note de cursfeisa.usch.md/wp-content/uploads/2017/03/geometrie-diferentiala.pdf · definiţie:...
TRANSCRIPT
Popovici Ilona
NOTE DE CURS
la disciplina
„Geometria diferenţială”
Cahul, 2010
2
CUPRINS
CAPITOLUL I. TEORIA CURBELOR............................................................................................3
I.1. Vectorul tangent la curba parametrizată. Tangenta, planul osculator
al curbei parametrizate..................................................................................................................3
I.2. Curba spaţială. Reperul lui Frenét.................................................................................................5
I.3. Curbura curbei...............................................................................................................................5
I.4. Formulele lui Frenét. Torsiunea curbei.........................................................................................8
CAPITOLUL II. TEORIA SUPRAFEŢELOR...............................................................................10
II.1. Definiţia suprafeţei parametrizate. Echivalenţa locală a suprafeţei şi
a suprafeţei parametrizate..........................................................................................................10
II.2. Curbe pe suprafaţă. Planul tangent. Normala............................................................................13
II. 3. Metrica pe suprafaţă. Prima formă fundamentală.....................................................................17
II.4. Aplicaţiile primei forme fundamentale......................................................................................20
II.5. Curbura curbelor de pe suprafaţă. Forma a doua fundamentală................................................22
II.6. Direcţii principale. Curburi principale.......................................................................................25
II.7. Formula lui Euler. Curbura totală. Curbura medie....................................................................27
II.8. Direcţii asimptotice. Clasificarea punctelor unei suprafeţe.......................................................30
BIBLIOGRAFIA..............................................................................................................................31
3
CAPITOLUL I. TEORIA CURBELOR
I.1. Vectorul tangent la curba parametrizată.
Tangenta, planul osculator al curbei parametrizate.
I. Curbe plane
Fie trr o curbă plană, iar rM un punct regulat de pe ea. Vectorul 0 tr determină direcţia
tangentei. Deci, ecuaţia tangentei poate fi scrisă sub forma:
,trtrR
unde R este raza vectoare a unui punct arbitrar de pe tangentă.
În coordonatele carteziene rectangulare obţinem următoarele ecuaţii:
txtxX ')( , )()( ' tytyY - ecuaţii parametrice
'' y
yY
x
xX - ecuaţia canonică
În aceste ecuaţii X şi Y sunt coordonatele unui punct arbitrar de pe tangenţă, )(tx şi )(ty sunt
coordonatele punctului de tangenţă; tx ' şi )(' ty sunt coordonatele vectorului director al tangentei.
Definiţie: Dreapta, perpendiculară pe tangentă în punctul de tangenţă, se numeşte normala la curbă în
punctul respectiv.
În figura de mai sus, dreapta MP este normală la curbă în punctul M. Dacă R este raza vectoare a
punctului arbitrar P de pe normală, atunci:
)())()(( trtrR
Deci, ecuaţia normalei poate fi scrisă în următoarele forme:
0)( rrR - ecuaţie vectorială
0')(')( yyYxxX - ecuaţie generală
Dacă curba plană este determinată de ecuaţia )(xfy (sau ), atunci ecuaţiile tangentei şi
ale normalei în orice punct 000
, yxM de pe curbă (funcţia )(xf este derivabilă) sunt bine cunoscute
))(('000
xxxfyy - ecuaţia tangentei
)()('
1
)()('
1
0
0
0
00
yyxf
xx
xxxf
yy
- ecuaţiile normalei
De la ecuaţia în coordonate polare se poate de trecut la ecuaţiile parametrice:
sin
cos)(
y
x
4
Dacă curba plană este determinată de ecuaţia implicită 0),( yxF , atunci în orice punct regulat M,
unde
,0),(
y
F
x
FgradF
ecuaţiile tangentei şi normalei pot fi scrise destul de uşor. Din teorema de existenţă şi unicitate a funcţiei
implicite ),(xfy avem că
,:)('y
F
x
Fxf
dacă .0
My
F
Atunci ecuaţiile căutate capătă forma
000
yy
y
Fxx
x
F - ecuaţia tangentei
000
yy
x
Fxx
y
F - ecuaţia normalei
Din aceste ecuaţii observăm, că gradF indică direcţia normalei la curbă în punctul regulat M. Dacă
,0
My
F iar 0
Mx
F
atunci univoc se determină funcţia ,yx însă ecuaţiile tangentei şi ale normalei nu se schimbă.
II. Curbe spaţiale
Considerăm ecuaţia
)}(),(),({ tztytxtrr
Ca şi în plan, vectorul tr în punctul regulat M, indică direcţia tangentei, ecuaţiile căreia pot fi
scrise sub forma
trtrR - ecuaţia vectorial-parametrică a tangenţei
''' z
zZ
y
yY
x
xX
- ecuaţiile canonice a tangenţei.
În punctul regulat M în spaţiu, se poate de dus un plan perpendicular pe tangentă. Acest plan se
numeşte plan normal al curbei în punctul regulat M.
Acest plan se determină de ecuaţiile:
0)( rrR - ecuaţia vectorială a planului normal
0')(')(')( zzZyyYxxX - ecuaţia generală a planului normal.
Dacă vectorul )(tr nu este coplanar cu ),(tr atunci aceşti doi vectori determină un plan care se
numeşte plan osculator al curbei în punctul M. Punctul M, în care )(tr nu este coplanar cu ),(tr se
numeşte punct biregulat. Ecuaţiile planului osculator sunt:
0),,( rrrR - ecuaţia canonică
5
0
"""
'''
zyx
zyx
zZyYxX
- ecuaţia generală
Dacă curba este plană, atunci planul osculator coincide cu planul curbei.
I.2. Curba spaţială. Reperul lui Frenét
Fie dată o curbă în spaţiul eucledian tridimensional cu parametrizarea
)}(),(),({)( tztytxtrr
Fie )(srr - parametrizarea naturală a curbei spaţiale, atunci
1r
Deci, r este versor al tangenţei la curba )(srr în punctul regulat dat. Să notăm acest versor prin
simbolul .t
Pentru determinarea vectorului t
avem următoarele formule
})(')(')('
)(',
)(')(')('
)(',
)(')(')('
)('{
)(
)(},,{
222222222 tztytx
tz
tztytx
ty
tztytx
tx
tr
trzyxrt
Din egalitatea 1t rezultă, că .tt Versorul tn se numeşte versorul normalei principale, iar
numărul tk se numeşte curbura curbei în punctul dat (curbura se defineşte şi pentru curba plană).
Vectorul t se numeşte vector de curbură şi deseori se notează prin .k Deoarece vectorul n este
perpendicular pe )(tr şi coplanar cu )(tr şi ),(tr el este paralel cu vectorul
].],,[[ rrr
Deci,
,]],,[[
]],,[[
rrr
rrrn
.],[ rrr
Această egalitate permite de determinat versorul normalei principale faţă de orice parametrizare.
Vectorul
],[ ntb
se numeşte versor al binormalei.
Uşor de observat că
,,
,
rr
rrb
sau, în fiecare punct biregulat al curbei pot fi determinaţi şi construiţi trei vectori, ce formează un reper,
numit reperul lui Frenét.
De asemenea în acest punct pot fi construite trei drepte (tangenta, normala principală şi binormala),
ce sunt axe de coordonate ale sistemului mobil de coordonate determinat de reperul lui Frenét, şi trei
plane (planul normal, care conţine vectorii n şi ;b planul osculator, care conţine vectorii t şi ;n planul
rectificant, care conţine vectorii t şi b ), ce sunt plane de coordonate ale aceluiaşi sistem de coordonate.
Teoremă: Fie )(trr şi - două parametrizări biregulate ale uneia şi aceleiaşi curbe, iar
t - difeomorfism, ce leagă parametrii t şi . Atunci reperele Frenét în fiecare punct al
curbei faţă de aceste parametrizări coincid, dacă .0)(' t Dacă 0)(' t atunci versorii n
coincid, iar t şi b îşi schimbă semnul în opus.
