novas listas de exercícios de cálculo i
TRANSCRIPT
1
INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTRODUÇÃO Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a explicações de fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados no Ensino Médio das escolas brasileiras. O entendimento desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situações, são condições necessárias para que o aluno da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I possa compreender conceitos específicos da disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar esses conceitos na resolução de situações- problema relevantes. Por outro lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante apresenta dificuldades em resolver um problema de aplicação de limite, derivada ou integral, essa dificuldade não reside no entendimento dos conceitos específicos do cálculo diferencial e integral, mas sim na modelagem do problema, no seu equacionamento, na manipulação de expressões algébricas, ou na utilização de fatos elementares de trigonometria ou de geometria plana. Por essas razões, é extremamente importante que todos os estudantes da disciplina identifiquem suas próprias dificuldades com esses fatos elementares da matemática e se esforcem para superá-las ao longo do curso. Para auxiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relação de conceitos matemáticos que serão utilizados com muita freqüência durante o curso e cujo entendimento deve ser priorizado pelos estudantes. 1. Números
Operações com frações e números reais. Potenciação e radiciação. Raiz quadrada. Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numérica. Equações polinomiais.
2. Álgebra Elementar. Produtos notáveis e fatoração. Operações com polinômios: soma, subtração, divisão. Raízes e igualdade de polinômios. Cálculo da decomposição de uma fração em soma de frações parciais.
3. Geometria Analítica. Coordenadas de pontos no plano cartesiano. Distância entre pontos. Simetrias. Retas: equações, paralelismo e perpendicularidade. Equações da circunferência. Equação e gráfico
de parábolas. Elipse dada pela sua equação reduzida. Hipérbole de equação x
y 1= .
Translação de gráficos.
4. Funções e gráficos. Definição de função, domínio e imagem. Determinação de domínio e imagem de funções reais. Funções pares e ímpares. Funções crescentes e decrescentes. Operações e composições de funções. Função exponencial. Função logarítmica. A exponencial e o logaritmo natural. Aplicações de exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente. As funções que definem a parte superior, inferior e lateral de uma circunferência.
5. Trigonometria Trigonometria nos triângulos. Lei dos senos e dos cossenos. O círculo trigonométrico. Graus versus radianos. Identidades trigonométricas. Aplicações de trigonometria.
2
ESTRATÉGIAS DE ESTUDO Apresentamos também as seguintes estratégias de estudo para essa parte inicial da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. (a) É extremamente importante que você possua algum livro de cálculo durante todo o semestre
letivo. Então providencie um livro, fazendo um empréstimo na biblioteca ou com algum amigo, comprando o livro ou de outra forma qualquer.
(b) Identifique as seções do seu livro que tratam dos conteúdos listados acima e LEIA essas
seções, dando especial atenção para as definições, para as propriedades e para os exemplos resolvidos no livro.
(c) Não acumule dúvidas. Assim que possível, durante o seu estudo, procure o seu professor ou
os monitores para esclarecimentos de todas as suas dúvidas. (d) Resolva os exercícios do livro e compare suas soluções com as de outros alunos do curso.
Caso você tenha dúvidas sobre algum exercício, procure o seu professor. (e) Resolva todos os exercícios listados a seguir. A lista de exercício a seguir aborda praticamente todos os conteúdos listados anteriormente. Esses exercícios devem ser obrigatoriamente resolvidos por todos os alunos das Turmas Especiais de Cálculo Diferencial e Integral I.
3
LISTA 1
1. Calcule a área do retângulo de dimensões 703 e
487 .
2. Considere o pentágono ABCDE de lados 2021;12;
67
=== CDBCAB ;
527 == EAeDE . a) Calcule o perímetro desse pentágono. b) Qual é o menor lado?
3. Dê contra-exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas.
a) bd
cd
bcd
+=+
, para quaisquer números reais a, b, c, com 0,0 ≠≠ bc e .
b)
0≠+ bc
baba +=+ , para quaisquer números reais não-negativos a, b.
c) aa =2 , para qualquer número real a.
d) ayxx
yax+=
+2
, para qualquer 0≠x .
4. Se | a | = 2, quais são os possíveis valores para a? Represente na reta numérica o conjunto de todos os valores de a que satisfazem à igualdade dada.
5. Em cada caso a seguir, determine todos os valores de x que satisfazem a relação dada e, também, represente na reta numérica todos esses valores de x: a) | x − 3 | = 2 b) | x − 3 | < 2 c) | x − 3 | > 2
6. Determine todas as raízes reais de cada equação a seguir: a) (2x − 3)(4x2 − 9)(x2 + 9) = 0; b) x3 − 5x2 +6x = 0; c) (x2 − 4x + 3)2 = 1. d) x(x − 7)2 = 50x.
7. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 1
1223 ++
+=++
xCBx
xA
xxx , para todo x
real.
8. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 1)1(
12222
2
++
+=+−−
xCBx
xA
xxxx , para
todo x real. 9. Determine a para que a distância entre os pontos P = (a, 3) e Q = (5, 6) seja igual a 4. 10. Para dar uma interpretação para o exercício 9, responda às seguintes perguntas:
a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a, 3)? b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distância a Q = (5, 6) é igual a 4? c) Utilizando os itens (a) e (b), dê uma interpretação para o exercício 9.
Respostas: 2) b) CD 6) a) 23
± b) 0, 2, 3 c) 2, 22± d) 0, 257 ±
7) A =1, B = -1, C = 2 8) Não tem solução.
4
11. Determine os pontos sobre a reta de equação y = 2x − 3 cujas distâncias ao ponto
Q = (4, 5) sejam iguais a 2
57 .
12. Determine o centro e o raio da circunferência de equação . Explicite y em função de x e identifique a figura que cada uma dessas funções representa?
036422 =−+−+ yxyx
13. Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação no ponto Q
de abscissa 3 sobre essa circunferência e que está no quarto quadrante. 2522 =+ yx
14. Analise a resolução da equação e diga o que está errado.
Sol. . Cancelando o x obtemos . Daí , o que
nos fornece as raízes
xxxx 2)3( 2 −=−
xxxx 2)3( 2 −=− 2)3( 2 −=− xx 0232 =+− xx
213±
=x , isto é, 1 e 2.
15. Simplifique:
a) 22
22
−−
−
xx
xx b) h
h 25)5( 2 −+ c) 168
4
3
−−
xx
16. Resolva as desigualdades:
a) b) −4x + 7 > 0 c) 012102 2 <−+− xx 032
22 ≤
−−−xx
x
d) 0)1(
2.2)1(222
2
≥−−−
xxxxx e) 2x x> + f)
234
12
++
≥+
−xx
xx
g) 21sen ≥x , no intervalo [0, π2 ] h)
22sen
21
≤≤ x , no intervalo [0, π2 ]
17. Determine o valor de x no triângulo abaixo.
18. Seja , calcule f(0), f(1) e f(2). ⎩⎨⎧
>
≤−=
1,
1,1)( 2 xsex
xsexxf
19. Esboce o gráfico de y = |x − 2| + |x + 6|.
Respostas: 11) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 12,
215 e ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − 2,
21 12) centro ( )3,2 − e raio 4.
13) .643
+= xy 16) c ) 21 ≤<− x e ) x > 2 g ) 6
76
π≤≤
π x
h) 46π
≤≤π x ou .
67
43 π
≤≤π x 17) .14=x 18) ( ) ;10 =f ( ) ;01 =f ( ) .42 =f
5
20. Encontre o domínio de cada função a seguir:
a) 26
)3(ln)(xx
xxf−
−= b) ttth −+= 4)( .
21. Expresse a área de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem
perímetro igual a 20 cm. 22. Expresse o perímetro de um retângulo em função de um de seus lados sabendo que ele tem
área igual a 16 cm2. 23. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão que tem
dimensões 12 cm por 20 cm. Devem-se cortar quadrados de lados x em cada canto do papelão e depois dobrá-los. Expresse o volume da caixa em função de x.
24. Um quadrado está inscrito em um círculo de raio r. Expresse o lado do quadrado em função
de r. 25. Determine as coordenadas do ponto da circunferência 2 2 1x y+ = que está mais próximo
do ponto . (4 , 3)P = 26. Ache o ponto do eixo que é eqüidistante de y (5 , 5)− e . (1 ,1) 27. Determine todas as retas que passam pelo ponto (2,3)P = e que são tangentes a
circunferência de equação . 2 2 4x y+ =
28. Os pontos , e (2 , 2)A = (6 ,14)B = (10 , 6)C = são vértices de um triângulo retângulo? Se sim, qual desses pontos é o vértice de ângulo reto?
29. Usando a expressão: área = metade da base vezes a altura, determine a área do triângulo
retângulo de vértices , (6 , 7)A = − (11 , 3)B = − e (2 , 2)C = − . 30. Determine a equação da reta em cada situação a seguir.
a) A reta passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (−2, 7); b) A reta passa pelo ponto C = (−4, 1) e é paralela à reta de equação 3x − 4y = 1; c) A reta passa pelo ponto C = (3, 1) e é perpendicular à reta de equação 2x + 6y = 1.
Respostas: 20) a) b) .63 << x .40 << t 21) ( )llA −= 10 para 0 < l< 10.
22) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
llP 162 para . 23) ∞<< l0 ( )( )xxxV −−= 6104 para 0 < x < 6.
24) 2rl = . 25) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
53,
54 26) ( )4,0 − 27)
613
125
+= xy e . 2=x
28) Sim; C. 29)241 . 30) a)
313
34
+−= xy b) 443
+= xy c) 83 −= xy
6
D C
A B 31. Na figura ao lado, é um paralelogramo, as coordenadas
do ponto C são ( e os lados e estão contidos,
respectivamente, nas retas de equações
ABCD6 ,10) AB AD
142xy = + e
. Determine as coordenadas dos pontos , 4 2−y x= A B e . D 32. O triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos (4 , 0)A = e .
Determine as coordenadas do vértice sabendo que ele está sobre a reta de equação .
(0 , 6)B =C
4y x= −33. O número R de respirações por minuto que uma pessoa executa é uma função do primeiro
grau da pressão P do dióxido de carbono ( CO 2 ) contido nos pulmões. Quando a pressão
do CO 2 é de 41 unidades, o número de respirações por minuto é de 13,8; quando a pressão
aumenta para 50 unidades o número de respirações passa para 19,2 por minuto.
a ) Escreva R como função de P.
b ) Ache o número de respirações por minuto quando a pressão do CO 2 for de 45
unidades.
