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Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina Departamento Acadêmico de Eletrônica Retificadores C l C ã C l C ã meros Complexos, Conversão meros Complexos, Conversão de Formas e Operações Matemáticas de Formas e Operações Matemáticas Prof. Clóvis Antônio Petry. Florianópolis, agosto de 2008. Florianópolis, agosto de 2008.

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Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa CatarinaDepartamento Acadêmico de Eletrônica

Retificadores

Nú C l C ãNú C l C ãNúmeros Complexos, ConversãoNúmeros Complexos, Conversãode Formas e Operações Matemáticasde Formas e Operações Matemáticas

Prof. Clóvis Antônio Petry.

Florianópolis, agosto de 2008.Florianópolis, agosto de 2008.

Bibliografia para esta aulaBibliografia para esta aula

CapítuloCapítulo 1414:: OsOs DispositivosDispositivos BásicosBásicos ee osos FasoresFasores1 Números complexos;1. Números complexos;2. Operações com números complexos.

www.cefetsc.edu.br/~petry

Nesta aulaNesta aula

SeqüênciaSeqüência dede conteúdosconteúdos::1 Revisão;1. Revisão;2. Números complexos;3. Forma retangular;4. Forma polar;p ;5. Conversão de formas;6. Complexo conjugado;7. Inverso;8. Adição e subtração;9. Multiplicação e divisão.

Resposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CA

( ) ( )t V tPara uma dada tensão:

( ) ( )c mv t V sen tω= ⋅

( ) ( )( )Cd v ti C( ) ( )( )CCi t C

dt=

( )( )d V sen tω( ) ( )( )m

C

d V sen ti t C

dtω⋅

=

( ) ( )m mI C Vω= ⋅ ⋅( ) ( )( )C

C

d v ti t C

dt=

( ) ( )C mi t C V cos tω ω= ⋅ ⋅ ⋅

m m

( ) ( )90oC mi t I sen tω= ⋅ +

dtRelação v x i no capacitor

Resposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CA

Para um capacitor, iC está adiantada 90º em relação a vC. Em outras palavras,vC está atrasada 90º em relação a iC.vC está atrasada 90 em relação a iC.

Comportamento de R, L e C com a freqüênciaComportamento de R, L e C com a freqüência

1CX =X Lω=R C Cω ⋅LX Lω= ⋅R

Resistor Indutor Capacitor

Freqüência Elemento

0f Hz⇒1 1

2 0 0CXCπ

= = = ∞Ω⋅ ⋅

2 0 0LX π= ⋅ = ΩR

f Hz⇒∞ 2LX π= ⋅∞ = ∞ΩR 1 1 02CX

Cπ= = = Ω

⋅∞ ⋅ ∞2 Cπ ∞ ∞

Potência média em CAPotência média em CA

Considerando que em determinado elemento se tenha:

( ) ( )m vv t V sen tω θ= ⋅ + ( ) ( )m ii t I sen tω θ= ⋅ +A potência será:p

( ) ( ) ( ) ( ) ( )m v m ip t v t i t V sen t I sen tω θ ω θ= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ +

( ) ( ) ( )θ θ( ) ( ) ( )m m v ip t V I sen t sen tω θ ω θ= ⋅ ⋅ + ⋅ +

Após usar identidades trigonométricas e algumas manipulações:

( ) ( ) ( )22 2

m m m mv i v i

V I V Ip t cos cos tθ θ ω θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − − ⋅ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Valor fixo Valor que varia no tempo

Potência média em CAPotência média em CA

No resistor:

0ov iθ θ θ= − = Defasagem entre tensão e corrente

( )0 m mV IP V I cos V I= ⋅ ⋅ = ⋅ =( )02ef ef ef efP V I cos V I= ⋅ ⋅ = ⋅ =

efef

VI

R=

2ef ef

ef ef ef

V VP V I V

R R= ⋅ = ⋅ =

R R R

ef efV R I= ⋅ 2ef ef ef ef efP V I R I I R I= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ef ef ef ef ef ef ef

Potência média em CAPotência média em CA

No indutor:

( )0 90 90o ov iθ θ θ= − = − − =

Defasagem entre tensão e corrente

( )( )90 0o

ef efP V I cos W= ⋅ ⋅ =

A potência média ou potência dissipada por um indutor ideal(sem resistência associada) é zero.

