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Notes de cours
Rappel : Les polygones, le périmètre et l’aire
4.1 Le système international d’unités (SI)
4.2 L’aire d’un triangle, d’un rectangle et d’un parallélogramme
4.3 L’aire d’un trapèze et d’un losange
4.4 Le carré et la racine carrée d’un nombre et l’aire d’un carré
4.5 L’aire de polygones réguliers et de polygones décomposables
Annexe A : Retour sur les formules d’aire
NomNomNomNom : : : : ________________________________________ GroupeGroupeGroupeGroupe :::: _______
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2
RappelRappelRappelRappel :::: Les polygones, le périmètre et l’aireLes polygones, le périmètre et l’aireLes polygones, le périmètre et l’aireLes polygones, le périmètre et l’aire
PérimètrePérimètrePérimètrePérimètre
Qu’est-ce que c’est : le périmètre mesure le CCOONNTTOOUURR d’une figure.
L'unité de mesure est l’uuuuuuuunnnnnnnniiiiiiiittttttttéééééééé (m, cm, m, etc.)
Exemples : Clôture d’un terrain, le cadre d’une photo, un ruban autour d’un cadeau, des moulures installées dans le salon, etc.
AireAireAireAire
L'aire mesure la surface.
L'unité de mesure est le ccccccccaaaaaaaarrrrrrrrrrrrrrrréééééééé (m2, cm2, mm2)
Exemples : La peinture sur les murs, de la céramique au plancher, une surface à trouer, etc.
Le carré
Le rectangle
Le triangle
Le trapèze Le losange
Le parallélogramme
Le
pentagone
L’hexagone
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3
Les propriétés Les propriétés Les propriétés Les propriétés
Référence : http://www.netmaths.net/Docs#891FE7408
Exemples :
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4
4444.1.1.1.1 Le système international d’unités (SI)Le système international d’unités (SI)Le système international d’unités (SI)Le système international d’unités (SI)
Changement d’unitésChangement d’unitésChangement d’unitésChangement d’unités Pour changer vos unités, vous pouvez utiliser une échelle les mettant en
relation et vous permettant de déterminer où placer la virgule.
IMPORTANTIMPORTANTIMPORTANTIMPORTANT
Vérifiez que vos unités soient toujours les mêmes dans une même
figure.
Démarche :
�� UUUUUUUUnnnnnnnniiiiiiiittttttttééééééééssssssss ddddddddeeeeeeee lllllllloooooooonnnnnnnngggggggguuuuuuuueeeeeeeeuuuuuuuurrrrrrrr:::::::: mmmmmmmmeeeeeeeessssssssuuuuuuuurrrrrrrreeeeeeeessssssss eeeeeeeennnnnnnn uuuuuuuunnnnnnnneeeeeeee ddddddddiiiiiiiimmmmmmmmeeeeeeeennnnnnnnssssssssiiiiiiiioooooooonnnnnnnn
km hm dam m dm cm mm
�� UUUUUUUUnnnnnnnniiiiiiiittttttttééééééééssssssss dddddddd’’’’’’’’aaaaaaaaiiiiiiiirrrrrrrreeeeeeee:::::::: mmmmmmmmeeeeeeeessssssssuuuuuuuurrrrrrrreeeeeeee eeeeeeeennnnnnnn ddddddddeeeeeeeeuuuuuuuuxxxxxxxx ddddddddiiiiiiiimmmmmmmmeeeeeeeennnnnnnnssssssssiiiiiiiioooooooonnnnnnnnssssssss
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
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Exemples :
1. Transforme les unités des mesures suivantes*.
a) 20 m = cm
b) 850 dm = cm
c) 4560 cm2 = m2
d) 4,5 km2 = m2
e) 45 m2 = ___________________ cm2
f) 0,65 dam2 = dm2
g) 34 200 cm = dam
h) 3,25 hm = m
i) 40 860 m2 = hm2
j) 540 mm2 = dm2
k) 4086 dm = hm
l) 1,67 km = m
* Aide-toi des échelles suivantes.
km hm dam m dm cm mm
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
x 10 x 10 x 10
÷10 ÷ 10 ÷ 10
x 100 x 100 x 100
÷100 ÷ 10 0 ÷ 100
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4.2 4.2 4.2 4.2 L’aire d’un triangle, d’un rectangle et d’un parallélogrammeL’aire d’un triangle, d’un rectangle et d’un parallélogrammeL’aire d’un triangle, d’un rectangle et d’un parallélogrammeL’aire d’un triangle, d’un rectangle et d’un parallélogramme
L’aire d’un triangleL’aire d’un triangleL’aire d’un triangleL’aire d’un triangle
FormuleFormuleFormuleFormule :::: 2
h x bA = , o ù b = base et h = hauteur
À noterÀ noterÀ noterÀ noter ::::
La hauteur et la base d’un triangle sont toujours perpendiculaires
Exemple :
Trouve l’aire de chacun des triangles suivants.