34. Simplifique a expressão até encontrar um número inteiro: . 2log 7 724 log (8+ )
2
2ax bx c x x x+ + + − += ⋅35. Suponha que a equação 8 4 seja válida para todo número real 2 3 5 5 8 x , em
que , b e são números reais. Determine o valor dessas constantes , b e . a c a c
36. Sabendo que xx 2sen1calcule,2
−π<<π .
37. Resolva as equações: (a) 3x + 3− x = 1 (b) 5x – 5− x = 3 .
38. Sem utilizar calculadora, calcule a área do triângulo ABC , sabendo que , 10AB cm=3BC c= m e . o75ˆ =CBA
Respostas: 31) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
7114,
732A , ( )16,8=B , ( )10,6=C , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
722,
718D 32) ( 13,17 )
33) a) R = 0,6 P - 10,8 b) 16,2. 34) 70. 35) 35
=a , 35
=b e 6=c .
36) .cos x− 37) a ) não tem solução real. b ) .5ln2
133ln ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
=x
38) ( ) 2cm134
215 . +
7
39. Desintegração radioativa: os átomos de uma substância radioativa possuem a tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui aumentando, conseqüentemente, a massa da nova substância transformada. Além disso, pode-se demonstrar que se no instante de tempo 0t = a quantidade de matéria radioativa é igual a 0M , então no instante de tempo a quantidade dessa matéria será
igual a
0t ≥
0( ) ktM t M e−= , sendo uma constante positiva que depende da matéria radioativa considerada. Em geral, para o cálculo dessa constante k , é informado o tempo de meia vida da substância radioativa: esse é o tempo para que metade da substância radioativa se desintegre.
k
a). Mostre que as constantes e , de uma mesma substância radioativa, estão
relacionados pela expressão:
k mtln 2
m
kt
= .
b) A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 10 gramas desse material reste apenas um grama?
c) Uma amostra de tório reduz-se a 43
de sua quantidade inicial depois de 33.600 anos.
Qual é a meia-vida do tório?
40. Lei de resfriamento de Newton: essa lei afirma que em um ambiente com temperatura constante, a temperatura de um objeto no instante t varia de acordo com a expressão:
, sendo
( )T t( ) ktT t A Ce−− = A a temperatura do meio, C a diferença de temperatura entre o
objeto e o meio no instante e uma constante positiva. 0=t k
a) Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30 graus. A água que fervia numa panela, 5 minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65 graus. Quanto tempo depois de apagado o fogo a água atingirá a temperatura de 38 graus?
b) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às 23:30 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34,8 graus. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1 graus. A temperatura do quarto era mantida constante a 20 graus. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5 graus.
Respostas:
39) b) 3,310log2ln
10ln2 ≈= anos. c ) 5,956.80
34ln
2ln600.33 ≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
× anos.
40) a) .min6,152ln4
35ln5≈
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
b) 24,2
1,148,14ln
8,145,16ln
≈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
horas antes das 23:30 h, ou seja,
aproximadamente às 21:15 h.
8
41. Utilizando um teodolito e uma trena um topógrafo fez as
medidas de ângulos e distâncias indicadas na figura ao lado. Calcule a altura da torre indicada nessa figura.
42. Para saber o comprimento de uma ponte que será construída
sobre um rio, um engenheiro instalou o teodolito no ponto B a uma distância de 30 metros do ponto A, situado na margem do rio. Depois, mediu os ângulos e , conforme a figura. Com base nas medidas feitas pelo engenheiro, determine o comprimento AC da ponte.
o105CAB = o30ABC =
Respostas: 41) ( ) ( )( ) ( ) m7,957,12,87
23tg35tg35tg23tg
oo
oo
≈+×−
.
42) .m215
- Calculo 1: Lista de exercıcios extra 1 -
1. Resolver as inequacoes:
(a) x(x− 1) > 0 {x ∈ R/x < 0 ou x > 1};(b) (x− 1)(x + 2) < 0 {x ∈ R/− 2 < x < 1};(c) x2 − 2 ≥ x {x ∈ R/x ≤ −1 ou x ≥ 2};(d) x2(x− 1) ≥ 0 {x ∈ R/x = 0 ou x ≥ 1};(e) x2 + 2x + 4 > 0 R;
(f) x4 < x2 {x ∈ R/− 1 < x < 1 e x 6= 0};(g) x3 + 1 < x2 + x {x ∈ R/x < −1}.
2. Determine os valores de x para os quais cada uma das expressoes seguintes sao numerosreais:
(a)√
4− x2 {x ∈ R/− 2 ≤ x ≤ 2};(b)
√x2 − 9 {x ∈ R/x ≤ −3 ou x ≥ 3};
(c) 1√4−3x
{x ∈ R/x < 4/3};(d) 1√
x2−x−12{x ∈ R/x < −3 ou x > 4}.
3. Determine os valores de x para os quais cada uma das expressoes seguintes e positiva:
(a) xx2+4
R∗+;
(b) xx2−4
{x ∈ R/− 2 < x < 0 ou x > 2};(c) x+1
x−3{x ∈ R/x < −1 ou x > 3};
(d) x2−1x2−3x
{x ∈ R/x < −1 ou 0 < x < 1 ou x > 3}.4. Determine os valores de x que satisfazem:
(a) |x| = 5 x = ±5;
(b) |x + 4| = 3 x = −1 ou x = −7;
(c) |x− 2| = 4 x = −2 ou x = 6;
(d) |x + 1| = |x− 2| x = 1/2;
(e) |x + 1| = |2x− 2| x = 3 ou x = 1/3;
(f) |x− 3| ≤ 5 {x ∈ R/− 2 ≤ x ≤ 8}.(g) |x + 4| ≥ 1 {x ∈ R/x > −3 ou x < −5}.
1
5. Usando valor absoluto, escreva expressoes para os seguintes conjuntos:
(a) o conjunto dos pontos cuja distancia a 1 e menor do que ou igual a 4 |x− 1| ≤ 4;
(b) o conjunto dos pontos cuja distancia a -5 e menor do que 2 |x + 5| < 2;
(c) o conjunto dos pontos cuja distancia a 6 e maior do que 3 |x− 6| > 3.
6. Mostre que os dois conjuntos abaixo sao iguais e os escreva na forma de intervalos:
A = {x : x < 4} e B = {x : |x− 2| < |x− 6|}.
B = {x : x2 − 4x + 4 < x2 − 12x + 36} = {x : 8x < 32} = {x : x < 4} = A
A = B = (−∞, 4)
7. Encontre o domınio das seguintes funcoes:
(a) 1x2+4
R;
(b)√
(x− 1)(x + 2) {x ∈ R/x ≤ −2 ou x ≥ 1};(c)
√3− 2x− x2 {x ∈ R/− 3 ≤ x ≤ 1};
(d)√
3x−4x+2
{x ∈ R/x < −2 ou x ≥ 4/3}.
8. Se f(x) = 4x− 3, mostre que f(2x) = 2f(x) + 3.
9. Quais os domınios de f(x) = 1x−8
e g(x) = x3? Determine o domınio de h(x) = f(g(x)).D(f) = R− {8}, D(g) = R e D(h) = R− {2}
10. Se f(x) = 1− x, mostre que f(f(x)) = x.
11. Se f(x) = ax+bx−a
, mostre que f(f(x)) = x.
12. Se f(x) = ax, mostre que f(x) + f(1 − x) = f(1). Verifique tambem que f(x1 + x2) =f(x1) + f(x2), para todos x1, x2 ∈ R.
13. Caracterize as seguintes funcoes como sobrejetora, injetora, bijetora, ou nenhuma delas:
(a) f : R→ R, f(x) = 3x + 5 bijetora;
(b) g : R→ R, g(x) = x2 − 9 nenhuma delas;
(c) h : A → A, h(x) = x2 + 4, A = {x ∈ R/x ≥ 4} injetora;
(d) ϕ : {x ∈ R/x ≥ 0} → R, ϕ(x) = 53x2 injetora.
14. Determine se as seguintes funcoes sao pares, ımpares ou nenhuma delas:
(a) f(x) = 2x5 + 3x2 nenhuma delas;
(b) g(x) = 3− x2 + 2x4 par;
(c) h(x) = 1− x nenhuma delas;
(d) ϕ(x) = x + x3 ımpar.
2
15. Suponha f(x) uma funcao ımpar e g(x) uma funcao par.
(a) Podemos falar algo sobre a paridade de Q(x) = f(x)g(x)
e P (x) = f(x)g(x)?
(b) Sabendo que sen(x) e funcao ımpar e cos(x) e par, o que podemos falar sobre tg(x)?
Resposta: Todas Impares.
16. Resolva as seguintes equacoes:
Respostas(a) 2x = 16 {4}(b) 4x =
(12
)x2−x {−1, 0}(c) (3x)x+3 = 9x+6 {3,−4}(d) 2.5x + 3.5x+1 = 17 {0}(e) 2.6x + 3.6x−1 − 4.6x−1 = 11 {1}(f) 9|x| − 4.3|x| + 3 = 0 {−1, 0, 1}
17. Resolva as inequacoes:
Respostas(a) 73x−2 < 49 S = {x ∈ R|x < 4
3}
(b) 8x3+ 2
3 ≤ 32x−2 S = {x ∈ R|x ≥ 3}(c)
(53
)x2+10 ≥ (53
)7xS = {x ∈ R|x ≤ 2 ou x ≥ 5}
(d)3√
2x+1 < 16 S = {x ∈ R|x < 11}
18. Dadas as funcoes f(x) =(
13
)x2+7e g(x) =
(13
)5x+1, determine x real de modo que se
tenha:
Respostas(a) f(x) = g(x) x = 2 ou x = 3(b) f(x) > g(x) 2 < x < 3
19. Resolva o seguinte sistema
{8x.4y = 1
4
4x.2−y = 2.