I.3. Curbura curbei
Definiţie: Numărul
00 srstk
se numeşte curbura curbei în punctul regulat ).( 00 sM
6
Deoarece vectorul rr determină direcţia şi mărimea vitezei de mişcare a unui punct material pe
curba dată, atunci despre vectorul r se poate de spus că el este vectorul acceleraţiei şi determină mărimea
şi direcţia de variaţie a vectorului vitezei (a vectorului tangent) la trecerea de la punctul dat 0
M la un
punct apropiat M. Cu cît mai puţin variază vectorul vitezei, adică cu cît mai puţin îşi schimbă el direcţia,
cu atît mai puţin diferă arcul de curbă de segmentul de dreaptă. Deci, curbura curbei în punctul dat 0
M
determină gradul diferenţei arcului de curbă, ce conţine punctul ,0
M de segmentul de dreaptă.
Să determinăm formula de calculare a curburii faţă de orice parametrizare ).(trr
,
tr
tr
ds
d
ds
rd
ds
dsrstk
deoarece
)(trds
rd
dt
ds
ds
rd
dt
rd
rezultă că
.)(
)(
tr
tr
ds
rd
Pentru orice funcţie vectorială )(t are loc formula
.)(
1
dt
d
trds
dt
dt
d
dt
d
Aplicăm această formulă la calcularea curburii k:
Conchidem, că
22)(
)()()()(
)(
1)(
tr
trtrtrtr
trsr .
În continuare ne folosim de formulele evidente
)()( srsr
rezultă, că
., ksrsrsr
Calculăm )](),([ srsr faţă de orice parametrizare ).(trr
.)(
)(),()(
)(
)()(),()(),(
)(
1
)()(
)()()(
)(
1,
)(
)()](),([
323
22
tr
trtrtr
tr
trtrtrtrtr
tr
trtr
trtrtr
trtr
trsrsr
În rezultat am obţinut formula
.
)(
)(),(3
tr
trtrk
În coordonate obţinem formula
r
tr
trtrtr
trtr
tr
trtrtrtrtr
tr
tr
trdt
dtrtrtr
trtr
tr
dt
d
trk
22
2
11
11
7
23
222
222
'''
""
''
""
''
""
''
zyx
yx
yx
xz
xz
zy
zy
k
pentru curbele spaţiale şi
23
22 ''
""
''mod
yx
yx
yx
k
pentru curbele plane.
Numărul k
R1
se numeşte rază de curbură. Circumferinţa, ce are contact de ordinul doi cu curba în
punctul dat ,0
M se numeşte circumferinţă osculatoare. Ea este situată în planul osculator, centrul ei e
situat pe normala principală, iar raza este egală cu raza de curbură. Centrul acestei circumferinţe se
numeşte centru de curbură. Totalitatea centrelor de curbură se numeşte evolută.
Dacă )}(),({)( tytxtrr este o curbă plană, atunci ecuaţiile evolutei sunt:
.''
',''
'2222
yx
yx
yxxyY
yx
yx
yxyxX
În formă vectorială această ecuaţie poate fi scrisă sub forma
,nRr
unde este raza vectoare a punctului arbitrar de pe evolută, r este raza vectoare a punctului respectiv
de pe curbă, R este raza de curbură în punctul rM de pe curbă, iar n este versorul normalei duse în
punctul ).(rM Derivând această ecuaţie, obţinem:
ntRtntRtntRtrt )(')()()()(')()( ,
deoarece
0)()()( tntRtr .
Conchidem că tangenta evolutei este normala curbei.
Evolventă a unei curbe se numeşte curba pentru care este evolută, adică centrele de curbură
ale evolutei sunt situate pe curba dată.
Dacă )(srr este o parametrizare naturală a unei curbe, atunci
rt
este versorul normalei evolventei acestei curbe. Deci pentru punctul dat M(s) de pe curba dată, punctele
respective ale tuturor evolventelor posibile sunt situate pe tangenta la curba dată în punctul M(s).
Din aceste considerente, obţinem ecuaţiile evolventelor în forma
,)()( nssrs
unde este o funcţie de s şi determină curbura evolventei în punctul respectiv. Fiecare funcţie pozitivă
de s determină o parametrizare a curbei date.
8
I.4. Formulele lui Frenét. Torsiunea curbei
Procesul de cercetare a curbelor necesită calcularea derivatelor de ordinul întîi, doi, etc., ale funcţiilor
vectoriale.
).(trr
Orice funcţie )(tr poate fi reprezentată ca o combinaţie liniară a vectorilor reperului Frenét:
.)()()()( bthntgttftr
Şi atunci calcularea derivatelor funcţiilor vectoriale )(tr se reduce la calcularea derivatelor funcţiilor
vectoriale .,, bnt
Teoremă: Pentru orice parametrizare naturală )(srr a oricărei curbe au loc formulele lui Frenét:
nb
btkn
ukt
.
.
.
unde numărul (capa) se numeşte torsiunea curbei.
Demonstraţie: Din definiţia curbei avem .
tk , iar tn , deci ukt .
.
Demonstrăm în continuare formula nb .
.
Comform definiţiei
....
,,,, ntntntbntb , deoarece 0,.
nt
.
t paralel cu n .
Din egalitatea 1n rezultă că nn .
, iar această relaţie demonstrează că
.
n este coplanar cu t şi b .
Deci, există aşa două numere şi astfel încît
btn .
.
Folosind această relaţie, obţinem: nubtttbttb ,,, ,
unde .
Să trecem acum la demonstrarea egalităţii:
btkn .
btkntbnknkbtntbtbntbn
,,,,,,,
...
.
Consecinţă: Matricea operatorului de diferenţiere în reperul lui Frenet are următoarea formă:
00
0
00
k
k
adică este o matrice simetrică.
Formula ub .
ne permite să calculăm torsiunea curbei în orice parametrizare.
Într-adevăr, înmulţim scalar această egalitate la n şi obşinem:
nb,
.
.
Pentru a obţine formula de calculare a torsiunii în orice parametrizare )(trr trebuie de exprimat
produsul mixt
9
......
,, rrr
în această parametrizare
''',",')('
)(')(',)(')('''),("),('
)(')(')('3)(')("
)(')(')(")(')('
6..
".
2...
".
'..
3...
'.
2...
rrrtr
trrtrtrrtrtrtr
trrtrtrrtrrtr
trrtrrtrtrrtr
Am dedus următoarea formulă:
''',",'
)('
1''',",'
6rrr
tr
rrr
Folosind şi egalitatea
3
'
",'
r
rrk
obţinem formula de calculare a torsiunii în parametrizarea )(trr :
2
",'
''',",'
rr
rrr .
Observaţii:
1. Dacă curba este plană, atunci vectorii ''',' rr şi "r sunt coplanari de unde rezultă, că torsiunea
0 . Şi invers, dacă torsiunea este nulă în toate punctele unui arc de curbă, atunci 0b
b în
toate punctele acestui arc. Deci, toate reperele lui Fremet construite in punctele acestui arc conţin
un vector constant b . Prin urmare, este constant şi planul vectorilor t şi n , ceea ce este posibil
numai în cazul cînd acest arc e situat în planul osculator (planul vectorilor t şi n ).
2. Dacă pentru curba plană se poate de exprimat curbura ca funcţie de parametrul natural s, atunci
curba poate fi construită cu exactitatea mişcării planului. Ecuaţia )(skk se numeşte ecuaţie
naturală a curbei plane.
3. La fel pentru curbele spaţiale: dacă entru două curbe spaţiale, ecuaţiile )(skk şi )(s se
numesc ecuaţii naturale ale curbei spaţiale.
10
CAPITOLUL II. TEORIA SUPRAFEŢELOR
II.1. Definiţia suprafeţei parametrizate.
Echivalenţa locală a suprafeţei şi a suprafeţei parametrizate.
Definiţia 1: Porţiunea simplă de suprafaţă este imaginea ameomorfă a domeniului în spaţiul
eucledian.
Relaţia ),( vurr se numeşte ecuaţia vectorial-parametrică de suprafaţă, iar
),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx
se numesc ecuaţiile ei parametrice.
Parametrizarea ),( vurr poate fi notată prin simbolul r, , unde este domeniul plan, iar r este
ameomorfismul 3: Rr .
Exemple de suprafeţe:
1. bvaurvurR 02 ),(, , unde bar ,,0 sunt vectori constanţi şi 0, ba . Această
ecuaţie determină un plan în spaţiul tridimensional.