a) b)
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L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un rectanglerectanglerectanglerectangle
FormuleFormuleFormuleFormule :::: A = b
Exemple :
Trouve l’aire de chacun des rectangles suivants.
a)
L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un parallélogrammeparallélogrammeparallélogrammeparallélogramme
FormuleFormuleFormuleFormule :::: A = b
La hauteur est le segment perpendiculaire
qui joint les deux côtés parallèles
Exemple :
Trouve l’aire de chacun des parallélogrammes
a)
7
A = b ⋅⋅⋅⋅ h, o ù b = base et h = hauteur
Trouve l’aire de chacun des rectangles suivants.
b)
parallélogrammeparallélogrammeparallélogrammeparallélogramme
A = b ⋅⋅⋅⋅ h, o ù b = base et h = hauteur
segment perpendiculaire
deux côtés parallèles
parallélogrammes suivants.
b)
h = hauteur
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8
4.4.4.4.3333 L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un trapèze et d’un losangetrapèze et d’un losangetrapèze et d’un losangetrapèze et d’un losange
L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un trapèzetrapèzetrapèzetrapèze
FormuleFormuleFormuleFormule :::: 2
hb)(BA
⋅+= où B = grande base, b = petite base et h = hauteur
Le trapèze possède deux bases qui sont parallèles
deux à deux.
La hauteur est le segment qui relie ces deux bases.
Exemple :
Trouve l’aire de chacun des trapèzes suivants.
a) b)
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9
L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un L’aire d’un losangelosangelosangelosange
FormuleFormuleFormuleFormule :::: 2
DdA = où D = grande diagonale et d = petite diagonale
Exemple :
Trouve l’aire de chacun des losanges suivants.
a) b)
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4.4 Le carré et la racine carrée d’un nombre et l’aire d’un carréLe carré et la racine carrée d’un nombre et l’aire d’un carréLe carré et la racine carrée d’un nombre et l’aire d’un carréLe carré et la racine carrée d’un nombre et l’aire d’un carré
Le carré d’un Le carré d’un Le carré d’un Le carré d’un nombrenombrenombrenombre Le carré d’un nombre correspond au produit de deux facteurs égaux.
2 fois
� 4² est une autre façon d’écrire: 4 x 4
� Symboles possibles sur la calculatrice :
� Les bases peuvent être positives ou négatives.
Exemples :
1. Identifie, pour chacune des expressions suivantes, la base, l’exposant ainsi que la puissance.
a) 3² = 9 Base : ______ Exposant : ______ Puissance : ______ b) 24 = 16 Base : ______ Exposant : ______ Puissance : ______
2. Trouve la puissance de chacune des expressions suivantes.
EEEEEEEExxxxxxxxeeeeeeeemmmmmmmmpppppppplllllllleeeeeeee :::::::: 4444444422222222 ======== 44444444 xxxxxxxx 44444444 ======== 1111111166666666
a) 3³ = _____________ = ______ b) 104 = ____________ = _____
c) 25 = _____________ = ______ d) 5³ = ____________ = ______
4² = 16 BBAASSEE
EEXXPPOOSSAANNTT
PPUUIISSSSAANNCCEE
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LLLLa racinea racinea racinea racine carré d’un nombrecarré d’un nombrecarré d’un nombrecarré d’un nombre Exemple :
� 3 est la RACINE CARRÉE de 9, car 3 ² = 9
� Donc, √9 = 3
À noterÀ noterÀ noterÀ noter :
Il est important de comprendre que tout nombre positif possède deux
racines carrées, une positive et l’autre négative.
√100 = ± 10, car on sait que :
10 x 10 = 10² = 100 ETETETET (-10) x (-10) = (-10)² = 100
Exemples : √25 = √49 =
√20 = √132 =
= 4 RRAADDIICCAANNDDEE
RRAADDIICCAALL
RRAACCIINNEE CCAARRRRÉÉEE
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12
LLLL’aire d’un ’aire d’un ’aire d’un ’aire d’un carrécarrécarrécarré
FormuleFormuleFormuleFormule :::: A = c² où c = mesure du côté
Exemple :
Trouve l’aire de chacun des carrés suivants.
a) b)
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4.5 L’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposables
Polygone régulier convexePolygone régulier convexePolygone régulier convexePolygone régulier convexe
Définition d’un polygone
Exemples : Voici des polygones : Ici, ce ne sont pas des polygones Définition d’un polygone convexe
Exemples :
Polygone convexe
13
L’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposables
Polygone régulier convexePolygone régulier convexePolygone régulier convexePolygone régulier convexe
RAPPELRAPPELRAPPELRAPPEL
: Figure géométrique plane, formée d’une suite de segments, délimitant ainsi un contour fermé.
Ici, ce ne sont pas des polygones :
Définition d’un polygone convexe : Polygone dont toutes les diagonales sont situées à l’intérieur de ce dernier.