Resposta: x = 0, y = −1
20. Dado o sistema
{5x−y = 1
125
3x+y = 243., calcule o valor de (xy)3. Resposta: 64
21. Resolva a equacao ((1024x)x)x = 21,25 Resposta: {12}
22. Seja f(x) = 3x− 9x
4uma funcao de variavel real. Determine o conjunto que contem todos
os valores reais de x para os quais f(x) = f(x− 1). Resposta: S = {1}
23. Resolva o seguinte sistema
{2x + 3y = 112x − 3y = 5.
Resposta: x = 3, y = 1
24. Uma populacao de bacterias no instante t e dada pela funcao f(t) = C.4kt, em que t edado em minutos. Experimentalmente, verifica-se que e a populacao depois de 1 minutoera de 64 bacterias e depois de 3 minutos, de 256. Determine a populacao inicial (isto e,quando t = 0). Resposta: 32
3
25. Utilize deslocamento para fazer um esboco do grafico das seguintes funcoes e determineo domınio das mesmas:a) f(x) = ex−2 + 1 b) f(x) = ln(x− 1) c) f(x) = ex+1 − 2 d) f(x) = ln(x+2)− 3e) f(x) = |lnx− 1| f) f(x) = |lnx| − 1 g) f(x) = |ln(x+2)− 3|
26. Determine o domınio das funcoesa) f(x) = log4
(x− 1
2
)b) y = log6−x(x
2 − 7x + 12) R: a) (12, +∞) b) (3, 4)
27. Resolva as seguintes inequacoes:a) log3
(x3− 1
2
) ≥ −2 b) log4(x + 3) + log4(x− 9) > 3 c) log5 x > log25(2x + 35)
R: a) [116, +∞) b) (13, +∞) c) (7, +∞)
28. Determine os valores (x, y) que sao solucoes do sistema
{3x+y = 81
log3 x + log3 y = 1.
R: (1, 3) ou (3, 1)
29. Determine o intervalo em que a funcao f(x) =
√log2
(log 1
2x)
esta definida. R: (0, 1/2)
30. Resolva log10 x + 2. logx 10 = 3 R: {10, 100}31. Sejam a e b numeros reais positivos, tais que 1
2log2 a− 2 log2 b = 2. Determine o valor da
razao√
ab2
R: 1
32. Determine o conjunto das solucoes da equacao log2(x2 − 1) = logx2−1 2
R: {x ∈ R/x = ±√3 ou x = ±3/2}33. E dada a funcao f definida por f(x) = log2 x− log4(x− 3)
(a) Determine os valores de x para os quais f(x) ≤ 2 R: ∅(b) Determine os valores de x para os quais f(x) > 2 R: (3, +∞)
34. Resolva a equacao log3 x = 1 + logx 9. R: {1/3, 9}35. Se log2(2−
√2) = a, qual sera o valor de log2(2 +
√2).
(DICA: analise o produto (2−√2)(2 +√
2)) R: 1− a
36. Resolva a equacao 10loga(x2−3x+2) = 6loga 10, em que a = 10. R: {−1, 4}37. Converta para radianos:
a) 900 b) 3000 c) 1350 d) 2400 e) 2600 R: a) π/2 b) 5π/3 c) 3π/4 d) 4π/3 e) 13π/9
38. Faca um esboco do grafico das seguintes funcoes:a) f(x) = sen(−x) b) f(x) = cos(−x) c) f(x) = cos(x + π) d) f(x) = tg(x− π
2)
39. Determine para quais valores reais de p existe x tal que:a) senx = 7p+3
5b) senx = p2−10p+12
12c) senx = 1
1−pd) senx = |p− 1| e) senx = 8−5p
p−3
R: a) [−8/7, 2/7] b) [0, 4] ∪ [6, 10] c) (−∞, 0] ∪ [2, +∞) d) [0, 2] e) [5/4, 11/6]
4
40. Determinea) cos (π
2− x), sendo que senx = 2
3b) sen(π
2− x), sendo que cos x = 1
5
R: a) 2/3 b) 1/5
41. Determine o domınio de f(x) = tg(− x3). R: {x ∈ R/x 6= 3
2(2n + 1)π, n = 0, 1, 2, · · ·}
42. Na funcao f(x) = tg(mx), determine o valor de m tal que o perıodo da funcao seja π.R: m = 1
43. Determine o que se pede em cada caso:
(a) cotgx, sendo senx = −√
32
e cos = 12; R: −1/
√3
(b) tgx, sendo cotgx = 3; R: 1/3
(c) secx, sendo cosx = 23; R: 3/2
(d) cosx, sendo secx = −5; R: −1/5
(e) secx, sendo cosx = −√
53
; R: −3/√
5
(f) cosx, sendo secx =√
7; R: 1/√
7
(g) cossecx, sendo senx = −√
78
; R: −8/√
7
(h) senx, sendo cossecx = −10. R: −1/10
44. Determine o valor de m, e qual o quadrante do arco x, de modo que se tenha:a) senx = m+1
3e cos x = m
√5
3R: m = 1, I
b) cos x =√
7m2
e senx = −3m2
R: m = ±1/2, II ou IV
45. Verifique as seguintes identidades:
(a)secx + cotgx = (cscx)(cos x + tgx) (b)sec2x + csc2x = sec2x.csc2x
(c)sen2(x) = 1−cos(2x)2
(d) cos2(x) = 1+cos(2x)2
46. Determine o perıodo das seguintes funcoes e esboce seus graficos:a) f(x) = sen(7x) b) f(x) = cos(x
4) c) f(x) = tg(πx)
R: a) T = 2π/7 b) T = 8π c) T = 1
47. Verifique as seguintes igualdades:
(a)senx = sen(π − x) (b) cos x = − cos(π − x) (c)tgx = −tg(π − x)(d)cotgx = −cotg(π − x) (e)secx = −sec(π − x) (f)cossecx = cossec(π − x)
48. Verifique a paridade das seguintes funcoes:a) f(x) = xn em que n ∈ N b) f(x) = tgx c) secx
R: a) par, se n par e ımpar se n ımpar b) ımpar c) par
49. Mostre que tg(2a) = 2tga1−tg2a
, com a 6= π4
+ kπ.
50. Resolva a equacao sen2x− 7senx = −6. R: x = π2± 2nπ, n = 0, 1, 2, · · ·
5
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Em cada situação verifique se o limite existe. Caso exista calcule-o.
a) 2
2lim 2
2
2 −−−
→ xxxx
x b)
3|3|lim
3 −−
→ xx
x
c) d) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
<≤−−<−
=−→
1)1(
1112
)(queem),(lim21
xsex
xsexxsex
xfxfx x
xx
24lim0
−+→
2. Calcule h
xfhxfh
)()(lim oo
0
−+
→ em cada caso a seguir:
a) f(x) = x3 b) f(x) = a x2 + bx + c c) f(x) = x
3. Calcule os limites indicados:
a) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ xx
x
1senlim0
b) )103cos1
1sen()1(lim 3
1+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
→ xxx
x c)
xx
x
senlim∞→
d) 43
5942lim 3
23
−++−+−
−∞→ xxxxx
x e)
43594lim 3
24
−++−+
−∞→ xxxxx
x
f) 43
5942lim 4
23
−++−+−
→∞ xxxxx
x g)
57lim
5 −+→xx
h) )ln(lim0
xx
−−→
i) )ln(lim xx
−−∞→
j) 532
1lim1 −+
−→ x
xx
k) t
tt −
−→ 3
9lim9
l) 0
1limx
1xx→
+ − m) 6
3
9lim1x
x xx→∞
−+
n) 6
3
9lim1x
x xx→−∞
−+
o) 0
cos( )limx
xx+→
p) )cossen10(lim 21
0xxe x
x+
−
+→
4. Se existe o , então = f(5)? Comente sobre sua resposta. )(lim
5xf
x→)(lim
5xf
x→
5. Determine constantes a, b e L para que a função abaixo seja contínua em IR.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>+
=
<−
++
=
14
1
11
3
)(
2
xparaxb
xparaL
xparax
axx
xf .
6. Mostre que a equação possui pelo menos duas raízes reais. 014 =−+ xx
7. Existe um número a tal que 2
22
3lim2x
x ax ax x→−
3+ + ++ −
exista? Caso afirmativo,
encontre e o valor do limite. a8. Encontre todos os valores de a para os quais a função y = f(x) a seguir é contínua
para todos os valores de x:
. ⎩⎨⎧
>
≤+=
axparaxaxparax
xf2
1)(
9. Determine os valores de e b tais que a 313
42lim 2
23
−=+−
+++∞→ xx
xxbxax
.
10. A figura abaixo mostra um ponto P sobre a parábola e o ponto Q dado pela interseção da mediatriz do segmento OP com o eixo y. À medida que P tende ao vértice da parábola, o que acontece com o ponto Q ? Ele tem uma posição limite? Se sim, encontre-a.
2xy =
Respostas: 1 ) a ) 2 . b ) não existe; mas os limites laterais são:1, quando e -1 +→ 3x
3quando . c ) não existe; mas os limites laterais são:-1, quando e 3
quando . d )
−→ 3x +−→ 1x−−→ 1x
41 .
2 ) a ) . b ) . c ) 2o3x bxa +o2
o21x
.
3 ) a ) 0. b ) 0. c ) 0. d ) -2. e ) ∞− . f ) 0. g ) ∞ . h ) ∞− . i ) ∞ . j ) 25 . k ) 6.
l ) 21 . m ) 3. n ) -3. o ) . p ) 0. ∞
5 ) .2;6;4 −=−=−= Lba 7 ) ;15=a o limite é igual a -1.
8 ) .2
51±=a 9 ) .3;0 −== ba 10 ) .
21,0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛→Q
Um breve resumo das aulas encontra-se em www.mat.ufmg.br/calculoI , no link Turmas Especiais de CálculoI, no Cronograma.
- Calculo 1 - Limites -
1. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a) limx→1
(x3 − 3); (h) limx→ 3
2
√8t3 − 27
4t2 − 9;
(b) limx→2
√x4 − 8; (i) lim
x→3
2x3 − 5x2 − 2x− 3
4x3 − 13x2 + 4x− 3;
(c) limx→2
√x3 + 2x+ 3
x2 + 5; (j) lim
y→−3
√y2 − 9
2y2 + 7y + 3;
(d) limx→−3
x2 − 9
x+ 3; (k) lim
h→5
h√5 + h−
√5;
(e) limx→ 1
3
3x2 − x
3x− 1; (l) lim
h→0
√3 + 3h−
√3
h;
(f) limx→3
x3 − 27
x− 3; (m) lim
x→2
x4 − 16
x− 2;
(g) limx→0
√x+ 3−
√3
x; (n) lim
x→1
x− 1
x2 − 1.
