x)

)3f(x) = sen

(cos(sen(x))

)

EXTRA !!!

[3P] Verifique que uma funcao em que f(a) e limx→a

f(x) existem, mas nao sendo contınua a

derivada neste ponto nao existe.

[3P] Verifique que f(x) = |x2 − 4| nao e derivavel em x = 2.

¨Erros nas avaliacoes sempre vao ocorrer, diz ex-presidente do Inep¨www1.folha.uol.com.br/folha/educacao/ult305u729604.shtml#anc175383


Resolucao Basica da Avaliacao 1

I) Como x3 + 8 = (x+ 2)(x2 − 2x+ 4) e x2 − 4 = (x+ 2)(x− 2),

limx→−2

(x+ 2)(x2 − 2x+ 4)

(x+ 2)(x− 2)= lim

x→−2

x2 − 2x+ 4

x− 2= −3

II) limx→+∞

x3 − x2 + 1

5x3 − 1= lim

x→+∞

x3[1 − 1

x+

1

x3]

x3[5 − 1

x3]

= limx→+∞

1 − 1

x+

1

x3

5 − 1

x3

=1

5

III - limx→0

tg(x2)

x2= lim

x→0

sen(x2)

x2.cos(x2)= lim

x2→0

sen(x2)

x2.

1

cos(x2)= 1

2 - a) f(1+2k) = (1+2k)3− (1+2k)2 +1 = (1+2k)2[(1+2k)−1]+1 = (1+4k+4k2)2k+1 =8k3 + 8k2 + 2k + 1

f(2+k) = (2+k)3−(2+k)2+1 = (2+k)2[(2+k)−1]+1 = (4+4k+k2)(k+1)+1 = k3+5k2+8k+5

f(1+2k)−f(2+k) = 7k3+3k2−6k−4 = (k−1)(7k2+10k+4). Assim, limk→1

f(1 + 2k) − f(2 + k)

k − 1=

limk→1

(7k2 + 10k + 4) = 21

3) f(x) = x3−4x2 +1, x = 1 e −1, quando f ′(x) = 3x2−8x ∴ f ′(1) = −5 e f ′(−1) = 11 e asequacoes das retas tangente sao: y−f(1) = f ′(1)(x−1) ∴ y−(−2) = −5(x−1) ⇐⇒ y = −5x+3 (r1)e y − f(−1) = f ′(−1)(x+ 1) ∴ y − (−4) = 11(x+ 1) ⇐⇒ y = 11x− 15 (r2)

i) Como sao retas com coeficiente angulares diferentes r1 e r2 sao concorrentes.

ii) O sistema

{y = −5x+ 3y = 11x− 15

tem solucao unica e, portanto, r1 e r2 sao concorrentes.

4) f(x) = tg(x3 + x2) = h(g(x)

), onde g(x) = x3 + x2 e h(y) = tg(y) e, portanto, y = x3 + x2.

Assim, g′(x) = 3x2 + 2x e h′(y) = sec2(y). Logo, f ′(x) = g′(x).h′(y) = (3x2 + 2x).sec2(y) =(3x2 + 2x).sec2(x3 + x2)

Informacoes Tecnicas da Avaliacao:

a) Para aprovacao no curso precisa perfazer um total superior a 15 pontos nos processos avalia-tivos;

b) Todo que for o unico em resolver determinado item, mais ainda se for solucao unica (tomando-se por base a resolucao basica), a pontuacao indicada e dobrada;


LIMITACOES, REGIAO DE CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO, MAXIMOSE MINIMO VIA DERIVADA

Pela definicao de que limx→x0

f(x) = L ∈ R, temos que fixado ε0 > 0, existe δ0 tal que

x0 − δ0 < x, x0 + δ0 =⇒ L − ε0 < f(x) < L + ε0, donde se conclui que para valores de x numavizinhanca de x0, f(x) sao valores limitados. Em particular o mesmo vale para funcao contınua emx0. E o caso global e o seguinte:

Lema - Toda funcao contınua f : [a, b] ⊂ R 7−→ R e limitada.

Prova: Suponha que f seja ilimitada. Temos que [a, b] = [a, a+a+ b

2]∪ [a+

a+ b

2, b] e nesse caso

f e ilimitada em [a, a+a+ b

2] ou em [a+

a+ b

2, b]. Sem perda de generalidade considere ilimitada

em [a, a +a+ b

2]. Da mesma forma, [a, a +

a+ b

2] = [a, a +

a+ b

4] ∪ [a +

a+ b

4, a +

a+ b

2] e outra

vez considere ilimitada em [a, a+a+ b

4]. Dessa forma terıamos f ilimitada em [a, a+

a+ b

2n], para

todo n ∈ N e n > 1. Entretanto, como vimos, limn→+∞

a+ b

2n= 0 indicando que f contınua em a e

ilimitada numa vizinhanca de a, o que e uma contradicao. Logo, f e limitada.

Note que a funcao f(x) =1

xe contınua em (0, 1) e nao limitada, indicando que o fato do

domınio ser um intervalo fechado e essencial no resultado.

Teorema do valor Intermediario - TVI - Sejam f : A ⊂ R 7−→ R contınua e y1 < y2 ∈Im(f). Entao, o intervalo [y1, y2] ⊂ Im(f). Isto e, para todo y0 ∈ [y1, y2], existe x0 ∈ Df tal quef(x0) = y0.

Prova: Supor que e falso equivale afirmar que existe y0 ∈ [y1, y2] tal f(x) 6= y0 para todox ∈ Df . Entretanto, a reta y = y0 divide o R2 em dois semi-planos distintos com fronteira nessa.Por hipotese existem x1, x2 ∈ Df tal que f(x1) = y1 < y0 < f(x2) = y2, o que significa que (x1, y1)e (x2, y2) sao pontos do grafico de f em semi-planos distintos determinados por y0. Entretanto, Poraxioma da Geometria Plana, e impossıvel ligar pontos de semi-planos distintos de um mesmo plano,como faz o grafico de f pelo fato dessa ser contınua, sem que passe pela reta fronteira, no caso y = y0.

Corolario - Seja f contınua em [a, b] com f(a).f(b) < 0, entao existe x0 ∈ [a, b] tal quef(x0) = 0. Em particular, todo polinomio com coeficiente real de grau ımpar possui raiz real.

Teorema - Seja f : [a, b] ⊂ R 7−→ R continua. Entao, a Imagem de f e um intervalo fechado.Isto e, Im(f) = [c, d], onde c, d ∈ R

Prova: O TVI diz que a imagem e um intervalo. Digamos que fosse da forma (c, d], o que sig-

nifica que ∀n ∈ N∗, existe yn = f(xn) ∈ (c, d], com xn ∈ [a, b], tal que f(xn) − c <1

n. Bem como,

f(x) − c e continua e nao nula, pois f(x) 6= c, ∀x ∈ [a, b], portanto, g(x) =1

f(x) − ce continua

em [a, b]. Entretanto, g(xn) =1

f(xn) − c> n indicando que essa e ilimitada, contradizendo o antes

demonstrado. Argumento analogo elimina a outra possibilidade, e o resultado segue.

Corolario - Toda funcao contınua em [a, b] tem e assume o Valor maximo e Mınimo. Isto e,existem x0, x0 tal que f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ [a, b].

Prova: Pelo resultado anterior a imagem da f e a forma [c, d], i.e., c ≤ f(x) ≤ d, ∀ x ∈ [a, b].Logo, c e o valor mınimo e d e o valor maximo.

Isto so garante haver valor de maximo e de mınimo no caso restrito de ser contınua num

intervalo fechado, sem explicitar como encontra-los. Ja f(x) =1

xem (0, 1], dado que lim

x→o+

1

x= +∞,

indica ser necessario o domınio ser fechado. Por isso, ante determinado problema tende-se primeirobuscar modela-lo atraves de uma funcoes contınua num intervalo fechado, mas nem sempre, postoque, pode ter maximo e mınimo em intervalo aberto e ate mesmo sem ser contınua.


No que segue desenvolveremos metodo para encontrar Maximos e Mınimo atraves de derivada,o que e muito alem do teoricamente exigido nesse resultado.

Para f(x) = ax + b com a > 0 mostra-se que e sempre Crescente e, portanto, em R naopossui ponto real de maximo ou de mınimo. Assim como, restrita para todo intervalo real [a, b], ae ponto de mınimo e f(a) e o valor mınimo e b e ponto de maximo e f(b) e o valor maximo. Casoeste em que temos f ′(x) = a > 0. Ja para g(x) = ax2 + bx + c com a > 0, essa e Decrescente em

(−∞, xv] e Crescente em [xv,+∞), onde xv = − b

2ae em R este caso indica que xv e ponto mınimo,

e unico. Nesse caso, para toda restricao desta num intervalo [a, b] contendo xv esse e o ponto demınimo e g(xv) o valor mınimo, enquanto ponto de maximo e valor maximo sera decidido com g(a)e g(b). Ainda mais: g′(x) = 2ax+ b, com g′(x) > 0 em (xv,+∞) e g′(x) < 0 em (−∞, xv).

Assim, pelo menos nesses casos, ha uma associacao entre crescimento e decrescimento dafuncao e os possıveis sinais da sua derivada. O que seque e para formalizar qual e essa e, portanto,delimitar regiao de crescimento e decrescimento atraves da derivada. Informacao esta que possi-bilita encontrar ponto de maximo ou mınimo, cujos conceitos basicos constam na pagina 23.

Lema - Seja f : A ⊂ R 7−→ R derivavel com x0 ∈ A, Ponto de Maximo ou Mınimo Local. Entaof ′(x0) = 0.

Prova: Suponha x0 Maximo Local, o que significa haver δ > 0 tal que f(x0) ≥ f(x), ∀x ∈(x0 − δ, x0 + δ). Assim, para h > 0, f(x0 + h) ≤ f(x0) ∴ f(x0 + h) − f(x0) ≤ 0 =⇒ f ′+(x0) =

limh→0+

f(x0 + h) − f(x0)

h≤ 0. Por outro lado, para h < 0, f(x0 + h) ≤ f(x0) ∴ f(x0 + h)− f(x0) ≤

0 =⇒ f ′−(x0) = limh→0−

f(x0 + h) − f(x0)

h≥ 0. Desde que, por hipotese, f ′(x0) existe, e sendo

f ′(x0) = f ′+(x0) = f ′−(x0), isso impoe f ′(x0) = 0.

Ex: f(x) = x3, satisfaz f ′(0) = 0, mas x = 0 nao e ponto de maximo ou mınimo local. Pois,f(x) < 0 = f(0) para x < 0, da onde x = 0 nao e mınimo e f(x) > 0 = f(0) para x > 0, da ondex = 0 nao e maximo.

Lema - Seja f : [a, b] ⊂ R 7−→ R, contınua em [a, b] e derivavel em (a, b) tal que f(a) = f(b).Entao existe x0 ∈ (a, b) tal que f ′(x0) = 0.

Por ser f(a) = f(b) a reta secante que liga os pontos(a, f(a) e (b, f(b)) e paralela ao eixo-x, portanto, o seu co-eficiente angular e nulo. O lema diz que alguma reta tan-gente ao grafico da f em algum ponto tambem sera. E temosduas situacoes possıveis: a) f e constante em [a, b], caso emf ′(x) = 0, ∀x ∈ [a, b], quando o resultado vale. b) f crescede depois decresce, e vice-versa, caso em atingira necessaria-mente um maximo ou mınimo no intervalo (a, b), caso, comomostrado antes, existe x0 ∈ (a, b) com f ′(x0) = 0, e o resul-tado fica demonstrado.

TEOREMA DO VALOR MEDIO - TVM - Seja f : [a, b] ⊂ R 7−→ R, contınua em [a, b] e

derivavel em (a, b). Entao existe x0 ∈ (a, b) tal que f ′(x0) = f(b)−f(a)b−a

.

Prova: Do ponto de vista geometrico trata-se do mesmo resul-tado anterior, a menos de uma rotacao dos eixos cartesianos. Ja oalgebrico e o seguinte: faca g(x) = f(a) + f(b)−f(a)

b−a(x− a) − f(x),

qual em cada x ∈ (a, b) e a diferenca vertical entre o valor da fnesse e da reta secante liga

(a, f(a)

)e(b, f(b)

). Temos que g(a) =

g(b) = 0 e essa satisfaz as hipoteses do lema anterior. Assim, ex-

iste x0 ∈ (a, b) tal que g′(x0) = 0 e como g′(x) = f(b)−f(a)b−a

− f ′(x),

entao 0 = g′(x0) = f(b)−f(a)b−a

− f ′(x0) ⇐⇒ f ′(x0) = f(b)−f(a)b−a

⇐⇒f(b) − f(a) = (b− a).f ′(x0).


Em termo de Fısica, isso diz que se f representa um deslocamento suave no intervalo detempo [a, b], entao a velocidade media, f(b)−f(a)

b−afoi atingida em algum instante. Esse resultado tem

diversas versoes e implicacoes no Calculo em todos os nıveis.

Exercıcio - Determine x0 como no TVM nos seguintes casos:

a) f(x) = x2 + 3x+ 1 em [0, 1] b) f(x) = x3 em [−2, 2] c) f(x) = x3 + 2x2 + 1 em [0, 1]

d) f(x) =x− 1

x2 + 1em [−1, 1] f) f(x) = xsen(x) em [0, π/2]

Corolario 1 - Uma funcao f e constante em [a, b] se, e somente se, f ′(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

Prova: Se f e constante, ja sabemos que f ′(x) = 0, ∀x ∈ [a, b]. Agora Considere f ′(x) = 0, ∀x ∈[a, b]. Pelo TVM, para todo x ∈ (a, b], temos que f(x) − f(a) = f ′(x0).(x − a), onde x0 ∈ [a, x].Desde que f ′(x0) e sempre nula, f(x) − f(a) = 0 ∴ f(x) = f(a) ∀x ∈ [a, b].

Nota: E fundamental o domınio ser um intervalo,. Pois, f(x) =

{1, se x > 0−1, se x < 0

, sat-

isfaz que f ′(0) = 0, ∀x 6= 0, mas nao e constante.

Corolario 2 - Uma funcao f e Afim em [a, b] se, e somente se, f ′(x) = constante, ∀x ∈ [a, b].

Prova: Sendo f Afim, qual seja f(x) = cx + d, por definicao f ′(x) = c e, portanto, temderivada constate. Reciprocamente, se f ′(x) = c em [a, b], entao g(x) = f(x) − cx, satisfazg′(x) = f ′(x)− c = 0, ∀ x ∈ [a, b], e assim g(x) = d constante. Logo, f(x)− cx = d ∴ f(x) = cx+ d,i.e., f e Afim.

Teorema - f : [a, b] ⊂ R 7−→ R derivavel. Entao f e Crescente se, e somente se, f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈[a, b]. Assim como, f e Decrescente se, e somente se, f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ [a, b]

Prova. Suponha f Crescente e x ∈ [a, b]. Para h > 0, x < x + h e f(x + h) > f(x) e por isso,

f ′+(x) = limh→0+

f(x+ h) − f(x)

h≥ 0, como por hipotese, f e derivavel, entao f ′+(x) = f ′(x) ≥ 0.

Agora, f ′(x) ≥ 0, sejam x1 < x2 ∈ [a, b]. Pelo, TVM, temos que f(x2)−f(x1) = (x2−x1).f′(x) ≥ 0,

com x ∈ [x1, x2], logo f(x1) ≤ f(x2), isto e, f e Crescente.

Por esse resultado, o que se faz e determinar as regioes de crescimento, f ′(x) ≥ 0, e decresci-mento, f ′(x) ≤ 0, para determinar maximo e mınimo locais.

Exemplo: f(x) = x3 − 12x+ 4. Temos: f ′(x) = 3x2 − 12 = 3(x−2)(x+2), quando f ′(x) < 0 em (−2, 2), portanto decrescente nesseintervalo, e f ′(x) > 0 em (−∞,−2) ∪ (2,+∞), onde e crescente.Por isso, x = −2 e ponto de maximo local e x = 2 e ponto demınimo local.

+ + + −−− + + +f ′(x)• •

Cresc. −2 Decresc. 2 Cresc.

Definicao - Um ponto xc ∈ Df e dito Ponto Crıtico de f quando f ′(xc) = 0 ou f ′(xc) naoexiste.

Exercıcio.

a)UESPI/2010 - 30 - para qual dos valores abaixo, a derivada da funcao dada por f(x) =

x2 + 1

x + 1se anula?

A) −1 +√

2 B) 1 −√

2 C) 1, D) 2 E)√

2Fonte: http://nucepe.uespi.br/downloads/provaiii matematica fisica 2010.pdf, acesso jan/10

b)UESPI/2009 - 30. Admitindo que o valor mınimo da funcao f(x) = x + 9/x, que tem como domınio oconjunto dos numeros reais positivos, ocorre para x tal que f ′(x) = 0, qual e este valor mınimo?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6Fonte: http://nucepe.uespi.br/downloads/ProvaIII Matematica Fisica.pdf, acesso jan/10

Nota: limt→a−

f(x) = limt→a−

f(x)

c) Seja f(x) =

{−x+ 2, se 0 ≤ x ≤ 13x− 2, se 1 < x ≤ 3

. Verifique que x = 1 e ponto crıtico com f ′(1) inex-

istente e que e mınimo global.


DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR

Pelo ja exposto, dada f : A ⊂ R 7−→ R derivavel, fica definida a funcao f ′ : A ⊂ R 7−→ R,para qual vale estudar em que pontos essa e derivavel, isto e, determinar se num ponto x0 ∈A, (f ′)′(x0) existe. Nesse caso temos as seguintes notacoes: (f ′)′(x0) = f ′′(x0) = f (2)(x0) =df2

dx2(x0) =

df2

dx2

∣∣x=x0

Conceito este que e extensivo da seguinte forma: dada uma funcao f pode-se indagar da ex-istencia da sua n-esima derivada f (n)(x), as quais chamamos de derivada de ordem superior, quandof (0)(x) = f(x). Com isso temos os chamados espacos de funcoes, onde C0(A) = {f : A ⊂ R 7−→R; f e Continua}, C1(A) = {f : A ⊂ R 7−→ R; f e derivavel e com derivada continua}, . . . , Ck(A) ={f : A ⊂ R 7−→ R; f e k−vezes derivavel e com k− esima derivada continua. Note que C0(A) ⊃C1(A) ⊃ C2(A) ⊃ · · · ⊃ Ck(A) ⊃ . . .

Exemplos

a) Para f(x) = sen(x), temos: f ′(x) = cos(x), f ′′(x) = −sen(x), f ′′′(x) = −cos(x), f (iv)(x) =sen(x), etc.

b) Para f(x) = −4x3+5x2+x−1, temos: f ′(x) = −12x2+10x+1, f ′′(x) = −24x+10, f ′′′(x) =−24 e f (k)(x) = 0, k ∈ N, k ≥ 4. E reciprocamente, prove: Se f : [a, b] ⊂ R 7−→ R e tal quef (k+1)(x) ≡ 0 em [a, b], entao f e um polinomio de grau k.

CONCAVIDADE DO GRAFICO & DERIVADA SEGUNDA

Do ponto de vista fısico, suponha f : [a, b] 7−→ R em que f(t) representa o deslocamentode um movel no tempo t ∈ [a, b], supondo sempre que e um movimento suave. Ja vimos quef ′(t) representa velocidade instantanea, agora f ′′(t) e a aceleracao instantanea. E a interpretacaogeometrica da derivada segunda, comeca quando se sabe que f ′′(x) ≡ 0 num intervalo [a, b], temosque f(x) = cx+d e, portanto, a parte do seu grafico correspondente a esse trecho e linear. Por isto,o aparecimento de concavidade fica dependo da nao nulidade da derivada segunda. E no caso dafuncao quadratica f(x) = ax2 + bx+ c com a, b, c ∈ R, a 6= 0, cujo grafico e uma parabola, temosque e sempre Concavo para Cima quando f ′′(x) = 2a > 0 e para Baixo quando f ′′(x) = 2a < 0.

Uma formulacao tecnica para dizer que um grafico eConcavo para Cima num intervalo I = [a, b] do domınio dafuncao e a seguinte: para todo x1 < x2 em I, o segmento dereta ligando

(x1, f(x1)

)a

(x2, f(x2)

)fica acima do grafico da

f . Como esse segmento pode ser dado pela equacao y(x) =f(x2) − f(x1)

x2 − x1

(x − x1

)+ f(x1), x ∈ [x1, x2], isso significa

que f(x) < y(x), ∀x ∈ (x1, x2). Analogamente, ser Concavopara Baixo corresponde f(x) > y(x), ∀x ∈ (x1, x2).

Vejamos como concavidade tem haver com o sinal da derivada segunda. Ser Concavo para

Cima corresponde f(x) < y(x) =f(x2) − f(x1)

x2 − x1

(x−x1

)+f(x1), ∀x ∈ (x1, x2). Isto e

f(x) − f(x1)

x− x1<

f(x2) − f(x1)

x2 − x1

TV M︷︸︸︷= f ′(ξ), com ξ ∈ (x1, x2). Por isso, f ′(x1) = lim

x→x1

f(x) − (x1)

x− x1≤ f ′(ξ), pelo Teo-

rema do Confronto. Assim f ′(ξ)−f ′(x1) ≥ 0 e desde que ξ−x1 > 0,f ′(ξ) − f ′(x1)

ξ − x1≥ 0. Novamente

pelo Teorema do Confronto, f ′′(x1) = limξ→x1

f ′(ξ) − f ′(x1)

ξ − x1≥ 0. Ou seja, ter concavidade para cima

exclui derivada segunda ser negativa. E analogamente, concavidade para baixo exclui derivada se-gunda ser positiva. E o resultado, que deixo para o leitor provar e o seguinte: Suponha que f ederivavel ate segunda ordem em (a, b). Entao o grafico ser Concavo para Cima [para Baixo] em(a, b) e equivalente de f ′′(x) > 0 [f ′′(x) < 0 em (a, b)]


Exemplos:

a) Para f(x) = sen(x). Como f ′′(x) = −sen(x), f ′′(x) > 0 para x ∈{

((2k + 1)π,(

2k + 2)π)

, k ∈ Z e n ≥ 0((2k)π,

(

2k − 1)π)

, k ∈ Z e n < 0 .Assim, o seu grafico tem concavidade para cima nessa regiao e nas complementares e para baixo.

b) para f(x) = x3 − 6x2 + 1, f ′′(x) = 6x − 12 = 6(x − 2) e portanto, f ′′(x) > 0 em (2,+∞)e assim a concavidade do seu grafico em (2,+∞) e para cima e desde que f ′′(x) < 0 em (−∞, 2)nesse intervalo a sua concavidade e para baixo.

Definicao: Seja f : A 7−→ R. x0 ∈ A e dito Ponto de Inflexao quando em(x0 − δ, x0

)e(

x0, x0 + δ)

a parte do grafico sao de concavidades diferentes.

Lema: Seja f : A 7−→ R e x0 ∈ A Ponto de Inflexao. Entao f ′′(x0) = 0.

Note que f(x) = x4, satisfaz f ′′(x) = 6x2 > 0, ∀R∗, portanto de concavidade para cima emR∗, com f ′′(0) = 0.

Exercıcio:

PSIU/2007 (Prova Especıfica - GRUPO II/ pagina 9) - Questao 30. Seja f : R − {−2} 7−→ R a funcao definida

pela lei de formacao f(x) =x + 1

x + 2. Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) em cada afirmacao abaixo.

1 ( ) f e uma funcao decrescente. 2 ( ) f possui derivada positiva em todo seu domınio. 3 ( ) f e umafuncao sobrejetiva. 4 ( ) f possui concavidade voltada para baixo no intervalo ] − 2, +∞[.Fonte: http://www.ufpi.br/copese/downloads/psiu2007/PROVA ESPECIFICA GRUPOII.pdf, acesso fev/10A mesma em: Prova Especıfica - GRUPO III -pagina 9, questao 30www.ufpi.br/copese/downloads/psiu2007/PROVA ESPECIFICA GRUPOIII.pdf, acesso fev/10

UFPI/PSIU/2006 (Prova Especıfica - Grupo III Pag. 6 de 8) Questao 20 Seja f : R − {0} 7−→ R definida por

f(x) = x +1

x.

