Notationen

R+ iR o.E. In~1 In / I Tn 7JT

I\,V

( , )

(E,F) 1111

lxi III ji IL* IL~>-' ä

ä(t) 01

!!IJo !!IJ(8) BM BM(M,g)

CA c. (r.c., l.c., r.c.l.l.)

<t' <t'o C(8)

Co(8) C(81 ;82 )

C(R+;Rd )

Co(R+;Rd )

{tER:t~O} Ru {±co} ohne Einschränkung der Allgemeinheit punktweise Konvergenz punktweise Konvergenz mit I n ~ I n+l

Tn / T mit Tn < T f.ü. auf {O < T < co}; S.298 punktweise gebildetes Infimum (Supremum) von reellwertigen Funk­tionen inneres Produkt (auf R-Vektorräumen, insbesondere Rd ); bei Riemannschen Mannigfaltigkeiten auch Bezeichnung für die Metrik Dualität zwischen R-Vektorräumen E und F; S. 36 Norm c~t X~)1/2, XE Rd

1/1(8) = 1/(8)1, Betrag einer Rd-wertigen Funktion Fouriertransformierte eines Maßes IL auf Rd ; S. 37 äußeres Maß zu IL IL absolutstetig zu >-. (>-'(N) = 0 => IL(N) = 0) Geschwindigkeitfeld längs einer M-wertigen Kurve a als Element in r(a*TM); S.359 Geschwindigkeit der Kurve a bei t; S. 355 stetige adaptierte reellwertige Prozesse, lokal von beschränkter Variation; S. 159 {X E 01 : X o = 0 } linksstetige adaptierte reellwertige Prozesse, lokal beschränkt; S. 159 {X E !!IJ: X o = O} Boreische u-Algebra auf einem topologischen Raum 8 Brownsche Bewegung Klasse der Brownschen Bewegungen auf einer Riemannschen Man­nigfaltigkeit (M,g); S. 405 n \ A; mengentheoretisches Komplement pfadweise stetig (rechtsstetig, linksstetig, rechtsstetig mit linksseiti­gen Grenzwerten) stetige adaptierte reellwertige Prozesse; S. 159 {X E <t': X o = O} Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf einem topologi­schen Raum 8 {J E C(8) : {I/I ~ c} kompakt, jedes c > O} für 8 lokalkompakt Raum der stetigen Abbildungen von 81 nach 82

{I: R+ ~ Rd : I stetig}

{I E C(R+;Rd ) : 1(0) = O}

546

Cut(X) df =: f*

df", =: (f*)", dimM D(U) D(M) dM(x,y) =: d(x,y)

.6. 818h i =: 8i

8M =: 818r EX E!fBX

7r: E --t M; EIM gradf FD-Halbgruppe § 1'9'-meßbar

GL(n;JR)

'YQ qE) r(f* E) r(p) r(TM) r(f*TN) rt Konj(x) kM L(oo) L(M) (M,g) .A .Ao .A(1 v Vt

O(M) O(n) V'

Notationen

{J: U --t JR : f k-mal stetig differenzierbar} Raum der (unendlich oft) differenzierbaren reellwertigen Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit M; S. 352 Raum der (unendlich oft) differenzierbaren Abbildungen von M nach N; S. 352 Schnittort einer Riemannschen Mannigfaltigkeit bezüglich X; S. 488 Differential einer Abbildung f: M --t N als Element in r(TM 0 j*TN); S.359 Differential der Abbildung f bei X; S. 354 Dimension der Mannigfaltigkeit M {f E COO(U) : Träger von f kompakt} Raum der Testfunktionen auf einer Mannigfaltigkeit M; S. 352 mittels der Riemannschen Metrik gemessene Distanz zweier Punkte x,y E M; S.480 Laplace-Beltrami-Operator; S. 404 Koordinatenvektorfelder zu einer Karte (h, U); S. 354 radiales Vektorfeld bezüglich eines ausgezeichneten Punktes; S. 512 Erwartungswert von X bedingte Erwartung von X zur lT-Algebra Pß; S. 18 lokaltriviale Faserung über M, z. B. Vektorbündel über M Gradient von f E COO(M); S. 401 Feller-Dynkin-Halbgruppe; S. 116 meßbar bezüglich der lT-Algebren § im Definitions- und '9' im Bildraum Gruppe der invertierbaren n x n-Matrizen mit Koeffizienten aus JR Gaußsches Zylindermaß zur Kovarianz Q; S. 39 COO(M)-Modul der Schnitte im Vektorbündel 7r: E --t M; S. 357 COO(M)-Modul der Schnitte längs f: M --t N; S. 359 Raum der Schnitte in einem Prinzipalbündel 7r: P --t M COO(M)-Modul der Vektorfelder auf M COO(M)-Modul der Vektorfelder längs f: M --t N Christoffel-Symbole einer covarianten Ableitung; S. 387 konjugierter Ort bezüglich X; S. 489 radiale Krümmungsfunktion eines Modells M; S. 513 Länge der Kurve 00; S. 396 Basenbündel über M; S. 412 Riemannsche Mannigfaltigkeit M mit g; S. 396 {X E ~: X - X o stetiges lokales Martingal}; S. 159 {X E.A: X O = O} {X E .Ao : X 11 112-beschränktes Martingal}; S. 177 Wienermaß; S. 54 Gaußmaß zur Varianz t ~ 0 auf JRd; S. 52 Orthonormalbasenbündel über M; S. 412 Gruppe der orthogonalen n x n-Matrizen mit Koeffizienten aus JR covariante Ableitung auf einem Vektorbündel; S. 386

V'X Y V'D U

V'df == Hessf

PDO IP'(S) prt : ST -+ S ]p,u] RicM

RiemM

SDGL Y S

TU) == traceV'df es TxM V(ajr) wd

Xt' dX X+ x. f(X) == foX L2 (X), Lroc(X) (F. X)t [X,Y] [X] [X,X]

Jb(dX,dX)

