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01.10.08 Lógica borrosa 1
Nuevas tendencias de la Matemática: Lógica borrosa e
inteligencia artificial
Nuevas tendencias Nuevas tendencias de la Matemde la Matemáática: tica: LLóógica borrosa e gica borrosa e
inteligencia inteligencia artificialartificial
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01.10.08 Lógica borrosa 2
IntroducciónIntroducciónConjuntos difusosConjuntos difusosLógicas borrosasLógicas borrosasAplicacionesAplicacionesMedidasMedidasMedida de especificidadMedida de especificidad
EsquemaEsquema
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DeterminismoDeterminismoSimplicidad organizadaSimplicidad organizada
ProbabilidadProbabilidadComplejidadComplejidad desorganizadadesorganizada
Caos deterministaCaos deterministaConjuntos difusosConjuntos difusos
IntroducciónIntroducción
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IntroducciónIntroducción Los conjuntos difusos estudian la:Los conjuntos difusos estudian la:
imprecisiónimprecisión
incertidumbreincertidumbre
no especificidadno especificidad
vaguedadvaguedad
inconsistenciainconsistencia
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Inteligencia ArtificialInteligencia Artificial
Marvin Minsky: “I.A. es el arte de construir máquinas capaces de hacer cosas que requerirían inteligencia en caso de que fuesen hechas por seres humanos”Ingeniería del conocimientoSistemas expertos
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Aplicaciones de la Aplicaciones de la Inteligencia ArtificialInteligencia Artificial
Variables lingüísticas Variables lingüísticas Lenguaje naturalLenguaje naturalSistemas expertosSistemas expertosControl difusoControl difusoAutómatas difusosAutómatas difusosBases de datos difusasBases de datos difusas
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Conjuntos difusos y lógicas borrosas
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Conjuntos difusos: Conjuntos difusos: EjemplosEjemplos
soleadosoleadoaltoaltocarocarocontagiosocontagiosonúmero mucho más grande que unonúmero mucho más grande que uno
los jóvenes de esta ciudadlos jóvenes de esta ciudad
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Subconjuntos difusosSubconjuntos difusos
LotfiLotfi A. A. ZadehZadehen 1965en 1965
Fuzzy SetsFuzzy SetsµµAA: X : X →→ [0, 1][0, 1]A: X A: X →→ [0, 1].[0, 1].
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Ejemplo
Si el enfermo está algoSi el enfermo está algo
amarillo y se encuentra amarillo y se encuentra bastante cansado entonces bastante cansado entonces
puede tener hepatitispuede tener hepatitis
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Conjuntos clásicos o de Cantor
AA⊆⊆XXffAA: X : X →→ {{0, 10, 1}}AA∈∈FF(X, {0, 1})(X, {0, 1})
Gráfica G(Gráfica G(ffAA)={(x,)={(x,ffAA(x)); x(x)); x∈∈X}X}Diagrama de Diagrama de VennVenn
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Subconjuntos difusosSubconjuntos difusos
El referencial X es siempre El referencial X es siempre un conjunto clásicoun conjunto clásico
AA⊆⊆XXAA∈∈FF(X, [0, 1])(X, [0, 1])G(A)G(A)DiagramaDiagrama
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Definición: Definición: Subconjunto normalSubconjunto normal
Un subconjunto difuso A Un subconjunto difuso A se dice que es se dice que es normalnormal si si existe algún elemento del existe algún elemento del conjunto referencial xconjunto referencial xii ∈∈ X X tal que A(xtal que A(xii) = 1.) = 1.
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Definición:Definición:Subconjunto de nivelSubconjunto de nivel
Dado un conjunto borroso Dado un conjunto borroso A sobre X se definen sus A sobre X se definen sus subconjuntos de nivel subconjuntos de nivel αα (y (y se denominan Ase denominan Aαα) a:) a:
AAαα = {x: A(x)= {x: A(x)≥α≥α}}..
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OPERACIONESIgualdad: A=B ⇔ A(x)=B(x), ∀x Inclusión: A⊆B ⇔ A(x)≤B(x), ∀xUnión: (A∪B)(x)=máx {A(x), B(x)}Intersección: (A∩B)(x)=mín{A(x), B(x)}Complementario: (c(A))(x) = 1 - A(x)
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PropiedadesPropiedades((FF(X, [0,1(X, [0,1]]), ), mmááxx, , mmíínn,,´́) es ) es un retículo distributivo y un retículo distributivo y complementario. complementario. No es un álgebra de No es un álgebra de BooleBoolepues no verifica:pues no verifica:
la ley de contradicciónla ley de contradicciónla ley del tercio exclusola ley del tercio excluso
Es un retículo de Es un retículo de MorganMorgan..
