АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА В ТРЕХМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ.

А. В. Жиркин

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.Введение……………………………………………………………………………………………....22. Преобразование нестационарных уравнений Навье-Стокса методом последовательных приближений…………………………………………………………………………..…….…………23. Общий подход к решению уравнений Навье-Стокса в первом приближении………….…...….54. Решение линейного уравнения движения для плоских волн……………………………..……....6 5. Решение линейного стационарного уравнения движения в сферической геометрии…………..86. Решение линейного стационарного уравнения движения в цилиндрической геометрии и в других криволинейных геометриях……………………………………………………………….....10 7. Решение линейного нестационарного уравнения движения в трехмерной геометрии…...…..138. Решение трехмерного уравнения неразрывности в первом приближении …………………....159. Множество решений уравнений Навье-Стокса…………………………………………………..2410. Общий подход к решению задачи Коши для линейного приближения уравнений Навье-Стокса. Решение с учетом силы гравитации………………………………………………………..2811. Решение уравнений Навье-Стокса во втором и более высоких приближениях……………...3112. Подход к решению уравнения неразрывности во втором и более высоких приближениях…………………………………………………………………………………………4213. Заключение…………….……………………………...…………..………………………………44Литература…………………………………………………………………………………………….44

1. Введение

В данной работе представлен аналитический метод решения стационарного и нестационарного уравнения Навье-Стокса в трехмерной геометрии.

Решение получено для сжимаемой и несжимаемой жидкости. Решение нелинейных уравнений ищется методом последовательных приближений. Метод последовательных приближений позволяет свести задачу к решению последовательности систем линейных дифференциальных уравнений для неизвестной функции с учетом нелинейной части, в которую входят известные функции. Затем используется преобразование Лапласа для временной переменной и преобразование Фурье – для пространственных переменных. Таким образом, решение представляется в виде наложения плоских волн с различными частотами и значениями волнового вектора. Движение этих волн рассматривается в трехмерном пространстве. В основу решений задачи положены их представления для плоской волны. Уравнения, полученные в результате использования решений в виде плоских волн, сводятся к уравнениям для амплитуд этих волн.

Показано, что решения уравнения движения и дифференциального уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости, построенные в виде плоской волны, становятся идентичными только при учете в дифференциальном уравнении неразрывности вязкости за счет процессов неупругих столкновений. Только при этом условии можно получить решения, описывающие движение турбулентного потока несжимаемой жидкости.

Решение уравнений Навье-Стокса в трехмерных криволинейных системах координат выполняется на основе решения для плоской волны, полученного в трехмерной геометрии. Это осуществляется путем преобразования решения для плоской волны к решению в виде наложения волн другой геометрической формы. В работе подробно рассмотрено получение решения уравнений Навье-Стокса в сферической геометрии, путем перехода от представления решения в виде наложения плоских волн к представлению этого решения в виде наложения сферических волн.

Помимо представления решений в виде плоской волны существуют также и другие представления решений задачи: в виде разложений в ряд по известным аналитическим функциям. Эти функции являются решениями уравнения Гельмгольца и Лапласа в различных ортогональных трехмерных криволинейных системах координат. Путем замены переменных осуществляется переход от представления решений в одних криволинейных координатах к представлениям в других криволинейных координатах. Таким образом, можно получить решения во всех известных криволинейных системах координат. В большинстве случаев переменные легко разделяются. За основу рассмотрения взято представление решений в сферической системе координат.

Подробно рассмотрены решения уравнения движения и уравнения неразрывности с учетом особенностей этих уравнений для различных представлений решений. Рассмотрено решение однородного (без источников жидкости) и неоднородного (со сторонними источниками жидкости) уравнения неразрывности. Раскрыты особенности применения дифференциального и интегрального уравнения неразрывности для несжимаемой и сжимаемой жидкости при построении решений системы. Получено решение с учетом силы гравитации. Полученные аналитические решения позволяют решить классические, корректно поставленные задачи Коши.

2. Преобразование нестационарных уравнений Навье-Стокса методом

последовательных приближений.

Система нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемой жидкости в трехмерной геометрии выглядит следующим образом:

, (2.1)

2

,, (2.2)

где – плотность жидкости в момент времени в точке с координатами , – векторное поле скоростей жидкости, – давление жидкости, –

коэффициент динамической вязкости, – коэффициент второй вязкости, – векторное поле массовых сил, – оператор Гамильтона, – оператор Лапласа,

.В дальнейшем примем, что

, (2.3)где – ускорение свободного падения.Уравнение (2.1) является уравнением движения, а уравнение (2.2) – уравнением неразрывности.

Краевые и начальные условия выглядят следующим образом:, (2.4), (2.5)

где – некоторая замкнутая поверхность, – некоторая известная векторная функция.Уравнения (2.1) и (2.2) будем решать методом последовательных приближений:

,(2.6)

,(2.7)

,(2.8)

где , , , – слагаемые одного порядка малости.При этом будем полагать, что

, (2.9)

, (2.10)

, (2.11)где – постоянные величины, независящие от времени и координат . Будем полагать, что эти постоянные величины заданы. Однако в дальнейшем мы допустим также зависимость

. (2.12)Для упрощения записей уравнений введем обозначения

, (2.13)

, (2.14)

. (2.15)Сначала будем полагать, что жидкость сжимаема. Подставим выражения (2.6)-(2.8) в

уравнения (2.1)-(2.2) и (2.4)-(2.5). Учтем обозначения (2.9)-(2.15). Уравнения (2.1) и (2.2) запишем в виде систем уравнений, в которые входят слагаемые одного порядка малости. На первом этапе построения решения не будем использовать функцию . В результате получим первую систему уравнений

, (2.16)

. (2.17)Краевые и начальные условия для этой системы выглядят следующим образом:

, (2.18)

. (2.19)Вторая система уравнений имеет вид

3

(2.20)

. (2.21)Краевые и начальные условия для второй системы выглядят следующим образом:

,

(2.22). (2.23)

Необходимо отметить, что все системы уравнений следует рассматривать как единую систему уравнений. Поэтому, если мы решаем задачу для скорости в виде приближения

, (2.24)то, нам следует использовать только условия (2.22)-(2.23), не учитывая условия (2.18)-(2.19).

Третья система уравнений записывается как

(2.25)

.(2.26)Краевые и начальные условия для третьей системы выглядят аналогично предыдущим.

Таким же образом получаются и все остальные системы уравнений. При заданном порядке приближения скорости их число будет конечным.

Для получения уравнений для несжимаемой жидкости во всех системах следует положить

(2.27)В результате получим первую систему уравнений в виде

, (2.28)

. (2.29)

Отметим, что в уравнении (2.28) мы не опустили слагаемое .Вторая система уравнений имеет вид

(2.30)

. (2.31)Третья система уравнений записывается как

(2.32)

. (2.33)Краевые и начальные условия для всех систем не изменились.

Отметим, что вместо уравнений (2.29), (2.31), (2.33) и т.д., мы можем записать одно уравнение

. (2.34)Получение уравнений для стационарной задачи тривиально. Особенности этой задачи

мы рассмотрим ниже.Для нестационарной задачи справедлива зависимость (2.12). Для несжимаемой жидкости

мы можем записать, (2.35)

где , – потенциальная энергия поля массовых сил.

4

Данное выражение является уравнением движения Ньютона для материальной точки, обладающей массой , в поле массовых сил. Таким образом, скорость не является в общем случае постоянной величиной. Она меняется со временем при движении материальной точки по траектории, определяемой законами Ньютона. Для упрощения выражений мы будем полагать, что скорость является постоянной величиной, если в уравнении движениямассовые силы отсутствуют. Зависимость скорости от времени будет использована при решении задачи о движении сжимаемой и несжимаемой жидкости в поле сил гравитации.