2. uRvuRvuRvur sin,sincos,coscos),(
20,2
,, 2 vuoRvu .
Această parametrizare determină o pînză 0z a unui hiperboloid cu două pînze fără
secţiunea ei cu planul xOz. Dacă pe domeniul vom mişca punctul P(u,v) pe un segment
(pe o dreaptă) paralel cu axa Oy(ecuaţia acestei drepte este constvv 0 ), atunci punctul
M(x,y,z) va descrie pe suprafaţă o curbă 1 .
Ecuaţia vectorială a acestei drepte este ),( 0vurr .
11
Analog, dacă punctul P(u,v) se va mişca pe un segment (pe o dreaptă) paralel axei vO1 (ecuaţia acestei
drepte este constuu 0 ),
atunci punctul M(x,y,z) va descrie o curbă 2 . Ecuaţia vectorială a acestei curbe este ),( 0 vurr .
Prin punctul P trec numai două segmente(drepte) paralele cu axele de coordonate uO1 şi vO2 . Punctul
M este imaginea punctului P şi aparţine unei porţiuni simple de suprafaţă şi deaceea curbele 1 şi 2 nu
au alte puncte comune decît M. Curbele 1 şi 2 se numesc curbe de coordonate, iar u şi v – coordonate
curbiliniiale punctului M: M(u,v).
Atribuind lui u şi v toate valorile posibile din domeniul , obţinem o familie de curbe de coordonate cu
ecuaţia v=const, şi o familie de curbe de coordonate cu ecuaţia u=const.
Pe porţiunea simplă de suprafaţă obţinem o reţea de coordonate curbilinii. Prin fiecare punct al acestei
porţiuni trece numai cîte o linie din fiecare familie.
Definiţia 2: Submuţimea S de puncte din spaţiul eucledian se numeşte suprafaţă, dacă pentru orice punct
SM , există o vecinătate a lui M în S, care este o porţiune simplă de suprafaţă ameomorfă cu un
domeniu deschis din plan.
Pentru vecinătatea punctului M există o parametrizare regulată, care se numeşte parametrizare locală a
suprafeţei S.
Definiţia 3: Dacă pentru suprafaţa S există o parametrizare locală, care este şi globală, adică această
parametrizare este unică pentru toate porţiunile regulate ale suprafeţei, atunci S se numeşte suprafaţă
simplă.
Pentru suprafaţa simplă există o parametrizare unică.
În spaţiul tridimensional afin, există trei tipuri de ecuaţii(parametrizări) ale suprafeţelor:
1. ecuaţii parametrice ),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx sau ),( vurr , unde 2),( Rvu
2. ecuaţii explicite ),( yxfz , unde xOyyx ),(
3. ecuaţii implicite 0),,( zyxF , unde 3),,( Rzyx
Definiţia 4: Se numeşte suprafaşă de rotaţie suprafaţa obţinută la rotirea unei curbe în jurul unei
drepte şi această curbă nu intersectează axa de rotaţie.
Ecuaţiile parametrice ale suprafeţei de rotaţie sunt:
)(,sin)(,cos)( ugzvufyvufx .
Exemple de suprafeţe de rotaţie:
1. La rotirea unei circumferinţe în jurul diametrului ce uneşte extremităţile ei, se obţine o
suprafaţă sferică.
2. La rotirea unei elipse în jurul unui diametru.
3. La rotirea unei hiperbole în jurul axei imaginare se obţine un hiperboloid de rotaţie cu o
pînză.
4. La rotirea unei hiperbole în jurul axei reale obţinem un hiperboloid de rotaţie cu două pînze.
5. La rotirea parabolei în jurul axei sale (mai exact la rotirea unei semiparabole) obţinem un
paraboloid circular.
6. La rotirea unei drepte în jurul unei axe paralele cu această dreaptă obţinem o suprafaţă
cilindrică circulară.
7. La rotirea unei drepte în jurul unei axe ce intersectează dreapta dată, obţinem o suprafaţă
conică circulară, care este suprafaţa în sensul definiţiei 2, dacă excludem vîrful ei.
8. La rotirea circumferinţei
12
)(sin,0,cos abubzyubax
în jurul axei Oz obţinem o suprafaţă care se numeşte tor.
Ecuaţiile parametrice ale torului sunt:
ubzvubayvubax sin,sin)cos(,cos)cos( .
Definiţia 5: Se numeşte suprafaţă sferică mulţimea de puncte din spaţiul dat, distanţa cărora pînă
la un punct fix din acest spaţiu este o mărime constantă.
Definiţia 6: Se numeşte suprafaşă cilindrică suprafaţa generată de o dreaptă, ce se deplasează în
spaţiul paralel unui vector datşi intersectează în orice moment o curbă dată. Dreapta se numeşte
generatoare, iar curba – directoare.
avugvur )(),( - ecuaţia vectorială a suprafeţei cilindrice.
unde
)(),().()( uhugufu - parametrizarea directoare, iar },,{ cbaa - vectorul director
al generatoarei.
În coordonate avem:
cvuhvuz
bvugvuy
avufvux
)(),(
)(),(
)(),(
Definiţia 7: Se numeşte suprafaţă conică suprafaţa generată de o dreaptă ce se deplasează în
spaţiu în aşa fel, că trece permanent printr-un punct fix numit vîrf şi intersectează în orice
moment o curbă dată, ce se numeşte directoare.
00 )(),( ruvrvur - ecuaţia vectorială a suprafeţei conice,
unde
)(),().()( uhugufu - parametrizarea directoarei,
13
A(a,b,c) – vîrful suprafeţei conice.
În coordonate obţinem:
))((),(
))((),(
))((),(
cuhvcvuz
bugvbvuy
aufvavux
Definiţia 8: Se numeşte conoid suprafaţa generată prin deplasarea unei drepte paralel cu un plan
dat astfel încît generatoarea intersectează curba dată.
Conoidul se consideră determinat, dacă este dată dreapta directoare l, planul director şi curba
directoare situată pe suprafaţă.
0112
22
2
2
b
y
h
z
a
x - ecuaţia implicită a conoidului,
unde 0),0(, yhhz - ecuaţia dreptei directoare,
12
2
2
2
b
y
a
x - ecuaţia curbei directoare.
Definiţia 9: Se numeşte suprafaţă riglată o suprafaţă generată de o dreaptă variabilă, care
depinde de un parametru, adică care are drept vector director vectorul va şi care trece printr-un
punct al curbei 0 cu ecuaţia )(00 vrr ,
0 se numeşte curbă directoare.
II.2. Curbe de suprafaţă. Planul tangent. Normala.
I. Dacă ),( vurr este o parametrizare locală sau totală a unei suprafeţe, iar )(t
este ecuaţia unei curbe, atunci curba aparţine suprafeţei sau unei porţiuni de suprafaţă,
dacă ))(),(()( tvturt pentru orice t din domeniul de definiţie a funcţiei )(t .
Pentru a determina o curbă de suprafaţa ),( vurr , e necesar ca în vecinătatea
punctului dat să se exprime coordonatele curbilinii u şi v ca funcţii de un singur
parametru t:
)(),( vvvtuu .
Acestea sunt ecuaţiile interioare ale curbei.
Derivăm funcţia
))(),(()( tvturt
şi obţinem
dt
dv
v
r
dt
du
u
rt
)('
Notăm vu rv
rr
u
r
,
Atunci
dt
dvr
dt
durt vu )('
14
Se ştie că punctul de pe curbă este regulat, dacă
0)(' t
şi este singular, dacă 0)(' t . În punctele singulare, vectorii vu rr , sunt coliniari,
deoarece
0dt
dvr
dt
dur vu
.
Definiţia 1: Punctul ),( 000 vuM de pe suprafaţă S cu parametrizarea
),( vurr
se numeşte punct regulat (ordinar) dacă ur nu este paralel cu vr ,
şi singular dacă ur este paralel cu vr .
Curbele pe suprafeţe pot fi, deasemenea, exprimate prin ecuaţia implicită
0),( vuf
unde funcţia f este o funcţie netedă.
În cel mai simplu caz curba poate fi dată şi de ecuaţia explicită
)(uv .