1 ( ) A derivada de f e maior do que zero no intervalo (−∞,−1). 2 ( ) O grafico de f e concavo para baixo nointervalo (−∞, 0). 3 ( ) f e crescente no intervalo (−1, 0). 4 ( ) f e decrescente no intervalo (0, 1).Fonte: http://www.ufpi.br/copese/prg32006.pdf, acesso fev/10

Agora com tudo que ja fiz de Derivada e possıvel fazer essa que constou na mesma prova.

UFPI/PSIU/2009 ( Prova 3a Serie - pagina 14) Questao 25. Seja a funcao f : R 7−→ R definida porf(x) = x3 + ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ R. A figura abaixo representa o grafico da derivada de f.

Dentre as alternativas abaixo, assinale a incorreta:

(A) f possui uma raiz real. (B) f e crescente no intervalo ] −∞, 0](C) f(0) > f(1) (D) a 6= 0 (E) Se x e y sao numeros reais tais quef(x) = f(y) , entao x = y

Fonte: www.ufpi.br/copese/psiu09/arquivos/provas/prova3.pdf, acesso fev/10


METODO BASICO PARA ESBOCO DE GRAFICO5

As informacoes que permitem esbocar o grafico de uma funcao f sao as seguintes:

a) Determinar o domınio;

b) Regiao de Crescimento e Decrescimento; Ponto Crıticos; maximo e mınimos;

c) Concavidade de cada parte; ponto de inflexao;

d) Limites de todos os tipos possıveis;

e) Calcular valores das funcao em todos os pontos destacados ate aqui e, se necessario, em algumoutro.

Exemplos - Esboca o grafico das seguintes funcoes.

1 - f(x) = x3 − 3x+ 1

a) Df = R = (−∞,+∞). Isto e, ∀ x ∈ R, f(x) e um valor real determinado.

b) Como f ′(x) = 3x2 − 3 = 3(x− 1(x+ 1) , temos:

i) Ponto Crıtico do tipo, e so ha desse, f ′(x) = 0 : x = −1 e x = 1

ii) Regiao de Crescimento, f ′(x) > 0, (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

iii) Regiao de Decrescimento, f ′(x) < 0, (−1, 1)

Note que x = −1 e ponto de maximo local e x = 1 e ponto de mınimo local;

c) Como f ′′(x) = 6x, temos:

i) Parte com concavidade para cima, f ′′(x) > 0, x > 0. Isto e, em (0,+∞)

ii) Parte com concavidade para baixo, f ′′(x) < 0, x < 0. Isto e, em (−∞, 0)

Note que x = 0 e ponto de inflexao

d) Como Df = (−∞,+∞), os limites a deter-minar sao:

i) limx→−∞

f(x) = limx→−∞

x3 − 3x + 1 =

limx→−∞

x3[1 − 3

x2+

1

x3] = −∞

ii) limx→+∞

f(x) = limx→+∞

x3 − 3x + 1 =

limx→+∞

x3[1 − 3

x2+

1

x3] = +∞

e)

x f(x)

-1 3

0 1

1 -1

Exercıcio - Esboce o grafico das seguinte funcoes: a) f(x) = x4 − 5x2 + 4 b) f(x) = x3 − 3x

Exemplo 2 - f(x) =1

x= x−1

a) Df = R∗ = (−∞, 0) ∪ (0,+∞). Isto e, ∀ x ∈ R∗, f(x) e um valor real determinado.

b) Como f ′(x) = −x−2 = − 1

x2, temos:

i) Ponto Crıtico: nao ha.

5Um Pequeno Manual do Winplot, Adelmo Ribeiro de Jesus, www.dmat.ufba.br/mat042/m-adelmo.pdf, acessomarc/10


ii) Como f ′(x) < 0, ∀x 6= 0, f e sempre decrescente. Portanto, nao ha ponto de maximo oude mınimo local;

c) Como f ′′(x) = 2x−3 =2

x3, temos:

i) Parte com concavidade para cima, f ′′(x) > 0, x > 0. Isto e, em (0,+∞)

ii) Parte com concavidade para baixo, f ′′(x) < 0, x < 0. Isto e, em (−∞, 0)

Note que x = 0 nao e ponto de inflexao, posto que, 0 /∈ Df .

d) Como Df = (−∞, 0) ∪ (0,+∞), os limites adeterminar sao:

i) limx→−∞


1

x= 0−

ii) limx→0−

f(x) = limx→0−

1

x= −∞

iii) limx→0+

f(x) = limx→0+

1

x= +∞

iv) limx→+∞

f(x) = limx→+∞

1

x= 0+

e)

x f(x)

-1 -1

1 1

Exercıcio - Esboce o grafico das seguinte funcoes: a) f(x) =1

x− 2b) f(x) =

1

3x− 2

Exemplo 3 - f(x) =1

x2 − 1.

a) Df = R− {−1, 1} = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,+∞).

b) Como f ′(x) =−2x

(x2 − 1)2, temos:

i) Ponto Crıtico: so do tipo f ′(x) = 0, sendo esse x = 0.

ii) Como f ′(x) > 0, ∀x < 0, f e decrescente em (−∞, 0).

iii) Como f ′(x) < 0, ∀x > 0, f e decrescente em (0,+∞)

Note que x = 0 e ponto de maximo local.

c) Como f ′′(x) =−2.(x2 − 1)2 + 2x.2(x2 − 1).2x

(x2 − 1)4=

−2.(x2 − 1) + 8x2

(x2 − 1)3=

6x2 + 2

(x2 − 1)3, onde

6x2 + 2 > 0, ∀x ∈ R e o sinal de potencia de expoente ımpar e o mesmo da sua base, temos:

i) Parte com concavidade para cima, f ′′(x) > 0, x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞).

ii) Parte com concavidade para baixo, f ′′(x) < 0, x ∈ (−1, 1).

Note que nao ha ponto de inflexao.

d) Como Df = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,+∞), os limites a determinar sao:

i) limx→−∞


1

x2 − 1= 0+ ii) lim

x→−1−f(x) = lim

x→−1−

1

x2 − 1= +∞


iii) limx→−1+

f(x) = limx→−1+

1

x2 − 1= −∞

iv) limx→1−

f(x) = limx→1−

1

x2 − 1= −∞

v) limx→1+

f(x) = limx→1+

1

x2 − 1= +∞

vi) limx→+∞

f(x) = limx→+∞

1

x2 − 1= 0+

e)

x f(x)

0 -1

-2 1/3

2 1/3

-1/2 -4/3

1/2 -4/3

Exercıcio - Esboce o grafico das seguinte funcoes: a) f(x) =1

x2 + 1b) f(x) =

x

x+ 1

Exemplo 4 - f(x) =√x = x

12 .

a) Df = {x ∈ R; x ≥ 0} = [0,+∞).

b) Como f ′(x) =1

2x−

12 =

1

2√x

, temos:

i) Ponto Crıtico: so do tipo em que f ′(x) nao existe, sendo esse x = 0.

ii) Como f ′(x) > 0, ∀x > 0, f e sempre crescente em (0,+∞).

Note que x = 0 e ponto de mınimo global.

c) Como f ′′(x) = −1

4x−

32 = − 1

4x√x

, onde

4x√x > 0, ∀x ∈ Df e, portanto, f ′′(x) < 0 sem-

pre. Logo, a concavidade e sempre para baixo.d) Como Df = [0,+∞), os limites a determinarsao:

i) limx→0+

f(x) = limx→0+

√x = 0+

ii) limx→+∞

f(x) = limx→+∞

√x = +∞

e)

x f(x)

0 0

1 1

4 2


CASOS PARTICULARES DE GRAFICO POR COMPOSICAO

Nao ha duvida de que, dadas as funcoes g, f , os graficos tanto da funcoes f ◦g e g ◦f podemguarda correlacoes com os graficos destas. No que segue, traremos de dois casos especiais.

Definicoes - Para λ ∈ R, Tλ, Dλ : R 7−→ R dadas por Tλ(x) = x + λ e Dλ(x) = λ x sao,respectivamente, chamadas de Translacao e Dilatacao por λ.

Vale que Tλ e bijecao tanto entre [a−λ, b−λ] e [a, b] como [a, b] e [a+λ, b+λ], enquanto, paraλ 6= 0, Dλ e entre [a/λ, b/λ] e [a, b] como [a, b] e [λ a, λ b] e as derivadas sao: T ′

λ(x) = 1 e T ′′λ (x) = 0

e D′λ(x) = λ e D′′

λ(x) = 0. E os seus efeitos no grafico de uma funcao f sao:

I) Translacao - Como pela regra da cadeia (f ◦ Tλ)′(x) = f ′(x + λ).T ′(x) = f ′(x + λ) e(f ◦ Tλ)′′(x) = f ′′(x + λ).T ′(x) = f ′′(x + λ), o grafico de f ◦ Tλ tem as mesmas caracterısticasgerais do grafico de f , apena sofrendo um deslocamento horizontal cujo sentido depende do sinal deλ. Assim como, os seguintes fatos (Tλ ◦ f)′(x) = T ′(f(x) + λ).f ′(x) = f ′(x) e (Tλ ◦ f)′′(x) = f ′′(x),diz o mesmo do grafico de Tλ ◦ f , sendo que agora o deslocamento e vertical

Exemplos: Casos em que f(x) =1

xe T−2(x) = x− 2

f ◦ T−2(x) =1

x− 2T−2 ◦ f(x) =

1

x− 2

II) Dilatacao - Como pela regra da cadeia (f ◦ Dλ)′(x) = f ′(λ x).D′(x) = λ . f ′(λ x) e (f ◦Dλ)′′(x) = λ.f ′′(λ x).(λ x)′ = λ2f ′′(λ x). Portanto, dependo do sinais pode mudar regioes decrescimento e decrescimento e de concavidade, havendo contracao, se |λ| < 1 ou expansao, |λ| > 1,na horizontal. Assim como, os seguintes fatos (Dλ◦f)′(x) = D′(f(x).f ′(x) = λf ′(x) e (Dλ◦f)′′(x) =λf ′′(x), diz o mesmo do grafico de Tλ ◦ f , sendo que agora na vertical.

Exemplos: Casos em que f(x) =1

xe D−2(x) = −2.x

f ◦ T−2(x) =1

2xT−2 ◦ f(x) =

−2

x

Uma funcao real e Par quando f(x) = f(−x), como e o caso de f(x) = x2, cujo grafico esimetrico em relacao ao eixo-y e Impar quando f(x) = −f(−x), como em f(x) = x3, cujo graficoe simetrico em relacao ao eixo-x e em quadrantes de mesma paridade.


FUNCAO INVERSA: DERIVACAO E GRAFICOS

Seja f : R 7−→ R Funcao Afim, f(x) = ax+ b, com a 6= 0. Temos:

a) E injetiva. Pois, se x1 6= x2 ⇐⇒ ax1 6= ax2 ⇐⇒ ax1 + b 6= ax2 + b ∴ f(x1) 6= f(x2);

b) E sobrejetiva. pois, ∀ y0 ∈ R, ax+ b = y0 ⇐⇒ x =y0 − b

a∴ f(

y0 − b

a) = y0; e

Por isso existe f−1 : R 7−→ R inversa de f . Nesse caso, temos: y = ax+ b ⇐⇒ x =y − b

a∴

f−1(x) =x− b

a=

1

ax − b

a, portanto, f tem inversa derivavel, porquanto, contınua, e essa ainda

satisfaz:(f−1

)′(x) =

1

a=

1

f ′(x).

Enquanto isso, f : [0,+∞) 7−→ [0,+∞) dada por f(x) = x2 tem por inversa f−1(x) =√x e

contınua, mas nao derivavel neste, posto que, @ (f−1)′(0), observando-se que essa funcao em todoR nao e invertıvel. Os dois resultados seguinte esclarecem isso:

Teorema - Seja f Invertıvel e Contınua em x0. Entao f−1 e Contınua em y0 tal que f(x0) = y0.

Prova: Como f e continua em x0, isso indica que f(x0)+h = f(x0+h) tal que h→ 0 sempre queh→ 0. Assim f−1(y0+h)−f−1(y0) = f−1

(f(x0)+h

)−f−1

(f(x0)

)= f−1

(f(x0+h)

)−f−1

(f(x0)

)=

x0 + h− x0 = h. Logo, limh→0

f−1(y0 + h) − f−1(y0) = limh→0

h = 0 ∴ limh→0

f−1(y0 + h) = f−1(y0)�.

Teorema - Seja f Invertıvel e Derivavel em x0 com f ′(x0) 6= 0. Entao f−1 e Derivavel em y0 tal

que f(x0) = y0 e(f−1

)′(y0) =

1

f ′(x0).

Prova: Usando o feito no anterior,f−1(y0 + h) − f−1(y0)

h=h

h. Como h = f(x0 + h) − f(x0),

temos queh

h=

1

h

h

=1

f(x0 + h) − f(x0)

h

. Logo,(f−1

)′(y0) = lim

h→0

f−1(y0 + h) − f−1(y0)

h=

limh→0

1

f(x0 + h) − f(x0)

h

=1

f ′(x0)�.

Exemplos:

a) Seja sen : [−π/2, π/2] 7−→ [−1, 1]. Nesse caso, essa e bijecao e a sua inversa e denotada porarcsen. Isto e, sen(x) = y ⇐⇒ arcsen(y) = x. Como sen e contınua, entao arcsen e contınua.E desde que sen′(x) = cos(x), onde cos(−π/2) = cos(π/2) = 0 e cos(x) 6= 0 em (−π/2, π/2), oresultado garante que arcsen e derivavel em (−1, 1). Fazendo y = sen(x), diz que arcsen ′(y) =

1

sen′(x)=

1

cos(x), ocorre: y = sen(x) =⇒ y2 = sen2(x) = 1 − cos2(x) ∴ cos(x) = ±

√1 − y2. Por

isso, arcsen ′(y) =1√

1 − y2. E ainda, pela regra da cadeia, [arcsen

(f(x)

)]′ =

f ′(x)√1 − f(x)2

b) Seja tg : (−π/2, π/2) 7−→ (−∞,+∞). Deixando para o leitor provar que essa e bije-tiva e contınua, tg′(x) = sec2(x) 6= 0, ∀x ∈ (−π/2, π/2) e assim a derivada da sua inversa e

arctg′(y) =1

sec2(x), sendo y = tg(x). Logo, sec2(x) = 1 + tg2(x) = 1 + y2, arctg′(y) =

1

1 + y2. E

[arctg(f(x))]′ =f ′(x)

1 + f(x)2.

E para esbocar o grafico da inversa, ja sabendo qual e o da funcao, precisamos do seguinteresultado (Prove): Seja ax+by+c = 0 a equacao de uma reta e (x0, y0) um ponto. Entao a distancia

desse ponta a essa reta e dada por|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.


Lema - Os pontos (a, b) e (b, a) sao equidistantes da reta y = x.

Prova: A distancia de (a, b) para esta reta, −x + y = 0, e| − a+ b|√(−1)2 + 12

=| − a+ b|√

2=

|a− b|√2

, a qual e a distancia entre o

ponto (b, a) e a reta.

Por isto, se (a, b) e ponto do grafico de f , dado que, f(a) = b,a sua inversa satisfaz f−1(b) = a, o que diz que (b, a) e pontodo grafico de f−1, portanto, formados pelos pontos equidistantesdaqueles do grafico de f em relacao a reta y = x.

E um metodo pratico para visualizar o grafico da inversa e o seguinte: faca o grafico da fnuma folha, gire essa de 90o no sentido horario e novamente de tal modo que a parte superior venhana sua direcao. O que e visualizado pelo verso e o grafico da inversa.

EXPONENCIAL, LOGARITMO E OUTRAS FUNCOES ELEMENTARES

Lembramos que matematica expoe um sistema de regras e todo que nao segue ou e falso ouindefinido, sem que isto signifique atribuir qualquer valor de juızo, indicando apenas que nao temosqualquer formulacao que sirva para ensina-lo a todo. No caso da exponenciacao, BaseExpoente = Potencia ,temos os seguinte fatos basico:

a) an = a× a× · · · × a︸︷︷︸n−vezes

, am × an = am+n, am ÷ an = am−n,(am

)n= am×n, ∀n,m ∈ N∗.

b) a0 = 1, ∀a 6= 0. c) 00 indefinido6. d) an =1

an, ∀n ∈ Z∗, n < 0.

e) a1n = b, onde b satisfaz bn = a, ∀n ∈ N∗, cuja notacao de todo que satisfaca isso e n

√a e

(a1n )m = a

mn = n

√am. Bem como, a−

mn =

1

amn

Como o desejado aqui e funcao real a valores reais, para definir ax, algumas vezes denotadapor Expa(x) =, temos que:

i) a /∈ C − R. ii) Se a < 0, fatos como a12 ∈ C indicam-nos precisar evita-los. Aqui, nao

necessariamente sempre, como nao e. Posto que, em Variavel complexa zw, ∀z, w ∈ C e definido.Assim como, a 6= 0 e a 6= 1 por produzirem funcoes constantes. Por isso, 0 < a 6= 1

Tudo antes so define Expa : Q 7−→ R+, com 0 < a 6= 1. Esclareceremos mais fatos desta,tais como:

I) ax > 0, ∀ x ∈ Q, pela propria concepcao.

II) ax = 1 ⇐⇒ x = 0. Pois, suponha, sem perder generalidade, que existam

n∈ Q∗,

m

n> 0,

tal que, amn = 1. Elevando-se a n-esima potencia ambos os membros, 1 =

(a

mn

)n= am e de forma

analoga, ∀k ∈ N∗, 1 =(am

)k= ak m. Indicando que lim

k→+∞ak m = 1. Porem, isso contradiz o ja

mostrado de que limn→+∞

an = +∞ quando a > 1 e limn→+∞

an = 0, se 0 < a < 1, pela unicidade do

limite.

III) E Injetiva. Pois, dados x, y ∈ Q tal que ax = ay, temos: ax = ay ⇐⇒ 1 = ax ÷ ay =ax−y ⇐⇒ x− y = 0 ⇐⇒ x = y.

IV) E Crescente quando a > 1 e Decrescente quando 0 < a < 1. Suponha a > 1. Pelo ja visto,∀ x ∈ Q∗, ax 6= 1. Isto e, nesse caso ou ax > 1 ou ax < 1 (prove que ax > 1). Assim, tomandox1 < x2 ∈ Q, existe k ∈ Q, k > 0, com x2 = x1 + k e ax2 − ax−1 = ax1+k − ax1 = ax1 [ak − 1] > 0.Logo, ax1 < ax2 . Tudo o mais fica para o leitor.

V) Seria Expa : Q 7−→ R+ sobrejetiva? Os estudos de Georg Cantor diz que isso e impossıvel.Isto e, em todos esses casos, Im(Expa) ( R+.

6Isso e dentro desta concepcao de potencia. Portanto, nao significa deixar de haver dentro de alguma teoria algoindicando quanto deva ser


Agora precisamos extender essa para Expa : R 7−→ R+. Queremos dizer com isso que tudo jafeito sera preservado, o que nao exclui quem quiser fazer outra construcao. Apenas, se for esse caso,tem que definir de tudo antes o que continua ou nao valendo. E o proposto exige explicitar fatosdo que venha ser, por exemplo, 3

√2. Acontece que

√2 ≈ 1, 4 = 7

5 e, portanto, 3√

2 ≈ 375 =

5√

37,

indicando ser possıvel construir uma sequencia {an} de valores racionais tal que an →√

2 e, por

definicao, 3√

2 = limn→+∞

3an .

Foi isso o sistematizado: dado x0 ∈ R − Q e 0 < a 6= 1, ha como construir uma sequencia{xn}, com an ∈ Q, ∀n ∈ N, xn → x0 e existindo lim

n→+∞aan em R, o qual define ax0 . E a existencia

desse limite diz que esse nao depende do processo e nem do tipo de sequencia que foi construıda.Note que isso engloba o caso em x0 ∈ Q, quando xn = x0, ∀n. E mais: nisso ja fica definida queExpa : R 7−→ R+ e contınua para todo 0 < a 6= 1.

Dentro dessa formulacao tudo ja exposto fica preservado. Por exemplo, a propriedade fun-damental de que e ax = 1 ⇐⇒ x = 0. Pois, suponha haver x0 ∈ R − Q, digamos x0 > 0, comax0 = 1, no caso em que a > 1. Tome 0 < x1 < x2 < · · · onde xi ∈ Q e lim

n→+∞xn = x0. Pelo caso

anterior 1 < ax1 < ax2 < ax3 < · · · → ax0 e, portanto, ax0 ≥ ax1 > 1. O que e uma contradicao.

Analogamente, se x < 0. Assim como, limn→+∞

ax =

{+∞, se a > 10+, se 0 < a < 1

Exercıcio - Verificar que limn→−∞

ax =

{0+, se a > 1+∞, se 0 < a < 1

E agora um resultado novo:

Teorema - Para todo 0 < a 6= 1, Expa : R 7−→ R+ e Sobrejetiva.

Prova - Dado y0 ∈ R+, precisa ser argumentado que existe x0 ∈ R, tal que ax0 = y0. Tomex1, x2 ∈ R com ax1 < y0 < ax2 , coisa que os limites citados garantem haver. Pelo TVI, dado queessa e contınua e y0 ∈

(ax1 , ax2

), existe x0 ∈

(x1, x2

)tal que ax0 = y0 �

Por isso, fixado 0 < a 6= 1, a sua correspondente Expa : R 7−→ R+ e um bijecao. Portanto,tem inversa, o logaritmo de base a, denotado por Loga : R+ 7−→ R. Ou seja, ax = y ⇐⇒ Loga y = x,aLoga y = y e Loga a

x = x. E algumas propriedades de logaritmo sao:

a) Loga xk = k Loga x b) Loga x.y = Loga x+ Loga y c) Loga

x

y= Loga x− Loga y

De forma aligeirada, mas necessaria, precisamos refletir com isso veio se desenvolvendo ecom isso lembrarmos que tais formulacoes, em termos de historia, e coisa recente. Assim, trabalharcalculo envolvendo esses conceitos significa fazer tabelas numericas. Nisso a seguinte observacaoe assaz importante: para 0 < a, b 6= 1, ax = by ⇐⇒ Logb a

x = Logb by ⇐⇒ x Logb a = y. Isto

significa o seguinte: digamos que seja disponıvel a tabela de ax e o valor de Logb a. Como essas

informacoes fica possıvel calcular by0 da seguinte forma: determina-se x0 =y0

Logb ae com isso

encontra-se ax0 que e o mesmo valor procurado.

Um consequente direto dessa observacao e que so o estudo de uma exponencial deste tiporevela tudo das outras. O que leva indagar quanto haver uma base em especial para isso ser feito.

Por diversos meios, apareceu que limn→+∞

(1 +

1

n

)ne um valor real, o qual e citado por constante

Neperiana, e ≈ 2, 71828. Alem disso prova-se que limx→∞

(1 +

1

x

)x= lim

h→0

(1 + h

)1

h = e. Com isso fica

definida ex : R 7−→ R+ chamada de Exponencial Neperiana ou simplesmente Exponencial e a suainversa de Logaritmo Natural ou Neperiano. denotado apenas por ln.

Limite Fundamental da Exponencial: limh→0

eh − 1

h= 1


Prova - faca t = eh − 1 ∴ h = ln (t + 1), onde h → 0 ⇐⇒ t → 0. Assim, limh→0

eh − 1

h=

limt→0

t

ln (t+ 1)=

1

limt→0

ln (t+ 1)

t

=1

limt→0

ln (t+ 1)

1

t

. Como a exponencial e contınua e foi provado

que a inversa de uma funcao contınua assim tambem e, temos que limt→0

ln (t + 1)

1

t = ln e = 1 e o

resultado segue.

Derivadas - O quociente de Newtom da funcao exponencial eex+h − ex

h= ex

eh − 1

he, por-

tanto, (ex)′ = ex limh→0

eh − 1

h= ex. E pela regra da cadeia [ef(x)]′ = f ′(x). ef(x) .

E como ex = y ⇐⇒ ln y = x e(ln y

)′=

1

(ex)′=

1

ex=

1

y, entao

(ln f(x)

)′=f ′(x)f(x)

,

precisando que f(x) > 0, ∀x ∈ R.

Graficos Fazer os graficos das seguinte funcoes: y = ex, y = e−x y = ln x e y = 3e5x.