3. Общий подход к решению уравнений Навье-Стокса в первом приближении.

Рассмотрим систему (2.16)-(2.17) с условиями (2.18)-(2.19). Запишем эту систему еще раз.

, (3.1)

. (3.2)

, (3.3)

, (3.4)

. (3.5)

Эта система справедлива как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости. Уравнение (3.2) удовлетворяется тождественно. Если жидкость несжимаема, то мы можем использовать вместо него уравнение (2.31)

.Но решение уравнения (2.31) требует особого подхода, который будет представлен ниже.

Будем искать решения системы линейных уравнений (3.1)-(3.5) в виде наложений плоских волн с различными частотами и значениями волнового вектора. Отметим специфику. Данные плоские волны задаются в трехмерном пространстве. Временная зависимость включает не только простые периодические функции времени, но и экспоненту с вещественным показателем. Поэтому искомая временная зависимость может быть построена с помощью обратного преобразования Лапласа. Итак,

, (3.6)

, (3.7)

где – мнимая единица, – комплексная переменная, – некоторое вещественное

число, – волновой вектор, , , , .

Отметим, что вместо функций и можно использовать функции

и , где . При этом метод решения уравнений Навье-Стокса не измениться.

Но целесообразность использования таких выражений в данной работе рассматриваться не будет.Замечание. Напомним, что прямое преобразование Лапласа имеет вид

, (3.8)

. (3.9)

Положим, что функции , , представляются в виде , (3.10)

5

, (3.11)

, (3.12)

где , – вещественные числа, , являются скалярными вещественными

функциями векторного аргумента, а , – векторными вещественными функциями векторного аргумента.

Векторный аргумент этих функций выражается набором вещественных переменных . Но решение уравнений Навье-Стокса может быть получено и для комплексной

переменной . Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже. Для упрощения получаемых выражений сначала рассмотрим случай вещественной переменной .

4. Решение линейного уравнения движения для плоских волн.

Рассмотрим уравнение движения (3.1). Подставим в него выражения (3.5)-(3.7). В силу того, что переменная интегрирования не зависит от координат, дифференциальные операторы можно внести под знак интеграла. Выполняя элементарные операции дифференцирования экспоненциальной функции, получим векторное линейное алгебраическое уравнение, которое является уравнением для амплитуд плоских волн:

(4.1)

В этом уравнении мы должны сделать подстановки, используя формулы (3.10)-(3.12). В этом случае мы получим систему двух уравнений для функций , , ,

. Эти функции дополнят друг друга при построении конечного решения, зависящего

от времени и координат. Для упрощения изложения решим уравнение (4.1) для комплексных функций и , имея в виду, что все сказанное о них относится к функциям

и , а также и .

Определим векторную функцию в виде

, (4.2)

где – любой вектор, перпендикулярный вектору , абсолютное значение которого равно :

, (4.3)

, (4.4)

, (4.5)

. (4.6)

Умножим векторное уравнение (4.1) сначала на вектор , а затем на вектор . Получим два скалярных уравнения

. (4.7)

. (4.8)

Уравнение (4.7) выражает зависимость давления от скорости:. (4.9)

Уравнение (4.8) имеет два решения:, (4.10)

, при . (4.11)Решение (4.10) означает, что

, (4.12)

6

и величина не является функцией вектора . Тогда

(4.13)

, (4.14)

где представляется формулой (4.9).Решение (4.11) означает, что величина является функцией вектора :

. Тогда выражения (3.6) и (3.7) примут вид

, (4.15)

, (4.16)

где . (4.17)

В этих выражениях мы учли, что и являются функциями только вектора .Итак, мы получили два вида решения нестационарного уравнения движения: (4.9),

(4.13), (4.14) и (4.15)-(4.17). Эти два вида решения могут использоваться как отдельно, так и совместно.

Рассмотрим также стационарное уравнение движения:, (4.18)

Данное уравнение сведется к системе уравнений. (4.19)

. (4.20)

Очевидно, что уравнение (4.20) имеет только одно решение:. (4.21)

Тогда решение стационарного уравнения движения имеет вид

, (4.22)

.

(4.23)При этом зависимость давления от скорости имеет вид

. (4.24)

Решение стационарного уравнения соответствует решению нестационарного уравнения вида (4.9), (4.13), (4.14). Решение (4.15)-(4.17) не имеет соответствующего вида решения стационарного уравнения. Однако для случая мнимых значений соответствующее решение стационарного уравнения существует.

Все полученные решения линейного уравнения движения, а именно (4.9), (4.13), (4.14), (4.15)-(4.17), (4.22)-(4.24), строятся в виде наложения плоских волн с различными частотами и значениями волнового вектора. Как известно, такое наложение плоских волн, распространяющихся в пространстве трех измерений, определяет решение волновых уравнений в произвольной трехмерной геометрии. В результате определенных преобразований можно перейти к представлению решения в виде наложения волн другой геометрической формы. Решение уравнения движения в трехмерных системах координат выполняется на основе решения для плоской волны, полученного в трехмерной геометрии. Более подробно вопрос о методе получения решений в различных криволинейных координатах, исходя из решения уравнения для плоской волны, рассмотрен в работах [8,9]. Используем этот метод и в данной работе. Применим основные идеи этого метода к решению уравнений Навье-Стокса.

7

Сначала получим решения уравнений Навье-Стокса в сферической геометрии, исходя из решений для плоской волны в трехмерной геометрии. Получение решений в сферической геометрии на основе решения для плоской волны очень хорошо разработано в теории специальных функций [5] и используется в различных разделах теоретической физики, в частности, в квантовой механике и теории поля. Решение в других системах координат трехмерного пространства можно получить на основе решений в сферической геометрии путем соответствующей замены координат.

5. Решение линейного стационарного уравнения движения в сферической геометрии.

С начала построим решение в трехмерной геометрии для стационарного уравнения движения. Оно выглядит следующим образом

, (5.1)

, (5.2)

. (5.3)

Для определенности мы выбрали знак плюс перед произведением . Рассмотрим выражение (5.1). Используем известное из теории специальных функций разложение [5]:

, (5.4)

где – сферические функции Бесселя первого рода; .

Воспользуемся теоремой сложения для полиномов Лежандра:

. (5.5)

При этом сферические функции имеют вид, , (5.6)

, , (5.7)

где – произвольный вектор.Нормировка сферических функций имеет вид

, (5.8)

Вектор представим в виде

, (5.9)

где , , – орты прямоугольной декартовой системы координат. Эта систему будем считать главной при решении задачи.Учтем, что для любого вектора выполнено

, (5.10)

(5.11)

. (5.12)

Тогда вектор представляется в виде

(5.13)

В результате получим выражение

8

(5.14)Воспользуемся формулами

. (5.15)

. (5.16)Полученное выражение приобретает вид

(5.17)

Введем обозначение

. (5.18)

Получим выражение

Введем обозначение.(5.19)

Получим выражение

. (5.20)

Получим выражение для давления. Направим ось по направлению вектора :. (5.21)

Согласно формуле (4.24) давление равно

. (5.22)

Очевидно, что

(5.23)Коэффициенты связаны рекуррентными отношениями. Например, имеет место формула

, (5.24)

9

Поэтому

. (5.25)

Выражения, полученные для скорости и давления, являются функциями трех пространственных сферических координат. Путем перехода к новым трем пространственным переменным они могут быть представлены в координатах любых известных криволинейных систем, для которых существуют соответствующие формулы перехода. Причем в большинстве случаев все переменные разделяются. Более подробно этот вопрос рассмотрен в работе [9]. В качестве примера получим выражение для вектора скорости в цилиндрических координатах.