Definiţia 2: Pentru orice Rc ecuaţia
cvuf ),( determină o familie regulată de curbe de suprafaţă. Prin fiecare punct
regulat trece cîte o singură curbă din această familie.
II. Dacă )())(),(( ttvturr este o curbă situată pe suprafaţa ),( vurr , ce trece prin
punctul ),( 000 vuM , atunci
dt
dvr
dt
durt vu )('
Deci, vectorul tangent la curba )(t este o combinaţie liniară a vectorilor ),( 00 vuru şi
),( 00 vurv , care sunt vectori tangenţi la curbele de coordonate: ),(),,( 00 vurrvurr .
Definiţia 3: Vectorul h se numeşte vector tangent la suprafaţe S în punctul 0M , dacă există aşa
o curbă )(t situată pe această suprafaţă, astfel încit
ht )(' 0
unde 00 )( OMt .
Vectorii vu rr , sunt tangenţi la suprafaţa ),( vurr în orice punct regulat
( ur nu este paralel cu vr ).
Teoremă: Mulţimea vectorilor tangenţi la suprafaţa S în punctul regulat 0M este un subspaţiu vectorial
bidimensional. Dacă ),( r este o parametrizare a suprafeţei S în vecinătatea punctului 0M , atunci
vectorii vu rr , formează o bază (un reper) al acestui subspaţiu, care se numeşte reper natural. Subspaţiul
vectorial se notează cu simbolul STM .
Demonstraţie: Fie ),( r o parametrizare a suprafeţei S şi ),( 000 vurOM , iar )(t o curbă pe
această suprafaţă, ce trece prin 0M , )( 00 tOM . Atunci în vecinătatea punctului 0M :
))(),(()( tvturt
dt
dvr
dt
durht vu )(' .
Deci, vectorul tangent la suprafaţa S în punctul 0M este o combinaţie liniară a vectorilor vu rr , . Deci,
STh M0 , unde STM0
este subspaţiu vectorial bidimensional determinat de vectorii vu rr , .
15
Dacă STh M0 , atunci vu rrh şi el este vector tangent la curba suu 0 , svv 0
situată pe suprafaţa dată. Deci, h este tangent la suprafaţa S în punctul 0M .
Definiţia 4: Planul ce trece prin punctul SM 0 paralel subspaţiului STM0 se numeşte plan tangent la
suprafaţa S în punctul 0M .
Definiţia 5: Dreapta perpendiculară în 0M pe planul tangent, se numeşte normală la suprafaţă.
Să deducem ecuaţiile planului tangent şi ale normalei pentru fiecare tip de ecuaţii ale suprafeţei S.
I. Dacă )},(),,(),,({),( vuzvuyvuxvur este parametrizarea suprafeţei în vecinătatea punctului
0M , 00 rOM , iar R este raza vectoare a unui punct arbitrar M al planului tangent, atunci vectorii
,,,0 vu rrrR sunt coplanari, iar 0),,( 0 vu rrrR este ecuaţia vectorială a planului tangent.
În coordonate va fi
0
000
vvv
uuu
zyx
zyx
zZyYxX
,
unde X,Y,Z sunt coordonatele punctului M, 000 ,, zyx sunt coordonatele punctului 0M , iar
vvvuuu zyxzyx ,,,, , sunt coordonatele vectorilor vu rr , calculate în punctul 0M
oo
oo
o
M
v
M
u
M
v
M
u
M
v
M
u
v
vuzz
u
vuzz
v
vuyy
u
vuyy
v
vuxx
u
vuxx
),(,
),(
),(,
),(
),(,
),(
0
Vectorii vu rr , , fiind perpendiculari pe vectorii ur şi vr , va fi perpendiculari şi pe subspaţiul STM0.
Rezultă că vectorul vu rr , este vector director al normalei, iar
vu rrrR ,0 - este ecuaţia vectorial-parametrică a normalei.
În coordonate obţinem
16
vv
uu
vv
uu
vv
uu
yx
yx
zZ
xz
xz
yY
zy
zy
xX 000
- ecuaţii canonice ale normalei, unde X,Y,Z sunt coordonatele unui
punct arbitrar de pe normală.
Vectorul
vu
vu
rr
rrm
,
,
este versorul normalei la suprafaşă în punctul regulat 0M .
III.Dacă suprafaţa S este dată de ecuaţia
),( yxfz
unde ),( yxf este o funcţie netedă de clasa 1, sc s. În acest caz, socotind x şi y coordonate curbilinii
pe suprafaţa S, trecem la parametrizarea
)},(,,{),( yxfyxyxr .
În coordonate planului tangent în punctul ),,( 0000 zyxM , unde ),( 000 yxfz :
0)())(,('))(,('
0
),('10
),('01
0000000
00
00
000
zZyYyxfxXyxf
yxf
yxf
zZyYxX
yx
y
x
Ecuaţiile canonice ale normalei capătă forma:
10
01
0),('
1),('
),('1
),('0
0
00
00
0
00
00
0 zZ
yxf
yxf
yY
yxf
yxf
xX
y
x
y
x
sau
0
00
0
00
0
,','zZ
yxf
yY
yxf
xX
yx
.
III.Dacă suprafaşa S este determinată sde ecuaţia
0),,( zyxF atunci pentru orice punct regulat 0M există o vecinătate, în care suprafaţa S poate fi dată
de ecuaţia ),( yxfz , iar
),,(:),,(),(
),,,(:),,(),(
00000000
'
00000000
'
zyxz
Fzyx
y
Fyxf
zyxz
Fzyx
x
Fyxf
y
x
Am presupus că 0),,( 000
zyx
z
F.
Ecuaţiile planului tangent şi ale normalei la suprafaţa S în punctul 0M capătă forma:
0))(,,())(,,())(,,( 000000000000
zZzyx
z
FyYzyx
y
FxXzyx
x
F - ecuaţia planului
tangent.
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxz
F
zZ
zyxy
F
yY
zyxx
F
xX
- ecuaţiile canonice ale normalei
Definiţia 6: Vom spune că suprafaţa S este orientată dacă în fiecare punct al ei poate fi determinată o
orientare, adică în fiecare punct regulat poate fi construit reperul natural mrr vu ,, .
17
II.3. Metrică pe suprafaţă.
Prima formă fundamentală
I. Fie ),( vurr o parametrizare a unei suprafeţe S în vecinătatea unui punct regulat 0M în spaţiul
eucledian 3R . Fie că prin acest punct trece o curbă :
)(),( tvvtuu
Atunci lungimea unui arc al acestei curbe, ce aparţine vecinătăţii respective a punctului 0M , se determină
din formula:
dttrs
t
t
2
1
)('
unde, '')(' tvtu vrurtr
Rezultă
dvrdurrd vu
))(',,( '' dttrrddtvdvdtudu tt .
Se ştie că
22 1)(')(' rd
dttrtr .
Deci, pentru a calcula lungimea arcelor de curbe, trebuie să putem calcula pătratele scalare ale vectorilor
rd .
22222222
2),(2 GdvFdudvEdudvrdudvrrdurdvrdurrd vvuuvu , unde
2222
),( uuuu zyxrvuE
vuvuvuvu zzyyxxrrvuF ),(),(
2222
),( vvvv zyxrvuG
Deoarece
dttrds )(' , iar
2222 )(' rddttrds , obţinem că 22 ),(),(2),( dvvuGdudvvuFdudvvuEds . Partea dreapta a egalităţii este o formă pătratică în
raport cu du şi dv şi se numeşte prima formă fundamentală pe suprafaţă( sau metrică pe o porţiune
regulată de suprafaţă). Curba pe suprafaţă poate fi determinată de ecuaţiile parametrice:
)())(),((
)())(),((
)())(),((
tztvtuzz
tytvtuyy
txtvtuxx
Obţinem că
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
rd;;
iar
2222
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
rd.