Questao comentada/UFRJ/2010:

Analise - A hipotese feita ¨Seja F e uma figura plana¨ nao exclui que F seja, por exemplo, umareta euclidiana, a qual so pode ser recoberta por uma quantidade infinita de quadrados de lado

unitario, i.e., n(1) = +∞. Por isso log n(1) = +∞, o que tornalog n(1)

log 2.1

k= +∞, ∀k ∈ N e,

portanto, limk→∞

(2 +

log n(1)

log 2.1

k

)= +∞ e diz ser falso lim

k→∞

(2 +

log n(1)

log 2.1

k

)= 2 como foi dito na

¨resolucao¨.


Exercıcio:

UFPI/PSIU/2009 - 19. Se um medicamento e injetado na corrente sanguınea, sua concentracao t horas depoise dada por C(t) = 10(e−5t − e−6t), entao e correto afirmar que sua concentracao maxima ocorre em(A) 10 minutos. (B) [ln 6 − ln 5].horas. (C) 0,5 hora. (D) [ln 6 + ln 5].horasFonte: www.ufpi.br/copese/psiu09/arquivos/provas/prova3.pdf, acesso fev/10

UFPI/PSIU/2009 (Prova 3a Serie - pagina 14)- Questao 24. Considere L o valor do limite exponencial:

limn→∞

en ( n√2−1), onde e ≈ 2, 718 (Constante de Euler). Nessas condicoes, e correto afirmar que:

(A) L = 0 (B) L = 1 (C) L = 2 (D) L = e (E) L = e2

Fonte: www.ufpi.br/copese/psiu09/arquivos/provas/prova3.pdf, acesso fev/10

PSIU/2008 (Prova Especıfica - GRUPO II - pagina 14)Questa0 22. Seja f : Z 7−→ R, a funcao tal que f(x + y) = f(x) × f(y) para todo x, y ∈ Z. Se f e positiva ef(1) = 2, analise as afirmativas abaixo e assinale V, para as verdadeiras, ou F, para as falsas.1 ( ) f (0) = 1. 2 ( ) f (-1) = 2 . 3 ( ) f (10) = 1024. 4 ( ) lim

n→+∞f(−n) = 0

Pagina 15

26. Considere a sequencia(

xn

)

cujo termo geral e dado pela formula xn = n(

n√

3 − 1)

. Assinale V, para asverdadeiras, ou F, para as falsas.

1 () limn→+∞

xn = limm→0

(3m − 1

m

)

2 () limn→+∞

xn = e−2 3 () limn→+∞

n(

n√

3 −1)

= ln 3 4 () limn→+∞

xn =

+∞

27. Seja f : R 7−→ R uma funcao derivavel. Analise as afirmacoes a seguir e assinale V, para as verdadeiras,ou F, para as falsas.1 ( ) Se f ′(x) = 0, para todo x ∈ R, entao f e uma funcao constante. 2 ( ) Se f ′(a) = 0, entao a ∈ R e umponto de maximo global de f. 3 ( ) f ′(a) e o coeficiente angular da reta tangente ao grafico da funcao fno ponto (a, f(a)). 4 ( ) Sejam a, b ∈ R, tais que a < b e f(a) = f(b) , entao existe sempre a, b ∈ R, coma < c < b , tal que f ′(c) = 0.Fonte: http://www.ufpi.br/copesenovo/arquivos/file/psiu08/prova esp2.pdf, acesso fev/10

UFS/2006/3a Serie - Questao 10 - Analise as afirmacoes seguintes:0 0 - Sejam x e x + 1, com x > 0, as respectivas abscissas dos pontos M e N que pertencem ao grafico da

curva de equacao y =1

x. Se S(y) e a area do triangulo OMN , em que 0 e a origem do sistema cartesiano

ortogonal, entao limy→0

S(y) = +∞.

1 1 - Seja A um ponto qualquer de abscissa x (x > 2), pertencente ao grafico da curva de equacao y =1

x. Se

B(x : 0), C(2 : 2) e S(x) e a area do triangulo ABC, entao limx→+∞

S(y) =1

2.

2 2 - Se limx→−3

f(x)

x2= 2, entao lim

x→−3

f(x)

x= −6

3 3 - Se f e a funcao de R em R, definida por f(x) =

{

3 − x, se x < 2

1 +x

2, se x ≥ 2

, entao limx→2

f(x) = 2.

4 4 - Se limx→5

f(x) = 0 e limx→5

g(x) = −3, entao limx→5

g(x)

f(x) − 1= −3

Fonte: www.ccv.ufs.br/ccv/concursos/pss2006/provas/Prova-PSS-3ano.pdf, acesso fev/10

UFS/2007 (UFSE-07-PSS-3S) Questao 10 - Analise as afirmacoes abaixo:[...]

1 1 - Se a funcao f , de R em R, e dada por f(t) =

{

t + 1, se t ≤ 12 − t, se t > 1

, entao limt→1

f(t) = 2.

2 2 - limx→−1

x2 + 4x + 3

x + 1= 2 3 3 - Se lim

z→−2

f(z) − 1

z3= −3, entao lim

z→−2f(z) = 24.

4 4 - limt→+∞

(

1 − log t

1 + 2−t

)

= −∞Fonte: www.ccv.ufs.br/ccv/concursos/pss2007/provas/Prova-3Serie.pdf, acesso fev/10

Verifique e calcule os seguintes limites:

a) limx→+∞

(1 +

k

x

)1

x = ek b) limx→0

ekx − 1

x


REGRA DE L’HOSPITAL-BERNOULLI - Sejam f e g derivaveis numa vizinhanca de a

com f(a) = g(a) = 0, sendo g′(a) 6= 0. Entao limx→a

f(x)

g(x)=f ′(a)g′(a)

.

Prova - Como f e g sao contınuas, limx→a

f(x)

g(x)e indeterminado da forma

0

0. Por outro lado,

tomando x 6= a, limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f(x) − f(a)

g(x) − g(a)= lim

x→a

f(x) − f(a)

x− ag(x) − g(a)

x− a

. E como, por hipotese os dois

limites existem e g′(a) 6= 0, o resultado segue.

Observaccoes

1 - Este resultado e recursivo. Isto e, vale a seguinte formulacao: Sejam f e g n-vezes derivaveisnuma vizinhanca de a com f (k−1)(a) = g(k−1)(a) = 0, para k = 0, 1, . . . , n, sendo g(k)(a) 6= 0. Entao

limx→a

f(x)

g(x)=f (k)(a)

g(k)(a). Por exemplo: lim

x→0

ex − x− 1

x2. Onde f(x) = ex −x− 1 e g(x) = x2, para quais,

f ′(x) = ex − 1 e g′(x) = 2x, f ′′(x) = ex e g′′(x) = 2 e f(0) = f ′(0) = g(0) = g′(0) = 0 e g′′(0) 6= 0

Assim, limx→0

f(x)

g(x)=f (2)(0)

g(2)(0)=

1

2.

2 - A equivalenciaf(x)

g(x)=

1

g(x)1

f(x)

, diz que o feito vale quando limx→a

f(x)

g(x)e indeterminado da

forma∞∞ .

3 - Verifique a regra de L’Hospital-Bernoulli nada diz nos casos limx→0+

e−

1

x

x, lim

x→0+

e−

1

x

x2, ...

4 - Mostre que limx→0+

xx = 1 [y = xx ⇔ ln y = xlnx =ln x

1x

] e, portanto, limx→0+

x ln x =

limx→0+

ln xx = 0

5 - Use que x1x = e

1x

ln x, para mostrar que limx→0+

x1x = 0 e que com isso nao se pode aplicar

regra de L’Hospital-Bernoulli sempre quando e∞0

como diretamente em limx→0+

ln x

x. Assim como,

essa aplicada em limx→0+

1x1

ln x

nenhuma conclusao fica possıvel.

FUNCOES TRIGONOMETRICAS HIPERBOLICAS - Um resultado central em Ge-ometria e o axioma das paralelas, o qual indica, dada uma reta e um ponto fora desta, qual o quanti-tativo possıvel de reta paralela da reta dada passando por tal ponto. A Geometria Euclidiana Planapreceitua ser possıvel e apenas uma, o qual e famoso Quinto Postulado de Euclides. Fixado esse,desenvolve-se uma trigonometria especıfica. E o fato e que ha outras Geometria e, portanto, outrastrigonometrias. O que faremos aqui e apenas apresentar algumas funcoes trigonometricas reais avalores reais da Geometria Hiperbolica Real, a qual postula haver uma infinidade de retas paralelaspassando por ponto fora de uma outra reta dada.

Definicoes: senh(x) =ex − e−x

2, cosh(x) =

ex + e−x

2e , tgh(x) =

senh(x)

cosh(x)=ex − e−x

ex + e−x.


Exercıcio:

1 - Verificar:

a) cosh e funcao Par e senh e funcao Impar b) coh2(x) − senh2(x) = 1

c) senh(a+b) = senh(a)cosh(b)+cosh(a)sen(b) d) cos(a+b) = cosh(a)cosh(b)+senh(a)sen(b)

e) tgh(a+ b) =tgh(a) + tgh(b)

1 + tgh(a) tgh(b)

2 - Estudar continuidade dessas.

3 - Determina a imagem de cada uma dessas. 3 - Calcular as suas derivadas

4 - Esbocar os seus graficos.

DERIVACAO IMPLICITA/TAXAS RELACIONADAS - Toda equacao E(x, y) = 0guarda, de princıpio, a possibilidade de, por exemplo, dado x0 ser determinado y0 e, portanto, esseser funcao do valor. Ate que ponto isso e verdade e que funcoes podem ser obtidas e um topicoespecıfico da matematica. Alem disso, o que se quer aqui e muito mais, supor que y(x) funcao reala valores reais e determinar a sua derivada.

Exemplos:

a) Seja x2 + y2 + 1 = 0. Nesse caso, dado x0 ∈ R, nao existe y0 ∈ R, tal que, x20 + y2

0 + 1 = 0.Portanto, essa nao define uma funcao como requeremos.

b) Seja x2 + y2 − 1 = 0. Nesse caso, para cada x0 ∈ R, com −1 ≤ x0 ≤ 1, existem dois valoresreais possıveis para y0, que sao ±

√1 − x2

0. Isso significa que nessa equacao temos duas funcoesf1 : [−1, 1] 7−→ [0, 1], f2 : [−1, 1] 7−→ [−1, 0], sendo f1(x) =

√1 − x2 e f2(x) = −

√1 − x2, ambas

contınuas em [−1, 1] e derivaveis em (−1, 1) e, portanto, fica possıvel fazer tudo aqui ja exposto.

Sem duvida, o trabalho matematico mais duro a ser feito se encontrar entre esses dois casos.Ou seja, verificar que a equacao dada e possıvel definir uma funcao, sem que se possa determinara sua expressao e mesmo assim ainda fazer determinados calculos. No que seque, de princıpio, aequacao determina alguma funcao. E ainda queremos isso num caso em E

(x(t), y(t)

)= 0. Isto e,

para cada t essa expressao define a evolucao de um fenomeno, situacao em que, com a ajuda da

regra da cadeia, consideramos as seguinte derivacaodE

(x(t), y(t)

)

dt=dE

dx.dx

dt+dE

dy.dy

dt= 0, sendo

que, por exemplo,dE

dxe calculada como se y fosse constante. Lembrando ainda que a regra da

cadeia, torna situacoes comodx

dy=

dx

dtdy

dt

=dx

dt.dt

dyequivalente.

Exemplo Resolvido. Suponha que uma partıcula se move no plano segundo y3 +x3 +xy−1 = 0,

passando no instante t0 por (1,0) e que a sua velocidade horizontal nesse instante,dx

d

∣∣t=t0

, e 2m/s.

Determine sua velocidade vertical, i.e.,dy

dt

∣∣t=t0

.

Sol. Note que quando x0 = 1, y0 = 0 e solucao da equacao. Vamos supor, e basta ser numavizinhanca de x0 = 1, que fica determinada funcao derivavel. Nesse caso devemos considerar y3(t)+

x3(t) + x(t)y(t) − 1 = 0 e derivar como foi proposto. Assim, temos: [3x2(t) + y(t)]dx

dt+ [3y2(t) +

x(t)]dy

dt] = 0. Substituindo nessa os valores para t = t0, temos: [3.12 + 0].2 + [3.02 + 1)]

dy

dt

∣∣t=t0

=

0 ∴dy

dt

∣∣t=t0

= −6 m/s


SERIE DE TAYLOR-MACLAURIN - Lembro que uma das possibilidades que despontoudos questionamentos de Zenao de Eleia foi de uma soma infinita resultar em valor finito. Paraexpor um caso deste, considere a Progressao Geometrica de razao x, 1 = x0, x, x2, . . . , xn. A soma

dos seus termo Sn =n∑

k=0

xk = 1 + x + x2 + · · · + xn e x.Sn = x + x2 + · · · + xn + xn+1. Disto,

Sn − x.Sn = 1 − xn+1 ∴ Sn =1 − xn+1

1 − x. Como lim

n→+∞xn = para |x| < 1, temos para cada nessa

condicoes1

1 − x=

+∞∑

k=0

xk = 1 + x + x2 + x3 + · · · . Assim, essa funcao f : (−1, 1) 7−→ R tem duas

expressoes.

Nesse caso, para f(x) =1

1 − x= (1 − x)−1, temos que f ′(x) = (−1)(1 − x)−2.(−1) =

1

(1 − x)2. E uma conta e:

1

(1 − x)2=

1

(1 − x).

1

(1 − x)= (1+x+x2+x3+· · · ).(1+x+x2+x3+· · · ) =

1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · . Por outro lado, considerando f(x) = 1 + x + x2 + x3 + · · · e fazendoderivacao termo a termos, temos: 1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + · · · .

No caso geral1

1 − h(x)= 1 + h(x) + h(x)2 + h(x)3 + · · · , desde que |h(x)| < 1

A crenca de que toda funcao, a menos de translacao para a origem, poderia ser da forma

f(x) =n∑

k=0

ak xk = a0 + a1 x + a2 x

2 + a3 x3 + · · · , porquanto tudo do Calculo dava-se termo

a termo, era a base do Calculo Diferencial e Integral Newtoniano. Ante isso, por exemplo, regrapara derivacao de produto de funcoes, como propos Leibniz, era mais do que dispensavel, inutil.E exposicao como essa ja deixa claro do fracasso desta concepcao newtoniana, coisa que nao depoeem nada contra sua genialidade. E formula geral de Leibniz da derivada do produto usa Binomio

de Newton. Essa e: (f.g)(n) =n∑

k=0

(n

k

)f (n−k).g(k) =

n∑

k=0

(n

k

)f (k).g(n−k)

Definicao - Dada uma funcao f , no mınimo n-vezes derivavel em x0, o seu polinomio de Taylor

de ordem k, k ≤ n, nesse ponto e Pk, f, x0(x) = f(x0) + f (1)(x0)(x−x0) +f (2)(x0)

2!(x−x0)

2 + · · ·+f (k)(x0)

k!(x− x0)

k. E Rk, f, x0(x) = f(x) − Pk, f, x0(x) e o erro de ordem k em cada ponto x.

Exercıcio

1 - Dadas que f(x) = x5 +3x3−x2 +1 e f(x) =√x+ 1 , calcule P2, f, 0(x), R2, f, 0(x), P3, f, 0(x),

R3, f, 0(x), P5, f, 0(x), R5, f, 0(x), P6, f, 0(x) e R6, f, 0(x)

2 - Verificar que todo polinomio de grau n coincide em todo ponto com o seu polinomio deTaylor de grau igual ou maior do que n.

Um resultado relevante nessa direcao e o seguinte.

Teorema de Taylor-Maclaurin - Seja f n-vezes derivavel numa vizinhanca Vδ(x0) = (x0−δ, x+δ).

Entao f(x) = f(x0) + f (1)(x0)(x− x0) +f (2)(x0)

2!(x− x0)

2 + · · · + f (n)(x0)

n!(x− x0)

n +Rn, f x0(x),

desde que limx→x0

Rn, f, x0(x) = 0

Determinar o intervalo em que limx→x0

Rn, f, x0(x) = 0 e o grau maximo do polinomio de Taylor-

Maclaurin de uma funcao e assunto tratado atraves do estudo de series de funcoes. Alguns exemplossao:


ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ =

∞∑

n=0

xn

n!(−∞ < x < +∞)

sen(x) = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · ·+ =

∞∑

n=1

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!(−∞ < x < +∞)

cos(x) = 1 − x2

2!+x4

4!− · · ·+ =

∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!(−∞ < x < +∞)

cosh(x) = 1 +x2

2!+x4

4!+ · · ·+ =

∞∑

n=0

x2n

(2n)!(−∞ < x < +∞)

Que exemplo de funcao nao-nula com serie Taylor-Maclaurin nula em algum ponto nao eum resultado simplorio, o proximo exemplo expoe o quanto nunca foi.

A serie de Taylor-Maclaurin da funcao f(x) =

{e−

1x , se x > 0

0, se x ≤ 0em x = 0 e nula.

i) Como x → 0+ ⇐⇒ −1

x→ −∞ ⇐⇒ e

−1

x → 0+, entao f(0) = 0 = limx→0+

f(x). Isto e f e

contınua em x = 0

ii) Como f ′(x) = 0 para x < 0, onde f ′−(0) = 0 e f ′(x) = x−1e−1x para x > 0, precisamos

mostrar que f ′+(0) = limx→0+

x−1e−1x = 0. Para isso vamos estuda-la para x > 0. A sua derivada

[x−1e−1x ]′ = −x−2e−

1x +x−3e−

1x = x−3e−

1x [1−x] indica que essa e crescente em (0, 1) e decrescente

em 1,+∞), i.e., x = 1 e ponto de maximo, cujo valor maximo e e−1. Ou seja, 0 < x−1e−1x ≤ e−1.

Primeiramente limx→0+

x−1e−1x existe. Posto, se nao existisse so poderia ser pelo fato desta

ficar oscilando enquanto x→ 0+, o que contraria essa ser crescente em (0, 1). Agora vamos mostrar

o limite so pode ser 0. Pois, suponha que limx→0+

x−1e−1x = a > 0. Nesse caso numa vizinhanca com

x > 0, terıamos x−1e−1x ≥ a ⇐⇒ e−

1x ≥ ax ⇐⇒ − 1

x≥ ln (ax) ⇐⇒ −1 ≥ x[ln a + ln x] ⇐⇒

−1 ≥ ln ax + ln xx (∗). Como limx→0+

ln ax = limx→0+

ln xx = 0, aplicando-se isso em (*), temos uma

contradicao. Logo, f ′+(0) = limx→0+

x−1e−1x = 0.

iii) seguindo de forma analoga, mostra-se para os demais casos que f (n)(0) = 0.

Mostrar que a serie de Taylor-Maclaurin de f(x) =

{e−

1x2 , se x 6= 0

0, se x = 0em x = 0 e nula.


Algumas Listas e ProvasCalculo I/2010 − Estat.

1 - Calcule os pontos e valores de maximos e mınimos (relativo e absoluto) nos seguintes casos:

a) f(x) = x2 + 3x+ 1 em [1, 5] b) f(x) = x2 + 2x+ 1, em 2 ≤ x ≤ 5

c) f(x) = x3 + 8x− 3 em [−3, 3] d) f(x) = x4 − 2x2 em [−2, 3]

e) f(x) = x4 − 4x− 3, 0 ≤ x ≤ 2 f) f(x) = sen(x) + cos(x), 0 ≤ x ≤ π

2) Uma empresa precisa fazer uma embalagem fechada da forma de prisma com uma facequadrada e com capacidade de 400 cm3. Calcule as dimensoes de menor gasto de material e estimeo custo unitario de tal embalagem, dado que o preco do material usado na confeccao desta e deR$ 0, 4 por cm2

3) Mostrar que o retangulo de maior area com o perımetro L fixado e o quadrado. E ainda, ocırculo com esse perımetro tem area maior do que todos tais retangulos.

4) Dadas as funcoes abaixo, faca todos os detalhes e esboce o grafico.

a) f(x) = x4 − 4x+ 2 b)1

x2 − 16c) f(x) = x3 + 8x− 3 d) f(x) = x4 − 2x2

e) f(x) = |x4 − 4x| f) f(x) =√x2 − 4 g) f(x) =

x

x+ 2h) f(x) =

1

sen(x)

i) f(x) = (x− 1)2(x+ 2)2 j) f(x) =1

x2 − x− 2k) f(x) = |sen(x)| j) f(x) = sen|x|

5) O Teorema do Valor Medio (T.V.M) garante que para f : [a, b] 7−→ R, contınua em [a, b] e

derivavel em (a, b) existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) =f(b) − f(a)

b− a∴ f(b) − f(a) = f ′(c)(b− a). Dada

a funcao e o intervalos abaixo, determine c dado pelo T.V.M:

a) f(x) = x2 + 5x+ 3 e [−1, 4] b) f(x) = x3 + x2 + 1 e [1, 3] c) f(x) = cos(x)− x e [0,π

2]

6) Chamamos de Equacao Diferencial Ordinaria (E.D.O) a toda equacao envolvendo uma funcaoe suas derivadas. Verifique se:

a) f(x) = αeλ x, α, λ ∈ R, satisfaz a E.D.O af ′′(x) + bf ′(x) + cf(x) = 0, onde λ e raiz dey = ax2 + bx+ c

b) f(x) = α sen(λ x), α, λ ∈ R satisfaz a E.D.O f ′′(x) + λ2 f(x) = 0.

c) f(x) = xex2satisfaz (1 + x2) f(x) − x f ′(x) = 0

d) f(x) = senx(x) ex satisfaz tg(x) f ′′(x) − xf(x) = 0

7 - Calcule as duas primeiras derivadas das seguintes funcoes:

a) f(x) =x2 + 5

x+ 3b) f(x) =

sen(x2)

x2 − 1c) f(x) =

x3sen(x)

x+ cos(x3)8 - Derive as seguinte funcoes.

a) f(x) = arcsen( ln(x3)) b) f(x) = ex ln(cos(x)) c) f(x) = arctg(cos(x) esen(x))

d) f(x) = ln(x earcsen(x))


RECUPERACAO [ NOTA < 6]

1 [3,0P] - Calcule:

a) limx→−1

x5 + 2x2 − 1

x2 − 1b) lim

x→+∞sen( 1

x3 )1x2

c) limx→0+

ex2 − 1

x

2 - [3,0P] A Reta Normal ao grafico de f num ponto x0 onde f ′(x0) 6= 0 e dada por y− f(x0) =

− 1

f ′(x0)(x−x0). Encontre a area da figura do primeiro quadrante formada pelos eixos coordenados

e as retas tangente e normal de f(x) =1

x3 + 1no ponto (1, f(1))

3 - [3,0 P] - Seja f com f(1) = 3 e f ′(1) = −5. Sabendo, portanto, fica definida, que(g ◦ f)′(1) = 6, calcule g′(3).

PROVA 2

1 [3,0P]- Calcule os pontos e valores de maximos e mınimos (relativo e absoluto) em um dosseguintes casos:

a) f(x) = x4 − 8x2 + 1 em [−1, 2] b) f(x) =x

x2 + 1, em −1 ≤ x ≤ 3

c) f(x) =x

cos(x)em [0, π/4]

2 [4,0P]- Esboce o grafico de uma das funcoes abaixo.

a) f(x) = x4 − 8x2 + 1 b)x

x2 + 1c) f(x) = |1 − 3sen(2x)|

3 [3,0P] - Escolha uma E.D.O e uma das funcoes para verificar se esta satisfaz identicamenteou nao.