6. Решение линейного стационарного уравнения движения в цилиндрической геометрии и в других криволинейных геометриях.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами выражается формулами:

, , , (6.1)где , , .Связь между цилиндрическими и сферическими координатами выглядит следующим образом:

, , . (6.2)Рассмотрим выражение для скорости в упрощенном виде

. (6.3)

Мы опустили интегрирование по модулю волнового вектора, поскольку оно не существенно для последующих преобразований. Для удобства обозначения мы положили

. (6.4)

Введем в правую часть равенства множитель

. (6.5)

Выделим в правой части данного выражения однородный гармонический полином степени

,

где .

,

(6.6)где .Замечание. Для обоснования данной формулы удобно использовать следующее определение сферических функций:

(6.7)

Используем теорему сложения Гегенбауэра

, (6.8)

10

где - гамма-функция; - полином Гегенбауэра; . ;

.

Замечание. В случае разделение переменных не требуется, поскольку величина принимает фиксированное значение.

. (6.9)

, (6.10)

где – полином Якоби.Первые полиномы Якоби в явном виде выглядят следующим образом:

(6.11)

Введем обозначение:. (6.12)

Также выполнено соотношение:. (6.13)

Учтем также соотношение:. (6.14)

Тогда

, (6.15)

Формула справедлива как для , так и для .Подставим в формулу (6.5) выражения (6.6) и (6.15). Получим

Учтем, что . Получим

(6.16)Воспользуемся формулами:

, (6.17)

,

(6.18)где и – постоянные коэффициенты.Замечание. Данные формулы являются следствиями соотношения

11

.

В результате получим выражение:

(6.19)Введем обозначение:

(6.20)Тогда

(6.21)Замечание. Функции и можно представить с помощью функций и , где .

Решения в других ортогональных системах криволинейных координат получаются аналогично. Мы можем построить решения в различных ортогональных системах криволинейных координат на основе сферических функций Бесселя. Но возможен и другой подход.

Отметим, что сферические функции Бесселя удовлетворяют частному случаю соответствующего уравнения Ломмеля (см. [9]). Уравнение Ломмеля можно получить из уравнения Бесселя путем замены переменных. Таким образом, решения уравнений Навье-Стокса строятся на основе решений дифференциального уравнения Бесселя, а также уравнения Лапласа в сферической геометрии. Напомним, что частное решение уравнения Лапласа в этой геометрии строится на основе сферических функций. В свою очередь, к решению этих уравнений сводится решение уравнения Гельмгольца в сферической геометрии. Уравнения Лапласа и Гельмгольца в различных трехмерных системах ортогональных криволинейных координат преобразуются к обобщенным уравнениям гипергеометрического типа. Решениями этих уравнений являются специальные функции, характерные для данной криволинейной геометрии. На этих функциях и должно строится решение трехмерных уравнений Навье-Стокса в различных системах криволинейных координат. Решение, представленное в этих функциях, может иметь более простой вид.

Замечание. В работе [9] доказано разделение переменных для решений, полученных в координатах: декартовых, цилиндрических, параболических, параболического цилиндра, вытянутого и сплюснутого эллипсоида вращения, конических и параболоидальных [6]. Отметим, что разделение переменных происходит также и в тороидальных координатах.Тороидальные координаты связаны с декартовыми координатами по формулам:

, , ,где , , , – радиус круга, полученного в сечении тора, – радиус оси тора. Справедливо соотношение:

.Пусть . Тогда , и

.Далее задача решается как обычно.

12

7. Решение линейного нестационарного уравнения движения в трехмерной геометрии.

Очевидно, что решение нестационарного уравнения движения первого вида в сферических координатах может быть сразу же получено из соответствующего решения стационарной задачи. На основании формул (4.9), (4.13), (4.14), (5.20), (5.23) оно записывается как

.

(7.1)

(7.2)

Коэффициенты , получены из коэффициентов , путем учета дополнительной переменной .

Решения нестационарного уравнения движения второго вида представляются формулами (4.15)-(4.17). Запишем их еще раз.

, (7.3)

, (7.4)

Для определенности мы выбрали знак минус перед произведением и плюс перед

произведениями и .Используем формулы (5.4)-(5.5) и формулы

, (7.5)

, (7.6)

где .

Получим сначала выражение для скорости

(7.7)Введем обозначение

(7.8)Смысл такого обозначения станет ясным при выводе формулы для давления.Получим выражение

(7.9)

Представим вектор в виде

13

. (7.10)

Соответственно вектор примет вид

, (7.11)где

(7.12)

Получим еще одно выражение для скорости. Направим ось по направлению вектора :

. (7.13)Получим

(7.14)

Выведем формулу для давления. Для этого используем формулу

(7.15)

При выводе этого выражения использовались формулы (5.10)-(5.12), (5.15)-(5.16).Тогда

Введем обозначение

(7.16)Тогда

(7.17)

В случае, если , получим

(7.18)

8. Решение трехмерного уравнения неразрывности в первом приближении.

Нам необходимо решить еще одно уравнение, входящее в систему уравнений Навье-Стокса. Это уравнение неразрывности. В нулевом приближении оно удовлетворяется тождественно (см. (2.17)): . Рассмотрим задачу для несжимаемой жидкости. Тогда в первом приближении уравнение неразрывности имеет вид

14

. (8.1)Оператор Гамильтона воздействует только на пространственные переменные. Поэтому для решения этого уравнения достаточно рассмотреть только стационарную задачу. В обобщенном виде решение уравнения стационарного движения для скорости записывается как

. (8.2)

Подставим выражение (8.2) в (8.1). Внесем оператор Гамильтона под знак интеграла. Получим уравнение . (8.3)Однако условие (8.3) означает, что решение для давления для двух видов уравнения движения равно нулю:

. (8.4)Мы пришли к противоречию с уже полученным решением уравнения движения.

Следовательно, наш метод получения решений неверен. Но не будем торопиться с выводами. Исследуем вопрос о получении уравнения неразрывности и его решении более тщательно.

Вспомним, что вязкость по физической сути является молекулярным переносом [2]. И уравнения Навье-Стокса выводятся интегрированием уравнения молекулярного переноса. В качестве наиболее простого примера, рассмотрим случай диффузии легкого газа в тяжелом. Допустим, что молекулы легкого газа движутся со скоростью в тяжелом газе, молекулы которого покоятся. Рассеяние легких молекул на тяжелых изотропное. Тогда уравнение переноса для легких молекул имеет вид

(8.5)

где – полное сечение взаимодействия молекул, движущихся со скоростью ,

– дифференциальное сечение упругого и неупругого рассеяния молекул, –

скорость молекул до рассеяния, – скорость молекул после рассеяния, – интенсивность источника,

, .

Умножим данное уравнение на модуль импульса , где – масса легкой молекулы, и проинтегрируем его по всем возможным значениям вектора скорости. В результате получим уравнение неразрывности в виде

, (8.6)

где

. (8.7)

Если неупругие столкновения отсутствуют, то скорость молекул после столкновений не меняется. Тогда

,

, (8.8)

где – интегральное сечение упругого рассеяния молекул:

.