2. Faca o esboco do grafico de f(x) =
|x| se x < 46 se x = 4−4x+ 20 se x > 4
e observe no grafico o valor de limx→4
f(x). Ha alguma diferenca
entre limx→4
f(x) e f(4)?
3. Seja f a funcao definida por f(x) =
{2x− 1 se x = 21 se x = 2
(a) Encontre limx→2
f(x) e verifique que limx→2
f(x) = f(2).
(b) Faca um esboco do grafico de f .
4. Seja f a funcao definida por f(x) =
{x2 − 9 se x = −34 se x = −3
(a) Encontre limx→−3
f(x) e verifique que limx→−3
f(x) = f(3)
(b) Faca um esboco do grafico de f .
5. Determine o valor de limh→0
f(x+ h)− f(x)
hquando
a) f(x) = x b) f(x) = x2 c) f(x) = x3.
6. Nos ıtens a seguir, calcule os limites laterais pedidos e verifique se o limite (bilateral) existe. Caso exista de seu valor.
(a) f(x) = |x|x , lim
x→0+f(x), lim
x→0−f(x), lim
x→0f(x).
(b) f(x) =
2 se x < 1−1 se x = 1−3 se x > 1
; limx→1+
f(x), limx→1−
f(x), limx→1
f(x)
(c) f(r) =
2r + 3 se r < 12 se r = 17− 2r se r > 1
; limr→1+
f(r), limr→1−
f(r), limr→1
f(r)
(d) g(x) =
2 + x2 se x < −20 se x = −211− x2 se x > −2
; limx→−2+
f(x), limx→−2−
f(x), limx→−2
f(x)
7. Dada f(x) = |x|+xx . Existe lim
x→0f(x)?
8. Dada f(x) = |x2+x|x . Verifique se existem os limites abaixo e, caso existam, determine seus valores:
a) limx→−1
f(x) b) limx→0
f(x).
- Gabarito -
1. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a) limx→1
(x3 − 3) = −2; (h) limx→ 3
2
√8t3 − 27
4t2 − 9=
√9
2;
(b) limx→2
√x4 − 8 = 2
√2; (i) lim
x→3
2x3 − 5x2 − 2x− 3
4x3 − 13x2 + 4x− 3=
11
17;
(c) limx→2
√x3 + 2x+ 3
x2 + 5=
√5
3; (j) lim
y→−3
√y2 − 9
2y2 + 7y + 3=
√6
5;
(d) limx→−3
x2 − 9
x+ 3= −6; (k) lim
h→5
h√5 + h−
√5=
√10 +
√5;
(e) limx→ 1
3
3x2 − x
3x− 1=
1
3; (l) lim
h→0
√3 + 3h−
√3
h=
√3
2;
(f) limx→3
x3 − 27
x− 3= 27; (m) lim
x→2
x4 − 16
x− 2= 32;
(g) limx→0
√x+ 3−
√3
x=
√3
6; (n) lim
x→1
x− 1
x2 − 1=
1
2.
2. f(x) =
|x| se x < 46 se x = 4−4x+ 20 se x > 4
limx→4
f(x) = 4 = f(4) = 6
3. f(x) =
{2x− 1 se x = 21 se x = 2
limx→2
f(x) = 3 = f(2) = 1.
4. f(x) =
{x2 − 9 se x = −34 se x = −3
limx→−3
f(x) = 0 = f(−3) = 4.
(a) Figura ex.2 (b) Figura ex.3 (c) Figura ex.4
5. a) 1 b) 2x c) 3x2.
6. (a) limx→0+
f(x) = 1, limx→0−
f(x) = −1, @ limx→0
f(x).
(b) limx→1+
f(x) = −3, limx→1−
f(x) = 2, @ limx→1
f(x)
(c) limr→1+
f(r) = limr→1−
f(r) = 5, limr→1
f(r) = 5
(d) limx→−2+
f(x) = 5, limx→−2−
f(x) = 6, @ limx→−2
f(x)
7. @ limx→0
f(x), pois limx→0+
f(x) = 2 e limx→0−
f(x) = 0.
8. a) limx→−1
f(x) = 0 b) limx→0+
f(x) = 1, limx→0−
f(x) = −1, @ limx→0
f(x).
- Calculo 1 - Limites - Lista 2
1. Determine, caso existam, os seguintes limites:
a) limx→0+
(3−√x) b) lim
x→2+
√x2 − 4 c) lim
x→−5
x− 5
|x− 5|d) lim
x→5
x− 5
|x− 5|
e) limx→2−
1√2− x
f) limx→−2
1√2− x
g) limx→−2
2− x√x− 2
h) limx→3
√x−
√3
x− 3
i) limx→9
√x− 3√x2 − 9x
j) limx→5
1y − 1
5
y − 5k) lim
x→0+
(1
x− 1
x2
)l) lim
x→+∞(x3 − x2 − x+ 1)
m) limx→−∞
(x3 − x2 − x+ 1) n) limx→−∞
(−2x6 − x3 − 12x2 + 1) o) limx→+∞
2x2 + x+ 1
x3 + 2x2 − 25p) lim
x→+∞
x7 + 2x+ 1
5x3 − 2x2 − 900
q) limx→+∞
1
1− xr) lim
x→+∞
2x2 + x− 21
x3 − 2x2 + 9s) lim
x→−∞
√x2 + 4
x+ 4t) lim
x→−∞(√x2 + 1− x)
u) limx→+∞
(√x2 + x− x) v) lim
x→+∞
x4 − 24
2− xw) lim
x→2+
(1
x− 2− 3
x2 − 4
)x) lim
x→0+
√3 + x2
x
y) limx→0
|x|x2
z) limx→+∞
√x2 + 4
x+ 4α) lim
x→−∞
√x2 + 9
x+ 6β) lim
x→−∞(√x2 + x− x4)
γ) limx→5
x+ 2
x− 4δ) lim
x→2
2x2 − 5x+ 2
5x2 − 7x− 6ϵ) lim
t→0
√a2 + bt− a
tε) lim
x→2
z − 4
z2 − 2z − 8
ζ) limx→0
2
|x|η) lim
x→−∞
√2x2 − 7
x+ 3θ) lim
x→5
1x − 1
5
x− 5ϑ) lim
x→−∞
5x2 + 8x− 3
7x3 − 4x− 17
2. Sejam f(x) =
{x2 + 3 se x ≤ 1x+ 1 se x > 1.
e g(x) =
{x2 se x ≤ 12 se x > 1.
(a) Existe limx→1
f(x)?
(b) Encontre uma expressao para f(x).g(x) e mostre que existe limx→1
(f(x).g(x)
)3. Considere a funcao definida por: f(x) =
2x+ 2 , x < 0x2 , 0 ≤ x < 21 , x ≥ 2
a) Faca o grafico da funcao f .
b) Determine: limx→0−
f(x) limx→0+
f(x) limx→0
f(x) limx→2−
f(x) limx→2−
f(x) limx→2
f(x)
4. Calcule limh→0
f(x+ h)− f(x)
h, quando: a) f(x) = senx b) f(x) = cosx c) f(x) = 1
x .
5. Sabendo-se que limx→0
senx
x= 1 e que cosx = 1− sen2(x2 ), calcule: a) lim
x→0
sen(2x)
5xb) lim
x→0
1− cosx
x.
6. Sabendo-se que as desigualdades 1 − x2
6<
xsen(x)
2− 2cos(x)< 1 valem para todos os valores de x proximos de zero, calcule
limx→0
xsen(x)
2− 2cos(x).
7. Mostre que se |f(x)| ≤M e limx→a
g(x) = 0 entao limx→a
(f(x).g(x)
)= 0
8. Use o item anterior para mostrar que limx→+∞
senx
x= 0.
9. Encontre as assıntotas verticais e/ou horizontais das seguintes funcoes:
(a) f(x) = xx2−9 ; (b) g(x) = 1
x−1 ; (c) h(x) = x+3x+2 ;
(d) ψ(x) = x4+1x2 ; (e) ϕ(x) = x2−x+1
x−1 ; (f) φ(x) = x3 + 3x .
10. Observando o grafico das funcoes exponenciais conclua que
limx→+∞
ax =
{+∞, se a > 10, se 0 < a < 1
e limx→−∞
ax =
{0, se a > 1
+∞, se 0 < a < 1
11. Calcule os seguintes limites:
(a) limx→+∞
(3
2
)x
(b) limx→+∞
(1
2
)x
(c) limx→+∞
(2x − 2−x) (d) limx→−∞
(2x − 2−x) (e) limx→+∞
(2x − 3x).
12. Seja f(x) =
−x− 1 se x ≤ −1x2 − 1 se − 1 < x ≤ 1
2 se x > 1f e contınua em x = 1? Em x = −1? Em x = 2? Em x = −3?
13. Seja f(x) =
{2x+ 3 se x ≤ 47 + 16
x se x > 4f e contınua em x = 4?
14. Seja f(x) =
{3
x−1 se x = 1
3 se x = 1f e contınua em x = 1?
15. Encontre os pontos x, caso existam, nos quais f e descontınua e de as razoes para esta possıvel descontinuidade:
(a) f(x) = 3√x− 8;
(b) f(x) = x+2x2−4 ;
(c) f(x) = 1x + x−1
x2−1
(d) f(x) = x2+9|x|+3
16. Verifique se as funcoes a seguir sao contınuas nos pontos indicados. Caso nao sejam, determine as razoes da descontinuidade.
(a) f(x) = |x+ 1| − 3 em x = −1;
(b) f(x) = xx2−1 em x = −2 e em x = 1;
(c) f(x) =
{−x− 2 se x = 3−5 se x = 3
em x = 3.
17. Encontre um valor para a constante k, se possıvel, para que a funcao seja contınua para todo x ∈ R.
(a) f(x) =
{7x− 2 se x ≤ 1kx2 se x > 1
(b) f(x) =
{kx2 se x ≤ 2
2x+ k se x > 2
18. Encontre os valores das constantes k e m, se possıvel, que para que seja contınua para todo x ∈ R a funcao
f(x) =
x2 + 5, se x > 2,m(x+ 1) + k, se − 1 < x ≤ 2,2x3 + x+ 7, se x ≤ −1.