E.D.O’s - f ′′(x)− [f ′(x)]2+f = 0 , xf ′′(x)−f ′(x)+4x3f(x) = 0, f ′′(x)+10f ′(x)+26f(x) = 0

Funcoes: f(x) = sen(x2) f(x) = sen(x) e−5x

MEDOS E PROBLEMAS DA VIDA UNIVERSITARIA, Jairo Bouer,http://www.zemoleza.com.br/noticia/1516698-medos-e-problemas-da-vida-universitaria.html,

acesso jun/10¨Aquelas que obtem resultado abaixo de 25% no subteste de

matematica sao convidadas para uma segunda etapa de avaliacao,em que passam por entrevista clınica, testes psicologicos e de

inteligencia. Elas tambem tem o sangue coletado.¨Sem habilidade com numeros Junia Oliveira, O Estado de Minas, 08/06/2010

wwo.uai.com.br/EM/html/sessao 18/2010/06/08/interna noticia,id sessao=18&id noticia=141062/interna noticia.shtml,acesso jun/10


Lista Calculo I- Fısica/2011

1) determine pontos e valores de maximos e mınimos(relativo e absoluto) nos seguintes casos.

a) f(x) = x2 + 2x+ 1, −3 ≤ x ≤ 2 b) f(x) = sen(x) + cos(x), 0 ≤ x ≤ 2π

c) f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 3, −2 ≤ x ≤ 2

2) Dadas as funcoes abaixo, determine, se possıvel, a equacao da reta tangente y − f(p) =

f ′(p)(x− p) e normal y − f(p) = − 1

f ′(p)(x− p) nos pontos indicados.

a) f(x) =1

x2 − 1, x1 = −2 e x2 = 3 b) f(x) =

sen(x)cos(x)

x2 + x, x1 =

π

4, x2 = π

c) f(x) =x2sen(x)

x3 + 1, x1 =

π

2, x2 = −π

3) Esboce o grafico das seguintes funcoes.

a) f(x) =1

3x3 +

3

2x2 + 3x− 3 b) f(x) = |1

3x3 +

3

2x2 + 3x− 3| c) f(x) = x4 − 4x

d) f(x) = |x4 − 4x| e) f(x) =√x2 − 4 d) f(x) =

x

x+ 2

4) Derive, montando esquema de composicao, as seguinte funcoes.

a) f(x) = arcsen(x3 + x) b) f(x) = ex3 sen(x) c) f(x) = arctg(xesen(x2))

d) f(x) = ln(sen(sec(ex))) e) f(x) = tg(ex2arcsen(x))

5) O Teorema do Valor Medio (TVM) garante que para toda funcao funcao real contınua em

[a, b] e derivavel em (a,b), existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) =f(b) − f(a)

b− a. Aplique esse resultado nos

seguinte casos.

a) f(x) = x2 − x+ 3, [−1, 4] b) f(x) = x3 − x+ 1, [1, 3] c) f(x) = sen(x) − x, [0,π

2]

Calculo I- Prova 2 - Fısica/2011

RECUPERACAO: < 6p

1 - [3p] Calcule dois dos seguintes limites:

limx→2

x3 − 2x− 4

x3 − 8, lim

x→0

3√x2 + 1 − 1

x, lim

x→0

sen(x2)

x, lim

x→0

e2x − 1

x

2 - [3p] = Dadas f(x) =x

x+ 1e g(x) = x sen(x), calcule um dos casos:

limh→0

f(1 + 3h) − f(1)

h, lim

h→0

g(π/2 − h) − g(π/2)

h

3 [2p] - Justifique qual deve ser o menor valor de m ∈ Z tal que limx→−∞

xm + x2 + 1

x2 + 3x+ 1= +∞

PROVA 2

1 - [2p] Determine os pontos e valores maximos e mınimos em um dos casos:


a) f(x) = x3 − 12x+ 1 em [-3,3] b) f(x) =x

x2 + 1em [-1, 3]

c) f(x) = sen2(x) − cos2(x) em [0, π/2]

2 - [2p] Determine se e possıvel ou nao haver valor de a ∈ R tal que a reta tangente da funcaoescolhida no ponto indicado e y = 3x+ 1.

a) f(x) = x3 + a x2 + 1 em x = 1 b) f(x) =x+ a

x2 + 1em x = −1

c) f(x) =ax2 − 1

x− 1em x = 2

3-[4p] Faca todos os detalhes e esboce o grafico em um dos casos:

a) f(x) = x3 − 12x+ 1 b) f(x) =x4

12− 2x2 +

11x

3+ 1 (nota

√45 ≈ 6, 7)

4 - [2p] Derive um dos casos fazendo esquema de composicao :

a) f(x) = Sen(xCos(x)

)b) f(x) = e

Cos( x

x2 + 1

)c) f(x) = ln

(Sec(ex2

))

Extra: Supondo que f e g sao contınuas em [a, b] e derivaveis em (a, b) com f(a) = g(a) ef(b) = g(b), entao os graficos de f e g possuem retas tangentes paralelas.

¨Procuro esquecer-me do modo de lembrar como me ensinaram.¨Fernando Pessoa, Poeta portugues, 1888-1935

RESOLUCAO BASICARECUPERACAO:

3 ) limx→−∞

xm + x2 + 1

x2 + 3x+ 1= +∞

O limite do quociente de polinomios no infinito so dependem dos termos de maior grau de cada

um desses. Para que resulte em ∞ precisa que m > 2 e como x2 > 0, ∀x 6= 0, limx→−∞

xm + x2 + 1

x2 + 3x+ 1=

+∞, somente se m e par. Logo, m = 4

PROVA

1 - a) f(x) = x3−12x+1 em [-3,3]. Temos que f ′(x) = 3x2−12 = 3(x−2)(x+2) . Assim, temos:

i) f ′(x) > 0, ∀x ∈ (−∞,−2) ∪ (2,+∞) e, portanto, f e crescente nesses intervalos.

ii) f ′(x) < 0, ∀x ∈ (−2, 2), e, portanto f e decrescente nesse intervalo.

Por isso, x = −2 e ponto de maximo local e x = 2 e ponto de mınimo local. E como[−2, 2] ⊂ [−3, 3], os valores f(−3), f(−2), f(2) e f(3) definem quem e maximo e mınimo nesseintervalo.

2) a) f(x) = x3 + a x2 + 1 em x = 1. Como f ′(x) = 3x2 + 2a x, f(1) = 2 + a e f ′(1) = 3 + 2a, aequacao da reta tangente nesse ponto e y−(2+a) = (3+2a)

(x−1

)∴ y = (3+2a)

(x−1

)+(2+a) =

(3 + 2a)x− 3− 2a+ 2 + a = (3 + 2a)x− 1− a. Assim, para essa ser y = 3x+ 1, teria a satisfazendo3 + 2a = 3 e −1 − a = 1, o que e impossıvel.


3) a) f(x) = x3 − 12x+ 1, detalhes:

i) Df = R = (−∞,+∞), pois ∀x ∈ R, f(x) fica definida.

ii) limx→±∞

f(x) = limx→±∞

x3(1 − 12

x2+

1

x3

)= ±∞

iii) Regioes de crescimento e decrescimento feito em 1).

iv) f ′′(x) = 6x, temos: f ′′(0) < 0 em x < 0 ∴ f e Concava para Baixo em (−∞, 0) e f ′′(0) > 0em x > 0 ∴ f e Concava para Cima (0,+∞)

v) valores basicos do grafico: f(−2), f(0) e f(2).4) a) f(x) = Sen

(xCos(x)

). Fazendo g(x) = xCos(x) e h(y) = sen(y), temos que f(x) =(

h ◦ g)(x) e f ′(x) =

(h ◦ g

)′(x) = g′(x) × h′(y) =

(Cos(x) − xSen(x)

)× Cos(y) = ....

Calculo I- Prova 2 - Fısica/2011

1 - [2p] Determine Maximo e mınimo absoluto em um dos seguintes casos:

a) f(x) = x3 + x2 − 3 em [−1, 3] b) f(x) =sen(x)

x2 + 1em [0, π/4]

2 - [2p] Determine a para que f(x) =ax

x2 + 1tenha reta tangente da forma y = const

3 -[4p] Faca com todos os detalhes e esboce o grafico em um dos casos:

a) f(x) = −x4

12+ 2x2 b ) f(x) =

x

x− 1

4 - [2p] Calcule(f ◦ g

)no ponto determinado, em um dos seguintes casos:

a) g(1) = 3, g′(1) = −5 e f ′(3) = −7

b) g(1) = −5, f ′(−5) = −7 e g′(1) = −3


PRIMITIVACAO - Toda funcao F (x) tal que F ′(x) = f(x) e dita uma primitiva de f enesse caso denotamos

∫f(x) dx = F (x) + C, onde C e constante. Assim, como

(x4

)′= 4x3, entao∫

4x3dx = x4 +C. E no geral, como(xn

)′= nxn−1, entao

∫nxn−1dx = xn +C. Uma tabela basica

pelo que ja deve saber de derivacao, e:∫

xn dx =xn+1

n + 1+ C, n 6= −1

∫

cosx dx = senx + C∫

senx dx = −cosx + C

∫ dx

x=

∫

x−1dx = ln|x| + C∫

sec2(x)dx = tg(x) + C∫ dx√

1 − x2= arcsen(x) + C

∫

exdx = ex + C∫

sec(x)tg(x)dx = sec(x) + C∫ dx

1 + x2= arctg(x) + C

Sejam f, g : [a, b] 7−→ R e F (x) e G(x) suas respectivas primitivas e λ e β constantes. Comod(λF (x) + β G(x)

)

dx= λ

dF (x)

dx+β

dG(x)

dx= λ f(x)+β g(x), entao

∫

(

λf + β g)

dx = λF+β G+C =

(

λF +C1)+(β G+C2) = λ

∫

f dx+ β

∫

g dx. Ou seja, para λi sao constantes e fi funcoes que possuem

primitivas, para i = 1, 2, ...n, vale:

∫ (

n∑

i=1

λifi

)

dx =

∫

(

λ1f1 + λ2f2 + · · · + λnfn

)

dx = λ1

∫

f1dx + λ2

∫

f2dx + · · · + λn

∫

fndx =

n∑

i=1

λi

∫

fidx

Disto, para todo polinomio p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = anxn + an−1x

n−1 +· · · + a1x + a0x

0, temos:∫p(x)dx = an

∫xndx + an−1

∫xn−1dx + · · · + a1

∫xdx + a0

∫dx =

anxn+1

n+ 1+ an−1

xn

n+ · · · + a1

x2

2+ a0x+ C

Voce sabe exemplificar algo disto no caso∫ ( ∞∑

i=1

λifi

)dx?

TECNICAS BASICAS DE PRIMITIVACAO :

1) Mudanca de Variavel. Pela Regra da Cadeia,(f0g

)′(x) =

(f(g(x))

)′= f ′(g(x))·g′(x), para

determinar∫f(g(x))g′(x)dx, faz-se u = g(x) ∴ du = g′(x)dx, ficando

∫f(g(x))g′(x)dx =

∫f(u)du,

a qual sera determinada se na variavel u∫f(u)du tiver uma primitiva ja estabelecida.

Ex1 :∫

(4x + 1)24dx. Fazendo u = 4x + 1 ∴du

dx= 4 ∴ du = 4dx, assim,

∫(4x + 1)24dx =

∫u2du =

u3

3+ C =

(4x+ 1)3

3+ C. E ja que pela da cadeia [

(4x+ 1)3

3+ C]′ = (4x + 1)24, fica

confirmado que∫

(4x+1)24dx =(4x+ 1)3

3+C. Note tambem que (4x+1)2 = 16x2 +8x+1, donde

∫(4x+ 1)24dx =

∫(64x2 + 32x+ 4)dx = 64

x3

3+ 32

x2

2+ 4x+ C = 64

x3

3+ 16x2 + 4x+ C. E como

(4x+ 1)3

3+ C =

64x3 + 48x2 + 12x+ 1

3= 64

x3

3+ 16x2 + 4x+ C, fica reconfirmado o resultado.

Agora uma tabela de primitivacao e:∫

f(x)nf ′(x) dx =f(x)n+1

n + 1+ C, n 6= −1

∫

cos(f(x)) f ′(x)dx = sen(f(x)) + C

∫

sen(f(x)) f ′(x)dx = −cos(f(x)) + C∫ f ′(x)dx

f(x)=

∫

f(x)−1 f ′(x)dx = ln|f(x)| + C

∫

sec2(f(x)) f ′(x)dx = tg(f(x)) + C∫ f ′(x) dx

√

1 − f(x)2= arcsen(f(x)) + C

∫

ef(x) f ′(x)dx = ef(x) + C∫

sec(f(x))tg(f(x)) f ′(x) dx = sec(f(x)) + C∫ f ′(x) dx

1 + f(x)2= arctg(f(x)) + C

(*) Lembre-se que, se necessario for, podemos multiplicar e dividir simultaneamente por umvalor numerico nao-nulo para completar o diferencial.

Ex2 :∫

(x2 + 1)3 xdx =1

2

∫(x2 + 1)3 2xdx, portanto, u = x2 + 1 ∴

du

dx= 2x ∴ du = 2xdx.

Assim,∫

(x2 + 1)3 xdx =1

2

∫u3du =

1

2

u4

4+ C =

1

2

(x2 + 1)4

4+ C


Calcule

a)∫

(x3−2)4 x2 dx, u = x3−2 ∴ du = 3 x2dx b)∫x sen(x2−2) dx, u = x2−2 ∴ du = 2 x dx

c)∫x3 cos(x4) dx, u = x4 ∴ du = 4x3 dx d)

∫esen(x) cos(x) dx, u = sen(x) ∴ du =

cos(x) dx e)∫ x2 dx

4x3 + 5, u = 4x3 + 5 ∴ du = 12 x2 dx f)

∫ x dx√1 − (5x2 − 3)2

, u = 5x2 − 3 ∴

du = 10x dx g)∫ (3x2 + 1) dx

1 + (x3 + x)2, u = x3 +x ∴ du = 3x2 +1 h)

∫tg(x) dx =

∫ sen(x)

cos(x)dx, u =

cos(x) ∴ du = −sen(x) dx

2 - Por Partes - Pela Regra de Leibniz, [f(x) ·g(x)]′ = f ′(x) ·g(x)+f(x) ·g′(x) ∴ f(x) ·g′(x) =[f(x) · g(x)]′−f ′(x) · g(x), caso todas sejam derivaveis. Assim,

∫f(x) · g′(x)dx =

∫[f(x) · g(x)]′dx−∫

f ′(x) · g(x)dx = f(x) · g(x) −∫f(x) · g′(x)dx, i,e.,

∫f · g′dx = f · g −

∫f ′ · gdx

Note que tudo e pro-forma, isto e, para calcular a primitiva de algum produto denote umfator por f e o outro de g′ e determine f ′ e g. Realizada a igualdade, pode tornar a primitivacaodo lado direito conhecida, necessitar aplicar o mesmo para essa ou resultar numa forma tao difıcilquanto antes, o que pode ser consequencia da escolha feita.

Ex1 :∫xexdx.

Escolha 1

f = ex f ′ = ex

g′ = x g =x2

2

Por esta,∫xexdx =

x2

2ex− 1

2

∫x2 exdx. Perceba que continuando tal escolha na primitiva

do lado direito, o expoente da variavel x aumenta, porquanto, sem perspectiva de encontrar suaprimitiva.

Escolha 2

{f = x f ′ = 1g′ = ex g = ex

Por esta,∫xexdx = x ex −

∫ex dx = x ex − ex + C. E, de fato, [x ex − ex + C]′ =

ex + x ex − ex = x ex

Ex2 :∫x2exdx.

Escolha

{f = x2 f ′ = 2xg′ = ex g = ex

Por esta,∫x2 exdx = x2 ex − 2

∫xex dx e pelo resultado anterior,

∫x2 exdx = x2 ex−2

∫xex dx = x2 ex−2[x ex−ex +C] = x2 ex−2x ex +2ex + C. Verifique

que [x2 ex − 2x ex + 2ex + C]′ = x2 ex

Nota: no geral,∫p(x)exdx, onde p(x) e um polinomio, e possıvel escolhendo recursivamente o

polinomio como f .

Calcule: a)∫x3exdx b)

∫xsen(x)dx c)

∫x2sen(x)dx d)

∫x3sen(x)dx e)

∫sen(x)exdx

f)∫sen(2x) cos(5x)dx g)

∫x cos(x) exdx


3 - Casos Racionais -∫ p(x)

q(x)dx, onde p e q sao polinomios.

i) Caso p(x) ≡ 1 e q(x) = ax + b (1o grau):∫ dx

ax+ b=

1

aln|ax + b| + C, ∀a 6= 0. Pois,

fazendo f(x) = ax+ b ∴ f ′(x) = a e∫ dx

ax+ b=

1

a

∫ a dx

ax+ b=

1

a

∫ f ′(x)f(x)

dx =1

aln|f(x)| + C

Calcule: a )∫ 7dx

4x− 2b )

∫ dx

−6x+ 5c )

∫ dx√5 x+ 2

d )∫ √

3 dx√2 x+ 2

ii) Caso p(x) ≡ 1 e q(x) = ax2 + bx+ c (2o grau), com 4 = b2 − 4ac < 0: ax2 + bx+ c =

a[x2 +b

ax +

c

a] = a[(x +

b

2a)2 − (

b

2a)2 +

c

a] = a[(x +

b

2a)2 +

−44a2

] =−44a2

a[4a2

−4(x +b

2a)2 + 1] =

−44a

[( 2a√−4(x+

b

2a))2

+ 1] =−44a

[(2ax+ b√−4

)2+ 1]. Assim,

∫ dx

ax2 + bx+ c=

4a

−4∫ dx

(2ax+ b√−4)2

+ 1

=2√−4 √−4

∫ 2a dx(2ax+ b√−4

)2+ 1

e fazendo

u =2ax+ b√−4 ∴ du =

2a√−4 dx, fica∫ dx

ax2 + bx+ c=

2√−4∫ du

u2 + 1=

2√−4 arctg(u) + C =

2√−4 arctg(2ax+ b√−4 ) + C

Exemplo:∫ dx

x2 + 2x+ 10=

∫ dx

(x+ 1)2 + 9=

∫ dx

9[(x+ 1)2

9+ 1]

=1

9

∫ dx(x+ 1

3

)2+ 1

. Fazendo

u =x+ 1

3∴ du =

1

3dx ∴ 3du = dx, ficamos com

∫ dx

x2 + 2x+ 10=

1

9

∫ dx(x+ 1

3

)2+ 1

=

1

9

∫ 3du

u2 + 1=

1

3arctg(u) + C =

1

3arctg(

x+ 1

3) + C

Calcule: a)∫ dx

x2 + 4x+ 20b)

∫ dx

x2 + 6x+ 18c)

∫ dx

x2 − 10x+ 34d)

∫ dx

x2 + x+ 3

iii) Caso p(x) ≡ 1 e q(x) = ax2+bx+c (2o grau), com 4 = 0: Nesse caso, as raızes λ 1,2 = λ

sao reais e iguais e ax2+bx+c = a(x−λ)2. Assim,∫ dx

ax2 + bx+ c=

1

a

∫ dx

(x− λ)2=

1

a

∫(x−λ)−2dx.

Fazendo u = x−λ ∴ du = dx, fica1

a

∫(x−λ)−2dx =

1

a

∫u−2du =

1

a

u−1

−1+C = −1

a(x−λ)−1 +C

Calcule: a)∫ dx

x2 + 2x+ 1b)

∫ dx

x2 − 6x+ 9c)

∫ dx

x2 + 10x+ 25d)

∫ dx

25 x2 + 10x+ 1

iii) Caso p(x) ≡ 1 e q(x) = ax2 + bx + c (2o grau), com 4 > 0: Nesse caso, as raızes

λ 1,2 sao reais e diferentes e ax2 + bx + c = a(x − λ1)(x − λ2). Podemos fazer1

ax2 + bx+ c=

1

a(x− λ1)(x− λ2)=

A

a(x− λ1)+

B

x− λ2=A(x− λ2) +Ba(x− λ1)

a(x− λ1)(x− λ2)=

(A+ aB)x− λ2A−Baλ1

a(x− λ1)(x− λ2)

e determinar A e B, tal que

{A+ aB = 0−λ2A−Baλ1 = 1

, Nesse caso

∫ dx

ax2 + bx+ c= A

∫ d

a(x− λ1)+B

∫ dx

x− λ2=A

aln|x− λ1| +B ln |x− λ2| + C

Ex.∫ dx

x2 + 5x+ 6. Temos que:

1

x2 + 5x+ 6=

1

(x+ 2)(x+ 3)=

A

x+ 2+

B

x+ 3=

A(x+ 3) +B(x+ 2)

(x+ 2)(x+ 3)=

(A+B)x+ 3A+ 2B

(x+ 2)(x+ 3), onde

{A+B = 02A+ 3B = 1

⇐⇒ A = −1 e B = 1


Assim,dx

x2 + 5x+ 6=

−1

x+ 2+

1

x+ 3e, portanto,

∫ dx

x2 + 5x+ 6=

∫ −dxx+ 2

+∫ dx

x+ 3=

−ln|x + 2| + ln|x + 3| + C = ln|x+ 3

x+ 2| + C. Derive ln|x+ 3

x+ 2| + C e confirme que resulta em

1

x2 + 5x+ 6.

Calcule: a)∫ dx

x2 − 5x+ 6b)

∫ dx

x2 + 3x+ 2c)

∫ dx

x2 − x− 2d)

∫ dx

x2 − 3x− 4

e)∫ dx

3x2 − 2x− 1f)

∫ dx

x2 + x− 1g)

∫ dx

x2 − 2h)

∫ dx

x2 − 5

Casos mais gerais exemplificados (complete os calculos):

a)∫ (x+ 3)dx

x2 + 2x+ 5. Fazendo u = x2 + 2x+ 5 ∴ du = (2x+ 2)dx, ficamos com

1

2

∫ 2(x+ 3)dx

x2 + 2x+ 5=

1

2

∫ [(2x+ 2) + 4]dx

x2 + 2x+ 5=

1

2

∫ (2x+ 2)dx

x2 + 2x+ 5+

4

2

∫ dx

(x+ 1)2 + 4= ....

b)∫ (2x− 3)dx

x2 + 4x− 5. Fazendo u = x2 + 4x − 5 ∴ du = (2x + 4)dx, ficamos com

∫ (2x− 3)dx

x2 + 4x− 5=

∫ [(2x+ 4) − 7]dx

x2 + 4x− 5=

∫ (2x+ 4)dx

x2 + 4x− 5− 7

∫ dx

(x− 1)(x+ 5)= ...

Nota: no caso do grau de p(x) ≥ q(x), em primeiro faz-se a divisao de p(x) por q(x) e por-tanto p(x) = Q(x)q(x) + r(x) em que o grau do resto r(x) e menor que o de q(x). Disto resulta∫ p(x) dx

q(x)=

∫ [Q(x)q(x) + r(x)] dx

q(x)=

∫ Q(x) dx

q(x)+

∫ r(x) dx

q(x)=

∫Q(x) dx+

∫ r(x) dx

q(x).

Ex.∫ (6x4 + x3 + x2 + 4x− 3)dx

6x2 + x− 5. Como 6x4 +x3 +x2 +4x−3 = (x2 +1)(6x2 +x−5)+3x+2,

entao∫ (6x4 + x3 + x2 + 4x− 3)dx

6x2 + x− 5=

∫(x2 + 1)dx+

∫ (3x+ 2)dx

6x2 + x− 5= ...

Calcule: a)∫ (x3 − 5x2 − 1)dx

x− 6b)

∫ (x5 + 3x2 + 2)dx

x2 − x+ 12c)

∫ (x5 − 4x3 + x− 3)dx

x2 + 3x+ 10

d)∫ (x6 − 1)dx

x2 − 4e)

∫ (x5 − 4x4 + x3 − 1)dx

3x2 − 2x− 1f)

∫ (x7 + 5x2 − 1)dx

x2 + 4

O PROBLEMA DO CALCULO DE AREA - Uma concepcao de area foi definir essade um quadrado de lados com medida 1u como sendo 1u2. Por isso, toda figura que pudesse sersubdivida em tais quadrados justapostos tinha area precisamente igual a contagem destes. E umavez que todo quadrado pode ser subdivido em dois triangulos pela diagonal, o processo de contagempodia ser aplicado quando o mesmo fosse possıvel com tais triangulos.

Para todo que tinha tao somente isso como realidade matematica,portanto, e o considerado ser sabido deste conteudo, uma figurainteressante, quica a mais estetica, o Cırculo (Ac), nao tinha comoter sua area calculada com precisao. Valendo-se da filosofia zenonistaficava possıvel apenas calcular com erro por excesso ou falta.