В результате функция приобретет вид

15

. (8.9)

где – сечение поглощения молекул.Неупругое рассеяние и поглощение молекул относятся к процессам неупругих

столкновений. Сечение поглощения учитывает процессы, в которых молекулы исчезают или существенно меняют свои свойства. К ним относятся химические реакции, диссоциация, ионизация и т.д. К неупругому рассеянию относятся такие акты рассеяния, в которых не выполняется закон сохранения кинетической энергии сталкивающихся молекул. Эта энергия затрачивается на возбуждение вращений и колебаний молекул. Поглощение кинетической энергии уменьшает макроскопическую скорость вещества и дает свой вклад в вязкость. Заметим, что обычно при выводе уравнения неразрывности в гидродинамике сечениями неупругих столкновений пренебрегают в силу их малости. И за основу принимают модель, в которой учитываются только упругие столкновения. В этом случае интеграл столкновений равен нулю, а вместе с ним и введенная функция:

. (8.10)Но в теории переноса даже при учете только упругих столкновений обычно считают, что

, но . (8.11)Если предположить, что сечение поглощения не зависит от скорости движения молекул

, (8.12)то . (8.13)

Такое допущение не является общим: сечения неупругих процессов существенно зависят от скорости взаимодействующих молекул [3]. А вопрос о том, насколько они малы, требует специального исследования при постановке различных задач. Существенное изменение скорости молекул часто происходит локально: вблизи границ раздела сред и на фронте ударных волн. Поэтому сечения неупругих столкновений будут различными в различных точках вещества, а само уравнение (8.6) является в общем случае нелинейным. Вывод обобщенной формы этого уравнения является нетривиальной задачей и требует привлечения экспериментальных данных. Ее решение выходит за рамки данной работы. Однако незавершенность вывода дифференциального уравнения неразрывности не является препятствием для выполнения задачи, поставленной в данной работе: доказательства существования и получение аналитических решений уравнений Навье-Стокса. Новая завершенная форма дифференциального уравнения неразрывности является дополнительным уравнением для краевой задачи. Краевые условия и уравнение неразрывности позволят найти собственные значения и значения неопределенных коэффициентов задачи. Пример решения задачи на собственные значения будет рассмотрен ниже.

Итак, в случае постоянства плотности при указанных допущениях уравнение неразрывности принимает вид

.(8.14)

Решение такого уравнения можно построить на основе экспоненциальной функции, то есть в виде плоской волны. Это дает нам основание предположить, что и решение обобщенного нелинейного уравнения (8.6) можно построить в виде плоской волны. Заметим, что функция

может быть комплексной. В дальнейшем мы будем полагать, что она представлена в линейном приближении, то есть, подобна функции .

Сначала рассмотрим стационарную, плоскую одномерную задачу. В этом случае уравнение (8.6) в первом приближении запишется как

, (8.15)

где – проекция вектора скорости на ось .

16

Решением такой задачи являются плоские волны, распространяющиеся параллельно оси . Пусть источник расположен в начале координат. Его плотность распределения положим равную

. (8.16)Получим уравнение

. (8.17)

Решением такой задачи являются две плоские волны, распространяющиеся из начала координат параллельно оси в противоположных направлениях. Предположим, что выражение для плоских волн имеет вид

(8.18)

где , и – постоянные величины. В этом выражении учтен скачок (разрыв) направления вектора скорости в плоскости источника.

Проинтегрируем уравнение (8.17) в малой окрестности начала координат [ ]. Устремим пределы окрестности к нулю. Придем к уравнению

. (8.19)

Очевидно, что первообразная функции является непрерывной функцией от . Поэтому выполнено

. (8.20)

Уравнение (8.17) примет вид

. (8.21)

Обозначим

, . (8.22)

Воспользуемся формулой (8.14). В результате получим решение(8.23)

Отметим, что наличие функции источника в правой части уравнения неразрывности свидетельствует о присутствии сингулярности (разрыва) в левой части этого уравнения.

Предположим, что функция источника в правой части уравнения (8.21) равна нулю. Получим уравнение

. (8.24)

Решением этого уравнения является выражение, представляющее плоскую волну, которая распространяется в любом направлении оси :

. (8.25)

Напомним, что первообразная этого выражения является непрерывной функцией во всей области ее определения. Придадим уравнению (8.15) более привычный для задач гидродинамики вид. Положим

. (8.26)Получим уравнение

. (8.27)

Для источника (8.16) решением этого уравнения являются две плоские волны, распространяющиеся из начала координат параллельно оси в противоположных

17

направлениях. Причем эти волны представляются величинами, не зависящими от координаты , то есть постоянными векторами:

(8.28)

где – постоянная величина.Интегрирование уравнения (8.27) в малой окрестности начала координат [ ] и

предельный переход приведут к уравнению (8.21). Решение уравнения (8.21) приведет к выражению

(8.29)Очевидно, что плоская волна, представленная постоянной функцией

, (8.30)будет решением уравнения (8.24).Обобщение полученных формул при учете зависимости решения от времени осуществляется очевидным образом. Обобщим формулы (8.21) и (8.27) на случай трехмерной геометрии. Получим уравнения

,

(8.31)

, (8.32)

где – некоторый малый объем пространства, окружающий точку , – замкнутая поверхность, ограничивающая объем , – элемент объема.

Очевидно, что решение этих двух уравнений можно построить в виде наложения плоских волн (8.2), используя описанную выше последовательность действий. При этом следует учесть условия разрыва решения для плоских волн в точках источника.Используя теорему о дивергенции, можно придать этим уравнениям эквивалентную форму

,

(8.33)

, (8.34)

где – некоторый малый объем пространства, окружающий точку , – замкнутая поверхность, ограничивающая объем , – элемент объема, – элемент поверхности . Направление вектора совпадает с направлением внешней нормали к поверхности, а его абсолютное значение с площадью элемента поверхности.

Мы полагаем, что функция является непрерывной вместе со всеми частными производными во всей области ее определения за исключением точек источника. В этих точках функции, представляющее решение, и их производные могут иметь разрыв. Напомним, что теорема о дивергенции применима и в точках разрыва [6], если условия разрыва учтены виде соответствующих предельных отношений. Соответствующий пример рассмотрен нами в одномерном случае.

Заметим, что на основании формул (8.31) и (8.32) мы могли бы перейти к дифференциальным уравнениям

,(8.35)

. (8.36)Однако выражение для плоской волны (8.25) не является решением этих уравнений. Для получения такого решения в этих уравнениях необходимо учесть дополнительное слагаемое,

18

которым пренебрегают в моделях гидродинамики. Поэтому при решении задач с несжимаемой жидкостью не следует пользоваться классическими дифференциальными формами уравнения неразрывности. Классические уравнения неразрывности могут использоваться лишь в виде интегральных предельных форм. Эти формы связывают особенность (разрыв) дивергенции решения или отсутствие этой особенности с источниками жидкости. Дифференциальные формы должны быть модифицированы. В результате получатся дополнительные уравнения для нахождения собственных значений и неопределенных коэффициентов задачи.

Мы получили уравнения (8.31)-(8.34) в случае несжимаемой жидкости для функции скорости (и ), заданной в первом приближении. Но как станет ясно впоследствии, они справедливы при представлении скорости в любом приближении. Забегая вперед, скажем, что аналогичные уравнения справедливы также и для сжимаемой жидкости, так как интегрирование уравнения (8.6) приведет к подобному результату. Впоследствии также выяснится, что выражения для плоской волны с экспоненциальной зависимостью от времени и координат являются решениями дифференциального уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости. Причем это справедливо даже в том случае, если в этом уравнении не учитывается дополнительное слагаемое, связанное с процессами поглощения энергии в веществе в процессе взаимодействия частиц его составляющих. Именно такое уравнение мы будем использовать в дальнейшем.

Вернемся еще раз к уравнениям (8.35), (8.36).Рассмотрим интеграл

. (8.37)

Напомним, что мы учитываем скорость только в первом приближении.В качестве поверхности выберем небольшую сферу радиуса , окружающую любую

точку пространства. Пусть положение этой точки в пространстве определяется вектором .Тогда

, (8.38)

где - радиус-вектор точки сферы. Значения угловых переменных и определяют направление вектора .Подставим выражение (8.2) в (8.37). Учтем, что точка на поверхности имеет радиус вектор

. Получим

. (8.39)

Рассмотрим интеграл

. (8.40)

Мы осуществляем интегрирование в локальной системе координат с центром в точке . Направим ось этой системы по направлению вектора :

. (8.41)Тогда

. (8.42)Воспользуемся формулами

, (8.43)

где – сферические функции Бесселя первого рода; .