Pătratul scalar este calculat în sistemul cartezian rectangular de coordonate şi atunci
18
2
1
222t
tdt
dz
dt
dy
dt
dxs
,iar
2
222
2
2222
22
2222
2
22
2
dvv
z
v
y
v
x
v
z
u
z
v
y
u
y
v
x
u
xdu
u
z
u
y
u
xdv
v
zdu
u
z
dvv
ydu
u
ydv
v
xdu
u
xdzdydxdt
dt
rdrdds
unde
222
222
222
222
),(
),(
),(
vvv
vuvuvu
uuu
zyxv
z
v
y
v
xvuG
zzyyxxv
z
u
z
v
y
u
y
v
x
u
xvuF
zyxu
z
u
y
u
xvuE
III.Dacă suprafaţa este dată de ecuaţia ),( yxfz , atunci
)},(,,{),( yxfyxyxrr , iar
},,{ dyy
fdx
x
fdydxrd
În acest caz avem:
2
2
2
2
22
121 dyy
fdxdy
y
f
x
fdx
x
fdsrd
, de unde
2
2
1),(
),(
1),(
y
fyxG
y
f
x
fyxF
x
fyxE
III.Dacă suprafaţa este dată de ecuaţia generată
0),,( zyx atunci metrica rimaniană pe suprafaţă se determină după forma 222 dzdydx
cu condiţia
0),,( zyxd
adică
0
dz
zdy
ydx
x
din care (dacă 0
z
) obţinem
19
dyzy
dxzx
dz
::
iar,
2222 dzdydxds
2
22
2
2
:1:2:1 dyzy
dxdyzzx
dxzx
În acest caz metrica rimaniană este determinată de funcţiile
2
2
2
:1),(
:2),(
:1),(
zyyxG
zzxyxF
zxyxE
Definiţie: Metrica rimaniană pe suprafaţa S se numeşte metrică euclidiană, dacă există aşa o
parametrizare
),( vurr a acestei suprafeţe în care
222 dvduds .
Matricea euclidiană pe suprafeţele S se numeşte metrică comformă, dacă există aşa o parametrizare
),( vurr
a acestei suprafeţe(sau a unei porţiuni), în care
))(,( 222 dvduvufds
Coordonatele curbilinii (u,v) se numesc în primul caz coordonate euclediene, iar în al doilea – coordonate
izoterme sau comforme.
II. Să enumerăm proprietăţile de bază ale primei forme fundamentale pe o porţiune regulată de suprafaţă
din spaţiul eucledian.
I.22 ),(),(2),( dvvuGvuFduvuE
este o formă pozitiv determinată deoarece ea reprezintă pătratul scalar al vectorului rd din spaţiul
eucledian. Acest pătrat întotdeauna este pozitiv. Rezultă
0),(,0),( vuGvuE
02 FEGGF
FE
II.Din relaţiile
2222
2222
22
cos),(
sin,
),,(,
vuvu
vuvu
vvuu
rrrr
rrrr
rGrrFrE
unde este unghiul dintre ur şi vr .
Rezultă că
222
,),(, vuvuvu rrrrrr .
Deci,
2, FEGrr vu
III.Prima formă fundamentală este metrică în subspaţiul tangent STM0. într-adevăr, dacă
20
vu raraa 21
aparţine lui STM0, atunci
2
221
2
1
2
2
2
21
2
1
22
),(),(2),(),(2 avuGaavuFavuEaraarrara vvuu
dacă
vu rbrbb 21
atunci
22122111 )(, bGababaFbEaba
Aceasta înseamnă că în STM0 pot fi calculate lungimile vectorilor
2
aa
şi unghiurile dintre orice doi vectori
ba
ba
),(cos
iar apoi şi ariile figurilor din planul tangent respectiv.
II.4. Aplicaţiile primei forme fundamentale
Deoarece prima formă fundamentală este metrică pe suprafaţă, ae trebuie să ne dee posibilitatea de a
calcula: lungimea arcelor curbelor situate pe suprafaţă, unghiurile dintre curbele situate pe suprafaţă şi
ariile porţiunilor regulate de suprafaţă.
I. Calcularea lungimii arcelor situate pe suprafaţă.
Fie ))(),(()( tvturtr o curbă situată pe suprafaţa ),( vurr . Să calculăm lungimea arcului acestei
curbe, mărginit de punctele )( 11 tM şi )( 22 tM şi situat pe o porţiune regulată a suprafeţei ),( vurr .
Calculăm prima formă fundamentală de-a lungul curbei date: 22'2''22'2 )))((),(())(),((2)))((),(( dtvtvtuGdtvutvtuFdtutvtuEds tttt
Deci,
22'2''22' )))((),(())(),((2)))((),(( dtvtvtuGdtvutvtuFdtutvtuEds tttt a
2
1
t
t
dss .
II. Calcularea unghiurilor dintre curbele situate pe suprafaţă
Fie, ))(),(()( 11 tvtut şi ))(),(()( 22 tvtut două curbe situate pe suprafaţa
),( vurr ce au un punct comun M. Aceasta înseamnă că există aşa valori 1t şi 2t ale parametrului t,
încît
)()( 2211 tt .
Presupunem în continuare, că M este un punct regulat pentru ambele curbe, adică nu sunt nuli vectorii
2
'
21
'
1 tsit
Unghiul dintre acesti vectori şi este unghiul dintre curbele )(1 t şi )(2 t . Vectorii )('1 t şi )('2 t
aparţin subspaţiului tangent STM şi atunci
21
2'
2
'
2
'
2
2'
2
2'
1
'
1
'
1
2'
1
'
2
'
1
'
1
'
2
'
2
'
1
'
2
'
1
'
2
'
1
'
2
'
1
)()()(2)()()()(2)(
)()()()()()()()(
)()(
)(),(cos
tvGtvtFutuEtvGtvtFutuE
tvtGvtvtutvtuFtutuE
tt
tt
unde
)),(),((),(),((),(),(()(
)),(),((),(),((),(),(()(
222222
'
2
111111
'
1
tvtuzdt
dtvtuy
dt
dtvtux
dt
dt
tvtuzdt
dtvtuy
dt
dtvtux
dt
dt
indicii 1 şi 2 la funcţiile u şi v sunt introduşi formal pentru a arăta numătul curbei E,F şi G sunt
coeficienţii primei forme fundamentale calculaţi în punctul M.
III. Calcularea ariilor porţiunilor regulate de suprafaţă.
Se ştie că, ]n planul euclidian cu cu coordonatele (x,y) aria unui domeniu se calculează cu ajutorul
integralei duble:
dxdy
Dacă efectuăm o transformare de coordonate
),~,~(),~,~( yxyyyxxx
atunci
ydy
yxd
x
ydy
ydy
xxd
x
xdx
~~2
2~~2
2
~~2
2~~2
2
iar
ydxdI ~~det ,
unde
y
y
x
y
y
x
x
x
I
~~
~~
este matricea Jacobi a transformării de coordonate, ~
este domeniul de variaţie a coordonatelor noi yx ~,~ .
Calcularea ariilor porţiunilor regulate de suprafaţă se efectuează după formule analoage prin aplicarea
primei forme fundamentale. Fie o porţiune regulată a suprafeţei S. Cu ajutorul curbelor de coordonate,
împărţim domeniul în paralelograme curbilinii.
22
Fie 231 MMMM unul dintre ele: ),(),(),(),( 121311 vuMvuMvuMvuM . Asociem acestui paralelogram
curbilinii paralelogram construit de vectorii
)(),( 1
'
21
'
1 vvrMMuurMM vu care este situat în planul tangent la suprafaţa S în punctul M.
Cînd numărul paralelogramelor curbilinii creşte nemărginit, astfel încît 0)(,0)( 11 vvuu ,
atunci aria porţiunii este limita către care tinde suma ariilor paralelogramelor asociate. Se ştia că aria
paralelogramului construit pe vectorii '
2
'
1 ,MMMM este egală cu modulul produsului vectorial al
acestor vectori.
)0,0(
)()(
,)()()(,)(,
11
2
11
1111
'
2
'
1231
vvuu
FEGvvuu
rrvvuuvvruuMMMM vuuMMMM
Definiţie: Expresia
dudvGEFd 2
se numeşte element de arie a suprafeţei S faşă de coordonatele curbilinii(u,v).
Arie a porţiunii regulate de pe suprafaţa S se numeşte mărimea
d
La transformarea coordonatelor curbilinii
)~,~(),~,~( vuvvvuuu
aria porţiunii regulate se transformă în felul următor:
ydxdIFEG ~~det .
II.5. Curbura curbelor de pe suprafaţă.