19. De exemplo de duas funcoes f e g descontınuas em um certo ponto x = c tal que f + g seja contınua neste ponto.
20. E verdade que uma funcao contınua que nunca e zero em um intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justifique suaresposta.
21. Utilize o Teorema do Valor Intermediario para mostrar que a equacao x3 + x2 − 2x+ 1 = 0 possui pelo menos uma solucaono intervalo [−1, 1].
22. Mostre que, se p(x) e um polinomio de grau ımpar, entao e equacao p(x) = 0 possui pelo menos uma solucao real.
23. (Contracao de Lorentz) De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por exemplo, de um foguete,parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relacao a esse observador. Se ele medir o
comprimento L0 do foguete em repouso e em seguida com a velocidade v, o comprimento parecera ser L = L0
√1− v2
c2 , sendo
c a velocidade da luz no vacuo. O que acontece com L a medida que v aumenta? Calcule limv→c−
L. Por que e necessario tomar
o limite lateral a esquerda?
- Calculo 1 - Limites - Gabarito Lista 2
1. a) 3 b) 0 c)-1 d)@ e) +∞ f) 12 g) @ h)
√36 i) 0 j)− 1
25 k) −∞ l) +∞ m) −∞ n) −∞o) 0+ p)+∞ q) 0− r) 0+ s)-1 t) +∞ u) 1
2 v) −∞ w) +∞ x) +∞ y) +∞ z) 1
α)− 1 β) −∞ γ) 7 δ) 313 ϵ) b
|a|+a ε) 14 ζ) 7 η) −
√2 θ) − 1
25 ϑ) 0−
2. (a) Nao, pois limx→1−
f(x) = 4 e limx→1+
f(x) = 2.
(b) f(x)g(x) =
{x4 + 3x2 se x ≤ 12x+ 2 se x > 1.
limx→1
(f(x).g(x)
)= 4
3. a)
b) limx→0−
f(x) = 2 limx→0+
f(x) = 0 @ limx→0
f(x) limx→2−
f(x) = 4 limx→2+
f(x) = 1 @ limx→2
f(x).
4. a) cosx b) −senx c) f(x) = − 1x2 .
5. a) 2/5 b) 0.
6. limx→0
xsen(x)
2− 2cos(x)= 1.
7. −Mg(x) ≤ f(x).g(x) ≤ Mg(x) ⇒ limx→0
−Mg(x) ≤ limx→0
f(x).g(x) ≤ limx→0
Mg(x) ⇒ −M limx→0
g(x) ≤ limx→0
f(x).g(x) ≤M lim
x→0g(x) ⇒ 0 ≤ lim
x→0f(x).g(x) ≤ 0 ⇒ lim
x→0f(x).g(x) = 0.
8. |senx| ≤ 1 e limx→+∞
1
x= 0 ⇒ lim
x→+∞
senx
x= 0 .
9. (a) Assıntotas verticais: x = 3 e x = −3, Assıntota horizontal: y = 0;(b) Assıntota vertical: x = 1, Assıntota horizontal: y = 0;(c) Assıntota vertical: x = −2, Assıntota horizontal: y = 1;(d) Assıntota vertical: x = 0;(e) Assıntota vertical: x = 1;(f) Assıntota vertical: x = 0.
10.
limx→+∞
ax =
{+∞, se a > 10, se 0 < a < 1
e limx→−∞
ax =
{0, se a > 1
+∞, se 0 < a < 1
11. (a) +∞ (b) 0 (c) +∞ (d) −∞ (e) −∞
12. f nao e contınua em x = 1, pois limx→1+
f(x) = 2 e limx→1−
f(x) = 0, logo @ limx→1
f(x). Em x = −1, x = 2 e x = −3 ela e contınua,
ja que limx→−1
f(x) = f(−1) = 0, limx→2
f(2) = 2, limx→−3
f(x) = f(−3) = 2.
13. Sim, pois limx→4
f(x) = f(4) = 11.
14. Nao, pois @ limx→1
f(x).
15. (a) Contınua em R; (b) Descontınua em x = ±2, pois @f(2) e f(−2); (c) Descontınua em x = 0 e x = ±1, pois @f(0),f(−1) e f(1); (d) Contınua em R.
16. (a) Contınua em x = −1; (b) Contınua em x = −2 e descontınua em x = 1 pois @f(1); (c) Contınua em x = 3.
17. (a) 5 (b) 4/3
18. k = 4 e m = 5/3.
19. f(x) =
{0 se x < 01 se x ≥ 0.
e g(x) =
{1 se x ≤ 00 se x > 0.
20. Sim, pois, pelo teorema do valor intermediario, se ela mudasse de sinal entao o zero deveria ser tambem imagem da funcao.
21. f(x) = x3 −x2 − 2x+1 = 0 ⇒ f(1) = −1 e f(−1) = 1, logo, pelo Teorema do Valor Intermediario, existe x0 ∈ [−1, 1] tal quef(x0) = 0.
22. Se p(x) e um polinomio de grau ımpar, entao vai sempre existir um x0 ∈ R para o qual p(x0) e p(−x0) tem sinais opostos.Logo, pelo Teorema do Valor Intermediario, existe c ∈ [−x0, x0] tal que p(c) = 0.
23. A medida que v aumenta L diminui. limv→c−
L = 0. O limite lateral a esquerda e necessario ja que a funcao nao esta definida
para v > c.
As listas de exercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: www.mat.ufmg.br/calculoI ou na pasta J18, no xerox (sala1036)
TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Derive:
a) y = 3x6 + 9x – 3 b) y = 95
−x c)
xxy 9107 6 −=
d) xx
xxy4
7 2 5+=
2. Calcule ( )h
hh
66
0
99lim −+→
.
3. Calcule o h
hh
cos1lim0
−→
.
4. Calcule 33lim
20002000
3 −−
→ xx
x. Como esse limite se relaciona com uma derivada?
5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de xxy −= 35
, no ponto de abscissa
x = 64.
6. Determine a equação da reta r tangente ao gráfico de y = x2 + 3x + 1 e que é paralela à reta de equação y = 4x + 7.
7. Determine as tangentes horizontais ao gráfico de 562
53
23
++−= xxxy .
8. Mostre que a reta de equação y = −x é tangente à curva de equação y = x3 − 6x2 + 8x. Encontre o ponto de tangência.
Respostas:
1) a) .918 5 += xdxdy b) .
9
5
914
xdxdy
−= c) .2
9760
37 xxdxdy
+=
d) .2
457
911
7 2
x
xdxdy
−= 2) . 3) 0. 596×
4) Esse limite é igual a 19993
2000
32000×==xdxdx . 5)
32060
481277
−= xy .
6) .434 += xy 7)
329
=y em 2=x e 2
19=y em 3=x . 8) . ( )3,3 −
9. Considere a função dada por .
a) Encontre uma relação entre a, b e c para que f seja contínua em x = 1. b) Determine os valores de a, b e c para que f seja derivável em x = 1.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>++
=<−
=
11213
)(2 xsecbxx
xsexseax
xf
10. Derive:
a) y = e–2x+5 b) y = xcos
1.
c) . Qual é o domínio dessa função? Qual é o domínio da derivada y’? ))(ln(sen xy −=
d) e) 74 )935( −+−= xxy )721(e 323 4++−= + x
xxy x
f) g) h) y = ln(−x) i) j) k ) y = ln(cosx)
9542 )324()13( +++−= xxxxy xxey −=( )( xy senlntge= ) xy lne=
11. Mostre que h(t) = | t − 3| não é derivável em t = 3.
12. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de )2
3cos()2
(sen xxy π+
π= no ponto de
abscissa x = 1.
13. Seja 3
2 )(2)(x
xhxxf += . Se h é derivável, h(1) = −2 e h’(1) = 10, calcule f’(1).
14. Suponha que h(x) seja uma função derivável e que f(x) = h(x5). Determine f’(x). 15. Em cada caso, verifique se a derivada existe. Em caso afirmativo escreva a expressão de
f’(x).
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=00
01sen)(
xse
xsex
xxf b)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=00
01sen)(
2
xse
xsex
xxf
Respostas: 9) a ) .1;1 =+= cba b ) .4;3;1 =−== cba
10) a) .e2 52 +−−= x
dxdy b ) xx
xx
dxdy tgsec
cossen
2 == . c) ( )( )
xx
dxdy −
=lncos , para x<0.
d) ( ) ( .3209357 364 +−−+−= xxxdxdy )
e) .128424912e 2342623 4
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++−= +
xxxxx
dxdy x
f) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) .13324220932413324428549532 +−+++++++−−= xxxxxxxxxx
dxdy
g) ( ) .e1 xxdxdy −−= h) .1
xdxdy
= i ) ( ) ( )( ) ( )( )xxxgdxdy senlntg2 esenlnseccot=
j) .1=dxdy k) .tg x
dxdy
−= 12) 2
232
3 −π−
π= xy . 13) 6. 14) f’(x) = 5x4h’(x5).
15) a ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=′
xxxxf 1cos11sen se 0≠x . A derivada não existe em . 0=x
b ) ( ) 01cos1sen2 ≠⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=′ xse
xxxxf e ( ) 00 =′f .
16. Um avião, à velocidade constante de 500 km/h, voa horizontalmente a uma altitude de 2.000 metros e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 4.000 metros da estação.
17. Uma luz situa-se no topo de um poste de 15 m. Um homem com 1,80 m de altura afasta-se desse poste com uma velocidade de 3 m/s. Quando o homem estiver a 40 m do poste, determine: a) a taxa de variação do comprimento de sua sombra. b) a velocidade do topo de sua sombra.
18. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. A que taxa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida?
19. A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto sua área cresce a uma taxa de 2 cm2/min. A que taxa estará variando a base desse triângulo quando sua altura for 10 cm e sua área 100 cm2 ?
20. Ao meio-dia, um navio A está 100 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o sul a 35 km/h, e o navio B está indo para o norte a 25 km/h. Quão rápido estará variando a distância entre eles às 4 horas da tarde?