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Otras operacionesOtras operaciones
Probabilística: AProbabilística: A∩∩B = AB = A⋅⋅BB AA∪∪B = A+BB = A+B--AA⋅⋅BB
Lukasiewicz:Lukasiewicz:AA∩∩B = B = máxmáx{0, A+B{0, A+B--1}1}AA∪∪B =B = mínmín{1, A+B}{1, A+B}
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t-normas
B.B. SchweizerSchweizer, A. , A. SklarSklar::Probabilistic Metric SpacesProbabilistic Metric SpacesNorthNorth--HollandHolland. 1983. 1983
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Norma triangular(o t-norma)
Definición: T: [0, 1] x [0, 1] → [0, 1]T1)T1) T{x, 0}=0,{x, 0}=0, T{x, 1}=x{x, 1}=x, para todo x, para todo x∈∈[0,1][0,1]
T2)T2) T{x, y} ={x, y} = T{y, x}{y, x} para todo x, ypara todo x, y∈∈[0,1] [0,1] T3) Si xT3) Si x≥≥x', yx', y≥≥y' entoncesy' entonces T{x, y} {x, y} ≥≥ T{x', y'}{x', y'}T4)T4) T{x,{x, T{y, z}}={y, z}}=T{{T{x, y}, z}{x, y}, z} ∀∀ x, y, z x, y, z ∈∈ [0,1][0,1]
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tt--norma positivanorma positivax>0, y>0 x>0, y>0 ⇒⇒ T(x, y)>0T(x, y)>0
tt--normanorma arquimedianaarquimedianaCContinuaontinua y T(x, x)<x y T(x, x)<x ∀∀xx∈∈(0, 1) (0, 1)
tt--norma estrictanorma estrictaEstrictamente creciente Estrictamente creciente en (0, 1)x(0, 1)en (0, 1)x(0, 1)
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ConormaConorma triangular triangular (o t(o t--conormaconorma))
Definición:Definición:S1) S1) SS{0, x} = x{0, x} = x, , SS{x, 1}=1{x, 1}=1, , ∀∀xx∈∈[0,1][0,1]
y S2, S3 y S4 como T2, T3 y T4 y S2, S3 y S4 como T2, T3 y T4 respectivamenterespectivamente..
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Negación fuerteNegación fuerte
NN : [0, 1] : [0, 1] →→ [0, 1][0, 1]
continuacontinua
estrictamente decrecienteestrictamente decreciente
NN(0)=1, (0)=1, NN(1)=0(1)=0
NN((NN(x))=x(x))=x
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ConormaConorma dualdual
S(x,y)=N(T(N(x), N(y)))S(x,y)=N(T(N(x), N(y)))
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Conectivos lógicosConectivos lógicos
Una familia de conectivos lógicos Una familia de conectivos lógicos borrosos o ternas de borrosos o ternas de MorganMorgan::
(T, S, N) (T, S, N) está formada por una testá formada por una t--norma T, norma T,
una tuna t--conormaconorma S y una negación S y una negación N que se utilizan para generalizar N que se utilizan para generalizar las operaciones de intersección, las operaciones de intersección, unión y complementario.unión y complementario.
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01.10.08 Lógica borrosa 25
tt--normasnormasMínimoMínimo: Es la mayor de las : Es la mayor de las tt--normasnormas
ProductoProducto: : ProdProd(x, y)=x.y(x, y)=x.y
LukasiewiczLukasiewicz::
W(x, y) = W(x, y) = máxmáx{0, x+y{0, x+y--1}1}
Sumas ordinalesSumas ordinales
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PropProp. distributiva . distributiva ⇒⇒ ley de ley de absorción absorción ⇒⇒ idempotenciaidempotenciaLuego la única tLuego la única t--norma continua norma continua distributiva es el mínimodistributiva es el mínimo
Sin embargo la terna de Sin embargo la terna de Lukasiewicz (W, W*, N) sí Lukasiewicz (W, W*, N) sí verifica el principio de verifica el principio de contradicción y el tercio contradicción y el tercio exclusoexcluso
tt--normasnormas
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01.10.08 Lógica borrosa 27
FamiliaFamilia de tde t--normas {normas {TTϕϕ }: }:
TTϕϕ(x, y)= (x, y)= ϕϕ--11(T((T(ϕϕ(x), (x), ϕϕ(y)))(y))) donde donde ϕϕ es una funciónes una función estrictamente estrictamente
creciente y continua en [0, 1] tal creciente y continua en [0, 1] tal que que ϕϕ(0)=0 y (0)=0 y ϕϕ(1)=1(1)=1..
