num. math.— 10 newton el állítása osztott differenciákkal ...vajda/ws2009_10/nummat/num... ·...

Num. Math.—10

Newton el:állítása osztott differenciákkal (rekurzív)

A Lagrange alaknál új adat hozzávételére nincs lehetôség � Newton féle elôállítás osztott differenciák segítségével

Clear@OD, x0, y0, x1, y1D

NewtInterp@x_List, y_List, var_D := âj=1

Length@xD

OD@Take@x, jD, Take@y, jDD äi=1

j-1

Hvar - xPiTL

NewtInterp@8x0, x1, x2<, 8y0, y1, y2<, xD

OD@8x0<, 8y0<D + Hx - x0L OD@8x0, x1<, 8y0, y1<D + Hx - x0L Hx - x1L OD@8x0, x1, x2<, 8y0, y1, y2<D

OD@8x_<, 8y_<D := y;OD@x_List, y_ListD :=

HOD@Drop@x, 1D, Drop@y, 1DD - OD@Drop@x, -1D, Drop@y, -1DDL � HLast@xD - First@xDL

OD@8x0, x1<, 8y0, y1<D

-y0 + y1

-x0 + x1

NewtInterp@8x0, x1, x2<, 8y0, y1, y2<, xD

y0 +Hx - x0L H-y0 + y1L

-x0 + x1+

Hx - x0L Hx - x1L J--y0+y1

-x0+x1+

-y1+y2

-x1+x2N

-x0 + x2

Konkrét Lagrange polinom el:állításhoz:

NewtInterp@81, 2, 3, 4, 5<, 80, 6, 24, 60, 120<, xD

6 H-1 + xL + 6 H-2 + xL H-1 + xL + H-3 + xL H-2 + xL H-1 + xL

Expand@%D

-x + x3

Megjegyzés. Séma az f[x0], f[x0;x1], f[x0;x1;x2], f[x0;x1;x2;x3],f[x0;x1;x2;x3;x4] osztott differencia sorozatkiszámításához.

L4@xD = HHHH0L + 6 H-1 + xLL + 6 H-2 + xL H-1 + xLL + 1 H-3 + xL H-2 + xL H-1 + xLL +

0 H-1 + xL H-2 + xL H-3 + xL H-4 + xL H-5 + xL

xi yi 1 . 2. 3. 4.

1 0 6 2 6 6 18 13 24 9 0 36 14 60 12 605 120

Megjegyzés. Séma az f[x0], f[x0;x1], f[x0;x1;x2], f[x0;x1;x2;x3],f[x0;x1;x2;x3;x4] osztott differencia sorozatkiszámításához.

L4@xD = HHHH0L + 6 H-1 + xLL + 6 H-2 + xL H-1 + xLL + 1 H-3 + xL H-2 + xL H-1 + xLL +

0 H-1 + xL H-2 + xL H-3 + xL H-4 + xL H-5 + xL

xi yi 1 . 2. 3. 4.

1 0 6 2 6 6 18 13 24 9 0 36 14 60 12 605 120

Lagrange Interpoláció:Ekvidisztáns alapppontrendszer, progresszív differenciák

Clear@x0, y0, y1D

OD@8x0, x0 + h<, 8f0, f1<D

-f0 + f1

h

OD@8x0, x0 + h, x0 + 2 h<, 8f0, f1, f2<D �� Simplify

f0 - 2 f1 + f2

2 h2

OD@8x0, x0 + h, x0 + 2 h, x0 + 3 h<, 8f0, f1, f2, f3<D �� Simplify

-f0 + 3 f1 - 3 f2 + f3

6 h3

Progresszív differenciák

Clear@PDD;

PD@8y0_<D := y0;PD@y_ListD := PD@Drop@y, 1D - Drop@y, -1DD

F0 = 8f0, f1, f2, f3<;

Table@PD@Take@F0, jDD, 8j, Length@F0D<D

8f0, -f0 + f1, f0 - 2 f1 + f2, -f0 + 3 f1 - 3 f2 + f3<

Sin[Π / 9] közelítése interpolációval. Lépésköx: Π/12. x0=0

F0 = N@Sin@80, Pi � 12, Pi � 6, Pi � 4, Pi � 3<D, 4D;