Polygone convexe Polygone concave
L’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposablesL’aire de polygones réguliers et de polygones décomposables
: Figure géométrique plane, formée d’une suite de segments,
: Polygone dont toutes les diagonales sont situées
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Propriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexes
Un polygone régulierrégulierrégulierrégulier convexe est un polygone qui répond aux contraintes suivantes :
1) Tous les côtés sont congrus
2) Tous les angles sont congrus
14
Propriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexesPropriétés des polygones convexes
convexe est un polygone qui répond aux contraintes
Tous les côtés sont congrus
Tous les angles sont congrus
convexe est un polygone qui répond aux contraintes
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Noms des polygones réguliersNoms des polygones réguliersNoms des polygones réguliersNoms des polygones réguliers
Nombre de côtés
(n)
Nom du polygone régulier
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
Noms des polygones réguliersNoms des polygones réguliersNoms des polygones réguliersNoms des polygones réguliers
Nom du polygone Dessin
Somme des angles
intérieurs
Mesure de chaque angle
intérieur
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Quelques énoncésQuelques énoncésQuelques énoncésQuelques énoncés sur lessur lessur lessur les polygones régulierspolygones régulierspolygones régulierspolygones réguliers
� La somme des angles intérieurs d’un polygone est toujours égale à
S = (n – 2) ⋅ 180°
� La somme des angles extérieurs d’un polygone est de 360°
� La mesure d’un angle au centre et d’un extérieur est toujours la même
� Dans un polygone régulier, il y a autant ‘axes de symétrie que de côtés
� L’hexagone est le seul polygone régulier qui est formé de triangles
équilatéraux
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17
Le périmètre d’un polygone régulierLe périmètre d’un polygone régulierLe périmètre d’un polygone régulierLe périmètre d’un polygone régulier
La définition d’un polygone régulier facilite considérablement le
calcul de son périmètre. En effet, dans un polygone régulier, dans un polygone régulier, dans un polygone régulier, dans un polygone régulier, tous les tous les tous les tous les
côtés sont isométriquescôtés sont isométriquescôtés sont isométriquescôtés sont isométriques. Par conséquent, on obtient le périmètre en
multipliant le nombre de côtés par la mesure du côté.
P = n c
Exemples :
a) Trouve le périmètre d’un heptagone régulier dont la mesure du côté est de 5 m.
b) Trouve la mesure du côté d’un hexagone régulier dont le périmètre est de 72 mm.
c) Quel polygone régulier a comme périmètre 150 dm et comme mesure de côté 30 dm ?
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18
L’apothème d’un polygone régulierL’apothème d’un polygone régulierL’apothème d’un polygone régulierL’apothème d’un polygone régulier
L’apothème d’un polygone régulier est le segment reliant le centre d’un
polygone régulier au milieu d’un des côtés de ce polygone.
Exercice : Identifie l’apothème dans chaque figure.
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19
L’aire d’un polygone régulierL’aire d’un polygone régulierL’aire d’un polygone régulierL’aire d’un polygone régulier
FormuleFormuleFormuleFormule :::: 2
n a cA =
où n = nombre de côtés c =mesure du côté a = apothème
Exemples : Calcul l’aire du polygone suivant en utilisant la formule de l’aire.
Exemples :
a) Calcule l’aire d’un octogone régulier de 3 cm de côté et dont l’apothème mesure environ 3,6 cm.
Aire = ________
b) Quelle est la surface occupée par un pentagone de 8 m de côté et dont l’apothème est de 9 m ?
Aire = ________
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20
L’aire de polygonesL’aire de polygonesL’aire de polygonesL’aire de polygones décomposabledécomposabledécomposabledécomposablessss Pour calculer l’aire d’un polygone décomposable, on le décompose en
polygones plus simples.
Exemple : Calcul l’aire des polygones suivants.
a)
Réponse : _______________
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21
FFoorrmmeess EExxeemmpplleess PPéérriimmèèttrree AAiirree
Le carré
PP == 44 cc c = mesure du côté
AA == cc²² c = mesure du côté
Le rectangle
PP == 22 ((bb ++ hh)) b = base h = hauteur
AA == bb hh b = base h = hauteur
Le parallélogramme
PP == 22 ((bb ++ aa)) b = base a = côté adjacent
AA == bb hh
b = base h = hauteur
Le losange
PP == 44 cc c = mesure du côté
2
DdA =
D = grande diagonale d = petite diagonale
Le trapèze
PP== BB ++ bb ++ aa ++ dd
B = grande base b = petite base a = côté adjacent d = autre côté adj.
2
hb)(BA
⋅+=
B = grande base b = petite base h = hauteur
Le polygone régulier
PP == nn cc n = nombre de côtés c = la mesure du côté
2
n a cA =
c =mesure du côté a = apothème n = nombre de côtés
Le triangle
PP == aa ++ bb ++ cc
2
h x bA =
b = base h = hauteur
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22
FFoorrmmuulleess ddee ppéérriimmèèttrree eett aaiirree
Le cercle
CC == 22 ππ rr r = rayon
AA == ππ rr²² r = rayon