tt--normasnormas
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01.10.08 Lógica borrosa 28
Las únicas tLas únicas t--normas normas continuascontinuas son:son:
el el mínimomínimo oo
de la de la familia del familia del productoproducto oo
de la de la familia de familia de LukasiewiczLukasiewicz o o de la de la familia de las sumas ordinalesfamilia de las sumas ordinales..
tt--normasnormas
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01.10.08 Lógica borrosa 29
RELACIONESRELACIONESAl conjunto (X, R) formado por un conjunto difuso X y una relación borrosa R se le llama estructura relacional borrosa.Ejemplo
1 0.3 0.70.3 1 0.40.7 0.4 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
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01.10.08 Lógica borrosa 30
RELACIONESRELACIONESTT--preordenpreorden: :
reflexiva y Treflexiva y T--transitiva transitiva
TT--indistinguibilidadindistinguibilidad: : reflexiva, simétrica y Treflexiva, simétrica y T--transitivatransitiva
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01.10.08 Lógica borrosa 31
RELACIONESRELACIONESR es R es reflexivareflexiva si R(a, a)=1 si R(a, a)=1 ∀∀ aa∈∈X. X. R R simétricasimétrica si R(a,b)=R(b,a) si R(a,b)=R(b,a) ∀∀a, ba, b∈∈XXR es R es αα--reflexivareflexiva si R(a, a) es siempre si R(a, a) es siempre mayor o igual a un cierto valor mayor o igual a un cierto valor αα..R es R es TT--transitivatransitiva si:si: T(R(a,b),R(b,c))T(R(a,b),R(b,c))≤≤R(a,c)R(a,c)
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01.10.08 Lógica borrosa 32
Composición de relaciones
E = {invierno, primavera, verano, otoño} = {i, p, v, o}E = {invierno, primavera, verano, otoño} = {i, p, v, o}T = {calor, templado, frío} = {c, t, f}T = {calor, templado, frío} = {c, t, f}V = {abrigo, blusa, chaqueta} = {a, b, ch}V = {abrigo, blusa, chaqueta} = {a, b, ch}
R: ER: E→→TTS: T S: T →→ VVSoRSoR: E : E →→ VV
SoRSoR(a,b)=(a,b)=máxmáx{{mínmín{R(a, x), S(x, b)}}{R(a, x), S(x, b)}}
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01.10.08 Lógica borrosa 33
Consecuencias deConsecuencias de AlfredAlfredTarskiTarski
C: C: FF(E) (E) →→ FF(E)(E)
VV⊆⊆C(V)C(V)
V1V1⊆⊆V2V2⇒⇒C(V1)C(V1)⊆⊆C(V2)C(V2)
C(C(V))=C(V)C(C(V))=C(V)
LógicaLógica: Conjunto de proposiciones y : Conjunto de proposiciones y un operador de consecuenciasun operador de consecuencias
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01.10.08 Lógica borrosa 34
Consecuencias deConsecuencias de Alfred Alfred TarskiTarski
Si una relación borrosa es reflexiva y Si una relación borrosa es reflexiva y TT--transitiva entonces verifica los transitiva entonces verifica los axiomas de consecuencias de Tarskiaxiomas de consecuencias de TarskiLuego los TLuego los T--preórdenes nos generan preórdenes nos generan operadores de consecuenciasoperadores de consecuencias
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01.10.08 Lógica borrosa 35
Propiedad transitiva
R transitiva ≡≡ Si R(a, b) y R(b, c) entonces R(a, c) ≡≡ R(a, b) ∧ R(b, c) ≤ R(a, c) ≡≡ R(a, c) ≥ máx{min{R(a, x), R(x, c)}}
GeneralizandoR(a, c) ≥ S{ T{R(a, x), R(x, c)} }
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01.10.08 Lógica borrosa 36
Medida borrosaMedida borrosa
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01.10.08 Lógica borrosa 37
Definición de medidaDefinición de medida de de LebesgueLebesgue (1902):(1902):
Sea (X, F, M) donde X es un conjunto,
F es un sigma álgebra de X y
M es una aplicación M: F → [0, ∞):
M(∅)=0
An∈F es una sucesión de conjuntos disjuntos de F entonces
M(UAn)= ΣM(An)
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01.10.08 Lógica borrosa 38
Definición de medida borrosa Definición de medida borrosa de de SugenoSugeno (1974):(1974):
Una medida borrosamedida borrosa M es una función M: F → [0, 1] que verifica las siguientes propiedades:
M(∅) = 0M(X) = 1Condición de continuidad monótona
M(UAn)=lim M(An)
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01.10.08 Lógica borrosa 39
Medida borrosa
NguyenNguyen, H. T. & , H. T. & WalkerWalker, , E. A.: A E. A.: A first course first course in in Fuzzy LogicFuzzy Logic. CRC . CRC PressPress. . 1996.1996.
