nuevas ideas sobre...

Nuevas ideas sobre operadores de integracionpertenecientes a ideales de operadores clasicos

Enrique A. Sanchez Perez

Instituto Universitario de Matematica Pura y Aplicada(I.U.M.P.A.),

Universidad Politecnica de Valencia.

Torres 2010

Enrique A. Sanchez Perez Nuevas ideas sobre operadores de integracion

Sea m : Σ→ X una medida vectorial a valores en un espacio de Banach X.Pretendemos analizar las propiedades estructurales de los espacios de funcionesLp(m) relacionandolas con la pertenencia de un operador a un ideal de operadoresdeterminado.

En trabajos anteriores, hemos analizado las propiedades estructurales de los espaciosLp(m) relacionandolas con propiedades geometricas del operador integracion(p-convexidad y p-compacidad), enfoque que en algunos casos ha resultado bastantemas productivo que el puramente topologico que se hacıa en los trabajos anteriores.

Definition

Un retıculo de Banach E es p-convexo si hay una constante K tal que para todafamilia finita x1, ...,xn ∈ E ,

∑i=1|xi |p)1/p‖ ≤ K (

∑i=1‖xi‖p)1/p .

Un operador T : E → F , donde F es un retıculo de Banach, es p-concavo si hayuna constante K tal que para toda familia finita x1, ...,xn ∈ E ,

∑i=1‖T (xi )‖p)1/p ≤ K‖(

∑i=1|xi |p)1/p‖.

Theorem

Sea 1≤ p < ∞. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) Im : Lp(m)→ X es p-concavo.

(2) Existe una funcion 0 < h0 ∈ B(L1(m))′ tal que para todo v ∈ Lp(m)

‖∫

v dm‖ ≤ K(∫|f |p h0dµ

) 1p .

(3) Existe una funcion 0 < h0 ∈ B(L1(m))′ tal que Lp(h0dµ)⊆ L1(m).

Definition

Sea E un retıculo de Banach, X un espacio de Banach y X(µ) un espacio de Banachde funciones.

1 Un operador T : E → X es p-absolutamente sumante si existe una constante K talque para subconjunto de elementos x1, ...,xn de E ,( n

∑i=1‖T (xi )‖p

)p≤ K sup

x ′∈BX ′

∑i=1|〈xi ,x ′〉|p

Denotamos Πp(E ,X) al espacio de todos los opeadores p-sumantes de E en X .2 Un operador T : E → X se llama positivo p-sumante si hay una constante K tal

que para todo conjunto de elementos positivos x1, ...,xn de E ,( n

∑i=1‖T (xi )‖p

)p≤ K sup

x ′∈BX ′

∑i=1|〈xi ,x ′〉|p

Este espacio de operadores se denota Λp(E ,X).

Theorem

Sea 1≤ p < ∞. Si m es una medida vectorial, las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

(1) El operador integracion es positivo p-absolutamente sumante.

(2) Existe una medida finita µ0 equivalente a m tal que L1(m) = L1(µ0).

(3) Im is positivo 1-sumante.

Theorem

Sea 1≤ p < ∞ y E un retıculo de Banach orden continuo y con unidad debil. Lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) Existe una medida vectorial que representa E cuyo operador de integracion esp-absolutamente sumante.

(3) Para toda medida vectorial M que representa E, el operador Im is positivo1-sumante.

Theorem

Sea 1≤ p < ∞. Si m es una medida vectorial, las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

(1) El operador integracion es positivo p-absolutamente sumante.

(3) Im is positivo 1-sumante.

Theorem

Sea 1≤ p < ∞ y E un retıculo de Banach orden continuo y con unidad debil. Lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) Existe una medida vectorial que representa E cuyo operador de integracion esp-absolutamente sumante.

(3) Para toda medida vectorial M que representa E, el operador Im is positivo1-sumante.

Theorem

(3.48 p.153) Sea m : Σ→ X una medida vectorial donde X es un espacio de Banach.Entonces el operador integracion Im : L1(m)→ X es compacto si y solo si m tienevariacion finita y admite una derivada de Radon-Nikodym F = dm/d |m| ∈ B(|m|,X)con rango m-esencialmente relativamente compacto en X.En este caso, L1(m) = L1(|m|), y

Im(f ) = (B)−∫

Ωf F d |m|, f ∈ L1(m).

Theorem

(3.56, p.159) Las siguientes afirmaciones sobre una medida vectorial m sonequivalentes:

(1) El rango de m es relativamente compacto.

(2) Im : Lp(m)→ X es compacto para algun/todo 1 < p < ∞.

Theorem

(3.48 p.153) Sea m : Σ→ X una medida vectorial donde X es un espacio de Banach.Entonces el operador integracion Im : L1(m)→ X es compacto si y solo si m tienevariacion finita y admite una derivada de Radon-Nikodym F = dm/d |m| ∈ B(|m|,X)con rango m-esencialmente relativamente compacto en X.En este caso, L1(m) = L1(|m|), y

Im(f ) = (B)−∫

Ωf F d |m|, f ∈ L1(m).

Theorem

(3.56, p.159) Las siguientes afirmaciones sobre una medida vectorial m sonequivalentes:

(1) El rango de m es relativamente compacto.

(2) Im : Lp(m)→ X es compacto para algun/todo 1 < p < ∞.

Objetivos:

1) Estudiar ideales de operadores que verifiquen que si Im pertenece al ideal,entonces la identidad en el L1(m) (o en el Lp(m)) tambien pertenece a ese ideal.Eso descarta ideales clasicos que no incluyen la identidad, como los compactos,o los p-sumantes.

2) Podemos analizar cuestiones relacionadas con el cotipo y el tipo de los espaciosL1(m) mediante las caracterizaciones conocidas relacionadas con los operadoresMp,q ((p,q)-mixing operators), o los p-factorizables.

3) Estudiar cuando el operador de integracion es (2,1)-sumante y relacionarlo con lapropiedad de Orlicz para espacios L1(m).

4) Desigualdades para el operador integracion que caracterizan la existencia desubespacios de Orlicz o de Lorentz de L1(m): teorıa de estructura de los espaciosL1(m) y sumabilidad del operador integracion.

Objetivos:

[1] Calabuig, J.M; Rodrıguez; J. and Sanchez Perez, E. A. On the structure of L1 of avector measure via its integration operator. Integr. Equ. Oper. 2 Theory 64, 21-33(2009).

[2] Defant, A. and Floret, K. Tensor norms and operador ideals. North Holland,Amsterdam, 1993.

[3] Diestel, J.; Jarchow, H.; Tonge, A. Absolutely Summing Operators, CambridgeStudies in Advanced Mathematics 43, Cambridge, 1995.

[4] Fernandez, A.; Mayoral, F.; Naranjo, F.; Saez, C.; Sanchez-Perez, E.A. Spaces ofintegrable functions with respect to a vector measure and fac- torizations through Lpand Hilbert spaces, J. Math. Anal. Appl. 330 1249-1263 (2007).

[5] Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L. Classical Banach Spaces II, Springer, Berlin, 1979.

[6] Okada, S.; Ricker, W.J.; Sanchez Perez, E.A. Optimal domain and inte- gralextension of operators acting in function spaces. Operator Theory: Advances andApplications, 180. Birkhauser Verlag, Basel, 2008.

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