Jx o dXdY XdY X*dY c&"(X) Vx Vol !L I!LI

Notationen 547

covariante Ableitung eines Schnitts Y in Richtung Xj S. 386 covariante Ableitung eines Schnitts U längs einer Kurvej S. 386 zweite Fundamentalform (Hesseform) einer Abbildung f: M -+ Nj S.400 partieller Differentialoperator Potenz menge von S Koordinatenprojektion f t-> f(t) stochastisches Intervallj S. 179 Ricci-Tensor einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g)j S.493 Riemannsche Schnitt krümmung auf (M,g)j S.493 stochastische Differentialgleichung d + Aj S. 159 S u {~} Einpunkterweiterung (bei lokalkompaktem Raum S: Einpunktkompaktifzierung); S. 81 {f : f Abbildung von T nach S} T-fache Produkt-u-Algebra einer u-Algebra Y von einer Familie :J von Mengen bzw. Funktionen erzeugte u-Algebra Spannungsfeld einer Abbildung f: M -+ Nj S. 439 Zeit-Shift um Sj S. 124 Tangentialraum von M im Punkte Xj S.354 offene Kugel um a mit Radius rj S. 25 C(IR+;IRd ), Wienerraum, versehen mit der Topologie der gleich­mäßigen Konvergenz auf kompakten Intervallen sup{IXsl : 0 ~ S ~ t} zu einem IRd-wertigen Prozeß X !to-Differentialj S. 194 Positivteil des reellwertigen Prozesses X (X.(w))t = Xt(w) Pfadabbildung zum Prozeß Xj S.42 (f 0 Xt)tEIR+; S. 196 Räume stochastischer Integranden zu X E Aj S. 179

J~ F s dXs = J~ F dX stochastisches Integral; S. 181 quadratischer Kovariationsprozeß zu X, Y E Yj S. 173 [X, X], quadratischer Variationsprozeß zu X E Y J g(dX,dX) Riemannsche quadratische Variation eines M-wertigen Semimartingals X j S. 404 b-quadratische Variation eines M-wertigen Semimartingalsj S. 377 Stratonovich-Integral einer Differentialform ° längs Xj S. 379 d[X, Y] zu X, Y E Yj S. 194 d(X • Y) zu X, Y E Y; S. 194 X dY + !dX dY zu X, Y E Yj S. 200 eX-![Xj zu X E Yj S.199 Variationsprozeß zu Xj S. 159 Riemannsches Volumenmaßj S. 524 Zerlegung eines Intervallsj S. 156 Feinheitsmaß von!L; S. 156

Literat urverzeichnis

[AL 71]

[A-S 85]

[AS 72]

[BA 90]

[BA 91]

[B-K-S 84]

[BI 81]

[B-G 68]

[BOU 69]

[CA 92]

[CH 84]

[CH-E 75]

[CH 82]

E. M. ALFSEN. Compact Convex Sets and Boundary Integrals. Berlin: Sprin­ger, 1971.

M. T. ANDERSON & R. SCHOEN. Positive harmonie functions on eomplete manifolds of negative eurvature. Ann. Math. IJ. Sero 121 (1985) 429-461.

R. B. ASH. Real Analysis and Probability. New York: Aeademie Press, 1972.

H. BAUER. Maß- und Integrationstheorie. Berlin: W. de Gruyter, 1990.

___ . Wahrscheinlichkeitstheorie. Berlin: W. de Gruyter, 1991.

G. BEN AROUS, S. KUSUOKA & D. W. STROOCK. The Poisson kernel for eertain degenerate elliptic operators. J. Funct. Anal. 56 (1984),171-209.

K. BICHTELER. Stoehastie integration and LP-theory of semimartingales. Ann. of Prob. 9 (1981), 49-89.

R. BLUMENTHAL & R. K. GETOOR. Markov Processes and Potential Theo­ry. New York: Aeademie Press, 1968.

N. BOURBAKI. Elements de Mathematique. Integration. Chapitre IX. Paris: Hermann, 1969.

M. P. DO CARMO. Riemannian Geometry. New York: Birkhäuser 1992.

1. CHAVEL. Eigenvalues in Riemannian Geometry. Orlando: Aeademie Press, 1984.

J. CHEEGER & D. EBIN. Comparison Theorems in Riemannian Geometry. Amsterdam: North-Holland Pub!. Comp. 1975.

K. L. CHUNG. Lectures trom Markov Processes to Brownian Motion. New York: Springer, 1982.

[CH-W69] K.L. CHUNG & J.B. WALSH. ToreverseaMarkovproeess. Acta Math. 123 (1969), 225-251.

[CH-W 90] K. L. CHUNG, R. T. WILLIAMS. Introduction to Stochastic Integration. 2nd

Edition. Boston: Birkhäuser, 1990.

[C-K-M 93] M. CRANSTON, W. S. KENDALL & P. MARCH. The radial part of Brown-

[DA 82]

[DA 83]

[DA 80]

ian motion 11. Its life and times on the eut loeus. Probab. Theory Relat. Fields 96 (1993) 353-368.

R. W. R. DARLING. Martingales in manifolds - definition, examples, and behaviour under maps. In J. AZEMA & M. YOR (Eds.) Seminaire de Pro-babilites XVI, 1980/81. Supplement: Geometrie Differentielle Stochastique. Leet. Notes in Math. 921 (1982) 217-236.

___ . Convergenee of martingales on a Riemannian manifold. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 19 (1983) 753-763.

E. B. DAVIES. One-Parameter Semigroups. New York: Aeademie Press, 1980.

[D-G-M 76] A. DEBIARD, B. GAVEAU & E. MAZET. Theoremes de eomparaison en geo­metrie riemannienne. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 12 (1976) 391-425.

[DE 80] C. DELLACHERIE. Un survol de la theorie de l'integrale stoehastique. Stoch. Processes Appl. 10 (1980), 115-144.