19

. (8.44)

В результате интегрирования получим, (8.45)

где . (8.46)

Найдем предел интеграла при .

. (8.47)

Таким образом, как и предполагалось, для любой точки выполнено соотношение

. (8.48)

В нестационарном случае

. (8.49)

Теперь вычислим дивергенцию , используя определение дивергенции:

. (8.50)

Как и в предыдущем случае окружим произвольную точку пространства небольшой сферой радиуса . Объем сферы равен

. (8.51)Вычисления аналогичные предыдущим приведут к значению предела интеграла

(8.52)

Итак,

, (8.53)

если решение построено в виде разложения плоской волны в ряд по сферическим функциям, определяемым формулами (8.43), (8.44). Такое разложение означает переход от представления решения в виде наложения плоских волн к представлению этого решения в виде наложения сферических волн.

Если мы используем определение дивергенции (8.50) для плоской волны , не прибегая к разложениям (8.43), (8.44), то мы также получим соотношение

(8.53).Отметим, что уникальность сферических волн, представляемых функциями Бесселя

первого рода , заключается в том, что их источник точке является условным,

“внутренним” источником, подобным источнику в выражении (8.6). Если

сторонний источник жидкости в правой части уравнения неразрывности отсутствует, то решение необходимо строить на таких функциях.

Получим также решение стационарного уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости при наличии стороннего источника жидкости в трехмерной сферической геометрии. Предположим, что в точке, которая является началом координат: , существует стационарный, сторонний, точечный источник жидкости с плотностью распределения

20

. (8.54)

Тогда должно быть выполнено

. (8.55)

Выполним все действия (8.37)-(8.47), но с одним условием: вместо сферических функций Бесселя первого рода будем использовать сферические функции Бесселя второго рода (функции Неймана) . Заметим, что соотношение (8.43) для этих функций выполнено формально. Учтем, что

. (8.56)

Тогда выражение (8.47) примет вид

, (8.57)

где , (8.58)Возьмем реальную часть выражения (8.57). Введем обозначение

, (8.59)

где .

Тогда уравнение (8.55) примет вид

. (8.60)

В нестационарном случае условие для стороннего источника жидкости имеет вид

.

(8.61)Очевидно, что все приведенные выше рассуждения справедливы и в этом случае.Замечание. Очевидно, что в решение уравнений (8.55), (8.61) входят также и разложения в ряд, включающие функции Бесселя первого рода.

Рассмотрим пример получения собственных значений задачи для случая несжимаемой жидкости. Для этого воспользуемся уравнением (8.14). В первом приближении оно имеет вид

. (8.62)

Зависимость скорости от времени не важна при решении рассматриваемого уравнения. Для упрощения обозначений исключим эту зависимость из числа переменных.Будем искать решение данного уравнения в виде плоской волны

. (8.63)Для решения первого вида

. (8.64)

Тогда. (8.65)

Рассмотрим решение уравнения второго вида. Подставим уравнение (8.63) в (8.62). Получим. (8.66)

Направим ось по направлению вектора :

. (8.67)Тогда

21

. (8.68)

Умножим это уравнение на функцию и проинтегрируем его по всем

возможным значениям и . При этом воспользуемся выражением

, (8.69)

Получим , (8.70)

где

. (8.71)

Допустим, что

(8.72)

Тогда, (8.73)

где , , – произвольная угловая переменная.Собственные значения задачи определятся из уравнений

, , (8.74)где – порядок аппроксимации решения задачи.

Отметим, что формула (13.5) задает минимальное значение спектра собственных значений. Это значение определяется из эксперимента. Дискретные собственные значения, полученные из формулы (13.14), заменяют непрерывный спектр собственных значений. Они определяются порядком аппроксимации решения задачи и являются виртуальными [9]. Это свидетельствует о том, что решение второго вида описывает турбулентный поток жидкости, а решение первого вида представляет собой асимптотический ламинарный поток. Это также подтверждается тем, что решение первого вида может быть стационарным и нестационарным, а решение второго вида для непрерывного спектра собственных значений только нестационарным. Однако существует также решение второго вида для стационарной задачи, физический смысл которого еще предстоит выяснить. Для этого решения волновой вектор имеет дискретные мнимые значения.

Подведем итоги.Решение трехмерного уравнения движения системы Навье-Стокса в первом (и более

высоких приближениях) строятся методом Фурье в виде наложения плоских волн, представляемых в трехмерной геометрии. Такой подход позволяет перейти к системе алгебраических уравнений для амплитуд этих волн. Но выражение для скорости в виде плоской волны не является решением классического дифференциального уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости. Выражение для плоской волны является решением интегральной предельной формы этого уравнения. Использование дифференциального уравнения приводит к несовместимости решений уравнения движения и уравнения неразрывности, а интегральная предельная форма лишена такого недостатка. Поэтому при решении классического, не модифицированного уравнения неразрывности несжимаемой жидкости необходимо использовать только интегральную предельную форму. Дифференциальная форма не должна использоваться непосредственно, а только как выражение для интегрирования. Поэтому в уравнении движения для несжимаемой жидкости мы не можем применить выражение

, не справедливое для плоской волны.Если в дифференциальном уравнении неразрывности для несжимаемой жидкости учесть

неупругие процессы в результате взаимодействий частиц вещества, то можно получить решение этого уравнения для плоской волны с экспоненциальной зависимостью

22

. Если учитывать только процессы упругого рассеяния, то решение для плоской волны представляется как постоянный вектор. При этом в обоих случаях мы не приходим к противоречию с интегральной предельной формой уравнения неразрывности.

При отсутствии сторонних источников жидкости, решения уравнения движения и неразрывности в трехмерной сферической геометрии строятся в виде разложения плоской волны в ряд на основе сферических функций Бесселя первого рода, которые и выражают факт отсутствия сторонних источников.

Если учесть сторонние источники вещества, то к указанному представлению решения добавится аналогичный ряд на основе функций Неймана.

Наличие слагаемого, представляющего неупругие процессы в уравнении неразрывности, позволяет получить два вида решений уравнений Навье-Стокса: одно описывает ламинарный поток жидкости, а другое – турбулентный. Отсутствие данного слагаемого приводит к исчезновению решения для турбулентного потока.

Отметим, что решения дифференциального уравнения неразрывности несжимаемойжидкости

(8.75)являются решениями уравнения Эйлера [1], в котором заложена модель идеальной жидкости. Решения уравнения (8.62) строятся на основе решений уравнения Лапласа. Решения уравнения движения Навье-Стокса для несжимаемой, реальной жидкости следует строить на основе решений уравнения Гельмгольца. Так как в таком решении в полной мере учтено присутствие вязкости. Для того чтобы решения уравнения Гельмгольца были решениями дифференциального уравнения неразрывности, в этом уравнении также необходимо учесть присутствие вязкости.

В заключение запишем предельную интегральную форму уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости.

. (8.76)

Также запишем общеизвестные, стандартные формы уравнения неразрывности [1].

.

(8.77)Эквивалентная интегральная форма этого уравнения имеет вид

. (8.78)

Дифференциальная форма записывается как

.

(8.79)Для несжимаемой жидкости дифференциальная форма имеет вид

. (8.80)

9. Множество решений уравнений Навье-Стокса.