2 nummethods0910x.pdf.nb

F0

80, 0.2588, 0.5000, 0.7071, 0.8660<

N@Sqrt@3D � 2D

0.866025

Solve@1 � 2 � 2 x Sqrt@1 - x^2D, xD

::x ®2 - 3

2>, :x ®

1

2+

3

4>>

N@x �. %D

80.258819, 0.965926<

Table@PD@Take@F0, jDD, 8j, 1, Length@F0D<D

80, 0.2588, -0.018, -0.016, 0.002<

Interpolációs formula progresszív differenciákkal és ált. binomiális együtthatókkal

Newt2Interp@x0_, t_, DL_ListD := âj=0

Length@DLD-1

Binomial@t, jD DLPj + 1T

Newt2Interp@0, 4 � 3, Table@PD@Take@F0, jDD, 8j, 1, Length@F0D<DD

0.3420

Sin@Pi � 9D �� N

0.34202

Binomiális együttható általánosítása

Binomial@4 � 3, 3D

-4

81

H4 � 3L H1 � 3L H-2 � 3L � 6

A formula az eredeti általános interpolációs formulának valóban speciális esete

Clear@x0D

NewtInterp@8x0, x0 + h, x0 + 2 h, x0 + 3 h, x0 + 4 h<, 8f0, f1, f2, f3, f4<, xD �. 8x ® x0 + t h< �.8t ® 4 � 3< �� Simplify

1

243H-10 f0 + 160 f1 + 120 f2 - 32 f3 + 5 f4L

nummethods0910x.pdf.nb 3

âj=0

4

Binomial@4 � 3, jD PD@Take@8f0, f1, f2, f3, f4<, j + 1DD �� Simplify

1

243H-10 f0 + 160 f1 + 120 f2 - 32 f3 + 5 f4L

Hermite Interpoláció

� Speciális eset: n darab alappont, n db függvényérték, n db derivált (minden alappontban ismert f H0LHxi L, f H1LHxi L)

x = 8x0, …, xn-1<y = 8y0, …, yn-1<

yd = 9yd0, …, ydn-1=

Az interpolációs probléma megoldása egy legfeljebb (2n-1)-edfokú polinom. Pl. n=3, deg P£5

Az elôállítás alapgondolata: Kétféle bázispolinom: h jill. hn+ j alakjuk: Ia j x + b jM l j@xD 2 ill. Ix - x jM l j@xD 2

Mindkettô támaszkodik a Lagrange-fé le l j bázispolinomokra. A feltételek h j@xkD = ∆ j k, h j ' @xkD = 0, hn+ j@xkD = 0, hn+ j ' @xkD = ∆ j k

6 feltétel automatikusan teljesül, 2 pedig meghatározza a lineáris faktor együtthatóit I1 - 2 Ix - x jM l j ' @xDM

� Hermite alappolinomok (a Lagrange alappolinomok felhasználásával)

In[1]:= LagrBase@j_, x_List, var_D := äk=1

j var - xPkT

xPj + 1T - xPkTä

k=j+2

Length@xD var - xPkT

xPj + 1T - xPkT

In[2]:= Clear@HermBaseD

In[3]:=HermBase@j_, x_List, var_D �; j < Length@xD :=

H1 - 2 Hvar - xPj + 1TL HHD@LagrBase@j, x, varD, varDL �. var ® xPj + 1TLL LagrBase@j, x, varD^2;

HermBase@j_, x_List, var_D := Hvar - xPj - Length@xD + 1TL LagrBase@j - Length@xD, x, varD^2;

In[5]:=HermInterp@x_List, y_List, yd_List, var_D :=

âj=0

Length@xD-1

yPj + 1T HermBase@j, x, varD + âj=0

Length@xD-1

ydPj + 1T HermBase@Length@xD + j, x, varD


� Feladat

x={x0,x1,x2}={1,2,3}y={y0,y1,y2}={2,32,242}yd={yd0,yd1,yd2}={4,79,404}

Adjuk meg a Hermite alappolinomokat és a Hermite interpolációs polinomot!Ellenõrizzük a nevezetes tulajdonságokat!