[D-M 78J

[D-M 82J

[D-M 88J

[DO 69J

[DO 84]

[D-S 65J

[D-S 58J

[DU 84J

[DY 65J

[EL 80J

[EL 82J

[EL 88]

[EM 89J

[FE 70J

[F-H 65J

Literaturverzeichnis 549

C. DELLACHERIE & P. A. MEYER. Probabilities and Potential. Mathema­ties Studies. Vol. 29. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp. 1978

___ . Probabilities and Potential B. Mathematies Studies. Vol. 72. Am­sterdam: North-Holland Publ. Comp. 1982

___ . Probabilities and Potential C. Mathematies Studies. Vol. 151. Am­sterdam: North-Holland Publ. Comp. 1988

W. F. DONOGHUE. Distributions and Fourier Transforms. New York: Aea­demie Press, 1969.

J. L. DOOB. Classieal Potential Theory and its Probabilistie Counterpart. New York: Springer, 1984.

L. DUBINS & G. SCHWARTZ. On eontinuous martingales. Proe. Nat. Aead. Sei. USA 53 (1965), 913-916.

N. DUNFORD & J. T. SCHWARTZ. Linear Operators. Part I. New York: In­terseienee Publishers, 1958.

R. DURRETT. Brownian Motion and Martingales in Analysis. Belmont: Wadsworth, 1984.

E. B. DYNKIN. Markov Processes. Vol. 1,11. Berlin: Springer, 1965.

K. D. ELWORTHY. Stoehastie methods and differential geometry. Seminaire Bourbaki 1980/81, n° 567. Leet. Notes in Math. 901 (1981) 95-100.

___ . Stoehastie Differential Equations on Manifolds. London Math. Soc. Lecture Notes Series 70. Cambridge: Cambridge University Press, 1982.

___ . Geometrie aspeets of diffusions on manifolds. In P. L. HENNEQUIN (Ed.) Beole d'BU de Probabilites de Saint-Flour XV-XVII. Leet. Notes in Math. 1362 (1988) 277-425.

M. EMERY. Stochastie Calculus in Manifolds (with an appendix by P. A. Meyer). Berlin: Springer 1989.

M. X. FERNIQUE. Integrabilite des veeteurs Gaussiens. C. R. Aead. Sc. Paris 270 (1970), 1698-1699.

R. P. FEYNMAN & A. HIBBS. Quantum Mechanies and Path Integrals. New York: MeGraw-Hill, 1965.

[G-H-L 90J S. GALLOT, D. HULIN & J. LAFONTAINE. Riemannian Geometry. 2nd Edi­tion. Berlin: Springer 1990.

[G-W 79J R. E. GREENE & H. Wu. Function Theory on Manifolds whieh Possess a Pole. Lect. Notes in Math. 699 (1979).

[GU 72J A. GUICHARDET. Symmetrie Hilbert Spaees and Related Topics. Leet. Notes in Math. 261 (1972).

[G-P 75J V. GUILLEMIN & A. POLLACK. Differential Topology. New Jersey: Prentiee Hall, Ine. 1975.

[HA 87J W. HACKENBROCH. Integrationstheorie. Stuttgart: Teubner, 1987.

[HE 73J L. L. HELMS. Einführung in die Potentialtheorie. Berlin: W. de Gruyter, 1973.

[IC 82J K. ICHIHARA. Curvature, geodesies and the Brownian motion on a Riemann­ian manifold. I. Reeurrenee properties. Nagoya Math. J. 87 (1982) 101-114; 11. Explosion properties. Nagoya Math. J. 87 (1982) 115-125.

[I-M 79J N. IKEDA & S. MANABE. Integral of differential forms along the path of diffusion proeesses. Publ. Res. Inst. Math. Sei. 15 (1979) 827-852.

550

[I-W 89]

[IT 44] [IT 51]

[IT 61]

[J-H 63]

[KA 59]

[KA 80] [K-S 88]

[K-N 63]

[K-N 69]

[KE 87a]

[KE 87b]

[KE 88]

[KE 90]

[KL 82] [KN 70]

[KO 84]

[LS 86]

[MA 78]

[MA 86]

[MK 69] [ME 82]

[ME 81a]

[ME 81b]

Literaturverzeichnis

N. IKEDA & S. WATANABE. Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes. 2nd Edition. Amsterdam: North Holland Publ. Comp. 1989. K. ITo. Stoehastie integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20 (1944), 519-524.

On Stoehastie Differential Equations. Amer. Math. Soc. Memoirs 4 (1951).

Wiener Integral and Feynman Integral. Proc. 4th Berkely Symp. Math. Stat. Prob. Vol. II (1961), 227-238. G. JOHNSON & L. L. HELMS. Class (D) supermartingales. Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), 59-62. M. KAC. Probability and Related Topics in Physical Sciences. New York: Interseience, 1959. G. KALLIANPUR. Stochastic Filtering Theory Berlin: Springer, 1980. I. KARATZAS & S. E. SHREVE. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1988. S. KOBAYASHI & K. NOMlZU. Foundations 0/ Differential Geometry. Vol.l. New York: Interseienee Publishers 1963. ___ . Foundations 0/ Differential Geometry. Vol. 11. New York: Intersei­enee Publishers 1969. W. S. KENDALL. Stoehastie differential geometry: An introduetion. Acta Appl. Math. 9 (1987) 29-60. ___ . The radial part of Brownian motion on a manifold: a semimartin­gale property. Ann. Probab. 15 (1987) 1491-1500. ___ . Martingales on manifolds and harmonie maps. In R. DURRETT & M. A. PINSKY (Eds.) Geometry 0/ Random Motion. Contemporary Mathe­maties. Vol. 73. American Mathematical Soeiety 1988, 121-157. ___ . Probability, eonvexity, and harmonie maps with small image I: Uniqueness and fine existenee. Proc. London Math. Soc. 61 (1990) 371-406. W. KLINGENBERG. Riemannian Geometry. Berlin: Walter de Gruyter, 1982. F. B. KNIGHT. A reduetion of eontinuous square-integrable martingales to Brownian motion. Lecture Notes in Mathematics 190 (1970), 19-31. P. E. Kopp. Martingales and Stochastic Integrals. Cambridge: Cambridge University Press, 1984. T. LYONS & D. SULLIVAN. Funetion theory, random path and eovering spa­ces. J. Differ. Geom. 19 (1984) 299-323. P. MALLIAVIN. Geometrie differentielle stochastique. Seminaire de mathe­matiques superieures. Montreal: Les presses de l'Universite de Montreall978. P. MARCH. Brownian motion and harmonie functions on rotationally sym­metrie manifolds. Ann. Probab. 11 (1986) 793-801. H. P. McKEAN. Stochastic Integrals. New York: Aeademie Press, 1969. M. METIVIER. Semimartingales: A Course on Stochastic Processes. Berlin: W. de Gruyter, 1982. P. A. MEYER. Geometrie stoehastique sans larmes. In J. AZEMA & M. YOR (Eds.) Seminaire de Probabilites XV, 1979/80. Leet. Notes in Math. 850 (1981) 44-102. ___ . A differential geometrie formalism for the Itö ealculus. In D. WIL­LIAMS (Ed.) Stochastic integrals. Proe. LMS Durham Symp. 1980. Leet. Notes in Math. 851 (1981) 256-270.