Введем распределение сторонних источников вещества в правую часть уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости, и вновь запишем систему уравнений Навье-Стокса в первом (линейном) приближении

, (9.1)

. (9.2)Нам известно, что при условии

(9.3)

23

решения системы (9.1)-(9.2) в трехмерной сферической геометрии строятся в виде разложений в ряд на основе сферических функций и сферических функций Бесселя первого рода, которые являются осциллирующими. Однако такое представление решения не является единственным. Решение данных уравнений для пространственной переменной также можно построить на основе не осциллирующих функций. Для этого нужно воспользоваться представлением

, (9.4)

. (9.5)

Данные решения построены на пространственном представлении плоской волны на основе не осциллирующих функций.Для построения решений в трехмерной геометрии следует воспользоваться формулами

(9.6)

где – модифицированные сферические функции Бесселя первого рода (сферические

функции Бесселя первого рода мнимого аргумента); .

Заметим, что

. (9.7)

Поэтому при использовании в разложении решения в ряд модифицированных функций Бесселя первого рода вместо обычных функций Бесселя первого рода также выполнено

. (9.8)

Как уже говорилось, этому уравнению соответствует его дифференциальная форма, (9.9)

которую нужно рассматривать как выражение для интегрирования.Таким образом, решением системы уравнений Навье-Стокса при нулевых источниках является также разложение на основе модифицированных сферических функций Бесселя первого рода. В свою очередь это означает, что решение системы может быть получено при комплексных значениях переменной .

Если , (9.10)

то решения уравнения неразрывности могут быть получены в виде формальных разложений в ряд на основе сферических функций Неймана (функций Бесселя второго рода) и модифицированных сферических функций Неймана. Конечно, соответствующие разложения в виде сферических функций Бесселя первого рода также являются решениями уравнения с ненулевым источником.

Модифицированные сферические функции Бесселя связаны с аналогичными, обычными сферическими функциями Бесселя следующими соотношениями:

(9.11)

а также

24

(9.12)

где , , , – модифицированные сферические функции Бесселя

первого, второго, третьего и четвертого рода соответственно; , , , – сферические функции Бесселя первого, второго, третьего и четвертого рода соответственно; – мнимая единица; Как известно, функции Бесселя третьего и четвертого рода называются также функциями Ганкеля первого и второго рода соответственно.

Модифицированные функции Бесселя в явном виде представляются как

; ; ; . (9.13)

; ; ; . (9.14)

; ; ; .(9.15)

; ; ; . (9.16)

Отметим, что только некоторые из приведенных функций являются линейно независимыми. Модифицированные функции Бесселя первого и второго рода превращаются в функции Ганкеля линейными преобразованиями. Справедливы соотношения:

(9.17)

(9.18)

Все модифицированные сферические функции Бесселя подчиняются одинаковым рекуррентным формулам:

; (9.19)

; (9.20)

; (9.21)

; (9.22)

, (9.23)

где – модифицированная сферическая функция Бесселя любого рода; .Аналогичные формулы справедливы и для обычных сферических функций Бесселя.

С помощью рекуррентных формул можно формально доказать, что разложения в ряд на основе сферических Функций Бесселя первого рода (как обычных, так и модифицированных) являются решениями уравнения движения. Для этого достаточно подставить эти разложения в уравнение движения и перейти от производных сферических функций Бесселя первого рода и сферических функций , зависящих от угловых переменных, к отношениям, включающим только сами эти функции. Рекуррентные формулы, связывающие производные сферических функций с самими функциями, представлены в работах [5, 6]. Выполнив

25

перестановку слагаемых в функциональных рядах, мы перейдем к алгебраическим уравнениям для амплитуд сферических волн, которые были получены из разложения плоской волны по сферическим функциям.

Мы определили, что разложения в ряд на основе сферических Функций Бесселя первого рода (как обычных, так и модифицированных) являются решениями уравнения движения. Из этого следует, что и соответствующие формальные разложения в ряд на основе сферических Функций Бесселя второго, третьего и четвертого рода также являются решениями этого уравнения. Для доказательства следует обратить внимание на рекуррентные отношения (9.19)-(9.23). Подставим разложение на основе модифицированных сферических Функций Бесселя первого рода в уравнение движения и прибегнем к преобразованиям с помощью указанных рекуррентных формул. В результате мы должны прийти к соотношению, которое является тождеством. При этом нам не требуется использовать представления модифицированных сферических функций Бесселя в явном виде. Поэтому, если это тождество справедливо для функций первого рода, то оно справедливо и для функций второго, третьего и четвертого рода. Для обычных сферических функций Бесселя рассуждения аналогичны.

Итак, решениями уравнений (9.1)-(9.2) являются функции, представляемые в виде разложений в ряд на основе сферических Функций Бесселя первого, второго, третьего и четвертого рода, как обычных, так и модифицированных. В случае нулевых, сторонних источников решениями являются только разложения на основе сферических функций Бесселя первого рода. Представление плоской волны на основе экспоненциальной функции является решением уравнения движения, но не является решением дифференциального уравнения неразрывности. Для того чтобы это представление стало таким решением необходимо учесть в уравнении неразрывности процессы поглощения энергии вещества. Но, как выяснится в дальнейшем, указанное представление плоской волны является решением обычного дифференциального уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости.

Также, забегая вперед, скажем, что все сделанные заключения справедливы не только для уравнений (9.1)-(9.2), но и для исходных уравнений (2.1)-(2.2).

Другими решениями уравнений Навье-Стокса являются разложения в ряд, включающие в себя специальные функции, которые характерны для данной криволинейной геометрии. Эти функции являются решениями уравнений гипергеометрического типа, к которым сводятся уравнения Лапласа и Гельмгольца в данной системе криволинейных координат.

Отметим, что решениями уравнения Навье-Стокса являются функции, содержащие экспоненциальные зависимости от временной и пространственной переменной, как с отрицательным, так и положительным вещественным показателем экспоненты (то есть функции , , где и – вещественные положительные числа). Это дает возможность представлять решения на основе функций гиперболический синус и гиперболический косинус. В связи с этим мы должны сказать о возможности построения моделей турбулентности с помощью полученных решений. Под турбулентностью мы понимаем нерегулярное поведение систем во времени и пространстве [7]. Как известно, турбулентность возникает благодаря свойству нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. Характерной особенностью хаотического движения является высокая чувствительность к начальным данным. Построение временных и пространственных зависимостей решений уравнений Навье-Стокса (и не только этих уравнений) с помощью функций гиперболический синус и косинус является наилучшим и наиболее простым способом придать этим решениям указанные свойства хаотического движения.

Гиперболический синус и косинус при возрастании аргумента стремятся к бесконечно большой величине. Это вносит неустойчивость в искомое решение для пространственной и временной переменной на бесконечности. Турбулентность охватывает ограниченную область пространства и длится сколь угодно большой, но конечный промежуток времени. Если область определения гиперболических функций синус и косинус включает только конечные значения аргумента, то сами эти функции являются ограниченными в этой области определения.

26

Решение, представляемое этими функциями можно сделать устойчивым на бесконечности. Соотношение между используемыми гиперболическими функциями определяется коэффициентами разложения в ряд Фурье. В задачах с бесконечной геометрией, соответствующим подбором этих коэффициентов, гиперболический синус и косинус превращаются в экспоненту с отрицательным показателем. В результате, решение приобретает необходимую устойчивость.

Таким образом, быть учтены как устойчивые, так и неустойчивые процессы в пространстве и во времени, а также их динамика (переход от одних процессов к другим). В результате можно пытаться развить метод Фурье для модели детерминированного хаоса в явлениях переноса. Тем самым открыть путь в современную синергетику.

10. Общий подход к решению задачи Коши для линейного приближения уравнений Навье-Стокса. Решение с учетом силы гравитации.

Краевые и начальные условия задачи Коши для системы уравнений (3.1)-(3.2) выглядят следующим образом:

, (10.1)

. (10.2)

Решения этой системы для скорости имеют вид (7.1) и (7.9):

.