� Javaslat

In[6]:= x0 = 81, 2, 3<;y0 = 82, 32, 242<;yd = 84, 79, 404<;

In[9]:= LagrBase@0, x0, xD

Out[9]=1

2H2 - xL H3 - xL

In[10]:= HermBase@0, x0, xD

Out[10]=1

4H1 + 3 H-1 + xLL H2 - xL2 H3 - xL2

In[11]:= q = Ha x + bL LagrBase@0, x0, xD^2

Out[11]=1

4H2 - xL2 H3 - xL2 Hb + a xL

In[12]:= q �. x -> x0@@1DD

Out[12]= a + b

In[13]:= D@q, xD �. x -> x0@@1DD

Out[13]= -b - 2 Ha + bL

In[15]:= q

Out[15]=1

4H2 - xL2 H3 - xL2 Hb + a xL

In[16]:= Solve@8Hq �. x -> x0@@1DDL � 1, HD@q, xD �. x -> x0@@1DDL � 0<, 8a, b<D

Out[16]= 88a ® 3, b ® -2<<

In[17]:= q �. Solve@8Hq �. x -> x0@@1DDL � 1, HD@q, xD �. x -> x0@@1DDL � 0<, 8a, b<D@@1DD �� Expand

Out[17]= -18 + 57 x -127 x2

2+131 x3

4- 8 x4 +

3 x5

4

In[18]:= HermBase@0, x0, xD �� Expand

Out[18]= -18 + 57 x -127 x2

2+131 x3

4- 8 x4 +

3 x5

4


In[19]:=H = Table@HermBase@j, x0, xD, 8j, 0, 2 Length@x0D - 1<D

Out[19]= :1

4H1 + 3 H-1 + xLL H2 - xL2 H3 - xL2, H3 - xL2 H-1 + xL2,

1

4H1 - 3 H-3 + xLL H-2 + xL2 H-1 + xL2,

1

4H2 - xL2 H3 - xL2 H-1 + xL, H3 - xL2 H-2 + xL H-1 + xL2,

1

4H-3 + xL H-2 + xL2 H-1 + xL2>

Length@%D

6

A nulladik és a harmadik bázispolinomra kirótt feltételek vizsgálata

h0@x_D = Expand@HermBase@0, x0, xDD;


hd0@x_D = D@HermBase@0, x0, xD, xD;


88h0@1D, h0@2D, h0@3D<, 8hd0@1D, hd0@2D, hd0@3D<<

881, 0, 0<, 80, 0, 0<<


880, 0, 0<, 81, 0, 0<<

Az elsô és a negyedik bázispolinomra kirótt feltételek vizsgálata






880, 0, 0<, 81, 0, 0<<


880, 1, 0<, 80, 0, 0<<


880, 0, 0<, 80, 1, 0<<

Hermite Interpolációs Polinom

HermInterp@x0, y0, yd, xD

1

2H1 + 3 H-1 + xLL H2 - xL2 H3 - xL2

+ H2 - xL2 H3 - xL2 H-1 + xL + 32 H3 - xL2 H-1 + xL2+

79 H3 - xL2 H-2 + xL H-1 + xL2+121

2H1 - 3 H-3 + xLL H-2 + xL2 H-1 + xL2

+ 101 H-3 + xL H-2 + xL2 H-1 + xL2

Fokszám: 5


Fokszám: 5

Expand@HermInterp@x0, y0, yd, xDD

2 - x + x5

p1 = 2 - x + x5;

D@p1, xD �. x ® 3

404

x0

y0

Clear@p2D

p2@x_D := 2 - x + x5;

p2@3D

� Mathematica függvény

? InterpolatingPolynomial

InterpolatingPolynomial@8 f1, f2, …<, xD constructs an interpolating polynomial in x whichreproduces the function values fi at successive integer values 1, 2, … of x.

InterpolatingPolynomial@88x1, f1<, 8x2, f2<, …<, xD constructs an interpolatingpolynomial for the function values fi corresponding to x values xi.

InterpolatingPolynomial@888x1, y1, …<, f1<, 88x2, y2, …<, f2<, …<, 8x, y, …<D constructsa multidimensional interpolating polynomial in the variables x, y, … .