21. O volume de um cubo está aumentando à taxa de 2 cm3 por segundo. Com que taxa estará variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 20 cm?
22. Uma partícula está se movendo ao longo do gráfico da função ( )f x = x . Quando a partícula passa pelo ponto (4 , 2), sua coordenada está crescendo a taxa de 3 cm/s. Quão rápido está variando a distância dessa partícula à origem, nesse instante?
x
23. Um papagaio (pipa) a 100 metros acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de 3 metros por segundo. A que taxa estará decrescendo o ângulo entre a linha e a horizontal depois de terem sido soltos 200 metros de linha?
24. Dois lados de um triângulo medem 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles está crescendo a uma taxa de 0,06 radianos por segundo. a) Encontre a taxa segundo a qual estará variando o comprimento do terceiro lado desse triângulo quando o ângulo entre os lados de comprimento fixo for / 3π . b) Encontre a taxa segundo a qual a área desse triângulo estará crescendo quando o ângulo entre os lados de comprimento fixo for / 3π .
25. Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre ele e o ponto mais próximo P em uma praia reta no continente é de 3 km. Sua luz faz quatro revoluções por minuto. Quão rápido estará se movendo o feixe de luz ao longo da praia quando ele estiver a 1 km do ponto P?
Respostas:
16) 3250 km/h. 17) a ) 229 m/s; b )
2275 m/s. 18) 65 km/h. 19) -1,6 cm/min.
20) 13720 km/h. 21)
151 cm2/s. 22)
5427 cm/s. 23) R )
4003
− rad/s.
24) a ) 76,0 m/s; b ) 0,3 m2/s. 25) π
380 km/min.
26. Um velocista corre em uma pista circular de raio 100 m, a uma velocidade constante de 7 m/s. Seu amigo está em pé a uma distância de 200 m do centro da pista. Quão rápido estará variando a distância entre eles quando a distância entre eles for de 200 m?
27. Encontre os pontos P e Q, sobre a parábola 21y x= − , de forma que o triângulo ABC formado pelo eixo x e pelas retas tangentes a parábola em P e Q seja eqüilátero.
28. A figura mostra um círculo de raio 1 inscrito na parábola de equação . Determine as coordenadas do centro desse círculo.
2y x=
Respostas:
26)4157
− m/s. 27) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
41,
23P e ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
41,
23Q . 28) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
45,0 .
29. A figura mostra uma roda giratória de 40 cm de raio e uma barra de conexão AP de comprimento fixo 1,2 m. O pino P pode escorregar para frente e para trás ao longo do eixo x à medida que a roda gira no sentido anti-horário a uma taxa de 360 revoluções por minuto. Encontre uma expressão para a velocidade do pino P em termos do ângulo θ, indicado na figura.
30. Um bote é puxado em direção ao ancoradouro por uma corda que está atada à sua proa e
que passa por uma polia sobre o ancoradouro, que está 1 m mais alto do que a proa desse bote. Se a corda for puxada a uma taxa de 1 m/s, quão rápido o bote aproxima-se do ancoradouro, quando ele estiver a 8 m dele?
31. A curva seguinte é a representação geométrica da equação . 232 2xxy +=
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Ache a equação da reta tangente a essa curva no ponto ( )1,1− .
Respostas: 29) 8cos
sen8coscos288
2
2
+θ
θ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +θ+θ
−=dtdx m/s. 30)
865 m/s.
31) .21
2+−=
xy
- Calculo 1: Lista de exercıcios - Taxas Relacionadas
1. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 16 m e uma base com raio de 4 m. A agua estafluindo dentro do tanque a uma vazao de 2 m3/min. Quao rapido se elevara o nıvel de agua quando a agua estivercom 5 m de profundidade?
R: 32/(25π)m/min
2. Um tanque de agua tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m. Se agua estasendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min, encontre a taxa na qual o nıvel de agua esta elevandoquando a agua esta a 3 m de profundidade.
R: 8/(9π)m/min
3. Uma escada de 3 m de comprimento esta apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afastando-se da paredea uma taxa de 1 m/s, quao rapido o topo da escada escorrega para baixo quando a base esta a 1 m da parede?
R: −√2/4m/s
4. Um homem anda a 1 m/s e um holofote o acompanha a 10 m do caminho. A que taxa o holofote esta girando quandoo homem esta a 15 m do ponto mais proximo da luz?
R: 2/65rad/s
5. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gas esta a uma temperatura constante, a pressao P e o volumeV satisfazem a equacao PV = C, em que C e uma constante. Suponha que em um certo instante o volume e 600 m3, apressao e 150 kPa e a pressao cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que taxa esta decrescendo o volume nesse instante?
R: −80m3/min
6. Quando o ar expande adiabaticamente (sem troca de energia termica), sua pressao P e o volume V estao relacionadospela equacao PV 1,4 = C, em que C e uma constante. Suponha que em um certo instante o volume e 400 cm3, a pressaoe 80 kPa e a pressao cresce a uma taxa de 10 kPa/min. A que taxa esta decrescendo o volume nesse instante?
R: −35, 7cm3/min
7. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um cırculo. Se o raio da queimadura esta decrescendo a umataxa de 0,05 cm por dia quando ele e 1 cm, qual a taxa de decrescimo da area da queimadura nesse instante?
R: −π/10cm2/dia
8. Suponha que numa farmacia P seja o preco da caixa de um determinado remedio, x o numero de milhares de caixasdesse remedio ofertadas diariamente, sendo a equacao de oferta Px − 20P − 3x + 105 = 0. Se a oferta diaria estadecrescendo a uma taxa de 250 caixas do remedio por dia, em que taxa os precos estao variando quando a oferta diariae de 5000 caixas?
R: −0, 05reais/dia
9. O carro A esta indo para o oeste a 50 Km/h e o carro B esta indo para norte a 60 Km/h. Ambos estao dirigindo paraa intersecao de duas ruas. A que taxa os carros estao se aproximando um do outro quando o carro A esta a 0,3 Km eo carro B esta a 0,4 Km da intersecao?
R: Os carros se aproximam um do outro a uma taxa de 78Km/h.
10. Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razao de 6 cm/s. Determine a taxa de variacao da area doquadrado no instante em o lado meca 10 cm.
R: 120cm2/s
11. O raio de uma bola cresce a razao 3 cm/s. Determine a taxa de variacao do volume da bola no instante em que o raioe 8 cm.
R: 768πcm3/s
12. Uma escada de 5 m de comprimento se apoia em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada se afasta daparede a uma razao de 0,8 m/s. Quao rapidamente esta descendo a extremidade superior da escada no instante emque a extremidade inferior estiver a 3 m da parede?
R: -0,6 m/s
13. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 2 m/s. Um farol giratorio que esta a 6 m daestrada focaliza o homem. A que taxa o farol esta girando, quando o homem estiver a 4 m do ponto do caminho maisproximo do farol?
R: 3/13 rad/s
14. Dois carros partem de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o outro para oeste a 25 km/h. A que taxaesta aumentando a distancia entre os carros duas horas depois da partida?
R: 65m/s
15. O volume de um cubo esta aumentando a taxa de 2 cm3 por segundo. Com que taxa estara variando a area de umade suas faces quando sua aresta tiver 20 cm?
R: 15cm2/s
1
- Calculo 1: Lista de exercıcios 4 - Derivadas
1. Para cada funcao f dada, calcule a derivada indicada:
(a) f(x) = −6x5 + 3x4 − 5x− 2, d25ydx25 ;
(b) f(x) = senx, d37ydx37 ;
(c) f(x) = 1x ,
dnydxn ;
2. Determine a derivada de ordem n de y = lnx.
3. Derive:
(a) y = arctan(arcsenx);
(b) y = ln(secx+ tgx);
(c) y = xx;
(d) y = arcsen(√1− x2);
(e) y = arcsen(e2x − 1).
4. Determine para quais valores de x cada funcao a seguir esta definida:
a) y = arcsen(2x+ 1) b) y = arccos(ex5) c) y = arctg(3x+ 2)
5. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada funcao a seguir:
a) y = 3x4 − 16x3 + 18x2 b) y = x3 − 3x2 + 1.
6. Determine os pontos crıticos de cada funcao a seguir:
a) y = x3 + x2 − x b) f(x) = x+1x2+x+1 c) y = x2/3 d) y = x2/5
7. Determine, se existirem, os valores maximos e mınimos de cada funcao a seguir, no intervalo indicado:a) y = x3 − 3x+ 1, [0, 3] b) y = (x2 − 1)3, [−1, 2] c) g(t) = t
√4− t2, [−1, 2]
d) y = x− 2senx,[−π
2 ,π2
], e) y = ex−e−x
2 , (−∞,+∞) f) y = x3 − 3x+ 1, na reta.
Respostas:
1. (a) d25ydx25 = 0; (b) d37y
dx37 = cosx, (c) dnydxn = (−1)nn!
xn+1
2. dn ln xdxn = (−1)n−1(n−1)!
xn
3. (a) y′ = 1(1+arcsen2x)
√1−x2
;
(b) y′ = secx;
(c) y′ = xx(1 + lnx);
(d) y′ = − x|x|
√1−x2
(e) y′ = 2e2x√1−(e2x−1)2
4. (a) − 1 ≤ x ≤ 0; (b) ln 4 ≤ x ≤ ln 6, (c) −∞ < x < +∞
5. (a) Cresce para 0 < x < 1 e 3 < x < +∞, decresce para −∞ < x < 0 e 1 < x < 3.
(b) Cresce para −∞ < x < 0 e 2 < x < +∞, decresce para 0 < x < 2.
6. (a) x = −1 e x = 1/3; (b) x = −2 e x = 0; (c) x = 0; (d) x = 0.
7. (a) Maximo: y = 19 em x = 3; Mınimo: y = −1 em x = 1;
(b) Maximo: y = 27 em x = 2; Mınimo: y = −1 em x = 0;
(c) Maximo: g = 2 em t =√2; Mınimo: g = −
√3 em t = −1;
(d) Maximo: y =√3− π
3 em x = −π3 ; Mınimo: y = −
√3 + π
3 em x = π3 ;
(e) Nao tem maximo nem mınimo em −∞ < x <∞;
(f) Nao tem maximo nem mınimo em −∞ < x <∞.