Sendo que tal atitude tinha um princıpio fundamental: garantir cometer o menor erropossıvel. Ou seja, dentre todos os quadrados que se comete erro por falta, internos, deve-se de-terminar o de maior area possıvel (Ai). Assim como, analogamente, dentre os excedentes, exterior,determinar o de menor area possıvel (Ae). Por isso, fica justo dizer que Ai < Ac < Ae. Nisso,ficava a esperanca, tal qual procedeu Arquimedes, de que o conhecimento de figuras com maiorquantidade de lados pudesse diminuir tal erro. Como se sabia que polıgono de qualquer quantidadede lados nao seria suficiente, apenas um processo que levasse ao infinito poderia determinar comprecisao.


Os caminhos que tal concepcao seguiu ao longo da historia da matematica e imensa e coubeao matematico alemao Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) assentar uma for-mulacao, aqui sera exposta de forma bem basica, de integral que permeia todos os quatro calculosmais comuns nas graduacoes no Brasil.

INTEGRAL DE RIEMANN - Dada f : [a, b] 7−→ R limitada, seja a = x0 < x1 < x2 < ... <xn−1 < xn = b uma particao de ordem n, Pn, do intervalo [a, b]. Denotando por ∆xi o comprimentodo intervalo [xi−1, xi], i > 0, i.e., ∆xi = xi − xi−1, εi ponto de maximo de f em [xi−1, xi] e κi

ponto de mınimo de f em [xi−1, xi], define-se, fixados f e [a, b]:

a) Soma Superior de ordem n: Sn(f) =n∑

i=1

f(εi) × ∆xi.

b) Soma Inferior de ordem n: sn(f) =n∑

i=1

f(κi) × ∆xi

De princıpio, podem ocorrer: limn→∞

Sn(f) = L < ∞, limn→∞

Sn(f) = ∞ ou limn→∞

Sn(f) nao

existir, limn→∞

sn(f) = l <∞, limn→∞

sn(f) = ∞ e ou limn→∞

sn(f) nao existir.

Caso aconteca de limn→∞

Sn(f) = limn→∞

sn(f) = L <∞, dizemos que f e Riemann integravel,

aqui diremos integravel simplesmente, em [a, b] e denotamos esse valor por

∫ b

a

f(x)dx.

Exemplo 1( trivial): f(x) = c, funcao constante em [a, b]. Fazendo a = x0 < x1 < b = x2, i.e.,[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, b], os seus valores maximo e mınimo sao essa constante em todo intervalo e,portanto, ∀εi e κi escolhidos nos intervalos, temos: S2(f) = f(ε1) × (x1 − a) + f(ε2) × (b − x1) =c× (x1 − a+ b− x1) = c× (b− a). Da mesma forma: s2(f) = f(κ1)× (x1 − a) + f(κ2)× (b− x1) =c× (x1−a+b−x1) = c× (b−a). Como nada disto depende em quantas parte foi divido o intervalo,

conclui-se que se f(x) = c em todo [a, b], entao

∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

c dx = c(b− a)

Exemplo 2 - Caso f(x) = cx em [a, b]. Vamos considerar [a, b] subdivido em n intervalos de

mesmo comprimentob− a

n, i.e, [a, b] = [a, a+

b− a

n]∪ [a+

b− a

n, a+

2(b− a)

n]∪ [a+

2(b− a)

n, a+

3(b− a)

n] ∪ ... ∪ [a+

(n− 1)(b− a)

n, b = a+

n(b− a)

n]. Suponha c > 0 ( c < 0 e analogo e c = 0 e o

trivial), donde f e crescente e, portando, os valores maximos e mınimos correspondem aos extremos

dos intervalos. Assim, Sn(f) = c(a+b− a

n) × b− a

n+ c(a+

2(b− a)

n) × b− a

n+ c(a+

3(b− a)

n) ×

b− a

n+ ... + c(a +

n(b− a)

n) × b− a

n= c

b− a

n×

(a +

b− a

n+ a +

2(b− a)

n+ a +

3(b− a)

n+

...a +n(b− a)

n

)= c

b− a

n×

(a +

b− a

n[1 + 2 + 3 + n]

)= c

b− a

n×

(na +

b− a

n

n(n+ 1)

2

)=

c(b−a) ×(a+

b− a

2

n(n+ 1)

n2

)= c(b−a) ×

(a+

b− a

2

(n+ 1)

n

)= c(b−a) ×

(a+

b− a

2(1− 1

n)).

Assim, temos:

limn→∞

Sn(f) = limn→∞

c(b − a) ×(a +

b− a

2(1 − 1

n))

= c(b − a) ×(b+ a

2

)= c

(b22

− a2

2

). Da

mesma forma verifica-se que limn→∞

sn(f) = c(b2

2− a2

2

).

Ressaltando ser possıvel provar que uma vez f sendo integravel por uma dada particao,tambem sera sera por qualquer outra, isto e, ser integravel nao depende da particular forma de

particao, entao

∫ b

a

cx dx = c(b2

2− a2

2

). Tambem denota-se

(b22

− a2

2

)por

x2

2

∣∣ba.

Por isso escrevemos:

∫ b

a

cx dx = cx2

2

∣∣ba

=(b2

2−a

2

2

). Bem como

∫ b

a

c dx = c x∣∣ba

= c(b−a

)


Teorema: Sejam f, g : [a, b] 7−→ R integraveis e λ e β constantes, entao∫ b

a

(

λf + β g)

dx = λ

∫ b

a

f dx + β

∫ b

a

g dx.

Ex:

∫ 3

1(4x+5) dx = 4

∫ 3

1x dx +5

∫ 3

1dx = 4

x2

2

∣∣31+5×(3−1) = 4×

(32

2− 12

2

)+5×(3−1) = 26

Exemplo de um funcao nao integravel (Riemann). Seja f(x) =

{1, se x ∈ Q0, se x /∈ Q

Tomemos qualquer intervalo [a, b] e a particao a = x0 < x1 < b = x2, i.e., [a, b] =[a, x1] ∪ [x1, b]. Pela densidade, todo intervalo dos reais possui ponto de coordenada racional eirracional. Logo, em todo intervalo o maximo de f e 1 e o mınimo 0 e, portanto, ∀εi e κi escolhidosnos intervalos, temos:

S2(f) = f(ε1)× (x1 − a) + f(ε2)× (b− x1) = 1× (x1 − a+ b− x1) = (b− a). Da mesma forma:s2(f) = f(κ1) × (x1 − a) + f(κ2) × (b− x1) = 0 × (x1 − a+ b− x1) = 0.

Por isso, limn→∞

Sn(f) = b− a 6= limn→∞

sn(f) = 0

Relacao entre Integral e Primitiva - Seja F (x) qualquer primitiva de f . Entao

∫ b

a

f(x) dx = F (x)∣∣ba

= F (b) − F (a)

Isto vale pelo seguinte: sendo f Riemann integravel, isto e, limn→∞

Sn(f) = limn→∞

sn(f) = L <

∞, entao, e para todo tipo de particao a = x0 < x1 < ... < xn = b escolha de ξi ∈ (xk, xk+1),

ocorre que L = limn→∞

n∑

i=1

f(ξi)(xi+1−xi). E o TVM para F em [xi, xi+1] garante haver ξi ∈(xi, xi+1

)

tal que F (xi+1)−F (xi) = F ′(ξi)(xi+1−xi) = f(ξi)(xi+1−xi). Assim, escolhendo-se esses pontos

ξi, temos:

∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

n∑

i=1

f(ξi)(xi+1 − xi) = limn→∞

[F (x1) − F (a) + F (x2) − F (x1) + · · · +

F (b) − F (xn−1)] = F (b) − F (a)

Assim, como F (x) = cx2

2satisfaz F ′(x) = cx, logo

∫ b

a

c x dx = cx2

2

∣∣ba

= c[b2

2− a2

2], por-

tanto coerente com o que ja havia sido feito.

Calcule:

a)

∫ 3

1x2 dx b)

∫ 2

−1x3 dx c)

∫ 2

1(x3 − 4x2 + 3) dx d)

∫ π

0sen(x) dx

e)

∫ π

−π

cos(x) dx f)

∫ π4

0sen(x) dx g)

∫ 2

1

dx

3x

Notas:

∫ b

a

f · g′dx = f · g∣∣ba−

∫ b

a

f ′ · gdx e

∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx


APLICACOES DE INTEGRACAO

I - Calculo de Area - No intervalo em que f(x) ≥ g(x), a arealimitada pelos seus graficos nesse e a integral de f(x) − g(x). Logo, seno intervalo essas mudam de posicao, deve-se determinar os pontos deintersecao e a area limitada sera obtida pela soma das integracoes pelocaso anterior. Assim, fig.1, a area limitada pelos graficos de f , g, a retax = a e x = b

Area =

∫ b

a

[f(x) − g(x)]dx+

∫ c

b

[g(x) − f(x)] dx Fig 1.

Caso g(x) ≡ 0, i.e. o seu grafico e o eixo− x, Fig.2, temos:

Area =

∫ b

a

f(x)dx−∫ c

b

f(x) dx

Exercıcio - Determina a area limitada (Faca os graficos):

Fig 2.a) y = 2x − 1, y = −3x + 4, x = 0 e x = 3. b) y = −x + 2, y = x2 (sempre que nao foi dito

mais nada, e entre os pontos de intersecao dos graficos)

c) y = x2 − 2 e y = x+ 4 d) y = x3 − 3x2 − x+ 3 e y = −x2 + 1

e) y = x3 − 2x2 − 2x+ 1 e y = −x− 1 f) y = x2 − x+ 3, y = 2x+ 3, x = 0 e x = 2

g) y = x2 + 4, y = x+ 1, x = −2 e x = 2 g) y = x4 − 2x2, y = x2 − 4, x = 0 e x = 2

i) y = x+ cos(x), y = sen(x), x = 0 e x = π/2 j)* y = tg(x), y = x, x = 0 e x = π/4

Nota: f(a) = g(a) e F (x) = f(x) − g(x) nao-decrescente em (a, b), entao f(x) ≥ g(x) em [a, b]

II - Calculo de volume (Superfıcie de Revolucao) - Quando uma regiao do plano-xy egirada em torno de uma reta produz uma superfıcie de revolucao e podemos usar integral simplespara determinar o volume desse solido. A forma mais comum dito e em torno dos eixos coordenadose alguns dos metodos sao:

a) Involucro do cilindro - Essa e a regiao compreen-dida entre dois cilindros de mesma altura h, sendo umde raio r e o outro de raio r + 4r. Quando abertapor corte paralelo a geratriz essa se transforma numparalelepıpedo de volume 4V = 2πrh4r.

Considerando que o solido e todo preenchido por finıssimos involucros, avalia-se∑

4r→0

2πrh4r.

E quando tais dimensoes dependem de uma das variaveis e de funcao integravel dessa, este total ecalculado via integracao e totaliza o volume do solido.Ex1 - Solido gerado pela rotacao em torno do eixo − y daregiao limitada por 0 ≤ x ≤ 2, y = x2, x = 0 e y = 4.

Para todo x ∈ (0, 2], as dimensoes do involucro sao r = xe h = f(x). Portanto, o elemento infinitesimal de volume e2πxf(x) 4 x = 2πx.x2 4 x = 2πx3 4 x. E desde que x3 eintegravel, a concepcao de integracao indica que o volume desse

solido V =∑

4r→0

2πrh4r =

∫ 2

02πx3dx = 2π

x4

4

∣∣20

= 8π u.v


b) Disco - Trata-se se considerar o solido do qual se quer calcular o volume preenchido porfinıssimos discos e fazer o mesmo procedimento anterior.Exemplo - Seja a mesma regiao do caso anterior. Como os discosestao sendo empilhados ao longo do eixo− y, temos que, vistodesse eixo, a altura h = 4y e o raio r = f−1(y) =

√y, com

0 ≤ y ≤ 4. Nesse caso, o infinitesimo de volume e π r2 4y =

π(√y)24y = πy4y e, analogamente, V =

∑

4y→0

πy4y =

∫ 4

0πydy = π

y2

2

∣∣40

= 8π u.v

Exercıcio - Calcular o volume do solido gerado por rotacionar regiao em torno dos eixos coor-denados do grafico de funcao e limitada por graficos de funcoes do exercıcio anterior.


UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARACCEN-DEP. MATEMATICA - Prova 3 - Calculo I- Fısica/2011

Prof. Joao Batista do Nascimento, www.cultura.ufpa.br/matematica/?pagina=jbnEmail: [email protected] ou [email protected]

1 - [3,0p] Calcular um dos seguintes limites:

limx→0

sen(x2 + π)

x, lim

x→2

3√x− 3

√2

x− 2, lim

h→0

f(1 − 2h) − f(1 + 2h)

h, onde f(x) =

1

x2

2 - [3,0p] Estudar maximos e mınimos para f(x) =x

x2 + 4em [0, 3]

3 - [3,0p] Derive em dois casos: f(x) = x sen(x2 ex), f(x) =x sen(x)

x2 + 1,

f(x) = sen(ex) cos(x2 + 1), f(x) = sec(tg(sen(x)))

4) [4,0p] Esbocar o grafico de f(x) = x4 − 4x3 + 5

PROVA

1 - [3,0p] Calcule as primitivas em dois casos

∫(x2 + 6)5 x dx,

∫x sen(x2)dx,

∫ dx√−x2 − 4x− 3

,∫ x2 dx

x3 − 1

2 - [3,0p] Calcule uma das primitivas:∫x sen(2x) dx,

∫cos(2x) ex,

∫e5x x2 dx

3 - [3,0p] Calcule uma das primitivas:∫ x4 − x2 + 5x+ 1

x+ 3dx,

∫ dx

x2 − 5x+ 6,∫ dx

x2 + 4x+ 7.

4 - [3,0p] Determine a area limitada por y = −x2 + 9 e y = −8x

5 - [3,0p] Determine o volume do solido gerado pela rotacao da regiao do primeiro quadrantedeterminada por y = −x2 + 9 em torno do eixo− x ou do eixo− y.

Resolucao Basica

1 - limx→0

sen(x2 + π)

x= lim

x→0

sen(x2)cos(π) + cos(x2)sen(π)

x, pois sen(a + b) = sen(a)cos(b) +

sen(b)cos(a), prove. E desde que cos(π) = −1 e sen(π) = 0, fica, limx→0

sen(x2 + π)

x= lim

x→0

−sen(x2)

x=

limx→0

−x sen(x2)

x2. E desde que lim

f(x)→0

sen(f(x))

f(x)= 1 (garantidamente para o caso de f(x) contınua

em x = 0, o que e o caso) e limx→0

(−x) = 0, a existencia de ambos garante que: limx→0

sen(x2 + π)

x=

limx→0

−sen(x2)

x= lim

x→0

−x× sen(x2)

x2= lim

x→0(−x) × lim

x→0

sen(x2)

x2= 0 × 1 = 0.

Outra forma, ja que satisfaz as condic~oes requeridas, e via L’Hospital-Bernoulli:

limx→0

sen(x2 + π)

x= lim

x→0

(sen(x2 + π))′

(x)′= lim

x→0

2x cos(x2 + π)

1= 0

Nota: O ate natural esperado, sen(x2) = sen2(x) e falso. Posto que, por exemplo, se fosseverdade, sen(π2) = sen2(π) = 0, o que implicaria π2 = k π, com k ∈ Z ⇐⇒ π = k ∈ Z, o que eabsurdo, pelo fato de π ser irracional. Existe algum jeito de expressar sen(x2) dependendo so desen(x) e/ou cos(x)?

TODAS AS DEMAIS SEGUEM DENTRO DO PADRAO DAS NOTAS DE AULA.


APENDICE

fev /05/ Num:√

5i ×√−5i

Deu-se algum fato digno na historia da matematica ... 0 Pi abre um sorriso

UM POUCO DA VIDA E OBRA DO MATEMATICO HIPPASUS

Nasceu na cidade em que morreu Pitagoras - Metapontum (hoje cidadeitaliana) e viveu por volta de 470a.C. Prova matematicamente a ex-istencia de segmentos nao-comensuraveis, donde nasce o conceitode numeros nao-racionais [15]. Ao divulgar o resultado provoca uma cisaoda comunidade pitagorica.

Este deixa indelevelmente registrado o seu apego a liberdade, que implica primeiro emtransparencia publica. Ha relevantes indıcios mostrando que HIPASO foi covardemente mart-irizado por afogamento, por um grupo de pitagoricos e frases do tipo, ¨Nao pode ser chamadode matematico aquele que nao sabe que raiz quadrada de dois nao e racional¨, teria sido gravadana porta das casas dos matematicos que apoiaram HIPASO, ate como forma de protesto pelo seuassassinato.

Um conceito dos primordios do pitagorismo foi o de comensurabilidade. Esse preceitu-ava que duas coisas sao comensuraveis quando possuem um

:::::::

pedaco em comum, caso em que essecomum pode ser usado para medir de cada um, servir de unidade, e obter-se quantidades inteiraem ambos os casos. Em geometria plana, dois segmentos AB e CD sao ditos comen-suraveis, se existe algum segmento EF tal que as suas medidas ( AB representa a medida dosegmento AB) sao multiplas deste ultimo. Isto e, ocorrem as seguintes relacoes: AB = m × EFe CD = n × EF , onde m e n sao Naturais. Portanto, se os segmentos AB e CD sao

comensuraveis acontece que o quocienteAB

CD=

m × EF

n × EF=

m

ne um numero racional.

Portanto, Comensurabilidade de segmentos e Numeros Racionais se correlacionam.

Na epoca de HIPASO ja havia conhecimento do basico da aritmetica, tais como:

- a soma de numeros pares e par;

- a soma de ımpares e par;

- a soma de par com ımpar e ımpar;

- o quadrado de um numero par e par e reciprocamente. Ou, equivalentemente, o quadrado deum numero e ımpar se, e somente se, este for ımpar.

Alem disso, era conhecido os rudimentos da fatoracao em fatores primos e relacao comquadrado para saber, por exemplo, que sendo 6 fatorado como 2 × 3, no seu quadrado,62 = 2 2 × 3 2, os fatores aparecem uma quantidade par de vezes. Isto e, na decomposicao emfatores primos de um quadrado, ou um primo nao aparece ou aparece numa quantidadepar de vezes. E ja era famoso, o Teorema de PITAGORAS, que podemos anuncia-lo como:Um triangulo cujas medidas dos lados sejam a, b e c, possui angulo reto somente quandoa 2 = b 2 + c 2 ou c 2 = a 2 + b 2 ou c 2 = b 2 + a 2. E caso ocorra, digamos, a primeira equacao, olado de medida a e a hipotenusa e os outros lados, de medidas b e c os catetos. Neste casoainda, o angulo reto e o oposto da hipotenusa.


HIPASO mostrou a existencia de segmentos nao-comensuraveis argumentando,::::

com::::

as

::::::::

devidas::::::::::::

adaptacoes, assim: se no quadrado de lados unitario, figura abaixo, tivessemos que olado AB e a diagonal AC fossem comensuraveis, existiria, como ja dissemos, algum seg-mento EF tal que as suas medidas guardariam as seguintes relacoes: AB = m × EF = BC eAC = n × EF, com m e n Naturais. E, aplicando o Teorema de Pitagoras ao trianguloretangulo ABC, tem-se:

AC 2 = AB 2 + BC 2 ∴ (n × EF ) 2 = (m × EF ) 2 + (m × EF ) 2

⇐⇒ n 2 × (EF )2 = 2m 2 × (EF )2 ⇐⇒ n 2 = 2m 2.

No entanto, a igualdade n 2 = 2m 2 logicamente nao se sustenta: o primeiromembro so contem n 2 e desde lado o fator 2 ou nao aparece ou se aparece eem quantidade par.

Ja no segundo membro, o fator 2 aparece e so pode ser em quantidade ımpar, poisem m 2 ou nao aparece ou se aparece e em quantidade par. Portanto, a diagonal e o lado dequadrado unitario nao sao comensuraveis.

Pelo teorema de Pitagoras, AC 2 = 1 2 + 1 2 = 2 e o argumento prova que naohaver Racional cujo quadrado seja dois. Assim nasceram os nao-Racionais e em notacao atualAC =

√2. E Mais ainda. Considerando AC com AC =

√2 e outro segmento XY medindo

3√

2, temos que:XY

AC=

3√

2√2

= 3 e ocorre que sao segmentos comensuraveis. E, portanto,

e errado achar que segmentos comensuraveis obrigatoriamente sao de comprimentosracionais.

O exposto descortina uma epopeia da matematica, ja que Hipaso estava mostrando serpossıvel acrescer mais um conjunto, dos numeros racionais, o qual ja era infinito. Cercade 2.200 anos depois de Hipaso, o matematico germano-russo Georg Cantor (1845-1918), entreoutros, retoma os seus passos. Esta aventura da matematica ainda continua e ha diversos momentospara contar e desvendar.

ALGUMAS ANOTACOES SOB HIPASO- ¨Hipaso de Metaponto foi outro pitagorico. Ensinou que o mundo tem mudancas periodicas,cuja duracao esta determinada; De acordo com Demetrio em sua obra Homonimos nada deixouescrito”(D. L., VIII, 84).

- ¨Conforme a versao de Ecfanto,:::::::::

revelou::::::::

Hipaso::::

um::::::::

segredo:::::::::::::

matematico. Em consequenciafoi expulso da comunidade pitagorica e atirado ao mar.¨ (Jamblico, Vida de Pitagoras,88).

- A cerca de Hipaso se conta que era pitagorico, mas que, por haver publicado por escrito pela vezprimeira a constituicao da esfera dos doze pentagonos,

::::::::

pereceu:::

no:::::

mar,::::

em:::::

vista:::

do::::::::::

sacrilegio:::::::::::

cometido.

¨E eles [os matematicos] surgiram a partir destes (adeptos de Hipaso), enquanto queos outros [os acusmaticos] a partir daqueles.¨ (Relato da cisao dos pitagoricos )


[ O PI sem acaı / ”pegando”agua ] Marco/05/ Num: ∞

√−i

Deu-se algum fato indigno na historia da matematica ... 0 PI faz careta

MATEMATICO FOI ASSASSINADOE OS CRIMINOSOS CONTINUAM IMPUNES

POR DENUNCIAR ERROS MATEMATICOS ESTE FOI COVARDEMENTELANCADO AO MAR. DE TAIS ASSASSINOS DESCENDE QUEM FAZ USO DAMATEMATICA PARA ENGANAR, EXPLORAR E IMBECILIZAR.

Por volta de 470 a.C. o matematico GregoHIPPASUS, que nasceu em Metapontum (onde faleceu Pitagoras), fez uma descoberta sur-preendente e paradigmatica, ao ponto de motivaro seu assassinato [15]. Tal fato originou umadescendencia criminosa, posto que e primeiroato deste tipo que a historia da matematicaregistra.

Para uma compreensao do ocorrido explanare-mos dois fatos:

I -::::::

Como::::::::

alguem:::

se::::::::

tornava::::::::::::

matematico: similaraos dias atuais, apos um perıodo na ”escolapitagorica” podia-se ganhar um ”emblema”que dava ”permissao”de explorar o ensino dematematica, por exemplo, em suas propriascasas. Isolados, muitos se tornavam alheios asnovidades, alem de criarem formas ”proprias”de atuacoes. Devido a isto, ha indıcios do uso dediversas formulacoes nao apropriadas; a propal-ada capacidade do estudo de matematicaaumentar a inteligencia, e uma delas.

II -::

A::::::::::

existencia:::

de::::::::

dogmas, que e a nao cienciapor excelencia, dominando acoes dentro da comu-nidade, tais como:- A crenca de que tudo tinha de ser expressoatraves de numeros ( o codigo genetico e partedisto; uma sequencia numerica identificandocompletamente um ser);- A suposicao de que os numeros racionais eramos unicos em toda natureza;- A veneracao da comensurabilidade como in-dicativo de haver uma parte comum entre qualquerdois seres, objetos, etc.- A proibicao de se divulgar fatos matematicos,cabendo discutir e trocar saberes apenas entreos seus pares, ate como forma para exploracaoeconomica.

Hipaso descobre um fato espantoso: a diag-onal e o lado de um quadrado unitario naoeram comensuraveis. Ou seja: a medida da di-agonal de um quadrado unitario nao se expressapor um numero racional.