InterpolatingPolynomial@888x1, …<, f1, df1, …<, …<, 8x, …<D constructs an interpolating

polynomial that reproduces derivatives as well as function values. �

Expand@InterpolatingPolynomial@Transpose@8x0, Transpose@8y0, yd<D<D, xDD

Transpose@8y0, yd<D

882, 4<, 832, 79<, 8242, 404<<

� Feladat

Mi a következõ Hermite interpolációs probléma megoldása?

x0={1,2,3,4}y0={1,2,4,3}yd0={1,0,0,- 1}

Ábrázoljuk az "adatokkal" a polinomot!Oldjuk meg a feladatot Mathematica függvénnyel is!


1 2 3 4 5

-2

2

4

6

8

In[20]:= x0 = 81, 2, 3, 4<;y0 = 81, 2, 4, 3<;yd0 = 81, 0, 0, -1<;

In[23]:= HermInterp@x0, y0, yd0, xD �� Expand

Out[23]=529

3-5915 x

9+107383 x2

108-42533 x3

54+38311 x4

108-2464 x5

27+337 x6

27-19 x7

27

In[24]:= hp = HermInterp@x0, y0, yd0, xD �� Expand;

Table@hp �. x ® x0@@jDD, 8j, Length@x0D<D

81, 2, 4, 3<

y0

81, 2, 4, 3<

Table@D@hp, xD �. x ® x0@@jDD, 8j, Length@x0D<D

81, 0, 0, -1<

yd0

81, 0, 0, -1<

Point@81, 2<D

Point@81, 2<D

Map@Hð^2 + 1L &, 82, -6, -2, 4<D

85, 37, 5, 17<

Transpose@8x0, y0<D �� TableForm

1 1

2 2

3 4

4 3

Grafikon


Plot@hp, 8x, 0, 5<D

1 2 3 4 5

-2

2

4

6

8

grafikon+pontok

In[25]:= Plot@hp, 8x, 0, 5<, Epilog ® 8Red, [email protected], Map@Point@ðD &, Transpose@8x0, y0<DD<D

Out[25]=

1 2 3 4 5

-2

2

4

6

8

grafikon+pontok+érintôegyenes- szakaszok

Plot@hp, 8x, 0, 5<, PlotStyle ® Black, Epilog ® 8RGBColor@1, 0, 0D,[email protected], Map@Point@ðD &, Transpose@8x0, y0<DD, RGBColor@0, 0, 1D, Map@Line@88ðP1T - .5, ðP2T - ðP3T .5<, 8ðP1T + .5, ðP2T + ðP3T .5<<D &, Transpose@8x0, y0, yd0<DD<D

1 2 3 4 5

-2

2

4

6

8


Graphics@Line@880, 0<, 80, 1<<DD

Megjegyzés: Hermite polinom alternatív algoritmus(LS)

In[26]:= X = 81, 2, 3, 4, 5<;Y = 80, 6, 24, 60, 120<;P = Y@@1DD;

In[29]:=Clear@LPD;LP@0D := HP = Y@@1DDL;LP@n_D := Module@8pl<, pl = P + A Product@x - X@@jDD, 8j, 1, n<D;

P = pl �. Solve@Hpl �. x ® X@@n + 1DDL � Y@@n + 1DD, AD@@1DD;8pl, Hpl �. x ® X@@n + 1DDL � Y@@n + 1DD,Solve@Hpl �. x ® X@@n + 1DDL � Y@@n + 1DD, AD@@1DD, P, Expand@PD<D

Manipulate@TableForm@88LP@nD<<D, 8n, 0, 4, 1<D

n

A H-3 + xL H-2 + xL H-1 + xL6 A � 60A ® 1010 H-3 + xL H-2 + xL H-1 + xL-60 + 110 x - 60 x2 + 10 x3

InterpolatingPolynomial@881, 82, 4<<, 82, 832, 79<<, 83, 8242, 404<<<, xD �� Expand

2 - x + x5

p0 = 2;p1 = p0 + A Hx - 1L

2 + A H-1 + xL

Solve@HD@p1, xD �. x ® 1L � 4, AD

88A ® 4<<


p1 = p1 �. A ® 4

2 + 4 H-1 + xL

p2 = p1 + A Hx - 1L Hx - 1L;