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01.10.08 Lógica borrosa 40
Definición 2ª de medida Definición 2ª de medida borrosa (borrosa (KlirKlir, , NguyenNguyen, ,
WalkerWalker):):Una medida borrosamedida borrosa M es una
función M: F → [0, 1] que verifica las siguientes propiedades:
M(∅) = 0M(X) = 1Si A⊂B entonces M(A) ≤ M(B)
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01.10.08 Lógica borrosa 41
EjemplosEjemplos
Las medidas sigma aditivasLas medidas sigma aditivasLas medidas de Las medidas de SugenoSugenoMedidas de creencia, Medidas de creencia, necesidad y plausibilidadnecesidad y plausibilidadLongLong(A)/b(A)/b--aaCardCard(A)/(A)/CardCard(X)(X)
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01.10.08 Lógica borrosa 42
Medida borrosa
Trillas, E; Trillas, E; AlsinaAlsina, C.: “A , C.: “A reflectionreflection onon whatwhat isis a a membershipmembership functionfunction”. ”.
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01.10.08 Lógica borrosa 43
Definición 3ª de medida Definición 3ª de medida borrosa (Trillas):borrosa (Trillas):
(X, p) donde p es un preordenm: X → [0, 1] es una p-medida en X si
verifica que:Si x0∈X es minimal para p entonces
m(x0) = 0.Si x1∈X es maximal para p entonces
m(x1) = 1.Si xpy entonces m(x) ≤ m(y)
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01.10.08 Lógica borrosa 44
EjemplosEjemplos
Las medidas sigma aditivasLas medidas de SugenoEntropía (DeLuca, Términi)Ser aproximadamente una potencia de 2
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01.10.08 Lógica borrosa 45
Medida de especificidad
Medida de Medida de especificidadespecificidad
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01.10.08 Lógica borrosa 46
Medida de especificidadMedida de especificidad
Medida de la cantidad de Medida de la cantidad de información contenida en un información contenida en un conjunto difusoconjunto difusoEvalúa el grado en que un Evalúa el grado en que un subconjunto borroso tiende a subconjunto borroso tiende a tener un elemento y sólo unotener un elemento y sólo uno
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01.10.08 Lógica borrosa 47
En una variable lingüística: la cantidad de información que contiene una proposiciónEstá relacionada con el inverso de la cardinalidad de un conjunto
Medida de especificidadMedida de especificidad
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01.10.08 Lógica borrosa 48
Antecedentes: medidas Antecedentes: medidas de especificidadde especificidad
Introducidas por Introducidas por Ronald YagerRonald YagerDuboisDubois y y PradePrade han investigahan investiga--do sobre sus aplicaciones: do sobre sus aplicaciones: i) Especificidad mínima. i) Especificidad mínima. ii) Importancia en razonamiento ii) Importancia en razonamiento aproximado.aproximado.
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01.10.08 Lógica borrosa 49
Antecedentes: medidas Antecedentes: medidas de especificidadde especificidad
HigashiHigashi yy KlirKlir discuten un discuten un concepto similar que denominan concepto similar que denominan nono--especificidadespecificidadRelacionado con el concepto deRelacionado con el concepto degranularidadgranularidad introducido porintroducido porZadehZadeh
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AplicacionesAplicaciones
Yager: Una medida de tranquilidad a la hora de tomar una decisiónKacprzyk: Aprendizaje induc-tivoSistemas de razonamiento deductivo
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01.10.08 Lógica borrosa 51
AplicacionesAplicaciones
Determina la Determina la utilidadutilidad de la de la informacióninformación que proporciona que proporciona un sistema expertoun sistema experto
principio de intercambio entre especificidad y certeza
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01.10.08 Lógica borrosa 52
Definición de medida Definición de medida de especificidadde especificidad
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01.10.08 Lógica borrosa 53
1.1.-- SpSp(A)=1 si y sólo si A es un (A)=1 si y sólo si A es un conjunto clásico con un único conjunto clásico con un único elementoelemento
2.2.-- SpSp((∅∅)=0)=03.3.-- Aumenta, si aumenta el Aumenta, si aumenta el
mayor valor de pertenencia, y mayor valor de pertenencia, y disminuye si los otros valores disminuye si los otros valores de pertenencia aumentande pertenencia aumentan
Medida de especificidad
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01.10.08 Lógica borrosa 54
Si A y B son dos subconjuntos Si A y B son dos subconjuntos difusos normales tales que difusos normales tales que AA⊂⊂B entoncesB entonces SpSp(A) (A) ≥≥ SpSp(B).(B).