Forma a doua fundamentală
Fie dată o suprafaţă S cu parametrizarea ),( vurr şi pe ea o curbă . Faţă de parametrul natural
s(unde s este lungimea arcului de curbă) ecuaţia curbei poate fi scrisă
)()(),()( srsvsurs
În fiecare punct regulat al curbei poate fi construit tripletul Frenet:
bnt ,,
unde
nbbtknnktds
rdrt
...
,,, ,
unde k – curbura curbei, - torsiunea curbei.
Construim în punctul regulat M al curbei versorul m al normalei la suprafaţa S.
Vectorii bnt ,, aparţin planului normal al curbei în punctul M. Prima formulă Frenet permite să
calculăm curbura curbei în punctul biregulat M 2
2
2
2...
,ds
rdnk
ds
rdrt .
Înmulţim scalar ultima egalitate la versorul m si obţinem:
2
2 ,),(
ds
mrdmnk
Fie mulţimea unghiurilor dintre m şi n , atunci 2
2 ,cos
ds
mrdk .
Să calculăm produsul scalar mrd ,2. Avem dvrdurrd vu şi deci
23
22
22222
2222
2
,,,,2,,
NdvMdudvLdu
vdmrudmrdvmrdudvmrdumrmrd
dvrdvdurdvdurudrdudvrdurrd
vuvvuvuu
vvvvuuuvuu
unde
0,,0,
,,,,,
,,2
22
2
2
mrmr
mrNmrMmrL
v
rr
vu
rr
u
rr
vu
vvuvuu
vvuvuu
Observăm că produsul scalar ( mrd ,2) se exprimă printr-o formă pătratică
222 ),(),(2),( dvvuNdudvvuMduvuLdl
faţă de diferenţiala du şi dv. Această formă se numeşte a doua formă fundamentală pe suprafaţă.
Deoarece vectorul
2
,
,
,
FEG
rr
rr
rrm
vu
vu
vu
,
astfel pentru calcularea coeficienţilor L,M,N obţinem următoarele formule
22
22
22
,,,,,
,,,,,
,,,,,
FEG
rrr
FEG
rrrmrN
FEG
rrr
FEG
rrrmrM
FEG
rrr
FEG
rrrmrL
vvvuvuvvvv
uvvuvuuvuv
uuvuvuuuuu
.
Deci, calcularea coeficienţilor L,M,N se reduce la calcularea produselor mixte.
În coordonate obţinem:
vvvvvv
vvv
uuu
vvvu
uvuvuv
vvv
uuu
uvvu
uuuuuu
vvv
uuu
uuvu
zyx
zyx
zyx
rrrD
zyx
zyx
zyx
rrrD
zyx
zyx
zyx
rrrD
,,"
,,'
,,
unde ",', DDD sunt determinaţii lui Gauss.
Dacă suprafaţa S este determinată de ecuaţia ),( yxfz , atunci determinanţii lui Gauss capătă forma:
24
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
00
10
01
"
00
10
01
'
,
00
10
01
yy
yy
y
x
xy
xy
y
x
xx
xx
y
x
f
f
f
f
D
f
f
f
f
D
f
f
f
f
D
Dacă însă suprafaţa S este determinată de ecuaţia ei generală 0),,( zyxF , atunci pentru determinarea
aceloraşi determinanţi obţinem formulele:
22
2
2
",'
00
10
01
z
yyzyzy
z
xyzyzx
z
xxzxzx
z
xxzxzx
z
y
z
x
F
FFFFD
F
FFFFD
F
FFFF
F
FFFF
F
F
F
F
D
Deci, pentru calcularea curburii curbei în punctul ))(),(( svsuM obţinem formula
II
I
dvsvsuGdudvsvsuFdusvsuE
dvsvsuNdudvsvsuMdusvsuLk
22
22
))(),(())(),((2)(),((
))(),(())(),((2)(),((cos
Este necesar să menţionăm că diferenţiala du şi dv sunt calculate pe curba . Uşor se observă că la
schimbarea de parametru pe curba , formula obţinută nu se schimbă. Să concretizăm sensul geometric
al formulei principale pentru calcularea curburii , situată pe suprafaţa i S, în punctul dat biregulat M.
Coeficienţii formelor pătratice E,F,G,L şi N primesc valori concrete în punctul dat M, adică pot fi
consideraţi mărimi constante, deci partea dreaptă a formulei principale depinde numai de raportul
diferenţialelor dv:du sau du:dv.
Pentru a ne convinge de acest lucru este de ajuns să împărţim numărătorul şi numitorul la 2du sau
2dv şi
obţinem:
2
2
2
2
cos
du
dvG
du
dvFE
du
dvN
du
dvML
k
unde raportul du
dv caracterizează direcţia tangentei, deci partea dreaptă a formulei de mai sus depinde
numai de direcţia tangentei , care este )(' s la curba în punctul M şi primeşte una şi aceeaşi valoare
pentru toate curbele de pe suprafaţa S, ce trec prin punctul M şi au una şi aceeaşi tangentă.
Fie dată tangenta M la curba , atunci partea dreaptă a formulei principale este pe deplin determinată, în
cazul cînd ea este diferită de zero, (adică valoarea formei a doua fundamentale în punctul M este diferită
de zero), avem 0cos,0 k , adică 2
.
25
Planul osculator al curbei (el conţine vectorii nt, ) rămîn enedeterminat, adică diferite curbe tangente
la dreapta M au diferite plane osculatoare, ce formează un fascicol de plane cu axa M, atunci rezultă că
pentru determinarea curburii k trebuie să indicăm tangenta şi planul osculator al curbei . În acest caz
este determinată normala principală a curbei în punctul M(dreapta din planul osculator perpendiculară
pe tangentă se numeşte normală principală). Sensul versorului m se determină din condiţia că 0k ,
dacă partea dreaptă este pozitivă, atunci 2
0,0cos
, dacă partea dreaptă este negativă, atunci
2
,0cos .
Conchidem că relaţia I
IIk cos stabileşte legătura dintre direcţia tangentei , poziţia planului osculator
şi curbura în punctul M, pentru familia de curbe situate pe suprafaţa S cu punctul comun M.
II.6. Direcţii principale. Curburi principale
Fie M un punct regulat al suprafeţei S cu parametrizarea
),( vurr
Construim în acest punct, planul tangent şi normala la suprafaţă. Tangentele tuturor curbelor de pe
suprafaţa S în punctul M aparţin acestui plan. Dacă prin normala suprafeţei şi orice dreaptă din planul
tangent ce trece prin punctul M vom duce un plan, atunci intersecţia acestui plan cu suprafaţa este o
secţiune normală a ei. Deci, prin orice punct regulat al suprafeţei S se pot construi pe ea o infinitate
secţiuni normale. Curburile tuturor acestor secţiuni sunt mărginite, adică nu pot primi valori oricît de
mari.
Definiţia 1: Valorile minimale şi maximale ale curburii secţiunilor normale în punctul regulat M de pe
suprafaţa S se numesc – curburi principale. Secţiunile normale respective se numesc – secţiuni normale
principale. Direcţiile tangentelor secţiunilor normale principale se numesc – direcţii principale.
Să cercetăm în continuare problema existenţei curburilor principale, să elaborăm metode de calculare a
lor şi să determinăm direcţiile principale în punctele regulate ale suprafeţelor prin diferite tipuri de
parametrizări.
I. Fie că suprafaţa S este dată de ecuaţia
),( yxfz
Vom considera că originea sistemului cartezian rectangular de coordonate este translată în punctul regulat
M al suprafeţei, adică )0)0,0(()0,0,0( fMO . După aceea rotim sistemul de coordonate, astfel ca
axa Oz să coincidă cu normala suprafeţei. La aceste transformări de coordonate, suprafaţa rămîne
invariantă. Se ştie că în acest caz, în calitate de parametrizare, pot fi luate coordonatele x şi y:
),(,,),( yxfyxyxr
Atunci
),(,0,1),( 1 yxfyxr xx şi ),(,0,1),( 1 yxfyxr yy
În vecinătatea punctului M putem de asemenea menţiona că
0)0,0()0,0( '' yx ff , adică 0gradf
În aceste condoţii yxyxyx rmrrrmrr ,,, , prima formă fundamentală este 222 dydxds ,
iar a doua formă fundamentală este 2""2"2 2 dyfdxdyfdxfdl yyxyxx
Curbura secţiunii este
22
2"'2"2 2
dydx
dyfdxdyfdxfdlk
yyxyxx
.