(10.3)

(10.4)Мы получили решения уравнений Навье-Стокса в виде разложений в ряд по

аналитическим функциям, которые являются решениями уравнений Гельмгольца и Лапласа. К уравнениям Гельмгольца и Лапласа сводятся многие уравнения математической физики. Как известно [4], для аналитических функций существует общий класс корректно сформулированных задач Коши. Такие задачи поставлены и решены для уравнений Лапласа, теплопроводности, волнового уравнения и т.д. Очевидно, аналогичные задачи Коши просто сформулировать и решить для уравнений Навье-Стокса. Также очевидно, что при этом нет необходимости доказывать теорему существования и единственности. Уравнения (10.1), (10.2) являются примером такой корректно поставленной задачи, если функция является аналитической во всей области ее определения.

Итак, решения (10.3), (10.4) позволяют описать векторное поле скоростей во всем трехмерном пространстве и во времени . Решения уравнений (10.1) и (10.2) осуществляются очевидным образом. И мы не будем останавливаться на этом подробно. Скажем только, что полезно перейти в систему криволинейных координат, в которой поверхность является координатной. Также от интегрирования по переменной полезно перейти к представлению решения в виде суммы ряда по дискретной переменной . При этом дискретные значения можно выбрать из условия ортогонализации функций и .

Рассмотрим уравнение, (10.5)

где – ускорение свободного падения.

27

Рассмотрим решение первого вида. Мы преобразуем только формулу для давления. Формула для скорости остается неизменной и задается выражением (4.13). Представим формулу для давления в виде

. (10.6)

Замечание. Мы выбрали знак плюс перед произведением .Подставим формулы (4.14) и (10.6) в уравнение (10.5). Получим выражение для функции

в виде формулы (4.9):

. (10.7)

Выражение можно представить в более удобном для дальнейшего использования виде. Разложим вектор в интеграл Фурье

(10.8)где – первая обобщенная производная дельта-функции [4, 6], , ,

, .

Первая обобщенная производная дельта-функции определяется из выражений:

, (10.9)

,(10.10)

где , , .Проверим эти выражения. Для этого нам потребуется формула

. (10.11)

Используем правую часть формулы (10.9). Подставим в нее (10.10). Получим

Напомним, что прямое преобразование Лапласа для постоянной функции имеет вид

. (10.12)

Поэтому

. (10.13)

Это выражение понадобиться нам в дальнейшем.Интегрирование формулы (10.6) по переменным и приведет к выражению для давления в трехмерной геометрии (см. формулу (7.2)):

(10.14)

где . (10.15)

28

Если , получим

(10.16)

Рассмотрим решение второго вида. В этом случае достаточно определить начальную скорость в виде

. (10.17)

Тогда выражение в правой части уравнения движения сокращается. Используем формулу (10.17) в решении уравнения движения. Мы придем к соотношениям (7.9) и (7.17), в которых вместо скорости использовано выражение .

(10.18)

(10.19)

11. Решение уравнений Навье-Стокса во втором и более высоких приближениях.

Система уравнений Навье-Стокса во втором приближении имеет вид

(11.1)

. (11.2)Краевые и начальные условия для этой системы выглядят следующим образом:

,

(11.3). (11.4)

Решение данной системы будем искать в виде, (11.5)

, (11.6)

, (11.7)

, (11.8)

,(11.9)

. (11.10)

Сначала решим уравнение (11.2). Подставим в него формулы для скорости и плотности. В результате получим

29

. (11.11)

Откуда следует решение для плотности

. (11.12)

Соответствующие подстановки в уравнение (11.1) приводят к выражению

(11.13)Эквивалентное уравнение имеет вид

(11.14)

Зададим условие, чтобы переменные , , , входили в полученное уравнение симметрично. В результате получим

(11.15)

Если мы умножим это уравнение на функцию и проинтегрируем по переменным , , , , то получим исходное уравнение (11.1).

Введем три взаимно перпендикулярных вектора:

(11.16)

Замечание. Мы использовали формулу .Вектор можно представить в виде разложения по векторам , и :

, (11.17)

где , ,

.

Сначала рассмотрим случай решения первого вида для скорости (см. (4.12)):

. (11.18)

В этом случае переменные и не зависят от переменных и .Уравнение (11.15) примет вид

30

(11.19)

Умножим это уравнение на вектор . Получим. (11.20)

Для решения первого вида. (11.21)

Умножим уравнение (11.19) на вектор :

(11.22)

Используем формулу (11.16).

(11.23)

Используем формулу (11.12). Введем обозначение

. (11.24)

Получим

(11.25)Отметим, что для несжимаемой жидкости

(11.26)

Умножим уравнение (11.19) на вектор :

(11.27)

Эквивалентная формула имеет вид

31

(11.28)

Введем обозначения

. (11.29)

В результате формула для давления примет вид

(11.30)

Найдем выражение для скорости. Очевидно, что скорость в решении первого вида записывается как

(11.31)Рассмотрим выражение:

(11.32)

Воспользуемся выражениями (5.4), (5.5), (5.13), (5.15), (5.16).

(11.33)Введем обозначения:

(11.34)

(11.35)Получим выражение

(11.36)Рассмотрим выражение:

32

(11.37)

Воспользуемся выражениями (5.4), (5.5), (5.13), (5.15), (5.16), (11.16).Напомним, что

. (11.38)Также используем формулу

. (11.39)

Получим

(11.40)Введем обозначения:

(11.41)Для краткости записи в следующем выражении введем обозначение

.

(11.42)Получим выражение

(11.43) Введем обозначение

. (11.44)Тогда скорость в решении первого вида записывается как

(11.45)Отметим, что компонента скорости связана с компонентами и

уравнением (11.25). Соотношения между коэффициентами разложения данных

компонент по угловым переменным и можно найти из уравнения, полученного преобразованием формулы (11.25). При этом необходимо использовать формулы (11.16) и (11.24).

Получим

(11.46)Разложив компоненты скорости и произведения векторов по сферическим функциям

и , мы получим необходимые соотношения. Формула (11.10) для давления в решении первого вида записывается как

33

(11.47)Введем обозначение

(11.48)Получим

(11.49)Связь компонент скорости и давления выражается уравнением, полученным из выражений (11.29)-(11.30). Оно имеет вид

(11.50)

Разложив компоненты скорости, давления и произведения векторов по сферическим функциям и , мы получим соотношения между соответствующими коэффициентами

угловых разложений.Формула для плотности в трехмерной геометрии примет вид (см. (11.8))

(11.51)Введем обозначение

. (11.52)

Формула для плотности примет вид

. (11.53)

Связь компонент плотности и скорости выражает формула (11.12). Для получения связи коэффициентов угловых разложений она имеет вид

. (11.54)

Уравнение движения во втором приближении с учетом силы гравитации имеет вид

(11.55)

Учтем влияние силы гравитации на решение первого вида. Запишем выражение для давления в виде

. (11.56)Градиент этого выражения равен

34

. (11.57)

Если мы подставим выражение (11.57) в уравнение (11.55), то слагаемое

сократиться, а вместо него появится выражение . Воспользуемся формулами (10.13) и (11.8), Получим

(11.58)

Замечание. Мы выбрали знак плюс перед произведением .Выражение под интегралом симметрично относительно переменных и . Рассмотрим это выражение

. (11.59)

Умножим это выражение на вектор и прибавим результат в правую часть уравнения (11.22).