Em linguagem atual, significa dizer que araiz quadrada de dois nao e uma fracao.Simplesmente um resultado arrebatador; nao sepodia alegar que tal diagonal nao tivesse uma me-dida e esta era obtida aplicando-se uma versao domajestoso Teorema de Pitagoras ( o quadradoda hipotenusa e igual a soma dos quadradosde cada cateto), num dos triangulos retanguloformado pelos lados do quadrado unitario e suadiagonal. Este procedimento indica que a medidaao quadrado da diagonal e dois. Porem, por umraciocınio matematico, verifica-se que naoha fracao alguma cujo quadrado seja dois.

A comensurabilidade, que se tornarafonte maior de renda, donde o dogma maisarraigado, nao se contestaria sem despertar oodio daqueles que nunca tiveram de fato amorpela Matematica como Ciencia, mas apenascomo fonte de renda e poder. Situacao analogaa que vivemos hoje: pode-se encontrar,auferindo ganho extra, ate quemelabore questoes erradas e duvidosaspara vestibular com a missao de zerar

milhares de jovens. E ainda, preju-dicando os alunos da escola publicae favorecendo os de pre-vestibulares,distorcendo conceitos da Matematicae a inteligencia humana, ao colocarimbecilidades na prova.

Hipaso divulga o resultado ate fora dacomunidade. Isto irrita a parte torpe ecorrupta dos pitagoricos, a qual promove oseu assassinato.

Dar-se por isto uma cisao e frases do tipo ”Naopode ser chamado de matematico quemnao sabe que raiz quadrada de dois nao eracional” foi escrita nas portas das casas dos queapoiaram Hipaso. E, cerca de 2.200 anos depois,so nao acontece o mesmo com o matematicoGeog Cantor, continuador das pesquisasde Hipaso, por ja haver sanatorio.

”Nao ha nenhum motivo para que as questoes de Matematica sejam anuladas. No maximocabe contestar a forma como os enunciados de algumas foram elaborados”(Prof. comentando questoes

do vest.99/UFPA, O Liberal, 05/02/99, ERRO DESCARTADO PELO DAVES.)” . . . e louva a atitude do Prof. Joao Batista de chamar a atencao para o modo

:::::::::::

displicente comoalgumas questoes foram formuladas” (Par. No081/01-CEG/CONSEP, vest.UFPA/99 )

Proposta de livro (EPISODIOS DO DESENSINO DE MATEMATICA).

Crıticas e sugestoes para: Prof. Joao Batista do Nascimento - Dep. Mat. UFPA ([email protected])


Num:

∞∑

i = 1

7

2i=

7

2+

7

4+

7

8+ . . . = 7

∞∑

i = 1

1

2i

Deu-se algum fato digno na historia da matematica ... 0 Pi abre um sorriso

ZENAO DE ELEIA (450 a.C) - UM APARENTE LOUCO QUE SALVOU OS FUNDA-MENTOS DA MATEMATICA E ANTECIPA EM MAIS DE 2.000 ANOS A BASE DA TEORIADE LIMITE

Afirmar que Aquiles, o maior corredor da antiguidade,:::::::::

perderia uma corridapara uma tartaruga, parecia mais ser obra de um debil mental ao inves de ummatematico genial que antecipava por mais de dois milenios os fundamentosda Teoria de Limite, base do atual Calculo Diferencial e Integral. Esteultimo so comecou a ganhar contornos cientıfico por volta do seculo XVI com ostrabalhos de matematicos do porte de Leibniz, Descartes, Fermat e Newtone ate hoje Limite apresenta aspectos extremamente polemicos.

Sem duvida divulgando-se assim, como fizeram os pitagoricos, sem as razoes contextuaisnas quais se assentava Zenao, qualquer um, mesmo hoje, ha de te-lo por louco. Portanto urge quedigamos que: uma das ideias do pitagorismo da epoca, a comensurabilidade, indicava que todoevento deveria ocorrer numa quantidade finita e multipla de um tempo

::::

fixo. Isto e, haveria umaespecie de regua para se medir a duracao de eventos. Assim sendo, Zenao propoe que se faca oseguinte: considere que Aquiles e a tartaruga sejam ponto de um segmento de reta, com estaultima um pouco a frente daquele. Para alcar a tartaruga antes Aquiles tem que andar a metade dadistancia destes, enquanto a tartaruga deve ter se deslocado um pouco mais para frente. Contin-uando assim, Aquiles devia andar infinitas metades so para cobrir a distancia inicial. No entanto,se cada evento deste e feito numa quantidade finita do tempo, o total e uma quantidade infinita detempo, e isto Aquiles nao tem. E ainda falta o que a tartaruga se deslocou. Portanto, Aquiles naoalca a tartaruga,

::

a::::::::

menos::::

que:::::

haja::::::::

algum::::

erro.

Atualizando, Zenao argumentava algo do tipo: um quadrado pode ser visto com uma certauniao disjunta de segmentos, os quais os pitagoricos defendiam serem em quantidade finita. Destaforma, qual a area de cada segmento se nao zero? Como entao juntar coisas que tem area nula eproduzir algo que tem area nao−nula ? A matematica nos diz que a soma de uma quantidadefinita de zeros so pode ser zero. So nos resta cre que ha uma infinitude que nos permite somaruma quantidade desta de zeros produzindo um valor nao− nulo.

E, aos que tiveram paciencia para ouvi-lo e nao se deixaram vencer pelos inimigos, Zenaodissera para exemplificar o que pensava, algo como:

- Considere um segmento unitario e a partir do ponto inicial, marque o seu ponto medio e andeesta metade. Em seguida marque o ponto medio do que falta e ande mais esta metade e assimsucessivamente.

- Pensando como um ponto imaterial, deve-se percorrer infinitas metades e nunca completar

o percurso. E, calculando-se em cada instante o espaco percorrido, a conta deve ser1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .. Isto e, a soma de uma quantidade infinitas de parcelas.

- Quanto e, se for, o valor desta soma? Mais do que 1 e impossıvel e para todo valor menorque 1 havera algum momento em que sera superado por uma destas metades, donde a soma seramaior que este. Logo, o unico jeito e admitir que esta soma e igual a 1, a menos que se argumentenao ser valor nenhum.

UNIDADE

3ªMetade

2ªMetade

1ªMetade

1\2

1\4

1\8


Assim, do que dizia Zenao implicava conceber fatos como1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . . = 1, i.e.,

que uma soma de infinitas parcelas resultava num valor finito ou ainda que

limn→∞

∑ 1

2n= lim

n→∞

n∑

k=1

1

2k= 1, em termos de Calculo Diferencial e Integral.

Portanto, o que Zenao revelava era uma conexao inseparavel entre o finito e o infinito,o que nao so era revolucionaria para o pensamento grego de uma epoca, mas para a humanidadee em todos os tempos.

Para concluirmos, devemos citar que Zenao, por conspirar contra um tirano, onde ficademonstrado o seu apego a liberdade humana, foi preso, torturado e morto. Escreveu varias obrasem prosa: Discussoes, Contra os Fısicos, Sobre a Natureza e Explicacao Crıtica deEmpedocles e marcou a defesa que fizera do seu mestre, Parmenides, contra as crıticas dosadversarios, principalmente os pitagoricos.

Proposta pedagogica para o ensino: MATEMATICA PARA APRENDER E ENSINAR,VOL. I.

Crıticas e sugestoes para: Prof. Joao Batista do Nascimento - Dep. Mat. UFPA, [email protected]


ZENAO DE ELEIA E A DIALETICAANAIS DO II ENCONTRO FLUMINENCE DE FILOSOFIA, FILOSOFIA GREGA, Niteroi,19

a 20 de agosto de 1985, Edusff e Edufpa, 1994, 77-85, org. Paulo Alcoforado

Paulo Alcoforado, ILTC/UFRJ

Se o termo ’logica’ for tomado em acepcao ampla e relativamente vaga, pode-se afirmarque aquilo que ele designa tem uma origem remota. Para se fixar um momento historico, seriapossıvel dizer que seu ponto de partida, de certa forma, remonta as primeiras etapas historicas doprocedimento dialetico. Como se sabe, a dialetica se caracteriza por ser um processo de discussao,por perguntas e respostas, que se articula entre duas parte - o arguido e o arguidor - que susten-tam, acerca de um tema ou problema, posicoes opostas. Toda discussao dialetica, portanto, estacentrada em torno dessa polarizacao. Alem dos contendores, o debate podera ser presidido por umjuiz ou assistido por uma audiencia (Sof., 230c). Ocorre, entretanto, que os dois contendores naose posicionam simetricamente um em relacao ao outro, face a esta forma de dialogar.

Ao arguidor cabe organizar a discussao, determinar o problema que sera objeto de debatee, finalmente, questionar e interrogar; ao arguido incumbe escolher que posicao assumira face aoproblema proposto e responder as perguntas formuladas pelo arguidor por ’sim’ e ’nao’ ou medianteoutra construcao linguisticamente equivalente. Disto decorre que as perguntas dirigidas ao arguidodevem ser construıdas de tal modo que so assim possam ser respondidas. Finalmente, o torneiodialetico deve ser conduzido de tal modo que haja a vitoria de um dos contendores. O arg6uidorvence a disputa, caso obtenha do arguido uma resposta ou um conjunto de respostas que esteja emcontradicao com a tese por ele previamente assumida; podera ainda o arguido perder a discussao,caso seja reduzido ao silencio, ou forcado a abandonar o debate, ou caia em cırculo vicioso ou emuma regressao ao infinito ou, entao, reduzido a um mero balbuciar.

Por outro lado, o arguido vence o torneio, caso nao tenha sido enquadrado em nenhum dositens acima arrolados ao se encerrar, pela decorrencia do tempo regulamentar, a disputa dialetica.Por conseguinte, o debate tem que ter um limite temporal, senao os arguido nunca poderia conquis-tar a vitoria sobre o arguidor (Top., 161a10;183a25). Para vencer ou refutar o arguido, mostrandoas consequencias absurdas que decorrem da tese por ele assumida, o arguidor tem que apelar, nodecurso do debate, para uma regra ou princıpio que de embasamento logico a sua argumentacao.0Tal princıpio foi, mais tarde, denominados de elenchos e, quando devidamente explicitado, assumesempre a configuracao de uma regra formal de refutacao.

Importa deixar claro que a dialetica interessa proximamente a logica, nao enquanto estatuium processo de discussao que envolve a presenca de dois interlocutores, mas enquanto implica umaregra ou princıpio de refutacao (elenchos), de que se vale o arguidor, para refutar o arguido. Porser um elenco, quando devidamente explicitado, uma regra formal da argumentacao, ele faz comque logica e dialetica tenham profundas e estreitas vinculacoes, na medida em que a logica e, emprincıpio, o estudo sistematico de tais regras. Nesse sentido, a dialetica grega pode ser encaradacomo um dos mais relevantes aspectos da pre-historia da logica formal.

Uma tradicao de origem remota associa, ao que sabemos, a invencao da dialetica a Zenao deEleia (fl.467-64). Com efeito, Aristoteles nos diz, em seu dialogo Sofista, ter sido Zenao o fundadorda dialetica; em outras obras, no entanto, ele parece atribuir em parte Socrates, ao que parece Plataoe, finalmente, a si proprio o merito de sua criacao. A procura de uma explicacao para estas assercoesaparentemente incompatıveis provocou inevitavelmente inumeras controversias e especulacoes sejapela importancia da dialetica no ambito do pensamento grego, seja por ter sido essa um antecedenteproximo da logica aristotelica. Com efeito, relata-nos Diogenes Laercio (fl. 225- 250 d.C.) o seguinte:

Aristoteles diz no Sofista que Empedocles foi o primeiro a descobrir a retorica eZenao a dialetica (Vita, VIII, 57).


De forma basicamente similar, se manifesta Sexto Empırico (fl. 200 d.C):

Assim, Aristoteles diz que Empedocles foi o primeiro a cultivar a arte da retorica...E nao parece que Parmenides fosse inculto em dialetica, ja que Aristoteles pensaque seu amigo Zenao foi o fundador da dialetica (Adv.Math. VII.6-7)

De maneira implıcita, Platao nos revela essencialmente a mesma coisa quando faz Parmenidesaconselhar o jovem Socrates, caso pretenda ser se tornar um filosofo, a se submeter um treinamentoque consiste em assimilar um metodo de argumenta do qual Zenao parece ser um mestre compe-tente. Eis suas palavras:

- E que faras da filosofia? Para onde te voltaras na ignorancia de todas essas coisas?

- Por enquanto, nao vejo saıda.

- Isso e porque comecastes, Socrates, a definir ’belo’, ’bem’, ’justo’ e outras formasparticulares, cedo demais, antes de adquirires um treino adequado. Observei issooutro dia, ao te ouvir dialogar com nosso amigo Aristoteles. Creia-me que ha algode nobre e divino em tua paixao pela argumentacao. Enquanto es moco exercita-semais amiude nessas praticas consideradas inuteis pelo vulgo e que dele receberam onome de parolagem. De outro modo, a verdade te escapara.

- E em que consiste, Parmenides, perguntou Socrates, este exercıcio?

- Zenao, diz Parmenides, acaba de te dar um exemplo atraves de sua leitura...(Parm., 135c-d).

Importa dizer que a respeito deste procedimento de Zenao muito se especulou, nao so sobreo que teria ele realizado para merecer o tıtulo de inventor da dialetica, como tambem sobre o queentendia Aristoteles pela palavra ’dialetica’, quando aplicada a este contexto. E certo, porem, queAristoteles, que tinha da dialetica um alto apreco, dificilmente atribuiria sua criacao a Zenao porum aspecto sofıstico que sua degeneracao poderia originar. Em princıpio, ao se utilizar do vocabulo’dialetica’, Aristoteles sempre tem em mente um metodo de discussao. Deste modo, para se de-terminar o que visa ele dizer por ’fundador da dialetica’, ha que se procurar, entre os argumentosdesenvolvidos por Zenao, algum metodo de argumentar que lhe seja peculiar. Devido a carencia detextos, porem, em torno desta questao, so podemos formular conjecturas, mais ou menos plausıveis,mas nunca decisivas. Nao pode, pois, causar surpresa constatar-se mais de uma resposta a estasindagacoes.

A historiografia tradicional do pensamento de Zenao nos diz que este se tornou conhecidopor seu monismo, combatendo os adversarios com um conjunto de argumentos que procuravamdemolir a realidade do espaco, do movimento, da multiplicidade, e descontinuidade das coisas (ouseres). Tal e a concepcao que a respeito de Zenao sustentavam e sustentam, desde a antiguidadeate os nossos dias, inumeros interpretes de seu pensamento. Ja Simplıcio nos relata o seguinte:

Como Eudemo... registra, Zenao procurava provar ser impossıvel que os seres exis-tentes fossem multiplos, porque nada entre os seres existentes e uno, e a multiplici-dade e uma quantidade de unos. (Simplıcio, In: Phys., 99.13;DK29A21)

Este texto deixa entrever claramente os dois seguintes princıpios.

Seja ’A’ a abreviacao da expressao ’existem multiplos seres (ou coisa)’, entao

(i) Se A, entao tudo e uno.

(ii) se A, entao tudo e multiplo

- note-se que por ’multiplo’ quer-se aqui exprimir, tambem, distincao ou diversidade numerica.Alem disso, do proprio Zenao, dispomos de alguns fragmentos que aparentemente nao deixamduvidas a esse respeito. A tıtulo de exemplificacao transcrevemos o seguinte argumento de Zenao:


Caso eles (os seres) sejam multiplos, eles tem que ser tao multiplos quanto sao, nemmais nem menos. Mas, se eles sao tao multiplos quanto sao, entao eles sao limitados.Se (no entanto) os seres sao multiplos entao eles sao ilimitados. Pois sempre existemoutros seres no meio dos seres que existem, e ainda outros no meio daqueles. E assim,os seres sao ilimitados (Simplıcio, In: Phys., 140.29-33;DK29B3)

A analise logica deste e dos demais argumentos de Zenao a respeito da pluralidade dos seresfoi objeto de inumeras consideracoes e a interpretacao tradicional nos diz que Zenao se propunha acombater os adversarios do eleatismo, mediante um conjunto de argumentos pelos quais se reduziamao absurdo os conceitos de movimento e multiplicidade dos seres. Segundo a tradicao, o aspectologico do metodo de Zenao consistia em levar o adversario a ter que reconhecer a impossibilidade datese contraditoria aquela anteriormente estabelecida; e assim leva a termo a demonstracao mediantereducao ao absurdo. Na linguagem da logica contemporanea, este modelo pode ser representadopela seguinte regra:

A → B ∼ B

∼ A(7)

- Onde ’A’ e a tese a ser destruıda: ’existem multiplos seres (ou coisa)’ e ’B’ representa a ex-pressao ’existe um numero finito de existentes’ e ’B’ 8 ( ∼ B) representa ’existe um numero infinitode existentes’. Se era, portanto, o caso de atacar o pluralismo, era tambem o caso de destruir aproposicao ’A’ e, para tanto Zenao mostra que a partir de ’A’ (∼ A) tanto se pode inferir ’B’,quanto ’B’ ( ∼ B) e, consequentemente, ’A’ e falsa.

Inumeros interpretes, antigos e modernos, sustentam que Zenao em suas discussoes empre-gou este princıpio como regra de refutacao. Em uma passagem do Parmenides, le-se que Socratescompele Zenao a admitir que todos os seus argumentos assumem a forma de uma reducao ao ab-surdo:

- Como tu entendes, Zenao, que, caso os seres sejam multiplos, entao por isso enecessario que eles sejam simultaneamente semelhantes e dissemelhantes, o que porcerto e impossıvel, ja que os dissemelhantes nao podem ser semelhantes, nem ossemelhantes dissemelhantes? Nao e isso o que tu queres dizer?

- E isso mesmo, respondeu Zenao.

- Ora, se e impossıvel que os dissemelhantes sejam semelhantes e os semelhantesdissemelhantes, entao, por certo tambem e impossıvel que o multiplo exista, porque,caso existisse, ele nao poderia escapar a estas impossibilidades. O objetivo de teusraciocınios nao e precisamente provar, contra opiniao corrente, que argumentosconstitui disso uma prova, de sorte que tantos argumentos escrevestes, tantas provascres ter aduzido a respeito da inexistencia do multiplo? E exatamente isto o quedizes, ou sou eu que nao te compreendo corretamente?

- Nao, diz Zenao; pelo contrario, tu compreendestes bem a intencao geral de meulivro. (Parm., 127e)

Mais tarde, outros autores chegaram mesmo a expor seus argumentos vazando-os sob essaforma (DK, 29A15). Contemporaneamente, ainda, encontramos mais de um interprete de seu pen-samento que lhe atribui a descoberta desta (deste, grifo meu) procedimento logico e entendemque por esta razao, Aristoteles lhe conferiu o tıtulo de fundador da dialetica. Diz-nos Zafiropulo oseguinte, a respeito de Zenao:

7Nota minha (JBN): texto de Logica Matematica cita o seguinte: A → B ⇐⇒∼ B → ∼ A [A implicar B eequivalente Nao-B implicar Nao-A ]

8constam assim no original, mas ser ∼ B, negacao de ’B’. Atencao! O autor em alguns pontos denota isso invertendoposicao dos sinais de aspas, coisa que nao sei fazer aqui e, portanto, indicarei isso entre parenteses, nos casos em queassim percebo)


Se ele nao enriqueceu o patrimonio comum da humanidade, soube no entantoaperfeicoar-lhe a forma, legando e sistematizando um metodo: a demonstracao porabsurdo. O constante emprego deste metodo foi o que compeliu Platao a conferir-lheo tıtulo que acima mencionamos [Palamedes Eleata - isto e, o inventor do torneiodialetico] e, sem duvida, tambem por esta razao, Aristoteles o qualifica de inventorda dialetica. (Zafiropulo, 1950, p.173 ).

Em torno da interpretacao tradicional, como acima a designamos, avolumaram-se, porem,tais dificuldades que certos interpretes do pensamento de Zenao entenderam nao so que e duvidosoque ele tenha defendido uma forma de monismo, como tampouco e certo que se tenha utilizado dometodo de reducao ao absurdo, ja que nao existe qualquer fundamento textual que permita sus-tentar que ele tenha efetivamente empregado este procedimento inferencial. Com efeito, os textosde que dispomos nao encerram literalmente qualquer aplicacao integral desse princıpio e, sendoassim, certos historiadores contemporaneos inferem que Zenao nao se serve da reducao ao absurdocomo princıpio da refutacao. O que se constata e nao uma instanciacao de ¨Se ÄB¨ e ¨∼ B¨forem proposicoes verdadeiras, logo ¨∼ A¨ sera tambem uma proposicao verdadeira¨, mas umainstanciacao de outro princıpio, - por Platao denominado de äntilogica¨ -, ou seja, ele formulauma hipotese Ä¨ e dela extrai duas consequencias que se contradizem, isto e ¨B¨ e ¨∼ B¨ - umavez que nas passagens de que dispomos nunca se observa o giro conclusivo que consiste em afirmar afalsidade da hipotese inicial, isto e, ¨∼ A¨. Portanto, concluem esses autores, Zenao nunca aplicouo princıpio de reducao ao absurdo em suas argumentacoes (kerferd, 1981, pp.60-1; Barnes, 1979, I,pp. 253-6). Com efeito, a leitura atenta do argumento acima transcrito permite ver com clareza quea estrutura por ele assumida e, nao a de uma reducao ao absurdo, mas de uma implicacao da forma:

(I) Se A, entao B e nao-B

- onde ’A’ exprime, segundo o texto supracitado, ’existem multiplos seres’ e ’B’, por sua vez,’existe um numero finito de existentes’, enquanto ¨∼ B¨ estao em lugar de ’existe um numeroinfinito de existentes’. Por sua vez, os argumentos de que dispomos se revelam uma instancia, naopropriamente do princıpio acima, mas de uma conjuncao da forma:

(II) Se A, entao B; e se A, entao nao-B

- que e, como se percebe, logicamente equivalente ao anterior. Esta ultima expressao poremapresenta, nesse contexto, uma vantagem sobre a anterior no sentido de tornar mais natural a ma-nipulacao das expressoes ’Se A, entao B’ e ’Se A, entao nao-B’.

Mas, qualquer que seja a forma, I ou II, que assuma sua argumentacao, fica claro que elanao se identifica com reducao ao absurdo. Importa agora investigar por que Zenao assim procede epara tanto, talvez se encontre uma pista no Fedro, em que Platao no diz o seguinte:

Nao sabemos que o Palamedes de Eleia falava com tal arte que lhe permitia fazeras mesmas coisas parecerem a seus ouvintes semelhantes e dissemelhantes, unas emultiplas e em repouso e em movimento? ( Fedro, 261d )

Aqui, como se percebe, a atribuıda a Zenao o domınio de uma retorica e dialetica que, acercade uma mesma coisa, tanto consegue provar ser ela una quanto multipla, em repouso quanto emmovimento, semelhante quanto dissemelhantes. Tal arte e por Platao denominada de ’antilogia’ ou’antilogica’, antilogike, e se caracteriza por atribuir predicados contrarios ou contraditorios a ummesmo sujeito. Eis como ele descreve de forma mais minuciosa:

- Diga-me, Fedro, que fazem as partes contrarias no tribunais? Nao e, na verdade,uma antilogica (antilegousi)? Ou entao como chamaremos o que elas fazem?

- Exatamente assim, Socrates.

- Sobre o justo como sobre o injusto?

- Sim, Socrates.

- Nao e verdade que aquele que isto faz com arte fara parecer a mesma coisa, asmesmas pessoas, ora justa, ora injusta, como ele bem entender?


- Sem duvida.

- E se ele, Fedro, fala ao povo, tambem fara a mesma coisa ora parecer boa, ora ma?

- Exatamente assim.

- Nao sabemos que o Palamedes de Eleia falava com tal arte que lhe permitia fazer asmesmas coisas parecerem a seus ouvintes semelhantes e dissemelhantes, unas e e multiplasou em repouso e em movimento?

- Sem duvida, Socrates.