Pentru calcularea valorilor extremale ale curburii cercetăm a doua formă fundamentală
Matricea acestei forme
26
""
""
yyxy
xyxx
ff
ff
se numeşte Hessian.
Fie 1k şi 2k rădăcinile caracteristice ale hesianului 21 kk , atunci printr-o rotaţie în jurul axei Oz a
sistemului de coordonate Oxyz zyxOOxyz ~~~ forma a doua poate fi adusă la forma canonică
2
2
2
1~~ ydkxdk ,
iar
22
2
2
2
1
~~
~~
ydxd
ydkxdkk
(la rotaţie, forma 22 ~~ ydxd nu se schimbă. Acum uşor se observă că 1k este valoarea minimală, iar 2k
este valoarea maximală a curburii k. Deci, rădăcinile caracteristice ale hasianului suprafeţei ),( yxfz
în punctul regulat M al suprafeţei, în care 0gradf , sunt curburile principale ale suprafeţei S în punctul
regulat M. Pentru determinarea acestor rădăcini, obţinem ecuaţia caracteristică
0""
""
""2 yyxy
xyxx
yyxxff
ffffk care are întotdeauna rădăcini reale 1k şi 2k . Dacă
Myy
Nxx ff "" şi 0"
Mxyf , atunci aceste rădăcini sunt egale, iar în caz contrar 21 kk .
II.Dacă suprafaţa este dată de ecuaţia ei generală
0),,( zyxF
Atunci în vecinătatea fiecărui punct regulat 0M
gradF , această suprafaţă poate fi determinată şi de
ecuaţia ),( yxfz .
Existenţa şi calcularea curburilor principale sunt analoage cazului I.
III. Să cercetăm în continuare cazul cînd suprafaţa S este determinată de parametrizarea
),( vurr
În acest caz, pentru calcularea curburii unei secţiuni normale, a fost obţinută formula
22
22
2
2
GdvFdudvEdu
NdvMdudvLdu
II
Ik
în care coeficienţii E,F,G,L,M,N sunt calculaţi în punctul dat M, iar du şi dv sunt diferenţialele
coordonatelor curbilinii calculate de-a lungul secţiunii normale. Cercetarea curburii secţiunii normale ce
trece prin punctul regulat M se va efectua prin reducerea formei a doua la forma canonică şi a primei
forme la forma normală cu ajutorul uneia şi aceleiaşi transformări nedegenerate
Teorema1: Fie dată o pereche de forme pătratice
n
ji
jiijn xxaxxxf1,
21 ),...,,( şi
n
ji
jiijn xxbxxxg1,
21 ),...,,(
Dacă g este pozitiv definită, atunci există o transformare liniară nedegenerată care reduce în acelaşi timp
forma g la forma normală, şi forma f la forma canonică.
Demonstraţie:
Aplicăm mai întiî transformarea negenerată a necunoscutalor ''
21 :,...,, jin yTxxxx care aduce
forma pozitiv definită g la forma normală
),...,(...,...,, 11
22
2
2
121 nnn yygyyyxxxg .
Apoi aplicăm transformarea la care forma f va trece într-o oarecare formă 1f de necunoscute noi
),...,(,..,, 1121 nn yyfxxxf .
Efectuăm în continuare transformarea ortogonală a necunoscutelor ''
1 )(:,..., njn zQyyy , care
reduce forma 1f la forma canonică:
),...,(...),..,( 12
22
22
2
1111 nnnn zzfzzzyyf
27
Această transformare a necunoscutelor njy j ,...,1, transformă suma pătratelor
22
2
2
1 ... nyyy în suma pătratelor ),...,(... 12
22
2
2
1 nn zzgzzz .
În urma compoziţiilor acestor transformări ''
ki zTQx , obtinem:
şi
22
2
2
1121 ...,...,,..., nnn zzzzzgxxg
Teorema 2: Coeficienţii n ,...,, 21 sunt rădăcini ale ecuaţiei caracteristice 0 BA , unde
ijij bBaA , sunt matricile formelor pătratice f şi g respectiv.
Demonstraţie: La efectuarea unei transformări nedegenerate ale necunoscutelor ''
ji yTx , matricile
A şi 1A ale formelor pătrate respective, satisfac relaţia
ATTA '1 , ATA detdetdet2
1 . Prin relaţii de acelaşi tip, sunt legate şi matricile 1B şi B. Deci
BATTBATBTTATTBA 2
11 )('''
Determinantul T fiind diferit de 0, avem 0 BA , atunci şi numai atunci
011 BA . Rădăcinile ecuaţiei caracteristice 0 BA se numesc rădăcini caracteristice ale
perechii de forma (f,g). În virtutea celor expuse mai sus, avem că perechile de forme (f,g), 11 , gf şi
22 , gf au aceleaşi rădăcini caracteristice. Numerele n ,...,, 21 sunt rădăcinile caracterustice ale
perechii 22 , gf , şi prin urmare ele sunt rădăcini ale ecuaţiei 0 BA .
Să ne întoarcem acum la cercetarea curburii secţiunilor normale ce trec prin punctul regulat M al
suprafeţei S dată de parametrizarea ),( vurr . Efectuăm transformarea coordonatelor curbilinii u şi v
care va aduce forma a doua la forma canonică, iar prima formă la forma normală:
vuvvvuuu ~,~,~,~ . Ca rezultat obţinem
22
2
2
2
1
~~
~~
vdud
vdudk
Deci, 21 , sunt curburile principale. Conchidem că curburile principale ale suprafeţei S în punctul
regulat M sunt rădăcinile caracteristice ale perechii de forme fundamentale(II,I), adică sunt rădăcinile
ecuaţiei
0
GNFM
FMEL
, sau 02 222 MLNFMLGENFEG .
Această ecuaţie are întotdeauna două rădăcini reale(matricile formelor pătratice sunt simetrice). Direcţiile
principale se determină cu vectorii proprii ce corespund rădăcinilor caracteristice 21 , . Aceste direcţii
sunt reciproc perpendiculare dacă 21 . Dacă 21 atunci orice direcţie din subspaţiu.
Definiţia 2:
Baza ortonormată 21,ll din subspaţiul STM , vectorii căreia au direcţie principală se numeşte baza
direcţiilor principale ale suprafeţei S în punctul regulat M.
Dacă 21 , atunci baza direcţiilor principale se determină univoc, iar dacă 21 , atunci orice bază
ortogonală STM este baza direcţiilor principale.
II.7. Formula lui Euler.
Curbura totală. Curbura medie
Studierea curburii secţiunilor normale arată că curbura unei secţiuni normale arbitrare se exprimă prin
curburile principale. Formula de calculare a acestei curburi, întotdeauna poate fi transformată în formulă
simplă:
22
22
2
11121 ...,...,,..., nnnn zzzzzfxxf
28
2
2
2
122
2
222
2
122
2
2
2
11 sincos~~
~
~~
~
~~
~~kk
vdud
vdk
vdud
udk
vdud
vdkudkk
2
2
2
1 sincos kkk - formula lui Euler,
unde este unghiul format de direcţia tangentei la secţiunea normală cercetată cu direcţia principală,
corespunzătoare curburii principale 1k . Într-adevăr: constvconstu ~,~ sunt ecuaţiile secţiunilor
normale principale, ce trec prin punctul regulat )~,~( vuM . Aceste curbe sunt reciproc perpendiculare.
Versorii tangentelor acestor secţiuni normale principale formează baza direcţiilor principale 21,, llM .
Fie l versorul tangentei secţiunii normale date, iar M – un punct pe această
tangentă, )~~,~~(' vdvuduM . Atunci pentru unghiul dintre vectorii l şi 1l au loc relaţiile
22
2
22
2
~~
~sin
~~
~cos
vdud
vd
vdud
ud
Formula 2
2
2
1 sincos kkk poartă numele marelui savant L. Euler(1707-1783). La rotirea
tangentei secţiunii normale din poziţia 1MT în jurul punctului M pînă în poziţia 2MT2
0
.