Получим вклад силы гравитации в скорость . Умножим это выражение на вектор и прибавим результат в правую часть уравнения (11.27). Получим вклад силы гравитации в

давление . Дальнейшие действия очевидны.Получим решения уравнения второго вида. В этом случае согласно уравнению (11.20)

должно быть выполнено соотношение.(11.60)

Отметим, что переменные и определены при решении уравнений Навье-Стокса в первом приближении. Согласно формуле (4.11) их значения равны

(11.61)

Тогда из уравнения (11.60) имеем. (11.62)

Согласно (11.29)-(11.30) формула для давления примет вид

(11.63)

Согласно (11.12) формула для плотности имеет вид

. (11.64)

Решения нестационарного уравнения движения второго вида представляются формулами, аналогичными формулам (4.15)-(4.17):

, (11.65)

, (11.66)

где функция связана со скоростью формулой (11.63).Также

, (11.67)

35

где функция связана со скоростью формулой (11.64).

Для определенности мы выбрали знак минус перед произведением и плюс перед произведением .Используем формулы (5.4)-(5.5) и формулы (7.5)-(7.6).Получим выражение для скорости

(11.68)Введем обозначение

(11.69)Получим выражение

(11.70)Представим вектор в виде

. (11.71)

Соответственно вектор примет вид

,

(11.72)где

(11.73)Направим ось по направлению вектора :

. (11.74)Получим

(11.75)

Формула для давления выводится на основании выражений (11.63), (11.66). При этом следует учесть соотношения:

(11.76)

36

(11.77)

(11.78)

При выводе этих выражений использовались формулы (5.10)-(5.12), (5.15), (5.16), (11.16), (11.17). Вывод выражения для давления тривиален. Однако промежуточные формулы, используемые при выводе, и конечная формула очень громоздки. Поэтому мы выведем выражение для давления, которое имеет более компактный, но общий вид. Воспользуемся формулой (11.66). Выполним процедуры, аналогичные тем, которые выполнялись при выводе формулы для скорости. Получим

. (11.79)

(11.80)Введем обозначение

(11.81)Получим

(11.82)В случае, если , получим

(11.83)Выведем также формулу для плотности , используя формулы (11.64), (11.76). Тогда

(11.84)Введем обозначение

37

(11.85)

Тогда

(11.86)

В случае, если , получим

(11.87)Учет силы гравитации в решениях второго рода осуществляется тривиально. Для этого достаточно в формулах (11.70), (11.82), (11.86) вместо начальной скорости использовать выражение

. (11.88)Аналогичным образом решается задача в третьем и более высоких приближениях.

Заметим, что общий вид решений очевиден сразу. Несмотря на громоздкость формул они, по сути, получаются довольно просто. Полезен переход к представлению решений в тензорной форме.

Отметим, что формула давления для несжимаемой жидкости легко получается из соответствующего формулы для сжимаемой жидкости, и нам не имеет смысла рассматривать задачу нахождения давления несжимаемой жидкости отдельно.

12. Общий подход к решению уравнения неразрывности во втором и более высоких приближениях.

Мы уже убедились непосредственно, что не модифицированное, дифференциальное уравнение неразрывности (11.2) для сжимаемой жидкости решается для плоской волны. Рассмотрим интегральную предельную форму этого уравнения. Проинтегрируем данное уравнение по объему и возьмем предел при . Учтем, что

, (12.1)

так как первообразная функции под знаком интеграла является непрерывной функцией от , в том числе и при . Получим формулу

. (12.2)

Эквивалентная формула имеет вид

. (12.3)

Очевидно, что решениями уравнений (12.2), (12.3) являются выражения для плоской волны и разложения плоской волны в ряд по сферическим функциям и сферическим функциям Бесселя. При наличии источника в правой части уравнений помимо функций Бесселя решением также является разложение на основе функций Неймана (или Ганкеля).

Уравнения (12.2) и (12.3) справедливы и для несжимаемой жидкости, если в них оставить только слагаемое с величиной .

38

Таким образом, выводы сделанные ранее в результате решения уравнения неразрывности для линейного приближения системы Навье-Стокса, находят свое подтверждение и при решении задачи в нелинейном приближении.

Рассмотрим пример получения собственных значений во втором приближении линейного уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости. Это уравнение имеет вид

. (12.4)

Будем искать решение данного уравнения в виде. (12.5)

Для решения первого вида, (12.6)

где .Тогда

. (12.7)Отметим, что

, (12.8)

где .

Значение определено в первом приближении уравнения неразрывности. Поэтому получим. (12.9)

Очевидно, что вектор , равный по модулю вектору , повернут относительно этого вектора на угол в 45 градусов.

Найдем собственные значения задачи для решения второго вида в частном случае, если вектор совпадает по направлению с вектором .Необходимо учесть, что для решения второго вида

. (12.10)Поэтому согласно формуле (12.8)

. (12.11)При этом вектор повернут относительно этого вектора на угол в 45 градусов.Решение второго вида приведет к уравнению

.(12.12)

Решение этого уравнения приведет к формуле, (12.13)

где , , – произвольная угловая переменная, – постоянный

фазовый множитель.Собственные значения задачи определятся из решения системы, в которую входит уравнение (8.74) и уравнение

, , (12.14)где – порядок аппроксимации решения задачи.Очевидно, что уравнение (12.14) имеет те же решения, что и уравнение (8.74).

Таким образом, во втором приближении решения линейного уравнения неразрывности мы получили два сходных семейства плоских волн. Соответствующие волны каждого семейства распространяются под углом в 45 градусов по отношению друг к другу.

Решение задачи Коши (11.3), (11.4) выполняется очевидным образом. Для определения абсолютных значений волновых векторов , и неопределенных коэффициентов задачи следует использовать граничные условия и модифицированное дифференциальное уравнение неразрывности. Примеры решения таких задач будут рассмотрены в последующих работах.

Аналогичные результаты получаются и при рассмотрении более высоких приближений.

39

13. Заключение

Аналитический метод построения решения уравнений Навье-Стокса развит на основе подходов получения аналитических решений, используемых в квантовой механике и теории поля. Аналогичными методами также было получено аналитическое решение для уравнения переноса нейтральных частиц в трехмерной геометрии [9]. Предварительные исследования говорят о том, что подобным образом можно построить аналитическое решение системы уравнений Власова. Следует отметить, что все полученные решения строятся на основе хорошо известных сферических и цилиндрических функций, которые широко используются при решении основных уравнений математической физики. Это свидетельствует о том, что реально разработать аналитический метод построения трехмерных решений краевых задач для систем различных, в том числе нелинейных уравнений, которые описывают сложные, взаимно влияющие процессы. На основе аналитических подходов возможно значительное продвижение в построении моделей турбулентности как проявление детерминированного хаоса. Существенную роль при разработке таких аналитических методов должно сыграть развитие единого подхода к построению решений уравнений квантовой механики и уравнений, описывающих макроскопические процессы. В перспективе это позволит перейти к задачам, в которых строятся модели возникновения организованной материи из неорганизованной и живой материи из неживой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Курс теоретической физики: Учебное пособие для вузов в 10-ти томах. Том 6. Гидродинамика. -8-ое издание, стереотипное, М.: Физматлит, 2001 г.

2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Курс теоретической физики: Учебное пособие для вузов в 10-ти томах. Том 10. Физическая кинетика. -8-ое издание, стереотипное, М.: Физматлит, 2001 г.

3. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. 2-ое издание, дополненное, М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1966.

4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики: Учебник. – 5-ое издание, дополненное, М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1988.

5. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. – М.: Наука, 1984.

6. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

7. Г. Шустер. Детерминированный хаос: введение. Издательство “Мир”, 1988.

8. Жиркин А.В. Волновая теория переноса излучений в среде. Аналитический метод решения уравнения переноса излучений в трехмерной геометрии. Опубликовано в сайте: http :// www . atominfo . com

9. Жиркин А.В. Волновая теория переноса излучений в среде. Решение стационарного, однородного уравнения переноса излучений в трехмерной геометрии. Опубликовано в сайте: http :// www . atominfo . com .

40

41