- Portanto, nao e apenas nos tribunais e na assembleia do povo, Fedro, que se aplica aarte da antilogica (antilogike); pelo contrario, ao que parece, o que existe e uma unicaarte que se aplica a tudo que se diz; e esta arte, se ela realmente existe, torna possıvelfazer tudo semelhante a tudo, em todos os casos, e aos olhos de todos os homens; e sealguem vier a fazer o mesmo, ser capaz de denunciar sua extravagancia. (Fedro, 261c4-e5 )

Como essa passagem claramente descreve, a antilogica e uma arte de aplicacao tao extensaquanto dialetica, e objetiva exibir para alguem, que um mesmo sujeito e dotado de predicadoscontrarios ou contraditorios. Nesse sentido, portanto, os argumentos de Zenao deveriam ser encar-ados nao como instancias de reducao ao absurdo, mas como instancias de I e II, isto e, definicoesde antilogica.

Pode parecer estranho que as duas interpretacoes acima, desenvolvidas do pensamento deZenao, tenham uma e outra, por apoio textual, dois dialogos platonicos. De fato, no Parmenides,lemos que Zenao se utilizava do procedimento de reducao ao absurdo, ja que ¨se os seres saomultiplos... e necessario que eles sejam simultaneamente semelhantes e dissemelhantes, o que porcerto e impossıvel..., entao por certo tambem e impossıvel que o multiplo exista¨. Por outro lado, noFedro encontramos uma passagem em que se diz explicitamente ser Zenao um mestre da antilogica,na medida em que fazia ¨as mesmas coisas parecerem a seus ouvintes semelhantes e dissemelhantes,unas e multiplas e em repouso e em movimento¨.

E esta situacao se torna ainda mais estranha na medida em que Platao tinha, a respeitodesses dois processos de argumentar, concepcoes bem definidas e, de certo modo, opostas. Comefeito, de um ponto de vista formal, a regra de reducao ao absurdo e um princıpio valido de in-ferencia e nos dialogos platonicos vemos esta regra utilizada, mais de uma vez, para refutar a teseadversaria.

O mesmo, porem, ja nao se da com as regras antilogicas utilizadas por seus mais visadosinimigos, os sofistas, com o objetivo, segundo nos informa Platao, de fazer parecer, para alguem,que qualquer tese sempre da origem a duas conclusoes conflitantes (cf.Fedro, 261c4-e5). De formageneralizada, trata-se de uma regra formalmente invalida de argumentar, pois, se a hipotese inicialfor uma proposicao verdadeira, ela nunca podera implicar uma contradicao. Com isso, a primeiracoisa que no vem a mente e nos interrogar se Platao nao se encontra aqui em flagrante contradicaoconsigo proprio, no momento em que interpreta de forma aparentemente tao diversa o metodofilosofico seguido por Zenao.

A respeito de Zenao, importa dizer que tanto a doxografia, quanto seus fragmentos, deixamentrever tres importantes topicos sobre os quais cremos nao haver possibilidades de grandes dis-cussoes.

Em primeiro lugar, Zenao nunca explicita o elenchos de que se vale para refutar as tesesdos adversarios de Parmenides. A seu respeito, tudo quando sabemos decorre de suas aplicacoesconcretas a cada argumento. Alias, e mesmo o caso de se questionar ate que ponto tinha Zenaoconsciencia de estar utilizando este ou aquele princıpio de refutacao.

Em segundo lugar, Zenao se aplicava a destruir um pequeno e bem determinado conjuntode teses filosoficas. Em outras palavras, ele se propunha a mostrar, para quem quer que fosse, que arealidade do espaco, do movimento, da multiplicidade e descontinuidade das coisas, implicava seriascontradicoes. Ele, portanto, se movia em um ambito doutrinario bem definido e delimitado. Sendoassim, nao e evidente que procurasse provar que qualquer tese, sem restricao, implicava contradicao.


Em terceiro lugar, Zenao sempre se servia de seus princıpios argumentativos nao paramostrar positivamente que Parmenides estava, de um ponto de vista doutrinario, na pista certa,mas tao-somente para evidenciar o equıvoco em que se encontravam os adversarios de seu sistema.

A aproximacao desses tres topicos a tudo quanto sabemos sobre a dialetica grega deixaentrever que a regra de argumentacao de que se serve Zenao atuaria fundamentalmente como umprincıpio para refutar ou testar hipoteses. Por tal razao, provavelmente e aqui utilizada a palavraelenchos em seu sentido de teste ou refutacao assumindo, porem, uma acepcao mais especializadade regra de argumentacao que capacite refutar ou testar uma proposicao. Deve-se a Zenao ter im-presso este curso a argumentacao em forma de dialogo. A dialetica passa a ter, daqui por diante,como um de seus objetivos, sabatinar ou examinar o interlocutor que assume uma postura arro-gante pelo fato de se julgar conhecedor de um saber ou de um conhecimento. Ha uma passagem noParmenides que parece ilustrar, de modo bastante explıcito, este aspecto de exame que assume aargumentacao zenonica:

E isso mesmo Socrates, respondeu Zenao. No entanto, tu nao apreendestes, com exatidao,o verdadeiro sentido de meu livro, embora, como caes da Laconia, tu saibas seguir edespistar a trilha da argumentacao. Mas, ha uma particularidade que te escapou: meulivro longe esta de ter tao altas pretensoes; ele nao foi escrito com o objetivo que tu lheatribues, isto e, de se afigurar aos olhos dos leitores como uma obra de grande vulto. Tudoo que disseste a esse respeito e simples acessorio. O fim precıpuo de meu livro e defendera tese de Parmenides contra os que pretendem ridiculariza-la, como se da admissao daexistencia do uno seguisse os maiores absurdos e contradicao. Este livro responde, pois,aqueles que sustentam a existencia do multiplo, em que os golpes sao desenvolvidos naoso na mesma moeda como tambem com juros e com a intencao manifesta de mostrar queda hipotese do multiplo decorre, caso se considere bem as coisas, consequencias aindamais ridıculas que da hipotese do uno. E pois, neste espırito de polemica que escrevi, notempo de minha juventude. (Parm., 128b-d)

Mais tarde, Socrates, que sempre proclamou a sua ignorancia, tambem empregara a dialeticacom esse objetivo, vale dizer, como instrumento crıtico de exame e refutacao, aspecto este que re-cebeu o nome de peirastike (cf. Carm., 170a-172b)(1).

A importancia deste processo de teste ou exame e tao grande que Aristoteles chega ate aensejar que nisto radica sua funcao fundamental quando afirma que ¨a dialetica se aplica a testar(peirastike) aquelas coisas que a filosofia, pelo contrario, conhece verdadeiramente¨ (Met., 1004b25-6). Muito provavelmente, Aristoteles atribui a Zenao o merito de ter inventado a dialetica, pelofato de te introduzido, no ambito da discussao por perguntas e respostas, o aspecto peirastico deexame e sabatina.

Mas importa ter presente que a dialetica so pode se converter em um instrumento crıtico deexame de refutacao caso se valha de regras aptas para desempenhar este objetivo. Neste sentido,a antilogica pode ser, se bem manipulada, um dispositivo interessante para testar a verdade deuma proposicao ou de uma hipotese e, nestes termos, nao deixa de ser um procedimento eficaz defalsificacao de hipoteses e testes. O mesmo pode ser dito da reducao ao absurdo, que tambem e ummetodo para testar o conteudo de verdade de uma proposicao. Usando a antilogica ou a reducaoao absurdo, o fato e que Zenao confundia seus adversarios mostrando as dificuldades inerentes asteses por eles sustentadas.

(1) Aqui, preferimos tao-somente transliterar o termo grego peirastikos, ¨peirastico¨, ja que nao encontramos em por-

tugues um vocabulo que exprima, com relativa, fidelidade, o que Aristoteles visa dizer com esta palavras. Na historia

recente das traducoes de Aristoteles, ele foi traduzido critique (Tricot), Saggitorio (Colli), examinatio-argument (Ross,

Pickard- Cambridge), exercitif ( Barthelemy Saint- Hilaire), examinativo (Samaraneh), ejercitativo (Azcaretae), etc.

Tal diversidade de formas mostra, de imediato, a dificuldade subjacente a este empreendimento.


[ O PI sem acaı / ”pegando”agua ] Marco/05/ Num: +∞−∞Deu-se algum fato indigno na historia da matematica ... 0 PI faz careta

O LADO MARGINAL DE NEWTON LEVA LEIBNIZ A MORRER NA MISERIA - I

O CIENTISTA INGLES SIR ISAAC NEWTON (1642-1727) AO ACUSAR FAL-SAMENTE DE PLAGIO E PERSEGUIR O MATEMATICO ALEMAO GOTTFRIEDWILHELM LEIBNIZ (1646-1716 ), MOSTRA-SE DESUMANO, ENVOLVE-SE NUMAIMORALIDADE PUBLICA AO PRESIDIR COMISSAO QUE APURAVA OS FATOS EPROMOVE A MISERIA FINANCEIRA DO MATEMATICO ALEMAO.

Para que hoje, passados alguns seculos,tenha-se uma ideia de qual foi o amago daquestao envolvendo esses dois grandes cientistas,necessitamos expor um pouco do Calculo Difer-encial e Integral, cujas origens sao as ideias domatematico grego Zenao de Eleia (≈ 450 a.C)(PI

Sorrindo) e dois problemas, em tese, radicalmentedistintos, propostos na Grecia Antiga:

- Como tracar uma reta tangente a uma curva emum ponto dado, e- Como calcular a area limitada por curvas.

Matematicos antigos mostraram, dentremuitos resultados, no primeiro caso, como tracar areta tangente em um ponto de uma circunferenciae no outro formulas da area de figuras planas -as que constam em livros ate o nosso ensino medio.

Contribuicoes inestimaveis para o calculoforam dadas pelos matematicos franceses Pierrede Fermat(1601 - 1665) e Rene Descartes(1596-1650), ao sintetizarem e formularemos fundamentos da geometria analıtica, taiscomo:- Criar o plano cartesiano;- Conceber que curva plana pode ser descrita porequacao em duas variaveis e que em algumas epossıvel explicitar uma variavel em funcao daoutra, y = y(x), por exemplo.- Exibir a equacao da reta que passa por um pontodado e que faz um determinado angulo com oeixo-X.

Ante este ultimo resultado, o problema dese obter a equacao da reta tangente a curvaem um ponto dado torna-se equivalenteem saber qual o angulo de inclinacao destaem relacao ao eixo-X. A tangente deste anguloe o

:::::::::

coeficiente::::::::

angular:::

da:::::

reta.

Intuitivamente, a reta tangente em um pontoP dado, fig.1, e obtida movendo-se uma reta se-cante - reta que passa por dois pontos da curva- fixa em P para a situacao limite quando ooutro ponto, Q, fig.1, desloca-se para proximo doprimeiro.

Em termo analıtico, encontra-se o o coefi-ciente angular da reta secante (fig.2) da curvay = y(x) no ponto P = (x, y(x)) que e dado dado

pory(x + 4x) − y(x)

4xe calcula-se o limite

fazendo 4x proximo de zero (4x → 0). Quandotal limite existe dizemos ser este a Derivada dacurva y(x) no ponto e que e denotada por

y′(x),dy

dyou

·

y(x).

Em resumo: A Derivada da funcao y = y(x)num ponto fixado (x, y(x) ) e dada por

lim4x−→0

y(x + 4x) − y(x)

4x, quando este existir .

Em 1684 Leibniz publica o que sabe deCalculo Diferencial e Integral, onde derivacaoe o conceito mais basico. E, mesmo que Newtonso faca o mesmo vinte anos mais tarde, como nome de Teoria das Fluxoes, este acusa omatematico alemao de plagia-lo, pois

:::::::::

haveriamnotas manuscritas deste abordando o assunto.Pior ainda, Newton ao impor a sua versaode Calculo aos demais, condena o ensinode matematica da Inglaterra, bem como detodos que sofriam da sua influencia, a umatraso, ja que a concepcao do matematicoalemao era mais avancada que a sua.

Quais eram as reais diferencasentre as formulacoes de Calculo deNewton e de Leibniz? Esclareceremos naproxima edicao.

”Todo novo conhecimento modifica o mundo para melhor ou pior” ( W. Heisenberg, Fısico Alemaoe Premio Nobel )

Proposta pedagogica do uso do jornal na aula de matematica.

Crıticas e sugestoes para: Prof. Joao Batista do Nascimento - Dep. Mat. UFPA ( [email protected] )


[ O PI sem acaı / ”pegando”agua ] Marco/05/ Num: +∞−∞ + ∞Deu-se algum fato indigno na historia da matematica ... 0 PI faz careta

O LADO MARGINAL DE NEWTON LEVA LEIBNIZ A MORRER NA MISERIA - II

Um dos poucos pontos pacıfico quando se tratade Leibniz e Newton e a genialidade peculiardestes e que, sem nenhuma duvida, ambos sabiamo essencial ja acumulado sobre derivacao, taiscomo o fato da derivada de y(x ) = x n ser dada

pordy

dx= nx n−1 e da possibilidade de se fazer

derivada de derivada.

No entanto, ha um diferencial imensoentre as duas formulacoes de calculo, comoveremos no que segue.

Uma teoria a qual Newton mostrou-seapegado ao extremo foi a das Series. Es-pecialmente a de potencia, e que consisteem fazer f(x + x0) =

∑

an x n, onden e os termos an sao determinados pelafuncao e a igualdade depende, dentre outras,da distancia entre x e x0. Um exemplo e

1

1 + x= 1−x+x2−x3 + . . . =

∞∑

n=0

(−1)nxn, com

| x |< 1. A mais comum delas e a de Taylor( em homenagem ao matematico ingles Brook

Taylor/1683 -1731), f(x + x0) =

∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!xn

onde 0! = 1, n! = n(n − 1) . . . 1, para n > 0, ef (n)(x0) e a derivada de ordem n neste ponto,sendo f (0)(x0) = f(x0).

Mais ainda, operacoes que normalmentefaziam com funcoes, tais como: somar, mul-tiplicar, derivar, etc., em alguma situacoesespeciais, tambem se tornou possıvel com series.

Por exemplo, ln (x+1) = x− x 2

2+

x 3

3−. . .

=

∞∑

n=0

(−1) nx n

n, onde | x |< 1, e

d

dx( ln (x + 1) ) =

d

dx(x − x2

2+

x3

3− . . .) =

1− x + x2 − x3 + . . . =

∞∑

n=0

(−1)nxn =1

1 + x, com

| x |< 1, e um caso destes.

Imbuıdo nesta concepcao, defendemos quenao havia como Newton se preocupar com aderivada do produto de funcoes. Ja queneste caso, transformava cada fator em serie,multiplicava estas e derivava termo a termo aserie resultante.

Leibniz, ao contrario de Newton, nao apre-sentava grande domınio com series, pois ate

dissera erroneamente que 1− 1 + 1− 1 + . . . =1

2.

E, a regra para expressar a derivada do produto ((f ×g)′(x) = ( f(x)×g(x))′ ), usando o que e maisesperado, as derivadas de cada uma das funcoes,

passa pelo quociente(f × g)(x + h) − (f × g)(x)

h

i.e.,f(x + h) × g(x + h) − f(x) × g(x)

h. Neste

faz-se um ajuste de acrescentar e retirar simul-taneamente o termo f(x) × g(x + h) e depoissepara-los em parcelas convenientes, ficando com:

f(x + h) × g(x + h) − f(x) × g(x + h)

h+

f(x) × g(x + h) − f(x) × g(x)

h=

f(x + h) − f(x)

h× g(x + h) +

g(x + h) − g(x)

h×

f(x).

Aplicando Limite nesta ultima expressao aofazer h tender a zero, surge a Regra de Leibniz:

( f(x) × g(x))′ = f ′(x) × g(x) + f(x) × g′(x).

Nao ha duvida de que o ajuste leibniziano,acrescentar e retirar o mesmo termo, e algoimprovavel, de fato um desaforo, ao pensamentonewtoniano. Pois, este estava impregnado dealquimia, onde a irreversibilidade predomina.

Indo alem, Leibniz generaliza a sua regrapara a derivada de ordem superior:

(f×g)(n)(x) =

n∑

k=0

(

n

k

)

f (k)(x)×g(n−k)(x),

onde

(

n

k

)

, que e dado porn!

(n − k)! × k!, e

conhecido por coeficiente binomial de Newton.

Mesmo ante tudo isto, Newton nao excitaem desqualificar Leibniz o maximo possıvel.Ate comete a imoralidade de presidir comissaoque a Royal Society criara para decidir quemtinha criado o calculo. E, na miseria absoluta,morre, em 1716, Gottfried Wilhem Leib-niz; foi preciso que o seu funeral fosse pago pelaunica pessoa que a este compareceu: o seu criado.

Finalmente, lembrando que um teorema fun-damental do calculo, que ambos provaram,mostra que a area de certas figuras planas,depende da funcao cuja derivada tenha porgrafico parte da fronteira da figura.

” A pesquisa da verdade por si mesma nao e tolerada’ ( A. Eintein, apontando o inicio dabarbarie )

Proposta pedagogica para o ensino ( MATEMATICA PARA APRENDER E ENSINAR, VOL. I )

Crıticas e sugestoes para: Prof. Joao Batista do Nascimento - Dep. Mat. UFPA ( [email protected] )


ASPECTOS DA MA QUALIDADE DO ENSINO DA

MATEMATICA NO BRASILE

UM POUCO DE FILOSOFIA/METODOLOGIA DO ENSINO

DA MATEMATICA COM BASE NA FILOSOFIA DE ZENAODE ELEIA

NASCIMENTO, J.B, ICEN/MAT/UFPAhttp://lattes.cnpq.br/5423496151598527

www.cultura.ufpa.br/matematica/?pagina=jbnE-mail: [email protected], [email protected]

INTRODUCAO - Fragmentada, espacada e com poucas garantias de autenticidade, sao car-acterısticas de quase tudo relacionado com Grecia Antiga, especialmente no que dependa do textual,por acrescer nisso as dificuldades da lıngua. E no que diz respeito ao Filosofo Grego Zenao deEleia (aprox. 490 - 450 a.C), tudo isso e reforcado por diversos outros fatores, como o fato desseser aqui representar toda uma corrente filosofica, cujo expoente e Parmenides de Eleia (aprox. 530- 460 a.C). Outro desses e o fato de que algumas das suas reflexoes atingiam diretamente preceitosate do tido por sagrado por corrente pitagorica, ja entao a mais influente comunidade matematicae mais poderosa que ja existiu em toda Historia da Matematica, se sentido fizesse propugnar da suaextincao. Pois, aqui ficara demonstrado do quanto os fatores dos mais desqualificantes das acoesdestes, e ate do aberrante, estao presente no que se faz atualmente por ensino da matematica noBrasil.

Isto porque ensino da matematica, assim como toda educacao, e produto milenar que trans-parece ter apenas alguns segundos. Posto que, guarda pouca diferenca entre proposicao como constaescrita nos Elementos de Euclides (300 a.C) ou em compendios escolares dos dias atuais; isso naose refere ao conhecimento matematico propriamente, mas profundamente das abordagens e numaspecto crucial: formacao docente. Portanto, dos processos presentes em sala de aula.

E o que mais transparece segundos sao aspectos que adquiriram rigidez, porquanto, arraiga-dos ao ponto de tratar-se de crime educacional quando demonstrado ser inqualificavel. E quemdenuncia veementemente ser isso e o fracasso no Brasil. Para provar isto quando Educacao/Ciencianao e construcao da verdade ultima, imposto e delinear do que se propoe por verdadeiro. Isto e,esclarecer da filosofia e, consequentemente, dos preceitos e das suas insercoes. Entretanto, isso naopode pretender abracar o todo, assim nao espere aqui um remedio milagroso para toda desventurado nosso ensino da matematica, quanto menos da educacao como um todo, porque um preceitofundamental de toda filosofia proposta na qualificacao da Educacao/Ciencia e reconhecer da suanecessidade exatamente por nao haver teoria capaz de abranger o tudo.

Assim como, o pretendido aqui e levantar um pouco da cortina obscura que sempre cobriutudo isso, delineando alguns fatos no tema que possa, quica, trazer algumas reflexoes ao que pre-tenda seguir na carreira docente e mais imediatamente na area de matematica.

ALGUNS FATORES TERRIVEIS DE UMA FILOSOFIA/METODOLOGIA DOENSINO DA MATEMATICA - O mais determinado e que nas leituras mais disponıveis paraformacao docente em matematica no Brasil simplesmente omite os fatos ou os tratam por irrele-vantes. Por isso, precisamos buscar obras que visam o publico nao especializado para reproduzirtrechos descritores desses principais aspectos. Um e esse abordando a comunidade fundada porPitagoras (g.n):


¨Seus seguidores dividiam-se em dois grupos hierarquicos. Os iniciados - con-hecidos como öuvintes¨ - nao tinham permissao para falar. Esperava-se o tempotodo que fizessem jus ao nome e decorassem as palavras do mestre. Os do grupomais antigo eram chamados de ¨matematicos¨. A esses era permitido fazer perguntase, por vezes, expressar opinioes proprias. Tambem podiam conduzir suas propriasinvestigacoes e eventualmente faziam descobertas matematicas originais. Entretanto,esses avancos eram sempre creditados ao mestre. Como ja ressaltei, eis a principalrazao pela qual e tao difıcil apontar o que exatamente o proprio Pitagoras descobriu.

A filosofia numerica de Pitagoras e compreensıvel e de fato tem alguma justificacao. Mas suareligiao numerica, nao - exceto no sentido mais fantasioso. Os numeros dividem-se em machos(ımpares) e femeas (pares). Essa premissa basica trouxe-lhe, porem, certas dificuldades. O numero1 nao poderia ser o primeiro porque realmente nao era um numero de fato - era o todo indivisıvele, nesse estado indivisıvel, avesso inteiramente a nocao divisional dos numeros e da matematica.

Por outro lado, 2 certamente nao podia ser o primeiro numero, pois era femea. Oceu proibia. Entao Pitagoras decidiu que 3 seria o primeiro numero real - pela engenhosa razaode que era o primeiro numero completo porque tinha comeco, meio e fim (Comparem isso com anocao de 1 sendo como um ponto, do 2 como uma linha, do 3 como um plano e comecamos a vercomo ele ia longe).

Mais tarde os pitagoricos remediaram ligeiramente isso sugerindo que o 3 era o primeironumero real porque era primeiro a crescer mais por multiplicacao que pela adicao, ou seja, 3 x 3 emaior que 3+3. Isso pelo menos baseia-se numa propriedade matematica, nao em mera fantasia. Oscontos de fada numericos de Pitagoras logo descambavam para todo tipo de magia. O 5 associou-seao casamento, porque era a soma do primeiro numero femea, 2, e o primeiro macho, 3. (Como pode-mos ver, a razao dedutiva nao era parte integrante da religiao dos numeros. Se 3 era o primeirodos numeros, como 2 podia ser o primeiro numero femea?

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materias.)Ëxtraıdo de Pitagoras e seu Teorema, Paul Strathen, D. Zahar, RJ, 1998, Pag. 41-42

Outro que delineia com clareza do quanto ensino da matematica ja apresentava sinais pre-ocupantes na Grecia Antiga e o seguinte:

¨No dialogo Menon, Platao descreve Socrates praticando a maieutica com um escravo elevando-o a conceber nocoes sobre intricada questao matematica (relativa aos ïrracionais¨).Mesmo que nao se trate, no caso, do relato de um fato efetivamente ocorrido, ou se teria sidooutro o conteudo da conversacao entre Socrates e o escravo, nao importa: a situacao descrita porPlantao e certamente representativa do menosprezo de Socrates pelos preceitos sociais da propriada propria democracia ateniense. Demonstrar publicamente que um escravo era capaz, se bemconduzido pelo processo educativo, de ter acesso as mais importantes e difıceis questoes cientıficasera sem duvida provar que ele era pelo menos igual, em sua alma, a qualquer cidadao. Erainvalidar as distancias sociais e polıticas entre os indivıduos e mostrar que, de direito, todos eramintrinsecamente semelhantes. Porque sua missao era levar todos os homens a buscar o verdadeirobem - pelo cuidado da propria alma -, Socrates contrariava os interesses daquela minoria quedetinha o poder na democracia ateniense. Assim, quando em 399 a.C a democracia condena-o amorte, ela nao apenas o pune: ela se defende.Ëxtraıdo de Socrates - Pessana, J.A.M, Colecao Pensadores, Nova Cultural Ltda, 1999.