- Calculo 1: Lista de exercıcios 5 -
Regra de L’Hospital e Construcao de Graficos
1. Calcule os limites:
a) limx→0+
ln x
xb) lim
x→0
senx− x
x3c) lim
x→+∞
(lnx)2
x
d) limx→+∞
x tan
(1
x
)e) lim
x→π/2
tanx
tan(3x)f) lim
x→0
tan(px)
tan(qx), q = 0
g) limx→+∞
x3e−x2
h) limx→0+
√x ln x i) lim
x→−∞x2ex
j) limx→0+
senx ln x k) limx→0
sen(4x)
2x+ 3l) lim
x→+∞x− ln x
m) limx→+∞
√x2 + x− x n) lim
x→0
x+ tanx
senxo) lim
x→0
(1
x− 1
senx
)
p) limx→0
x− arctanx
x− senxq) lim
x→−∞
√x2 + 1
xr) lim
x→+∞
(1 +
a
x
)bx
s) limx→+∞
(x
x+ 1
)x
t) limx→+∞
(ex + x)1/x u) limx→+∞
(2x− 3
2x+ 5
)2x+1
v) limx→0+
(x)p/ lnx w) limx→0+
(cosx)1/x2
x) limx→0
(1− 2x)1/x
Respostas:
a) −∞ b) − 1/6 c) 0
d) 1 e) 3 f) p/q
g) 0 h) 0 i) 0
j) 0 k) 0 l) +∞
m) 1/2 n) 2 o) 0
p) 2 q) − 1 r) eab
s) 1/e t) e u) e−8
v) ep w) e−1/2 x) e−2
1
2. Esboce os graficos das funcoes abaixo, indicando, quando existirem, os pontos crıticos,pontos de maximo e mınimo locais, pontos de inflexao, assıntotas, intervalos de cresci-mento e decrescimento e a concavidade do grafico.
a) y = x3 − 3x2 + 5 b) y = 4x3
3− x4
3c) y = x2
x2−4
d) y = 6x2
1+x2 e) y = 4xx2+1
f) y = 12(1−x)x2
g) y = xe−x h) y = e2x
xi) y = lnx
x
j) y = x2 ln x k) y = 5x2/3 − x5/3 l) y = x− 3x1/3
2
3
- Calculo 1: Lista de exercıcios - Otimizacao
1. Encontre o ponto sobre a resta y = 4x+ 7 que esta mais proximo da origem.
R: (-28/17,7/17)
2. Se r(x) e a receita proveniente da venda de x ıtens, c(x) e o custo da producao de x ıtens e p(x) = r(x)−c(x) e olucro sobre a venda de x ıtens, entao, o retorno (receita), o custo e o lucro marginais provenientes desse nıvel deproducao (x ıtens) sao dados, respectivamente por dr
dx ,dcdx ,
dpdx . Suponha que r(x) = 9x, c(x) = x3 − 6x2 + 15x,
em que x representa milhares de unidades. Ha um nıvel de producao que maximize o lucro? Se houver, qual e?Ha um nıvel de producao que minimize o custo?
R: Sim: x = 2 +√2 mil unidades ou x = 2−
√2 mil unidades. Nao.
3. Calcule a quantidade de medicamento a qual o organismo e mais sensıvel determinando o valor de M = 0 quemaximiza a derivada dR/dM , sendo
R =M2
(C
2− M
3
)e C uma constante.
R: M = C/2
4. Quando tossimos, a traqueia se contrai e aumenta a velocidade do ar que passa. Isso levanta questoes sobre oquanto deveria se contrair para maximizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto assim quando tossimos.Considerando algumas hipoteses razoaveis sobre a elasticidade da parede da traqueia e de como a velocidadedo ar proximo as paredes e reduzida pelo atrito, a velocidade media v do fluxo de ar pode ser modelada pelaequacao
v = c(r0 − r)r2cm/s,r02
≤ r ≤ r0,
em que r0 e o raio, em centımetros, da traqueia em repouso e c e uma constante positiva, cujo valor depende, emparte, do comprimento da traqueia. Demonstre que v e a maior quando r = 2/3r0, ou seja, quando a traqueiaesta cerca de 33% contraıda.
5. Quando o estanho metalico e mantido abaixo de 13, 2oC, lentamente se torna quebradico e acaba por se esfarelar,tornando-se um po cinza. Um catalisador para uma reacao quımica e uma substancia que aumenta a velocidadeda reacao sem sofrer nenhuma mudanca permanente. Uma reacao autocatalıtica e aquela em que o produto eo catalisador de sua propria formacao. Quando tanto a substancia original quanto o produto catalisador saoabundantes, a reacao ocorre mais rapidamente. Em alguns casos, e razoavel admitir que a velocidade de reacaov = dx/dt e proporcional tanto a quantidade de substancia original quanto a quantidade de produto. Ou seja,v pode ser expressa por
v = kx(a− x) = kax− kx2,
sendo x a quantidade de produto, a e a quantidade de substancia no inıcio e k e uma constante positiva. Comque valor de x a velocidade v apresenta um maximo? Qual o valor maximo de v?
R: x = a/2 e v = ka2/4
6. Um observatorio sera construıdo na forma de um cilindro circular reto com uma aboboda esferica como cobertura.Se o custo da construcao da aboboda sera duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais deverao ser asproporcoes mais economicas do observatorio supondo que o volume e fixo?
R: r0 = [3V/(8π)]1/3 e h = 4[V/(9π)]1/3 − 1/3[3V/π]1/3.
7. Uma pulga, ao saltar, teve sua posicao no espaco descrita em funcao do tempo pela expressao h(t) = 4t − 5t2,sendo h a altura atingida, em metros e t em segundos. Em que instante a pulga atinge a altura maxima do solo?
R: 0,4 segundos.
8. O produto de dois numeros positivos e 200. Determine esses numeros sabendo que a soma deles tem o menorvalor possıvel.
R: 10√2 e 10
√2.
9. Determine dois numeros cuja soma seja 45 e cujo produto seja maximo.
R: 45/2 e 45/2.
1
10. Encontre o ponto da reta de equacao y = 3x+ 4 mais proximo do ponto (1, 2). Qual e a distancia mınima?
R: (-1,7;-1,1) e a distancia e√8, 1.
11. Uma area retangular de 1080m2 sera cercada e dividida, tambem por meio de cercas, conforme a figura:
Cada metro de cerca externa custa R$9,00 e cada metro da cerca usada nas divisoes internas custa R$6,00.Encontre as dimensoes da regiao retangular que minimizarao o custo total.
R: 36m e 30 m.
12. Determine as dimensoes do retangulo de maior area possıvel que pode ser inscrito na elipse de equacao x2
9 + y2
4 = 1.Qual e a area desse retangulo?
R: 3√2 e 2
√2, com area igual a 12.
13. A area do piso de uma loja retangular e 315m2. De suas quatro paredes de mesma altura, as tres laterais devemser de tijolos e a da frente de vidro. O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do preco do metroquadrado da parede de tijolos. Quais as dimensoes da loja que minimizarao o custo total do material usadonessas quatro paredes?
R:√210m e 315√
210m.
14. Um arame de 20 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedacos, um para formar um quadrado e outropara formar um triangulo equilatero. Como se deve cortar o arame para que a soma das areas do quadrado e dotriangulo seja: a) maxima? b) mınima?
R: (a) usar todo o arame para o quadrado. (b) usar 80√3
9+4√3cm para o quadrado e 180
9+4√3cm para o triangulo.
15. Um cartaz deve ter uma area de 600 cm2 para a mensagem a ser impressa; as margens no topo e na base devemcada uma 7,5 cm e de 5 cm nas margens laterais. Determine as dimensoes do cartaz para que seja mınima asquantidade de papel usada.
R: largura: 30 cm e altura 45 cm.
16. Dentre todos os triangulos isosceles de perımetro fixo, mostre que o de maior area e o equilatero.
17. Uma pessoa esta no ponto A da margem de um rio e deseja chegar ao ponto B na margem oposta, fazendo opercurso indicado na figura abaixo. Sabendo que pode se deslocar na margem a uma velocidade de 10 m/s e naagua a uma velocidade de 5 m/s, determine o angulo α de modo que ela va de A ate B no menor tempo possıvel.Sabe-se que a distancia entre A e B’ e 500 m e a largura do rio e 300 m.
R: α = π/3.
2
Sexta lista de exercícios 1. Calcule, em cada caso, a área indicada:
a) y
x
y = 3x - x - 22
b) y
x1 4
y = x
c)
x
y
y = x + 2 - x2
d)
y
x
y = 2 + x3
4_
e)
x
y = x2
y = x - 2x + 42
y
f)
x
y
y = 4x - x2
y = 4 - x2
g)
y
y = x2
y = 8 - x2
x
h)
x
y
y = - 5x + 10
y = - x + 8x - 12
y = - x + 6x
2
2
i)
x
y = - 2x + 8
y = x - 2x + 42
y
j)
x
y = 4x - 8
y = - x + 3x + 42y = 4 - x 2
y
k)
y = cos ( x / 2 )
y = sen x
y
xπ
2. Determine a diferencial de cada função a seguir:
a) b) c) 53 += xu 653 2 +−= tty xu ln= 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a) dxx
xxx∫ +−+4
238 7953 b) dx
xx∫ −
+21
32
c) d) ∫ + dxxe x ))5cos(7( 3 dxxxx 35
2 )13)(16( −+−+−∫
e) dxx
x∫ + 3)(ln2 f) dx
xx∫ ++
2153
g) h) dxxxsen∫ cos5 dxe
esenex
xx
∫ )cos()(
2
22
i)
j) (Sugestão: escreva sen
∫ dxx2cos
dxxsen∫ 3 3x = sen2x senx).
k) dxx
x∫ −1
2
(Sugestão: faça 1u x= − )
l) (Sugestão: escreva cosdxxsenx∫ 23cos 3x = cos2x .cosx).