[MI77J

[NE 69J

[P-S 78J

[PR 90]

[PR 81J

[R-Y 91J

[R-W 87J

[SCH 80J

[SCH 82J

[SH 82J

[SI79J

[SI82J

[S-V 79J

[SU 83J

[TH 89J

[WA83J

[W-W 90J

[WI30]

[WI79J

[YAU 76J

[ZH 83J

Literaturverzeichnis 551

J. MILNOR. On deciding whether a surface is parabolic or hyperbolic. Am. Math. Mon. 84 (1977) 43-46.

J. NEVEU. Mathematische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Mün­chen: R. Oldenbourg, 1969.

S. PORT & C. STONE. Brownian Motion and Classical Potential Theory. New York: Academic Press, 1978.

P. PROTTER. Stochastic Integration and Differential Equations. A New Ap­proach. Berlin: Springer, 1990.

E. PRUGOVECKI. Quantum Mechanics in Hilbert Space. New York: Acade­mic Press, 1981.

D. REVUZ & M. YOR. Continuous Martingales and Brownian Motion. Ber­lin: Springer, 1991.

L. C. G. ROGERS & D. WILLIAMS. Diffusions, Markov Processes, and Mar­tingales. Vol. 2. Chichester: Wiley, 1987.

L. SCHWARTZ. Semi-martingales sur des varietes, et martingales conformes sur des varietes analytiques complexes. Lect. Notes in Math. 780 (1980).

___ . Geometrie differentielle du 2eme ordre, semi-martingales et equa­tions differentielles stochastiques sur une variete differentielle. In J. AZEMA & M. YOR (Eds.) Seminaire de Probabilites XVI, 1980/81. Supplement: Geo­metrie Differentielle Stochastique. Lect. Notes in Math. 921 (1982) 1-150.

I. SHIGEKAWA. On stochastic horizontal lifts. Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb. 59 (1982) 211-221.

B. SIMON. Functional Integration and Quantum Physics. New York: Acac­demic Press, 1979.

___ . Schrödinger semigroups. Bull. Ann. Math. Soc. 7 (82), 447-526.

D. W. STROOCK & S. R. S. VARADHAN. Multidimensional Diffusion Pro­cesses. Berlin: Springer-Verlag 1979.

D. SULLIVAN. The Dirichlet problem at infinity for a negatively curved mani­fold. J. Differ. Geom. 18 (1983) 723-732.

A. THALMAIER. Asymptotik Brownscher Bewegungen. Regensburger Mathe­matische Schriften 22 (1989).

F. W. WARN ER. Differential Topology. New York: Springer-Verlag 1983.

H. V. WEIZSÄCKER & G. WINKLER. Stochastic Integrals. An Introduction. Braunschweig: Vieweg, 1990.

N. WIEN ER. The homogeneous chaos. Amer. J. Math. 60 (1930), 897-936.

D. WILLIAMS. Diffusions, Markov Processes and Martingales. Chichester: Wiley, 1979.

S. T. YAU. So me function-theoretic properties of complete Riemannian mani­folds and their applications to geometry. Indiana Univ. Math. J. 25 (1976) 659-670.

W. A. ZHENG. Sur la convergence des martingales dans une variete riemann­ienne. Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb. 63 (1983) 511-515.

Sachregister

A-harmonische Funktion 132 Abbildung - affine 439 - harmonische 439 - horizontal konforme 445 - konvexe 439 - strikt konvexe 439 - submersive 390 - total geodätische 439 - wachstums beschränkte 291 Abhängigkeit stochastischer Integrale

vom Integranden - meßbare 189 - pfad weise 188 - stetige 189 Abmontieren der Faser 411 absorbierender Punkt 80, 131 absteigende Überquerungen 107 abstrakter Wienerraum 263 abzählbar determiniert 27 adaptierter Prozeß 85 affine Abbildung 439 algebraischer Tangentialraum 353 Anfangsverteilung 337 Anfangswert 281 ankündigende Folge 298 Anmontieren der Faser 411 Approximation stochastischer Integrale

192 Äquivalenz von Prozessen 43 Assoziativitätsregeln 184 assoziierte Filtrierung 85 assoziierter partieller Differential-

operator 282 - in Hörmanderform 283 assoziierter Zeitwechsel 222 assoziiertes Faserbündel 411 Atlas 350 Ausschöpfungsfunktion 470 Austrittsmenge einer Brownschen Bewe-

gung 534 autonome ltö-Gleichung 335

b-quadratische Variation 377 Basenbündel 412 Basis eines Faserbündels 356

Basissystem - induziertes 378 - lokales 357 bedingte Dichte 19 bedingte Erwartung 18 - faktorisierte 18 - Rechenregeln 21 bedingte Unabhängigkeit von a-Alge-

bren 66 bedingte Verteilung 23 Beispiel von - Elworthy 307 - Girsanov 340 - Johnson und Helms 242 Besselprozeß 481 Blagovescensky-Freidlin, Satz von 311 Blumenthalsches 0-I-Gesetz 87 BM-vollständige Riemannsche Mannig-

faltigkeit 469 BM-Vollständigkeit, Vergleichskriterium

544 Bochner, Satz von 38 Brownsche Bewegung 54, 405 - als universeller Fluktuationsprozeß

235 - Asymptotik 87 - auf einer Mannigfaltigkeit 405 - auf Modellen 538 - eindimensionale 436 - (fft)-Brownsche Bewegung 217 - Fourier-Charakterisierung 218 - gestoppte 220 - horizontale 441 - Levy-Charakterisierung 219 - Maximumprozeß 232 - mit Drift 59, 260 - radialer Anteil 520 - Radialprozeß 520 - Rekurrenz 535 - starke Markoveigenschaft 234, 524 - Transienz 535 - Vergleichssatz 522, 532 Brownsche Brücke 62 - von x nach y 326 Brownsche Filtrierung 245 Brownsche Geschwindigkeit 57