Solve@Hp2 �. x ® 2L � 32, AD

88A ® 26<<

p2 = p2 �. A ® 26

2 + 4 H-1 + xL + 26 H-1 + xL2

p3 = p2 + A Hx - 1L^2 Hx - 2L;


88A ® 23<<

p3 = p3 �. A ® 23

2 + 4 H-1 + xL + 26 H-1 + xL2+ 23 H-2 + xL H-1 + xL2

p4 = p3 + A Hx - 1L^2 Hx - 2L^2;

Solve@Hp4 �. x ® 3L � 242, AD

88A ® 9<<

p4 = p4 �. A ® 9

2 + 4 H-1 + xL + 26 H-1 + xL2+ 23 H-2 + xL H-1 + xL2

+ 9 H-2 + xL2 H-1 + xL2

p5 = p4 + A Hx - 1L^2 Hx - 2L^2 Hx - 3L;


88A ® 1<<

p5 = p5 �. A ® 1 �� Expand

2 - x + x5

In[32]:= X = 81, 2, 3<;Y = 82, 32, 242<;YD = 84, 79, 404<;P = Y@@1DD;

In[36]:= Clear@HPD;HP@0D := HP = Y@@1DDL;HP@n_?OddQD :=

Module@8pl<, pl = P + A Product@Hx - X@@jDDL^2, 8j, 1, Floor@n � 2D<D Hx - X@@Ceiling@n � 2DDDL;8pl, HD@pl, xD �. x ® X@@Ceiling@n � 2DDDL � YD@@Ceiling@n � 2DDD,P = pl �. Solve@HD@pl, xD �. x ® X@@Ceiling@n � 2DDDL � YD@@Ceiling@n � 2DDD, AD@@1DD<D;

HP@n_?EvenQD := Module@8pl<, pl = P + A Product@Hx - X@@jDDL^2, 8j, 1, n � 2<D;8pl, Hpl �. Hx ® X@@n � 2 + 1DDLL � Y@@n � 2 + 1DD,P = pl �. Solve@Hpl �. Hx ® X@@n � 2 + 1DDLL � Y@@n � 2 + 1DD, AD@@1DD<D


In[40]:= Manipulate@TableForm@88HP@nD<<D, 8n, 0, 5, 1<D

Out[40]=

n

2 + 4 H-1 + xL + A H-1 + xL2

6 + A � 32

2 + 4 H-1 + xL + 26 H-1 + xL2

Feladatok

Új=0n-1 h j = ?

x0 = 8x00, x01<;

HermBase@0, x0, xD + HermBase@1, x0, xD �� Simplify

1

x0 = 8x00, x01, x02<;

HermBase@0, x0, xD + HermBase@1, x0, xD + HermBase@2, x0, xD �� Simplify

1

Clear@x0D

x0@n_D := Table@StringJoin@"x0", ToString@jDD, 8j, 0, n<D

x0@5D

8x00, x01, x02, x03, x04, x05<

Sum@HermBase@j, x0@3D, xD, 8j, 0, 3<D �� Simplify

1

Table@Sum@HermBase@j, x0@iD, xD, 8j, 0, i<D �� Simplify, 8i, 4<D

81, 1, 1, 1<

Sejtés: Ú=1

Új=0n-1 x j h j + Új=n

2 n-1 h j = ?

In[41]:= Clear@x0D

In[42]:= x0 = 8x00, x01<;

In[43]:= x00 HermBase@0, x0, xD + x01 HermBase@1, x0, xD + HermBase@2, x0, xD + HermBase@3, x0, xD �� Simplify

Out[43]= x


In[44]:= x0 = 8x00, x01, x02<;

In[45]:= x00 HermBase@0, x0, xD + x01 HermBase@1, x0, xD + x02 HermBase@2, x0, xD +

HermBase@3, x0, xD + HermBase@4, x0, xD + HermBase@5, x0, xD �� Simplify

Out[45]= x

Sejtés: Ú=x


num. math.— 10 newton el állítása osztott differenciákkal ...vajda/ws2009_10/nummat/num... ·...

Documents