Ao levar um escravo conceber saberes matematicos que, na epoca, era tema para especialista,Socrates prova que o saber matematico seria disponıvel para todo que tivesse interesse, porquanto,carecia que buscasse metodos e parametros de ensino, retirando isso do domınio apenas de algunsprivilegiados. Entretanto, isso e ir alem por renegar que matematica fosse saber acessıvel apenas aoque ja tivesse nascido com certas capacidades mentais, quica divinais. Ficando em tudo reveladordo quanto conhecimento matematico se inseria na construcao de poder, quando isso sempre se fazem mao dupla; usa poder para impor conhecimento matematico, ou tido por isso, para que depois,adicionado com outras formatacoes, possa ser refletido numa mentalidade social que perpetua taispoderes.

Assim, so provar que as atuais universidades publicas brasileiras quase nada distanciamdos principais metodos e parametros educacionalmente marginais usados por escolas pitagoricas esuficiente para demonstrar o aqui proposto. Vejamos quais sao esses e suas versoes atuais.


ESCOLA PITAGORICA COBRAVA NO INGRESSO SABERES QUE ESSA SONE-GAVA - Nao existe qualquer registro significativo do interesse desses em propor e disseminar con-hecimento matematico. Posto que, o sigilo era um dos seus dogmas, alem das concepcoes de poderesse oporem. Afinal, que governante de qualquer epoca seria simpatico com conceito matematico comode fracao que exige repartir algo igualmente? Assim como, isso nao significa, como e fato, deixarde haver alguns que propuseram um conjunto de saberes para tanto e que, em alguns casos espe-ciais, a escola pitagorica autorizava para que atuasse na sociedade como docente de matematica.Entretanto, tudo como excecao e jamais como acao determinante.

A situacao brasileira, considerando nao caber cobrarmos da rede privada nada daquilo queuniversidade publica nao se disponha, provo atraves de uma serie de dossies que essas agem talqual ocorria na base do pitagorismo. E os principais sao:

1 - Dossie Vestibulares - O mais comum nisso sao truques, decorebas e pegadinhas, porquanto,mais compostas do que ha de mais arrasadores do pensamento cientıfico. Dado que, nisso o maiscomum ocorrer e ficar uma idiotice revestida de sapiencia. E vao alem, pois ate aproveitam dodesespero geral que representa ingressar numa universidade publica no Brasil para levar o can-didato se comportar em quesito tal qual escoria social. Um exemplo disto e o seguinte quesito daUnesp/2009.2:

02. Suponha que um comerciante, nao muito honesto, dono de um posto de gasolina, vendegasolina ’batizada’. Ele paga a Petrobras R$ 1,75 o litro de gasolina e adiciona a cada 10 litrosdesta, 2 litros de solvente, pelos quais paga R$ 0,15 o litro. Nessas condicoes, o comerciante vendeo litro da gasolina ’batizada’ por R$ 2,29 e tem um lucro de 35% em cada litro. Se a gasolinasofrer um reajuste de 10%, qual devera ser o preco de venda, aproximado, para que o percentualde lucro seja mantido?(A) R$ 2,48 (B) R$ 2,49. (C) R$ 2,51. (D) R$ 2,52. (E) R$ 2,53.Fonte: http://media.folha.uol.com.br/educacao/2009/07/05/unesp prova conhecimentos gerais.pdf,acesso ag/2010

Ou seja, se ao inves de estudar os conteudos de matematica o candidato tivesse indo procu-rar fraudador de combustıvel para se informar do tema, estaria em melhores condicoes de ingressar.Por que esses acham que ter tal mentalidade e condicao apropriada para ter diploma de nıvel supe-rior? Qual tipo de poder subsidia-os para agirem assim sem que sofram qualquer constrangimento?Por que sao tao imputaveis? Qual tipo de poder reproduzem? Por que tais mentalidades deixariamde preencher ao maximo o espaco do processo de diplomacao com adestramento para que as suasacoes nao sejam concebidas como sao de fato, porem ate como contribuicoes valiosas para o bemda Nacao? O que mais justifica omissao de todos ante tais fatos que nao o muito alem do descritopor Tragtenberg [TR] por delinquencia academica?

E quem mostra nem sequer haver esperanca nas demais e o seguinte: A Universidade deBrasılia - UnB, assim como tudo dessa cidade, foi criada para servir de modelo e referencia na-cional. E apenas um pequeno relato de caso mostra o quanto essa ate subverte os valores maiselementares da civilidade. Comecando pela seguinte questao do vestibular do meio do ano de 2011.

O ultimo teorema de Fermat

No denominado ultimo teorema de Fermat, Pierre de Fermat (1601-1665) postula que nao hasolucao para a equacao xn + yn = zn, que generaliza o teorema de Pitagoras (x2 + y2 = z2), quandon for um numero inteiro maior ou igual a 3, e x, y e z forem numeros inteiros estritamente positivos.Internet: < www.atractor.pt > (com adaptacoes).

Tendo como referencia o ultimo teorema de Fermat, provado no final do seculo passado, julgueos itens a seguir, acerca de geometria e numeros reais.

35 - Infere-se do ultimo teorema de Fermat que nao existem triangulos retangulos em que oscomprimentos dos lados correspondam a numeros que sejam quadrados perfeitos.

36 - De acordo com o ultimo teorema de Fermat, e impossıvel encontrar numeros inteiros estritamentepositivos A, B e C que satisfacam a identidade A5+B5 = C5. No entanto, e possıvel encontrar numerosracionais A, B e C, estritamente positivos, tal que A5 + B5 = C5.


37 - Sabendo que Pitagoras acreditava que os numeros racionais eram suficientes para medir tudo queera possıvel medir, conclui-se, usando o proprio teorema de Pitagoras para os triangulos retangulosisosceles, que Pitagoras estava equivocado.

38 - Se x, y e z sao numeros complexos imaginarios puros e suas partes imaginarias sao numerosinteiros estritamente positivos, entao eles podem satisfazer a identidade x3 + y3 = z3.

Fonte: www.cespe.unb.br//vestibular/2vest2011/arquivos/2 VEST 2011 SEGUNDO DIA CADERNOTESLA.PDF, acesso jun/2011

O primeiro rasto de desonestidade intelectual do elaborador e a seguinte frase ¨Tendo comoreferencia o ultimo teorema de Fermat, provado no final do seculo passado¨. Pois, ao leitor desa-tendo isso fara transparecer que tal resultado e dos mais disseminado no ensino da matematica.Entretanto, um resumo disto e o seguinte:

Em 1993, o matematico ingles Andrew Wiles anuncia ter encontrado uma demon-stracao do famoso ultimo teorema de Fermat. Porem, pouco tempo depois se verifica haveruma falha na sua demonstracao. Wiles refaz estudos e 14 meses depois reapresenta suaprova, composta por de 200 paginas, a qual ainda hoje e dada por aceita. Pois, envolveformulacoes tecnicas que apenas algumas dezenas de matematicos em todo mundo temcondicoes acompanhar o raciocınio do autor.Adaptado de O Ultimo Teorema de Fermat, Simon Singh, Ed.Record, 1999

Porem, a desonestidade intelectual desponta quando no processo nao ha espaco para can-didato questionar nada, por correr o risco de ser expulso pelo fiscal por tumultuar, o que ja e umaimposicao em grande parte perpetrada e longe de ser apenas circunstancial. Portanto, esse precisaaceitar o dito pelo elaborador por verdadeiro e produzir o requerido como resposta certa, quandoo tema que foi abordado no quesito e tao recente que quase nao e abordado em livros didaticos,menos ate nos que sao distribuıdos pelo MEC na rede publica. E nos que constam nao e algo alemde informe tal qual fiz acima.

Entretanto, aceitar por verdade o que nao entende nao e parte do pensamento cientıfico,mas fe ou adestramento. E o ensino evita tratar algo por impossıvel, mas e ralo em metodos quecombatam o adquirido por adestramento, buscando colocar racionalidade no retido apenas por fe,quando dispoe de algo com valor cientıfico capaz de superar isso. Portanto, cabia ao sistema satis-fazer isso liberando, o que nao consta na pagina no Cespe/UnB, apos o termino da avaliacao comoesse resultado e de fato fruto do conhecimento matematico e numa formulacao ao nıvel de ensinomedio. Sem isso, o que se produz e ignorancia social, pois deixa todo que nao sabia no decorrer daprova sem saber.

Ou seja, e desonestidade pura e simplesmente ganhar a taxa do vestibular de quem naosabia e depois deixa-lo sem qualquer oportunidade de conhecer. Portanto, ganham agora com onao saber e deixa sem saber para ganhar mais depois. Isso sendo perpetrado por que tem cargode docente publico federal devia ser caracterizado por crime, se nao fosse a mesma em diplomassemais dentro de uma concepcao de direito que torna tudo isso legal.

E mais ainda: por isso podem ate confessarem publicamente que cometem crime, como con-sta nesse trecho de artigo de reitor e decano da UnB:

¨Mas a evolucao do CESPE/UnB explicitou um hiato entre os requisitos de suas operacoes e osdispositivos legais existentes para o desenvolvimento destas atividades no ambito da universidade. Aprincipal dificuldade diz respeito a contratacao de pessoal para os certames gerenciados pelo Centro.Mesmo com a fundamental dedicacao dos servidores da UnB, o carater variavel destas atividadesexige uma flexibilidade que nao e compatıvel com o regramento das contratacoes na estruturauniversitaria.¨ O futuro do Cespe: um modelo inovador de empresa publica, Jose Geraldo de SousaJunior e Eduardo Raupp,Fonte: www.unb.br/noticias/unbagencia/artigo.php?id=404, acesso jun/2011


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E o que alegam e falso. Posto que, para cobrar taxa pelos seus servicos o Cespe/UnB, assimcomo todos esses sistemas, age tal qual empresa privada e em alguns casos ate se permite cobrarmais caro. Pois, tem o respaldo da qualificacao do corpo docente da universidade publica e no lucroinclui ate usar isso indiscriminadamente em deprimento da funcao publica. Posto que, entre cumprirhorario de aula e atender isso, aulas se tornam irrelevantes. E todos esses sistemas de vestibularesdas publicas foram criados na presuncao de que cobrariam apenas uma pequena contribuicao e hojefaturam bilhoes por ano.

Por isso, o Novo Enem como vestibular nacional nao traz nenhum contributo na melhoria dessasituacao, porquanto ser apenas uma tentativa de concentrar grande parte dos ganhos disto numaconcursobras, o MEC quer encampando o Cespe/UnB, que faturaria diretamente do e via MEC.Pois, a concursobras ira ganhar tanto pelo fato do MEC pagar pela isencao que concede a redepublica, quanto por comprar vagas das universidades publicas, via barganhas orcamentarias e out-ros favores.

Sem duvida, as universidade publicas formam o macro estruturante do educacional brasileiro,porquanto, rede privada e apenas subproduto dessas. O que leva pesquisar sua origem fundamental.E nisso encontrarmos que sua historicidade essencial comeca na revolucao de 64 quando passaramperseguir docente dessas e preencher as vagas, salvo rarıssimas excecoes, por gosto de general quetinha poderes acima do reitor. E o fato mais significativo nessa construcao e que alguns desses nodia seguinte ao que recebeu aval de general, apos uma conversa da qual nao se sabe haver registrosalgum, transparecia em sala de aula ser um arrematado esquerdista. Nisso, UnB foi uma das maisatingida, chegando ao ponto de quase 200 docentes pedirem demissao ou fugirem numa semana. Eem poucas outras o general conseguiu ¨docente¨ para quase todas as vaga.

E tudo que acontece nos vestibulares das publicas tem o seguinte pano de fundo: um dosfatores que alimentava o meio estudantil contra a ditadura de 64 ficou conhecido por ¨Problemados Excedentes¨: os que reconhecidamente tinham condicoes de fazer ensino superior, porem ficavade fora por exceder o numero de vagas. E a coisa se desenvolveu de tal modo que hoje ate casos desobra de quase mil vagas em universidade publica nao comove ninguem, exatamente pela ideolo-gia que a ditadura implementou ao cooptar universidade publica de que esses ficaram de fora porser incompetente para fazer curso superior. E a parcela maior atingida por essa sempre foi alunode rede publica, ja que estudante da rede privada nao preocupava a ditadura. Porem, agora queinstituıram cota para esses, nao apareceu, e nem vai, qualquer grupo representativo de cotista darede publica com desempenho academico inferior aos demais.

E diversos outros fatores ja motivavam pesquisar tais fatores no ambito de universidadepublica. O determinante foi quando no vestibular/99 da UFPA um jovem da rede publica foi re-provado por causa da prova dita de matematica, pois essa estava eivada de erros, que incluıa ogrosseiro de fazerem constar inscrito, depois de dados algumas condicoes, ¨calcule os angulosintervalos do losango¨ quando tinha que ser ¨calcule os angulos internos do losango¨.

Ante isso, pessoas que ate seguramente correram risco de vida no perıodo ditatorial porparticipar do movimento estudantil embalado pelo ¨Problema dos Excedentes¨, agora participandoda estrutura da universidade publica defende que a prova estava ainda certa e ate convencemprocurador federal de que seria inqualificavel para fazer curso superior em universidade publicaquem nao fosse esperto o suficiente para perceber qual era o certo a fazer, mesmo que nao tivessetao bem corretamente escrito na prova.


2 - Dossie Formacao - Imersas nesse quadro anterior, no geral, as universidades publicasnunca sequer se preocuparam em qualificar formacao docente. O metodo mais comum, denomino, ediplomar os inimigos da escola. Posto que, isso e feito isoladamente por especialidade gerando cadaqual ate com preconceitos com os demais. Assim, o de Matematica detestando Pedagogia, odiandoHistoria, achando Geografia coisa sem sentido, etc. E vice-versa para todos. Portanto, isso faz comque esses nao se integrem na escola, refletindo um mınimo de harmonia.

O dito e bem diferente de invadir especialidade dos demais, tornando o fazer escolar so-brecarregado de tensoes e perigosamente explosivo quando se junta com outras desqualificacoes etensoes sociais. Isso quando nao estao submersos numa harmonia compactuada da mais indigesta. Etodo o processo de diplomacao especıfica segue dentro das mesmas condicionantes que sao descritasdos pitagoricos antigos, porquanto, tudo e atual.

De fato, a pesquisa mostra claramente acoes internas de tais centros especıficos em matematicaque caracteriza ate odio geral pela formacao docente para rede publica. Lembrando que para redeprivada estao dispensados disto, pois o graduando que assim desejar deve ir buscando romper suasdificuldades por conta propria.

E basta dizer que tal construcao de diplomacao e o que faz hoje docente de matematica darede publica nao achar nada demais nesses quesitos de vestibulares que analisei aqui, assim comoem nenhum outro, mas apenas incompetencia do aluno, quica uma falta de esperteza.

E o caso pesquisado que resume toda tragedia e livro didaticodas series iniciais, aprovado e comprado pelo MEC na redepublica, em que o numero sete e ilustrado com um gatinhosendo jogado do setimo andar. Quando se pensa nos absurdosdo que tiveram por formacao os que acharam isso como lindo;dos mais de trinta especialistas que compoem comissao do livrodidatico do MEC nada acharem nisso de horrıvel; e dos milharesde docentes que ate adotaram exemplar deste sem nada denunciar,amontoa-se uma quantidade imensa congruente aos piores lixoes.

Entretanto, em nada disto se compara, como aparece napesquisa, quando o MEC ate manda advogado defender e con-vencer procurador federal de que fatores como esses, ha dezenasde outros, [recurso na Representacao no 1.16.000.001323/2007-80 Contra Promocao de Arquivamento, 27/2007-PRDF/MPF/PP]sao qualificadores da rede publica; como se isso fosse alem ate doque esses merecem. E nada surpreende haver ate quem seja

diplomado em psicologia e trabalha em universidade publica comformacao docente, achar que ante tal coisa a crianca leitora da redepublica ira considerar que o gatinho estaria apenas brincando depular do setimo andar. Portanto, tem uma visao que nesse meiosocial so haveria demente.

E o caso ate agora mais escatologico dessa metodologia do ensino da matematica que per-meia o Brasil, de fato a pesquisa mostra ser toda Ibero-America - Dossie Internacional, e quea seduc/MG tem encaminhado estudante, Dossie/Simave/MG, para pesquisa que ate tira sanguesupondo que nota baixa em matematica seria por doenca genetica. Eis um trecho notıcia da base,mais em [EX], [OP], [IS] (g.n):


SEM HABILIDADE COM NUMEROS, Junia OliveiraO Estado de Minas, 08/06/2010

Criancas e jovens com notas baixas em matematica e dificuldades persistentes, naose limitando a perder media em algumas provas, merecem atencao dos pais e alerta naescola. O problema pode nao ser apenas o desafio em assimilar a materia. Eles podemsofrer de discalculia, um transtorno cronico na aprendizagem da disciplina, que nao podeser atribuıdo a falta de interesse do aluno, a uma educacao deficiente nem a escassezde estımulos. A doenca ainda nao foi completamente desvendada pelos cientistas, mas aestimativa e de que, por causa dela, 6% da populacao nao tenha habilidade com os numeros.

Em Minas Gerais, um grupo de pesquisadores esta colhendo mais informacoes etracando um perfil de criancas e adolescentes portadoras da sındrome. O trabalho,iniciado em 2008, esta sendo feito por profissionais do Laboratorio de Neuro-psicologiado Desenvolvimento da Faculdade de Filosofia e Ciencias Humanas (Fafich), em parceriacom o Laboratorio de Genetica Humana/Medica do Instituto de Ciencias Biologicas(ICB), com colaboracao do Servico Especial de Genetica do Hospital das Clınicas,todos da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), e do Centro de Tratamentoe Reabilitacao de Fissuras Labiopalatais e Deformidades Craniofaciais (Centrare), daPUC Minas. No estudo, criancas de 7 a 14 anos de escolas publicas e particularesde Belo Horizonte e Mariana, na Regiao Central de Minas, sao submetidas ao testede desempenho escolar. Aquelas que obtem resultado abaixo de 25% no subteste dematematica sao convidadas para uma segunda etapa de avaliacao, em que passam porentrevista clınica, testes psicologicos e de inteligencia. Elas tambem tem o sanguecoletado. [...]Fonte: wwo.uai.com.br/EM/html/sessao 18/2010/06/08/interna noticia,id sessao=18&id noticia=141062/interna noticia.shtml, acesso jun/2010

E novamente, e mesmo que a notıcia induza que mulher mineira estaria parindo criancacom tal doenca genetica, nem mesmo mulher mineira diplomada em matematica apresentaram napesquisa sequer compaixao com esses estudantes. Porquanto, tal qual corrente pitagorica apregoadesse da Grecia Antiga, acreditam que aprendizagem matematica depende de ter nascido com umadeterminada regiao cerebral da mais especial.

Disto, fica imprescindıvel ate estruturar uma historia do ensino da matematica que visitealguns episodios nos quais essa corrente pitagorica se apresentam por ¨vitoriosa¨. E fica definidopelo o exposto ser estes tantos que do somatorio despontam essas acoes na atualidade desqualifi-cadoras ao extremo do fazer ensino da matematica.

Concluindo a prova do afirmado em termos de ensino da matematica no Brasil, considerandoque se mostra tambem nao ser o unico fator que desqualifica o nosso educacional, a formulacao maiscomum de ensino da matematica que se faz no Brasil e sobrecarregada dos piores pressupostos queestavam presentes e dominantes nisso na escola pitagorica da Grecia Antiga. Portanto, isso requer(re)fazer reflexao dos que estavam propondo outras formulacoes, cujo predomino dessa correntepitagorica deveu-se por haver ¨vencido-as¨ .

Reconhecidamente um dos quais pitagorico em geral conta ter ¨vencido¨, ate apresentando-ocomo se fosse um louco varrido que teria dito no literal que Aquiles, o maior corredor da GreciaAntiga, perderia uma corrida para uma tartaruga, e Zenao de Eleia.


UM BREVE EXEMPLO DA APLICACAO DA FILOSOFIA ZENONISTA NOENSINO DA MATEMATICA - Considere desenvolvido o conceito de quadrado e que fiquedefinido, portanto, construcao social, que a area de um desse de lados medindo certa unidade 1useja 1u2. Alem disso, que se conceba que a area de figura composta por justaposicoes de outras, ouforma equivalente, seja a soma das areas de cada uma das componentes.

A primeira determinacao do ensino e esgotar o calculo de area dasfiguras que possam ser subdividas em quadrados do padrao ou equiv-alente. Assim como, fazer os consequentes imediatos, tal como, nessecaso, observar o fato do quadrado ser subdivido em dois triangulospela diagonal, o que define as areas destes, bem como de toda figuraque possa aplicar-se o mesmo anterior, portanto, ter uma triangulacaoque permita calcular sua area.

Note que tudo exige sistematizar e desenvolver metodos e parametros para que o fixadocomponha o ensino desse conteudo. Havendo duas premissas fundamentais:

- A avaliacao do conhecimento de toda turma nao pode ultrapassar esse;

- Nao e excluıdo totalmente ultrapassar esse limite, desde que seja apenas paraperceber quem ja possa ter avancado ou inovando, quando inovacao tem uma regradefinida: o arcabouco anterior nao prova ser falso.

Por tal construcao de area estabelecida, fica notavel nao haver para cırculo forma trivial decalcular sua area. O que nao exclui haver um arranjo engenhoso para tanto. Porem, ¨engenhosidade¨nao tem como racionalmente ser estrutura via ensino porque isso em algum ponto ultrapassara osaber sistematizado. No caso do cırculo, essa foi o seguinte: considere o cırculo devido em duasbandas pelo diametro. ¨Fatiando-as¨ pelo centro, sem desgrudar-se da circunferencia, ¨abrindo-as¨forma-se por justaposicao um ¨paralelogramo¨ de altura igual ao raio do cırculo r e com base detamanho π r . ¨Portanto¨, a area do cırculo e π r2.

Um ponto crucial da filosofia de Zenao e que dessa sobressai-se que depois de esgotado olimite para o calculo preciso, pode-se fazer com erro, desde que seja cometido o menor erro possıvel.Ou seja, fixado como saber apenas calculo de area com os metodos decorrentes pela contagem dequadrado prefixado, pode-se usar isso para calculo de area do cırculo, de fato aproximacao, deman-dando dois tipos de erros: por falta ou excesso; usando figura interna ou externa no cırculo. Issoimpoe, por exemplo, determinar qual e de todas as figuras internas, passivas de calcular-se sua areapelo metodo fixado, qual e a de area maxima.

Para ilustrar, considere que o fixado indica apenas area de retangulos.O proposto leva determinar, no caso de erro por falta, se existe e qual detodos internos de maior area possıvel. Analogamente, para figuras exter-nas, erro por excesso, o de menor area possıvel. E ante esse conhecimentopredeterminado, uma inovacao e conceber pentagono, mostrar que vale talqual o caso anterior e que, usando os extremais desses, os erros cometidossao menores. Ou seja, o pentagono interno de area maxima tem mais areado que o retangulo interno de area maxima, bem como o externo minimizamais.

Finalizando, tal concepcao sustenta-se e guarda valores na possibilidade de evolucao do con-ceito. E ao mesmo tempo delineia e pontua etapas que podem qualificar um sistema de ensino, naoapenas em termos de matematica. Havendo nisso uma decisao tecnica fundamental: dividir casamomento de aula entre o que ja se sabe e o que nao se sabe. Obviamente, que o docente precisandoorientar nao pode ter formacao tao rala que o inclusa nessa particao em condicao que nao se dis-tancie dos estudantes. E no todo e exigido sistematizar responsabilidades para cada nıvel.


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Elza F. Gomide, IME/USP.

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[CA] Carraher, T.N (org) - Aprender Pensando, 14a edicao, Ed.Vozes, 2000.

[DE] Dewdney, A.K. - 20.000 Leguas Matematicas, ed. Zahar,1999

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[FR] Fritz, K.V - The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, Annal of Mathematics,

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[EX] http://www.exkola.com.br/scripts/noticia.php?id=34579041, acesso jun/2010

[OP ] http://blog.opovo.com.br/educacao/sem-habilidade-com-numeros/, acesso jun/2010

[IS] http://isaude.net/z9h8, europsicologia e genetica decrifram causas e consequencias da discalculia, Saude

Publica, acesso jun/2010

Bibliografia

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