Potência média em CAPotência média em CA

No capacitor:

( )0 90 90o ov iθ θ θ= − = − + = −

Defasagem entre tensão e corrente

( )( )90 0o

ef efP V I cos W= ⋅ ⋅ − =

A potência média ou potência dissipada por um capacitor ideal(sem resistência associada) é zero.

Números complexosNúmeros complexos

Um número complexo pode ser representado por um ponto numplano, referido a um sistema de eixos cartesianos.p ,

Forma retangularForma retangular

C X j Y= + ⋅

AppletsApplets

http://www.walter-fendt.de/ph11br/

Forma retangularForma retangular

Exemplo 14.13: Represente os seguintes números no plano complexo:

a) 3 4C j= +a) 3 4b) 0 6c) 10 20

C jC jC j

= += −= − −

Forma polarForma polar

C Z θ=

Forma polarForma polar

Efeito do sinal negativo:

180oC Z Zθ θ− = − = ±

Forma polarForma polar

Exemplo 14.14: Represente os seguintes números no plano complexo:

a) 5 30oCa) 5 30b) 7 120c) 4 2 60

o

o

CCC

=

= −

= −c) 4,2 60C

Conversão entre formasConversão entre formas

Retangular para polar

2 2Z X Y= +Y⎛ ⎞1 YtgX

θ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Polar para retangular

( )X Z cos θ= ⋅ ( )X Z cos θ= ⋅

( )Y Z sen θ= ⋅ ( )Y Z sen θ= ⋅http://phet.colorado.edu

Conversão entre formasConversão entre formas

Exemplo 14.15: Converta o número complexo a seguir para a forma polar:

3 4C j= +3 4C j= +

2 23 4 5Z = + =

1 4 53,133

otgθ − ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠3⎜ ⎟⎝ ⎠

5 53,13oC =

Conversão entre formasConversão entre formas

Exemplo 14.16: Converta o número complexo a seguir para a forma retangular:

10 45oC 10 45C =

( )10 45 7,07oX cos= ⋅ =

( )10 45 7 07oY sen= ⋅ =

7 07 7 07C j= +

( )10 45 7,07Y sen= ⋅ =

7,07 7,07C j= +

Operações com o jOperações com o j

Por definição:

1j = −Daí:

( )22 1 1j = − = −

2

1 11

j j j jj j j j

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1j j j j⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Complexo conjugadoComplexo conjugado

Complexo conjugado ou conjugado, na forma retangular:

2 3C j= +* 2 3C j= −2 3C j

Troca de sinal

Complexo conjugado ou conjugado, na forma polar:

2 30oC =* 2 30oC = −

Troca de sinal

Inverso ou recíprocoInverso ou recíproco

Considere o número complexo, na forma retangular:

C X jY= +

( ) 111 1C X jY −− ( )1C X jYC X jY= = = +

+

Considere o número complexo, na forma polar:

C Z θ=

( ) 111 1C ZC Z

θθ

−−= = = ( )C Z θ

Adição de números complexosAdição de números complexos

A adição de números complexos é realizada facilmente na forma retangular:

1 1 1C X jY= ± ± 2 2 2C X jY= ± ±

( ) ( )C C X jY X jY+ = ± ± + ± ±( ) ( )1 2 1 1 2 2C C X jY X jY+ = ± ± + ± ±

( ) ( )1 2 1 2 1 2C C X X J Y Y+ = + + +

Exemplo 14.19: Adicione os seguintes números complexos:

( ) ( )

http://phet.colorado.edu

1 2

1 2

a) 2 4 e 3 1b) 3 6 e 6 3

C j C jC j C j

= + = += + = − +

http://www.walter-fendt.de/ph11br/

Subtração de números complexosSubtração de números complexos

A subtração de números complexos é realizada facilmente na forma retangular:

1 1 1C X jY= ± ± 2 2 2C X jY= ± ±

( ) ( )C C X jY X jY= ± ± ± ±( ) ( )1 2 1 1 2 2C C X jY X jY− = ± ± − ± ±

( ) ( )1 2 1 2 1 2C C X X J Y Y− = − + −

Exemplo 14.20: Subtraia os seguintes números complexos:

( ) ( )

1 2

1 2

a) 4 6 e 1 4b) 3 3 e 2 5

C j C jC j C j

= + = += + = − +

Adição e subtração de números complexosAdição e subtração de números complexos

A adição e a subtração não podem ser realizadas na forma polar, a menosque os números complexos tenham o mesmo ângulo θ ou que sua diferençaque os números complexos tenham o mesmo ângulo θ ou que sua diferença

seja um múltiplo de 180º.

Exemplo 14.21: Adicione os seguintes números complexos:

a) 2 45 3 45 5 45o o o+ = b) 2 0 4180 6 0o o o− =

Multiplicação de números complexosMultiplicação de números complexos

A multiplicação de números complexos é realizada facilmente na forma polar:

1 1 1C Z θ= 2 2 2C Z θ=

( ) ( )C C Z Zθ θ= ( ) ( )1 2 1 1 2 2C C Z Zθ θ⋅ = ⋅

1 2 1 1 1 2C C Z Z θ θ⋅ = ⋅ +

Exemplo 14.23: Multiplique os seguintes números complexos:

1 2 1 1 1 2C C Z Z θ θ+

1 2

1 2

a) 5 20 e 10 30

b) 2 40 e 7 120

o o

o o

C C

C C

= =

= − =

Divisão de números complexosDivisão de números complexos

A divisão de números complexos é realizada facilmente na forma polar:

1 1 1C Z θ= 2 2 2C Z θ=

Z θ1 11

2 2 2

ZCC Z

θ

θ= 1 1

1 22 2

C ZC Z

θ θ= −

Exemplo 14.25: Divida os seguintes números complexos:

2 2

1 2

1 2

a) 1510 e 2 7

b) 8120 e 16 50

o o

o o

C C

C C

= =

= = −

Multiplicação e divisão de números complexosMultiplicação e divisão de números complexos

A multiplicação e a divisão podem ser realizadas com números complexos naforma retangular mas no caso da divisão esta operação se torna bastanteforma retangular, mas, no caso da divisão esta operação se torna bastante

trabalhosa.

Exemplo 14.22 e 14.24: Multiplique e divida os seguintes números complexos:

( ) ( )a) 2 3 5 10j j+ ⋅ +

( ) ( )b) 2 3 4 6j j− − ⋅ −

( ) ( )a) 1 4 / 4 5j j+ +

( ) ( )b) 4 8 / 6 1j j− − −( ) ( )b) 2 3 4 6j j ( ) ( )b) 4 8 / 6 1j j

1 1 1 2 2 2eC X jY C X jY= + = + ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 11 X X YY j X Y X YC + + −

( ) ( )1 1 1 2 2 2

*1 2 21 1 2

eC X jY C X jYX jY X jYC C C

= + = +

+ ⋅ −

( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 112 2

2 2 2C X Y=

+

( ) ( )( ) ( )

1 2 21 1 2*

2 2 2 2 2 2 2

j jC C CC C C X jY X jY

= ⋅ =+ ⋅ −

Na próxima aulaNa próxima aula

CapítuloCapítulo 1414:: OsOs DispositivosDispositivos BásicosBásicos ee osos FasoresFasores1 Fasores1. Fasores.

www.cefetsc.edu.br/~petry