m) tg( )x dx∫ n) 2sec ( ) tg( )y y d⋅ y∫
o) 41x dxx+∫ p)
11
dxx+∫
q) 3
11
dxx −∫ r)
1 1ln dxx x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫
s) 2
11
x dxx
++∫ t) 2 1
t
t
e dte +∫
u) 3 2x x dx⋅∫
4. Calcule as seguintes integrais definidas:
a) . b) ∫ −4
1
2 )4( dxxx3
1
x x dx∫ c) dxxx
x∫− ++
3
324
3
1
d)
4
1ln
e
e
dvv v∫ e)
2
1
1u u du−∫ f) / 3
20
sencos
dπ θ θ
θ∫
g) ∫− +1
1
3 2 4 dxxx h) ∫ +−−3
22 5
12 dxxx
x i) ∫ +−
−1
032 )5(
12 dxxx
x
5. Considere , onde é a função cujo gráfico esta
representado na figura a seguir. 0
( ) ( )x
G x f t dt= ∫ )(tf
Sabendo que as áreas das regiões , , e são , ,
e , 1R 2R 3R 4R 2)( 1 =RA 2)( 2 =RA
3)( 3 =RA 4)( 4 =RA
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função G . b) Determine os pontos de máximo e de mínimo local da função . Gc) Marque no eixo x os pontos de inflexão da função G . d) Determine os intervalos onde o gráfico de possui concavidade para cima
e onde possui concavidade para baixo. G
e) Calcule e . (0), (1), (2), (3)G G G G (4)Gf) Determine os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função G no
intervalo [ ]0, 4 .
g) Faça um esboço do gráfico da função G . 6. Em cada item, determine a função f sabendo que:
a) 13)(' +−= xxf e que (2) 5f = .
b) 1
4)(' 2 −=
xxxf e que (0) 3f = − .
c) ( ) cos( )f x x x′′ = + e que (0) 1f = e (0) 5f ′ = .
7. Determine os possíveis valores de b para que .0)6(0
3 =−∫b
dxxx
8. Em cada item, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área dessa região.
a) e . b) 2 5y x= − 2 6 5y x x= − + − | |y x= e . 2 2y x= −
c) , 1y x= + 29y x= − , e 1x = − 2x = . d) y = x e 2y x= .
e) , seny x= cosy x= , e 0x = 2x π= . f) 24 1x y 2+ = e x y= .
g) 21x y= − e h) 2 1x y= − 2( 1y x x )= − e . 0y =
9. Calcule a área entre o gráfico de 3y x= e sua reta tangente em 1x = . 10. Em cada item calcule ( )f x′ se:
a) 2
2
( ) cos( )x
f x t= ∫ dt . b) 3
2
cos( )
( ) 3x
f x t= ∫ dt c)
213( ) 1
x
x
f x t+
= −∫ dt .
RESPOSTAS:
1) a) 61
b) 3
14 c)
310
d) 3 e) 4 f) 3
22 g)
332
h) 6
121 i)
332
j) 6
55 k) 1
2) a) du=3dx b) c) ( )dttdy 56 −=xdxdu =
3) a) 3
5
379||ln5
53
xxxx
−++ b) ( )xx arcsen312 2 +−− c) ( )
55sen7
3e3 xx
+
d) ( )
8133 3
82 −+− xx
e) ( )
4lnln2
4xx + f) ( ) ( )xx arctg51ln23 2 ++ g)
6sen6x
h) ( )|ecos|ln21 2x− i)
( )42sen
2xx
+ j) 3
coscos3 xx +− k) ( ) ( ) ( )
512
31412 2
523
21 xxx −
−−
+−−
l) 5
sen3
sen 53 xx− m) n) |cos|ln x−
2tg2 y
o) ( )2arctg21 x p) ( )( )xx +− 1ln2
q) ( ) ( ) ( 1ln316
213 33
23
−+−+− xxx ) r) ( )x2ln
21
− s) ( ) ( )xx arctg1ln21 2 ++
t) ( )tearctg u) 373
723 x
4) a) -9 b) ( 13952
− ) c) 0 d) 2 e) 1516
f) 1 g) 0 h) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
711ln i) 0
6) a) 92
3 2
++− xx b) c) 3|1|ln2 2 −−x 25cos
6
3
++− xxx 7) 0, 32±
8) a) 9 b) 3
20 c)
239
d) 31
e) ( )122 − f) 3
64 g)
38
h) 21
9) 4
27 10) a) ( )2cos x b) ( ) ( )xx sencos3 2 c) ( ) 332 1112 xxx −−+−
MAT001 Cálculo Diferencial e Integral 1
Sétima lista de exercícios
1. Calcule cada uma das integrais indefinidas a seguir:
a) b) ∫ ∫ dxxx cos dxxx ln3
c) d) ∫ ∫ dxsenxx2 dxxarctg
e) f) ∫ dxxsene x )4(3 ( )∫ dxx 3ln
g) h) ∫ dxxarctgx ∫ − dxx21
2. Calcule cada uma das integrais definidas a seguir:
a) b) ∫2
1ln dxx ∫ −
2
1dx
e
xx
c) dxx
x∫ +
1
0 22
2
)1(
3. Calcule a área da região limitada pelo gráfico de xxy ln= e 0=y de e
x1
= a
1=x .
4. Decomponha cada função racional a seguir em soma de frações parciais, sem
determinar as constantes:
a) )5)(2(
1+− xx
b) 322 )4()1(
35
−++
xx
x
5. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
a) ∫ +−dx
xx 2)5)(3(1
b) ∫ ++
dxxx
x2
2
6. Calcule as seguintes integrais definidas:
a) ∫ − −++−0
1 2
2
)1)(1(12x
dxxx
x b) dx
xxx
∫ +−−1
0 )7)(4(32
7. Calcule as seguintes integrais impróprias:
(a) ∫1
0 xdx
(b) ∫1
0 2xdx
(c) ( )∫
∞
+1 213x
dx
(d) ∫∞
∞− +dx
xx
21 (e) ∫ (f)
∞
∞−
− dxxe x2
∫∞
1
lndx
xx
(g) ∫ −
9
1 3 9x
dx (h) ∫−
2
1 3xdx
(i) ∫ −+
4
0 2 6xxdx
8. Calcule a área de cada uma das regiões indicadas abaixo.
(a) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≤≤≥=
2
ln01|,
xx
yexyxS
(b) ( ){ }0ln10|, ≤≤≤≤= yxxexyxS
(c) ( ){ }0ln10|, ≤≤≤≤= yxexyxS
(d) ( ){ }00|, ≤≤≤= yxeexyxS x
Observação: sinta-se convidado a fazer o esboço de cada uma dessas regiões.
Respostas: 1) a) Cxxsenx ++ cos b) Cx
xx +−16
ln41 4
4
c) d)Cxxsenxxx +++− cos22cos2 ( ) Cxxarctgx ++− 21ln21
e) ( ) ( )( ) Cxsenxe x
++− 434cos425
3
f) Cxxxxxxx +−+− 6ln6ln3ln 23
g) ( ) Cxarctgxxarctgx ++−2
21
h) Cxarcsen
xx
++−2
12
2
2) a) b)12ln2 −2
3e
− c) 41
8−
π 3) ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −2
31
41
e
4) a) 52 +
+− x
Bx
A b)
( ) ( ) ( )2223211444 +
++
++
+−
+−
+− x
GFxx
EDx
x
C
x
Bx
A
5) a) ( ) Cx
xx+
++
+−
−58
164
|5|ln64
|3|ln b) Cxx ++− |1|ln||ln2
6) a) 2
2ln3− b) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛87
ln1743
ln5111
7) a) diverge b) diverge
c) 121
d) diverge e) 0 f) diverge g) -6 h) diverge i) diverge
8) a) 1 b) 41
c) 1 d) 1
1
MAT001 Cálculo Diferencial e Integral 1 Oitava lista de exercícios
1. Em cada caso a seguir, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região
limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
(a) .,02,0,1 2 xyxxxy eixodotornoeme ===+=
(b) .,02
,0, xyxxxseny eixodotornoeme =π
===
(c) .2, === xxyxy detornoeme
(d) . 2,2 === yxyxy detornoeme
(e) entre x
y1
= e o eixo x para 1≥x , em torno do eixo x .
(f) ( método das cascas ) .,22 yxxyxxy eixodotornoeme −=−=
2. Calcule, usando integrais, o volume de um cone circular reto de raio da base r e
altura h.
3. Verifique, por derivação, as seguintes integrais:
(a) ∫ += Cxdxxtg |sec|ln
(b) ∫ += Cxsendxx ||lncot
(c) ∫ ++= Cxtgxdxx |sec|lnsec
(d) ∫ ++−= Cxxdxx |cotseccos|lnseccos
4. Calcule as seguintes integrais trigonométricas:
(a) (b) ∫ dxxxsen 23 cos dxxsenx∫ 45cos
(c) (d) ∫ ∫ dxx4cos dxxtgx2sec
(e) (f) ∫ ∫ dxxxtg sec3 dxxtgx 44sec
(g) (h) ∫ dxxtg2 ∫ dxxxsen cos3
(i) (sugestão: use integração por partes) ∫ dxx3sec
1
2
5. Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais:
(a) dxx
x∫
+ 92
3
(b) ∫− 25 xx
dx
(c) ∫+ 162x
dx (d) ∫
− 922 xx
dx
(e) dxx
x∫
−4
2 25 (e) dxxx∫ − 22 4
6. Calcule a área limitada pela hipérbole e a reta . 3649 22 =− yx 3=x
7. Um toro é gerado pela rotação do círculo ( ) 222 ryax =+− ao redor do eixo y
( a)r <<0 . Calcule o volume limitado por esse toro.
Respostas:1) a) π15206
b) π c) π158
d) π158
e) π f) 3π
4) a) Cxx+−
3cos
5cos 35
b) Cxsenxsenxsen++−
972
5
975
c) Cxsenxsenx+++
324
42
83
d) Cx
ouCxtg
++2
sec2
22
e) Cxx
+− sec3
sec3
f) Cx
xtgxtg++
75
5 g) Cxxtg +−
h) Cxx
x +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
3cos
7cos
cos23
i) ( ) Cxtgxxtgx +++ |sec|lnsec21
5) a) ( )
Cxx
++−
3918 22
b) Cxx +⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+− 255ln||ln
5
1
c) Cxx +⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++ 216ln d) C
xx
+−
992
e) ( )
Cx
x+
−3
32
75
25
f) ( ) Cxxxx
arcsen +−−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 22 4241
22 6) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
253
ln6259
7) 222 arπ
2