Sachregister 553

Brownsche Pfade 56, 239 Bündelatlas 356 Bündelhomomorphismus 357 Bündelkarte 356 Burkholder-Ungleichung 213

C""-Urysohnfunktion 134 Cameron-Martin, Satz von 261 Cartan-Abwicklung 431 Cartansche Strukturgleichungen 395 Chaos-Zerlegung 271 Chapman-Kolmogorov-Gleichungen 30 Christoffel-Symbol 387 covariante Ableitung 386, 387 - einer Differentialform 400 - eines Schnitts längs einer Kurve 388 - in Koordinaten 388 - induzierte 387 cut locus 488

Darstellung einer Gruppe 409 Datum einer SDGL 313 Debut-Theorem 91 Derivation 353 Desintegration des Wienermaßes 328 deterministischer Markovkern 23 - Wahrscheinlichkeitsraum 12 Diffeomorphismengruppe 356 Diffeomorphismus 352 Differential 354 - k-ter Ordnung 453 Differentialform 376 - komplexe 380 - k-ter Ordnung 453 Differentialgleichung zweiter Ordnung

393 differenzierbar 352 differenzierbare Mannigfaltigkeit 351 differenzierbare Struktur 350 differenzierbarer Atlas 350 Diffusion 134 - eindimensionale 342 - mit Drift und Kovarianz 281 - konditionierte 146 Diffusionshalbgruppe 134 Dilatation 445 direkter Summenzusammenhang 438 Dirichletproblem 151, 533 disjunkte Verkleinerung einer Mengen­

folge 44

DoIeansmaß 176 Doob, Lemma von 102 Doob-Meyer-Zerlegung 162, 196 Doobsche Maximal-Ungleichung 105 Drift einer Brownschen Bewegung 59,

260 Drift eines PDO 463 Driftterm der Girsanov-Transformation

255 Driftvektor einer Diffusion 136 dualer Zusammenhang 438 Dualität 36 Dynkin-Formel130 Dynkin-System 13

effektive Aktion 409 eigentliches Jacobifeld 496 Einbettung 355 Eindeutigkeit - der Lösungspfade 295, 304 - der Verteilung der Lösung 331 - von Maximallösungen 301 eindimensionale - Brownsche Bewegung 436 - Diffusion 342 - SDGL 338 eindimensionales - Martingal 436 - Semimartingal 436 Einheitskern 30 Einpunktkompaktifizierung 81 Eintrittszeit 91 elementare Markoveigenschaft 67 elementarer Prozeß 182 elliptischer Differentialoperator 135 Elworthy, Beispiel von 307 endlichdimensionale Verteilungen 43 Energiedichte 439 Ereignisse vor T 93 erreichbarer Randpunkt 342 erste Durchgangszeit 232 erste Fundamentalform 439 erste Variation der Länge 482 Erzeuger einer Halbgruppe 116 - erweiterter 322 Existenz- und Eindeutigkeit - globaler Lösungen 292, 295, 304 - von Maximallösungen 301 Explosionstest 343 exponentielles lokales Martingal 199

554

- komplexes 259 Exponentialabbildung 448, 483

faktorisierte bedingte Erwartung 18 faktorisierte bedingte Verteilung 23 Faktorisierungssatz 12 Faltungshalbgruppe 31 Faser über einem Punkt 356 Faserbündel 356 - assoziiertes 411 - mit Strukturgruppe 409 Faserung 356 - induzierte 358 - zurückgezogene 358 Fatousches Lemma 22 FD-Diffusion 134 Feinheitsmaß einer Zerlegung 156 FeIler-Dynkin-Halbgruppe 116 Fellers Explosionstest 343 Fernique, Lemma von 267 Feynman-Kac-Formel 320, 322, 328 Filtrierung 85 - assoziierte 85 - Brownsche 245 - inverse 112 - lokal vollständige 250 - rechtsstetige 85 - standard 85 - vollständige 85 - zeittransformierte 222 Fluß - Markovscher 76 - mit unabhängigen Zuwächsen 77 - stochastischer 76 Flußgleichungen 31, 314 Flußlinie 361 Flußprozeß 362 - zum Operator 2 285 Fockraum 274 Fokker-Planck-Gleichung 324 Fouriertransformation von Maßen 37 - auf~d 52 freie Aktion 409 fundamentale Isometrie 185 Fundamentallösung einer SDGL 286

r-Operator 373 G-invariante Spaltung 413 G-Zusammenhang 413 Gaußmaß auf ~d 52

Sachregister

Gaußmaß, kanonisches 262 Gaußprozeß 60 Gaußraum 63 Gaußsches Lemma 484 Gaußsches Zufallsfeld 63 Gauß-Markov-Prozeß 72 Gauß-Zylindermaß - kanonisches 41 - zur Kovarianz Q 39 Gedächtnislosigkeit 68 Geodätische 388 - minimale 486 - normale 483 - radiale 485 geodätische Kugel 485 geodätische Kurve 388 geodätische Polarkoordinaten 483 geodätische Sphäre 485 geodätische Variation 495 geodätischer Spray 393 geometrische Ito-Formel 433 geometrischer Tangentialraum 353 geschlossenes Martingal 112 gestoppte Brownsche Bewegung 220 gestoppte SDGL 299 gestoppter Prozeß 95 Geschwindigkeitsvektor 355 Girsanov, Beispiel von 340 Girsanov, Satz von 255 Girsanov-Transformation 255 gleichgradige Integrierbarkeit 16 globale Lipschitzbedingung 289 Gradient 401 Gronwall-Lemma 292

h-konditionierter Kern 142 HP-Martingal 472 Halbgruppe - Feller-Dynkin 116 - stark stetige 325 Haltezeit 127 harmonische Abbildung 439 harmonische Funktion - Integraldarstellung 132 - Poissonkern 151 harmonischer Morphismus 445 Hermite-Polynom 271 - in zwei Variablen 277 Hesseform 400, 439 homogenes Chaos 271