PropiedadPropiedad
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01.10.08 Lógica borrosa 55
Definición:Definición:
Dadas dos medidas de especificidad Sp y Sp* se dice que Sp es más estricta queSp* si sus pesos asociados wj y wj* verifican que wj≥wj* para todo j.
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01.10.08 Lógica borrosa 56
Definición: medida de Definición: medida de especificidad en universos especificidad en universos
finitosfinitos
A un subconjunto difuso de un A un subconjunto difuso de un conjunto finito Xconjunto finito Xaj = j-ésimo valor de pertenencia de A
SpSp: : [0, 1]X →[0, 1] tal que
SpSp(A)(A) ==
TT11((aa11, N(, N(SSjj=2,..d=2,..d{T{T33((aajj, , wwjj)}))})
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Ejemplos
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Ejemplo 1Ejemplo 1Medida de especificidad lineal
Sp(A) = a1 − wj aj
Donde los pesos verifican:i) wj ∈ [0, 1], ii) wj = 1
iii) wj ≥ wi para todo j<i mayores o iguales a dos. (T1=W; S=W*; T3=Prod)
∑=
d
j 2
∑=
d
2j
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01.10.08 Lógica borrosa 59
Medidas de Medidas de especificidad linealesespecificidad lineales
Son medidas de especificidad.
Son regularesLa más estricta es Sp(A)=a1 – a2
La menos estricta es
Sp(A)= a1 − aj.∑=−
d
jd 211
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01.10.08 Lógica borrosa 60
Ejemplo 2:Ejemplo 2:
Sp(A) = a1 (kaj + (1−aj))
donde k ∈ [0, 1)
∏=
d
j 2
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01.10.08 Lógica borrosa 61
Ejemplo 3:Ejemplo 3:
Sp(A) = a1 (1−wjaj)) donde
wj ∈ (0, 1]
(T1=T3=Prod. S=Prod*)
∏=
d
j 2
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01.10.08 Lógica borrosa 62
Especificidad Especificidad en conjuntos en conjuntos referenciales referenciales
infinitosinfinitos
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01.10.08 Lógica borrosa 63
Sp(A) = N (M(Aα)) dα
αmáx
0
Definición:Definición:
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01.10.08 Lógica borrosa 64
PropiedadesPropiedades
Sp(∅)=0
Si A es un conjunto clásico con un único elemento entonces Sp(A)=1
Si el máximo valor de pertenencia aumenta quedando el resto de valores de pertenencia invariantes, entonces Spaumenta.
Si A y B son dos conjuntos normales y A⊂B entonces Sp(A) ≥ Sp(B)
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01.10.08 Lógica borrosa 65
Ejemplo 4:Ejemplo 4:
Sp(A) = αmáx − Long(Aα)·dα
Es una medida de especificidad
αmáx
0
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01.10.08 Lógica borrosa 66
Especificidad bajo Especificidad bajo una una
TT--indistinguibilidadindistinguibilidad
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01.10.08 Lógica borrosa 67
AxiomasAxiomas
1) Sp({x} / S) = 12) Sp(∅ / S) = 03) Sp(µ / Id) = Sp(µ)4) Sp(µ / S) ≥ Sp(µ)
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01.10.08 Lógica borrosa 68
AlgoritmoAlgoritmo
Si Máxj(T(µ(xj), S(xj, xk))) ≥ µ(xk) para algún j ≠ k, entonces xk ∉ X’.
Ejemplo:X = {x1, …, x5}, T = Prod, S
µ=1/x1 + 0.7/x2 + 0.5/x3 + 0.2/x4 + 0/x5,X’ = {x1, x2, x3}.
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01.10.08 Lógica borrosa 69
Verifica los axiomasVerifica los axiomas
Sp({x} / S) = T(1, S(x1, x1)) = 1Sp(∅ / S) = T(0, S(xi, xi)) = 0Sp(µ / Id) = T(µ(xi), 1) = µ(xi)Sp(µ / S) ≥ Sp(µ).
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EjemplosEjemplos
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