Definiţie: Produsul curburilor principale se numeşte curbura totală a suprafeţei în punctul regulat M, iar
suma curburilor principale se numeşte curbura medie.
Notăm: 21 kkK , 2
21 kkH
.
Dacă suprafaţa este dată de ecuaţia
),( yxfz
cu condiţia ca 0gragf , atunci curburile principale sunt rădăcinile ecuaţiei
0""
""
""2 yyxy
xyxx
yyxxff
ffkffk
Din această ecuaţie rezultă că curbura totală gausiană este egală cu determinantul Ressianului
""
""
yyxy
xyxx
ff
ffk , iar curbura medie, cu o jumătate din diagonală principală a lui.
Dacă suprafaţa este dată de ecuaţia ),( vurr , atunci curburile principale în punctul regulat M sunt
rădăcinile ecuaţiei
02 222 MLNkMFLGENkFEG .
Din această ecuaţie rezultă, că curbura totală (gaussiană) este egală cu raportul determinanţilor formelor I
şi II.
29
2
2
FEG
MLNk
.
Pentru calcularea formulii medii, obţinem formula
22
2
FEG
MFLGENH
.
Teorema lui Gauss: Curbura totală poate fi exprimată numai cu ajutorul coeficienţilor primei forme
fundamentale şi a derivatelor parţiale de primul şi al doilea ordin.
Demonstraţie: Demonstraţia acestei teoreme se reduce la exprimarea determinantului formei a doua prin
coeficienţii primei forme fundamentale şi a derivatelor llor parţiale de primul şi al doilea ordin.
2
2
2 '"
FEG
DDDMLN
, unde ",', DDD sunt determinanţii lui Gauss. Calculăm în continuare
expresia 2'" DDD .
uvuvvuvu
uvvvvu
uvuvuu
vvuuvvvvvu
uuvvvu
uuuvuu
uvvuvvvuuuvu
rrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrrr
rrrrr
rrrrr
rrrrrrrrrDDD
2
2
2
2
22,,,,,,'"
Cunoaştem că ),(),,(),,(2
vuGrvuFrrvuEr vvuu . Derivăm aceste egalităţi în raport cu u şi v
şi obţinem
vvvvuuvv
vvvuvuvuuvuvuu
vvuuuuu
GrrGrr
FrrrrFrrrr
ErrErr
2,2
,,
,2,2
Din relaţiile obţinute putem determina următoarele produse scalare:
vvvvuvvvu
uuvvvuuuv
vvuuuuu
GrrGFrr
GrrEFrr
ErrErr
2
1,
2
1
,2
1,
2
1
,2
1,
2
1
Folosind aceste egalităţi, obţinem
GF
FEr
GG
EFG
GG
EFE
GF
FErr
EFG
EFG
GG
EFGF
rGE
GGF
EFE
rrGGF
EFGF
EFE
DDD
uv
u
v
u
u
v
v
uvuu
vu
u
v
u
u
uv
vvuv
u
v
vvuuvuv
vu
u
2
22
2
2
2
12
1
2
1
2
12
1
2
1
2
12
1
2
1
2
12
1
2
1
2
1
2
12
12
1
2
1
2
12
12
1
'"
30
222
2
24
1
2244
12
4
1
uvvvuuvuvuu
vuuuvvvuvuvuvvu
rrrFEGFEEGEG
EGGFGFGEFFFGFGEGE
Pentru a determina 2
uvvvuu rrr prin derivatele coeficienţilor primei forme, derivăm egalitatea
vvvu Err2
1 în raport cu variabila v, iar egalitatea
2
2
1uvvvu GFrr în raport cu variabila u.
Obţinem vvvvuuuvuuuvuuvvuu ErrrGFrrrr
2
1,
2
1 2
Scădem din prima egalitate pe a doua şi obţinem
uuvvuvuvvvuu GEFrrr2
1
2
12
, unde vvuuvv rr . c.t.d.
II.8. Direcţii asimtotice. Clasificarea punctelor unei suprafeţe.
Fie M un punct regulat al suprafeţei S, iar STM subspaţiul liniar tangent la suprafaţa S ]n punctul M.
Definiţie: Direcţia determinată de vectorul STh M , se numeşte direcţie asimtotică, dacă coordonatele
vectorului h anulează forma a doua fundamentală.
Direcţia asimtotică este caracterizată de faptul că curbura secţiunii normale tangente la vectorul h în
punctul M este egală cu zero.
Definiţia 2: Linia pe suprafaţa S se numeşte linie asimtotică, dacă tangenta în orice punct al acestei linii
are direcţie asimtotică.
În coordonatele curbilinii u şi v ale suprafeţei S , liniile asimtotice sunt determinate de ecuaţia
diferenţială
02 22 NdvMdudvLdu
Împărţim această egalitate la 2du , dacă 0N şi obţinem o altă ecuaţie diferenţială
02
2
L
du
dvM
du
dvN
Discriminantul acestei ecuaţii este LNM 24 . Deoarece derivata du
dv indică direcţia tangentei la curba
uv , rezultă că în punctul SM :
a) există două direcţii asimtotice, dacă 02 MLN
b) există o direcţie asimtotică, dacă 02 MLN
c) nu există nici o direcţie asimtotică, dacă 02 MLN
Concluzie: Semnel determinantului formei a doua fundamentale determină existenţa şi numărul liniilor
asimtotice, ce trece prin punctul M al suprafeţei S.
Pentru a determina ecuaţiile acestor linii, rezolvăm ecuaţiile diferenţiale de ordinul întîi.
N
LNMM
du
dv
2
.
Observaţii:
1) Dacă 0,0 LN , atunci ecuaţia iniţială se împarte la 2dv .
2) Dacă 0,0 MNL , atunci liniile de coordonate constvconstu , sunt linii asimtotice.
3) Dacă 0 NML , atunci orice direcţie din STM este direcţie asimtotică, ceea ce este
posibil numai în cazul cînd S este un plan sau o porţiune de plan (linia dreaptă pe orice suprafaţă
este linie asimtotică).
Direcţiile asimtotice, curbura totală şi curburile principale, ne dau posibilitatea să clasificăm punctele
regulate pe suprafaţă.
31
I. Punctul SM se numeşte punct hiperbolic, dacă în acest punct există două direcţii asimtotice.
În punctul M determinantul formei a doua fundamentale
02 MLN
curburile principale au semne diferite, iar curbura totală este negativă.
Suprafaţa în vecinătatea punctului M este situată pe diferite părţi ale planului tangent şi au numai un punct
comun cu el, punctul M. Aşa o situaţie este caracteristică pentru suprafeţele hiperboloidului cu o pînză şi
a paraboloidului hiperbolic.
II. Punctul SM se numeşte punct parabolic, dacă în acest punct există o singură direcţie asimtotică.
În punctul M determinantul formei a doua fundamentale 02 MLN - una din curburile principale şi
curbură totală sunt egale cu zero.
Suprafaţa S este situată pe aceeaşi parte a planului tangent, numai că are cu el o dreaptă sau o porţiune de
dreaptă comună. Aşa o situaţie este caracteristică pentru suprafeţele cilindrice şi conice.
III. Punctul M se numeşte punct de condensare, dacă 021 kk .
IV. Punctul M se numeşte punct eliptic,dacă în acest punct nu există direcţii asimtotice.
În punctul M determinantul formei a doua fundamentale 02 MLN - curburile principale au acelaşi
semn, iar curbura totală este pozitivă.
Suprafaţa în vecinătatea punctului M este situată de aceeaşi parte a planului tangent şi au cu el numai un
punct comun, punctul M.
Dacă ambele curburi principale sunt pozitive 0,0 21 kk , atunci punctul M este un punct de minim,
iar dacă ambele curburi sunt negative 0,0 21 kk , atunci punctul M este un punct de maxim. Aşa o
situaţie este caracteristică pentru suprafeţele sferice, suprafaţa hiperbolică cu două pînze, suprafaţa
paraboloidului eliptic şi ale multor suprafeţe.
Definiţia 3: Punctul eliptic SM se numeşte punct ombidic sau punct de rorunjire, dacă toate secţiunile
normale în punctul M au una şi aceeaşi curbură kkk 21 .