Sachregister 555

Homomorphismus von Vektor bündeln 357

horizontal konforme Abbildung 445 horizontale Brownsche Bewegung 441 horizontale Kurve 392 horizontale Spaltung 390 horizontaler Laplaceoperator 419 horizontaler Lift 390, 413, 417 - eines Semimartingals 421 horizontales Semimartingal421 Horizontalraum 413 Hörmanderform 362 hyperbolischer Raum 519 - Hyperboloid-Modell 520 - Poincare-Modell 519

Immersion 355 Indexform 496 Indexlemma 500 induzierte covariante Ableitung 387 induzierte Faserung 358 induzierte Form 378 induziertes Basissystem378 induziertes Vektorbündel 358 Injektivitätsradius 483 Integraldarstellung, Brownsche 248 Integralkurve 361 Integrator 161 - stochastischer 193 invariante Funktion 141 inverse Filtrierung 112 inverses Martingal 112 Isometrie 396 Itö-Differential 194 Itö-Formel 196 - geometrische 433 - komplexe 202 - koordinatenfreie Notation 202 Itö-Integral einer I-Form 434 Itö-Integrallängs eines Semimartingals

464 Itö-Meyer-Formel 210 Itö-Stratonovich-Formel 201 Itösche SDGL 281 - autonome 335

Jacobifeld 496 - eigentliches 496 Jacobivariation 495 Jensensehe Ungleichung 21

Johnson und Helms, Beispiel von 242

kanonische I-Form - einer Liegruppe 425 - eines Prinzipalbündels 418 kanonischer Repräsentant eines stocha-

stischen Prozesses 43 kanonisches Gaußmaß 262 Karte 350 Kartengebiet 350 Kartenwechsel 350 Keim 353 Kettenregel 354 Klammerprozeß 173 Knight, Satz von 243 Kolmogorov-Prohorov, Satz von 50 Kolmogorovscher Konsistenzsatz 28 kompakte Ausschöpfung 140,298 komplexe Differentialform 380 Kompositionsformel 440 konditionierte Diffusion 146 konditionierter Markovkern 142 Konfluenz von Martingalen 474 konformes lokales Martingal 238 konjugierter Ort 489 konjugierter Vektor 489 Konstanz im bedingten Mittel 106 Konvergenz einer Folge von stochasti-

schen Prozessen 163 Konvergenzsatz von Darling-Zheng 468 konvexe Abbildung 439 konvexe Funktion 204 konvexe Geometrie 474 Kotangentialbündel 376 Kotangentialraum k-ter Ordnung 453 Kovarianzfunktion von Gaußprozes-

sen 60 Kovarianzmatrix einer Diffusion 136 Krümmung 394 - konstante 493 - positive, negative 493 - radiale 513 - skalare 493 Krümmungsidentitäten 492 Krümmungstensor 394

A-supermediane Funktion 100 Länge einer Kurve 396 Langevin-Gleichung 287 Laplace-Beltrami-Operator 404

556 Sachregister

Laplaceoperator 138, 362 - horizontaler 419 Lebenszeit einer Maximallösung 299 - eines FD-Prozesses 121 - eines Markovprozesses 81 letzte Austrittszeit 242 Levi-Civita-Parallelismus 397 Levi-Civita-Zusammenhang 397 Levy-Charakterisierung 405 - einer Brownschen Bewegung 219 Levyprozeß 220 Lie-Produkt 394 Lie-Trotter-ProduktformeI329 lineare Aktion 409 linearer Zusammenhang 392 - auf einer Mannigfaltigkeit 416 linksinvariante SDGL 424 linksinvariantes Vektorfeld 424 Liouville-Mannigfaltigkeit 534 Lipschitz bedingung - globale 289 -lokale 297 logarithmisches lokales Martingal 203,

239 lokal dissipativer Operator 134 lokal gleichmäßig stochastische Konver­

genz 163 lokal vollständiger filtrierter Wahr-

scheinlichkeitsraum 250 lokale Eigenschaft 96 lokale Isometrie 396 lokale Lipschitzbedingung 297 lokale Martingale als Martingale 165,

171 - als Supermartingale 237 lokale Trivialisierung 356 lokaler Diffeomorphismus 352 lokaler Fluß 361 lokaler Operator 132 lokaler Umkehrsatz 352 lokales Basissystem 357 lokales Martingal 159 - exponentielles 199 - konformes 238 - logarithmisches 203, 239 - nichtnegatives 237 lokalisierende Folge zu einer Eigenschaft

96 lokaltriviale Faserung 356 Lokalzeit 206

Lösung einer SDGL 281, 288 - als Markovprozeß 315 - mit Anfangswert F zur Zeit to 313 - schwache 337 Lösungsfluß einer SDGL 314

Mannigfaltigkeit - differenzierbare 351 - topologische 349 - rotationssymmetrische 510 Markoveigenschaft 75 - elementare 67 - schwache 68, 69, 73 - starke 317, 336, 524 Markov-Halbgruppe 30 Markovkern 22 - deterministischer 23 - konditionierter 142 Markovprozeß 71 - gekillter 125 - gestoppter 125 - kanonischer 45 Markovsche Familie 73, 123 - zeitlich homogene 75 Markovscher Fluß 76 Markovscher Lösungsprozeß 315 Martingal 99, 401 - auf einer Mannigfaltigkeit 401 - eindimensionales 436 - geschlossenes 112 - gleichgradig integrierbares 111 - inverses 112 - komplexwertiges 218 - konformes lokales 238 - lokales 159 V-Martingal 401 Martingal-Konvergenz - bei t -+ to± 109 - bei t -+ 00 111 Martingalkonvergenzsatz 468 Martingalpotenz 278 Maßklasse, harmonische 533 Maximal-Ungleichungen 105 maximale Integralkurve 361 maximale Lebenszeit 365 Maximallösung einer SDGL 299, 364 Maximumprozeß zur Brownschen Bewe-

gung 232 Maximumsprinzip 534 metrisch vollständig 394

Sachregister 557

metrisch vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit 469

metrisch vollständiger Zusammenhang 394

minimale Geodätische 486 Minimumsprinzip für Martingale 474 Mittelwerteigenschaft harmonischer

Funktionen 533 Modell 510 Modifikation 47 Monotone-Klasse-Argument 13 multiplikatives Funktional 127

n-fache symmetrische Potenz eines Hilbertraums 274

nicht unterscheidbar 97 Nichtkonfluenz von Martingalen 474,

477 normale Geodätische 483 Normalenbündel 369 Normalkoordinaten 448, 483 Novikov, Satz von 258 Nullraum der Indexform 496

occupation time density 212 optional sampling theorem 103 Orthonormalbasenbündel 412

paralleler Schnitt 386 - längs einer Kurve 388 parallelisierbar 418 Paralleltransport 385, 389 - längs eines Semimartingals 432 - stochastischer 432 Parameter bereich eines stochastischen

Prozesses 42 partielle Integration für stochastische

Integrale 195 partieller Differentialoperator 362 - in Hörmanderform 362 - rein zweiter Ordnung 463 Pfadabbildung 42 Pfade eines stochastischen Prozesses 42 Pfadintegraldarstellung der Schrödin-

ger-Halbgruppe 325 Pfadregularisierung von FD-Prozessen

120 pfadweise Abhängigkeit stochastischer

Integrale von Integrand und Integra­tor 188

pfadweise Eindeutigkeit 295 pfadweise exaktes Paar (ß, (J) 331 pfadweise Exaktheit 331 - Kriterium von Yamada-Watanabe

339 Poincafll-Modell des hyperbolischen

Raums 519 Poissonkern 151 Poissonprozeß 220 Pol einer Riemannschen Mannigfaltig-

keit 488 polare Menge 242 polnischer Raum 25 polynomiale Funktionen eines Gaußpro-

zesses 270 Präbündelatlas 357 Präbündelkarte 357 Prinzipalbündel 410 Pro-Maß auf C(lR+;lRd ) 29 - auf y*T 28 Produktformel von Lie-Trotter 329 Produktkern 30 Produktregel für Ito-Differentiale 194 Produkt zusammenhang 438 progressiv meßbar 86 Projektion eines Faserbündels 356 Prozeß - adaptiert an eine Filtrierung 85 - gestoppter 95 - linksstetiger 86 - mit stationären Zuwächsen 46 - mit unabhängigen Zuwächsen 46 - mit (§t)-unabhängigen Zuwächsen

99 - progressiv meßbarer 86 - rechtsstetiger 86 - stetiger 86 - (r)-stetiger 223 - zeittransformierter 223 pullback eines Vektor bündels 358 pullback-Formel 384 - für das Stratonovich-Integral einer

Differentialform 380 - für die b-quadratische Variation 378 quadratische Kovariation 173 quadratische Variation 170, 377, 404 - der Brownschen Bewegung 174 - einer Funktion 158 - Riemannsche 404 - und Pfadverhalten 175

558 Sachregister

quadratische Zuwächse 171 Quasiinvarianz des Wienermaßes 261

JRd-Darstellung 422 radiale Geodätische 485 radiale Krümmung 513 radiale Krümmungsfunktion 513 radiales Vektorfeld 512 Radialprozeß 481 - Vergleichssatz 522, 532 Radonifizierung des kanonischen Gauß-

maßes 264 räumlich homogene Markov-Halbgruppe

30 Rauschterm einer SDGL 281 Rechenregeln - für bedingte Erwartungen 21 - für Stopzeiten 92 - für (Sub-)Martingale 101 Reduktion der Strukturgruppe 410 reduzierende Folge von Stopzeiten 160 Reflexionsprinzip 231 regulärer Randpunkt 94 rekurrente Menge 242 Rekurrenz 342 - der Brownschen Bewegung 242, 535 Resolvente 116 Ricci-Identität 397 Ricci-Krümmung 493 Ricci-Tensor 493 Riemannsche Mannigfaltigkeit 396 - BM-vollständige 469 - flache 493 - geodätisch vollständige 469 - hyperbolische 536 - metrisch vollständige 469 - parabolische 536 - stochastisch vollständige 469 Riemannsche Metrik 396 Riemannsche quadratische Variation

404 Riemannsche Schnittkrümmung 493 Riemannscher Zusammenhang 396,416 Riemannsches Volumenmaß 524 rotationssymmetrische Mannigfaltigkeit

510

Satz von - BlagoveScensky-Freidlin 311 - Bochner 38

- Cameron-Martin 261 - Darling-Zheng 468 - Dellacherie und Bichteler 193 - Fubini für stochastische Integrale

191 - Girsanov 255 - Hadamard-Cartan 505 - Hopf-Rinow 487 - Itö 248 - Knight 243 - Kolmogorov-Prohorov 50 - Novikov 258 - Vitali 17 - Yamada-Watanabe 339 Schnitt 357 - längs einer Abbildung 359 - paralleler 386 Schnittkrümmung 493 Schnittort 488 Schnittpunkt 489 Schrödinger-Gruppe 330 Schrödinger-Halbgruppe 325 - Pfadintegraldarstellung 325 Schrödingergleichung 321 schwach lösbar zur Anfangsverteilung J.t

337 schwach stationärer Prozeß 57, 62 schwache Markoveigenschaft 68, 69, 73 SDGL - auf einer Mannigfaltigkeit 364 - Beispiel von Girsanov 340 - gestoppte 299 - !tösche 281 -lineare 285, 287, 306 - linksinvariante 424 - Lösungsfluß 314 - Maximallösung 299,364 Semimartingal 159 - auf einer Mannigfaltigkeit 365 - bis 00 467 - eindimensionales 436 - horizontales 421 - mit Explosionszeit 298 - mit Lebenszeit 230, 371 skalare Krümmung 493 Skalierungsfunktion 344 Spannungsfeld 439 Spektralverteilung eines schwach sta-

tionären Prozesses 57 Sphäre 515

Sachregister 559

Spiel 100 Spray 393 standard filtrierter Wahrscheinlichkeits-

raum 85 Standard-Erweiterung 85 standardhorizontales Vektorfeld 419 standardvertikales Vektorfeld 413 stark stetige Halbgruppe 325 starke Lösung einer SDGL 311 starke Markoveigenschaft der Brown­

sehen Bewegung 234, 524 starke Markoveigenschaft der Lösung

einer SDGL 317 starkes Gesetz der großen Zahlen 114 Startwahrscheinlichkeit 45 stationärer Lösungsfluß der autonomen

Ito-Gleichung 335 stationärer Lösungsfluß einer SDGL 317 stationärer Prozeß 62 stetig modifizierbarer Prozeß 47 stetiger kanonischer Repräsentant eines

stochastischen Prozesses 44 stochastisch vollständige Riemannsche

Mannigfaltigkeit 469 stochastische Abwicklung 429 stochastische Differentialgleichung auf

einer Mannigfaltigkeit 364 stochastische Konvergenz 15 stochastischer Fluß 76 stochastischer Integrator 193 stochastischer Paralleltransport 432 stochastischer Prozeß 42 stochastisches Integral 161 stochastisches Intervall 179 Stop-Invarianz der (Sub-)Martingal-

Eigenschaft 104 Stopregel für stochastische Integrale 181 Stopzeit 90 - Eintrittszeit 91 - erste Durchgangszeit 232 - im weiteren Sinne 90 - terminale 127 - Treffzeit 242 - vorhersagbare 298 - Wiedereintrittszeit 149 Stopzeiten, Rechenregeln 92 Stratonovich-Integral 200 - einer I-Form 379 Stratonovich-Verknüpfung 200 Streckung 229

strikt konvexe Abbildung 439 Strukturgruppe 409 - Reduktion 410 Sub-Markovkern 79 subharmonisch 439 Submartingal 99 submersive Abbildung 390 Supermartingal 99 supermediane Funktion 100, 118, 141 symmetrischer Hilbertraum über einem

Hilbertraum 274 symmetrischer Zusammenhang 394 Synge-Formel 494 systematischer Term einer SDGL 281

(T )-stetig 223 Tanaka-Formel 208 tangential äquivalent 353 Tangentialbündel 358 tangentiales Vektorfeld längs einer

Kurve 359 Tangentialraum 353 - k-ter Ordnung 453 Tangentialvektor 353 Teilbündel 357 Tensor 394 ( r, s )-Tensor 394 Tensorfeld 394 terminale Stopzeit 127 Testfunktion auf M 352 topologische Mannigfaltigkeit 349 Torsion 394 torsions frei 394 torsionsfreier Zusammenhang 394 Torsionstensor 394 total geodätische Abbildung 439 total geodätische Untermannigfaltigkeit

477 Totalraum eines Faserbündels 356 Transformationslemma 12 transiente Menge 242 Transienz 342 - der Brownschen Bewegung 242, 535 - Vergleichskriterium 543 Treffzeit 242 treibender Prozeß 288 triviales Faserbündel 356 Trivialisierung 356 typische Faser 356

560 Sachregister

Übergangsfunktion 356 Überlagerung 505 Überquerungsfunktion 107 unabhängige Zuwächse 77 Unabhängigkeit, stochastische 20 unbestimmtes stochastisches Integral

181 Untermannigfaltigkeit 351 Untervektorbündel 357 Urysohn-Funktion 134

Varianz einer Brownschen Bewegung 59 Variation der Länge 482, 494 Variation einer Funktion 156 Variation einer Kurve 481 Variationsprozeß 159 Variationsvoraussetzung für den trei-

benden Prozeß 290 Vektorbündel 356 - induziertes 358 Vektorfeld 360 - k-ter Ordnung 453 -längs einer Abbildung 359 - linksinvariantes 424 - radiales 512 - standardhorizontales 419 - standardvertikales 413 Vektorfelder in Koordinaten 361 Vergleichskriterium - für BM-Vollständigkeit 543 - für Transienz 543 Vergleichs prinzip 504 Vergleichssatz - für eindimensionale SDGLen 341 - für den Laplaceoperator 509 - für die Hesseform 508 - von Ikeda-Watanabe 341 - von Rauch 502 verteilungseindeutiges Paar (ß, a-) 331 Vertikalraum 413 Verweildauer eines Pfades 212 Vitalischer Konvergenzsatz 17 vorhersagbare Stopzeit 298 vorhersagbarer Prozeß 179 Vorwärtsgleichung 324 Vorzeichenfunktion 205

wachstumsbeschränkte Abbildung 291 Wärmeleitungskern 328 weißes Rauschen 57

wesentliche Menge von Pfaden 43 Whitney-Einbettung 368 Whitney's Einbettungssatz 368 Wiener-Chaos 277 Wienermaß 54 - als Gaußmaß 65 - Desintegration 328 Windungsprozeß eines Semimartingals

380 Wirkungsintegral 329

zahme Funktion 37 Zeit-Shift 124 zeitlich homogene Markov-Familie 75 zeitlich homogene Markov-Halbgruppe

30 zeitliche Homogenisierung einer

Markov-Halbgruppe 83 zeittransformierte Filtrierung 222 zeittransformierter Prozeß 223 zeit unabhängige Schrödingergleichung

321 Zeitwechsel 222, 371 - assoziierter 222 - endlicher 223 zentriert normalverteilte Zufallsvariable

60 Zerlegung eines Intervalls 156 Zufallsfeld 45 - Gaußsches 63 zurückgezogene Faserung 358 Zusammenhang - dualer 438 - in einem Prinzipalbündel 413 - Levi-Civita 397 - linearer 392 - Riemannscher 396,416 - symmetrischer 394 - torsionsfreier 394 - zurückgezogener 438 Zusammenhangsform 414 Zustands raum eines stochastischen

Prozesses 42 Zuwächse, stationäre 46 - unabhängige 46 zweite Fundamentalform 439 zweite Variation der Länge 494 Zylindermaß 37 Zylinder mengen einer Dualität 36 Zylinder mengen in ST 28